enlace con matemática 6

Unidad 1

Sistemade numeración p.10

Operacionescombinadas p.38

Pensamiento crítico

Desarrollo del pensamiento

y toma de decisiones p.67

SOLUCIÓN de problemas

mediante ecuaciones p.92

Idea para la acción

PAPEL reciclado p.113

ActividadesDE REPASO p.156

Resolución de problemas

Conteo p.176

Enlace con…

DEPORTES p.193

6

Librodigital(estudiante)


6Libro

digital(estudiante)

CD Alumno

6Libro

digital(estudiante)

con MatemáticaEnlace es un conjunto de materiales didácticos articulados por la

convicción de que sólo encontrándole sentido a los conocimientos

logramos el aprendizaje.

Las áreas académicas se enlazan entre sí y –a la vez– con la red del

conocimiento universal y con la realidad cotidiana. Son esas conexiones

las que otorgan signifi cado a los conceptos. Enlace presenta algunas

de ellas, pero faltan muchas por descubrir. Ese es el reto.

Desde Santillana agradecemos a las escuelas que participaron en

las pruebas de las páginas piloto. Los aportes hechos por los y las

docentes, tras vivir la experiencia de Enlace con sus estudiantes,

fueron clave para desarrollar estos bienes pedagógicos.

con Lengua y Literaturacon Matemáticacon Ciencias de la Naturaleza y Tecnologíacon Ciencias Sociales

con

Mat

emát

ica

6 con Matemática

INCLUYELIBRO DIGITAL INTERACTIVOINCLUYELIBRO DIGITAL INTERACTIVO

6Libro

digital(estudiante)

Enlace con Matemática 6ISBN: 978-980-15-0304-0Depósito legal: lf63320103701062

Impreso en Venezuela por: Artes Gráficas Rey, C.A.

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización previade los titulares delCopyright, bajo las sanciones establecidasen las leyes, la reproducción totalo parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos lareprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ellamediante alquilero préstamo público.

Edición general adjuntaInés Silva de Legórburu

Coordinación editorial Ciencias y Matemática José Manuel Rodríguez R.

Edición generalClodovaldo Hernández

Textos • Lisbeth Villaparedes

Profesora, mención Matemática, egresada de la Universidad Pedagógica Experimental Libertador - Instituto Pedagógico de Caracas

• Nathalia García M.Licenciada en Educación, mención Matemática y Licenciada en Matemática, Universidad Central de Venezuela

• Daniel G. Hernández N. Licenciado en Educación, mención Matemática, Universidad Central de Venezuela

Edición ejecutivaNathalia García M.

Edición de apoyoEvelyn Perozo de Carpio Daniel G. Hernández N.

Corrección de estiloMariví Coello Dina Selvaggi Esther Ledezma María José Gallucci

Lectura especializadaDurly Padilla

Coordinación de arteMireya Silveira M.

Diseño de unidad gráficaRosi Milgrom

Coordinación de unidad gráficaAlan Ramos Figueroa

Diseño de cubiertaRosi Milgrom

Diseño y diagramación generalMaría Elena Becerra M.

Documentación gráficaAmayra Velón Lisbeth Cabezas

IlustracionesEvelyn TorresWalther Sorg Andrés Hernández

InfografíasWalther Sorg

FotografíasFondo Documental SantillanaErich Sánchez

Retoque y montaje digitalEvelyn TorresAnthonny Rojas

Imagen de la portada: Enlace 6 cconsidera las telecomunicaciones como una área de la tecnología orientada a mejorar la calidad de vida. El celular de Matemática representa uno de los avances tecnológicos, con el cual se transmite a distancia la palabra y toda clase de sonidos.

Mmet a

ática

6

El libro Enlace con Matemática 6 es una obra colectiva concebida, diseñada y elaborada por el Departamento Editorial de Editorial Santillana S.A., bajo la dirección pedagógica y editorial de la profesora Carmen Navarro.

En la realización de esta obra intervino el siguiente equipo de especialistas:

Agradecimientos: A los familiares que dieron su autorizaciónpara que los niños y las niñas participaran como imagen de este libro.

© 2010 by Editorial Santillana, S.A.Editado por Editorial Santillana, S.A.Primera edición: 2010Segunda edición: 2012Reimpresión: 2013Nº de ejemplares: 4 300

Av. Rómulo Gallegos, Edif. Zulia, piso 1. Sector Montecristo, Boleíta. Caracas (1070), Venezuela.Telfs.: 235 3033 / 235 4730 / 235 5878www.santillana.com.ve

Tabla de contenidos

con Matemática 6

Imagen de la portada:Enlace 6 considera las telecomunicaciones como una área de la tecnología orientada a mejorar la calidad de vida. El celular de Matemática representa uno de los avances tecnológicos, con el cual se transmite a distancia la palabra y toda clase de sonidos.

SOLO PÁGINAS SELECCIONADAS PARA MUESTRA

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En esta unidad encontraremos. Esquema gráfico para que aprecies de un vistazo los temas de la unidad y las relaciones entre ellos.

Esquema gráfico para que aprecies

Intercambio de ideas y opiniones. Actividades, juegos y preguntas grupales para iniciar cada unidad de forma interactiva. Las imágenes y los textos plantean retos interesantes para resolver con tu creatividad, tus experiencias y la expresión de tus ideas.

Así pensamos este libro para tiInicio de unidad

Competencias. Descripción de los conocimientos, las habilidades, las actitudes y los valores que desarrollarás al finalizar cada unidad.

Idea para la acción. Actividad grupal para investigar, producir materiales, experimentar, escribir o realizar actividades culturales, en tus proyectos de aprendizaje.

Desarrollo de los temas


Infografías. Temas con una propuesta gráfica diferente y novedosa, que ofrecen información a través de imágenes y textos, para aprender de manera dinámica.


Actividades. Propuestas y ejercicios para afianzar tus conocimientos, enlazarte con otras áreas y trabajar en equipo.

Pensamiento crítico. Actividades que te ayudarán a desarrollar tu capacidad de reflexionar y ofrecer juicios de valor sobre lo visto en el tema.

Información complementaria. Datos, juegos, reflexiones y enlaces con otras áreas o recursos de Internet para complementar la información de cada tema.


Información complementaria.juegos, reflexiones y enlaces con otras áreas juegos, reflexiones y enlaces con otras áreas o recursos de Internet para complementar la

Texto de activación. Situaciones problemáticas para resolver, poner en práctica tus habilidades mentales e introducirte en cada tema.

Contenido. Tema con información actualizada, presentada en textos, esquemas y atractivos recursos gráficos.

Íconos. Imágenes que enlazan los contenidos y las actividades con los recursos del libro digital.

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Así pensamos este libro para ti

Idea para la acción. Desarrollo de la actividad planteada al inicio de cada unidad, con detalle de materiales a utilizar, procedimientos, resultados, conclusiones, datos y reflexiones sobre su utilidad en tu entorno.

Actividades de repaso de unidad. Ejercicios y problemas relacionados con los contenidos vistos en la unidad. Enlace con… Muestra la relación entre

las diversas áreas de las ciencias para destacar sus avances tecnológicos y su utilidad en la vida cotidiana.

Cierre de unidad

Ejercicios y problemas relacionados con los contenidos vistos en la unidad. Enlace con…

las diversas áreas de las ciencias para destacar sus avances tecnológicos y su utilidad en la vida cotidiana.

Resolución de problemas. Nuevas estrategias para resolver problemas, con las cuales podrás desarrollar el pensamiento lógico-matemático.

Páginas de evaluaciónPáginas de evaluación

Actividades de evaluación. Sección ubicada al final de las unidades tres, seis y nueve, que te permite poner a prueba tus conocimientos, aplicarlos a situaciones prácticas, compartir opiniones y valores en grupo, y analizar cómo va el desarrollo de tus competencias y habilidades.

CD con una versión animada del libro y diversos recursos interactivos.

Glosario

ProyectoProyecto MatemáticaGlosario100%RecursosContenidos

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Libro digital

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Operaciones combinadas Las operaciones combinadas son expresiones en las que usamos la

adición, la sustracción, la multiplicación y la división para resolverlas.

Para resolver una operación combinada es necesario identificar si

la operación posee o no signos de agrupación, como paréntesis , corchetes o llaves .

Operaciones combinadas sin signos de agrupaciónPara resolver una operación combinada donde no existen signos de

agrupación, como 23,63254 4321188239243 242,2116,131,

procedemos de la siguiente forma.

1. Resolvemos las multiplicaciones y divisiones, si las hay, de izquierda

a derecha.

23,6 3 254 432 1 188 2 3 9 2 43 242,2 1 16,1 3 1

5 6 004 595,2 1 94 3 9 2 43 242,2 1 16,1

5 6 004 595,2 1 846 2 43 242,2 1 16,1

2. Resolvemos las adiciones y las sustracciones, si las hay, de

izquierda a derecha.

5 6 004 595,2 1 846 2 43 242,2 1 16,1

5 6 005 535,2 2 43 242,2 1 16,1

5 5 962 293 1 16,1

5 5 962 309,1

Operaciones combinadas con signos de agrupación Para resolver una operación combinada con signos de agrupación,

realizamos los siguientes pasos:

1. Resolvemos las operaciones combinadas que se encuentran dentro

de los paréntesis, si los hay, siguiendo las reglas de las operaciones

combinadas sin signos de agrupación.


de los corchetes, si los hay, siguiendo las reglas de las operaciones



de las llaves, si las hay, siguiendo las reglas de las operaciones


4. Resolvemos las operaciones combinadas restantes, si las hay,

siguiendo las reglas de las operaciones combinadas sin signos

de agrupación.

Por ejemplo, resolvamos la siguiente operación combinada con signos

de agrupación:

23,6 1 2 532 1 18 3 2 3 6 2 10,1 2 22,2 2 1 1,1 3 10

U2 Operaciones combinadas

Cuando resolvemos todas las operaciones dentro de un signo de

agrupación, el signo de agrupación correspondiente desaparece.

1. Resolvemos las operaciones dentro del paréntesis.

2. Resolvemos las operaciones dentro del corchete.

3. Resolvemos las operaciones restantes.

23,6 1 2 532 1 18 3 2 3 6 2 10,1 2 22,2 2 1 1,1 3 10

5 23,6 1 2 532 1 18 3 12 2 10,1 2 22,2 2 1 1,1 3 10

5 23,6 1 2 532 1 18 3 1,9 2 22,2 2 1 1,1 3 10

23,6 1 2 532 1 34,2 2 11,1 1 1,1 3 10

5 23,6 1 2 566,2 2 11,1 1 1,1 3 10

5 23,6 1 2 555,1 1 1,1 3 10

23,6 1 2 555,1 1 11

5 2 578,7 1 11

5 2 589,70

Para multiplicar por 101.

Ejercicios

a) 521 3 101

b) 362 3 101

c ) 987 3 101

d) 874 3 101

Cálculo mental

639 3 101

→ 639 3 100 1 639

→ 63 900 1 639

→ 64 539

639 3 101 5 64 539

Esta mañana en el supermercado una señora discutía con la

cajera por la cuenta que tenía que pagar. La señora llevaba

3 paquetes de harina que costaban Bs. 2,5 cada uno;

1 paquete de café de Bs. 2; 5 latas de atún de Bs. 18,5 cada una;

y una mantequilla de Bs. 1,75. La cajera le decía que debía

pagar Bs. 103,75. Sin embargo, a la señora le daba Bs. 270,

¿quién estará equivocada?

TecnomundoEn los supermercados utilizan las cajas registradoras electrónicas para calcular el total de una compra. Estas máquinas poseen un lector de código de barras para identificar el producto a facturar y un lector de tarjeta mecánica para las operaciones con tarjetas de crédito o débito.

Los signos de agrupación indican las operaciones que

hay que resolver primero. Siempre comenzamos por los paréntesis, que son los signos

que están más adentro en la operación.

Botones de acción. Guías para ejecutar todas las funciones del libro digital.

Íconos. Símbolos interactivos para acceder a los recursos digitales.

Enlace con... Información adicional para reforzar los contenidos presentados en el libro.

Multimedia. Recursos interactivos con actividades complementarias.

Links interactivos:Direcciones electrónicas para hacer click y consultar en Internet online (la actualización de estos links no depende del libro digital).

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Competencias e indicadores ......................................... 6

Unidad 1 Sistemas de numeración ............................. 10 Sistemas de numeración .......................... 12

Números naturales y decimales .............. 16

Redondeo y aproximación de números naturales y decimales ................ 20

Números negativos ................................. 24

Actividades de repaso .................. 28

Resolución de problemas ............. 30

Idea para la acción ...................... 31

Unidad 2 Operaciones con números naturales y decimales .................................... 32 Propiedades de operaciones con números

naturales y decimales .............................. 34

Operaciones combinadas ........................ 38

Potenciación ............................................. 42

Raíz cuadrada y raíz cúbica ..................... 46




Unidad 3 Divisibilidad, m.c.m., m.c.d. y fracciones ...................... 54

Criterios de divisibilidad y mínimo común múltiplo ......................... 56

Máximo común divisor ............................ 60

Orden en las fracciones ........................... 64

Adición y sustracción con fracciones ........ 68

Multiplicación con fracciones ................... 72

Fracción inversa y división con fracciones ............................. 76




Actividades de evaluación Unidades 1, 2 y 3 ........................................................ 84

Unidad 4 Ecuaciones de primer grado ............................ 86

Ecuaciones ................................................ 88

Solución de problemas mediante ecuaciones ................................ 92

Actividades de repaso ................... 96

Resolución de problemas .............. 98

Idea para la acción ....................... 99

Unidad 5 Proporcionalidad .......................... 100 Proporcionalidad y regla de tres ................ 102

Porcentaje e interés simple ........................ 106




Unidad 6 Geometría ...................................... 114

Polígonos ................................................. 116

Mediatrices y bisectrices de un triángulo ......................................... 120

Medianas y alturas de un triángulo ......................................... 124

Cuerpos geométricos ............................... 128

Congruencia y simetría ............................ 132




Actividades de evaluación Unidades 4, 5 y 6 ............................................................... 140

Tabla de contenidos

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5

Idea para la acciónUnidad 7 Longitud, área y volumen ............ 142 Longitud de la circunferencia

y área del círculo ....................................... 144

Área de polígonos y de fi guras planas compuestas .................. 148

Volumen de un paralelepípedo ................. 152




Unidad 8 Medición ........................................ 160 Unidades de tiempo ................................. 162

Medidas de superfi cie .............................. 166

Medidas de volumen ............................... 170




Unidad 9 Estadística y probabilidad ........... 178 Organización y análisis de datos ............... 180

Gráfi cos ..................................................... 184

Probabilidad ............................................. 188





Tabla de contenidos

Unidad 1 Una dramatización un poco extraña ....................31

Unidad 2 Menú saludable .................... 53

Unidad 3 Aprendiendo a cocinar ........ 83

Unidad 4 Debatiendo problemas ........ 99

Unidad 5 Papel reciclado ..................... 113

Unidad 6 Comunidad en miniatura ......................139

Unidad 7 Juego de mesa ...................159

Unidad 8 Fichero de animales en extinción .......................... 177

Unidad 9 Investigación estadística ..........................195

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Competencias e indicadores

Reconoce y usa el sistema de numeración decimal como un sistema de numeración posicional y lo diferencia de un sistema de numeración no posicional.

Reconoce el sistema de numeración decimal como un sistema de numeración posicional de base diez.

