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Enseñanza y Aprendizajede las Ecuaciones
Diferenciales a través de la Modelación
Dra. Ruth Rodríguez GallegosCátedra en Matemática EducativaTecnológico de Monterrey Campus Monterrey
Día Virtual CUDI “Matemáticas Aplicadas”Martes 27 de Marzo del 2012
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ModelaciónMatemática
Educativa
TecnologíaExperimentación
Simulación
EDRediseño
ColaborativoSalón ACE
ITESMIngenieros
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Una primera distinción importante
O Modelación en:O El ámbito profesional
O Modelación del experto o investigador
O El ámbito educativoO Modelación “escolar”
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Sobre la modelaciónO Tema central en Matemática Educativa durante los
últimos 35 años (Niss, Blum y Galbraith, 2007):
O Modelación Matemática y Aplicaciones de las Matemáticas hacia campos extra-matemáticos
O Primera acepción: relaciones entre las Matemáticas y el mundo extra-matemático (“mundo real” o “el resto del mundo” (Pollak, 1968 ).
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Un hecho importante sobre modelación
O Existen currículum y libros de texto con referencia a fenómenos y problemas de la vida real desde hace 25 años.
O La modelación tiene un papel importante en muchos salones de clase en diversos países sin embargo…
O “…aún existe una distancia importante entre las ideas expresadas en el debate educativo e innovación del currículum por un lado, y la práctica diaria de enseñanza, por el otro lado. En particular, actividades de modelación genuinas son aún raras en el aula de matemáticas” (Niss, Blum y Galbraigth, 2007).
O Aumento de investigaciones genuinas los últimos 15 años.
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Consejo Nacional de Profesores para la Modelación y Aplicaciones• Desde 1983, • Organiza un congreso cada 2 años• Grupo reconocido por ICMI, se reúne además cada 4 años
en ICME.
Modelación y Tecnología (MyT)• Desde 2007, grupo latinoamericano• Se reúne cada año en RELME (2008, 2009, 2010, 2011,
2012)• Grupo reconocido por CLAME y Red de CIMATES. Se reúne
además cada año en EIME (2010 y 2011)
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MODELACIÓN
Realísticaó
Aplicada
Contextual
Epistemológica
Cognitiva
Socio-Crítica
Educativa
Perspectivas de la Modelación en Educación
(Kaisery Siraman, 2006)
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Modelación es…• Modelación es entendida como un medio de
usar/construir conceptos a través de una tareaasociada a una situación que llamaremos “situación-problema”.
• En este sentido, modelación es una construcción o usoparticular de un modelo que incorpora conocimientocientífico, tomando en cuenta las condicionesparticulares de una situación o de una clase desituaciones, la cual permite formular una respuestarelativa a la situación.
(Lópes y Costa, 2007, p. 812)
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Proceso de Modelación (Rodríguez, 2007; 2010)10
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Habilidades matemáticas son requeridas para adquirir competencias de modelación positivamente
Conocimiento sobre el proceso de modelación influye positivamente para adquirir competencias de modelación
El contenido del contexto a modelar tiene una gran influencia. El contexto puede motivar pero también distraer de un problema.
Trabajo en grupos pequeños y discusiones grupales apoyan el desarrollo de competencias de modelación
Resultados alrededor de la implementación de modelación
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AntecedentesO Profesional
O Rediseño del Sector Curricular de Matemáticas para IngenierosO Desde el año 2000O Aspecto instrumental de las matemáticas, modificar el qué y
cómo enseñar (Douady, 1984; Duval, 1995; Salinas y Alanís, 2009).
O Proyecto Rediseño del curso de Ecuaciones DiferencialesO Desde agosto 2008, actualmente en cursoO Trabajo colegiado con 15 profesores del departamento de
MatemáticasO Plan de Estudios 2011O Implementación: agosto 2012
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Problemática de las ED
Problemática alrededor de
las ED
ComponenteHistórica-epistemológica
Propuestas de cursosexistentes
Prácticas de usoen otras disciplinas (materias de especialidad)
Resultados de Matemática Educativa (investigación educativa)alrededor de la E-A de las ED.
