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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA FA CUL TAD DE INGENIER~A
D I V I S I ~ N DE POSTGRADO DE INGENIERÍA MAESTR~A MATEMÁTICA APLICADA
SI,MULACION EN MATLAB DE PROBLEMAS DE CONTORNO ELI'PTICOS EN UNA Y DOS DIMENSIONES EMPLEANDO EL I W ~ T O D O .DE
ELEMENTOS FINITOS
Tesis de Grado presentada ante la Ilustre Universidad del Zulia para optar al Título de Magíster Scientiarum en Matemática Aplicada.
Autor: Ing. Jorgenson José Zambrano Arenas. Asesor Académico: Pro5 Dilio Antonio Godoy Barroeta.
Maracaibo, Enero de 2007.
Jorgenson José Zambrano Arenas: "'Simulación en Matlab de Problemas de Contorno Elípticos en una y dos Dimensiones Empleando el Método de Elementos Fiaiiitos".(2007).Trabajo de Grado. La Universidad del Zulia. Facultad de Ingeniería. División Post yado. Maracaibo, Tutor: Dilio Antonio Godoy Barroeta.
RESUMEN
El objetivo de este trabajo fue diseñar una herramienta computacional que determinara la solución de una ecuación diferencial elíptica, en una y dos dimensiones, aplicando el método de elenlentos finitos con ayuda del Matlab.
Se diseñaron algoritmos e interfases de usuarios que permitieran ilustrar de miinera clara, la información requerida por el programa al momento de ingresar los datos, así como para visualizar la solución del mismo, dando opciones al usuario para una mayor comprensión del problema planteado. La investigación se clasificó como aplicada o práctica, descriptiva y experimental. Las soluciones generadas por el programa FIATITO 1.0 arrojaron resultados sati:jfactorios, comparados con problemas que tenían respuesta analítica conocida y visualizando las soluciones con un gran poder gráfico, todo esto gracias al diseño de interfases de usuario (Gui) que ilustran de manera clara los resultados obtenidos por el programa.
El programa FINITO 1 .O resuelve problemas unidimensionales (lineales, cu.adráticos y cúbicos) por el método de elementos finitos, usando el método de Galerkin, coniparando la soliición numérica con la analítica puntualmente cuando se tenga a mano dicha soli~ción; y por otro lado, comparando sucesiones de aproximaciones cuando no se disponga de la solución analítica y calculando el error de energía como criterio de convergencia.
Palabras Claves: Elementos finitos, Galerkin, Ecuación elíptica, Matlab, Guía de interfase de usu.ario (Gui).
e-niail del autor: jor~ensonz(iu,hotmail.com.
Jorgenson José Zambrano Arenas. "Simulation in Matlab of Contour Elliptical Problems in one and two Dimensions Using the Method of Finite Elements". (2007).Trabajo de Grado. La Uni\rersidad del Zulia. Facultad de Ingeniería. División Postgrado. Maracaibo, Tutor: Dilio Antonio Godoy Barroeta.
ABSTRACT
The aim of this work was to design a tool computational tool that was detennining the solui.ion of a differential elliptical equation, in one and two dimensions applying the finite elerr.ents method aid of the Matlab.
Algorithms and users' interfaces were designed who allowing to illustrate of clear way, the information required by the program at the time of entering the data, as well as to visualize the solution of the same one, giving options to the user for a greater understanding of i;he created problem. The investigation was classified like applied or practical, descriptive and experimental. The solutions generated by the FINITE 1.0 program threw satisfactory results compared with problems that had well known analytical answer and visualizing the solutions with a great graphical power, al1 this thanks to the design of user's interphases (Gui) that illustrate of clear way the results obtained by the program.
FINITO 1.0 program solves unidimensionals (linear, quadratics and cubic ele~nents) and bidi~nensional (triangular and quadrilateral lineal elements) problems by finite elements method, using Galerkin's method, comparing the numerical solution with the analytical one punctually wheii this solution is had by hand; and on the other hand, comparing succc~ssions of appr3ximations when it does not dispose of the analytical solution and calculating tlie error of ener<;y as convergence criterion
Key words: Finite elements, Galerkin, Elliptical equation, Matlab, Guide of user's interface (Gui).
Autl-,or's e-mail: jor,gensonz@,hotmail.com.
DEDICATORIA
A Dios por sobre todas las cosas por haberme dado la fortaleza para continuar a1c;mzando el
éxito.
A mis padres José y Marina, por apoyarme y motivarme a continuar siempre adelante.
A mi esposa Marianela Nava y mis hijos Mariana y Juan Andrés por ese gran m o r que me
brindan siempre.
A mis hermanos José Gregorio, Yelú Josefina y Carlos José por ser siempre gran inspiración
para seguir cosechando éxitos.
Jorgenson José.
AGRADECIMIENTO
Quiero expresar mi agradecimiento al Prof. Dilio Antonio Godoy Barroeta, Asesor de esta
Tesi:;, por la valiosa y desinteresada colaboración prestada en todo momento en la realización de
este trabajo.
A la Universidad del Zulia, por que nuevamente me brindó la oportunidad de continuar
formándome profesionalmente.
A mis amigos, Efrain Nava, José Espina, Elizabeth Añez, Manuel Briceño, Diego Cegarra y
a todos aquellos que no puedo nombrar porque son muchos, gracias por su constante apoyo.
A todos los Profesores del Postgrado de Matemáticas Aplicadas y a todas aquellas personas
que (le alguna u otra forma han contribuido en la realización de este trabajo.
Jorgenson José.
8%
TABLA DE CONTENIDO
ACEPTACION ................................................................................................................
RES UMEN .....................................................................................................................
ABSTRACT ................................................................................................................. DE1)ICATORIA ............................................................................................................. AGIWDECIMIENTO ..................................................................................................... TAE3LA DE CONTENIDO ..............................................................................................
LIS'TA DE FIGURAS ...................................................................................................... LISTA DE TABLAS .......................................................................................................
IN?'RODUCCION ...........................................................................................................
CAPITULO 1: EL PROBLEMA ......................................................................................
1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ................................................................. 1.2. OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN ................................................................
1.2.1 . OBJETIVO GENERAL .................................................................................
1.2.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS ...........................................................................
1.3. JUSTIFICACIÓN DE LA INVESTIGACI~N ........................................................ 1 .4 .. ALCANCE Y DELIMITACIÓN ..............................................................................
1.4.1. ALCANCE ....................................................................................................... 1.4.2. DELIMITACION .............................................................................................
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CAPÍTULO 11: FUNDAMENTOS DEL MÉTODO ..................................................... 31
2.1 INTRODUCCION ............................................................................................. 31
2.1.1 PROBLEMAS DE CONTORNO EN LA CIENCIA E INGENIERIA ............. 32
2.1.2 TIPOS DE ECUACIOlVES DIFERENCIALES PARCIALES ...................... 32
2.1.3 CONDICIONES DE CONTORlVO ..................................................... 34
2.1.4 TIPOS DE DOMINIO ..................................................................... 35
2.2 EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS USANDO GALERKIN COMO
CRITERIO DE OPTIMIZACIÓN .........................................................
2.2.1 DISCRETIZACIÓN DEL DOMINIO ...................................................
DE ENSAYO ................................................................................ 2.2.3 PROBLEMAS UNIDIMESIONALES ...................................................
................................. 2.2.3.1 ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES LINEALES
2.2.2.2 ELEMENTOS UIVIDIMENSIONALES CUADRÁTICOS ........................ 2.2.2.2.1 ENFOQUE DIRECTO .................................................................. 2.221.2.2 ENFOQUE ISOPARAMÉTRICO ..................................................
2.2.2.3 ELEMENTOS UIVIDIMENSIONALES CÚBICOS .................................. 2.2.3.4 CRITERIOS PARA LA CONVERGENCIA DE LAS SOLUCIONES
APROXIMADAS A PROBLEMAS UNIDIMENSIONALES ..................... 2.2.4 PROBLEMAS BIDIMESIONALES .....................................................
2.2.4.1 ELEMENTOS TRIANGULARES ..................................................... 2.2.4 .. 1.1 ELEMENTOS TRIANGULARES LINEALES ..................................
......................... 2.2.4.1.2 ELEMENTOS TRIANGULARES CUADRÁTICOS
2.2.4.2 ELEMENTO S CUADRILÁTEROS ...................................................
2.2.4.2.1 ELEMENTOS CUADRILÁTEROS LINEALES .................................. 2.2.4.2.2 ELEMENTOS CUADRILÁTEROS CUADRÁTICOS ........................ 2.2.5 CRITERIOS PARA LA CONVERGENCIA DE LAS SOLUCIONES
........................ APROXIMADAS A PROBLEMAS BIDIMENSIOlVALES
Página
36
CAI~ÍTULO 111: MARCO METODOLÓGICO ............................................................... 91
3.1. TIPO DE INVESTIGACION ................................................................................... 91
3.2. METODOLOGIA UTILIZADA ............................................................................... 92
CA.PÍTULO IV: DESARROLLO DEL PROGRAMA "FINITO 1 .O ". ...................... 94
4.1. IIISEÑO DE UVA RUTINA DE DISCRETIZACION PARA LA MALLA DE
PROBLEMAS UNIDIMENSIONALES .................................................................
4.1.1. ELEMENTOS LINEALES.. ................................................................................
1.1.2. ELEMENTOS CUADRÁTICOS Y CÚBICOS ................................................... 4.2. DISEÑO DE LTZV ALGORITMO PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LA
S O L U C I ~ N APROXIMADA Y EL FLUJO UTILIZANDO ELEMENTOS
UNIDINIENSIONALES.. .................................................................................... 4.2.1 ELEMENTOS LINEALES.. ..............................................................
4.2.2 ELEMENTOS CUADRÁTICOS Y CÚBICOS ........................................ 4.3. CONSTRUCCIÓN DE LNA INTERFASE VISUAL PARA LA
IN?'RODUCCIÓN DE LOS DATOS PARA ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES.
4.4. CONSTRUCCIÓN DE UVA INTERFASE VISUAL PARA ILUSTRAR EN
FOI.IMA GRAFICA LA SOLUCIÓN Y EL FLUJO PARA ELEMENTOS
UN IDIMENSIONALES .............................................................................................
4.5. DISEÑO DE UNA RUTINA DE DISCRETIZACIÓN PARA LA MALLA DE,
PROBLEMAS BIDIMENSIONALES.. .................................................................
4.6. DISEÑO DE UN ALGORITMO PARA LA CONSTRUCCI~N DE LPL
SOLUCIÓN APROXIMADA Y EL FLUJO APLICANDO ELEMENTOS
BIDIMENSIONALES ............................................................................................. 4.0.1 ELEMENTOS TRIANGULARES LINEALES. .......................................
4.rj.2 ELEMENTOS CUADRILATEROS LINEALES. ...................................... 4.'7. CONSTRUCCIÓN DE UNA INTERFASE VISUAL PARA LA
~ I T R O D U C C I ~ N DE LOS DATOS PARA ELEMENTO S
B:[DIMENSIONALES ............................................................................
4.8. CONSTRUCCIÓN DE UNA INTERFASE VISUAL PARA ILUSTRAR EN
Fl3RMA GRAFICA LA SOLUCIÓN Y EL FLUJO PARA ELEMENTOS
BIDIMENSIONALES. .................................................................................................
Página
~ ~ A P ~ T U L O V: VALIDACIÓN DE RESULTADOS .....................................................
............................... .5. 1. 15JEMPLO DE PROBLEMAS UNIDIMENSIOlVALES
................... EJEEAPLO 1 . PROBLEMA 3.7 DEL LIBRO DE DAVID BURNETT
EJEPJlPLO 2 . PROBLEMA (2.1) DEL LIBRO THE FINITE ELEMENT METHOD
USNG MATLAB DE YOLNG W . KWON E HYOCHOONG BANG .................. EJEMPLO 3 . PROBLEMA DE LA SECCIÓN 7.5 DEFLEXI~N DE m CABLE
DEL. LIBRO DE DAVID BURNETT ........................................................... 5.2. EJEMPLOS DE PROBLEMAS BIDIMENSIONALES .
EJEiMPLO 4 . PROBLEMA 5.9.1 DEL LIBRO THE FINITE ELEMENT METHOD
USING MATLAB DE YOUNG W . KWON Y HYOCHOONG BANG PÁGINA
108 ................................................................................................... EJEMPLO 5 . PROBLEMA CON ELEMENTOS CUADRILÁTEROS LINEALES
DEI, LIBRO THE FINITE ELEMENT METHOD USING MATLAB DE YOUNG
......................................... W . KWON Y HYOCHOOlVG BANG, PÁGINA 1 14
EJElMPLO 6 . PROBLEMA EXTRAÍDO DEL TRABAJO DE ASCENSO DEL
PROF . OTTO J . ROJAS V . [ 3 ] "ESTUDIO DEL MÉTODO DE ELEMENTO
FDJTTO APLICADO A PROBLEMAS DE CONTORNO ELÍPTICO" PAGINA
CC)NCLUSIONES ...........................................................................................................
