Makalah GEOMETRI ELIPTIK Disusun dalam rangka memenuhi tugas mata kuliah Geometri. Oleh Yohanes Nova P.107785018 Intan Kemala Sari107785038 Agustin Ernawati107785043 Pendidikan Matematika 2010 B UNIVERSITAS NEGERI SURABAYAPROGRAM PASCA SARJANA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA 2011 REVISI 1 GEOMETRI ELIPTIK A.SEJARAH GEOMETRI ELIPTIK Ilmutentangastronomitelahbanyakdipelajariberabad-abad sebelummasehi,haliniterlihatdenganadanyabukti-buktipeninggalansejarah tentangsystempenanggalankunodanperamalanuntukmemperkirakan fenomenaalam,masakesuburanpertaniandansifatseseorangdipandangdari segirasibintang.Semakinlama,ilmuperbintangansemakinmenarikuntuk dipelajarihinggakehal-halyangbersifatteoretik.Namunmisteriperbitangan secarateoretiktidakdapatdipecahkankarenateoriyangdiakuipadamasaitu adalahteoriyangberpegangpadapostulatEuclidyangmembangunkonsep bidangdatar.Untukmemecahkankesulitantersebutparaastronomdan matematikawan membuat terobosan baru dalam bidang geometri. Sejak saat itu, paraastronommulaimengumpulkanberbagaireferensisejarahuntuk mendukung terobosan baru tersebut.BerdasarkancatatansejarahyangditulisolehClaudiusPtolemy (150 SM), seorang ahli geografi, astronomi, dan astrologi berkebangsaan Yunani, menuliskan pada bukunya Geographica bahwa untuk menempuh jarak terdekat antaraduatitikpadabumi,makaseseorangharusmengikutilingkaranyang memuatduatitiktersebut.Selainitu,NicolausCopernicus(1473-1543) menyatakan dalam bukunya bahwa bumi berputar pada porosnya, ., dan dari ekspedisipenjelajahanmengelilingiduniayangdilakukanolehChristoper Colombus (1451-1506) dan pendahulu-pendahulunya membuktikan bahwa bumi berbentukbulat.Referensiinimembukaidebarubidanggeometrieliptikyang kemudianmemberikanpengaruhbesarpadabidangastronomi,geografi,dan fisika modern.Berdasarkanreferensisejarahtersebutdanbeberapareferensi lain, maka untuk pertamakalinya, matematikawan Benhard Riemann (1826-1866) memperkenalkan geometri bola sebagai geometri non-Euclid. Dalam pandangan Riemannpadageometribola,garismerupakanlingkaranbesarpadabolayang 2 memuatduatitik.RiemannmenganalisispostulatkesejajaranEucliddan menemukankejanggalan-kejanggalan.DarikejanggalantersebutRiemann mengembangkanteorigeometribolayangdapatmembuktikanpostulat kesejajaranRiemanndanmemenuhidefinisititikdangarisyangdidefinisikan olehEuclid.PandanganRiemanninikemudiandimodifikasiolehChristianKlein (1849-1925)denganmemandangbahwasetiap pasang titikantipodal(titikyang berlawananpadalingkaranbesar)merupakantitikyangidentik/sama.Klein mengembangkanmodelgeometriboladanmenyebutnyadenganvariasi geometri eliptik. Selanjutnyadisajikansecarasingkattokoh-tokohpenemudan pengembang geometri eliptik. 1.George Friedrich Benhard Riemann (September 17, 1826 July 20, 1866) RiemannlahirdiBreselenz,sebuahdesa dekat Dannenberg di Kerajaan Hanover ketika masa RepublikFederalJerman.Ayahnya,Friedrich BernhardRiemann,adalahseorangpendeta LutheranmiskindiBreselenzyangberjuangdalam PerangNapoleon.Ibunya,CharlotteEbell, meninggalduniasebelumanak-anaknyamencapai usia dewasa. Riemann merupakan anak kedua dari enam bersaudara. Riemann dikenal dengankepribadiannyayangcenderungpemaludanmenderitabanyak kerusakansaraf.Riemannmenunjukkankemampuanmatematikaluarbiasa, seperti kemampuan kalkulasi yang fantastis, meskipun sejak usia dini ia memiliki sikap pemalu dan takut untuk berbicara di depan umum.Padatahun1840,RiemannpergikeHanoveruntuktinggalbersama neneknyadanmengikutilyceum(sekolahmenengah).Setelahkematian neneknyapadatahun1842,RiemannmenghadirisekolahtinggidiJohanneum Lneburg.Disekolahtinggitersebut,RiemannmempelajariAlkitabsecara intensif,tetapiiaseringtergangguolehmatematika.Untuktujuanmemenuhi Bernhard Riemann (1826-1866) 3 rasapenasarannyapadamatematika,iamencobauntukmembuktikan kebenaranmatematisdariBookofGenesis.Gurunyakagumoleh kemampuannyayangmahiruntukmenyelesaikanoperasimatematikayang rumit,olehsebabituRiemannseringmelampauipengetahuaninstrukturnya. Padatahun1846,ketikausianyamenginjak19tahun,Riemannmulaibelajar filologi dan teologi untuk menjadi imam dan membantu keuangan keluarga. Selamamusimsemitahun1846,ayahnyaFriedrichRiemann,mengirim Riemannkeuniversitas,diaberhentibelajarteologidanmulaimenekuni matematika. Ia dikirim ke Universitas terkenal Gttingen, dimana ia pertama kali bertemuCarlFriedrichGauss,danmenghadirikuliahpadametodekuadrat terkecil.Padatahun1847,RiemannpindahkeBerlin,tempatdimanailmuwan sepertiJacobi,Dirichlet,Steiner,danEnsteinmengajar.DiatinggaldiBerlin selama dua tahun dan kembali ke Gttingen pada 1849.BernhardRiemannmenyelenggarakankuliahperdananyapadatahun 1854yangmenemukanbidangGeometriRiemann.Bidanginikemudiandipakai olehEinsteinmenjadiperangkatuntukmengujiteoriumumrelativitasEinstein. CeramahnyaberjudulberdieHypothesenwelchederGeometriezuGrunde liegen ("Dasar-Dasar Geometri"; atau lebih tepatnya, "Hipotesis yang Mendasari Geometri").Padatahun1857,adaupayauntukmempromosikanRiemannkestatus profesorluarbiasadiUniversitasGttingen.Upayainigagaldanhalitu mengakibatkanRiemannakhirnyadiberikangajibiasa.Pada1859,setelah kematianDirichlet,iadipromosikanmenjadikepaladepartemenmatematikadi Gttingen.Diajugaorangpertamayangmenyarankanmenggunakandimensi yanglebihtinggidarisekadartigaatauempatdimensidalamrangkauntuk menggambarkanrealitasfisiksebuahideyangpadaakhirnyaterbuktibenar dengankontribusiEinsteindiawalabad20.Padatahun1862iamenikahiElise Koch dan