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© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 10.1

WehrformelnGrundlage: EnergiesatzArten des Abflusses:1. Ausfluss 2. Unterströmung 3. Überströmung

Torricelli (1608 - 1647)

Ausfluss aus kleiner kreisförmiger Öffnung mit Berücksichtigung eines Auslaufverlustes:Energiesatz:

( )ζ+⋅⋅

=⋅

⋅ζ+⋅

= 1g2

vg2

vg2

vh21

21

21

0

( ) ( ) 000

1 hg2hg211

1hg2

v ⋅⋅⋅µ=⋅⋅⋅ζ+

=ζ+

⋅⋅=

01 hg2AvAQ ⋅⋅⋅⋅µ=⋅=


Näherung für den Fall, dasssich die Geschwindigkeit über der Höhe a einer Recht-ecköffnung wenig ändert.Anwendung für die Relation:

2,0ha

0

<

0hg2AQ ⋅⋅⋅⋅µ=

Verlustbeiwert µ infolge von Ablösungs-erscheinungen an scharfen Kanten:

a/b ≈ 0 0,5 1 1,5 2µ 0,673 0,64 0,582 0,504 0,438

n. Kaufmann, W.: Tech-nische Hydromechanik und Aerodynamik, 1963

Öffnung A = a . bb = Öffnungsweite senkrechtzur Tafelebeneµ = f(a/b; Öffnungsform)


2,0ha

0

>

Hier ist die Anströmgeschwindig-keit und ihre Verteilung über der Öffnung zu berücksichtigen.

g2vh

2

ko ⋅=

Öffnung A = a . bb = Öffnungsweite senk-recht zur Tafelebeneµ = f(a/b; Öffnungsform)

Ansatz: ( )kohyg2dybdQ +⋅⋅⋅⋅⋅µ=Die Integration in den Grenzen h1u bis h1o liefert:

(wie vor ?)

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+⋅⋅⋅⋅µ⋅= 2

3

koo123

kou1 hhhhg2b32Q

Als Alternative zu:0hg2AQ ⋅⋅⋅⋅µ=

Für vo = 0 ist:( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⋅⋅⋅⋅µ⋅= 2

3

o123

u1 hhg2b32Q


Ablösung des Schuss-strahles an scharfer Un-terkante.

ohg2baQ ⋅⋅⋅⋅⋅µ= b = Öffnungsweite senkrecht zur Tafel-ebene.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=µ

ahf o


Abflussbeiwerte für unterströmte Wehre n. Schmidt, M.: Gerinnehydraulik, 1957, Bauverlag GmbH.

geneigte Planschütze

senkrechte Schütze

Segment-schütze

System undBezeichnungen

Ablösung an scharfer Unterkantenach: Schröder, R.: Technische HydraulikSpringer-Verlag 1994


ohg2bacQ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅µ=

b = Öffnungsweite senk-recht zur Tafelebene.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=µ

ahf o

Quelle: Schneider Bautabellen, 11. Auflage

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ah;

ahfc uo


Vollkommene Unterströmung von Auslassschützen bei Talsperren u. Wehren:

Der Bezugshorizont wird auf der Höhe der Sohle des Auslassesoder in halber Höhe des Auslas-ses gewählt. Dementsprechend sind die experimentell ermittelten Einschnürungsbeiwerte (Aus-flussbeiwerte) µ nicht nur von der Form der Schützunterkante son-dern auch vom Formelansatz abhängig. Für kleine Öffnungs-weiten s ergeben sich jedoch nur geringe Unterschiede.

Torricelli:

hg2sbQ ⋅⋅⋅⋅⋅µ= (1)

Bei bekannter Anström-geschwindigkeit v0:

20vhg2sbQ +⋅⋅⋅⋅⋅µ= (2)


Vollständige Abflussformel:Diese berücksichtigt die ungleichförmige Geschwindigkeitsvertei-lung über dem Ausflussquerschnitt.

Ansatz: dAvdQ ⋅=

20vyg2v

dybdA

+⋅⋅=

⋅=

dyvyg2bQ

vyg2dybdQ2

1

y

y

20

20

⋅+⋅⋅⋅⋅µ=

+⋅⋅⋅⋅⋅µ=

∫

Die Integration ergibt:⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅⋅⋅⋅µ⋅=23

20

1

23

20

2 g2vy

g2vyg2b

32Q

Wird die Anströmgeschwin-digkeit vernachlässigt, ist: ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⋅⋅⋅⋅µ⋅= 2

3

123

2 yyg2b32Q

(3)

(4)


(1)

(4)

Vergleich Torricelli-Formel (1) undVollständige Abflussformel (4)

hg2sbQ ⋅⋅⋅⋅⋅µ=

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅⋅⋅⋅µ⋅= 2

3

123

2 yyg2b32Q

z.B. für s = 4m ist h = 8m und y1 = 6m: Q(1) = 60,14 m3/sQ(4) = 59,98 m3/s

(1)

(4)

(1) (4)


Vollständige AbflussformelEinfluss der Zuström-geschwindigkeit

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅⋅⋅⋅µ⋅=23

20

1

23

20

2 g2vy

g2vyg2b

32Q

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅⋅⋅⋅µ⋅= 2

3

123

2 yyg2b32Q

(3)

(4)

(3) (4)

Wird v0 berücksichtigt, istauch Q = y2

. b . v0, d.h., Lösungmuss durch Iteration erfolgen!


