enfunamento de placas 2012 2013
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Departamento de Engenharia Civil FCTUC Estruturas Metlicas II R. Simes
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Mestrado Integrado em Engenharia Civil
ESTRUTURAS METLICAS II
rea de Especializao em Mecnica Estrutural
2012-2013
ENFUNAMENTO DE CHAPAS METLICAS
Rui A. D. Simes
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Departamento de Engenharia Civil FCTUC Estruturas Metlicas II R. Simes
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1. INTRODUO
As estruturas metlicas, devido elevada resistncia dos metais (e em
particular do ao), tendem a ser bastante esbeltas, e como tal bastante
condicionadas por fenmenos de instabilidade. Nas estruturas constitudas
por peas lineares (estruturas recticuladas), os fenmenos de instabilidade
devem ser verificados a trs nveis: estabilidade global, estabilidade ao nvel
dos elementos (vigas e pilares) e estabilidade local.
Este texto refere-se ao estudo de elementos ou componentes de estruturas
metlicas constitudos por seces esbeltas (como as ilustradas na figura
1), onde a anlise e dimensionamento tendem a ser condicionados por
fenmenos locais.
Figura 1 Seces metlicas esbeltas
De entre os fenmenos locais, destacam-se os associados a elementos
metlicos (vigas ou pilares) com seces de classe 4 submetidos a esforo
axial ou esforo axial+flexo, encurvadura da alma de perfis por esforo
transverso e encurvadura, esmagamento ou enrugamento da alma de
perfis devido a cargas concentradas.
No seguimento deste documento, numa primeira fase efectuada uma
abordagem terica dos fenmenos envolvidos, e depois apresentadas as
metodologias de verificao regulamentar, de acordo com o
Eurocdigo 3.
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2. ENFUNAMENTO DE CHAPAS METLICAS
2.1. Conceitos gerais
O enfunamento um fenmeno de instabilidade que ocorre em placas
delgadas quando solicitadas por foras no seu plano. Considere-se uma
placa rectangular perfeitamente plana (de dimenses a x b), articulada nos
seus quatro bordos e comprimida na direco da maior dimenso (direco
x), como se ilustra na figura 2. Se aplicarmos uma tenso x, surgem
deformaes w fora do plano, totalmente recuperveis (se retirarmos a
tenso que as provocou) no caso de a tenso x ter atingido um valor muito
reduzido. Para um determinado valor da tenso x
(x = crB), a placa no volta posio inicial, mesmo que a tenso seja
retirada nestas circunstncias diz-se que a placa enfunou. A tenso crB
que produziu o enfunamento da placa designada por tenso crtica de
enfunamento elstico.
a) Placa inicial b) Placa enfunada c) Fibras mdias aps enfunamento
Figura 2 Enfunamento de uma placa
Ao contrrio da encurvadura global ou lateral de uma barra, a ocorrncia do
enfunamento elstico no corresponde runa da placa. Efectivamente, se
aumentarmos o carregamento numa placa j enfunada, ela continuar a
resistir, devido aos efeitos de membrana que tendem a reter a deformao.
Como se pode observar na figura 2-c, as fibras traccionadas,
perpendiculares direco de aplicao da tenso, tendem a estabilizar as
Fibra taccionada Fibra comprimida
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fibras comprimidas (efeito anlogo ao de uma mola no modelo plano
representado). No entanto, o efeito de membrana s se poder desenvolver
se as fibras traccionadas estiverem ancoradas nas suas extremidades, o
que s acontece, se a placa estiver apoiada em pelo menos um dos bordos
paralelos direco da solicitao.
2.2. Teoria linear do enfunamento elstico
2.2.1. Tenso crtica de enfunamento elstico
Considere-se novamente a placa rectangular, articulada nos seus quatro
bordos (figura 2). Admitindo o enfunamento como um fenmeno de
instabilidade por bifurcao de equilbrio, podemos calcular o valor da
tenso crtica de enfunamento elstico cr com base nas hipteses:
Placa inicialmente perfeitamente plana;
Deformaes devidas ao enfunamento so moderadas;
Placa solicitada por cargas aplicadas no seu plano mdio;
Material com comportamento perfeitamente elstico linear.