memiliki seorang putri.Riemann melarikan diri dari Gttingen ketika tentara Hanover dan Prusia bentrokpadatahun1866.Iameninggalakibattuberkulosispadaperjalanan 4 ketiganya ke Italia di Selasca (sekarang dusun Verbania di Lake Maggiore) dan ia dimakamkan di pemakaman di Biganzolo (Verbania). Sementara itu, di Gttingen pengurusakademikmerapikanbeberapakekacauandikantornya,termasuk banyakpekerjaanyangtidakdipublikasikan.Riemannmenolakuntuk menerbitkankaryayangtidaklengkap,olehkarenaitubeberapawawasannya yang mendalam mungkin telah hilang selamanya bersama kematiannya. BeberapakaryaRiemannyangdipublikasikanmembukapenelitian-penelitian yang menggabungkan analisis dengan geometri. Ini kemudian menjadi bagian utama dari teori geometri Riemann, geometri aljabar, dan teori manifold kompleks.TeoripermukaanRiemanninidiuraikanolehKlein.Daerah matematikainimenjadibagiandaridasartopologi,yangmasihdanterus diterapkan dengan cara baru untuk fisika matematika.Riemannjugamembuatkontribusibesaruntukanalisisriil.Ia mendefinisikan integral Riemann dengan cara jumlah Riemann, mengembangkan teoritrigonometriseriyangtidakFourierserilangkahpertamadalam generalisasiteorifungsidanmempelajariRiemann-Liouvilledifferintegral. Selainitu,Riemannmembuatbeberapasumbanganterkenaluntukteori bilanganmodernanalitik.Dalamsebuahmakalahsingkattunggal(satu-satunya yangiaterbitkantentangmasalahteoribilangan),diamemperkenalkanfungsi zetaRiemannyangpentinguntukmemahamidistribusibilanganprima.Dia membuat serangkaian dugaan tentang sifat-sifat fungsi zeta, salah satunya yang terkenal adalah hipotesis Riemann.RiemannmenerapkanprinsipDirichletdarivariasikalkulusuntukefek yang besar ini, kemudian terlihat menjadi heuristik kuat darimetode yang ketat. Pembenarannyamengambilsetidaknyasatugenerasi.Karyanyapada monodromy dan fungsi hipergeometrik dalam domain kompleks membuat kesan yangbesar,danmendirikandasarcarabekerjafungsidenganpertimbangan hanya singularitas mereka. 5 2.Felix Christian Klein (25 April 1849 - 22 Juni 1925) FelixChristianKleinadalahseorang matematikawanJerman.Kleindilahirkandi Dsseldorf,ayahnyaadalahseorangsekretaris pejabatpemerintahRusiayangditempatkandi ProvinsiRhine.DiamenghadiriGymnasiumdi Dsseldorf,kemudianmemutuskanuntukbelajar matematikadanfisikadiUniversitasBonn(1865-1866) dan berniat untuk menjadi seorang fisikawan.Pada saat itu, Julius Plcker mengadakan kursi Bonn tentang matematika dan fisika eksperimental, namun pada saat Klein menjadi asistennya, pada tahun 1866,Plckertertarikpadageometri.Kleinmenerimagelardoktornya,diawasi oleh Plcker, dari Universitas Bonn pada tahun 1868. Plckermeninggalpada1868,meninggalkanbukutentangdasar-dasar garis geometri yang tidak lengkap. Klein adalah orang yang menyelesaikan bagian keduadariNeueGeometriedesRaumesPlcker,dandengandemikian berkenalandenganAlfredClebsch,yangtelahpindahkeGttingenpada1868. KleinmengunjungiClebschtahunberikutnya,bersamadengankunjunganke Berlin dan Paris. Pada bulan Juli 1870, pada pecahnya Perang Perancis-Prusia, ia berada di Paris dan harus meninggalkan negara itu. Untuk waktu yang singkat, ia menjabat sebagai tertib medis di tentara Prusia sebelum diangkat sebagai dosen di Gttingen pada tahun 1871 awal. ErlangenmenunjukKleinsebagaiprofesorpadatahun1872,ketikadia berusia 23. Dalam hal ini, ia sangat didukung oleh Clebsch, yang menganggapnya menjadiahlimatematikaterkemukapadazamannya.Kleinmembangunsebuah sekolahdiErlangendimanaadabeberapamahasiswa,dandiabegitusenang ditawarkankursidiMunichTechnischeHochschulepada1875.Disanaiadan Alexander von Brill mengajar mata kuliah lanjutan untuk siswa yang sangat baik, misalnya,AdolfHurwitz,WalthervonDyck,KarlRohn,CarlRunge,MaxPlanck, Felix Christian Klein (1849 - 1925) 6 LuigiBianchi,danGregorioRicci-Curbastro.Padatahun1875Kleinmenikah dengan Anne Klein Hegel, cucu dari filsuf Georg Wilhelm Friedrich Hegel. SetelahlimatahundiTechnischeHochschule,Kleindiangkatkekursi geometri di Leipzig. Koleganya antara lain Walther von Dyck, Rohn, Eduard Studi danFriedrichEngel.KleindiLeipzigtahun1880-1886,mengubahfundamental hidupnya.Padatahun1882,kesehatannyamenurun,dalam1883-1884,ia diganggu oleh depresi. Meskipun demikian penelitiannya berlanjut, pekerjaannya padasigmafungsihyperellipticmenentukantanggaldariseluruhperiodeini, yang diterbitkan pada tahun 1886 dan 1888.KleinmenerimakursidiUniversitasGttingenpada1886.Sejaksaatitu sampai 1913 pensiun, ia berusaha membangun kembali Gttingen sebagai pusat penelitianterkemukadiduniamatematika.Namundiatidakpernahberhasil untuk mentransfer perannya sendiri sebagai pemimpin sebuah sekolah geometri dariLeipzigkeGttingen.DiGttingen,iamengajarkanberbagaikursus, terutama dibidang matematika dan fisika, seperti mekanik dan teori potensial.Pusat penelitian Klein didirikan di Gttingen yang menjabat sebagai model untuk pusatpenelitianterbaikdiseluruhdunia.Diamemperkenalkanpertemuan diskusimingguan,danmenciptakanruangbacamatematikadanperpustakaan. Padatahun1895,KleinmenyewaDavidHilbertdariKnigsberg;penunjukanini terbuktinaas,karenaHilbertdapatmelanjutkankemuliaanGttingen,hingga pensiun sendiri pada tahun 1932.DibawahredakturKlein,MathematischeAnnalenmenjadisalahsatu jurnalmatematikayangterbaikdidunia.DidirikanolehClebsch,dibawah manajemen Klein, ia melakukan persaingan untuk melampaui Journal Crelle yang berbasisdiUniversitasBerlin.Kleinmembentuktimkecildarieditoryang