ELTE TTK Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék

Szakdolgozati témák 2017/2018

Biztosítási és pénzügyi matematika mesterszak

1. Szabadon választható téma.

Témavezető: A tanszék bármelyik oktatója.

A téma rövid leírása: Ha egy hallgató tetszőleges pénzügyi matematikai vagy biztosítási

matematikai téma iránt érdeklődik, akkor témavezetőnek választhatja azt a szakembert, aki ehhez ért,

és ebben segítséget tud neki nyújtani.

Ajánlott irodalom: a hallgató és a témavezető megállapodása alapján.

Ajánlott szakirányok: mindegyik.

2. Kárszámok és kárnagyságok közti kapcsolat modellezése

Témavezető: Szamoránsky János (szamoransky.janos”at”aegon.hu).

A biztosítási díjszámításokban és modellezésben általában feltételezik, hogy a károk száma és

nagyságuk független egymástól. Több vizsgálat szerint ez a feltételezés gyakran nem teljesül. A

szakdolgozatban az irodalom ismertetése után a következőkkel lehetne foglalkozni.

egy valós portfólió adatelemzése

módszerek összehasonlítása

újfajta kapcsolat, kár-, kárszámeloszlás feltételezése és elemzése.

Ajánlott irodalom: J. Garrido, C. Genest, J. Schulz, Generalized linear models for dependent frequency and severity of

insurance claims, Insurance: Mathematics and Economics, Volume 70, 2016, Pages 205-215, ISSN

0167-6687, http://dx.doi.org/10.1016/j.insmatheco.2016.06.006.

(http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0167668715303358)

C. Czado, R. Kastenmeier, E.C. Brechmann, A. Min, A mixed copula model for insurance claims and

claim sizes, Scand. Actuar. J., 2012 (4) (2012), pp. 278-305

Nicole Krämer, Eike C. Brechmann, Daniel Silvestrini, Claudia Czado, Total loss estimation using

copula-based regression models, Insurance: Mathematics and Economics, Volume 53, Issue 3, 2013,

Pages 829-839, ISSN 0167-6687, http://dx.doi.org/10.1016/j.insmatheco.2013.09.003.

(http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0167668713001364 )

Ajánlott szakirányok: aktuárius.

3. Hogyan árazzunk be egy stop loss viszontbiztosítást?

Témavezető: Berki László (berki.laszlo”at”nn.hu)

A téma rövid leírása:

A biztosítók egyik legfontosabb kockázatporlasztási eszköze a viszontbiztosítás, az elmúlt években

azonban a Szolvencia II-es szabályozás miatt a tőkeoptimalizálási szerepe is jelentősen megnőtt, így

kulcsfontosságúvá vált az egyes viszontbiztosítási formák közötti eltérések mélyebb szintű

feltérképezése. A szakdolgozatban be kell mutatni, hogy a stop loss típusú viszontbiztosításnak

milyen előnyei / hátrányai vannak a többi (életbiztosításban használatos) ismert formával szemben,

ill. hogyan hat összességében a vállalat mérlegére. Mennyire drága a stop loss, és ha az, megéri-e?

Ajánlott irodalom: Mette M. Rytgaard: Stop Loss Reinsurance (2004);

Rajko Reijnen, Willem Albers, Wilbert C.M. Kallenberg: Approximations for stop-loss reinsurance

premiums (2005) Memorandum Faculty of Mathematical Sciences No. 1695;

Jun Cai, Ken Seng Tan: Optimal retention for a stop-loss reinsurance under the VaR and CTE risk

measures (2007)

Ajánlott szakirányok: aktuárius.

4. Hosszú távú törlési feltételezések kalibrálása

Témavezető: Berki László (berki.laszlo”at”nn.hu)

A téma rövid leírása:

Életbiztosításnál a Szolvencia II-es értékelés részét képező legjobb becslés számításának egyik

meghatározó része az aktuáriusi feltételezések, ezek közül az egyik legjelentősebb a

visszavásárlás/törlés, ami jellegéből adódóan (nem biometrikus kockázat) is a többitől külön

kezelendő. A szakdolgozat célja annak bemutatása, hogy historikus adatokból milyen statisztikai

módszerekkel határozható meg a hosszú távú törlés szintje, illetve az IFRS17 miatt (is)

kulcsfontosságú kérdés, hogy az aktuális trendek hogyan vehetők figyelembe. Az egyes módszerek

eredményeit tényleges portfolióadatokra alkalmazva is szemléltetni kell.

