L. Mino

ENERGIA E MASSAIN AMBITO

RELATIVISTICO

L. Mino

Sommario

- Introduzione sui concetti di massa ed energia in RR

- Rapporto tra massa inerziale e gravitazionale

- Illustrazione di due esempi riguardanti il cambiamento di massa di un sistema di due cariche dovuto all’energia potenziale elettrostatica

L. Mino

Energia e massa in RR

- Equivalenza dei concetti di energia e massa:E = mc2

la massa di un sistema è una misura del suo contenutoenergetico

- Attribuzione di un’inerzia ad ogni forma di energia (pre-relativisticamente era una proprietà delle sole masse)

- La massa complessiva di un sistema è, in generale, diversadalla somma delle masse dei suoi componenti isolati

L. Mino

Massa inerziale e gravitazionale I

Il termine massa si riferisce a due quantità:

- la massa inerziale, che esprime la resistenza al cambiamentodello stato di moto di un corpo quando viene applicatauna forza:

- la massa gravitazionale, che esprime l’attrazione che un corpoesercita sugli altri corpi:

amF��

=

2AB

BA

r

MGMF =

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Massa inerziale e gravitazionale II

Concettualmente distinte, ma sperimentalmente provateequivalenti:

- Galileo attraverso la caduta dei gravi:

- Il barone Lorand von Eotvos nel 1909 con una bilanciagravitazionale con una precisione di 10-6 (esperimenti successivi hanno raggiunto 10-12)

L’equivalenza tra le due definizioni di massa è derivabileanche a partire dal principio di equivalenza enunciato daEinstein.

gmM

a =

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Coppia di cariche in un campo gravitazionale

Sistema di due cariche puntiformi sospese con due fili di uguale lunghezza in un campo gravitazionale debole:

q1m1

q2m2

Trascurando la reciproca interazione tra le cariche, la sommadelle forze necessarie ad equilibrare il campo gravitazionalerisulta essere:

igmmFF ˆ)( 2121 +=+��

l

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Trattazione relativistica

Quando si considera l’interazione tra le particelle l’energiapotenziale elettrostatica modifica la massa a riposo del sistema:

221

21 lcqq

mmM ++=

E’ quindi necessaria una forza esterna addizionale per bilanciarel’aumento di massa dovuto all’energia potenziale elettrostatica:

iglc

qqFtot

ˆ221 ��

���

�=∆�

L. Mino

Analisi delle forze nel sistema

Considerando l’equilibrio delle forze agenti su q1:

0)ˆ(12111 =−++∆+ igmEqFF���

Deduciamo che: 211 EqF��

−=∆

1221 EqEqFtot

���−−=∆

Procedendo analogamente per q2 e sommando:

Dal confronto con il risultato relativistico abbiamo:

1221221 ˆ EqEqig

lcqq ��

−−=��

���

�

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E in un campo gravitazionale I

Affinché l’uguaglianza precedente sia verificata sono necessarie componenti verticali della forza dovuta al campo elettrico considero la distorsione del campocoulombiano causata dal campo gravitazionale.

Principio di equivalenza il campo di una carica in uncampo gravitazionale g è equivalente a quello generato da una carica istantaneamente a riposo che subisce un’accelerazione-g verso l’alto.

Coordinate della particella:

0021 2

==

=

z

y

gtx

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E in un campo gravitazionale II

Espressione generale per i campi elettromagnetici:

( )( )( )

( )[ ]( ) retret Rn

nnce

Rnn

eE ���

����

�

⋅−×−×+��

�

����

�

⋅−−−= 323

2

ˆ1ˆˆ

ˆ11ˆ

βββ

βββ ��

EnB ret

��×= ˆ

Il tempo ritardato tret è tale che un segnale luminoso emessodalla particella raggiunge il punto campo (x,y,0) a t = 0.