bertemusecarateratur,membuatkeputusandemokratis.Jurnalkhususdalam analisis kompleks, aljabar geometri, dan teori invarian (setidaknya sampai Hilbert meninggal dunia). Hal ini juga menyediakan outlet penting untuk analisis riil dan teori grup baru. 7 Sebagian berkat upaya Klein, Gttingen mulai mengakui perempuan pada tahun1893.DiajugamensupervisiPh.D.pertamatesisdalammatematikayang ditulisdiGttingenolehseorangwanita,GraceChisholmYoung,seorang mahasiswa Arthur Cayley's Inggris, yang dikagumi Klein. Sekitar tahun 1900, Klein mulai menaruh minat pada instruksi matematika di sekolah-sekolah. Pada tahun 1905,iamemainkanperanpentingdalammerumuskanrencana merekomendasikanbahwadasar-dasardiferensialdankalkulusintegraldan fungsikonsepdiajarkan disekolahmenengah.Rekomendasiinisecarabertahap diterapkandibanyaknegaradiseluruhdunia.Pada1908,Kleinterpilihmenjadi ketuaKomisiInternasionaltentangInstruksiMatematikapadaKongres MatematikaInternasionaldiRoma.Dibawahpimpinannya,cabangJermandari Komisimenerbitkan banyakbukupengajaranmatematikadisemuatingkatandi Jerman.MasyarakatMatematikaLondonmemberikanKleinmedaliDeMorgan padatahun1893.IaterpilihmenjadianggotaRoyalSocietytahun1885,dan dianugerahimedaliCopleyyangpadatahun1912.Diapensiunpadatahun berikutnyakarenasakit,tapiterusmengajarmatematikadirumahnyauntuk beberapa tahun lagi. Dia meninggal di Gttingen pada tahun 1925.Kleinmerancangbotolyangdinamaisetelahnya,satusisitertutup permukaanyangtidakdapattertanamdalamruangEuclideantigadimensi, tetapimungkindibenamkansebagaisuatusilindermelingkarkembalimelalui dirinya sendiri untuk bergabung dengan ujung lainnya dari "dalam". Ini mungkin tertanam dalam ruang Euclides dimensi 4 dan lebih tinggi. Pada1890-an,Kleinberalihkefisikamatematika,subjekyangtidak melenceng jauh, menulis pada giroskop dengan Arnold Sommerfeld. Dalam nada yangsama,iamembantumengedit(bersamadenganKMller)empatvolume pada mekanisme der Encyklopdie Mathematischen Wissenschaften.Pada1871,ketikadiGttingen,Kleinmembuatpenemuanbesardalam geometri.IamenerbitkanduamakalahdiGeometriNon-Euclideanyang menunjukkanbahwaEucliddangeometrinon-Euclideanbisadianggapkasus 8 khusus dari permukaan proyektif dengan irisan kerucut tertentu yang disatukan. Halinimemilikikonsekuensiyangluarbiasabahwageometrinon-Euclidean konsistenjikadanhanyajikageometriEuclideanada,menempatkanEucliddan geometrinon-Euclideanpadapijakanyangsama,danberakhirsemua kontroversiseputargeometrinon-Euclidean.Cayleytidakpernahmenerima argumen Klein, percaya itu akan melingkar.SintesisgeometriKleinsebagaistuditentangsifatruangyangtidak berubahdalamgruptransformasitertentu,yangdikenalsebagaiProgram Erlangen(1872),sangatmempengaruhievolusimatematika.Programini ditetapkandalamkuliahperdanaKleinsebagaiprofesordiErlangen,meskipun tidakberpidato,iamemberikannyapadakesempatantersebut.Programini mengusulkanpendekatanterpaduuntukgeometriyangmenjadikanpandangan diterima.Kleinmenunjukkanbagaimanasifatpentingdarisuatugeometriyang diberikan dapat diwakili oleh kelompok transformasi yang melestarikan properti tersebut.JadidefinisiProgramgeometrimencakupbaikgeometriEucliddan non-Euclidean.Kleinmelihatkaryanyapadateoriberfungsisebagaikontribusibesar untukmatematika,khususkaryanyapada(1)hubunganantaraide-ideRiemann tertentu dan teori invarian, (2) teori bilangan dan abstrak aljabar, (3) teori grup, (4) Geometri dengan lebih dari 3 dimensi dan persamaan diferensial, terutama ia menemukan persamaan, yaitu fungsi modular dan fungsi eliptik automorphic. Pada tahun 1884 dalam bukunya tentang Icosahedron, Klein menetapkan sebuah teorifungsiautomorphic,menghubungkanaljabardangeometri.Namun Poincarmenerbitkansebuahgarisbesarteorifungsiautomorphicpada1881, yangmenyebabkanpersainganyangbersahabatantaradualaki-laki.Keduanya berusahauntuknegaradanmembuktikanteoremauniformizationbesaryang akanberfungsisebagaibatupenjuruuntukteoriyangmuncul.Kleinberhasil merumuskansepertiteoremadandalammembuatsketsastrategiuntuk membuktikan itu. Tapi saat melakukan pekerjaan ini kesehatannya jatuh, seperti yangdisebutkandiatas.Kleinmeringkaskaryanyapadafungsimodular 9 automorphicdaneliptikdalamsebuahrisalah,volumeempatditulisdengan Robert Fricke selama sekitar 20 tahun. 10 B.PENGANTAR GEOMETRI ELIPTIK Berdasarkanuraiansingkatsejarahgeometrieliptikdiatas,munculnya geometri ini berawal dari analisis Riemann terhadap postulat kesejajaranEuclid. PenemuaninimerupakanbagiandaridisertasiRiemannyangdisajikanpada tahun 1854 di Jerman. Postulat kesejajaran Riemann Tidak ada garis-garis yang sejajar dengan garis lain. Berdasarkan postulat tersebut, Riemann mengemukakan bahwa dua garis selalu berpotongan dan tidak ada dua garis sejajar (Budiarto dan Masriyah, 2007: 172). DalamgeometriEuclid,postulatkesejajaranEuclid,duagarisyangtegaklurus terhadap garis yang sama adalah sejajar. Diketahui:Duagarisyangberbedadanyangtegaklurusterhadapgaris. (Lihat Gambar 1 (a)) Akan dibuktikan:danadalah sejajar. Bukti: Andaikan , makadanbertemu atau berpotongan pada suatu titik, misal (lihat Gambar 1 (b)). Misalkandanberturut-turut merupakan titik potong garis danterhadap garis . LangkahAlasan 1.Perpanjang sedemikian hingga diperoleh , dimanaterletak di perpanjangan . 1.Postulat 2: Ruas garis dapat diperpanjang secara kontinu. A (a)(b) Gambar 1 11 LangkahAlasan 2.Melaluidandapat dibuat . 2.Postulat 1: Melalui sebarang dua titik dapat dibuat garis lurus. 3. 3.Proposisi 4: Sisi, sudut, sisi. 4.

