empirische untersuchung einer wissensstruktur für das lösen mathematischer textaufgaben durch...
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Empirische Untersuchung Empirische Untersuchung einer Wissensstruktur für das einer Wissensstruktur für das
Lösen mathematischer Lösen mathematischer Textaufgaben durch Kinder Textaufgaben durch Kinder
[Arbeitstitel][Arbeitstitel]
ThemenüberblickThemenüberblick
Wissensraumtheorie Kognitive Entwicklungstheorien Erwerb mathematischer Kompetenzen Fragestellung
WissensraumtheorieWissensraumtheorie(Doignon & Falmagne)(Doignon & Falmagne)
formale Theorie der effizienten Erfassung von Wissen
Konzept: Repräsentation eines Wissenszustands einer Person bezüglich eines speziellen Bereiches durch eine bestimmte Menge an Aufgaben, die eine Person in der Lage ist zu lösen
TheorieTheorie
es gibt eine Aufgabenmenge Q innerhalb dieser Menge äußern sich
Abhängigkeitsbeziehungen (surmise-relations) zwischen den Aufgaben als binäre Relation: q t– aufgrund einer richtigen Lösung von t kann auf eine
richtige Lösung von q geschlossen werden– werden dieser Realtion die Eigenschaften Transitivität
und Reflexivität zugeschrieben, spricht man von einer Quasiordnung
– diese surmise-relations können in Hasse-Diagrammen dargestellt werden
prerequisite-relation: – eine oder mehrere Aufgaben q sind nötige
Voraussetzungen für das Lösen einer Aufgabe t– Hasse-Diagramm einer surmise-relation
r
t s
q
Nachteil: jede Aufgabe hat genau eine Menge vonVorgängeraufgaben
Wissenszustand: – Teilmenge von Aufgaben, die eine Person fähig ist zu lösen– Menge 2n aller möglichen Wissenszustände wird aufgrund
der surmise-relations auf theoretisch erwartbare reduziert
Wissenstruktur:– geordnetes Paar (Q, K):
Q... AufgabenmengeK... Menge der Wissenszustände
(Teilmengen aus A)
Wissensraum: 3 Axiome: quasi-ordinal, wenn:– Menge Q und die leere Menge Zustände sind– jede Vereinigung von Zuständen ein Zustand ist– jede Durchschnittsbildung von Zuständen ein Zustand ist
eine Aufgabe kann mehrere Vorgängeraufgaben haben und/oder –Graphen
r
t v s Surmise- system
q
der Lösung von r kann Lösung von s oder von q und t vorangehen
mehrere Vorgängeraufgaben werden als Klauseln C bezeichnet
in einer surmise-function (x) wird jeder Aufgabe x die Menge ihrer Klauseln C zugewiesen
geordnete Paar (Q, ) wird als surmise-system bezeichnet
die Klauseln und die aus ihrer Vereinigung gewonnenen Zustände werden als Wissenzustände in die Wissensstruktur aufgenommen = Wissensraum
eine Wissensstruktur kann auch in Form einer Basis dargestellt werden, die nur die Klauseln enthält, die in keiner Teilmengenbeziehung untereinander stehen
Erweiterung der Theorie durch Erweiterung der Theorie durch Albert & HeldAlbert & Held
Komponentenbasierende Wissensräume:– stellen kognitive Anforderungen dar, die
notwendig sind zur Lösung eines Problems– ihre Eigenschaften werden als Attribute
bezeichnetSystematische Aufgabenkonstruktion:
erleichtert Vergleich von Aufgaben– Konstruktionsprinzip: „componentwise
ordering rule“
Beispiel zur Konstruktion von Beispiel zur Konstruktion von Aufgaben, die aus Komponenten mit Aufgaben, die aus Komponenten mit verschiedenen Attributen bestehenverschiedenen Attributen bestehen
Komponenten A und B, mit ihren Attributen:
A = {a1,a2 ,a3 } B = {b1, b2}
a1 = reelle Zahlen b1= Berechnung von Potenzen
a2 = ganze Zahlen b2 = Addition
a3 = natürliche Zahlen
Durch Bildung des kartesischen Produkts von A und B erhält man 6 verschiedene Aufgabentypen: A x B
p = {(a1b1), (a1b2), (a2b1), (a2b2),(a3b1),(a3b2)}
Beispiel:
(a2b1) = Berechnung von Potenzen ganzer Zahlen (-5)2
Attribute und ihre Attribute und ihre Problemstruktur nach der Problemstruktur nach der
koordinatenweisen Ordnungkoordinatenweisen Ordnung
A x B
a1
b1
a2 x
b2
a3
(a1b1) o
(a2b1) o o (a1b2)
(a3b1 ) o o (a2b2)
o (a3b2)
Lexikographische OrdnungLexikographische Ordnung
A x B
a1
b1
a2 x
b2
a3
o (a1b1)
o (a1b2)
o (a2b1)
o (a2b2)
o (a3b1)
o (a3b2)
Ansatz von HeldAnsatz von Held
den Attributen werden Anforderungen, „skills“, zugeschrieben
skills beziehen sich auf kognitive Anforderungen, die zur Lösung einer Aufgabe von Bedeutung sind
sie werden aus der Analyse der Lösungswege von Aufgaben gewonnen: Welches Wissen ist für die Lösung einer Aufgabe nötig? Welche Eigenschaften der Aufgabe sind es, die einen bestimmten Lösungsweg bedingen?
