1

FONTE SENOIDAL

1. Gerao do Sinal Senoidal

A forma de onda senoidal (ou sinusoidal) ocorre naturalmente na natureza, como se pode observar nas ondas do mar, na propagao do som e da luz, no movimento de um pndulo etc. e tambm a forma mais eficiente de gerao, transmisso e distribuio de energia eltrica.

Nas duas ltimas dcadas do sculo XIX o uso de corrente contnua em sistemas de potncia era defendido por Thomas Edison, enquanto a corrente alternada era proposta por Nikola Tesla e George Westinghouse Jr.

Uma funo senoidal facilmente obtida para gerao energia eltrica. Uma bobina sujeita a um campo magntico varivel produz em seus terminais uma tenso eltrica segundo a seguinte equao (Lei de Faraday):

dtdtdNtv )()( =

Onde: v - tenso induzida [V] N - nmero de espiras - fluxo magntico [Wb]

A estrutura a seguir apresenta esquematicamente a gerao de um sinal senoidal a partir da movimentao do eixo de uma bobina submetida ao campo magntico de dois ims permanentes.

Figura 1 Gerao de um sinal senoidal.

Uma fonte de tenso ou corrente senoidal varia com o tempo e pode ser representada por uma senoide em funo de sua frequncia angular (wt) ou em funo do tempo (t).

As formas de ondas seno e cosseno podem ser observadas na figura abaixo.

Figura 2 - Formas de ondas seno e cosseno.

MINISTRIO DA EDUCAO SECRETARIA DE EDUCAO PROFISSIONAL E TECNOLGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE TELECOMUNICAES rea de Conhecimento: Eletricidade e Instrumentao Prof. Pedro Armando da Silva Jr.

2

2. Expresso Matemtica do Sinal Senoidal

Todo sinal eltrico senoidal pode ter seu comportamento descrito de modo grfico ou analtico, atravs de uma funo matemtica senoidal, peridica, e variante com o tempo. Adota-se para a representao dos sinais de tenso e de corrente alternada senoidal as seguintes expresses gerais:

)()( vmx tsenVtv +=

)()( imx tsenIti +=

Onde: mxmx IeV - valores mximo, de pico ou amplitude

- frequncia angular eltrica - ngulo de fase

Na Figura 3 esto apresentados graficamente os principais parmetros do sinal senoidal e, na sequncia, suas definies.

-8

0

8

0 5 10 15 20 25

Ten

so

[V

]

Tempo [s]

T/2 T T/4 3T/4

Ciclo

Vmx

-Vmx

Figura 3 Parmentros do sinal senoidal.

Valor mximo, de pico ou amplitude - Vmx., Vp ou A: o valor extremo alcanado pelo sinal. Perodo - T [s] : o tempo decorrido na realizao de um ciclo completo. Frequncia - f [Hz] : o nmero de ciclos realizados, na unidade de tempo, obtido por:

][1 HzT

f =

Onde: 1 Hz = 1 ciclo / segundo

Frequncia angular eltrica - [rad/s]: a rapidez de variao do sinal. Ou seja, a velocidade com que o sinal realiza um ciclo de variao, o que equivale realizar, num crculo, um arco de 2 radianos ou 360.

ngulo de fase - [o] : a posio relativa, expressa em grau, do sinal em relao a uma referncia ou a outro sinal

Seu valor pode ser:

= -90o (atrasado)

= 0o (em fase)

V

t

= +90o (adiantado)

V

t

V

t

> 0o (positivo) - sinal adiantado = 0o - sinal em fase < 0o (negativo) - sinal atrasado

3

Defasagem: a diferena de fase entre dois sinais (A e B). Ou seja, a medida do adiantamento, ou do atraso, de um sinal (A ) em relao a outro sinal de referncia (B)

ABBABAAB ou == Por exemplo: Se ][)50200(100][)30200(10 VtsenveVtsenv oBoA +=+=

Ento a defasagem entre A e B : 00 205030 === oBAAB Note que o sinal menos significa dizer que A est atrasado de B de 20o

Valor mdio - Vmd ou Imd : a mdia dos valores do sinal em um perodo. Esta mdia corresponde rea abaixo da curva do sinal dividida pelo seu perodo e expressa por:

=T

md dttvTV

0)(1

Existem duas situaes prticas a serem consideradas: a) Sinal CA puro b) Sinal CA + CC

02121

=

=

=

TAAV

AA

md

Valor mdio nulo.