4.Akibat, maka sudut-sudut yang bersesuaian adalah sama (proposisi 4). 5.5.Akibat, maka sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama (proposisi 4). 6.

, makadan tegak lurus terhadap . 6.Diketahui. 7. dan berhimpit, dengan kata laindanadalah titik yang sama. 7.Aksioma 1: Hal-hal yang sama dengan hal yang sama, maka satu dengan yang lainnya juga sama. 8. danserupa8.Definisi 3: Ujung-ujung suatu garis adalah titik. Definisi 4: Garis lurus adalah garis yang terletak secara rata dengan titik-titik pada dirinya. Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui bahwa dan adalah dua garis yang berbeda. Jadi, pengandaian salah dan terbukti bahwa . AnalisisRiemannterhadappembuktianteoremadiatasadalahsebagai berikut. a.Pandanganpentingbahwadanserupakarenapadalangkah sebelumnya diperoleh bahwadan berhimpit, dengan kata laindan adalahtitikyangsama.Langkahinidalampembuktianakangagalapabila danadalah dua titik yang berbeda. b.Euclidmendefinisikansuatuprinsippemisahan(separationprinciple)yaitu setiapgarismemisahkanbidangmenjadiduasisiyangberhadapan,yang tidak mempunyai titik persekutuan (Budiarto dan Masriyah, 2007: 173). c.Dalampandanganprinsippemisahan,konstruksipadalangkah1pemisahan diatas(memperpanjangsedemikianhinggadiperoleh, dimana 12 terletak di perpanjangan ) menjamin bahwadanterletak pada sisi sehadap daridan merupakan dua titik yang berbeda. d.Tanpamemperhatikanprinsippemisahan,maka dandapatberhimpit dan pembuktian teorema di atas tidak dapat diterima.BerdasarkananalisisRiemanndiatas,makamunculduateoribaruyang berangkat dari dua kemungkinan berikut. a.Jikaprinsippemisahanditerima,maka danharusmerupakantitikyang berbeda.Dengankatalain,setiapduagarisberpotonganpadaduatitikdan setiap garis memisahkan bidang. b.Jikamengabaikanprinsippemisahan,maka danmerupakantitikyang sama.Dengankatalain,setiapduagarisberpotonganpadasatutitikdan tidak ada garis yang memisahkan suatu bidang. Kemungkinan pertama di atas yang mendasari munculnya geometri eliptik ganda (doubleellipticgeometry)dankemungkinankeduamendasarimunculnya geometrieliptiktunggal(singleellipticgeometry).Gambarberikutiniberturut-turut merupakan model dari geometri eliptik tunggal dan geometri eliptik ganda. Geometri eliptik tunggal (single elliptic geometry) Dua garis berpotongan dalam tepat satu titik, dan setiap garis tidak memisahkan bidang;2titikyangberlawananterhadapdiameternyadianggapsebagaisatu titik. Geometri eliptik ganda (double elliptic geometry) Dua garis berpotongan pada dua titik, dan setiap garis memisahkan bidang. (a)(b) Gambar 2 13 Untuksemestapembicaraangeometrieliptik,makadiperlukansebuah modeluntukmerepresentasikanbidangtersebut.Representasidibuatdengan tujuanagardalammembuktikanaspekdibidanggeometrieliptiktidakterjadi kontaminasidenganbidangEucliddanhiperbolikyangditerapkansebelumnya. Representasi ini dikembangkan oleh Klein dengan ide dasar dari bola dunia yang dikembangkan oleh Riemann. Sebelum kita mempelajari teorema-teorema geometri eliptik, ada baiknya kitamemahamideskripsisingkatberikutterlebihdahuluuntukmengenal beberaparepresentasiaspekdalambidanggeometrieliptik.Selanjutnya disajikandeskripsisingkattentangbeberapakonsepdasardarigeometrieliptik serta representasinya pada bola Euclid. 1.Garis Sebagai Bangun Tertutup (Lines as Closed Figures) Bagian ini menyajikan secara singkat uraian yang mendeskripsikan bahwa garispadageometrieliptiktunggalmaupungeometrieliptikgandamerupakan suatu bangun tertutup (closed figure).Untukgeometrieliptiktunggal,perhatikankembalisituasiyang digambarkanolehGambar1(b)diatasmengenaipembuktianteoremabahwa dua garis yang tegak lurus pada garis yang sama akan sejajar. Karenaidegeometrieliptiktunggalberangkatdariprinsippemisahan, maka ketika geometri ini berlaku, titikpada Gambar 1 (b) (pembuktian di atas) samadengan.Akibatnya,ketikadiperpanjangakandiperolehbahwa perpanjangan tersebut kembali pada . Dengan kata lain, dalam geometri eliptik tunggal suatu garis merupakan suatu bangun tertutup. Dengan demikian berlaku pernyataan bahwa suatu titik tidak memisahkan garismenjadi dua bagian. Akan tetapi,duatitikpadasuatugarisakanmemisahkangaristersebutmenjadidua ruasgaris.Sehinggapenentuanpadagaristersebuttidakpadasaturuasgaris saja tetapi pada dua ruas garis yang merupakan titik-titik ujung yang sama. Untukgeometrieliptikganda,menggunakankonsepdiatassebagai apersepsi awal. 14 Dalamgeometrieliptikganda,suatugarisjugamerupakansuatubangun