ACTORES EN LA HISTORIA DE LA VARIABLE COMPLEJA Y SU INTERVENCIÓN.

Matemáticas Especiales – UPTCAndrés Leonardo Merchán

El estudio de métodos analíticos de variable compleja es una imprescindible herramienta para la solución de diversos problemas en ingeniería y ofrece un sinnúmero de ventajas en electrónica ya que provee en general una manera más sencilla de tratar matemáticamente modelos físicos involucrados en esta, el análisis de ondas electromagnéticas, de señales, de corriente alterna, impedancias, reactancias, circuitos trifásicos, y fasores entre otros. A modo de ejemplo si se está resolviendo un circuito con inductancias y capacitancias en el dominio temporal se involucran variables del tipo senos y cosenos que deben ser derivadas o integradas según el caso obteniendo ecuaciones tediosas, entre tanto puede reducirse el tiempo y los cálculos al desarrollar el circuito en el dominio fasorial usando el plano complejo, un vector bidimensional, que da la amplitud y la fase de una señal cualquiera, teniendo en cuenta que la corriente alterna es una función periódica que básicamente es un movimiento oscilatorio por tanto son funciones armónicas y se pueden escribir con variable compleja. De otra manera y dejando a un lado las aplicaciones en el campo electrónico que son variadas este documento se centrara en la intervención de los actores importantes en la historia, matemáticos y científicos cuyos aportes han sido significativos para conocer y entender los beneficios y las propiedades del uso de la variable compleja.

De la historia de la variable compleja se ha dicho que parte de la necesidad de resolver ecuaciones del tipo de la ecuación x2+1=0 puesto que esta ecuación cuadrática no tiene un sentido geométrico como que un polígono tenga un área negativa. Es así como luego del estudio de la variable compleja hoy se pueden resolver ecuaciones no reales y tener certeza del resultado.

Ahora bien, a través de los años personajes como Bombelli, Wessel y R. Argrand hicieron sus primeras contribuciones. Posteriormente Carl Gauss, Augustin Cauchy, Bernhard Riemann y Karl Weierstrass, serían los fundadores de la teoría moderna.

La motivación principal de Weierstrass fue el estudio de las funciones elípticas y abelianas, y desde este punto de vista profundizó en la teoría de las funciones de variable compleja. Hizo una presentación rigurosa de la teoría,

independiente de toda referencia a la intuición geométrica. Sus primeros trabajos, que datan de 1 840 a 1 842, se publicaron por primera vez en 1 894, por lo que fueron ignorados por sus contemporáneos. Conoció el desarrollo en serie de Laurent; introdujo la noción de convergencia uniforme y emostró, utilizando el método de los mayorantes, el teorema sobre las soluciones analíticas de un sistema de ecuaciones diferenciales mediante el desarrollo en serie; esbozó la teoría de la prolongación analítica y el estudio de los puntos singulares. Weierstrass se hizo célebre cuando en 1 854 publica su memoria “Sobre la teoría de funciones abelianas”.

Entre 1 857 y 1 887 elaboró cuidadosamente su edificio matemático, donde partiendo de una construcción correcta de los números reales desembocó en una teoría general de las funciones analíticas, y en la teoría de las funciones elípticas y abelianas.

Se preocupó por el desarrollo en series de potencias de la función dentro de su círculo de convergencia, que se puede prolongar mediante la prolongación analítica. Todo resultaba para él como una consecuencia de la teoría de series.

Cauchy no utilizó la representación geométrica hasta 1825 y en su “Cours d’Analyse” continuó representando a los números complejos como expresiones simbólicas que pueden ser sometidas a las diversas operaciones del álgebra. Cauchy está muy relacionado con los más importantes resultados de la época. Estudió con precisión la convergencia de una serie de potencias resaltando la existencia del radio de convergencia, y también el problema recíproco, la posibilidad de desarrollar localmente en serie de potencias una función holomorfa, siendo el radio de convergencia la distancia del centro a la singularidad más próxima. Auténtico punto de partida de las integrales curvilíneas, donde aparece el concepto de variación continua de las curvas que hoy se conoce por homotopía y el caso en el que la función se “vuelve infinita” en puntos de un rectángulo de lados paralelos a los ejes. Hasta 1850 Cauchy no consideró otras singularidades que los polos. Introdujo la noción de residuo en “Sur un nouveau genre de calcul analogue aucalcul infinitésimal” dando en una nota posterior la fórmula de los residuos para un rectángulo. En Turín en 1831 publicó una memoria sobre la mecánica celeste donde desarrolló un método para el estudio de la convergencia de series y acotación de errores al sustituir la serie por la suma de un número finito de términos.

Estableció la fórmula integral que lleva el nombre de “teorema integral de Cauchy” y las desigualdades de Cauchy de las que se sigue de forma inmediata el teorema de Liouville, esencial en el estudio de las funciones enteras.

Impuso algunas condiciones restrictivas para que dichas funciones tengan derivadas continuas. Su teoría reposa sobre un teorema muy importante relativo a las integrales complejas y sobre la noción de residuo. Esta teoría contiene en germen los planteamientos geométricos de Riemann y los aritméticos de Weierstrass.