RE.COMENDACIONES .................................................................................................. RE~FERENCIAS BIBLIOG~FICAS ..........................................................................
BIBIOGRAFIA .................................................................................... AI'ÉNDICE A . MANUAL DE USUARIO DEL PROGRAMA FINITO 1 . 0 ................. INTRODUCCION ........................................................................................................... Al .ASPECTOS GENERALES DEL PROGRAMA ..........................................
Al.l . DESCRIPCION ...................................................................
A1.2. REQUERIMIENTOS MÍNIMOS .............................................
A1.3. LIMITACIONES ...............................................................
Página
123
123
123
P. 1.4. INSTALACIÓIV DEL PROGRAMA .......................................... P.1.5. RECOMENDACIONES PARA EL USUARIO ..............................
42.USO DEL PROGRAMA .....................................................................
'42 . 1 . IIVICIO DE LA APLICACIÓN .................................................
'42.2. VENTANA IIVICIAL DEL PROGRAMA FINITO 1 .O .................... A2.3. COMPONENTES DE LA VENTANA PRINCIPAL ........................ A2.4. OPCIONES DEL PROGRAMA PRINCIPAL ...............................
A~.I)ESCRIPCIÓN DE LOS PROGRAMAS DE ESTUDIO PARA LA
~~PLICACIÓM DE ELEMENTOS FINITOS ........................................................... 113.1. ANALISIS UNIDIMENSIONALES ..........................................
A3.1.1. APROXIMACION LINEAL ................................................... ~3.1 .1 .1 . INTERFASE DE ENTRADA PARA LA APROXIMACI~N
LINEAL ....................................................................... A3.1.1.2. INTEFWASE DE SALIDA PARA LA APROXIMACIÓN
LINEAL .......................................................................
A3.1.1.3. EJEMPLOS REALIZADO CON EL PROGRAMA ................
A3.1.1.3.1. EJEMPLO 1 ...................................................... A3.1.1.3.2. EJEMPLO2 .................................................... A3.1.1.3.3. EJEMPLO 3 .....................................................
~ 3 . 1 . ~.APROXIMACIÓN CUADRÁTICA ......................................... A3.1.2.1. EJEMPLOS REALIZADOS CON EL PROGRAMA PARA
ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES CUADRÁTICOS ............ ~ 3 . 1 . 3 . APROXIMACI~N CÚBICA ..................................................
A3.1.3.1. EJEMPLOS REALIZADO CON EL PROGRAMA PARA .
ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES CUBICOS .................... A3.2. ANALISIS BIDIMENSIONAL .................................................
~ 3 . 2 . I . APROXIMACION TRIANGULAR LINEAL ...............................
Página
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Página
A3.2.1.1. EJEMPLO REALIZADO CON EL PROGRAMA PARA
ELEMENTOS TRIANGULARES LINEALES CON RESPUESTA
ANAL~TICA CONOCIDA.. ............................................... 205
A~.~ .~ .APROXIMACIÓN CUADRTLATERA LINEAL.. ......................... 209
A3.2.2.1. EJEMPLO REALIZADO CON EL PROGRAMA PARA
ELEMENTOS CUADRILATEROS LINEALES CON
RESPUESTA ANAL~TICA CONOCIDA ................................ 21 1
A3.2.3 .EJEMPLO REALIZADO CON EL PROGRAMA PARA
ELEMENTOS TRIANGULARES LINEALES CON RESPUESTA
ANAL~TICA DESCONOCIDA (SUCESIONES). .................. 214
A3.2.4.EJEMPLO DE GENERACIÓN DE REPORTES CON EL 221
PROGRAMA FINITO 1 .O. .......................................................
Figura
1
2
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8
LISTA DE FIGUMS
Elementos unidimensionales: a) Lineal. b) Cuadrático y c) Cúbico .............. Elementos bidimensionales triangulares: a) Lineales b) Cuadráticos ........... Elementos bidimensionales cuadriláteros: a) Lineales b) Cuadráticos ...........
Las tres fases principales de un programa de computación de MEF ............... Función de forma para el elemento unidimensional lineal ......................... Funciones de forma para elementos cuadraticos-C' ................................
Transformación del dominio de estudio para un elemento cuadrático ............ Funciones de forma para elementos isoparamétricos unidimensionales
................................................................................ cuadráticos
Funciones de forma para elementos isoparamétricos cúbicos ...................... Representación de una componente normal del flujo hacia dentro de un
elemento triangular a lo largo de su frontera .........................................
Funciones de forma $,? (x, y ) asociada al nodo j ....................................
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47
12 Elemento triangular isoparamétrico Cuadrático CO de lados rectos .............. 68
1.3 Puntos óptimos (puntos de Gauss) de evaluación del flujo en elementos
triangulares cuadráticos Isoparamétricos- C0 ........................................ 74
14 Transformación del elemento patrón Cuadrilátero Isoparamétrico Lineal- (lo
.................................................................. sobre el elemento real 76
15 Función de forma $l (t. 7) de un elemento Cuadrilátero Isoparamétrico
................................................................................. Lineal- C0 77
16 Elementos cuadriláteros isoparamétricos aceptables ................................ 78
17 Puntos de Gauss y factores de peso para la cuadratura Gauss-Legendre p:wa
una aproximación de O (h2 ) ............................................................ 79
18 Elemento de borde con flujo frontera ................................................ 80
19 Transformación del elemento patrón Cuadrilátero Isoparamétrico Cuadrático-
............................................................... C0 sobre el elemento real 82
Figura
2C
Página
Función de forma 4. (C. q ) de un elemento Cuadrilátero Isoparamétrico
~uadrático- C O ........................................................................... Elemento de borde con flujo de frontera ............................................. Puntos óptimos de evaluación del flujo en elementos Cuadrilátero:;
Cuadráticos- C O .......................................................................... Pantalla principal del programa FINITO 1 . 0. ........................................ Diseño de rutina para la generación de malla unidimensional lineal .............
Panel de discretización de mallas para elementos unidimensionales
lineales ..................................................................................... Panel de discretización de mallas para elementos unidimensiona1e:s
................................................................................ cuadráticos
Diagrama de flujo Para el pr0gram.a
LrNIDIMESIONAL-LINEAL . PREPROCESO ..................................... ........................ Diagrama de Flujo para la discretización de la malla lineal
.... Diagrama de flujo para la introducción de las propiedades del material alfa
... Diagrama de flujo para la introducción de las propiedades del material beta
Diagrama de flujo Para el programa
LhTIDIMESIONAL-LINEAL . PROCESO .......................................... Diagrama de flujo para el progrmna
UNIDIMESIONAL . LINEAL POSTPROCESO .................................... Diagrama de flujo Para el prograrna
UNIDIMESIONAL . CUADRATICO-PROCESO ................................. Paneles para las propiedades de los materiales alfa y beta .........................
Panel de cargas interiores puntuales ................................................... Interfase de introducción de datos para el caso lineal .............................. Interfase de salida para elementos lineales ...........................................
Esquema de rutinas para introducir los elementos y nodos ....................... Interfase para la introducción de elementos para una malla formada por
triángulos lineales ........................................................................
Figura
40 Interfase para la introducción de elementos para una malla formada por
cuadriláteros lineales ..................................................................... Interfase de PREPROCESAMIENTO para dominios Bidimensionales
Triangulares y Cuadriláteros ........................................................... Interfase de POSTPROCESAMIENTO para dominios Bidimensionales
Triangulares y Cuadriláteros ...........................................................
Pantalla de preprocesamiento para el ejemplo 1, con aproximación lineal ....... Pantalla de postprocesamiento para el ejemplo 1, con aproximación lineal ..... Pantalla de postprocesamiento para el ejemplo 1. con aproximacióii
cuadrática ................................................................................. Pantalla de postprocesamiento para el ejemplo 1. con aproximación cúbica .... Pantalla de preprocesamiento para el ejemplo 2. con aproximación lineal ....... Pantalla de postprocesamiento para el ejemplo 2. con aproximación lineal ..... Sucesión de soluciones aproximadas para el ejemplo 2 ............................ Sucesión de flujos aproximados para el ejemplo 2 .................................. Energía de las soluciones aproximadas para el ejemplo 2 ..........................
Cargas verticales aplicadas a un cable bajo tensión ................................. Pantalla de preprocesamiento del ejemplo 3. para una aproximación lineal
con 5 elementos ..........................................................................
Pantalla de postprocesamiento del ejemplo 3, para una aproximación lineal
.......................................................................... con 5 elementos
Pantalla de postprocesamiento del ejemplo 3, para una aproximación lineal
con 10 elementos ........................................................................ Pantalla de postprocesamiento del ejemplo 3, para una aproximación lineal
con 20 elementos ........................................................................
Pantalla de postprocesamiento del ejemplo 3, para una aproximación lineal
con 40 elementos .......................................................................
.................. Sucesión de soluciones aproximadas lineales para el ejemplo 3
Sucesión de flujos en puntos de Gauss para el ejemplo 3: elemeiltos 1ineale.s ..
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118
Figura
60
6 1
62
Sucesión de flujos nodales para el ejemplo 3: elementos lineales ................. Energía de las soluciones aproximadas lineales para el ejemplo 3 ................ Pantalla de preprocesamiento del ejemplo 3. para una aproximación
............................................................. cuadrática con 5 elementos
Pantalla de postprocesamiento del ejemplo 3. para una aproximacióri
cuadrática con 5 elementos .............................................................
Pantalla de postprocesamiento del ejemplo 3. para una aproximacióii
cuadrática con 10 elementos ............................................................ Pantalla de postprocesamiento del ejemplo 3. para una aproximacióil
cuadrática con 20 elementos ............................................................
Sucesión de soluciones aproximadas cuadráticas para el ejemplo 3 .............. Sucesión de flujos en puntos de Gauss para el ejemplo 3: elementos
cuadráticos ................................................................................ Sucesión de flujos nodales para el ejemplo 3: elementos cuadráticos ........... Energía de las soluciones aproximadas cuadráticas para el ejemplo 3 ............ Pantalla de preprocesamiento del ejemplo 3, para una aproximación cúbica
.......................................................................... con 5 elementos
Pantalla de postprocesamiento del ejemplo 3, para una aproximación cúbica
.......................................................................... con 5 elementos
Pantalla de postprocesamiento del ejemplo 3, para una aproximación cúbifza
........................................................................ con 10 elementos
Pantalla de postprocesamiento del ejemplo 3, para una aproximación cúbica
........................................................................ con 20 elementos
Sucesión de soluciones aproximadas cúbicas para el ejemplo 3 .................. Sucesión de flujos en puntos de Gauss para el ejemplo 3: elementos cúbicos ... Sucesión de flujos nodales para el ejemplo 3: elementos cúbicos ................ Energía de las soluciones aproximadas cúbicas para el ejemplo 3 ................ Dominio y discretización para el ejemplo 4: elementos triangulares lineales ...
Página
137
138
Pantalla de preprocesamiento del ejemplo 4, para una aproximación de
triángulos lineales con 32 elementos.. . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... Pantalla de postprocesamiento del ejemplo 4, para una aproximación de
triángulos lineales con 32 elementos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Pantalla de postprocesamiento del ejemplo 4, incluyendo la respuesta.
analítica, para una aproximación de triángulos lineales con 32 elementos.. . . . . Dominio y discretización para el ejemplo 5: elementos cuadriláteros lineales..
Pantalla de preprocesamiento del ejemplo 5, para una aproximación de
cuadriláteros lineales con 16 elementos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pantalla de postprocesamiento del ejemplo 5, incluyendo la respuesta
analítica, para una aproximación de cuadriláteros lineales con 16 elementos.. . Pantalla de preprocesamiento del ejemplo 5, para una aproximación de
cuadriláteros lineales con 200 elementos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pantalla de postprocesamiento del ejemplo 5, incluyendo la respuesta
analítica, para una aproximación de cuadriláteros lineales con 200 elementos..
Dominio para el ejemplo 6.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Discretización para el ejemplo 6: elementos triangulares lineales.. . . . . . . . . . . . . . . Pantalla para la Tabla de Incidencia Nodal de elementos para el ejemplo 6.. . .. Pantalla para la Tabla de Coordenadas Nodales para el ejemplo 6.. . . . . . . . . . . . . . Pantalla de preprocesamiento del ejemplo 6, para una aproximación de
triángulos lineales con 16 elementos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Pantalla de postprocesamiento del ejemplo 6, para una aproximación de
triángulos lineales con 16 elementos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Región de estudio para la cuarta parte del dominio señalado en el ejemplo 6...
Sucesión de soluciones aproximadas para una cuarta parte del dominio tiel
ejemplo 6: elementos triangulares lineales.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energía de las soluciones aproximadas triangulares lineales para el ejemplcl 6.
Página
I
LISTA DE TABLAS
Tabla
1
Página
Puntos de Gauss y factores peso utilizados para elementos bidimensionale:; 72
triangulares Cuadráticos.. ..............................................................
