Çarpanlar ve KatlarEbob - Ekok • ÇALIŞMA KAĞIDI

1

a) 12 15 b) 18 32

c) 30 50 d) 15 60

e) 36 48 f) 400 480

g) 8 48 h) 28 35

ı) 45 63 i) 77 99

j) 18 25 k) 19 37

l) 12 48 m) 19 38

n) 25 75 o) 150 350

ö) 48 72 p) 39 65

ş) 15 25 t) 24 36

r) 100 120 s) 55 66

u) 56 80 v) 96 120

y) 180 225 z) 150 330

Alıştırmalar

Bir doğal sayının çarpanlarının aynı zamanda o sayının bölenleri olduğunu daha önce öğrenmiştik.

Şimdi 24 ve 36 sayıları için bölenleri inceleyelim :

24 ün bölenleri : 1 2 3 4 6 8 12 24

36 nın bölenleri : 1 2 3 4 6 9 12 18 36

24 ve 36 nın ortak bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6, 12,

24 ve 36 nın en büyük ortak böleni (EBOB) : 12’dir.

İki doğal sayının ortak bölenleriden en büyük olanına en büyük ortak bölen veya ortak bölenlerin en büyüğü kısaca EBOB denir.

Başka bir deyişle EBOB, iki sayıyı da kalansız bölebileceği-miz en büyük sayıdır.

İki doğal sayının EBOB'unu bulmak için; sayılar birlikte asal

çarpanlarına ayrılır. Bir sayı herhangi bir asal sayıya bölüne-

mediğinde alta tekrar yazılıp sonraki asal sayıya bölünmeye

çalışılır. Tüm sayıları aynı anda bölen asal sayılar işaretlenip

çarpıldığında EBOB bulunur.

120 ve 180 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım.

2 2 3 5 60$ $ $ =

120 ve 180 sayılarının en büyük ortak böleni 60'tır.

EBOB (120,180) 60= şeklinde de gösterilebilir.

241 24

2 12

3 8

4 6

$$$$

1 2 344444 4444 361 36

2 18

3 12

4 9

6 6

$$$$$

1 2 344444 4444

1809045451551

120603015551

222335

En Büyük Ortak Bölen

En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

Örnek

Verilen sayıların EBOB’unu zihinden bulmaya çalışalım.1

•Çarpanlar ve Katlar Ebob - Ekok

2

c) 84 140b) 40 72

e) 112 192d) 98 154

f) 170 765 g) 210 350

h) 252 396 i) 144 270

j) 480 640 k) 600 840

a) 96 12828014070353571

222357

168844221771

EBOB (168, 280) 2 2 2 756$ $ $=

=

Verilen sayıların EBOB’larını örnekteki gibi bulalım.2

İki farklı kapta 48 litre ayçiçek yağı ve 36 litre zeytinyağı vardır.• Yağlar birbirine karıştırılmadan aynı hacimde en fazla

kaç litrelik şişelere doldurulabilir?

• Bu iş için en az kaç şişe gereklidir?

Yağlar daha küçük şişelere bölüştürüleceğinden şişelerin hacmi, bu sayıları bölebileceğimiz sayılar olmalıdır.

Bu yüzden 36 ve 48'in bölenlerini inceleyelim:

36'nın bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 3648'in bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 48

Şişelerin hepsi aynı olacağından hem 48'i hem 36'yı bölen ortak sayılar 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir.

Yani tüm yağları 1'er , 2'şer , 3'er , 4'er , 6'şar veya 12'şer litrelik şişelere koyabiliriz. Fakat soruda en fazla hacimde ol-ması istendiğinden ortak bölenler arasında en büyük olanını yani 12 litrelik şişeyi (36 ve 48’in ebobu) seçeriz.

Böylece şişe hacmi en büyük olurken, daha az şişe gerekir.

Şimdi de kaç şişe gerektiğini bulalım.