Ajánlott irodalom: Martin Eling, Dieter Kiesenbauer: What policy features determine life insurance lapse? (2013) The

Journal of Risk and Insurance, 2013, Vol. 81, No. 2, 241–269;

Rocco Roberto Cerchiara, Matthew Edwards, Alessandra Gambini: Generalized linear models in life

insurance: decrements and risk factor analysis under Solvency II (2010)

Ajánlott szakirányok: aktuárius.

5. Halandósági előrejelzések hibái (foglalt)

Témavezető: Arató Miklós (arato”at”math.elte.hu)

A téma rövid leírása:

A járadék- és nyugdíjbiztosítás egyik legfontosabb aktuáriusi problémája a hosszú távú halandósági

előrejelzés. Az egyik legnépszerűbb módszer a Lee-Carter, melynek több módosítása is született. A

szakdolgozatban néhány módszer bemutatása mellett becsléseket kell adni a módszerek előrejelzési

hibáira is.

Ajánlott irodalom: Lee, R. D. & Carter, L. R. (1992). Modeling and forecasting U.S. mortality. Journal of the American

Statistical Association, http://dx.doi.org/10.2307/2290201

Arató, M., Bozsó, D., Elek, P. & Zempléni, A. (2009). Forecasting and Simulating Mortality Tables.

Mathematical and Computer Modelling, http://dx.doi.org/10.1016/j.mcm.2008.01.012

Bajkó, A., Maknics, A., Tóth, K. & Vékás, P. (2015). A magyar nyugdíjrendszer fenntarthatóságáról,

Közgazdasági Szemle, http://dx.doi.org/10.18414/ksz.2015.12.1229

Ajánlott szakirányok: aktuárius.

.

6. Frakcionális Brown-mozgásra épülő volatilitási modellek

Témavezető: Backhausz Ágnes (agnes”at”cs.elte.hu)

A téma rövid leírása:

Az utóbbi években a pénzügyi modellezésben egyre népszerűbbek az úgynevezett "rough volatility''

modellek. Ezek a sztochasztikus volatilitást feltételező modellek általánosításainak tekinthetők,

amikor a volatilitásra vonatkozó sztochasztikus differenciálegyenletben a Brown-mozgás helyett

frakcionális Brown-mozgás jelenik meg. Ezen modellek létjogosultságát főként a magas frekvenciájú

kereskedés megértése adja, hiszen ebben az esetben a volatilitást is pontosabban kell modellezni.

A feladat a frakcionális Brown-mozgásra épülő sztochasztikus differenciálegyenletekkel, volatilitási

modellekkel kapcsolatos szakirodalom feldolgozása, illetve számítógépes szimuláció segítségével a

modell paraméterérzékenységének vizsgálata.

Ajánlott irodalom: J. Gatheral, T. Jaisson, M. Rosenbaum: Volatility is rough. Kézirat. arXiv:1410.3394.

L. Bergomi and J. Guyon: Stochastic volatility's orderly smiles. Risk May, pp. 60--66, 2012.

Ajánlott szakirányok: kvantitatív pénzügy

7. Multi-asset Option Pricing

Témavezető: Márkus László (markus”at”cs.elte.hu)

A téma rövid leírása:

Több alapterméktől függő származtatott követelések árazási lehetőségeinek áttekintéséről illetve

egyes specifikus esetek részletes bemutatásáról szólhat a szakdolgozat. Fontos az egyes alaptermékek

árait modellező folyamatok, illetve az ezek összefüggését leíró struktúra árazásra gyakorolt hatásának

bemutatása.

Ajánlott irodalom:

Ren-Raw Chen, San-Lin Chung, Tyler T.: Yang: Option Pricing in a Multi-Asset, Complete Market

Economy, The Journal of Financial and Quantitative Analysis, Vol. 37, No. 4 (Dec., 2002), pp. 649 -

666

URL: http://www.jstor.org/stable/3595015

Max Skipper & Peter Buchen: The Quintessential Option Pricing Formula

http://www.maths.usyd.edu.au/u/pubs/publist/preprints/2003/skipper-22.pdf

megjelent, mint: A valuation formula for multi-asset, multi-period binaries in a black-scholes

economy, The ANZIAM Journal, 2009/04/01, pp. 475-485.

Peter Buchen: An Introduction to Exotic Option Pricing, 296 Pages, 2012, CRC Press.

