C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, SCrie I, p. 723-726, 1998 Cbombtrie diff&entiellelDifferentia/ Geometry (Probabilit&lProbabi/ity Theory)

Enroulements des ghodhsiques sous la mesure de Patterson-Sullivan

Nathanad ENRIQUEZ a, Jacques FRANCHI ‘* l’, Yves LE JAN ’

” Lahoratoirr dr prohahilitis. universitG Pirrr~-et-Marie-Curir, tour 56, 3’ Ctage, 4 place Jussieu, 75252

Paris w&x OS, France

Courriel : c,nricluc.z~c:~r.jlssiru.fr

” Fawltb drs wirnwsl universitb Paris XII. 61 avenue Charlrs-de-Gaulle, 94010 Gri.tc*il wdw, France

Courrirl : franc:hi@wr.jussieu.fr

” Dlpartement de mathimatiqurs, bitiment 425, universitl Paris-Sucl, Y1405 Orsay, Franw

Courrirl : yvrs.lejan@math.u-Psud.fr

(Rryu lr 16 fkrirr lYY8. ac.c.rpt/. 1~ 23 fbvrier lYY8)

RCsumC. Soit M une surface hyperbolique gkomktriquement finie, d’aire infinie et posskdant au

moins une pointe. Munissant T’ M de la mesure de Patterson-Sullivan, nous obtenons la loi limite de I’intkgrale normali.+e, le long des gkodksiques, de toute 1-forme fermCe prks des pointes. Cette loi limite est stable, de paramktre 2d - 1, ~5 Ctant la dimension de Hausdorff de I’ensemble limite du sow-groupe l- d’isomktries de Miibius associC k M. 0 AcadCmie des SciencesElsevier. Paris

Stable windings for geodesics under

Patterson-Sullivan measure

Abstract. Let M be u geometricallyjnitr hyperbolic su&xce having at least one cusp, and infinite volume. We obtain the limit Iuw under the Patterson-Sullivan measure on T’ M of the normalized integral along the geodesics of’ M of any l-firm closed near the cusps. This limit law is stable with parameter 26 - 1, where b is the Hausdorff dimension of the limit set of the subgroup r of Miibius isometrics associated with M. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier. Paris

Le problkme de l’enroulement des gCod&iques dans les pointes des variCt& hyperboliques de volume fini, et plus gCnCralement celui des lois limites assocites 5 des inttgrales du flot gCod&ique, ont fait I’objet de nombreux travaux (voir par exemple [6], [lo], [7], [2], 141, [5]). Le cas du volume infini, que nous Ctudions ici, a Cti aborde dans le contexte des mCthodes de codage, pour le probEme voisin du comptage des gkodksiques fermCes Cvoir [I], dans le cas des groupes de Schottky).

Soit r un sous-groupe discret d’isomttries de Miibius du demi-plan de PoincarC H, que nous supposons sans torsion et gkomktriquement fini. Notons n la dimension de Hausdorff de son ensemble

Note prkentke par Jean-Michel BISMIJT.

0764.4442/98/03260723 0 AcadCmie dcs Sciences/Elsevier, Paris 723

N. Enriquez et al.

limite A. Nous supposons que I contient au moms un Clement parabolique, ce qui implique que s > l/2.

Soit M := I’\ I-l la variete hyperbolique quotient, qui posdde au moins une pointe. Soit Q, I’Ctat fondamental du laplacien a sur M, associe a sa valeur propre maximale S(S - 1).

Sur U-I, on a Q(z) = b=(R), oti (CL,) est la famille des mesures de Patterson sur A, qui possbde la propriete de densite conforme (voir [9], [ 1 I], [12]), et qui s’ecrit done lL,(du) = p6(z, u)p(du) pour une certaine mesure /L sur A ; ~(z, U) designe ici le noyau de Poisson.

Reperons une geodesique 7% dans I-l par ses deux extremites ‘u, u E dW, et un point [ de TIU-l par ses coordonnees (u, 71, s), ou s est l’abscisse hyperbolique de sa projection z = r(E) sur I-l Cvaluee a partir du sommet de la geodesique &.

La mesure de Patterson-Sullivan 7% sur TiW est dCfinie par :

Introduisons une nouvelle mesure V sur TiI-I en posant : F(dz, du) := Il~ll,“~(*)cLt(dlL)V(dz), 051 V designe la mesure d’aire sur W. V est lisse le long du feuilletage stable.

Nous constatons que T% et i; sont I-invariantes et definissent ainsi des mesures m et u sur TIM. v est ainsi une probabilitk sur TIM, de projection sur M r*z/(dz) = l]@//;‘@‘(z) V(dz), oti V dtsigne la mesure d’aire sur M.

Rappelons que T’ W peut Ctre identifie a PSLz(Iw), les flots geodesique et horocyclique positif

Ctant alors respectivement don& par le produit a droite par les matrices : Ht := p,:’ e”,2) et

H$:= :, ; . ( >

Cela s’etend aussitot a T’M = I’\TlW.

