Structural Analysis 6

Engineering Mechanics:

Statics in SI Units, 12e

Bölüm Hedefleri

• Determine the forces in the members of a truss using the

method of joints and the method of sections

• Analyze forces acting on the members of frames and

machines composed of pin-connected members

Bölüm Özeti

1. Basit kafesler

2. Düğüm noktaları metodu

3. Sıfır-kuvvet elemanları

4. Kesim metodu

5. Uzay kafesleri

6. Çerçeveler ve makinalar

6.1 Basit Kafesler

• Uç noktalarından birleştirilmiş ince çubuklardan oluşan

yapılardır.

Düzlem kafesler

• Düzlem kafesler tek bir düzlem içinde yer alır ve sıklıkla

çatı ve köprülerde taşıyıcı sistem olarak kullanılır.

• Çatı yükü bir dizi aşık aracığıyla düğüm noktalarında kafes

sisteme aktarılır.

6.1 Basit Kafesler

Düzlem kafesler

• Çubuklarda oluşan kuvvetlerin analizi iki boyutludur.

• Çatı kafes sistemi gibi, köprü kafes sistemi yüklemesi de

düzlemseldir.

6.1 Basit Kafesler

Tasarımda kullanılan varsayımlar

1. “tüm yüklemeler düğüm noktalarında uygulanır”

- çubuk yükleri ihmal edilir.

2. “çubuklar birbirine pürüzsüz mafsallar ile bağlanmıştır”

- bağlanan çubukların orta çizgilerinin aynı noktadan geçtiği

kabul edilir.

6.1 Basit Kafesler

Basit kafes

• Çökmeyi önlemek için kafes sistemlerin formu rijit olmalıdır.

• Rijit veya kararlı olan en basit form bir üçgendir.

6.2 Düğüm noktaları yöntemi

• Kafes sistemdeki her bir elemandaki kuvveti bulmamız

gerekiyor.

• Çubuklardaki kuvvetler iç kuvvetlerdir.

• Dış kuvvet elemanları için denge denklemleri uygulanabilir.

• Herbir düğüm noktasında etkiyen kuvvetler düzlemseldir

ve aynı noktadan geçer.

• ∑Fx = 0 ve ∑Fy = 0 denge için sağlanmalıdır.

6.2 Düğüm noktaları yöntemi

Analizde izlenecek yol

• En az bir bilinen kuvvet ve en fazla iki bilinmeyen kuvvete

sahib bir düğüm noktasının SCD çizilir.

• Find the external reactions at the truss support

• Determine the correct sense of the member

• Orient the x and y axes

• Apply ∑Fx = 0 and ∑Fy = 0

• Bilinen kuvvet kullanılarak bilinmeyen kuvvetlerin analizi

yapılır.

Örnek 6.1

Kafes sistemin her bir elemandaki kuvveti belirleyiniz ve

elemanların çekme etkisinde mi basınç etkisinde mi olduklarını

belirtiniz.

Çözüm

• B düğümünde 2 bilinmeyen kuvvet

• C düğümünde 1 bilinmeyen reaksiyon kuvveti

• A düğümünde 2 bilinmeyen çubuk kuvveti ve 2 bilinmeyen

reaksiyon kuvveti

B düğümü için,

)(500045cos

;0

)(1.707045sin500

;0

TNFFNF

F

CNFNFN

F

BABABC

y

BCBC

x

Çözüm

C düğümü için,

A düğümü için,

NCNC

F

TNFNF

F

yy

y

CACA

x

500045sin1.707

;0

)(500045cos1.707

;0

NAAN

F

NAAN

F

yy

y

xx

x

5000500

;0

5000500

;0

Çözüm

C düğümü için,

A düğümü için,

NCNC

F

TNFNF

F

yy

y

CACA

x

500045sin1.707

;0

)(500045cos1.707

;0

NAAN

F

NAAN

F

yy

y

xx

x

5000500

;0

5000500

;0

Çözüm

• Mafsalların SCD tüm bağlı çubukların etkilerini ve mafsala

uygulanan dış kuvvetleri göstermektedir.

• Çubukların SCD ise yalnızca uçlardaki mafsalların çubuk

üzerindeki etkisini göstermektedir.

Örnek

örnek

çözüm

6.3 Sıfır kuvvet çubukları

• Düğüm noktaları metodu sıfır kuvvet elemanları

kullanılarak basitleşir.

