권 현 웅 -...

공학박사학위논문

파워흐름해석법을 이용한 진동소음 완전연성 해석 시스템 개발

Development of vibro-acoustic full coupling analysis system

by using power flow analysis method

2009년 8월

서울대학교 대학원

조선해양공학과

권 현 웅

파워흐름해석법을 이용한 진동소음 완전연성 해석 시스템 개발

Development of vibro-acoustic full coupling analysis system

by using power flow analysis method

지도교수 홍 석 윤

이 논문을 공학박사 학위논문으로 제출함.

2009년 6월

서울대학교 대학원

조선해양공학과

권 현 웅

권현웅의 박사 학위논문을 인준함.

2009년 7월

위 원 장

부위원장

위 원

위 원

위 원

- i -

워흐름해석법을 이용한

진동소음 완 연성 해석 시스템 개발

록

워흐름해석법(Power Flow Analysis, PFA)은 기존의 진동 소음 응답

측에 사용되던 유한요소법(Finite Element Method, FEM)과 경계요소법

(Boundary Element Method, BEM) 통계 에 지해석법(Statistical Energy

Analysis, SEA)에 비해 고주 역에서 효과 인 해석 기법으로 인식되고

있다. 워흐름해석법에 유한요소법을 목한 워흐름유한요소법(Power

Flow Finite Element Method, PFFEM)은 복합 구조물의 진동해석에 활용되

어 왔으며, 경계요소법을 목한 워흐름경계요소법(Power Flow Boundary

Element Method, PFBEM)은 소음해석에 활용되어 왔다. 일반 으로 진동과

소음문제는 서로 한 련이 있음에도 불구하고 실 으로는 독립 으로

해석이 수행되고 있다. 즉 진동 가진원에 의한 진동해석과 음향 경계조건

음향 소스에 의한 소음해석만 수행되고 있다. 기존의 유한요소법과 경계요소

법의 경우 진동해석을 해 진동 변 를 변수로 사용하 고, 소음해석을

해 압력 등을 변수로 사용하여 진동소음 연성이 용이하지 않은 반면에 워

흐름해석법을 이용한 진동소음해석의 경우 같은 물리량인 에 지를 사용함으

로써 진동소음 연성이 수월한 장 이 있다.

본 논문은 서로 독립 으로 용되던 해석 기법들의 연성 계를 악하고

이를 이용하여 진동소음 완 연성 계식의 개발을 목 으로 한다. 이를

해 구조물의 진동이 음향 공간에 미치는 향을 악하여 이를 소음해석을

한 음향 인텐시티 경계조건으로 변형한다. 그리고 음향 소스에 의한 구조

물의 진동 계를 연구하여 진동해석을 한 진동 인텐시티 경계조건으로 변

형한다. 연성되지 않은 워흐름유한요소 행렬식과 워흐름경계요소 행렬식

- ii -

에 각각의 경계조건을 이용한 연결행렬(Joint Matrix)식을 결합하여 진동소음

완 연성 계식을 개발하 다.

개발된 진동소음 완 연성 계식을 이용하여 고주 역의 진동소음

완 연성 해석 로그램을 개발하 다. 진동소음 완 연성 해석을 하여

NASTRAN Bulk 일로부터 유한요소모델과 유한요소모델로부터 자동으로

경계요소모델을 생성시키는 처리 과정과 입력된 모델을 이용하여 진동해석

과 소음해석을 동시에 수행하는 주처리 과정 결과를 후처리하는 과정이

한 로그램으로 통합되어 있다. 사용자 편의를 하여 기존의 워 입력 방

식에서 가속도나 속도 등을 입력하여 사용할 수 있도록 로그램의 주처리

과정의 변화를 통해 업 사용자가 더 쉽게 로그램을 사용하도록 구성하

다. 개발된 로그램을 3차원 형상의 단순 구조물과 통계 에 지해석용 모

델의 소음해석에 용하여 통계 에 지해석법과 비교하여 상당히 일치하는

결과를 얻었다. 그리고 실선에 해 진동 가진원에 한 소음해석을 수행하

고, 각 선실에서 계측된 소음 값과 비교하여 고주 역에서 잘 일치하

는 것을 확인할 수 있었다.

주요어: 워흐름해석법, 워흐름유한요소법, 워흐름경계요소법, 연결행렬,

진동소음 완 연성 계식, 진동소음 완 연성 해석, 소음해석

학번: 2004-30213

- iii -

목 차

록 ······························································································································· i

목차 ····························································································································· iii

List of Tables ··········································································································· x

List of Figures ········································································································· xi

1. 서 론 ························································································································· 1

1.1. 연구 배경 목 ···························································································· 1

1.2. 논문 구성 ············································································································ 3

2. 워흐름해석 모델의 개요 ·············································································· 6

2.1. 도입 ······················································································································ 6

2.2. 워흐름해석법의 특징 ···················································································· 6

2.2.1. 다양한 해석 기법 ······················································································· 6

2.2.2. 에 지지배방정식의 특징 ······································································· 10

2.2.3. 동 달해석 ····························································································· 13

2.3. 에 지 평형 법칙 ···························································································· 15

2.4. 에 지 손실 계 ···························································································· 17

2.5. 에 지 달 계 ···························································································· 19

2.6. 에 지지배방정식 ···························································································· 20

2.6.1. 일차원 역 ······························································································· 20

2.6.2. 이차원 역 ······························································································· 22

2.6.3. 삼차원 역 ······························································································· 27

2.7. 요약 ···················································································································· 28

- iv -

3. 워흐름유한요소법의 개요 ······························································· 29

3.1. 워흐름유한요소법 ······················································································ 29

3.2. 연결요소행렬식 ······························································································ 34

3.3. 요약 ·················································································································· 38

4. 실내소음해석을 한 워흐름경계요소법 정립 ································ 40

4.1. 도입 ···················································································································· 40

4.2. 실내소음해석을 한 워흐름해석법 ························································ 40

4.2.1. 에 지지배방정식의 유도 ······································································· 40

4.3. 에 지지배방정식의 변형 ·············································································· 47

4.4. 가 잔여 표 식(weighted residual statement) ····································· 49

4.5. 기본해(fundamental solution)의 유도 ························································· 52

4.5.1. 1차원 역 문제에 한 기본해 ··························································· 53

4.5.2. 2차원 역 문제에 한 기본해 ··························································· 54

4.5.3. 3차원 역 문제에 한 기본해 ··························································· 57

4.6. 직 인 기법(direct PFBEM)에 한 경계 분식의 정립 ················· 58

4.6.1. 1차원 역 문제에 한 경계 분식 ················································· 58

4.6.2. 2차원 역 문제에 한 경계 분식 ················································· 59

4.6.3. 3차원 역 문제에 한 경계 분식 ················································· 62

4.7. 간 인 기법(indirect PFBEM)에 한 경계 분식 정립 ················· 64

4.7.1. 1차원 역 문제에 한 경계 분식 ················································· 64

4.7.2. 2차원 역 문제에 한 경계 분식 ················································· 65

4.7.3. 3차원 역 문제에 한 경계 분식 ················································· 66

4.8. 워흐름경계 분방정식의 이산화 ······························································ 68

- v -

4.8.1. 경계의 이산화((discretization of boundary) ······································ 68

4.8.2. 2차원 역 문제에서 워흐름 경계 분식의 이산화 ····················· 70

4.8.2.1. 균일요소(constant elements) ·························································· 70

4.8.2.2. 선형요소(linear elements) ······························································· 76

4.8.3. 3차원 역 문제에서 워흐름 경계 분식의 이산화 ····················· 86

4.8.3.1. 선형요소(linear elements) ······························································· 86

4.9. 수치 해석 결과 검토 ················································································ 98

4.9.1. 1차원 역 문제에 한 수치 검증 ················································· 98

4.9.2. 2차원 역 문제에 한 수치 검증 ················································· 99

4.9.3. 3차원 역 문제에 한 수치 검증 ··············································· 102

4.9.4. 선형요소에 한 수치 검증 ····························································· 103

4.10. 요약 ················································································································ 104

5. 방사소음해석을 한 워흐름경계요소법 정립 ······························ 143

5.1. 도입 ·················································································································· 143

5.2. 에 지지배방정식의 유도 ············································································ 144

5.2.1. 에 지 달 계식 ··················································································· 144

5.2.2. 에 지지배방정식 ··················································································· 148

5.3. 기본해의 유도 ································································································ 149

5.4. 방향성 인자를 고려한 기본해 ···································································· 152

5.4.1. 서로 다른 n개의 소스에 의한 에 지 ··············································· 153

5.5. 자유수면 효과를 고려한 기본해 ································································ 156

5.6. 워흐름 경계 분식의 정립 ······································································ 163

5.7. 수치 해석 결과 검토 ············································································ 166

5.7.1. 열린 음향공간에서의 수치 검증 ····················································· 166

- vi -

5.7.2. 방향성 인자를 고려한 음향공간에서의 수치 검증 ····················· 168

5.7.3. 자유수면 효과를 고려한 수 음향공간에서의 수치 검증 ······· 168

5.8. 요약 ·················································································································· 169

6. 구조음향 연성 계 ········································································· 184

6.1 워흐름 계연구 ···························································································· 184

6.2 구조음향 연성 ·································································································· 187

6.2.1 구조에서 음향 연성 ··············································································· 187

6.2.2 음향에서 구조 연성 ··············································································· 189

6.2.3 음향 소스에 의한 가진 ········································································· 190

6.3 방사효율 연구 ·································································································· 191

6.3.1 방사효율의 개념 ····················································································· 192

6.3.2 방사효율 ··································································································· 193

6.4 구조음향 연성 계식 ··················································································· 195

6.4.1. 워흐름유한요소법의 연성 계식 알고리즘 ······························· 195

6.4.2 Weak Formulation ·············································································· 196

6.4.3. 경계조건 ······························································································· 198

6.4.3.1 워 경계조건 ············································································· 198

6.4.3.2. 구조음향 연성 ············································································ 200

6.4.4. 간 워흐름경계요소법의 연성 계식 알고리즘 ················· 201

6.4.5. 연성 계식 알고리즘 ········································································· 203

6.5 요약 ··················································································································· 206

- vii -

7. 진동소음 완 연성 해석 로그램 PFAVIA 개발 ·························· 208

7.1. 유한요소 모델링(FE-MODELING) ························································· 208

7.1.1 NASTRAN 유한요소 모델 자료 구조 ········································· 209

7.1.2. PFAVIA 유한요소 모델 자료구조 ················································· 211

7.1.3. PFAVIA 로그램의 번역기 모듈 개발 ······································· 212

7.2. 음향 공간 모델링 ························································································ 214

7.3. 워흐름유한요소 모델링(PFFE-MODELING) ···································· 215

7.3.1. 모델변경(Model-converting) ··························································· 215

7.3.2. 입력 워 설정 ····················································································· 216

7.3.3. 수효과 자유도 설정 ································································· 218

7.4. 해석 ················································································································ 219

7.4.1. 해석기 선택 ························································································· 220

7.4.2. 해석결과 계산 ····················································································· 221

7.5. 그래픽 ············································································································ 222

7.5.1. 모델 ······································································································· 222

7.5.2. 해석결과 ······························································································· 223

7.5.3. 그래픽 조 기능 ··············································································· 224

7.5.4. 그래픽 선택사항 ················································································· 224

7.6. 기타 기능 ······································································································ 225

7.6.1. 로젝트 련 기능 ··········································································· 225

7.6.2. 결과 일 련 기능 ··········································································· 226

7.6.3. 리스트 ··································································································· 227

7.7. PFAVIA 개선 용 ············································································ 227

7.7.1 입력 워 추정 ·················································································· 228

- viii -

7.7.1.1 단순 평 에 해 용 ··························································· 228

7.7.1.2 원인 분석 해결 방안 ························································· 229

7.7.2 PFAVIA 수정 ···················································································· 229

7.7.3 용 ······································································································ 230

8. 진동/소음 해석 일 화 시스템 개발 ················································ 268

8.1. 실내소음해석용 트랜슬 이터 ································································ 268

8.1.1 Cavity Finder 이론 ··········································································· 268

8.1.1.1 기 자표 생성 ··········································································· 269

8.1.1.2 개방요소 제거 ··········································································· 270

8.1.1.3 연결부의 요소자료 정비 ························································· 271

8.1.1.4 두 요소간의 연성각 구하는 알고리즘 ································· 271

8.1.1.5 외각요소 검색 ··········································································· 273

8.1.1.6 공동 검색 알고리즘 ································································· 273

8.1.1.7 공동 검색 ················································································· 274

8.1.2 Cavity Finder 용 ··········································································· 275

8.1.3 Translator 이론 ················································································· 276

8.1.3.1 NASTRAN Model 읽기 ························································· 276

8.1.3.2 Cavity를 둘러싼 요소 찾기 ··················································· 277

8.1.4 Translator 용 ················································································· 277

8.2 방사소음해석용 트랜슬 이터 ································································· 279

8.2.1 BCPower Translator by Eps ························································· 279

8.2.2 BCPower Translator by Element Numbers ······························ 280

8.3. 용 ·············································································································· 281

- ix -

9. 결론 향후 추천 과제 ·············································································· 304

9.1. 결론 ·················································································································· 304

9.2. 향후 추천 과제 ······························································································ 305

- x -

L i s t o f T a b l e

Table. 7.1 Acceleration Measurement (1) ························································ 255

Table. 7.2 Acceleration Measurement (2) ························································ 257

- xi -

L i s t o f F i g u r e s

Fig. 3.1 연결 요소도 ································································································ 39

Fig. 4.1. Geometrical definition for a two-dimensional case of the boundary

when point ξ belongs a smooth part of the original boundary Γ . ··· 106

Fig. 4.2. Geometrical definition for a three-dimensional case of the

boundary when point ξ belongs a smooth part of the original

boundary S . ········································································································ 106

Fig. 4.3. Representation of the boundary ··························································· 107

Fig. 4.4. General configuration of the discretization using constant

elements in power flow theory. ····································································· 108

Fig. 4.5. master element. ························································································ 108

Fig. 4.6. General configuration of the discretization using linear elements ···

································································································································ 109

Fig. 4.7. Definition of the internal angle. ·························································· 109

Fig. 4.8. Master element for singular integral. ················································ 110

Fig. 4.9. Definition of the solid angle. ································································ 110

Fig. 4.10. Nodal points of the linear element in the parameter plane and

division into triangular domains (a) when a collocation point is node

point 1 or 3 and (b) when a collocation point is node point 2 or 4. ·······

································································································································ 111

Fig. 4.11. Triangular domain and transformed square domain. ·················· 111

Fig. 4.12. Polar coordinates in the parameter plane ······································· 112

Fig. 4.13. Simply-supported beam. ······································································ 113

- xii -

Fig. 4.14. Comparisons of energy density distributions in beam when

η=0.02. The reference energy density is 1×10 - 12J/m 2: , PFA;

, SEA; , direct PFBEM; , indirect PFBEM. ····························· 114

Fig. 4.15. Comparisons of intensity distributions in beam when η=0.02.

The reference intensity is 1×10- 12J/m

2: , PFA; , direct

PFBEM; , indirect PFBEM. ······································································· 115


η=0.1. The reference energy density is 1×10- 12J/m

2: , exact;

, PFA; , direct PFBEM; , indirect PFBEM. ····························· 116

Fig. 4.17. Simply-supported rectangular plate. ············································· 117

Fig. 4.18. The energy density distributions in rectangular plate predicted

by (a) classical solution, (b) PFA analytic solution, (c) direct PFBEM

solution, (d) indirect PFBEM solution when f=1kHz and η= 0.2 .

The reference energy density is 1×10- 12J/m 2. ········································ 119

Fig. 4.19. Comparison of the energy density distributions in rectangular

plate predicted by classical solution ( ), SEA solution ( ), PFA

analytic solution ( ), direct PFBEM solution ( ) and indirect

PFBEM solution ( ) along the representative line when f=1kHz and

η= 0.2 . The reference energy density is 1×10- 12J/m

2. ······················· 120

Fig. 4.20. Comparison of the error between PFA analysis solution and

both PFBEM solutions along the representative line when f=1kHz

and η= 0.2 : , direct PFBEM; , indirect PFBEM. ······················· 121


direct PFBEM solution along the representative line with changing the

number of boundary elements when f=10kHz and η= 0.05 : , 8

boundary elements; , 16 boundary elements; , 4.2 boundary

- xiii -

elements; , 64 boundary elements; , 128 boundary elements. ··· 122

Fig. 4.22. Comparison of error rate and difference between PFA analysis

solution and direct PFBEM solution along the representative line at

various frequencies when η= 0.02 and the number of boundary

elements is 64: , f=0.5kHz; , f=1kHz; , f=4kHz; ,

f=8kHz; , f=16kHz . ··············································································· 123



various when f=5kHz and the number of boundary elements is 64:

, η= 0.001 ; , η= 0.005 ; , η= 0.01; , η= 0.05; ,

η= 0.1 . ················································································································· 124

Fig. 4.24. Simply-supported L-shaped plate. ·················································· 125

Fig. 4.25. Energy density and intensity distributions in L-shaped plate

predicted by direct PFBEM when f=1kHz and η= 0.02 . The

reference energy density is 1×10- 12J/m 2. ·················································· 126


predicted by direct PFBEM when f=1kHz and η= 0.2 . The reference

energy density is 1×10- 12J/m 2. ···································································· 127

Fig. 4.27. Three-dimensional cubic solid. ·························································· 128

Fig. 4.28. Energy density distributions in the cross section at z= 0.2m of

cubic solid when f=5kHz and η=0.02. The reference energy density

is 1×10- 12J/m 2. ·································································································· 129


cubic solid when f=10kHz and η=0.05. The reference energy

density is 1×10- 12J/m

2. ·················································································· 130

- xiv -

Fig. 4.30. Acoustic energy density distributions in the cross section at

z=0.2m of cubic enclosure filled with air when f=5kHz. The

reference energy density is 1×10- 12J/m

3. ················································ 131



reference energy density is 1×10 - 12J/m 3. ················································ 132

Fig. 4.32. Energy density distributions on boundary of rectangular plate

when f=1kHz and η= 0.01 . ······································································· 133

Fig. 4.33. Energy density distributions in rectangular plate when f=1kHz

and η= 0.01 . The reference energy density is 1×10 - 12J/m 3. ·········· 134


when f=5kHz and η= 0.05 . ············································································· 135


and η= 0.05 . The reference energy density is 1×10 - 12J/m 3. ·········· 136

Fig. 4.36. Comparison of the energy density distributions at one edge and

center line of rectangular plate predicted by PFA solution ( ),

PFBEM solution using constant elements ( ) and PFBEM solution

using linear elements ( ) when f=1kHz and η= 0.1 with the

number of elements is 80. The reference energy density is

1×10 - 12J/m 3. ····································································································· 137






- xv -

1×10 - 12J/m 3. ····································································································· 138






1×10 - 12J/m 3. ····································································································· 139

Fig. 4.39. Energy density distributions on boundary of cubic solid when

f=10kHz and η= 0.1 . The reference energy density is

1×10 - 12J/m 3. ····································································································· 140

Fig. 4.40. Energy density distributions in cubic solid when f=10kHz and

η= 0.1 . The reference energy density is 1×10 - 12J/m 3. ····················· 141


η= 0.1 . The reference energy density is 1×10 - 12J/m 3. ····················· 142

Fig. 5.1. Reflection and transmission of plane wave obliquely incident on a

air-water boundary. ··························································································· 170

Fig. 5.2. Consideration of reflected wave by image source on a air-water

boundary. ·············································································································· 170

Fig. 5.3. Geometric definition between source point and field point. ········ 171

Fig. 5.4. Uniformly vibrating spherical source. ················································ 171

Fig. 5.5. The acoustic energy density distribution on vertical plane

predicted by SYSNOISE and PFBEM in air when f=1kHz ,

v n=0.1m/s and η= 0 . The reference energy density is

1×10- 12J/m

3. ····································································································· 172

- xvi -

Fig. 5.6. Comparison of the acoustic energy density distributions on

vertical plane predicted by SYSNOISE ( ) and PFBEM ( ) along

x=0 line when f=1kHz , v n=0.1m/s and η= 0 . The reference

energy density is 1×10- 12J/m

3. ·································································· 173

Fig. 5.7. The acoustic energy density distribution on horizontal plane

predicted by SYSNOISE and PFBEM in air when f=1kHz ,


1×10 - 12J/m 3. ····································································································· 174


horizontal plane predicted by SYSNOISE ( ) and PFBEM ( ) along

x=0 line when f=1kHz , v n=0.1m/s and η= 0 . The reference

energy density is 1×10 - 12J/m 3. ·································································· 175


predicted by SYSNOISE and PFBEM in air when f=0.5kHz ,


1×10- 12J/m

3. ····································································································· 176




1×10 - 12J/m 3. ····································································································· 177

Fig. 5.11. The energy density distribution in z-direction when the plate is

vibrating in air when f=1kHz, v n=0.1m/s and η=0. The reference

energy density is 1×10 -12J/m 3. ···································································· 178

Fig. 5.12. The energy density distribution at z=3m when the plate is


- xvii -

energy density is 1×10 -12J/m 3, * : SYSNOISE, o : PFBEM ············· 179

Fig. 5.13. The energy density distribution in z-direction when the sphere

is vibrating in air when f=1kHz, v n=0.1m/s and η=0. The

reference energy density is 1×10 -12J/m 3 ·················································· 180


is vibrating in air when f=1kHz, v n=0.1m/s and η=0. The

reference energy density is 1×10 -12J/m 3, * : SYSNOISE, o : PFBEM

································································································································ 181

Fig. 5.15. Positions of field planes for underwater radiated noise prediction

by a uniformly vibrating spherical source. ················································· 181

Fig. 5.16. The acoustic energy density distribution on field 1 predicted by

SYSNOISE and PFBEM in underwater when f=1kHz , v n=0.1m/s

and η= 0 . The reference energy density is 1×10- 12J/m

3. ················ 182


SYSNOISE and PFBEM in underwater when f=1kHz , v n=0.1m/s

and η= 0 . The reference energy density is 1×10 - 12J/m 3. ················ 183

Fig. 6.1 에 지 보존 ································································································ 207

Fig. 6.2 구조음향 연성법 ························································································ 207

Fig. 6.3 입사각 θ로 입사하는 음향가진 모델 ···················································· 207

Fig. 7.1 Main-frame of PFAVIA ········································································· 233

Fig. 7.2 Translator module in PFAVIA ··························································· 233

Fig. 7.3 NASTRAN FE model data structure of Translator module in

PFAVIA ·············································································································· 234

- xviii -

Fig. 7.4 Various NASTRAN Cards supported in Translator module of

PFAVIA ·············································································································· 234

Fig. 7.5 FE model data structure in PFAVIA ··············································· 235

Fig. 7.6 GUI main frame of Translator module in PFAVIA ····················· 235

Fig. 7.7 Cavity Finder ··························································································· 236

Fig. 7.8 Cavity Finder를 통해 찾은 음향 공간 ··············································· 236

Fig. 7.9 Dialogue of Loading FE model ·························································· 237

Fig. 7.10 Loading model, (a) : FE model, (b) : Cavity model ·················· 238

Fig. 7.11 Power Spectrum Dialog (1) ································································· 239

Fig. 7.12 Power Spectrum Dialog (2) ································································· 239

Fig. 7.13 Element Spectrum Dialog (1) ······························································ 240

Fig. 7.14 Element Spectrum Dialog (2) ······························································ 240

Fig. 7.15 Dialog of Setting Fluid Loading ························································ 241

Fig. 7.16 Dialog of Setting DOF ·········································································· 241

Fig. 7.17 Dialog of Selecting Linear Equation Solver ··································· 242

Fig. 7.18 Dialog of Solving Energy Density ···················································· 242

Fig. 7.19 Dialog of Post Panel ············································································· 243

Fig. 7.20 Dialog of Control Panel ········································································ 243

Fig. 7.21 Dialog of Drawing Option ··································································· 244

Fig. 7.22 단일 평 가진 ······················································································ 245

Fig. 7.23 단일 평 가진 결과 ············································································ 245

- xix -

Fig. 7.24 동일 평면의 연성 평 가진 ······························································ 246

Fig. 7.25 동일 평면의 연성 평 가진 결과 ···················································· 246

Fig. 7.26 수직 연성 평 가진 ············································································ 247

Fig. 7.27 수직 연성 평 가진 결과 ·································································· 247

Fig. 7.28 Forcing to Coupling Plates Located at Same Plane ··················· 248

Fig. 7.29 Analysis Result for Forcing to Coupling Plates Located at Same

Plane ···················································································································· 248

Fig. 7.30 Forcing to Coupling Plates with Arbitrary Angle ······················ 249

Fig. 7.31 Analysis Result for Forcing to Coupling Plates with Arbitrary

Angle ··················································································································· 249

Fig. 7.32 Forcing to Simple Structure ······························································ 250

Fig. 7.33 SEA Analysis Result ··········································································· 251

Fig. 7.34 PFAVIA Analysis Result ··································································· 251

Fig. 7.35 Analysis Result Comparison ······························································ 252

Fig. 7.36 Analysis Result Comparison : (a) PFAVIA, (b) SEA ··············· 253

Fig. 7.37 Each Measurement Position (1) ······················································· 254

Fig. 7.38 Analysis Result Comparison at Each Measurement Position (1) ·

································································································································ 254

Fig. 7.39 Each Measurement Position (2) ······················································· 255

Fig. 7.40 Analysis Result Comparison at Each Measurement Position : (a)

250Hz, (b)500Hz, (c) 1000Hz, (d) 2000Hz ·················································· 256

- xx -

Fig. 7.41 Vibration Analysis Result Comparison at Each Measurement

Position : (a) 250Hz, (b)500Hz, (c) 1000Hz, (d) 2000Hz ······················· 257

Fig. 7.42 Analysis model, (a), vibration analysis model, (b), noise analysis

model. ··················································································································· 258

Fig. 7.43 Energy density distribution : (a), vibrational energy, (b), acoustic

energy at 1000 Hz ··························································································· 259

Fig. 7.44 Energy density distribution : (a), vibrational energy, (b), acoustic

energy at 4000 Hz ··························································································· 260

Fig. 7.45 Energy density distribution when input source is main G/E and

f=500Hz : (a) vibration energy density, (b) noise energy density. ·· 261

Fig. 7.46 Intensity near input source when input source is main G/E. ··· 262


f=250Hz: (a) vibration energy density, (b) noise energy density. ···· 263

Fig. 7.48 Energy density distribution when input source is main G/E

f=1000Hz : (a) vibration energy density, (b) noise energy density. ······

································································································································ 264


f=2000Hz : (a) vibration energy density, (b) noise energy density. ······

································································································································ 265

Fig. 7.50 Energy density distribution when input source is propeller shaft

and f=500Hz : (a) vibration energy density, (b) noise energy density.

······························································································································ 266


HVAC and f=500Hz : (a) vibration energy density, (b) noise energy

density. ················································································································ 267

- xxi -

Fig 8.1 연결 제 ··································································································· 283

Fig 8.2 개방요소 제거 ····················································································· 283

Fig 8.3 연성부의 요소 정보 변화 ································································· 284

Fig 8.4 두 요소의 사이각 ····················································································· 284

Fig 8.5 외가 요소 검색 ························································································· 284

Fig 8.6 Cavity Finder ···························································································· 285

Fig 8.7 Cavity Finder를 통해 찾은 음향 공간 ················································ 285

Fig 8.8 진동해석 모델 ··························································································· 286

Fig 8.9 음향 공간 ··································································································· 286

Fig 8.10 LNG선 진동해석 모델 ··········································································· 287

Fig 8.11 LNG선내의 음향 공간 ··········································································· 287

Fig 8.12 트랜슬 이터 ··························································································· 288

Fig 8.13 NASTRAN Solid 모델링 ····································································· 289

Fig 8.14 Translator를 통한 음향 공간 생성 ···················································· 289

Fig 8.15 간단한 진동해석 모델 ··········································································· 290

Fig 8.16 음향 공간 정보 ······················································································· 290

Fig 8.17 열린 음향 공간 ······················································································· 291

Fig 8.18 음향 공간 ································································································· 291

Fig 8.19 진동해석 모델 ························································································· 292

Fig 8.20 실내소음해석 모델 ················································································· 292

Fig 8.21 BCPower Translator by Eps ······························································ 293

- xxii -

Fig 8.22 수 방사소음 모델 생성 ······································································· 293

Fig 8.23 BCPower Translator by Element Numbers ··································· 294

Fig 8.24 진동해석 모델 : X-Z 평면 ·································································· 294

Fig 8.25 수 방사소음해석 모델(1) ···································································· 295

Fig 8.26 수 방사소음해석 모델(2) ···································································· 295

Fig 8.27 선외소음해석 모델 ················································································· 296

Fig 8.28 진동해석(1) ······························································································ 297

Fig 8.29 실내소음해석(1) ······················································································ 297

Fig 8.30 진동해석(2) ······························································································ 298

Fig 8.31 실내소음해석(2) ······················································································ 298

Fig 8.32 진동해석(3) ······························································································ 299

Fig 8.33 실내소음해석(3) ······················································································ 299

Fig 8.34 수 방사소음해석(1) ·············································································· 300

Fig 8.35 수 방사소음해석(2) ·············································································· 300

Fig 8.36 수 방사소음해석(3) ·············································································· 301

Fig 8.37 인텐시티 경계조건 ················································································· 301

Fig 8.38 선외소음해석(1) ······················································································ 302

Fig 8.39 선외소음해석(2) ······················································································ 302

Fig 8.40 선외소음해석(3) ······················································································ 303

Fig 8.41 선외소음해석(4) ······················································································ 303

- 1 -

1 . 서 론

1.1. 연구 배경 목

산업기술의 발달로 인하여 인간 삶의 질 향상에 한 심이 증가하

고 있는 실정이다. 이에 따라 환경 소음 문제뿐만 아니라 수송기계의 진동,

소음 설계에 많은 심이 집 되고 있다. 진동소음의 측에는 주 수

역에 따라 다양한 해석 기법들이 개발되어 사용되고 있다. 주 수 역을

구분하는 기 은 주 수 응답 분포를 살펴볼 때 모드 도가 낮아서 인 모

드 간 구분이 뚜렷하게 나타나는 낮은 주 수 역을 통상 주 수 역이

라고 하고 구조물의 체 인 동 응답이 요하게 고려되는 역이다. 모

드 간의 첩이 심하여 인 모든 간의 구분이 어렵고 주 수에 따른 응답의

변화가 비교 완만한 높은 주 수 역을 고주 수 역이라고 하며 구조물

의 국부 인 응답이 요하게 생각되는 역이다. 이들 사이에서 주 수에

따른 모드 특성이 다소 찰되지만 여 히 모드 간의 첩이 심하여 주

수나 고주 수 해석에 부 합한 주 수 역을 주 수 역이라고 한다.

주 역에서 동 구조물의 진동소음을 측하는 해석기법으로 운동방

정식과 동방정식의 해를 수치 인 방법으로 계산하는 유한요소해석법과 경

계요소해석법이 매우 효과 으로 리 활용되고 있다. 유한요소법이나 경계

요소법을 통한 구조물의 주 진동소음해석은 많은 연구를 통하여 이론

으로 잘 정립되어 있으며 재 산업 장에서 활발히 사용되고 있다. 그러나

고주 역에서는 구조물의 거동이 매질의 물성치나 경계조건의 변화에 민

감하게 변화하고 불확실성이 존재하기 때문에 이러한 해석 기법을 통하여

측된 결과는 그 신뢰성을 상실하게 된다. 더욱이 주 수가 높아지면 장이

짧아져서 구조물의 동 응답을 충분히 표 하기 해 해당 구조물을 더욱

세 하게 요소 분할하거나 고차의 형상함수를 사용해야 하므로 시간과 비용

이 상당히 많이 들게 된다.

- 2 -

반면 고주 수 역에서는 통계 에 지해석법이 구조물의 진동소음 해석

을 해 비교 리 활용되고 있다. 통계 에 지해석법은 고주 수 역에

서 나타나는 불확실한 응답 특성을 분산장이라는 제하에 음향 진동 에

지가가 열에 지처럼 달된다고 가정하고 통계 으로 해석하려는 방법이

다. 상 구조물의 연속 인 진동 시스템을 여러 개의 하부시스템으로 분리

하고 각 시스템 간의 에 지의 달 계를 고려하여 각 하부시스템의 응답을

측한다. 이 기법은 에 지를 기본 변수로 사용하기 때문에 진동계와 소음

계를 동일한 변수로 해석하는데 용이한 장 이 있지만 각 하부시스템이 하나

의 평균값만을 가지기 때문에 하부시스템 내부의 공간 변화를 알 수 없으

며 해석 결과의 신뢰성과 활용성이 떨어지고 해석 모델의 호환성이 부족한

단 이 있다.

이와 같이 고주 수 역의 진동소음 해석에서 유한요소해석법이나 경계

요소법, 통계 에 지해석법의 단 을 보완하고 개선하기 해 많은 노력이

있어 왔으며 이 워흐름해석법이 가장 용 가능한 새로운 안으로 인

식되고 있다. 워흐름해석법은 에 지 평형법칙을 바탕으로 고유의 에 지

달 계와 에 지 손실 계를 조합하여 얻어진 에 지지배방정식을 기반으

로 하는데 이로부터 연속 인 진동 시스템의 진동 응답에 한 공간 분포

를 측할 수 있으며 에 지의 달 경로까지 악할 수 있다. 한 미분형

태의 에 지지배방정식을 기반으로 하고 있기 때문에 유한요소법이나 경계요

소법과 같은 수치해석 기법과 목이 가능하여 복잡한 형상을 갖는 구조물의

진동소음을 수치 으로 해석하는데 있어 더욱 유용하다. 워흐름해석법에

유한요소법을 목한 워흐름유한요소법은 주로 복합 구조물의 진동해석에

활용되어 구조물의 진동 에 지 도와 에 지의 흐름 등을 측하는데 용

되어왔으며, 경계요소법을 목한 워흐름경계요소법은 소음해석에 활용되

어 음향 공간에서 음향 에 지 도와 음압 등을 측하는데 용되었다. 이

들 해석 기법들은 각각 진동 에 지 도와 음향 에 지 도를 변수로 사용

하여 독립 으로 사용되고 있다. 기존의 유한요소법과 경계요소법의 경우 진

- 3 -

동해석을 해 진동 변 를 변수로 사용하고, 소음해석을 해 압력 등을 변

수로 사용하여 진동소음 연성이 용이하지 않은 반면 워흐름유한요소법과

워흐름경계요소법에서는 모두 에 지를 변수로 사용하기 때문에 진동소음

연성이 수월한 장 이 있다.

본 논문에서는 진동소음 연성이 용이한 워흐름해석법을 이용하여 진동소

음 완 연성 계식을 개발하고자 한다. 이를 해 구조물의 진동시 음향 공

간으로 투과되는 워에 한 연구를 통해 구조에서 음향으로의 워투과계

수를 구한다. 그리고 음향 소음원에 의해 구조물로 투과되는 워를 이용하

여 음향에서 구조로의 워투과계수에 해 연구를 수행한다. 이들 워투과

계수를 이용하여 구조음향 연결행렬식을 개발하고 이를 이용하여 진동․음향

인텐시티 경계조건을 유도하여 진동소음 완 연성 계식을 개발한다.

본 논문의 다른 목 은 개발된 진동소음 완 연성 계식을 이용하여

고주 역의 진동소음 완 연성 해석 로그램을 개발하는 것이다. 개발

된 로그램은 3가지 과정으로 이루어져 있다. 첫째, 진동소음 완 연성 해석

을 하여 NASTRAN Bulk 일로부터 유한요소모델을 생성시키고, 생성된

유한요소모델로부터 자동으로 음향 공간을 둘러싼 경계요소모델을 생성시키

는 처리 과정이다. 둘째, 입력된 진동소음모델을 이용하여 진동해석과 음향

공간의 경계에서의 가상의 소스 값을 계산하고, 계산된 가상의 소스 값을 이

용하여 임의의 심 역에서의 소음해석 수행하는 주처리 과정이다. 마지막

으로 진동해석과 소음해석 결과를 후처리하는 과정이다. 한 사용자 편의를

하여 기존의 워 입력 방식에서 가속도나 속도 등을 입력하여 사용할 수

있도록 로그램의 주처리 과정의 변화를 통해 업 사용자가 더 쉽게 로

그램을 사용하도록 구성하 다.

1.2. 논문 구성

본 논문은 다음과 같이 구성되어 있다. 2장에서는 워흐름해석법의 특징

- 4 -

과 워흐름해석법의 기본 이론을 바탕으로 지 까지 개발되어온 기본 인

워흐름해석 모델들의 에 지지배방정식을 유도하는 과정에 해 살펴본다.

이때 기존의 해석기법과 비교하여 각각의 장단 을 비교하고 워흐름해석법

의 특징인 에 지지배방정식에 하여 알아본다.

3장에서는 2장에서 소개한 워흐름해석법에 유한요소법을 목한 워흐

름유한요소법에 해 살펴본다.

4장에서는 실내 음향공간에서의 소음해석을 해 사용되는 워흐름해석법

의 에 지지배방정식을 살펴보고, 유도된 에 지지배방정식을 경계요소법에

목하여 개발된 워흐름경계요소법에 한 연구를 진행한다. 워흐름경계

요소법을 복잡한 형상 구조물의 고주 소음 해석에 용하기 한 기반

연구로서 워흐름경계요소법의 직 인 기법과 간 인 기법에 한 경계

분식을 정립한다.

5장에서는 열린 음향공간에서 3차원 방사소음해석을 수행하기 해 새로이

워흐름해석법의 에 지지배방정식을 유도하고, 이를 경계요소법에 용할

수 있도록 기본해와 워흐름경계 분식을 정립한다. 그리고 방향성 인자를

고려한 기본해를 개발한다. 한 선박이나 잠수함과 같은 구조물의 수 방

사소음해석에 사용될 수 있는 자유수면 효과를 고려한 새로운 형태의 기본해

를 개발한다.

6장에서는 3장에서 살펴본 진동해석을 한 워흐름유한요소법과 4-5장에

서 살펴본 소음해석을 한 워흐름경계요소법의 연성을 하여 진동소음

연성 행렬식을 개발한다. 이를 해 구조에서 음향으로의 워투과계수와 음

향에서 구조로의 워투과계수를 구하고 이들로 구성된 연결 행렬식을 구한

다. 연결 행렬식을 이용하여 진동소음 인텐시티 경계조건을 구하고 진동소음

완 연성 계식을 구한다.

7장은 앞의 3-6장에서 정립한 워흐름해석법을 이용한 진동소음 완 연성

계식을 바탕으로 자동차나 선박, 잠수함과 같은 복합 구조물의 고주

역의 진동소음 문제를 해석할 수 있는 진동소음 완 연성 해석 시스템

- 5 -

PFAVIA를 개발한다. PFAVIA에 하여 자세한 자료구조와 기능 해석과

정에 하여 알아보고 이를 이용하여 다양한 구조물의 해석 결과를 살펴보며

검증을 수행하여 신뢰성을 확인한다.

8장에서는 완 연성 로그램 이 의 단계인 반연성 개념의 일 화 시스템

에 해 살펴본다. 진동해석 결과를 바탕으로 소음해석을 하기 한 시스템

으로 실내소음해석과 방사소음해석을 한 트랜슬 이터를 개발하 다.

9장에서는 본 논문을 통해 얻어진 결론을 정리하고 향후 연구 과제를 제안

한다.

- 6 -

2 . 워흐름해석 모 델 의 개요

2.1. 도입

본 장에서는 워흐름해석법의 특징과 워흐름해석법의 기본 이론을 바탕

으로 지 까지 개발된 기본 인 워흐름해석 모델의 에 지지배방정식을 유

도하는 과정에 해 살펴본다. 기존의 에 지지배방정식은 정상상태(steady-

state)에서 선형탄성매질(linear elastic medium)에 입력되는 진동 음향

워가 인 한 매질로 달되는 워와 매질 내부에서 손실되는 워의 합과

같다는 에 지 평형 법칙을 기반으로 하고, 매질의 내부손실(internal loss)이

충분히 작을 경우 내부에서 손실되는 워가 체 에 지 도에 비례한다는

가정 하에 Fourier의 열 달 법칙과 유사한 형태로 유도되는 에 지 달

계를 용하여 체 에 지 도를 기본변수로 가지는 2차 편미분 방정식의

형태로 유도된다.

2.2. 워흐름해석법의 특징

2.2.1. 다양한 해석 기법

워흐름해석법(Power Flow Analysis)은 진동소음해석 분야에서 고주

수 역의 해석을 한 에 지 기반의 새로운 해석 방법론으로서 진동 에

지(vibrational energy)와 진동 워(vibrational power)를 변수로 하여 진동

특성을 단순하고 물리 으로 이해하고자 하는 개념을 내포하고 있다. 이러한

의미에서 통 으로 진동소음 해석을 해 수행되고 있는, 구조물에서 발생

하는 진동 변 를 운동방정식(equation of motion)으로부터 직 으로 측

하는 고 인 변 해법과는 상당히 다른 해석 방법론이 된다.

고 인 변 해법은 진동 변 를 지배하는 운동방정식으로부터 출발하여

- 7 -

구조물의 진동 거동을 측하는데, 일반 으로 주 수 역의 진동소음 해

석에 통용된다. 주 수 역에서의 구조물의 모드 도(modal density)는 상

당히 낮고 모드의 첩이 거의 발생하지 않기 때문에 구조물의 동 거동은

소수의 공진모드(resonance mode)에 지배 이다. 즉 구조물의 동 특성

(dynamic characteristics)을 나타내는 고유진동수(eigen-frequency)에서는 동

응답(vibraitonal response)이 상당히 크게 발생하지만 고유진동수 이외의

주 수에서는 동 응답이 무시될 만큼 작게 발생한다. 이러한 이유로 부

분의 주 수 역의 진동소음 해석에서는 외부 하 에 의해 공진이 발생되

지 않도록 외부 하 의 주 수 특성과 해석구조물의 공진주 수가 일치하는

지를 단하는 공진회피를 목 으로 해석이 진행되어 오고 있다.

고 인 변 해법으로 진동응답을 측하는 방법으로는 모드해석법(Modal

Analysis), 유한요소해석법(FEA, Finite Element Analysis), 경계요소해석법

(BEA, Boundary Element Analysis) 등이 있다. 1755년에 Bernoulli에 의해

처음 소개된 이후 지 까지 수많은 연구와 발 이 되어온 모드해석법은 모드

첩(mode superposition)의 원리를 기본개념으로 사용한다. 특정 주 수로

가진되는 연속체의 거동은 그 연속체의 고유모드 형상(eigen-mode shape)의

합으로 표 될 수 있다는 원리를 의미한다. 일반 으로 다루는 유한한 크기

를 갖는 연속체 개념의 구조물은 불연속 으로 무한한 개수의 모드를 갖으며

모드는 구조물의 기하 형상과 재료 물성치 경계조건에 따라 결정된다. 각

각의 모드가 진동 응답에 기여하는 양(모드 기여도, modal participation

factor)을 구하는 것이 모드해석법의 핵심인데, 이는 가진력의 형상이 해당

모드 형상과의 유사정도와 가진 주 수가 고유진동수와의 정도에 따라

달라진다. 실제 으로 모드해석을 수행할 때에는 수치 인 방법으로 해를 구

하게 되는데 무한 개의 모드에 하여 계산할 수 없으며 충분히 수렴이 되는

모드까지 계산하는 방법으로 모드 수를 한정한다. 한정된 모드 수로 측된

진동응답이 수렴되기 해서는 모드 기여도가 큰 모드들이 포함되어야 한다.

즉 가진 주 수가 낮을 때에는 가진 주 수와 한 공진주 수도 낮아서

- 8 -

낮은 모드에 모드 기여도가 집 되어 모드해석법에서 고려해야 하는 모드 수

가 은 반면, 가진 주 수가 커질수록 모드해석에서 고려해야 하는 모드수

가 증가하게 된다. 이러한 에서 볼 때 비록 모드해석법이 이론 으로는

주 수에 무 한 해석기법이지만, 실제 으로 용할 때에는 주 수 역

의 문제에만 유용하며 고주 수 역에서는 모드 수에 따른 계산양이 증가하

여 비효율 인 기법이 된다.

고 인 변 해법인 기존의 유한요소해석법은 부분의 공학 분야에서 활

용되고 있는 유한요소법(FEM, Finite Element Method)이라는 수치 기법으

로 도입하여 진동 거동을 측하는 방법으로 구조물의 기하 형상이나 재료의

변화에 향을 받지 않고 모든 다양한 문제를 해결할 수 있어서 가장 리

사용되고 있다. 유한요소법은 해의 변화가 공간상으로 심할수록 측한 해의

오차가 커지기 때문에 요소크기를 이거나 보간함수(interpolation function)

의 차수를 늘려서 오차를 이는 기법 상의 특성이 있다. 그런데 진동소음

문제의 해는 진동하는 특성이 있기 때문에 공간상으로 해의 변화가 주 수가

커질수록 장이 짧아져 고차의 모드 형상이 나타나는데, 이를 제 로 표

하여 진동 모드를 충실히 측하기 해서는 요소수를 작게 하거나 보간함수

의 차수를 높여야 하지만 이럴수록 해석하는 (node) 수가 많아져 계산비

용이 많이 들며 계산시간이 오래 걸리는 문제가 발생한다. 특히 진동해석을

고려한 설계문제에서는 해석모델의 설계변수에 따라 동 거동의 민감도를

측해야 하기 때문에 설계변수를 변경해가면서 수많은 유한요소해석을 수행

해야 한다. 이러한 경우 수가 많을수록 계산시간이 더욱 오래 걸리게

되어 높은 주 수 역에서의 유한요소해석법은 비효율 인 방법이 된다.

고 인 변 해법 에 기존의 경계요소해석법은 응력집 문제나 무한장

문제 등에 효과 으로 용할 수 있는 경계요소법(BEM, Boundary Element

Method)이라는 수치기법을 용한 소음진동 해석 방법이다. 유한요소해석법

이 역내부를 이산화(discretization)하여 을 분포시키는 반면에 경계요

소해석법은 경계만을 이산화하기 때문에 유한요소해석법보다 훨씬 은

- 9 -

으로 해석할 수 있는 특징이 있다. 하지만 경계요소해석은 시스템 행렬이 비

칭이며 비 (non-zero) 성분으로 가득 찬 행렬(full matrix)형태로 되어 있

어서 유한요소해석법이 갖는 시스템 행렬보다 산처리를 한 장 공간을

많이 필요로 하며 해석시간도 상당히 오래 걸리는 단 이 있다. 이러한 문제

때문에 높은 주 수 역의 해석에서 경계요소해석법은 합하지 않다.

지 까지 주 수 역에서 사용되고 있는 고 인 변 해법의 표 인

해석방법인 모드해석법, 유한요소해석법, 경계요소해석법이 고주 역에

서 용되기 어려운 이유를 각각의 해석기법의 특성에 따라 살펴보았는데,

이러한 이유 외에도 고 인 변 해법이 높은 주 수 역에서 합하지 않

은 본질 인 이유가 있다. 고 인 변 해법에서는 운동방정식을 통해 진동

거동을 정확히 측하기 해서 매질의 물성치와 경계조건에 한 정보가 정

확해야하는데, 고주 역에서는 이러한 정보가 매우 불확실하여 수학 으

로 정확하게 표 하기 어려우며 구조물의 응답 역시 물성치와 경계조건의 변

화에 해 매우 민감한 변화를 보이기 때문에 고 인 변 해법으로 얻어진

고주 수 역에서의 해석 결과는 신뢰성이 떨어진다.

다른 이유로는 고 인 변 해법은 단일 주 수에 한 동 특성을 알기

해 합한 방법으로 고주 역에서 주로 심인 역에서의 체 인

진동 응답을 측하기에는 해석시간에 따른 문제가 발생한다. 주 수가 올라

갈수록 모드 도가 높고 모드 첩이 상당히 높은 이유로 공진주 수와 비

공진주 수 간의 동 거동의 차이가 그다지 크지 않게 되어 특정 주 수에

서의 동 응답보다는 주 수 역에서의 체 인 진동 응답에 심을 갖는

다. 고 인 변 해법으로 이를 측하기 해서는 각각의 주 수에 하여

해석한 결과를 주 수밴드(frequency band) 내의 평균을 취하기 때문에 해석

시간이 오래 걸려 실용 인 해석방법이 되지 못한다.

이러한 문제 을 해결하고자 고주 역에서 나타나는 불확실한 응답 특

성과 주 수의 평균 인 특성을 고려하는 에 지 기반의 기법들이 다양하게

제안되었으며, 이 통계 에 지해석법(SEA, Statistical Energy Analysis)이

- 10 -

가장 리 사용되고 있다. 통계 에 지해석법은 진동 에 지가 열에 지와

유사한 형태로 달된다고 가정하고 통계 으로 해석하는 방법이다. 상구

조물을 기하학 인 특성에 따라 여러 개의 하부시스템(subsystem)으로 분할

하여 하부시스템 각각의 체 인 응답을 측한다. 이 기법은 에 지를 기

본변수로 사용하기 때문에 음향계와 진동계를 동일한 변수로 사용할 수 있어

서 이들의 연성 계를 고려하기에 용이한 장 이 있으며 각 하부시스템에 하

나의 체 인 평균값을 제시하기 때문에 계산시간은 빠르지만 하부시스템

내부에서 에 지의 공간 변화를 알 수 없으며 하부시스템 내의 국부 인

입력 워와 감쇠처리를 고려하기 어려운 단 이 있다. 한 심주 수 역

내에 모드 도와 모드 첩이 높아야 이론 으로 용하기에 타당한 방법이기

때문에 주 역에서의 통계 에 지해석법의 사용은 부 하다. 물론 주

수 역의 폭을 넓히면 되지만 주 역에서의 역에 한 평균

해석의 결과는 심 있는 주요 해석사항이 아니므로 의미 없는 해석이 된다.

이와 같이 주 수 역의 심특성과 해석기법의 특성으로 모든 주 수

역에서 소음진동을 효과 으로 측할 수 있는 기법이 아직 개발되어 있지

않은 상황에서, 주 역에서는 기존의 변 해법이 확고히 활용되고 있는

반면에 고주 역에서는 통계 에 지해석이 이론상의 근본 인 한계 들

로 인해 만족할 만한 수 의 정보를 제공하지 못하고 있다. 더욱이 주 수

역에서도 용 가능한 새로운 안 기법이 필요하여 비교 최근 들어

다양한 진동 에 지를 기반으로 하는 근사기법들이 연구되고 있다. 이

워흐름해석법은 통계 에 지해석법이 갖고 있는 단 을 보완하고 개선하기

해 제안되었다.