Alors que m est clairement invariante par le flot geodesique 19~, v est seulement quasi-invariante ; mais elle I’est aussi relativement au flot horocyclique 0,:. Precisement, notant 7’, := f?;f&Ogy pour z = (a:. y) E I-U, nous montrons :

PROPOSKION 1

y4 (0 = y(l-“) x @ ;:‘,‘fil) pour tout < dans TIM et z = (z, y) duns W.

De plus, v permet d’approcher m. En effet, nous prouvons :

TH~OREME 1. - $,;I/ converge tftroitement sur TIM, lorsque S + $00, vet-s la probabilite’

11 (3 II;* Corn,, oh c(S) := J (1 + 7y (171.

Notons 2; = (zt, yt) le mkvement brownien hyperbolique sur W issu de (0.1). et posons :

Tt := inf{s > 0 I ys = emt}, et pour tout < E TIM : ?$“’ := e--Xc,t x @ooE(Z;‘)

QoE(Z,“) ) oti A, := S(6- 1)/2

est la premiere valeur propre du generateur ia.

On verihe que YT;E est une fonctionnelle multiplicative et une martingale d’esperance 1, et que

J ‘vying est Cgal a exp [(n - 1)t - X,,rt], q ui a d es accroissements homogenes et independants.

Soit I$ la probabilite dont la restriction a la tribu engendree par {Z: ; 0 < s < t} et E, admet la densit TF,( par rapport a la probabilite 11 ‘9 P.

LEMME I. - s0u.s uy, rt/t converge vet-3 1 h-d/2’ et x,, converge en loi. De plus, la loi de c?+ (:c,,+, - :c,, ) ne d@end pas de 1.

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Enroulements des gkodbsiques sous la mesure de Patterson-Sullivan

Nous d&irons Ctudier la limite de

oti w est une 1-forme sur M, que nous supposons seulement fermCe dans un voisinage des pointes, et oti <[O, t] dksigne la gCodCsique de longueur t issue de < E TIM.

Nous constatons que seule la partie harmonique W de w restreinte B un voisinage des pointes contribue asymptotiquement, et posant :

ainsi que

nous dkduisons du thCor&me 1 que :

COROLLAIRE 1. - Limtt+w) .It(w) = (1 @ 11; c(S)-’ lim{t+cU) lim{s,,) J,“.

Nous construisons ensuite une fonction conjuguke g sur TIM, lisse et telle que pour tout < E TIM : (i) w<(z) := g(<T,) y-ldz + f(<Tz) :v-‘&J est une forme fermCe sur l-4, et

(ii) (<*w - WE) est bornCe sur W. Le fait que WE soit fermke permet, au moyen d’une d&formation de contour, de ramener

approximativement l’intkgrale le long de la gCodCsique <[O, t] B une intkgrale le long de la trajectoire de diffusion {CT,, I 0 < s 5 ~~ } :

PROPOSITION 2. - Limi,-X) lim{s+X) .I: = lim{, -~) IEz .Gt

J I) wE .

De 18 nous dkduisons via la proximitk de wt avec [*G et le corollaire 1, en posant $!t := <Tzr :

COROLLAIRE 2. - Lim~,-~) Jt(w) =I\ @ 11; r:(h)-’ E:T’( exp [ - J--r+ /‘,,,,,T,,;]).

II nous reste alors $I ktudier sous la loi $z les enroulements de .Zt dans les poih;ei de M jusqu’au temps TV. On utilise ensuite la convergence en probabilitk de 7r /t vers la constante &

Pour Cvaluer les enroulements de Z, dans les pointes, nous utilisons la th&orie des excursions. Pour Cvaluer la contribution d’une excursion de Zr, il convient de l’approcher par une diffusion simplifike en forme de produit semi-direct, qu’on trouve aprks une Ctude asymptotique de CI, et de V@ dans les pointes. On constate que cette approximation n’est efficace que si le seuil au-dessus duquel on considttre les excursions croit avec t, valant par exemple I/‘?.

Reste g Cvaluer le temps pass6 par Z au-dessus du niveau & entre les instants 0 et TV. Nous fondons ce calcul sur I’existence d’un trou spectral pour le gCn&rateur A* de Z, qui correspond au second trou du spectre de A.

Aprks avoir rCglC la dernibe difficult6 due B la possibilitC d’une excursion incomplkte en tours B l’instant 7r, nous obtenons la loi limite des enroulements de Z,, :

PROPOSITION 3. - La loi de t* I

ij sou.s Pz converge vers me loi stable d’exposant (26 - 1). . Z[O,Ttl

Au total, nous avons ainsi dCmontrC :

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N. Enriquez et al.

THBORZME 2. - La loi de ta I

w suus 1aprobabilitP jj@/1T2 c(6) m cornserge vers une loi stable ’ EIWI

syme’trique d’exposant (26 - 1). Le taux de cette loi peut e^tre calculi’ explicitement en fonction des rksidus de w duns les pointes et du groupe I’.

Toutes les dCmonstrations figurent en d&ail dans [3], pour une part rCdigCes dans le cas d’une dimension quelconque. Le thkorkme 2 ect en fait valide dans le cas plus g&&al suivant : M de dimension Ct, pointe de rang CE, et d/2 < b < (n + 1)/2, la normalisation et l’exposant de la loi limite

* stable devenant alors TV* mc( et (215 - (I), respectivement.

RCfkences bibliograpbiques

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