La primera publicación de Riemann fue su discurso inaugural “Principios fundamentales para una teoría general de las funciones de una variable compleja”. Él mismo indicó que sus demostraciones eran a menudo incompletas, y únicamente con la construcción de nuevas teorías y entes matemáticos podrían ser posteriormente rellenadas las lagunas. La primera presentación completa de estos trabajos de Riemann se debe a H. Weyl que utilizó nociones como variedad analítica, homología y formas armónicas. Riemann descubrió nuevas geo metrías que con una axiomatización conveniente han llegado a ser el cuadro geométrico de la Física y la Matemática contemporánea. La idea fundamental de Riemann para estudiar una función multiforme fue recuperar la uniformidad de la función desdoblando, tantas veces como fuera necesario, los valores de la variable. Dijo entonces: “la función multiforme admite en cada punto de una superficie que representa así el modo de ramificación, un único valor determinado, y puede ser vista como una función perfectamente determinada sobre esa superficie”. Explicó cómo las famil ias de funciones algebraicas y los períodos de sus integrales están caracterizados por un único invariante topológico de sus superficies de Riemann, el orden de conexión, definido a partir de sistemas de curvas. Riemann obtuvo, en su memoria, teoremas de prolongación para funciones armónicas, el principio del módulo máximo y el principio de prolongación analítica. Terminó con una magistral aplicación del principio de Dirichlet, que dice que: “Dos superficies de Riemann simplemente conexas pueden siempre ser representadas conformemente una sobre la otra”.

La imagen geométrica jugó un papel predominante en Riemann. Una función compleja era para Riemann una ley por medio de la cual las superficies se pueden transformar y su objetivo fue el de representar estas transformaciones y analizarlas.

Gauss no ejerció influencia en su tiempo por no haber publicado nada, y haberse encontrado sus manuscritos mucho tiempo después de su muerte. Cada uno de los otros tres matemáticos siguió un camino diferente.

Leonhard Euler es probablemente uno de los grandes creadores de las notaciones matemá- ticas modernas. Además de diversas constantes, introdujo, en particular, la expresión e iθ = cos θ + isen θ llamada Fórmula de

Euler, que define el símbolo e iθ para cualquier valor real de θ. La fórmula de Euler permite expresar un número complejo z = r (cos θ + isen θ) de manera más compacta en forma exponencial: z = reiθ.

En matemáticas el análisis armónico o análisis de Fourier estudia la representación de funciones o señales como superposición de ondas "básicas" o armónicos.

Investiga y generaliza las nociones de series de Fourier y transformadas de Fourier. A lo largo de los siglos XIX y XX se ha convertido en una materia enorme con aplicaciones en campos diversos como el procesamiento de señales, la mecánica cuántica o la neurociencia.

Las series de Fourier se utilizan para descomponer una función, señal u onda periódica como suma infinita o finita de funciones, señales u ondas armónicas o sinusoidales, es decir, una serie de Fourier es un tipo de serie trigonométrica.

La transformada clásica de Fourier en Rn aún es un área de investigación activa, sobre todo en la transformación de Fourier sobre objetos más generales, como las distribuciones temperadas. Por ejemplo, si imponemos algunos requerimientos sobre una distribución f, podemos intentar trasladarlos a términos de su transformada de Fourier. El Teorema de Paley-Wiener es un ejemplo de ello, que implica inmediatamente que si f es una distribución de soporte compacto (lo que incluye a las funciones de soporte compacto), entonces su transformada de Fourier no tiene nunca el soporte compacto. Esto es un tipo muy elemental de un principio de incertidumbre en términos del análisis armónico.

Las series de Fourier pueden ser estudiadas convenientemente en el contexto de los espacios de Hilbert, lo que nos da una conexión entre el análisis armónico y el análisis funcional.

Una de las ramas más modernas del análisis armónico, que tiene sus raíces a mediados del siglo XX, es el análisis sobre grupos topológicos. El ideal central que lo motiva es la de las varias transformadas de Fourier, que pueden ser generalizadas a una transformación de funciones definidas sobre grupos localmente compactos.

La teoría para los grupos localmente compactos abelianos se llama dualidad de Pontryagin, que se considera una proposición muy satisfactoria ya que explica

las características envueltas en el análisis armónico. En su página se encuentra desarrollada en detalle.

El análisis armónico estudia las propiedades de tal dualidad y la transformada de Fourier; y pretende extender tales características a otros marcos, por ejemplo en el del caso de los grupos de Lie no abelianos.

Para grupos generales no abelianos localmente compactos, el análisis armónico está muy relacionado con la teoría unitaria de representación de grupos unitarios. Para grupos compactos, el Teorema de Peter-Weyl explica cómo se pueden conseguir armónicos extrayendo una representación irreducible de cada clase de equivalencia de representaciones. Esta elección de armónicos goza de algunas de las propiedades útiles de la transformada de Fourier clásica de forma que lleva convoluciones a productos escalares, o por otra parte mostrando cierta comprensión sobre la estructura de grupo subyacente.

Referencias:

[1] Foro Ciencia; e-ciencia.com[2] Historia y aportes de la variable compleja; Universidad Mesoamericana, Ingeniería Electrónica, Ing. Watler Quijivix.[3] Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Vol II; Kreyszig.