ENUNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA Casa abierta al tiempa UNIDAD IZTAPAMPA División de Ciencias Básicas e Ingeiiiería

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS - Area A r i á L i S i s -

EL ESPECTRO EXTENDIDO DE UN SUBESPACIO INVARIANTE DE FUNCIONES CUAVYS

A i i t o r :

ANTON1 WAWRZYRCZYK

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS - Area Análisis -

EL ESPECTRO EXTENDIDO DE UN SUBESPACIO INVARIANTE DE FUNCIONES SUAVES

Autor:

ANTONI WAWRZYNCZYK

04.0402.1.01.28.91

EL ESPECTRO EXTENDIDO

DE UN SUBESPACIO INVAIiIANTE DE FUNCIONES SUAVES

Antoni Wawrzyñczyk

UNIVERCIDAD AUTONOMA METROPOLITANA-IZTAPALAPA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Av. Michoacán y la Purísima, Col. Vicent ina, Iztapalapa

APDO. POSTAL 55-534

1

El espect.ro extendido

de un subespacio invariante de funciones suaves

por Antoni Wawrzyñczyk

En este trabajo tratamos de encontrar una explicación a un

fenómeno que, descubierto en 1975, ha provocado una desilusión

entre los especialistas que estaban trabajando en el análisis n espectral de espacios de funciones suaves sobre R I

n Sea &(R 1 el espacio de Frechet de todas las funciones suaves. n Denotamos por [E el conjunto de las funciones exponenciales sobre iR

identificandolo con C por medio de la aplicación: n

n C 3 z -+ exp(-i<z,x>).

n Las translaciones actuan en forma contínua sobre €(E? 1:

Laf(x) := fíx-a).

Los elementos de E son vectores propios de las transla-

ciones. Si O f V c €(E? es un subespacio vectorial cerrado e n

invariante bajo las translaciones, entonces resulta que su espectro

definido como sp V : = V n E es un conjunto no vacío.

Este hecho fue mostrado por L.Schwartz [41 y lleva el nombre

del Teorema de Analisis Espectral. Resulta que el espectro no solo

es no vacío, sino "casi" describe el espacio V . Si para todo z E

sp V definimos m(z1 como el mayor número natural k para el cual la

función x exp(-i<z,x>) es elemento de V , entonces el conjunto de

pares (z,m(z)), z E sp V describe a V univocamente. El espacio V es

k

el subespacio vectorial cerrado que contiene a todas las funciones

de forma x exp(-icz,x>) para z E sp V , Orksm(z). k

* .

2

n Sin embargo, si en lugar de1 espacio &(IR) se considera €(IR

n>l, entonces la imagen cambia radicalmente. El fenómeno des-

ilusionante arriba mencionado fue observado por Gurevich en

1975[21. Para todo n>l existe en €(IRn) un subespacio cerrado,

invariante, no trivial que no contiene ninguna función exponencial.

Aceptando el hecho, podemos preguntar si un espacio V con las

características antes mencionadas puede separarse mucho del

conjunto E. Resul.ta que en la topología débil l o s conjuntos V y E

están separados si y solo si V := O

Esta observación nos permite definir un concepto generalizado

del espectro de V que nunca es vacío.

Sea €'(IRn) el espacio dual a €(IRn) que se identifica con el

espacio de todas las distribuciones de soporte compacto sobre el

espacio euclidiano. Consideremos el anulador de Ir en 6'':

V I : = {TE€' I T(f) = o , f€V).

Aplicando el teorema de Ha:hn-Banach se demuestra fácilmente que

Para todo T E E' la rest,ricción de T al conjunto E es la

transformada de Fourier de T : A

T(z) : = T(exp(-icz, x>))#

Si los conjuntos E y V no pueden separarse en la topología

débil una distribución T que se anula sobre V toma valores pequeños

sobre las partes de E "mas cercanas a V " . Podemos esperar que las

transformadas de Fourier de los elementos de VI tienden a cero para

algunos valores grandes de z. Por otro lado las transformadas T son

n unas funciones holomorfas en C , por lo tanto no son acotadas.