O estado de equilbrio da placa deformada traduzido pela seguinte
equao diferencial:
2
2x
4
4
22
4
4
4
dxwd
DN
dywd
dydxwd2
dxwd
(2.1)
sendo:
w - Deformao da placa perpendicular ao seu plano;
Nx - Esforo normal por unidade de comprimento ( tN xx );
t - Espessura da placa;
- Coeficiente de Poisson;
D - Rigidez da placa para uma largura b unitria ( 2
3
112EtD
).
Supondo que a placa se deforma segundo uma superfcie sinusoidal
descrita pela equao:
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bynsin
axmsinaw
1m 1nmn
(2.2)
em que m e n representam o nmero de semi-ondas nas direces x e y,
respectivamente, podemos calcular a carga crtica de enfunamento elstico
substituindo o valor de w dado pela expresso (2.2) na equao (2.1). De
acordo com as condies de contorno, por integrao obtm-se:
2
222
2
2
2
2
x mDa
bn
amN
(2.3)
O valor da carga crtica Ncr corresponde ao mnimo da funo Nx dada pela
expresso (2.3), que se obtm para um valor de n = 1, o que significa que
s existir uma semi-onda na direco y e que podem existir vrias semi-
ondas na direco x. Substituindo a rigidez da placa D pelo seu valor e
designando a relao entre as dimenses da placa por = a/b, vem:
2
2
22
cr bt
112tE
mmN
(2.4)
de onde se obtm a tenso crtica de enfunamento elstico:
2
2
22cr
cr bt
112E
mm
tN
(2.5)
Definindo o coeficiente de enfunamento k por:
2
mmk
(2.6)
e a tenso de referncia de Euler E por:
2
2
2
E bt
112E
(2.7)
a tenso crtica de enfunamento elstico pode ser expressa na forma:
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Ecr k (2.8)
2.2.2. Coeficiente de enfunamento
Como se pode observar na equao (2.8), a tenso crtica de enfunamento
elstico directamente proporcional ao coeficiente de enfunamento k.
Assim, importante analisar cuidadosamente os parmetros que
influenciam o seu valor.
i) Influncia do nmero de concavidades
No exemplo ilustrado na figura 2, tem-se enfunamento com apenas uma
semi-onda (uma concavidade, m = 1). O coeficiente de enfunamento dado
pela equao (2.6) assume o valor:
2
11k
(2.9)
A figura 3-a mostra que esta expresso representa uma curva que passa
por um valor mnimo kmin = 4.0, para = 1. Se o enfunamento se produz
para duas semi-ondas (m = 2), obtm-se:
2
22k
(2.10)
A figura 3-b mostra que esta expresso representa uma curva que passa
por um valor mnimo kmin = 4.0, para = 2. A curva correspondente ao
enfunamento com m semi-ondas deduz-se da curva fundamental
(m = 1), multiplicando todas as abcissas por m, sem alterar as ordenadas.
A forma da curva est representada na figura 3-c.
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a) Uma semi-onda b) Duas semi-ondas c) m semi-ondas
Figura 3 Valores do coeficiente de enfunamento
Em concluso, conhecendo o valor de = a/b, consegue-se determinar a
tenso crtica de enfunamento elstico. O enfunamento produz-se para o
menor valor da tenso crtica de enfunamento elstico cr, e como tal, para
o menor valor do coeficiente de enfunamento. Constata-se que para valores
de 1 , o valor de k praticamente constante (figura 3-c). Pode-se pois adoptar a hiptese conservadora de substituir as diversas
curvas por uma recta horizontal de ordenada kmin = 4.0.
ii) Influncia das condies de contorno
O tipo de condies de fronteira a introduzir no clculo depende do
comportamento real do bordo da placa, que influenciado pela ligao com
os elementos adjacentes. Frequentemente, admite-se a hiptese
conservadora de que esses bordos so articulados.