VccVVVVccVcaV

CCmdCAmdmd

al

+=+=

+=

0sin

O valor mdio a prpria componente CC do sinal

Valor eficaz: Como a forma de onda senoidal pulsante sua energia no transmitida de forma constante como acontece em corrente contnua. Para tenses variantes no tempo se pode obter um valor efetivo equivalente ao valor mdio de uma fonte CC que demandaria a mesma potncia eltrica.

O Valor Eficaz ( ou RMS - root mean square ) de uma funo peridica definido como a raiz quadrada do valor mdio da funo ao quadrado, ou em forma algbrica:

+

=

Tto

toefdttv

TV 2)(1

Para uma onda senoidal pode ser demonstrado que o valor eficaz equivale a:

2mVVef =

v

t

VCC

v

t A2

A1

T

4

Pela equao anterior note que o valor eficaz no depende da frequncia nem do ngulo de fase, somente da amplitude do sinal.

Assim, por exemplo, na rede eltrica local, 220 V uma tenso eficaz, referente tenso alternada senoidal em 60 Hz de valor de pico 311,13 V. A representao matemtica deste sinal :

)0377(13,311)(0/377602213,311

)()(0

o

vmx

vmx

tsentv

escolhidosradfwVVtsenVtv

+=

=====

+=

pipi

3. Resposta senoidal do resistor

Em corrente contnua vimos que, no resistor, a tenso e a corrente se relacionam na forma:

IRVouRVI ==

Em corrente alternada senoidal a relao dada por:

Partindo-se de:

Rtv

ti )()( =

Substituindo v(t) tem-se:

RtsenV

ti vmx )()( +=

Ou:

RtsenI

ti vmx )()( +=

Com no resistor a tenso e corrente esto em fase:

)()( vmx tsenVtv +=

)()( imxmxmx tsenItiouRVI +==

Graficamente:

Considerando seus respectivos valores eficazes a relao fica:

RV

I efef =

T t

VM

IM

v , i

v R

i

v

V R

I

VR

5

Em corrente alternada, como a tenso e a corrente se relaciona que em CC, ao se adotar valores eficazes as equaes da potncia eltrica so as mesmas.

RV

PouIRPouIVP efefefef2

2===

No tempo tem-se a seguinte equao:

)()()()( 2 wtsenIVtitvtp pp ==

A potncia dissipada no resistor ser sempre positiva, como pode ser observado no grfico a seguir:

Figura 4 Tenso, corrente e potncia em um resistor.

4. Elementos armazenadores de energia

Alguns elementos de circuitos eltricos podem armazenar energia em forma de campo eltrico ou magntico

4.1. Capacitncia

O capacitor um elemento de circuito que possui a caracterstica de conservar energia atravs do campo eltrico estabelecido entre suas placas, tendendo manter constante a tenso entre os seus terminais.

O capacitor representado pela letra C e tem como unidade o Farad [F].

C

Em circuitos CC o capacitor funciona como um circuito aberto. Porm, em CA o capacitor exerce oposio variao de tenso, fenmeno denominado reatncia capacitiva, designada por XC, medida em ohm [] e expressa por:

][2

1

=

CfX c pi Para uma fonte senoidal a tenso no capacitor expressa por:

)()( wtsenVtV pc =

V + + +

- - -

A (+Q)

B (-Q)

6

A corrente no capacitor ser:

)90()cos()()( oppcc wtsenVwCwtVwCdttdVCti +===

O capacitor atrasa a tenso em relao corrente, conforme pode ser visto pela ilustrao abaixo:

Figura 5 Tenso e corrente em um capacitor.

