eloadas_1.hu.pdf

Tematika Bevezetés Kormányrendszer Súrlódási jelenségek mechanikai rendszerekben Robusztus stabilitás és Gamma-stabilitás

Autonóm robotok és jármuvekIntelligens aktuátorok a jármuirányításban

Kiss Bálint

Irányítástechnika és Informatika Tanszék,Budapesti Muszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

2008. május 7.

Kiss Bálint Irányítástechnika és Informatika Tanszék,Budapesti Muszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

1. eloadás


Tartalom

1 Tematika

2 Bevezetés

3 Kormányrendszer

4 Súrlódási jelenségek mechanikai rendszerekben

5 Robusztus stabilitás és Gamma-stabilitás


1. eloadás


Tematika

Intelligens aktuátorok a jármuirányításban

A jármuirányítás intelligens beavatkozó egységei: felfüggesztési rendszerek,kormányrendszerek, fékrendszerek és integrált irányításuk. Az intelligencianövelésének irányzatai az autonóm muködéshez.

Gyors prototípus tervezo eszközök szoftver technológiája

Software-in-the-loop és Hardware-in-the-loop technológiák, valós idejutargetek programozása, automatikus kódgenerálás.


1. eloadás


Innováció

Autóipari innováció

Az autóipari innováció az elmúlt húsz évben dominánsan aszabályozástechnika és a jelfeldolgozás növekvo alkalmazását jelentette ajármuvek szinte minden alrendszerének fejlesztésében.

Az innováció célja

hatékonyabb motorvezérlés: kisebb fogyasztás, környezetvédelmieloírások betartása (károsanyag kibocsátás csökkentése)biztonsági funkciók: oldalirányú stabilitás biztosítása, optimálisfékeroelosztás, ráfutásgátlás, stb.kényelmi funkciók: automatikus manovervégrehajtás, fedélzetimultimédia, futés és légkondicionálás (HVAC), tempomat, stb.


1. eloadás


Innováció

Az innováció végrehajtói

Beszállítók: egy alrendszert szállítanak (fékrendszer, kormányrendszer,ablaktörlo, ABS, stb.). Igyekeznek a beszállított alrendszereikhez egyretöbb funkciót biztosítani.jármugyártók: több alrendszert is uralhatnak, ez lehetové tenné azintegrált irányítást (összehangolt beavatkozást például akormányrendszerben, a hajtásláncban és a fékeknél), de ez jelenleg ritkaegyéb kutatóhelyek: nem feltétlenül közvetlenül a piacra dolgoznak

Innováció korlátaiaz algoritmusok bonyolultsága, elektronikus muködtetésegyre nagyobb szoftver igény, ahol a tesztelés szuk keresztmetszet(gyakori patch igény, visszahívások költsége)biztonság és felelosség (új rendszerek homologizációja, gyártók jogifelelossége)


1. eloadás


A jármu néhány fobb alrendszere

AlrendszerekAlrendszerek

Általános irányítási cél (lenne)

A vezeto a kormánykerék és a pedálok segítségével (esetleg egybotkormánnyal vagy hasonló eszközzel) eloírja a jármu sebességvektorát,amit a szabályozási körök teljesítenek.


1. eloadás


Alrendszerek integrációja

Controller Area Network - CAN

CAN és OSI

Jövo ipari irányítási rendszereinek busza: Flexray

Nagyobb sebesség (10 Mbit/s), redundancia és skálázhatóság. Elsosorozatgyártott jármu Flexray busszal: BMW X6.


1. eloadás


Kormányrendszer

Illusztráció

Alapfunkciók

kormányzott kerekek szögénekváltoztatása nyomaték rásegítésseleloírt nyomaték megvalósítása a vezetooldaloneloírt kormányzott kerék szögmegvalósítása

Intelligens funkciók

addícionális kormányszög (elkormányzás) megvalósítása a stabilitásmegorzéséhezautonóm manoverezés megvalósítása automatikus kormányzással


1. eloadás


Intelligens funkciók

Additív elkormányzásPályakövetés

Megjegyzés

Az intelligens funkciókat felso szintu irányítási algoritmusok valósítják meg,amelyek az aktuátor alapjelét állítják elo.