tertutup. Pandangan ini disajikan dalam uraian berikut. Diberikan sebuah garis dan titikpada garis tersebut.tegak lurusdi dan bertemu di . Maka,danseharusnya adalah titik akhir dari suatu ruas garisyangdimuatoleh,misalruasgaris.Karenamembagibidangdan memotongdi dua titik, makaterletak pada salah satu sisi .Sehinggasetiaptitikdi,yangterletakpadasisiyangdiberikan, terletak pada ruas garis , dan setiap titik diyang tidak terletak di , seharusnya terletakpadaperpanjanganmelaluiatau.Tapijikadiperpanjang melewatiatau,makaakanmemotongdanmemasukisisiyang berseberangandengan.Dengandemikian,sebarangtitikdipadasisiyang sama dengan , pasti terletak di . Selainitu,teorikesimetrisandalamgeometrieliptikgandatetap dipertahankan. Sehingga akan ada ruas garisyang simetri dengan ruas garis , yang menghubungkandanpada sisiyang berseberangan dengan . Jikategak lurus m maka juga tegak lurus . Jikadan ruas garis yang tegak lurus terhadapgarisyangsamapadatitikyangsama,makakeduaruasgaristersebut terletakpadasatugaris.Dengankatalain,dan termuat di.Jadidibentuk olehruasgarisdan.Dengandemikian,dapatditerimabahwagarisdalam geometri eliptik ganda merupakan bangun yang tertutup. (a) (b) Gambar 3 AB m s l 15 2.Representasi Geometri Eliptik pada Bola Euclid PostulatkesejajaranRiemannakanterpenuhidalamrepresentasibahwa setiapduagaris(lingkaranbesar)bertemutepatpadaduatitik.Selanjutnya, postulatpemisahanterpenuhi,karenasetiaplingkaranbesarakanmemisahkan bolapejaltersebutmenjadiduabelahanbola(hemispheres).Sebagaicontoh, equatormembagisebuahglobe(modelbumi)menjadiduabelahan,yaitu, belahanutaradanselatan,sedemikianhinggasebarangbusurdarilingkaran besar menghubungkan sebuah titik pada salah satu belahan dengan sebuah titik padabelahanyanglaindimanabusurtersebutberpotongandenganequator. Jadi, setiap garis tampak sebagai bangun yang tertutup. Representasigeometrieliptiktunggalditurunkandarigeometrieliptik ganda.Sebuahlingkaranbesarpadabolatidakmerepresentasikansecaratepat sebuahgarispadageometrieliptiktunggal.Halinidisebabkandualingkaran besar selalu berpotongan pada dua titik yang berlawanan terhadap diameternya.Selanjutnya,kitadapat merepresentasikangeometrieliptiktunggal sepertilayaknyageometrieliptikganda.Dengan demikian,sebuahgarispadageometrieliptik tunggaldirepresentasikansebagaisebuah lingkaran besar (dengan kesepakatan bahwa titik-titik yang berlawanan diidentifikasi). Sebuah ruas garisdirepresentasikansebagaibusurkecildarisebuahlingkaranbesar,karena busurbesaratausetengahlingkarandirepresentasikansebagaisebuahgaris utuh.Untukmenentukanjarakantaraduatitik,AdanB,ingatbahwaAdan lawannya,A,dipandangsebagaititikyangsama.HalinijugaberlakupadaB. (LihatGambar4).Dengandemikian,jarakmerupakanlintasanterpendekdari busurminor,.Sudutdanbesarnyapadageometrieliptiktunggal direpresentasikan sama seperti pada geometri eliptik ganda. Gambar 4 B A A B 16 Berikutinimerupakantabelyangmenyajikanrepresentasikonsepdasar geometri eliptik ganda pada bola Euclide. Geometri Eliptik GandaRepresentasi Euclide TitikTitik pada bola GarisLingkaran besar bola BidangBola Ruas garisBusur dari suatu lingkaran besar Jarak antara dua titikPanjangbusurterpendekdarilingkaranbesar yang melalui kedua titik itu Sudut antara dua garisSudutpadabolayangdibentukolehdua lingkaran besar Ukuran sudutUkuran sudut pada bola 3.Sifat Kutub pada Bidang Geometri Eliptik SepertihalnyadalamgeometriEucliddanLobachevski,geometrieliptik memenuhi beberapa hal berikut. a.Hanyaadasatugarisyangtegaklurusterhadapgarisyangmelaluisebuah titik yang diberikan, jika titik tersebut terletak pada garis yang diberikan. b.Tetapi sifat di atas tidak terpenuhi, jika titik tersebut tidak berada pada garis yang diketahui, karena sebarang dua garis yang tegak lurus dengan garis yang sama akan berpotongan. c.Untuk setiap garis l pada bidang geometri eliptik, ada titik polar K sedemikian sehingga semua garis yang melalui K akan tegak lurus dengan l. Jadi, semua lingkaran besar pada bola dunia melalui kutub utara yang tegak lurus dengan ekuatornya. Sifat Kutub Misalkanadalah suatu garis. Maka ada suatu titikyang disebut kutub darisedemikian hingga: a.setiapsegmenyangmenghubungkandengan suatu titik padategak lurus pada , b. berjarak sama dari setiap titik pada . Jaraksampaisebarangtitikpadadisebutjarakpolar.Jarakpolarsuatu kutub sampai garisnya adalah konstan. Gambar 5 17 Gambar 7 Gambar 6 C.TEOREMA-TEOREMA DALAM GEOMETRI ELIPTIK