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Endliche Automaten
Einführung in den Themenbereich
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Karin Haenelt
18.04.2010
Inhalt
� Informelle Einführung: Was sind endliche Automaten?� Abstrakte Automaten� Endliche abstrakte Automaten� Beispiele� Typen endlicher Automaten
� Akzeptoren, Transduktoren� Akzeptoren, Transduktoren� deterministisch, nicht-deterministisch, stochastisch
� Definitionen� Abstrakte Automaten als mathematische Strukturen� Endliche abstrakte Automaten
� Einordnung endlicher Automaten� Automatentheorie: Art des Speichers� Theorie formaler Sprachen: Strukturelle Komplexität
2© Karin Haenelt,Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010
Informelle EinführungAbstrakter Automat
� ein abstrakter Automat ist ein mathematisches Modell für einfache Maschinen/Programme, die bestimmte Probleme lösen
� beschreibt nicht einen bestimmten Automaten, sondern gemeinsame Grundprinzipien einer Klasse von Automaten
� Grundlegende Komponenten� Grundlegende Komponenten� Zustände� Eingabesymbole� Zustandsübergänge: reagiert auf Eingaben durch Übergang
in einen anderen Zustand
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Zustände des Automaten
Eingabe Ausgabe
© Karin Haenelt,Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010
Informelle EinführungEndlicher abstrakter Automat
� Ein abstrakter Automat ist ein „endlicher Automat“, wenn die Anzahl der Zustände, der Eingaben u. der Ausgaben endlich ist
� Komponenten der Modelle� endliche Menge von Zuständen (Q)
� interne Konfigurationen, in denen sich ein System befinden kann
� zeitliche Ordnung (δ)� definiert die möglichen Sequenzen von Zuständen
� endliche Menge von Eingaben (Σ)� endliche Menge von Ausgaben (Reaktionen) (∆)
� System zeigt abhängig vom aktuellen Zustand eine bestimmte Reaktion und geht in einen Folgezustand über
4© Karin Haenelt,Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010
Endliche Automaten: BeispieleKippschalter und Lexikon
anausStart
drücken
drücken drücken aus an an aus
Schalter
d e m n r s 0 1 1 2 2 3 3 3 4 3 f 4 f 5 5 6 6 7 7 f
5
drücken
d0 1
e2
m3
nr
5s
4 s 7e
6 n
Lexikon
© Karin Haenelt,Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010
� Akzeptoren� Automaten ohne Ausgabe
� Transduktoren� Automaten mit Ausgabe
� deterministisch
Typen endlicher Automaten
o
qi
p →
qoi
p → :
� deterministisch� jedem Paar [p,i] ist ein Paar [o,q]
eindeutig zugeordnet� nicht-deterministisch
� einem Paar [p,i] können mehreremögliche Paare [o,q] zugeordnet sein
� stochastisch� jedem Paar [p,i] ist für ein Paar [o,q]
ein Wahrscheinlichkeitsmaß zugeordnet
6
p qio
pq2
q1
io2/w2
io1/w1
pq2
q1
io2
io1
© Karin Haenelt,Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010
Typen endlicher AutomatenBeispiele
Akzeptor Transduktordeterministisch
nicht-deterministisch
0 1[ʃ]S q
[t]t 2 3
[a]a dt
4[t] tt
ε0 1S qt 2 3a
6
d 4
t 7
5t
t
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7
stochastisch
nicht-deterministisch
0 1S/1 qt/1 2 3a/1
6
d/.65 4
t/.35 7
5t/1
t/1[t]
0 1[ʃ]
S/1 q[t]t/1 2 3
[a]a/1
6
[t]d/.65 4
t/.35 7
5t/1
t/1ε
ε
01S
7
t 2 3a
9
d 4
tS t a6 8 10
5t
t0 1[ʃ]S q
[t]t 2 3
[a]a
6
[t]d 4
t 7
5t
tε
ε[t]
Inhalt
� Informelle Einführung: Was sind endliche Automaten?� Abstrakte Automaten� Endliche abstrakte Automaten� Beispiele� Typen endlicher Automaten
� Akzeptoren, Transduktoren� Akzeptoren, Transduktoren� deterministisch, nicht-deterministisch, stochastisch
� Definitionen� Abstrakte Automaten als mathematische Strukturen� Endliche abstrakte Automaten
� Einordnung endlicher Automaten� Automatentheorie: Art des Speichers� Theorie formaler Sprachen: Strukturelle Komplexität
8© Karin Haenelt,Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010
Definitionen Abstrakte Automaten als mathematische Strukturen: Historie
� David A. Huffman (1954), George H. Mealy (1955) und Edward F. Moore (1956)� untersuchten Schaltkreise� beschrieben voneinander unabhängig den konventionellen
deterministischen Automaten in ähnlichen Variantendeterministischen Automaten in ähnlichen Varianten� Huffman entwickelte den Begriff des abstrakten Automaten� Mealy und Moore führten abstrakte Automaten als
mathematische Strukturen ein.