Beispiel: b = 2m, µ = 0,6 Für y2 = 10m und s = 4m ergibt sich y1 = 10 - 4 = 6m.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅⋅⋅⋅µ⋅=⋅⋅=23

20

1

23

20

202 g2vy

g2vyg2b

32vbyQ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅⋅⋅µ⋅=⋅==23

20

1

23

20

202 g2vy

g2vyg2

32vy

bQq

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅⋅⋅⋅=⋅==23

20

23

20

0 g2v6

g2v10g26,0

32v10

bQq

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+=⋅=⋅⋅⋅⋅

23

20

23

20

00 g2v6

g2v10v644,5v

g26,032

10

Für v0 = 3,09 m/s ergibt sich Q(3) = 61,74 m3/s > Q(4).Bei konstanter Gerinnebreite darf die Zuströmgeschwindigkeitmit zunehmender Öffnung s nicht vernachlässigt werden !


Vollständige AbflussformelEinfluss der Zuströmgeschwin-digkeit bei größerem OW-Quer-schnitt (z. B.: b0 = 10m > b = 2m).

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅⋅⋅⋅µ⋅=⋅⋅=23

20

1

23

20

2002 g2v

yg2

vyg2b

32vbyQ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅23

20

23

20

0 g2v6

g2v10g226,0

32v1010

Für v0 = 0,6 m/s ergibt sich Q(3a) = 60,07 < Q(3) = 61,74 m3/s .

( ) ( )1a3 QQ ≈ (Torricelli)


Näherungsformel n. Poleni:

23

ühg2b32Q ⋅⋅⋅⋅µ⋅=

Auch hierfür ist die Grund-lage die für den Fall des Ausflusses aus großer Öff-nung bzw. Unterströmung abgeleitete Formel:

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+⋅⋅⋅⋅µ⋅= 2

3

koo123

kou1 hhhhg2b32Q

Hier ist: h1u = hü = Überfallhöhe und h1o = 0 = Wasserspiegel.( ) ( ) ( ) bwhvhhhg2b

32Q ü02

3

ko23

koü ⋅+⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+⋅⋅⋅⋅µ⋅=

g2vh

2o

ko ⋅=

wird durch Näherungsrechnung , vergl. oben, gefunden.Für v0 = 0 wird die Poleni-Formel erhalten, s.o.

mit


Überfallbeiwerte µ für Wehre:

nach Preß, H., Schröder, R.: Hydromechanik im Wasserbau, 1966Quelle: Schneider Bautabellen, 11. Auflage.


(mit Rückstauwirkung des UW)

23

ühg2bc32Q ⋅⋅⋅⋅⋅µ⋅=

( )Wehrformf=µ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ü

u

hh;Wehrformfc

b = Kronenbreite

(wie vor)


C - Werte für unvollkommene Überfälle

nach Schmidt, M.: Die Berechnung unvollkommener Überfälle.Die Wasserwirtschaft 1954/55, H.4, S. 96-100.


Grundaufgaben

Aufgabe 01a:

Gegeben: scharfkantige Ausflussöffnung in ebener vertikaler Wand mit Mittelpunkt h0 = 10 m unter dem Wasserspiegel;Höhe a = 1 m Breite b = 2 m0,2 .h = 2 m > a kleine Öffnung; a/b = 0,5 µ = 0,640

Q a b g h m s= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =µ 2 17 93 3,


Aufgabe 01b:

Welche Breite b ist erforderlich für den Ausfluss Q = 10 m3/s

µ und b sind unbekannt.Lösung: Q für zwei geschätzte Werte z.B. b1 = 1 m und b2 = 2 m berechnen.

Q1 = 8,15 m3/s; Q2 = 17,93 m3/s; Q0 = 0Kurve Q = f(b); Für Q = 10 m3/s ist b ≈ 1,3 m

→ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅10 2µ a b g h


Aufgabe 02a:

Rückstaufreier Abfluss unter einem Segmentschütz mit großem Krümmungsradius.gegeben: h = 6 m; a = 1 m; b = 1,5 mh/a = 6 µ = 0,592

Aufgabe 02b:

UW-Stand hu = 4 mhu /a = 4/1 = 4 c = 0,7 (0,69)h/a = 6/1 = 6µ = 0,592 (s.o)

Q a b g h m s= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =µ 2 9 63 3,

Q m s= ⋅ =0 7 9 63 6 74 3, , ,


Aufgabe 03a:

Vollkommener Überfall über ein rundkroniges Wehrgegeben: Wehrhöhe w = 6 mKronenbreite b = 10 mÜberfallhöhe hü= 2 m

Lösung: µ = 0,74; w geht hier nicht in die Berechnung ein !!v0 = 0 Poleni-Formel

Q b g h m s= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =23

2 61813 2 3µ ,


Aufgabe 03b:

Unvollkommener Überfallhu = 1 m < hühü/w = 2/6 = 0,33 < 0,42hu/hü = 1/2 = 0,5

c = 0,96 bzw. 0,975

Q m s= ⋅ = <0 96 6181 59 34 6181 3, , , ,

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