12-15, 28-29, 84-85

Diferencia un sistema de numeración posicional de uno no posicional. 12-15, 28-29, 84-85

Expresa ejemplos de sistemas de numeración posicionales y no posicionales. 12-15, 28-29, 84-85

Escribe números naturales en los sistemas posicionales de bases 2 y 5. 12-15, 28-29, 84-85

Compara y ordena números escritos en el sistema de numeración decimal. 20-23, 28-29, 84-85

Redondea números escritos en el sistema de numeración decimal. 20-23, 28-29, 84-85

Aproxima números decimales. 20-23, 28-29, 84-85

Compara y ordena fracciones de diferentes denominadores, usando fracciones equivalentes o el mínimo común múltiplo de los denominadores.

64-67, 80-81, 84-85

Establece relaciones entre porcentajes, fracciones decimales, expresiones decimales y representaciones gráfi cas de fracciones.

106-111, 140-141

Inicia el estudio de los números negativos como una necesidad de ampliar los números naturales.

Lee, escribe y usa los números negativos en situaciones cotidianas. 24-29, 84-85

Compara y ordena números naturales y negativos. 24-29, 84-85

Utiliza las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación con números naturales, decimales o fracciones, al seleccionar strategias de cálculo y aplicar las propiedades de la adición, de la multiplicación y de las igualdades.

Utiliza las propiedades conmutativa, asociativa, elemento neutro de la adición y la multiplicación, y la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición, para facilitar la realización de las operaciones con números escritos en el sistema de numeración decimal.

34 - 37, 52 -53

Lee, escribe e interpreta los elementos de una potencia. 42-45

Utiliza la potenciación para expresar un número en forma polinómica, descomponer un número en factores primos y simplifi car la escritura de números terminados en cero.

42-45, 52-55

Compara y ordena potencias. 42-45, 52-55

COMPETENCIA INDICADORES Pág.

¿Competencias? Sí, pero no se trata de una carrera o de un juego. En educación, las competencias son conocimientos, actitudes y habilidades que se unen a los saberes que ya tenemos, para desempeñarnos mejor en nuestra vida.

¿Y los indicadores? Son aspectos de nuestro comportamiento que nos permiten verificar cómo se están desarrollando nuestras capacidades o competencias.

Por ejemplo, para comprobar si tenemos la competencia de comprender y manejar operaciones como la adición, podemos usar el siguiente indicador: calcular mentalmente el costo total de una compra en una tienda o en la cantina del colegio.

Las competencias y los indicadores están en el Programa Oficial de Matemática de 6º grado de Educación Primaria, y aparecen en la siguiente tabla donde se indican las páginas donde hay contenidos relacionados con cada indicador.

Pág.

Por ejemplo, para comprobar si tenemos la competencia de comprender y manejar operaciones como la adición, podemos usar el siguiente indicador: calcular mentalmente el costo total de

Las competencias y los indicadores están en el Programa Oficial de Matemática de 6º grado de Educación Primaria, y aparecen en la siguiente tabla donde se indican las páginas donde

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Utiliza los criterios de divisivilidad por 2, 3 y 5 para descomponer números en factores primos.

56-59, 80-81

Determina el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de dos o tres números naturales.

56-63, 80-81

Realiza operaciones combinadas de adición y sustracción de fracciones con diferente denominador, usando el mínimo común múltiplo de los denominadores.

72-75, 80-81

Selecciona el orden de realización de las operaciones en ejercicios combinados de adición, sustracción, multiplicación y división de fracciones y expresa los resultados en forma de fracción irreducible.

72-81

Identifica los miembros, los términos, la incógnita y la solución de una ecuación. 88-91, 96-97

Traduce ecuaciones en forma oral y, recíprocamente, traduce en ecuaciones situaciones referidas a relaciones entre números naturales.

88-91, 96-97

Resuelve, por tanteo y despejando la incógnita, ecuaciones sencillas en las cuales intervienen números naturales y cuyas soluciones son números naturales.

92-97

Calcula porcentajes mentalmente y por escrito. 106-111

Reconoce, describe y construye figuras planas y cuerpos geométricos, usando los instrumentos de dibujo y materiales disponibles en su entorno.

Diferencia prismas, pirámides y cuerpos redondos. 128-131, 136-137

Elabora plantillas para construir objetos con forma de prismas, pirámides y cuerpos redondos.

128-131, 136-137

Dibuja cuerpos geométricos, utilizando una cierta perspectiva. 128-131, 136-137

Traza mediatrices, medianas y alturas a los lados de un triángulo. 120-127, 136-137

Traza bisectrices de los ángulos internos de un triángulo. 120-123, 136-137

Determina los puntos de corte de mediatrices, medianas, alturas y bisectrices de un triángulo y expresa sus relaciones con los lados o vértices del triángulo.

120-127, 136-137

Traza la circunferencia inscrita y la circunferencia circunscrita a un triángulo. 120-127, 136-137

Traza la circunferencia inscrita a un polígono regular. 120-127, 136-137

Construye polígonos congruentes, usando congruencia de segmentos y ángulos. 116-119, 132-137

Traza ejes de simetría en figuras geométricas planas. 132-137

Traza figuras simétricas respecto a un eje de simetría 132-137

Calcula longitudes, áreas y volúmenes de figuras planas y cuerpos geométricos, y establece relaciones entre las unidades de medida.

Usa la fórmula para calcular la longitud de una circunferencia. 144-147, 156-157

Identifica, lee y escribe los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado. 166-169, 174-175

Establece equivalencias entre las medidas de superficie. 166-169, 174-175

Elige la unidad adecuada según la superficie a medir. 166-169, 174-175

Calcula el área de círculos. 148-151, 156-157

Calcula y estima el área de figuras planas mediante la descomposición en otras figuras.

148-151, 156-157

Determina el lado de un cuadrado si conoce su área, cuando ésta es un cuadrado perfecto.

148-151, 156-157

Reconoce el cubo de lado un centímetro como la unidad de medida de volumen equivalente a un centímetro cúbico, y el cubo de lado un metro como la unidad de medida de volumen equivalente a un metro cúbico.

170-175

Identifica los submúltiplos de un metro cúbico. 170-175

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Establece equivalencias entre el metro cúbico y sus submúltiplos. 170-175

Calcula el volumen de cubos y parelelepípedos. 152-157

Determina el lado de un cubo si conoce su volumen, cuando éste es el cubo de un número natural.

152-157

Analiza y toma decisiones sobre situaciones sociales, sanitarias y ambientales al elaborar e interpretar tablas y gráficos, y determinar medidas de tendencia central.

Usa tablas de frecuencia para recolectar, organizar y analizar datos sobre objetos, fenómenos y situaciones escolares, familiares y sociales.

180-183, 192-193

Elabora gráficos, usando tablas de frecuencia, y selecciona entre diagramas de barras, de líneas, de sectores circulares o histogramas, el más adecuado.

184-187, 192-193

Interpreta tablas y gráficos con datos referidos a situaciones ambientales, sociales, sanitarias, deportivas, económicas, etc.

180-183, 192-193

Calcula e interpreta la media aritmética y la mediana de un conjunto de datos no agrupados, o agrupados en tablas de frecuencias.

180-183, 192-193

Reconoce sucesos seguros, imposibles, probables, muy probables o poco probables.

188-193

Determina la probabilidad de un suceso. 188-193

Resuelve problemas cualitativos y cuantitativos del contexto escolar, familiar y social, utilizando diversos tipos de razonamiento, seleccionando entre diversas estrategias de solución y aplicando los contenidos referidos a números, operaciones, medidas, geometría, estadística y probabilidad.

Resuelve problemas que requieren el uso del valor posicional de números escritos en el sistema de numeración decimal.

28-29, 84-85

Resuelve problemas acerca de magnitudes que requieran el uso de números negativos.

27-29, 84-85

Resuelve y elabora problemas en los cuales se utilicen las operaciones aritméticas con números escritos en el sistema de numeración decimal.

50-51, 80-81, 84-85

Resuelve problemas en los cuales se utilice el mínimo común múltiplo de dos o más números naturales.

50-51, 80-81, 84-85

Resuelve y elabora problemas en los cuales se utilice la adición, sustracción, multiplicación y división de fracciones.

30, 50-52, 80-82, 84-85, 98, 112, 138, 140-141, 158, 176,

194, 196 - 197

Lee e interpreta los enunciados de los problemas.

Identifica la información de que dispone y de lo que se quiere encontrar.

Selecciona y simboliza las operaciones.

Selecciona las estrategias de cálculo más adecuadas: algoritmo, cálculo mental, tanteo y estimaciones.

Expresa en forma oral y escrita los resultados obtenidos.

Interpreta en función del contexto, considerando la razonabilidad de los resultados y revisando el proceso en caso necesario.

Resuelve problemas en donde se usen ecuaciones sencillas, en las cuales intervienen números naturales y cuyas soluciones son números naturales.

98-99, 140-141

Resuelve problemas en donde se usen reglas de tres o tablas de proporcionalidad. 110-111, 140-141

Resuelve problemas de porcentajes y de interés simple en situaciones cotidianas y comerciales.

110-111, 140-141

Resuelve y elabora problemas donde se usen datos relacionados con mediatrices, bisectrices, medianas y alturas de un triángulo.

136-137, 140-141

9

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Resuelve problemas sobre trazado de cuadriláteros donde se usen las relaciones entre lados, ángulos y diagonales.

136-137, 140-141

Resuelve problemas de adiciones y sustracciones con unidades del sistema sexagesimal de tiempo.

162-165, 176-177, 196-197

Resuelve y elabora problemas en los cuales se use el área de un círculo. 156-157, 196-197

Resuelve problemas en los cuales se use el volumen de cubos y paralelepípedos. 156-157, 196-197

Elabora y resuelve problemas sencillos de conteo. 192-193, 196-197

Reconoce la utilidad del aprendizaje de la matemática.

Reconoce la necesidad de usar números diferentes a los números naturales. 24-27

Reconoce la importancia del dominio de las operaciones matemáticas como herramienta que facilita la solución de problemas cotidianos y escolares.

Todas

Aprecia las interrelaciones que se dan entre la matemática y el mundo real. Todas

Reconoce el papel de los números en el entorno familiar, escolar, social y cultural. Todas

Disfruta la comparación del valor de una estimación con el cálculo exacto de los resultados de una operación.

Todas

Aprecia la simetría en el mundo del arte, en la naturaleza y en la construcción. 132-135

Muestra interés en el uso de los gráficos para realizar razonamientos y comunicar información.

184-187

Utiliza el lenguaje matemático para expresar situaciones de la vida diaria. Todas

Reconoce la importancia de las mediciones en la vida diaria. Todas

Reconoce el sistema métrico decimal como elemento que permite la comunicación entre personas de diferentes países.

Todas

Reconoce la utilidad de las técnicas estadísticas para interpretar y tomar decisiones sobre situaciones ambientales y sociales.

180-187

Se interesa por los elementos geométricos para comprender el espacio y sus formas.

Todas

Reconoce el trabajo individual y en equipo como fuente de avance personal y social.

Reconoce sus potencialidades en el trabajo individual y grupal. Todas

Reconoce la necesidad de actuar con honestidad y respeto en intercambios. Todas

Manifiesta seguridad y decisión en situaciones problemáticas. Todas

Manifiesta creatividad en la búsqueda de soluciones en diferentes situaciones. Todas

Se interesa por la precisión en la comunicación de sus ideas. Todas

Reconoce la importancia de aceptar las normas de participación en diferentes actividades.

Todas

Aprecia la calidad en sus trabajos y su presentación en forma ordenada y clara. Todas

Reconoce la necesidad de planificar el tiempo. Todas

Muestra interés en la toma de decisiones que involucren su entorno familiar, escolar o comunitario, basadas en el análisis de informaciones referidas a situaciones sociales y ambientales.

Todas

Reconoce sus potencialidades al realizar trabajos en equipo. Todas

Reconoce la importancia de la comunicación y el razonamiento al participar en trabajos de equipo.

Todas

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, S.A

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U1 Sistemas de numeración

Todo muy confuso> ¿Qué pasaría si no existieran los números?

> ¿Podríamos decir a qué tipo de número se refiere cada situación?

> ¿Cómo haríamos esas expresiones más simples?

> ¿Cuándo fue la última vez que fuiste al médico y midieron tu estatura?, ¿recuerdas cuánto medías?

> ¿Has visto alguna vez un reloj con números romanos?, ¿sabes cómo se lee la hora en números romanos?

> ¿Has visto en algún ascensor que los números del sótano tienen un signo menos (2)? Por ejemplo 23.

NIVEL POR ENCIMADEL NIVEL SUPERIOR

NIVEL POR DEBAJODEL NIVEL INFERIOR

NIVEL INFERIOR

NIVEL NORMAL

NIVEL SUPERIOR

Doctor, ¿soy más alto que la vara?

Mami, ¿qué hora es?

Mira el reloj, son las diez.

No, eres del tamaño de la vara más todos

los dedos de mi mano.

Doctor, ¿soy más alto que la vara?

¿Sabes para qué existen los números?

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Una dramatización un poco extraña

En la mayor parte de las conversaciones cotidianas, utilizamos cifras numéricas: para decir la hora, para numerar cantidades de personas u objetos, para hablar acerca de la estatura, el peso, los números telefónicos, las edades, entre otros casos.

Al final de esta unidad, realizaremos una dramatización de una situación cotidiana en la cual se requiere la utilización de números. Pero lo haremos imaginándonos quelos números no existen.

CompetenciasUsaremos el sistema de numeración decimal, lo reconoceremos como un sistema posicional y lo diferenciaremos de uno no posicional.

naturales negativosdecimales

se utiliza en números

En esta unidad encontraremos

Sistemas de numeración

decimalbinarioquinario

como

romano

posicionales no posicionales

como el

pueden ser

NIVEL POR ENCIMADEL NIVEL SUPERIOR

NIVEL POR DEBAJODEL NIVEL INFERIOR

NIVEL INFERIOR

NIVEL NORMAL

NIVEL SUPERIOR


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, S.A

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Ayer estaba con mi mamá en la plaza esperando que viniera mi papá

a buscarnos para ir a pasear. Cuando le pregunté a mi mamá la hora

en la que llegaría mi papá, me respondió que a las 5 de la tarde. Miré

hacia el reloj de la iglesia y vi que la aguja pequeña estaba en la

letra V y no pude saber cuánto tiempo faltaba para la llegada de

papá. ¿Qué significa la letra V en ese reloj? ¿Qué sistema de

numeración es ese?

Los sistemas de numeración Son conjuntos de símbolos que utilizamos para representar cantidades

según ciertas reglas. Los sistemas de numeración se clasifican en:

• Posicionales. Son sistemas en los que las cifras que forman el

número varían según la posición en la que se encuentren.

• No posicionales. Son los sistemas en los que las cifras que forman

el número tienen un valor propio, sin importar la posición en la que

se encuentren.

El sistema de numeración decimal Es un sistema posicional en el que utilizamos 10 dígitos: 0; 1; 2; 3; 4; 5;

6; 7; 8 y 9. Debido a esto, decimos que el sistema decimal es de base

diez. Por ejemplo, el número 555 también se escribe como 55510.

Los dígitos de cada número tienen dos valores: uno propio y otro de

acuerdo con el lugar que ocupan dentro del número.

