engineeriin matematica ii 1997

Инженерийн математик

Ж.Баасандорж, Т.Бавуудорж, Д.Батхуяг, Г.Яргай, Д.Дарьсүрэн, Ц.Сарантуяа, Д.Нямсүрэн,

А.В.Лошенко, Ө.Цэрэн, Я.Базарсад

ИНЖЕНЕРИИН МАТЕМАТИК II

Редактор: дэд профессор Ж.Баасандорж

Техникийн Их Сургуулийн эрдмийн зөвлөлийн шийдвэрээр хэвлэв.

Техникийн Их Сургууль УЛААНБААТАР 1997.

-1-


Ж.Баасандорж, Т.Бавуудорж, Д.Батхуяг, Г.Яргай, Д.Дарьсүрэн,

Ц.Сарантуяа, Д.Нямсүрэн, А.В.Лошенко, Ө.Цэрэн, Я.Базарсад

ИНЖЕНЕРИЙН МАТЕМАТИК II

Редактор: дэд профессор Ж..Баасандорж. Нэгдүгээр хэвлэл. 1997. 594

хуудастай.

Инженерийн математик II нь Техникийн Их Сургуулийн инженерийн

ангиудад үзэх математикийн курсийн хоёр дэвтэр сурах бичгийн

хоёрдугаар нь юм.

Энэ номонд магадлалын онол, математик статистик, математик

физикийн тэгшитгэд, комплекс хувьсагчийн функцийн онол, Үйлдлийн

тоолол, шугаман программчилал, шугаман бус программчилал гэсэн бүлгүүдийг

багтаасан болно.

-2-


Гарчиг

I Магадлалын онол

1 Комбинаторик ......................................................................

1.1 Хосын тухай теорем ................................................

1.2 Түүвэр ....................................................................... 10

1.3 Эх олонлогийг дэд олонлогуудад хуваах тухай . . 11

1.4 Хайрцагийн схем ...................................................... 14

2 Санамсаргүй үзэгдэл,түүний магадлал........................... 16

3 Магадлалын классик тодорхойлолт. Магадлалыг шууд бодох 18

4 Магадлалыг нэмэх ба үржих .......................................... . 21

5 Нөхцөлт магадлал. Гүйцэд магадлал. Байесын томъёо. . . 26

6 Тасралттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль 32

7 Тасралттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик дундаж ба

дисперс .................................................................................. 38

8 Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн ......................... 50

8.1 Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц . 50

8.2 Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын

нягт........................................................................... . 54

8.3 Зарим нэр бүхий тасралтгүй тархалтууд . . . . . . 56

8.4 Санамсаргүй вектор . Хамтын тархалт . . . . . . . 59

8.5 Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн үл хамаарах чанар 64

8.6 Санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс хамаарсан функц . 65

8.7 Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик

дундаж . 69

8.8 Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперси

8.9 Ковариац,Корреляцийн коэффициент . ............ 75

8.10 Нөхцөлт тархалт , нөхцөлт математик дундаж . 82

8.11 Их тооны хууль.Хязгаарын гол теорем ..................... 85

II Математик статистик 97

Математик статистикийн үндсэн ойлголтууд ....... 97

-3-


1.1 Математик статистикийн судлах зүйл ............... 97

1.2 Эх олонлог болон түүврийн олонлог: . . . . . . . . . 98

1.3 Статистик эгнээ. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний

статистик тархалт ............................................... 99

1.4 Туршилтын тархалтын функц............................... 101

1.5 Статистик эгнээг графикаар дүрслэх................. 103

Математик статистикт өргөн хэрэглэгддэг тархалт . . 106

2.1 Гамма-функц, түүний чанар ............................... . 106

2.2 х2"таРхалт (Хи-квадрат тархалт) ............................. 107

2.3 Стьюдентийн тархалт ............................................. 109

2.4 Фишерийн тархалт ................................................... 111

3 Тархалтын үл мэдэгдэх параметрийн статистик үнэлэлт . 112

3.1 Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний

математик дундачийн завсран үнэлэлтийг байгуулах 125


дундач квадрат хазайлтын завсран үнэлэлт . . . . . 129

4 Параметрийн таамаглалыг шалгах ............................... . 134

4.1 Бодлогын тавил, үндсэн ойлголтууд . ................. 134

4.2 Тэг таамаглал шалгах учир холбогдлын шинжүүр . 138

4.3 Статистик таамаглалыг шалгахад гарах алдаа.