1. eloadás


Jármuipari aktuátorok

Mechatronikai rendszerekA jármuipari aktuátorok általában mechatronikai rendszerek, amelyektartalmaznak mechanikai elemeket, elektronikát és beágyazottszámítógépeket a szabályozási algoritmusok futtatásához.

Vizsgált rendszer

Az eloadás során az elveket egy intelligens kormányrendszer kapcsánkövetjük nyomon.

Súrlódási jelenségekGamma-stabilitásHullámhajtómu felépítése, modellezése, irányításaAutomatikus manoverkövetés és additív elkormányzás


1. eloadás


Súrlódási jelenségek

SúrlódásA nagy pontosságú mozgatási feladatoknál (robotok, rajzoló eszközök, stb.)a súrlódási jelenségek tanulmányozása elengedhetetlen. A jelenség összetett,mi itt csak a kenoanyag jelenlétében fémes felületek között fellépo lényegijelenségekre szorítkozunk.

Jelenségek

Dahl-jelenségStribeck-jelenségViszkózus súrlódásCoulomb-súrlódás


1. eloadás


A Dahl-jelenség

LeírásA két felület álló helyzetében a kenést biztosító film (ennek anyaga a súrlódófelületek anyaga is lehet) nem alakult ki. A két felület egymásbakapaszkodik és rugalmas elváltozás jön létre.

IllusztrációNemlineáris rugók

Az elaszticitás csak kis elmozdulás eseténigaz, a rugók „összetöréséhez” szükséges erotnevezzük szakítóeronek (break-away force),ami a két súrlódó felület egymáshoz képestielmozdításához, azaz a nullánál nagyobbrelatív sebesség eléréséhez szükséges(tapadási súrlódási ero). Jelölése FS.


1. eloadás


Stribeck-jelenség

LeírásA két felületet elmozdítva egymáshoz képest és a relatív sebességet továbbnövelve a felületek eltávolodnak egymástól és határaikon kezd kialakulni akenést biztosító réteg (akár a felület saját anyagából). Ahogy a rétegfolyamatossá válik, a sebességgel arányosan csökken a súrlódási ero.

Illusztráció

Exponenciális csökkenés

A Stribeck-jelenséget a súrlódási erocsökkenésének tartományában exponenciálisképlettel szokás közelíteni:

(FS − FC)e−|v/vs|δs,

ahol FC a Coulomb-súrlódási ero, vs aStribeck-sebesség és δs a kitevo paramétere.


1. eloadás


Coulomb és viszkózus súrlódás

Coulomb súrlódásA Coulomb-súrlódás arányosa felületeket összenyomó(normál irányú) erovel és nemfügg a felületek relatívsebességétol:

FC = µFN

Viszkózus súrlódásA viszkózus súrlódás akkor válik dominánssá,amikor az egymáshoz képest elmozdulófelületeken a kenést biztosító film kialakult,ez a súrlódási ero jó közelítéssel arányos arelatív sebességgel:

F = Fv · v

Az eredo súrlódási eroA tárgyalt jelenségeket együttesen modellezo súrlódási ero

F(v) = FC + (FS − FC)e−|v/vs|δs+ Fvv

adott elojelu relatív sebesség esetére. A paraméterek irányfüggok, azazpéldául az elmozdulás irányától függhet a tapadási súrlódási ero nagysága.


1. eloadás


Megjegyzések

IllusztrációMilyen hatásokat a modellbe?

Egyedül a viszkózus súrlódás lineáris arelatív sebesség függvényében (asebességek általában állapotok). A többihatás mind nemlineáris. Sok paraméterismeretlen és idoben változó ezértnehezen identifikálható. Amodellezetteken kívül léteznek méghiszterézis jellegu és dinamikusjelenségek is. Ezek hatásánakkiküszöbölése a szabályzó feladata.

