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Funciones elementales
En este capítulo repasamos las funciones elementales: polinómicas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y trigonométricas inversas. Utilizaremos la representación gráfica de estas funciones para recordar los aspectos más relevantes de las mismas: dominio, recorrido, continuidad, diferenciabilidad, asíntotas…
1
Representación gráfica de la gráfica de la inversa de una función biyectiva
Existe una relación muy interesante entre la gráfica de una función biyectiva y la gráfica de su función inversa (que sabemos existe). Cada gráfica es la imagen especular de la otra: la recta y = x desempeña el papel de espejo.
(x,f(x))
(f(x),x)
En lugar de dar una definición formal, vamos a fijarnos en la figura adjunta. Como se sabe, la gráfica de la función f consta de puntos de la forma (x, f(x)). Puesto que f−1 tiene el valor x en f(x), la gráfica de f−1 está constituida por puntos de la forma (f(x), x). Tales puntos, (x, f(x)) y (f(x), x) son vértices opuestos del cuadrado sombreado.
2
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Diferenciabilidad:
Simetría:
Asíntotas:
SÍ
SÍ
Respecto del eje vertical:
NO
SÍ
! Dominio:
! Recorrido:
! Continuidad:
! Diferenciabilidad:
! Simetría:
! Asíntotas:
SÍ
SÍ
Respecto del eje vertical:
NO
SÍ
3
3
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Diferenciabilidad:
Simetría:
Asíntotas:
SÍ
SÍ
Respecto del origen de coordenadas:
NO
SÍ
! Dominio:
! Recorrido:
! Continuidad:
! Diferenciabilidad:
! Simetría:
! Asíntotas:
SÍ
SÍ
Respecto del origen de coordenadas:
NO
SÍ
4
4
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Diferenciabilidad:
Simetría:
Asíntotas:
SÍ
SÍ
SÍ
NO
Asíntota horizontal:
! Dominio:
! Recorrido:
! Continuidad:
! Diferenciabilidad:
! Simetría:
! Asíntotas:
SÍ
SÍ
SÍ
NO
Asíntota horizontal:(0,1)
5
5
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Diferenciabilidad:
Simetría:
Asíntotas:
SÍ
SÍ
SÍ
NO
Asíntota vertical:
! Dominio:
! Recorrido:
! Continuidad:
! Diferenciabilidad:
! Simetría:
! Asíntotas:
SÍ
SÍ
SÍ
NO
Asíntota vertical:(1,0)
6
6
f(x) = sinx Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Diferenciabilidad:
Simetría:
Asíntotas:
SÍ
SÍ
SÍ
NO
Respecto del origen de coordenadas:
Periodicidad:Periódica de período 2π
f(x) = sinx ! Dominio:
! Recorrido:
! Continuidad:
! Diferenciabilidad:
! Simetría:
! Asíntotas:
SÍ
SÍ
SÍ
NO
Respecto del origen de coordenadas:
(!/2,1)
(!,0)
! Periodicidad:
Periódica de período 2!(3!/2,"1)
(2!,0)
7
7
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Diferenciabilidad:
Simetría:
Asíntotas:
SÍ
SÍ
SÍ
NO
Respecto del eje vertical:
Periodicidad:Periódica de período 2π
! Dominio:
! Recorrido:
! Continuidad:
! Diferenciabilidad:
! Simetría:
! Asíntotas:
SÍ
SÍ
SÍ
NO
Respecto del eje vertical:
! Periodicidad:
Periódica de período 2!
(!/2,0)
(3!/2,0)
(!,1) (2!,1)
8
8
f(x) = tanx
Dominio:
Recorrido: Continuidad:
Diferenciabilidad:
Simetría:
Asíntotas:
SÍ
Continua en su dominio.
Diferenciable en su dominio
Respecto del origen de coordenadas:
SÍAsíntotas verticales:
Periodicidad:Periódica de período π
En los puntos
presenta discontinuidades infinitas
f(x) = tanx
! Dominio:
! Recorrido:
! Continuidad:
! Diferenciabilidad:
! Simetría:
! Asíntotas:
SÍ
Continua en su dominio.
Diferenciable en su dominio
Respecto del origen de coordenadas:
SÍAsíntotas verticales:
! Periodicidad:Periódica de período !
En los puntos
presenta discontinuidades infinitas
(!/2,0) (3!/2,0)(-!/2,0)(-3!/2,0)
9
9
f(x) = arcsinx
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Diferenciabilidad:
Simetría:
Asíntotas:
SÍ
SÍ
NO
Respecto del origen de coordenadas:
Diferenciable en
f(x) = arcsinx
! Dominio:
! Recorrido:
! Continuidad:
! Diferenciabilidad:
! Simetría:
! Asíntotas:
SÍ
SÍ
NO
Respecto del origen de coordenadas:
(1,0)
(!1,0)
(0,"/2)
(0,! "/2)
Diferenciable en
10
10
f(x) = arccos x
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Diferenciabilidad:
Simetría:
Asíntotas:
SÍ
SÍ
NO
Respecto al punto (0, π/2)
(1,0)(−1,0)
Diferenciable en
f(x) = arccos x
! Dominio:
! Recorrido:
! Continuidad:
! Diferenciabilidad:
! Simetría:
! Asíntotas:
SÍ
SÍ
NO
Respecto al punto (0, !/2)
(1,0)("1,0)
(0,!/2)Diferenciable en
(0,!)
11
11