Na figura 4 so comparados os coeficientes de enfunamento de placas
comprimidas numa direco, no caso dos bordos paralelos solicitao
serem simplesmente apoiados ou encastrados. Esta figura evidencia que
quanto mais rgidas forem as ligaes duma placa, mais esta resiste ao
enfunamento. Naturalmente, possvel fazer a analogia com uma barra
Representao exacta
Simplificao
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comprimida e encastrada nas suas extremidades, na qual a carga crtica de
encurvadura mais elevada que a da barra articulada.
Figura 4 Influncia das condies de contorno
iii) Influncia do tipo de solicitao
Tenses normais As tenses normais numa placa podem ser devidas a
traco, a compresso ou a flexo. Nas placas submetidas a tenses de
traco no h risco de instabilidade. No entanto, basta que uma parte da
placa esteja comprimida para que exista o risco de enfunamento. Esse risco
agravado medida que a zona comprimida aumenta, o que se traduz
numa diminuio do coeficiente de enfunamento.
A figura 5-a representa a variao do coeficiente de enfunamento k, duma
placa articulada nos seus quatro bordos, submetida s seguintes
solicitaes:
Compresso pura (curva 1, idntica da figura 4, em que kmin = 4.0);
Flexo pura (curva 2, para a qual kmin = 23.9).
A curva 3 da figura 5-b representa a evoluo do coeficiente de
enfunamento k em funo da relao das tenses extremas, no caso de
flexo composta. Na figura esto indicados os valores de k=4.0 e 23.9,
correspondentes compresso pura e flexo pura, respectivamente.
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a) Solicitaes puras b) Flexo composta
Figura 5 Valores do coeficiente de enfunamento em funo do tipo de
solicitao
Tenses de corte Numa placa solicitada ao corte, o estado deformado
permite observar que se forma uma biela comprimida e uma biela
traccionada (figura 5-a). O enfunamento pode ser assimilado encurvadura
da biela comprimida, sendo o coeficiente de enfunamento dado pela curva
4.
Solicitaes compostas Para as placas submetidas simultaneamente
aco de tenses normais e de tenses de corte, existem relaes de
interaco aproximadas, baseadas no critrio de cedncia de
Von-Mises, permitindo assim ter em conta esses esforos. Essas relaes
baseiam-se no clculo duma tenso fictcia, designada por tenso crtica
de comparao.
O Quadro 1 resume os valores mnimos do coeficiente de enfunamento
para alguns casos correntes. Nesse quadro esto considerados diversos
tipos de solicitaes e de condies de contorno.
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Quadro 1 Valores mnimos do coeficiente de enfunamento k
2.2.3. Placas reforadas
i) Funo de um reforo
Ao estudarmos os fenmenos de encurvadura e bambeamento, vimos que
podemos aumentar consideravelmente a resistncia ltima duma barra
flectida, ou comprimida, introduzindo apoios intermdios. Do mesmo modo,
numa placa comprimida, possvel conseguirmos um aumento da carga
crtica de enfunamento introduzindo apoios lineares, materializados por
nervuras de reforo. A placa fica assim dividida em diversos painis.
Tenses de corte (frmulas aproximadas) Tenses normais
Condies de contorno
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A carga crtica duma placa reforada funo da posio do reforo e da
sua rigidez. A figura 6 ilustra o comportamento de uma placa articulada nos
seus quatro bordos, simplesmente comprimida numa direco e dotada
dum reforo longitudinal.
a) Placa no reforada b) Reforo flexvel c) Reforo rgido
Figura 6 Influncia de um reforo no modo de enfunamento
ii) Posio ptima e rigidez necessria de um reforo
Para que a eficcia dum reforo seja mxima, ele deve ser colocado a uma
distncia b/2 do bordo da placa, no caso desta estar articulada e
uniformemente comprimida. A figura 7 mostra a posio ptima dos
reforos para trs casos de solicitao duma placa simplesmente apoiada
nos seus quatro bordos.