The second part focuses on applications to exotic option pricing, including dual-expiry, multi-asset

rainbow, barrier, lookback, and Asian options. Pushing Black–Scholes option pricing to its limits, the

author introduces a powerful formula for pricing a class of multi-asset, multiperiod derivatives. He

gives full details of the calculations involved in pricing all of the exotic options.

Thomas P. Branson, Yang Ho Choi: Option Pricing on Multiple Assets, Acta Appl Math (2006) 94:

137–162, DOI 10.1007/s10440-006-9069-7

Jun Wang: The Multivariate Variance Gamma Process and Its Applications in Multi-asset Option

Pricing, Dissertation, Doctor of Philosophy, 2009

T. R. Hurd, and Zhuowei Zhou: A Fourier Transform Method for Spread Option Pricing, SIAM

Journal on Financial Mathematics, 2010 - SIAM

http://ms.mcmaster.ca/tom/HurdZhouSpreadoptionsSIAM.pdf

A Venkatramanan, C Alexander: Closed form approximations for spread options Applied

Mathematical Finance, 1. pp. 1–26, 2011 - Taylor & Francis

R Caldana, G Fusai : A general closed-form spread option pricing formula, Journal of Banking &

Finance, 37 (2013) 4893–4906, Elsevier

https://www.researchgate.net/publication/251333118_A_General_Closed-

Form_Spread_Option_Pricing_Formula

Ajánlott szakirányok: kvantitatív pénzügy.

8. Spread Option Pricing Under Stochastic Correlation

Témavezető: Márkus László (markus”at”cs.elte.hu)

A téma rövid leírása:

Két alaptermék árának különbségétől függő származtatott követelések u.n. spread option -ök árazási

lehetőségeinek áttekintéséről, illetve egyes specifikus esetek részletes bemutatásáról szólhat a

szakdolgozat. Különös figyelmet kellene fordítani az egyes alaptermékek árait modellező folyamatok

összefüggését leíró struktúra árazásra gyakorolt hatásának bemutatására, illetve feladat lenne a

meglévő árazások gyakorlati alkalmazása (programozás is).

Ajánlott irodalom:

T. R. Hurd, and Zhuowei Zhou: A Fourier Transform Method for Spread Option Pricing, SIAM

Journal on Financial Mathematics, 2010 - SIAM

http://ms.mcmaster.ca/tom/HurdZhouSpreadoptionsSIAM.pdf

A Venkatramanan, C Alexander: Closed form approximations for spread options Applied

Mathematical Finance, 1. pp. 1–26, 2011 - Taylor & Francis

R Caldana, G Fusai : A general closed-form spread option pricing formula, Journal of Banking &

Finance, 37 (2013) 4893–4906, Elsevier

https://www.researchgate.net/publication/251333118_A_General_Closed-

Form_Spread_Option_Pricing_Formula

Ma, J.: Pricing Foreign Equity Options with Stochastic Correlation and Volatility, Ann. Econ. Fin.,

10(2), 303-327 (2009).

Margrabe, W.: The value of an option to exchange one asset for another, J. Finance, 33, 177-186

(1978).

Poulsen, R.: The Margrabe Formula, Encyclopedia of Quantitative Finance (2009).

L. Teng, M. Ehrhardt, M. Gunther: Quanto Pricing in Stochastic Correlation Models, SIAM

Conference on Financial Mathematics and Engineering (2016).

Nikita Merkulov: Spread Options Pricing with Stochastic Correlation, MSc Theses, CEU, supervisor

László Márkus

Ajánlott szakirányok: kvantitatív pénzügy.

9. Többdimenziós stabilis eloszlások és alkalmazásuk a hozamok modellezésében (foglalt)

Témavezető: Zempléni András (zempleni”at”caesar.elte.hu)

A téma rövid leírása:

A napi részvényhozamok vastag szélű eloszlásokkal írhatók le. Ezek közül elméletileg is

alátámasztott módon a stabilis eloszlások központi szerepet játszanak. Gyakorlati

alkalmazhatóságukat hátráltatja, hogy a sűrűségfüggvényünknek nincs zárt alakja – de a ma már

rendelkezésre álló gyors számítógépek segítségével lehet becsülni a paramétereiket. A szakdolgozat

célja ezen módszerek átvitele többdimenzióra, ahol a kihívások még nagyobbak, de vannak már

eredmények a szakirodalomban [1]. A [2] cikk pedig számos igen friss eredményt mutat be, amik

feldolgozása szintén a szakdolgozat témája lenne.

A dolgozat az elméleti eredmények áttekintése mellett gyakorlati módszereket is adna, amik

megvalósításával valódi pénzügyi adatsorok modellezésére is sor kerülne.