Selanjutnyadisajikansecarasingkatbeberapateoremadalamgeometri eliptik.Teorema 1 Dua garis yang tegaklurus pada suatu garis berpotongan pada suatu titik Diketahui:1.adanbadalahduagarisyangtegak lurus pada suatu garis m. 2.UdanSmerupakankutubdari ekuator m. Akan dibuktikan:dua garis itu berpotongan pada suatu titik. Pembuktian: Berdasarkan sifat dari eliptik ganda yaitu setiap 2 garis berpotongan pada 2 titik, maka: a berpotongan dengan m di dua titik yaitu A dan A b berpotongan dengan m di dua titik yaitu B dan B A,A,BdanBmerupakantitik-titikyangterletakpadamdangarisasertab tegak lurus m maka berdasarkan sifat kutub, ruas garis yang melalui titik A, A, B, dan B terhubung dengan titik U dan S.Jadi garis a dan b berpotongan pada titik yang sama yaitu U dan S. (terbukti) Teorema 2 Semua garis yang tegaklurus pada suatu garis, berpotongan pada titik yang disebut kutub dari garis itu dan sebaliknya setiap garis melalui kutub suatu garis tegaklurus pada garis itu Diketahui:1.a danb adalah dua garis yang tegak lurus pada suatu garis m. 2.U dan S merupakan kutub dari ekuator m. 18 Akan dibuktikan: 1.Semuagaristegakluruspadasuatugaris,berpotongan pada titik yang disebut kutub dari garis itu. 2.Setiap garis melalui kutub suatu garis tegak lurus pada garis itu. Pembuktian 1 Berdasarkan teorema 1, maka dapat disimpulkan bahwa tiap diambil 2 titik pada m dapat dibuat 2 garis yang tegak lurus m & bertemu di titik yang disebut kutub dari garis m. Karenaadabanyaktitikdimmakapadasetiaptitiktersebutdapatdibuatgaris yang tegak lurus terhadap m dan bertemu di kutub ekuator m. Jadisetiapgarisyangtegakluruspadasuatugaris,berpotonganpadatitikyang disebut kutub dari garis itu.(terbukti)Pembuktian 2UdanSkutubdariekuatorm,berdasarkansifatkutub,makasetiapruasgaris yangmenghubungkanUdengantitikpadam&setiapruasgarisyang menghubungkan S dengan titik pada m, akan selalu tegaklurus m. Ambil sebarang titik di m, misal A, A, B & B maka:BU tegaklurus m,BU tegaklurus m,BS tegaklurus m, BS tegaklurus m,AU tegaklurus m, AU tegaklurus m,AS tegaklurus m, AS tegaklurus m.BU, BU, BS, BS adalah ruas garis-ruas garis yang termuat pada garis b, dan AU, AU,AS,ASadalahruasgaris-ruasgarisyangtermuatpadagarisa.Makagaris-garis tersebut (a & b) melalui kutub garis m yaitu U dan S, tegaklurus pada garis m.(terbukti) Kesimpulan: Karena pembuktian 1 dan 2 telah terbukti maka teorema 2 terbukti. 19 Teorema 3 DalamsebarangsegitigaABCdengan 090 = ZC ,sudutAkurangdari,sama dengan,ataulebihdari900,tergantungdariruasgarisBCkurangdari,sama dengan, atau lebih dari jarak polar q. Diketahui:Segitiga ABC dengan . 900= ZCAkan dibuktikan: 1.q polar jarak BC segmen bila A ( ( Z , 900 2.q polar jarak BC segmen bila A = = Z , 900 3.q polar jarak BC segmen bila A ) ) Z , 900 Pembuktian1 K adalah kutub dari garis m, sehingga 090 = ZKACdan 090 = ZKCARuas garis BC < jarak polar BAC KAC Z > Z(keseluruhan lebih besar dari sebagian) Karena 090 = ZKAC maka. 90 < ZBACJadi 090 < ZA .(terbukti) Pembuktian 2 Ruas garis BC = jarak polar, B adalah titik kutub dari garis m, sehingga 090 = ZBCAdan 090 = ZBAC . Atau dapat dikatakan090 = ZA (terbukti) Gambar 8 Pembuktian 1 Gambar 9 Pembuktian 2 20 Pembuktian 3 K adalah kutub dari garis m, sehingga 090 = ZKAC dan 090 = ZKCARuas garis BC >jarak polar. KAC BAC Z > Z(keseluruhan lebih besar dari sebagian).Karena 090 = ZKAC maka > Z 90 BACJadi 090 > ZA (terbukti) Teorema 4Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga lebih besar 1800 Diketahui:garisl,mdanndimanagarismdann tegak lurus l di titik A dan B. Akan Dibuktikan: P B A Z + Z + Z0180 >Pembuktian: Berdasarkan postulat kesejajaran eliptik, garis m dan n akan berpotongan di P yang merupakan kutub dari l. Berdasarkansifatkutup,setiapdiberikansebuah garismakadapatditentukankutubdarigaristersebut.Dengandemikian,jika ditentukansebuahtitikpadagarisyangdiberikan,makaadagarisyangmelalui kutubdantitiktersebutyangtegaklurusterhadapgarisyangdiberikan. Sedangkansegitigapadageometrieliptikdibentukolehtigagaris(lingkaran besar) yang saling berpotongan.Perhatikan bahwa PAB adalah segitiga sama kaki. Maka kondisi ini sesuai dengan segitigapadaGambar9diatas,sehinggadiperoleh(090 = Z = Z B A ),sehingga PA = PB danP Z positif. Maka jumlah sudut segitiga PAB adalah P P B A Z + + = Z + Z + Z 90 900 P Z + =01800180 > (terbukti) Sedangkan untuk segitiga pada Gambar 10 adalah sebagai berikut. BA P m n l Gambar 11 Gambar 10 Pembuktian 3 21