Em um circuito puramente capacitivo no h dissipao de potncia ativa. Como se pode observar na figura a seguir, em um perodo da rede eltrica, o valor mdio da potncia no capacitor nulo. O capacitor armazena energia no primeiro semi-ciclo da rede devolvendo esta mesma energia no segundo.

Figura 6 Tenso, corrente e potncia em um capacitor

4.2. Indutncia

O indutor um elemento de circuito que possui a caracterstica de conservar energia atravs do campo magntico entre sua bobina, tendendo manter constante a corrente entre os seus terminais.

O indutor representado pela letra L e tem como unidade o Henry [H]

L

7

Em circuitos CC o indutor funciona como um circuito fechado (fio condutor). Porm, em CA o capacitor exerce oposio variao de corrente, fenmeno denominado reatncia indutiva, designada por XL, medida em ohm [] e expressa por:

][2 = LfX L pi Para uma fonte senoidal a corrente no indutor expressa por:

)()( wtsenIti pL = A tenso no indutor ser:

)90()cos()()( oppLL wtsenIwLwtIwLdttdi

Ltv +===

O indutor atrasa a corrente em relao tenso, conforme pode ser visto pela ilustrao abaixo:

Figura 7 Tenso e corrente em um indutor.

Assim como num circuito puramente capacitivo, no indutivo no h dissipao de potncia ativa. Como se pode observar na figura a seguir, em um perodo da rede eltrica, o valor mdio da potncia no indutor nulo. O indutor armazena energia no primeiro semi-ciclo da rede devolvendo esta mesma energia no segundo.

Figura 8 Tenso, corrente e potncia em um indutor.

4.3. Impedncia

Os circuitos de corrente alternada raramente so apenas resistivos, indutivos ou capacitivos. Na maioria das vezes, os mesmos apresentam as duas reatncias, ou uma delas, combinada com a resistncia.

A resistncia total do circuito, neste caso, passa a ser denominada de impedncia, designada por Z e medida em ohm []. Neste caso a Lei de Ohm passa a ser expressa por:

IZV =

8

5. Tipos de potncia

Em virtude da possibilidade da associao dos elementos resistor, capacitor e indutor a potncia eltrica em um circuito pode ser de trs tipos:

Potncia ativa: a potncia dissipada por resistores, expressa em watt (W). ][2 WIRP =

Potncia reativa: potncia que retorna dos indutores e capacitores, expressa em volt ampere reativo (VAr). A equao similar, trocando somente a resistncia pela reatncia (capacitiva ou indutiva).

][2 VArIXQ =

A potncia reativa pode ser positiva, proveniente dos circuitos indutivos (X > 0), ou negativa, proveniente dos circuitos capacitivos (X < 0). Logo, a combinao de indutores e capacitores permite que um absorva a potncia reativa do outro.

Potncia aparente: a potncia ativa e reativa combinada, expressa em Volt Ampre (VA). O mdulo da potncia aparente a multiplicao dos mdulos da tenso e corrente:

][VAIVS =

5.1. Tringulo de Potncias

As trs potncias se relacionam pela seguinte expresso: 222 QPS += E pelo tringulo:

Figura 9 Tringulo de potncias.

O ngulo da potncia aparente ser o mesmo ngulo da impedncia. As potncias ativa e reativa podem ser calculadas a partir deste ngulo:

coscos == IVSP

senIVsenSQ ==

5.2. Fator de Potncia

Fator de potncia a frao da potncia aparente que realiza trabalho. uma grandeza adimensional, que atinge o valor de no mximo a unidade.

A potncia reativa faz circular corrente pelo circuito sem que haja consumo, aquecendo os alimentadores e sobrecarregando os circuitos.

O fator de potncia o cosseno do ngulo do tringulo de potncias, ou o ngulo de defasagem entre as forma de onda da tenso e da corrente:

SP

=cos

Percebe-se que um fator de potncia baixo sinal de um alto reativo, ou seja, a energia no est sendo devidamente aproveitada. Um fator de potncia unitrio significa que o circuito resistivo, ou seja, toda a potncia est sendo dissipada. Um fator de potncia indutivo dito atrasado, enquanto o capacitivo adiantado.