El sistema de numeración romanoEl sistema de numeración romano es un sistema no posicional. En este

sistema se utilizan letras, cada una con un valor:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1 000

ZoomEn el sistema de numeración decimal, en el número 555 cada dígito 5 representa un valor distinto:

5 5 5

El 5 en esta posición representa 5 unidades.

El 5 en esta posición representa 5 decenas, o sea, 50 unidades.

El 5 en esta posición representa 5 centenas, es decir, 500 unidades.

Estas letras mantienen siempre el mismo valor, independientemente

de la posición que ocupen, siempre y cuando no se repitan más

de tres veces.

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U1 Sistemas de numeraciónReglas del sistema de numeración romano Para expresar números romanos en números naturales, o viceversa, existen reglas

que tenemos que considerar. Las principales reglas son:

Conversión de números romanos a números naturales Para saber a qué cantidad corresponde un número romano, usamos las reglas del sistema

de numeración romano. Por ejemplo, para conocer la cantidad que representa el número DLIX,

hacemos lo siguiente:

Conversión de números naturales a números romanos Para convertir una cantidad en números romanos, utilizamos las reglas del sistema de numeración

romano. Observemos los pasos para expresar 248 en números romanos:

1. Determinamos los

valores de las letras.

D 5 500; L 5 50;

I 5 1 y X 5 10

1. Descomponemos el

número natural en una

suma de números.

248 5 200 1 40 1 8

2. Si a la izquierda de

una letra hay otra

de menor valor,

aplicamos la regla

de la sustracción.

IX 5 10 2 1 5 9

2. Buscamos las letras que representan

cada valor y aplicamos la regla

correspondiente.

200 5 CC (regla de la repetición)

40 5 XL (regla de la sustracción)

8 5 VIII (regla de la adición)

3. Aplicamos la regla

de la adición al resto

de las letras.

DLIX 5 500 1 50 1 9

5 559

3. Sustituimos las letras en

el lugar correspondiente:

4. Como el número

romano tiene una

barra, aplicamos

la regla de la

multiplicación.

DLIX 5 559 3 1 000

5 559 000

Finalmente, 248 expresado en números romanos es CCXLVIII.

248 5 CCXLVI I I

Regla de la adición. Una letra a la derecha de otra de mayor valor significa que debemos hallar la suma del valor que le corresponde a cada letra.

Regla de la repetición. Las letras I, X, C y M las podemos repetir un máximo de 3 veces seguidas. Las letras V, L y D no podemos repetirlas.

Regla de la multiplicación. Una barra sobre una o varias letras significa que debemos multiplicar su valor correspondiente por 1 000.

Regla de la sustracción. Una letra a la izquierda de otra de mayor valor significa que debemos hallar la diferencia del valor de cada letra.

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U1

Otros sistemas de numeración Entre los sistemas posicionales también tenemos los siguientes:

• Sistema de numeración binario. Es un sistema posicional de base dos, es decir,

que sólo usa dos dígitos: 0 y 1. El número 10010101111012 es un número expresado

en el sistema binario.

• Sistema de numeración quinario. Es un sistema posicional de base cinco, es decir,

que usa cinco dígitos: 0; 1; 2; 3 y 4. El número 301245 es un número expresado en

el sistema quinario.

Conversión de un número del sistema decimal al binario o al quinarioPara convertir un número del sistema decimal al sistema binario o quinario, como el 9,

realizamos los siguientes pasos:

Conversión de un número del sistema binario o quinario al sistema decimalPara convertir un número binario o quinario al sistema decimal, calculamos tantas potencias de 2 o de 5

como cifras tiene el número. Por ejemplo, para expresar 1102 en el sistema decimal, lo hacemos así:

1. Calculamos las potencias

del 2, según la cantidad de

cifras que tiene el número a

transformar, y las escribimos

en orden decreciente.

22 5 4 21 5 2 20 5 1

3. Sumamos los productos

obtenidos.

4 1 2 1 0 5 6

1102 5 610

2. Multiplicamos cada resultado por

la cifra correspondiente en el

número a transformar.

22 5 4 21 5 2 20 5 1

4 3 1 5 4 2 3 1 5 2 1 3 0 5 0

Binario Quinario

9 2 9 51 4 2 4 1

0 2 20 1

2. Escribimos el último cociente y todos

los restos, leyéndolo de derecha a

izquierda y de abajo hacia arriba.

Binario Quinario

9 2 9 51 4 2 4 1

0 2 20 1

1. Colocamos el número que se va a

transformar como dividendo, el 2 o el 5

como divisor, y dividimos hasta que el

cociente sea menor que el divisor.

9 5 10012 9 5 145

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U1

1. Identifico el sistema en el que está escrito cada número. Luego, indico si es un sistema

posicional o no posicional.

a) 100011110 b) 2 314 c ) 42305 d) DXXXV e) 1111112 f) M

2. Expreso las siguientes cantidades en números romanos.

a) 3 120 b) 33 c ) 499 d) 210 e) 124

3. Convierto los números romanos al sistema decimal.

a) MDLXXXII b) CCCIV c ) CXIX d) LVI e) LXIV f) MMM

4. Convierto los números al sistema binario.

a) 34 b) 150 c ) 16 d) 55 e) 430 f) 221

5. Convierto los siguientes números al sistema de numeración quinario.

a) 729 b) 1 530 c ) 219 d) 56 e) 115 f) 400

6. Convierto los números al sistema de numeración decimal.

a) 11000112 b) 4325 c ) 10010012 d) 1111112 e) 1115 f) 2105

7. Escribo el número correspondiente en el crucigrama y descubro el año en que la Universidad

Central de Venezuela fue declarada Patrimonio Cultural de la Humanidad.

a) 40 781 en el sistema quinario.

b) 551 en el sistema binario.

c) 104340015 en el sistema decimal.

d) 11111100112 en el sistema decimal.

Pensamiento críticoRespondo a partir de la imagen.

En los algoritmos se utilizan las palabras Sí o No para saber

si determinada acción fue ejecutada y así continuar con el

programa. Estas palabras están relacionadas con

el sistema binario, que se otorga el número 1 a la palabra Sí

y el 0 a la palabra No.

a) ¿Qué representa el número 11100 en el algoritmo?

b) Un estudiante que haya completado los primeros cuatro

pasos pero que aún no se haya ido a la escuela,

¿qué número representa?

Actividades para realizar en el cuaderno

Ida a la escuela

¿Se levantó? LevantarseNo

Sí

Sí

Sí

Sí

No

No

No

No

Desayunarse

Vestirse

¿Se cepilló los dientes?

¿Se fue a la escuela?

¿Se desayunó?

¿Se vistió?

Cepillarse los dientes

Irse a la escuela

a)b)

c )d)

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U1 Números naturales y decimales

Valor posicional de números naturales y decimales El valor posicional de un dígito en un número natural o decimal es

el valor que toma una cifra de acuerdo con la posición que ocupa

en un número.

En el sistema de numeración decimal utilizamos diez dígitos: 0; 1; 2; 3;

4; 5; 6; 7; 8 y 9. Estos dígitos toman un valor diferente dependiendo del

lugar que ocupen en el número. Por ejemplo, el dígito 1 en el número

510 101 000 000 tiene tres valores diferentes:

Esta tabla se denomina “cartel de valores” y podemos utilizarla para

leer números. Para ello, leemos cada tres dígitos de las clases de

izquierda a derecha y los nombramos con su correspondiente clase.

Por ejemplo, leamos el número representado en la tabla:

Este número se lee: cuarenta y cinco billones, doscientos veintiún

millardos, ciento nueve millones, un mil trescientos veintisiete unidades

con dieciséis centésimas.

En la clase de Ciencias estábamos estudiando los planetas y la profesora

nos dijo que la Tierra tiene una superficie de quinientos diez millardos ciento

un millones de metros cuadrados. Intenté escribirlo en mi cuaderno y no

supe cómo hacerlo. ¿Cómo se escribe un número tan grande?

1 centena de millón5 100 000 000 unidades

1 unidad de millón 5 1 000 000 unidades

Billones Millardos Millones Miles Unidades Decimales

C D U C D U C D U C D U C D U d c m

5 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

Billones Millardos Millones Miles Unidades Decimales

C D U C D U C D U C D U C D U d c m

4 5 2 2 1 1 0 9 0 0 1 3 2 7 1 6

Clas

eO

rden

Para sumar dos números de dos cifras.

Ejercicios

a) 15 1 89

b) 25 1 73

c ) 88 1 22

d) 59 1 14

351435301401513 5 70 1 8 5 78

Cálculo mental

1 decena de millardo 5 10 000 000 000 unidades

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Descomposición de números naturales y decimales en forma aditiva Los números naturales y decimales se pueden descomponer en forma

aditiva, es decir, en forma de sumandos.

Para descomponer un número natural o decimal en forma aditiva,

escribimos el valor posicional de cada cifra. La descomposición aditiva

del número 110 232 420,34 es:

U1 Números naturales y decimales

Finalmente, el número queda descompuesto en forma aditiva como:

100 000 000110 000 0001200 000130 00012 000140012010,310,04

Observemos que para descomponer un número no tomamos en

cuenta aquellos dígitos que son cero (0).

Para componer el número nuevamente sumamos todos los valores

posicionales de sus cifras. Podemos completar con ceros las cifras

decimales de los números a sumar, de modo que todos tengan igual

cantidad de cifras decimales.

La expresión 30 1 1 1 0,7 1 0,05 compone al número 31,75. Para

hacer la composición, sumamos todos los términos de la expresión.

1 centena de millón 5 100 000 000

1 decena de millón 5 10 000 000

2 centenas de mil 5 200 000

3 decenas de mil 5 30 000

2 unidades de mil 5 2 000

4 centenas 5 400

2 decenas 5 20

3 décimas 5 0,3

4 centésimas 5 0,04

1 1 0 2 3 2 4 2 0 , 3 4

Sabías que…Cuando se inventaron los números decimales, tuvieron que pasar dos siglos para que las personas se adaptaran a su uso.La idea de los números decimales fue publicada por primera vez por el físico e ingeniero belga Simón Stevin (1548-1630).

3 0, 0 01, 0 00, 7 0

1 0, 0 53 1, 7 5

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U1


1. Escribo cómo se leen los siguientes números.

a) 111 234 567 980 f ) 12 345 001

b) 345 783 562 120 005 g) 10 000 000 000 000

c ) 240 000 000 034,15 h) 3 235 986,43

d) 15 450 053,124 i ) 90 999 999 999,122

e) 1 235 347 057 000,2 j ) 12 274 460 023

2. Descompongo en forma aditiva los números que me dan a continuación.

a) 123 709 430 f ) 98 345 678 333

b) 15 346,34 g) 13 000

c) 10 005 234 450 h) 2 000 001,3

d) 3 456 878,109 i ) 187 888

e) 437,12 j ) 4 444 444 444,444

Descomposición de números naturales en forma polinómica Los números naturales y decimales se pueden descomponer en forma polinómica, es decir,

en sumandos formados por el producto de dos números.

Para descomponer un número natural, como 126 430, en forma polinómica hacemos

lo siguiente:

1. Descomponemos el número en forma aditiva.

126 430 5 100 000 1 20 000 1 6 000 1 400 1 30

2. Convertimos cada sumando en una multiplicación de un número por la unidad

seguida de ceros de acuerdo con la posición del número.

126 430 5 1 3 100 000 1 2 3 10 000 1 6 3 1 000 1 4 3 100 1 3 3 10

Podemos aplicar este método en una situación práctica: en un abasto tienen una balanza para

pesar las verduras, pero sólo tiene pesas de 1 000 g, 100 g, 10 g y 1 g. Si una señora quiere llevarse

3 252 g de apio, ¿cuántas pesas de cada tipo se necesitan para pesar esa cantidad de apio?

Para saber cuántas pesas se necesitan, descomponemos el número en forma polinómica:

3 252 5 3 000 1 200 1 50 1 2

5 3 3 1 000 1 2 3 100 1 5 3 10 1 2 3 1

Los números resaltados equivalen a la cantidad de cada tipo de pesas que se necesitan.

Por lo tanto, se necesitan 3 pesas de 1 000 g, 2 pesas de 100 g, 5 de 10 g y 2 de 1 g.

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U1

Debido al movimiento de traslación de la Tierra, la distancia

entre ésta y el Sol varía en el transcurso de un año. Los

primeros días de enero, la Tierra se encuentra más cerca del

Sol y se dice que pasa por el perihelio. A principios de julio,

la Tierra se ubica más lejos del Sol y se dice que está en afelio.

La distancia Tierra-Sol en el perihelio es de 142 700 000 000 m

y en el afelio es de 151 800 000 000 m.

a) ¿Qué diferencia hay entre las distancias que separan

la Tierra del Sol en el perihelio y en el afelio?

b) ¿A qué clase corresponden las distancias de cada periodo?


5. Resuelvo los problemas.

a) Lorena tiene un trozo de tela de 10,08 m. Ella desea cortarla en partes de

84 cm, pero sólo dispone de varas para medirla. Los tamaños de las varas

que tiene son de 10 mm y 100 mm. ¿En cuántas partes queda dividida la tela?

¿Cuántas veces tiene que usar cada vara para medir los trozos de tela?

b) José está comprando cierta cantidad de papas y para saber el peso utiliza una balanza

y 2 pesas de 1 000 g, 3 pesas de 100 g y 4 pesas de 1 g. ¿Cuántos kilogramos de papa

está comprando José?

3. Decompongo en forma polinómica los siguientes números.

a) 23 475 867 f ) 450 048 383 222

b) 111 574 835 g) 10 000 000

c ) 7 895 664 222 000 h) 380 827 048

d) 257 012 i ) 8 920 003

e) 12 002456 j ) 820 938

4. Utilizo los números 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 y respondo.

a) ¿Cuál es el mayor número decimal que podemos formar del orden de los millones

sin repetir ningún dígito?

b) ¿Cuál es el menor número natural que podemos formar del orden de los millones

sin repetir ningún dígito?

Leo el planteamiento y respondo.

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Ayer estaba revisando en Internet el orden en que habían quedado

los 15 países que participaron en los IX Juegos Suramericanos 2010,

celebrados en Medellín, y me alegré mucho al saber que Venezuela

había quedado en tercer lugar, con 89 medallas de oro. ¿Qué posición

ocuparon Colombia y Brasil, si cada uno tuvo 144 y 133 medallas de oro,

respectivamente?

Comparación y orden de los números decimales Los números decimales se ordenan usando las relaciones “menor que” (,), “mayor que” (.) o “igual a” (5). Para comparar y ordenar dos o

más números decimales, por ejemplo, los números 27,3; 25,4 y 25,7;

de menor a mayor, realizamos los siguientes pasos:

U1 Redondeo y aproximación de números naturales y decimales

Comparemos los números 2; 3,5 y 1,6 utilizando la recta numérica:

Como 1,6 está a la derecha de 2 y, a su vez, 2 está a la derecha

de 3,5; entonces podemos decir que 1,6 , 2 , 3,5.

Orden de los números en la recta numérica En la recta numérica podemos ordenar tanto números naturales como

números decimales. Para ello, aplicamos los siguientes criterios:

1. Comparamos las partes enteras de los

tres números y los ordenamos según

el criterio establecido.

2. Comparamos las partes decimales de los

números que tienen la misma parte entera y

los ordenamos, según el criterio establecido.

Finalmente, 25,4 , 25,7 , 27,3.