A

A A

Observemos que si z E sp V , entonces T(z) = O para todo T E

3

V l . El ejemplo construido por Gurevich significa que las funciones

T , para T E V 1 no necesariamente tienen un cero común. La extensión

del espectro que estamos proponiendo significa incluir al mismo l o s

A

"puntos en infinito" en los cuales se anulan los elementos de

.J:=(VL) . El espectro extendido de V está definido para cualquier

compact if icación de Cn, sin embargo proporciona informaciones

interesantes sobre V para compactificaciones "abundantes". En

A

particular estudiamos la acción. en V de operadores diferenciales y

de operadores de convolución. Relacionamos el espectro con las

propiedades de las resolventes de estos operadores, así como con el

Algunos espectro combinado de las derivaciones

resultados se pueden interpretar como el inicio del cálculo

funcional para el espectro extendido.

a - a aXl' * * 'ax *

n

1. Preliminares.

Recordemos las característ icas más importantes del espacio de

funciones suaves sobre IR , así como la descripción del espacio dual

n en términos de funciones enteras en C .

n

La topología en €(U?") se define por medio del sistema

numerable de seminormas definidas como sigue:

( 1 . 1 ) p (f):= & max IDaf(x)l, donde n I a I -n II xli sn

n I I- I I es la norma cartesiana en R , a = (a

D =

. ,ak), la1 : = a +. .+a 1 k'

a a 14 a a ax i..ax n 1 n

n El espacio (€( IR ),{pn)nEN) es un espacio de Frechet.El espacio

dual € ' , el conjunto de todas las distribuciones de soporte

compacto tiene la estructura de un álgebra asociativa y conmutativa

* .

4

con la multiplicación dada por la convolución:

(1.2) T * S ( $ ) : = TX@S ( $ ( x + Y ) ) . Y

La distribución delta de Dirac a O ( f ) : = f ( O ) es la unidad de

esta álgebra.Las distribuciones del espacio E’ actuan en 8 también

por medio de la convolución:

(1.3)

donde f (x) = f(-x) y T ( f ) = T ( f ) .

T * f ( x ) : = T(Lx?.) = T(L f ) , -X

Un espacio V c E es invariante con respecto a las

translaciones si y solo si para todo TEE’ y f E V se tiene T * f N .

Recordemos que la transformada de Fourier de una distribución TE€’

está definida como

(1 .4 ) h n T ( z ) : = T ( e Z ) , ZEC , donde

e ( X I : = exp(-i<z, x,) z

x = (x ..., x 1’ z = (z . . , 2 : ), < z , x > = z . x Z . E C , X . € R . 1’ n 1’ n J j’ J J

j ,. El operador 3 : E’3 T - + T es un homeomorfismo del álgebra

E’en el álgebra de las funciones holomorfas en C La imagen del

operador está descrito por el teorema de Paley-Wiener. Denotando

n

So : = 3(&’ 1 obtenemos:

una función $ holomorfa en 6” es elemento de d si y solo si

existen constantes A , N , C 2 O tales que

(1.5) I $ ( z ) I 5 A ( 1 + IIzll ) exp CII Im zll . 2 N

Poniendo

(1.6) g ( z ) := log(1 + iizii) + IIIm zll

obtenemos que 0 pertenece a SB si y solo si existen N , A 2 O tales que

(1.5)’ I$(z)l 5 Aexp Ng(z).

Observemos que la función g es plurisubarmónica.

5

Ehrenpreis [ll ha definido en el álgebra 1 una topología

especialmente conveniente para el estudio de la dualidad entre los

espacios E y E’ .

Sea k(z) := k (Re z)k2(Im z) y supongamos que kl es una

función positiva que domina a todos los polinomios en el infinito,

1

mientras que k domina a t0da.s las funciones exponencia1es.Para

todos elementos del espacio S!I están bien definidas las siguientes

2

seminormas:

(1.7)

En virtud de que la transformada de Fourier es una aplicación

inyectiva, la topología definida en S!I por medio del sitema de

seminormas q puede ser transportada al espacio & ’ . Resulta que

entonces (&’ 1 ’ = E. Espacios E y E’ son mutuamente duales y son

k

espacios bornológicos. Un conjimto ‘u c 1 es acotado si y solo si

existen constantes A , N , C 2 O tales que la fórmula (1.5) es válida

para todos los elementos de ‘u.