2.2.2. 에 지지배방정식의 특징

워흐름해석법은 에 지 평형법칙을 바탕으로 고유의 에 지 달 계와

에 지 손실 계를 혼합하여 얻어지는 에 지지배방정식을 기반으로 하여 에

- 11 -

지의 반 인 분포와 체 인 달경로를 측한다. 워흐름해석법은

통계 에 지해석법과 유사하게 진동에 지가 열처럼 흐른다고 가정하고 진

동의 상태를 장(stored), 소실(dissipated), 달(transferred)되는 진동 에

지 도로 표 하여 이들의 평형 계로부터 에 지지배방정식을 얻는다. 하지

만 통계 에 지해석법이 하부시스템 단 의 에 지 평형으로부터 출발한 이

론인 반면에 워흐름해석은 탄성연속체의 미소 부피에 하여 에 지 평형

계를 고려하기 때문에 통계 에 지해석법의 한계를 뛰어 넘는 해석기법으

로 인식되고 있다. 지 부터는 워흐름해석법의 근간이 되는 에 지지배방

정식의 특징을 살펴보기 하여 기존의 소음진동해석과 련한 해석기법인

고 인 변 해법과 통계 에 지해석의 지배방정식과 비교해 본다.

워흐름해석법의 에 지지배방정식은 일반 으로 이차형태의 편미분방정

식이며 수학 으로는 열 달 방정식과 동일하게 타원형(elliptic type) 미분방

정식이 된다. 이때 해는 근사화된 진동 에 지 도를 나타내며 해의 특성은

진동 워가 입력되는 곳으로부터 체 으로 감소한 형태를 보여 다. 감소

의 원인은 크게 두 가지로 볼 수 있다. 하나는 내부감쇠에 의한 에 지 감소

로서 지수 으로 감소하는 형태를 보이며 다른 하나는 주변으로의 에 지

달에 의한 감소로서 공간 차원의 형상에 따라 감소 특성이 달라진다. 공간차

원이 커질수록 더 넓은 역으로 에 지가 달되어야 하므로 감소되는 경향

이 커진다. 를 들어 분산장에 한 에 지지배방정식에서는 일차원의 경우

공간차원에 따른 감소가 발생하지 않으며 이차원의 경우 Bessel 함수 형태로

감소가 일어나며 삼차원 공간에서는 거리에 반비례하여 감소한다.

주 수 역에서 주로 용되는 고 변 해법은 진동변 를 변수로

하는 운동방정식을 근간으로 하고 있다. 운동방정식은 실제 구조물을 수학

모델로 가정하는 과정에서 고려되는 인자에 따라 다양하게 유도되는데 일반

으로 곡선형(hyperbolic type) 미분방정식으로 표 된다. 곡선형 미분방

정식의 해는 진동하는 형태로서 실제 구조물의 진동 거동을 표 한다고 할

수 있다. 내부감쇠가 있는 운동방정식의 해는 공간상으로 진동하는 형태를

- 12 -

보이면서도 체 으로는 서서히 감소하는 형태로 나타나는데, 워흐름해석

의 에 지지배방정식에 의한 해는 실제 진동 상에서 내부감쇠에 의해 체

으로 서서히 감소하는 경향만을 반 한 진동 분포를 의미한다.

고주 수 역에서 활용되는 통계 에 지해석법은 에 지평형방정식

(energy balance equation)이라는 선형연립방정식 형태로 되어있다. 고

변 해법의 운동방정식이나 워흐름해석법의 에 지지배방정식은 연속체의

거동을 지배하는 미분방정식으로 공간상의 연속 인 개념을 내포하고 있다.

반면에 통계 에 지해석법은 이산화된 하부시스템의 진동에 지를 변수로

하기 때문에 미분방정식이 아닌 선형방정식으로 되어 있다.

세 가지 지배방정식 에서 미분방정식으로 되어 있는 에 지지배방정식과

운동방정식은 무한개의 자유도를 한정된 유한개의 자유도로 표 하는 수치

기법을 도입하여 방정식에 한 근사해를 얻을 수 있다. 특히 부분의 공학

분야에서 사용되고 있는 유한요소법이나 경계요소법을 용할 수 있는데,

워흐름유한요소법(PFFEM, Power Flow Finite Element Method)은 에 지지

배방정식에 유한요소법을 용한 수치기법이며, 워흐름경계요소법(PFBEM,

Power Flow Boundary Element Method) 에 지지배방정식에 경계요소 기법

을 용한 수치해석법이다. 기존의 유한요소해석법이나 경계요소해석법은 운

동방정식에 유한요소법이나 경계요소법과 같은 수치기법을 용한 것이다.

두 지배방정식의 해의 특성을 고려하면, 단순히 감소하는 해의 특성을 보이

는 에 지지배방정식은 진동하는 특성을 보이는 운동방정식에 비하여 유한요

소법이나 경계요소법을 용할 때 훨씬 은 요수의 개수로 해석이 가능하

다. 한 운동방정식은 진동하는 특성으로 세 하면서도 체를 고르게 요소

망을 구성해야 하지만 에 지지배방정식은 해의 변화가 큰 외부의 입력 워

가 주어지는 곳(가진 ) 주변만 세 하게 하고 그 외에서는 해의 변화가 크

게 없으므로 요소망을 비교 성 게 구성하여도 된다. 이 뿐만 아니라 운동

방정식의 해는 주 수가 커짐에 따라 해의 변화가 민감하게 변하여 특정 요

소망에 하여 한정된 주 수내에서의 해석만이 신뢰가 있는 반면에 에 지

- 13 -

지배방정식의 해의 변화는 주 수에 따라 그다지 민감하지 않은 계로 용

할 수 있는 주 수 범 가 상당히 넓은 편이다. 이러한 이유로 워흐름유한

요소법은 기존의 유한요소해석법에 비하여 상당히 은 요소수로써 높은 주

수까지 해석할 수 있다.

통계 에 지해석법은 지배방정식 자체가 선형방정식이 되므로 특별히 수

치 기법을 용하여 해를 구할 필요 없이 방정식에 한 해를 정확히 구할

수 있다. 통계 에 지해석법에서 이산화된 하부시스템을 자유도로 보기 때

문에 아무리 큰 구조물에 해서도 해석자유도 수는 상당히 작게 된다. 보통

의 승용차 체에 하여 기존의 유한요소해석법을 통하여 진동해석을 할 때

에는 수십만에서 수백만 개의 자유도가 필요한 반면에 통계 에 지해석법으

로는 기껏해야 백여 개의 자유도로 해결이 된다. 하지만 통계 에 지해석법

에서 사용되는 해석모델에 한 정보는 일반 인 유한요소해석 모델의 정보

와는 상당한 괴리가 있어 직 으로 활용하기에는 어려운 이 많이 있으며

이를 보완하기 한 연구는 아직까지도 진행되고 있다. 워흐름유한요소법

은 기존의 유한요소해석법과 같은 유한요소법이라는 수치 기법을 용하고

있기 때문에 유한요소해석 모델을 공유하기가 비교 유리한 장 이 있다.

2.2.3. 동 달해석

워흐름해석법은 구조부재나 음향공간의 연성부에서 발생하는 에 지의

감소(attenuation)를 고려하기 하여 인텐시티(intensity) 혹은 워(power)의

연성조건을 용하며, 이때 연성부에서의 에 지의 달특성을 악하는 방

법으로 동 달해석(wave transmission analysis)을 이용한다. 부분의 복

합 구조물의 연성부는 연성손실계수(coupling loss factor)가 내부손실계수

(internal loss factor)보다 아주 작은 약연성(week coupling) 구조로 되어 있

는데, 이러한 경우 연성부에서 상당한 에 지의 감소가 발생하며 내부감쇠에

의해 감소되는 동일 역 내에서의 감소보다 더 요한 의미를 갖게 된다.

- 14 -

따라서 연성구조의 신뢰 있는 해석을 해서는 연성부에서의 정확한 에 지

의 달특성을 악하는 것이 요한 요인이 된다.

에 지의 달 특성은 연성계수로 변되는데 일반 으로 두 가지 방법이

제안되어 왔다. 그 하나는 이미 통계 에 지해석법에서 활용되고 있는

동 달해석이다. 유한한 크기의 해석 모델의 연성 구조를 무한 구조로 치

환하는 방법으로 유한 구조물의 주 수 평균된 에 지 달특성을 보여 다.

하지만 유한 구조물의 연성 특성은 모드의 특성으로 주 수에 따라 변하기

때문에 단일한 특정 주 수에서의 동 달해석을 이용한 연성구조물의 해석

결과는 부정확할 수 있다.

에 지의 달 특성을 얻는 다른 기법으로 리셉턴스법(receptance method)

이 있는데, 이는 각각의 부재의 응답 특성을 이용하여 복합 구조물의 진동/소

음 특성을 해석하는 방법으로 유한 구조물의 응답 특성을 단일 주 수뿐만

아니라 역에 해서도 정확하게 측하는 기법이다. 지 까지 이 기법은

특정 연성 구조에 해서만 용되었는데 일반 인 연성 구조로 확장할 수

있는 방법론이 분명치 않다는 것이 이 기법의 단 으로 지 되고 있다. 한

워흐름해석에 용하기에는 각각의 부재의 동 특성을 모두 악해야 하기

때문에 계산시간이 동 달해석보다 오래 걸리는 문제 도 있다.

이러한 이유로 지 까지 진행되어온 부분의 워흐름해석 연구에서는

동 달해석을 활용하고 있으며 이로부터 워흐름해석법은 주 수 평균된 해

석결과를 의미하게 된다. 에 지지배방정식 자체는 주 수 역과는 계없

이 만족하는 수식이 되지만 연성문제를 고려할 때 동 달해석을 도입함으

로써 주 수 평균된 해석을 의미한다.

한편 일반 으로 공학 인 상을 수학 으로 표 하는 미분방정식은 균질

한(homogeneous) 역 내에서 물리변수를 지배하는 방정식이 된다. 다른 특

성을 갖는 역과 연성되어 있는 경우에는 단일한 미분방정식으로 해를 구할

수 없으며 각각의 역 내를 지배하는 미분방정식을 해당 역에 하여 해

를 구하고 두 역의 경계에 합한 경계조건을 용하여 두 역의 해를 최

- 15 -

종 으로 얻는다.

복합 구조물의 연성부에서 용하는 경계조건은, 고 인 변 해법에서는

연성부의 변 가 서로 같다는 연속 조건을 사용하는 반면에 워흐름해석에

서는 인텐시티의 연성조건을 사용하며 에 지 도는 불연속이 된다. 고

인 변 해법의 운동방정식은 직 으로 풀고자 하는 변수가 변 이며 이를

미분을 취하여 응력 등을 계산하게 된다. 즉 주요(primary) 변수가 변 이며

보조(secondary) 변수가 응력이다. 같은 의미로 워흐름해석법의 에 지지배

방정식에서는 주요 변수가 에 지 도이며 보조변수는 에 지 도에 미분을

취하여 얻을 수 있는 인텐시티가 된다. 고 변 해법에서는 제일변수인

변 가 경계에서의 연속조건으로 사용되는 반면에 에 지지배방정식에서는

보조변수인 인텐시티의 조건이 사용되어 주요 변수의 에 지 도가 연속이

되지 않는다. 이러한 차이로 인하여 수치 인 기법으로 해석을 수행할 때 기

존의 유한요소해석법이나 경계요소해석법에서 사용하는 모델과 워흐름해석

에 사용되는 모델의 차이가 발생한다. 기존의 수치해석 모델은 경계에서의

변 가 연속이기 때문에 두 역에 속해 있는 요소는 경계에서 을

공유한다. 반면에 워흐름해석 모델에서는 경계에서 에 지 도가 불연속이

기 때문에 경계에서는 각각의 역에 속하는 을 필요로 한다.

2.3. 에 지 평형 법칙

선형 특성을 가지는 탄성 매질에서 에 지 평형 법칙은 식 (2.1)과 같이 검

사 체 법(control volume approach)을 이용하여 검사 체 의 표면을 통해 흘

러 들어오고 나가는 워의 양은 검사 체 내의 체 에 지의 변화율과 동

일한 것으로 기술할 수 있다.

- 16 -

⌠⌡

⌠⌡

⌠⌡CV

∂e∂t

dV=⌠⌡

⌠⌡CS ( σ⋅

∂ ξ∂t )⋅d S+⌠

⌡⌠⌡

⌠⌡CV

(π in-π diss)dV (2.1)

여기서 e 는 검사 체 CV 내의 체 에 지 도를 나타내고 ξ 는 검사

체 의 경계면 CS 에 있는 입자의 변 벡터이며 dS 는 경계면에 수직 방향

인 미소 면 벡터이다. σ 는 경계면에 작용하는 응력(stress)을 가리키고

π in 과 π diss 는 각각 단 시간에 단 면 에 작용하는 입력 워와 손실

워를 나타낸다.

검사 체 으로부터 흘러 나가는 단 면 당 워 즉 인텐시티(intensity)는

경계면에 작용하는 응력과 경계면에 있는 입자 속도를 이용하여 식 (2.2)와

같이 얻을 수 있다.

q=-σ⋅∂ξ∂t

(2.2)

여기서 q 는 단 면 당 워로서 이를 인텐시티라고 한다.

한편 식 (2.1)의 우변 첫 번째 면 분(surface integral)은 Gauss의 발산 정

리(Gauss's divergence theorem)를 용하면 식 (2.3)과 같이 체 분(volume

integral)으로 다시 표 할 수 있다.

⌠⌡

⌠⌡CS ( σ⋅

∂ξ∂t )⋅d S=⌠

⌡⌠⌡CSq⋅d S=⌠

⌡⌠⌡

⌠⌡CV

(∇⋅q)dV (2.3)

따라서 검사 체 내의 에 지 평형 법칙은 식 (2.4)와 같다.

⌠⌡

⌠⌡

⌠⌡CV

∂e∂t

dV =⌠⌡

⌠⌡

⌠⌡CV

(π ∈-π diss-∇⋅q)dV (2.4)

- 17 -

따라서 미소 체 에 해 에 지 평형 법칙을 표 하면 식 (2.5)과 같이 나타

난다.

∂e∂t

=π in-π diss-∇⋅ q (2.5)

식 (2.5)는 모든 탄성 매질에 해서도 만족하는 에 지 평형 계식으로 정

상 상태뿐만 아니라 과도(transient) 상태에서도 유효하다. 만약 정상 상태라

고 가정하면 에 지의 시간에 한 변화가 없기 때문에 식 (2.5)의 좌변은 0

이 된다. 따라서 정상 상태에서의 에 지 평형 법칙은 식 (2.6)과 같이 표

할 수 있다.

▽⋅q+πdiss=π in (2.6)

식 (2.6)은 정상 상태에서 외부 하 에 의한 입력 워가 내부에서 손실되는

워와 인 한 매질로 흘러 나가는 워의 합으로 표 됨을 나타낸다.

2.4. 에 지 손실 계

진동 에 지의 손실을 고려하기 해 구조 감쇠(hysteretic damping) 모델

을 사용한다. Cremer와 Heckl은 식 (2.7)과 같이 주 수 ω 로 진동하는 탄성

매질내의 한 지 에서 한 주기동안 구조 감쇠에 의해 손실되는 에 지 도

e diss 가 가역(reversible) 진동 에 지 도 eR 에 비례함을 보 다.

e diss=2πη e R (2.7)

이때 감소에 의한 내부손실계수 η 가 충분히 작으면 가역 에 지 도 eR

- 18 -

을 운동(kinetic) 에 지 도와 치(potential) 에 지 도의 합인 체 에

지 도의 시간 평균값 < e > 로 치환해도 무방하다.

e R≈ < e > (2.8)

여기서 < > 는 시간 평균을 의미한다. 한편 진동 주기 T 가 2π/ω 이기 때

문에 주기에 해 시간 평균한 손실 워 도 < π diss > 는 한 주기동안 손

실된 에 지 도 e diss 를 주기 T 로 나 면 구할 수 있고 결국 이는 시간

평균한 체 에 지 도 < e > 를 사용하면 식 (2.9)와 같이 근사 으로 표

할 수 있다.

< π diss> =e dissT

=2πT

ηe R≈ ηω< e > (2.9)

식 (2.9)는 주 수 ω 로 진동하는 탄성 매질의 한 지 에 해 구조 감쇠를

용하여 유도된 에 지 손실 계이다. 여기서 운동 에 지와 치 에 지

가 서로 같다고 가정한다.

한편 Wohlever와 Bernhard는 구조 감쇠가 있는 보에 해 정확한 에 지

손실 계를 식 (2.10)과 같이 얻었다.

< π diss > exact = 2πη < K > (2.10)

식 (2.10)은 시간 평균한 손실 워 도 < π diss > exact 가 시간 평균한 운동

에 지 도 < K > 에 직 비례함을 보여 다. 식 (2.10)으로부터 얻어지는

손실 워 도와 식 (2.9)로부터 얻어지는 손실 워 도간의 계는 식

(2.11)을 통해 알 수 있다.

- 19 -

< π diss > exact-< π diss >= ηω ( < K >- ) (2.11)

여기서 는 시간 평균한 치 에 지 도이다. 이때 보의 길이가 진동

의 반 장의 정수배가 되면 운동 에 지와 치 에 지가 같게 되어 식

(2.9)와 식 (2.10)으로부터 얻어지는 손실 워 도는 서로 같아진다. 만약

보의 길이가 반 장의 정수배가 아니면 두 값은 오차가 생기지만 주 수가

증가하면 그 오차가 어들므로 주 수가 높은 경우 식 (2.9)로부터 충분히

정확한 손실 워를 구할 수 있다.

한편 Lagrange 에 지 도 < L > 는 운동 에 지 도와 치 에 지

도의 차이이므로 식 (2.11)은 식 (2.12)와 같이 표 할 수 있다.

< π diss > exact-< π diss >= ηω < L > (2.12)

Lase, Ichchou와 Jezequel은 보가 종진동하는 경우 Lagrange 에 지 도는

공간상에서 주기 인 특성이 있기 때문에 장에 해 공간 평균을 취하면 0

이 되고 보가 횡진동하는 경우에는 원거리 역에서 Lagrange 에 지 도

가 0이 된다고 언 하 다.

2.5. 에 지 달 계

등방성 매질의 경우 진동 워가 열 에 지처럼 에 지가 높은 곳에서 낮

은 곳으로 흐른다고 가정하면 식 (2.13)과 같이 Fourier 법칙과 유사한 형태

로 표 할 수 있다.

q = -C∇e (2.13)

식 (2.13)으로부터 알 수 있듯이 에 지 도의 구배(gradient)는 진동 워의

- 20 -

크기가 두 지 의 에 지 도의 차이에 비례한다는 것을 의미한다. 음의 부

호 (-)는 진동 워의 방향이 에 지 도가 감소하는 방향과 같다는 것을

의미한다. 여기서 C 는 비례 상수로서 구조물의 재료나 동 특성 등에 의해

결정된다.

따라서 에 지 손실 계인 식 (2.9)와 에 지 달 계인 식 (2.13)을 에

지 평형 법칙을 나타내는 식 (2.6)에 입하면 등방성 매질의 진동에 해

정상 상태의 경우 식 (2.14)와 같이 2차 편미분 방정식 형태의 에 지지배방

정식을 얻을 수 있다.

- C∇ 2 < e >+ ηω < e > = < π in > (2.14)

2.6. 에 지지배방정식

2.6.1. 일차원 역

일차원 역의 표 인 구조부재인 오일러보(Euler beam)에서는 비분산

(nondispersive wave)인 종 (longitudinal wave)와 비틀림 (torsional wave)

와 분산 (dispersive wave)인 굽힘 (flexural wave)가 발생한다.

Wohlever와 Bernhard는 감쇠가 작은 경우 일차원 구조물인 베르 이-오일

러 보(Bernoulli- Euler beam)가 종방향의 주기 인 가진력에 의해 진동할 때

비분산 의 일종인 종 (longitudinal wave)에 한 동방정식의 변 해로부

터 체 에 지 도와 인텐시티의 실수부를 구한 다음 각각 시간 평균하여

다음의 식 (2.15)과 식 (2.16)처럼 에 지 달 계식과 에 지지배방정식을

유도하 다.

< q > = -c 2g

ηωd < e >dx

(2.15)

- 21 -

-c

2g

ηωd 2 <e>

dx2 +ηω< e > = 0 (2.16)

여기서 < e > 는 시간 평균한 에 지 도로서 보의 단 길이당 에 지를

의미하고 ω 는 가진 주 수, η 는 구조 감쇠에 의한 내부손실계수를 가리킨

다. cg 는 진동 에 지 달 속도(energy propagation speed)를 의미하며 일

반 으로 식 (2.15)과 식 (2.16)은 종 뿐만 아니라 단 (shear wave)나 비

틀림 (torsional wave)와 같은 다른 비분산 (non-dispersive wave)에도

용 가능한 식들이다. 식 (2.17)은 보의 진동에 한 비분산 각각에 한 에

지 달 속도이다.

- 종 의 에 지 달 속도 : c gl= [ Eρ ]1/2

(2.17a)

- 단 의 에 지 달 속도 : c gs= [ Gρ ]1/2

(2.17b)

- 비틀림 의 에 지 달 속도 : c gt= [ GJI p ]1/2

(2.17c)

여기서 E는 보의 탄성계수(Young's modulus), G는 단계수(shear

modulus), ρ는 보를 구성하는 매질의 질량 도를 각각 가리킨다. GJ는 비틀

림 강성(torsional stiffness)이고 Ip는 보의 종축에 한 단 길이당 극 성

모멘트(polar moment of inertia)를 의미한다. 식 (2.17)에 기술한 각 동에

한 에 지 달 속도를 식 (2.15)와 식 (2.16)의 cg에 입하면 해당 진동

에 한 에 지 달 계식과 에 지지배방정식이 된다.

한편 보에서 분산 (dispersive wave)인 굽힘 가 작용하는 경우 운동 에

지 도와 치 에 지 도가 공간 으로 같은 상을 가지기 때문에

- 22 -

체 에 지 도는 공간상에서 주기 으로 변하는 특성을 여 히 가지게 된

다. Wohlever와 Bernhard는 체 에 지 도와 인텐시티를 동의 반 장

에 해 공간 평균함으로써 이러한 조화(harmonic) 특성을 제거하고 동의

원거리 역 성분만을 고려하여 식 (2.18)과 식 (2.19)와 같이 보의 굽힘 에

한 에 지 달 계식과 에 지지배장정식을 유도하 다.

< q > f f= -c g f

2

η ω

d < e > f fd x

(2.18)

-cgf

2

ηω

d2< e> ff

dx2 +ηω< e> ff=0 (2.19)

여기서 < > ff 는 굽힘 의 원거리 역 성분을 주기와 장에 해 시간

공간 평균한 것을 의미한다. cgf는 분산 인 보의 굽힘 의 에 지 달

속도로서 상 속도(phase speed)인 cf의 2배이다.

c gf=2c f=2[ ω 2EIρA ]

1/4

(2.20)

여기서 I 는 면 모멘트(are moment of inertia)이고 A 는 보의 단면

(cross section area)을 의미한다. 진동 해석을 간편화하면서 한 응답 모

델을 얻기 해 굽힘 의 원거리 역 성분만을 고려하 는데 Noiseux는 근

장의 범 를 경계로부터 반 장 이내로 두고 원거리 역 성분이 고주

진동 해석에 유용하게 사용될 수 있음을 보 다.

2.6.2. 이차원 역

이차원 역에서의 에 지지배방정식을 유도하기 해 먼서 등방성 매질을

- 23 -

갖는 이차원 구조부재인 얇은 평 에 하여 평면 (plane wave)가 진행하는

경우와 원주 (cylindrical wave)가 진행하는 경우로 분리하여 생각해 볼 수

있다. 기본 인 이차원 구조부재인 얇은 평 에서는 분산 인 굽힘 (flexural

wave)와 비분산 인 종 (longitudinal wave)와 단 (shear wave)가 존재

한다.

Bouthier와 Bernhard는 횡방향으로 진동하는 얇은 평 내의 굽힘 가 평

면 형태로 진행할 경우에 한 에 지 달 계식과 에 지지배방정식을

보에서의 굽힘 와 유사하게 체 에 지 도와 인텐시티를 동의 반 장

에 해 공간 평균함으로써 조화 특성을 제거하고 동의 원거리 역 성분

만을 고려하여 식 (2.21)과 식 (2.22)와 같이 유도하 다.

< q> ff=-cgf

2

ηω ( ∂∂xi+

∂∂yj) < e> ff (2.21)

-cgf

2

ηω ( ∂2

∂x2 +

∂2

∂y2 ) < e> ff+ηω< e> ff=< π in> (2.22)

여기서 < q> ff 는 주기와 장에 해 시간 공간 평균한 굽힘 인텐시티

의 원거리 역 성분으로서 벡터량이다. < e> ff 역시 주기와 장에 해 시

간 공간 평균한 굽힘 의 체 에 지 도의 원거리 역 성분으로서 평

의 단 면 당 에 지이다. cgf 는 평 의 굽힘 에 한 에 지 달 속

도로서 상 속도 c f 의 2배가 된다.

cgf = 2c f = 2[ ω2D

ρh ]1/4

(2.23)

여기서 D 는 평 의 굽힘 강성(bending stiffness)이고 h 는 평 의 두께이

- 24 -

고 ρ 는 평 의 질량 도이다. 한 Bouthier와 Bernhard는 2차원 박막

(membrane) 내의 굽힘 에 해서도 식 (2.21)과 동일한 형태의 에 지 달

계식과 식 (2.22)과 같은 에 지지배방정식을 유도하 다. 얇은 평 의 경

우와 달리 박막 구조물은 근 장에서의 동 성분이 없기 때문에 식 (2.21)과

식 (2.22)에서 사용된 원거리 역 성분이라는 가정이 더 이상 필요하지 않

다. 박막의 굽힘 에 한 에 지 달 속도 cgf 는 상 속도 c f 와 동일하

다.

cgf = c f = [ Tρ s ]1/2

(2.24)

여기서 T 는 박막의 단 길이당 인장(tension)을 의미하고 ρ s 는 박막의

단 면 당 질량을 의미한다.

얇은 평 의 면내 진동 성분인 종 와 단 가 평면 의 형태로 될

때 에 지 달 계와 에 지지배방정식은 각각의 성분으로 분리하여 유도된

다.

< q>=-c g

2

ηω ( ∂∂xi+

∂∂yj) < e> (2.25)

-c g

2

ηω ( ∂2

∂x 2+

∂2

∂y 2 ) < e>+ηω < e>=< π in> (2.26)

평 의 면내 진동에 한 에 지 달 계를 유도하는 과정에서 면내 진동

을 종 와 단 성분으로 분리하기 하여, 평면의 면내 진동에 한 연립

운동방정식을 변 포텐셜(displacement potential)을 이용해서 종 와 면내

단 에 한 동방정식으로 분리하고 시간 평균한 면내 진동의 에 지

- 25 -

도와 인텐시티에 종 와 면내 단 의 동방정식의 변 해를 각각 입한

다음 각 동의 반 장에 해 공간 평균을 취하여 에 지 도와 인텐시티

가 가지는 공간상에서의 주기 인 특성을 제거한다. 이러한 과정을 통해 유

도된 평 의 면내 진동 성분에 한 에 지 달 계식 (2.25)과 에 지지배

방정식 (2.26)에서 에 지 달 속도인 c g 는 평 의 종 와 면내 단 에

한 각각의 동 에 지 달 속도 나타낸다. 평 의 종 와 면내 단 는

비분산 이기 때문에 각 동의 에 지 달 속도 c gl 과 cgs 는 상 속도

c l 과 c s 와 동일하다.

- 종 의 에 지 달 속도 : c gl = c l = [ Kρh ]1/2

(2.25a)

- 면내 단 의 에 지 달 속도 : c gs = c s =[ Gρ ]1/2

(2.25b)

여기서 K 는 평 의 인장 강성(extensional stiffness)이고 G 는 평 의

단 계수(shear modulus)이다.

얇은 평 에 굽힘 , 종 , 단 가 원주 의 형태로 진행할 때의 에 지

달 계와 에 지지배방정식은 식 (2.26)과 같은 형태로 나타난다.

< q>=-c g

2

ηω ( ∂ < e>∂r

+1r

< e>)r (2.26)

-c g

2

ηω ( ∂ 2 < e>

∂r 2+

2r

∂ < e>∂r )+ηω < e>=< π in> (2.27)

여기서 r은 원주 의 심으로부터의 거리를 나타낸다. 앞에서 언 된 평면

- 26 -

의 경우와 마찬가지로 원주 가 진행할 때 굽힘 는 원거리 역 성분만

고려된다. 식 (2.26)에서 보이는 원주 에 의한 에 지 달 계는 식 (2.13)

과 같은 Fourier 법칙을 만족하지 않는다.

무한 평 에 횡방향으로 가진되는 경우 굽힘 가 원주 형태로 발생하

여 무한 역으로 진행하게 되며 원거리 동의 진동 에 지 도는 1/r에

비례한다. 평면 에 한 에 지지배방정식의 해는 1/ r에 비례하는 에 지

도가 감소하는 반면에 원주 에 한 에 지지배방정식의 해는 1/r에 비

례하게 되어 실제 진동 상과 일치한다. 이차원 구조부재에 하여 진동장이

분산장(diffuse field) 형태로 나타나지 않고 직 장(direct field) 특성이 강하

게 나타나는 경우 원주 에 한 해를 사용해야 한다.

한편, 이방성 매질을 갖는 이차원 구조부재의 경우에는 동의 달 특성

이 매질의 방향에 따라 달라지는데, 이러한 특성이 에 지 달 계와 에

지지배방정식에 나타난다. 직교이방성 평 에 하여 평면 가 진행하는 경

우에 굽힘 에 한 에 지 달 계와 에 지지배방정식은 식 (2.28)과 식

(2.29)와 같이 유도된다.

< q>=- ( c2gx

ηω∂∂xi+

c2gyηω

∂∂yj) < e> (2.28)

-(c 2gxηω

∂2

∂x 2+c 2gyηω

∂2

∂y 2 ) < e>+ηω < e>=< π in> (2.29)

여기서 cgx와 cgy는 직교이방성 평 의 x방향의 굽힘강성과 y방향의 굽힘강

성에 의해 결정되는 값으로서 식 (2.30)과 같이 등방성 평 의 굽힘 에 한

에 지 달속도와 유사한 형태로 정의될 수 있다.

c gx= 2[ ω 2D xρh ]

1/4

, c gx= 2[ ω 2D yρh ]

1/4

(2.30a-b)

- 27 -

식 (2.29)은 방향에 따라 도율이 다른 열 도방정식과 유사하게 표 됨을

알 수 있다.

2.6.3. 삼차원 역

등방성 매질로 이루어진 삼차원 구조요소의 진동 상은 동 근법

(wave approach)의 에서 두 가지 종류의 형에 의해 향을 받는 것으

로 생각할 수 있다. 즉, 고체를 구성하는 입자의 회 특성에 의해 발생하는

비압축 (equivoluminal wave)와 압축 팽창 특성에 의해 발생하는 비회

(irrotational wave)로 고체 내의 진동 를 구분할 수 있으며, 각 형에

한 에 지 달 계식과 에 지지배방정식은 평 에서의 유도과정과 유사한

방법을 용하여 공간상에서 주기 인 특성을 갖는 에 지 성분들을 제외함

으로써 다음의 식 (2.31)과 식 (2.32)의 형태로 유도하 다.

< q>=-cg

2

ηω ( ∂∂xi+

∂∂yj+

∂∂zk) < e> (2.31)

-c g

2

ηω ( ∂2

∂x 2+

∂2

∂y 2+

∂2

∂z 2 ) < e>+ηω < e>=< π in> (2.32)

여기서 < q> 와 < e> 는 주기와 장에 해 시간 공간 평균한 음향 인

텐시티와 음향 에 지 도를 의미한다. 삼차원 고체부재에 한 비압축 와

비회 에 해 각 동에 한 에 지 달속도는 식 (2.33)과 같이 얻어진

다.

- 28 -

- 비압축 의 에 지 달속도: cT= [ μρ ]

1/2

(2.33a)

- 비회 의 에 지 달속도: c L= [ λ+2μρ ]

1/2

(2.33b)

여기서 λ와 μ는 Lamé의 탄성상수들이고 ρ는 고체의 도를 가리킨다.

2.7. 요약

본 장에서는 워흐름해석법의 특징과 워흐름해석법의 근간인 에 지

달 계식 에 지지배방정식에 해 간단히 살펴보았다. 일차원, 이차원

삼차원 역에서 등방성 매질의 진동 문제에 해 재까지 개발된 워흐름

모델들은 정상 상태에서의 에 지 평형 법칙에 에 지 손실 계와 각종

형에 따른 에 지 달 계를 입하여 유도되었으며, 열 도 방정식과 유

사한 형태의 2차 편미분 방정식의 형태로 나타난다.

- 29 -

3 . 워흐름유 한요 소법

3.1 워흐름유한요소법

평 요소에 진동 워가 입력되어 정상상태(steady state)가 되었을 경우에

굽힘 와 면내 의 공간-시간 평균된 에 지 도를 변수로 하는 에 지지배

방정식은 식 (3.1)과 같다.

-c 2g m

η ω∇ 2<e> m+η ω < e > m =Π m

(3.1)

여기서 ω는 가진 주 수이고 η 는 구조감쇠에 의한 내부손실계수이며, m은

평 에 존재하는 굽힘 , 종 , 단 하나의 형을 의미한다. em는 m

형의 공간-시간 평균된 에 지 도이며 c gm는 m 형의 에 지 달속도로

서 굽힘 의 에 지 달속도는 굽힘 속도의 2배이고 면내 의 에 지

달속도는 면내 의 속도와 같다. Πm 는 구조물의 단 평 요소에 입력

되는 m 형의 입력 워이다. 한 m 형에 한 공간-시간 평균된 원거리

역의 인텐시티 Im은 식 (3.2)와 같이 에 지 도의 공간 구배 계식으로

표 할 수 있다.

 m = -c 2gm

ηw∇< e > m (3.2)

에 지지배방정식인 식 (3.1)을 유한요소법으로 근사해를 구하기 하여,

가 잔여법(Method of Weighted Residual, MWR)을 용한다. 가 잔여법은

식 (3.3)과 같이 잔여함수에 임의의 가 함수(weight function) ν 를 취하여 요

소의 역에서의 분 값이 0을 만족하는 해를 찾는 방법이다.

- 30 -

⌠⌡DR(x) ν(x) dD =0

(3.3)

여기서 R(x) 은 잔여함수이며 D는 요소 역(element domain)을 의미한다.

에 지지배방정식인 식 (3.1)의 잔여함수를 식 (3.4)과 같이 정의한다.

R(x,y) = -c 2g m

η ω∇ 2<e> m+η ω < e> m -Π m

(3.4)

식 (3.4)을 식 (3.3)에 입하고 발산정리를 이용하면 식 (3.5)을 얻는다.

⌠⌡D { C

2gm

ηω∇< e > m⋅∇ν+ηω < e > m ν} dD-⌠

⌡DΠ m ν dD

-⌠⌡Γ

ν(n⋅ C2gm

ηω∇< e > m) dΓ = 0 (3.5)

여기서 n 은 요소경계 Γ 의 법선벡터(normal vector)이다. 진동에 지 도와

인텐시티의 계를 의미하는 식 (3.2)을 이용하면 식 (3.6)은 다음과 같이 표

된다.

⌠⌡D { C

2gm

ηω∇< e > m⋅∇ν +ηω < e > m ν} dD

=⌠⌡D

Π mν dD+⌠⌡Γ

ν (-n)⋅ m dΓ (3.6)

식에 일반 으로 잘 알려져 있는 갤러킨 법을 이용하여 워흐름유한요

소해석을 수행하기 하여, 식의 변수인 에 지 도 < e > m의 수치 인

근사해를 다음 식 (3.7)과 같이 유한개의 기지함수의 합으로 표 한다.

- 31 -

<e> m= ∑n

j= 1e m jφ j (3.7)

여기서 e mj 는 노드 에서의 미정된 m 형의 에 지 도이고 φ는 라그랑제

다항식(Lagrange interpolation function)이며 j는 기지함수의 수이다. 한

가 함수는 식 (3.8)과 같이 근사해의 기지함수로 표 한다.

ν=∑n

i=1φ i (3.8)

식 (3.6)에 식 (3.7)과 식 (3.8)을 입하여 갤러킨 근사식(Galerkin

approximation)을 구하면 식 (3.9)과 같이 된다.

∑n

j=1{⌠⌡D (C

2gm

ηω∇φ i ∇φ j+ηωφ iφ j )dD }e j

= ⌠⌡D

Π m φ i dD+⌠⌡Γ

φ i (-n)⋅ m dΓ (3.9)

식 (3.9)을 요소행렬(element matrix) 형태로 표 하면 식 (3.10)과 같다.

[K ( e )m ]{e

( e)m }= {F

( e )m }+{Q

( e)m } (3.10)

여기서 식의 각 항들은 식 (3.11)과 같다.

K( e)m ij=

⌠⌡D ( c

2gm

ηω∇φ i∇φ j+ηωφ iφ j )dD (3.11)

- 32 -

F ( e )m i=

⌠⌡D

Π m φ i dD (3.12)

Q( e )m i=

⌠⌡Γ

c2gm

ηωφ i (-n)⋅∇e dΓ (3.13)

식 (3.11) K ( e)m ij

는 강성행렬과 질량행렬 항을 포함하고 있는 계수행렬이며,

식 (3.12) F(e)mi

는 입력 워를 의미한다. 식 (3.13) Q ( e)m i

는 워흐름을 나타

내며 (-n) 에서 알 수 있듯이 요소경계의 안쪽으로 들어오는 값을 양으로 한

다. 식 (3.10)을 조립하여 세 가지 형 굽힘 와 종 와 단 를 고려한

체행렬(global matrix)을 구하면 다음 식 (3.14)과 같다.

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳

KfK lK s {

e fe le s }= {

FfF lF s }+{

QfQ lQ s } (3.14)

여기서 첨자 f , l , s는 각각 굽힘 , 종 , 단 를 의미한다. 식 (3.14)은

노드에서의 에 지 도 e를 변수로 하는 행렬식이며 K항과 F항은 주어지

거나 계산 가능한 항이다. 하지만 Q항에는 e항이 미분된 형태를 포함되어

있어 이를 해결하기 해, m 형에 한 Q항을 개하면 식 (3.15)와 같다.

{Q m} = {⋯, Q (k)m , Q (k+1)

m , ⋯}T (3.15)

여기서 Q ( k)m

과 Q ( k+1)m

은 각각 k와 k+1 번 요소의 각 요소경계에 한

워흐름벡터를 의미한다. Q항을 계산하는 과정에서 요소가 연결된 특성에 따

라 2가지 경우로 나뉘는데, 첫 번째는 동일한 특성을 갖는 두 요소가 인 한

경우이며 두 번째는 다른 특성을 갖는 두 요소가 인 한 경우이다. 자의

경우 그 경계 에 있는 노드에서는 에 지 도가 같고, 하나의 요소에서 그

- 33 -

경계를 통하여 흐르는 워흐름과 다른 요소에서 그 경계를 통하여 흐르는

워흐름은 크기가 같고 부호만 다른 값을 갖는다. 따라서 체행렬을 조립

할 때 동일한 특성을 갖는 요소가 인 한 경계 의 노드들은 합치게 된다.

다른 특성을 갖는 두 요소가 인 한 경우에서는 에 지 도가 다르기 때문에

체행렬을 조립할 때 해당 경계의 노드를 합칠 수 없다. 이때에는 두 구조

요소에 연결요소를 삽입하여 두 구조요소를 연결하는데 일반 으로 해당 경

계 의 노드의 에 지 도와 워흐름과의 계를 식 (3.16)과 같이 행렬식

으로 표 가능하다.

{QfQ lQ s } = [ J ] {

e fe le s } (3.16)

여기서 [J ]는 연결요소행렬(joint element matrix)이며 이에 한 설명은 다

음 장에서 자세히 기술한다. 식 (3.16)을 식 (3.14)에 입하면 식 (3.17)과 같

은 행렬식이 된다.

[ K- J ]{e}= {F} (3.17)

식 (3.17)은 노드에서의 에 지 도를 변수로 하는 3자유도 선형문제로서 역

행렬을 이용하여 각각의 형에 한 에 지 도를 구할 수 있다. 한 각

형에 한 인텐시티는 식 (3.17)을 식 (3.2)에 입하여 다음 식 (3.18)과 같

이 표 된다.

 m = -c 2gm

ηw ∑n

j= 1e m j ∇ φ j

(3.18)

- 34 -

3.2 연결요소행렬식

다른 재질의 두 개의 평 이 동일 평면으로 연성되거나 두개 이상의 평

이 임의의 각으로 연성되어 있는 경우에 하여 평 이 연성된 부분을 연결

부분(joint)이라 한다. 이러한 구조물의 연결부분에서 동의 특성이 변

화하여 동변환이 발생하며, 이로 인하여 에 지 도가 불연속이 되고 형

도 변화한다. 이러한 구조물에 워흐름유한요소해석을 용하려면, 구조요소

가 서로 하고 있는 경계 에 있는 노드들로 구성되는 연결요소를 이용한

다. 연결요소에서 연결요소행렬식은 에 지 도와 워흐름간의 계를 나타

내는데 다음과 같이 유도된다.

n개의 구조요소가 연성된 경우에 구조요소 i에서 연결부분을 통하여 안쪽

과 바깥쪽으로 달되는 굽힘 의 진동 워흐름을 각각 q+if , q-if로 표기한다.

마찬가지로 종 와 단 의 진동 워흐름을 첨자 l와 s를 이용하여 q+il ,

q-il , q+is , q-is 로 표기한다. 그림 3-22는 두개의 구조요소가 연결요소로 연결된

형태를 나타내는데 1번 구조요소와 2번 구조요소에서 각각의 형에 한 진

동 워흐름의 방향이 연결부분의 안쪽으로 향할 때 양의 부호가 되도록 표

한다. 경계의 안쪽과 바깥쪽을 달되는 워흐름을 굽힘 , 종 , 단 순

으로 나열된 열벡터를 다음 식들과 같이 3n×1 행렬로 정의한다.

{q+}= { q+1f ⋯ q+nf q

+1l ⋯ q+nl q

+1s ⋯ q+ns }

T (3.19)

{q-}= { q

-1f ⋯ q

-nf q

-1l ⋯ q

-nl q

-1s ⋯ q

-ns }

T (3.20)

같은 방식으로 경계의 안쪽과 바깥쪽으로 달되는 에 지 도도 의 식

들과 유사하게 표 된다.

- 35 -

{e+}= { e+1f ⋯ e+nf e

+1l ⋯ e+nl e

+1s ⋯ e+ns }

T (3.21)

{e-}= { e

-1f ⋯ e

-nf e

-1l ⋯ e

-nl e

-1s ⋯ e

-ns }

T (3.22)

이 연결부분에서 발생하는 동변환를 고려하기 하여 워투과계수

(power transmission coefficient)와 워반사계수(power reflection

coefficient)들로 구성되는 워계수행렬 [P]을 이용하는데 이 워계수행렬은

연결부분의 안쪽과 바깥쪽으로 흐르는 워흐름의 계를 식 (3.23)과 같이

나타낸다.

{q+} = [P] {q-} (3.23)

여기서 워계수행렬 [P]는 i요소에서 입사하는 m 형의 워와 j요소로 투

과되는 n 형의 워비인 워투과계수 τ mnij 와 워반사계수 γ mnij 들이 식

(3.24)과 같이 구성되어 있으며 3n×3n 의 크기를 갖는다.

[P]={ γ ff11 τ ff21 … τ ffn1 γ lf11 τ lf21 … τ lfn1 γ sf11 τ sf21 … τ sfn1τ ff12 γ ff22 … τ ffn2 τ lf12 γ lf22 … τ lfn2 τ sf12 γ sf22 … τ sfn2⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮τ ff1n τ ff2n … γ ffnn τ lf1n τ lf2n … γ lfnn τ sf1n τ sf2n … γ sfnn

γ fl11 τ fl21 … τ fln1 γ ll11 τ ll21 … τ lln1 γ sl11 τ sl21 … τ sln1τ fl12 γ fl22 … τ fln2 τ ll12 γ ll22 … τ lln2 τ sl12 γ sl22 … τ sln2⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮τ fl1n τ fl2n … γ flnn τ ll1n τ ll2n … γ llnn τ sl1n τ sl2n … γ slnn

γ fs11 τ fs21 … τ fsn1 γ ls11 τ ls21 … τ lsn1 γ ss11 τ ss21 … τ ssn1τ fs12 γ fs22 … τ fsn2 τ ls12 γ ls22 … τ lsn2 τ ss12 γ ss22 … τ ssn2⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮τ fs1n τ fs2n … γ fsnn τ ls1n τ ls2n … γ lsnn τ ss1n τ ss2n … γ ssnn

}

(3.24)

형상이 복잡한 복합 평 구조물에서 동 달법을 이용하여 워투과계수

- 36 -

와 반사계수를 계산하고자 한다. 무한평 n개가 연성된 경우에 하여

동 달법을 용하여 분산장(diffuse field)으로 고려하기 해 모든 입사각에

하여 평균된 값을 사용한다. 한편 각 구조요소에서 연결요소로 흐르는

워흐름과 진동에 지 도는 식 (3.25)을 만족한다.

{q}= {q+}-{q-} (3.25)

{e}= {e+}+{e-} (3.26)

한 에 지 달 계로 다음과 같은 행렬식을 얻을 수 있다.

{q+}=[C]{e+} (3.27)

{q-}=[C]{e-} (3.28)

여기서 행렬 [C] 는 식 (3.29)과 같은 에 지 달속도로 구성된 각행렬이다.

[C]=

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Cgf1⋱CgfnCgl1

⋱CglnCgs1

⋱Cgsn

(3.29)

연결부분의 워흐름과 에 지 도와의 계를 구하기 하여 에서 구한

식들에 하여 다음과 같은 과정을 거친다. 식 (3.23)을 식 (3.25)에 입하여

연결부분으로 흐르는 워흐름과 연결부분을 통해 나가는 워흐름간의 계

- 37 -

를 구한다.

{q}= [P- I ]{q-} (3.30)

식 (3.27)과 식 (3.28)을 식 (3.26)에 입하여 에 지 도와 연결부분을 통

해 들어오고 나가는 워흐름간의 계를 구한다.

[C] {e}= {q+}+{q-} (3.31)

식 (3.23)을 식 (3.31)에 입하여 연결부분으로 흐르는 에 지 도와 연결

부분을 통해 나가는 워흐름간의 계를 구한다.

[C ]{e}= [P+ I ]{q-} (3.32)

식 (3.30)과 식 (3.32)에서 연결부분을 통해 나가는 워흐름 [q-]을 소거하

면, 식 (3.33)과 같이 연결요소에서의 워흐름과 에 지 도와의 계를 구

하게 된다.

{q }=[P-I ][C] [P+I ] -1{e } (3.33)

따라서 굽힘 와 종 와 단 를 모두 고려한 n개의 구조요소에 하여

연결요소행렬식 [J ]은 식 (3.34)와 같다.

[J]=[P-I][C][P+I]-1 (3.34)

- 38 -

3.3 요약

본 장에서는 2장에서 소개한 워흐름해석법에 유한요소법을 목한 워

흐름유한요소법에 해 간단히 살펴보았다. 기존의 유한요소법과 달리 워

흐름유한요소법에서는 인 한 경계면에서의 에 지의 불연속을 해결하기

하여 연결 요소를 새롭게 생성하고 연결 요소에서 에 지 도와 워흐름과

의 계를 통해 불연속을 해결한다.

- 39 -

Structuralelement #1

← →q

+1 f

q-1 f

q+1 l

q-1 l

q +1 s

q -1 s

Jointelement

e 1 f e 2 f

e 1 l e 2 l

e 1 s e 2 s

Structural element #2

← →q

-2 f

q+2 f

q+2 l

q-2 l

q +2 s

q -2 s

Fig. 3.1 연결 요소도

- 40 -

4 . 실 내 소음해석을 한 워흐름경 계 요 소법 정 립

4.1. 도입

본 장에서는 실내 공간에서의 소음 해석을 해 사용되는 워흐름해석법

의 에 지지배방정식을 살펴보고, 유도된 에 지지배방정식을 경계요소법에

목하여 개발된 워흐름경계요소법(Power Flow Boundary Element

Method, PFBEM)에 한 살펴본다. 워흐름경계요소법을 복잡한 형상 구조

물의 고주 소음 해석에 용하기 한 기반 연구로서 워흐름경계요소

법의 직 인 기법(direct PFBEM)과 간 인 기법(indirect PFBEM)에

한 경계 분식을 정립하고, 각각의 경계 분식을 이산화(discretization) 하

여 선형방정식을 유도한다.

4.2. 실내소음해석을 한 워흐름해석법

본 에서는 실내 공간에서의 소음해석을 한 워흐름해석법의 에 지

달 계식과 에 지지배방정식을 유도한다.

4.2.1. 에 지지배방정식의 유도

워흐름해석 모델을 개발하기 해 정상상태(steady-state)의 실내 공간은

공간을 이루는 경계와 공간 내의 매질(medium)에서 에 지 손실이 발생한다

고 가정하면, 음향 공간에서 음압에 한 지배방정식은 식 (4.1)과 같다.

( 1 + τ∂∂ t )△ 2

p =1

c 2∂ 2p

∂ t 2 (4.1)

- 41 -

여기서 p는 음압을 의미하고, c는 매질에서 음 의 속도를 가리키며 τ는 완

화시간(relaxation time)을 나타낸다. 어떤 평형상태에 있는 음향 공간에 외부

로부터 자극을 주거나 갑작스러운 음압의 변화가 발생하면 음향공간이 이러

한 변화에 즉시 응하지 못하고 평형상태를 이룰 때까지의 시간지연이 발생

하는데 이를 완화시간이라고 한다.

만약 음압이 주 수가 ω인 조화운동(harmonic motion)을 한다면 식 (4.2)

와 같은 형태로 표 된다.

p(x,y,z,t )= P(x,y,z)e jωt (4.2)

이때 동방정식은 식 (4.3)과 같이 변형된 헬름홀쯔 방정식(Helmoltz

equation)의 형태로 간단히 나타낼 수 있다.

(▽2+k2)P=0 (4.3)

여기서 k는 수(wavenumber)를 나타내며, 식 (4.4)와 같이 복소수의 형태를

갖는다.

k=ωc ( 1- j η

2 ) (4.4)

실내 음향 공간에서 음압에 한 지배방정식은 복소수 수 k와 음향 매질

에서의 감쇠계수(loss factor) η의 항으로 표 된다. 여기서 η는 식 (4.5)와

같다.

η=ωτ (4.5)

- 42 -

3차원 실내 음향 공간에서 수 k는 식 (4.6)과 같이 3가지 요소로 분리할

수 있다.

k 2= k 2x+ k2y+ k

2z

(4.6)

여기서 수의 각 요소는 식 (4.7)과 같이 표 할 수 있다.

k x= k x0( 1- j η2 ) , k y= k y0( 1- j η

2 ) , k z= k z0( 1- j η2 ) (4.7a-c)

ω2

c 2 = k 2x0+ k2y0+ k

2z0

(4.8)

한편, 직교좌표계(Cartesian coordinate system)에서 헬름홀쯔 방정식 (4.3)

의 일반해를 다음과 같이 평면 의 형태로 가정하면, 실내 음향 공간에서의

에 지지배방정식을 유도하는 과정에서 유용하게 사용된다.