0 1 2 3 41,6 3,5

RecuerdaCuando utilizamos los signos “mayor que” (.) y “menor que” (,) colocamos los números mayores del lado de la abertura del signo, y los menores en la parte cerrada. Por ejemplo, 5 . 2 o 2 , 5.

25 5 25 , 27

25,4 , 25,7

Un número es menor que otro si está a su izquierda en la recta numérica.

Un número es mayor que otro si está a su derecha en la recta numérica.

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Números decimales equivalentesDos números decimales son equivalentes, si tienen la misma parte

entera y si la parte decimal tiene los mismos dígitos.

Veamos si los números 235 450,730 y 235 450,73 son equivalentes.

U1 Redondeo y aproximación de números naturales y decimales

Redondeo de números naturales y decimalesRedondear un número natural o decimal es llevarlo al número natural

más cercano terminado en cero.

Si queremos redondear el número natural 3 456 231 a las unidades de

mil, seguimos estos pasos:

1. Comparamos las partes enteras

de los números; si son iguales,

seguimos adelante con el paso 2.

2. Comparamos los dígitos

decimales antes de los

ceros que pueda haber; si son

iguales, entonces los números

son equivalentes.

1. Ubicamos los números

que se encuentran a

partir del orden señalado,

incluyéndolo.

2. Redondeamos esos números

al natural más cercano en la

recta numérica, cuyas cifras

sean ceros, excepto la del

orden señalado.

235 450,730 y 235 450,73

235 450 5 235 450

235 450,730 y 235 450,73

73 5 73

Finalmente, los números 235 450,730 y 235 450,73 son equivalentes.

Entonces, 3 456 231 redondeado la unidad de mil es 3 456 000.

De la misma forma, redondeamos los números decimales. Por

ejemplo, el número 27,18 redondeado a las decenas es 30.

6 231 está más cerca de 6 000.

6 000 6 231 7 000

3 456 231 Unidad de mil

Números a partir del orden señalado

Para multiplicar números de tres cifras por 11.

Ejercicios

a) 362 3 11

b) 405 3 11

c ) 533 3 11

d) 721 3 11

Cálculo mental

635 3 11

→ 6 5

→ 6 6 1 3 3 3 1 5 5

→ 6 9 8 5

635 3 11 5 6 985

rápido¿Si redondeamos 12 850,633 a la centena obtenemos un número mayor que si lo redondeamos a la unidad de mil?

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U1

Aproximación de números decimales Aproximar un número decimal es llevarlo a la décima, centésima,

milésima, u otra unidad más cercana.

Para aproximar el número 21 378,189 a las décimas, realizamos

los pasos:

1. Ordeno los números de mayor a menor.

a) 235,4; 230; 233,5; 235,8; 236,2; 236,3; 233,9

b) 10; 11; 11,15; 11,26; 10,37; 10,5; 12

c) 12450,32; 12450,35; 12450,27; 12451,10; 12451

d) 2,7; 3,5; 3,7; 2,5; 3,9; 2,2

e) 6 320,3; 6 320,6; 6 322; 6 322,5; 6 321; 6 321,73

2. Represento los números en la recta numérica y los ordeno de menor a mayor.

a) 10,2; 10,5; 10; 11,6; 9,7; 11,5; 9,3 c ) 6,1; 6; 9; 9,6; 6,7; 9,3; 8,2; 7

b) 1,35; 1,43; 1,29; 1,88; 2; 1 d) 25,6; 25,7; 25, 26, 26,8; 26,3; 25,2

3. Indico si los pares de números son equivalentes.

a) 24678,178 y 24678,178000 c ) 40001,678 y 40000,678 e) 19,320 y 19,32

b) 32111,500 y 32111,5 d) 647,34 y 647,304 f ) 39,834 y 39,804

1. Ubicamos los números

decimales que se encuentran

a partir del orden señalado,

incluyéndolo.

2. Redondeamos esos números

al natural más cercano en la

recta numérica, cuyas cifras

sean ceros, excepto la del

orden señalado.

Existen números que tienen muchos decimales

y es mejor aproximarlos para operar con ellos con mayor facilidad.

100 189 200

21 378,189 Décimas

189 está más cerca de 200

Números a partir del orden señalado

Por lo tanto, 21 378,200 es la aproximación a la décima más cercana

de 21 378,189.

23

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, S.A

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U1


El león y el leopardo son grandes felinos que se encuentran en

África. Ambos dependen de su velocidad para cazar su alimento.

El león corre a una velocidad de 70 000 m/h, mientras que el

leopardo lo hace a 180 km/h. Aunque sólo dure unos segundos,

el leopardo alcanza una velocidad superior a la de un carro

cuando se va de paseo.

a) ¿Cuál de los dos felinos corre más rápido?, ¿por qué?

b) Si la máxima velocidad registrada por un ser humano es de

48 000 m/h, ¿un leopardo puede alcanzar a un ser humano

en su carrera?


4. Suprimo ceros para obtener decimales equivalentes a los decimales dados.

a) 45 239,400 c ) 10,250 e) 15 000,100

b) 3 129,030 d) 32,880 f ) 30 592 019,280

5. Agrego ceros para obtener decimales equivalentes a los decimales dados.

a) 42 390,87 c ) 122430,50 e) 93 402 242,409

b) 340,567 d) 24 300 309,1 f ) 1,120

6. Redondeo los siguientes números al orden indicado.

a) 98 097,25 (decena) d) 405 234 (centena)

b) 129 038,3 (unidad de mil) e) 10,234 (unidad)

c ) 357 223 234 (centena de millón) f ) 35 406,146 (decena de mil)

7. Aproximo al orden señalado los números indicados:

a) 32 235,345 (décima) g) 3,305 30 (milésima)

b) 16,356 (centésima) h) 3,305 30 (décima)

c ) 360 456,109 32 (milésima) i ) 32 235,345 (centésima)

d) 1,304 4 (centésima) j ) 16,356 (décima)

e) 56 257 354,345 (décima) k) 360 456,109 32 (centésima)

f ) 56 257 354,345 (centésima) l ) 1,304 4 (milésima)

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U1 Números negativos

Los números negativos son todos los números menores que el cero (0).Estos números se expresan con el signo menos () a su izquierda.

Los números negativos aparecen en muchas situaciones de nuestra vida diaria.Por ejemplo, las temperaturas bajo cero, los metros bajo el nivel del mary las pérdidas de dinero son los usos más comunes.

Para leer un número negativo pronunciamos primeroel signo “menos” y luego el número. Por ejemplo, para leerel número 10, leemos: menos diez.

Para escribir el número “menos veinticinco”,escribimos: 25.

Para representar un conjunto de números negativos en la recta numéricalos colocamos a la izquierda del cero, de derecha a izquierda, comenzandopor el número 1. Así, queda la recta numérica con los números negativosdel lado izquierdo y los positivos del lado derecho.

Ubicación de números negativos en la recta numérica

Si queremos ubicar un número en la recta numérica contamos las unidadesque hagan falta hasta llegar al número. Por ejemplo, para el número 9,contamos 9 casillas a la izquierda del cero partiendo desde cero.

Orden de los números negativos y naturales

Para ordenar en forma creciente los siguientes números:0; 7; 10; 2; 6; 1. Para ello hacemos lo siguiente:

Ordenamos los números negativos, ya que todos ellos son menoresque el cero y que los positivos.

Todos los números negativos son menoresque el cero.

Para ordenar un conjunto de números que contenga, tanto númerosnegativos como naturales, seguimos los siguientes criterios:

Entre dos números negativos, el menor es el mayor en la escala de números positivos.

Todos los números negativos son menoresque cualquier número positivo.

0 11 22 33 44 55

12345678910

1 02345678910

0 1 212

9

8 < 0

10 < 3

5 < 4, ya que 5 > 4

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ordenamos los números positivos.

Ubicamos el cero.

1

2

3

0 11 22 33 44 5 65678910

3 500 m

0 m

-40 m

100 m

40 m

HACIA LAS FOSASMARIANAS

11 012 m

100 m


11 012 m

2 000 m

Brrrrr...!¡Qué frío!

La temperatura debe estar en 10° C

¡Qué clima tanfresco se siente

aquí!No debe pasar

de 15° C

¡Qué calooor! Seguro que

la temperatura anda por

los 30° C

10 7 1

10 7 1 0

10 7 1 0 2 6

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U1 Números negativos

Los números negativos son todos los números menores que el cero (0).Estos números se expresan con el signo menos () a su izquierda.

Los números negativos aparecen en muchas situaciones de nuestra vida diaria.Por ejemplo, las temperaturas bajo cero, los metros bajo el nivel del mary las pérdidas de dinero son los usos más comunes.

Para leer un número negativo pronunciamos primeroel signo “menos” y luego el número. Por ejemplo, para leerel número 10, leemos: menos diez.

Para escribir el número “menos veinticinco”,escribimos: 25.

Para representar un conjunto de números negativos en la recta numéricalos colocamos a la izquierda del cero, de derecha a izquierda, comenzandopor el número 1. Así, queda la recta numérica con los números negativosdel lado izquierdo y los positivos del lado derecho.

Ubicación de números negativos en la recta numérica

Si queremos ubicar un número en la recta numérica contamos las unidadesque hagan falta hasta llegar al número. Por ejemplo, para el número 9,contamos 9 casillas a la izquierda del cero partiendo desde cero.

Orden de los números negativos y naturales

Para ordenar en forma creciente los siguientes números:0; 7; 10; 2; 6; 1. Para ello hacemos lo siguiente:

Ordenamos los números negativos, ya que todos ellos son menoresque el cero y que los positivos.

Todos los números negativos son menoresque el cero.

Para ordenar un conjunto de números que contenga, tanto númerosnegativos como naturales, seguimos los siguientes criterios:

Entre dos números negativos, el menor es el mayor en la escala de números positivos.

Todos los números negativos son menoresque cualquier número positivo.

0 11 22 33 44 55

12345678910

1 02345678910

0 1 212

9

8 < 0

10 < 3

5 < 4, ya que 5 > 4

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ordenamos los números positivos.

Ubicamos el cero.

1

2

3

0 11 22 33 44 5 65678910

3 500 m

0 m

-40 m

100 m

40 m


11 012 m

-40 m

2 000 m

Brrrrr...!¡Qué frío!

La temperatura debe estar en 10° C

¡Qué clima tanfresco se siente

aquí!No debe pasar

de 15° C

¡Qué calooor! Seguro que

la temperatura anda por

los 30° C

10 7 1

10 7 1 0

10 7 1 0 2 6

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Orden de los números negativos y naturales en la recta numérica Podemos utilizar la recta numérica para ordenar un conjunto de números negativos

y naturales. Por ejemplo, para ordenar los números 10; 22; 21; 5; 28; 3 y 0, hacemos

lo siguiente:

1. Ubicamos los números en la recta numérica.

1. Escribo la forma en que se lee cada número.

a) 23 c ) 212 246 894 245 e) 2725,25

b) 2234 576 d) 2546 f ) 22467 345 765,6

2. Escribo en números las cantidades mencionadas en cada caso.

a) Gasté treinta y cinco mil ochocientos bolívares con doce céntimos.

b) La temperatura está a doce grados bajo cero.

c ) La ciudad está a diez metros bajo el nivel del mar.

d) Perdí cincuenta y dos bolívares.

3. Represento los números en una recta numérica.

a) 210, 3 y 28 c ) 23, 22 y 21 e) 26, 212 y 210

b) 25, 0 y 29 d) 21, 7 y 22 f ) 216, 218 y 212


U1

2. Observamos qué número se encuentra más a la izquierda en la recta numérica. En

este caso es el número 28. Este número es el menor de este conjunto de números.

3. Observamos qué número se encuentra más a la derecha en la recta numérica. En

este caso es el número 10. Este número es el mayor de este conjunto.

Como todos los números en la recta numérica están en orden creciente de izquierda a derecha,

podemos ordenar los números usando el símbolo “menor que” (<). Entonces, tenemos:

28 , 22 , 21 , 0 , 3 , 5 , 10

De la misma forma podemos, ordenarlos en forma decreciente, si los observamos de derecha

a izquierda en la recta numérica.

10 . 5 . 3 . 0 . 21 . 22 . 28

210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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a) La temperatura que registra un alpinista a nivel del suelo, antes de comenzar

a escalar una montaña, es de 19 grados centígrados. Al llegar al pico, hace

un nuevo registro y comprueba que ha bajado 26 grados centígrados. Luego,

desciende unos metros y la temperatura sube 2 grados centígrados. ¿Qué

temperatura está registrando el alpinista en su última medición?

b) Milagros trabajó durante toda la semana y se ganó Bs. 325. El día en que cobró tuvo que

pagar Bs. 150 en unos alimentos, Bs. 110 en la luz de su casa y le dio Bs. 25 a su hijo. Al día

siguiente, canceló Bs. 75 del perfume que compró a crédito. Luego, llegó la vecina con los

productos del catálogo que había pedido y le dijo que tenía que cancelar Bs. 90. ¿Cuánto

dinero le quedó a Milagros? ¿Cómo representamos el déficit económico de Milagros?

U1

4. Comparo los pares de números. Para ello, utilizo los signos “mayor que” (.) o “menor que” (,).

a) 23 y 2 c ) 21 y 25 e) 221 376 y 256 315

b) 0 y 27 d) 2450 y 300 f ) 0 y 2122

5. Ordeno los números en una recta numérica.

a) 23; 29; 4; 0; 5; 21; 26 y -12 c ) 13; 45; 234; 216; 213; 240

b) 18; 35; 240; 213; 0; 224, 31 d) 2145; 2157; 2245; 243; 267; 257

6. Ordeno las cantidades en forma creciente. Para ello, utilizo la recta numérica.

a) 21; 0; 23; 29; 5; 26 y 10 c ) 28; 25; 8; 5 y 0

b) 212; 27; 3; 24; 6 y 210 d) 213; 12; 10; 6; 23; 21 y 4

Pensamiento críticoRespondo lo que se pide.

El transcurso de los años se cuenta a partir de la época en

que nació Jesús de Nazaret, también conocido como Jesucristo.

El año en que vivimos actualmente representa la cantidad de

años que han pasado desde que él nació. Los años antes del

nacimiento de Jesús se representan con las letras a.C. (antes de

Cristo), y los años siguientes a su nacimiento con las letras d.C.

(después de Cristo).

a) ¿Cuántos años han pasado desde que nació Jesús de Nazaret?

b) ¿Cómo representamos el año ciento cincuenta antes de Cristo?

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U1 Actividades de repasoU1 Actividades de repaso

1. Expreso las cantidades en números romanos.

a) 354 d) 127

b) 4 326 e) 98

c ) 1 590 f ) 498

2. Convierto los números romanos al

sistema decimal.

a) MCCCLXXIV d) DCCXLVII

b) DLV e) XXXVIII

c ) DCXXIII f ) MMDLIX

3. Convierto los números al sistema de

numeración binario y quinario.

a) 1 374 d) 8 312

b) 415 e) 90

c ) 200 f ) 688

4. Convierto los números al sistema de

numeración decimal.

a) 100011112 d) 324005

b) 142315 e) 110105

c ) 100011012 f ) 10101012

5. Descompongo en forma aditiva los números.

a) 20 245 121 e) 390 204 110 001

b) 359 018 000 f ) 2 000 000

c ) 1 903 g) 25 303 918

d) 3 765 068 h) 890 036 764

6. Descompongo en forma polinómica

estos números.

a) 43 920 348 d) 404 958 492

b) 10 000 025 e) 459

c ) 19 492 f ) 20 938 040

7. Uno mediante una línea cada lectura

con el número correspondiente.