Ordnung der AttributeOrdnung der Attribute
erfolgt anhand der Annahmen über die erforderlichen skills
basiert auf Inklusion der Menge von skills:– ein Attribut, das aus einer Teilmenge von skills
eines anderen Attributs besteht, ist das leichtere
mögliche Ordnungsprinzipien:– componentwise order oder die lexikographische
Ordnung
Komponenten A und B:
A = {a1,a2,a3} B = {b1, b2}
ρa (a1) = {O1} ρb (b1) = {O4}
ρa (a2) = {O1, O2} ρb (b2) = {O4, O5}
ρa (a3) = {O1, O2, O3}
(a3) {O1, O2, O3} (b2) {O4, O5}
(a2) {O1, O2} (b1) {O4 }
(a1) {O1}
Kognitive Kognitive EntwicklungstheorienEntwicklungstheorien
Theorie von PiagetInformationsverarbeitungstheorieKonzept-AnsatzTransfer-Strategie-AnsatzRolle von TextaufgabenVerbindung zur Wissensraumtheorie
Theorie von PiagetTheorie von Piaget
klassische Stadientheorie 4 Stadien jedes Stadium geht aus dem vorangehenden
Stadium hervor und bereitet das darauffolgende vor
inhaltsunabhängige, abstrakte Denkschemata allgemeine Repräsentationsfähigkeit Veränderung der Denkschemata durch radikale
Umstrukturierung
Kritik an PiagetKritik an Piaget– Unterschätzungen der Kompetenz des Säuglings, – keine stadientypischen Einschränkungen des Denkens– keine stadientypische Homogenität
alle neueren Theorien sind aus der Auseinanderstetzung mit Piagets Theorie entstanden
befassen sich damit, welche kognitiven Strukturen zugegen sein müssen, um eine bestimmte Leistung erbringen zu können, bzw. welche Defizite Kinder daran hindern bestimmte Aufgaben zu lösen.
Informationsverarbeitungstheorien:Informationsverarbeitungstheorien:1. Neo-Piaget-Theorie:1. Neo-Piaget-Theorie:
Pascual-Leone, Halford; CasePascual-Leone, Halford; Case Kind als Computer-Metapher: Grundannahmen:
Denken ist Informationsverarbeitung, diese ist begrenzt, Leistungsfähigkeit beteht darin, Begrenzung zu erweitern
auch als Neo-piaget-Theorie bezeichnet, da sie auch das Konzept bereichsübergreifender Stadien beinhaltet.
Determinante kognitiver Veränderungen ist Veränderung der Informationskapazität.
Informationen aus der Umgebung werden durch Sinnesorgane registriert, in den Kurzzeit-, oder Arbeitsgedächtnisspeicher überführt und können in das Langzeitgedächtnis kommen.