Şişeler 12 litre olacağından ;Zeytinyağı için 36 12 3' = adet şişe,Ayçiçek yağı için 48 12 4' = adet şişe, toplamda 3 4 7+ = adet şişe gereklidir.

Bu soruda birden fazla çokluğu daha küçük parçalara böldü-ğümüzden sayıların ortak bölenlerine ihtiyaç duyduk. Verilen çoklukların daha küçük parçalara bölünmesi gerektiği bu tarz problemlerde En Büyük Ortak Bölen (EBOB) kullanırız.

Uzunlukları 120 cm ve 165 cm olan iki tahta parçası birkesme makinesi ile santimetre cinsinden tam sayı olaneşit uzunlukta parçalara ayrılacaktır.

Bu makine ile bir kesme işlemi 15 saniye sürdüğünegöre işin tamamı en az ne kadar zaman alır?

Elde edilecek parçalar en uzun olduğunda, en az sayıda kesme işlemi yapılabilir. Bu yüzden 120 cm ve 165 cm’in en büyük ortak bölenini bulmalıyız.

Yalnızca her iki sayıyı da bölen asalları kullanabiliriz.

165 ve 120’nin e.b.o.b’u 15 cm’dir. 15 cm’lik parçalar elde edilecek şekilde yukarıdaki gibi kesme işlemi yapılırsa; toplamda 10 7 17+ = kesme işlemi yapılır.Kesme işlemi ise 17 15 sn# den, toplam 4 dk 15 sn sürer.

EBOB Problemleri

15 cm

120408

1655511

35 3 5 15 cm: =

Örnek

Örnek

Çözüm

Çözüm

PratikYöntem

•Çarpanlar ve Katlar Ebob - Ekok

3

Uygulama Soruları

84 ve 92 litrelik bidonlar, zeytinyağı ile doludur. Bu yağlar hiç artmayacak şekilde, ayrı ayrı ve eşit ölçüde mümkün olan en büyük kaplara doldurulmak isteniyor. Buna göre;

a) Her kaba kaçar litre zeytinyağı konulmalıdır?

b) Bu iş için kaç tane kap gerekir?

1

A128 ve A

98 kesirlerini doğal sayı yapan en büyük

A doğal sayısı kaçtır?

6

153 ve 183 sayılarını ayrı ayrı böldüğümüzde her defasında 3 kalınını veren en büyük doğal sayı kaçtır?

5

Eni 32 metre, boyu 48 metre olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına, köşelerine de gelmek şartıyla eşit aralıklarla fidan dikilecetir.

Bu iş için en az kaç adet fidan gerekir?

2

Boyutları 80 metre ve 72 metre olan dikdörtgen şeklindeki bir arsa, hiç boşluk kalmadan boyutları en büyük olan kare şeklinde eş piknik alanlarına ayrılmak isteniyor.

Buna göre elde edilecek piknik alanlarından birinin çevre uzunluğu kaç metredir?

3

Kenar uzunlukları 63 cm ve 84 cm dikdörtgen şeklindeki bir pasta hiç artmadan kare şeklindeki eş dilimlere ayrılacaktır.

Pasta her defasında doğrusal olarak kesileceğine göre en az kaç kesme işlemi yapılmalıdır?

7

Yukarıda verilen şekilde ABCD ve BEFC kenar uzunlukları cm cinsinden tam sayı olan birer dikdörtgendir.

ABCD dikdörtgeninin alanı 96 cm2 ve BEFC dikdörtgeninin alanı 72 cm2 olduğuna göre AB BE+ ’nun cm cinsinden alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

4

Bir otelde yapılacak seminer çalışmasına iki farklı ilden 24 kişi ve 78 kişi katılacaktır.

Farklı ilden gelen katılımcılar aynı odada olmadan ve her odada aynı sayıdada kişi kalması şartıyla, katılımcıların konaklaması için en az kaç oda gerekir?