8. Represento los números en la recta numérica

y los ordeno en forma decreciente.

a) 2,5; 2,7; 3,4; 3,9; 4; 2,1; 5; 3; 2

b) 16,4; 17; 12; 15,1; 15,4; 16,3; 18

c ) 75; 73,1; 72,9; 73,8; 73,15; 72,4

d) 23; 24,5; 22; 0; 3; 2,8; 2,6; 21

e) 26; 28; 0; 22; 3,6; 2,9; 3,5

325 820 315 000 000

250 383 500 000

250 383 500

250 383 500 000 000

325 820 315

Doscientos cincuenta millardos trescientos ochenta y tres millones quinientos mil unidades

a

Trescientos veinticinco millones ochocientos veinte mil trescientas quince unidades

b

Doscientos cincuenta millones trescientos ochenta y tres mil quinientas unidades

c

Doscientos cincuenta billones trescientos ochenta y tres millardos quinientos millones

e

Trescientos veinticinco billones ochocientos veinte millardos trescientos quince millones

d

U1 Actividades de repaso

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12. Escribo en números las expresiones.

a) Bajé ocho kilogramos de peso.

b) Perdí cincuenta bolívares.

c ) En el pico había una temperatura de

cuatro grados centígrados bajo cero.

13. Comparo los pares de números.

a) 2123 y 2250 d) 25304 y 225304

b) 0 y 212 e) 216 y 3

c ) 215 y 221 f ) 235 y 35

14. Resuelvo el problema.

La señora Fátima vende ocumo en su

abasto y para medir el peso utiliza una

balanza y 4 pesas de 1 000 g, 2 pesas de

100 g y 6 pesas de 1 g. Si está pesando

una bolsa con ocumos y utilizó la mitad

de cada tipo de pesas, ¿cuántos kilogramos

de la verdura hay en la bolsa que pesa

la señora Fátima?

9. Suprimo o agrego ceros para obtener

decimales equivalentes.

a) 18,402 0 c ) 17,29

b) 35,240 d) 16,478 912

10. Redondeo los números al orden indicado.

a) 243 621 (unidades de mil)

b) 132 (decena)

c ) 34 052,12 (centena)

d) 5 482 049 241 (decena de millón)

e) 85 295,56 (decena de mil)

11. Aproximo los números al orden indicado.

a) 145,30 (unidades)

b) 25 965 032,350 2 (décimas)

c ) 39,502 294 (milésimas)

d) 30,337 8 (centésimas)

e) 1,394 (décimas)

Enlace con...Economía

Una Bolsa de Valores es una organización privada

que brinda las facilidades necesarias para que sus

miembros realicen negociaciones de compra y venta

de acciones de sociedades o compañías anónimas,

entre otras.

Todas estas transacciones se efectúan con grandes

cantidades de dinero expresadas con números

naturales de cualquier orden. Las caídas económicas

o deudas son expresadas con números negativos.

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, S.A

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Resolución de problemasPensamiento lógico

2 Luis, Miguel y José tienen como profesiones abogado, ingeniero y arquitecto. No sabemos

cuál de ellas corresponde a cada uno. Sabemos que la esposa de José es venezolana, el

abogado es vecino del arquitecto, el arquitecto se casará pronto y Luis, al salir de su casa

para cenar en la del abogado, se va en su carro. ¿Cómo se llama el ingeniero?

Podemos resolver este problema usando

el pensamiento lógico. En este caso,

elaboramos una tabla de doble entrada. Luego,

leemos las frases del problema y comenzamos

a eliminar opciones.

• “Margot es la esposa del hermano de Elsa

y es mayor que la cajera”, entonces Margot

no puede ser cajera.

• “La maestra es hija única”, entonces Elsa no

es maestra, porque ella tiene un hermano.

• “La maestra (...) es la menor de las tres”. Como

Margot es mayor que la cajera

y la maestra es la menor de todas, entonces

Margot no puede ser maestra.

Por lo tanto, Margot es secretaria, porque es la

única opción disponible y marcamos un símbolo

de verificación (✔) en el lugar correspondiente.

Además, como Margot es secretaria, entonces

Alba y Elsa no pueden ser secretarias, de donde

concluimos que Elsa es cajera.

Finalmente, Alba es maestra.

Margot, Alba y Elsa tienen como profesiones maestra, secretaria y cajera, pero no

necesariamente en ese orden. Sabemos que Margot es la esposa del hermano

de Elsa y es mayor que la cajera. La maestra es hija única y es la menor de las tres.

¿Cuál es la profesión de Alba?

1

Maestra Secretaria Cajera

Margot

Alba

Elsa

ProfesionesNombres


Margot ✗ ✗Alba

Elsa ✗

ProfesionesNombres


Margot ✗ ✔ ✗Alba ✗Elsa ✗ ✗ ✔

ProfesionesNombres


Margot ✗ ✔ ✗Alba ✔ ✗ ✗Elsa ✗ ✗ ✔

ProfesionesNombres

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Pensar, hacer y reflexionar…a) ¿Cómo fueron mis vacaciones este año? b) ¿Fue sencillo elaborar un guión sustituyendo los números

por frases?c) ¿Cómo sería nuestra vida si los números no existieran?

Qué necesitamos• Ropa

• Pelucas

• Maquillaje

• Lápiz

• Papel

Una dramatización un poco extrañaCómo lo hacemos

1. Ordenamos las siguientes situaciones para formar una historia.

2. Escribimos un guión con el diálogo de los personajes de esta historia, de forma tal que los números utilizados en él sean sustituidos por frases. Para ello, pensamos que los números no existen.

Utilizamos la dramatización Nos reunimos en grupos y elegimos el mejor guión. Luego,

hacemos una dramatización con el guión seleccionado y se la presentamos al resto del salón.

El día antes de volver a Caracas, Miguel le dio su

número telefónico (0212) 600001 a su nueva amiga Julia, con la que compartió todas su

vacaciones.

Partieron el día 25 de agosto

a las 6:00 a.m. rumbo a Ciudad Bolívar. Su primera parada fue a

las 10:00 a.m. para ir al baño y luego se detuvieron a las 12:30 p.m.

para almorzar.

Un rato más tarde, Miguel adormecido escuchó

a su madre llamándole la atención a su hermanito Juan, por haber arrojado una botella

por la ventana.

Entraron en un restaurante y el papá de Miguel compró 2 pollos

horneados con 5 hallaquitas y 2 � de jugo. Todo le costó

Bs. 130 000.

El viaje continuó y cerca de las 6:00 p.m. llegaron a su destino, donde pasaron unas excelentes vacaciones

visitando ríos como el Orinoco y quebradas cercanas.

Miguel realizó un viaje al sur de Venezuela durante sus vacaciones. Hizo todo el recorrido junto a su mamá y su papá, su hermana Sofía

y su hermano Juan.

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Edi

toria

l San

tilla

na, S

.A.

©

U3 Divisibilidad, m.c.m., m.c.d. y fracciones

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> ¿Cómo fue la actuación de Manuel? ¿Qué opinas de que no haya prestado atención a la clase?

> ¿Cómo fue la actuación de Sara en esta historia?

> ¿Será conveniente cocinar en casa sin ayuda de nuestros familiares?

> ¿Cómo se podría dividir entre dos las cantidades de los ingredientes que están en fracciones?

> Al preparar esta pizza, además de dividir, ¿qué otra operación realizamos sin darnos cuenta?

Cocinando con fracciones

PIZZA MARGARITA

Para 4 a 6 personas

Ingredientes para la masa:

½ taza de agua tibia

1 cucharadita de azúcar

1 ½ cucharada de levadura

3 cucharadas de aceite

1 cucharadita de sal

2 tazas de harina

Otros ingredientes para la pizza:

3 cucharadas de aceite

400 g de queso mozzarella rallado

3 cucharadas de hojas de albahaca picada

1/8 de cucharadita de pimienta molida

¾ de kilo de tomate tipo perita

1 cucharadita de azúcar

1 cucharadita de sal

¼ de cucharadita de orégano seco

Oye, pero tu mamá no está. ¿No será peligroso que

cocinemos solos?

Sara, vamos a seguir esta receta para preparar

una pizza para los dos.¡No seas aburrida!

No va a pasar nada malo.

¿Cómo podemos contar las partes de un postre o de un partido

de fútbol?

Bueno, está bien,

déjame ver la receta….

Manuel, esta receta es para

cuatro personas, o sea, que tendremos que dividir todos

los ingredientes entre dos, para que salga una pizza

pequeña.

U3 Divisibilidad, m.c.m., m.c.d. y fracciones

55

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.

CompetenciasUtilizaremos las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división con fracciones. Para ello, usaremos los distintos métodos de cálculo.

Aprendiendo a cocinar

Es importante que aprendamos a cocinar con la ayuda de personas mayores. Eso nos puede ayudar a ser personas más independientes en el futuro.

Al final de esta unidad, aprenderemos a elaborar una sabrosa comida para compartir con los compañeros y las compañeras de clases.

Operaciones aritméticas Orden

Fracciones

son

,, ., 5

mínimo común múltiplo (m.c.m.)

máximo común divisor (m.c.d.)

criterios de divisibilidad

se usan

se halla

1 2 3 4

En esta unidad encontraremos

¡No sé! Yo no le presté atención

a la maestra cuando lo explicó. Vamos a hacerlo al ojo. Eso no debe importar

mucho.

Manuel, ¿cómo hacemos para calcularle la mitad a los ingredientes

que están en fracciones?

No debimos hacerlo al ojo.

¡No! ¡Lo que no

debimos hacer fue cocinar sólos,

sin adultos!


U3 Criterios de divisibilidad y mínimo común múltiplo

56

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Ejemplo

Ejemplo

2 520

1 260

630

315

105

35

7

1

2

23

32

2

2

3

3

5

7

2 520 = 23 x 32 x 5 x 7

Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permitendeterminar si un número es divisible entre otro.

Para descomponer un número ensus factores primos, utilizamoslos criterios de divisibilidad y verificamossi es divisible por los númerosprimos de menor a mayor.

Descomposición de númerosen factores primos

Existen diversos criterios de divisibilidad. Algunos de ellos son:

Un número es divisible entre 2 cuandosu última cifra es cero o un número par.

Un número es divisible entre 10 cuandosu última cifra es cero.

Un número es divisible entre 9 cuandola suma de sus cifras es múltiplo de 9.

Un número es divisible entre 6 cuando esdivisible entre 2 y entre 3 también.

Un número es divisible entre 5 cuandosu última cifra es cero o cinco.

Un número es divisible entre 3 cuando la sumade sus cifras es múltiplo de 3.

Criterio de divisibilidad entre 10


El número 189 es divisible entre 9porque el resultado de la suma 1 + 8 + 9, es 18, que es múltiplo de 9.



Los números 1 000; 80; 25; 15 y 35son divisibles entre 5.



Los números 50; 26 y 8 son divisiblesentre dos.

Observemos la descomposiciónen factores primos del número 2 520

El número 13 es un númeroprimo, pues sólo es divisibleentre 1 y entre 13,es decir, su división esexacta sólo cuandodividimos entre1 y entre 13.

Pero 52 no lo es, ya que su últimacifra no termina en 0 o en 5.

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Pero el número 25 no es divisibleentre dos, porque terminaen 5, que es impar.

El número 483 es divisible entre 3porque el resultado de la suma4 + 8 + 3 es 15, que es múltiplo de 3.

Ejemplo

Ejemplo

El número 42 es divisible entre 2porque termina en número par,y también es divisible entre 3 porque4 + 2 = 6. Por lo tanto, 42 esdivisible entre 6.

Pero el número 26 no es divisibleentre 10, pues no termina en cero.

Los números 20; 150 y 8 000son divisibles entre 10, ya queterminan en cero.

Los números primos son los que tienensólo dos divisores, que son el 1 yel mismo número.

Números primos

El número 25 no es unnúmero primo, porquese puede dividir de formaexacta entre 1, entre 5 y entre25, es decir, tiene más de dosdivisores.

Los números que noson primos se llamannúmeros compuestos.

56

Un número es divisible entre 3 cuando la sumaUn número es divisible entre 3 cuando la suma

Criterio de divisibilidad entre 3Criterio de divisibilidad entre 3Criterio de divisibilidad entre 3

la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

Ejemplo

Pero 52 no lo es, ya que su última

la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

Ejemplo


Criterio de divisibilidad entre 9Un número es divisible entre 9 cuandoCriterio de divisibilidad entre 9Un número es divisible entre 9 cuandola suma de sus cifras es múltiplo de 9.Un número es divisible entre 9 cuandoUn número es divisible entre 9 cuandola suma de sus cifras es múltiplo de 9.Un número es divisible entre 9 cuando

Tengo que recoger todo este desorden

de pelotas y distribuirlas equitativamente entre

las cajas. ¿Cuál será la mejor

forma?

Criterios de divisibilidad

U3 Criterios de divisibilidad y mínimo común múltiplo

57

© E

dito

rial S

antil

lana

, S.A

.

Ejemplo

Ejemplo

2 520

1 260

630

315

105

35

7

1

2

23

32

2

2

3

3

5

7

2 520 = 23 x 32 x 5 x 7

Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permitendeterminar si un número es divisible entre otro.

Para descomponer un número ensus factores primos, utilizamoslos criterios de divisibilidad y verificamossi es divisible por los númerosprimos de menor a mayor.


Existen diversos criterios de divisibilidad. Algunos de ellos son:

Un número es divisible entre 2 cuandosu última cifra es cero o un número par.

Un número es divisible entre 10 cuandosu última cifra es cero.


Un número es divisible entre 6 cuando esdivisible entre 2 y entre 3 también.

Un número es divisible entre 5 cuandosu última cifra es cero o cinco.

Un número es divisible entre 3 cuando la sumade sus cifras es múltiplo de 3.



El número 189 es divisible entre 9porque el resultado de la suma 1 + 8 + 9, es 18, que es múltiplo de 9.



Los números 1 000; 80; 25; 15 y 35son divisibles entre 5.



Los números 50; 26 y 8 son divisiblesentre dos.

Observemos la descomposiciónen factores primos del número 2 520

El número 13 es un númeroprimo, pues sólo es divisibleentre 1 y entre 13,es decir, su división esexacta sólo cuandodividimos entre1 y entre 13.

Pero 52 no lo es, ya que su últimacifra no termina en 0 o en 5.

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Pero el número 25 no es divisibleentre dos, porque terminaen 5, que es impar.

El número 483 es divisible entre 3porque el resultado de la suma4 + 8 + 3 es 15, que es múltiplo de 3.

Ejemplo

Ejemplo

El número 42 es divisible entre 2porque termina en número par,y también es divisible entre 3 porque4 + 2 = 6. Por lo tanto, 42 esdivisible entre 6.

Pero el número 26 no es divisibleentre 10, pues no termina en cero.

Los números 20; 150 y 8 000son divisibles entre 10, ya queterminan en cero.

Los números primos son los que tienensólo dos divisores, que son el 1 yel mismo número.

Números primos

El número 25 no es unnúmero primo, porquese puede dividir de formaexacta entre 1, entre 5 y entre25, es decir, tiene más de dosdivisores.

Los números que noson primos se llamannúmeros compuestos.