P=(Axe-j kxx+Bxe

jkxx)⋅(Aye-j kyy+Bye

jkyy)⋅(Aze-j kzz+Bze

jkzz) (4.9)

정상상태의 실내 음향 공간은 잔향(reverberation) 특성이 강한 음향 환경에

속한다. 이러한 환경에서 실내의 벽이나 천장은 무수히 많은 반사 를 만들

어내기 때문에 실내 음향 공간을 분산장으로 가정하는 것이 가능하며, 분산

장에서 음 를 평면 의 형태로 가정하는 것은 타당하다. 따라서 실내 소음

해석을 한 평면 를 가정하는 것은 에 지지배방정식 유도에 큰 문제가 되

지 않는다.

음향 매질에서 시간 평균된 에 지 도는 운동에 지(kinetic energy)와

치에 지(potential energy)의 합으로 식 (4.10)과 같이 표 할 수 있다.

- 43 -

<e> =14 (ρV⋅V *+

1

ρc 2 PP*) (4.10)

여기서 V는 매질의 입자 속도(particle velocity) 벡터이고 식 (4.11)과 같이

선형화된 운동량 방정식(linearized momentum equation)으로부터 구하여진다.

V=jωρ

△P (4.11)

한 시간 평균된 음향 인텐시티의 각 방향 성분은 식 (4.12)와 같다.

<Ix>=12Re(PV*

x), <Iy>=12Re(PV*

y), <Iz>=12Re(PV*

z) (4.12a-c)

여기서 첨자 * 는 공액 복소수 (complex conjugate)를 의미하며, 아래첨자

는 인텐시티와 입자 속도의 각 방향 성분을 나타낸다. 인텐시티는 단 면

당 워의 차원을 갖는다.

실내 음향 공간에서 인텐시티는 군속도(group velocity)와 에 지 도를

서로 곱한 양과 다르다. 음향 에 지와 인텐시티와의 계를 유도하기 해

식 (4.9)에서의 음압과 식 (4.11)의 입자속도를 에 지 도에 한 식 (4.10)

에 입하여 정리하고, 마찬가지로 음향 인텐시티를 나타내는 식 (4.12a-c)에

음압과 입자 속도를 입하여 간단히 표 하면 음향 에 지 도와 인텐시티

의 각 항들은 순수하게 지수 함수 으로 감소하거나 증가하는 항들과 공간

으로 주기 인 특성을 보이는 항들로 구성되어 있다. 이 식들로부터는 체

에 지 도와 인텐시티의 각 방향 성분과의 계를 찾기가 어렵다. 따라서

시간 평균한 체 에 지 도와 인텐시티를 한 장에 하여 공간 평균을

취한다.

- 44 -

< e> =k x0k y0k z0

8π3

⌠⌡

x+π/k x0

x-π/k x0

⌠⌡

y+π/k y0

y-π/k y0

⌠⌡

z+π/k z0

z-π/k z0<e>d zd yd x (4.13)

 =k x0k y0k z0

8π3

⌠⌡

x+π/k x0

x-π/k x0

⌠⌡

y+π/k y0

y-π/k y0

⌠⌡

z+π/k z0

z-π/k z0dzdydx (4.14)

여기서 < e>와 는 각각 시간 공간 평균된 체 음향 에 지 도와

인텐시티이다. 식 (4.13)과 식 (4.14)에서와 같이 공간 평균을 취하면 에 지

도와 각 방향의 인텐시티 성분에서 공간 으로 주기 인 특성을 보이는 항

들이 모두 제거되고, 지수 함수 으로 감소하거나 증가하는 항들만 남게 된

다. 식 (4.13)의 결과로 얻어지는 음향 에 지 도는 식 (4.15)로 표 된다.

<e>= 14 {

1

ρω2 ( |k2x|+|k2y|+|k2z|)+

1

ρc2 } ×{ |Ax| 2|Ay|2|Az| 2e

-η(kx0x+ky0y+kz0z)+|Ax|2|Ay|

2|Bz|2e

-η(kx0x+ky0y-kz0z)

+|Ax|2|By|

2|Az|2e

-η(kx0x-ky0y+kz0z)+|Bx|2|Ay|

2|Az|2e

η(kx0x-ky0y-kz0z)

+|Ax|2|By|

2|Bz|2e

-η(kx0x-ky0y-kz0z)+|Bx|2|Ay|

2|Bz|2e

η(kx0x-ky0y+kz0z)

+|Bx|2|By|

2|Az|2e

η(kx0x+ky0y-kz0z)+|Bx|2|By|

2|Bz|2e

η(kx0x+ky0y+kz0z)} (4.15)

한 식 (4.14)의 시간 공간 평균된 음향 인텐시티의 각 방향 성분들은 식

(4.16)과 같다.

< Ix>=12 (kx

ρω2 ) ×{ |Ax| 2|Ay|2|Az| 2e

-η(kx0x+ky0y+kz0z)-|Ax|2|Ay|

2|Bz|2e

-η(kx0x+ky0y-kz0z)

+|Ax|2|By|

2|Az|2e

-η(kx0x-ky0y+kz0z)-|Bx|2|Ay|

2|Az|2e

η(kx0x-ky0y-kz0z)

- 45 -

+|Ax|2|By|

2|Bz|2e

-η(kx0x-ky0y-kz0z)-|Bx|2|Ay|

2|Bz|2e

η(kx0x-ky0y+kz0z)

+|Bx|2|By|

2|Az|2e

η(kx0x+ky0y-kz0z)-|Bx|2|By|

2|Bz|2e


< Iy>=12 (ky

ρω2 ) ×{ |Ax|2|Ay| 2|Az|2e


2|Bz|2e

-η(kx0x+ky0y-kz0z)

-|Ax|2|By|

2|Az|2e

-η(kx0x-ky0y+kz0z)-|Bx|2|Ay|

2|Az|2e

η(kx0x-ky0y-kz0z)

+|Ax|2|By|

2|Bz|2e

-η(kx0x-ky0y-kz0z)+|Bx|2|Ay|

2|Bz|2e

η(kx0x-ky0y+kz0z)

-|Bx|2|By|

2|Az|2e


2|Bz|2e


< Iz>=12 (kz

ρω2 ) ×{ |Ax| 2|Ay|2|Az| 2e


2|Bz|2e

-η(kx0x+ky0y-kz0z)

+|Ax|2|By|

2|Az|2e

-η(kx0x-ky0y+kz0z)+|Bx|2|Ay|

2|Az|2e

η(kx0x-ky0y-kz0z)

-|Ax|2|By|

2|Bz|2e

-η(kx0x-ky0y-kz0z)-|Bx|2|Ay|

2|Bz|2e

η(kx0x-ky0y+kz0z)

-|Bx|2|By|

2|Az|2e


2|Bz|2e


만약 식 (4.15)로 표 된 에 음향 에 지 도에 한 표 식을 변수 x에

해 한번 미분하여 식 (4.16)과 비교하면 식 (4.19)와 같은 계를 얻을 수

있다.

=-c 2

ηω∂< e>∂x

(4.19)

동일한 방법으로 식 (4.15)를 변수 y와 z에 해 각각 한번 미분한 식들을

식 (4.17)과 식 (4.18)의 항들과 비교하면 식 (4.20과 식 (4.210과 같은 계를

- 46 -

얻을 수 있다.

=-c 2

ηω∂< e>∂y

(4.20)

=-c 2

ηω∂< e>∂z

(4.21)

결국 식 (4.19)와 식 (4.20), 그리고 식 (4.21)을 통합하면 식 (4.22)와 같이 음

향 인텐시티와 체 에 지 도의 계를 벡터 형태로 표 할 수 있다.

=-c 2

ηω ( ∂∂xi+

∂∂yj+

∂∂zk)< e> (4.22)

실내 음향 공간에 한 에 지 달 계식은 등방성 매질의 진동에 한 에

지 달 계식과 마찬가지로 시간 공간 평균한 음향 인틴시티가 체

음향 에 지 도의 구배(gradient)에 비례한다.

외부 음원(sound source)에 의해 음향 매질로 입력되는 워는 매질의 감

쇠에 의한 손실 워와 인 한 매질로 달되는 워의 합으로 나타낼 수 있

다. 정상상태를 가정하면 음향 매질에서 에 지 평형 법칙을 표 하는 식

(2.6)은 본 장에서 다루고 있는 실내 음향 공간의 소음 문제에서도 여 히 타

당하다.

▽⋅I+πdiss=π in (4.23)

한편, 감쇠에 의한 손실 워를 나타내는 π diss와 체 음향 에 지 도와

의 계를 고려하여야 한다. 식 (2.9)과 같은 형태의 에 지 손실 계식을

용하기 해서는 운동 에 지와 치 에 지가 동일해야 하는데 시간

- 47 -

공간 평균된 체 음향 에 지 도에 한 표 식(식 (4.15))을 구하는 과정

에서 알 수 있듯이 시간 공간 평균된 운동 에 지 도와 치 에 지

도는 서로 동일함을 알 수 있다. 따라서 식 (4.24)과 같이 에 지 손실 계

를 고려할 수 있다.

< π diss > = ηω < e > (4.24)

결국 에 지 평형 법칙을 나타내는 식 (4.23)에 에 지 달 계식인 식

(4.22)과 에 지 손실 계식인 식 (4.24)을 용하면 체 음향 에 지 도

를 기본 변수로 하는 2차 편미분 방정식을 식 (4.25)와 같이 유도할 수 있다.

-c

2

ηω ( ∂2

∂x 2 +∂

2

∂y 2 +∂

2

∂z 2 )< e>+ηω< e> = < π in> (4.25)

실내 음향공간에서의 에 지지배방정식 (4.25)은 감쇠계수나 군속도(group

speed)의 정의만 다를 뿐 1차원 보 구조물이나 2차원 평 구조물의 에 지

지배방정식과 동일한 형태를 취한다. 식 (4.25)는 식 (4.9)의 형태로 해를 가

정하 기 때문에 평면 (plane wave)에 해서만 타당하고, 이는 분산장을

가정하는 것에 의해 실내 소음 해석에 해서 식 (4.25)은 유효하다.

4.3. 에 지지배방정식의 변형

실내 음향공간을 포함한 등방성 매질에 해 용되는 워흐름해석법의

에 지지배방정식과 에 지 달 계식은 식 (4.25)와 식 (4.22)와 같고, 이

식들을 간단한 형태로 표 하다면 각각 식 (4.26)과 식 (4.27)의 형태로 표

된다.

- 48 -

-cg

2

ηω▽ 2 e + η ω e = π in (4.26)

I = -c g

2

ηω▽ e (4.27)

여기서 e는 등방성 매질로 이루어진 실내 음향 공간에 한 시간 공간

평균된 체 음향 에 지 도이고 I는 시간 공간 평균된 음향 인텐시티

를 의미한다. cg는 동의 에 지 달 속도이고 η는 매질의 내부손실계수

이며 ω는 가진 주 수를 가리킨다. π in는 외부 음원이나 하 에 의한 입력

(input power)이다. 식 (4.26)과 식 (4.27)을 경계요소법에 용하기 에

약간의 수정을 통해 다음과 같이 식 (4.28)과 식 (4.29)의 표 형태로 각각

변형하는 것이 편리하다.

▽ 2 e - k 2 e = π in (4.28)

I = ▽ e (4.29)

여기서 k는 양의 실수로서 본 논문에서 k = ( ηω/ cg)로 정의하면 에 지

지배방정식인 식 (4.26)로부터 변형된 식 (4.28)은 일반 으로 헬름홀쯔 변형

방정식(modified Helmholtz equation)으로 알려져 있다. 식 (4.26)과 식 (4.28)

을 비교해 보면, 입력 워 π in는 π in = -(c2g/ηω) π in가 되고 식 (4.27)와

식 (4.29)의 비교를 통해 인텐시티 I는 I = -(c2g/ηω) I이 된다. 한편 변형

된 에 지 달 계식인 식 (4.29)으로부터 에 지 도 e는 I의 포텐셜 함

수(potential function)가 됨을 알 수 있다.

이후로 본 장에서는 의 변형된 에 지지배방정식과 에 지 달 계식

- 49 -

인 식 (4.28)과 식 (4.29)로부터 워흐름경계요소법에 필요한 경계 분식을

정립한다.

4.4. 가 잔여 표 식(weighted residual statement)

일반 으로 경계요소법에서 사용되는 식은 가역성의 원리(reciprocity

principle)의 결과로서 표 되기도 하지만 가 잔여 기법의 해로서 해석되기

도 한다. 가 잔여 기법은 고 인 변분법에 비해 용 범 가 더욱 일반

인 것으로 간주되고 있다. 변분법이나 유한차분법(finite difference method)

그리고 유한요소법 각종 분 형태의 기법들은 가 잔여 기법의 특수한

들로서 여겨질 수 있다. 본 연구에서는 워흐름경계요소법에 필요한 경계

분식을 가 잔여 기법을 용하여 정립한다.

수치 근사 기법을 용하는 목 은 해당 지배방정식과 경계 조건을 산술

식(algebraic equation)의 단일 체계로 통합하는 것이다. 이는 해당 연속체

(continuum)를 수많은 요소로 분할하고 이들에 해 근사 함수 혹은 가 함

수(weight function)를 가정함으로써 이루어진다.

워흐름경계요소법의 경계 분식을 유도하기 해 Helmholtz 변형 방정

식의 형태로 표 되는 식 (4.28)에서 입력 워에 해당하는 우변항을

π in = 0이라 가정하면 식 (4.30)과 같이 표 된다.

▽ 2 e o - k 2 e o = 0 in Ω (4.30)

여기서 eo는 식 (4.30)의 엄 해(exact solution)이고, Ω는 해석하고자 하는

심 역을 의미한다. 에 지 도와 인텐시티에 한 경계 조건은 식

(4.31)과 식 (4.32)와 같이 표 할 수 있다.

- 50 -

e o = e on Γ1 (4.31)

I o =∂e o∂n

= I on Γ2 (4.32)

여기서 Γ1과 Γ2

는 심 역을 둘러싼 경계의 일부분을 나타내고 체 경

계 Γ는 Γ = Γ1 + Γ2로 표 된다. 한, e와 I는 각 경계에서의 경계값을

의미한다.

식 (4.30)의 엄 해 eo는 극히 일부의 단순한 문제에서만 정확히 구해질

수 있으며 심 역과 경계조건이 복잡해지면 근사 인 기법을 이용하여 구

한다. 만약 eo의 근사값으로서 e을 가정하면 변형된 에 지지배방정식인

식 (4.30)과 에 지 도의 경계 조건인 식 (4.31) 그리고 인텐시티에 한 경

계 조건인 식 (4.32)은 다음과 같은 오차(error)를 발생시킨다.

ε = ▽ 2 e - k 2 e≠ 0 in Ω (4.33)

ε1 = e - e≠ 0 on Γ1 (4.34)

ε 2 = I - I≠ 0 on Γ2 (4.35)

여기서 I = ∂e/ ∂n이고 ε, ε 1, ε 2는 각 식에 한 오차를 나타내는 함수들

이다.

한편, 해석하고자 하는 심 역과 해당 경계에서의 오차를 최소화해야

하는데 이를 해 오차 함수를 심 역에 해 분포시킬 수 있다. 이 오차

함수를 분포시키는 방법에 따라서 여러 종류의 가 잔여 기법(weighted

residual technique)으로 나뉜다. 오차 함수는 다음과 같이 가 함수 w를 사

- 51 -

용하여 심 역에 해 분포시킬 수 있다.

⌠⌡Ω

ε w d Ω = ⌠⌡Γ2

ε2w d Γ - ⌠⌡Γ1

ε1∂w∂n

d Γ (4.36)

식 (4.36)에 식 (4.33-35)을 입하면 식 (4.36)은 식 (4.37)과 같이 표 할 수

있다.

⌠⌡Ω

(▽2e - k

2e ) w d Ω = ⌠

⌡ Γ 2

( I - I ) w d Γ - ⌠⌡ Γ 1

(e - e )∂w∂n

d Γ

(4.37)

한편, Green의 제 1 항등 원리(Green's first identity)와 제 2 항등 원리

(second identity)는 각각 다음과 같이 식 (4.38)과 식 (4.39)으로 나타낼 수

있다.

⌠⌡Ω

{w▽ 2 e + (▽w)⋅(▽e)} dΩ = ⌠⌡Γ

(w ▽e)⋅ n dΓ (4.38)

⌠⌡Ω

(w▽ 2 e - e▽ 2w ) dΩ = ⌠⌡Γ

(w ▽e - e▽w )⋅ n d Γ (4.39)

이때 식 (4.37)를 부분 분(integration-by-parts)하거나 식 (6.38)으로 표

되는 Green의 제 1 항등 원리를 용하고 식 (4.29)의 변형된 에 지 달

계식을 이용하면 식 (4.40)와 같은 분식을 얻을 수 있다.

- 52 -

⌠⌡Ω

{ (▽e)⋅(▽w) + k2ew } d Ω

= ⌠⌡Γ2

qw dΓ+ ⌠⌡Γ1

qw dΓ-⌠⌡Γ1

e∂w∂n

dΓ+⌠⌡Γ1

e∂w∂n

dΓ (4.40)

식 (4.40)는 근사 함수의 1차 편도함수(partial derivative)만이 연속 이어야

한다는 조건만 만족하면 되기 때문에 이 식은 분식 (4.37)에 비해 조건이

약화된 형태(weak form)이며 유한요소법과 같은 역 기반의 기법(domain

method)에서 주로 사용된다. 이때 식 (4.40)를 한번 더 부분 분하거나 식

(4.37)에 식 (4.39)로 표 되는 Green의 제 2 항등 원리를 용하면 다음과 같

은 식 (4.41)을 얻을 수 있다.

⌠⌡Ωe (▽ 2w - k 2w) d Ω

= -⌠⌡Γ2

qw dΓ- ⌠⌡Γ1

q w dΓ+⌠⌡Γ2

e∂w∂n

dΓ+ ⌠⌡Γ1

e∂w∂n

dΓ (4.41)

여기서 식 (4.41)은 일반 으로 식 (4.37)의 역 변환형(inverse form)이라고 하

며 워흐름경계요소법에 한 경계 분식은 식 (4.41)을 기반으로 한다. 다

음 에서는 워흐름경계요소법의 가 함수로 사용되는 기본해

(fundamental solution)를 유도한다.

4.5. 기본해(fundamental solution)의 유도

일반 으로 가 잔여 기법에서 사용되는 가 함수 w를 어떠한 형태로 가

정하느냐에 따라 다양한 수치해석 기법으로 나뉘게 된다. 경계요소법에서 사

용되는 가 함수는 일반 으로 지배방 식의 기본해를 사용하게 된다. 워

흐름경계요소법의 에 지지배방정식의 기본해를 유도하는 과정은 다음과 같

- 53 -

다.

식 (4.41)에 용된 가 함수 w를 Green 함수 G 라고 정의하고 G 가 다

음의 식 (4.42)을 만족한다고 설정한다.

▽ 2G - k 2G = δ ( x- ξ ) (4.42)

여기서 δ(x-ξ ) 는 Dirac delta 함수이고 ξ 는 음원의 치(source point)

이고 x 는 찰 (field point)을 의미한다. 이때 만약 식 (4.42)이 무한한 크

기의 역에 용될 경우 G를 변형된 에 지지배방정식인 식 (4.28)의 기본

해라고 하는데 이는 음원의 치와 찰 사이의 거리 r = |x-ξ| 의 함수

로 표 할 수 있다. 본 에서는 1차원 2차원 그리고 3차원 역에 해

식 (4.42)에 한 기본해를 유도한다.

4.5.1. 1차원 역 문제에 한 기본해

식 (4.42)을 무한한 크기의 1차원 역에 해 다시 표 하면 식 (4.43)과

같다.

d2G

dr 2- k 2G = δ(r ) (4.43)

식 (4.43)의 우변은 Dirac delta 함수의 정의에 의해 r≠0 인 경우에 식

(4.44)와 같이 나타낼 수 있다.

d2G

dr2 - k 2G = 0 for r≠ 0 (4.44)

- 54 -

이때 식 (4.44)의 일반해를 식 (4.45)와 같이 가정할 수 있다.

G = C 1 exp(-kr) + C 2 exp(kr) (4.45)

여기서 C1과 C2

는 각 항의 미지수 상수를 의미한다. 한편, 식 (4.45)은 무한

역에 해서 Sommerfeld의 방사 조건(Sommerfeld radiation condition)을

만족해야 하므로, 거리 r이 증가하면 할수록 Green 함수 G 는 0으로 수렴해

야 한다. 그러기 해서는 C 2= 0 이어야 한다. 한 식 (4.43)에 포함된

Dirac delta 함수의 성질에 의해 식 (4.46)이 만족되어야 한다.

1 = limr→0

⌠⌡Ω

d 2G

dr 2- k 2G dΩ

= limr→0 (2

dGdr

- k 2⌠⌡ΩG dΩ)

= limr→0

(-2 kC 1e- kr

) - limr→0

( 2C 1r e- kr

)

= -2 kC 1 - 0 (4.46)

식 (4.46)으로부터 C 1 = -1/2k임을 알 수 있다. 따라서 무한한 크기의 1차원

역에 한 식 (4.28)의 기본해는 식 (4.47)과 같이 최종 으로 얻을 수 있

다.

G = -12k

exp (-k r ) (4.47)


2차원 무한 역에 한 식 (4.28)의 기본해를 유도하기 해 식 (4.42)을

- 55 -

극좌표(polar coordinates)를 활용하여 표 하면 소스 과 찰 의 거리 r 이

r≠0인 경우에 해 식 (4.48)과 같이 나타낼 수 있다.

d2G

dr2 +

1r

dGdr

-k2G=0 for r≠0 (4.48)

이때 식 (4.48)의 양변에 r2 을 곱하면 0차 Bessel 변형 방정식(0th order

modified Bessel equation)이 된다. 따라서 식 (4.48)의 일반해는 식 (4.49)와

같이 구할 수 있다.

G=D 1I 0(kr ) +D 2K 0(kr ) (4.49)

식 (4.49)에 포함된 I 0(kr) 과 K 0(kr) 은 각각 1종(first kind)과 2종(second

kind)의 0차 Bessel 변형 함수(0th order modified Bessel function)를 가리킨

다. D1 과 D2

는 각 항의 미지수 상수이다.

일반 으로 p 차 Bessel 변형 함수의 1종과 2종인 I p(x)과 Kp(x)은 충분

히 작은 x 에 해 식 (4.50)과 같은 근사 표 이 가능하다.

I p(x) ∼1

2pp!

(x) p (p≠n) (4.50a)

I- p(x) ∼2 p

(-p)!(x)

- p(p≠n) (4.50b)

Kp(x) ∼ 2 p- 1(p-1)!(x)- p (p≠0) (4.51a)

K 0(x) ∼ - log (x) (4.51b)

- 56 -

여기서 p 는 양수이고 n 은 0 혹은 양의 정수이다. 그리고 기호 ∼ 으로 연결

된 두 값의 비는 x이 0에 가까워지면 1이 된다.

한편 충분히 큰 x (x→∞)에 해 I p(x)과 Kp(x)은 다음과 같이 근사 으

로 표 할 수 있다.

I p(x) ∼e x

2π x (4.52)

Kp(x) ∼π2 xe- x (4.53)

한편 Sommerfeld 방사 조건에 의해 거리 r이 r→∞ 이면 일반해 G→ 0

이어야 하므로, 식 (4.53)으로부터 식 (4.49)의 미지수 D1은 D 1 = 0이어야 한

다. 한, Dirac delta 함수의 성질로부터 다음 식이 만족되어야 한다.

1 = limr→0(

⌠⌡Ω

▽2G - k

2G dΩ )

= limr→0(

⌠⌡

2π

0

∂G∂rr dθ - k

2⌠⌡ΩG dΩ )

= limr→0(-2πD 2 )- lim

r→0(πD 2 (kr)

2 log (kr) )

= -2 πD 2 - 0 (4.54)

식 (4.54)으로부터 미지수 상수D2 는 D 2 = -1/2π임을 알 수 있다. 따라서 2

차원 무한 역에 한 식 (4.28)의 기본해는 최종 으로 식 (4.55)와 같이 표

된다.

- 57 -

G= -12πK 0(kr) (4.55)


3차원 역에 해 식 (4.42)을 구좌표(spherical coordinates)로 표 하면

r≠0일 때 식 (4.56)과 같이 나타낼 수 있다.

d2G

dr 2 +2rdGdr

-k2G=0 for r≠0 (4.56)

여기서 식 (4.56)에 한 일반해는 식 (4.57)과 같이 표 된다.

G=E 1e-kr

r+E 2

e kr

r (4.57)

이때 Sommerfeld 방사 조건에 의해 소스 과 찰 사이의 거리 r이

r→∞이면 G→ 0이어야 하므로 미지수 상수 E2 는 E 2=0 이다. 한편

Dirac delta 함수의 성질에 의해 식 (4.58)이 만족되어야 한다.

1 = limr→0(

⌠⌡Ω

▽ 2G - k 2G dΩ )

= limr→0(

⌠⌡

2π

0

⌠⌡

2π

0

∂G∂rr 2 dθ dφ - k 2⌠⌡Ω

G dΩ )

= limr→0

(-4πE 1 ( 1+ kr)e- kr

)- limr→0(

4π3E 1 (kr)

2e- kr ) = -4 πE 1 - 0 (4.58)

- 58 -

식 (4.58)으로부터 미지수 상수 E1은 E 1 = -1/4π임을 알 수 있다. 따라서 3

차원 역에 한 식 (4.58)의 기본해는 식 (4.59)와 같이 최종 으로 얻을 수

있다.

G = -1

4π rexp ( - k r ) (4.59)

4.6. 직 인 기법(direct PFBEM)에 한 경계 분식의 정립

본 에서는 워흐름경계요소법의 직 인 기법에 한 경계 분식을

정립한다. 식 (4.41)으로 표 되는 식 (4.37)의 역 변환형에 한 가 함수로

서 앞서 유도한 기본해를 용하면 직 인 기법에 한 경계 분식을 얻

을 수 있다.

4.6.1. 1차원 역 문제에 한 경계 분식

식 (4.41)은 임의의 공간 차원을 가지는 역에 한 일반 인 경계 분식

으로서 이를 길이가 L 인 1차원 역에 한 문제로 축소하고 가 함수로

서 1차원 무한 역에 한 Green 함수를 용한다. 한편 1차원 역 문제에

한 워흐름해석법의 경계 조건은 주로 워의 투과 반사에 한 것이

므로 경계는 Γ2 형이 지배 ( Γ=Γ 2

)이라 가정하고 역 내부에 입력 워가

존재한다면 경계 분식은 식 (4.60)과 같이 표 할 수 있다.

⌠⌡

L

0e(x) (▽ 2G - k 2G) d x

= [e(x) d Gd x

- I( x) G]L

0+ ⌠

⌡

L

0π in (z) G d z (4.60)

이때 식 (4.42)의 ξ가 역 내부에 존재한다고 가정하고 식 (4.42)을 식 (4.60)

- 59 -

에 용하면 Dirac delta 함수의 성질에 의해 에 지 도에 한 경계 분

식을 식 (4.61)과 같이 얻을 수 있다.

e( ξ ) = [e(x) ∂G∂ x

- I( x) G]L

0+ ⌠

⌡

L

0π in (z) G d z (4.61)

여기서 ξ 는 역 내부의 찰 이고 x 는 경계 상의 소스 을 의미한다. z

는 역 내부에 존재하는 입력 워의 치를 가리킨다. 이때 식 (4.47)의 거

리 r은 r=|x-ξ|이다. 엄 히 얘기하면 식 (4.61)은 경계 분이 존재하지 않

기 때문에 경계 분식이라고 할 수는 없다. 한편, 식 (4.29)을 활용하면 변형

된 인텐시티 I 는 식 (4.61)으로 표 되는 에 지 도를 ξ 에 해 미분함

으로써 식 (4.62)와 같이 얻을 수 있다.

I( ξ ) = [e(x) ∂2G

∂x∂ξ- I( x)

∂G∂ξ ]

L

0+ ⌠

⌡

L

0π in (z)

∂G∂ξ

d z (4.62)

여기서 π∈과 I 는 식 (4.28)과 식 (4.29)에서 보듯이 변형된 입력 워와 인텐

시티이다.


식 (4.17)에 포함된 가 함수 w에 2차원 역 문제에 해 유도한 식

(4.28)의 기본해인 G를 용하고, Ω는 2차원 심 역이고 Γ는 심 역

을 둘러싼 경계선이라고 가정한다. 만약 심 역 내부에 입력 워가 존재

한다면 2차원 역 문제에 한 경계 분식은 식 (4.63)과 같이 표 될 수

있다.

- 60 -

⌠⌡Ωe( x) (∇ 2G- k 2G)d Ω( x) - ⌠

⌡Ωπ in ( z)GdΩ( z)

= ⌠⌡Γ 2

e( x)∂G

∂n( x)- I( x)GdΓ( x)+⌠

⌡Γ 1

e( x)∂G

∂n( x)- I( x)GdΓ( x) (4.63)

여기서 편의상 식 (4.63)의 우변에 있는 경계 분을 다음과 같이 통합하고

식 (4.42)로부터 ξ 가 심 역 내부에 존재한다고 할 때 식 (4.63)은 식

(4.64)와 같이 표 할 수 있다.

e( ξ) - ⌠⌡Γe(x)

∂G

∂n(x)d Γ( x)

= -⌠⌡ΓI( x) G d Γ( x) + ⌠

⌡Ωπ in ( z)G d Ω( z) (4.64)

이때 ξ는 심 역 내부의 찰 이고 x는 경계 상의 소스 을 의미한다.

z는 심 역 내부에 존재하는 입력 워의 치를 가리킨다. 이때 식

(4.55)의 거리 r은 r=| x-ξ|이다. 한편, e는 경계 Γ1 상에서는 e의 값을 가지

고 I는 경계 Γ2 상에서 I의 값을 가진다.

만약 ξ이 경계선으로 근하면 식 (4.64)의 좌변에 있는 경계 분항은 ξ

와 일치하게 되는 경계선 상의 을 심으로 하는 특이 분을 포함하게 된

다. 따라서 이 분항을 식 (4.65)와 같이 두 개의 분항으로 분리한다.

⌠⌡Γe

∂G∂n

d Γ = ⌠⌡Γ ε

e∂G∂n

d Γ + ⌠⌡Γ- Γε

e∂G∂n

d Γ (4.65)

만약 심 역의 경계가 완만한(smooth) 곡선을 이룬다면 그림 4.1와 같이

Γε은 경계 을 심으로 반지름이 충분히 작은 ε의 값을 가지는 반원이 되고

경계 Γ-Γ ε는 체 경계 Γ에서 반원 Γε

을 제외한 경계를 가리킨다. 식

(4.65)에 있는 우변의 첫 번째 경계 분항은 식 (4.66)과 같다.

- 61 -

⌠⌡Γ ε

e∂G∂n

dΓ=⌠⌡

π

0e∂G∂ε

εdθ≈⌠⌡

π

0e

∂∂ε ( 1

2πlog(kε))ε d θ = ⌠

⌡

π

0

12πed θ (4.66)

여기서 반지름 ε이 ε→ 0이면 e→e( ξ)이므로 식 (4.66)에 극한을 취하면 식

(4.67)과 같은 결과를 얻는다.

limε → 0 (

⌠⌡

π

0

12πe dθ) = lim

ε → 0(12e( ξ)) =

12e( ξ) (4.67)

한편 ε→ 0이므로 Γ-Γ ε에 해당하는 경계 분을 Γ에 한 경계 분으로

체할 수 있다. 따라서 이들을 다 고려하면 식 (4.64)은 완만한 경계선 상의

한 에 해 다음과 같은 경계 분식으로 표 될 수 있다.

12e( ξ) - ⌠

⌡Γe(x)

∂G

∂n(x)d Γ(x)

= -⌠⌡ΓI( x) G d Γ(x) + ⌠

⌡Ωπ in ( z)G d Ω(z) (4.68)

일반 으로 모서리(corner)와 같이 완만하지 않은 경계선 상의 에 해서는

식 (4.68)의 첫 번째 항의 계수가 1/2과 다른 값을 가질 수 있다. 이들을 일반

으로 고려하면 다음과 같이 계수 c( ξ)를 사용하여 표 할 수 있다.

c(ξ)e( ξ) - ⌠⌡Γe(x)

∂G∂n

d Γ(x)

= -⌠⌡ΓI( x) G d Γ(x) + ⌠

⌡Ωπ in ( z)G d Ω(z) (4.69)

여기서 c( ξ) = α/2π 로서 α 는 ξ 에서의 내각(internal angle)을 의미한다.

- 62 -

식 (4.69)를 통해 2차원 역에 한 에 지 도와 인텐시티의 경계선 상에

서의 분포를 구하고 난 다음 심 역 내부에서의 결과는 식 (4.64)를 통해

서 얻을 수 있다.


2차원 역 문제와 유사한 과정을 통해 3차원 역 문제에 한 워흐름

경계요소법의 경계 분식을 정립할 수 있다. 먼 , V 는 3차원 심 역이

고 S 는 심 역을 둘러싼 경계면이라고 가정한다. 심 역 내부에 입력

워가 존재한다면 경계 분식은 식 (4.70)과 같이 표 될 수 있다.

⌠⌡Ve( x ) (▽ 2G-k 2G) d V( x )-⌠

⌡Vπ in ( z )G d V( z )

= ⌠⌡S 2

e( x )∂G∂n

- I( x )G d S( x )+⌠⌡S 1

e( x )∂G∂n

- I ( x )G d S( x ) (4.70)

편의상 식 (4.70)의 우변에 있는 경계 S1과 S2에 한 분을 다음과 같이

체 경계면 S로 합하고 식 (4.42)로부터 ξ가 심 역 내부에 존재한다고 할

때 식 (4.70)은 식 (4.71)과 같이 표 할 수 있다.

e( ξ) - ⌠⌡Se(x)

∂G

∂n(x)d S(x)

= -⌠⌡SI( x) G d S(x) + ⌠

⌡Vπ in ( z)G d V(z) (4.71)

이때 ξ는 3차원 심 역 내부의 찰 이고 x는 경계면 상의 소스 을 의

미한다. z는 3차원 심 역 내부에 존재하는 입력 워의 치를 가리킨다.

이때 식 (4.59)의 거리 r은 r=| x-ξ|이다. 여기서 e는 경계면 S1 상에서 e의

- 63 -

값을 가지고 I는 경계면 S2 상에서 I의 값을 가진다. 2차원 역 문제와 마

찬가지로 만약 ξ이 경계면으로 근하면 식 (4.71)의 좌변에 있는 경계 분

항은 ξ와 일치하게 되는 경계면 상의 을 심으로 하는 특이 분을 포함

하게 된다. 따라서 이 분항을 식 (4.72)와 같이 분리한다.

⌠⌡Se

∂G∂n

d S = ⌠⌡S ε

e∂G∂n

d S + ⌠⌡S- S ε

e∂G∂n

d S (4.72)

여기서 심 역의 경계가 완만한(smooth) 곡면이라면 그림 4.2에서 보듯이

경계면 Sε은 경계 ξ을 심으로 반지름이 충분히 작은 ε 의 값을 가지는

반구가 되고 경계면 S-S ε는 체 경계면 S에서 경계면 Sε을 제외한 부분을

가리킨다. 식 (4.72)의 우변에 있는 첫 번째 경계 분항은 식 (4.73)과 같다.

⌠⌡Sε

e∂G∂n

d S = ⌠⌡S ε

e∂G∂ε

dS

= ⌠⌡S ε

e1

4πε 2 ( 1+kε) exp (- kε) d S (4.73)

여기서 반지름 ε이 ε→ 0이면 e→e( ξ)가 되고 경계면 Sε의 면 이 2πε 2 이

므로 식 (4.73)에 극한을 취하면 다음의 결과를 얻는다.

limε→0 (⌠⌡S ε

e1

4πε 2 (1+kε)e-kεdS)=lim

ε→0 (12(1+kε)e-kεe( ξ))= 1

2e( ξ) (4.74)

한편, ε→ 0이므로 경계면 S-S ε에 한 경계 분항은 체 경계면 S에

한 경계 분으로 체할 수 있다. 따라서 이들을 다 고려하면 식 (4.71)은

완만한 경계면 상의 한 에 해 식 (4.75)와 같은 경계 분식으로 표 된

다.

- 64 -

12e( ξ) - ⌠

⌡Se(x)

∂G

∂n(x)d S(x)

= -⌠⌡SI( x) G d S(x) + ⌠

⌡Vπ in ( z)G d V(z) (4.75)

일반 으로 모서리와 같이 완만하지 않은 경계면 상의 에 해서는 식

(4.75)의 첫 번째 항 계수가 1/2과 다른 값을 가질 수 있다. 이들을 일반 으

로 고려하면 계수 c( ξ)를 사용하여 식 (4.76)과 같이 표 할 수 있다.

c( ξ)e( ξ) - ⌠⌡Se(x)

∂G

∂n(x)d S(x)

= -⌠⌡SI( x) G d S(x) + ⌠

⌡Vπ in ( z)G d V(z) (4.76)

여기서 c( ξ) = β/4π로 나타내며, β는 ξ에서의 내각(internal solid angle)을

의미한다. 식 (4.76)을 통하여 3차원 역에 한 에 지 도와 인텐시티의

경계면 상의 분포를 구하고 난 다음 심 역 내부에서의 값을 식 (4.71)을

통해서 얻는다.

지 까지 워흐름경계요소법의 직 인 기법에 한 경계 분식을 살펴

보았다. 다음 에서는 간 인 기법에 한 경계 분식을 정립한다.

4.7. 간 인 기법(indirect PFBEM)에 한 경계 분식 정립

본 에서는 워흐름경계요소법의 간 인 기법에 한 경계 분식을

정립한다. 경계요소법의 간 인 기법에서는 해석하고자 하는 유한한 크기

의 실제 시스템을 무한 역 내에 끼워 넣고 무한 역과 시스템 사이의 경계

- 65 -

에 가상 소스(fictitious source)가 분포한다고 가정한다.


간 인 기법의 개념을 길이가 L인 1차원 역 문제에 용하면 심

역에서의 에 지 도와 변형된 인텐시티는 각각 식 (4.77)와 식 (4.78)으로

표 될 수 있다.

e(x)=Φ(0)G( |x-0|)+ π in (z)G( |x-z|)+Φ(L)G( |x-L|) (4.77)

I (x)=Φ(0)dG( |x-0|)

dx+ π in

dG( |x-z|)dx

+Φ(L)dG( |x-L|)

dx (4.78)

여기서 기본해 G는 1차원 역에 한 식 (4.47)과 같은 형태이며 x는 심

역의 찰 을 의미하고 z는 입력 워의 치를 의미한다. 그리고 Φ(0)와

Φ(L)는 경계에서의 가상 소스의 크기를 의미한다.

만약 경계 조건으로 에 지 도가 주어지면 식 (4.77)을 이용하고 인텐시

티가 경계조건으로 주어지면 식 (4.78)을 이용하여 경계에서 가상 소스의 크

기인 Φ(0)과 Φ(L)을 먼 계산하고 이들을 다시 식 (4.77)과 식 (4.78)에

입하면 심 역 내부에서의 에 지 도와 인텐시티의 분포를 얻을 수 있

다.


1차원 역 문제와 같이 유한한 크기의 실제 2차원 시스템을 무한 역에

끼워 넣고 무한 역과의 경계선 상에 가상 소스가 분포해 있다고 가정하면

에 지 도와 인텐시티의 경계선에 한 수직 방향 성분은 식 (4. 79)와 같

이 표 할 수 있다.

- 66 -

e(x) = ⌠⌡ΓG(|x- ξ|) φ(ξ) dΓ(ξ) +⌠

⌡ΩG(|x- z|) π in ( z) dΩ( z) (4.79)

I n ( x) =⌠⌡Γ

∂G( |x- ξ|)

∂n(ξ)φ(ξ) dΓ(ξ) +⌠

⌡Ω

∂G( |x- z|)

∂n(z)π in ( z) dΩ( z) (4.80)


역의 찰 을 가리키고 ξ는 경계에서의 가상 소스의 치를 의미한다. z

는 입력 워의 치를 가리키고 φ( ξ)는 경계선 상에서의 가상 소스를 의미

한다. 1차원 역 문제와 마찬가지로 경계 조건의 성질에 따라 식 (4.79)와

식 (4.80)를 이용하여 경계에서 가상 소스의 크기 Φ( ξ)를 구할 수 있는데 이

때 특이 분의 향을 고려해주어야 한다. 얻어진 결과를 이용하여 심

역 내부의 에 지 도는 식 (4.79)으로부터 얻어질 수 있다.


3차원 역 문제에 한 간 인 기법 역시 유한한 크기의 실제 시스템을

무한 역으로 확장하고 경계면 상에 가상 소스가 분포되어 있다고 가정한

다. 에 지 도와 인텐시티의 경계면에 한 수직 방향 성분은 식 (4.81)과

식 (4.82)와 같이 표 된다.

e(x) = ⌠⌡SG(|x-ξ|) φ(ξ) dS(ξ)+⌠

⌡VG(|x- z|) π in ( z) dV(z) (4.81)

qn ( x) =⌠⌡S

∂G( |x- ξ|)

∂n( ξ)φ(ξ) dS(ξ) +⌠

⌡V

∂G( |x- z|)

∂n(z)π in ( z) dV(z) (4.82)

- 67 -


역의 찰 을 가리키고 ξ는 경계에서의 가상 소스의 치를 의미한다. z

는 입력 워의 치를 가리키고 φ( ξ)는 경계면 상에서의 가상 소스의 크기

를 의미한다. 경계에서의 가상 소스 φ( ξ)는 경계 조건의 성질에 따라 식

(4.81)과 식 (4.82)을 이용하여 구할 수 있는데 이때 분시 특이 분에 한

향을 고려해줘야 한다. 구해진 값을 이용하면 심 역내의 에 지 도는

식 (4.81)으로부터 얻어질 수 있다.

- 68 -

4.8. 워흐름경계 분방정식의 이산화

1차원 역에서는 일반 으로 경계가 2개의 으로 구성되어 있기 때문

에 식 (4.61), 식 (4.62), 식 (4.77) 그리고 식 (4.78) 에서 볼 수 있듯이 경계를

분하는 항이 존재하지 않기 때문에 경계의 이산화 과정이 필요없다. 그러

나 만약 심 역 내부에 음원이나 하 이 분포되어 존재하는 경우에는 심

역을 이산화하는 과정이 추가되어야 한다. 한편 2차원 3차원 역에

한 워흐름경계 분식들은 경계에 한 분항들을 포함하고 있다. 만약 2

차원이나 3차원에 한 경계 분식 (4.69), (4.76), (4.79) 그리고 (4.81)의 경계

분 항들을 완벽하게 실제 구조물의 경계에 해서 분할 수 있고, 다양한

경계조건들에 해서 음향에 지 도 e나 인텐시티 I n혹은 가상음원의 크기

φ를 구할 수 있다면, 그때의 경계 분방정식들의 해는 정확하게 구해질 수

있다. 그러나 실제 문제에서 구조물의 경계 분을 정확하게 수행하는 것은

불가능하기 때문에 어느 정도의 오차를 가지고 실제 구조물의 경계를 이산화

하고 이산화된 각각의 경계에 해서 분을 수행하게 된다. 한 1차원 문

제와 마찬가지로 2차원이나 3차원 역에 한 문제에서도 심 역 내부에

음원이나 하 이 다양하게 분포되어 있다면 심 역의 이산화와 역에

한 분이 이루어져야 한다.

4.8.1. 경계의 이산화((discretization of boundary)

실제 구조물의 경계면 S를 근사화하기 해 경계를 표 하는 각각의 요소

(element)들을 △Sj (여기서 j=1, 2, ⋯, N)라 놓고, S= ∑N

j=1△Sj 라고

정의하면, S는 실제 경계면 S를 N개의 요소들로 근사화하여 나타낸 이산

- 69 -

화 경계(discretized boundary)를 의미한다(즉 S≈S). 그림 4.3은 실제 구조

물의 경계면 S와 N개의 요소들로 이산화된 경계면 S을 나타낸 그림이다.

이러한 방법으로 경계를 표 하는 것은 앞의 들에서 유도된 워흐름경계

분식의 각 분항들을 이산화하기 한 첫 번째 단계이다. 모든 요소들은

유사한 형태를 가지고 있기 때문에 각각의 요소에 한 분은 일반화시킬

수 있다. 한 유사한 특성을 가지는 요소로 경계를 모델링하면 자료구조

(data structure)를 사용하여 경계를 정의하기가 매우 쉬워진다. 경계면을 자

료구조로 표 하기 해서는 각 (mesh point)들의 좌표값과 각 요소들을

이루는 들의 번호가 있어야 한다.

앞에서 유도된 워흐름경계 분식을 이용하여 음향문제를 해결할 경우에

수치 인 오차의 일부분은 실제 구조물의 경계면을 이산화하는 과정

(discretization process)에서 발생한다. 따라서 경계면의 모델링이 잘 이루어

지면 수치 인 오차의 많은 부분을 일 수 있다. 그러나 그림 4.3b와 같이

실제 경계면 S과 이산화 경계면 S이 서로 일치하여 경계면을 이산화하는

과정에서 수치 이 오차가 사라지는 경우도 있다. 주어진 경계면을 기하학

으로 잘 모델링하기 해서는 미리 이산화되어 선정된 들(collocation

points)을 기 으로 하여 의 좌표을 아래와 같이 한 형상함수(shape

function)로써 근사화 시킨다.

xi (ξ) =Nα(ξ) x iα (4.83)

여기서 아래 첨자 α는 각 요소에 한 을 의미하고, N α(ξ)는 국부좌표

ξ = (ξ 1 ,ξ 2)에서의 형상함수를 나타낸다. 본 논문에서는 균일요소(constant

element)와 선형요소(linesr element)를 이용하여 경계면을 모델링 하고 경제

- 70 -

분식을 이산화하 다.

4.8.2. 2차원 역 문제에서 워흐름 경계 분식의 이산화

4.8.2.1. 균일요소(constant elements)

균일요소는 그림 4.4에서 보듯이 경계 분식 내의 에 지 도나 인텐시티,

가상음원의 크기 등과 같은 주요 변수들이 각 요소의 내부에서 항상 일정하

게 균일한 값을 갖는 요소를 말한다. 2차원 워흐름경계요소법에서 i번째

경계요소 상의 음향에 지 도 e( ξ i )는 직 인 기법에 한 식 (4.68)으로

부터 식 (4.84)와 같이 이산화할 수 있다.

12e( ξ i )- ∑

N

j=1e( x j )

⌠⌡Γ jF( x j, ξ i )dΓ j=

-∑N

j=1In ( xj)

⌠⌡Γj

G( xj, ξi)dΓj+∑M

k=1π in( zk)

⌠⌡Ωk

G( zk, ξi)dΩk (4.84)

여기서 F( xj, ξi)=∂G(| xj- ξi|)

∂n( ξi)이고, ξi는 i 번째 경계요소 상의 의 좌표

를 나타내는 치벡터를 의미하며 Γj는 j 번째 경계요소를 나타낸다. zk는

심 역 내의 k 번째 내부요소(internal cell)의 의 좌표를 나타내고 Ωk

는 k 번째 심 역 요소를 표 한다. 심 역 Ω와 경계 Γ는 각각 M개의

내부요소와 N개의 경계요소에 의해서 근사화 되었다. 한편 간 인 기법에

의한 2차원 워흐름경계요소법의 i번째 경계요소 상의 음향에 지 도

- 71 -

e( xi)와 인텐시티 In( xi)는 식 (4.85)와 식 (4.86)과 같이 표 할 수 있다.

e( xi)=∑N

j=1φ( ξj)

⌠⌡Γj

G( xi, ξj)dΓj+∑M

k=1π in( zk)

⌠⌡Ωk

G( xi, zk)dΩk (4.85)

In ( xi)=-12φ( xi)+∑

N

j=1φ( ξj)

⌠⌡Γj

F( xi, ξj)dΓj+∑M

k=1π in( zk)

⌠⌡Ωk

F( xi, zk)dΩk (4.86)

여기서 x i는 i 번째 경계요소 상의 의 좌표를 나타내는 치벡터를 의

미한다.

한편 식 (4.84)나 식 (4.85), 식 (4.86)과 같이 이산화된 분방정식은 행렬

의 형태(matrix form)로 다시 쓸 수 있다. 워흐름경계요소법에서 사용되는

직 인 기법의 음향에 지 도에 한 식 (4.84)을 행렬식의 형태로 표 하

면 식 (4.87)과 같다.

12ei-∑

N

j=1ej Fij=-∑

N

j=1Inj Gij+∑

M

k=1π ink Hik

(4.87)

여기서 식 (4.87)의 각 항들은 식 (4.88)과 같이 쓸 수 있다.

Fij=⌠⌡ΓjF( xj, ξi)dΓj (4.88a)

Gij=⌠⌡ΓjG( xj, ξi)dΓj (4.88b)

- 72 -

Hij=⌠⌡ΩkG( xk, ξi)dΩk (4.88c)

한 식 (4.87)의 좌변에서 특이 분(singular integral)으로 발생하는 첫 번

째 항을 좌변의 두 번째 항과 합하여 간단히 표 하면 식 (4.89)와 같다.

∑N

j=1Fij ej=∑

N

j=1Gij Inj-∑

N

k=1Hik π ink

(4.89)

여기서 Fij는 식 (4.90)과 같이 정의할 수 있다.

Fij= Fij for i≠ j (4.90a)

Fij= Fij-12

for i= j (4.90b)

최종 으로 행렬식의 형태로 식 (4.89)를 표 하면 아래와 같이 표 된다.

FE = GI +HΠ (4.91)

한편 식 (4.91)을 계산하는 과정에서 특이 분값들이 두개의 핵심행렬 F

와 G의 각계수(diagonal coefficients)에서 발생하게 되고 이러한 특이 분

값을 계산하는 것이 워흐름경계요소법에서 매우 요한 부분을 차지하게

된다. 우선 핵심행렬 F의 특이 분요소인 각계수 Fii를 구하는 과정을 살

펴보자. 식 (4.90b)에서처럼 이론 인 방법에 의해서 균일요소는 항상 1/2의

- 73 -

값을 갖고 F ii는 보통의 분을 수행하여 핵심행렬 F의 특이 분요소를

계산하는 방법이 있다. 이 경우에 F ii의 수치 분을 어떻게 수행하느냐에

따라 결과값에 상당한 향을 미친다. 핵심행렬 F의 각계수 Fii를 구하는

다른 방법으로, 만약 해석 시스템의 심 역 내에 음원에 의한 입력 워가

없고, 해석 모델의 체 심 역에 해서 음향에 지 도가 균일하다고 가

정함으로써 에 지 도의 공간 인 변화율에 비례하는 음향인텐시티(즉,

I n∝ ∂e / ∂n)는 물리 으로 0이 되어야 한다는 성질을 이용할 수 있다. 이와

같은 가정 하에서 식 (4.91)의 행렬식은 식 (4.92)와 같이 간단하게 표 할 수

있다.