2 Richtungen:2 Richtungen:
mit ansteigendem Alter: Erweiterung des
Arbeitsgedächtnisspeichers oder
Steigerung der Effizienz in der Nutzung kognitiver Ressourcen
ermöglicht Lösung komplexerer Aufgaben
2. Transfer-Strategie-Ansatz:2. Transfer-Strategie-Ansatz: Stern, Siegler, KuhnStern, Siegler, Kuhn
intraindividuelle Variabilität und interindividuelle Unterschiede im Entwicklungsverlauf
Wissen ist oft an Kontext seines Erwerbs gebunden Probleme bei der Übertragung von Wissen an neue
Aufgaben Trennung von Strategieentdeckung und
Strategieanwendung verschiedene Strategien sind parallel vorhanden und
einsetzbar Frage nach Mechanismen der Selektion zwischen
Problemlösungsalternativen
Bereichspezifische Theorie:Bereichspezifische Theorie:Konzept-Ansatz: Konzept-Ansatz:
Gelman, Stern, ResnickGelman, Stern, Resnickradikale Veränderungen inhaltsspezifischer
Konzepte im Laufe der kognitiven Entwicklung
konzeptuelle Umstrukturierung: restrukturierte Konzepte basieren auf abstrakteren Prinzipien, frühere konkrete Merkmale eines Konzepts verschwinden
Erwerb mathematischer Erwerb mathematischer KompetenzenKompetenzen
zur Bewältigung vieler Anforderungen in der Gesellschaft
bedeutendes Ziel in der Schule flexibel einsetzbare Basiskonzepte und
Problemlösekompetenzen so vermitteln, dass sie in realen Situationen angewandt werden können
Suche nach den Ursachen für Hindernisse und Probleme der Kinder mit der Entwicklung mathematischen Verständnisses
Aufgabe der kognitiven Psychologie
TextaufgabenTextaufgaben– zur Untersuchung von Lern- und Denkprozesse – Lösungen sind einfach– Stoffinhalt ist überschaubar ist– genaue Abbildung von Lösungsprozessen – Vergleich mit empirischen Daten
2 Textsysteme:
- Handlungswelt und Sachwelt
- mathematische Strukturwelt sprachlich miteinander verbunden Studium des Wechselspiels von sprachlichen, sachlichen und
mathematischen Verarbeitungsprozessen bzw. Wissen.
Textaufgaben als Textaufgaben als Forschungsgegenstand der Lern- Forschungsgegenstand der Lern-
und Entwicklungspsychologieund Entwicklungspsychologie
ermöglicht Studium von Verstehensprozessen:- die Situation verstehen- in mathematische Gleichung umsetzen
erfordert Repräsentation eines mentalen Modells:
Wissensrepräsentation auf unterschiedlichem
qualitativen und quantitativen Niveau, konstruiertes Modell der externen Umgebung, abstrakt, flexibel, komplex
3 Grundtypen von Textaufgaben 3 Grundtypen von Textaufgaben zur Addition und Subtraktionzur Addition und Subtraktion
1. Kombinationsaufgaben
2. Austauschaufgaben
3. Vergleichsaufgaben
innerhalb eines Aufgabentyps unterscheiden sich die Aufgaben in der Art, nach welcher Menge gesucht wird
KombinationsaufgabenKombinationsaufgaben
1. Teilmenge unbekannt
Maria und Hans haben zusammen 8 Murmeln. Maria hat 6 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Hans?
2. Vereinígungsmenge unbekannt
Maria hat 3 Murmeln. Hans hat 4 Murmeln. Wie viele Murmeln haben sie zusammen?
AustauschaufgabenAustauschaufgaben
1. Endmenge unbekannt
Maria hatte 5 Murmeln. Dann gab ihr (sie) Hans 3 (2) Murmeln. Wie viele Murmeln hat Maria jetzt?
2. Austauschmenge unbekannt
Maria hatte 5 Murmeln. Dann gab ihr (sie) Hans einige Murmeln. Jetzt hat Maria 8 (3) Murmeln. Wie viele Murmeln hat ihr Hans gegeben?
3. Anfangsmenge unbekannt
Maria hatte einige Murmeln. Dann gab ihr (sie) Hans 3 Murmeln. Jetzt hat Maria 5 (4) Murmeln. Wie viel Murmeln hatte sie am Anfang?