5757

sólo dos divisores, que son el 1 y


en factores primos del número 2 520

los criterios de divisibilidad y verificamoslos criterios de divisibilidad y verificamoslos criterios de divisibilidad y verificamosTengo que recoger todo este desorden

de pelotas y distribuirlas equitativamente entre

las cajas. ¿Cuál será la mejor

forma?

Criterios de divisibilidad

U3

© E

dito

rial S

antil

lana

, S.A

.

2. Seleccionamos, de cada

factor, el que tenga

mayor exponente.

3. Multiplicamos los

factores seleccionados.

Finalmente, el mínimo común múltiplo de 10 y 8 es 40.

U3

58

Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor

de los múltiplos comunes, distinto de cero, de dichos números.

Para hallar el m.c.m. entre 10 y 8, hacemos lo siguiente:


1. Indico los números entre los cuales son divisibles los siguientes números.

a) 30 d) 26 g) 55

b) 15 e) 100 h) 66

c ) 80 f ) 25 i ) 18

2. Indico cuáles de los siguientes números son primos y cuáles son compuestos.

a) 25 d) 40 g) 31

b) 19 e) 27 h) 7

c ) 31 f ) 101 i ) 57

3. Descompongo los números en sus factores primos.

a) 46 d) 49 g) 35

b) 100 e) 85 h) 96

c ) 1 250 f ) 2 730 i ) 158

1. Descomponemos en

factores primos cada

número.

m.c.m. (10 y 8) 5 5 3 23 5 5 3 8 5 40

10 52 21

10 5 5 3 2

8 24 22 21

8 5 23

10 5 5 3 2 8 5 23

m.c.m. (10 y 8) 5 5 3 23

Para multiplicar por 15. 56 3 15

→ 562

3 (153 2)

→ 28 3 30

→ 840

56 3 15 5 840

Ejercicios

a) 88 3 15

b) 94 3 15

c ) 42 3 15

d) 38 3 15

Cálculo mental

U3

© E

dito

rial S

antil

lana

, S.A

.

U3

59


4. Hallo el mínimo común múltiplo entre los números.

a) 16 y 24 d) 15; 5 y 40 g) 10; 100 y 1 000

b) 35 y 40 e) 29; 10 y 14 h) 30 y 18

c ) 12 y 24 f ) 8; 32 y 60 i ) 5 y 20


a) Julián y Martha practican en un parque para una carrera de 15 km. Julián le da

una vuelta al parque en 15 minutos y Martha en 20 minutos. Si parten los dos

al mismo tiempo desde la entrada del parque, ¿al cabo de cuánto tiempo se

encontrarán nuevamente?

b) Los abuelos paternos de Raúl lo visitan cada 7 días y los abuelos maternos

cada 10. Si hoy fueron a casa de Raúl todos sus abuelos, ¿cuántos días deberán

transcurrir para que, nuevamente, vayan todos a visitarlo el mismo día?

c) En el trabajo de Luisa hay tres empleados: Miguel,

Luis y César. Si Miguel cobra cada 7 días, Luis cada

15 días y César cada 30 días, y hoy cobraron todos

a la vez, ¿cuántos días deberán transcurrir para

que cobren todos, nuevamente, el mismo día?

Leo la información y resuelvo.

Cuando vamos al médico y tenemos alguna

enfermedad, generalmente nos prescriben varios

medicamentos que deben ser tomados en diferentes

horarios. Si el médico nos manda tres medicamentos,

uno que debe tomarse cada 12 horas, otro cada

8 horas y el tercero cada 24 horas:

a) ¿Cómo puedo saber qué día y a qué hora coincidirán los tres medicamentos?

b) Si comencé los tres medicamentos un lunes a las 8:00 am, ¿qué día y a qué hora coincidirá

nuevamente la toma de los tres medicamentos?

60

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dito

rial S

antil

lana

, S.A

.

U3 Máximo común divisor

Divisores de un número Los divisores son números que dividen de forma exacta a otro número

dado. El 5 es divisor de 35, porque al dividir 35 4 5, el resultado es un

número entero (7) y el residuo de la división es cero.

Todo número es divisor de sí mismo. El 23 es divisor de 23, ya que al

dividir 23 4 23, el resultado es 1 y no queda residuo de la división.

Para determinar los divisores de un número utilizamos los criterios de

divisibilidad. Calculemos los divisores de 36:

1. Escribimos los divisores del

número, que sean de una

cifra, usando los criterios

de divisibilidad.

2. Buscamos los otros

divisores, que se obtengan

de multiplicar los divisores

encontrados por otros

números que den como

resultado el número dado.

3. Agregamos el último

divisor, que es el mismo

número original.

El 1 es divisor de cualquier número.

Divisores de 36, que

son de una cifra:51; 2; 3; 4; 6; 96

Divisores de 36: 51; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 366

Divisores encontrados: 51; 2; 3; 4; 6; 96

2 3 18 5 36

3 3 12 5 36

9 3 4 5 36

Nuevos divisores de 36: 51; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 186

En mi salón somos 32 estudiantes. Para una actividad en clases

la maestra nos quería organizar en grupos de igual cantidad

de integrantes. Ella nos preguntó ¿cuántos estudiantes debería

haber en cada grupo para que todos tuvieran la misma cantidad

de integrantes?

criterio. Regla o norma que se usa para clasificar o distinguir las cosas.

divisibilidad. Propiedad de un número entero de poder dividirse por algún otro número entero y dar cociente cero.

Glosario

61

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dito

rial S

antil

lana

, S.A

.

rápidoEl 7 es divisor común de 35 y 140, ¿será divisor del m.c.d. de estos dos números?, ¿por qué?

U3 Máximo común divisorMáximo común divisor El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor

de los divisores que tienen en común dichos números.

Observemos por qué el m.c.d. entre 12 y 16 es 4.

Divisores de 12: 51; 2; 3; 4; 6; 126

Divisores de 16: 51; 2; 4; 8; 166

Los divisores comunes son: 1; 2 y 4. Como el mayor es el 4, entonces 4

es el m.c.d. entre 12 y 16.

Observemos los pasos para calcular el m.c.d. entre 90, 36 y 42.

1. Descomponemos los números en sus factores primos.

2. De los factores obtenidos seleccionamos los comunes

con su menor exponente.

90 5 2 3 32 3 2 36 5 22 3 32 42 5 2 3 3 3 7

Los factores comunes son 2 y 3, el menor exponente del 2 es 1, al

igual que el del 3.

3. Multiplicamos los factores que seleccionamos y el resultado

es el m.c.d.

90 5 2 3 32 3 5 36 5 22 3 32

25 5 52 13 5 13

42 5 2 3 3 3 7

42 221 37 71

90 245 315 35 51

25 55 51

13 131

36 218 29 33 31

Para multiplicar por 19.

12 3 19

12 3 19 5 12 3 (20 2 1)

5 12 3 20 2 12 3 1

5 240 2 12

5 228

Ejercicios

a) 26 3 19

b) 33 3 19

c ) 45 3 19

d) 79 3 19

Cálculo mental

Como no tienen factores comunes, su m.c.d. es 1.

m.c.d. (90; 36 y 42) 5 2 3 3 5 6

Entonces, el m.c.d. de 90; 36 y 42 es 6.

Si descomponemos dos números y no tienen factores comunes,

el m.c.d. entre ellos es el 1. Calculemos el m.c.d. entre 25 y 13.

62

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dito

rial S

antil

lana

, S.A

.

U3

Propiedad del m.c.m. y del m.c.d. La propiedad del m.c.m. y del m.c.d. nos indica que si multiplicamos

el m.c.m. de dos números naturales con su m.c.d., obtendremos

el mismo resultado que si multiplicamos los números.

Si queremos comprobar que el m.c.m. entre 16 y 20 es 80, y que

el m.c.d. entre 16 y 20 es 4, aplicamos la propiedad.

1. Multiplicamos el m.c.m. por el m.c.d.

80 3 4 5 320

2. Multiplicamos los números originales

16 3 20 5 320

Como los resultados son iguales, entonces,

m.c.m. (16, 20) 5 80 y m.c.d. (16, 20) 5 4.


1. Determino los divisores de los números.

a) 52 e) 50 i ) 49

b) 88 f ) 100 j ) 260

c ) 96 g) 26 k) 182

d) 45 h) 30 l ) 156

2. Calculo el máximo común divisor entre los números.

a) 18 y 45 e) 150 y 325 i ) 36, 45 y 99

b) 50 y 46 f ) 343 y 49 j ) 320, 162 y 410

c ) 25 y 100 g) 160 y 95 k) 200, 1 000 y 100

d) 232 y 426 h) 28, 14 y 16 l ) 39, 13 y 65

3. Compruebo si el m.c.m y el m.c.d. hallados son correctos.

a) m.c.m. (10; 12) 5 120 d) m.c.m. (100; 500) 5 500

m.c.d. (10; 12) 5 2 m.c.d. (100; 500) 5 25

b) m.c.m. (15; 25) 5 75 e) m.c.m. (78; 40) 5 1 560

m.c.d. (15; 25) 5 5 m.c.d. (78; 40) 5 2

c ) m.c.m. (36; 54) 5 108 f ) m.c.m. (18; 9) 5 81

m.c.d. (36; 54) 5 18 m.c.d. (18; 9) 5 2

¡Qué bien! Esta propiedad me puede ayudar a saber si hice los cálculos correctamente.

63

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dito

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antil

lana

, S.A

.

U3

4. Encuentro el m.c.d. de los números que están en las tablas.


a) Gustavo es profesor de 6to grado y quiere repartirle a sus alumnos trozos de cartulina

de igual tamaño. Cuenta con cuadros de cartulina que miden 130 cm, 40 cm y 80 cm.

¿De qué tamaño debe cortar Gustavo los trozos de cartulina para que queden todos

del mismo tamaño sin que le sobre cartulina? ¿Cuántos trozos de cartulina puede

obtener de ese tamaño?

b) Teresa organiza una excursión a la Gran Sabana. Debe llevar a una familia de

12 personas y a otra de 20 personas. Si quiere armar grupos para una actividad

y desea que todos los grupos sean de la misma cantidad de personas, y además

que en cada grupo quede la mayor cantidad de personas posible, ¿cuántos

integrantes debe tener cada grupo? ¿Cuántos grupos se obtienen?

Números m.c.d. Palabra asignada

49 y 630 acento

150 y 45 agudas

28 y 34 llevan

77 y 121 palabras

Números m.c.d. Palabra asignada

165 y 200 sílaba

30 y 240 las

370 y 10 que

410 y 328 última


Si una escuela tiene cuatro secciones por grado y se

inscriben 130 estudiantes, ¿habrá forma de que todas

las secciones estén formadas por la misma cantidad

de alumnos?, ¿por qué?

¿Qué relación matemática tiene que existir entre el

número de alumnos y la cantidad de secciones, para

que esto ocurra?


64

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dito

rial S

antil

lana

, S.A

.

U3 Orden en las fracciones

Comparación de fracciones Para comparar dos o más fracciones observamos sus numeradores y

denominadores. Se pueden presentar los siguientes casos:

• Orden en fracciones con igual denominador.

• Orden en fracciones con igual numerador.

• Orden de fracciones con distintos denominadores y numeradores.

Luego, utilizamos las relaciones de orden “mayor que” (.), “menor que” (,) o “igual a” (5).

Orden de fracciones con igual denominadorEntre dos fracciones que tienen igual denominador, la fracción mayor

es la que tiene mayor numerador.

Al comparar 25 y 4

5 , es mayor 45 , ya que 4 . 2. Gráficamente sería:

25

45

Orden de fracciones con igual numerador Entre dos fracciones con igual numerador, la fracción mayor es la que

tiene menor denominador. Si comparamos 73 y 7

5 , es mayor 73 , porque

3 , 5. Veámoslo gráficamente.

Mi mamá me pidió ir a la tienda para que le comprara 14

kg de café,

pero sólo tenían 12

kg. En ese momento no supe qué hacer,

¿debería llevar el paquete de 12

kg? ¿Le alcanzará a mi mamá

esa cantidad de café?

73

75

RecuerdaPara representar gráficamente una fracción impropia, es decir, cuyo numerador sea mayor que el denominador, tenemos que utilizar varias unidades. Luego, dividimos las unidades entre la cantidad de partes que indica el denominador y tomamos la cantidad de partes que indica el numerador.

65

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dito

rial S

antil

lana

, S.A

.

U3 Orden en las fracciones

Entonces, 89 , 10

6 .

Orden de fracciones con diferentes numeradores y denominadores Para ordenar fracciones con distintos numeradores y denominadores

hallamos fracciones equivalentes a las fracciones que deseamos

comparar, pero que tengan igual denominador.

Para hallar una fracción equivalente a otra multiplicamos el numerador

y el denominador de la fracción original por un mismo número.

Si queremos comparar las fracciones 89 y 10

6 , lo hacemos siguiendo

estos pasos:

1. Hallamos el m.c.m. entre los

denominadores realizando

la descomposición en sus

factores primos.

2. Multiplicamos el numerador y el

denominador de cada fracción

por un número, de forma tal que

los denominadores obtenidos

sean el m.c.m.

3. Comparamos las nuevas

fracciones equivalentes a las

fracciones originales.

1618

8 3 29 3 2

5

10 3 36 3 3

3018

5

106

Por lo tanto, 89 , 10

6 . Podemos comprobarlo gráficamente.

m.c.m. (9; 6) 5 32 3 2 5 9 3 2 5 18

9 33 31

9 5 32

6 23 31

6 5 2 3 3

1618 , 30

18 , porque 16 , 30

89

Para multiplicar por números compuestos de dos factores.

16 3 35

16 3 35 5 16 3 (5 3 7)

5 (16 3 5) 3 7

5 80 3 7

5 560

16 3 35 5 560

Ejercicios

a) 25 3 6

b) 18 3 14

c ) 26 3 12

d) 15 3 45

Cálculo mental

U3

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dito

rial S

antil

lana

, S.A

.

Una fracción comprendida entre dos fracciones Para encontrar una fracción que se ubique entre dos fracciones,

podemos tener:

• Numeradores consecutivos y denominadores iguales.

• Numeradores no consecutivos y denominadores iguales.

Numeradores consecutivos y denominadores iguales Para encontrar una fracción entre 3

8 y 48 , realizamos los siguientes pasos:

66

1. Amplificamos cada fracción por

el mismo número.

2. Buscamos un número entre

los numeradores de las

fracciones resultantes.

3. Escribimos una nueva fracción, cuyo

numerador sea el número escogido

y el denominador sea el mismo de

ambas fracciones amplificadas.

4. Simplificamos todas las fracciones.


1. Comparo las fracciones con igual denominador.

a) 35

y 25

c ) 87

y 157

e) 92

y 22

g) 65

y 115

b) 612

y 312

d) 124

y 104

f ) 73

y 83

h) 94

y 34

RecuerdaAmplificar una fracción significa multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número diferente de cero.

924

3 3 38 3 3

51224

4 3 38 3 3

5

1024

1224

924

, ,

9 , 10 , 12

512

, ,48

38

Numeradores no consecutivos y denominadores igualesPara hallar una fracción comprendida entre otras dos fracciones de

igual denominador, y cuyos numeradores no sean consecutivos, sólo

tenemos que buscar un número comprendido entre los numeradores.

Por ejemplo, una fracción entre 311 y 7

11 puede ser 511 ; 4

11 ó 611 .

U3

© E

dito

rial S

antil

lana

, S.A

.