F E I = 0 (4.92)

여기서 행렬 E I는 모든 행렬요소가 1로 구성된 행렬이다. 이때 식 (4.92)에

서 핵심행렬 F의 특이 분값으로 구성된 각행렬요소 Fii는 비 각계수

(off-diagonal coefficients)을 이용하여 식 (4.93)과 같이 쉽게 계산할 수 있다.

Fii=- ∑N

j=1i≠j

F ij for i=1,2,⋯,N (4.93)

두 개의 핵심행렬(kernel matrix) 에서 핵심행렬 F의 각계수 Fii는

강한 특이 분(strong singular integral)을 포함하고 있기 때문에 해석 인

방법으로 각계수 Fii의 값을 구하기는 매우 어렵다. 그러나 핵심행렬 G의

각계수 Gii는 약한 특이 분(weak singular integral)을 포함하고 있으며

- 74 -

해석 인 방법으로 특이 분값을 구하는 것이 가능하다. 특이 분값으로 구

성된 각계수 Gii를 구하는 과정을 살펴보면 다음과 같다. 식 (4.88b)와 식

(4.55) 로부터 Gii는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

G ii=⌠⌡Γ iG( x i, ξ i)dΓ i=-⌠

⌡Γ i

12πK 0(kr)dΓ i

(4.94)

식 (4.94)를 해석 으로 분하기 해 그림 4.5와 같은 주요소(master

element)를 이용하고 거리 r을 r = L iξ / 2라고 놓으면 식 (4.94)는 식

(4.95)와 같이 표 할 수 있다.

Gii=-Li2π

⌠⌡

1

0K 0(k

L i2

ξ)dξ (4.95)

한편, 2차원 역에서 워흐름해석법의 기본해(fundamental solution)인 식

(4.55)의 2종(second kind)의 0차 Bessel 변형 함수 K 0(x)는 식 (4.96)과 같은

근사식으로 표 가능하다.

K 0(x) ≈ -{ ln ( x2 )+γ } I 0(x) + ( x2

22 +

32x 4

26 +

116

x 6

266

2 )

= -γ I 0(x) +x 2

2 2 +32x 4

2 6 +116

x 6

2 6 6 2 - ln ( x2 ) I 0(x) (4.96)

여기서 I 0(x)는 1종의 0차 Bessel 변형 함수를 의미하고, γ는 오일러 상수

(Euler's constant)로 γ= 0.5772156649...이다. 식 (4.96)에서 맨 마지막 항을

- 75 -

제외한 우변의 모든 항은 분 가능하면 특이 분이 존재하지 않는다. 따라서 특

이 분이 존재하는 우변의 맨 마지막 항만을 따로 분리하고 다항식으로 근사화

시키면 식 (4.97)과 같이 쓸 수 있다.

- ln ( x2 ) I 0(x) ≈ -(1+ x2

2 2 +x4

2 6 +x6

2 6 6 2 ) ln ( x2 )

=-(1+a 2ξ 2+a 4ξ 4

4+a 6ξ 6

62 ) ln (aξ ) (4.97)

여기서 x/2= a ξ 이다. 식 (4.97)을 이용하여 특이 분항만을 계산하면 식

(4.98)과 같다.

G ii sin g.=-⌠⌡

1

0 ( 1+a 2ξ 2+a

4ξ

4

4+a

6ξ

6

6 2 ) ln (aξ )dξ

=-{lna-1+a 2

3 ( lna- 13 )+ a

4

20 ( lna- 15 )+ a 6

252 ( lna-17 )} (4.98)

여기서 상수 a는 a= k L i /4이다. 한편 식 (4.96)의 분 가능한 항들은 해

석 으로 분하거나 수치 인 방법을 이용하여 쉽게 계산할 수 있다.

Gii reg.=⌠⌡

1

0-γ I 0(2aξ)+a

2ξ

2+

3a4ξ

4

8+

11a6ξ

6

216dξ (4.99)

따라서 특이 분 값으로 구성된 각계수 Gii는 식 (4.100)과 같이 표 할

수 있다.

- 76 -

G ii=-L i2π

(G ii reg.+G ii sing.) (4.100)

4.8.2.2. 선형요소(linear elements)

선형요소는 워흐름경계 분식 내의 에 지 도나 인텐시티, 가상음원의

크기 등과 같은 주요 변수들이 각 요소의 내부에서 선형 인 변화를 가지는

요소를 말한다. 이 요소는 그림 4.6에서 보는 바와 같이 요소의 양 끝단에서

의 함수 값을 통해 경계 요소의 내부에서 주요 변수들의 변화를 선형 으로

표 한다. 일반 으로 선형 요소를 사용하면 경계의 변화가 완만한 부드러운

곡선을 그리지 않기 때문에 일반 인 형태의 워흐름 경계 분방정식인 식

(4.69)를 이산화하여 사용하게 된다. 2차원 워흐름경계요소법에서 i번째

(node)에서의 음향에 지 도 e( ξ i )는 직 인 기법에 해서 식 (4.101)

과 같이 이산화할 수 있다.

c( ξ i ) e( ξ i )- ∑N

j=1

⌠⌡Γ je( x j )F( x j, ξ i )dΓ j=

- ∑N

j=1

⌠⌡Γ jI n ( x j )G( x j, ξ i )dΓ j+ ∑

M

k=1

⌠⌡Ω k

π in( z k )G( z k, ξ i )dΩ k (4.101)

여기서 c( ξ i ) = α i/ 2π 로서 정의하고, α i 는 경계 상의 i번째 ξ i에

서의 내각(internal angle)을 의미하며 그림 4.7과 같다.

- 77 -

c( ξ i )= 0 for ξ i ∉ Ω

1 for ξ i ∈ Ω

1/2 for ξ i ∈ Γ (smooth boundary)

α i /2π for ξ i ∈ Γ (corner node) (4.102)

식 (4.101)이 식 (4.84)과 다른 은 우선 경계가 완만한 곡선을 이루지 않기

때문에 각각의 에서 내각의 크기에 따라 달라지는 변수 c( ξ i )가 도입되

었다는 것이다. 한 식 (4.101)에서 에 지 도나 인텐시티, 가상음원의 크기

등의 주요 변수들은 각 요소에 한 경계 분 안에 들어가 있고 요소 내부의

선형 인 변화에 따라 경계 분이 이루어진다. 간 인 기법에 한 이산화

도 비슷한 방법에 의해 다음의 식 (4.103)과 식 (4.104)와 같이 얻을 수 있다.

e( x i)=∑N

j=1

⌠⌡Γ j

φ( ξ j)G( x i, ξ j)dΓ j+∑M

k=1

⌠⌡Ω k

π ∈( z k)G( x i,z k)dΩ k (4.103)

I n( x i)=-c( x i)φ( x i)+∑N

j=1

⌠⌡Γ j

φ( ξ j)F( x i,ξ j)dΓ j

+∑M

k=1

⌠⌡Ω k

π ∈( z k)F( x i,z k)dΩ k (4.104)

한편, 경계요소 내부에서의 선형 인 변화를 경계요소의 양 끝단의 값으로

표 하기 해 워흐름경계요소법의 주요 변수인 에 지 도와 인텐시티에

내삽함수(interpolation function) 흑은 형상함수(shape function)를 도입하면

식 (4.105)과 식 (4.106)과 같이 표 할 수 있다.

- 78 -

e(ξ) = N1e1+N2e2 = [N1 N2] [e 1 e2]T (4.105)

In (ξ) =N1 In1 +N2 In2 = [N1N2] [ In1 In2]T (4.106)

여기서 e α와 I nα는 각각 경계요소의 α번째 에서의 에 지 도와 경계

요소에 수직한 인텐시티를 의미하고, N α는 한 경계요소의 α번째 에서의

형상함수를 나타낸다. 식 (4.105)와 식 (4.106)을 식 (4.101)에 입하고 각각

의 경계 분항을 분리하여 살펴보자. 우선 식 (4.101)에서 좌변의 두 번째

분항은 j번째 경계요소에 한 경계 분을 나타내며 식 (4.107)과 같이 쓸 수

있다.

⌠⌡ Γ je( x j )F( x j, ξ i )dΓ j=

⌠⌡ Γ j

[N 1 N 2] F( x j, ξ i ) dΓ j [e 1 e 2]T

= [ f i1 f i2] [e 1 e 2]T (4.107)

여기서 행렬의 요소 f i1과 f i2는 식 (4.108)과 같다.

fi1=⌠⌡ΓjN1F( xj, ξi) dΓj (4.108a)

fi2=⌠⌡ΓjN2F( xj, ξi) dΓj (4.108b)

한편, 마찬가지 방법으로 식 (4.101)의 좌변에 있는 첫 번째 분항은 j번째

경계요소를 따라 이루어지는 경계 분을 나타내며 식 (4.109)와 같이 표 할

- 79 -

수 있다.

⌠⌡ Γ jI n ( x j )G( x j, ξ i )dΓ j=

⌠⌡ Γ j

[N 1 N 2] G( x j, ξ i ) dΓ j [ I n1 I n2 ]T

= [g i1 g i2] [ I n1 I n2 ]T (4.109)

여기서 행렬의 요소 g i1과 g i2는 식 (4.108)과 비슷하게 나타낼 수 있다.

gi1=⌠⌡ΓjN1G( xj, ξi) dΓj (4.110a)

gi2=⌠⌡ΓjN2 G( xj, ξi) dΓj (4.110b)

식 (4.107)과 식 (4.109)를 이용하고 심 역 내의 입력 워가 존재하지 않

는다고 가정하면 경계 상의 i번째 에 해서 식 (4.101)은 식 (4.111)과

같이 새로 쓸 수 있다.

ci ei- [ Fi1 Fi2 ⋯ FiN] [e1 ⋯ e2 eN]T=

-[Gi1 Gi2 ⋯ GiN] [ I n1 I n2 ⋯ I nN ]T (4.111)

여기서 행렬요소 F ij와 Gij는 각각 식 (4.112)와 같다.

Fij = fi1j+ fi2

j-1 (4.112a)

- 80 -

Gij= gi1j+ gi2

j-1 (4.112b)

여기서 f i1j과 g i1

j는 각각 j번째 요소에 한 f i1과 g i1 을 의미하며

f i2j-1과 g i2

j- 1는 각각 j-1번째 요소에 한 f i2과 g i2를 의미한다. 식

(4.111)을 이용하여 식 (4.101)을 행렬로 표 하면 식 (4.113)과 같다.

ciei-∑N

j=1Fij ej=-∑

N

j=1Gij qnj+∑

N

k=1Hik π ink

(4.113)

식 (4.113)의 우변을 합하여 간단하게 정리하면 식 (4.114)와 같다.

∑N

j=1Fij ej=∑

N

j=1Gij qnj-∑

N

k=1Hik π ink

(4.114)

여기서 Fij는 식 (4.115)와 같이 정의할 수 있다.

Fij= Fij for i≠ j (4.115a)

Fij= Fij-ci for i= j (4.115b)

최종 인 행렬식의 형태로 식 (4.114)을 표 하면 아래와 같이 나타낼 수

있다.

FE = GI +HΠ (4.116)

- 81 -

한편 균일요소를 사용하는 경우와 마찬가지로 식 (4.116)을 계산하는 과정

에서 특이 분 값들이 핵심행렬 F와 G의 각계수에서 나타나고 이러한

특이 분 값을 계산하는 것이 요하다. 핵심행렬 F의 특이 분 요소인

각계수 Fii를 구하는 과정을 살펴보자. 일반 으로 균일요소(constant

element)나 선형요소(linear element)를 사용하는 경우에 경계 요소의 법선 벡

터(normal vector)와 측 과 소스 사이의 변 벡터는 서로 수직이 되고

이 성질을 이용하여 쉽게 특이 분 항을 구할 수 있다. 식 (4.112a)를 그림

4.8의 주요소 (master element)상에서 분식의 형태로 나타내면 식 (4.117)과

같다.

Fijα=⌠

⌡Γ iN αF( x j,ξ i)

Li2dξ =⌠

⌡Γ jN αk

r⋅n2πr

K 1(kr)Lj2dξ (4.117)

식 (4.117)에서 i와 j가 같아지면, 즉 F iiα가 되면 식 (4.118)과

같은 표 이 가능하다.

F iiα=lim

ε→0

⌠⌡

1

-1+2ε/L iN α

k2πr⋅nrK 1(kr)

L i2dξ (4.118)

여기서 변 벡터 r과 경계의 법선벡터 n는 분구간에서 서로 수직이므로

식 (4.118)은 식 (4.119)와 같은 값을 갖는다.

Fii1= Fii

2=0 (4.119)

- 82 -

따라서 핵심행렬 F의 특이 분 요소인 각계수 Fii는 식 (4.115b)에서 내

각을 계산하는 것만으로 쉽게 계산할 수 있다.

선형요소를 사용한 경우에 특이 분을 포함한 핵심행렬(kernel matrix) G

의 각계수 Gii를 구하는 과정을 살펴보면 다음과 같다. 식 (4.112b)를 경계

요소의 첫 번째 에 해서 경계 분식으로 표 하면 식 (4.120)과 같이

나타난다.

G1ii=

⌠⌡ΓiN1G( xi, ξi)dΓi=-⌠

⌡Γi(1-ξ)

12πK0(kr)dΓi (4.120)

거리 r을 r = L iξ 라 놓고 그림 4.8과 같이 주요소 상에서 분식의 형태

로 표 하면 식 (4.120)은 식 (4.121)과 같이 표 할 수 있다.

G ii1=-

L i2π

⌠⌡

1

0( 1-ξ) K 0(k L iξ) dξ

=-1

2π k [⌠⌡1

0(kL i) K 0(k L iξ) dξ-

⌠⌡

1

0(kL i ξ) K 0( kL iξ) dξ] (4.121)

식 (4.121)의 첫 번째 분항을 G1Ⓐii

라 정의하면 G1Ⓐii

는 식 (4.122)와 같

이 표 된다.

G1Ⓐii = kLi

⌠⌡

1

0K0(kLiξ) dξ (4.122)

이때 식 (4.122)는 균일요소를 사용하여 특이 분을 수행한 식 (4.95)과 유사

한 형태를 가지므로 균일요소를 사용했을 때의 결과 인 식 (4.98)과 식(4.99)

- 83 -

를 그 로 사용할 수 있다. 따라서 식 (4.122)의 특이 분 결과는 식 (4.123)

과 같이 나타난다.

G1Ⓐii=kLi( G1Ⓐiireg+G1Ⓐiising) (4.123)

여기서 G 1Ⓐii reg

와 G 1Ⓐii sin g

는 각각 식 (4.124)와 같다.

G1Ⓐii sing=-{lna-1+

a2

3 ( lna-13 )+a

4

20 ( lna-15 )+ a

6

252 ( lna-17 )} (4.124a)

G1Ⓐiireg

=⌠⌡

1

0-γ I0(2aξ)+a

2ξ2+

3a4ξ4

8+

11a6ξ6

216dξ (4.124b)

여기서 상수 a는 a= k L i / 2 이다.

식 (4.121)의 특이 분을 수행하기 해 식 (4.121)의 두 번째 분항을

G1Ⓑii 라 정의하면 G 1Ⓑii

는 식 (4.125)와 같이 표 된다.

G1Ⓑii =⌠

⌡

1

0(kL i ξ)K 0( kL iξ) dξ (4.125)

한편 식 (4.125)의 경계 분 안에 있는 항은 식 (4.126)과 같이 근사 표

이 가능하다.

xK0(x)≈-γxI0(x)+x3

22 +

32x5

26 +

116x7

2662 -x ln( x2 ) I0(x) (4.126)

- 84 -

의 식 (4.126)에서 우변의 맨 마지막 항을 제외한 모든 항들은 해석 인 방

법이나 수치 인 방법을 통해서 분이 가능하지만 마지막 항은 경계 분을

수행할 경우 특이 분을 포함하고 있다. 따라서 이러한 특이 분을 수행하기

해 맨 마지막 항만을 분리하고 식 (4.126)과 같은 근사 표 을 고려하면

식 (4.127)과 같은 형태로 표 할 수 있다.

G1Ⓑii sin g=- x ln ( x2 ) I 0(x)

≈ -(x+ x3

2 2 +x

5

2 6 +x7

2 6 6 2 ) ln ( x2 )

=-(2aξ+2a 3ξ 3+a

5ξ

5

2+a

7ξ

7

18 ) ln (aξ ) (4.127)

여기서 x/2= a ξ로 가정한다. 식 (4.127)을 이용하여 식 (4.125)에서의 특이

분만을 수행하면 식 (4.128)과 같다.

G1Ⓑii sing

=-⌠⌡

1

0 (2aξ+2a3ξ3+a5ξ5

2+a7ξ7

18 ) ln(aξ)dξ

=-{a( lna-12 )+ a

3

2 ( lna-14 )+ a

5

12 ( lna-16 )+ a7

144 ( lna-18 )} (4.128)

여기서 상수 a는 a= k L i / 2이다. 한편 식 (4.126)에서 해석 인 방법이나

수치 인 기법으로 분이 가능한 항 G1Ⓑii reg

은 식 (4.125)의 분에 의해

서 식 (4.129)와 같이 계산된다.

- 85 -

G1Ⓑiireg

=⌠⌡

1

0-2aξγ I0(2aξ)+2a

3ξ3+

3a5ξ5

4+

11a7ξ7

108dξ

={-γa+a3

2(1-γ)+

a5

12 ( 32 -γ)+ a7

144 ( 116 -γ)} (4.129)

여기서 γ는 오일러 상수(Euler's constant)로써 γ= 0.5772156649...의 값을

갖는다. 따라서 식 (4.128)과 식 (4.129)로 부터 특이 분을 포함한 식 (4.125)

는 다음과 같이 표 할 수 있다.

G1Ⓑii=G1Ⓑiireg+G

1Ⓑiising

(4.130)

식 (4.123)과 식 (4.130)을 식 (4.121)에 입하면 결과 으로 형상함수 N 1

에 한 G ii1은 아래와 같은 형태로 계산할 수 있다.

G1ii =-

12πk { G

1Ⓐii- G1Ⓑ

ii} (4.131)

한편 형상함수 N 2에 해서 G ii

2는 다음과 같은 형태의 분식으로 표

된다.

G2ii=

⌠⌡ΓiN2G( xi, ξi)dΓi=-⌠

⌡Γiξ

12πK0(kr)dΓi (4.132)

식 (4.132)에서 거리 r을 r = L iξ라고 놓고 식을 다시 정리하면 식 (4.133)

과 같이 된다.

- 86 -

G2ii=-

Li2π

⌠⌡

1

0ξ K0(kLiξ) dξ=-

12πk

⌠⌡

1

0(kLiξ)K0(kLiξ) dξ (4.133)

식 (4.133)의 분항은 G ii1을 구하는 과정에서 계산되었던 식 (4.125)의

G1Ⓑii

와 같다. 따라서 식 (4.133)의 G ii2는 결과 으로 아래와 같이 쓸 수

있다.

G2ii=-

12πkG1Ⓑ

ii=-12πk ( G

1Ⓑiireg+G

1Ⓑii sing) (4.134)

최종 으로 핵심행렬 G의 각계수 Gii를 구하는 과정에서 발생하는 특

이 분은 식 (4.131)과 식 (4.134)으로부터 얻을 수 있다.

4.8.3. 3차원 역 문제에서 워흐름 경계 분식의 이산화

4.8.3.1. 선형요소(linear elements)

3차원 문제의 워흐름경계요소법에서 사용하는 선형요소는 2차원 문제와

마찬가지로 경계 분식 내의 에 지 도나 인텐시티, 가상음원의 크기와 같

은 주요 변수들이 각 요소의 내부에서 선형 으로 변화한다. 일반 인 경계

에 한 3차원 워흐름 경계 분식 (4.76)을 i번째 (node)에서의 음향에

지 도 e( ξ i )에 해서 이산화 시키면 식 (4.135)와 같다.

- 87 -

c( ξ i ) e( ξ i )- ∑N

j=1

⌠⌡S je( x j )F( x j, ξ i )dS j=

- ∑N

j=1

⌠⌡S jI n ( x j )G( x j, ξ i )dS j+ ∑

M

k=1

⌠⌡Vk

π in( z k )G( z k, ξ i )dV k (4.135)

여기서 심 역 S와 경계면 V는 각각 M개의 내부요소와 N개의 경계요

소로 근사화 했다. c( ξ i ) = α i/ 4π 로서 정의하고, α i 는 경계 상의 i번째

ξ i에서의 고체각(solid angle)을 의미하며 그림 4.9과 같다.

0 for ξ i ∉ V

1 for ξ i ∈ V

c( ξ i )=

1/2 for ξ i ∈ S (smooth boundary)

α i /4π for ξ i ∈ S (corner node) (4.136)

간 인 기법에 해서도 식 (4.135)와 유사한 방법으로 이산화된 형태의

식 (4.137)과 식 (4.138)을 얻을 수 있다.

e( xi)= ∑N

j=1

⌠⌡Sj

φ( ξj)G( xi, ξj)dSj+ ∑M

k=1

⌠⌡Vk

π in( zk)G( xi, zk)dVk (4.137)

In ( xi)=∑N

j=1

⌠⌡Sj

φ( ξj)F( xi, ξj)dSj+∑M

k=1

⌠⌡Vk

π in( zk)F( xi, zk)dVk (4.138)

한편, 경계요소 내부에서의 선형 인 변화를 표 하기 해 워흐름경계

- 88 -

요소법의 주요 변수인 에 지 도와 인텐시티에 4 의 사각 선형요소에

한 내삽함수(interpolation function) 흑은 형상함수(shape function)를 도입하

면 다음과 같이 표 할 수 있다.

e(ξ) = N αe α = [N 1 N 2 N 3 N 4] [e 1 e 2 e 3 e 4]T (4.139)

In(ξ) =Nα Inα = [N1N2N3N4] [ In1 In2 In3 In4]T (4.140)

여기서 e α와 I nα는 각각 경계요소의 α번째 에서의 에 지 도와 경계

요소에 수직한 인텐시티를 의미하고, N α는 한 경계요소의 α번째 에

한 형상함수를 나타낸다. 식 (4.139)와 식 (4.149)을 식 (4.135)에 입하고 각

각의 경계 분항에 해서 살펴보자. 우선 약한 특이 분(weak singular

integral)을 포함하고 있는 식 (4.135)의 우변 첫 번째 분항에서 특이 분을

해결하기 해 맵핑(mapping)을 통해 주요소(master element)에 한 분형

태로 다시 표 한다.

Hαj( ξ i)=

⌠⌡SjG( xj, ξ i)NαdSj=

⌠⌡

1

-1

⌠⌡

1

-1G( xj, xi) Nα Jj dξ dη

=⌠⌡

1

-1

⌠⌡

1

-1-

14πr

exp (-kr) Nα J j dξ dη (4.141)

여기서 J j는 경계요소의 j번째 에 한 자코비안(jacobian)을 의미한다.

식 (4.131)은 거리 r→0이면서 특이 분이 발생하게 되고 o(r- 1)의 특이

분을 갖는다. 이 특이 분을 해결하기 해 식 (4.141)에 같은 차원의 특이

- 89 -

분항 1/4πr 을 더하고 뺌으로서 식을 식 (4.142)와 같이 변형시킬 수 있다.

Hαj( ξ i)= -⌠

⌡

1

-1

⌠⌡

1

-1

14πr

[ exp (-kr)-1]Nα Jj dξ dη

- ⌠⌡

1

-1

⌠⌡

1

-1

14πr

Nα J j dξ dη (4.142)

이때 식 (4.142)의 첫 번째 분항은 r→0일 때 특정한 값에 수렴하게 됨으

로 첫 번째 항은 일반 으로 해석 인 분이나 수치 인 기법을 이용하여

계산이 가능하다. 그러나 식 (4.143)의 두 번째 분항은 r→0일 경우 발산하

게 됨으로 여 히 특이 분의 특성을 가지고 있다. 그러나 식 (4.141)과 비교

하여 분함수가 다르기 때문에 좀 더 쉽게 특이 분을 수행할 수 있다. 일

반 으로 특이 분을 일반 분이 가능하도록 만들기 해서 사각형 요소를

삼각형 요소로 나 고, 나 어진 삼각형 요소를 사각형 역으로 변환하면서

발생하는 자코비안을 이용하여 특이 분 특성을 없애는 방법을 사용한다. 이

를 해 식 (4.142)의 특이 분 항만을 따로 분리하여 다시 쓰면 다음과 같

다.

Hα▯( xi)=

⌠⌡

1

-1

⌠⌡

1

-1

14πr

Nα J j dξ dη

= ⌠⌡

1

-1

⌠⌡

1

-1K( xj (ξ,η), xi) Nα J j dξ dη (4.143)

여기서 아래 첨자 ▯ 는 사각형 요소에 한 특이 분을 의미한다. 그림 4.10

은 식 (4.143)의 특이 분을 수행하기 해 측 의 치에 따라 사각형요소

를 삼각형 요소로 분리하여 나타낸 것이다. 삼각형 역으로 나 어진 식

- 90 -

(4.143)은 식 (4.144)와 같이 표 할 수 있다.

H▯α=H△1

α+H△2

α (4.144)

여기서 △는 삼각형 역에 한 분을 나타낸다. 그림 4.10에서 보듯이 1번

과 3번 에서 특이 분이 발생할 경우에는 그림 4.10(a)와 같이 삼각형

역을 나 고 2번과 4번 에 해서는 그림 4.10(b)와 같이 역을 구분한다.

한편 경계요소의 1번 에서 특이 분이 일어날 경우에 그림 4.10(a)에서와

같이 역을 나 고 △ 1에 한 다음과 같이 특이 분을 수행한다.

H1△1

=⌠⌡

1

-1

⌠⌡

η

-1K( xj (ξ,η), ξ1)N1(ξ,η)Jj(ξ,η)dξdη (4.145)

식 (4.145)의 특이 분을 계산하기 해서 삼각형 역 △ 1은 그림 4.11과 같

이 사상(mapping)을 통해서 사각형 역으로 변환하게 된다. 이때 사용되는

사상함수(mapping function)는 다음과 같다.

u=η (4.146a)

v=-1+2ξ-η

1+η (4.146b)

식 (4.146)에 의한 변환이 이루어지면 식 (4.145)는 아래와 같이 바꾸어 쓸 수

있다.

- 91 -

H1△1

=⌠⌡

1

-1

⌠⌡

1

-1K( xj (ξ,η), ξ1)N1(ξ,η)Jj(ξ,η)Jr(u,v)du dv (4.147)

여기서 자코비안 J r(u,v)은 다음과 같이 계산된다.

J r (u,v) =︳

︳

︳︳︳︳︳︳︳

︳

︳

︳︳︳︳︳︳︳

∂ξ∂u

∂ξ∂v

∂η∂u

∂η∂v

=︳

︳︳︳

︳

︳︳︳

12(1-v) -

12(1+u)

1 0

=1+u2

(4.148)

식 (4.148)의 자코비안은 u=-1인 경우에 0의 값을 갖게 되고, 이 경우에

( ξ,η)= (-1,-1)이 되어 1의 좌표를 나타내게 된다. 즉, 1에서

발생한 특이 분이 앞에서 사용된 사상함수와 자코비안에 의해서 사라지게

되고 식 (4.147)은 일반 인 분이 가능하게 된다. 마찬가지 방법으로 삼각

형 역 △ 2의 특이 분을 계산하는 과정을 살펴보면 다음과 같다.

H1△2

=⌠⌡

1

-1

⌠⌡

η

-1K( xj (ξ,η), ξ1)N1(ξ,η)Jj(ξ,η)dξdη (4.149)

식 (4.149)의 특이 분을 계산하기 해서 삼각형 역 △ 2을 사각형 역으

로 변환하는데 사용되는 사상함수는 다음과 같다.

u=ξ (4.150a)

- 92 -

v=1-ξ+2η

1+ξ (4.150b)

식 (4.150)을 이용하여 자코비안값을 구하면 J r (u,v) = (1+u)/2이다. 앞에

서와 마찬가지고 1번 에서의 특이 분이 자코비안 J r에 의해 사라지게

됨으로 식 (4.149)는 특이 분이 없고 일반 분이 가능하게 된다.

한 3번 에서 특이 분이 발생하는 경우에도 1번 에서와 같은

방법으로 특이 분을 없앨 수 있다. 이때 1번 삼각형 역 △ 1에서 사용되는

사상함수는 다음과 같다.

u=-ξ (4.151a)

v=1+ξ-2η

1-ξ (4.151b)

삼각형 역 △ 2에서 사용되는 사상함수와 자코비안은 다음과 같이 표 된

다.

u=-η (4.152a)

v=-1+2ξ-η

1-η (4.152b)

Jr(u,v) =1+u2

(4.153)

- 93 -

한편 2번과 4번 에서 특이 분이 발생하는 경우에는 그림 4.10(b)와 같

이 삼각형 역을 나 고 앞에서 계산한 것과 같은 방법을 이용하여 특이

분을 수행할 수 있다. 이러한 방법을 통해서 식 (4.143)의 특이 분식을 계산

할 수 있으며 최종 으로 식 (4.142)의 결과값을 얻을 수 있다.

이제 강한 특이 분(strong singular integral)에 한 해석을 수행하기

해 식 (4.135)의 좌변 두 번째 분항만을 분리한다.

I=⌠⌡Sje( xj)F( xj, ξi)dSj (4.154)

식 (4.154)의 특이 분을 수행하기 해 극좌표계(polar coordinate system)에

서의 분형태로 변형하면 아래와 같다.

I= Limε→0 {

⌠⌡

2π

0

⌠⌡

ρ˜( θ)

α(ε,θ)K(ρ,θ) dρ dθ} (4.155)

여기서 ρ는 그림 4.12에서 보는 바와 같이 특이 ( ξ 0 ,η 0)에서 요소의 변

까지의 길이를 나타내고 α(ε,θ)는 특이 ( ξ 0 ,η 0)에서 특이 주 의 미소

경계까지의 거리를 의미한다. 식 (4.155)에서 특이 분과 연 된 함수

K(ρ,θ)는 다음과 같이 표 할 수 있다.

K(ρ,θ)=F( xj, ξi) Nj J ρ (4.156)

여기서 Nj는 형상함수를 나타내고 J 는 자코비안을 의미한다. 식 (4.156)으

로부터 K(ρ,θ)는 o(ρ- 1)의 차수를 가진다는 것을 알 수 있고 아래와 같이

- 94 -

다시 표 할 수 있다.

K(ρ,θ) =K-1(θ)

ρ+o(ρ0) (4.157)

여기서 K- 1 한편 식 (4.157)의 K-1(θ)을 표 하기 해서 거리 r을 수

로 표 하면 다음과 같다.

r = x i- y i

= ρ [∂x i∂ξ |

( ξ, η) = (ξ 0 ,η 0 )(ξ-ξ 0 ) +

∂x i∂η |

( ξ, η) = (ξ 0 ,η 0 )(η-η 0 )] + o( ρ 2

)

= ρ [∂x i∂ξ |

( ξ, η) = (ξ 0 ,η 0 )cosθ +

∂x i∂η |

( ξ, η) = (ξ 0 ,η 0 )sinθ] + o( ρ 2)

= ρAi(θ)+o(ρ2) (4.158)

식 (4.158)을 이용하여 거리 r의 미분항에 존재하는 r , i는 다음과 같이 나

타낼 수 있다.

r,i=xi-yir

=ρAi(θ) +o(ρ

2)

ρA(θ) +o(ρ2)

=Ai(θ)

A(θ)+o(ρ) (4.159)

여기서 r n과 A(θ)는 각각 다음과 같이 표 된다.

rn=ρnAn(θ)+o(ρn+1) (4.160)

- 95 -

A(θ) = { ∑3

k=1[Ak(θ)]

2}1/2

(4.161)

식 (4.160)에 의해 r- 2은 다음과 같이 주어진다.

1

r2=

1

ρ2A2 +o(ρ-1) (4.162)

한 기본해에 들어있는 exp (- kr)을 앞의 식 (4.158)이나 식 (4.159)처럼

나타내면 다음과 같은 형태를 가지게 된다.

exp(-kr)=1-kr+o(r2)=1-kρA(θ)+o(ρ2) (4.163)

마찬가지 형태로 형상함수와 자코비안을 표 하면 다음과 같다.

Nj=Nj(ξ0,η0)+o(ρ)=N j 0+o(ρ) (4.164)

J⋅n =Jn= Jn(ξ0,η0)+o(ρ) = J n 0+o(ρ) (4.165)

식 (4.158-165)를 이용하면 특이 분을 포함한 식 (4.156)은 다음과 같이 표

된다.

K = -1

4πr 2( 1 + kr ) exp (- kr )

r⋅nr

N j J ρ

= -1

4πr 2( 1 + kr ) exp (- kr) r , i⋅n N j J ρ

- 96 -

=-14π { 1

ρ 2A 2(θ)+o(ρ- 1)}{1+k(ρAi(θ)+o(ρ 2))}{1-kρA(θ)+o(ρ 2)}

×{Ai(θ)

A(θ)+ o(ρ)} {N j 0+o(ρ)} { J n 0+o(ρ)} ρ

=1ρ (- 1

4π

Ai(θ) N j 0 J n 0

A3(θ) ) + o(ρ 0) (4.166)

따라서 식 (4.166)과 식 (4.157)으로부터 K-1(θ)는 다음과 같이 나타낼 수

있다.

K-1(θ) =-14π

Ai(θ)N j 0J n0

A3(θ) (4.167)

한편 식 (4.155)의 특이 분을 계산하기 해 아래와 같이 식 (4.155)의

분 안쪽에 K- 1(θ)/ρ을 더하고 빼서 분식을 변형하여도 결과값에는 변화

가 없다.

I= Limε→0 {⌠⌡

2π

0

⌠⌡

ρ˜( θ)

α(ε,θ)K(ρ,θ) dρ dθ}

= Limε→0 {⌠⌡

2π

0

⌠⌡

ρ˜( θ)

α(ε,θ)[K(ρ,θ)-K- 1(θ)

ρ ] dρ dθ + ⌠⌡

2π

0

⌠⌡

ρ˜( θ)

α(ε,θ)

K- 1(θ)

ρdρ dθ}

= I 0 + I-1 (4.168)

여기서 I 0항은 식 (4.157)으로부터 o(ρ 0)의 차수를 가지기 때문에 일반 인

수치 분 기법을 이용하여 쉽게 계산할 수 있다. 그러나 I-1항은 o(ρ- 1)의

차수를 가지고 있기 때문에 특이 분이 존재하면 이를 해결하기 해 식

- 97 -

(4.169)의 과정이 더 진행되어야 한다.

I- 1 = Limε→0

⌠⌡

2π

0

⌠⌡

ρ˜( θ)

α( ε,θ)

K- 1(θ)

ρdρ dθ

= Limε→0

⌠⌡

2π

0K-1(θ) [ ln | ρ( θ)| - ln |α(ε,θ)|] dθ

= ⌠⌡

2π

0K-1(θ) ln | ρ( θ)| dθ - Lim

ε→0

⌠⌡

2π

0K-1(θ) ln |α(ε,θ)| dθ

= ⌠⌡

2π

0K-1(θ) ln | ρ( θ)| dθ - Lim

ε→0

⌠⌡

2π

0K-1(θ) ln |ε β(θ)| dθ

= ⌠⌡

2π

0K-1(θ) ln | ρ( θ)

β(θ) | dθ - Limε→0 { ln |ε|⌠⌡

2π

0K-1(θ) } dθ

= ⌠⌡

2π

0K-1(θ) ln | ρ( θ)

β(θ) | dθ (4.169)

여기서 특이 근방에서 거리 ρ는 다음과 같이 표 된다.

ρ=α(ε,θ) =εA(θ)

+O(ε2)= εβ(θ)+O(ε2) (4.170)

식 (4.169)의 최종식은 거리 ρ에 한 항들이 모두 사라지고 특이 분이 존

재하지 않는 일반 인 분형태를 가진다. 따라서 식 (4.154)의 분 과정에

서 존재하던 특이 분의 계산은 식 (4.168)과 식 (4.169)를 이용하면 쉽게 구

할 수 있다.

- 98 -

4.9. 수치 해석 결과 검토

본 에서는 앞에서 유도된 워흐름경계요소법을 간단한 구조물에 수치

으로 용하여 얻어진 결과를 검토한다.

4.9.1. 1차원 역 문제에 한 수치 검증

기본 인 1차원 부재인 오일러보(Euler beam) 진동에 한 에 지 도와

인텐시티를 측하기 해서 앞에서 유도된 워흐름경계요소법의 직 인

기법과 간 인 기법에 한 식 (4.61), 식 (4.62), 식 (4.77) 그리고 식 (4.78)

을 이용하 다. 그림 4.13(a)에서 보는 것처럼 양단이 단순지지된(simply-

support) 단순보가 주기 인 횡 방향 가진력에 의해 가진되고 있으면 양단

에는 연결된 부재가 없기 때문에 그림 4.13(b)와 같이 단순보의 경계에서 흘

러나가는 워가 없다고 가정할 수 있다. 해석하고자 하는 보의 재질은 알루

미늄(aluminum)이고 보의 길이는 L=12m이며 가진력이 작용하는 치는 보

의 왼쪽 끝에서 x=4m 만큼 떨어진 지 이다.

먼 그림 4.14(a)는 보의 구조 감쇠에 의한 내부손실계수가 η=0.02 이고

가진력의 주 수가 f=1kHz 인 경우를 나타낸 것으로 워흐름해석법의 에

지지배방정식으로부터 직 얻어지는 보의 횡 진동에 한 에 지 도의

엄 해와 워흐름경계요소법의 직 인 기법 간 인 기법을 용하여

얻어진 에 지 도를 비교하 다. 이들의 비교를 통해 1차원 역 문제에

있어서 워흐름경계요소법에 의한 결과가 에 지지배방정식으로부터 구하여

진 엄 해와 상당히 잘 일치하고 있음을 알 수 있다. 아울러 고주 수 역

의 해석에서 사용되는 통계 에 지해석법에 의한 에 지 도의 분포도 함

께 비교하 는데 워흐름해석법은 공간에 따른 에 지 도의 변화를 잘 보

여주는 반면 통계 에 지해석법은 이러한 에 지 도의 공간 변화를 보

여주지 못하고 있음을 확인할 수 있다. 한편, 그림 4.15(a)로부터 단순보 내수

- 99 -

의 인텐시티 분포에 있어서도 워흐름경계요소법을 용한 결과의 정확도가

상당히 높음을 알 수 있다. 그림 4.14(b)와 그림 4.15(b)는 가진 주 수를

f=10kHz 로 증가시켰을 때의 결과를 비교한 그림으로서 이들을 통해 워

흐름경계요소법이 성공 으로 용될 수 있음을 확인할 수 있다.

아울러 그림 4.16은 내부손실계수가 η=0.1 일 때 주 수가 f=1kHz인 경

우와 f=10kHz인 경우에 하여 고 이론의 운동방정식으로부터 얻어지는

엄 해와 워흐름해석법의 해 그리고 워흐름경계요소법의 에 지 도에

한 결과를 비교한 것이다. 이 경우에도 워흐름경계요소법이 다른 해석결

과와 비교 잘 일치하는 것을 볼 수 있다.


2차원 역 문제에 해서 워흐름경계요소법을 검증하기 해 가장기본

인 2차원 구조요소인 평 을 해석모델로 설정하여 해석결과를 검증한다.

평 구조물의 워흐름경계요소해석을 수행하기 해서 균일요소에 해 이

상화 과정을 통해 유도된 식 (4.84-86)과 선형요소에 해 유도된 식 (4.101)

식 (4.103-4)를 사용한다.

먼 그림 4.17(a)과 같이 직사각형 형상을 가지는 평 에 횡 방향의 가

진력이 주기 으로 작용하고 평 의 가장자리가 단순지지되어 있다고 가정한

다. 이때 평 의 가장자리에는 연결된 부재가 존재하지 않기 때문에 그림

4.17(b)에서 보는 것처럼 평 의 경계에서 흘러나가는 워가 없다고 가정할

수 있다. 해석 평 의 가로와 세로의 길이는 모두 1m 이고 두께는 1mm 이

며 평 의 재질은 알루미늄이다. 가진력은 평 의 왼쪽 하단을 기 으로

x=0.5m 와 y=0.5m 인 지 에 작용한다.

가진력의 주 수가 f=1kHz 이고 평 의 구조 감쇠에 의한 내부손실계수

는 η=0.2 라고 가정할 때 그림 4.18은 다양한 기법을 이용하여 계산된 해

석 평 의 에 지 도 분포를 보여 다. 그림 4.18(a)은 고 평 이론에

- 100 -

한 운동방정식으로부터 계산된 에 지 도의 결과를 나태내고 있으며 그림

4.18(b)은 Fourier 복 수를 사용하여 계산된 평 의 횡 진동에 한 에

지지배방정식의 에 지 도를 나타낸 그림이다. 이때 수의 충분한 수렴성

을 보장하기 해 22500개에 해당하는 복 수의 모드를 사용하 다. 워

흐름경계요소법의 직 인 기법과 간 인 기법을 사용하여 얻어진 에 지

도에 한 결과는 그림 4.18(c)와 4.18(d)에 각각 나타나있다. 일반 으로

가진 근처에서 워흐름경계요소법의 해석결과는 매우 뾰족한 정 을 만들

게 되는데 이는 워흐름경계요소법에 사용되는 기본해가 1/ r에 비례하게

되고 음원과 측 사이의 거리를 의미하는 r이 r→ 0으로 수렴하기 때문

이다. 따라서 워흐름경계요소해석을 수행할 경우에 가진 의 근처에는

측 은 분포시키지 않는다. 그림 4.19는 그림 4.18에서 보여주었던 운동방정

식에 의한 고 해, 워흐름해석법의 엄 해, 워흐름경계요소법의 직 인

기법과 간 인 기법으로부터 획득한 해 고주 수 역의 진동해석에 사

용되는 통계 에 지해석법의 해를 그림 4.17(b)에서 볼 수 있는 측선을 따

라 다시 그린 그림이다. 워흐름경계요소법의 진 인 기법과 간 인 기

법의 결과는 다른 해석방법의 결과와 매우 유사한 것을 확인할 수 있다. 그

림 4.20은 그림 4.19의 워흐름해석법의 해와 진/간 인 기법의 워흐름

경계요소법의 해 사이의 오차율(error rate)을 나타낸 것이다. 그림 4.20에서

볼 수 있듯이 직 인 기법과 간 인 기법의 오차율은 음원 근처에서 거

의 같은 값을 가지지만 이차음원(secondary source)의 향이 큰 경계 부근

으로 가면서 간 인 기법이 더 많은 오차를 발생시킨다는 것을 알 수 있

다.

가진력의 주 수가 f=10kHz이고 평 의 구조 감쇠에 의한 내부손실계수

는 η= 0.05라고 가정할 때, 경계요소의 개수를 변화시켜가면서 워흐름경

계요소법의 직 인 기법을 사용한 해석결과와 워흐름해석 해(solution)

사이의 오차율은 그림 4.21에 나타나 있다. 통 인 경계요소법에서의 결과

와 마찬가지로 경계요소의 개수가 증가하면서 워흐름경계요소법의 해는 더

- 101 -

욱 정확해지지만 워흐름경계요소법은 은 수의 경계요소를 사용하여도 어

느 정도 정확성을 확보하면서 매우 높은 주 수 역의 해석이 가능하다는

것을 확인 할 수 있다.

그림 4.22는 경계요소의 개수를 64개로 고정시키고 평 의 구조 감쇠에 의

한 내부손실계수를 η= 0.02라고 가정한 경우에 해석주 수를 다양하게 변화

시켜가면서 워흐름해석법과 워흐름경계요소법의 오차율을 살펴본 그림이

다. 한 그림 4.23은 64개의 일정한 워흐름경계요소 모델에 해서 해석주

수를 f=5kHz로 고정시키고 평 의 내부손실계수를 바꾸어가면서 오차율

을 살펴본 그림이다. 그림 4.22(a)에서 볼 수 있듯이 해석 주 수의 증가에

따른 워흐름해석법과 워흐름경계요소법 사이의 오차율은 뚜렷한 경향을

보이지 않으며 다양하게 변화한다. 그러나 두 해석기법의 해(solution) 사이의

차이는 그림 4.22(b)에서 확인 할 수 있듯이 주 수가 증가하면서 어드는

경향을 보인다. 그림 10(a)와 10(b)는 매우 낮은 내부손실계수가 큰 오차의

원인이 될 수 있다는 사실을 보여주고 있다.

앞의 결과들에서 2차원 역에 한 워흐름경계요소법의 오차는 주로 음

원(source)이나 경계(boundary) 근처에서 발생하는 것을 확인할 수 있으며,

주 수나 내부손실계수가 증가하면서 음원 근처에서의 오차가 경계 부근에서

의 오차보다 크게 나타난다는 사실을 알 수 있다. 이상의 결과에서 2차원

에 한 워흐름경계요소법의 정확성을 확인할 수 있다.

직사각형 평 에 한 결과 검증을 바탕으로 수해를 용할 수 없는 L-

형 평 에 해 워흐름경계요소법을 용해본다. 그림 4.24의 평 은 그림

4.17에서 보여지는 직사각형 평 에서 우측 상단의 4분면을 잘라낸 형상과

동일하다. 평 의 가로와 세로의 길이는 각각 1m 이고 평 의 두께는 1mm

이다. 평 의 재질은 알루미늄이고 횡 방향의 주기 인 가진력이 x=0.8m

와 y=0.25m인 지 에 작용한다. 그림 4.25는 주 수가 f=1kHz 이고 평

의 내부손실계수가 η=0.02 일 경우의 에 지 도와 인텐시티를 워흐

름경계요소법의 직 인 기법을 통해 나타낸 결과들이다. 그림 4.26은 그림

- 102 -

4.25와 동일한 주 수를 용하고 평 의 내부손실계수가 η=0.2 로 증가한

경우에 한 그림이다. 그림 4.26(a)으로부터 감쇠의 증가로 인해 에 지

도의 공간 인 변화가 심해지면서 체 으로 에 지 도의 값이 감소함을

알 수 있으며 그림 4.26(b)를 통해 인텐시티의 크기 역시 그림 4.25(b)에 비해

더욱 빨리 감소한다는 것을 확인할 수 있다.


본 에서는 3차원 역 문제에 해서 워흐름경계요소법을 검증하기

해 가장 기본 인 3차원 형상인 정육면체를 해석모델로 설정하고 해석결과를

검증한다. 정육면체 구조물의 워흐름경계요소해석을 수행하기 해서 이상

화 과정을 통해 유도된 식 (4.135) 식 (4.137-138)을 사용한다.

그림 4.27(a)과 같은 정육면체의 3차원 고체 구조물이고 고체 구조물 내부

의 정 앙에 주기 으로 비회 를 발생시키는 가진원이 존재한다고 가정

한다. 해당 구조물의 재질은 알루미늄이고 가로와 세로의 길이 높이는 모

두 0.4m이다. 그림 4.27(a)에서 보는 것처럼 구조물의 경계 조건을 자유단

(free end)로 설정하여 정육면체 구조물의 경계에서 흘러나가는 워가 없다

고 가정한다. 그림 4.27(b)는 워흐름경계요소해석 시 사용되는 측평면의

치를 나타낸다.

그림 4.28은 고체의 구조 감쇠에 의한 내부손실계수가 η=0.02이고 가진

주 수가 f=5kHz인 경우 가진원이 작용하는 z=0.2m 높이의 수평 단면

에서 워흐름해석법과 워흐름경계요소법의 직 인 기법을 용하여 비

회 의 에 지 도 분포를 나타낸 그림이다. 한편 그림 4.29는 주 수와

내부손실계수가 각각 f=10kHz 와 η=0.05 인 경우에 한 결과를 비교한

그림이다. 그림 4.28과 그림 4.29의 결과 비교를 통해 워흐름경계요소법이

3차원 역 문제에서 효과 인 수치해석 기법이 될 수 있음을 확인할 수 있

다. 그림 4.30와 그림 4.31은 그림 4.27의 고체 구조물과 크기 음원의 치

- 103 -

가 같고 매질이 공기로 이루어진 정육면체 음향 공간내의 높이가 z=0.2m

인 수평 단면에서 워흐름해석법과 워흐름경계요소법의 직 인 기법을

용하여 음향에 지 도의 분포를 비교한 그림들이다. 그림 4.30은 음원의

주 수가 f=5kHz 인 경우이고 그림 4.31은 주 수가 f=10kHz 인 경우의

결과들이다. 이들 그림으로부터 워흐름경계요소법이 음향 문제에 효과 으

로 용될 수 있음을 확인할 수 있다.

4.9.4. 선형요소에 한 수치 검증

본 에서는 앞에서 언 된 선형요소를 도입하여 2차원 역 문제 3차

원 역 문제에 해서 워흐름경계요소해석을 수행하고 해석결과를 검증한

다. 먼 2차원 역 문제는 그림 4.17과 같은 직사각형 평 을 해석 상으

로 사용하고 알루미늄 평 의 왼쪽 하단을 기 으로 x=0.5m 와 y=0.5m

인 지 에 가진력이 작용한다.

그림 4.32와 그림 4.33는 가진력의 주 수가 f=1kHz이고 평 의 구조 감

쇠에 의한 내부손실계수는 η= 0.01인 경우에 평 의 경계와 내부 심 역

에서 에 지 도에 한 결과를 워흐름해석법과 선형요소를 사용한 워흐

름경계요소법을 이용하여 나타낸 그림이다. 그림에서 볼 수 있듯이 선 요소

를 사용한 워흐름경계요소법의 결과가 에 지지배방정식으로부터 구하여진

엄 해와 경계 심 역 내에서 상당히 잘 일치하고 있음을 알 수 있다.

그림 4.34와 그림 4.35는 가진주 수가 f=5kHz이고 평 의 내부손실계수가

η= 0.05로 가정하고, 워흐름해석법과 선형요소를 사용한 워흐름경계요

소법의 결과를 비교한 그림이다.

가진력의 주 수가 f=1kHz이고 평 의 구조 감쇠에 의한 내부손실계수

는 η= 0.1인 경우에 그림 4.36은 요소의 개수를 80개로 하고 불연속 요소

(discontinuous element)의 차 균일요소(constant element)를 사용한 워흐

름경계요소법의 결과와 연속요소(continuous element)의 차요소인 선형요소

- 104 -

(linear element)를 사용하여 구한 워흐름경계요소 해석결과, 에 지지배방

정식에 한 엄 해를 평 의 한쪽 경계와 평 의 심을 지나는 선을 따라

서 그린 것이다. 경계요소법은 유한요소법과 달리 요소간의 연속성을 만족하

지 않아도 되므로 불연속 요소는 경계요소법에서 효과 으로 용되는 요소

이다. 균일요소는 요소의 심에 을 가지고 선형요소는 요소의 양 끝단

에 을 가고 있으므로 두 요소에 한 해석결과를 같은 치의 에서

비교할 수는 없지만 그림 4.36(a)에서 보듯이 두 가지 요소에 한 워흐름

경계요소법의 해석결과가 경계에서 엄 해와 잘 일치하는 것을 확인할 수 있

다. 그림 4.37과 그림 4.38은 각각 경계요소를 40개와 16개로 나 었을 때의

해석결과이다. 균일요소와 선형요소 모두 에서는 엄 해와 잘 일치하는

경향을 보인다.