9© Karin Haenelt,Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010
DefinitionenMathematische Struktur
� Eine Struktur S ist eine Zusammenfassung einer Menge und ausgewählter interessanter Eigenschaften dieser Menge
� Relationen, Funktionen und/oder � ausgezeichnete Elemente
� die Eigenschaften definieren eine Struktur auf der Menge� Darstellung als Tupel S = (Menge,
Relation1, …, Relationo,ausgezeichnetes Element1, .., Ep)
� Beispiel (ℕ, +,×, 0,1)� Name dieser Beispielstruktur in der abstrakten Algebra: Semiring� Semiringe spielen in der Theorie endlicher Automaten eine
grundlegende Rolle
10© Karin Haenelt,Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010
DefinitionenDeterminierter abstrakter AutomatMengentheoretische Definition (Version: Starke 1.1)
determinierter abstrakter Automat (Starke 1969: 22)A = (X, Y, Z, γ) heißt determinierter abstrakter Automat, falls
a) X, Y, Z beliebige nichtleere Mengen sind, undb) γ eine auf Z × X definierte Funktion ist, deren Werte in Y
× Z liegen. ■× Z liegen. ■
InterpretationX Menge der EingabesymboleY Menge der AusgabesymboleZ Menge der Zustände
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Z × X
a b
0 Y × Z Y × Z
A 1 B 1
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DefinitionenDeterminierter abstrakter AutomatMengentheoretische Definition(Version: Starke 1.2 = Version Mealy 1955)
determinierter Mealy-Automat (Starke 1969: 22)Ein determinierter Automat A = (X, Y, Z, γ) heißt determinierter
Mealy-Automat, falls für alle x ∈X, z∈Z, γ(z,x) = [λ(z,x),δ(z,x)] ist,
wobei λ die Ergebnis und δ die Überführungsfunktion von A wobei λ die Ergebnis und δ die Überführungsfunktion von A ist. ■
InterpretationX Menge der EingabesymboleY Menge der AusgabesymboleZ Menge der Zustände
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λ(z,x )
a b
0 A B
δ(z,x )
a b
0 1 1
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DefintionenNichtdeterministischer und stochastischer AutomatMengentheoretische Definition
nichtdeterministischer Automat (Starke 1969: 121)B = (X, Y, Z, h) heißt nicht-deterministischer Automat, falls
a) X, Y, Z nichtleere Mengen sind, undb) h eine eindeutige Abbildung von Z × X in P*(Z × Y) ist. ■
(Starke 1969: 121)
stochastischer Automat (Starke 1969: 211)C = (X, Y, Z, H) heißt stochastischer Automat, wenn
a) X, Y, Z beliebige nichtleere Mengen sind, undb) H eine auf Z × X definierte Funktion ist, die diskrete
Wahrscheinlichkeitsmaße über Y × Z als Werte H(z,x) hat ■
13© Karin Haenelt,Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010
DefinitionenEndlicher AutomatMengentheoretische Definition
endlicher determinierter Automat (Starke 1969: 25)Ein determinierter Automat A = [X,Y,Z,δ,λ] heißt X-endlich, Y-
endlich bzw. Z-endlich bzw. (X,Y)-endlich usw., wenn die jeweils angegebenen Mengen endlich sind. (X,Y,Z)-endlicheAutomaten bezeichnen wir schlechthin als endlich ■Automaten bezeichnen wir schlechthin als endlich ■
(X,Y,Z)-endliche nichtdeterministische Automaten …endlich.
(X,Y,Z)-endliche stochastische Automaten … endlich.