67


2. Comparo las fracciones con igual numerador.

a) 34

y 35

b) 610

y 612

c ) 89

y 87

d) 123

y 124

e) 97

y 92

f ) 710

y 73

3. Comparo las fracciones.

a) 104

y 38

b) 310

y 612

c ) 129

y 87

d) 253

y 124

e) 37

y 92

f ) 510

y 73

4. Ordeno de mayor a menor las fracciones.

a) 210

; 710

; 310

; 1210

; 810

; 1610

y 510

d) 210

; 23

; 26

; 25

; 212

; 24

y 21

b) 43

; 33

; 103

; 123

; 13

; 83

y 153

e) 212

; 710

; 35

; 126

; 89

; 163

y 52

c) 83

; 88

; 810

; 84

; 812

; 85

y 816

f ) 14

; 76

; 85

; 1212

; 43

; 310

y 615

5. Comparo las fracciones y las represento gráficamente.

a) 13

y 33

b) 95

y 75

c ) 29

y 27

d) 83

y 85

e) 46

y 105

f ) 54

y 35

6. Encuentro una fracción comprendida entre cada par de fracciones dadas.

a) 103

y 113

b) 34

y 44

c ) 78

y 89

d) 62

y 72

e) 46

y 56

f ) 125

y 135

7. Resuelvo el siguiente problema.

Mercedes desea ordenar los frascos de jugo que llevaron sus estudiantes para una merienda,

desde el más grande hasta el más pequeño. Si los frascos tienen 2 ,, 12 ,, 1

4 ,, 65 , y 3

2 ,,

¿cómo debe ordenarlos Mercedes?

La repostería, confitería o pastelería es el arte de preparar o

decorar pasteles u otros postres, como bizcochos, tartas o tortas.

En este arte, como en toda la gastronomía, se utilizan recetas con

cantidades expresadas en forma de fracciones. Por ejemplo, 12 kg de harina o 1

4 de taza de azúcar.

Si te encontraras haciendo un pastel y la receta dice 14 kg de

azúcar, pero cuando vas al supermercado te venden 1 kg de azúcar,

¿te alcanzará esta cantidad para hacer el pastel?, ¿por qué?

Leo y respondo.

68

© E

dito

rial S

antil

lana

, S.A

.rápido

Simplifica las fracciones.

Ejercicios

a) 880

b) 4590

c) 36144

d) 2369

U3 Adición y sustracción con fracciones

Simplificación de fracciones La simplificación de fracciones es un procedimiento que nos permite

encontrar una fracción equivalente a la fracción original, pero con

numerador y denominador menores.

Para simplificar una fracción, basta con dividir el numerador y el

denominador entre un mismo número que los divida a ambos.

Los pasos para simplificar, por ejemplo, la fracción 7227 son:

Cada vez que resolvamos operaciones

con fracciones, debemos simplificar los resultados.

1. Buscamos el m.c.d. entre el

numerador y el denominador.

Para ello, los descomponemos

en sus factores primos.

2. Dividimos el numerador y el

denominador entre el m.c.d.

Entonces, 7227 5 8

3 .

La fracción simplificada encontrada se llama fracción irreducible,

porque ya no puede ser simplificada por otro número.

Mi mamá va todos los días al gimnasio. La última vez que la

acompañé, mientras la esperaba, me puse a sacar cuentas

y vi que, del total de personas de la sala donde estaba, la mitad

hacía bicicleta, una tercera parte usaba pesas, las dos quintas partes

ejercitaba las piernas y el resto estaba conversando. ¿Qué parte

de las personas se ejercitaba y qué parte de las personas

conversaba?

72 236 218 29 33 31

27 39 33 31

72 5 23 3 32 27 5 33

m.c.d (72; 27) 5 32 5 9

72 4 927 4 9

583

69

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dito

rial S

antil

lana

, S.A

.

U3 Adición y sustracción con fraccionesAdición y sustracción de fracciones con igual denominador Para hallar la suma o la diferencia de dos o más fracciones con

igual denominador, como 35 1 7

5 2 25 , sumamos o restamos

los numeradores. La fracción resultante tiene como denominador

el de las fracciones originales.

Adición y sustracción de fracciones con diferentes denominadores Para hallar la suma o la diferencia de dos o más fracciones con

diferente denominador, como 126 1 3

5 2 410 , lo hacemos así:

1. Hallamos el m.c.m. entre

los denominadores.

4. Simplificamos el resultado.

6 5 2 3 3 5 5 5 10 5 2 3 5

m.c.d (6; 5; 10) 5 2 3 3 3 5 5 30

3 1 7 2 25 55

10 2 25

85

1 2 535

25

75

Finalmente, 126 1 3

5 2 410 5 11

5 .

Entonces, 35 1 7

5 2 25 5 8

5 .

115

6630

5

3. Resolvemos las operaciones

con las fracciones

equivalentes obtenidas.

1 2 535

1230

1830

6030

126

410

21

78 2 1230

6630

55

2. Convertimos cada fracción

en otra equivalente, cuyo

denominador sea el m.c.m.

6030

126

12 3 56 3 5

55

1230

410

4 3 310 3 3

55

1830

3 3 65 3 6

5535

6 23 31

5 51

10 25 51

En un clickEn la siguiente página encontrarás varias actividades para practicar la adición con fracciones. http://aplicaciones.info/decimales/fra03.htm

70

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antil

lana

, S.A

.

U3

Adición de una fracción con un natural Para hallar la suma de una fracción con un número natural podemos

usar la expresión de un número mixto.

Para saber cuántos litros de naranjada podemos obtener al mezclar

2 litros de agua con 34 de litro de jugo de naranja, sumamos

2 1 34 , así:


1. Simplifico las fracciones hasta encontrar una fracción irreducible.

a) 225100

b) 5246

c ) 12133

d) 9040

e) 7536

f ) 8816

4 3 2 1 34

558 1 3

41 5

34

2 114

Por lo tanto, podemos preparar 114 de litro de naranjada.

Propiedades de la adición con fraccionesEn la adición con fracciones se cumplen estas propiedades:

Toda fracción sumada con cero es igual

a la misma fracción.

Elementoneutro 5

35

37

1 0 0 1 5 0

Asociativa Al sumar tres o más términos podemos variar

la forma de agruparlos y el resultado no cambia.

1 5 11 2137

17

171 21

27

37

27

1 5 117

57

27

47

567

67

Conmutativa Al cambiar el orden de los sumandos el

resultado no se altera.

535

35

1 1107

107

1 12135

5035

5035

2135

5

7135

7135

5

Para multiplicar por números compuestos de tres o mas factores.

28 3 13

5 (7 3 2 3 2) 3 13

5 7 3 (2 3 26)

5 7 3 52

5 364

28 3 13 5 364

Ejercicios

a) 36 3 14

b) 24 3 12

c ) 44 3 15

d) 32 3 16

Cálculo mental

71

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dito

rial S

antil

lana

, S.A

.

U3

2. Resuelvo las operaciones.

a) 54

1 84

1 104

d) 7018

2 318

1 418

g) 825

1 35

2 1

10 j ) 3 1 1

2 1 2

4 2 1

b) 127

1 27

1 17

e) 312

1 4312

1 2

12 h) 120

12 2

429

1 36

1 1 k) 36

1 13

2 15

1 210

c ) 95

1 255

2 105

f ) 37

1 24

1 410

i ) 2033

1 411

1 5

39 2

422

l ) 254

2 38

1 32

3. Efectúo las operaciones e indico el nombre de la propiedad que se utiliza en cada caso.

Operación Resultado Propiedad

4. Resuelvo el problema.

Juan Carlos quiere preparar un color de pintura especial para la sala de su casa. Para ello,

agrega 13 , de pintura roja, 2

5 , de pintura verde, 1015 , de pintura amarilla y 1 , de pintura

blanca. Luego, extrajo 38 , de la nueva pintura, para una habitación. ¿Con cuántos litros de

pintura se quedó Juan Carlos para pintar la sala de su casa?



En una fábrica se elaboran 64 000 jugos diarios. Si en un

día la embotelladora daña las 38 partes de la producción

diaria y a la empresa no le conviene perder la mitad

de la producción, ¿será conveniente seguir con esta

máquina? ¿cómo podemos saberlo?

32 1 8

2 5 82 1 3

2

15 1 10

2 2 13 5 1

5 1 102 2 1

3

78 1 0 5 0 1 7

8

23 1 0 1 1

3 5 23 1 0 1 1

3

107 1

35 1 2

10 5 107 1

210 1 3

5 1 0

15 1 0 5 0 1 1

5

1 2 1 21 2 1 2

1 2 1 2

72

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dito

rial S

antil

lana

, S.A

.

rápidoa) ¿Cuál es la mitad

de un tercio?

b) ¿Cuál es un tercio de la mitad?

U3 Multiplicación con fracciones

Multiplicación con fracciones El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene

como numerador el producto de los numeradores y como

denominador el producto de los denominadores.

Si queremos calcular cuántos kilómetros puede recorrer

Henry en bicicleta, multiplicamos los 10 km del total por

los 25 del tramo en bicicleta y por 1

2 , que representa la mitad.

Luego, resolvemos la operación 10 3 25 3 1

2 , así:

1. Multiplicamos los numeradores

y el resultado lo escribimos

en el numerador de la

fracción resultante.

2. Multiplicamos los

denominadores y el resultado lo

escribimos en el denominador

de la fracción resultante.

3. Simplificamos la fracción

obtenida. Para ello, hallamos

el m.c.d. entre el numerador

y el denominador.

Finalmente, Henry sólo puede recorrer 2 km en bicicleta.

En mi escuela están organizando un triatlón de 10 km. Un quinto

del total de kilómetros se hará nadando, 25

partes se efectuarán

en bicicleta y el último tramo será corriendo. Mi amigo Henry

quiere participar, pero cree que sólo podrá recorrer la mitad de

cada tramo. ¿Cuántos kilómetros podrá recorrer en bicicleta?

RecuerdaPara multiplicar una fracción por un número natural, escribimos un uno como denominador del número natural y luego multiplicamos las fracciones.

m.c.d. (20, 10) 5 2 3 5 5 10

20 210 25 51

20 5 22 3 5

10 25 51

10 5 2 3 5

21

20 4 1010 4 10

5 5 2

2010 3 2 3 155310 3 1

225

2010

10 3 2 3 11 3 5 3 2

55310 3 12

25

73

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lana

, S.A

.

U3 Multiplicación con fraccionesPropiedades de la multiplicación con fracciones En la multiplicación de fracciones se cumplen las propiedades:

Al multiplicar cualquier fracción por uno (1),

siempre obtendremos como resultado la

misma fracción.

Elementoneutro

5 535

38

38

3 1 1 3

Conmutativa El orden de los factores no altera el producto.

2435

2435

5

537

85

37

85

3 3

La propiedad distributiva de la multiplicación se efectúa con respecto

a la adición o a la sustracción.

Asociativa El producto de tres o más fracciones no cambia

si las agrupamos de distintas maneras.

3 5 31 2337

43

431 23

25

37

25

3 5 343

25

5

635

1221

24105

24105

Distributiva Para resolver una multiplicación en la que uno

de los factores es una adición, multiplicamos

cada sumando por el factor que está fuera del

paréntesis. Luego, hallamos la suma de

los productos.

5 13 1 2151 23

15

941 21 29

415

5

5

1

1

25

3 2

1720

920

820

920

Gente con…DisciplinaLa disciplina es la capacidad que tienen las personas de enfocar todo su esfuerzo para lograr un fin. Se necesita disciplina, por ejemplo, para destacarse en la práctica de deportes, aprender las operaciones y sus propiedades con números naturales o fracciones.

5

74

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dito

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antil

lana

, S.A

.

U3

1. Resolvemos las

multiplicaciones.

Operaciones combinadas con fracciones Las operaciones combinadas son ejercicios matemáticos en los que

están involucradas varias operaciones a la vez, como adiciones,

sustracciones, multiplicaciones y divisiones.

Observemos cómo podemos calcular el resultado de 13 3 2

5 1 27 3 7

25 .


1. Calculo las multiplicaciones.

a) 25

3 37

d) 3 3 216

g) 32

3 215

3 43

b) 128

3 19

e) 187

3 10 h) 66

3 23

3 23

c ) 32

3 37

f ) 16

3 1320

3 35

i ) 1510

3 5 3 47

Finalmente, el resultado de 13 3 2

5 1 27 3 7

25 es 1675 .

Para multiplicar por 0,5.

38 3 0,5 5 38 3 510

5 38 3 12

5 382

38 3 0,5 5 19

Ejercicios

a) 96 3 0,5

b) 44 3 0,5

c ) 24 3 0,5

d) 78 3 0,5

Cálculo mental

5313

25

5215

1 3 23 3 5

53 527

725

2 3 77 3 25

14175

2. Calculamos las adiciones

y sustracciones con los

productos obtenidos. 52 3 35 1 14 3 3

525

3 125

27

13

37

25215

5 114

175

570 1 42

5255

112525

3. Simplificamos los

resultados usando

el m.c.d. del numerador

y del denominador.

112 256 228 214 2

7 71

525 3175 535 5

7 71

112 5 24 3 7 525 5 3 3 52 3 7

m.c.d. (112; 525) 5 7

51675

5112 4 7525 4 7

112525

75

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dito

rial S

antil

lana

, S.A

.

U3



En un salón hay 36 estudiantes y se quiere repartir jugo en

envases de 14 de litro para cada uno.

a) ¿Cuántos litros de jugo se necesitan comprar para que

todos tomen jugo?

b) Si sólo las 34 partes del grupo tomarán jugo, ¿cuántos litros

se necesitan?

2. Aplico la propiedad conmutativa de la multiplicación y calculo el producto.

a) 103

3 25

b) 2516

3 34

c ) 4022

3 105

d) 1516

3 3241

e) 87

3 62

f ) 4 3 37

3. Aplico la propiedad asociativa de la multiplicación y calculo el producto.

a) 15

3 320

3 24

b) 3 3 115

3 27

c ) 35

3 416

3 2 d) 65

3 14

3 78

3 3

4. Aplico la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición y calculo el producto.

a) 89

3 210

1 34

b) 411

1 522

3 37

c) 2 3 37

1 85

d) 136

1 510

3 312

5. Calculo las operaciones combinadas.

a) 14

3 23

1 89

3 65

c ) 25

3 3 1 13

3 14

2 3 e) 83

3 12

1 6 3 45

2 79

b) 32

3 3 2 65

3 7 d) 37

3 21 2 29

3 6 1 1 f ) 108

3 4 2 27

3 7 1 12


a) Yolanda está en el supermercado comprando frutas. El frutero colocó en una cesta

la mitad de los duraznos que tenía en un saco y Yolanda escogió las 310 partes de

lo que colocó el frutero en la cesta. ¿Qué parte de las frutas del saco escogió Yolanda?

b) En un salón de clases 25 de los estudiantes son niños y 3

5 son niñas. De los niños

sólo la mitad tiene los útiles escolares completos, mientras que de las niñas sólo

la tercera parte los tiene completos. ¿Qué parte, de todo el grupo, tiene

los útiles escolares completos?

1 21 2 1 2 1 2

76

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dito

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antil

lana

, S.A

.

U3 Fracción inversa y división con fracciones

Fracción inversa Una fracción inversa es una fracción que tiene el numerador y el

denominador invertidos con respecto a una fracción dada. Por ejemplo,

la fracción inversa de 817

es 178

.