3차원 역 문제는 그림 4.27과 같은 정육면체를 해석모델로 사용하고 고

체 구조물 내부의 정 앙에 가진원이 존재한다고 가정한다. 해석모델은 알

루미늄으로 이루어져 있고 가로와 세로의 길이 높이는 모두 1m이다.

그림 4.39는 고체의 구조 감쇠에 의한 내부손실계수가 η= 0.1이고 가진

주 수가 f=10kHz일 때 균일요소와 선형요소를 이용하여 해석한 정육면체

구조물의 경계에서의 에 지 도 분포이다. 선형요소가 경계에서의 에 지

도의 변화를 더욱 잘 나타내주고 있지만 두 요소에 의한 해석 값은 매우 유

사하다. 그림 4.40은 내부손실계수가 η= 0.1이고 가진 주 수가 f=10kHz

일 때 고체 구조물 내부의 심 역에서 에 지 도의 분포를 나타낸 것이고

그림 4.41은 가진 주 수가 f=1kHz로 바 경우에 한 해석결과이다. 주

수가 커지면 심 역 내부에서 에 지 도의 변화가 커진다는 일반 인

사실을 다시 한번 확인할 수 있다.

4.10. 요약

본 장에서는 일반 구조물의 고주 실내 소음 문제와 진동 문제를 효과

- 105 -

으로 해석하기 해 워흐름해석법의 지배방정식을 유도하고 유도된 에

지지배방정식을 변형하여 경계요소기법을 목한 워흐름경계요소법을 개발

하 다. 1차원 2차원 그리고 3차원 역 문제에 해 워흐름경계요소법

의 직 인 기법과 간 인 기법의 경계 분식을 정립하 으며 경계 분식

을 균일요소와 선형요소에 해 이산화하여 일반 인 복합 구조물에서 워

흐름경계요소해석이 수행될 수 있도록 하 다.

한 개발된 워흐름경계요소법을 단순 구조물에 수치 으로 용한 들

을 살펴보았다. 1차원 역 문제에 한 로서 단순지지된 단순보의 진동

문제에 워흐름경계요소법을 용하 다. 2차원 역 문제의 수치 용

로는 직사각형 평 L-형 평 의 진동 문제와 3차원 역 문제에 한

용 로서 정육면체의 3차원 고체 구조물의 진동 실내 음향 문제에

해 워흐름경계요소법을 용함으로써 수치해석 기법으로서의 유용성을 확

인하 다.

- 106 -

Γ

ε

Γ ε= εdθ

θξ

Fig. 4.1. Geometrical definition for a two-dimensional case of the boundary

when point ξ belongs a smooth part of the original boundary Γ .

S ε= 2πε 2

S-S ε

ξε

Fig. 4.2. Geometrical definition for a three-dimensional case of the

boundary when point ξ belongs a smooth part of the original boundary

S .

- 107 -

S

S

△S j

1 2

3

j

S

(a) original boundary (b) discretized boundary( S≠ S)

S

S

(c) discretized boundary( S≡ S)

Fig. 4.3. Representation of the boundary.

- 108 -

x

r= x- ξ

collocation point ξ

I n= Constant

e= Constant

Fig. 4.4. General configuration of the discretization using constant

elements in power flow theory.

ξ= 0

r=-L i/2 r=L i/2

ξ=-1 ξ= 1

|r 1|= r |r 2|= r

Fig. 4.5. master element.

- 109 -

element j

node j+1

node j

e j(j +1 )

e j(j )

x r= x- ξ

Nodes of the

discretization

I n

e j

ξ

Fig. 4.6. General configuration of the discretization using linear elements

and notation for linear element.

i-1i+1

α i

i

Domain

Fig. 4.7. Definition of the internal angle.

- 110 -

N 1 N 2

r=0 r=L i

ξ= 0 ξ= 1

Fig. 4.8. Master element for singular integral.

rn

dθ

dS

Fig. 4.9. Definition of the solid angle.

- 111 -

1 2

34

△ 1

△ 2

1 2

34

△ 1

△ 2

(a) node point 1 or 3 (b) node point 2 or 4

Fig. 4.10. Nodal points of the linear element in the parameter plane and

division into triangular domains (a) when a collocation point is node point

1 or 3 and (b) when a collocation point is node point 2 or 4.

η

ξ

4

(-1,1)

1 (-1,-1)

3

(1,1)

1

v

u

3

4

(a) triangular domain (b) square domain

Fig. 4.11. Triangular domain and transformed square domain.

- 112 -

( ξ 0 ,η 0)

θ

ρ

ρ( θ)

α(ε,θ) ξ

η

Fig. 4.12. Polar coordinates in the parameter plane

- 113 -

(a) geometry of beam with transverse harmonic load.

I ( 12)= 0I (0)= 0

(b) power flow model with dimensions and zero energy flow boundary

conditions.

Fig. 4.13. Simply-supported beam.

- 114 -

(a) f=1kHz

(b) f=10kHz


η=0.02. The reference energy density is 1×10 - 12J/m 2 : , PFA; ,

SEA; , direct PFBEM; , indirect PFBEM.

- 115 -

(a) f=1kHz

(b) f=10kHz

Fig. 4.15. Comparisons of intensity distributions in beam when η=0.02.

The reference intensity is 1×10- 12J/m

2: , PFA; , direct PFBEM;

, indirect PFBEM.

- 116 -

(a) f=1kHz

(b) f=10kHz


η=0.1. The reference energy density is 1×10 -12J/m 2: , exact; ,

PFA; , direct PFBEM; , indirect PFBEM.

- 117 -

(a) geometry of plate with external transverse harmonic load.

I y=0

I y=0

I x=0I x=0

representative line

(b) power flow model with dimensions and zero energy flow boundary

conditions.

Fig. 4.17. Simply-supported rectangular plate.

- 118 -

(a) classical solution

(b) PFA analytic solution,

- 119 -

(c) direct PFBEM solution

(d) indirect PFBEM solution

Fig. 4.18. The energy density distributions in rectangular plate predicted

by (a) classical solution, (b) PFA analytic solution, (c) direct PFBEM

solution, (d) indirect PFBEM solution when f=1kHz and η= 0.2 . The

reference energy density is 1×10- 12J/m 2 .

- 120 -0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

30

40

50

60

70

80

90

y(m)

Ener

gy d

ensi

ty (d

B)

Fig. 4.19. Comparison of the energy density distributions in rectangular

plate predicted by classical solution ( ), SEA solution ( ), PFA

analytic solution ( ), direct PFBEM solution ( ) and indirect PFBEM

solution ( ) along the representative line when f=1kHz and η= 0.2 .

The reference energy density is 1×10- 12J/m

2.

- 121 -0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

y(m)

Erro

r (%

)


both PFBEM solutions along the representative line when f=1kHz and

η= 0.2 : , direct PFBEM; , indirect PFBEM.

- 122 -0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

y(m)

Erro

r (%

)


direct PFBEM solution along the representative line with changing the

number of boundary elements when f=10kHz and η= 0.05 : , 8

boundary elements; , 16 boundary elements; , 32 boundary elements;

, 64 boundary elements; , 128 boundary elements.

- 123 -

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.035

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

y(m)

Erro

r (%

)

(a) error rate

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1x 10-8

y(m)

Diff

eren

ce b

etw

een

PFA

and

dire

ct P

FBEM

(b) difference between PFA analysis solution and direct PFBEM solution



various frequencies when η=0.02 and the number of boundary elements

is 64: , f=0.5kHz; , f=1kHz; , f=4kHz; , f=8kHz; ,

f=16kHz.

- 124 -

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

y(m)

Erro

r (%

)

(a) error rate

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5x 10-8

y(m)

Diff

eren

ce b

etw

een

PFA

and

dire

ct P

FBEM

(b) difference between PFA analysis solution and direct PFBEM solution



various when f=5kHz and the number of boundary elements is 64: ,

η=0.001; , η=0.005; , η=0.01; , η=0.05; , η=0.1.

- 125 -

(a) geometry of plate with external transverse harmonic load.

I y=0

I y=0

I y=0

I x=0

I x=0

I x=0

(b) power flow model with dimensions and zero power flow boundary

conditions

Fig. 4.24. Simply-supported L-shaped plate.

- 126 -

(a) energy density

(b) intensity


predicted by direct PFBEM when f=1kHz and η=0.02. The reference

energy density is 1×10 -12J/m 2.

- 127 -

(a) energy density

(b) intensity


predicted by direct PFBEM when f=1kHz and η=0.2. The reference


- 128 -

I x=0

I x=0

I y=0

I z=0

I z=0

0.4 m

0.4 m0.4 m

(a) power flow model with dimensions and zero power flow boundary

conditions

field plane

π in

(b) position of source and field plane.

Fig. 4.27. Three-dimensional cubic solid.

- 129 -

(a) PFA

(b) direct PFBEM

Fig. 4.28. Energy density distributions in the cross section at z=0.2m of

cubic solid when f=5kHz and η=0.02. The reference energy density is

1×10 -12J/m 3.

- 130 -

(a) PFA

(b) direct PFBEM


cubic solid when f=10kHz and η=0.05. The reference energy density

is 1×10 - 12J/m 3.

- 131 -

(a) PFA

(b) direct PFBEM


z=0.2m of cubic enclosure filled with air when f=5kHz. The reference

energy density is 1×10- 12J/m

3.

- 132 -

(a) PFA

(b) direct PFBEM



reference energy density is 1×10- 12J/m

3.

- 133 -

(a) PFA

(b) PFBEM using linear element


when f=1kHz and η= 0.01 .

- 134 -

(a) PFA



and η= 0.01 . The reference energy density is 1×10 - 12J/m 3.

- 135 -

(a) PFA



when f=5kHz and η= 0.05 .

- 136 -

(a) PFA



and η= 0.05 . The reference energy density is 1×10 - 12J/m 3.

- 137 -

(a) one edge of rectangular plate

(b) center line of rectangular plate


center line of rectangular plate predicted by PFA solution ( ), PFBEM

solution using constant elements ( ) and PFBEM solution using linear

elements ( ) when f=1kHz and η= 0.1 with the number of elements

is 80. The reference energy density is 1×10 - 12J/m 3.

- 138 -







is 40. The reference energy density is 1×10- 12 J/m2.

- 139 -







is 16. The reference energy density is 1×10 - 12J/m 3.

- 140 -

(a) constant element

(b) linear element

Fig. 4.39. Energy density distributions on boundary of cubic solid when

f=10kHz and η= 0.1 . The reference energy density is 1×10 - 12J/m 3.

- 141 -

(a) PFA



η= 0.1 . The reference energy density is 1×10 - 12J/m 3.

- 142 -

(a) PFA



η= 0.1 . The reference energy density is 1×10 - 12J/m 3.

- 143 -

5 . 방 사 소음해석을 한 워흐름경 계 요 소법 정 립

5.1. 도입

본 논문의 4장에서는 음 의 형태를 평면 (plane wave)로 가정하여 실내

음향공간의 소음 해석에 용할 수 있는 워흐름해석법의 에 지지배방정식

을 유도하고 이 에 지지배방정식에 경계요소법을 목한 워흐름경계요소

법에 해 살펴보았다. 정상상태의 실내 음향 공간은 잔향(reverberation) 특

성이 강한 음향 환경에 속한다. 이러한 환경에서 실내의 벽이나 천장은 무수

히 많은 반사 를 만들어내기 때문에 실내 음향 공간을 분산장으로 가정하는

것이 가능하며, 분산장에서 음 를 구면 의 형태가 아닌 평면 의 형태로

가정하는 것이 가능하다. 한 실내 소음해석을 해 평면 로 가정하는 것

은 에 지지배방정식 유도에 큰 문제가 되지 않는다.

그러나 실내소음 해석과 달리 방사소음 문제에서는 음향공간이 무한히 개

방되어 있으므로 심 역 내에서 반사 의 향은 존재하지 않고 음원에 의

한 향이 지배 인 직 장(direct field)이 형성되어 분산장(diffuse field)으로

고려하는 것을 타당하지 않다. 한 3차원 방사소음해석을 한 개방음향공

간(open acoustic space)에서 일반 으로 음향에 지 도는 거리 r의 제곱에

반비례하는 특성을 가지고 있지만 4장에서 유도된 기본해(fundamental

solutio)를 이용하면 평면 가정에 기인하여 음향에 지 도가 거리 r에 반

비례하는 특성을 가지게 된다. 따라서 실제 구조물의 방사(radiation) 상을

정확하게 표 하기 해서 새로운 형태의 에 지지배방정식과 기본해가 필요

하게 된다. 그리고 실내 공간의 경우 여러 의 첩으로 인하여 진동하는

구조물의 형태에 계없이 방향성이 존재하지 않지만 열린 공간에서는 진동

하는 구조물의 형태에 따라 의 방향성이 존재하게 된다. 이는 기존의 주

역의 해석기법인 경계요소법의 경우 압력을 변수로 사용하기 때문에 여

러 압력간의 상차에 의해 자동 으로 방향성이 나타나게 된다. 그러나 에

- 144 -

지를 변수로 하는 워흐름경계요소법의 경우 상차에 한 정보가 없기

때문에 진동하는 구조물의 형태와 계없이 모든 방향으로 에 지가 하

게 되어 방향성이 사라지게 된다. 실내소음해석에서는 여러 들의 첩으로

인해 방향성에 해 무시할 수 있지만 방사소음해석에서는 방향성이 요하

게 된다. 한 일반 인 방사소음해석과 달리 수 방사소음해석의 경우 자유

수면에 의한 반사 가 발생하게 되고 이에 의한 의 첩이 발생하게 된다.

본 장에서는 열린 음향공간에서 3차원 방사소음해석을 수행하기 해 새로

이 워흐름해석법의 에 지지배방정식을 유도하고, 이를 경계요소법에 용

할 수 있도록 기본해와 워흐름경계 분식을 정립한다. 그리고 상에 한

정보를 이용하여 방향성을 나타낼 수 있는 방향성 인자를 유도한다. 실제 구

조물의 고주 방사소음해석에 용하기 해서 워흐름경계요소법의 간

인 기법의 분식을 이산화하여 선형방정식을 유도한다. 한 선박이나

잠수함과 같은 구조물의 수 방사소음해석에 사용될 수 있는 자유수면효과

(effect of free-surface)를 고려한 새로운 형태의 기본해를 개발한다.

5.2. 에 지지배방정식의 유도

5.2.1. 에 지 달 계식

3차원 방사소음에 한 워흐름해석 모델을 개발하기 해 음압이 주 수

가 ω인 조화운동(harmonic motion)을 한다고 가정하면, 음향 공간에서 음압

에 한 지배방정식은 다음과 같이 헬름홀쯔방정식(Helmoltz equation)의 형

태로 나타난다.

▽ 2p+ k 2p= 0 (5.1)

여기서 p는 음압(acoustic pressure)을 의미하고, k는 수(wavenumber)를

- 145 -

나타낸다. 식 (5.1)을 구형좌표계(spherical coordinate)에서 다시 표 하면 다

음과 같이 쓸 수 있다.

d 2p

dr 2+

2rdpdr

+ k2p=0 (5.2)

여기서 r은 음원으로부터의 거리를 나타낸다. 식 (5.2)의 해는 구형

(spherical wave)의 형태로 나타나며 다음과 같다.

p(r)=Ar

exp(-jkr)+Br

exp(jkr) (5.3)

한 식 (5.11)의 선형화된 운동량 방정식(linearized momentum equation)을

이용하여 r 방향으로의 매질의 입자속도(particle velocity)를 구하면 다음과

같이 나타난다.

V r(r)=-1jωρ

∂p(r)∂r

=-jAωρ

(1+jkr)

r 2 exp(-jkr)-jBωρ

(1-jkr)

r 2 exp(jkr) (5.4)

만약 음향 공간 내의 매질(medium)에서 에 지 손실이 발생한다고 가정하면

식 (5.3)과 식 (5.4)의 음압과 입자속도는 다음과 같은 형태를 가지게 된다.

p(r)=Ar

exp(-j kr)+Br

exp(j kr) (5.5)

V r(r)=-jAωρ

(1+j kr)

r 2 exp(-j kr)-jBωρ

(1-j kr)

r 2 exp(j kr) (5.6)

- 146 -

여기서 k는 매질 내부의 감쇠를 표 한 수(wave number)를 의미하고 있

으며 다음과 같이 복소수(complex number)의 형태를 가진다.

k = k ( 1 - jη2

) (5.7)

여기서 η는 음향 매질에서의 감쇠계수(loss factor)를 나타낸다. 한편 식

(5.5)와 식 (5.6)으로부터 음향 매질에서 시간 평균된 음향 에 지 도는 운

동에 지(kinetic energy)와 치에 지(potential energy)의 합으로 다음과 같

이 표 할 수 있다.

< e >=14 (ρVr⋅V *

r+1

ρc 2pp *)

=A 2

2ρc 2r 2 [ 1+ 1

2(kr) 2+

η2kr

+η2

8 ] exp (-ηkr )+B 2

2ρc 2r 2

×[ 1+ 1

2(kr)2 -

η2kr

+η2

8 ] exp (ηkr )+AB

2ρc2r

2

×[ { 1

(kr) 2-

η2

4 } cos 2kr+ 2rk

sin 2kr] (5.8)

한 시간 평균된 음향 인텐시티의 r 방향 성분은 다음과 같다.

=12Re(pV

*r)

=A 2

2ρcr 2exp (-ηkr)-

B 2

2ρcr 2exp (ηkr)-

ηAB

2ρcr 2sin2kr (5.9)

여기서 첨자 *는 공액복소수(conjugate of complex number)를 의미하고 ρ

- 147 -

와 c는 각각 음향 매질에서의 도와 군속도(group velocity)를 의미한다.

방사소음해석을 해 열린 음향 공간에서 음향 에 지와 인텐시티와의

계를 유도하기 해 사용될 식 (5.8)와 식 (5.9)의 각 항들은 순수하게 지수

함수 으로 감소하거나 증가하는 항들과 공간 으로 주기 인 특성을 보이는

항들로 구성되어 있다. 이 식들을 어떠한 가정이나 변형 없이 사용하여 음향

에 지 도와 인테시티 사이의 계를 찾기가 어렵다. 만약 해석하고자 하는

심 치가 상 구조물로부터 멀리 떨어져 있고(즉 kr≫1) 음향 공간 내의

매질 특성이 에 지 감쇠를 잘 일으키지 않는다면(즉 η≪1), 식 (5.8)과 식

(5.9)는 다음과 같이 간단하게 표 할 수 있다.

< e > =A 2

2ρc2r

2 exp (- ηkr ) +B 2

2ρc2r

2 exp (- ηkr ) (5.10)

 =A 2

2ρcr 2 exp (-ηkr )-B 2

2ρcr 2 exp (-ηkr ) (5.11)

일반 으로 워흐름해석법에서 심있는 해석 주 수 역은 해석 구조물의

특성 길이(characteristic length)나 측 까지의 거리가 음 의 장보다 매

우 큰 고주 수 역이기 때문에 kr이 매우 크다는 원거리(far field) 가정

은 상당히 타당하다. 한 공기와 같은 매질에서의 에 지 감쇠는 구조물 내

부에서의 감쇠보다 매우 작게 일어나기 때문에 감쇠(low damping)를 가정

하는 것도 충분히 설득력이 있다.

이러한 원거리와 감쇠에 한 가정을 바탕으로 간단하게 정리된 음향에

지 도에 한 식 (5.10)과 음향인텐시티에 한 식 (5.11) 사이의 에 지

달 계(energy transmission relation)를 구할 수 있다. 식 (5.10)의 양 변에

r 2을 곱하고 r에 해 미분을 취하면 식 (5.12)와 같은 식을 얻을 수 있다.

- 148 -

∂∂r

(r 2 <e>)=-ηk

2ρc 2(A 2 exp (-ηkr )-B 2 exp (-ηkr )) (5.12)

식 (5.11)과 식 (5.12)로부터 에 지 달 계를 유도하면 다음과 같다.

 = -ck η

1

r 2∂∂ r

( r 2 < e > ) (5.13)

식 (5.13)을 좀더 간단히 표 하면 식 (5.14)와 같이 나타낼 수 있다.

 = -c 2

η ω ( ∂ < e >∂ r

+2r

< e > ) r (5.14)

5.2.2. 에 지지배방정식

외부 음원(sound source)에 의해 음향 매질로 입력되는 워는 매질의 감

쇠에 의한 손실 워와 인 한 매질로 달되는 워의 합으로 나타낼 수 있

다. 정상상태를 가정하면 음향 매질에서 에 지 평형 법칙을 표 하는 식

(2.6)은 본 장에서 다루고 있는 열린 음향공간에 한 방사 소음 문제에서도

여 히 타당하다.

▽⋅ I+π diss=π in (5.15)

한편, 감쇠에 의한 손실 워를 나타내는 π diss와 체 음향 에 지 도와

의 계를 고려하여야 한다. 식 (2.9)과 같은 형태의 에 지 손실 계식을

용하기 해서는 운동 에 지와 치 에 지가 동일해야 하는데 시간 평균

된 음향 에 지 도에 한 표 식을 구하는 과정에서 알 수 있듯이 시간

평균된 운동 에 지 도와 치 에 지 도는 서로 동일함을 알 수 있다.

- 149 -

따라서 식 (5.16)와 같이 에 지 손실 계를 고려할 수 있다.

< π diss > = ηω < e > (5.16)

결국 에 지 평형 법칙을 나타내는 식 (5.15)에 에 지 달 계식인 식

(5.14)과 에 지 손실 계식인 식 (5.16)을 용하면 음향 에 지 도를 기

본 변수로 하는 미분 방정식을 다음과 같이 유도할 수 있다.

-c 2

ηω ( ∂ 2 <e>

∂2r

+4r

∂ < e >∂r

+2

r2 <e>)+ηw < e >=< π in> (5.17)

여기서 r은 구면 의 심, 즉 음원(source)으로부터의 거리를 나타낸다. 2차

원 공간에 해서 언 되었던 내용과 유사하게 식 (5.14)에 보이는 구면 에

해서 표 된 에 지 달 계는 식 (2.13)와 같은 Fourier 법칙을 만족하지

않는다.

무한한 삼차원 음향공간에서 극단자 음원(monopole source)에 의해 형성되

는 음장은 음 가 구면 형태로 무한 역으로 진행하게 되는데 이 동의

진동 에 지 도는 1/r 2에 비례한다. 한편 3차원 실내소음해석의 경우에 사

용된 평면 에 한 에 지지배방정식의 해는 1/r에 비례하는 반면에 구면

에 한 에 지지배방정식의 해는 1/r 2에 비례하게 되어 실제 진동 상과

일치한다. 삼차원 방사소음해석을 한 열림 음향공간에 하여 음장이 분산

장의 형태로 나타나지 않고 직 장(direct field) 특성이 강하게 나타나기 때

문에 구면 에 한 해를 사용해야 한다.

- 150 -

5.3. 기본해의 유도

워흐름경계요소법을 3차원 방사소음해석에 용하기 해서는 앞에서 유

도된 식 (5.17)에 한 기본해(fundamental solution)를 알아야 한다. 식 (5.17)

에 한 기본해는 입력 워 < π in>의 항을 단 음원이 한 항으로 바꾸는

것에 의하여 다음과 같이 나타날 수 있다.

-c 2

ηω ( ∂ 2G

∂2r

+4r

∂G∂r

+2

r2 G)+ηwG=δ( x- ξ) (5.18)

여기서 δ( x- ξ )는 Dirac 델타 함수를 의미하며 x는 측 의 치벡터를

나타내고 ξ는 음원의 치벡터를 표시한다. 식 (5.18)의 기본해 G는 단

음원과 음향에 지 도 사이의 계를 나타낸다. 한편 식 (5.18)의 우변에 존

자하는 Dirac 델타 함수는 구형좌표계(spherical coordinate system)에서 다음

과 같이 표 된다.

δ( x- ξ )=δ(r)

2πr 2 (5.19)

식 (5.18)에 식 (5.19)를 입하여 구형좌표계에 한 식으로 다시 표 하면

아래와 같다.

-c 2

ηω ( ∂ 2G

∂2r

+4r

∂G∂r

+2

r2 G)+ηwG=

δ(r)

2πr2

(5.20)

한편 식 (5.20)에서 r≠0인 경우에 식 (5.20)은 다음과 같다.

-c

2

ηω ( ∂2G

∂ 2r+

4r

∂G∂r

+2

r 2G)+ηwG=0 for r≠0 (5.21)

- 151 -

식 (5.21)의 일반해를 구하면 식 (5.22)와 같다.

G=C 1

r2 exp(-ηkr )+

C 2

r2 exp(-ηkr ) (5.22)

여기서 C 1과 C 2

는 아직 결정되지 않은 각 항의 상수들이다. 한편 방사소음

해석을 수행하기 해서 식 (5.22)는 방사경계조건(Sommerfeld radiation

condition)을 만족해야한다. 즉 무한 경계에서 반사 가 존재하지 않기 해

서 거리 r→∞인 경우에 기본해 G가 0으로 수렴해야하고 식 (5.22)의 상수

C 2= 0이 된다. 따라서 방사소음해석에 사용되는 음향에 지 도에 한 기

본해 G는 다음과 같은 형태를 갖게 된다.

G=C 1

r 2exp(-ηkr ) (5.23)

한편, 방사소음해석을 수행하기 해서 인텐시티에 한 그린함수(Green

function), 즉 기본해 H가 필요하게 되는데 이는 식 (5.13)을 이용하여 다음

과 같이 구할 수 있다.

H=-ckη

1

r 2∂∂r

(r2G)=C 1

c

r 2exp (-ηkr) (5.24)

한편 에 지지배방정식의 입력 워 항에 단 입력 워가 용된 경우에

해서 기본해를 유도하고 있기 때문에 입력 워가 작용하는 r= 0 근처에 입

력 워를 포함하는 면 이 S인 작은 구를 가정하면 이 구의 표면을 통해 빠

져나가는 워는 항상 1이 되어야 한다. 이러한 인텐시티 조건을 이용하여

상수 C 1의 값을 쉽게 계산할 수 있다.

- 152 -

limr→0

⌠⌡S

δ(r)

2πr 2dS= lim

r→0

⌠⌡SHdS (5.25)

식 (5.25)의 좌변에서 δ(r) / 2πr2의 분은 Dirac 델타 함수의 특성에 의해

서 1이 된다. 따라서 식 (5.25)에 식 (5.24)를 입하여 정리하면 상수 C 1은

다음과 같이 얻어진다.

1= limr→0C 1c

r 2exp (-ηkr )×4πr 2= 4π cC 1

(5.26)

식 (5.26)으로부터 상수 C 1의 값은 1/4 π c가 된다. 그러므로 식 (5. 23)과 식

(5.24)의 음향에 지 도에 한 기본해 G와 인텐시티에 한 기본해 H는

다음과 같이 구하여 진다.

G(r)=1

4πcr 2 exp(-ηkr ) (5.27)

H(r)=1

4πr 2 exp(-ηkr) (5.28)

5.4 방향성 인자를 고려한 기본해

5.3 에서 유도된 열린 음향공간에서 방사소음해석을 해 유도된 음향에

지 도에 한 식 (5.27)과 인텐시티에 한 식 (5.28)의 경우 모든 방향으

로 동일한 크기의 소음 에 지 값이 됨을 확인할 수 있다. 기존의 경계

요소법에서는 변수로 압력을 사용하기 때문에 여러 압력들 간의 상차에 의

해서 자동 으로 소리의 방향성이 나타나게 된다. 그러나 에 지를 변수로

사용하는 워흐름경계요소법의 경우 상차에 한 정보는 사라지고 거리에

- 153 -

한 정보만이 남기 때문에 방향성이 나타나지 않게 된다. 기존의 경계요소

법의 경우 구형 구조물의 진동시 방향성이 나타나지 않지만 평 구조물의

진동시에는 평 의 법선 방향으로 방향성이 나타남을 확인할 수 있다. 그러

나 워흐름경계요소법에서는 구형 구조물과 평 구조물 모두 방향성이 없

이 구형 구조물에서의 소음방사 형태와 유사한 형태를 나타낸다. 따라서 열

린 공간에서의 방향성을 나타내기 해 방향성 인자를 고려한 기본해가 연구

되어야 한다.

5.4.1. 서로 다른 n개의 소스에 의한 에 지

임의의 지 에 하여 서로 다른 Amplitude 와 거리에 있는 n개의 소스에

의한 압력은 다음과 같다.

p(r)=A 1

r 1e

-j k˜r 1+A 2

r 2e

-j k˜r 2+⋅⋅⋅+Anr ne

-j k˜r n (5.29)

식 (5.29)을 이용하여 에 지를 구하면 다음과 같다.

<e> =1

2ρc2g

∣p∣2

=1

2ρc2g

∣A 1

r 1

e-j k˜r 1

+A 2

r 2

e-j k˜r 2

+⋅⋅⋅+Anr ne

-j k˜r n∣

2

=1

2ρc2g

ꀊ

ꀖ

ꀈ

︳︳︳

︳︳︳

A21

r21

e-ηkr 1

+A

22

r22

e-ηkr 2

+⋅⋅⋅+A

2n

r2n

e-ηkr n

+ ∑n

i,j,i≠j

2A iA jr ir j

e-

η2k(r i+r j)

cosk(r i-r j)

ꀋ

ꀗ

ꀉ

︳︳︳

︳︳︳

(5.30)

식 (5.30)을 살펴보면 워흐름경계요소법의 에 지항들과 비교하 을 때

식 (5.31)의 항이 덧붙여졌음을 알 수 있다.

- 154 -

∑n

i,j,i≠j

2A iA jr ir j

e-

η2k(r i+r j)

cosk(r i-r j) (5.31)

식 (5.31)에서 n번째 소스에 해 생각하면 다음과 같다.

∑n

i,n,i≠j

2AiAnr ir n

e-

η2k(r i+r n)

cosk(r i-r n)

=2A 1Anr 1r n

e-

η2k(r 1+r n)

cosk(r 1-r n)

+2A 2Anr 2r n

e-

η2k(r 2+r n)

cosk(r 2-r n)

+⋅⋅⋅

+2An-1Anr n-1r n

e-

η2k(r n-1+r n)

cosk(r n-1-r n)

(5.32)

식 (5.32)에서 마지막 항에 해 살펴보면 다음과 같다.

2An-1Anr n-1r n

e-

η2k(r n-1+r n)

cosk(r n-1-r n)

=An-1Anr n-1r n

e-

η2k(r n-1+r n)

cosk(r n-1-r n)+An-1Anr n-1r n

e-

η2k(r n-1+r n)

cosk(r n-1-r n)

(5.33)

식 (5.33)에서 먼 거리라고 가정한다면 r n-1=r n이라고 볼 수 있다. 따라서

식 (5.33)은 식 (5.34)과 같이 표 할 수 있다.

- 155 -

An-1An

r n-1r ne

-η2k(r n-1+r n)

cosk(r n-1-r n)

+An-1An

r n-1r ne

-η2k(r n-1+r n)

cosk(r n-1-r n)

=An-1(An-An-1)+A

2n-1

r n-1r ne

-η2k(r n-1+r n)

cosk(r n-1-r n)

+(An-1-An)An+A

2n

r n-1r ne

-η2k(r n-1+r n)

cosk(r n-1-r n)

=An-1(An-An-1)+A

2n-1

r2n-1

e-ηkr n-1

cosk(r n-1-r n)

+(An-1-An)An+A

2n

r2n

e-ηkr n

cosk(r n-1-r n)

(5.34)

식 (5.34)에서 만약 소스들 간의 크기가 비슷하다고 가정한다면

A n-1(A n-A n-1)≪A2n-1

, (A n-1-A n)A n≪A2n

(5.35)

식 (5.35)에 의해 식 (5.33)은 다음과 같이 표 할 수 있다.

2An-1Anr n-1r n

e-

η2k(r n-1+r n)

cosk(r n-1-r n)

=A

2n-1

r2n-1

e-ηkr n-1

cosk(r n-1-r n)+A

2n

r2n

e-ηkr n

cosk(r n-1-r n)

(5.36)

- 156 -

식 (5.36)을 이용하면 식 (5.30)은 다음과 같이 표 될 수 있다.

(5.37)

(5.37)식을 통해 기본해 G(r)는 다음과 같이 가정할 수 있다.

G(r i)=1

2ρc2gr

2i

e-ηkr i{1+ ∑

n

j=1,i≠jcosk(r i-r j)} (5.38)

식 (5.38)에서 1

2ρc2gr2i

e-ηkr i 은 단 소스에 한 에 지의 기본해이고,

1

2ρc2gr

2i

e-ηkr i

∑n

j=1,i≠jcosk(r i-r j)은 소스들 간의 phase정보를 나타내기 한 값

이라고 볼 수 있다.

5.5. 자유수면 효과를 고려한 기본해

5.3 에서 유도된 열린 음향공간에서 방사소음해석을 해 유도된 음향에

지 도에 한 식 (5.27)과 인텐시티에 한 식 (5.28)은 자유수면효과를 고

려해야하는 얕은 깊이의 수 에서 더 이상 합하지 않다. 수 의 음원에 의

해 발생한 음 (wave)는 얕은 수심에서 자유수면에 입사하고 다시 반사

(reflected wave)가 발생하게 되며 이러한 반사 들은 입사 (incident wave)

- 157 -

와 상차가 발생하기 때문에 5.3 의 열린 음향공간에서 유도된 음향에 지

도와 인텐시티에 한 식은 수 에서의 음장을 더 이상 잘 표 할 수 없게

된다. 따라서 얕은 수심의 방사소음해석 등을 해 자유수면효과를 고려한

기본해가 고려되어야 한다.

그림 5.1과 같이 수 (매질 1)에서 입사 가 자유수면으로 입사하고 자유수

면에 의해 반사 가 다시 수 으로 반사되면 투과 (transmitted wave)는 공

기 (매질 2)로 나가는 상을 수식으로 표 하면 다음과 같다.

p i=Aiexp[- jk 1cosφ isinθ ix- jk 1sinφ isinθ iy- jk 1cosθ iz] (5.39)

p r=Arexp[- jk 1cosφ rsinθ rx- jk 1sinφ rsinθ ry- jk 1cosθ rz] (5.40)

p t=Atexp[- jk 2cosφ tsinθ tx- jk 2sinφ tsinθ ty- jk 2cosθ tz] (5.41)

여기서 p i는 수 에서 자유수면으로 입사하는 음압 성분을 나타낸 것이고,

p r은 수 으로 반사되는 음 성분을 의미하며 p t는 공기 으로의 투과

이다. 그리고 θ는 각각의 동 성분들이 z축과 이루는 각이고, φ는 각각의

들이 x-y평면에 정사 되었을 때 x축과 이루는 각이다. 상수 Ai와

Ar 그리고 At는 각각 입사 와 반사 , 투과 의 크기를 나타낸다. 한

k 1과 k 2

는 각각 매질 1과 매질 2에서의 수(wave number)를 의미한다.

식 (5.39-40)에 자유수면에서의 경계조건, 즉 압력의 연속성과 입자속도의

연속성을 용하고 상차(phase matching)를 고려하면 음압에 한 반사계

수(reflection coefficient) R은 근사 으로 R≈-1이 됨을 알 수 있다. 따라

서 수 에서 자유수면효과를 고려한 경우에 구면 (spherical wave)는 식

(5.42)과 같이 표 할 수 있다.

- 158 -

p=Ar 1

exp(- jkr 1)-Ar 2

exp(- jkr 2) (5.42)

여기서 거리 r 1은 그림 5.2에서 보는 바와 같이 음원에서 측 까지의 직

경로(direct path) 상의 거리이고, 거리 r 2은 음원으로부터 자유수면에 반사

되어 측 까지 이동한 경로상의 거리, 즉 가상음원에서 측 까지의 거리

를 의미한다.

한편 에 지 도나 인텐시티는 음압 크기의 제곱에 비례하기 때문에 워

반사계수(power reflection coefficient)를 사용하여 나타낼 수 있고 이때 워

반사계수 RW는 근사 으로 1의 값을 갖는다. 따라서 자유수면효과를 고려하

한 에 지 도와 인텐시티의 기본해는 식 (5.27)과 식 (5.28)을 이용하여 다음

과 같이 나타낼 수 있다.

G=1

4π c r 21exp (-ηkr 1 )+

1

4 π c r 22exp (-ηkr 2 ) (5.43)

H=1

4π r 21exp (-ηkr 1 )+

1

4π r 22exp (-ηkr 2 ) (5.44)

여기서 1/r 21 exp (-ηkr 1 )은 음원에서 측 으로의 직 경로에 의한 향을

나타낸 것이고, 1/r22 exp (-ηkr 2 )은 자유수면에서 반사에 의한 향을 표

한 것이다. 식 (5.43)와 식 (5.44)의 에 지 도와 인텐시티에 한 기본해를

살펴보면 직 경로를 통해 측 으로 들어오는 음 와 반사경로를 통해 들

어오는 음 사이의 상 계(correlation)를 나타내는 항이 존재하지 않고 있

다. 따라서 식 (5.43-44)는 직 경로와 반사경로를 통해서 들어오는 음 의

상 계가 없거나 고려할 필요가 없는 경우에 사용할 수 있다. 그러나 실제

상에서 두 경로를 통해 들어오는 음 사이의 상 계가 존재하기 때문에

- 159 -

두 경로 사이의 상 계를 나타내는 항을 발견해야 한다.

이를 해 식 (5.42)를 이용하여 수 에서의 에 지 감쇠를 고려한 구형

를 표 하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

p=Ar 1

exp(- j kr 1)-Ar 2

exp(- j kr 2) (5.45)

여기서 k는 에 지 감쇠를 고려한 복소 수(complex wave number)를 의미

하나다. 식 (5.45)를 선형화된 운동량 방정식(Euler's equation)에 입하여 입

자속도를 표 하면 다음과 같다.

Vr=Ajωρ

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳{ 1

r21+

( j+ η2 )kr 1 } exp (-kr 1 ( j+ η

2 ))

-{ 1

r22

+( j+ η

2 )kr 2 } exp (- kr 2( j+ η

2 ))dr 2dr 1

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳ (5.46)

식 (5.45)와 식 (5.46)을 이용하고 5.2 에서와 같이 원거리(far-field)에 한

가정 kr≫1과 감쇠(low damping)에 한 가정 η≪1을 용하여 음향에

지 도와 인텐시티를 나타내면 다음과 같다.

e=A 2

4ρc2 [ 2

r21

exp (-ηkr 1)+1

r22

exp (-ηkr 2){ 1+ (dr 2dr 1 )

2

}

-2r 1r 2

exp (- ηk2

(r 1+ r 2)) cos k(r 1- r 2) ( 1+dr 2dr 1 )] (5.47)

I r=A

2

2ρc [ 1

r 21exp (-ηkr 1)+

1

r 22exp (-ηkr 2)(

dr 2dr 1 )

- 160 -

-1r 1r 2

exp (- ηk2

(r 1+ r 2)) cos k(r 1- r 2) ( 1+dr 2dr 1 )] (5.48)

한편 원거리에서 dr 2/dr 1를 표 하기 해서 그림 5.3을 이용하여 r 1

과

r 2를 θ에 해 표 하면 다음과 같다.

r 1= h2+ r

2-2hr cos θ (5.49a)

r 2= h 2+ r 2+2hr cos θ (5.49b)

여기서 h는 자유수면에서 음원까지의 거리를 의미하고 θ는 그림 5.3에서 보

는 바와 같이 음원과 자유수면 그리고 측 이 이루는 각 ∠AOC로 정의한

다. 만약 음원이 얕은 수심에 존재하고 원거리 역을 고려하여 h가 상

으로 r보다 작다고 가정하면 다음과 같은 식이 성립한다.

r 2- r 1≈ 2 h cos θ (5.50)

만약 측 의 치 C의 좌표를 (x,y,z )로 가정하고 음원이 존재하는

치 A의 좌표를 (a,b,h )라 놓으면 가상음원의 치 A'은 (a,b,-h )이

되고 이때 r 1과 r 2

는 다음과 같은 계식을 만족한다.

r21= (x-a)

2+(y- b)

2+(z-h)

2 (5.51a)

r22= (x-a) 2+ (y- b) 2+ (z+h) 2 (5.51b)

- 161 -

식 (5.51)로부터 다음의 계식은 성립한다.

r22= r

21+ 4h z (5.52)

이때 식 (5.52)를 r 1에 해서 미분하여 정리하면 다음과 같다.

dr 2dr 1

=r 1r 2

+2hr 2

dzdr 1

(5.53)

한 식 (5.51a)를 z에 해 미분하여 정리하고 식 (5.53)을 이용하면 다음의

계식이 성립한다.

dr 2dr 1

=r 1r 2

+2hr 2

r 1z-h

=r 1r 2

z+hz-h

(5.54)

만약 음원으로부터 측 까지의 거리가 상당히 멀리 떨어져 있다면 근사

으로 r≈r 1≈r 2가 성립하고, 수심이 깊지 않다면 식 (5.44)에서 dr 2/r 1≈1이

된다. 이상을 이용하여 식 (5.47)과 식 (5.48)의 음향에 지 도와 인텐시티를

나타내면 다음과 같이 쓸 수 있다.

e(r)=A

2

2ρc 2D

r 2exp (-ηkr ) (5.55)

I r(r)=A 2

2ρcD

r2 exp (-ηkr ) (5.56)

여기서 D= 1+ exp (-2ηkh cos θ)-2cos (2kh cos θ) exp (-ηkh cos θ)이로

- 162 -

표 된다.

한편 수 에서의 방사소음해석을 수행하기 해서는 자유수면효과를 고려

한 기본해가 필요하고 이 기본해는 에 지 도에 해서 식 (5.55)와 같은 형

태를 가지게 될 것이므로 다음과 같이 에 지 도에 한 기본해 G를 표

하여도 무방하다.

G(r)=C 1D

r 2exp (-ηkr ) (5.57)

마찬가지로 인텐시티에 한 기본해 H(r)를 표 하면 다음과 같다.

H(r)=C 1cD

r2 exp (-ηkr ) (5.58)

5.3 에서와 마찬가지로 단 입력 워가 용된 경우에 해서 기본해를

유도하고 있기 때문에 입력 워가 작용하는 r= 0 근처에 입력 워를 포함하

는 면 이 S인 작은 구를 가정하면 이 구의 표면을 통해 빠져나가는 워는

항상 1이 되어야 한다. 이러한 인텐시티 조건을 이용하여 상수 C1의 값을 쉽

게 계산할 수 있다.

limr→0

⌠⌡S

δ(r)

2πr 2dS= lim

r→0

⌠⌡SHdS (5.59)

식 (5.59)에 식 (5.58)을 입하여 정리하면 상수 C 1은 다음과 같이 얻어진

다.

1= limr→0C 1cD

r 2exp (-ηkr )×4πr

2= 4π cDC 1

(5.60)

- 163 -

식 (5.60)의 D에서 exp (-2ηkh cos θ)-2cos (2kh cos θ) exp (-ηkh cos θ)

에 한 항은 반사 와의 상 계에 의해 생겨난 것으로 r→0인 경우에 반

사 의 효과는 사라지고 이 항은 0이 된다. 따라서 식 (5.60)의 D=1이 되고

상수 C 1의 값은 1/4 π c가 된다. 최종 으로 자유수면효과를 고려한 음향에

지 도에 한 기본해 G와 인텐시티에 한 기본해 H는 다음과 같이 표

할 수 있다.

G(r)=D

4π c r2 exp (-ηkr ) (5.61)

H(r)=D

4π r 2exp (-ηkr ) (5.62)

5.6. 워흐름 경계 분식의 정립

본 에서는 고주 수 역의 3차원 방사소음에 한 워흐름경계요소

해석을 수행하기 해서 워흐름경계요소법의 간 인 기법에 한 경계

분식을 정립한다. 경계요소법의 간 인 기법에서는 해석하고자 하는 유한

한 크기의 실제 시스템을 무한 역 내에 끼워 넣고 무한 역과 시스템 사이

의 경계에 가상 음원(fictitious source)이 분포한다고 가정하고 심 역에서

의 해석결과는 기본해를 사용하여 경계에서의 가상 음원에 기인한 효과들을

합하여 얻어진다. 3차원 방사소음에 한 워흐름경계요소해석을 수행하기

해서 본 논문의 5.3 과 5.4 에서 유도된 열린 음향공간에서의 기본해와

자유수면효과를 고려한 기본해를 사용한다.

3차원 역에서의 방사소음해석을 해서 사용되는 간 기법에 의한

워흐름경계 분식은 음향 에 지 도에 한 식 (3.81)과 음향 인텐시티에

- 164 -

한 식 (3.82)에서와 같은 형태를 가지며 다음과 같이 쓸 수 있다.

e(x) = ⌠⌡SG(|x-ξ|) φ(ξ) dS(ξ)+⌠

⌡VG(|x- z|) π in ( z) dV(z) (5.63)

I ( x) = ⌠⌡SH(|x- ξ|) φ(ξ) dS(ξ) +⌠

⌡VH(|x- z|) π in ( z) dV(z) (5.64)

여기서 기본해 G는 3차원 역에 방사소음해석에 한 식 (5.61)과 같은 형

태이며 x는 심 역의 찰 을 가리키고 ξ는 경계에서의 가상 소스의

치를 의미한다. z는 입력 워의 치를 가리키고 φ(ξ)는 경계면 상에서

의 가상 소스의 크기를 의미한다. 한 V는 3차원 열린 음향공간에 한

심 역을 나타내고 S는 심 역으로 둘러싸인 구조물의 경계면을 의미한

다. 경계에서의 가상 소스 φ(ξ)는 경계 조건의 성질에 따라 식 (5.63)과 식

(5.64)을 이용하여 구할 수 있는데 이때 분시 특이 분에 한 향을 고

려해줘야 한다. 만약 찰 x가 해석 상의 경계면 S로 이동하게 되면,

식 (5.63)과 식 (5.64)의 우변 첫 번째 경계 분 항은 특이 분을 가지게 된

다. 이 경우에 식 (5.63)의 특이 분항은 다음과 같이 특이 분이 발생하는

에 해서 경계를 나 어 다음과 같이 표 할 수 있다.

⌠⌡SG(|x- ξ|)φ(ξ) dS(ξ)= ⌠

⌡S ε

G(|x- ξ|)φ(ξ) dS(ξ)

+⌠⌡S- S ε

G(|x- ξ|) φ(ξ) dS(ξ) (5.65)

여기서 S ε은 특이 분이 발생하는 근처의 미소 경계를 나타낸다. 만약 특

이 분 에서의 경계면이 부드러운 곡면에 치해 있다면 미소 경계면 S ε은

특이 분 에 심이 치한 반지름이 ε인 반구의 형상을 가지게 된다. 이때

- 165 -

식 (5.65)의 우변 첫 번째 항은 다음과 같이 표 할 수 있다.

⌠⌡ S ε

G(|x- ξ|) φ(ξ) dS( ξ)= ⌠⌡ S ε

1

4 π c ε2 exp (-ηkε) φ(ξ) dS( ξ) (5.66)

만약 ε이 ε→0이면, 반구형상의 미소 경계면 S ε은 S ε= 2πε 2의 값을 가지

므로 식 (5.66)은 다음과 같이 정리할 수 있다.

limε→0

⌠⌡S ε

1

4 π c ε 2 exp (-ηkε) φ(ξ) dS( ξ)=12c

φ(ξ) (5.67)

한 식 (5.65)의 두 번째 분항에서 분경계면 S-S ε은 ε이 0으로

근하면서 경계면 S로 바 게 된다. 따라서 식 (5.53)의 에 지 도에 한

경계 분식의 간 표 은 경계면이 부드러운 곡면을 이룰 때 다음과 같이

표 할 수 있다.

e(x) =12c

φ(x)+⌠⌡SG(|x- ξ|) φ(ξ) dS(ξ)+⌠

⌡VG(|x- z|) π in ( z) dV(z) (5.68)

만약 자유수면효과를 고려한 방사소음해석을 수행하는 경우에 식 (5.66)에

서 열린 음향공간에 한 기본해는 자유수면효과를 고려한 기본해에 한 식

(5.61)로 바 게 되고 이때 식 (5.66)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

⌠⌡ S ε

G(|x- ξ|) φ(ξ) dS( ξ)= ⌠⌡ S ε

D

4π c ε 2 exp (-ηkε) φ(ξ) dS( ξ) (5.69)

여기서 D는 D= 1+ exp (-2ηkh cos θ)-2cos (2kh cos θ) exp (-ηkh cos θ)

이다. 마찬가지로 ε이 ε→0이면 식 (5.69)는 식 (5.70)과 같이 정리할 수 있

- 166 -

다.

limε→0

⌠⌡S ε

D

4πcε2 exp(-ηkε) φ(ξ) dS(ξ)= lim

ε→0

D2c

φ(ξ) (5.70)

여기서 D의 exp (-2ηkh cos θ)-2cos (2kh cos θ) exp (-ηkh cos θ) 항은

반사 와의 상 계에 의해 생겨난 것으로 ε→0인 경우 이 항은 0이 되고

D=1이 된다. 따라서 자유수면효과를 고려한 경우의 에 지 도에 한 경

계 분식의 간 표 은 경계면이 부드러운 곡면을 이룰 때 식 (5.68)과

같은 형태를 가지게 된다.

3차원 방사소음해석을 해서 해석 구조물의 경계조건으로 음향 에 지

가 주어진 경우에 식 (5.68)을 이용하면 경계면에서의 가상 음원의 크기 φ를

구할 수 있다. 만약 경계조건으로 음향 인텐시티가 주어진다면 에 지 도에

해서 수행한 특이 분 과정과 같은 과정을 식 (5.64)에 해 수행하여 경

계에서 가상 음원을 구할 수 있다.

5.7. 수치 해석 결과 검토

본 에서는 앞에서 유도된 고주 역의 3차원 방사소음해석을 한

워흐름경계요소법을 간단한 평 구조물과 구형 구조물에 수치 으로 용

하여 얻어진 결과를 검토한다.