El anulador del conjunto P c E: está definido como

P&={TE&’) T ( f ) = O, fEP).

Cuando V c E es un subespacio vectorial cerrado e invariante

el anulador es igual al conjunto

{TEE’ I ?*f = O, fcV).

En tal caso V l es un ideal cerrado del álgebra €’.En cambio

(1.8) JV:= ( V l )

es un ideal cerrado en 1.

El álgebra cociente € ’ / V I es en forma natural isomorfa con el

espacio dual V ’ .

Proposición 1.1. Sea V c 6: un subespacio vectorial cerrado e * .

6

invariante y sea T E €' . El operador T : V d V definido por :

T(f) :=: T*f, fEV,

es un operador contínuo. El operador T tiene inverso en V si y solo

si existe S E 6' tal que

(1 .9 ) s*T - a. Ei V I .

Demostración. La continuidad del operador es obvia. Si la

fórmula (1.9) es válida tenemos para todo fcV :

S * ( T ( f ) ) = S*T*f = aO*f = f.

La convolución con S actua como el operador inverso contínuo

en V.supongamos ahora que

que A(?(f)) = f

translaciones también

A: V d V es un operador contínuo tal

para todo fEV.En virtud de que T conmuta con las n AoLx = LxoA , XER . El funcional

V 3 f -+ Af(0) E C

es contínuo en V . Por el teorema de Hahn-Banach existe una

distribución de soporte compacto S tal que s(f) = Af(0). Obtenemos

Af(x) = L Af(0) = (AL f)(O) = s(L f) = S*f(x) para todo fEV. -X -X -X

En particular

S*T*f = A(T(f)) = f = aO*f.

La distribución S*T - O pertenece al anulador de V . i O

Según la proposición el operador es invertible si y solo si

la clase de la distribución en €'/Vl es un elemento invertible

del álgebra.

Un funcional multiplicativo sobre el álgebra € ' / V l es

obviamente representado por una función exponencial sobre la cual

se anulan elementos de V I . Aplicando el teorema de Hahn-Banach

obtenemos que aquella función es elemento de V . Denotando

n * . (1.10) sp V : = {ZEC I eZ E VI

7

ob t e ne mos

A

Proposición 1.2. z E s p Ir e el funcional T + T ( z o ) se

anula sobre V l e J está compuesto de las funciones que se

anulan en z

O

V

O '

2. El espectro extendido de V .

Todos los resultados más importantes que pretendemos obtener

se muestran aplicando el siguiente resultado que pertenece a

L. Hormander.

Teorema 2.1. [31 Sean fl, . . , , f E So. Entonces k

( 3 gil... ,g E tales que 1: g f = 1 ) e ( 3 c1,c2 > O k , J J

.I

Debemos advertir que originalmente el resultado está mostrado

para una función subarmónica. g que satisface una condición

adicional de caracter muy técnico.Aquella condición se usa para

obtener dos propiedades de g que intervienen en la demostración del

Teorema 2.1 y que, aplicando nuestra terminología afirman lo

siguiente :

E So , láján. af az 1. c p é d * J

2. (una función entera pertenece a SS 1 e ( 3 K>O 2 [lcp(z)I exp(-Kg(z))dz m.

cn

En nuestro caso, para la :Punción g dada por la fórmula (1.6)

las propiedades 1 y 2 son obvias. En virtud de que la condición

técnica mencionada arriba interviene en la demostración unicamente u .

8

mediante las propiedades 1 y 2, la versión del teorema de Hormander

que hemos dado es válida.

La primera de las aplicaciones del Teorema 2.1 resuelve el

problema de la separación del conjunto de exponenciales E y no

subespacios cerrados no triviales e invariantes V c &.

n Teorema 2.2. Sea V c &(IR I un subespacio vectorial invariante

y cerrado. El conjunto E/V en el espacio € / V se puede separar del

cero si y solo si V=O.

