ENFOQUE HISTÓRICO DE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

Por: Rubén Darío Lozano Rubiano rdldidacta@gmail.com

EL AUTOR:

Profesor de Jornada Completa de la Universidad Libre, seccional Cali, adscrito a la Facultad de Administración, Jefe del Área Cuántica y profesor de la Facultad de Educación. Es Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidad del Valle, Especialista en Computación para la Docencia de la Universidad Antonio Nariño, Especialista en Educación Matemática de la Universidad del Valle y candidato a la Maestría en Educación en la misma especialidad, Diplomado en Metodología de la Investigación de la Universidad Libre, Maestrante en Mercadeo de la universidad Libre de Cali.

RESUMEN

Se quiere mostrar en esta síntesis de un proyecto curricular, la función didáctica de la Historia de las Matemáticas, fundamentado en el hecho de que un conocimiento profundo de los conceptos básicos de una ciencia requiere de conocimientos de su historia. La naturaleza lógico-deductiva presente en las Matemáticas ha sido tomada con exagerado rigor y fuerte dogmatismo en su enseñanza, además de la imposición de exactitud y rigidez en sus fundamentos, como el único valor de dicha ciencia, lo que ha influenciado negativamente en los estudiantes. Estas deficiencias pueden ser corregidas con un tratamiento significativo de las matemáticas desde su historia y que enriquezca culturalmente la enseñanza. Sugiero un tratamiento curricular interdisciplinario inspirado en concepciones, metodologías de otras ciencias, y una actitud crítica hacia sus actividades. Este documento, como se dijo arriba, sólo resume las ideas del proyecto.

ABSTRAC

What is wanted here is to expose the didactic function of mathematical history, based on the fact that a deep knowledgement of basic concepts of science require to know their history. The logical-deductive nature of math has been taken with so much sternness and strong dogmatism in its teaching, besides the imposition of accuracy and sternnes in its groundworks like the unique value of this science. These failures may be corrected with a significant treatment of mathematics from its history, that enrich culturally its teaching.

Palabras claves: Análisis Didáctico, Fundamentos Históricos, Aprendizajes, Formación Docente, Concepciones.

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INTRODUCCIÓN El currículo es un plan de formación para estudiantes. El plan de formación en Matemáticas debe tener propuestas concretas en cuanto a qué es el conocimiento matemático, el posibilitar que se aprenda, la práctica en sí de su enseñanza y el que se dominen y utilicen los aprendizajes. Por lo tanto, el diseño de las clases si bien comprende aspectos formales como la determinación de objetivos, el contenido, metodología y evaluación, debe estar sustentado en un análisis didáctico. El análisis didáctico tiene como referente teórico la Didáctica de las Matemáticas y como componentes del análisis didáctico el análisis de contenido (naturaleza del objeto), el análisis cognitivo, el análisis de la enseñanza como actividad profesional, el análisis tecnológico (ayudas, apoyos, efectos de su incorporación), y los análisis fenomenológico (relación entre el fenómeno o fenómenos y los contextos que posibilitaron la aparición del objeto matemático) e histórico (tránsito de los objetos matemáticos de conocimiento hasta su estatus actual). El análisis didáctico es por lo tanto el proceso de significación del conocimiento matemático en el contexto de clases. El interés de la propuesta se concretiza en la componente histórica.

1. ANTECEDENTES ¿La Historia de las Matemáticas puede emplearse como elemento de enseñanza y de aprendizaje? Algunas investigaciones en Didáctica de las Matemáticas1 dan cuenta de experiencias desde proyectos concretos sobre enseñanza de las Matemáticas, y sus puntos de referencia entre los saberes, los programas y la práctica. En ellas la Historia de las Matemáticas se devela como un potencial didáctico. Algunas de las preguntas abordadas por dichas investigaciones: ¿Es conveniente retomar el enunciado de un teorema matemático de una época anterior, si a fin de cuentas, la versión actual es más sencilla y además abordable?, ¿el proceso de obtención de dicha versión qué importancia tiene? Estas preguntas fueron jalonadas por otras: ¿aprender qué?, ¿qué se selecciona y curriculariza?, ¿se afecta el “programa”?, o, ¿es importante intentar vivenciar lo sentido por los matemáticos en sus momentos y contextos de producción? Atendiendo estos interrogantes, el problema se concretiza en: ¿cómo pensar y hacer las clases? Aquí clases hace referencia a cursos-asignaturas o más específicamente planes de clase. ¿Qué hay de la formación de los profesores de matemáticas? Los programas de formación de educadores matemáticos en países desarrollados tienen en sus énfasis la formación en Historia de las Matemáticas, además de la preparación en selección de contenidos, formulación de objetivos y formación en fundamentos de la misma ciencia. En nuestro medio colombiano sólo desde la década pasada se incorporó al currículo y se puede decir que poco se ha avanzado, si se revisan las propuestas de los profesores y de los textos.