Ajánlott irodalom: [1] J. P. Nolan, A. K. Panorska, J. H. McCulloch, Estimation of stable spectral measures,

Mathematical and Computer Modelling 34 (2001) 1113-1122

[2] J. P. Nolan, Bibliography on stable distributions, processes and related topic, 2017

Ajánlott szakirányok: kvantitatív pénzügy

Morgan Stanley-vel közös témák kvantitatív pénzügy szakiránynak (mind foglaltak, témaleírás és

irodalom később)

1. Varianca swap-ok a részvénypiacon (tv: Ivanyi Zsofia + Molnár-Sáska Gábor)

A szakdolgozatban a termékcsalád ismertetésén kívül be kellene mutatni a replikációs stratégiákat,

körül kell járni azt, hogy ez mely esetekben érvényes, illetve, hogy mikor érdemes PDE vagy MC

árazás felé elmenni. Ezenkívül pedig, amikor pedig lehet, össze kellene hasonlítani a különböző piaci

modelleket (local vol, stoch vol). A szakdolgozat elkészítéséhez a jelöltnek implementálnia is kell a

megfelelő modelleket.

Carr, P. and Lee, R. (2007) 'Realised volatility and variance: options via swaps', Risk, May 2007, 76-

83.

Carr, Wu (2007). "Variance Risk Premia". AFA 2005 Philadelphia Meetings. SSRN 1024284

2. Investigating the quality of the Least-squares method(LSM) for approximating future exposure

distributions (tv: Hari Norbert + Vigh Gabor + Molnár-Sáska Gábor)

Jövőbeli áreloszlást (kitettség=exposure) számolunk legkisebb négyzetes eltérés módszerrel (LSM). Ez

az ügyfélkockázat kezeléséhez elengedhetetlen. Sokszor numerikus közelítést alkalmazunk, és ezek

közül az LSM a legelterjedtebb. A dolgozatban ezt az eszközt kell összehasonlítani más módszerekhez.

Az a cél, hogy kiderítsük, hogy mikor mekkora a hiba az LSM módszer használatának

következményeként.

F. A. Longstaff, E. S. SchwartzValuing American Options by Simulation: A Simple Least-Squares

Approach, The Reiieib of Firiancial Studies Spring 2001 Vol. IS. No. I, pp. 113-147

S Jain, C. W. Oosterlee: The Stochastic Grid Bundling Method: Efficient Pricing of Bermudan Options

and their Greeks, Applied Mathematics and Computation Volume 269, 2015, Pages 412-431

3. Analyzing short time asymptotic of stochastic volatility models (tv: Korossy Csaba + Molnár-

Sáska Gábor)

Hagan és szerzőtársai a SABR modellben egy analitikus közelítő formulát adtak az implikált

volatilitásra. Ennek a megközelítésnek vannak hátrányai (pl negatív implikált sűrűségfüggvény), amik

különösen érdekessé váltak a mai alacsony kamatláb környezetben. A szakdolgozatban össze kellene

hasonlítani a Hagan formulát egy differenciálgeometriai eszközökön alapuló alternatív megközelítéssel.

Hagan P., D. Kumar, A. S. Lesniewski and D. E.Woodward (2002), “Managing Smile Risk”

Henry-Labordere, P. (2005), “A General Asymptotic Implied Volatility for Stochastic Volatility

Models”

Lewis, A. (2007), “Geometries and smile asymptotics for a class of Stochastic Volatility models”

4. Sub-additivity of VaR vs. Expected Shortfall (tv: Komarik Andras + Domotor Barbara + Molnár-

Sáska Gábor)

A Value-at-Risk (VaR) egy veszteségi szint, amit bizonyos feltételek mellett nem lép túl a vállalat

valamilyen valószínűséggel. Ez egy régóta használt, széles körben elterjedt kockázati mérték a

pénzügyi piacon. A VaR-nak ugyanakkor vannak hátrányai is, ezért más metrikákat is elkezdtek

használni a pénzintézetek. A szakdolgozat fő célja körüljárni a VaR előnyeit és hátrányait,

összehasonlítva más mértékekkel, elsősorban az Expected Shortfall-lal.