KérdésA modell paramétereinek értéke változik. Hogyan tervezzünk olyanirányításokat, amelyek minden fizikailag lehetséges paraméterértékre stabil(sot adott dinamikus jellemzoket teljesíto) zárt kört eredményeznek?


1. eloadás


Robusztus stabilitás és Γ-stabilitás

A vizsgált rendszerek köre

Lineáris, idoinvariáns és véges dimenziójú rendszerek.

Bizonytalanság a paramétertérben

Egyes paraméterek (tömeg, súrlódási együttható, idoállandó, stb.) értékérolcsak annyit tudunk, hogy valamely intervallumba esek. A bizonytalanparamétert qi-vel fogjuk jelölni és feltesszük, hogy tudunk mondani egyolyan Qi intervallumot, hogy qi ∈ Qi mindig teljesül.

Bizonytalanság frekvenciatartományban

A bizonytalanságot frekvenciatartományban is kifejezhetjük. Egyesfrekvenciatartományokban az erosítés és a fázis nagyobb bizonytalanságbanismerheto, mint más frekvenciatartományban. Tipikusan kevésbé ismertek anagyobb frekvenciákhoz tartozó erosítések és fázis.


1. eloadás


Bizonytalanság a paramétertérben - példa

Szabályozási kör

Adott az alábbi zárt köru szabályozás

W(s) =1

(39 + 2q1)s3 + 54s2 + (14.5 + q1)s + 1,

ahol q1 a bizonytalan paraméter, amelynek névleges értéke q1 = 0.5 és q1 aQ1 = [0, 1] intervallumba esik.

FeladatVizsgáljuk meg, hogy a zárt kör robusztusan stabil-e, azaz mindenlehetséges q1 paraméterérték mellett a pólusok a bal félsíkon vannak-e.


1. eloadás



A megoldás eszköze: gyökhelygörbe

Átrendezzük a nevezot:

W(s) =1

q1(2s3 + s) + 39s3 + 54s2 + 14.5s + 1.

Vegyük észre, hogy a nevezo gyökeit pontosan a

Wo(s) =2s3 + s

39s3 + 54s2 + 14.5s + 1

gyökhelygörbéje fogja mutatni.

Matlab utasításrlocus(tf([2 0 1 0],[39 54 14.5 1]),0:0.01:1)


1. eloadás



Gyökhelygörbe

KövetkeztetésLátható, hogy a teljes paraméterérték tartományra a gyökök a bal félsíkonmaradtak, tehát a rendszer robusztusan stabilis.


1. eloadás


Általánosítás

KérdésMi történik, ha nem csak egy, hanem több paraméter bizonytalanságánakhatását kell vizsgálni?

Bizonytalan paraméterek tere

Legyen q = {q1, q2, . . . , qn} a bizonytalan paraméterek vektora, amelynekértéke a Q = Q1 × Q2 × · · · × Qn halmazba esik.

Bizonytalan rendszerek halmaza

Minden egyes q ∈ Q értékre más rendszert kapunk, tehát a q paraméterezi alehetséges rendszereket:

W(s, q) - átviteli függvényA(q),B(q),C(q),D(q) - állapotegyenletP(s, q) - karakterisztikus polinom (ennek gyökei határozzák meg astabilitást)


1. eloadás


Tulajdonság robusztussága

Definíció

Adott Q paramétertér és annak elemeivel definiált W(s, q) vagyA(q),B(q),C(q),D(q) rendszerek halmaza egy T tulajdonságot robusztusanteljesít, ha ∀q ∈ Q esetén T teljesül.

Robusztus irányíthatóság

Az A(q),B(q),C(q),D(q) rendszer robusztusan irányítható, ha mindenq ∈ Q esetén az (A(q),B(q)) pár irányítható.

Robusztus stabilitás

Az P(s, q) karakterisztikus polinommal rendelkezo rendszer robusztusanstabil, ha minden q ∈ Q esetén P(s, q) minden gyöke a komplex számsík balfélsíkjára esik.