1Nouet, Monique. “La Utilización de Textos Históricos en el Instituto” Irem de Loira. Centro de

Mans, Francia. Revista: La enseñanza de las Matemáticas, 125-138.

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La pregunta obligada que surge es, ¿por qué lo que se selecciona para enseñar tanto en la educación primaria, la educación secundaria y la educación superior no emplea elementos históricos? Esta cuestión puede ser atendida si revisamos los objetivos propuestos por la didácta francesa Monique Nouet en su investigación, y que responden a las siguientes consideraciones:

o Las Matemáticas es ciencia viva y en continua construcción y constitución.

o El conocer de las dificultades afrontadas en el proceso de constitución y consolidación de los saberes.

o El comparar teoremas y definiciones desde diferentes épocas tanto desde su lenguaje como de sus alcances.

o El reconstruir problemas (en particular su tratamiento histórico–cultural y el impacto en los estudiantes, en su comprensión e interés).

o El tránsito del concepto en diferentes campos y del saber en escena en diferentes momentos históricos, tanto en formas de pensar como en los problemas que abordaron.

Estas consideraciones no son nuevas; han sido de interés para matemáticos notables preocupados por los efectos de la enseñanza de las Matemáticas y se abordan en el planteamiento del proyecto en mención. Es importante reconocer que las anteriores consideraciones sobre antecedentes en Historia y Enseñanza de las Matemáticas, tienen su sustrato filosófico. Importante también precisar que las concepciones sobre el uso de la Historia en la Educación varía en función de la filosofía de las Matemáticas que se posea; para unos profesores, los pasajes históricos serán como motivación (lo anecdótico) mientras otros pondrán en consideración el devenir histórico de los conceptos y objetos matemáticos para el desarrollo de los programas (devenir que no siempre se corresponde con el orden en que son presentados los temas). De este modo, la introducción (o no) de la Historia no depende de un desarrollo intrínseco (o no) de los contenidos matemáticos; depende (o no) del sentido y coherencia vistos en la naturaleza de las Matemáticas, es decir de la visión teórica que permite la reflexión sobre la naturaleza de los objetos matemáticos. Esto no quiere decir que la filosofía implique una práctica educativa, pero sí es un punto de partida teórico2.

2. LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS Las tendencias actuales sobre la enseñanza de las Matemáticas tienen como eje central las reflexiones sobre las diferentes concepciones acerca de la naturaleza de las Matemáticas (y la necesidad desde esas perspectivas, de nuevas conceptualizaciones) y sus implicaciones didácticas3. Ello ha exigido consideraciones profundas sobre lo que es la actividad matemática y sus

2 Se busca que el trabajo histórico en torno a las Matemáticas sea un enfoque conciliador entre

la visión internalista que se interesa por los procesos de génesis, evolución y consolidación de los objetos matemáticos y la externalista interesada en mostrar cómo esos procesos de construcción se desarrollan en contextos socioculturales en los cuales se debaten concepciones pedagógicas, filosóficas, teológicas, como también políticas educativas. 3 Importante el estudio “Naturaleza de las Matemáticas y sus implicaciones didácticas” de Luz

Manuel Santos Trigo, investigador del Cinvestav de México, 1993.