L. Mino

Calcolo del tempo ritardato

Ponendo �t = 0 – tret abbiamo:

( ) ( ) 22

222

21

ytgxtc +��

�

� ∆−=∆

Effettuando un’espansione in serie in g, considerandolo unnumero piccolo, troviamo per il primo ordine:

( )��

���

� −��

�

�

� +=∆ 2

21

22

21

cxg

cyx

t

L. Mino

Valore di E in un campo gravitazionale I

Ora è possibile calcolare al tempo ritardato:Rn ,,,ˆ ββ �

( )tc

yj

tc

tgxin

∆+

∆

��

�

� ∆−= ˆ2

1

ˆˆ

2

tcRicg

ic

tg ∆==∆−= ˆˆ ββ �

Sostituendo troviamo l’espressione di E:

( )��

�

���

���

� −+���

����

�−−

+= 22

2

2

2

23

22 2ˆ

2ˆ),0,,(

cxyg

yjcgy

cgx

xiyx

etyxE

�

L. Mino

Valore di E in un campo gravitazionale II

Inserendo i dati relativi al nostro problema di due carichepuntiformi q1 e q2 a distanza l otteniamo:

( )��

�

�−+��

�

����

� −��

���

�=

��

�

�+���

����

� −��

���

�=

ljc

gli

lqq

Eq

ljc

gli

lqq

Eq

ˆ2

ˆ

ˆ2

ˆ

2

2

212

12

2

2

221

21

�

�

L. Mino

Rappresentazione grafica di E

L. Mino

Calcolo della forza addizionale

Come appare anche dalla figura il campo generato da una caricaè tale da spingere l’altra carica verso il basso perbilanciare questo effetto è necessaria una forza esternaaddizionale:

iglc

qqEqEqFext

ˆ221

1221 =−−=∆���

Relativisticamente questo risultato viene interpretato come uncambiamento di massa gravitazionale dovuto all’energiapotenziale elettrostatica.

L. Mino

Coppia di cariche accelerateSistema di due cariche puntiformi mantenute ferme da dueforze F1 e F2

x

y

l

Accelerate con a piccola affinché la radiazione emessa siatrascurabile forza totale necessaria trascurandol’interazione tra le particelle:

ammiFF 32121 )(ˆ γ+=+

��

L. Mino

Trattazione relativisticaSe si considera l’energia potenziale elettrostatica la massa ariposo del sistema cambia bisogna considerare uncontributo addizionale alla forza:

alc

qqiFtot

3221ˆ γ=∆

�

Trattando il sistema nell’ambito dell’elettromagnetismoclassico e analizzando tutte le forze agenti, otteniamo:

21 ememtot FFF���

−−=∆

221

lcqq

M =∆

L. Mino

Calcolo di E - I

Per verificare che il risultato classico sia consistente conquello relativistico è necessario calcolare E:

( )( )( )

( )[ ]( ) retret Rn

nnce

Rnn

eE ���

����

�

⋅−×−×+��

�

����

�

⋅−−−= 323

2

ˆ1ˆˆ

ˆ11ˆ

βββ

βββ ��

Occorre quindi un’espressione per il tempo ritardato:

( )[ ]2

2222

21

21

��

���

� −+=− retret atatlttc

L. Mino

Calcolo di E - II

Da cui si ricava, arrestandosi al primo ordine in a:

( ) ( ) 222221

22

21 −− −+−−= vcavlvclttret

Dopo aver calcolato al tempo ritardato,si può ottenere la componente lungo x di E1:

Rn ,,,ˆ ββ �

23

2

22

21

12 ���

����

�−

−=

cv

lc

aqEx

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Calcolo della forza addizionale

La forza elettromagnetica agente su q1 lungo x sarà:

111 xxem EqF��

=

Dato che la forza su q2 sarà uguale per simmetria, ottengo:

alc

qqiFFF ememtot

3221

21ˆ γ=−−=∆

���

Risultato che coincide con quello ricavato dall’equivalenzarelativistica massa-energia.

L. Mino

Conclusioni

Nei due esempi illustrati in precedenza l’effetto dell’energia potenziale elettrostatica sul sistema è stato trattato siaclassicamente sia relativisticamente in modo consistente

emerge chiaramente come le idee relativistiche di energiae massa siano nate, all’inizio del secolo scorso, a partire daconcetti già insiti nell’elettromagnetismo classico.