Статистик шинжүүрийн учир холбогдлын түвшин . 140


математик дундчийн тухай таамаглал шалгах . . . 143

4.5 Хэвийн тархалттай хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүү

4.6 ижил математик дундачтай байх таамагла-

лыг шалгах................................................................ 148


дисперсийн тухай таамаглал шалгах .................. 151

4.8 Хэвийн тархалттай хоёр санамсаргүй хэмжигдэ-

хүүний дисперсүүд ижил байх таамаглал шалгах . 153

4.9 Хэвийн тархалттай хэд хэдэн санамсаргүй хэмжиг-

дэхүүний дисперсийн тухай таамаглал шалгах . . . 156

4.10 Хэвийн тархалттай хэд хэдэн санамсаргүй хэмжиг-

дэхүүний дундачийн тухай таамаглалыг шалгах . . 157

5 Параметрийн бус таамаглалыг шалгах ............... 165

-4-


5.1 Үндсэн ойлголтууд ........................................................... 165 5.2 Зохицлын х2 шинжүүр .................................................... 166 5.3 Зохицлын А шинжүүр ..................................................... 169 5.4 Тэмдгийн шинжүүр......................................................... 173 5.5 Туршилтын дүнг боловсруулах .................................... 174

6 Шугаман регрессийн корреляцийн шинжлэлийнэлементүүд 183 6.1 Регрессийн ба корреляци шинжлэлийн үндсэн ойл-

голтууд .............................................................................. 183 6.2 Шугаман регресс ............................................................. 188 6.3 Корреляцийн коэффициент ........................................ 191 6.4 Шугаман корреляцийн анализ....................................... 195 6.5 Шугаман регрессийн тэгшитгэл .................................. 200 6.6 Регрессийн шугамын орчинд туршилтын цэгүүдийн

сарнилт .............................................................................. 202 6.7 Шугаман регрессийн коэффициентийн цзгэн үнэ-

лэлтийн нарийвчлалыг үнэлэх ....................................... 205 6.8 Шугаман регрессийн коэффициентүүдийн завсран

үнэлэлт................................................................................ 206 6.9 Туршилтын өгөгдлөөр математик загварыг шинжлэх 210

III Математик физикийн тэгшитгэл 215 1 Тухайн уламжлалт дифференциал тэгшитгэл ....................... 215

1.1 Хувьсагч нь ялгагдах тухайн уламжлалт диффе- , ренциал тэгшитгэлүүд .................................................... 216

1.2 Сонгодог тэгшитгэлүүд ба захын утгат тэгшитг- элүүд .................................................................................. 222

1.3 Дулааны тэгшитгэл ....................................................... 230 1.4 Долгионы тэгшитгэл ...................................................... 233 1.5 Лапласын тэгшитгэл........................................................ 240

2 Математик физикийн тэгшитгэлийн хэрэглээний бодлогууд 244 2.1 Чавхдасны хөндлөн хэлбэлзлэлийн тэгшитгэлийн

бодлогууд ........................................................................... 244 2.2 Штурм-Лиувиллийн бодлого ...................................... 252 2.3 Дулаан дамжуулалтын тэгшитгэлийн бодлогууд 256 2.4 Лапласын тэгшиттэляйн бодлогууд ............................. 264

IV Комплекс хувьсагчийн функцийн онол 277 1 Комплекс тоо ............................................................................. 277

1.1 Комплекс тоо, түүн дээрх үйлдэл.................................................277

-5-


1.2 Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр дахь бнчлэг 281 2 Комплекс хувьсагчийн функц .................................................... 287

2.1 Комплекс хавтгай дээрх цэгүүдийн олонлог . . . 287 2.2 Комплекс хувьсагчийн функц . . . . . . . ....................... 289 2.3 Коши-Риманы нөхцлүүд ................................................. 295 2.4 Илтгэгч ба Логарифм функцүуд . . . . . . . . . . . 301 2.5 Тригонометрийн ба гипербол функцүүд..................... 305

3 Комплекс хувьсагчийн функцийн интеграл ..................... 309 3.1 Муруй шугаман интеграл .............................................. 309 3.2 Коши-Гурсийн томьёо ..................................................... 315 3.3 Замаас үл хамаарах ......................................................... 321 3.4 Кошийн интеграл томьёо .......................................... 323