5.7.1. 열린 음향공간에서의 수치 검증

3차원 방사소음해석의 검증에 가장 많이 사용되는 기본 구조물인 구 형상

모델에 한 음향 에 지 도와 인텐시티를 측하기 해서 앞에서 유도된

워흐름경계요소법에 한 식 (5.76)과 식 (5.77)을 이용한다. 그림 5.5.에서

- 167 -

보는 것과 같이 반지름의 길이가 0.2m인 구 형상의 구조물이 모든 방향으

로 균일하게 진동하고 있으며 따라서 경계조건으로 해석 모델 체에 균일한

인텐시티를 가정한다. 이러한 구조물의 음향 워흐름경계요소해석 결과는

상용 음향해석 로그램인 SYSNOISE와 비교하 다. SYSNOISE는 기본

으로 헬름홀쯔 방정식(Helmholtz equation)에 경계요소법을 용한 음장해석

로그램으로써 주 수 역의 소음해석에 주로 이용되고 있다. 이 상용

로그램을 이용하여 고주 수 역을 해석하기 해서 모델을 상당히 많은

수의 요소로 분할하 고 약 2kHz까지 해석이 가능하도록 모델링하 다.

SYSNOISE를 이용하여 해석을 수행하면 심 역에서의 음압과 입자속도를

얻을 수 있고 이를 음향 워흐름경계요소법의 기본 변수인 음향 에 지 도

와 음향 인텐시티의 값으로 변환하여 결과를 비교한다.

먼 그림 5.5는 매질(medium)에서의 에 지 감쇠에 의한 내부손실계수를

η= 0으로 가정하고 해석 모델의 경계면의 수직 속도(normal velocity)가

v n=0.1m/s이며 주 수가 f=1kHz 인 경우를 나타낸 것으로 상용 음향해

석 로그램인 SYSNOISE의 결과와 음향 워흐름경계요소법을 용하여

얻어진 에 지 도를 구조물의 심을 지나는 측 음장에 해서 비교한

것이다. 그림 5.6은 그림 5.5와 같은 조건하에서 구조물의 심을 따른 선

(line) 상에 2m 길이의 측 을 분포시키고 각 측 에서의 에 지 도 값

을 비교한 것이다. 그림 5.6에서 보듯이 구조물로부터의 거리가 멀어질수록

SYSNOISE의 결과와의 차이가 커지는 것을 볼 수 있으나 그 차이는 미미하

고 거리에 따른 에 지감소 형태를 음향 워흐름경계요소법의 결과가 잘 따

라가고 있음을 확인할 수 있다. 그림 5.7은 그림 5.5와 같은 가정하에서 측

평면을 구조물의 심에서 1m떨어진 평면으로 바꾸어 그 측 상에서의

결과값을 살펴본 것이고, 그림 5.8은 5.7의 측 평면의 심을 따라

SYSNOISE의 결과와 음향 워흐름경계요소법의 결과를 비교한 것이다. 이

들의 비교를 통해 열린 음향공간에서의 3차원 방사소음 문제에 있어서 음향

워흐름경계요소법에 의한 결과가 실제 음장해석에 사용되는 상용 로그램

- 168 -

의 결과와 상당히 잘 일치하고 있음을 알 수 있다. 한편 그림 5.9와 그림

5.10은 매질(medium)에서의 에 지 감쇠에 의한 내부손실계수를 η= 0으로

가정하고 해석 모델의 경계면의 수직 속도(normal velocity)가 v n= 0.01m/s

이며 주 수가 f=0.5kHz 인 경우에 SYSNOISE와 음향 워흐름경계요소법

의 결과를 다양한 측 음장에 해서 비교한 것이다. 이 경우에도 상용

로그램과 음향 워흐름경계요소법에 의한 음향 에 지 도의 분포형태

결과 값이 상당히 잘 일치하는 것을 볼 수 있다.

5.7.2. 방향성 인자를 고려한 음향공간에서의 수치 검증

방향성 인자를 고려한 3차원 방사소음해석의 검증을 해서 그림 5.11과

같이 균일하게 진동하는 평 형상 구조물에 하여 상용 음향해석 로그램

인 SYSNOISE와 워흐름경계요소법을 용하여 얻어진 에 지 도를 비

교하 다. 그림 5.12는 에 지 감쇠가 없다고 가정하고 평 의 진동 속도가

v n=0.1m/s이며 주 수가 f=1kHz 인 경우에 한 해석 결과를 나타낸

것이다. 그림 5.12은 평 앞의 3m 떨어진 지 에서 SYSNOISE와 워흐름

경계요소법에 의해 해석된 결과 값을 비교한 것이다. 메인 로 에서는 거의

일치된 결과를 보여주고 있음을 확인할 수 있다. 그림 5.13는 그림 5.3과 같

은 구형 구조물이 v n=0.1m/s이며 주 수가 f=1kHz 인 경우에 해 해

석한 결과이다. 구형 구조물이 평 들로 이루어져 있음에도 불구하고 해석

결과에서는 방향성이 나타나지 않고 있다. 그림 5.14는 구의 반경 방향에 따

라서 에 지의 값을 SYSNOISE의 결과와 비교한 것이다. 두 결과가 잘 일치

함을 확인할 수 있다.

5.7.3. 자유수면효과를 고려한 수 음향공간에서의 수치 검증

자유수면효과를 고려한 3차원 수 방사소음 해석의 검증을 해서 그림

- 169 -

5.15과 같이 균일하게 진동하는 구 형상 구조물이 수면 아래에 치하고 있

는 경우에 해서 상용 음향해석 로그램인 SYSNOISE와 음향 워흐름경

계요소법을 용하여 얻어진 에 지 도를 비교하 다. 그림 5.16은 수 에

서의 에 지 감쇠가 없다고 가정하고 해석 모델의 경계면의 수직 속도

(normal velocity)가 v n=0.1m/s이며 주 수가 f=1kHz 인 경우에 그림

5.15의 1번 측 음장에서의 에 지 도 분포를 비교하여 나타낸 것이고 그

림 5.17은 2번 측 음장에서의 해석 결과를 나타낸 것이다. 이들 그림으로부

터 SYSNOISE의 결과와 잘 일치하는 것으로 보아 워흐름경계요소법이 자

유수면효과를 고려한 수 방사소음 문제에 효과 으로 용될 수 있음을 확

인할 수 있다.

5.8. 요약

본 장에서는 열린 음향공간에서 3차원 방사소음해석을 수행하기 해 새로

이 워흐름해석법의 에 지지배방정식을 유도하 다. 유도된 에 지지배방

정식을 경계요소법과 목하여 워흐름경계 분식을 정립하고 이 경계 분

식을 이산화하여 선형방정식을 유도하 으며 워흐름경계요소법의 핵심인

기본해를 개발하 다. 그리고 방향성 인자에 한 연구를 통해 열린 공간에

서 나타날 수 있는 방향성을 보여주는 기본해에 해 유도하 다. 한 군함

이나 잠수함과 같이 수면 근처에서 이동하는 물체의 고주 수 방사소음

해석에 사용될 수 있는 자유수면효과(effect of free-surface)를 고려한 새로운

형태의 기본해를 유도하 다.

- 170 -

φ i

θ i θ r

φ t

θ t

φ r

p R

p T

p i

z

x

y

medium 1

ρ 1 c 1

medium 2

ρ 2 c 2

Fig. 5.1. Reflection and transmission of plane wave obliquely incident on a

air-water boundary.

real source

medium 1

ρ 1 c 1

medium 2

ρ 2 c 2

image source

field point

free surfacer 2

r 1

Fig. 5.2. Consideration of reflected wave by image source on a air-water

boundary.

- 171 -

A'

A

B

C

r 1

r 2

h

hO

θ

r

D

Fig. 5.3. Geometric definition between source point and field point.

Fig. 5.4. Uniformly vibrating spherical source.

- 172 -

(a) SYSNOISE

(b) PFBEM


predicted by SYSNOISE and PFBEM in air when f=1kHz , v n=0.1m/s

and η= 0 . The reference energy density is 1×10- 12J/m

3.

- 173 -


vertical plane predicted by SYSNOISE ( ) and PFBEM ( ) along

x= 0 line when f=1kHz , v n=0.1m/s and η= 0 . The reference energy

density is 1×10 - 12J/m 3.

- 174 -

(a) SYSNOISE

(b) PFBEM


predicted by SYSNOISE and PFBEM in air when f=1kHz , v n=0.1m/s

and η= 0 . The reference energy density is 1×10 - 12J/m 3.

- 175 -


horizontal plane predicted by SYSNOISE ( ) and PFBEM ( ) along

x= 0 line when f=1kHz , v n=0.1m/s and η= 0 . The reference energy

density is 1×10 - 12J/m 3.

- 176 -

(a) SYSNOISE

(b) PFBEM



v n=0.01m/s and η= 0 . The reference energy density is 1×10 - 12J/m 3.

- 177 -

(a) SYSNOISE

(b) PFBEM



v n=0.01m/s and η= 0 . The reference energy density is 1×10 - 12J/m 3.

- 178 -

(a) SYSNOISE

(b) PFBEM

Fig. 5.11. The energy density distribution in z-direction when the plate is



- 179 -

65

70

75

80

85

90

95

100

Fig. 5.12. The energy density distribution at z=3m when the plate is


energy density is 1×10 -12J/m 3, * : SYSNOISE, o : PFBEM

- 180 -

(a) SYSNOISE

(b) PFBEM


is vibrating in air when f=1kHz, v n=0.1m/s and η=0. The reference

energy density is 1×10 -12J/m 3

- 181 -


is vibrating in air when f=1kHz, v n=0.1m/s and η=0. The reference

energy density is 1×10 -12J/m 3, * : SYSNOISE, o : PFBEM

free surface

field 1

field 2

Fig. 5.15. Positions of field planes for underwater radiated noise prediction

by a uniformly vibrating spherical source.

- 182 -

(a) SYSNOISE

(b) PFBEM


SYSNOISE and PFBEM in underwater when f=1kHz , v n=0.1m/s and

η= 0 . The reference energy density is 1×10 - 12J/m 3.

- 183 -

(a) SYSNOISE

(b) PFBEM


SYSNOISE and PFBEM in underwater when f=1kHz , v n=0.1m/s and

η= 0 . The reference energy density is 1×10- 12J/m

3.

- 184 -

6 . 구 조 음향 연성 계

6.1 워흐름 계연구

구조물의 하나의 시스템에서 방출되는 워는 다른 시스템의 통과하는

워의 양과 동일하다. 따라서 다음의 에 지보존 계식을 얻을 수 있다. 인

면에서 법선벡터 n은 lossless joint에서 밖으로 워가 방출되는 방향이 양

의 방향이다.

⌠⌡S=S 1+S 2

I⋅ndS=⌠⌡S 1

I 1⋅ndS 1+⌠⌡S 2

I 2⋅ndS 2=0 (6.1)

lossless joint에서의 워는 다음의 식으로 나타낼 수 있다.

⌠⌡ S 1

I 1⋅ ndS 1=⌠⌡ S 1

I inc1⋅ ndS 1+⌠⌡ S 1

I scat1⋅ ndS 1 (6.2)

⌠⌡ S 2

I 2⋅ ndS 2=⌠⌡ S 2

I inc2⋅ ndS 2+⌠⌡ S 2

I scat2⋅ ndS 2 (6.3)

여기서 산란 워는 투과․반사계수를 이용하여 입사 워의 항으로 나타낼 수

있다.

⌠⌡S 1

(∣I scat1∣)dS 1=-⌠⌡S 1

r 11(∣I inc1∣)dS 1-⌠⌡S 2

τ 12(∣I inc2∣)dS 2 (6.4)

⌠⌡S 2

(∣I scat2∣)dS 2=-⌠⌡S 1

τ 21(∣I inc1∣)dS 1-⌠⌡S 2

r 22(∣I inc2∣)dS 2 (6.5)

- 185 -

의 식 (6.4)과 식 (6.5)을 식 (6.2)과 식 (6.3)에 입하면 다음과 같은 입

사 워에 한 행렬을 구성할 수 있다.

{⌠⌡S 1

I 1⋅ndS 1

⌠⌡S 2

I 2⋅ndS 2 }=[ ]1-r 11 -τ 12

-τ 21 1-r 22 {⌠⌡S 1

|I inc1|dS 1

⌠⌡S 2

|I inc2|dS 2 }=[P]{⌠⌡S 1

|I inc1|dS 1

⌠⌡S 2

|I inc2|dS 2 } (6.6)

에 지 첩법을 이용하여 각각의 역에서의 에 지는 다음과 같이 나타

낼 수 있다.

c 1e 1=c 1 (e inc1+e scat1) (6.7)

c 2e 2=c 2 (e inc2+e scat2) (6.8)

의 두 식을 면 분하고 ce=|I|의 계식을 이용하면 다음의 계식을 얻

을 수 있다.

⌠⌡S 1

c 1e 1dS 1=⌠⌡S 1

c 1(e inc1+e scat1)dS 1=-⌠⌡S 1

∣I inc1∣dS 1+⌠⌡S 1

∣I scat1∣dS 1 (6.9)

⌠⌡S 2

c 2e 2dS 2=⌠⌡S 2

c 1(e inc2+e scat2)dS 2=-⌠⌡S 2

∣I inc2∣dS 2+⌠⌡S 2

∣I scat2∣dS 2 (6.10)

식 (6.4)과 식 (6.5)을 의 두 식에 입하면 다음의 식을 얻는다.

{⌠⌡S 1

c 1⋅e 1dS 1

⌠⌡S 2

c 2⋅e 2dS 2 }=-[ ]1+r 11 τ 12

τ 21 1+r 22 {⌠⌡S 1

|I inc1|dS 1

⌠⌡S 2

|I inc2|dS 2 }=[E]{⌠⌡S 1

|I inc1|dS 1

⌠⌡S 2

|I inc2|dS 2 } (6.11)

- 186 -

식 (6.6)과 식 (6.11)을 이용하면 각각의 시스템에서의 에 지 도와 워

와의 계식을 얻을 수 있다.

{⌠⌡S 1

I 1⋅ndS 1

⌠⌡S 2

I 2⋅ndS 2 }=[J]{⌠⌡S 1

c 1e 1dS 1

⌠⌡S 2

c 2e 2dS 2 }=[P][E] -1{⌠⌡S 1

c 1e 1dS 1

⌠⌡S 2

c 2e 2dS 2 } (6.12)

여기서 [J]는 조인트 행렬이다. 에 지 도와 워는 조인트 행렬을 통해

서 연 계를 나타낼 수 있다. 두 연결된 시스템에 한 조인트 행렬은 다

음과 같다.

[J] =[ ](1-r 11)(1+r 22)+τ 12τ 21 -2τ 12

-2τ 21 (1+r 11)(1-r 22)+τ 12τ 21

(1+r 11)(1+r 22)-τ 12τ 21

(6.13)

lossless joint에서 에 지보존 법칙에 의해서 입사 워, 산란 워, 투과 워

는 다음과 같은 계식을 갖게 된다.

⌠⌡SI inc⋅ ndS+

⌠⌡SI scat⋅ ndS+

⌠⌡SI trans⋅ ndS=0

(6.14)

산란 워와 투과 워를 입사 워로 각각 나타내면 다음의 식을 얻는다.

-⌠⌡S

|I inc|dS+⌠⌡Sr|I inc|dS+

⌠⌡S

τ|I inc|dS=0 (6.15)

식 (6.15)으로부터 연성된 시스템에서의 워 투과 반사계수는 식 (6.16)의

계식을 만족함을 얻을 수 있다.

- 187 -

r+τ=1 (6.16)

식 (6.16)을 식 (6.13)에 입하면 다음과 같은 조인트 행렬을 얻을 수 있

다.

[J] =[ ]τ 21 -τ 12

-τ 21 τ 12

(2 -τ 12-τ 21) (6.17)

6.2 구조-음향 연성

워의 연속성은 구조와 음향 역에서의 연성 계의 기본을 이룬다. 조인

트 행렬 [J]는 두 시스템의 연성 계를 워 반사계수와 투과계수의 함수이

다. 이러한 계수들은 주 수, 재질, 기하학 형상에 따라 달라진다. 따라서

워 반사계수와 투과계수를 구하는 것이 요하다.

6.2.1 구조에서 음향 연성

구조에서 음향으로의 연성 계는 다음과 같다.

그림 6.2에서 보듯이 워투과 계수 τ 21은 입사 워가 평 에 의해 투과

된 워의 비로써 나타낼 수 있다.

τ 21=I transI inc

(6.18)

투과 워는 에 지 손실을 통해서 얻을 수 있다. Cremer에 의하면 투과

워는 식 (6.19)와 같이 나타낼 수 있다.

- 188 -

I trans=⌠⌡V

η radωedV=⌠⌡S

η radωe(hdS) (6.19)

에 지 첩법에 의해 평 내의 에 지는 입사 워와 산란 워의 합으로

나타낼 수 있다.

⌠⌡ScedS= ⌠

⌡SI inc⋅ ndS+

⌠⌡SI scat⋅ndS=(1+r 11)

⌠⌡SI inc⋅ndS

(6.20)

식 (6.19)과 식 (6.20)을 이용하면 다음과 같은 워 반사계수식을 얻을 수

있다.

τ 21=I transI inc

=

⌠⌡V

η radωedV

⌠⌡SI inc⋅ ndS

=

⌠⌡V

η radωedV

1(1+ r 11 )

⌠⌡Sc gedS

(6.21)

식 (6.21)과 c g=2c ph를 이용하면 다음의 식을 얻을 수 있다.

τ 21=(1+r 11)η radωh

2c ph (6.22)

Fahy에 따르면 방사손실계수 η rad는 균일한 도를 가진 동일한 두께의 평

에 해서는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

η rad=(ρ oρ s

)1kh

σ rad (6.23)

식 (6.16), 식 (6.22)과 식 (6.23)을 이용하면 식 (6.24)와 식 (6.25)와 같은

- 189 -

워 투과 반사계수식을 얻을 수 있다.

τ 21=2β 21σ rad

2+2β 21σ rad (6.24)

r 11=2-2β 21σ rad2+2β 21σ rad

(6.25)

여기서 β 21=ρ oc oρ sc ph

이다.

6.2.2 음향에서 구조 연성

구조에서 음향으로의 워 투과계수와 음향에서 구조로의 워 투과계수는

일치하지 않는다. Fahy에 의하면 다음과 같은 음향에서 구조로의 워 투과

계수를 얻을 수 있다.

τ 12 =8π 2ρ oc

3on s ( ω )

M ω2 σ rad (6.26)

여기서 n s(ω)는 모달 도로써 다음과 같은 값을 가진다.

n s ( ω ) =k 2BS

4πω (6.27)

식 (6.26)과 식 (6.27)을 이용하면 다음과 같은 워 투과 반사 계수를 구할

수 있다.

τ 1 2 = β 21

c 2o

c p h

σ r a d

fh (6.28)

- 190 -

r 22=1-τ 12 (6.29)

6.2.3 음향 소스에 의한 가진

식 (6.29)은 Fahy에 의해 모달 근법(modal approach)으로 음향에서 구조

로의 워 투과계수를 구하 다. 이 장에서는 근법(wave approach)를

통해 음향에서 구조로의 워 투과계수를 구하고 모달 근법의 정확성을 확

립한다. 그림 6.3과 같은 반무한 평 으로 가 θ를 이루면서 입사한다고 가

정하자.

워투과계수를 얻기 해서는 다음의 두 가지 경계조건이 사용된다. 첫째

로 힘 평형 계식이다. 다음과 같이 음향공간에서의 압력과 평 에 의한 압

력이 같아야 된다.

P 1| z=0= D∂

4w(x,t)

∂x 4 +m s∂

2w(x,t)

∂t 2 (6.30)

다른 조건은 속도 평형 계식이다. 음향에서의 속도와 평 의 횡방향 진

동에 의한 속도가 같아야 된다.

u 1| z=0=∂w(x,t)

∂t (6.31)

압력과 평 의 횡방향 변 는 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다.

P 1=P ie-i(k x x+k zz-at)+P re

-i(k x x-k zz-at) (6.32)

w(x,t)=W pe- i(k z z-at) (6.33)

- 191 -

여기서 k x , k z는 음향 수 k와 각각 다음의 계를 가진다.

k x=ksin θ, k z=kcosθ (6.34)

식 (6.30)과 식 (6.31)을 이용하면 워반사계수를 구할 수 있다. 따라서

워 반사계수와 에 지 보 법칙을 이용하면 다음과 같은 워투과계수를 얻

을 수 있다.

τ 12 ( θ ) =4 ( D k

4xη

w ) ( ρ 0c 0

c o s θ )( D k

4xη

w )2

+ ( wm s-D k 4

x

w )2

(6.35)

식 (6.35)은 입사각 θ에 따른 함수이다. Fahy에 따르면 입사 워의 방향분

포는 알려진 바가 없다. 따라서 워투과계수를 단순히 하기 해서 평 에

서의 입사분산 워가 모든 방향으로 일정하다고 가정하면 Pierce에 의해 다

음과 같은 간단한 식으로 나타낼 수 있다.

τ 12=⌠⌡

θ=π2

θ=0τ 12(θ)sin(2θ)dθ

(6.36)

6.3 방사효율 연구

구조-음향 연성을 한 조인트 행렬 [J]는 워 투과계수로 이루어져 있다.

구조에서 음향으로의 워 투과계수와 음향에서의 구조로의 워 투과계수

모두 방사효율을 이용한 식으로 표 된다. 따라서 조인트 행렬을 이루기

해 방사효율에 해 살펴보도록 한다.

- 192 -

6.3.1 방사효율의 개념

진동하는 구조물에 의해 매질로 방사되는 방사 워(radiated power)를 아

는 것뿐만 아니라 주어진 구조물의 구조 진동과 방사 워(radiated power)

사이의 계를 알고자 할 때, 이 계를 다음 식과 같이 방사 효율(radiation

efficiency)로 나타낼 수 있다.

σ =ππ o

(6.37)

π는 원거리 역(far filed)에서 단일 평 으로부터 복사된 인텐시티(radial

intensity)를 분하여 구한 음향 방사 워(sound power radiated from the

plate)이고 π 0는 속도 분포의 평균 제곱근(root-mean-square value of the

velocity)을 갖는 배 된 피스톤(baffled piston)에 의해 방사되는 음향 방사

워(acoustic radiated power)를 나타낸다. 이 값은 실제로 구조물의 진동에

지 체가 음향 방사 워(acoustic radiated power) 방사될 때의 값을 나

타낸다. 실제 구조물에서 용될 때는 피스톤(piston)의 면 을 해당 구조물

과 같다고 간주한다. 그 때의 배 된 피스톤(baffled piston)에 의해 음향 방

사 워(acoustic radiated power)를 구하는 식은 식 (6.38)과 같다.

π 0=ρ 0cS< v2n> (6.38)

식 (6.38)을 식 (6.37)에 입하면 식 (6.39)을 얻을 수 있다.

σ=π

ρ 0cS< v2n>

(6.39)

- 193 -

이 때 S는 상 구조물의 면 이 되고 < v 2n>는 방사 표면(radiated

surface)에서의 속도 분포의 평균 제곱근(root-mean-square value of

velocity) 의 공간분포 평균값(spatially averaged value)이다. ρ 0는 상 구

조물을 둘러싼 매질(medium)의 도이고 c는 매질(medium) 속에서 음향

달 속도(sound speed)이다. 앞에서 언 한 구조물의 구조 진동과 음향 방사

워(acoustic radiated power) 사이의 계를 식(6.39)에서 살펴보면, 진동하는

상 구조물의 진동 에 지에 한 방사된 음향 워(acoustic radiated

power)의 비가 방사 효율(radiation efficiency) 값 σ가 된다. 이러한 방사 효

율 값을 이용한 경계 조건 연구라는 측면에서 볼 때 이 값은 다음 식에서 더

욱 명확하게 이해할 수 있다.

W=σρ ac

ρ sh< e s> (6.40)

W는 음향 해석 시에 필요한 경계 조건인 평 의 음향 방사 워 (acoustic

radiated power) 이고 < e s> 는 평 에 한 진동해석의 결과인 진동 에 지

도이다. ρ a, ρ s

는 매질과 평 의 도이며 c는 매질(medium) 속에서 음

향 달 속도(sound speed)이고 h는 평 의 두께이다. 식 (6.40)은 식 (6.39)

과 완 히 동일한 식으로 에 지 도를 속도 등의 항으로 나타내면 식

(6.39)이 된다. 식 (6.40)에서 좌변의 음향 해석 시 경계 조건 값인 음향 방사

워 (acoustic radiated power) 와 우변의 진동 에 지 도 사이의 계는

방사 효율 값이 구해짐으로써 결정된다.

6.3.2 방사효율

평 의 방사 문제에 한 자세한 연구에서는 평 의 특정한 모드 형상에서

방사 항 (radiation resistance)에 한 식을 구할 필요가 있다. 방사 항

- 194 -

(radiation resistance)은 음향 방사 워 (acoustic radiated power)를 평 의

진동에 의한 분포 속도 (velocity distribution)로 나 값으로 방사될 때의

항을 나타낸다. 다음의 식 (6.41)에서 보는 바와 같다.

σ=R radρ 0cS

=W rad

ρ 0cS< v2n>

(6.41)

1960년 , 마이다닉 (G. Maidanik)은 처음으로 체 역 (whole

frequency range)에 한 단일 모드에서의 방사 항 (radiation resistance)을

계산하는 근사식 (approximate formulae)을 제안하 다. 그 후, 월 스

(Wallace)는 모달 방사 효율 (modal radiation efficiency)에 한 분 표 식

을 제시하 다. 이 식은 원거리 역 (farfield) 음향 인텐시티 (acoustic

intencity)에 기 한 직사각형 평 , 임의의 주 수에서의 표 식이다. 검퍼트

(Gomperts)는 일반 인 경계 조건에서 모달 방사 효율(modal radiation

efficiency)을 연구하 다. 이러한 연구와 더불어 헤클 (Heckl)은 푸리에 변환

(Fourier transform)을 이용한 수 역 (wavenumber)에서의 평면 음원

(planar source)의 방사 문제를 분석하 다. 그 후에 핑톤 (Leppington)은

수가 큰 경우 즉, 임계 주 수에 가까운 역에 한 모달 방사 효율

(modal radiation efficiency)을 계산하는 식을 소개하 다.

모달 방사 효율(modal radiation efficiency)뿐 만 아니라 평 에 한 평균

된 방사 효율 (averaged radiation efficiency)도 요한 연구 과제 다. 이에

한 연구 한 마이다닉 (G. Maidanik)이 처음으로 워 흐름 (power flow)

와 통계 에 지 분석법 (statistical energy analysis)의 개념을 사용하 다.

이는 고주 수 역에서 많은 수의 모드가 첩되어 계산량이 많아지는 것을

극복하기 한 것이었다. 이 방법에서는 잔향 역(reverberant vibration

field)의 가정을 기반으로 평균된 방사 효율 (averaged radiation efficiency)에

한 식을 제시하 다. 다시 핑톤 (Leppington)에 의해 유사한 식이 제안되

- 195 -

었고 그는 마이다닉의 식에서 평균된 방사 효율(averaged radiation

efficiency)의 몇 가지 문제 들을 조사하고 수정하 다. 재까지 마이다닉이

제안한 식에 한 다양한 연구와 그에 따른 수정이 추가되었고 평 에 한

방사 효율의 식으로 정립되었다. 다음의 식 (6.42)은 주 수 역에서의

마이다닉 식이다.

σ=

ꀊ

ꀖ

ꀈ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

4S

c2 f

2 for f< f 1,1

4π2

c2S

Bm''

for f 1,1<f<f e f e=3cP

Pc

4π2Sf c

(1-α2)ln(

1+α1-α )+2α

(1-α2)

3/2 for f e<f<f c α=ff c

0.45Pf cc

for f=f c

(1-f cf )

-1/2

for f> f c

ꀋ

ꀗ

ꀉ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

(6.42)

S는 평 의 면 , c는 매질에서 음 달 속도 (sound speed), f는 가진

주 수, B는 굽힘 강성 (bending stiffness), m''는 단 면 당 질량, P는 평

의 둘 길이 (perimeter), f 1,1는 평 에서 (1,1) 모드의 고유 주 수, fc는

임계 주 수 (critical frequency)이다.

6.4. 구조음향 연성 계식

6.4.1. 워흐름유한요소법의 연성 계식 알고리즘

폐된 음향공간에서는 내부감쇠가 작을 경우 둘러싸고 있는 구조진동에

의해 다양한 동이 발생하여 분산장(diffuse field)이 형성된다. 분산장은 다

- 196 -

양한 입사각으로 들어오는 평면 (plane wave)의 조합으로 볼 수 있기 때문

에 본 논문에서는 음향공간을 한 워흐름해석법으로 평면 에 한 에

지지배방정식과 에 지 달 계를 고려한다.

음향공간에서 평면 에 한 에 지지배방정식은 다음과 같이 알려져 있

다.

-c 2g

ηω▽ 2e+ηωe=Πin (6.43)

여기서 e와 Πin는 음향 에 지 도와 음향 입력 워를 나타내며 η와 cg는

음향 매질의 내부손실계수와 에 지 달속도를 의미한다.

워흐름유한요소법의 정식화를 쉽게 하기 해서 cge를 e로 표시하고 다

시 에 지지배방정식을 표 하면 다음과 같다.

-c gηω

▽ 2 e+ηωc ge=Π in

(6.44)

6.4.2 Weak Formulation

식 (6.44)에 trial 함수 를 곱하고 심 역에 하여 분을 수행하면 다

음과 같은 식을 얻을 수 있다.

⌠⌡Dv⋅(-

c gηω

▽ 2 e+ηωc ge-Π in)dD=0 (6.45)

식을 발산정리(divergence theorem)을 이용하여 정리하면 식 (6.46)과

같은 weak form을 얻을 수 있다.

- 197 -

⌠⌡Γv(-

c gηω

∇ e)⋅ ndΓ+⌠⌡D

(c gηω

∇v⋅∇ e)dD+⌠⌡Dv(c gηωe)dD-⌠

⌡DvΠ indD=0

(6.46)

여기서 법선벡터 n은 경계의 바깥쪽 방향으로 정의되어 있고, Γ는 역 D를

둘러싸고 있다.

식 (6.46)에 Galerkin 가 잔여식을 사용하기 해 다음과 같은 에 지 표

식을 입하면

e=∑n

j=1e jφ j (6.47)

여기서 φj는 Lagrangian 형상 함수이다. 이 Lagrangian 형상 함수는 trial 함

수로써도 사용된다. 그러면 다음과 같은 선형방정식을 얻을 수 있다.

(6.48)

여기서 각각의 항들은 다음과 같다.

․ 경계조건 : P i=⌠⌡Γ

φ i(-c gηω

∇ e)⋅ndΓ=⌠⌡Γ

φ i( I⋅n)dΓ

․ 강성행렬 : K ij=⌠⌡D

(c gηω

∇φ i⋅∇φ j)dD

․ 질량행렬 : M ij=⌠⌡D

(ηωc g

φ iφ j)dD

- 198 -

․ 가진행렬 : F i=

⌠⌡D

φ iΠ indD

따라서 체 선형방정식은 다음과 같다.

[K+M] e+P-F=0 (6.49)

6.4.3. 경계조건

에 지지배방정식을 유도하기 해서 에 지 계식에서 시스템의 외부로

흘러가는 워의 값을 양수로 정의한다. 의 경계조건 Pi는 2가지 경우에

해 용된다. 하나는 평 이나 시스템 경계를 따른 음향 동 에 용될 경

우 워 경계조건으로 사용된다. 그리고 다른 하나는 구조/음향연성 계식에

용된다. 따라서 표면에서의 경계조건은 다음과 같이 재정의 된다.

P i =⌠⌡Γ

φ i(-c gηω

∇ e)⋅ ndΓ

=P i,Boundary+P i,Coupling

=⌠⌡Γ

φ i[( I⋅ n) Boundary+( I⋅ n) Coupling]dΓ

(6.50)

6.4.3.1 워 경계조건

식 (6.50)의 처음의 항은 평 이나 음향 동 에 용되는 경계조건이다. 그

러므로 수치 으로 용하기 해서는 다음과 같은 natural 경계조건이 용

되어야 된다.

( I⋅n) Boundary=c 1 e-c 2 (6.51)

- 199 -

여기서 처음 항, c1e,은 내부에서 분산되는 워로 설명될 수 있고, 체 강성

행렬에 추가되어 진다. 그리고 c2는 시스템으로 들어가는 워로 설명될 수

있고, 체 가진 행렬로 추가되어 진다. 경계에서의 흡음을 고려하기 해서

처음 항의 c1은 14α의 값을 가지게 된다. 여기서 α는 음향이나 진동면의 흡

음계수이다. 그리고 두 번째 항의 c2는 IBoundary로 정의된다. 따라서

Pi,Boundary항을 Galerkin 가 잔여식과 한 Lagrangian 형상함수를 용

하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

P i,Boundary =⌠⌡Γ

φ i( I⋅ n) BoundarydΓ=⌠⌡Γ

φ i(α4e- I Boundary) dΓ

(6.52)

식 (6.52)는 다음과 같은 선형방정식으로 표 할 수 있다.

P i,Boundary=∑KB ij e j-FB i (6.53)

여기서 KBij와 FBi는 각각 다음과 같다.

KB ij=⌠⌡Γ

(α4φ iφ j)dΓ

, FB i=

⌠⌡ΓI Boundaryφ idΓ

식 (6.50)와 식 (6.53)을 식 (6.49)에 입하면 다음과 같은 체행렬을 구할

수 있다.

[K+M+KB] e+PCoupling=F+FB (6.54)

식 (6.54)은 하나의 개별 인 시스템에서의 체선형행렬이다. 따라서 체

구조행렬과 체 음향행렬이 연성된 체 행렬을 고려하면 식 (6.55)와 같다.

- 200 -

[ ]K1+M1+KB1 00 K2+M2+KB2

{ e 1e 2 }+{PCoupling}={F1+FB1

F2+FB2 } (6.55)

여기서 1은 구조에 지 도를 나타내고, 2는 음향에 지 도를 나타낸다.

6.4.3.2. 구조음향 연성

에 지 도와 인텐시티는 다음과 같은 계식을 만족한다.

{P 1

P 2 } Coupling={I 1⋅n

I 2⋅n }=[ ]τ 21 -τ 12

-τ 21 τ 12

(2 -τ 12-τ 21) {e 1

e 2 }={

τ 21 e 1-τ 12 e 2

-τ 21 e 1+τ 12 e 2 }(2-τ 21-τ 12)

(6.56)

식 (6.56)을 식 (6.52)에 입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

P 1=⌠⌡Γ

φ i( I 1⋅n) CouplingdΓ=⌠⌡Γ

φ i(τ 21 e 1-τ 12 e 2)

(2-τ 12-τ 21)dΓ (6.57a)

P 2=⌠⌡Γ

φ i( I 2⋅n) CouplingdΓ=⌠⌡Γ

φ i(-τ 21 e 1+τ 12 e 2)

(2-τ 12-τ 21)dΓ (6.57b)

여기서 P1과 P2

는 각각 시스템으로부터 방출되는 워이다. 식에

Galerkin 가 잔여식과 한 Lagrangian 형상함수를 용하면 식 (6.58)과

같은 식을 얻을 수 있다.

- 201 -

{P 1

P 2 }=[ ]τ 21[J 11] -τ 12[J 12]-τ 21[J 21] τ 12[J 22]

(2-τ 21-τ 12)

ꀊ

ꀖ

ꀈ

︳︳︳︳︳︳︳︳

︳︳︳︳︳︳︳︳

e 11

⋮e 1j

e 21

⋮e 2j

ꀋ

ꀗ

ꀉ

︳︳︳︳︳︳︳︳

︳︳︳︳︳︳︳︳=[KJ]{ e} (6.58)

여기서 [Jij]는 다음과 같다.

[J ab]=⌠⌡Γ

φ ai∑φ ajdΓ

따라서 구조음향 연성된 체 강성행렬은 다음과 같다.

[[ ]K1+M1+KB1 00 K2+M2+KB2

+[KJ]]{e 1e 2 }={F1+FB1

F2+FB2 } (6.59)

6.4.4. 간 워흐름경계요소법의 연성 계식 알고리즘

간 인 워흐름경계요소법을 이용하여 임의의 치에서의 에 지 도

를 이용하여 에 지 경계조건을 나타내면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

e i=G ikΠ in,k+G ijσ j (6.60)

여기서 G는 다음 식의 형태를 갖고 있다.

G(r)=1

4πc gr2 e

-ηkr (6.61)

의 식을 워흐름유한요소법에 사용된 변수들과 일치시키기 해 변형하

- 202 -

면 다음과 같다.

e i= G ikΠ in,k+ G ijσ j (6.62)

여기서 G=cgG이다.

임의의 “i”에서의 워 경계조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

P i= I i⋅n i=[H ik( r ilk⋅n i)]Π∈,k+[H ij( r ilj⋅n i)]σ j (6.63)

여기서 H는 다음 식의 형태를 갖고 있다.

H(r)=1

4πr 2 e-ηkr (6.64)

그리고 흡음 경계조건은 다음과 같다.

I(r) i⋅n i=α ic g4e i(r)=

α i4e i(r) (6.65)

식에서 에 지 도, 인텐시티 표 을 가상 소스와 그린 함수를 이용하

여 나타내면 다음과 같다.

H ikΠ∈,k+ H ijσ j=α i4

( G ikΠ∈,k+ G ijσ j) (6.66)

여기서 Hik와 Hij는 각각 H ik( r ilk⋅n i)와 H ij( r ilj⋅n i)를 나타낸다.

워흐름유한요소법과 워흐름경계요소법의 연성을 해서는 간 워

흐름경계요소법이 모든 경계조건에 해 행렬의 형태를 나타내고 있어야 한

- 203 -

다. 따라서 앞서 살펴본 세가지 경계조건을 가상의 소스를 이용해서 나타내

면 다음과 같다.

G ijσ j= e i- G ijΠ k (6.67)

H ijσ j=P i- H ijΠ k (6.68)

( H ij-α i4G ij)σ j=(

α i4G ik-H ik)Π k

(6.69)

식 (6.67), 식 (6.68)과 식 (6.69)는 다음과 같이 표 할 수 있다.

K 2σ j=F 2 (6.70)

6.4.5. 연성 계식 알고리즘

구조음향이 연성되지 않은 상태에서는 다음과 같이 워흐름유한요소법과

워흐름경계요소법을 각각 나타낼 수 있다.

[ ]K1 00 K2 { e1φ2}+{PCoupling}={F1

F2} (6.71)

여기서 쪽 각행렬 항은 식 (3.17)에서 살펴본 바와 같이 진동해석을 한

워흐름유한요소 방정식을 나타내고 아래쪽 각행렬 항은 식 (4.82)에서 살

펴본 바와 같이 소음해석을 한 워흐름경계요소 방정식을 나타내고 있다.

여기서 PCoupling은 구조와 음향 역의 연성에 의한 워 경계조건으로써 다

음과 같이 나타낼 수 있다.

- 204 -

{P Coupling}={ P 1

P 2} Coupling={ I 1⋅nI 2⋅n} (6.72)

여기서 P1의 경우 구조에서의 경계 워이다. 이를 식 (6.12)를 이용하여 에

지 도와의 계를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

P 1=1

2-τ 12-τ 21(τ 21e 1-τ 12e 2) (6.73)

e1에 워흐름유한요소법에 한 에 지 식을 사용하고, e2에 워흐름경계

요소법에 한 에 지 식을 사용하면 다음의 식을 얻을 수 있다.

P 1=1

2-τ 12-τ 21(τ 21e 1-τ 12[G ijφ j+G ikΠ k]) (6.74)

그리고 음향 역에서의 워 P2를 간략하게 표 하면 다음과 같다.

P 2=1

2-τ 12-τ 21(-τ 21e 1+τ 12e 2) (6.75)

마찬가지로 각 역에서의 에 지 표 법으로 바꾸면 최종 으로 구조와

음향에서의 워를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

P 1={KJ 1}{ e 1

φ j }-FJ 1 (6.76)

P 2={KJ 2}{ e 1

φ j }-FJ 2 (6.77)

- 205 -

여기서 {KJ 1}, {KJ 2}, {FJ 1}와 {FJ 2}는 다음과 같다.

{KJ 1}={τ 21

2-τ 12-τ 21 -τ 21G ij

2-τ 12-τ 21 } (6.78)

{FJ 1}=τ 21

2-τ 12-τ 21G ikΠ k

(6.79)

{KJ 2}={τ 21

2-τ 12-τ 21 -τ 21G ij

2-τ 12-τ 21-H ij} (6.80)

{FJ 2}=τ 21

2-τ 12-τ 21G ik+H ikΠ k

(6.81)

식 (6.71)과 식 (6.72)을 이용하면 다음과 같은 구조음향이 연성된 식을 완

성할 수 있다.

[ ]K 1 00 K 2 { e 1

φ j }+[KJ 1]{ e 1

φ j }-{FJ 1}+[KJ 2]{ e 1

φ j }-{FJ 2}={F 1

F 2} (6.82)

식 (6.82)을 다시 정리해서 최종 으로 다음의 구조음향 연성 계식을 얻

게 된다.

[[ ]K 1 00 K 2

+[KJ 1]+[KJ 2]]{ e 1

φ j }={F 1

F 2

+FJ 1+FJ 2} (6.83)

의 식을 그림으로 도식화하면 다음과 같다. 각각의 진동해석과 소음해석

을 나타내는 K Matrix들과 이들의 연성 계를 나타내는 Joint Matrix의 결

- 206 -

[0]

[0]

ꀊ

ꀖ

ꀈ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

e 1

φ j

ꀋ

ꀗ

ꀉ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

=

ꀊ

ꀖ

ꀈ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

F1 1

F2+FJ1+FJ2

ꀋ

ꀗ

ꀉ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

합으로 이루어진 진동소음 완 연성 Matrix를 구성한다.

6.5. 요약

본 장에서는 3-5장에서 개발한 워흐름유한요소법, 워흐름경계요소법과

구조음향 연결 행렬식을 이용하여 진동소음 완 연성 계식을 개발하 다.

JOINT

MATRIX

진동해석

K Matrix

소음해석

K Matrix

- 207 -

l o s s l e s s j o i n t

1 2

Fig. 6.1 에 지 보존

h

투과 워

입사 워

Fig. 6.2 구조음향 연성법

음향공간

반무한 평

입사 워 산란 워

투과 워

Fig. 6.3 입사각 θ로 입사하는 음향가진 모델

- 208 -

7 . 진동소음 완 연성 해석 로 그 램 P F A V I A 개발

PFAVIA는 Power Flow Analysis for VIbro-Acoustics의 약어로, 고주

역의 진동소음문제를 워흐름해석법을 이용하여 앞장에서 설명한 완

연성해석을 수행하는 로그램이다.

PFAVIA는 C++ 로그램언어로 코딩되었으며 Microsoft Visual C++ 6.0으

로 컴 일 되었다. 로그램의 해석 부분은 서울 학교 선박소음진동연구실

(SNOVIL)에서 개발한 수치해석용 라이 러리를 용하여 코딩하 으며 부

분의 기종에서 사용가능하도록 하 다. 로그램의 그래픽 부분은

MFC(Microsoft Foundation Class)를 이용하여 GUI(Graphic User Interface)

기능을 부가하 으며 OpenGL과 Wgl함수를 목하여 도우시스템용 삼차원

그래픽을 구 하 다.

PFAVIA의 실행 일은 PFAVIA.EXE이며 기본 틀은 그림 7.1과 같다. 일

반 인 도시스템의 SDI(Single Document Interface) 로그램과 같이 로

그램 맨 에는 로그램 제목과 도크기 종료 아이콘이 있으며, 다

음 에는 로그램의 메뉴와 툴바가 각각 치하고 있다. 로그램의 클라

이언트 역은 모델의 형상이나 해석결과를 3차원 형상으로 보여주는 그래픽

역으로서, 메뉴나 툴바에서 한 기능을 선택하면 이 그래픽 역에 해당 결

과를 즉시 보여 다.

7.1 유한요소 모델링(FE-MODELING)

본 로그램 사용의 첫 단계가 유한요소모델을 생성하는 과정이다. 본

로그램은 고유한 유한요소모델을 기반으로 하고 있으며 다른 사용유한요소

로그램과는 다른 다음과 같은 특징이 있다.

첫째로 실제 해석과정에서 사용되는 정보로만 구성되어 있다. 를 들어

본 로그램에서는 좌표계는 모두 직교 역좌표계를 따르기 때문에 좌표계를

- 209 -

생성하거나 생성한 좌표계를 이나 요소에 입력할 필요가 없다. 다양한

좌표계를 입력할 수 있도록 하는 상용유한요소 로그램은 사용자의 편의를

도모하고자 하는 목 일 뿐 해석과정에 반 되는 것이 아니므로 본 로그램

의 유한요소모델이서는 좌표계에 한 데이터가 존재하지 않는다.

둘째로 같은 기능을 수행하는 데이터는 존재하지 않으며 각각의 데이터는

다른 기능을 수행한다. NASTRAN의 경우 스 링요소를 생성하는 카드는

CELAS2, CELAS3, CELAS4 등 다양한 방법으로 정의할 수 있으나 본 로

그램에서는 하나의 카드만으로 생성할 수 있다. 일반상용 로그램이 같은 기

능을 수행하는 요소가 다양한 이유는 사용자의 편의를 한 것도 있겠지만

로그램이 발 하면 기존의 틀을 반 하여 호환성을 유지하고자 하는 목

이 크다. 이러한 본 로그램의 유한요소모델의 특징은 유한요소모델의 구조

를 단순하고 일반 인 형태로 유지하게 하여, 해석을 한 데이터 후처리과

정이 필요 없으며 로그램의 사용 유지보수가 간편해질 뿐만 아니라 다

른 로그램과의 자료교환이 용이한 장 이 있다.

7.1.1 NASTRAN 유한요소 모델 자료 구조

기존 유한요소 로그램 가장 리 사용되는 유한요소 로그램 에

하나인 NASTRAN은 유한요소해석을 한 가장 합리 인 자료구조(data

structure)를 가지고 있다고 인정받고 있다. 따라서 PFAVIA 로그램의 해석

을 해 번역할 상용 유한요소 모델로 가장 먼 NASTRAN의 유한요소 모

델이 선택되었다. 그림 7.2는 PFAVIA 로그램에서 번역기(translator)의 기

능을 잘 보여 다. 번역기는 NASTRAN 유한요소 모델이 정의된 텍스트

(text) 일을 읽어 들여 번역하여 PFAVIA 로그램의 유한요소 모델을 정

의하는 텍스트 일 는 이진(binary) 일로 변환해주고 그 반 과정도 수

행할 수 있다. 여기서 NASTRAN 로그램의 체 유한요소 자료구조는 기

존 유한요소법의 오랜 역사와 거의 모든 실제 구조물을 해석할 수 있는 로

- 210 -

그램의 수 에 맞게 매우 복잡하고 다양한 요소들을 포함하고 있다. 하지만

재까지 개발된 에 지흐름해석법의 해석 가능 역을 고려해 볼 때,

PFAVIA 로그램의 번역기를 한 NASTRAN 로그램의 유한요소 모델

의 범 는 극히 제한되어 있다. 따라서 본 항에서 개발된 PFAVIA 로그램

의 번역기를 한 NASTRAN 유한요소 모델은 PFAVIA 로그램에서 해석

할 수 있는 유한요소로 한정된다. 그림 7.3은 PFAVIA 로그램의 번역기 모

듈에서의 NASTRAN 유한요소 모델의 자료구조를 보여 다. 그림에서 보여

진 로, NASTRAN 유한요소 모델은 NASTRAN 좌표계 데이터베이스

(NAS Coordinate DB)와 NASTRAN 노드 데이터베이스 (NAS Grid DB),

NASTRAN 재료물성치 데이터베이스 (NAS Material DB), NASTRAN 요소

물성치 데이터베이스 (NAS EP DB), NASTRAN 요소 데이터베이스(NAS

Element DB)로 이루어져 있다. 각각의 데이터베이스에는 다양하게 정의된

자료들이 장되어 있다. 우선 NASTRAN 좌표계 데이터베이스에는 사용자

의 모델링 편의를 해서 사용자 정의의 여러 형태의 지역좌표계(local

coordinate)가 장된다. 이러한 지역좌표계의 종류에는 직교좌표계(Cartesian

coordinate), 원통좌표계(cylindrical coordinate), 구형좌표계(spherical

coordinate)가 있다. NASTRAN 노드 데이터베이스에는 노드들의 정보가

장되어 있는데, 각 노드들은 NASTRAN 좌표계 데이터베이스의 좌표계를 참

조하여 해당 좌표계를 기 으로 정의되어 있다. NASTRAN 재료물성치 데이

터베이스에는 각 요소의 재료물성치가 정의되어 있다. 재는 등방성

(isotropic) 재료물성치만을 정의할 수 있게 되어 있다. NASTRAN 요소물성

치 데이터베이스에는 각 요소의 단면의 정보를 제공하는 요소물성치가 장

되어 있는데, 각 요소물성치에는 일반 으로 NASTRAN 재료물성치를 참조

하고 있다. NASTRAN 요소 데이터베이스에는 각 요소의 정보가 장되어

있고, 각 요소 정보는 일반 으로 요소물성치와 노드로 구성되어 있다.

NASTRAN 로그램에서 각 유한요소를 정의할 때 사용하는 카드(card)는

매우 다양하게 존재한다. 재 PFAVIA 로그램에서 해석 가능한

- 211 -

NASTRAN 로그램의 유한요소 정의 카드들의 종류는 그림 7.4에 나타나

있다. NASTRAN 로그램의 유한요소 모델은 기본 으로 NASTRAN 벌크

일(bulk file)의 형태의 텍스트(text) 일을 통해서만 생성할 수 있으며 마

찬가지로 텍스트 일의 형태로만 출력된다.

7.1.2. PFAVIA 유한요소 모델 자료구조

앞에서 언 한 것과 같이 PFAVIA 로그램의 유한요소(Finite Element,

FE) 모델은 재 PFAVIA 로그램 내부에서 해석 가능한 정보로만 구성되

어 있다. 따라서 PFAVIA 로그램의 FE 모델에는 NASTRAN 로그램에

서의 좌표계와 같은 사용자의 편의를 한 임시 정보들과 해석에 사용되지

않는 정보들은 존재하지 않는다. PFAVIA 로그램의 FE 모델은 일반 이고

단순한 형태를 가져 해석을 한 데이터의 후처리 과정이 필요 없고 로그

램의 사용 유지보수가 간편해지며 다른 로그램과의 호환성도 높다.