8

Yandak şekilde bölmelerinin iç yükseklikleri 72 cm ve 180 cm olan bir kitaplık verilmiştir. Özdeş hikaye kitapları bu kitaplığa şekildeki gibi her iki bölmeyi dolduracak şekilde üst üste dizilebiliyor.

Buna göre bir kitabın kalınlığı en fazla kaç cm olabilir?

9A B

CD

E

F180 cm

72 cm

•Çarpanlar ve Katlar Ebob - Ekok

4

8 ve 10 sayılarının katlarını inceleyelim :

8'in katları : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, ...

10'in katları : 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, ...

8 ve 10'un en küçük ortak katı (EKOK) : 40

8 ve 10'ın katları ilk 40'ta eşitlenir. Bundan sonraki ortak katları ise 40’ar 40’ar devam eder.

İki doğal sayının ortak katlarından en küçük olanına;En Küçük Ortak Kat kısaca EKOK denir.

İki doğal sayının EKOK'unu bulmak için EBOB bulurken

yaptığımız gibi sayıları asal çarpanlarına ayırırız. Çizgininin

sağındaki tüm asal sayıları çarptığımızda EKOK'u buluruz.

24 ve 28 sayılarının en küçük ortak katını bulalım.

24 ve 42'nin ortak katlarından en küçüğü 168'dir.

Tüm ortak katları ise 168'in katlarıdır. Yani 168, 336, 504, ...

En Küçük Ortak Kat

28147771

2412631

22237

EKOK (24, 28) 2 2 2 3 7 168$ $ $ $= =

En Küçük Ortak Kat (EKOK)

a) 12 , 15 b) 8 , 12

c) 9 , 15 d) 15 , 20

e) 25 , 45 f) 10 , 30

g) 7 , 8 h) 9 , 11

Alıştırmalar

Verilen sayıların en küçük ortak katını zihinden bulmaya çalışalım.

1

j) 12 , 15 k) 8 , 10

l) 20 , 45 m) 16 , 20

ı) 20 , 25 i) 40 , 50

b) 28 36a) 18 24

d) 72 120c) 75 80

f) 120 150e) 15 48

h) 96 108g) 45 54

Verilen sayıların en küçük ortak katını asal çarpanlara ayırma yöntemiyle bulalım.

2

•Çarpanlar ve Katlar Ebob - Ekok

5

İki farklı zilden biri her 15 dakikada sonunda, diğeri ise her 20 dakika sonunda çalmaktadır. Ziller aynı anda çalıştırıldıktan sonra ;

a) İlk kez kaçıncı dakikada birlikte çalarlar?

b) 4. kez birlikte çalmaları için kaç dakika geçmelidir?

c) 400 dakika içerisinde kaç defa birlikte çalarlar?

a)

Başlangıç

1. Zil

2. Zil

15

20 40 60 80 100

30 45 60 75 90

İlk defa60. dk’da

birlikte çalarlar.

60. dakika iki sayının da ortak katı olduğundan ilk olarak 60.dakikada birlikte çalarlar.

b) 60 dakikada bir beraber çaldıklarından 4. defabirlikte çalmaları için 4 60dk 240 dk# = geçmelidir.

c) 400 dakikanın içinde 6 tane 60 dakika olduğundan,ziller 400 dakika içerisinde 6 defa birlikte çalar.

12 ve 18 sayılarına bölündüğünde 5 kalanını veren üç basamaklı en küçük doğal sayı kaçtır?

Aradığımız sayı hem 12’ye hem 18’e kalansız bölünebilen sayıların 5 fazlasıdır.

Öncelikle 12’ye ve 18’e kalansız bölünebilen sayıları; yani 12 ve 18’in ortak katlarını bulalım.

12 ve 18’in ortak katlarının en küçüğü 36’dır. Tüm ortak kat-ları ise 36, 72, 108,144, ... şeklinde devam eder.