4 Цуваа ба үлдэц .............................................................................. 327 4.1 Дараалал ба цуваа ........................................................... 327 4.2 Тейлорын цуваа ................................................................ 333 4.3 Лораны цуваа ................................................................... 336 4.4 Тусгаарлагдсан онцгой цэгүүдийг ангилах ............... 341 4.5 Функцийн үлдэц ............................................................... 344 4.6 Бодит хувьсагчийн функцийн интегралыг үлдэц хэр-

эглэж бодох ................................................................... 348

V Үйлдлийн тоолол 355 1 Оргиналь ба дүрслэл .................................................................... 355

1.1 Оргиналь ба дүрслэлийн тодорхойлолт .................. 355 1.2 Хевисайдын нэгж функц ба түүний дүрслэл . . 357 1.3 Гамма функц ба зэрэгт функцийн дүрслэл ........... 358 1.4 Илтгэгч функцийн дүрслэл ....................................... 359

2 Үйлдлийн тооллын үндсэн теоремууд ................................. 360 2.1 Нэгэн төрлийн чанар....................................................... 360 2.2 Нийдбэрийн чанар ............................................................ 360 2.3 Шугаман чанар ................................................................. 361 2.4 sint, cost, sht,cht функцуудын дүрслэл ...................... 361 2.5 Төсөөтэйн теорем ............................................................. 362 2.6 Хожимдолын теорем ........................................................ 365 2.7 Урьдачийн теорем ........................................................... 367 2.8 Хэсэгчилсэн тасралтгүй оргинал функцийн дүрслэлийг

олох .................................................................................... 369 2.9 Үет оргиналын дүрслэл ............................................. 374 2.10 Шилжилтийн теорем ....................................................... 378

-6-


2.11 Оргиналийг дифференциалчлах ................................... 381 2.12 Дүрслэлийг дифференциалчлах .................................... 383 2.13 Оргиналийг интегралчлах ............................................. 386 2.14 Дүрслэлийг интегралчлах .............................................. 388 2.15 Функцийн хуниас ............................................................. 390 2.16 Үржүүлэх теорем ............................................................. 392 2 . 1 7 Дюамелийн интеграл........................................................ 34494 3.Дүрслэлээр оргиналийг олох ................................................... 395 3.1 Зөв рациональ бутархайг хялбар рацианаль бутар-

хайд задлаж оргиналийг олох . . . . . . . . . . . . . 395 3.2 Задаргааны нэгдугээр теорем . . . . . . . . . . . . . 396 3.3 Задаргааны хоёрдугаар теорем .................................... 397 4.Үйлдлийн тооллын зарим хэрэглээ ........................................ 400 4.1 Тогтмол коэффициент бүхий шугаман диффе-

ренциал тэгшитгэлпйг бодох ........................................ 401 4.2 Тогтмол коэффициент бүхий шугаман дифферен-

циал тэгшитгэлийн системийг бодох . . . . . . . . . 406 4.3 Тэг анхны нөхцөл бүхий шугаман дифференциал

тэгшитгэлийг Дюамелийн интегралаар бодох . . . 410 4.4 Шугаман коэффициент бүхий шугаман дифферен-

циал тэгшитгэлийг бодох . . . . . . . . . . . . . . . 413 4.5 Цувааг нийлбэрчлэх ..................................................... . 416 4.6 Өргөтгөсөн интегралыг бодох ...................................... 418

V I .Шуг ам а н пр о г р аммчил а л 423 Шугаман программчилалын бодлого, түүнип дүрсууд . . . 423 1.1 Жорданы хувиргалт ....................................................... 426 1.2 Шугаман тэгшитгэлийн системшш суурь шийд . . 429 1.3 Шугаман программчилалын бодлогын шийдийн ча-

нар ба үндсэн теоремууд . . . . . . . . . . . . . . . . 430 1.4 Графикийн арга ............................................................... 432 1.5 Симплекс арга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 1.6 Тулгуур шийд олох ..................................... .................... 434 1.7 Оновчтой шийд олох ....................................................... 436 1.8 Максимумчилах бодлогын оновчтой шийдийг олох 436 1.9 Зохпомол суурпйн арга ................................................... 444 1.10 Хосмог бодлого . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 1.11 Хосмог чанарын үндсэн теоремууд, түүний хэрэглэгээ 453 1.12 Хосмог симплекс арга ..................................................... 459