El producto de una fracción por su inversa siempre es igual a la unidad.

Verifiquemos esto multiplicando la fracción 615

por su inversa:

615 3 15

6 5 6 3 1515 3 6 5 90

90 5 1

División con fracciones usando la fracción inversa Para dividir una fracción entre otra multiplicamos la primera fracción

por la inversa de la segunda.

Por ejemplo, en la división 107 4 3

8 , hacemos lo siguiente:

ILUSTRACIÓN DE UN JOVEN SIRVIENDO CUATRO VASOS

DE JUGO, DE UN RECIPIENTE DE MEDIO LITRO.

En el cafetín de mi colegio venden productos muy variados. Tienen

jugos de frutas de 12

de litro y de 14

de litro. Ayer compré un jugo de

los más grandes para compartirlo con cuatro de mis compañeros

de clase. ¿Cuánto le tocó a cada uno?

1. Hallamos la inversa

de la segunda fracción.

3. Simplificamos

los resultados.

Entonces, 107 4 3

8 5 8021 .

RecuerdaLa fracción inversa de un número natural tiene como numerador el uno y como denominador el número natural. Por ejemplo, la fracción inversa de 5 es 1

5.

2. Multiplicamos la primera

por la inversa obtenida.53 5

83

107

10 3 83 3 7

8021

83

38

inversa

8021

es irreducible

77

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dito

rial S

antil

lana

, S.A

.

U3 Fracción inversa y división con fracciones División con fracciones sin utilizar la fracción inversa Para dividir dos fracciones sin utilizar la fracción inversa, podemos

hacerlo usando:

• La multiplicación cruzada.

• La “doble C”.

División con fracciones usando la multiplicación cruzada Consiste en multiplicar el numerador de la primera fracción por el

denominador de la segunda, y el denominador de la primera fracción

por el numerador de la segunda.

Por ejemplo, calculemos de esta forma 2514 4

74 .

División con fracciones usando la “doble C” Consiste en multiplicar el numerador de la primera fracción por el

denominador de la segunda y el denominador de la primera fracción

por el numerador de la segunda.

Para obtener el resultado, multiplicamos el numerador superior

por el denominador inferior y el numerador central por el

denominador central.

Calculemos 125 4

49 por este método.

El término “doble C” se debe a que, cuando se multiplica el

numerador superior por el denominador inferior, se forma una “C” grande. También, cuando se multiplica el numerador central por el

denominador central se forma una “c” pequeña.

25 3 414 3 7

74

2514

510098

55049

54

12 3 95 3 4

510820

5275

5

49

1254

9125

54

En un clickRepasa lo que aprendiste de las operaciones con fracciones en la siguiente página.http://www.isftic.mepsyd.es/w3/recursos/primaria/matematicas/fracciones/menu.swf

78

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antil

lana

, S.A

.

U3U3

2. Calculamos las adiciones y sustracciones con los productos

y cocientes obtenidos.

1. Resolvemos las multiplicaciones y divisiones.

Operaciones combinadas Observemos los pasos para resolver la operación:

165 4

32 1

34 3

12 1

310 2

123 4

104


1. Determino la fracción inversa de las fracciones.

a) 25

c ) 2542

e) 19

g) 54

i ) 67

b) 167

d) 3 f ) 1025

h) 18

j ) 103

54 532

165

16 3 25 3 3

3215

54 5104

123

12 3 43 3 10

4830

53 512

38

34

3 3 14 3 2

2. Simplificamos los resultados usando el m.c.d. del numerador

y del denominador.

Finalmente, 165 4 3

2 1 34 3 1

2 1 310 2

123 4 10

4 5 2924 .

145 4 5120 4 5

5145120

2924

5m.c.d. (145,120) 5 5

32 3 8 1 3 3 15 1 3 3 12 2 48 3 4120

5

5256 1 45 1 36 2 192

120

3215

310

4830

15 1 238

165

310

123

104

14 3 1 2 412

34

32

5337 2 192

1205

145120

Para multiplicar por 0,25.

Ejercicios

a) 632 3 0,25

b) 548 3 0,25

c ) 796 3 0,25

d) 364 3 0,25

Cálculo mental

484 3 0,25 5 484 3 14

5 484

4

5 121

484 3 0,25 5 121

U3

79

© E

dito

rial S

antil

lana

, S.A

.

U3


a) Pablo prepara una mezcla de cemento para reparar su casa. Para

hacerla utiliza 3 bolsas de 12 de kg de arena cada una, 2 bolsas

de 18 de kg de cemento cada una, y media bolsa de 2

4 de kg de

piedras. Si utilizó 32 de kg de la mezcla, ¿cuánto sobró de ésta?

b) José repartió la tercera parte de sus metras a 4 amigos hoy en el parque, ¿qué porción

de las metras le dio a cada uno?


Analizo y respondo.

Supongamos que 25 partes de una región es una

reserva forestal cubierta de bosque. Si esa región está

dividida en 3 sectores, que a su vez están divididos en

5 parcelas, ¿qué porción del total de la región representa

cada parcela?

2. Resuelvo las divisiones utilizando la fracción inversa.

a) 38

4 15

b) 3015

4 46

c ) 107

4 254

d) 2 4 619

e) 2913

4 2 f ) 13

4 19

3. Resuelvo las divisiones a través de una multiplicación cruzada.

a) 65

4 1214

b) 2915

4 1042

c ) 2387

4 116

d) 4 4 1232

e) 1640

4 12 f ) 216 4

318

4. Resuelvo las divisiones utilizando el método de la “doble C”.

a) 1265

4 48

c) 27

4 106

e) 2954

4 23 g) 58

4 12

b) 918

4 34

d) 15 4 23

f ) 759 4

448

h) 94

4 23

5. Resuelvo las operaciones combinadas.

a) 16

4 43

1 25

3 2 2 210

1 73

3 14

c ) 12

1 2 2 17

3 34

2 421

4 15

1 4 3 5

b) 153

1 2 4 32

1 34

3 52

2 34

4 23

1 5 3 14

d) 354

2 22

4 15

1 103

4 24

1 46

3 14


© E

dito

rial S

antil

lana

, S.A

.

1. Completo la frase buscando la letra

correspondiente a cada número de

acuerdo con los criterios de divisibilidad.

Bertha Sophie Felicita von Suttner fue la

primera mujer en la historia en recibir el

de la Paz. Recibió el reconocimiento en 1095

por su profunda labor en contra de la guerra.

• Si es divisible entre 2, 3 y 5, coloco la E.

• Si es divisible entre 3 y 5, coloco la N.

• Si es divisible entre 2 y 3, coloco la B.

• Si es divisible entre 2 y 5, coloco la O.

• Si es divisible entre 7 y 5, coloco la P.

• Si es divisible entre 7 y 3, coloco la R.

• Si es divisible entre 7, 3 y 5, coloco la M.

• Si es divisible entre 11 y 5, coloco la I.

• Si es divisible entre 3 y 11, coloco la L.

2. Completo la tabla.

4. Ordeno de menor a mayor las fracciones.

a) 107

; 108

; 1010

; 102

; 1045

; 103

y 101

b) 310

; 210

; 1510

; 2010

; 810

; 410

y 1110

c) 432

; 1622

; 4125

; 125

; 1655

; 302

y 315

d) 38

; 98

; 168

; 18

; 108

; 68

y 28

e) 382

; 482

; 42

; 122

; 12

; 162

y 232

5. Encuentro una fracción comprendida entre cada

par de fracciones dadas.

a) 23

y 33

c ) 215

y 315

e) 75

y 85

b) 1620

y 1720

d) 48

y 58

f ) 430

y 530

6. Simplifico las fracciones para encontrar una

fracción irreducible.

a) 2555

c ) 2163

e) 351963

b) 1680

d) 42077

f ) 4501 000

7. Resuelvo las operaciones.

a) 13

1 103

1 13

g) 454

1 184

2 104

b) 3510

2 1210

1 2 h) 3 1 4312

1 212

2 15

c ) 54

3 84

i ) 163

1 129

1 815

d) 3 3 23

3 1 8

j ) 1940

4 23

e) 43

1 84

4 25

k) 523

1 15

2 36

4 23

f ) 410

4 39

l ) 3 1 74

3 10 2 104

4 23

80

175 441 210 315 55 20 15 620 66 1050 99

3. Comparo las fracciones utilizando los

símbolos “mayor que” (.), “menor que” (,)

o “igual a” (5). Las represento gráficamente.

a) 35

y 75

c ) 212

y 39

e) 970

y 925

b) 63

y 62

d) 4242

y 1616

f ) 1615

y 815

Números m.c.m. m.c.d.Producto

de losnúmeros

Productodel m.c.mx el m.c.d.

77 y 55

40, 22 y 16

30, 82 y 50

66, 44 y 121


© E

dito

rial S

antil

lana

, S.A

.

8. Efectúo las operaciones e indico el nombre

de la propiedad utilizada.

9. Determino la fracción inversa las fracciones.

a) 15

b) 416

c ) 310

d) 35

e) 65

10. Resuelvo las divisiones utilizando el método

indicado en cada caso.

a) 37

4 105

c ) 4 4 78

b) 3125

4 49

d) 418

4 3

81

Enlace con...Juegos

El billar es un juego que se practica impulsando

una bola blanca con un taco de madera. Esta bola

debe tocar a otras dos bolas de color rojo, a través

de piques con las bandas laterales de la mesa de

juego. Para lograr que la dirección de la bola blanca

sea exacta, se usa un método llamado sistema de diamantes. Este sistema consiste en

utilizar operaciones matemáticas para que la bola blanca pegue un número determinado

de veces en las bandas. En la siguiente dirección podrás observar cuáles son estas

operaciones: http://www.youtube.com/watch?v=UzarHHiR5fI&feature=player embedded#

Operación Resultado Propiedad

253 1 1

5 5 15 1 25

3

24 1 13

4 1 35 5 2

4 1 134 1

35

3 1 128 1 0 5 3 1 12

8

416 3 3

9 5 39 3

416

1 2 1 2

(fracción inversa)

(“doble C”) (“doble C”)

(multiplicación cruzada)


a) Pablo es sastre y quiere cortar, en

trozos de igual tamaño, tres piezas

de tela que miden 10 m, 18 m y

26 m, pero que queden lo más grande

posible. ¿Qué tamaño deben tener

los trozos de tela?, ¿cuántos trozos

obtendría Pablo en total?

b) Evelyn preparó un coctel de frutas para

su cumpleaños. Para ello, agregó en

una jarra 12

, de jugo de naranja,14

, de jugo de piña, 25

, de jugo de

patilla, 35

, de jugo de melón y 78

,

de jugo de parchita. ¿Cuántos litros de

coctel preparó Evelyn? Si en la fiesta

se tomaron 2 , de la bebida, ¿cuánto

coctel de frutas sobró?

Resolución de problemasLógica

© E

dito

rial S

antil

lana

, S.A

.

82

2 Los lacos y las lacas son dos familias

que conviven juntas. Los lacos mienten

siempre y las lacas siempre dicen la

verdad. Un laco dijo: “Algunos lacas son

altos”. De esta afirmación se deduce que:

a) Todos los lacos son bajos.

b) Ningún laca es alto.

c) Algunos lacos no son altos.

d) Ningún laca es bajo.

3 Si todos los ejecutivos suelen viajar a

París y sólo quienes poseen aviones

suelen viajar a París, es cierto que:

a) Todos los dueños de aviones

son ejecutivos.

b) Todos los ejecutivos poseen aviones.

c) Todos los que viajan a París o son

ejecutivos o poseen aviones.

d) Todos los que viajan tienen aviones.

Para resolver este problema analizamos primero el planteamiento, con lógica,

antes de ver las opciones.

Como los latinoamericanos comen más piña que manzana y los venezolanos

comen más piña que todos los latinoamericanos, entonces, se puede decir que

los venezolanos comen también mucha más piña que manzana. De allí, queda

descartada la opción a).

Veamos la opción b). Evidentemente, si los venezolanos comen más piña que todos

los latinoamericanos, quiere decir que comen más piña que cualquiera de las

nacionalidades latinoamericanas, incluyendo los peruanos. Por lo tanto, la opción b)

también se puede asegurar.

Por último, la opción c) no se puede asegurar, puesto que en el planteamiento no

se dice nada respecto a la cantidad de manzanas que comen los venezolanos.

Si los latinoamericanos comen más piña que manzana y los venezolanos comen

más piña que todos los demás latinoamericanos, no puede asegurarse que:

a) Los venezolanos comen más piña que manzana.

b) Los venezolanos comen más piña que los peruanos.

c ) Los venezolanos comen menos manzana que todos

los demás latinoamericanos.

1

Qué necesitamos• Computadora con

conexión a Internet

• Libros de cocina

• Ingredientes para preparar la receta

• Utensilios de cocina

• Ayuda de una persona mayor

Aprendiendo a cocinarCómo lo hacemos?

1. Consultamos en Internet, en libros de cocina o en recetarios, una receta de algún plato típico venezolano en la cual algunos de los ingredientes aparezcan en fracciones. La receta también debe incluir la cantidad de personas para las que se prepara.

2. Contamos la cantidad de personas que hay en el salón, entre compañeros, compañeras y el o la docente.

3. Dividimos la cantidad de personas contadas entre la cantidad de personas a las que va dirigida la receta. Ese número lo multiplicamos por cada cantidad de ingredientes de la receta, para que la comida alcance para todas las personas del salón.

4. Con la ayuda de una persona mayor, cocinamos la receta en casa.

Utilizamos nuestra comidaExplicamos el origen del plato típico que preparamos y lo compartimos con todas las personas del grupo.

© E

dito

rial S

antil

lana

, S.A

.

83

Pensar, hacer y reflexionar…• ¿Tuve que utilizar las operaciones con fracciones para

saber los ingredientes exactos del plato que quería preparar?, ¿cuáles operaciones usé?

• ¿Qué me pareció el compartir que tuvimos en el salón de clases?

• ¿Me gustaría repetir momentos como éste con mis compañeros y compañeras de clases?

• ¿Creo que puedo ayudar en la cocina de mi casa?, ¿bajo qué condiciones?

• ¿Fue sencillo cocinar este plato?• ¿Qué me pareció la experiencia?

Unidad 1

Sistemade numeración p.10

Operacionescombinadas p.38


Desarrollo del pensamiento

y toma de decisiones p.67

SOLUCIÓN de problemas

mediante ecuaciones p.92


PAPEL reciclado p.113

ActividadesDE REPASO p.156

Resolución de problemas

Conteo p.176

Enlace con…

DEPORTES p.193

6



6Libro

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CD Alumno

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con MatemáticaEnlace es un conjunto de materiales didácticos articulados por la

convicción de que sólo encontrándole sentido a los conocimientos

logramos el aprendizaje.

Las áreas académicas se enlazan entre sí y –a la vez– con la red del

conocimiento universal y con la realidad cotidiana. Son esas conexiones

las que otorgan signifi cado a los conceptos. Enlace presenta algunas

de ellas, pero faltan muchas por descubrir. Ese es el reto.

Desde Santillana agradecemos a las escuelas que participaron en

las pruebas de las páginas piloto. Los aportes hechos por los y las

docentes, tras vivir la experiencia de Enlace con sus estudiantes,

fueron clave para desarrollar estos bienes pedagógicos.

con Lengua y Literaturacon Matemáticacon Ciencias de la Naturaleza y Tecnologíacon Ciencias Sociales

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