12 ve 18’in ortak katlarına 5 eklersek;

36 + 5 = 4172 + 5 = 77105 + 5 = 113144 + 5 = 149...

Bu durumda 12’ye ve 18’e bölündüğünde 5 kalanını veren üç basamaklı en küçük sayı 113 olur.

EKOK Problemleri

Örnek

Örnek

Çözüm

Çözüm

Uygulama Soruları

12 ve 15 sayılarının üç basamaklı ortak katlarındanen küçüğü kaçtır?

2

9 ve 12'ye kalansız bölünebilen en küçük doğal sayı kaçtır?

1

Bir kutudaki şekerler önce 6'şarlı, sonra 8'erli olarak paketleniyor. İki durumda da 5 şeker arttığına göre, kutuda en az kaç şeker vardır?

4

Bir hastanede çalışan iki hemşireden Elif 4 günde bir, Buse 10 günde bir nöbet tutmaktadır.

Birlikte aynı gün nöbet tuttuktan en az kaç gün sonra tekrar birlikte nöbet tutarlar?

5

8 eklendiğinde hem 18'e hem de 22'ye kalansız bölünebilen en küçük sayı kaçtır?

3

Aynı duraktan kalkan minibüslerden biri 24 dakikada, diğeri 20 dakikada bir sefere çıkmaktadır. İlk kez saat 05.00'de sefere başlayan minibüsler, bundan sonra saat kaçta tekrar aynı anda sefere çıkarlar?

6

Ahmet 25 cm ve 15 cm uzunluğundaki çubukları yukarıdaki gibi uç uca ekleyip aynı boya getirmek istiyor.

Çubukların aynı boyda olması için toplam en az kaç çubuk gerekir?

7 . . .

. . .

25 cm

15 cm

•Çarpanlar ve Katlar Ebob - Ekok

6

Kısa kenarı 6 cm, uzun kenarı 10 cm olan dikdörtgen şeklindeki kartlar kenarları boyunca birleştirilerek bir kare oluşturulacaktır. Oluşturulacak karenin bir kenarıen az kaç sanitmetredir?

8

Elif altışarlı, Burak ise dokuzarlı 200’den küçük olacak şekilde ritmik sayıp, söyledikleri sayıları ayrı ayrı tahtaya yazıyorlar.

Buna göre tahtadaki sayılardan kaç tanesi ortaktır?

9

701

851

+ işleminde paydalar en az hangi doğal sayıda

eşitlenebilir?

10

Ahmet, gittiği bir giyim mağazasında pantolon ve gömlekten yalnızca birini tercih ederek parasının tamamı ile tanesi 120 TL olan pantolonlardan veya tanesi 45 TL olan gömleklerden alabilmektedir.

Buna göre Ahmet’in en az kaç lirası vardır?

12

Dairesel bir pistte aynı noktadan aynı yöne doğru koşmaya başlayan iki sporcu, turlarını 18 dk ve 28 dk’da tamamlamak-tadır.

Sporcular en az kaç dakika sonra tekrar başlangıç noktasında yan yana gelirler?

11

Birbirinin katı olan iki doğal sayının;

• EBOB'u bu sayılardan küçük olanına,

• EKOK'u ise büyük olanına eşittir.

Örneğin 5 ve 25 sayıları için EBOB = 5, EKOK = 25'dir.

40 ve 80 sayıları için ebob’u ve ekok’u da sen söyle.

İki sayının EBOB'uyla EKOK'unun çarpımı bu sayılarınçarpımına eşittir.

EBOB (x, y) EKOK (x, y) x y$ $= olarak da yazılabilir.

Örneğin 8 ve 10 sayıları için EBOB = 2, EKOK = 40'tır.

Hem sayıların hem de EBOB-EKOK'un çarpımı 80'e eşittir.