-7-


1.13 Шугаман прогаммчилалын бодлогын шийдийн за-

рим шинжилгээ ................................................................ 462 1.14 Бодлого дасгалууд ...................................................... 468 Тээврийн бодлого ........................................................................ 470 2.1 Тээврийн бодлогын томьёолол ..................................... 470 2.2 Анхны тулгуур шийд олох аргууд .......................... 473 2.3 Тооцооны хүрээгээр ачаа шилжүүлэх хувиргалт ■. . 478 2.4 Хуваарилах арга ......................................................... 479 2.5 Потенциалын арга ...................................................... 481 2.6 Сүлжээ тавилтай тээврийн бодлого ....................... 485 Бүхэл тоон ирограммчилал ................................................... 488 3.1 Бүхэл тоон программчилалын бодлого ...................... 488 3.2 Гоморын арга................................................................... 489 Бутархай шугаман программчттлал......................................... 494 4.1 Бутархай шугаман программчилалын бодлого . . . 494 4.2 График арга, түүний геометр утга............................. 495 4.3 Бутархай шугаман программчилалын бодлогыгсим-

плекс аргаар бодох нь ................................................. 498 Параметрт программчилал .................................................... 505 5.1 Зорилгын функцдээ параметртэй бодлого ................. 505 5.2 Хяэгаарлалтын системийн сул гишүүндээ параметртэй

бодлого .......................................................................... 510 5.3 Бодлого дасгалууд: .................................................... 515

VII.Шугаман биш программчлал 521 Шугаман биш программчлалын бодлогын геометр тайлбар .......................................................................................... 522 Лагранжийн үржигдэхүүний арга ........................................ 526 Гүдгэр ба хотгор программчлалын бодлого, Куна- Таккерийн теорем........................................................................ 533 Квадрат программчлалын бодлого.......................................... 541 Градиентийн аргууд .................................................................. 547

VIII.Хариу ба хавсралт 567

-8-


Өмнөх үг

Техникийн Их Сургуулийн бэлтгэн гаргаж буй мэргэжилтэнд эдийн засгийн салбаруудад шинэ техник технологийг нэвтрүүлэх оновчтой ар-гыг сонгож авах , үйлдвэрлэлийн процессийн загварчлал , туршилтийг төлөвлөх , техникийн аливаа шийдийн оновчтой хувилбарын сонгох чад-вар эзэмшихэд шаардагдах математикийн тусгай курсуудийн үндсийг энэхүү сурах бичигт багтаасан болно.

Номын агуулгыг ТИС-т үзэх математикийн курсийн хөтөлбөрт то-хируулсан бөгөөд математик томъёолол , баталгааг нарийвчлан хийх-гүйгээр харин тодорхой жишээн дээр тайлбарлаж хэрэглээг онцлон ан-хаарав.

Энэхүү сурах бичгийн зүйл бүрт дасгал , бодлогыг хавсаргасан нь тусгай бодлогын хураамжгүйгээр дадлагын хичээл явуулах боломж ол-гоно. Номын I бүлгийг Д. Батхуяг, Г. Яргай , II бүлгийг Ж. Баасан-дорж , Д.Дарьсүрэн III бүлгийг Ц. Сарантуяа , Д. Нямсүрэн , IV бүлгийг Т. Бавуудорж , V бүлгийг А.В. Лошенко, VI бүлгийг Ө. Цэрэн , VII бүл-гийг Я. Базарсад нар бичив.

Энэхүү сурах бичгийг зохиох ажлыг санаачлан дэмжлэг үзүулсэн ТИС-ийн ректор Д. Бадарчид гүн талархал илэрхийлье. Номын эхийг компьютерт бэлтгэсэн багш Б. Очирбат , Д. Нямсүрэн , Б. Өсөхсүрэн , Л. Батболд , С. Уранчимэг , Д. Ганзориг , зураг чимэглэл хийсэн багш Д. Баттогтох нарт гүн талархал илэрхийлье.

Энэ сурах бичгийн талаархи санал бодлоо ТИС-ийн математикийн тэнхимд ирүүлж бидний ажилд туслахыг хүсье,

Эрдэм номд шамдан суралцагч оюутан та бүхэнд амжилт хүсье.

Редактор .

-9-


Бүлэг I

Магадлалын онол

1 Комбинаторик

1.1 Хосын тухай теорем

Теорем 1.1 A — ai, а2,..., ат , В = 61; 62,.... 6„ жоео олоплог өгөгдсөн байг. Олонло& тус бцрээс нэг нэг элемент авч щсгэсэн (a,j,bk) хэлбэртэй өөр өөр бцх хосыи тоо нъ т ■ п болно.

Теорем 1 2 г > 2 ба натура i moo

болог.