Vergleichsaufgaben1. Differenzmenge unbekannt
Maria hat 5 Murmeln. Hans hat 8 (2) Murmeln. Wie viele Murmeln hat Hans mehr (weniger) als Maria?
2. Vergleichsmenge unbekannt
Maria hat 3 Murmeln. Hans hat 4 (2) Murmeln mehr (weniger) als Maria. Wie viel Murmeln hat Hans?
3. Referenzmenge unbekannt
Maria hat 7 Murmel. Sie hat 4 (2) Murmeln mehr (weniger) als Hans. Wie viel Murmeln hat Hans?
Schwierigkeitsgrad der Aufgaben– konsistente Ergebnisse
– Aufgaben, denen die gleiche mathematische Operation zugrunde liegt, unterscheiden sich deutlich in ihrer Schwierigkeit
– Aufgaben zur Kombination sind allgemein gesehen am leichtesten, solche zum Vergleich am schwierigsten
– innerhalb der Aufgabentypen gibt es in Abhängigkeit der Art der gesuchten Menge Schwierigkeitsunterschiede
– innerhalb der Vergleichsaufgaben sind solche mit unbekannter Referenzmenge am schwierigsten
Was macht das Lösen von Was macht das Lösen von Textaufgaben so schwierig?Textaufgaben so schwierig?
viele Studien dazu 3 Hypothesen, was für die Schwierigkeit
einer Aufgabe verantwortlich ist:1. abstrakt-mathematisches Wissen
2. Sprachverständnis
3. Situationsverständnis
1. Bedeutung des abstrakt-1. Bedeutung des abstrakt-mathematischen Wissens mathematischen Wissens
Modell von Riley, Greeno & Heller (1983):– manche Aufgaben sind deshalb schwieriger, da sie nicht
mit einfachen Zählprozeduren lösbar sind, sondern arithmetische Kenntnisse, z.B. Teil-Ganzes-Schema, erfordern, wie zum Beispiel Vergleichsaufgaben
– setzt Repräsentation eines abstrakten Problemmodells voraus
– warum aber sind Aufgaben mit unbekannter Referenzmenge schwieriger als soche mit unbekannter Vergleichsmenge?
– auch andere Faktoren müssen mitspielen
2. Bedeutung des 2. Bedeutung des Sprachverständnisses Sprachverständnisses
Modell von Cummins, Kintsch, Reusser und Weimer (1988):– Schwierigkeit liegt darin, abstrakte Sprache
(„mehr“ / „weniger“) zuverstehen – Experiment:
Aufgabe vor oder nach ihrer Bearbeitung nacherzählen
Frage zu einer unfertigen Aufgabe finden
Ergebnisse:– Lösungshäufigkeiten waren korreliert mit der
Nacherzählung der Aufgabe und Finden einer angemessenen Frage
– korrekte Lösungen waren korreliert mit korrekter Nacherzählung und angemessenen Fragen
– Textaufgaben mit abstrakter Sprache führten eher dazu, die Aufgabe mißzuverstehen
Bedeutung des Bedeutung des SituationsverständnissesSituationsverständnisses
Situationsmodell: Alltagswissen über die im Text beschriebene Situation erleichtert Aufgaben– Untersuchung von Stern: wirkt sich Aktivierung eines
Alltagskontextes auf Lösen von Vergleichsaufgaben aus?
vor der Aufgabe wird ein kurzer Text präsentiert, in dem es um den Vergleich von Mengen geht
hat positive Wirkung, auch wenn Inhalt des Textes dem der Aufgabe widerspricht
je enger die Beziehung zwischen der Geschichte und der Aufgabe ist (kompatibel), desto höher sind die Erleichterungseffekte
– stützt die Annahme der Textverarbeitung, dass eine episodische Struktur den Aufbau eines mathematischen Problemmodells steuert
Reformulierungseffekte: Hudson (1983)Aufgaben mit unbekannter Differenzmenge
– 5 Vögel haben Hunger. Es gibt 3 Würmer. Wieviel mehr Vögel als Würmer gibt es?