J. Daníelsson: Subadditivity Re–Examined: the Case for Value–at–Risk, Volume 549 of LSE Financial

Markets Group discussion paper series, ISSN 0956-8549

C. Acerbi∗ D. Tasche: Expected Shortfall: a natural coherent alternative to Value at Risk, Economic

Notes, 2002, vol. 31, issue 2, 379-388

5. Rendszerváltozások kihívásai a piaci kockázatkezelésben: a Var metodológiája (tv: Toth Janos +

Molnár-Sáska Gábor)

A Value-at-Risk (VaR) egy veszteségi szint, amit bizonyos feltételek mellett nem lép túl a vállalat

valamilyen valószínűséggel. Ez egy régóta használt, széles körben elterjedt kockázati mérték a

pénzügyi piacon. A VaR becsléséhez használunk múltbeli adatokat. A hisztorikus adatsorok jellege

azonban idővel változik, ami komoly kihívást jelent a megfelelő kockázatkezelésben. A

szakdolgozatban azt kellene vizsgálni, hogy az idősorok rendszerszintű változásainak milyen hatásai

vannak a kockázatkezelésre, azon belül is a VaR számolásra.

Endresz, M. V. (2004). Structural Breaks And Financial Risk Management. Magyar Nemzeti Bank,

MNB Working Paper, 11, 1-56

J. Bai and P. Perron (2003) “Computation and Analysis of Multiple Structural Change Models” Journal

of Applied Econometrics 18

6. Modeling collateralized products in credit (tv: Zoboky Tamas + Molnár-Sáska Gábor)

A Credit Default Swap (CDS - hitelmulasztási csereügylet) egy széles körben elterjedt biztosítási

forma a pénzügyi világban. A strukturált kötvénypiacon megnőtt az igény arra, hogy CDS-sel

kereskedjenek megfelelő biztosíték (kollaterál) mellett. Az ilyen pénzügyi termékek árazásához és

kockázatkezeléséhez szükség van a CDS és a kollaterál közötti korrelációra. A szakdolgozatban ezt a

kérdéskört kell modellezési szempontból körüljárni a megfelelő szakirodalom alapján.

P. J. Schonbucher – D. Schubert: Copula-Dependent Default Risk in Intensity Models, Working paper,

Department of Statistics, Bonn University

M. Fujii, A. Takahashi: Collateralized credit default swaps and default dependence: implications for the

central counterparties, Volume 8, Number 3 (2012) Pages: 97-113

SolvencyAnalytics-el közös témák mindkét szakiránynak

2017/18-ban legfeljebb két diák témavezetését vállalják (a megjelölt belső konzulensek segítségével), az alábbi témák közül lehet választani Thesis topic: Fixed Income Portfolio Optimization under different risk measures

(#REF-op1) Information about the Company Webpage: solvencyanalytics.com Contact Info: info@solvencyanalytics.com Introduction

The standard approach in portfolio optimization on the equity market is the mean-variance optimization theory which was introduced by Markowitz. This theory was directly applicable to the equity market, and became a standard in that area.

However, the majority of the world’s investments are held in fixed income securities, where the application of this model is not as straightforward as for equities. Therefore a model extension for fixed income securities has been proposed in the literature by including interest rate term structure models into the mean-variance framework. The changes in the last decades in the interest rate levels and volatilities, and pressure from financial regulators are further increasing attention to fixed income portfolio optimization methodologies. As the risk estimation by variance was replaced by other risk measures (VaR, ES, etc.) in the market, the classic mean-variance optimization techniques became outdated.

In the context of Solvency II and the Swiss Solvency Test, VaR and ES are the respective measures assessing quantitative risk. Portfolios that are optimized according to the above risk measures are likely to be treated more favorably under the respective regulations. From a portfolio management point of view, note that most portfolios have investment constraints on ratings, sectors, currency, and other characteristics. Including such constraints into the optimization problem is therefore essential.

Goals of the Thesis

Formulate the portfolio optimization problem with interest rate term structure models (e.g. Vasicek, HW, HJM)

Apply different types of risk measures in the optimization Analyze the differences and connections between these models and model

selection effects on the optimal portfolio Perform an empirical study on a bond market Implement term structure models and fixed income optimizer in Python or Matlab

Implement and analyze different bond market constraints (linear constraints on duration, sectors, currencies, regions, etc.)