а2, . . ,ап г } ,В = {&1,

62,..., ЪП2} , . . . , Т = {U,t2,

гэсэн г олонлог элемент агуулсан уусгэх бцх боломж

өгөгдсөн байг.Олонлог гпус бурээс иэг нэг (ап, bj2,..., tjk) хэлбэрийн өөр өөр хослолыг ийн moo нь пхщ.-.Пк болно.

^Кишээ 1. Хөзрийн мод нь өнгө,нэр хоёроороо нэгэн утгатай тодорхойлогдоно. Өнгөний тоо 4,нэрийн тоо 13 тул өнгө нэрийн хосын тоо 52 болно.Хөзөр 52 модтой болохыг хэн бүхэн мэднэ.

-10-


-11-


-12-


-13-


-14-


-15-


-16-


-17-


-18-


-19-


-20-


-21-


-22-


-23-


-24-


-25-


-26-


-27-


-28-


-29-


-30-


-31-


-32-


-33-


-34-


-35-


-36-


-37-


-38-


-39-


-40-


-41-


-42-


-43-


-44-


-45-


-46-


-47-


-48-


-49-


-50-


-51-


-52-


-53-


-54-


-55-


-56-


-57-


-58-


-59-


-60-


-61-


-62-


-63-


-64-


-65-


-66-


-67-


-68-


-69-


-70-


-71-


-72-


-73-


-74-


-75-


-76-


-77-


-78-


-79-


-80-


-81-


-82-


-83-


-84-


-85-


-86-


-87-


-88-


-89-


-90-


-91-


-92-


-93-


-94-


-95-


-96-


-97-


-98-


-99-


-100-


-101-


-102-


-103-


-104-


-105-


-106-


-107-


-108-


-109-


-110-


-111-


-112-


-113-


-114-


-115-


-116-


-117-


-118-


-119-


-120-


-121-


-122-


-123-


-124-


-125-


-126-


-127-


-128-


-129-


-130-


-131-


-132-


-133-


-134-


-135-


-136-


-137-


-138-


-139-


-140-


-141-


-142-


-143-


-144-


-145-


-146-


-147-


-148-


-149-


-150-


-151-


-152-


-153-


-154-


-155-


-156-


-157-


-158-


-159-


-160-


-161-


-162-


-163-


-164-


-165-


-166-


-167-


-168-


-169-


-170-


-171-


-172-


-173-


-174-


-175-

II. 5. Параметрийн бус таамаглалыг шалгах 173

Эндээс ХаЖигл = D*y/n = 0.247 ■ х/60 = 1.914

ү-тархалтып хүснэгтзэс

Үо.05 = 1.358 гэж олно.

1.914 > 1.358 буюу ■ Хажигл > XO.Q5

тул тэг таамаглалыг няцаана. Иймд хяналтын хугацаанд савлагч автоматын ажиллагаа тогтвортой бус байна.

5.4 Тэмдгийн шинжүүр

Практикт үл мэдэгдэх тархалт бүхий санамсаргүй хэмжигдэ-хүүн олоитаа тохиолддог. Эыэ тохиолдолд параметрт бус учир холбогдлып шинжүүрийг статистик шалгалтанд хзрэглэиэ. Па-раметрийн бус шинжүүр нь параметрт шинжүүрийг бодвол ча-дал султай ч хялбар статистик хэрэглэдэ]л учир тооцоо хийхэд хэмнэлттэй.

Хоёр өөр түүвэр нэг эх олонлогоос зохиогдсон байх тухай тэг таамаглалыг тэмдгийн шинжүүр хэмээх параметрийн бус шин-жүүрээр шалгадаг. Энэ шинжүүрлиг зөвхөн тасралтгүй тар-халттай эх олонлогийн хувьд хэрэглэиэ. Тэмдшйи шиыжүүрт ижил хэмжээт хоёр түүвримг авч үзнэ. Энэ шинжүүрнйн загвартан танилцья.

Загвар: жь ж2, . . . , х п ба уь у2,..., уп санамсаргүй түүврүүд өгөгджээ. Энэ хоёр түүвэр нэгэн эх олоилогоос зохиогдсон гэсэн тэг таамаглалыг шалгая.

Үүнийг тэмдгийн шиижүүрээр шалгахын тулд огөгдсон хоёр түүврийн харгалзах утгуудын ялгаврын тэмдгийг шинжлэх ба бага утгатай байх ажиглалтын (ялгавар сорог тэмдэгтэй байх) тоог олно. Энэ тоог т-ээр тэмдэглье.