Valores de la condición de borde para los nodos 2 1,22,23,24 y 25.. .......... 149
Datos de la solución Numérica y Analítica del ejemplo 4, obtenida del
reporte de esta investigación, discretizado con elementos triangulare:; 152
lineales. .................................................................................... Datos de solución Numérica y Analítica del ejemplo 5, obtenida del reporte
de esta investigación, discretizado con elementos cuadriláteros 155
................................................................................... lineales.
Nodos que conforman los elementos triangulares lineales para el ejemplo 6.. 159
Coordenadas nodales para el ejemplo 6.. ............................................. 160
En la mayoría de los campos de la investigación científica, surge la búsqueda de la
repuesta de un sistema descrito por una ecuación diferencial, de la cual muchas veces no se
conoce la respuesta analítica y es allí donde el método de elementos finitos se plantea como una
solución al problema, pués esta técnica discretiza el dominio de estudio dividiéndolo eri pequeñas
regiones o elementos en las cuales puede analizarse la respuesta con mucha mayor facilidad.
Estas regiones pueden ser pequeños segmentos de recta (problemas unidimensionales) o
elen-lentos triangulares o cuadriláteros (problemas bidimensionales).
Se hace necesario para aplicar esta técnica su implementación en un software que posea la
capxidad de manejar matrices y grandes cálculos, además de una interfase con el usuario que le
permita un trabajo más amigable, y es allí donde el Matlab representa una alternativa para
cumplir esos propósitos. Para desarrollar un programa es necesario el diseño de rutinas por
bloclues que permitan realizar cada una de las fases de este trabajo individualmente y que
muc:stren en forma clara este desarrollo, con el fin de crear una metodología para la incorporación
e iniplementación de futuros softwares que complementen este diseño.
A partir de estas consideraciones, se propone el diseño de una herramienta cornputacional
orientada a resolver problemas de contorno elípticos unidimensionales (elementos lineales,
cuadráticos y cúbicos) y bidimensionales (elementos lineales triangulares y cuadriláteros), cuya,
ecuación diferencial sea conocida con sus condiciones de contorno, aplicando el método de
elementos finitos con Matlab. En estos términos, la presente investigacióii se estructilró como se
describe a continuación.
El Capítulo 1, denominado el problema, incluye el planteamiento y la forrriulación del
mismo, así como también los objetivos generales y específicos, la justificación y la delimitación
de la investigación.
El Capitulo 11, muestra los fundamentos teóricos del problema en estudio, para el diseño de
la lierrarnienta computacional.
Por otra parte, el Capítulo 111, denominado marco metodológico, especifica el tipo de
investigación y la metodología planteada para la formulación del trabajo de investigación.
B3
Así mismo, el Capítulo IV describe la herramienta computacional diseñada para la solución
le1 problema planteado, enfatizando las opciones de la misma y mostrando cada ventana
iisetada.
Por otro lado, el Capítulo V muestra los resultados de la herramienta computacional
validados con diversos problemas elípticos, cuya solución es conocida o se estima la misma de
alguna manera.
Finalmente, se presentan las conclusiones y recomendaciones derivadas del presente estudio.
CAP~TULO I
EL PROBLEMA
EL PROBLEMA
1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.
El empleo sistemático de las computadoras en el diseño, mantenimiento y evaluación de
proc:esos industriales y educativos se ha hecho cotidiano en los países industrializados., por lo que
la simulación numérica de estos diseños antes que sean incluidos en la práctica industrial,
constituye una significativa ventaja comparativa para aquellos que disponen de los iristrumentos
nec1:sarios para realizarla.
En este sentido, una simple y económica simulación computacional previa a la
implementación industrial del objeto, puede poner en evidencia fallas ocultas y así ahorrar
corisiderables cantidades de dinero, e inclusive salvar vidas humanas. Asimismo, la simulación
numérica permite también la obtención de diseños óptimos, que en algunos casos es
imjprescindible.
En este orden de ideas, una de las técnicas de simulación con mayor aplicación en la
industria es el método de elementos finitos, el cual permite resolver una gran cantidad de
problemas en diversas áreas como Ingeniería Civil, Mecánica, Eléctrica, Aeronáutica, Naval,
Petrolera, entre otras. Por otra parte, la gran evolución de esta técnica permite afrontar la
re:;olución de problemas físico-matemáticos complejos cuya resolución analítica resultaría
prácticamente imposible, puesto que carecen de un método adecuado para la obtención de
resultados prácticos.
Actualmente el método de elementos finitos ha sido generalizado hasta constituir un
método potente de cálculo numérico, capaz de resolver cualquier problema de la física,
formulable como un sistema de ecuaciones, abarcando muchos ámbitos del quehacer cotidiano.
En este sentido, algunas compañías han desarrollado programas de compiitación en
diversos lenguajes usando este método, muchos de estos son realizados por partes, esto es, solo
realizan ciertas operaciones (preprocesamiento, procesamiento o postprocesamiento) ir otros son
disefiados para casos muy específicos. Además, sus lenguajes de programación carecen de
aplicación fuera del programa desarrollado.
Al respecto, se han desarrollado ambientes de programación cuyo entorno es favorable
parii esta aplicación, uno de estos lenguajes es el Matlab, el cual representa una herramienta de
coniputación y desarrollo de aplicaciones totalmente integradas, orientadas a llevar a cabo
proyectos en donde se encuentren implicados elevados cálculos matemáticos y la visualización
grafica de los mismos. Matlab integra análisis numérico, cálculo matricial, proceso de señales y
visualización gráfica en un entorno completo donde los problemas y sus soluciones son
expresados del mismo modo en que se escribirían tradicionalmente. Es por ello que este
representa una excelente alternativa para el diseño de una herramienta comput;lcional para
abordar el tipo de situación anteriormente planteada, pues su desempeño es meramente
matemático, con lo cual brinda una gran facilidad no solo de programación sinci también de
aplicación a otros niveles del conocimiento científico.
En la presente investigación se desarrollaran programas para la solución (le problemas
u1.ilizando elementos finitos para ecuaciones diferenciales elípticas, en regiones unidimensionales
y bidimensionales cuyas ecuaciones se describen por la ecuación 1 y la ecuación 2
respectivamente. La versión del programa matlab utilizado para este trabajo posee una
aplicación denominada Partial diferencial Equation, esta realiza operaciones únicamente en 2
~~imensiones, y además posee una ecuación para el desarrollo de las soluciones a las ecuaciones
diferenciales parciales con menor cantidad de parámetros (-V(CVU)+ au = f ). Por otro lado.
este programa carece de opciones que permitan especificar dichos parámetros de diversas forma:;
.Jara abarcar una gran cantidad de problemas físicos.
De lo expuesto anteriormente surge la siguiente interrogante: ''¿Será posible desarrollar un
programa de simulación en Matlab para resolver problemas de contorno elípticos en una y dos
dimt:nsiones empleando el método de los elementos finitos?".
1.2.1. OBJETIVO GENERAL.
Simular en Matlab problemas de contorno elípticos en una y dos dimensiones empleando
el método de elementos finitos y como criterio de optimización el método de Galerkin.
1.2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
> Diseñar un algoritmo para la discretización del dominio de estudio en una dimensión (malla)
con elementos de tipo lineal, cuadráticos y cúbicos.
> Construir una interfase de usuario gráfica (GUI) en Matlab que facilite la introducción de los
datos asociados al problema modelado en una dimensión.
> Desarrollar un ambiente gráfico para el modelado, a través de una malla, del dominio de
solución de un problema elíptico en una dimensión.
> Implementar con el Matlab un programa de computación para la solución del problema de
es;udio empleando el método de elementos finitos en una dimensión y el método de Galerkin
como criterio de optimización.
> Desarrollar un ambiente gráfico que sea capaz de mostrar los resultados obteriidos una vez
aplicada la técnica de elementos finitos en una dimensión.
Diseñar un algoritmo para la discretización del dominio de estudio en dos dimensiones
(malla) con elementos triangulares lineales y elementos cuadriláteros lineales.
P Construir una interfase de usuario gráfica (GUI) en Matlab que facilite la introducción de los
dato:; asociados al problema modelado en dos dimensiones.
P Desarrollar un ambiente gráfico que sea capaz de modelar a través de una malla el dominio
de solución de un problema elíptico en dos dimensiones.
b Implementar con el Matlab un programa de computación para la solución del problema de
estudio empleando el método de elementos finitos en dos dimensiones y el método cle Galerkin
con-.o criterio de optimización.
P Desarrollar un ambiente gráfico que sea capaz de mostrar los resultados obtenitlos una vez
aplicada la técnica de elementos finitos en dos dimensiones.
P Validar la respuesta producida por el software con problemas que posean solución analítica
con.ocida y con problemas de aplicación cuya respuesta se pueda estimar.
> Generar un material de apoyo al usuario del software.
La respuesta de muchos sistemas dinámicos y estáticos no puede ser conocida
anaI~ticamente, aún cuando se puede estimar su variación, pero todos estos problemas poseen una
ecuación diferencial que rige su comportamiento y es allí donde esta técnica (método de
elementos finitos) brinda una herramienta de cálculo capaz de mostrar gráficamente dicha
solución en una región. Estas regiones pueden tener diversas formas en diferentes dimensiones,
las cuales van desde regiones unidimensionales, bidimensionales o tridimensionales. En muchos
campos de la ingeniería se emplea este método con dominios unidimensionales, para conocer una
aproximación a la solución sin tener que realizar un análisis muy exhaustivo del problema. En
otras aplicaciones se hace necesaria la técnica con regiones bidimensionales, en las cuales se
desaa conocer el comportamiento de dicha solución mediante una discretización del dominio en
pecueñas porciones de forma triangular o cuadrilátera, que le permitan al usuario experimentar
cori diferentes aproximaciones a la solución del problema.
A pesar del amplio avance tecnológico y computacional de software para el clesarrollo de
esta técnica, muchos de estos programas carecen del estudio en regiones unidimensionales y
además no le brindan al usuario la posibilidad de experimentar con diversas formas de
discretización; por otro lado, ciertos programas se elaboran con una estructura de entrada y salida
de datos muy rígida o ausente de una interfase amigable al usuario.
Por otra parte, resulta de gran importancia contar con un programa que permita simular el
comportamiento de ciertos problemas, en un ambiente de programación matemático que posea
uia gran facilidad para el manejo de matrices, ya que el método numérico de elementos finitos
está destinado a resolver mediante ecuaciones matriciales las ecuaciones diferenciales que se
p:iantean. Es por ello que el Matlab representa una excelente opción para el desarrollo de este
programa.
La creación de un programa que permita a los usuarios la obtención rápida y gráfica de las
rvspuestas de sus problemas de contorno elíptico, posibilitará además, incorporar proyectos de
,nves.tigación en el área de elementos finitos, así como también les brindará a los estudirintes de la
zátecra de Métodos Numérico de Elementos Finitos una herramienta fundamental para ejecutar
asigriaciones o tareas en esa área.
1.4.1. ALCANCE.
Simular el comportamiento de diversos problemas de la ingeniería coi1 modelos
unidimensionales y bidimensionales para diferentes regiones de contornos, por el método de
elementos finitos.
El desarrollo de la investigación se realizará con la utilización del Matlab 7 Service Pack
2, en la Facultad de Ingeniería de la Universidad del Zulia, ubicada geográficamente en
Míuacaibo, Edo. Zulia.
El software se desarrolla para resolver problemas de contorno elípticos unidi.mensionales
de tipo lineal, cuadrático y cúbico y bidimensionales de tipo triangular lineal y cuadrilátero lineal
con regiones triangulares, rectangulares, circulares y10 combinación de ellas, empleando el
m15todo de elementos finitos y utilizando como criterio de optimización el método de Galerkin.
CAPITULO 11
El estudio de la mayor parte de los problemas en la ingeniería son de naturaleza compleja,
esto debido a las innumerables variables que presenta la ecuación diferencial del sistema
estudiado. Esto complica obtener la solución analítica del problema, sin embargo, muchas de
estas ecuaciones diferenciales carecen de una ecuación explicita para su respuesta, es aquí donde
surge un método computacional (Método de los Elementos Finitos) capaz de obtener
nuniéricamente una solución aproximada (con un cierto error) a la solución analítica (continua).
Este método subdivide el dominio donde se desea la solución en porciones para Iiacerlo más
coniprensible, y en relación a esto, 0. C. Zienkieewicz y R.L. Taylor [l] expresa que:
"Las limitaciones de la mente humana son tales que no puede captar el
comportamiento del complejo mundo que lo rodea en una sola operación
global. Por ello, una forma natural de proceder de ingenieros, científicos, e
incluso economistas, consiste en separar los sistemas en sus componentes
individuales, o "elementos", cuyo comportamiento pueda conocerse sin
dificultad, y a continuación reconstruir el sistema original para estudiarlos a
partir de dichos componentes" (p. 1).