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Fuentes del currículum (Casarini, 1987)Ps
ico-
peda
gógi
ca*Antecedentes institucionalesMisión 2015Competencias en Planes de Estudio 2011
*Cursos nacionales e internacional*PropuestasInnovadorasBlanchard (desde 1994) con un énfasis importante en modelación de fenómenos, énfasis en análisis cualitativo
Epis
tem
ológ
ica *Estudios
históricos (ej. Miranda y Cordero 2006, Laplace)
*Epistemología de las ED
*Investigacionesde la E-A de las Ecuaciones Diferenciales (desde diferentes perspectivas teóricas) en ME
Prof
esio
nal *Estudios Previos
Rediseño de Cálculo, 12 años)*Entrevistas a profesionales (Química, Industriales, Eléctricos, Mecatrónica, Control)*Observaciones de clasesSeñales y SistemasCircuitos EléctricosIdentificar prácticas de uso de ED en ingenieríaED como modelo de fenómenos diversos 16
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Fuentes del currículum (Casarini, 1987)Ps
ico-
peda
gógi
ca*Antecedentes institucionalesMisión 2015Competencias en Planes de Estudio 2011
*Cursos nacionales e internacional*PropuestasInnovadorasBlanchard (desde 1994) con un énfasis importante en modelación de fenómenos, énfasis en análisis cualitativo (simulador)
Epis
tem
ológ
ica *Estudios
históricos (ej. Miranda y Cordero 2006, Laplace)
*Epistemología de las ED
*Investigacionesde la E-A de las Ecuaciones Diferenciales (desde diferentes perspectivas teóricas) en ME(las cuales muestran relación con Tecnología y AC)
Prof
esio
nal *Estudios Previos
Rediseño de Cálculo, 12 años)*Entrevistas a profesionales (Química, Industriales, Eléctricos, Mecatrónica, Control)*Observaciones de clasesSeñales y SistemasCircuitos EléctricosIdentificar prácticas de uso de ED en ingenieríaED como modelo de fenómenos diversos 17
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Visión del curso ED en proyecto
(Rodríguez, 2010, 2011)
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Ambiente de Aprendizaje Centrado en el Estudiante (ACE)
Zavala, Alarcón, Dom
ínguez y Rodríguez(2010)Alvarado, D
omínguez, Rodríguez y Zavala
(2011)
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Proyecto de la Dirección de Ciencias Básicas (Campus MTY):Coordinador: Genaro Zavala (Cátedra de Educación de la Física)
E-A de ED
MODELACIONTECNOLOGÍA
EXPERIMENTACIONAPRENDIZAJE COLABORATIVO
AUTONOMIA DEL ESTUDIANTE
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Modelación a través de diversos
ambientes
TECNOLOGÍA
Lápiz-PapelValidación por medio electrónico
Software Matemático (Maple 14 o Mathematica 8)
Uso de sensores para experimentar
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ModelaciónMatemática
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Introduciendo las ED
Crecimiento de poblacionesJustificando el modelo
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ANALISIS NUMÉRICOANALISIS CUALITATIVO/GRÁFICO
REPRESENTACIÓN ANALÍTICA*ED*FUNCIÓN SOLUCIÓN DE LA ED
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Circuitos eléctricosRC, RL, RLC
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Circuitos RLCO Un circuito RLC
esta compuestopor:O Resistencia R O Inductor LO Capacitor C
E(t)
R
C
L
)(1 tEqC
RidtdiL )(1
2
2
tEqCdt
dqRdt
qdL
Como i = dq/dt entonces
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Actividad: Armar un Circuito RC
Resistencia
Capacitor
Generadordevoltaje
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Apoyo con equipo del laboratorio de Física
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Salón ACE en ITESM Campus Monterrey: Curso ED (Ago‐Dic 2010, Ene‐Mayo 2011, Verano 2011, Ene‐Mayo 2012)
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Carga y descarga del capacitor en un circuito RC
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Cargadel
capacitor
Descargadel
capacitor
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Otro punto de vista sobre las ED
O Una ED es vista como un modelo de un sistema físico…
O …el cual es sometido a una perturbación o excitación E(t) (FUNCION DE ENTRADA)
)()(1)()(2
2
tEtqCdt
tdqLdt
tqdL
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Fuente de poder para producir entradas de voltaje periódicas (senoidales)
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Problemas detonadoresO Encontrar la corriente i(t) en un circuito RL
en serie de una sola malla cuando i(0) = 0, L = 1 h, T = 10 ohms y E(t) de la forma:
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Carga “seccionada” del capacitor (función escalón/seccionada)
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Ejemplo de función escalonada(función escalera)
…
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Modelando un sistemaMasa‐resorte
Experimentación / Simulador
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Experimento masa‐resorte ED segundo orden
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Simulador: masa‐resorte
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Movimiento Sobreamortiguado
Movimiento Críticamente amortiguado
Movimiento Subamortiguado
010´2´´ xxx
)3323cos2()( tsentetx t
04´5´´ xxxtt eetx 4
32
35)(
016´8´´ xxxttetx 43)(
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Análisis de la solución para el caso de movimiento forzado
43
)4(5150)4cos(
10225
5186cos
5138)( 3 tsentsenttetx t
Solución = Edo. Transitorio + Edo. Estable
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Cambio (crecimiento) de Población
Obj. Determinar que el valor de la k es cte,
justificar el modelo P´= k*P
Cambio de Temperatura
Obj. Determinar la ED que modela el
fenómeno a través del ajuste de datos exp.
Sistema Masa-resorteObj. Determinar los diferentes tipos de
soluciones dependiendo de los parámetros m, b, k
Circuitoseléctricos
Obj. Explicar/Acercar al alumno al modelo
ED del circuito a través de la
experimentación
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Trabajo colegiado para el diseño de situaciones de aprendizaje
Experimentación/Simulación como apoyo importante en el proceso holístico de modelación
Uso de tecnología adecuada para fortalecer competencias diversas: matemáticas, extra-matemáticas y/o de modelación
Capacitación de profesores en modelación Desarrollo de competencia de modelación
Conclusiones sobre la EA de las ED a través de la modelación
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¡Gracias por su atención!O Ruth Rodríguez GallegosO [email protected]
ITESM Campus MonterreyDepartamento de Matemáticas
Cátedra en Matemática Educativa
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