Demostraci6n.Supongamos que para un espacio V que satisface

las suposiciones del teorema el conjunto E/V se puede separar del

cero en &/V. Existen entonces T ,Tk E V l tales que el conjunto 1 ' *

{ c p E € 1 lTi(p)l<l,i=l,..,k}

no contiene ninguna función exponencial. Por lo tanto

t/ z E C 3 lsisk ITi(eZ)I = IT(z)l=l. n ,. A

En particular para f = T obtenemos: i i

n c I f i ( z)l > 1, para todo z E C . i

Como afirma Teo.2.1. el ideal generado por las funciones {f > i

es igual a d, entonces VJ- = &' y finalmente V = 0 . i

El teorema de Hormander nos permite caracterizar ideales

propios de d como subconjuntos de d compuestos de funciones que se

anulan en algún subconjunto de elmentos de C ó "elementos en el

infinito".

n

n ' Denotemos por C alguna compactificación de C . Dado un ideal

Jcd, sea p(J,C) : = {z E CI 3 f E J, K>O, y una vecindad O(z) de z

tal que I f (wllr exp(-Kg(w)), w E CnnO(z)}.

Nos referimos a los puntos de p(J,C) como a los puntos

z

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regulares de J en la compactificación C. Definimos el espectro

extendido de J en C como

(2.2) cr(J,C) : = C \ p ( J , C ) .

Es evidente que el conjunto p(J,C) es abierto en C, entonces

el espactro extendido es un compacto en C.

para

v z

Teorema 2.3. Si J es un ideal propio de d, entonces

c r ( J , C ) f 0

cada compact if icación de C”.

Demostración. Supongamos que el espectro sí es vacío y

E C 3 O(z)-una vecindad de z , f E J, K>O tales que z

n If (w)l 2 exp <‘-Kg(w)), w E O(z)nC . z

Los conjuntos O ( z ) , z E C forman una cubierta abierta del

compacto C.Existe una subcubierta finita O1,. . . ,O y las funciones k

n Ifi(w)I 2 exp(-Kg(w)), w E C . f E J, tales que k fl, * . ,

i

Aplicando Teo.2.1 obtenemos g , g E d tales que Cg f =1.

Resulta que J = d, que constituye una contradicción.Entonces

dJ,C) f O.m

1’. . k i i

El espectro extendido de un subespacio invariante cerrado

V c € se define como cr(V,C) : = cr(JV,C).

Corolario 2.4. El espectro extendido de un subespacio

invariante cerrado no trivial V c E no es vacío para ninguna

compact if icación de C”.

En caso de la compactificación de Alexandrov, que añade al

espacio un solo punto en infinito el corolario no proporciona

ninguna información interesante. Consideremos primero el caso n=1,

cuando el concepto clásico del espectro es absolutamente

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satisfactorio. Cuando sp V es un conjunto finito, J contiene un

polinomio cuyos ceros coinciden con sp V . Fuera de radio

V

suficientemente grande el valor absoluto del polinomio es mayor que

1, entonces los puntos en infinito de cualquier compactificacón de

C son regulares. Este caso corresponde a dim V < m y la conclusión

es que sp V = c(V,C) para C cualquiera. Si sp V es un conjunto

infinito, c r ( V , C u t m ) ) = (sp V)ut~s) .

En caso de n>l y C = Cnv{o>) la fórmula c ( V , C ) = (sp V ) u { m ) es

válida incluso para los subespacios de dimensión finita, porque los

ceros de una función entera no invertible forman un conjunto no

acotado.

Estudiemos ahora el caso idel subespacio de soluciones de una

ecuación diferencial Vp :=if E € 1 P ( a ) f = O), donde P es un

polinomio de n variables y P ( a ) denota el operador diferencial

obtenido mediante la substitución de las variables de P por

derivadas parciales - - . El Meal Jp : = ( V p l ) es generado por el

polinomio P.En este caso es interesante tomar como la

compactificación el espacio proyectivo Pn(C).E1 espectro de J en

P (C) contiene además de los ceros del polinomio P en Cn, los

puntos en infinito que anulan el polinomio.

l a i ax

n

k

P n

El último ejemplo sugiere que en cada caso se debe buscar la

compact if icación más conveniente para estudiar la estructura de un

ideal.