1. eloadás


Robusztus stabilitás

Frazer és Duncan tétele (FD-tétel)

Legyen P(s, q) egy szabályozási rendszer karakterisztikus polinomja

P(s, q) = a0(q) + a1(q)s + . . .+ an(q)sn

alakban adott. Felteheto, hogy an(q) > 0, továbbá ai(q) leképezésekfolytonosak. A rendszer akkor és csak akkor robusztusan stabil, ha az alábbikét feltétel teljesül:

1 létezik q0 ∈ Q, hogy P(s, q0) minden gyöke a komplex számsík balfélsíkjára esik,

2 P(s,q) polinomnak semmilyen q ∈ Q-ra nincsen gyöke a képzetestengelyen (azaz @q ∈ Q és @ω ∈ R, melyekre P(jω, q) = 0)

Magyarázat

A tétel azt mondja ki, hogy elég megvizsgálni a stabil tartomány (a balfélsík) határát, ha van egy belso pontja, ahol a rendszer stabil.


1. eloadás


FD-tétel második pontjának vizsgálata

1. opció

Az FD-tétel második feltétele akkor és csak akkor teljesül, ha1 ∀q ∈ Q esetén teljesül, hogy a0(q) 6= 0, ami egyenértéku azzal, hogy

nincs gyök az origóban2 ∀q ∈ Q esetén teljesül, hogy det Hn−1(q) 6= 0, ahol

Hn−1(q) =

a1(q) a3(q) · · 0a0(q) a2(q) · · ·

0 a1(q) a3(q) · ·

· · ·. . . ·

0 · · · an−1(q)

a jól ismert Hurwitz-séma.


1. eloadás



2. opció - Origó kizárása az értékkészletbol

Lefedjük a frekvencia tartományt végesszámú értékkel és rögzített ω = ω∗

mellett eloállítjuk aPω∗ = {P(jω∗, q) : q ∈ Q}

halmazt. Az FD-tétel második pontja teljesül, ha Pω∗ nem tartalmazza azorigót semelyik ω∗-ra.

3. opció - Paramétertér módszer

Pozitív ω-khoz megkeressük azokat a paramétereket, amelyekre P(s, q)-nakvan gyöke a képzetes tengelyen:

Qjω = {q : P(jω, q) = 0 valamely ω ≥ 0-ra } (1)

A Qjω valójában egy (vagy több) görbe a Q paramétertérben. HaQjω ∩ Q = ∅, akkor az FD-tétel 2. pontja teljesül.


1. eloadás



3. opció - kiegészítés

A (1) egyenlet helyett nyilván a

U(ω2, q) = a0(q)− a2(q)ω2 + a4(q)ω4 − . . .V(ω2, q) = a1(q)− a3(q)ω2 + a5(q)ω4 − . . .

valós egyenleteket kell vizsgálni, hogy

QRe = {q : a0(q) = 0 valamely ω ≥ 0-ra }QIm = {q : U(ω2, q) = 0 ∧ V(ω2, q) = 0 valamely ω ≥ 0-ra }

és Qjω = QRe ∪ QIm.

Megjegyzés

A megoldások mind numerikus közelítést igényelnek és nem adhatók megzárt alakban néhány kivételtol eltekintve.


1. eloadás


Példa a robusztus stabilitásra

Három paraméteres karakterisztikus polinom

P(s, q1, q2, q3) =(12− 4q1 − q2 + q3) + (−44 + 19q1 + 8q2 + q+)s

+ (78− 9.625q1 − 16q2)s2 + (−24 + 16q1)s3 + 16s4

Kérdés

Robusztusan stabil-e a Q = Q1 × Q2 × Q3 = [2; 2.5]× [1; 2]× [0; 3]paramétertér bizonytalansággal leírt rendszer?

Megoldás paramétertér módszerrel

Oldjuk meg a

U(ω2, q1, q2, q3) = V(ω2, q1, q2, q3) = 0

egyenletrendszert adott ω és q3 mellett q1-re és q2-re.