14© Karin Haenelt,Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010
DefinitionenMengentheoretische Notation endlicher Automaten – eine Standardnotation
p,q ∈ Q Zustände
EA = (Q,q0,F,Σ,∆,R,δ,σ,ρ)
o
Ausgabesymbol
w /
Gewicht
F ⊂ Q Endzustände
q0 ∈ Q Startzustand
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δ(p,i) = q
σ(p,i,q) = o
i ∈ Σ
o ∈ ∆Eingabesymbole
Ausgabesymbole
Zustandsübergangsfunktion
Ausgabefunktion
p qi
o
Zustand FolgezustandEingabesymbol
w /
w ∈ R Gewichte
ρ(p,i,o,q) = w Gewichtungsfunktion
F ⊂ Q Endzustände
© Karin Haenelt,Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010
Inhalt
� Informelle Einführung: Was sind endliche Automaten?� Abstrakte Automaten� Endliche abstrakte Automaten� Beispiele� Typen endlicher Automaten
� Akzeptoren, Transduktoren� Akzeptoren, Transduktoren� deterministisch, nicht-deterministisch, stochastisch
� Definitionen� Abstrakte Automaten als mathematische Strukturen� Endliche abstrakte Automaten
� Einordnung endlicher Automaten� Automatentheorie: Art des Speichers� Theorie formaler Sprachen: Strukturelle Komplexität
16© Karin Haenelt,Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, 18.04.2010
Einordnung endlicher AutomatenAutomatentheorieKlassifikation von Algorithmen nach der Art des Spe ichers
• klassifiziert Algorithmen nach der Art des Speichers, der für die Implementierung zum Merken von Zwischergebnissengebraucht wird
Automat Speicher Turingmaschine unendlich großer Speicher
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Turingmaschine unendlich großer Speicher linear beschränkter Automat endlich großer Speicher Kellerautomat (Push Down Automaton)
Kellerspeicher (Stack)
endlicher Automat kein zusätzlicher Speicher
Speziali-sierungen
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Einordnung endlicher AutomatenAutomatentheorieEndliche Automaten haben kein Gedächtnis
� Mengen der Zustände, der Eingabesignale, der Ausgabesignale sind endlich
� kein Gedächtnis zur Speicherung durchlaufener Zustände:� Übergang von Zustand zur Zeit t in Zustand zur Zeit t+1 nur
abhängig von� Zustand zur Zeit t und � Zustand zur Zeit t und � Eingabe im Zustand zur Zeit t
� Vorhergehende Zustände nur dadurch wirksam, dass� sie über eine bestimmte Eingabe in den aktuellen Zustand
geführt haben, und � dieser aktuelle Zustand ein bestimmtes Ergebnis repräsentiert.
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B Bu Buc BuchStart B u c h
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Einordnung endlicher AutomatenTheorie formaler Sprachenmit endlichen Automaten ist die Klasse der reguläre n Sprachen erkennbar und generierbar
Sprachklassen nach struktureller Komplexität (Chomsky-Hierarchie)
Sprachklasse Hierarchie Grammatik Regelformat Automat rekursiv aufzählbare Sprachen
Typ 0 allgemeine Regelgrammatik
βα → εα ≠
Turing-Maschine
kontext- Typ 1 kontextsensitive βαααα →A linear
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kontext-sensitive Sprachen
Typ 1 kontextsensitive Grammatik
2121 βαααα →A
εβ ≠ linear beschränkter Automat
kontextfreie Sprachen
Typ 2 kontextfreie Grammatik
α→A Kellerautomat
reguläre Sprachen
Typ 3 reguläre Grammatik arrechtsline
wA
wBA
→→
rlinkslineawA
BwA
→→
Endlicher Automat
Kettenterminale w TerminalenNon und Terminalen aus Ketten − α
le SymbolenonterminaBA ,
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Äquivalenzen: Endliche Automaten, reguläre Sprachen, reguläre Ausdrücke
Reguläre Ausdrücke
de([mnrs]|“ssen“)
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spezifizieren
akzeptieren
sind äquivalent
d0 1
e2
m3
nr
5s
4s 7
e6 n
Endliche Automaten
{dem, den, der, des, dessen}
Reguläre Sprachen
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Literatur
� Hopcroft, John E. Rajeev Motwani und Jeffrey D. Ullman (2001). Einführung in die Automatentheorie, Formale Sprachen und Komplexität. Pearson Studiumengl. Original: Introduction to Automata Theory, Languages and Computation. Addison-Wesley.
� Hopcroft, John E. und Jeffrey D. Ullman (1988). Einführung in die Automatentheorie, formale Sprachen und Komplexitätstheorie. Bonn u. a.: Addison-Wesley, 1988 (engl. Original Introduction to automata theory, languages and computation). [Anm.: Diese Fassung enthält die Beweise]Fassung enthält die Beweise]
� Huffman, D. A. (1954). The synthesis of sequential switching circuits. J. Franklin Inst. 257: 3-4, S. 161-190 und 275-303
� Lawson, Mark V. (2005). Finite automata. In: Hritsu-Varsakelis, D. und W.S.Levine (Hg).: Handbook of networked and embedded Control Systems.
� Lawson, Mark V. (2004). Finite Automata. In: D. Hristu-Varsakelis and W. S. Levine (eds.): Handbook of networked and embedded control systems
� Mealy, George H. (1955). A method for synthesizing sequential circuits. Bell System Technical Journal 34:5, 1045-1079
� Moore, Edward F. (1956). Gedanken experiments on sequential machines. In: Automata Studies, S. 129-153, Princeton: Princeton University Press
� Starke, Peter H. (1969). Abstrakte Automaten. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften: Berlin (ältere, aber sehr gute mathematische Darstellung)
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Versionen
� v 4.1- 18.04.2010, v 4.0 – 30.03.2009� V03.01 – 16.04.2008� V03.00 – 12.04.2008� V02.03 - 14.04.2007� V02.02 - 11.04.2007� V02.01 - 15.04.2006
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