Es así como opera dicho método, analizando cada porción (Elemento) de toda la región que
se desea analizar, luego ensambla cada porción para obtener una respuesta global del dominio.
Cada una de estas soluciones individuales se obtienen aproximando cada elemento a una función
pc~linomial, la cual, permite ajustar en ese elemento la solución con un nivel de error dado por su
cclmportamiento, esto es, si la solución posee una forma parabólica lo más conveniente sería usar
función polinómica de segundo grado. Sin embargo, ya que no es posible conocer dicho
comportamiento resulta muy dificil encontrar el polinomio más conveniente para la solución, y lo
que i.esulta ser una práctica común, es aproximar con un polinomio lineal y luego observar el
tesultado para tratar de encontrar la mejor forma polinómica que obtenga la respuesta de dicho
prob .ema.
Aunque pareciera que la mejor solución se obtiene utilizando polinomios de grado cada vez
mayor, es de acotar que a medida que el grado de aproximación polinomica aumenia, se hace
cada vez más complejo y pesado el cálculo de dicha solución.
2.1.1. PROBLEMAS DE CONTORNO EN LA CIENCIA E INGENIERÍA.
La mayoría de los fenómenos fisicos, ya sea en el campo de la dinámica de fluidos,
mecánica, electricidad, óptica, magnetismo, o flujo de calor pueden ser descritos en general por
ecuaciones diferenciales parciales, las cuales contienen además de las variables de entrada y de
salida, una o más derivadas parciales de la variable de salida. Estas ecuaciones se lee con las
siglas EDP (Ecuación Diferencial Parcial). El problema consiste en buscar una ecuación que sea
la :;olución de la ecuación diferencial parcial y que satisfaga las condiciones de borde o de
frontera y/o condiciones iniciales (problemas de valor de contorno e inicial). La descripción de
un problema físico de éste tipo requiere de tres tipos de ecuaciones, a saber:
a. La EDP describiendo el fenómeno físico.
b. La condiciones de borde describiendo la naturaleza física del problema sobre los
bordes.
c. Las condiciones iniciales describiendo el fenómeno físico al cclmienzo del
experimento.
En los problemas de la ingeniería no siempre es posible obtener soluciones matemáticas
ril;urosas, ciertamente, sólo en algunos casos simples pueden obtenerse soluciones analíticas, sin
embargo, estas son las ecuaciones que necesita el MEF para plantear su solución numérica.
2.1.2. TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES.
Existen cinco tipos de ecuaciones diferenciales parciales, estas son:
a. Elípticas.
Estas ecuaciones aparecen el los problemas de equilibrio o estacionario y para el
:aso de un problema de valor de contorno bidimensional la ecuación gobernante tiene la siguiente
forma:
En esta caso las variables x e y son las variables de entrada, U(x,y) es la función
incógnita o desconocida (variable de salida) y a, (x, y ) , a, (x, Y) , P (x, Y) Y f '(x, Y) son
funciones conocidas. Las funciones a, (x, y) , a, (x, y ) y P (x, y ) usualmente representan
propiedades del material o físicas del sistema. La función f (x,y) se denomina ca-rga interior,
puc:s representa cargas aplicadas en el interior del dominio. La expresión de esta ecuación en el
sisl.ema unidimensional se muestra en la ecuación (2), en esta se observa que solo posee una
variable de entrada, y a diferencia de la ecuación (1) las derivadas parciales se convierten en
derivadas totales. Estas son los dos tipos de ecuaciones que se desarrollan en la presente
investigación.
-- a(x)dU(") + p ( x ) u ( x ) = f (x) dx * [ h l
b. Elípticas con parámetros.
Estas ecuaciones aparecen en lo problemas de resonancia y estabilidad (Problemas
de vibraciones), y para el caso de un problema de contorno bidimensional las ecuaciones
gobernantes tiene la siguiente forma:
A diferencia de la ecuación 1 esta presenta un término extra y la carga interior nula.
donde la función y(x, y) es una función conocida y A es el valor de ~ i n parámetro desconocidcl
denominado valor característico.
c. Parabólicas.
Estas ecuaciones están asociadas al problema a los problemas de difusión y para el
caso de un contorno bidimensional la ecuación tiene la siguiente forma:
+ P ( ~ ~ Y ) U ( ~ , Y , ~ ) = f (x,y,t) (4)
Aquí existen ahora tres variables x, y y t que usualmente representa el tiem.po.
d. Hiperbólicas.
Estas ecuaciones están relacionadas con los fenómenos dinámicos (propagación de
ondas y vibración) y tienen para un sistema unidimensional la siguiente forma:
e. Sistemas de ecuaciones diferenciales parciales.
Estos sistemas de ecuaciones se obtienen en problemas de elasticidad, y para el caso
de un problema de esfuerzos planos, las ecuaciones tienen la siguiente forma:
Las dos funciones desconocidas u (x, y) y v(x, y) representan las conlponentes de
10,; desplazamientos de un punto material en las direcciones x e y, respectivamente, localizados
inicialmente (antes de la aplicación de cargas) en la posición con coordenadas x, y.
2.1.3. CONDICIONES DE CONTORNO.
Existen diversos tipos de condiciones de contorno e iniciales, y para el ciesarrollo del
presente trabajo se tomaron en cuenta las condiciones de contornos descritas a continuación:
P Condición tipo Dirichlet.
Esta condición toma en cuenta el valor de la función (U) como conocido en la
Front~ra del dominio (Q) o borde. En elementos finitos se denominara esericial y se expresa así:
U = g (7)
Donde g es un valor conocido y constante.
P Condición de tipo Neumann o de flujo.
Esta condición está dada por el valor de la derivada parcial de dicha fuinción en la
dirección normal exterior sobre la frontera, estableciéndose como un valor constante: conocido.
En elementos finitos se denomina natural y se expresa de la siguiente manera:
2.1 4. TIPOS DE DOMINIO.
El dominio(S2) constituye uno de los elementos esenciales en la definición de los
prc~blemas de contorno, y generalmente representa la región del espacio físico sobre el cual actúa
el fenómeno analizado. También puede ser el intervalo de tiempo sobre el cual se produce los
cambios del sistema. En términos matemáticos es la región o intervalo de las variables de
entrada, las cuales son usualmente espacio y tiempo.
El dominio puede ser uni, bi o tridimensional, o escrito de otra manera 113, 2D o 3D,
rei;pectivamente, de formas regulares e irregulares (simplemente o múltiplemente conexo), cuyos
límites constituyen la frontera, contorno o borde(r).
Desde el punto de vista de la aplicación práctica es necesario conocer no solo la forma del
dominio, sino también las propiedades físicas y10 materiales del sistema a estudiar y del medio
ambiente en el cual opera.
2.2. EL METODO DE ELEMENTOS FINITOS USANDO GALE
CRITERIO DE OPTIMIZACION.
La definición más amplia sobre el método de los elementos finitos es la que establece David
S. Biirnett [ 2 ] :
El método de los elementos finitos (MEF) es una técnica matemática asistid.a
por el computador para obtener soluciones numéricas aproximadas a
ecuaciones abstractas de cálculo que predicen la respuesta de un sistema físico
sujeto a influencias externas. (p. 3)
La idea del método como antes se dijo es que la región a ser analizada pueda ser modelada
matemáticamente por su división en subregiones (elementos finitos), en cada una de las cuales el
comportamiento es descrito por funciones asumidas que son mucho más simples comparadas con
las que describirían la región global.
Dentro de los diversos criterios de optimización se seleccionó, para esta investigación el
método de Galerkin, por su gran utilidad y fácil entendimiento. Otro método de optiinización es
el rnétodo variacional de Ritz, el cual necesita que cada problema a resolver debe poseer un
funcional, a diferencia del método de Galerkin que solo necesita conocer la ecuación diferencial
del proceso.
Una visión global de la aplicación del MEF se expresa por los siguientes pasos:
a. El problema se describe matemáticamente.
b. El dominio del problema se divide en pequeñas porciones (elementos) y a este
prcceso se le denomina discretización.
c. Las ecuaciones que gobiernan cada elemento son convertidas en ecuaciones
algebraicas, denominadas ecuaciones del elemento.
d. Los términos de las ecuaciones del elemento son evaluados numéricamente para
cada elemento en la malla, y los números resultantes son ensamblados en un conjunto de
ecilaciones mucho mayor denominado sistema de ecuaciones.
e. Se aplican las condiciones de borde, lo que modifica el sistema de ecuíiciones.
f. Se resuelve el sistema de ecuaciones con el computador.
g. Se ejecuta el postprocesamiento, el cual muestra la solución del sistema de
ecuaciones en forma tabular, grafica o pictórica.
;!.2.1. DISCRETIZACIÓN DEL DOMINIO.
El proceso para la discretización del dominio en subregiones o elementos se realiza
rspei:ificando tres parámetros: el número, tamaño y forma de los elementos usados pasa modelar
el dominio donde se busca conocer la solución. Estos elementos se tocan sin solaparse o tener
un &:ea común entre elementos adyacentes.
Existen diferentes tipos de elementos utilizados en el MEF, sin embargo, los que se
utilizarán en esta investigación serán solo los unidimensionales y bidimensionales.
Los elementos unidimensionales son los más simples de especificar, los utilizados en este
trabajo son: los lineales, estos se determinan por dos puntos (nodos) distanciados una cierta
cantidad (tamaño) (Figura 1 a), elementos cuadráticos, estos se especifican por tres puntos (nodos)
en iin elemento (Figura 1 b), y elementos cúbicos, especificados por cuatro puntos (nodos) en un
elemento (Figura 1 c).
Figura 1. Elementos unidimensionales: a) Lineal, b) Cuadrático y c) Ciibico.
Para modelar los elementos bidimensionales existen dos grandes familias de elementos, los
iriángulos y los cuadriláteros (Figura 2 y Figura 3). Dentro de estas dos grandes familias S(:
:meden separar en dos clasificaciones adicionales: en los triángulos se pueden tener triángulo:;
lineales y triángulos cuadraticos, los lineales poseen un nodo en cada esquina del triangulo
mientras que el cuadrático posee, además de un nodo en cada esquina, uno en la mitad del
segmento que une a cada nodo de esquina (Figura 2).
Figura 2. Elementos bidimensionales triangulares: a) Lineales b) Cuadráticos.
Los cuadriláteros lineales poseen un nodo en cada esquina del cuadrado mientras que el
cuadrático posee, además de un nodo en cada esquina, uno en la mitad del segmento que une a
cad.a nodo de esquina (Figura 3). Aunque no se trabajará en esta investigación, ex:iste también
una clasificación para los elementos tridimensionales similar a los elementos bidimensionales.
Figura 3. Elementos bidimensionales cuadriláteros: a) Lineales b) Cuadráticos.
2.2.2. PROCEDIMIENTO GENE DE DOCE PASOS PARA LA SOLIJCIÓN DE
ENSAYO.
Una forma de estructurar todos los pasos a seguir para la solución de cualquier problema
aplicando el MEF, esta dado por el procedimiento general de 12 pasos que estab1i:ce David S.
Biimett [ 2 1. Desarrollo teórico
Paso 1 : Escribir las ecuaciones residuales de Galerkin para un elemento típico.
En este paso se escriben las ecuaciones residuales de Galerkin, una por cada parámetro
desconocido. Se tomó el método de optimización de Galerkin para este trabajo, sin embargo
existen otros criterios para aplicar en este paso.
Paso 2: Integrar por partes.
Aquí se integra por partes el término de la derivada de más alto orden en la ecuación
residual de Galerkin obtenida en el paso anterior.
Paso 3: Sustituir la forma general de la solución de ensayo del elemento dentro de las
integrales de las ecuaciones residuales. Las expresiones resultantes son las
ecuaciones del elemento.
En este paso se sustituye la forma general de la solución de ensayo dentro de la 'integral del
lado derecho de la ecuación residual. La forma de las ecuaciones al final de este paso se
escribirá como un sistema de ecuaciones, estas consisten de varias integrales que contienen la
función de ensayo 4, (x) .
Los pasos del 1 al 3 no se analizarán aquí, estos se detallan en el trabajo de investigación de
Rojas V. Otto J. [ 3 1.
Paso 4: Desarrollar expresiones específicas para las funciones de forma (fimciones de
ensayo del elemento).
Aquí se elige el tipo de función de forma que se desee aproximar (generalmente
poiinomios), porque estos son más fáciles de derivar e integrar.
Paso 5: Sustituir las funciones de forma dentro de las ecuaciones del elemento y
transformar apropiadamente las integrales para su evaluación numérica.
Una vez elegida las funciones de forma se sustituyen en las expresiones obtenidas en el paso
4 y se desarrollan para su posterior evaluación numérica.
Paso 6: Preparar expresiones para el flujo, usando las funciones de forma.