• Sıfır kuvvet çubukları yük taşımazlar

• Genellikle , üç çubuk bir kafes sistemi düğüm noktası

oluşturduğunda ,üçüncü çubuk düğüm noktasına hiçbir dış

kuvvet veya mesnet tepkisi uygulanmıyorsa bir sıfır kuvvet

çubuğudur.

Örnek 6.4

Düğüm noktası yöntemi kullanılarak fink çatı kafes sisteminin

bütün sıfır kuvvet çubuklarını belirleyiniz. Bütün düğüm

noktalarının mafsallı olduğunu varsayınız.

Çözüm

G düğümü için,

GC is a zero-force member.

D düğümü için,

00 GCy FF

00 DFx FF

Çözüm

F düğümü için,

B düğümü için,

0,90

0cos0

FC

FCy

F

FF

0,90

0cos0

FC

FCy

F

FF

Çözüm

FHC satisfy ∑Fy = 0 and therefore HC is not a zero-force

member.

6.4 Kesim Yöntemi

• Cisim içinde etkiyen yükleri belirlemede kullanılır.

• Eğer bir cisim dengede ise ,cismin bir parçası da

dengededir.

• Cismi iki parçaya bölen hayali bir kesim yapılır

parçalardan birinin SCD çizildiği takdirde.diyagram kesitte

etkiyen yükleri içermelidir.

6.4 Kesim Yöntemi

• a-a kesitini ve kafesi dikkate alalım

• Eleman kuvvetleri eşit ve diğer parçada etkiyenle birbirine

zıttır– Newton kanunu

6.4 Kesim Yöntemi

Analizde izlenecek yol

Serbest cisim diyagramı

• Kafesin nerden kesileceğine karar ver

• Kafes dış mesnet reaksiyonlarını belirle

• Denge denklemleri kullanarak kesitteki eleman

kuvvetlerini bulunuz.

• Kesit alınmış kafes sistemin üzerine en az kuvvet etkiyen

parçasının SCD çiziniz.

• Find the sense of an unknown member force

6.4 Kesim Yöntemi

Analizde izlenecek yol

Denge denklemleri

• Bir noktaya göre moment alınır

• 3.bilinmeyen kuvvet moment denkleminden elde edilir.

Örnek 6.5

Kafes sistemin GE, GC, ve BC çubuklarındaki kuvvetleri

belirleyiniz.çubuklar çekmemi yoksa basınç etkisinde mi

olduklarını belirtiniz..

Çözüm

• Choose section a-a since it cuts through the three

members

• Draw FBD of the entire truss

NANNAF

NDmDmNmNM

NAANF

yyy

yyA

xxx

30009001200 ;0

9000)12()3(400)8(1200 ;0

4000400 ;0

Çözüm

• Draw FBD for the section portion

)(50005

3300 ;0

)(8000)3()8(300 ;0

)(8000)3()3(400)4(300 ;0

TNFFNF

CNFmFmNM

TNFmFmNmNM

GCGCy

GEGEC

BCBCG

örnek

çözüm

6.5 Uzay Kafesler

• Consists of members joined together at their ends to

form 3D structure

• The simplest space truss is a tetrahedron

• Additional members would be redundant in supporting

force P

6.5 Uzay Kafesler

Assumptions for Design

• Members of a space truss is treated as 2 force

members provided the external loading is at the joints

• When weight of the member is considered, apply it as

a vertical force, half of its magnitude applied at each

end of the member

Method of Joints

• Solve ∑Fx = 0, ∑Fy = 0, ∑Fz = 0 at each joint

• Force analysis has at least 1 unknown force and 3

unknown forces

6.5 Uzay Kafesler

Method of Sections

• When imaginary section is passes through a truss it

must satisfied

∑Fx = 0, ∑Fy = 0, ∑Fz = 0

∑Mx = 0, ∑My = 0, ∑Mz = 0

• By proper selection, the unknown forces can be

determined using a single equilibrium equation

Örnek 6.8

Determine the forces acting in the members of the space

truss. Indicate whether the members are in tension or

compression.

Çözüm

For Joint A,

0577.0577.0577.04

0

;0

)577.0577.0577.0(

,,}4{

kFjFiFkFjFj

FFFP

F

kjiF

r

rFF

kFFjFFkNjP

AEAEAEACAB

AEACAB

AE

AE

AEAEAE

ACACABAB

Çözüm

For Joint B,

To show,

0

)(2

)(66.5

0707.02;0

045sin4;0

0707.045cos;0

CEDCDE

BD

BEB

BEBDz

By

BEBx

FFF

CkNF

TkNFR

FFF

RF

FRF

6.6 Çerçeveler ve Makineler

• Mafsal bağlı çok kuvvetli elemanlardan oluşur.