Para que um reforo possa criar um apoio linear, este deve possuir uma
determinada rigidez. Supondo que os reforos esto dispostos
simetricamente em relao ao plano da placa, a sua rigidez pode ser
calculada adicionando equao diferencial (2.1) termos que tenham em
conta o efeito do reforo.
Definindo a rigidez relativa s dum reforo como sendo a relao das
rigidezes do reforo e da placa:
bDIE s
s
correntemacioaoopara
tbI92.10
3s (2.11)
b
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em que Is a inrcia do reforo em relao ao plano mdio da placa, pode-
se determinar a variao do coeficiente de enfunamento k em funo da
rigidez relativa s (figura 8). O reforo representa um apoio fixo para a
placa desde que a sua rigidez relativa seja superior ou igual rigidez
relativa necessria s,nec.
a) Um reforo b) Dois reforos
Figura 7 Posio ptima dos reforos
Na realidade, a rigidez relativa necessria s,nec depende da relao
= a/b e ainda da rea relativa s do reforo, definida como o quociente
entre a rea do reforo e da placa ( tbAss ).
Figura 8 Relao entre o coeficiente de enfunamento e a rigidez relativa
de um reforo
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No Quadro 2 so fornecidos alguns valores da rigidez relativa necessria
s,nec para placas que contm um ou dois reforos sem rigidez torsional.
Quadro 2 Valores da rigidez relativa necessria s,nec
mas
mas
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Exemplo: Considere-se a placa articulada nos quatro bordos representada na
figura 9, com um reforo longitudinal. Verificar se o reforo suficientemente
rgido para poder ser considerado como um apoio da placa.
Figura 9 Placa compresso com um reforo longitudinal
A inrcia do reforo em relao ao plano mdio da placa dada por:
463333sss mm1091.412
10108021212
ttb2tI
A rigidez relativa ento dada por:
7.44101200
1091.492.10tb
I92.103
6
3s
s
A rea relativa do reforo (s) permite determinar a rigidez necessria s,nec
com base no Quadro 2:
16.010120012802
tbAs
s
;
09.3116.02181218212002400
ba
s ;
7.449.302116.02116.0218
22
211218
2
s2
4
s2
s
4
nec,s
logo o reforo pode ser considerado como um apoio longitudinal rgido.
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2.3. Resistncia ltima ao enfunamento
2.3.1. Conceitos gerais
A teoria linear do enfunamento elstico considera um fenmeno de
instabilidade por bifurcao, baseando-se nas hipteses restritivas
formuladas no sub-captulo 2.2.1. No entanto, como veremos ao analisar as
diferentes hipteses de base, a realidade bastante diferente:
i) Placa inicial perfeitamente plana - Devido aos processos de fabrico
uma chapa nunca completamente plana. Assim sendo, o enfunamento
deixa de poder ser considerado um fenmeno de instabilidade por
bifurcao (figura 10 - curva a) passando a ter que se ter em conta as
imperfeies iniciais w0. O comportamento real da placa (curva b) revela
que as deformaes para fora do plano crescem medida que a carga
aumenta. Devido ao efeito de membrana, a resistncia ltima duma placa
muito maior que a carga crtica de enfunamento elstico Ncr. O ganho de
resistncia assim obtido designado por reserva pos-crtica.
Figura 10 Anlise do comportamento duma placa comprimida
ii) As deformaes para fora do plano so moderadas - Esta hiptese
deixa de ser vlida quando a carga crtica ultrapassada.
iii) As cargas so centradas - Na prtica no possvel assegurar que as
cargas sejam perfeitamente centradas.
Ncr
Reserva ps-crtica
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iv) O material tem um comportamento elstico e linear - Mesmo para
tenses inferiores ao limite de elasticidade, a presena de tenses
residuais, devidas por exemplo s operaes de laminao e de soldadura,
fazem com que determinadas fibras plastifiquem antes das tenses
aplicadas atingirem a tenso de cedncia.