If possible, assess the impact of the resulting portfolios under Solvency II (i.e. Solvency Capital Requirement)

References

Frank J. Fabozzi, Steven V. Mann (2005): Handbook of Fixed Income Securities, McGraw-Hill

O Korn, C Koziol (2006): Bond Portfolio Optimization: A Risk-Return Approach, The Journal of Fixed Income

R. Tyrrell Rockafellar, Stanislav Uryasev (2000): Optimization of conditional value-at-risk, Journal of risk

Yasuhiro Yamai, Toshinao Yoshiba (2002): Comparative Analyses of Expected Shortfall and Value-at-Risk: Their Estimation Error, Decomposition, and Optimization, Monetary and economic studies

Jessica James, Nick Webber (2000): Interest Rate Modelling, John Wiley and Sons Mark Fisher, Douglas Nychka, David Zervos (1994): Fitting the term structure of

interest rates with smoothing splines, FEDS 95-1 Jerry Yi Xiao (2001): Term Structure Estimations for U.S. Corporate Bond Yields.

RiskMetrics Journal 2(1) Brigo/Mercurio: Interest Rate Models - Theory and Practice. Springer Finance, 2006

Thesis topic: VaR and ES Optimization of multi-asset-class ETF portfolios under

regulatory constraints (#REF-op2)

Information about the Company Webpage: solvencyanalytics.com Contact Info: info@solvencyanalytics.com Introduction

As the regulatory pressure grows, models which are able to consider the new definitions of risk, and procedures which can handle the related constraints and limits became increasingly important to financial market participants.

To handle portfolio construction problems, the Markowitz type mean-variance optimization method is one of the key analytical tools worldwide. However, by the evolution of risk measures the classic theory became outdated and the extension of the model became inevitable. Today the two most important risk measures accepted and applied by regulations are Value at Risk and Expected Shortfall.

The aim of this thesis topic is to include the above mentioned risk measures in portfolios of Exchange Traded Funds (ETFs). ETFs have been increasingly popular investment vehicles in the last 20 years, mainly due to their broad diversification, low costs and simple tradability. A portfolio of ETFs benefits from these funds’ favourable characteristics while diversifying into different asset classes.

For Solvency II regulated investors a portfolio that is optimized towards VaR or ES is likely to be attractive. Consider investment constraints e.g. on asset classes in the optimization framework and if possible, include Solvency II related aspects such as the various market Solvency Capital Requirements and the equity symmetric adjustment.

Goals of the Thesis

Formulate the portfolio optimization problem with different risk measures, wherever needed introduce approximation methodologies

Analyze the set of efficient portfolios under different assumptions on return distribution

Analyze changes in the efficient frontiers invoked by the different model variations Perform an empirical study on ETF markets Analyze the differences and connections between these models and model

selection effects on the optimal portfolio results Implement optimizer in Python or Matlab Introduce Solvency II related aspects (e.g. Solvency Capital Requirement and

symmetric adjustment)

References

R. Tyrrell Rockafellar, Stanislav Uryasev (2000): Optimization of conditional value-at-risk, Journal of risk

Yasuhiro Yamai, Toshinao Yoshiba (2002): Comparative Analyses of Expected Shortfall and Value-at-Risk: Their Estimation Error, Decomposition, and Optimization, Monetary and economic studies

Pavlo Krokhmal, Jonas Palmquist, Stanislav Uryasev (2001): Portfolio optimization with conditional value-at-risk objective and constraints, Journal of risk

Dimitris Bertsimasa, Geo-rey J. Laupreteb, Alexander Samarovc (2004): Shortfall as a risk measure: properties, optimization and applications, Journal of Economic Dynamics and Control

Thesis topic: Convertible Bond Pricing under Solvency II (#REF-cb3) Information about the Company

Webpage: solvencyanalytics.com Contact Info: info@solvencyanalytics.com Introduction

Convertible bonds are corporate bonds with an embedded option to convert into a predefined number of company shares. Consequently, the convertible bond is priced similarly as a corporate bond if the equity price is low (i.e. significantly below conversion price). However, if equity price is significantly above conversion price the convertible bond is likely to be converted and its price behaviour is similar to the underlying shares.

The application of convertible bond pricing models to Solvency II is at the core of this thesis.

Relevancy for Solvency II

Convertible bonds are a hybrid asset class between corporate bonds and equities. They are characterized by a so-called convex payoff profile: a convertible bond’s price reacts more to positive equity shocks than to negative shocks of equal absolute size. As Solvency II uses Value-at-Risk as risk measure instead of volatility, financial instruments with convex payoffs are likely to benefit under this regulatory regime. In order to demonstrate the impact of this complex asset class on an insurance company’s solvency capital requirement, the applied asset pricing model has to be able to incorporate specific risk factors. These are the shocks defined in the market risk module of Solvency II.

Note that asset pricing models that tend to produce ‘conservative’ results may be favoured from regulatory perspective.