Consideremos un orden parcial en la familia de toda las

compactificaciones de Sean (Ck, jk), k=l, 2 unas

compactificaciones, tales que ,j * C ---+ C denotan la sumersiones

de imagen densa.

n k' k

. .

11

Denotamos (Cl, jl) > ( C r , , j 2 ) cuando existe una aplicación L,

continua suprayectiva F : C -+ C tal que F 0 jl - - j2. 1 2

Proposición 2.5. Si ( C l , jl) > (C2, j2), entonces F - ' ( p ( V , C 1 ) ) c

p ( V , CJ.

Demostración.Sea O c C una vecindad de un punto regular j ( z )

( 0 ) y en este conjunto se cumple la

2 2

-1 -1 o F - l ( O ) = j E C .Entonces j

condición (2.1) para alguna constante K>O y una función f E J Los

puntos del conjunto F-'(O) son entonces regulares para C .w

1 1 2

V'

1

El ejemplo de la compactificación de Aleksandrov, que es la

minimal demuestra que F puede proyectar l o s puntos regulares sobre

los puntos del espectro. Cuando pasamos a una compact if icación

mayor, obtenemos cada vez más puntos regulares. Es más dificil

determinar en que sentido se enriquece el espectro. Sin embargo no

cabe duda que la información contenida en el espectro extendido

correspondiente a una compactificación mayor es más interesante.

Existe también una compact if icación maximal, la de Stone-tech

denotada a continuación por 'C". En este caso tenemos el resultado

siguiente.

Teorema 2.6. Si J c So es un ideal propio, entonces para todo z

S n E c(J, C 1, &>O, K>O, féJ existe una vecindad O ( z ) de z tal que

If(z)exp Kg(z)l < E , z E O(z)nCn.

Demostración, Por la definición del espectro extendido sabemos

que para z E c(J,'Cn), para í;odos &>O, K>O, f E J y para toda

vecindad U(z) de z existe gEU(z:)nCn tal que

lf(<)lexp Kg(<) < E .

Introduzcamos la función @(zl : = min {If(z)exp Kg(zll,l) en

* . 02". Como una función continua y acotada en C la función @ se n

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extiende a una función continua en 'U?. Sabemos que en cada

vecindad de z la función toma. valores arbitrariamente pequeños,

entonces la extención toma en ;< valor O. Ahora por la continuidad

de IJJ existe una vecindad O(z,) de z en el cual es válida la

afirmación del te0rema.i

Todos los elementos de un ideal propio de d son funciones que

se extienden a por lo menos iin punto de la compactificación de

Stone-tech en forma contínua, se anulan en este punto y en alguna

vecindad del punto tienden a cero más rápido que exp(-Kg(z)l

cualquier que sea K>O.

De aquí en adelante denotamos por c(V),cr(J) los espectros

extendidos de V o J en la compactificación de Stone-Cech.El

siguiente reultado es una reformulación del contenido de Teo.2.6.

Proposición 2.7. Sea J un ideal en &Entonces

P n c ( J ) = {z E C Itl f E J, K>O la extención continua de la función

I,!J(z):= rnin(1, If(w)lexp Kg(w)) a 'Cn se anula en z )

Esta descripción simplifica la demostración de

Proposición 2.8. Sean J,I unos ideales en 58 y =ea 8 el ideal

generado en SS por J,I.Entonces e($) = c(J)n ~ ( 1 ) .

Demostración. En virtud de que J,I E 3 es obvio que

c(2) c dJ)n ~ ( 1 ) .

Sea ahora z E d I ) n cr(J) y sea F E %.Existen cp,$ E di, f E J , gEI

tales que F = cpf + $h. Para constantes adecuadas a,b,c,d > O

tenemos: lcpl 5 a exp bg, Id1 5 c exp dg. Se sigue para K>O

arbitrario

Icpf + dhlexp Kg 5 alf lexp(b+K)g + c Ih lexp(d+K)g.