PFAVIA 로그램의 FE 모델은 그림 7.5에 나타나 있는 것과 같이 유한

요소 노드(FE node), 재료물성치(material property), 요소물성치(element

property), 요소(element) 음향공동 데이터베이스로 구성되어 있다. 유한요

소 노드는 요소를 구성하는 각 을 정의하는 데이터로서 각 의 치는

역 직교좌표계(global Cartesian coordinate)에서 삼차원 정보로 정의되어 있

다. 재료물성치는 요소가 갖고 있는 재료의 물질 특성을 정의하는 것으로

재는 등방성재료(isotropic material)만 지원되고 탄성계수와 단계수, 아

송비, 도, 구조감쇠계수의 정보들로 구성되어 있다. 요소물성치는 기본 으

로 재료물성치 정보를 가지고 있으며 추가 으로 요소의 단면에 한 정보를

가지고 있다. 이차원 요소의 요소물성치는 요소의 두께 정보를 가지고 있고

일차원 요소 에 보와 의 요소물성치에는 단면에 한 이차 성모멘트

(moment of inertia), 단면 (cross-section area), 비틀림 상수(torsional

stiffness) 등의 정보를 가지고 있다. 일차원 요소 에 부쉬요소(bush

- 212 -

element)의 경우에는 질량(mass), 탄성계수(elastic modulus), 성감쇠계수

(hysteretic damping loss factor)의 정보를 가지고 있고 단면의 정보가 필요

없는 강보요소(rigid bar element)는 요소물성치를 가지고 있지 않다. 요소는

이차원 요소와 일차원 요소로 나 수 있고 이차원 요소에는 삼각 평 요소

와 사각 평 요소가 있고 일차원 요소로는 요소와 보요소, 부쉬요소와 강

보요소가 있다. 요소는 일반 으로 요소의 기하학 형상과 연결을 정의하는

유한요소 노드와 그 밖에 다른 특성들이 정의되어 있는 요소물성치 정보를

포함하고 있다. 이 밖에도 음향공동은 음향공간을 둘러싸고 있는 평 요소로

구성되어 있고 음향해석을 한 음향공간의 특성치인 음 달속도(acoustic

phase speed), 도(acoustic density), 내부손실계수(internal loss factor) 정

보도 가지고 있다.

PFAVIA 로그램의 FE 모델은 기본 으로 텍스트 일과 이진(binary)

일의 모든 형태로 생성과 출력을 할 수 있게 되어 있다.

7.1.3. PFAVIA 로그램의 번역기 모듈 개발

그림 7.2에서 보여지듯이 PFAVIA 로그램의 핵심 모듈 의 하나인 번

역기 모듈은 PFAVIA 로그램을 통한 에 지흐름해석을 해 새로운 유한

요소 모델을 생성할 필요 없이 기존 NASTRAN 유한요소 로그램의 모델

링 정보를 이용해 에 지흐름해석을 가능하게 해 다.

그림 7.6에 보여진 PFAVIA 로그램의 번역기 모듈은 메인 PFAVIA와는

별개의 독립된 로그램이기 때문에 일로 정보를 입출력 한다.

우선 NASTRAN 로그램의 유한요소 모델은 정해진 규칙을 가진 텍스트

일의 형태로 생성된다. 한 PFAVIA 로그램의 FE 모델의 텍스트 정보

도 NASTRAN 로그램의 포맷과 유사한 정해진 형태로 생성된다. 따라서

이러한 정해진 포맷의 텍스트 정보들을 효율 으로 수집하고 생성하기 해

BulkReader와 BulkWriter라는 내부 로그램을 개발하 다. 이들을 이용하면

- 213 -

NASTRAN 로그램의 텍스트 포맷과 유사한 형태의 일의 정보를 매우

효율 으로 수집하고 생성할 수 있다.

PFAVIA 로그램의 번역기 모듈의 심 기능은 NASTRAN 로그램의

유한요소 모델과 PFAVIA 로그램의 FE 모델을 상호 변환하는 것이다. 먼

NASTRAN 유한요소 모델 정보를 수집하여 PFAVIA 로그램의 FE 모

델을 생성하는 과정을 살펴본다. NASTRAN 로그램의 유한요소 정보를 가

진 텍스트 일에서 유한요소 모델 정보를 수집하기 해 앞에서 언 한 것

과 같이 다양한 유한요소 정보 각 카드(card)의 이름을 검색하여 불필요

한 카드들의 정보는 무시하고 의미 있는 카드들의 정보를 읽어 텍스트 자료

를 장한다. 장된 텍스트 정보는 해당 NASTRAN 유한요소 데이터베이스

로 보내져 먼 규칙에 맞게 텍스트 정보가 작성되었는지를 검색하고 올바른

정보의 여부가 확인된 후, 해당 유한요소 자료를 생성하고 해당 유한요소 데

이터베이스에 장된다. 이 게 생성된 각 유한 요소 데이터베이스는 일차

으로 기본 인 NASTRAN 유한요소 모델링 규칙을 만족시킨 유한요소 정보

가 장되어 있다. 하지만 NASTRAN 유한요소 모델의 자료 구조는 자료간

에 서로 참조하고 있는 것이 특징이기 때문에 최종 으로 이러한 자료간의

올바른 참조 여부를 확인하여 NASTRAN 유한요소 모델 정보를 확정한다.

이 게 확정된 NASTRAN 로그램의 유한요소 모델 정보는 각각 해당

PFAVIA 로그램의 FE 모델로 쉽게 변환된다. 이 과정에서 다양한 형태의

NASTRAN 유한요소 모델 정보는 단순한 형태의 PFAVIA의 FE 모델 정보

로 바 게 된다. NASTRAN 로그램의 유한요소 모델 정보를 통해 생성된

PFAVIA 로그램의 FE 모델 정보는 정해진 포맷에 맞게 텍스트 일이나

이진 일로 출력된다.

이러한 과정에서 사용자는 PFAVIA 로그램의 번역기 모듈에 나타나 있

는 결과 창과 임시 일을 통해서 번역기 모듈이 수행한 결과와 번역 과정에

서 발생한 오류를 포함한 모든 과정을 확인할 수 있다.

PFAVIA 로그램의 유한요소 모델을 NASTRAN 로그램의 유한요소

- 214 -

모델로 번역하는 반 의 과정은 앞에서와 동일한 과정을 통해 생성된다.

7.2 음향공간 모델링

본 로그램에서는 음향공간을 모델링하기 하여 다음의 캐비티 인더

(Cavity Finder) 로그램을 사용한다. Cavity Finder는 진동해석 모델을 이

루고 있는 평 요소들에 의해 이루어진 닫힌 공간(Close space)을 자동으로

찾아주는 기능을 수행한다. 이 공간을 해석하고자 하는 음향공간으로 인식하

게 된다. Cavity Finder는 진동해석 모델 일을 입력하고 음향공간에 한

매질의 도와 음 달 속도, 에 지 감쇠 값 입력하면 자동 으로 음향공

간을 찾아 다. 그리고 출력 일명은 자동 으로 진동해석 모델 일명에

추가 으로 _cavity가 붙어진 일명으로 출력된다.

그림 7.7의 Cavity Finder를 통하여 자동으로 생성된 음향 공간은 그림 7.8

과 같이 나타난다.

출력된 일은 음향 공간에 한 ID번호와 매질의 도, 음 달 속도, 그

리고 몇 개의 요소들로 이루어진 공간인지에 한 정보를 나타내고 있다. 생

성된 음향공간을 포함한 유한요소모델을 모두 불러 오기 해서는 다음의 메

뉴를 사용한다.

MENU: FE-Model > Load FE-Model(Binary)

MENU: FE-Model > Read FE-Model(Bulk)

첫째 메뉴는 이진 일, 둘째 메뉴는 텍스트 일 형태의 유한요소 모델을

불러오는 기능을 수행한다. 실행을 하면 그림 7.9와 같이 일을 선택하는

화창이 열리는데, 사용자는 유한요소모델 일을 선택하면 재 작업 인 내

용은 모두 지워지고 선택한 유한요소모델 일이 본 로그램 데이터베이스에

불러오게 된다. 이진 일의 확장자는 fem이고 텍스트 일의 확장자는 txt이

- 215 -

다. 유한요소모델이 불러지면 그림 7.10와 같이 주 로그램 창에 유한요소모

델이 보인다.

7.3 워흐름유한요소모델(PFFE-MODELING)

7.3.1 모델변경(Model-converting)

앞장에서는 유한요소모델을 생성하는 방법에 하여 설명하 다. 본 장에

서는 이 유한요소모델을 해석모델로 하는 워흐름유한요소모델을 생성하는

과정에 하여 자세히 설명한다. 워흐름유한요소모델을 생성하는 첫 단계

가 유한요소모델을 워흐름요소모델로 변경하여 연결요소를 생성하는 과정

이며 본 로그램에서는 다음 메뉴를 이용하여 자동으로 모델을 변경할 수

있다.

MENU: PFFE-Model > Convert

이 메뉴를 실행하면 본 로그램은 데이터베이스에 있는 유한요소모델의

요소자료를 먼 워흐름유한요소모델의 구조요소와 연계요소로 환한다.

구조요소는 내부감쇠가 있는 탄성연속체 개념의 요소로서 요소 내에서의 에

지 분산과 에 지소실에 여하고 요소마다 고유한 에 지지배방정식을 갖

고 있는 특징이 있다. 연계요소는 연결요소의 일부형상으로 작용하는 요소이

며 다음과 같은 3가지 경우가 이에 해당한다.

i) 연속체가 아닌 요소는 에 지지배방정식이 존재하지 않으므로 구조요소가

될 수 없어서 연계요소로 분류하 으며, 부쉬 요소가 이에 해당한다.

ii) 연속체이지만 비탄성 요소도 에 지지배방정식이 존재하지 않으므로 연계

요소로 분류되고, 강보가 이에 해당한다.

- 216 -

iii) 탄성연속체간의 미리 정의된 연결구조에 속한 요소로서, 연결부의 동

달특성을 여러 요소의 연결로 분리하기에는 힘든 경우에 연계요소로 분류하

며, 보강 에 연결된 보강보가 이에 해당한다.

이 후, 구조요소간의 연결 상태를 조사하여 그에 맞는 연결요소를 구조요

소사이에 추가삽입하고 새로 추가된 연결요소를 해 워흐름 을 새로

구성한다. 연결요소는 구조요소간의 연성을 나타내거나 구조요소와 연결된

연계요소의 연성을 나타낸다. 연결요소는 이러한 연성부에서의 에 지 감을

나타내는 요소이고 구조요소와 연계요소를 참조하여 생성된다.

7.3.2 입력 워 설정

기존의 유한요소법은 운동방정식을 풀기 하여 가진력이 입력되고 운동변

가 출력되는 반면에, 워흐름유한요소법은 에 지기반의 진동해석기법으

로서, 에 지지배방정식에 워가 입력되어 에 지가 출력되는 시스템을 갖

는다. 본 로그램은 이 독특한 특성을 반 하기 하여 워흐름유한요소모

델을 생성하는 과정 의 한 단계로 입력 워를 스펙트럼 형태로 설정한다.

지 부터는 입력 워를 설정하는 방법에 해 살펴본다. 입력 워는 주

수에 따른 함수가 됨으로 먼 워스펙트럼을 만들어야 하다.

MENU: PFFE-Model > Power Spectrum...

메뉴를 실행하면 워스펙트럼을 만들 수 있는 그림 7.11과 같은 화

창이 열린다. 왼쪽 Power Spectrum Information 역은 정의된 스펙트럼정보

를 보여주는 창이며 오른쪽 New Power Spectrum 역은 새로운 워스펙

트럼을 추가하기 한 창이다. 그림 7.11에서는 1번과 3번 스펙트럼이 이미

데이터베이스에 존재하고 각각의 주 수에 한 스펙트럼 값도 보여주고 있

- 217 -

다. 1번 스펙트럼은 100Hz, 200Hz, 500Hz, 100Hz에서의 정보가 장되어 있

으며, 2번 스펙트럼은 50Hz, 100Hz, 200Hz에서의 정보가 입력되어 있다. 각

주 수에서의 값은 해당주 수의 푯값을 의미하며 입력된 주 수 외에서는

내삽이나 외삽을 이용하여 스펙트럼 값을 나타낸다. 가장 큰 주 수와 가장

작은 주 수 내에 있는 주 수에서는 선형내삽이 용되며 그 외의 곳에서는

가장 가까운 주 수에서의 값을 사용하는 외삽이 사용된다.

새로운 ID의 스펙트럼을 정의하기 해서는 오른쪽 New Power Spectrum

역을 사용한다. ID는 워스펙트럼의 고유번호로서 0보다 큰 정수이며 이

에 정의되지 않아야 한다. Spectrum List는 스펙트럼의 정보를 입력하는

편집 창으로서 주 수와 해당 값을 연속 으로 기입한다. 그림의 경우 ID가

10인 스펙트럼을 100Hz에서 1.0, 200Hz에서 3.1, 400Hz에서 2.2, 1000Hz에서

2.0으로 설정한 를 보여주고 있다. 그 후에 Add 단추를 르면 이 스펙트

럼정보가 스펙트럼 데이터베이스에 추가되며 그림 7.12과 같이 스펙트럼정보

에 10번 스펙트럼이 추가되어 보인다. 이미 정의된 스펙트럼을 지우기 해

서는 Power Spectrum Information 역에서 지우고자 하는 스펙트럼의 ID를

선택하고 키보드의 delete버튼을 르면 삭제된다. 이때 삭제하려는 워스펙

트럼이 입력 워을 정의할 때 사용되고 있다면 삭제되지 않으며, 입력 워를

먼 삭제하고 워스펙트럼을 지워야 한다.

다음으로는 정의한 워스펙트럼을 입력 워로서 구조물에 용하는 방법

에 하여 살펴본다. 본 로그램에서는 입력 워가 구조요소에 분포하 형

태로 설정되거나 에 집 하 형태로 설정될 수 있으며, 이를 용하는

메뉴는 다음과 같다.

MENU: PFFE-Model > Power Load...

이 메뉴를 실행하면 그림 7.13과 같이 Load라는 제목을 갖는 화창이 열

린다. 왼쪽 Load Information은 이미 정의된 입력 워에 한 정보를 보여주

- 218 -

는 역이며, 오른쪽의 NEW PN과 NEW PE는 새로운 입력 워를 집 하

과 분포하 형태로 정의하는 역이다. 한 화창에서 집 하 과 분포하

을 선택하여 정의할 수 있다. NEW PN이 선택되었을 때 Add Load버튼을

르면 집 하 의 입력 워가 추가된다. ID는 워요소의 고유번호로서 0보

다 큰 정수이며 이미 정의된 워요소 고유번호와 첩되지 말아야 한다.

NODE는 입력 워가 용되는 워흐름 의 번호를 의미한다.

Power Spectrum은 에 용되는 입력 워에 정의될 워스펙트럼으로

서 콤보박스에서 선택한다. 콤보박스에는 이미 정의된 워스펙트럼의 이름

이 순서 으로 보이게 된다. DOF는 워요소에 용될 워스펙트럼의 자유

도를 의미하며 이는 선택한 구조요소의 자유도 하나를 선택한다. 평 구

조요소는 굽힘 , 종 , 단 의 자유도가 있으며 보구조요소는 x방향굽힘

, z방향굽힘 , 종 , 비틀림 의 자유도를 갖는다. DOF의 콤보박스는

Element 항에서 선택된 구조요소의 자유도를 보여주는데 이 하나를 선택하

면 된다. 존재하지 않는 구조요소를 선택하면 콤보박스에는 어떠한 자유도도

나타나지 않는다. 그림에는 1번 워요소로서 2번 워흐름 에 1번 워

스펙트럼을 굽힘 성분으로 정의된 입력 워를 보여주고 있다.

NEW PE가 선택되었을 때 Add Load버튼을 르면 분포하 형태의 입력

워가 생성된다. SE는 분포입력 워가 용되는 구조요소를 의미한다. 그

외의 다른 항목들은 입력 워를 생성할 때와 같다. 그림 7.14에서는 2번 구

조요소에 10번 워스펙트럼이 종 형태로 분포하 형태로 3번 입력 워을

생성한다는 것을 보여주고 있다.

왼쪽은 재 정의된 입력 워의 정보를 보여 다. 이 그림에서는 하 형

태의 입력 워가 한개 정의되어 있는 것을 알 수 있다. 이미 정의된 워요

소를 삭제하기 해서는 Load Information 역에서 지우고자 하는 입력 워

를 선택하고 Delete키를 러 삭제한다.

7.3.3 수효과 자유도설정

- 219 -

본 로그램은 상용 SEA 로그램과 유사한 방법으로 수효과를 고려할

수 있다. 아직은 미흡하지만 유체의 재료물성치를 이용하여 구조요소의 내부

감소계수와 에 지 달속도를 변화시킴으로써 어느 정도의 수효과가 고려

된다.

MENU: PFFE-Model > Set Fluid Loading...

이 메뉴를 실행하면 그림 7.15과 같이 Set Fluid Loading이라는 제목을 갖

는 화창이 열린다. Fluid Loading이라는 체크박스를 선택하면 수효과가

고려되며 그 아래에 유체의 재료물성치를 선택할 수 있다. RHOf는 유체의

도이며 SPEEDf는 유체의 상속도를 나타내며 모두 0보다 큰 값으로 정

의된다. OK를 선택하면 설정한 값들로 수효과가 용되는데 이때 모든 구

조요소에 하여 용된다.

본 로그램에서는 한 해석 시간을 이거나 심 있는 자유도만 해석하

기 하여 해석자유도를 선택하는 기능이 워흐름유한요소모델 생성과정에

서 지원된다.

MENU: PFFE-Model > Set DOF...

메뉴를 선택하면 그림 7.16과 같은 화창이 열리며 구조요소에 한

자유도를 선택할 수 있다.

7.4 해석

앞장에서는 해석하고자 하는 워흐름유한요소모델을 생성하는 방법에

하여 살펴보았다. 이장에서는 해석에 필요한 선택사항을 선택하고 해석결과

- 220 -

를 계산하는 방법을 설명한다.

7.4.1 해석기 선택

워흐름유한요소법은 미분방정식인 에 지지배방정식을 유한요소기법을

용하여 선형방정식으로 구성한 후 이 방정식의 해를 계산하게 된다. 유한

요소기법이 용된 선형방정식은 SPARSE한 형태로 부터 많은 연구가

되어 있으며 해법은 직 법(direct method)과 반복법(indirect method,

iterative method)으로 나뉘어져 있다. 직 법은 가우스소거법을 기 한 방법

으로 수치 으로 안정 이고 행렬의 성질과 무 하게 행렬의 크기에 의해 계

산량이 결정되는 특징이 있다. 직 법을 분류하면 triangular system,

Guassian Elimination, Factorization, Band 해법, Frontal method 등이 있다.

반복법은 해가 원하는 정도의 정확도로 수렴될 때까지 반복 인 계산의 의하

여 근사해를 구하며 행렬의 수치 특성에 따라 수렴속도가 좌우되는 특성이

있다. 이 경우 유한요소해석에서는 2차함수를 최소화함으로써 주어지 방정식

의 해를 찾는 Conjugate Gradient 해법 계열이 주로 사용된다.

본 로그램은 다양한 선형방정식 해석기법을 선택하여 해석결과를 얻을

수 있는 기능이 있으며 다음 메뉴로 이를 선택한다.

MENU: Analysis > Select Linear Equation Solver...

메뉴를 선택하면 그림 7.17와 같은 화창이 열리는데 크게 두 역으

로 나뉘어져 있다. 부분은 DIRECT SOLVER 역으로 직 법으로 선형

방정식을 풀 수 있다. 아랫부분은 ITERATIVE SOLVER 역으로 반복법에

해당하는 기법에 나열되어 있다. 본 로그램에서는 Conjugate gradient 계열

을 사용하며 다음과 같이 6가지를 지원한다.

- 221 -

7.4.2. 해석결과 계산

PFFE 모델을 생성한 후 해석주 수를 선택하면 본 로그램은 해석결과로

서 각 에서의 진동에 지 도를 계산하게 된다. 이를 해 다음 메뉴가

사용된다.

MENU: Analysis > Solve Energy Density...

메뉴를 실행하면 그림 7.18과 같은 화창이 열린다. 그림에 있는 와

같이 다 주 수를 선택할 수 있으며 빈칸으로써 주 수가 인식된다. 주 수

는 양의 정수로 입력하야 하며 단 는 Hz이다. 해석주 수를 입력한 후 OK

단추를 선택하면 실제 해석이 수행된다. 각 해석주 수에 하여 차례 로

결과가 얻어진다.

진동에 지 도가 얻어진 다음에 후처리과정으로 진동인텐시티와 RMS가

속도 값을 계산할 수 있다.

MENU: Analysis > Solve Intensity

메뉴를 선택하면 미리 계산된 진동에 지 도를 이용하여 각 요소 심

에서의 진동인텐시티 값이 계산된다.

MENU: Analysis > Solve Acceleration

한 메뉴를 선택하여 각 에서의 RMS가속도 값을 얻을 수 있다.

MENU: Analysis > Solve Cavity

- 222 -

메뉴는 구조요소의 에 지 도 결과를 이용하여 음향 공동 내에서의 음

향에 지 도를 계산한다. 이 때 음향 공동의 심에서만 계산된다.

7.5 그래픽

본 로그램은 사용자 편의를 도모하기 하여 GUI를 지원하며, 모델

결과 내용도 텍스트 일 외에 그래픽으로 보여 다. 본 장에서는 그래픽과

련된 기능에 하여 살펴본다.

7.5.1 모델

본 로그램의 그래픽 역에서는 유한요소모델이나 워흐름유한요소모델

의 형상을 3차원공간에 그려주거나 해석결과를 3차원 모델형상에 보여주는

공간이다. FE모델을 불러오면 자동 으로 유한요소모델의 결과를 보여주며

모델변환기를 이용하여 PFFE모델을 생성하면 PFFE모델를 보여주는 모드로

자동 으로 변환된다. 사용자가 임의로 FE모델이나 PFFE모델을 임의로 선택

하여 보기 해서는 아래의 메뉴를 사용하면 된다.

MENU: Drawing > View FE-Model

MENU: Drawing > View Cavity

MENU: Drawing > View PFFE-Model

메뉴를 실행하면 각각 FE모델 구조모델과 음향모델, PFFE모델에

한 모델형상을 그래픽 역에 3차원으로 나타난다.

MENU: Drawing > View AXES

- 223 -

메뉴를 사용하면 모델의 크기를 알 수 있도록 모델크기에 맞는 x, y, z

축이 모델과 함께 표기된다.

7.5.2 해석결과

다음 메뉴를 실행하면 해석결과를 선택할 수 있는 그림 7.19와 같은 화

창이 열린다.

MENU: Drawing > Post Panel...

이 화창은 모달창으로서 이 창일 열렸을 경우 닫힐 때까지 주 로그램

창의 어떠한 기능도 수행할 수가 없게 된다. 해석결과를 보기 하여, 먼

해석한 다 주 수 에서 보고자 하는 주 수를 Frequency 콤보박스에서

선택한다. 이미 해석된 주 수가 콤보박스에 등록되어 있다. 다음으로 해석유

형을 Output 콤보박스에서 선택한다. 해석유형은 에 지 도(Energy), 인텐시

티(Intensity), RMS 가속도값(Acceleration), 음향에 지 도(Cavity) 에서

선택한다. Scale 콤보박스에서는 해석스 일일 선택하며 데시벨(dB)과 선형

(Linear) 스 일이 있다.

다음으로 각 요소에 하여 보고자하는 자유도를 선택하는데 평 요소의

경우 PLATE 콤보에서 굽힘 (Flexural),종 (Longitudinal), 단 (Shear),

면내 성분합(In-plane), 모든 성분 합(All) 미선택(None) 등을 선택할 수

있다. 보 요소의 경우 BEAM 콤보에서 x방향굽힘 (x-Flexural), z방향굽힘

(z-Flexural), 종 (Longitudinal), 비틀림 (Torsional), 굽힘 성분 합

(Fiexurals), 모든 성분 합(All), 미선택(None)등을 선택할 수 있다. 요소는

ROD콤보에서 선택하면 된다. Apply 단추를 선택하면 앞서 지정한 선택사항

을 반 하여 결과를 그래픽 역에 그리게 된다. 선택한 결과유형이 해석되어

있지 않을 경우에는 결과가 나타나지 않는다. Cancel 단추를 선택함으로써

- 224 -

이 화창을 닫을 수 있다.

7.5.3 그래픽 조 기능

다음 메뉴를 실행하면 그림 7.20과 같은 화창이 열린다.

MENU: Drawing > Post Panel...

이 화창은 모달리스 화창으로서 이 창이 열린 상태에서도 주 로그램

창 의 다른 기능 한 수행할 수 있다. 이 화창의 기능으로는 그림의 크기

를 변화시키거나 그림을 회 , 이동시키는 기능이 있다. Translation 역에

6개의 단추가 있는 이는 각 방향으로 그림을 이동시키는데 사용된다. 그림의

방향은 그림 왼쪽하단에 좌표계로써 확인할 수 있다. 한번 을 때 모델크

기의 10%만큼 이동한다. Rotation 역에도 6개의 단추가 있으며 6방향으로

회 시키는데 사용되며 10도씩 회 하게 된다. Scale 역에 있는 +,- 단추로

는 그림의 크기를 확 /축소할 수 있다. Fit 단추는 그림을 가장 최 화된 크

기로 변경하고 로그램 창 심으로 그림을 이동시킨다. View 역에 있는

6개 단추는 그림을 회 시켜 해당 평면방향에 한 그림을 보여 다.

7.5.4. 그래픽 선택사항

다음 메뉴를 실행하면 그림 7.21과 같은 모달 화창이 열린다.

MENU: Drawing > Drawing Option...

이 화창에서는 그래픽과 련된 여러 선택사항을 고를 수 있다. 먼 ,

Scale 역의 Shrink는 모델의 요소를 축소시켜 요소와 요소사의로 내부공간

- 225 -

을 확인할 수 있는 기능이다. 단 는 %로서 해당 퍼센트만큼의 요소크기가

어든다. Scale 역의 Vector는 인텐시티 벡터의 크기를 선택할 수 있다.

인텐시티는 최 화 되어 요소내부에 가장 잘 보이도록 그려지는데, 요소의

크기가 아주 작게 되어 벡터가 보이질 않을 경우 이 기능을 사용하여 벡터의

크기를 키울 수 있다. 단 는 %로써 주어진 값 100%를 기 으로 하여 크기

를 정할 수 있다.

Number 역에서는 요소번호나 번호를 그래픽 역에 표기할지를 선택

한다. Center를 선택하면 요소에 한 정보를 요소 심에 표기하며 edge를

선택하면 의 정보를 요소 끝에 보여 다. 요소에 한 정보는 FE요소,

물성치, 요소물성치, 구조/연계요소 번호 등을 세부항목에서 선택할 수 있으

며, 에 한 정보는 FE 이나 PFFE 에 한 번호를 선택하여 표기

할 수 있다. Color Range 역에서는 에 지 도의 색범 를 선택할 수 있

다. 자동으로 범 를 조 하는 기능(Auto)과 사용자가 선택하는 기능

(Manual)이 있다. 자동 조 을 선택하면 해당 모델의 결과에서 에 지 도의

최고값과 최 값을 색범 로 조 하게 된다.

Decibel Reference 역에서는 해석결과를 데시벨 스 일로 표 할 때 사

용되는 기 값을 선택한다. 에 지 도, 인텐시티, RMS 가속도 값 각각에 데

시벨 기 값을 변경할 수 있다.

7.6 기타 기능

7.6.1 로젝트 련 기능

본 로그램은 단일문서구조(SDI, Single Document Interface)로 되어 있어

한 번에 한 로젝트만 실행이 된다. 재 실행하고 있는 로젝트를 지우고

새 로젝트를 만들기 해서는 다음 메뉴가 사용된다.

- 226 -

MENU: File > New

메뉴를 실행하면 화창이 열린다. 이 때 OK버튼을 선택하면 재

로젝트에 있는 모든 내용이 지워지며 새로운 로젝트가 생기게 되며 Cancel

버튼을 선택하면 기존의 작업으로 되돌아가게 된다.

로젝트 일을 불러오거나 생성하기 해서는 다음 메뉴를 이용한다.

MENU: File > Load Project...

MENU: File > Save Project...

메뉴를 실행하면 일을 선택할 수 있는 화창이 열리고 일이름을

지정하면 해당 일을 불러오거나 새로 생성한다. 로젝트를 장하면 재

실행 인 PFAVIA 로그램의 거의 부분의 정보가 이진 일 형태로 장

되게 된다. 유한요소모델과 워흐름유한요소모델 해석결과의 정보가

장되며, 향후 이 로젝트 일을 불러오게 되면 장 의 상태로 되돌아오게

된다.

7.6.2 결과 일 련 기능

본 로그램이 실행되면 로그램 내부 으로 로그램이 들어있는 디 토

리 경로에 결과 일이 생성되고 로그램 종료시게 지워진다. 결과 일은

로그램 실행 에 사용된 기능들에 하여 결과를 보여주는 내용을 장하는

일로서 ~outputXXX.txt라는 일명으로 생성된다.

결과 일을 보기 해서는 다음 메뉴를 이용하게 된다.

MENU: File > Output file...

- 227 -

메뉴를 사용하면 결과 일이 도의 기본 로그램인 노트패드를 이용하

여 열린다.

7.6.3. 리스트

본 로그램은, 로그램 내부 으로 장되어 있는 정보, 즉 모델 정보나

해석결과를 데이터베이스 별로 볼 수 있는 기능이 지원된다.

메뉴를 실행하면 선택한 데이터베이스의 정보를 임시 일로 장하고,

도우 시스템에 내장되어 있는 텍스트편집 로그램인 메모장(Notepad.exe)

을 이용하여 이 일을 읽게 된다. 이 List 메뉴를 이용하여 볼 수 있는 데이

터베이스는 유한요소 모델링 정보 5가지(유한요소 , 재료물성치, 요소물성

치, 요소, 음향공동)이며, 모델 변경하여 생성한 정보( 워흐름 ,구조요소,

연계요소,연결요소)와 워흐름유한요소 모델링 과정에서 생성한 2가지 정보

( 워스펙트럼, 입력 워) 4가지 결과정보(에 지 도, 인텐시티, RMS 가

속도, 음향에 지 도)이다.

7.7. PFAVIA 개선 용

일반 으로 SEA를 기반으로 하는 AutoSEA나 PFA를 기반으로 하는

PFAVIA의 경우 모두 입력 값으로 워를 넣도록 되어 있다. 그러나 실

으로 워를 계측하거나 이론 으로 그 값을 구하는 것은 쉽지 않다. 따라서

장비사에서 제공되는 가속도나 속도 값을 이용하여 워를 추정하여 입력하

고 해석을 하고 있는 실정이다. 재 고주 역에서 가속도를 이용하여

워를 추정하는 기법에는 무한 평 의 임피던스를 이용하는 방법이 있다.

그러나 이 방법은 단일 구조물에는 가능하나 복합 구조물에는 용하기가 어

렵다. 실제 복합 구조물에서 임피던스(impedance)를 이용하여 워를 추정하

기 해서는 복합 구조물에 한 모빌리티(mobility)를 알아야 하는데 이를

- 228 -

이론 으로 구하기는 어려운 실정이다. 따라서 기존의 워를 입력하는 방식

신 가속도를 입력하는 방식으로 로그램의 입력 값에 해 수정하 다.

7.7.1 입력 워 추정

PFAVIA의 경우 해석을 하기 해선 워 값을 입력하고 있다. 그러나 일

반 으로 조선소에서 사용하는 입력 값은 속도나 가속도 등이다. 따라서 이

를 이용해서 워 값을 추정해서 입력을 해야 된다. 속도, 가속도를 이용한

입력 워 추정 식은 다음과 같다.

P=12|F| 2Re{ 1

Z }= 12Re{Z}|V| 2=

12Re{Z}| ajw |

2

(7.1)

여기서 Z는 무한 평 의 임피던스이다.

Z=8 Dρh , D=Eh 3

12(1-ν2)

(7.2)

7.7.1.1 단순 평 에 해 용

추정된 워식을 이용하여 단일 평 에 해 용해 보았다. 그림 7.23은

모든 주 수에 해서 80dB의 가속도로 가진했을 때의 해석 결과이다. 각각

의 주 수에 해 가속도의 값이 80dB로 해석됨을 확인할 수 있다.

단일 평 에 해 입력 워 추정 방법의 정확성이 증명이 되었기 때문에

다양한 각도로 연성된 평 에 해 해석해 보았다. 그림 7.25는 동일 평면상

에 연성된 평 에 한 해석 결과이다. 마찬가지로 모든 주 수에 해 80dB

의 가속도 값으로 가진 했을 때의 결과이다. 단일 주 수와 다르게 80dB가

나오지 않는 것을 확인할 수 있다.

- 229 -

그림 7.27은 직각으로 연성된 평 에 한 해석 결과이다. 그림 7.25와 마

찬가지로 80dB가 나타나지 않고 의 결과와도 다른 값을 나타냄을 확인할

수 있다.

7.7.1.2 원인 분석 해결 방안

단일 평 에 해 입력 워를 추정했을 때는 입력과 동일한 해석 결과가

나왔으나 복합 평 에 해서는 동일한 값이지만 입력과는 다른 해석 결과를

주고 있다. 이는 단일 평 에 한 임피던스를 사용해서 복합 구조물에 한

입력 워를 계산했기 때문이다. 따라서 정확한 입력 워를 추정하기 해

서는 복합 구조물에 한 임피던스를 이용하여 입력 워를 추정해야 된다.

그러나 복합 구조물에 한 임피던스를 구하는 것은 실 으로 어려운 실정

이다. 따라서 PFAVIA의 진동소음해석이 입력 워에 한 선형 인 해석

결과가 나온다는 것을 이용하여 가속도로부터 워를 추정해서 워를 넣는

것이 아니라 그러한 가속도가 나오게 하는 입력 워 값을 계산하고 나머지

모르는 부분에서 가속도를 계산하도록 PFAVIA를 수정하 다.

7.7.2 PFAVIA 수정

지 까지 PFAVIA는 입력 워 값을 알고 있을 때 구조물의 에서의

에 지 값을 구하는 로그램이다.

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳

K 11 K 12 ⋯ K 1n

K 21 ⋱ K 2n

⋮ ⋱ ⋮Kn1 ⋯ Knn

ꀌ

ꀘ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀍ

ꀙ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳

e 1

e 2

⋮e n

=

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳

P 1

P 2

⋮Pn

(7.3)

unknown known

- 230 -

그러나 이 경우 정확한 입력 워 값을 알아야만 하는데 복합 구조물의 경

우 워 추정이 쉽지가 않다. 따라서 아는 에서의 에 지 값은 그 로

사용하고 신 알고 있어야 할 워 값을 계산하고 그 외의 에서의 에

지 값을 계산하도록 PFAVIA를 수정하 다.

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳

K 11 K 1x K 1y K 1n

Kx1 Kxx Kxy KxnKy1 Kyx Kyy KynKn1 Knx Kny Knn

ꀌ

ꀘ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀍ

ꀙ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳

e 1

e xe ye n

=

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳

P 1

PxP yPn

ex, ey는 알고, Px, Py는 구해야 하는 값

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳

K 11 0 0 K 1n

K x1 -1 0 KxnK y1 0 -1 KynKn1 0 0 Knn

ꀌ

ꀘ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀍ

ꀙ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳

e 1

P xP ye n

=

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳

P 1

00P n

-

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳

K 1x

K xxK yxK nx

e x-

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳

K 1y

K xyK yyK ny

e y

의 알고리즘을 통해서 입력 워를 추정하는 것이 아니라 계산하고 그

외의 에서의 에 지 값을 계산하도록 수정하 다.

7.7.3 용

수정된 PFAVIA를 이용하여 단일 구조물에 해 용시켜 보았다. 그림

7.28은 동일 면상의 연성 평 가진을 나타내고 있다. 그림 7.29는 각 주 수

당 모두 80dB의 가속도 값으로 가진 시켰을 때의 해석 결과이다. PFAVIA는

에서의 에 지(가속도) 값을 제시하는 로그램으로 가진되고 있는 면의

의 가속도 값이 모든 주 수에 해 80dB 값을 나타내고 있는 것을 확

인할 수 있다. 그림 7.30은 임의의 각으로 연성된 평 가진을 나타내고 있

다. 그림 7.31는 각 주 수당 80dB의 가속도 값으로 가진 했을 때의 해석 결

과이다. 마찬가지로 가진 요소의 에서 모두 80dB의 값을 나타내고 있다.

unknown known

- 231 -

그림 7.32는 단순 구조물을 나타내고 있다. 5번과 11번의 음향 공간의 요소

번호이다. 그림 7.33은 2개의 음향 공간을 갖고 있는 구조물로써 윗면에 가속

도가 가진 된다고 했을 때 SEA 해석 결과 값을 나타내고 있다. 란색으로

테두리 쳐져 있는 부분은 음향 공간에서의 SPL값을 나타내고 연두색으로 표

시되어 있는 부분의 각 음향 공간을 둘러싸고 있는 평 에서의 가속도 값을

나타내고 있다. 그림 7.34은 PFAVIA를 이용한 해석 결과이다. 그림 7.35은

각 음향 공간에서의 SEA와 PFAVIA의 해석 결과 값을 비교한 것이다. SEA

의 경우 주 수 이하에서의 해석 결과 값은 신뢰성이 낮은 실정이다. 따

라서 1kHz 이하에서의 SEA의 해석 결과가 소음 값의 감소가 크다는 문제

을 갖고 있는 반면, PFAVIA의 해석 결과는 그 감소 경향이 작은 것을 확인

할 수 있다. 1kHz 이상에서의 해석 결과는 SEA와 PFAVIA 모두 유사한 값

을 가짐을 확인할 수 있다. 그림 7.36는 실제 선박의 음향 공간을 단순 모델

링하고 체 음향 공간에서의 SPL값을 나타낸 것이다. 그림 7.37은 각 지

당 치를 나타낸다. 그림 7.38은 체 음향 공간 일부 공간에 해 SEA

와 PFAVIA의 해석 결과 값을 비교한 것이다. 두 해석 결과 모두 SPL 값과

감소 경향이 일치되는 것을 나타내고 있다. 그림 7.36는 SEA 해석을 하기

해 SEA에 맞게 새롭게 모델링한 것이다. SEA의 경우 소음해석을 하기 해

서 새롭게 모델링을 해야 하는 불편함이 있지만 PFAVIA의 경우 개발된 트

랜슬 이터를 통해 별도의 모델링 없이 소음해석이 가능하다. 표 7.1은 실제

선박에서 발 기만 작동할 때 발 기를 지지하고 있는 평 의 가속도를 계측

한 값이다. 계측값과 비교하기 하여 실선을 모델링하고 발 기에 의한 가

속도 값을 입력시켜 해석하고 그림 7.39에서 보는 바와 같이 각각의 구간에

서의 SPL 값을 비교하 다. 그림 7.40은 각각의 주 수에 하여 계측 값과

해석 값을 비교한 결과이다. 란색 실선은 계측에 의한 값이고, 녹색 실선은

해석에 의한 값이다. 그리고 붉은색 실선은 내장재의 효과를 고려한 값이다.

실선에서는 각 방마다 내장재가 부착되어 있어 계측 값에는 내장재에 의한

향이 반 된 반면, 해석 값에는 내장재의 효과에 해선 해석을 하지 않고

- 232 -

있다. 일반 으로 내장재에 의한 SPL 값의 감소 효과가 4～6dB 정도 되고,

고주 수 역으로 갈수록 효과가 어든다고 알려져 있다. 따라서 각각의

주 수에 따라 내장재에 의한 효과를 반 한 결과와 계측치를 비교하면 5dB

내외로 잘 일치하는 것을 확인 할 수 있다. PFAVIA를 통한 해석 결과가

SEA를 통한 해석 비교와 실선을 통한 실험 비교 모두 만족스런 결과를

얻었기 때문에 엔진이 가진될 때에 해 해석을 수행하 다. 표 7.2는 각각의

주 수에서 엔진이 부착된 평 의 진동 가속도를 측정하 다. 그림 7.41는 표

7.2의 가속도 값을 입력하여 해석된 진동해석 결과이다. 그림 7.42는

PFAVIA를 통해 진동해석과 소음해석용 모델을 자동을 생성한 결과를 나타

내고 있다. 그림 7.43은 1000Hz에서의 진동 에 지 도와 음향 에 지 도

의 결과를 나타낸다. 그림 7.44는 4000Hz에서의 해석 결과를 나타낸다. 그림

7.43과 그림 7.44를 통해서 진동 에 지 도와 음향 에 지 도 모두 주

수가 증가함에 따라 감소하는 것을 알 수 있다. 그림 7.45는 주 수 500Hz로

메인 엔진이 가진되고 있을 때 Ro-Pax선의 진동소음 해석 결과이다. 그림

7.45(a)는 진동 에 지 결과를 나타내고 그림 7.45(b)는 음향 에 지 결과를

나타낸다. 그림 7.46은 Ro-Pax선에서 소음원 주 의 횡방향 인텐시티의 분포

도를 나타내고 있다. 그림 7.47 ∼ 7.49는 주 수가 250Hz, 1000Hz와 2000Hz

일때의 진동소음 연성해석 결과를 나타내고 있다. 각각의 결과에서 (a)는 진

동 에 지 도의 분포를 나타내고, (b)는 소음 에 지 도의 분포를 나타내

고 있다. 주 수가 증가함에 따라 에 지 도가 감소하는 것을 확인 할 수

있다. 그림 7.50은 주 수가 500Hz일 때 로펠러에 의한 진동소음 해석의

결과를 나타낸다. 그림 7.51은 주 수가 500Hz 일 때 메인 엔진과 음향 공간

에서의 음향 소스에 의한 진동소음 해석 결과를 나타낸다. 음향 소스에 의해

진동 에 지 도가 증가하는 것을 확인 할 수 있다.

- 233 -

Fig. 7.1 Main-frame of PFAVIA

Fig. 7.2 Translator module in PFAVIA

- 234 -

Fig. 7.3 NASTRAN FE model data structure of Translator module in

PFAVIA

Fig. 7.4 Various NASTRAN Cards supported in Translator module of

PFAVIA

- 235 -

Fig. 7.5 FE model data structure in PFAVIA

Fig. 7.6 GUI main frame of Translator module in PFAVIA

- 236 -

Fig. 7.7 Cavity Finder

Fig. 7.8 Cavity Finder를 통해 찾은 음향 공간

- 237 -

Fig. 7.9 Dialogue of Loading FE model

- 238 -

(a)

(b)

Fig. 7.10 Loading model, (a) : FE model, (b) : Cavity model

- 239 -

Fig. 7.11 Power Spectrum Dialog (1)

Fig. 7.12 Power Spectrum Dialog (2)

- 240 -

Fig. 7.13 Element Spectrum Dialog (1)

Fig. 7.14 Element Spectrum Dialog (2)

- 241 -

Fig. 7.15 Dialog of Setting Fluid Loading

Fig. 7.16 Dialog of Setting DOF

- 242 -

Fig. 7.17 Dialog of Selecting Linear Equation Solver

Fig. 7.18 Dialog of Solving Energy Density

- 243 -

Fig. 7.19 Dialog of Post Panel

Fig. 7.20 Dialog of Control Panel

- 244 -

Fig. 7.21 Dialog of Drawing Option

- 245 -

Fig. 7.22 단일 평 가진

Fig. 7.23 단일 평 가진 결과

- 246 -

Fig. 7.24 동일 평면의 연성 평 가진

Fig. 7.25 동일 평면의 연성 평 가진 결과

- 247 -

Fig. 7.26 수직 연성 평 가진

Fig. 7.27 수직 연성 평 가진 결과

- 248 -

Fig. 7.28 Forcing to Coupling Plates Located at Same Plane

Fig. 7.29 Analysis Result for Forcing to Coupling Plates Located at Same

Plane

- 249 -

Fig. 7.30 Forcing to Coupling Plates with Arbitrary Angle

Fig. 7.31 Analysis Result for Forcing to Coupling Plates with Arbitrary

Angle

- 250 -

Fig. 7.32 Forcing to Simple Structure

- 251 -

Fig. 7.33 SEA Analysis Result

Fig. 7.34 PFAVIA Analysis Result

- 252 -

Fig. 7.35 Analysis Result Comparison

- 253 -

(a)

(b)

Fig. 7.36 Analysis Result Comparison : (a) PFAVIA, (b) SEA

- 254 -

Fig. 7.37 Each Measurement Position (1)

Fig. 7.38 Analysis Result Comparison at Each Measurement Position (1)

- 255 -

측정 가속도(dB) 250Hz 500Hz 1000Hz 2000HzPart 1 71.5 65.3 67.6 65.4Part 2 71.2 63.9 68.8 66.5Part 3 62.5 62.6 67.5 65.9Part 4 62.0 63.4 65.7 64.2

Table. 7.1 Acceleration Measurement (1)

Fig. 7.39 Each Measurement Position (2)

- 256 -

(a) (b)

(c) (d)

Fig. 7.40 Analysis Result Comparison at Each Measurement Position : (a)

250Hz, (b)500Hz, (c) 1000Hz, (d) 2000Hz

- 257 -

측정 가속도(dB) 250Hz 500Hz 1000Hz 2000HzPart 1 68.8 65.9 66.3 69.2Part 2 68.8 68.3 67.9 69.1Part 3 67.7 67.2 65.9 74.7Part 4 67.2 66.9 63.3 65.7

Table. 7.2 Acceleration Measurement (2)

(a) (b)

(c) (d)

Fig. 7.41 Vibration Analysis Result Comparison at Each Measurement

Position : (a) 250Hz, (b)500Hz, (c) 1000Hz, (d) 2000Hz

- 258 -

(a)

(b)

Fig. 7.42 Analysis model, (a) , vibration analysis model, (b) , noise

analysis model.

- 259 -

(a)

(b)

Fig. 7.43 Energy density distribution : (a) , vibrational energy, (b) ,

acoustic energy at 1000 Hz

- 260 -

(a)

(b)

Fig. 7.44 Energy density distribution : (a), vibrational energy, (b) ,

acoustic energy at 4000 Hz

- 261 -

(a)

(b)


f=500Hz : (a) vibration energy density, (b) noise energy density.

- 262 -

Fig. 7.46 Intensity near input source when input source is main G/E.

- 263 -

(a)

(b)


f=250Hz: (a) vibration energy density, (b) noise energy density.

- 264 -

(a)

(b)



- 265 -

(a)

(b)



- 266 -

(a)

(b)

Fig. 7.50 Energy density distribution when input source is propeller shaft

and f=500Hz : (a) vibration energy density, (b) noise energy density.

- 267 -

(a)

(b)


HVAC and f=500Hz : (a) vibration energy density, (b) noise energy

density.

- 268 -

8 . 진동/ 소음 해석 일 화 시스템 개발

일반 으로 선박의 진동문제와 이로 인해 발생하는 소음문제는 서로

한 계를 가지고 있다. 재 고주 역의 소음진동분야에서 주도 으로

사용되고 있는 진동 해석 소 트웨어로는, 워흐름해석법(Power Flow

Analysis)에 유한요소기법을 용한 워흐름유한요소법(Power Flow Finite

Element Method, PFFEM)을 바탕으로 한 PFADS가 있고, 소음 해석 소 트

웨어로는, 워흐름해석법(Power Flow Analysis)에 경계요소법을 목한

워흐름경계요소법(Power Flow Boundary Element Method, PFBEM)을 바탕

으로 한 NASPFA가 있다.

그러나 이러한 해석 소 트웨어들은 그 배경 이론의 차이로 인하여 각각의

해석을 수행하기 해서 각 목 에 맞는 해석용 모델을 필요로 한다. 즉 진

동해석을 해서는 진동해석용 모델(Fe-model)이 필요하며, 소음해석을 해

서는 소음해석용 모델(Be-model)이 필요시 된다. 이로 인하여 하나의 상을

상 로 각 해석을 하여 새롭게 모델링을 해야 하는 불필요한 시간을 낭비

하게 된다.

이에 본 연구는 이러한 인 시간 낭비를 개선하기 하여 하나의 진동

해석용 모델로부터 실내소음, 방사소음, 선외소음 등과 같이 각각의 목 에

맞는 소음해석용 모델을 자동으로 생성해주는 트랜슬 이터를 개발하 다.

8 . 1 . 실 내 소음해석용 트 랜 슬 이터

8.1.1 Cavity Finder 이론

진동해석 모델에서 자동으로 음향 공간을 찾는 트랜슬 이터인 Cavity

Finder는 다음의 과정을 통해 이루어진다.

- 269 -

8.1.1.1 기 자표 생성

이를 해 유한요소모델을 읽어 들이고 공동요소와 연결부 자료를 생성한

다. 만약 이미 존재하는 유한요소모델을 읽어 들이면 (NODE)과 요소

(ELEMENT)를 한곳에 갖고 있는 리스트(NODEDB)와 요소리스트(EDB)

가 생성된다. 과 요소의 자료는 아래와 같이 구성되어 있다.

NODE: id(고유번호), x, y, z

ELEMENT: type(유형), id(고유번호), sn(일렬번호), N1, N2, N3, N4( )

이들 과 요소는 각각 고유번호 id를 갖고 있으며, 요소는 type으로 요

소형태를 알 수 있고 NODEDB와 EDB는 고유번호 순으로 정렬되어 있다.

ELEMENT의 sn은 해당 요소객체가 리스트에서 몇 번째에 있는지를 나타내

는 번호이다. 즉, EDB(ELEMENT.sn)=ELEMENT를 만족한다.

다음으로 공동을 찾는 과정에서 필요한 공동요소(CFE)를 갖고 있는 공동

요소리스트 (CFEDB)를 EDB와 일 일 응이 되도록 생성한다. 공동요소의

자료는 아래와 같다.

CFE: elem(요소주소), type(유형), j1, j2, j3, j4(조인트주소), face, back

CFEDB와 EDB는 CFEDB(sn).elem == EDB(sn) 계가 만족되어 서로 참

조할 수 있다. CFE의 유형은 다음과 같다.

CFE.type = (1) NON_SURFACE: 2차원요소가 아닌 경우

(2) SURFACE: 2차원요소

(3) CLOSE: 2차원요소 폐쇄요소

- 270 -

(4) OPEN: 2차원요소 개방요소

처음 CFEDB를 생성할 때, 유형을 NON_SURFACE와 SURFACE로 분류

한다. 이는 Cavity를 구성하는 요소는 2차원 평면 요소만을 사용하기 때문에

2차원 요소가 아닐 경우 제외시킨다. 다음으로 요소의 연성 계를 알기 한

목 으로 연결부자료(CFJ)를 아래와 같이 구성한다.

CFJ: n1(1번 고유번호), n2(2번 고유번호), num(요소연결수), ei(i

번 연성요소주소), fi(i번 요소의 요소측면), ...

CFJ는 면 요소 num개가 n1과 n2를 서로 공유하면서 선 연결되어 있

으며, 이때 공유된 요소는 ei로 알 수 있으며 fi는 공유요소의 요소측면 번호

이다. 이때, fi는 양/음 값을 가질 수 있는데, fi가 양이면 n1에서 n2방향이 요

소 앞면을 의미하며 fi가 음이면 n2에서 n1방향이 요소뒷면을 의미한다. 를

들어 그림 8.1과 같은 연결부의 경우, CFJ(n1,n2)={ (e1,f2), (e2,-f1), (e3,f3),

(e4,f4) } 가 된다. n1<n2를 만족하도록 하고, CFJ를 리하는 연결부리스트

(CFJDB)는 CFJ의 n1과 n2에 하여 오름차순으로 정렬되도록 한다. 즉, n1

과 n2에 한 사 식 정렬이 된다.

CFJDB를 생성하기 하여 모든 CFE에 하여 차례 로 검색하여 CFE의

유형이 SURFACE인 요소에 하여, 각 요소측면을 CFJDB에 있는지 확인하

고 있으면 해당 연결부에 요소만 추가하고 없으면 연결부를 새로 생성한다.