1. eloadás



q1 és q2 kifejezése - QIm

q1 =4(64ω4 + 4q3ω

2 − 26ω2 − 2.25q3 − 13)256ω4 − 243ω2 − 13

q2 = −512ω6 − 2642ω4 + 51.25q3ω2 + 2309ω2 − 46q3 − 104

2(256ω4 − 243ω2 − 13)

A QIm grafikus ábrázolása

A q1 − q2 síkban nézzük meg, hogy a görbesereg metszi-e a Q1 × Q2részhalmazt. Mivel ebben a síkban q3 nincs benne, így a görbéket ω és q3szerint kell paraméterezni.

pozitív ω értékeket lefedjük (ω = 1 szingularitás),a Q3 = [0; 3] intervallumot is felosztjuk,miden választott q3 értékhez rajzolunk egy ω-val paraméterezett görbéta q1-q2 síkba.


1. eloadás



A QRe halmazA QRe halmazt a

a0(q) = 12− 4q1 − q2 + q3 = 0

egyenlet megoldásával kapjuk.

A QRe grafikus ábrázolása

A q1 − q2 síkban nézzük meg, hogy a görbesereg metszi-e a Q1 × Q2részhalmazt. Mivel ebben a síkban q3 nincs benne, így a görbéket q3 szerintkell paraméterezni. (Ebbe ω nem szól bele.)

a Q3 = [0; 3] intervallumot felosztjuk,adott q3-hoz ábrázoljuk a q2 = 12− 4q1 + q+ egyenest.


1. eloadás


Példa - Matlab kód


1. eloadás


Példa a robusztus stabilitásra

A q1 − q2 sík


1. eloadás


Γ-stabilitás (Gamma-stabilitás)

Megjegyzés

A robusztus stabilitás nem garantálja a tranziensek minoségét(performance), csak azok lecsengését. A komplex konjugált póluspárok abal félsíkon például kerülhetnek olyan helyzetbe, hogy a csillapítás kicsi.

Átmeneti függvények Pólusok


1. eloadás


Γ-stabilitás

Γ-régió

Jelöljük ki a komplex számsíkbal félsíkjának egyrészhalmazát, ahol a pólusokmegfelelo tranzienseketeredményezhetnek. Ez a régiónem feltétlenül összefüggo. Arégiót hívjuk Γ-régiónak éskontúrjának jelölése legyen∂Γ.

Példa Γ-régió


1. eloadás


(Robusztus) Γ-stabilitás

Definíció: Γ-stabilitásAdott a komplex számsík bal félsíkja által teljes egészében tartalmazottΓ-régió. Egy W(s) átviteli függvényu rendszer Γ-stabil, ha minden pólusa aΓ-régió egy pontja.

Definíció: Robusztus Γ-stabilitásAdott a komplex számsík bal félsíkja által teljes egészében tartalmazottΓ-régió valamint egy Q paramétertér, hogy a bizonytalan rendszerkarakterisztikus polinomja P(s, q), q ∈ Q. A bizonytalan rendszerrobusztusan Γ-stabilis, ha ∀q ∈ Q esetén teljesül, hogy P(s, q) gyökei aΓ-régió pontjai.


1. eloadás


Robusztus Γ-stabilitás

FD-tétel következménye

Adott egy ∂Γ kontúrral határolt Γ-régió. Legyen továbbá P(s, q) egyszabályozási rendszer karakterisztikus polinomja

P(s, q) = a0(q) + a1(q)s + . . .+ an(q)sn

alakban adott. Felteheto, hogy an(q) > 0, továbbá ai(q) leképezésekfolytonosak. A rendszer akkor és csak akkor robusztusan Γ-stabil, ha azalábbi két feltétel teljesül:

1 létezik q0 ∈ Q, hogy P(s, q0) minden gyöke a Γ-régióba esik,2 P(s,q) polinomnak semmilyen q ∈ Q-ra nincsen gyöke a ∂Γ kontúron,

(azaz @q ∈ Q és @s ∈ ∂Γ, melyekre P(s, q) = 0)


1. eloadás

eloadas_1.hu.pdf

Documents