Tal como en el paso anterior, se utilizan las funciones de forma desarrolladas e:n el paso 4 y
se escriben en la expresión del flujo. En muchos problemas fisicos el flujo es tan importante
como la solución misma y en algunos otros son las cantidades de interés.
r
Desarrollo numérico-Computacional
Para propósitos de programación con el computador, los pasos del 7 hasta el 12 pueden ser
lógicamente agrupados en tres fases distintas: Preprocesamiento, Procesainiento y
Post~~rocesamiento (Figura 4). Así, se describirán a continuación en forma breve cada paso. 1
Preprocesainiento
Postprocesainieiito
Figura 4. Las tres fases principales de un programa de computación de M:EF.
Paso 7: Especificar los datos numéricos para el problema particular.
En este paso llamado preprocesamiento se refiere a la preparación de los dato:; necesarios
para la fase de solución. Para la mayoría de los problemas el volumen de la data es la definición
de la malla y de la carga.
Paso 8: Evaluar los términos internos en las ecuaciones del elemento para cada elemento, y
ensamblar los términos dentro del sistema de ecuaciones.
Para este paso se evalúan los términos interiores de la integral de la matriz de rigidez
(términos ki, ) y el interior de las integrales de carga (términos FI,).
Paso 9: Aplicar las condiciones de borde (CB) al sistema de ecuaciones.
Como lo especifica el titulo aquí se evalúan las condiciones de borde del sistema, para esta
investigación como se mencionó anteriormente solo se toman en cuenta dos tipos de condiciones
de borde, a saber: condiciones esenciales (la función evaluada en cualquiera de los extremos o
también llamada de Dirichlet) y naturales (la derivada evaluada en cualquiera de los extremos o
también llamada de Neumann).
Paso 10: Resolver el sistema de ecuaciones.
Una vez evaluadas las condiciones de borde del sistema, se procede a resolver el sistema de
ecuaciones resultante, el cual evalúa las constantes que se necesitan para determinar la solución
aproximada como combinación de funciones de forma.
Paso 11: Evaluar el flujo.
Al conocer las soluciones aproximadas se puede determinar la aproximación tiel flujo en
cada elemento del sistema, esto se realiza aproximándolo por nodos o realizando las operaciones
sobre los puntos de Gauss (puntos superconvergentes).
Paso 12: Mostrar la solución y estimar la exactitud.
Finalmente, se realizan las gráficas de la solución y el flujo (nodal o gauss según se necesite)
y se comparan con otras aproximaciones para determinar el error cometido en estas.
Todos estos pasos se reseñan con más detalle en el trabajo de investigación de Rojas V. Otto
J. [ 3 1, aquí solo se mencionaran las ecuaciones necesarias para el desarrollo de la solución,
utilizando las aproximaciones para el caso unidimensional (lineal, cuadrática y cúbica) y
bidimensional (triángulo y cuadrilátero lineal) que se consideran en esta investigacióii.
2..2.3. PROBLEMAS UNIDIMESIONALES.
2.2.3 .l. ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES LINEALES.
En este tipo de problemas las funciones de forma aproximan la solución del elemento por
una combinación lineal de dos polinomios lineales, esto es, que cada elemento se d.iscretizará
comu se muestra en la Figura 1 a, y la solución de cada elemento se obtendrc? por la ecuiición (9).
üe (x; 0) = 04, (x) + a2h (x) (9)
Cada una de estas funciones de forma b1 (x) y $, (x) se escriben como se m~iestra en la
ecuación (1 O), donde x, y x, representan las coordenadas nodales de ese elemento esto se ilustra
en la Figura 5.
Figura 5. Función de forma para el elemento unidimensional lineal.
El sistema de ecuaciones que representa este elemento se expresa por la ecuación (1 1).
donde la matriz de coeficientes se conoce como matriz de rigidez y el vector del lado derechc
como vector de carga.
Para evaluar la matriz de rigidez y el vector de carga se aplica las expresiories que se
mue:jtran en la ecuación (12), tomadas del trabajo de investigación de Rojas V. Otto J. [ 3 1, estas
son:
Así, sustituyendo las funciones de forma (elementos lineales) en cada uno de los valores de
k y tomando el valor de alfa y beta evaluados en el centro del elemento, se obtiene la ecuación
(1 311.
k;, = k;;
k2e2 = kp,
Donde L representa la longitud del elemento L = x2 - x, y xc representa el punto central del
x2 + X1 elemento x, = - . De manera similar se obtienen los valores del vector de carga dados por 2
la ecuación (14), y usando el mismo criterio para los valores de alfa y beta se evaluará f (x)
dada por la ecuación (12) en el centro del elemento, produciendo el término f" j 7 ( x C ) que se
muestra en la ecuación (1 4).
Los valores de ze ( x , ) y ze ( x , ) se conocen como el flujo en el extremo del elemento o flujo
eri el borde, reescribiendo los resultados obtenidos en forma matricial se obtiene la ecuación (1 5 ) .
Este proceso se repite para cada elemento presente en la discretización, es decir, se obtienen
tantas ecuaciones como elementos tenga la malla de discretización, posteriormentl:, éstas se
ensamblan coino se muestra a continuación para una malla de dos elementos:
Considérese una malla con solo dos elementos, descrita por las ecuaciones (16) y (1 7) para
uno y dos elementos respectivamente.
La forma de ensamblar las ecuaciones de los dos elementos se establece de la siguiente
ma.nera:
k,Z) FI? T ( I ) ( x , ) [! k i i + k ; i 111 1 = [ FI1ll + 1 + 1 ) (x1 ) - r(I) ( x 2 )] k;:) k;;) F I ~ ~ ) -d2) ( x 3 )
Si son más de dos elementos se aplica un procedimiento similar para cada elemento
aclicional, hasta que se ensamblen todos los elementos en los que se dividió el dominio.
Luego, se determina el flujo de cada elemento mediante la expresión dada pc'r la ecuación
(1 9).
dÜ ( x ; a )
Derivando la expresión dada por la ecuación 9 y usando el mismo criterio para el valor de
alfa se obtiene la expresión dada por la ecuación (20).
Este es el flujo aproximado evaluado en el centro del elemento y se tomar como constante a
lo li~rgo del elemento. Este procedimiento construye la solución aproximada por funciones
1ine.ales en cada elemento.
2.2.3.2 ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES CUADF~ÁTICOS.
2.23.2.1 ENFOQUE DIRECTO.
La función de forma cuadrática aproxima la solución del elemento a una combiriación lineal
de funciones de forma dadas por polinomios de grado 2, geométricamente unas parribolas, estas
se muestran en la Figura 5. Así, la solución aproximada para cada elemento se obtendrá por la
ecuación (2 1).
" (v) = a,A (x) + a242 (x) + a343 (x) (2 1)
Las funciones de forma #, (x), 42 (x) y #3 (x) se escriben como se muestra eri la ecuación
(2:!), donde x, , x, y x, representan las coordenadas nodales de ese elemento y se ilustran en la
Figura 6.
Figura 6. Funciones de forma para elementos Cuadráticos-c'.
Así, expresando la solución de ensayo en función de los coeficientes tz, , a, y a, tiene forma
par;abólica al igual que las funciones de forma, esta solución se muestra en la Figura 6.
Sin embargo, al sustituir estas funciones de forma en las ecuaciones que det1:rminan los
valores de la matriz de rigidez k, (ecuación (l2)), estas se hacen un poco compleja:; de realizar
analíticamente, y además al implementarlo computacionalmente sería mas complic;ado, es por
ello que se utilizará el enfoque isoparamétrico en el desarrollo del software.
2.2.3.2.2 ENFOQUE ISOPARAMÉTRICO.
Este enfoque se desprende de una transformación lineal de la variable x en C, como se
muestra en la Figura 6, donde se observa que la transformación toma el intervalo en x para
cualquier elemento y lo lleva a otro intervalo en C cuyos extremos se ubican en 5 = f 1 y el
punto entre nodos se ubica en C = O , como se muestra en la Figura 7.
Figura 7. Transformación del dominio de estudio para un elemento cuadrático.
Este elemento isoparamétrico es llamado elemento patrón, el cual es usado para realizar la
transformación en cada elemento real sobre la malla. Por otro lado es necesario reescribir las
fimciones de forma en términos de las nuevas variables, tal como se indica en la ecuación (23).
4,(<)=+C(<-1)
4 2 (<) = (1 +C)(l-t) (23)
A ( 5 ) = i5(< +l)
47
Obsérvese que las curvas mantienen la forma en la transformación del dominio, es decir,
ocuire una contracción o expansión en el sistema real, y en ambos casos las ecuacionc:~ cumplen
con la propiedad de interpolación esto se evidencia en la Figura 8.
La transformación de coordenadas debe ser uno a uno para garantizar la continuidad de las
funciones y la transformación, evitando solapes o aberturas en los nodos interelemeiitos. Para
realizar la trarisformación isoparamétrica se utilizará la técnica dada por la ecuación (26).
xe ( 5 ) = *:A ( 5 ) + 4 4 2 ( S ) + ( 5 ) (25)
Xl X2 x3
Figura 8.Funciones de forma para elementos isoparamétricos unidimensionales cuadráticos
Para esta transformación el jacobiano se expresa por la ecuación (27) y ésta se determinado
según la posición del punto interno, es por ello, que para esta investigación se tomaril dicho punto
en el centro de cada elemento evitando de esta manera la distorsión que pueda presentarse si
dicho punto se escoge cercano a los extremos.
Derivando las ecuaciones (23) y sustituyendo en la ecuación (27) se tiene la expresión del
jacobiano dada por la ecuación (28)
Luego, se determinaran los valores de la matriz de rigidez y los vectores de carga dados por
Al aplicar la transformación de coordenadas isoparaméntricas a las ecuaciones (29) se
obtienen la ecuaciones (30), que serán las utilizadas para el desarrollo del prog1,ama de esta
investigación.
Fr,' = -[re ( x ) 6 ( x ) ] : 3 { ~ r ) ' = [ie::;J Aplicando la regla de cuadratura de Gauss-Legendre para dos puntos, lo cual permite
integrar de manera exacta polinomios de grado 3, se obtiene la ecuación (3 1).
1 Donde 1',, es el valor de los puntos de gauss que se utilizaran para la integración ( 5 = +--)
J5 y MI,, el valor de peso asociado a estos puntos ( w,, = 1).
El siguiente paso es preparar las ecuaciones de cálculo para el flujo, estas se muestran en la
ecuación (32) .
d Ü e ( x ; a ) ie ( x ) = -a ( x ) d 4 ; ( x )
= -ae ( x ) C a, dx J=I x
Aplicando la transformación de coordenadas se tiene entonces la ecuación ( 3 3 ) .
Donde a, son los valores nodales obtenidos de la solución del sistema, el término d4J ( 5 ) d 5
esth dado por las derivadas de las funciones de forma y J e ( C ) es el jacobiano de la
traiisformación dado por la ecuación (28 ) .
Es de hacer notar que este resultado es dado en término de la variable 5 y evaluado en los
do:; puntos de Gauss. Basado en estos puntos se puede obtener el valor del flujo vn cualquier
parte del elemento usando un polinomio interpolante de Lagrange, tal como se muestra en la
eciiación ( 3 4 ) y este interpola cualquier punto en el sistema real. En el presente trabajo, se
utilizará para interpolar el valor del flujo en los puntos nodales del sistema real.
+1 Donde c,, y C;, son los valores de los puntos de gauss dados para este caso (g2, = -
& y
- 1 GI = -) y < cualquier punto en ese elemento. En nuestro caso se evaluará para los extremos &
(<:=&1) de cada elemento, y el promedio de los valores de flujo (T"(c)) en los extremos
adyacentes será el valor del flujo para ese punto.
2.2.3.3 ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES CÚBICQS.
De manera similar al caso cuadrático para obtener la solución por elementos isoparamétricos
cúl>icos se utiliza en la ecuación (39 , en este caso, la transformación toma el interva.10 en x y lo
lleva a otro intervalo en c cuyos extremos se ubican en = f 1 y los puntos entre los nodos
extremos se ubican simétricamente a de separación, esto es, en C = ++, como se rnuestra en la
Figura 8.
Así, las ecuaciones de las funciones de forma se expresan por la ecuación (36)
A ( ~ ) = - 8 ( ~ + f ) ( C - f ) ( C - l ) 4 2 ( ~ ) = % ( c + l ) ( 5 - f ) ( 5 - ~ )
43 (T) = - B ( t + l ) ( ~ + i ) ( C - 1 )
4 4 (5 )=&(5+i ) (C- i ) (5+1)
La ecuación que se utiliza para la transformación isoparamétrica es dada pcr la ecuación
(39).
Figura 9. Funciones de forma para elementos isoparamétricos unidimensional~es cúbicos.
Para esta transformación el jacobiano se expresa por la ecuación (40) y ésta determina según
la :3osición de los puntos internos si existe distorsión en las funciones de forma, es por ello, que
para este trabajo se tomará que dichos puntos se ubican a 3 de los puntos extremos y 3 entre
ellos, evitando de esta manera la distorsión.