Nos grandes consumidores o fator de potncia uma medida importante, pois ele tarifado se atingir valores inferiores a 0,92.

9

EXERCCIOS

1. Apresente a funo matemtica das formas de onda abaixo.

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Ten

so

[V

]

Tempo [ms]

1.a

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Ten

so

[V

]

Tempo [ms]

1.b

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Ten

so

[V

]

Tempo [ms]

1.c

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Ten

so

[V

]

Tempo [ms]

1.d

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

Ten

so

[V

]

Tempo [ms]

1.e

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

Ten

so

[V

]

Tempo [ms]

1.f

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

Ten

so

[V

]

Tempo [ms]

1.g

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Ten

so

[V

]

Tempo [ms]

1.h

10

2. Apresente as formas de onda das seguintes funes matemticas: 2.1) )45(4)( owtSenwtV +=

0s 0.4ms 0.8ms 1.2ms 1.6ms 2.0ms

2.2) 1)90(2)( += owtSenwtV

0s 0.4ms 0.8ms 1.2ms 1.6ms 2.0ms

3. Para os circuitos abaixo determine: - A tenso de pico e eficaz da fonte; - A frequncia do sinal; - A corrente eficaz total do circuito; - A potncia total do circuito; - As correntes eficazes e de pico nos resistores.

3.1)

)16,314(50)( tSentV =

[V]

45R2

20R1

V(t)

3.2)

)377(100)( tSentV =

25R3

10R2

V(t)20R1

11

4. A tenso de pico de uma onda senoidal de 179,6 V. Calcule a tenso instantnea em 0o, 30, 45, 60, 90, 135, 180, 225 e 270. Qual o seu valor eficaz?

5. Um forno eltrico consome 7,5 A de uma fonte de alimentao CC de 120 V. Qual o valor mximo de uma tenso alternada capaz de produzir o mesmo efeito trmico na resistncia deste forno? Calcule a potncia deste forno em CA.

6. Para uma fonte de tenso expressa por )377(13,311)( tSentV =

[V] aplicada nos circuitos abaixo determine: - O valor da impedncia; - A corrente do circuito; - As potncias ativa, reativa e aparente.

V1

V2mH

V2mF

6.1 6.2 6.3

7. Para uma fonte de tenso expressa por )377(13,311)( tSentV =

[V] aplicada no circuito abaixo determine: - O tringulo de potncias; - A corrente eficaz fornecida pela fonte.

V1 2mH 2mF

8. Seja uma carga sob tenso de 220 V e com potncia ativa de 10 kW. Calcule a potncia aparente e a corrente quando seu fator de potncia for igual a 0,5 e a 1.

9. Em uma rede de 220 V um reator de uma luminria fluorescente tem fator de potncia de 0,92, onde circula um corrente de 0,72 A. Para este reator calcule as potncias ativa e aparente.

12

10. Um circuito RC srie ligado a rede de 220 V/60 Hz dissipa 1.200 W, com fator de potncia de 0,8. Determine: - A potncia aparente do circuito; - A corrente do circuito; - A potncia reativa do circuito - O valor da resistncia e da capacitncia

11. Um forno de induo de 15 kVA e fator de potncia de 0,85 opera 24 horas por dia ao longo de todo o ano. Considerando uma tarifa de R$ 0,35 /kWh calcule o custo da energia deste forno ao ms.

12. A potncia ativa de uma instalao eltrica de 2.500W. Se a tenso de alimentao de 220V eficaz calcular a potncia aparente e a corrente circulante quando: 12.1) FP = 0,95 12.2) FP = 0,6

13. Em um circuito esto conectadas as cargas listadas abaixo em paralelo. Calcule as potncias ativa, reativa e aparente totais e o fator de potncia deste circuito. - Um aquecedor resistivo de 1,5 kW; - Dez lmpadas fluorescentes totalizando 400 W, FP de 0,85 indutivo; - Um motor de induo de 1,5 cv (1 cv =0,736 kW), FP de 0,90 indutivo e rendimento de 92 % (a potncia nominal do motor relativa a entregue em seu eixo. Portanto, deve-se levar em conta o rendimento da mquina para a determinao da potncia de entrada do mesmo).