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efectos en la enseñanza, sobre su construcción humana y consecuentemente su “inculturación”, sobre las relaciones matemáticas y experiencia (en apoyo en lo real), sobre los procesos del pensamiento matemático (procesos y su transmisión no como transferencia), sobre los impactos de nuevas tecnologías y su aprovechamiento, y finalmente sobre lo actitudinal y motivacional, no como simple interés en la materia, sino en discusiones sobre los impactos recíprocos entre cultura, historia, sociedad y las matemáticas. Estas discusiones provocan principios metodológicos que atiendan los procesos (su adquisición) referentes al pensamiento matemático (y un aprendizaje que movilice su inculturación), la resolución de problemas que propicie tales procesos y el adecuado diseño de actividades de clase que posibiliten tareas cognitivas de interés (gusto, motivación, dedicación) y de verdadero manejo de construcciones y teorías matemáticas que den sentido a la modelización y sus aplicaciones y que tengan como fundamento lo histórico -filosófico. ¿Cómo aparecen o qué papel desempeñan estos fundamentos histórico- filosóficos? Inicialmente, en la formación de matemáticos y profesores de matemáticas, la componente histórica (para ser preciso, la Historia de las Matemáticas) es fundamental; de un lado para su propio aprendizaje y de otro, por lo que la historia le puede posibilitar para su desempeño profesional: una visión verdaderamente humana de las ciencias y de las matemáticas. Son hombres, no tan especiales como se les quiere identificar quienes transformaron hechos y acciones en conocimientos y que además encendieron luces con pasión y que por ello, el saber de sus formas de trabajo, nos permite suprimir ese velo frío y opaco con el que cubríamos nuestras teorías y conocimientos. Ellos (los hombres de ciencia) nos enseñan de las Matemáticas, su origen esencialmente humano, asequible, con sus dificultades y errores, y el valor de éstos.

3. HISTORIA: LO CULTURAL, LOS CONCEPTOS, ORIENTACIONES Las incursiones en la Historia de las Matemáticas estimula el desarrollo de los valores científicos en el estudiante, pues accede a una mirada dinámica (y viva) de las Matemáticas. Una buena oportunidad en nuestro medio son los currículos flexibles, de modo que la justificación en los programas, sobre la importancia de la Historia de la Ciencia, tenga sentido y no se presente como ambigua. El largo camino hacia la construcción de teorías fundacionistas de las matemáticas, sus revisiones, confrontaciones y discusiones teórico- conceptuales, pasa desde la desdogmatización de las matemáticas, ya sea por su interés en presentar las “Nuevas Matemáticas” como la verdadera o por la tendencia lógico-deductiva, hasta el reconocimiento en ella de un valor cultural y que por lo mismo debería cambiar la concepción sobre la enseñanza. Cuando se presentan a través de la enseñanza ciertos conceptos y logros matemáticos como “únicos, refinados y precisos”, se está haciendo una negación de la propia Historia. La filosofía y sus “por qué”, van a permitir cambios de concepción sobre la actividad matemática (¿qué es la matemática?, ¿cómo es la actividad matemática?, ¿cuál es su utilidad?, ¿su validez?), desde el purismo exagerado (tal vez presumido) hasta la necesidad de búsqueda de las raíces

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históricas de las matemáticas, que va a permitir comprender que el estado presente de los conocimientos (y en las diferentes ciencias en general) matemáticos son el resultado de un desarrollo (proceso) histórico.

4. HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS Y LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

Es importante retomar los objetivos de la propuesta: la importancia de las reflexiones histórico-filosóficas en la Didáctica de las Matemáticas y el análisis del papel de la Historia de las Matemáticas en los procesos de enseñanza. De una parte en el significado de lo histórico-epistemológico y de otro lado en cuanto a sus aportes (prácticos). Lo histórico-epistemológico da información sobre las concepciones de las personas, sus modelaciones y la evolución de éstos según los problemas abordados y las dificultades enfrentadas; sobre los conceptos, da cuenta de sus diferentes manifestaciones, de su estatus cognitivo (como base de comparación), de circunstancias enfrentadas y específicamente de su análisis para no permitir la repetición de ellas. Hoy en particular se estudia la naturaleza de los objetos y sus aplicaciones (su rol). Los aportes e incorporaciones se pueden dar desde la autonomía del estudiante (su interés y su tiempo), el uso de consultas (máxime si tenemos en cuenta hoy, la riqueza de fuentes de información), el repetir procesos empleados por antepasados (recordemos los trabajos de los pitagóricos), el tratamiento conceptual del momento, el manejo de la crítica (¿por qué no se dio o no se intentaron determinados abordajes a los problemas?), el reconocimiento del valor cultural y humano de la actividad matemática y también, el refinamiento en abstracción y sencillez de los conceptos, teoremas y definiciones. Pero ¿pueden la formación del profesor y su desempeño profesional posibilitar lo expuesto? La misma Historia de las Matemáticas es un elemento importante en la autoformación docente, que toque no solo su vocación y profesión sino su sensibilidad y gusto (estético), de modo que su espíritu y actitud hacia las Matemáticas lo transforme. Lo anterior se irradia en el estudiante y ve en su profesor un ejemplo, por cuanto la Historia de las Matemáticas permite una visión más panorámica de las Matemáticas y de los problemas, de modo que se logra una justa valoración de ellos, tanto en su importancia como en su contexto curricular. También se favorece la comprensión profunda de los problemas matemáticos pues se puede conocer el proceso real de creación de los conceptos y teorías matemáticas y del contexto histórico cultural en que se gestan las ideas que los provocan, las cuestiones que resuelven, las reformulaciones después de las discusiones, etc.. Así los contenidos (temas seleccionados) se miran en una perspectiva didáctica que se preocupa de errores y dificultades.