Goals of the Thesis

Literature review of different convertible bond pricing models Review of main Solvency II market risk factors Implementation of convertible bond pricing functions in Python What results do pricing models produce under Solvency II shocks? Compare these with empirical data - and if possible, adjust models to produce

conservative results (rather underpricing than overpricing under negative shocks)

Basic References

Balázs Mezőfi: Convertible Bond Pricing - An Empirical Study for Solvency II, Master Thesis, Corvinus University / ELTE, 2015

Jan De Spiegeleer, Wim Schoutens and Philippe Jabre: The Handbook of Convertible Bonds: Pricing, Strategies and Risk Management. Wiley 2011

Daniel Niedermayer: Convertible Bonds - Fundamentals, Asset Allocation, Solvency. Credit Suisse 2014 https://www.credit-suisse.com/asset_management/downloads/marketing/wp_broschuere_convertibles_eng.pdf

Academic References

Bardhan, I. - Bergier, A. - Derman, E. - Dosembet, C. - Kani, I. (1994): Valuing Convertible Bonds as Derivatives. Technical Report, Goldman Sachs.

Batten, J. A. - Khaw, K. - Young, M. R. (2014): Convertible Bond Pricing Models. Journal of Economic Surveys, Vol. 28. No. 5, pp. 775-803.

Chambers, D. R. - Lu, Q. (2007): A Tree Model for Pricing Convertible Bonds with Equity, Interest Rate, and Default Risk. The Journal of Derivatives, Vol. 14, pp. 25-46.

Tsiveriotis, K. - Fernandes, C. (1998): Valuing Convertible Bonds with Credit Risk. Journal of Fixed Income, Vol. 8. No. 2, pp. 95-102.

Zabolotnyuk, Y. - Jones, R. - Veld, C. (2010): An Empirical Comparison of Convertible Bond Valuation Models. Financial Management, Vol. 39. No. 2, pp. 675-706.

Dynamic Collar Strategies under Solvency II (#REF_ds2)

Information about the Company Webpage: solvencyanalytics.com Contact Info: info@solvencyanalytics.com Introduction

Equity charges for insurance companies under Solvency II are not only substantial but also linked to a stochastic variable, the so-called symmetric adjustment (SA). The symmetric adjustment varies between +/-10% around standard equity charges of 39% for type 1 equities and 49% for type 2 equities. The SA may not only lead to massive capital charges of up to 49% or 59% but also introduces a source of uncertainty into the financial system as future capital charges become stochastic.

Our intuition tells that in times where equity charges are high due to a positive SA, equity exposure should be lower than in times of negative SA. The aim of this thesis topic is to find trading strategies that exploit this property by achieving long term average returns at lower capital charges.

A way of reducing equity charges is by self financing collar strategies. A ‘static’ collar strategy would keep the put strike in a constant proportion to the equity’s price at each rebalancing date and choose the call’s strike price to finance the put option. By this, downside risk and thus, equity capital charge would be reduced at the expense of giving up upside participation. In contrast to the above, a dynamic collar strategy would choose the put’s strike price as a function of the time dependent symmetric adjustment (published monthly on EIOPA’s website and which is calculated by comparing current index level with a moving average level of the index). According to our intuition, such dynamic collar strategies should - in

the long run - provide lower average equity capital charges while not changing average portfolio performance significantly compared to a static strategy.

The most simple way of backtesting such dynamic collar strategies is using index options on well-known indices. If historical option prices are unknown, you may calculate historical prices with some assumptions on implied volatility and backtest the dynamic collar strategy. The advantage of this method is that for well-known indices, index levels as well as the symmetric adjustments are available (or can be calculated) for over 100 years and that backtests over long periods can be performed.

Note that the results of this thesis have direct practical relevance as the strategy can be easily implemented by some index tracker (ETFs, index funds, index futures etc.) and the corresponding index options.