14. No circuito abaixo a leitura dos instrumentos V=220 V, I=55 A e P=10 kW. Calcular a potncia aparente e o fator de potncia do circuito.

15. Duas cargas esto ligadas em paralelo sujeitas a uma tenso de 660 VRMS. Ambas absorvem uma potncia mdia total de 52.800 W com um fator de potncia de 0,80 adiantado. Uma das cargas absorve 40 kVA, com fator de potncia atrasado de 0,96. Determine a corrente total do circuito. Qual o fator de potncia da outra carga?

Respostas: - 5 (169,7V; 900W) - 6 (1; 220A; 48,4kW; 48,4kVA; 0VAr) / (0,754; 291,78A; 0W; 64,19kVA; 64,19kVAr) / (1,32; 165,87A; 0W; 36,49kVA; 36,49kVAr) - 7 (48,4kW; 55,77kVA; 27,7kVAr; 253,48A) - 8 (90,91A; 20kVA - 45,45A; 10kVA) - 9 (145,73W; 158,4VA) - 10 (1,5kVA; 6,81A; 900VAr; 25,87; 136,68F) - 11 (R$3.213,00) - 12 (2.631,58VA; 11,96A - 4.166,67VA; 18,94A) - 13 (3.100W; 829,08VAr; 3.208,95VA; FP=0,97 ind.) - 14 (12,1kVA; FP=0,83 ind.) - 15 (100A; FP=0,272 cap.)

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SISTEMA TRIFSICO

6. Introduo ao Sistema Trifsico

Circuitos ou sistemas nas quais as fontes em corrente alternada operam na mesma frequncia, mas com fases diferentes so denominados polifsicos. O circuito trifsico um caso particular dos circuitos polifsicos que, por razes tcnicas e econmicas tornou-se padro em gerao, transmisso e distribuio.

Um sistema trifsico produzido em um gerador conforme o esquema simplificado da Figura 10. Os trs enrolamentos so estticos e tm o mesmo nmero de espiras, enquanto o rotor do gerador se movimenta. O campo magntico girante do rotor produzido a partir de uma fonte CC independente, ou da retificao da prpria tenso obtida do gerador (auto-excitao).

Figura 10 Gerador trifsico.

Nesta configurao de enrolamentos do gerador como houvesse trs fontes de tenso com mesma amplitude e frequncia, mas defasadas entre si de 120 eltricos. Usualmente as fases so indicadas por uma sequncia de letras, como ABC ou RST. A Figura 11 mostra a representao dos sinais de tenso de sada do gerador no tempo.

Figura 11 Tenses de sada do gerador trifsico.

As tenses induzidas nos enrolamentos do gerador tm as seguintes expresses:

][)240()(][)120()(][)()(

VwtSenVtV

VwtSenVtV

VwtSenVtV

o

pT

o

pS

pR

=

=

=

Um dos terminais das bobinas do gerador so conectados entre si, de forma que a diferena de potencial entre eles se neutraliza, formando o terminal neutro ou simplesmente neutro do circuito. Desta forma, um sistema trifsico passa a ser constitudo de quatro fios, sendo trs condutores fase e um neutro.

Os sistemas trifsicos possuem a flexibilidade de poder atender cargas monofsicas, bifsicas e trifsicas sem qualquer alterao em sua configurao. Na Figura 12 so apresentadas formas de ligaes das cargas.

14

Figura 11 Exemplo de ligaes de cargas no sistema trifsico.

As trs tenses possuem um ponto de neutro, o qual definido como referncia do sistema (0V). Este ponto aterrado no gerador.

Se uma carga monofsica for ligada entre o ponto de neutro e uma das fases ela estar sujeita a uma tenso de fase dada pela expresso j conhecida:

][)()( VwtSenVtV pF = Uma carga conectada entre duas fases ter uma maior diferena de potencial e sua expresso

matemtica ser: ][)30(3)( VwtSenVtV opL =

A diferena de potencial entre duas fases denominada tenso de linha. A Figura 12 ilustra o resultado da diferena entre as tenses instantneas entre as fases A e B.