이와 함께 각 CFE의 j1,j2,j3,j4를 채움으로써 CFJ와 CFE가 서로 참조되도록

한다.

8.1.1.2 개방요소 제거

그림 8.2와 같이 개방요소를 찾고 개방요소를 제거한다.

- 271 -

개방요소의 특징은 개방요소의 일부 요소측면에 연결된 연결요소가 자기

자신 밖에 없다는 것을 이용한다. 모든 CFE를 차례로 검색하면서 유형이

SURFACE인 요소에 하여, 각 요소측면에 한 CFJ의 연결요소수(num)가

1이면 해당 CFE의 유형을 OPEN으로 변경하고, 해당 CFE의 모든 요소측면

에 한 CFJ에서 해당 CFE정보를 지운다. 의 과정을 한번 거치면서 개방

요소로 변경된 요소 수를 세고, 이 요소 수가 0이 될 때까지 의 과정을 반

복한다. 이를 통해 모든 CFE를 검색하면서 유형이 SURFACE인 요소에 하

여 유형을 CLOSE로 변경한다.

8.1.1.3 연결부의 요소자료 정비

연결부에 연결된 요소정보를 연성각에 따라 정렬시킨다. 이때 첫 요소는

요소번호가 가장 작은 요소로 하고, 벡터n1, n2를 기 으로 오른손 회 방향

이 되도록 다음 요소를 결정한다. 의 과정을 모든 CFJ에 하여 다음을 수

행한다. 다음으로 기 이 되는 요소를 첫 요소(e1)로 결정하고 각을 재는 방

향을 벡터n1, n2의 오른손 회 방향으로 결정한다. 그리고 연성된 요소 에

서 두 번째부터 마지막 요소까지(num-1개)에 하여 첫 요소와의 연성각을

계산한다. 마지막으로 연성각이 작은 순서로 두 번째부터 마지막 요소까지를

정렬한다.

그림 8.3과 같은 경우 e1이 첫 요소가 되고 화살표 방향으로 각을 재고 작

은 순으로 정렬해보면 e1, e3, e2, e4가 된다. 즉 변경된 연결부는

CFJ(n1,n2)={ (e1,f2), (e3,f3), (e2,-f1), (e4,f4) } 와 같이 된다.

8.1.1.4 두 요소간의 연성각 구하는 알고리즘

그림 8.4와 같이 두 요소(0,k)의 선 연결되는 을 n1, n2라 하고, 각 요

소 내에 있는 을 n0, nk라고 하면, 이 네 을 갖고 두 요소의 사이각 구하

- 272 -

는 알고리즘은 다음과 같다.

연결부의 방향벡터를 연결부 벡터라 하면 다음과 같다.

연결부 벡터: Vj = normalize(N2-N1)

요소면의 두 법선벡터 에서 연결부 벡터에 하여 오른손 법칙에 따른

방향의 벡터를 요소의 법선벡터라 하면 두요소의 법선벡터는 다음과 같이 계

산 된다.

요소0의 법선벡터: Vn0= normalize( (n1-n0)×(n2-n0)　)

요소k의 법선벡터: Vnk= normalize( (n1-nk)×(n2-nk)　)

요소 내에 있는 벡터 에서 법선벡터에 수직인 벡터를 요소의 방향벡터라

하면, 두 요소에 한 방향벡터는 법선벡터와 연결부벡터를 이용하여 다음과

같이 계산된다.

요소0의 방향벡터: Vj0 = normalize( Vn0×Vj )

요소k의 방향벡터: Vjk = normalize( Vnk×Vj )

두 방향벡터의 사이각 벡터의 내 계를 이용하여 계산된다.

anlge_0k = arccos(Vj0.Vjk / norm(Vj0) norm(Vjk) )

이때 계산된 각은 0～pi까지의 각으로, 면의 방향이 고려되지 않은 상태이

다. 요소k내에 nk가 요소0의 요소면에 하여 어느 방향에 있는지를 고

려하여 Vn0 (nk-n1) < 0 이면 nk는 요소0의 요소면에 하여 아래쪽에

있으므로, 아래와 같이 다시 사이각 계산한다.

- 273 -

angle_0k = 2*pi - arccos(Vj0.Vjk / norm(Vj0) norm(Vjk) )

8.1.1.5 외각요소 검색

외각요소를 찾고 외각요소에 하여 CFE의 해당 면에 외각임을 표기한다.

CFE에는 공동번호를 장하는 face와 back이라는 데이터가 있는데, 각각

요소앞면과 뒷면에 하고 있는 공동번호를 기입한다. 처음 CFE를 생성할

때는 이를 -1로 기화 한다. 다음으로 모든 폐쇄요소을 검색하여 모델을 둘

러싸고 있는 박스의 꼭지 을 구하고, 이로부터 모델 외부의 한 을 결정한

다. 를 들어 박스의 꼭지 이 Nmin과 Nmax라 하면 외부 한 을 Nex =

Nmax+(Nmax-Nmin)와 같이 결정한다. 마지막으로 모든 폐쇄요소를 검색하

여 외부 과 요소와의 거리가 가장 긴 요소를 찾고, 외부와 만나는 요소면을

결정한다. 그림 8.5는 외부 으로부터 첫 외각요소를 찾는 를 보여 다.

첫 외각요소를 기 으로 공동 찾는 알고리즘을 이용하여 외각요소를 찾는

다. 찾은 외각요소에 하서는 CFE의 요소표면을 0으로 표기한다.

8.1.1.6 공동 검색 알고리즘

한 요소의 요소표면이 주어지면 그 요소표면과 만나는 공동이나 외각요소

를 구성하는 요소표면을 찾는다. 공동(Cavity)은 공동을 구성하는 요소표면

(Es)으로 이루어져있다.

Cavity = { Es1, Es2, Es3 ... };

여기서 요소표면(Es)은 다음과 같이 정의할 수 있다.

- 274 -

Es = ( eid, sign)

eid는 해당요소의 요소번호이고 sign는 요소앞면(+) 혹은 뒷면(-)을 의미한

다. 주어진 요소표면을 포함하고 있는 공동을 찾기 해서는 다음과 같은 개

념을 이용한다. Es(i)가 임의의 공동에 속하는 요소표면이라고 한다면, Es(i)

의 요소 측면에 연결된 요소들 에서 Es(i)와 이루는 각이 가장 작은 요소

가 그 공동의 요소표면이 될 수 있다.

요소측면이 검색 는지를 별하는 요소측면지도를 다음과 같이 구성한다.

map( ie , if ) = { true or false }

ie는 요소일련번호이고 if는 요소측면번호이다. 모든 ie와 if에 하여 false

로 기화 한다. 주어진 첫 요소표면(Es1)을 공동데이터에 추가하고 공동번호

를 Es1에 해당하는 CFE에 표기한다. 를 들어 공동번호가 3이고 Es1.sign

이 +이면 CFE.face=3으로 기입한다.

공동에 추가된 모든 요소표면에 하여 다음을 수행한다. 해당요소표면

(Esi)의 모든 요소측면에 하여 해당 요소측면지도(map)가 false인 경우에

하여, 해당요소와의 사이각 가장 작은 요소를 선택하고 해당요소표면과 같

은 방면에 있는 방향을 선정하여 추가할 요소표면(Esi+1)을 생성한다. 해당

요소측면지도(map)를 true로 변경한다. Esi+1에 해당하는 CFE의 공동번호가

-1일 경우에만 Esi+1을 공동에 추가하고 CFE의 공동번호를 기입한다.

8.1.1.7 공동 검색

마지막으로 공동을 찾기 해 모든 CFE의 face와 back을 차례로 검색하면

서, -1인 값을 갖는 요소표면(Es1)을 찾고 이를 기 으로 공동을 찾는다.

의 과정을 반복하여 모든 CFE의 face와 back이 -1인 값이 없도록 한다. 이

- 275 -

로써 공동 검색을 마친다.

8.1.2 Cavity Finder 용

진동해석 모델로부터 별도의 모델링 없이 소음해석 모델을 생성하기 하

여 Cavity Finder라는 트랜슬 이터를 개발하 다. 본 트랜슬 이터는 진동해

석 모델을 이루고 있는 평 요소들에 의해 이루어진 닫힌 공간(Close

space)을 자동으로 찾아주는 기능을 수행한다. 이 공간을 해석하고자 하는 음

향 공간으로 인식하게 된다. Cavity Finder는 진동해석 모델 일을 입력하

고 음향공간에 한 매질의 도와 음 달 속도, 에 지 감쇠 값 입력하면

자동 으로 음향 공간을 찾아 다. 그리고 출력 일명은 자동 으로 진동해

석 모델 일명에 추가 으로 _cavity가 붙어진 일명으로 출력된다.

의 Cavity Finder를 통하여 자동으로 생성된 음향 공간은 그림 8.7과 같

이 나타난다.

출력된 일은 음향 공간에 한 ID번호와 매질의 도, 음 달 속도, 그

리고 몇 개의 요소들로 이루어진 공간인지에 한 정보를 나타내고 있다.

그림 8.8과 그림 8.9는 진동해석 모델과 Cavity Finder를 통해서 찾은 음향

공간을 나타내고 있다.

그림 8.9의 경우 진동해석 모델로부터 모든 닫힌 공간을 자동으로 음향 공

간으로 인식하여 생성하기 때문에 따로 음향공간을 모델링 할 필요가 없는

장 이 있는 반면에, 실제 으로 원하지 않는 해석 역이 자동으로 설정되

어 이를 제거하는데 오히려 더 많은 시간과 노력이 드는 문제 이 존재하게

된다.

그림 8.11은 그림 8.10의 LNG선 진동해석 모델로부터 Cavity Finder를 통

해 찾은 음향 공간을 나타내고 있다. 실제 으로 해석이 필요한 거주 공간

이외에 다른 부분들 한 음향 공간으로 잡히는 것을 확인 할 수 있다. 한

Cavity Finder를 통해 음향 공간을 생성시에는 닫힌 공간만을 음향 공간으로

- 276 -

인식한다는 단 이 있다. 실제 선실에서는 열린 공간에서의 소음해석이 필요

한데 이 경우 자동으로 생성이 되지 않기 때문에 진동해석 모델에서 새롭게

요소를 추가해서 닫힌 공간으로 만들거나 음향 공간을 따로 만들어 주어야하

는 문제가 발생한다.

8.1.3 Translator 이론

8.1.2 에서는 Cavity Finder를 통하여 자동으로 음향공간을 생성해주는 트

랜슬 이터에 해 살펴보았다. Cavity Finder의 경우 진동모델로부터 자동으

로 음향공간을 생성해 으로써 음향 공간을 따로 모델링할 필요가 없는 장

이 있는 반면 실제 으로 해석을 원하지 않는 공간까지 음향공간으로 모델링

을 하게 되어 이를 제거하는데 오히려 더 많은 시간이 걸리는 문제 과 열린

공간에 해서는 음향 공간을 생성하지 못하는 문제 이 발생하 다. 따라서

이러한 문제 을 해결하기 하여 실내공간의 경우 자동을 생성하기 보다는

원하는 역만을 사용자가 모델링하고 이를 트랜슬 이터를 통해 변환하도록

하 다. 이를 해서 NASTRAN의 Solid 요소를 음향 공간으로 인식하여 변

환시켜주는 트랜슬 이터를 개발하 다.

8.1.3.1 NASTRAN Model 읽기

본 트랜슬이터는 NASTRAN Bulk File을 Fe-model로 변환시킨 후 Cavity

를 구성하는 요소를 찾도록 되어 있다. 따라서 이를 해서 먼 NASTRAN

Model을 읽는 과정이 필요하다. 이 과정에서 NASTRAN의 Grid 정보를 읽

고 Fenode 정보로 장을 하고, NASTRAN material 정보를 Fe-model의

material 정보로 장을 한다. 그리고 NASTRAN의 element property 정보를

Fe-model의 element property 정보로 장을 하고 NASTRAN의 element 정

보를 Fe-model의 element 정보로 장을 한다. 이 과정에서 1차원 선 요소와

- 277 -

2차원 평 요소에 한 정보뿐만 아니라 3차원 Solid 요소에 한 정보도

같이 장한다. 진동해석을 해서는 1차원과 2차원 요소의 경우 NASTRAN

의 정보를 그 로 갖고 있다. 그러나 실내소음해석을 해서 사용되는 3차원

Solid 요소의 경우 NASTRAN의 soild 정보인 8 의 정보 이외에 추가 으

로 solid를 둘러싼 요소들에 한 정보가 필요하다.

8.1.3.2 Cavity를 둘러싼 요소 찾기

앞 단계에서 Fe-model은 2차원 평 요소에 한 정보를 갖고 있고, 3차원

solid 요소에서는 에 한 정보만을 가지고 있다. 따라서 이 들로 이

루어진 면을 이루는 평 을 찾는 것이 필요하다. 이를 하여 Fe-model이 가

지고 있는 요소에 하여 을 구한다. 이 과 solid의 한 면을 이루

고 있는 4변의 양 끝 으로 이루어진 4개의 삼각형을 구성한다. 이들 4개의

삼각형의 넓이가 한 면의 넓이와 같으면 그 요소는 solid의 한 면을 이루는

평 이 되고 넓이가 다르면 solid를 구성하지 않는 요소이다. 이 게 각 면에

해서 넓이가 같은 요소들을 찾는다.

8.1.4 Translator 용

8.1.3 에서의 이론을 이용하여 사용자가 원하는 역만을 Cavity로 변환시

켜주는 트랜슬 이터를 개발하 다.

그림 8.12의 트랜슬 이터는 NASTRAN의 Solid 모델을 나타내는 8 에

한 정보를 받아들인 다음 이들 8 이 이루는 6면체를 둘러싸고 있는 요

소들을 자동으로 검색하는 기능을 수행한다. 최종 으로 음향 공간을 이루고

있는 8 에 한 정보와 6면체를 구성하고 있는 평 요소에 한 정보를

출력하게 된다. 이들 정보는 음향 공간을 나타낼 때 사용되는 정보이고,

평 요소들은 실내 소음해석시 사용되는 정보들이다.

- 278 -

다음은 간단한 구조물에 해 트랜슬 이터를 용 시켜본 것이다. 그림

8.15는 6면체의 구조물 정면의 일부 역이 없고 쪽에 하나의 평 이

붙어있는 모델이다.

Cavity Finder의 경우 이와 같은 모델에서는 음향 공간을 생성할 수 없었

다. 그러나 본 에서 개발된 트랜슬 이터를 이용하면 그림 8.18에서와 같이

열린 음향 공간을 생성시킬 수 있다.

그림 8.16은 열린 음향 공간을 이루고 있는 요소들에 한 정보를 제 로

가지고 있는지 확인하기 해 나타낸 것으로 음향 공간을 이루는 8개의

이 이루는 평면에 속한 7개의 평 에 한 정보를 갖고 있는 것을 확인 할

수 있다. 그림 8.17은 이들 평 을 출력한 것으로 필요 없는 쪽의 평 은

제거되고 7개의 평 으로써 열린 음향 공간을 형성하는 것을 나타내고 있다.

그림 8.18은 실제 음향 공간에 한 형태를 나타내고 있다. 진동해석 모델

이 완 히 닫힌 공간이 아니더라고 해석하고자 하는 음향공간은 6면체로 이

루어져 있음으로 음향 공간이 가지고 있는 8 에 한 정보를 이용하여 항

상 6면체가 되도록 나타내고 있다. 그림 8.19와 그림 8.20은 LNG선의 선미

부분의 진동해석 모델과 실내소음해석 모델을 나타내고 있다.

- 279 -

8 . 2 방 사 소음해석용 트 랜 슬 이터

8.2.1 BCPower Translator by Eps

본 트랜슬 이터는 진동해석 모델로부터 수 방사소음해석을 한 모델을

찾아주는 기능을 수행한다. 수 방사소음해석을 하기 해서는 해석 역이

수면 아래이므로 수면 아래에 존재하는 요소만 필요하게 된다. 이는 수 방

사소음해석 로그램인 NASPFA의 배경 이론에 의한 것으로 수면 의 요

소들은 수면 아래의 소음에 향을 주지 못한다. 따라서 본 트랜슬 이터는

외부 요소 에서 수면 아래에 존재하는 요소들을 자동으로 찾아주는 기능을

수행한다. 이를 해서 심 역에서의 음 달 속도, 매질의 도, 흘수,

외부의 요소 특성치 번호들과 높이가 증가하는 방향에 해 입력을 하고 원

하는 일명을 으면 자동으로 수 방사소음을 한 모델을 출력한다. 여기

서 높이 방향을 +Z-Direction을 선택할 경우 흘수에서 +Z 방향으로는 수면

의 요소가 되고 -Z 방향으로는 수면 아래의 요소가 된다. 반 로

-Z-Direction을 선택하면 높이가 증가하는 방향이 -Z 방향이므로 흘수에서

-Z 방향으로는 수면 의 요소가 되고 +Z 방향으로는 수면 아래의 요소가

된다. 같은 방법으로 해석 모델의 높이 증가 방향이 X, Y 방향일 때도 높이

방향을 선택하여 방사소음 모델을 생성할 수 있다.

그리고 본 트랜슬 이터는 생성된 수 방사소음해석 모델의 요소들의 진동

에 지 값을 음향 인텐시티 값으로 변환시키는 기능도 수행한다. 소음해석을

해서 사용되는 S/W인 나스 에서는 해석을 한 경계조건으로 경계에서의

에 지 값 는 인텐시티 값을 넣고 있다. 그런데 경계에서의 에 지나 인텐

시티 값을 측정하기가 쉽지 않기 때문에 트랜슬 이터를 통해서 자동으로 경

계에서의 음향 인텐시티 값을 계산하고 있다. 그림 8.22는 해석하고자 하는

음향 역의 도, 속도, 흘수 그리고 높이 증가 방향을 포함하고 각 요

소들에서의 주 수에 따른 음향 인텐시티 값을 나타내고 있다. 그런데 요소

- 280 -

특성치 번호를 이용하여 수 방사소음해석 모델을 생성할 경우 이러한 요소

특성치 번호들을 찾는데 어려움이 존재한다. 실제 진동해석 모델링의 경우

내부, 외부를 구분을 지어 요소 특성치 번호를 부여하는 것이 아니라 구역별

로 요소 특성치 번호를 부여하는 경우가 많기 때문에 외부 요소의 특성치 번

호를 찾은 경우에도 외부와 내부의 요소에 동시에 용되어 있는 경우가 많

다. 따라서 기 진동해석 모델링 작업시 내부와 외부를 구분해서 모델링을

하지 않는 경우에는 새롭게 외부 요소만 특성치 번호들을 재 부여해야 하는

문제가 발생한다.

8.2.2 BCPower Translator by Element Numbers

요소 특성치 번호를 이용하여 외부 요소를 찾는 경우 요소 특성치 번호를

찾아야 하는 어려움과 이 번호가 외부 요소에만 용된 요소 특성치 번호인

지에 한 문제, 그리고 만약 내부와 동시에 용된 요소 특성치 번호일 경

우 외부 요소만 다시 특성치 번호를 부여해야 하는 문제가 존재하게 된다.

따라서 이를 해결하기 하여 NASTRAN에서 진동해석 모델에서 외부 요소

에 해서 요소 번호를 재 정렬한 후 요소번호를 받도록 translator를 수정하

다.

이 에 요소 특성치 번호를 받던 것과 달리 요소 번호들을 받도록 수정하

다. 요소의 시작과 끝 번호를 입력해서 그 사이의 모든 요소를 받아들일

수 있도록 하 고, 구간별로 입력이 가능하도로고 하 다. 그림 8.23은 10번

부터 1000번, 그리고 1500번부터 5000번 사이에 존재하는 모든 요소를 받는

경우에 한 설정이다.

그림 8.24는 진동해석 모델로써 X-Z 평면에서 본 결과이다. 그림 8.25는 흘

수가 10인 경우에 해 트랜슬 이터를 통해 수 방사소음해석 모델을 생성

한 결과이다.

- 281 -

그림 8.26은 수면이 x=42.4m라고 가정을 하고 x 좌표가 42.4m보다 작은 요

소들은 모두 수면 의 요소라고 하고 42.4m보다 큰 요소들을 수면 아래의

요소라고 가정을 한 다음 수 방사소음해석 모델을 생성한 것이다. 즉 임의

로 높이의 증가 방향이 -X가 되도록 선택을 한 다음 수면 아래의 요소들만

을 생성한 것이다. 이는 일반 으로 높이 방향을 Z축을 선택하지만 사용자에

따라 높이 방향을 X나 Y축 방향으로 선택할 수 있기 때문에 이 경우에 한

모델 생성이 가능하도록 한 기능이다. 만약 사용자가 높이의 방향을 Y축으로

모델링 했을 경우 높이 방향을 Y축 방향으로 선택하고 증가 방향에 따라

+Y-Direction, -Y-Direction을 선택하여 모델을 생성시킬 수 있다.

선외소음해석 모델 생성의 경우 수 방사소음해석 모델 생성과 동일한 과

정으로 생성된다. 차이 은 높이 증가 방향에 있다. 높이 증가 방향을 반 로

함으로써 흘수를 기 으로 의 요소들이 생성된다. -Z-Direction을 선택함으

로써 요소의 z 좌표 값이 작아지는 경우 높이가 증가한다고 생각하고 자동

으로 높이가 어드는 요소, 즉 요소의 z 좌표 값이 흘수보다 큰 경우의 요

소를 선택하게 됨으로써 선외소음해석을 한 모델을 생성한다.

8.3. 용

진동해석용 S/W인 PFADS를 이용하여 LNG선에 해 진동해석을 수행하

다. 그리고 개발된 트랜슬 이터와 소음해석용 S/W인 NASPFA를 이용하

여 진동해석 모델로부터 소음해석을 한 모델을 생성하고, 소음해석을 수행

하 다. 그림 8.28은 주 수가 32Hz일 때의 진동해석 결과이다. 그림 8.29는

주 수가 32Hz일 때 진동해석 결과를 바탕으로 한 실내소음해석 결과이다.

그림 8.30과 8.31는 주 수가 64Hz일 때의 진동해석과 실내소음해석 결과이

다. 그리고 그림 8.32와 그림 8.33은 주 수가 125Hz일 때의 해석결과로써 주

수가 증가할수록 진동 에 지의 감소가 빨라지고, 이로 인한 소음 벨도

낮아짐을 확인 할 수 있다. 그림 8.34～8.36은 각각 주 수가 32Hz, 63Hz,

- 282 -

125Hz일 때의 수 방사소음해석의 결과를 나타내고 있다. 주 수가 증가할수

록 소음 벨이 낮아짐을 확인 할 수 있고, 자유수면의 효과로 인하여 경향

의 차이가 나타남을 확인 할 수 있다. 그림 8.37은 선외소음해석을 한 인텐

시티 경계조건을 나타낸다. 그림 8.38～8.41는 각각 주 수가 32Hz, 63Hz,

125Hz, 250Hz일 때의 선외소음해석의 결과를 나타내고 있다. 주 수가 증가

할수록 소음 벨이 증가하는 것을 확인할 수 있다. 낮은 주 수 역에서는

주 수가 증가할수록 진동 에 지의 값의 변화가 은 반면 방사효율은 증가

하게 되어 오히려 소음 벨이 증가하는 것을 확인 할 수 있다. 그러나

125Hz와 250Hz의 결과를 살펴보면 소음 벨이 감소하는 것을 확인할 수 있

다. 이는 이 주 수 구간에서 방사효율의 변화가 거의 없는 반면 진동 에

지 값이 감소하게 되어 나타나는 결과이다.

- 283 -

Fig 8.1 연결 제

Fig 8.2 개방요소 제거

- 284 -

Fig 8.3 연성부의 요소 정보 변화

Fig 8.4 두 요소의 사이각

Fig 8.5 외가 요소 검색

- 285 -

Fig 8.6 Cavity Finder

Fig 8.7 Cavity Finder를 통해 찾은 음향 공간

- 286 -

Fig 8.8 진동해석 모델

Fig 8.9 음향 공간

- 287 -

Fig 8.10 LNG선 진동해석 모델

불 필 요 한

해석 역

Fig 8.11 LNG선내의 음향 공간

- 288 -

Fig 8.12 트랜슬 이터

- 289 -

Fig 8.13 NASTRAN Solid 모델링

Fig 8.14 Translator를 통한 음향 공간 생성

- 290 -

Fig 8.15 간단한 진동해석 모델

Fig 8.16 음향 공간 정보

- 291 -

Fig 8.17 열린 음향 공간

Fig 8.18 음향 공간

- 292 -

Fig 8.19 진동해석 모델

Fig 8.20 실내소음해석 모델

- 293 -

Fig 8.21 BCPower Translator by Eps

Fig 8.22 수 방사소음 모델 생성

- 294 -

Fig 8.23 BCPower Translator by Element Numbers

Fig 8.24 진동해석 모델 : X-Z 평면

- 295 -

Fig 8.25 수 방사소음해석 모델(1)

Fig 8.26 수 방사소음해석 모델(2)

- 296 -

Fig 8.27 선외소음해석 모델

- 297 -

Fig 8.28 진동해석(1)

Fig 8.29 실내소음해석(1)

- 298 -



- 299 -



- 300 -

Fig 8.34 수 방사소음해석(1)


- 301 -


Fig 8.37 인텐시티 경계조건

- 302 -

Fig 8.38 선외소음해석(1)


- 303 -



- 304 -

9 . 결 론 향 후 추 천 과 제

9.1. 결론

본 논문은 고주 역에서의 진동소음 문제 해결을 해 워흐름유한

요소법을 이용한 진동해석 연구와 워흐름경계요소법을 이용한 소음해석 연

구를 수행하고, 진동소음 연성해석을 하여 진동소음 완 연성 계식을 개

발하고 이를 이용하여 워흐름해석법을 이용한 진동소음 완 연성 계식을

개발하 다. 그리고 연성 계식을 이용하여 진동소음 완 연성 해석 시스템

을 개발하 다. 개발된 해석 시스템의 검증을 하여 SEA를 이용한 이론

검증과 계측 값과의 비교를 통한 실험 검증을 수행하 다.

수행된 연구로부터 논문의 체 인 결론을 다음과 같이 정리하 다.

(1) 고주 역의 실내소음 진동 해석에 효과 인 워흐름해석법의

지배방정식을 유도하고 유도된 에 지지배방정식을 변형하여 경계요소기법을

목한 워흐름경계요소법의 이론을 정립하 다. 이를 해 워흐름경계요

소법은 1차원 2차원 그리고 3차원 역 문제로 나 고 각각에 해서 직

인 기법과 간 인 기법으로 경계 분식을 정립하 으며 경계 분식을

균일요소와 선형요소에 해 이산화하여 복합 구조물에서 워흐름경계요소

해석이 수행될 수 있도록 하 다.

(2) 열린 음향공간에서 방사소음해석을 수행하기 해 실내소음 문제에 한

에 지지배방정식과 다른 새로운 형태의 에 지지배방정식을 개발하고 경계

요소법과 목하 다. 개발된 에 지지배방정식으로부터 워흐름경계요소법

의 핵심인 기본해를 유도하 으며 거리에 따른 에 지감소를 고려할 수 있게

되었다. 그리고 열린 공간에서 나타나는 소음의 방향성을 나타내기 하여

방향성 인자를 유도하여 방향성을 나타태는 기본해를 유도하 다. 아울러 자

- 305 -

유수면효과를 고려한 새로운 형태의 기본해를 유도하여 군함이나 잠수함과

같이 수면 근처에서 이동하는 물체의 고주 수 방사소음해석에 한 가

능성을 보여주었다.

(3) 워흐름유한요소법과 워흐름경계요소법에 진동소음 연성 행렬식을 이

용하여 워흐름해석법을 이용한 진동소음 완 연성 계식을 정립하 다.

기존의 진동, 소음해석들이 독립 으로 수행된 반면, 개발된 계식을 이용하

면 진동소음 연성해석이 가능하다. 즉, 진동 가진원에 의한 소음해석과 소음

원에 의한 진동해석이 가능하다. 기존의 구조물의 진동에 의한 소음해석은

진동해석 후 그 결과 값을 이용하여 소음해석을 수행하는데 반해, 개발된

계식은 진동해석과 소음해석을 동시에 해석하는 진동소음 완 연성 해석을

수행하여 서로간의 향을 제시할 수 있다.

(4) 개발된 이론을 토 로 진동소음 완 연성 해석 로그램 PFAVIA를 개

발하 다. 개발된 로그램은 복합 구조물의 진동해석과 소음해석을 동시에

수행할 수 있다. 워흐름해석법을 용하여 구조물의 진동 응답과 구조물로

둘러싼 음향 공간에서의 소음 값을 측할 수 있다. 개발된 PFAVIA 로그

램을 단순 구조물에 해 SEA와의 비교를 통해 이론 검증을 완료하 고,

실선에 해 각 선실에서의 소음 값과 비교를 통해 실험 검증을 완료하

다.

9.2. 향후 추천 과제

고주 역의 진동소음 완 연성 해석기법의 발 과 련하여 향후 추

천할 수 있는 연구 과제를 다음과 같이 제시한다.

(1) 본 논문에서는 진동에 의한 소음의 향, 소음원에 의한 진동의 향을

- 306 -

나타내는 연결 행렬식을 사용하여 진동소음 완 연성 계식을 개발하 다.

이 경우 음향 소스에 의해 다른 음향 공간으로의 직 인 소음의 향 신

에 음향 소스에 의한 주 구조물의 진동을 고려하고 이러한 진동에 의해 다

른 음향 공간에서의 소음의 향을 제시하는 간 인 계식이다. 따라서

음향 소스에 의한 주 음향 공간으로의 직 인 소음의 향을 나타내기

해 워흐름경계요소법을 이용한 다 역 해석 알고리즘을 로그램화하는

연구가 진행되어야 한다.

(2) 워흐름경계요소해석에 사용되는 다양한 경계조건들 에서 구조물의

진동에 지를 경계조건으로 사용하기 해서는 구조물의 방사효율에 한 정

보가 필요하게 된다. 본 논문에서 사용되는 Maidanik의 방사효율 모델은 해

석 상의 요소 크기에 따라 달라지기 때문에 소음해석에 상당한 향을 미

칠 수 있다. 따라서 구조물의 특성이라고 말할 수 있는 방사효율을 해석 모

델의 요소 크기와 독립 으로 구하여 용할 수 있는 연구가 진행되어야 한

다.

(3) 산란해석을 워흐름경계요소법으로 근하기 한 연구가 필요하다.

재의 워흐름경계요소법은 실내 방사 소음 해석에 국한되어 있으며 일반

음향경계요소해석과 같은 입사 에 의한 구조물의 산란해석은 가능하지 않

다. 이를 해 방사 소음 해석을 해 개발된 에 지지배방정식을 경계요소

법의 직 인 기법을 이용하여 분방정식을 유도하고 산란 의 방향성을

고려하는 연구가 진행되어야 한다.

(4) 움직이는 음원(moving source)에 한 워흐름해석이 연구되어야 한다.

부분의 경우에 소리를 발생시키는 음원은 움직이고 있기 때문에 음원의 운

동은 주 음장에 상당한 향을 미치게 된다. 우선 시간을 고려하여 움직이

는 음원에 한 기본해를 에 지의 에서 유도하고 이를 복잡한 형상

- 307 -

을 갖는 구조물로 확장하는 연구가 필요하다.

(5) 워흐름경계요소법의 해석 결과에 한 정확도를 향상시키기 해서 고

차의 연속요소나 다양한 불연속 요소를 경계요소로 활용하여 수치 분이나

특이 분 등에 활용하는 방안을 고려한 연구를 진행해야 한다.

- 308 -

참 고 문 헌

Fernando Bitsie, 1996, The Structural-Acoustic Energy Finite Element

Method and Energy Boundary Element Method, Ph.D. Thesis, Purdue.

AutoSEA User Guide v1.5., 1996, Vibro_Acoustic Sciences Limited.

AutoSEA Theory and Quality Assurance Manual, 1996, Vibro-Acoustic

Sciences Limited.

Banerjee, P. K., 1994, The Boundary Element Methods in Engineering,

Mcgraw_Hill.

Belov, V. D., Rybak, S. A. and Tartakovskii, B. D., 1977, Propagation of

vibrational energy in absorbing structures, J. Soviet Physics Acoustics,

Vol. 23, pp. 115-119.

Berg, R. E. and Stork, D. G., 1995, The Physics of Sound, Prentice Hall.

Berry, V. D., 1994, A new formulation for the vibration and sound

radiation of fluid loaded plates with elastic boundary conditions, Journal of

the acoustical society of America, Vol. 96, pp. 889-901.

Beskos, D. E., 1987, Boundary Element Methods In Mechanics, Elsevier

Science Publishers.

Bitsie, F., 1996, The structural-acoustic energy finite method and energy

- 309 -

boundary element method, Ph.D. Dissertation, Purdue University.

Bouthier, O. M., Bernhard, R. J. and Wohlever, J. C., 1990, Energy and

structural intensity formulations of beam and plate vibrations, The 3rd

International Congress on Intensity Techniques, pp. 37-44.

Bouthier, O. M. and Bernhard, R. J., 1992, Models of space-averaged

energetics of plates, American Institute of Aeronautics and Astronautics

Journal, Vol. 30, pp. 616-623.

Bouthier, O. M. and Bernhard, R. J., 1995, Simple models of the

energetics of transversely vibrating plates, Journal of Sound and Vibration,

Vol. 182, pp. 149-164.

Bouthier, O. M. and Bernhard, R. J., 1995, Simple models of energy flow

in vibrating membranes, Journal of Sound and Vibration Vol. 182, pp.

129-147.

Brebbia, C. A. and Walker, S., 1980, Boundary Element Techniques in

Engineering, Butterworths.

Brebbia, C. A., 1978, The Boundary element method for engineers, A

Wiley-Interscience Publication.

Chen, L. H. and Schweikert, D. G., 1963, Sound Radiation from an

Arbitrary Body, J. Acoust. Soc. Am., Vol. 35, pp. 1626-1632.

- 310 -

Chertock, G., 1964, Sound Radiation from Vibrating Surface, J. Acoust.

Soc. Am., Vol. 36, pp. 1305-1313.

Cho, P. E., 1993, Energy Flow Analysis of Coupled Structures, Ph. D.

Dissertation, Purdue University.

Clay, C. S. and Medwin, H., 1976, Acoustical Oceanography, A Wiley-

Interscience Publication.

Copley, L. G., 1967, Integral Equation Method for Radiation from

Vibrating Bodies, J. Acoust. Soc. Am., Vol. 41, pp. 807-816.

Copley, L. G., 1968, Fundamental Results Concerning Integral Represen-

tations in Acoustic Radiation, J. Acoust. Soc. Am., Vol. 44, pp. 28-32.

Copley, L. G., 1968, Vanishing of the Surface-Pressure Contribution to

the Helmholtz Integral, J. Acoust. Soc. Am., Vol. 44, pp. 288-289.

Craven, P. G. and Gibbs, B. M., 1981, Sound transmission and mode

coupling at junctions of thin plates, part I: Representation of the problem,

Journal of Sound and Vibration, Vol. 77, pp. 417-427.

Cremer, L., Heckl, M. and Ungar, E. E., 1988, Structure-Borne Sound,

Springer-Verlag, New York.

Dowling, A. P., Williams, J. E., 1983, Sound and Sources of Sound, Ellis

Horwood Limited.

- 311 -

Doyle, J. F., 1989, Wave Propagation in Structure: An FFT-Based

Spectral Analysis Methodology, Springer-Verlag, New York.

Ferris, H. G., 1967, Computation of Farfield Radiation Patterns by Use

of a General Integral Solution to the Time Dependent Scalar Wave

Equation, J. Acoust. Soc. Am., Vol. 41, pp. 394-400.

Fahy, F., 1985, Sound and Structural Vibration: radiation, transmission

and response, Academic Press.

Fhay, F., 2001, Foundations of Engineering Acoustics, Academic Press.

Guyader, J. L., Boisson, C. and Leseur, C., 1982, Energy transmission in

finite coupled plates, part I: Theory, Journal of Sound and Vibration, Vol.

81, pp. 81-92.

Hall, W. S., 1994, The Boundary Element Method, Kluwer Academic

Publishers.

Irwin, J. D., Graf, E. R., 1979, Industrial Noise and Vibration Control,

Prentice Hall.

Kinsler, L. E., Frey, A. R., Coppens, A. B., Sanders, J. V., 1982, Funda-

mentals of Acoustics, John Wiley & Sons.

Kirkup, S. M., 1998, The Boundary Element Method in Acoustics,

- 312 -

Integrated Sound Software.

Kleinmam, R. E., Roach. G. F., 1974, Boundary Integral Equation for the

Three Dimensional Helmholtz Equation, SIAM Rev., Vol. 16, pp. 214-236.

Kreyszig, E., 1993, Advanced Engineering Mathematics, John Wiley &

Sons.

Kythe, P. K., 1995, An introduction to boundary element methods, CRC

Press.

Le Bot, A., 1998, A vibroacoustic model for high frequency analysis,

Journal of Sound and Vibration, Vol. 211, pp. 537-554.

Le Bot, A., 2002, Energy transfer for high frequencies in built-up

structures, Journal of Sound and Vibration, Vol. 250, pp. 247-275.

Lee, H.-W, Park, D.-H. and Hong, S.-Y., 2003, Sound radiation and

interior noise analysis of vehicle structures using PFBEM software, Proc.

32nd Internoise.

Lee, J., Seo, I., 1996, Radiation Impedance Computations of a Square

Piston in a Rigid Infinite Baffle, Journal of Sound and Vibration, pp.

299-312.

Lord, H. W., Gately, W. S., Evensen, H. A., 1980, Noise Coltrol for

Engineers, McGraw Hill Book Company.

- 313 -

Lyon, R. H. and Dejong, R. G., 1995. Theory and application of

statistical energy analysis, Butterworth-Heinemann, Boston.

Maidanik, G., 1962, Response of ribbed panels to reverberant acoustic

fields, Journal of the acoustical society of America, Vol. 34, pp. 809-826.

Maidanik, G. and Kerwin, E. M., 1966. Influence of fluid loading on the

radiation from infinite plates below the critical frequency, Journal of the

acoustical society of America, Vol. 40(5), pp. 1034-1038.

Nefske, D. J. and Sung, S. H., 1989, Power flow finite element analysis

of dynamic systems: basic theory and application to beams, Journal of

Vibration, Acoustics, Stress and Reliability in Design, Vol. 111, pp. 94-100.

Ohayon, R., Soize, C., 1998, Structural Acoustics and Vibration,

Academic Press.

Oppenheimer, C. H., Dubowsky, S., 1997, A Radiation Efficiency for

Unbaffled Plate with Experimental Validation, Journal of Sound and

Vibration, pp. 473-489.

Paris, F., Canas, J., 1997, Boundary element method : fundamentals and

applications, Oxford University Press.

Park, D.-H., Hong, S.-Y., Kil, H.-G. and Jeon, J.-J., 2001, Power flow

model and analysis of in-plane waves in finite coupled thin plates, Journal

- 314 -

of Sound and Vibration, Vol. 244, pp. 651-668.

Park, D.-H., Lee, H.-W and Hong, S.-Y., 2002, Power flow boundary

element method for medium-to-high frequency analysis : fundamental

theory and applications, The 31st International Congress and Exposition on

Noise Control Engineering.

Rogers, P. H., 1973, Formal Solution of the Surface Helmholtz Integral

Equation at a Nondegenerate Characteristic Frequency, J. Acoust. Soc.

Am., Vol. 54, pp. 1662-1666.

Schenck, H. A., 1967, Improved Integral Formulation for Acoustic

Radiation Problems, J. Acoust. Soc. Am., Vol. 44, pp. 41-58.

Segalman, D. J., Lobitz, D. W., 1992, A Method to Overcome Computa-

tional Difficulties in the Exterior Acoustic Problem, J. Acoust. Soc. Am.,

Vol. 91, pp. 1855-1861.

Seo, S.-H., Hong, S.-Y. and Kil, H.-G., 2003, Power flow analysis of

reinforced beam-plate coupled structures, Journal of Sound and Vibration,

Vol. 259, pp. 1109-1129.

Seybert, A. F., Rizzo, F. J., Shippy, D. J., 1985, An Advanced Compu-

tational Method for Radiation and Scattering of Acoustic Waves in Three

Dimension, J. Acoust. Soc. Am., Vol. 77, pp. 362-368.

Seybert, A. F., Rengarajan, T. K., 1987, The Use of CHIEF to Obtain

Solutions for Acoustic Radiation Using Boundary Integral Equations, J.

- 315 -

Acoust. Soc. Am., Vol. 81, pp. 1299-1306.

Seybert, A. F., Soenarko, B., 1988, Radiation and Scattering of Acoustic

Waves from Bodies of Arbitrary Shape in a Three Dimensional Half

Space, ASME Trans. J. Vib. Acoust. Stress Rel. Design, Vol. 110, pp.

112-117.

Skelton, E. A., James, J. H., 1997, Theoretical Acoustics of Underwater

Structures, Imperial College Press.

Terai, T., 1980, On the Calculation of Sound Fields Around Three-

Dimension Objects bt Integral Equation Methods, J. Sound Vib., Vol. 69,

pp. 71-100.

Tobacman, W., 1984, Calculation of Acoustic Wave Scattering by Means

of the Helmholtz Integral Equation I, J. Acoust. Soc. Am., Vol. 76, pp.

599-607.

Tobacman, W., 1984, Calculation of Acoustic Wave Scattering by Means

of the Helmholtz Integral Equation II, J. Acoust. Soc. Am., Vol. 76, pp.

1549-1554.

Tolstoy, I., Clay, C. S., 1966, Ocean acoustics : theory and experiment

in underwater sound, McGraw Hill Book Company.

Urick, R. J., 1983, Principles of Underwater Sound, McGraw Hill Book

Company.

- 316 -

Wohlever, J. C. and Bernhard, R. J., 1973, Mechanical energy flow

models of rods and beams, Journal of Sound and Vibration, Vol. 153, pp.

1-19.

Wu, T. W., Seybert, A. F., 1991, A Weighted Residual Formulation for

the CHIEF Methods in Acoustics, J. Acoust. Soc. Am., Vol. 90, pp.

1608-1614.

Wu, T. W., Seybert, A. F., Wan, G. C., 1991, On the Numerical

Implementation of a Chuchy Principal Value Integral to Insure a Unique

Solution for Acoustic Radiation and Scattering, J. Acoust. Soc. Am., Vol.

90, pp. 554-560.

Yoshiko, I., 1985, Prediction of structure borne sound transmission using

statistical energy analysis, Bulletin of the M.E.S.J., Vol. 13(2), pp. 60-73.

길 권, 홍석윤, 1997, 보형상의 복합구조물 진동의 워흐름해석, 한조선

학회 추계학술 회논문집, pp. 530-534.

길 권, 홍석윤, 1998, 보형상 복합구조물 진동체에서의 동에 지 에

한 해석, 한국음향학회지, 17(6), pp. 74-78.

박도 , 1999, 연성된 평 상자형 구조물의 진동 워흐름해석, 석사학

논문, 서울 학교.

박도 , 2003, 고주 소음진동 해석을 한 고 워흐름모델 연구

워흐름경계요소법의 개발, 박사학 논문, 서울 학교.

- 317 -

배수룡, 재진, 이헌곤, 1993, SEA기법을 이용한 보강 원통형 셸의 수 방

사소음 해석, 한국소음진동공학회지, pp. 155-161.

서성훈, 2000, 다양한 형상의 평 구조물에 한 워흐름유한요소해석,

석사학 논문, 서울 학교.

서성훈, 2004, SNOVIL 라이 러리 R2: I. 기본편, 서울 학교 선박소음진동

연구실.

서성훈, 2005, 다차원 구조부재 연성구조물의 고주 진동해석을 한

워흐름유한요소법 개발, 박사학 논문, 서울 학교.

이 수, 서주노, 박 일, 김재승, 1999, “수상함의 수 방사소음 측에 한

연구”, 한국소음진동공학회 춘계학술 회논문집, pp. 669-676.

이호원, 2001, 워흐름유한요소법의 진동해석결과를 이용한 구조물의 방사

소음 해석시스템 구축, 석사학 논문, 서울 학교.

이호원, 홍석윤, 권 웅, 2004, 고주 음향해석을 한 워흐름경계요소

해석 소 트웨어 - NASPFA 개발”, 선체구조연구회, pp.139-150.

이호원, 홍석윤, 2004, “ 고주 소음해석을 한 1차원 2차원 다 역

문제의 워흐름경계요소해석기법 연구”, 한조선학회, pp.775-784.

재진, 정우진, 1996, “유한 보강 원통형 셸 구조에 의한 수 방사소음해

석”, 한국소음진동공학회지, pp. 717-726.

- 318 -

D e v e l o p m e n t o f v i b r o - a c o u s t i c f u l l c o u p l i n g a n a l y s i s s y s t e m

b y u s i n g p o w e r f l o w a n a l y s i s m e t h o d

A B S T R A C T

Power Flow Analysis (PFA) is more effective analysis method than

conventional FEM, BEM, and SEA at medium-to-high frequency ranges.

Power Flow Finite Element Method (PFFEM) that applies PFA to FEM,

is used for the vibration analysis of complex structures. And Power Flow

Boundary Element Method (PFBEM) that applies PFA to BEM, is used

for the noise analysis. Generally vibration and noise problems are related

with each other, but practically each analysis is done independently.

Vibration analysis can be done by vibration source and noise analysis can

be done with acoustic boundary condition and sources. Since the

conventional methods, FEM, BEM are analyzed with vibration

displacement for vibration analysis and used for pressure for noise

analysis, vibrao-acoustic coupling is not easy. But PFA is used energy

variable for vibration and noise analysis. Therefore PFA has the

advantages in vibrao-acoustic coupling analysis.

This paper's aim is study for coupling relation between individual

analysis methods and development of vibrao-acoustic full coupling relation

equation. For this, the effect to acoustic area by structure vibration and

change to acoustic intensity boundary condition for noise analysis are

studied. Also structure's vibration by acoustic sources and change to

vibration intensity boundary condition are studied. Finally vibro-acoustic

full coupling equation are developed by combining joint matrix with

non-coupling PFFEM matrix and PFBEM matrix.

- 319 -

Vibro-acoustic full coupling analysis system is developed by using

vibro-acoustic full coupling equation at medium-to-high frequency ranges.

Developed software is composed of pre-processor, main processor, and

post-processor. Pre-processor generates FE-model from NASTRAN Bulk

file and BE-model from FE-model. Main processor analyzes vibration and

noise analysis by using inputted model simultaneously and post-processor

treats the results. For user's convenience, main processor is made newly

by changing preexistence power input method to acceleration or velocity

input method. Developed program is applied to simple 3 dimensional

structure and analysis model for SEA and the results are compared with

those of SEA. Those show the correspondent results with SEA. And the

noise analysis is analyzed for real ship with vibration source, the analysis

result is compare with measured result at each cabin. The result agrees

with measured result at medium-to-high frequency ranges.

Keywords : Power Flow Analysis (PFA), Power Flow Finite Element

Method(PFFEM), Power Flow Boundary Element Method

(PFBEM), joint matrix, vibro-acoustic full coupling equation,

vibro-acoustic full coupling analysis, noise analysis

Student number : 2004-30213

- 320 -

후 기

먼 지난 7년간 부족한 에게 많은 가르침을 주신 홍석윤 지도교수님께

진심으로 감사드립니다. 언제나 인자하시고 따뜻한 미소를 기억하며 앞으로

더 노력하는 모습 보여드리겠다고 약속드립니다.

다음으로 선박소음진동연구실의 인연으로 항상 에서 많은 도움을 줬던

지훈이, 2년동안 연구실에서 고생 많았는데 이번에 좋은 결과가 있길 바랍니

다. 지 은 에 없지만 지훈이랑 3명이서 회식을 많이 했던 동진이, 다시

좋은 시간 많이 갖길 바랍니다. 해군 로써, 열심히 공부하는 화묵이, 태

호랑 제수씨를 많이 생각하는 모습 그 로 행복하길 바랍니다. 이번이 트

타임 박사과정 첫 학기인 희민이, 힘들지만 열심히 해서 좋은 결실 맺길 바

랍니다. 연구실 막내라서 MT가서 고기 굽던 모습이 선한 그러나 어느덧 연

구실 고참이 되고 이제는 결혼도 하는 성희, 결혼 축하드립니다. 성희와 같이

들어와 막내 던 그리고 BEM 조수라서 나랑 많이 놀아줬던 종도, 여자친

구와 좋은 결실 맺길 바랍니다. 언제나 하이톤 목소리로 연구실을 유쾌하게

만들었던 구, 졸업 후 원하던 직장을 갖길 바랍니다. 술 좋아하고 사람 좋

아해 몸이 더 커진 신웅이, 열심히 해서 연구실 생활 마무리 잘 하길 바랍니

다. 이번 학기에 갑자기 과제가 많아져서 힘들지만 잘 생활하고 있는 주범이,

과제만 남겨둔 거 같아 미안하고 앞으로 좋은 일만 일어나길 바랍니다. 주범

이와 함께 연구실 깜댕의 벽을 이루었던 성주, 이제는 다른 곳에서 열심히

생활하길 바랍니다. 항상 범한 모습을 보여줬던 경 이, 항상 그 모습 그

로 멋지게 살길 바랍니다. 조용하고 재 으며 많은 유흥거리를 줬던 이수, 박

사 올라와서도 열심히 잘 하길 바랍니다. 연구실 막내로 많은 일들을 도와

재욱이, 지 처럼 항상 웃으면서 연구실 생활 잘 하길 바랍니다. 연구실 선배

2명과 이름을 공유하는 성원이, 연구실 인턴 생활 잘하길 바립니다. 성원이와

함께 연구실 인턴으로 연구하고 연구실 생활 익히느라 바쁜 수, 꼭 여자친

구가 생기길 바랍니다.

- 321 -

그리고 언제나 오랜 시간 나와 함께한 제세, 원진씨 부부에게 감사의 마음

을 합니다. 항상 즐거운 일들만이 있기 바라겠습니다.

언제나 부족한 를 믿고 아낌없는 사랑을 베푸신 부모님께 감사를 드립니

다. 앞으로도 더 노력할 것을 약속드립니다. 그동안 멀리 떨어져서 자주 찾아

뵙지도 못하고 죄송합니다. 하나뿐이 없는 동생 지에게도 감사의 마음을

합니다. 이제는 결혼을 해서 매제와 좋은 가정을 이루길 바랍니다.

항상 따뜻하게 맞아주시고 한 음식을 마련하시고 믿어주신 장인 장모

님께 감사의 말 을 합니다. 하나뿐인 처제 지윤이에게도 감사의 마음을

합니다. 지 만나는 사람과 좋은 인연 생기길 바랍니다.

마지막으로 입덧으로 고생하고 있는 아내 지 이에게 고맙다는 말을 하

고 싶습니다.

2009년 7월

악캠퍼스에서

권 현 웅 -...

Documents