A anlise do comportamento duma placa no domnio pos-crtico muito
complexa (teoria no linear) e necessita dum acentuado volume de clculo.
Por esta razo, so normalmente adoptados mtodos de clculo
simplificados. O comportamento duma placa delgada comprimida pode ser
resumido nas seguintes fases:
Domnio elstico, inferior carga crtica, no qual a distribuio de tenses
pode ser admitida uniforme;
Domnio pos-crtico, superior carga crtica, no qual a distribuio de
tenses deixa de poder ser admitida uniforme (figura 11). As fibras
situadas prximo dos bordos so mais solicitadas que as fibras centrais. A
razo de ser desta diferena deve-se ao facto de as fibras comprimidas
deslocarem-se para fora do seu plano.
Figura 11 Largura efectiva duma placa comprimida
Para o dimensionamento, podemos substituir o diagrama de tenses no
uniforme por um diagrama uniforme (com reas iguais), em que a tenso
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igual tenso mxima, aplicado em zonas prximas dos bordos. Define-
se assim uma largura efectiva.
2.3.2. Largura efectiva
O clculo da largura efectiva, beff , foi pela primeira vez abordado por von
Karman em 1932. A sua teoria baseava-se na hiptese de que a tenso
crtica de enfunamento elstico duma placa fictcia de largura beff
(designada por cr,eff) igual a max: 2
eff
2
2
22
eff2
2
bb
bt
)1(12Ek
bt
)1(12Ekeff,cr
max
2
effcr b
b
(2.13)
Em geral a tenso interna mxima, max, considerada igual tenso limite
de elasticidade, resultando para a largura efectiva a seguinte expresso:
f y
creff
bb (2.14)
onde cr a tenso crtica de enfunamento elstico da placa real (com
largura b), max = fy a tenso interna mxima no bordo da placa e o
coeficiente de reduo, que traduz a eficcia da seco comprimida
1 .
Ao substituir na equao (2.14) a tenso crtica de enfunamento elstico
dada pela expresso (2.5), von Karman estabeleceu a expresso geral da
largura efectiva:
max
eff1
bt
)1(12Ekbb
2
2
2
(2.15)
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Introduzindo o conceito de esbelteza duma placa:
K4.28
t/bf
cr
yp (2.16)
em que t a espessura da placa em causa, cr a tenso crtica de
enfunamento da placa, dada pela equao (2.8), k o factor de
enfunamento e b uma das seguintes larguras (definidas nos Quadros 4.1 e 4.2 do EC3-1-5):
b = d, para a alma;
b = b, para os banzos internos (excepto seces laminadas);
b = b - 3t, para banzos internos de seces laminadas;
b = c, para banzos em consola;
b = (b + h)/2, para cantoneiras de abas iguais;
b = h ou (b + h)/2, para cantoneiras de abas diferentes.
e considerando yf235 (com yf em MPa), das expresses anteriores
resulta ento a conhecida frmula de von Karman, representada
graficamente na figura 12.
p
1
(2.17)
A teoria de von Karman d resultados demasiado favorveis, j que na
realidade as imperfeies geomtricas e estruturais tm uma influncia
no desprezvel. Assim, Winter props uma frmula semi-emprica (mais
restritiva) para o clculo da largura efectiva duma placa comprimida, com os
bordos articulados:
maxmaxeff
E
tb415.01E9.1b t
(2.18)
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Esta expresso, que representa um melhoramento da expresso de von
Karman, pode ser escrita da seguinte forma:
ppeff
22.01bb
(2.19)
A figura 12 compara as expresses propostas por von Karman e Winter,
com a teoria de Euler.
Figura 12 Relao entre as frmulas de Euler, von Karman e Winter
A capacidade resistente de uma placa, em que se consideram zonas
efectivas, influenciada pelo diagrama de tenses e pelas condies de
apoio. Esta influncia tida em conta, pelo coeficiente de enfunamento K
(que intervm no clculo de p ) e pela repartio das partes efectivas dos
elementos.