dan

danpositif, maka:

Sehinggajuga akan lebih dari

. (Terbukti)Teorema 5 Jumlah besar sudut-sudut suatu segiempat lebih besar dari 3600 Diketahui:Segiempat ABCD. Akan dibuktikan: 0360 > Z + Z + Z + Z D C B APembuktian: Perhatikan segiempat ABCD pada Gambar 12 di atas. TerdapatAABC danAACD. PernyataanAlasan

01 1180 > Z + Z + Z C B ATeorema 4

02 2180 > Z + Z + Z C D A Teorema 4+ + > +Z Z + Z + Z + Z + Z 180 1802 1 2 1D C C B A A > Z + Z + Z + Z 360 D C B A(terbukti) Teorema 6 Sudut-sudutpuncakdarisegiempat Saccheri sama dan tumpul Konstruksigarisdan, sedemikianhingga

dan

merupakan kutubdaridan

dan

merupakan kutubdari.Misal,diserta di . Selanjutnya,konstruksidansedemikianhinggamerupakansumbusimetri dan . A B C D 1 12 2 Gambar 12 Gambar 13 22 Misal,danberpotongandenganberturut-turutdidan,dan berpotongan denganberturut-turut didan . Akan dibuktikan: 1) merupakan segiempat saccheri.2)

Perhatikan gambar di atas! Suatusegiempatmerupakansegiempatsaccherijikakeduakakisudutnyasiku-sikudankeduakakinyasamapanjang.Sehingga,untukmembuktikanbahwa merupakansegiempatsaccherimakaakandibuktikanterlebihdahulu bahwa

dan . Karena

dan

merupakankutubdari,makamenggunakansifatkutub, diperoleh bahwadanmasing-masing tegak lurus dengan dansehingga akibatnya

. Perhatikan

pada gambar di atas. Diketahui bahwamerupakan sumbu cermin daridan , maka:

Sehingga

merupakangaristinggi

dan

merupakansegitiga sama kaki. Akibatnya,

. Perhatikan

pada gambar di atas. Berdasarkansifatkutubmaka

(jarakpolar),sehingga

merupakan segitiga sama kaki.

atau

dan

atau

. Karena

dan

, maka

Sehingga,karenaterbuktibahwa

danmakaterbukti pula bahwamerupakan segiempat saccheri. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa segiempat saccheri ,

. Perhatikan kembali

pada gambar di atas. 23 Karena

,makaberdasarkanTeorema3diperolehbahwa

.Dengankatalain,

.BerdasarkanProposisi5maka

. Jadi, terbukti bahwa sudut-sudut puncak pada segitiga adalah tumpul. Teorema 7 DalamsegiempatLambertABCDdengan 090 = Z = Z = Z C B A , maka sudut keempat D tumpul Bukti: Konstruksigarisdan, sedemikianhingga

dan

merupakan kutubdaridan

dan

merupakankutub dari . Misal,disertadi . Selanjutnya, konstruksi . Misal,berpotongan dengandanberturut-turut didan . Akan dibuktikan:

Perhatikan gambar di atas.Karena

,makaberdasarkanTeorema3diperolehbahwa

. Dengan kata lain,

. Jadi, terbukti

. Teorema 8 Tidak ada bujursangkar dalam geometri Eliptik Bukti: Andaikan ada bujursangkar dalam geometri eliptik.BerartiadasegiempatABCDdengansemuasisinyasamapanjangdansemua sudutnya siku-siku. Jadi jumlah besar sudut segiempat ABCD= D C B A Z + Z + Z + ZGambar 14 24 = + + + 90 90 90 90= 360o HalinibertentangandenganTeorema5yaitujumlahbesarsudut-sudutsuatu segiempatlebihbesardari360o.Jadipengandaiansalah.Seharusnyatidakada bujursangkar dalam geometri Eliptik.(terbukti) Teorema 9: Dua segitiga yang sebangun adalah kongruen Teorema 10: Luas suatu segitiga adalah kelipatan konstan dari aksesnya yaitu) ( t + + = A C B A D.APLIKASI GEOMETRI ELIPTIK Aplikasigeometrieliptikbanyakdipakaidalamilmuastronomi,salah satunyamengenaiwaktudibumiterhadapmatahari.Untukmengetahuilebih lanjuttentangaplikasieliptikdalampembagianwaktumatahariini,makaada baiknya kita pelajari terlebih dahulu secara singkat pemaparan berikut. Padamalamhariketikakitamemperhatikanlangit,berartikitasedang mengamatibintangdanbenda-bendalangitlainnyadaripermukaanberbentuk bola.Bolainidisebutbolacelestial.Bumidibolacelestialinisebagaipusatnya dengan radius yang tidak terbatas. Titik Z pada bola celestial berada di atas pengamat, titik ini disebut zenith (titikpuncak).SedangkantitikZyangdiameteralterhadapZdisebutnadir(titik Gambar 16 Gambar 17 25 terendah).Lingkaranbesarpadaboladimanaterdapatgarisyang menghubungkan Z dan Z sebagai porosnya disebut horizon pengamat. Lingkaran besar yang melalui zenith disebut lingkaran vertikal. Jikaporosbumidiperpanjangmelaluikutub-kutubnya,makatitikNakan memotong bola celestial sehingga disebut kutub celestial utara, sedangkan titik S akanmemotongbolacelestiallawandariutarasehinggadisebutkutubcelestial selatan.Diameteryangmenghubungkankutubcelestialutaradanselatan disebutporosbolacelestial.Lingkaranyangmelaluiutaradanselatandisebut meridian celestial. Meridian celestial memotong secara horizontal di dua titik. Titik terdekat dengan kutub celestial utara disebut titik horizon. Dari titik utara tersebut, timur beradadisebelahkanan,danbaratberadadisebelahkiri,sedangkanselatan berada dibagian belakangnya. Gambar 18 Perpotonganekuatorbumidenganbolacelestialdisebutekuator celestial. Gambar berikut merepresentasikan bola celestial dengan bumi sebagai pusatnya.HHmewakilihorizontal.ZmewakilizenithdanZmewakilinadir, sedangkankutubutaradankutubselatansecaraberturut-turutdiwakiliolehN dan S. ekuator celestial diwakili oleh E dan E. 26 Gambar 19 JikaPmerepresentasikanposisimatahari,makasegitigaPZNdisebut segitigaastronomismatahari.BusurPLdarilingkaranvertikalyangmelaluiP disebutketinggianmatahari danbusur MPdari meridianyangmelaluiPdisebut kemerosotanmatahari.BusurEZadalahgarislintangzenith,busurinisetara dengan garis lintang pengamat. Solarnoonadalahwaktuyangdibutuhkanmatahariuntukmengitari meridiancelestialpengamat.Localtimemerupakanwaktusetempatyang dmenunjukkanposisimataharidariterbithinggaterbenampadasuatudaerah tertentu. Sudutantarameridianyangmelaluimataharidanzenithdisebutsudut jam.Darigambar,sudutjamadalahsegitigaPZN.Bolacelestialmenunjukkan perputaransejauh

dalam24jam.Haliniberartiperputara

matahari berartimenghabiskanwaktu1jam.Olehkarenaitu,sudutjammenunjukkan berapajam,menit,dandetikyangdilaluimatahariuntukberputardimeridian zenith. Dengan demikian, pada segitiga astronomis PZN didapat: NZ=

derajat garis lintang pengamat ZP =

derajat ketinggian matahari PN=

derajat kemerosotan matahari Jika kita mengetahui derajat ketinggian dan kemerosotan matahari, maka ketigasisidarisegitigaastronomiPZNdapatdiketahui,selanjutnyasudutPNZ dapatditentukan.Untukmenentukanwaktuyangdibutuhkanmatahariuntuk 27 bergerakdariPkemeridianEZN,makakitaharusmengalikan24sebagairasio sudutlingkarandengan

.Jikapengamatandilakukanpagihari,makawaktu yangdidapatdikurangi12jam,danjikapengamatandilakukansorehari,maka waktu yang didapat ditambah 12 jam. Waktu yang didapat ini disebut local time. Kapal-kapalyangbiasanyaberlayarmelintasisamuderabiasanya memperkirakan posisi pelayarannya dengan menggunakan chronometer. Alat ini merupakanaplikasidariteorieliptikdimanaalatinimenunjukkanwaktudi Greenwich.DenganmengetahuiwaktudiGreenwichdanlocaltime,makagaris bujurtempatpengamatandapatditentukan.Dalammenggantiwaktumenjadi derajatbujurnya,makatetapharusdiperhatikanbahwa24jam berkorespondensi dengan

garis bujur, dengan demikian berarti 1 jam sama dengan

garisbujur,1menitberarti15garisbujur,dansatudetiksama dengan 15 garis bujur. Contoh: Dari gambar, anggap HN merupakan garis lintang kota New York dengan derajat lintangpengamat

danderajatkemerosotanmatahari

,dengan demikian didapat; ZN=

derajat garis lintang pengamat =

=

PN=

derajat kemerosotan matahari =

=

PZ=

untuk ketinggian matahari pada saat

.Sudut ZNP pada segitiga bola PNZ adalah

(dalam Morgan) Jika1jamsamadengan

,maka

samadengan 6jam21 menit

detik.SudutZNPmerepresentasikansolarnoonyaitulamawaktuyang dibutuhkan matahari mulai dari terbit hingga terbenam di kota New York. 28 E.DAFTAR PUSTAKA Budiarto,MegaTeguhdanMasriyah.2001.SistemGeometri.Surabaya: University Press Morgan,FrankM.___.PlaneandSphericalTrigonometry.AmericanBook Company. Dartmounth Collage: New Hampshire Prenowitz, Walterdan Meyer Jordan. ___. Basic Concepts of Geometry. London: Blasdel Publishing Company RohanadanAfgani,Win.2006.GeometriRiemann.UniversitasSriwijaya: Palembang.Makalah,dosenpengampuProf.DR.Zulkardi,M.I.Komp, M.Scdkk. http://www.geocities.ws/m_win_afgani/PresentasiGeometriRiemann.pdf diakses tanggal 27 Oktober 2011 -------. Sejarah Claudius Ptolemy, Nicholaus Copernicus, Christoper Colombus. http://www.apprendre-math.info/indonesien/historyDetail.htm?id=Ptolemydiaksestanggal20 November 2011