Хэрэв дэвшүүлсэн таамагла.а зөв бол

Р(х - у > 0) = Р(х - у < 0) = -байна .


-176-


-177-


-178-


-179-


-180-


-181-


-182-


-183-


-184-


-185-


-186-


-187-


-188-


-189-


-190-


-191-


-192-


-193-


-194-


-195-


-196-


-197-


-198-


-199-


-200-


-201-


-202-


-203-


-204-


-205-


-206-


-207-


-208-


-209-


-210-


-211-


-212-


-213-


-214-


-215-


-216-


-217-


-218-


-219-


-220-


-221-


-222-


-223-


-224-


-225-


-226-


-227-


-228-


-229-


-230-


-231-


-232-


-233-


-234-


-235-


-236-


-237-


-238-


-239-


-240-


-241-


-242-


-243-


-244-


-245-


-246-


-247-


-248-


-249-


-250-


-251-


-252-


-253-


-254-


-255-


-256-


-257-


-258-


-259-


-260-


-261-


-262-


-263-


-264-


-265-


-266-


-267-


-268-


-269-


-270-


-271-


-272-


-273-


-274-


-275-


-276-


-277-


-278-


-279-


-280-


-281-


-282-


-283-


-284-


-285-


-286-


-287-


-288-


-289-


-290-


-291-


-292-


-293-


-294-


-295-


-296-


-297-


-298-


-299-


-300-


-301-


-302-


-303-


-304-


-305-


-306-


-307-


-308-


-309-


-310-


-311-


-312-


-313-


-314-


-315-


-316-


-317-


-318-


-319-


-320-


-321-


-322-


-323-


-324-


-325-


-326-


-327-


-328-


-329-


-330-


-331-


-332-


-333-


-334-


-335-


-336-


-337-


-338-


-339-


-340-


-341-


-342-


-343-


-344-


-345-


-346-


-347-


-348-


-349-


-350-


-351-


-352-


-353-


-354-


-355-


-356-


-357-


-358-


-359-


-360-


-361-


-362-


-363-


-364-


-365-


-366-


-367-


-368-


-369-


-370-


-371-


-372-


-373-


-374-


-375-


-376-


-377-


-378-


-379-


-380-


-381-


-382-


-383-


-384-


-385-


-386-


-387-


-388-


-389-


-390-


-391-


-392-


-393-


-394-


-395-


-396-


-397-


-398-


-399-


-400-


-401-


-402-


-403-


-404-


-405-


-406-


-407-


-408-


-409-


-410-


-411-


-412-


-413-


-414-


-415-


-416-


-417-


-418-


-419-


-420-


-421-


-422-


-423-


-424-


-425-


-426-


-427-


-428-


-429-


-430-


-431-


-432-


-433-


-434-


-435-


-436-


-437-


-438-


-439-


-440-


-441-


-442-


-443-


-444-


-445-


-446-


-447-


-448-


-449-


-450-


-451-


-452-


-453-


-454-


-455-


-456-


-457-


-458-


-459-


-460-


-461-


-462-


-463-


-464-


-465-


-466-


-467-


-468-


-469-


-470-


-471-


-472-


-473-


-474-


-475-


-476-


-477-


-478-


-479-


-480-


-481-


-482-


-483-


-484-


-485-


-486-


-487-


-488-


-489-


-490-


-491-


-492-


-493-


-494-


-495-


-496-


-497-


-498-


-499-


-500-


-501-


-502-


-503-


-504-


-505-


-506-


-507-


-508-


-509-


-510-


-511-


-512-


-513-


-514-


-515-


-516-


-517-


-518-


-519-


-520-


-521-


-522-


-523-


-524-


-525-


-526-


-527-


-528-


-529-


-530-


-531-


-532-


-533-


-534-


-535-


-536-


-537-


-538-


-539-


-540-


-541-


-542-


-543-


-544-


-545-


-546-


-547-


-548-


-549-


-550-


-551-


-552-


-553-


-554-


-555-


-556-


-557-


-558-


-559-


-560-


-561-


-562-


-563-


-564-


-565-


-566-


-567-


-568-


-569-


-570-


-571-


-572-


-573-


-574-


-575-


-576-


-577-


-578-


-579-


-580-


-581-


-582-


-583-


-584-


-585-


-586-


-587-


-588-


-589-


-590-


-591-


-592-


-593-


-594-


-595-


-596-


-597-


-598-


-599-


-600-


-601-


-602-


-603-


-604-


-605-


-606-


-607-


-608-

engineeriin matematica ii 1997

Education