• Çerçeveler sabittir.

• Denge denklemleri kullanılarak her bir elemandaki

bilinmeyen kuvvetler bulunur.

6.6 Çerçeveler ve Makineler

Serbest cisim diyagramı

• Her bir parça taslak şekli çizilerek soyutlanır.

– Parça üzerindeki kuvvetler ve/veya momentler gösterilir.

– Bilinen ve bilinmeyen kuvvet ve momentler belirlenir.

– boyutlar gösterilir.

– denge denklemleri uygulanır.

– bilinmeyen kuvvet ve momentin yönü

kabul edilir

– SCD çizilir.

Örnek 6.9

Çerçeve için, (a) her bir elemanın, (b) B deki mafsalın (c)

birbirine bağlı iki elemanın SCD çiziniz.

Çözüm

Part (a)

• BA and BC are not two-force

• AB is subjected to the resultant forces from the pins

Çözüm

Part (b)

• Pin at B is subjected to two forces, force of the

member BC and AB on the pin

• For equilibrium, forces and respective components

must be equal but opposite

• Bx and By shown equal and opposite on members AB

Çözüm

Part (c)

• Bx and By are not shown as they form equal but opposite

internal forces

• Unknown force at A and C must act in the same sense

• Couple moment M is used to find reactions at A and C

örnek

çözüm

Örnek

QUIZ

1. One of the assumptions used when analyzing a simple

truss is that the members are joined together by

__________.

A) Welding B) Bolting C) Riveting

D)Smooth pins E) Super glue

2. When using the method of joints, typically

_________ equations of equilibrium are applied at every

joint.

A) Two B) Three

C) Four D) Six

QUIZ

3. Truss ABC is changed by decreasing its height from

H to 0.9 H. Width W and load P are kept the same.

Which one of the following statements is true for the

revised truss as compared to the original truss?

A) Force in all its members have decreased.

B) Force in all its members have increased.

C) Force in all its members have remained the same.

D) None of the above.

QUIZ

4. For this truss, determine the number of zero-force

members.

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

F

F

QUIZ

5. Using this FBD, you find that FBC = – 500 N. Member

BC must be in __________.

A)Tension

B) Compression

C) Cannot be determined

6. For the same magnitude of force to be carried, truss

members in compression are generally made _______ as

compared to members in tension.

A) Thicker

B) Thinner

C) The same size

QUIZ

7. In the method of sections, generally a “cut” passes through no more than _____ members in which the forces are unknown.

A) 1 B) 2

C) 3 D) 4

8. If a simple truss member carries a tensile force of T along its length, then the internal force in the member is ______ .

A) Tensile with magnitude of T/2

B) Compressive with magnitude of T/2

C) Compressive with magnitude of T

D) Tensile with magnitude of T

QUIZ

9. Can you determine the force in member ED by making

the cut at section a-a? Explain your answer.

A) No, there are 4 unknowns.

B) Yes, using MD = 0 .

C) Yes, using ME = 0 .

D) Yes, using MB = 0 .

QUIZ

10. If you know FED, how will you determine FEB ?

A) By taking section b-b and using ME = 0

B) By taking section b-b, and using FX = 0 and FY = 0

C) By taking section a-a and using MB = 0

D) By taking section a-a and using MD = 0

QUIZ

11. As shown, a cut is made through members GH, BG

and BC to determine the forces in them. Which section

will you choose for analysis and why?

A) Right, fewer calculations.

B) Left, fewer calculations.

C) Either right or left,

same amount of work.

D) None of the above,

too many unknowns.

QUIZ

12. When determining the force in member HG in the

previous question, which one equation of equilibrium is

best to use?

A) MH = 0

B) MG = 0

C) MB = 0

D) MC = 0

QUIZ

13. When determining the reactions at joints A, B, and C,

what is the minimum number of unknowns for solving this

problem?

A) 3 B) 4

C) 5 D) 6

14. For the above problem, imagine that you have drawn

a FBD of member AB. What will be the easiest way to

write an equation involving unknowns at B?

A) MC = 0 B) MB = 0

C) MA = 0 D) FX = 0