Derivando las ecuaciones (36) y sustituyendo en la ecuación (40) se tiene la expresión del
jacobiano dada por la ecuación (41)
Luego, se determinaran los valores de la matriz de rigidez y los vectores de carga dados por
la elruación (42).
x4
FA' = Jf (x)
Resolviendo de manera análoga al caso cuadrático y aplicando la regla de ciiadratura de
Gauss-Legendre para tres puntos, lo cual permite integral de manera exacta polinom os de grado
5, se obtiene la ecuación (43).
Donde tnl es el valor de los puntos de gauss que se utilizaran para la integración
8 5 (,$,,, = +&, O , - &) y w,,, el valor de peso asociado a estos puntos ( wnl = $, P. ),
El siguiente paso es preparar las ecuaciones de cálculo para el flujo, y estas se muestran en
la ecuación (44).
dÜe (x; a ) Z' (x) = -a (x)
ddy (x) = -ae (x) C a,
dx J =I x
Aplicaiido la transformación de coordenadas se tiene entonces la ecuación (45).
Donde a, son los valores nodales obtenidos de la solución del sistema, el término d4, ( 6 ) d6
esta dado por las derivadas de las funciones de forma y J"<) es el jacobiano de la
transformación dado por la ecuación (40).
Es de hacer notar que este resultado es dado en término de la variable 6 y evaluado en los
tres puntos de Gauss. Basado en estos puntos se puede obtener el valor del flujo en cualquier
parte del elemento usando un polinomio interpolante de Lagrange, tal como se niuestra en la
ecuación (46) y este interpola cualquier punto en el sistema real. En el presente trabajo, se
utilizará para interpolar el valor del flujo en los puntos nodales del sistema real.
Donde 5,, , r3, y c3, son los valores de los puntos de gauss dados para este caso (t3, = -$,
C;i = O y &, = 8) y 6 cualquier punto en ese elemento, en nuestro caso se evaluará para los
extremos ('= +1) de cada elemento, y el promedio de los valores de flujo ( ; : ' (6) ) en los
extremos adyacentes será el valor del flujo para ese punto.
:!.2.3.4 CRITERIOS PARA LA CONVERGENCIA DE LAS S'OLUCIONES
APROXIMADAS A PROBLEMAS UNIDIMENSIONALES.
Sería deseable tener algún criterio de proximidad entre las soluciones aproximadas Ú ( x ) :i
la solucibn exacta ~ ( x ) . Si no se conoce la solución analítica del problenia, entonces la
observación más importante de las soluciones aproximadas es que todas estas se muestren muy
pró:timas unas a las otras, este es un requisito mínimo cuando se tienen varias soluciones
aproximadas diferentes. Sin embargo, esto no es suficiente para asegurar que alguna de ellas es
próxima a la solución exacta.
Con el criterio expuesto se espera que exista una convergencia puntual si:
U - ( X ) O cuando n+m, x , < x < x b (47)
Ahora bien, dado que la mayoría de los problemas prácticos la solución exacta es desc:onocida, se
opt,a por otra forma más apropiada como es examinar la diferencia entre dos soluciones
apnximadas diferentes, es decir:
Ü ( x ) - ( x ) + O cuando m, n + m, x, < x < xb (48)
Es de destacar que aunque la ecuación (47) implica que se cumpla la ecuación (48), lo
coritrario no es cierto. Sin embargo, existe un teorema de convergencia que asegura -si no hay
errores computacionales- que una secuencia de soluciones aproximadas debe coriverger a la
solución exacta, si las soluciones de ensayo satisfacen las condiciones de completitud y
co~itinuidad. Esta convergencia se mide por el error en energía, el cual es una integral sobre el
doininio entero (a) , es decir, un promedio global, de una función del error puntual:
X Error de Energía = [!E ( x ) A [ E ( x ) ] &]
R
Donde
E ( X ) = u ( x ) - Ü ( x )
Y A es el operador diferencial para la ecuación diferencial que gobierna el fe~iómeno. El
iniegrando, desde el punto de vista físico, se corresponde con una densidad de energía.
Una secuencia infinita de funciones con las propiedades anteriormente mencio~iadas se dice
que es completa en energía, si las funciones de ensayo pertenecen a tal secuencia. Las funciones
de ensayo pueden entonces converger a la solución exacta con respecto a la energía, es decir, el
er:or de energía puede hacerse tan próximo a cero como sea deseado.
La condición de completitud asegura que es posible para una secuencia de soluciones
aproximadas acercarse a la solución exacta, siempre y cuando las funcione:$ de ensayo
pertenezcan a una secuencia infinita de funciones, cuya combinación lineal y finita sea capaz de
aproximarse a la solución exacta.
En base a lo antes expuesto, si se utiliza una regla de cuadratura que proporcioi~e un error
co~~parable al error de discretización, la cantidad más natural es quizás la energía global, ya que
es 1:3 cantidad mostrada a converger por el teorema fiindamental de convergencia expuesto en el
trabajo de investigación de Godoy B. Dilio A. [ 4 1, esta es,
( a O ] 7 ' [ K O ] ( a O ] - ( a k ] T [ K k ] ( a k ] <ch 2(p-m+l )
( 5 1)
Aquí C es una constante; p es el grado del polinomio completo en la solución de ensayo del
elemento o(') ; 2m es el orden de la ecuación diferencial, el cual ha sido integrado por partes m
veces en la ecuación residual; [K,] y [ak] son la matriz de rigidez del sistema y el vector
solución aproximado, respectivamente, para una malla de tamaño de elemento h; [ K 0 ] y [ao] son
la matriz de rigidez del sistema y el vector solución, respectivamente, para una malla de
e1t:mentos infinitesimalmente pequeños, es decir, la solución exacta.
Se debe notar que el producto (a lT [ K ] ( a ] es un número, no es im vector o matriz, y en
ay~licaciones físicas representa energía, por ejemplo, en elasticidad representa energía de
d(:formación. Para la presente investigación, se calculará este error cuando no se tenga la
solución analítica para constatar el grado de proximidad de las soluciones aproximatias.
2.2.4 PROBLEMAS BIDIMENSIONALES.
Para esta investigación se desarrollarán dos tipos de discretización :para regiones
1)idimensionales a saber triangulares y cuadriláteros, estas a su vez se clasifican de acuerdo a'.
iiúmero de puntos que definan el elemento, como lineales, cuadráticos, ciíbjcos, etc; sir1
embargo, para este trabajo sólo se desarrollarán las aproximaciones lineales y ciladráticas para
ambos tipos de discretización. A continuación, se realiza un esbozo teórico de cada una de estas
discretizaciones con sus aproximaciones.
2 . 2 1 ELEMENTOS TBPANGULARES.
Para esta investigación se desarrollán elementos triangulares lineales de clase c', repi.esentados gráficamente como se muestran en la Figura 2. De manera similar al caso
unidimensional las ecuaciones diferenciales a resolver por este método son elípticas (ecuación
(l)), sin embargo, en este caso su solución se hace un poco más extensa.
Para el caso de dos dimensiones, la solución de ensayo se escribirá de la siguiente manera:
Donde ahora las funciones de ensayo o de forma 4, (x,y) , son funciones que dependen de
las variables x e y.
A continuación se desarrollarán brevemente algunos pasos del método de 12 pasos, para
llegar a la ecuación que se utilizará en el desarrollo de las ecuaciones para cada tipo de elemento.
Paso 1: Escribir la ecuaciones residuales de Galerkin para un elemento típico.
+ P ( x , Y ) ~ ( x . Y ; . ) - ~ (,,Y)
La ecuación de residuos ponderados por cada grado de libertad (GI,) de la ecuación (52) es
la siguiente integral sobre el área del elemento:
Sustituyendo la ecuación (53) en la ecuación (54), eliminando el término (x,y;a) y
agrupando términos, se obtiene la ecuación residual (55).
Paso 2: Integrar por partes .
Utilizando la regla de la cadena para el producto de dos funciones se tiene.
Despejando el primer término del lado derecho se obtiene:
Por analogía pero para la variable y, se obtiene la siguiente expresión:
Sustituyen las ecuaciones (57) y (58) en la ecuación (55) y reorganizando de: acuerdo al
orclen de las derivadas, se tiene:
Aplicando el teorema de la divergencia para 2 dimensiones (teorema de Green), este se
establece por la siguiente ecuación:
Tomando a F = a, ('Ze] - ( y G = a,. [S) se puede transformar la primera integral
sobre el área del elemento de la ecuación (59), a una integral de línea sobre la frontera del mismo,
como se muestra en la ecuación (61).
Considerando el valor de alfa nulo para la incidencia de las variables x e y, esto es,
Sustituyendo la ecuación (62) en la integral de línea de la ecuación (61), luego operando
sobre esta ecuación y pasando al lado derecho la integral de línea y la integral (le carga se
obtiene:
Paso 3: Sustitución de la solución de ensayo del elemento dentro de las integrales en la
ecuación residual.
Sustituyendo la ecuación (52) en el lado izquierdo de la ecuación (63) se obtienen las
ecuaciones del elemento para un elemento típico.
El subíndice i es el contador de las ecuaciones que genera el sistema de ecuaciones. En la
ecuación (54) se plantean n ecuaciones residuales (n=GL), por lo tanto el sistema tendrán n
ecuaciones linealmente independientes. El subíndice j es el contador del los grados de libertad
(incógnitas) que existen en el sistema. Según lo planteado en la ecuación (52), existen n GL o
incógnitas.
La forma matricial de las ecuaciones del elemento será:
Donde las entradas del sistema son:
FA' = JJf 0 3 d y e
El término vector de flujo que se observa en la ecuación (64) como integral de línea,
físicamente representa la ganancia de energía a través de la frontera del elemento. El flujo
noimal a la Frontera del elemento (íi) es la proyección del flujo normal hacia fuera (pérdida
corno se observa en la Figura lo), pero el signo negativo delante de dicha integral le proporciona
el carácter de ganancia de energía al invertir el sentido. En la ecuación (69) el signo delante del
término vector de flujo se ha colocado positivo mediante el uso de la siguiente convención dentro
de la ecuación (7 1). -e -e Z-, = -Z, (72)
Donde F, representa la componente normal del flujo hacia dentro del elemc:nto, esto es,
energía que entra al sistema a través de-la frontera.
Figura 10. Representación de una componente normal del flujo hacia dentro de un elemento triangular a lo largo de su frontera.
2.2.4.1.1 ELEMENTOS TRIANGULARES LINEALES.
Para construir las ecuaciones de este caso desarrollarán los pasos desde el cuatro en
adelante, como sigue.
Paso 4: Desarrollo de las expresiones para las funciones de forma.
Al igual que en el caso unidimensional se utilizaran expresiones polinomiales para las
funciones de forma, y las condiciones de convergencia estudiadas en los capítulo:; anteriores
seguirán siendo válidas. Donde la solución de ensayo Ü' (x, y; a) representada por uri polinomio
debc ser completo por lo menos hasta el grado uno (lineal) para cumplir con la condición de
conipletitud.
Para el caso bidimensional la solución de ensayo con un polinomio lineal compieto tiene la
forma,
Ü" = a + b x + c y (73)
Observando la ecuación anterior, podemos decir que los tres términos del poliriomio lineal
estiin relacionados con los tres grados de libertad (GL) y por supuesto con los tres nodos que
define el dominio del elemento. Por otra parte, por el principio de interpelación se sabe que,
P (x,, = a,
Aplicando la ecuación (74) a la ecuación (73) para cada nodo de un elemento, se tiene el
siguiente sistema:
a + bx, + cy, = a,
a + bx, + cy, = a,
a + bx3 + cy, = a,
Resolviendo el sistema de ecuaciones dada por la ecuación (75) para las incógnitas a, b y c,
y luego sustituyendo el resultado en la ecuación (73), se obtiene,
donde,
El valor de A representa el área del triángulo. Las funciones 4; (x,y)rep:resentan las
funciones de forma asociadas al nodo j. A diferencia del caso unidimensional, ahora las
furciones de forma son planos triangulares que cumplen con la propiedad de interpelación,
4,e (.,,Y,) = 6,; (81)
Esta propiedad se evidencia gráficamente en la Figura 11. Funciones de forina 4; (x,y)
asociada al nodo j, esta muestra las diversas formas que poseen los elementos para cada función
de forma.
Figura 11. Funciones de forma 4; (x,y) asociada al nodo j.
Paso 5: Sustitución de las funciones de forma dentro de las ecuaciones de los elementos, y
transformación adecuada de las integrales para su evaluación iiumérica.
Las propiedades físicas ax , ay y ,O sé introducirán como una constante obteniendo su valor
en el centroíde del elemento,
Donde,
Para obtener los kaI; de los términos de la matriz de rigidez, se requiere evaluar las
derivadas de las funciones de forma respecto a x e y. De cualquiera de las funcioní:~ de forma
descrita desde la ecuación (77) hasta la ecuación (79) se cumple.