Verilen sayıları birlikte asal çarpanlarına ayırarak EBOB veEKOK bulmayı öğrenmiştik. Şimde de sayılar ayrı ayrı asalçarpanlarına ayrılmış olarak verildiğinde EBOB ve EKOK'ubulalım. Aşağıdaki örnekte A ve B sayıları verilmiştir.

AB

322 73

2

3

4 2

5$ $

$

=

=

Ortak asal sayılardan üssü küçük olanları çarptığımızda A ve B sayılarının EBOB'unu buluruz.

EBOB (A,B) 2 33 2$=

Tüm asal sayılardan üssü büyük olanları çarptığımızda A ve B sayılarının EKOK'u buluruz.

EKOK (A,B) 2 3 74 5 2$ $=

İki doğal sayının EBOB'unun bölenleri (çarpanları)aynı zamanda bu sayıların ortak bölenleridir.Örneğin,60 ve 160 sayılarının en büyük ortak böleni 20'dir.20'nin bölenleri ise 1, 2, 4, 5, 10, 20'dir.Bu sayılar aynı zamanda 160 ve 60'ın tüm ortak bölenleridir.

İki sayının ebob ve ekok’unu yalnızca ortak asal sayılara bölerek daha hızlı bulabiliriz. Aşağıdaki örneği inceleyelim.

EBOB-EKOK ile İlgili Özellikler

1. Özellik

2. Özellik

3. Özellik

4. Özellik

5. PratikYöntem

6030153

4020102

225

Ortak asal çarpan kalmadı

EBOB

EKOK

•Çarpanlar ve Katlar Ebob - Ekok

7

Alıştırmalar

b) 10 80a) 20 60

d) 25 75c) 8 16

f) 4 120e) 3 72

h) 150 300g) 24 96

a) A 3 7

B 3 11

$

$

=

=b) A 2 3

B 2 3

2 4

3

$

$

=

=

c) A 2 3 7

B 2 3

5 2 2

4

$ $

$

=

=

d) A 2 5 13

B 2 5

3 3 2

2

$ $

$

=

=

e) A 3 7

B 2 7

4 2

6 3

$

$

=

=

f) A 2 5 13

B 2 5

3 3 2

2

$ $

$

=

=

g) A 2 3 7

B 5 13

4 3 2

2

$ $

$

=

=

h) A 2 3 7

B 2 3 13

4 5 2

4 5 2

$ $

$ $

=

=

EBOB :

EKOK :

EBOB :

EKOK :

EBOB :

EKOK :

EBOB :

EKOK :

EBOB :

EKOK :

EBOB :

EKOK :

EBOB :

EKOK :

EBOB :

EKOK :

EBOB :

EKOK :

EBOB :

EKOK :

EBOB :

EKOK :

EBOB :

EKOK :

EBOB :

EKOK :

EBOB :

EKOK :

EBOB :

EKOK :

EBOB :

EKOK :

Verilen sayıların EBOB ve EKOK’unu bulalım.1

Verilen sayıların EBOB ve EKOK’unu bulalım.2

Uygulama Soruları

18 ve 20 sayılarının en büyük ortak böleni ile en küçük ortak katının çarpımı kaçtır?

1

Biri diğerinin 7 katı olan iki doğal sayının en küçük ortak katı 210 olduğuna göre bu sayıları bulalım.

2

Biri diğerinin üç katı olan iki sayının en büyük ortak böleni ile en küçük ortak katının toplamı 180 olduğuna göre bu sayıları bulalım.

3

İki doğal sayının EBOB'u 2, EKOK'u 330'dur.

Bu sayılardan biri 30 olduğuna göre diğer sayı kaçtır?

4

En büyük ortak böleni 40 olan iki farklı doğal sayının toplamı en az kaçtır?

5

EKOK'u 120 olan iki farklı doğal sayının toplamı en fazla kaçtır?

6

Birbirinin tam katı olan iki doğal sayının EKOK'u 20 olduğuna göre, bu sayı çiftlerini bulalım.

7