Konnten nur 25 % der untersuchten Kinder lösen
– 5 Vögel haben Hunger. Es gibt 3 Würmer. Wie viele Vögel bekommen keinen Wurm?
konnten 96% lösen– Ergebnis wurde von Stern (1993) bei Vergleichsaufgaben
repliziert– Interpretation: Sprache beeinflußt Lösung– ABER: es kommt neben Sprachveränderung auch zu einer
Veränderung des Situationsverständnisses: ..bekommen keine.. = vertraute Alltagssituation: Angleichung von Objekten
– weiter bezieht sich Umformulierung auf eine konkrete Menge, was wiederum Aufbau des math. Problemmodells erleichtert, da es nicht das Verständnis des Teil-Ganzes-Schem erfordert
Weitere Ergebnisse von SternWeitere Ergebnisse von Stern Einfluss von:
– Intelligenz und spezifischem Wissen Einfluß von Intelligenz verringert sich bei Einbezug des spezifischen
Wissens
– Aufgabenauswahl strukturorientierte Aufgaben , die auf Vermittlung mathematischer
Prinzipien abzielen, verbessern Leistung eher als performanzorientierte, die Einübung von Rechenprozeduren und mathematischen Fakten beinhalten
– Vorstellungen der Lehrer über Erwerb mathem. Kompetenzen positivere Auswirkung von konstruktivistischer Grundhaltung, Freiheit in
der Art wie man Aufgaben löst, als rezeptive Haltung, nur Aufgaben vorgeben, für deren Lösung genaue Anweisungen gegeben wurden
– mathematisch-numerischen Prinzipien
Erklärung der Schwierigkeit von Erklärung der Schwierigkeit von Verleichsaufgaben von SternVerleichsaufgaben von Stern
Vergleichsaufgaben erfordern Konzept des Relationszahlverständnisses– ...4 Murmeln mehr als...– mit der Zahl wird keine konkrete Menge beschrieben,
sondern eine Beziehung zwischen Zahlen
Defizite in der kognitiven Umstrukturierung– Umstrukturierung des Zahlkonzeptes und Konzept von
Addition und Subtraktion wären notwendig– entspricht dem Konzept-Ansatz
Defizite im Sprachverständnis können Schwierigkeitsunterschiede weniger gut erklären
Erklärung der anderen Erklärung der anderen kognitiven kognitiven
EntwicklungstheorienEntwicklungstheorien nach der Informationsverarbeitungstheorie
erfordern Vergleichsaufgaben mehr Speicherkapazität und sind somit schwieriger zu lösen
der Transfer-Strategie-Ansatz besagt, dass die Schwierigkeit in der Übertragung von Wissen auf neue Aufgaben liegt, Textaufgaben kommen seltener vor als numerische Beispiele und sind daher schwieriger zu lösen
Ableitung der FragestellungAbleitung der Fragestellung
je nach Entwicklungstheorie werden eben unterschiedliche Bereiche als zentral für das Vertändnis mathematischer Textaufgaben gesehen
diese Dimensionen müßten aus mindestens zwei Ausprägungen bestehen, komplett variiert und permutiert werden aufwendige Problemkonstruktion und Daten-Analyse
mit Hilfe der Wissensraumtheorie können Hypothesen geprüft werden, welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, damit bestimmte Probleme gelöst werden können auch bei komplexen Aufgabenstrukturen, in denen mehrere
Dimensionen variiert werden
Ansatz von HeldAnsatz von Held nach diesem Ansatz werden Aufgaben
systematisch konstruiert, indem zuerst Komponenten definiert werden, die aus mehreren Eigenschaften bestehen, für die dann bestimmt wird, welche kognitiven Anforderungen sie an eine Person stellen
Aufgaben, für die mehr Anforderungen nötig sind, sind schwieriger
anhand dieser Informationen werden die Wissensstrukturen erstellt
je nach kognitiven Entwicklungstheorien, die jeweils andere Bereiche (Komponenten) als zentral sehen, werden sich unterschiedliche Strukturen ergeben
FragestellungFragestellungIst es möglich, im Rahmen der
Wissensraumtheorie eine auf einer kognitiven Entwicklungstheorie beruhende Wissensstruktur zu erstellen, die die Schwierigkeitsunterschiede im Lösen von Textaufgaben beschreiben kann?
Können Textaufgaben in Anforderungen zerlegt werden, die eine Bildung von Relationen ihrer Voraussetzung ermöglichen?