CONCLUSIONES Entre las funciones de la universidad está el formar y específicamente en la actitud reflexiva. Lo investigativo se potencia en la perspectiva histórica ya no se ve el conocimiento como algo acabado e inmutable, sino dinámico. Otro elemento a considerar es la erradicación de concepciones erróneas y expresiones ambiguas. Cuando por ejemplo se hace alusión a la Matemática

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Moderna, se hace necesario un recorrido histórico que permita revisar las connotaciones del término moderno-a, su aparición, propósitos, sentido y no su simple uso, pretendiendo hacer referencia a algo muy actual. Saber de las concepciones sobre las matemáticas posibilita comprender el por qué desde diferentes perspectivas se pueden llegar a resultados similares y correctos (o adecuados). Las Matemáticas son creación humana, por ello no se puede estudiar como logros aislados; en estos logros quedan manifiestos los notables esfuerzos de varias generaciones y de este modo se generará una actitud de prudencia (y respeto), tanto del estudiante como del profesor, hacia lo alcanzado, y hacia las actividades de aprendizaje. La parte creativa y recreativa, se hace presente en los problemas curiosos que se han enfrentado y que no solo se deben presentar en clase como “actividades extracurriculares”, sino como talleres prácticos de aula. ¿Qué hay de artístico y curioso en el tratamiento de ciertos problemas notables? Finalmente lo interdisciplinario toma forma, creando “puentes culturales” cuando los recursos de la filosofía (sus preguntas) y las ciencias sociales, apoyan la gestión matemática, cuando los problemas y elementos socio-culturales, mueven desarrollos matemáticos, que en definitiva le dan a las matemáticas esa categoría de forma de pensar (el mundo) y forma de vida. Así pues, de una metodología lógico-deductivista (enfoque tradicional y absolutista de las matemáticas) se puede pasar a una metodología funcional y dinámica. Es así como la Historia de las Matemáticas se presenta como una fuente didáctica (en problemas, discusiones, ideas, creación) que enriquece en lo personal, científico y profesional del educador inicialmente y que redunda en el aprendizaje de las matemáticas.

BIBLIOGRAFÍA 1. Barbin, Evelyne. “¿Qué Concepciones Epistemológicas de la Demostración para qué Tipos de Aprendizaje?”. Irem de París VII. Revista: La enseñanza de las Matemáticas, 195-210 2. Chretien, C.; Gaud, D. “Interdisciplinariedad entre las Matemáticas y la Filosofía. Un ejemplo: El Razonamiento Recurrente”. Irem de Poitiers. Revista: La enseñanza de las Matemáticas. 3. Friedelmeyer, J.P. Irem de Estrasburgo. “Enfoque Histórico de la Enseñanza del Análisis”. Revista: La enseñanza de las Matemáticas, 109-122 4. González, U. (1991). “Integración Cultural de las Matemáticas,.... Enseñanza de las Ciencias”. 1991. P. 281 – 289, (9-3). 5. Nouet, Monique. “La Utilización de Textos Históricos en el Instituto” Irem de Loira. Centro de Mans. Revista: La enseñanza de las Matemáticas, 125-138. 6. Peña, Jairo Iván (1995). Wittgenstein y el Debate sobre la Fundamentación de las Matemáticas. U. Nacional. C. Bogotá.1995. 7. Pérez, D.G.; Guzmán, M. de (1993),. Enseñanza de las Matemáticas y las Ciencias. Editorial Popular S.A. España. 1993. 8. Rico, Luis y otros. Didáctica de la Matemática en la Educación Matemática. Editorial Síntesis, 2001, España.