Como los valores de la ecuación (84) son constantes se pueden sacar fuera de le, integral de
la ecuación (67), quedando la siguiente expresión,
Como S[dirdy = A, sustituyendo en la ecuación (85), resulta:
Para la evaluación de la parte correspondiente k,B; de los términos e la matriz (le rigidez de
la c:cuación (68) se tiene que:
kPe = jj$: (x, y ) P' (x, Y ) 4; (x, Y ) & ~ Y iJ
e (87)
p' jj4; (x7 y ) 4; (x, y ) d.dy i, j = l,2, 3 e
Para la evaluación sencilla de la ecuación (87) se utilizará la fórmula de integración
tri.mgular basada en el sistema de coordenadas de áreas.
Donde Li es la coordenada de área y A es el área del triángulo. Tomando c=O se tiene,
Aplicando la ecuación (89) a la ecuación (87), para ello se va a sustituir la ecuaciOn,
$4," ( & Y ) = L, i = 1,2,3 (90)
Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (89) se obtiene,
De la ecuación anterior se puede observar que si i = j , se tiene,
Luego si tomamos i + j , se obtiene,
Sustituyendo la ecuación (92) y (93) en la ecuación (91), resulta:
Finalmente, la matriz de rigidez del elemento finalmente queda como,
a e a e fl'A a," ae Be A - X b 2 b 2 + ~ c 2 c 2 + - - b 2 b 3 + 1 c 2 c 3 + - - 4 A 4 A 6 4 A 4 A 12
Simetrico - a: b3 b3 + - a; c3 c, + -- P e A 4 A 4 A 6
Donde las constantes b y c se definen de la siguiente manera:
Para los términos de carga interna o la integral de la ecuación (70), se considerará la carga
distribuida f (x, y) como constante fe sobre cada elemento, tomando coino punto para evaluar
el centroide del mismo,
fe = f (xc,yc)
De esta forma la ecuación (70) nos queda de la siguiente forma:
Usando la ecuación (89) con b = O se tiene:
Aplicando la ecuación (99) en la (98) queda:
Reescribiendo la ecuación anterior en forma matricial se tiene:
Para los términos de flujo de borde o la integral de línea de la ecuación (71), se deberá
conocer los bordes externos de cada elemento, con el fin de elaborar el vector de flujo
con:;iderando las contribuciones de cada borde externo (donde este definida un CI3N) a cada
nodo. Si se considera un lado denotado por los nodos 1 y 2, con una CBN a lo largo de la
frontera donde está definido el lado 12, y examinando la integral de flujo a lo largo del lado
externo (lado 12) se tiene:
Donde zn ( S ) es la función que describe el valor del flujo o CBN a lo largo del lado
frontera. Para una aproximación 0 ( h 2 ) , la alternativa práctica puede ser tomar el valor re
constante, evaluando la función en el medio del lado frontera, esto es,
re = r-, (x, , Y,) (103)
Donde los valores de xm y ym se pueden tomar en el punto medio y se escriben como,
Para evaluar la ecuación (1 02), se puede utilizar otra expresión de integración triangular que
establece lo siguiente:
Aquí 5; se corresponde con la longitud del lado ij del triangulo. Tomando L, como las
Ll2 funciones de forma, b = O y a = 1 la ecuación (105) produce como resultado - . Este ultimo 2
valor sustituye la integral de la ecuación (1 02) quedando:
2
Ji!,+;ds = para el nodo 1 1 2 2
[~ ,+;ds = para el nodo 2 I 2
Donde r"s el valor del flujo de cada elemento debido a ese lado. Esto podiria expresarse
como se muestra en la ecuación (107),
2
Ji:"(dS . - ' para el nodo 1 1 2 2
[<,&ds = para el nodo 2 I 2
Donde el flujo z, puede ser tanto una condición de borde natural (CBN) en un lado del
triangulo pegado a la frontera del dominio, como una carga concentrada linealmente sobre un
borde interelemento (CBlVI). El cálculo de los términos de este vector se irári sumando
finalmente al vector de carga interna, por tanto, debido tal vez a la forma de introducir los datos,
sería preferible calcular y construir el vector de flujo global y sumarlo al vector de carga interna
ya ensamblado. Por otro lado, de existir una carga concentrada puntualmente, es recomendable
ubicar un nodo en dicho punto e introducir la carga en el nodo a través del vector de flujo.
Paso 6: Preparación de las expresiones para el flujo.
De la ecuación (62) se tiene,
Usando la ecuación (76) y la ecuación (84), sustituyéndola en la ecuación (108), se tiene:
Con una aproximación de 0 ( h 2 ) , el punto óptimo para el cálculo del flujo será el centroide
del elemento:
Igual que para el caso unidimensional, el flujo nodal será conveniente evaluarlo como el
pi.omedio de los flujos de aquellos elementos que sean concurrentes en u11 nodo:
n
i, (nodo j) = it
llonde n es el número de elementos que concurren en el nodo i.
2.2.4.1.2 ELEMENTOS TRIANGULARES CUADRÁTICOS.
:En este caso se desarrollaran las funciones de forma para elementos triangulares de clase
cO, representados en la Figura 2.
Paso 4: Desarrollo de las expresiones para las funciones de forma.
Para desarrollar las funciones de forma se utilizará la propiedad de interpolación y una
1:struvtura de polinomio igual a la solución de ensayo:
@i (5, ?') = + a25 + q 7 + a4r2 + a5<7 + %v2
Para el nodo 1 se tiene:
$1 (51,7l) = 1
, ( , , ) = O j=2,3,4,5,6
Figura 12. Elemento triangular isoparamétrico Cuadrático C O de lados rectos.
Ing. Jorgenson J. Zam6ranod. 68
Aplicando la ecuación (1 14) a la ecuación (1 15), y utilizando las coordenadas desc:ritas en la
I:igur,a 12 se generan las siguientes seis ecuaciones:
a, + + + + + = 1
a, + a, + + a4 + + = O
a1 + + a ; + + + a 6 = o al + %a2 + + %a4 + + = o a, + a + %a3. + a + %a, + a = O
a1 + + %a3 + + + a = o
(1 16)
Resolviendo el sistema de ecuaciones para los valores de a e introduciendo dichos valores
c:n la ecuación (1 15) se obtiene:
Realizando un trabajo similar, se obtienen las demás funciones de forma que se muestran en
las ecuaciones (1 18).
El procedimiento para obtener la transformación isoparamétrica es similar al caso
unidimensional, las ecuaciones que logran esta transformación se muestran a continuación:
donde xk y y, son las seis coordenadas de los nodos en el elemento real.
Al igual que el caso unidimensional, el uso de elementos isopararnétricos, está s i e t o a que
estos no estén severamente distorsionados, es decir, que la transformación sea uno a uno en todo
el elemento. La aceptabilidad de la transformación será justificada siempre y cuando el
jacobiano sea mayor que cero,
1 J ( ) > O, para todos los elementos (120)
Para el caso de una transformación donde están involucradas dos variables, el jacobiano es
~1 determinante de la matriz jacobiana, esto es:
Por lo que el jacobiano resulta:
Las derivadas de la transformación de coordenadas se obtienen de la ecuación (1 19):
Las derivadas de las funciones de forma se obtienen de las ecuaciones (1 18):
En forma similar al caso unidimensional, pero tomando en este caso la relación entre área
nfinj tesimales del elemento patrón y un elemento real es,
~ W Y = 1 J' ( r , v)l d t d v (134)
De manera similar al caso unidimensional, existen limitaciones para evitar la distorsión. La
ubicación del nodo intermedio así como los ángulos internos de los vértices afecta el grado de
distorsión en la transformación de los elementos.
Paso 5: Sustitución de las funciones de forma dentro de las ecuaciones de los ell:mentos, y
transformación adecuada de las integrales para su evaluación numérica.
Sustituyendo la ecuación (134) con los límites de integración adecuados dentro de las
ecua.ciones (67), (68) y (69), se obtiene:
Para la evaluación de los términos de la ecuación (135) se utilizará la forma de cuadratura,
integrando en varios puntos (Li,ni) y el coeficiente (w,, ) son los puntos de gauss y el factor de
pesa.
a g a#Je a@; 34; a,-+-a -+A@ I =1 ax ax ay ' a y
( (136)
En las expresiones anteriores n es el número de puntos de gauss, el cual depende del orden
de cuadratura a utilizar, la coordenada (&, ,q,,,) y el valor (W,,) son el punto de Gau:;s y el factor
de peso. Para este caso se utilizará la integración reducida, es decir, la regla de cuatro puntos de
Gs,uss y estos se muestran en la Tabla 1.
'Tabla B . Puntos de Gauss y factores peso utilizados para elementos bidimensionales
triangulares Cuadráticos
sale Para los valores de las derivadas - y - se aplicará la regla de la cadena, esto es, ax ay
Reescrito en forma matricial se tiene,
Factor de peso
-27 w 4 , = 48
2 5 w =- 42 48
25 w43 = - 48
2 5 w -- 44 - 48
Puntos de Gauss
Luego despejando el vector del lado derecho se obtiene,
--
{ni
-- 1
C 4 , = 5 1 y = -
42 5 3 y =-
43 5 1 5 =-
44 5
Donde la inversa de la matriz jacobiana ecuación (1 30) queda,
%/
1 V 4 1 = 5
1 si =,
1 V 4 3 = 7
3 a4 =3
Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (1 39) se obtiene una ecuación para calcular
a41e los valores de - y - , esta se muestra a continuación: ax ay
Hasta el momento sólo falta determinar el valor de Fz; dado por la ecuación (71).
Tomando esta ecuación y desarrollando sus términos (para mayor claridad véase el libro de
DavLd Burnett [ 2 ] páginas 597, 598, 599 y 600), se obtiene:
Donde (142) corresponde a un lado cuyos nodos son el 1, 4, 2 y este posee una CBN.
Desarrollando la ecuación (l42), se puede obtener el siguiente resultado en base al valor dado por
la C.BN sobre el lado 142, esto es,
FT; (r) = %L-,
FT; ( r ) = L?:~
Paso 6: Preparación de las expresiones para el flujo.
Las expresiones para determinar el flujo en términos de las funciones de forma, se obtienen
de la ecuación (62) y de la ecuación (52) con n = 6 .
La ecuación (144) se puede evaluar en cualquier punto usando las ecuaciones
(1 1 9 , ( 4 y (133). Los puntos óptimos (<,q) para el cálculo del flujo se pueden determinar
usando la técnica de ajuste de mínimos cuadrados, sin embargo, una buena práctica es usar cuatro
pimtos de la regla de cuadratura de Gauss, estos se ilustran en la Figura 13.
Figura 13. Puntos óptimos (puntos de Gauss) de evaluación del flujo en elementos triangulares cuadráticos Isoparamétricos- C O .
De esta manera se pudiera decir que se tiene un vector que describe los valores del flujo
Óptiino en ambas direcciones,
Por otro lado, a la hora de expresar el flujo sobre el dominio, este debe hacerse sobre los
nodos de la malla. Por este motivo se hace imprescindible obtener una matriz de transformación
que relacione el flujo en los cuatro puntos óptimos con los seis nodos del elemento triangular.
Finalmente, esta matriz de transformación [TR] para obtener el flujo nodal se puede escribir
conio se muestra a continuación:
21.2.4.2 ELEMENTOS CUADRILATEROS.
Para el caso bidimensional, las funciones de forma en el elemento cuadrilátero se pueden
t~bterier con la simple multiplicación de dos polinomios de Lagrange unidimensional c:studiados
.mteriormente. Esto trae problemas de nodos internos a la región que no contribuyen con la
zondición de completitud, por el contrario computacionalmente son menos eficientes. Por otro
lado, ubicar nodos internos en la construcción de la malla cuando los elementos reales tienen
lados curvos, genera un trabajo adicional que se complica mucho más cuando se desean evitar
distorsiones. Debido a estas razones antes expuestas, el uso de otro tipo de elemento adquiere
gran importancia, este elemento es llamado elemento tipo serendipity. Dentro de sus
características principales se puede destacar que no posee nodos internos y sus lados tj.enen igual
número de nodos, como se muestra en la Figura 3.
2.2.13.2.1 ELEMENTOS CUADRILÁTEROS LINEALES.
De forma similar al caso triangular desarrollaran desde el paso 4 las expresiones para el caso
de c:uadriláteros lineales.
Paso 4: Desarrollo de las expresiones para las funciones de forma.
El elemento serendipity lineal es idéntico al bilineal del tipo lagrarige. En este caso, el
eleinento patrón será un elemento cuadrilátero biunitario según los ejes -q , el cual describirá
la .rransformación necesaria sobre un elemento real de cuatro lados rectos y con vértices de
ángulos arbitrarios.
Patrón Real
Figura 14. Transformación del elemento patrón Cuadrilátero Isoparamétrico Lineal- C0 sobre el elemento real.