Goals of the thesis

Review the Solvency II risk model (pillar 1) with focus on equity charges and symmetric adjustment

Review and categorize option strategies with focus on self financing collars Develop a dynamic collar strategy where the put option’s strike is a function of the

symmetric adjustment Calibrate and backtest this strategy with historical data using a) observed index

option prices and b) for long-term studies using calculated option prices Apply these strategies to major equity indices (e.g. Eurostoxx, S&P 500, DAX)

Basic References

Neftci: Principles of Financial Engineering, 2. Edition, Academic Press, 2008 – Chapter 7f

https://eiopa.europa.eu/ https://eiopa.europa.eu/regulation-supervision/insurance/solvency-ii http://eur-lex.europa.eu/legal-

content/EN/TXT/PDF/?uri=OJ:L:2015:012:FULL&from=EN https://eiopa.europa.eu/regulation-supervision/insurance/solvency-ii-technical-

information/symmetric-adjustment-of-the-equity-capital-charge

Academic References

Ahn, D.-H., Boudoukh, J., Richardson, M. and Whitelaw, R. F. (1999), Optimal Risk Management Using Options. The Journal of Finance, 54: 359–375

Brown, D.-B., Smith J.E.(2011): Dynamic Portfolio Optimization with Transaction

Costs: Heuristics and Dual Bounds. Management Science, Vol 57, No. 10: 1752-1770

Shreve, S. E., H. M. Soner. 1994. Optimal investment and consumption with transaction costs. Ann. Appl. Probab. 4 (3) 609–692.

Szado, Kazemi (2008): Collaring the Cube: Protection Options for a QQQ ETF Portfolio. Technical Document. http://www.indexcollar.com/wp-content/uploads/2012/11/2-A-umass_collaring_cube.pdf

Yim, Lee, Yoo, Kim (2011): A Zero-Cost Collar Option Applied to Materials Procurement Contracts to Reduce Price Fluctuation Risks in Construction. World

Academy of Science, Engineering and Technology, http://waset.org/Publication/a-zero-cost-collar-option-applied-to-materials-procurement-contracts-to-reduce-price-fluctuation-risks-in-construction/2482

Thesis topic: Solvency II Market Risk: Does the Calibration of the Standard Formula still hold? (#REF-sf1)

Information about the Company Webpage: solvencyanalytics.com Contact Info: info@solvencyanalytics.com Introduction

Solvency II requires assets’ and liabilities’ valuation under market scenarios defined in the market risk module. By applying these scenarios on an insurance company’s balance sheet, the solvency capital requirement (SCR) and eventually, an insurer’s solvency coverage ratio can be calculated. With over 4’000 companies with over 7tr EUR assets the regulatory model’s calibration has a key practical relevance.

Clearly, the market risk scenarios defined in the Commission Delegated Regulation (EU) 2015/35 describe some average figures and are calibrated on some underlying data sample. Some information on the calibration is given in the paper “The underlying assumptions in the standard formula for the Solvency Capital Requirement calculation (July 2014)” published by EIOPA. As an example, the interest rate risk calibration has been conducted as follows (see page 14f): “The calibration of the interest rate shocks in the standard

formula are based on the relative changes of the term structure of interest rates using the following 4 datasets: EUR government zero coupon term structures (1997 to 2009), GBP government zero coupon term structures (1979 to 2009), and both Euro and GBP LIBOR/swap rates (1997 to 2009). For each of the four individual datasets, stress factors were assessed through a Principal Component Analysis (PCA), according to their maturity.“

Details of this statistics as well as further analyses would be highly relevant. These include:

statistics of the shocks (i.e on the dispersion) sensitivity to the choice of the estimation time window how would shocks look like if they were calibrated at different years as well as with

current data

Moreover, using a sample insurance’s balance sheet data provided by SolvencyAnalytics, show the impact of the different calibrations on this company’s solvency coverage ratio.

Goals of the Thesis

Review on Solvency II market risk framework Review of statistical models used for Solvency II calibration and of alternative

models Implement the basic Solvency II framework in Python (some help may be provided

by SolvencyAnalytics) Show the sensitivity of the Solvency II shock calibration to underlying data Show the sensitivity of a sample insurance company’s solvency coverage ratio to

the choice of the underlying data

Basic References

EIOPA: Commission Delegated Regulation (EU) 2015/35 (esp. pages 104f) http://eur-lex.europa.eu/legal-content/EN/TXT/PDF/?uri=OJ:L:2015:012:FULL&from=EN

EIOPA: The underlying assumptions in the standard formula for the Solvency Capital Requirement calculation (July 2014) https://eiopa.europa.eu/Publications/Standards/EIOPA-14-322_Underlying_Assumptions.pdf

https://eiopa.europa.eu/CEIOPS-Archive/Documents/Advices/CEIOPS-L2-Advice-Market-risk-calibration.pdf

https://eiopa.europa.eu/CEIOPS-Archive/Documents/Advices/CEIOPS-Calibration-paper-Solvency-II.pdf

http://www.cequra.uni-muenchen.de/download/cequra_wp_041.pdf http://arxiv.org/pdf/1506.04125v1.pdf