Las dos funciones del lado derecho de la desigualdad se

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extienden a unas funciones contínuas que se anulan en z. Entonces z

E cr(3I.i

Regresamos al estudio de los operadores de la forma

T : f _j T*f para T E 8'

considerando como el dominio un espacio invariante cerrado V c 8 ' .

Sea Jv c SS la transformada de Fourier del anulador de V y sea

f=T.Denotamos por cr(V) el espectro extendido de V en 'Cn.

Proposición 3.1 El operador T: V __j V tiene inverso contínuo

si y solo si para algún K > O la extención a 'Cn de la función #(z)

= min {Jf(z)l exp Kg(z),l) no se anula en cr(V).

Demostración. Si existe el operador inverso, aplicando

Prop.l.1 obtenemos unas funciones h d , J,EJ tales que hf + J, = 1. V

Obtenemos :

1 5 lf(z)llh(z)l + IJ,(z)l 5 Aexp Kg(z)lf(z)l + l$(z)l.

En virtud de que la extención de J, se anula sobre s(V) en

alguna vecindad del conjunto la función # es mayor que 1/A. En

particular # no se anula en c r ( V 1 .

Si suponemos que # es distinta de cero en c r ( V ) , por la

compacidad del conjunto para algún E>O tenemos l#(z)l 2 E, z € c r ( V ) .

Si el ideal generado por J y la función f es propio, aplicando

Teo.2.6 obtenemos z E 'Cn en el cual se anula la extención de la

función min { If(z)lexp Kg(z),l) y todos los elementos de JV. El

punto z pertenece a cr(V) entonces el hecho contradice a nuestras

suposiciones. i

V

O

O

El último teorema se puede usar para estudiar la existencia de

la resolvente de un operador de forma f : V 3 rp - T*cp E V. Los

estudios del espectro de tal operador deben orientarse hacía la

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obtención de un teorema que relacionara c(V) con el espectro

extendido del operador T. De acuerdo con los teoremas conocidos en la teoría de álgebras de Banach como "spectral mappings theorems"

el espectro de T debe obtenerse como el conjunto de valores T(-zI ,.

cuando z recorre el espectro de V . A

En principio la transformada T está definida como función

contínua ? : Cn C c 'C. Según la propiedad universal de la

extensión de Stone-Cech existe una extensión de la transformada T

al espacio 'Cn. De tal manera el conjunto <T(-z) Iz E c r ( V ) ) queda

bién definido como un subconjunto de 'C. Por otro lado en la teoría

general de álgebras topológicas existe una forma de definir el

espectro extendido de un elemento del álgebra dada. Aplicándola al

elemento [ ( ? I A 1 del álgebra cociente &'/V' obtenemos el espectro

extendido del operador tamb:ten como un subconjunto de 'C. El

problema del mapeo espectral está por lo menos bién puesto y

representa un atactivo tema de investigación que se puede

considerar también como un punto de partida para la creación del

cálculo funcional para los operadores de convolución en términos

del espectros extendidos. Probablemente el enfoque basado en el

análisis no-estandard es el más adecuado para éste fin.

Ref el-enc i as

[ll L.Ehrenpreis, Fourier Analysis in Several Complex Variables,

Wi ley-Interscience, 1970.

[21 D. I. Gurevich, Coutrexamples to the problem of L. Schwartz,

Funktsional Anal. i Prilozhei?. , 2, 9 (19751, 29-35.

[31 L.Hormander, Generators for some rings of analytic functions,

Ann. of Math., 2, 76 (19621, 943-949.

15

[41 L. Schwartz, Théorie générale des functiones

moyennes-periodiques, Ann. o f Math. , 2, 48 ( 19471,857-929.

[51 A. Wawrzyñczyk, J. Chargoy Corona, Extended spectrum of a

translation invariant subspace €(U?”), Publicaciones

Preliminares 213. Instituto de Matemáticas UNAM.

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