Para la obtención de las funciones de forma, se puede emplear el procedimieilto usual a
través de la propiedad de interpolación, sin embargo, por lo sencillo del elemento las c:xpresiones
se pueden definir por simple inspección como:
Estas funciones son lineales a lo largo de cada lado, esto garantiza la contiiiuidad entre
elementos ya que existe unívocamente una sola línea recta que pasa por los dos nodos
interelemento. Como se visualiza en la Figura 15, en la parte interna el comportamiento del
elemento será cuadrático, debido a la aparición del término de segundo orden (v. Para la transformación paramétrica, se obtiene similar al caso triangular, las siguientes
expresiones:
Figura 15. Función de forma A ( { , O ) de un elemento Cuadrilátero Isoparamétrico Lineal-
> Transformación de coordenadas:
> Matriz Jacobiana:
> E1 Jacobiano:
J;, (c. O ) J;, (e, O ) - (e, O ) J;, (6 O )
> Derivada de las funciones de forma:
> Componentes de la matriz jacobiana:
Similarmente se tienen el resto de las expresiones,
,idicionalinente se tiene como criterio de aceptabilidad para la transformación uno a uno,
que el jacobiano sea positivo, esto es, I J ' ({,77)1 > O . Una forma de garantizar tal condición, es
que los ángulos internos de los vértices del cuadrilátero sean menores de 180°, como se muestra
t:n la Figura 16.
Figura 16. Elementos cuadriláteros isoparamétricos aceptables.
lt'aso 5: Sustitución de la9 funciones de forma dentro de las ecuaciones de los elementos, y
transformación adecuada de las integrales para su evaluación numérica.
Mediante el uso de las ecuaciones desde la (66) a la (71), y empleando la ecuacióri (134) se
c~btie~ien los términos de la matriz de rigidez y el vector de carga.
Utilizando la regla de cuadratura Gauss-Legendre, la ecuación (1 55) se puede evaluar de la
siguiente forma:
Para evaluar las integrales se hará uso de la integración reducida, como esta aproximación es
de orden 0 ( h 2 ) se tomaran cuatro puntos para evaluar las integrales, los cuales se muestran en la
Puntos de Gauss Factores de Peso
Figura 17. Puntos de Gauss y factores de peso para la cuadratura Gauss-Legeridre para una aproximación de 0 ( h 2 ) .
E 1 tratamiento de las integrales de flujo en la ecuación (155) es similar al caso t-iangular.
Fe puede recordar que la evaluación de esta integral es alrededor de los cuatro plintos del
elemento, y que el procedimiento tanto para un lado interno como el de frontera es igual. La
inica diferencia consta en el tipo de flujo que interviene en la expresión a evaluar, esto es, flujo
interelemento o flujo frontera. Por esta razón solo se desarrollarán las expresiones a lo largo de
iino de los lados, en este caso, un lado frontera.
Figura 18. Elemento de borde con flujo frontera.
Observando la Figura 18, las expresiones para el lado 12 (7 = -1 y d7 = 0) provi:nientes de
la ecuación (1 52) quedan como:
El jacobiano de frontera resulta:
La integral del flujo de frontera se muestra a continuación:
]>e la ecuaciones (153) y (154) con v = -1 se obtienen Je, y J,2, que sustituyenllo dichos
\.alorr:s en la ecuación (1 58), resulta:
9onde L es la longitud del lado 12 y la ecuación (1 58) se transforma en:
[Considerando la posibilidad de tomar constante el flujo a lo largo del elemento sol~re el cual
:;e evalúa la integral, esto es, introduciendo un error de modelado que es controlado por el
:.efin;imiento, la ecuación (1 91) se puede escribir:
Evaluando la integral en forma exacta con la ayuda de la ecuación (157), finalmente la
participación del flujo en el lado 12 del elemento pasan a los nodos 1 y 2 como:
1 FT; (r) = -L<
2 1
FT; (r) = -LCn 2
Paso 6: Preparación de las expresiones para el flujo.
Las expresiones de flujo se obtienen igual que en el triángulo. Partiendo de las ~cuaciones
(62) y (52) con n=4, se tiene:
Estas expresiones se pueden evaluar haciendo uso de la ecuaciones (140), (141) y de las
ecuaciones desde la ecuaciones (154) (159) para cualquier punto ({,17), sin embargo el punto
óptimo en este caso ( ) = ( 0 0 ) Por último, el valor del flujo nodal se tomará como el
promedio de los flujos óptimos de los elementos que concurren a dicho nodo.
! 2 4 . 2 2 ELEMENTOS CUADRILÁTEROS CUADRÁTICOS.
Similamente, al caso lineal se ilustrarán las ecuaciones necesarias para el desarrollo de esta
ii?roximación, partiendo del paso 4 en adelante.
I'aso 4: Desarrollo de las expresiones para las funciones de forma.
Como parte de este estudio a continuación se desarrollará el segundo elemento serendipity
descrito en la Figura 3.
I3n la Figura 19, es importante destacar que tanto en el elemento patrón como e1 real, la
riurneración es secuencia1 y antihoraria, primero se numeran en los nodos de las esquinas y luego
en lo:; nodos intermedios de los lados.
Patrón Real
Figura 19. Trarasformación del elemento patrón Cuadrilátero Isoparametrieo Cnadrátieo- C O sobre el elemento real.
En la Figura 3 se puede observar que el elemento posee ocho nodos, por ello la solución de
ensayo está compuesta por un polinomio de ocho términos. Así se puede inf,rrir que el
polinomio será completo hasta el grado dos (término cuadrático), y además contiene dos términos
de grado tres (términos cúbicos).
Por otro lado, para el desarrollo de las funciones de forma utilizando la propiedad de
interpelación se obtiene las ecuaciones mostradas a continuación:
ing. Jorgmon p Zambrano P.. 82
A través de un pequeño trabajo algebraico se puede demostrar que las fimciones de forma se
comportan cuadráticamente en cada lado del elemento (Ver Figura 20). Esto asegura la
rontir~uidad interelemento, ya que por tres nodos de un lado sólo pasa una curva cua~lrática, la
cual sirve de unión entre dos elementos adyacentes.
Ic'igura 20. Función de forma 4 ({,7) de un elemento Cuadrilátero Isoparamstrico
Cuadrático- CO.
Resumiendo el trabajo tal como se realizó en el caso lineal, a continuación se miiestran las
~:xprc:siones necesarias para la transformación paramétrica:
> Transformación de coordenadas:
> Derivadas de las funciones de forma:
> Componentes de la matriz jacobiana:
En forma similar se pueden obtener:
El criterio de aceptabilidad, esto es, que la transformación sea uno a uno, es que
1)'' (<,q)/ > O . Además de la restricción que los ángulos de las esquinas sean menores de 180'
<:orno o1 caso lineal, el nodo intermedio de los lados debe estar a menos de de su cen1:ro.
Paso 5: Sustitución de las funciones de forma dentro de las ecuaciones de los elenientos, y
transformación adecuada de las integrales para su evaluación numérica.
Las fórmulas de cuadratura para evaluar las integrales de rigidez y de carga son iguales al
i:~so lineal, ecuación (156). Las expresiones como las funciones de forma, sus derivadas y el
j ílcobiano, las cuales son utilizadas por la ecuación (1 56), se desarrollan entre la ecuación (1 67)
hasta la (169). La selección de la regla de cuadratura es similar al caso lineal, se desarrolla solo
para un lado adyacente a la frontera.
Figura 21. Elemento de borde con flujo de frontera.
Si se considera el lado 152 del elemento ilustrado en la Figura 20, donde q = -1 y dq = 0 ,
.as fimciones de forma en la ecuación (1 65) quedan:
1 $1 (6J) = -$(1-6)
1 (6,-1) = +,c(~+c)
A((,-1)=(1+6)(1-6)
$3 = $4 = $6 = $7 = $8 =
El. jacobiano de la frontera quedará:
+ ( J ; ~ (c, -q2 (1 70)
L;i integral de flujo de frontera a lo largo del lado ¡% se escribe como,
De la ecuación (168) y (1 69) se obtiene,
Lrsando la formula de cuadratura Gauss-Legendre para el caso unidimensional, la ecuación
(, 1 7 1) :se transfoima en,
Para evaluar la ecuación (173) se debe utilizar la misma regla de cuadratura que para la
i~itegriil de rigidez y carga. Además, si se considera constante el flujo a lo largo del laclo, que el
lado es recto y e1 nodo intermedio está centrado en él, el resultado será igual que lo desc.rito en el
kiangulo cuadrático con las mismas condiciones ya mencionadas, esto es, el flujo que participa
en cacla nodo será:
FT; (r) = L T : ~
~ r f (r) = % Lr:,
Fr; (r) = LT:.
Paso 6: Preparación de las expresiones para el flujo.
R1:cordando la ecuación (52) con n = 8,
Estas ecuaciones pueden ser evaluadas haciendo uso de las ecuaciones (140), (141) y de las
e:c.uaciones (1 65), (166), (167) y (1 68), para cualquier punto (t, 7) , sin embargo para este caso
e:xisteri cuatro puntos óptimos para la evaluación del flujo, estos coinciden con los cuatro puntos
cle la regla de cuadratura de Gauss.
(v,c)= - -- (A. A1
Figura 22. Puntos óptimos de evaluación del flujo en elementos Cuadriláteros Cuadráticos- CO .
120s vectores que describen los valores de flujo óptimo en ambas direcciones son:
Al igual que el triangulo cuadrático- CO , se debe encontrar una matriz de transformac;ión que
relacioiies los valores de flujo óptimo de los cuatro puntos de Gauss con los ocho nodos que
confonnan el cuadrilátero.
nodo I X = [TRIgx, (4" Siguiendo el mismo procedimiento de ajuste de mínimos cuadrados, minimiza.ción de
errores y todos los pasos desarrollados en el caso del triangulo cuadrático-C0 se ohtiene la
s q;uien te matriz de transformación:
Una vez obtenida la matriz de transformación, se calculan los valores de flujo nodal en las
d.os direcciones principales partiendo de los vectores de flujo óptimo.
Finalmente, el flujo en un nodo se calcula como el promedio del flujo nodal de los
elemeritos que concurren a dicho nodo.
22.5 CRITERIOS PARA LA CONVERGENCIA DE LAS SOLUCIONES
APROXIMADAS A PROBLEMAS BIDIMENSIONALES.
L.na técnica muy simple para determinar la convergencia de la solución es comparar los
1s;ilores en cada nodo de la solución analítica con la solución aproximada, claro está solo en
ticluellos nodos coincidentes de cada uno y observar que a medida que se mejora la apro:cimación
(hacer la malla inás fina h-refinamiento o aumentar el grado del polinomio en la función de
etujayo p-refinamiento).
Si por el contrario no se conoce la solución analítica de dicho problema, es recomendable
coinenzar con pocos elementos y aumentar su cantidad (h-refinamiento) para me-;orar la
api~oxinlación, luego observar si las aproximaciones sucesivas tienden a mejorar las
api-oximaciones t:n cada nodo. Además, como complemento, podría observarse si el error de
energía tiende a estabilizarse a medida que se mejora la malla, esto sería un indicatk.0 de la
ter~denc,ia a converger por energía.
-=-
Ing. j'orgenson J. Zam6rano J. . 89
CAPÍTULO 111
EL PROBLEMA
MARCO METODOLÓGICO
3.1. TIPO DE INVESTIGACIÓN.
Esta investigación ha sido catalogada según su propósito, como aplicada o práctica, ya que
su f~bjetivo principal es la aplicación inmediata de la teoría y no el desarrollo de la misma y sus
reijiiltados se destinan a la satisfacción de una necesidad específica en el plano académico; según
su ilivel de conocimiento, como descriptiva, ya que consiste en investigar una situación, evento
o proce:;o haciendo un análisis de sus características, propiedades y elementos constitu~ivos, y
s i r ~ e para describir, recopilar, analizar e interpretar la situación actual de algún fenórneno o
proceso y establecer la estructura de sus componentes básicos; y según Fino1 y Nava (1?93), la
esiti-ategia a aplicar en la recolección de la información, como experimental, ya quí: es un
"proceso de descripción y análisis de lo que ocurrirá en ciertas y determinadas condiciones
controladas cuidadosamente y en donde el mismo experimento se convierte en la fuente que
origina la inforniación". Además, Fuenmayor, Pereira y Risquez (1999), indican que la
iinlc:stig;ición experimental consiste en la manipulación de una o más variables independientes
pai?i conocer la reiicción que tiene una variable dependiente.
3.2. M:ETODOI,OG~A UTILIZADA.
La simulación se realizará utilizando el programa Matlab versión 7 release 14 service
pack 2, empleando para ello las ecuaciones que representan cada uno de los sistemas antes
imencionados y considerando los diferentes parámetros característicos para el diseño del mismo.
Una vez creada la herramienta se simularán problemas de sistemas, para varios ámbitos de
aplicación de la ingeniería que posean respuesta analítica conocida, con el fin de validar la
respuesta de dicho programa y comprobar el manejo correcto de los datos por parte del software;
a8:más de crear ejemplos del manejo de éste, software para luego diseñar un material didáctico
qi~v muestre el uso de esta herramienta.