Figura 12 Exemplo de ligaes de cargas no sistema trifsico.

No Brasil o sistema de distribuio secundrio realizado em dois nveis de tenso: 220 V ou 380V. Desta forma tm-se as seguintes relaes:

VVVVV

VVVVV

LFL

LFL

1273

220

2203

380

===

===

15

7. Ligaes Estrela e Tringulo

Tanto o gerador como a carga trifsica podem ser ligadas em estrela ou tringulo, desta forma existem quatro conexes possveis entre eles: Y-Y, Y-, -Y e -.

Ligao tringulo ou delta:

Figura 13 Ligao tringulo ou delta.

Neste tipo de conexo as tenses de linha so as mesmas das fases: FL VV =

J as correntes tm as seguintes relaes na ligao tringulo: FL II = 3

Ligao estrela ou Y:

Figura 14 Ligao estrela ou Y.

Na ligao estrela a relao entre as tenses dada por: FL VV = 3 E as correntes tm as mesmas amplitudes: FL II =

8. Sistema Trifsico Equilibrado

Um sistema trifsico pode ser equilibrado ou desequilibrado. Uma carga, em delta ou estrela, composta por impedncias iguais, um sistema equilibrado. Neste caso, um gerador tambm equilibrado ir fornecer um conjunto de trs correntes, no qual sero defasadas entre si em 120o.

][)240()(][)120()(][)()(

AwtSenItI

AwtSenItI

AwtSenItI

o

pT

o

pS

pR

=

=

=

Onde o ngulo da impedncia da carga. Em um sistema trifsico equilibrado a soma das trs correntes no tempo zero, logo a corrente

de neutro tambm zero. ][0)()()()( AtItItItI TSRN =++=

Sendo cargas monofsicas iguais conectadas ao sistema trifsico, a potncia ativa total ser a soma das potncias ativas nas fases:

][3 WPPPP TSR ++=

Como o sistema equilibrado tm-se: ][cos WIVPPP efefTSR ===

E a potncia ativa trifsica dada por: ][cos33 WIVP FF =

16

Se forem consideradas as tenses de linha a expresso da potncia torna-se:

][cos33 WIVP LL = Usando-se o mesmo raciocnio a potncia reativa e a aparente so dadas por:

][33][33

33

33

VAIVSouIVS

VArsenIVQousenIVQLLFF

LLFF

==

==

EXERCCIOS

1. Um aquecedor resistivo trifsico tem uma potncia de 9kW quando ligado em tringulo. Sabendo-se que a tenso de linha 380V, calcule a corrente de linha.

2. Um wattmetro ligado a uma carga trifsica, constituda somente de lmpadas incandescentes, indica 13,2kW. A carga equilibrada e ligada em tringulo com uma tenso de linha de 220V. Sabendo-se que em cada lmpada circula 0,5A, qual o nmero total de lmpadas da carga?

3. Um gerador trifsico produz uma tenso de 127V em cada fase. A carga equilibrada e as impedncias so de 10 com fator de potncia unitrio. O sistema encontra-se na configurao -, conforme mostra a figura. Determine a tenso e a corrente de linha.

4. Um gerador ligado em possui tenso de fase de 380V. Este gerador deve alimentar uma carga trifsica equilibrada ligada em Y com potncia de 3,5kVA. Determine a tenso e corrente de linha.

5. Um gerador ligado em Y de 220V de fase alimenta uma carga conectada em Y- 4 fios, equilibrada, formada por resistncias de 25. Determine a corrente e a tenso de linha e a potncia ativa total na carga.

6. Um motor trifsico pode ser modelado como uma carga em Y balanceada. Este motor tem uma potncia de entrada de 5,6kW quando a tenso de linha 380V e a corrente de linha 10A. Determine o fator de potncia deste motor.

7. Calcule a corrente de linha necessria para alimentar uma carga trifsica de 30kW com fator de potncia de 0,95 indutivo, sendo que esta est conectada a um circuito trifsico com tenso de linha de 440 V.