Notas de Eletromagnetismo I:Eletrosttica

Robenil S. Almeida

O problema fundamental que a teoria eletromagntica espera resolver, de incio, asituao em que vrias cargas eltricas q1, q2, q3, , chamadas de cargas fontes, exercemsobre uma carga de prova Q, sendo que as posies sejam dadas como funo do tempo.Nesse caso, como podemos determinar a fora total? Esse um dos primeiros problemasque aprenderemos novos artifcios de soluo, at que ento no eram abordados nos livrosde fsica bsica.Palavras-chaves: Cargas eltricas. Fora eletrosttica. Eletromagnetismo.

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O campo eltrico

0.0.1 Princpio da superposioO princpio da superposio diz que a

interao entre duas cargas quaisquer no modificada pela presena de outras.

Exemplo 1. Para determinar a fora totalem uma carga Q, devemos calcular a fora~F1 exercida pela carga q1, ignorando todas asoutras. Em seguida, calculamos a fora ~F2,devido apenas a q2 e assim sucessivamente.A fora ~F total :

~F = ~F1 + ~F2 + ~F3 +

Assim, se pudermos encontrar a fora emQ devida a uma nica carga q, teremos, emprincpio, terminado (o restante apenasuma questo de repetir a mesma operaovrias vezes e depois somar tudo).

0.0.2 Lei de CoulombA fora incidente em uma carga de prova

Q devido a uma nica carga pontual q queest em repouso a uma distncia r dadapela lei de Coulomb:

~F = 14pi0qQ

r2r (1)

A constante 0 chamada de permissi-vidade do vcuo. Em unidades SI, coma fora dada em newtons (N), distncia emmetros (m) e carga em coulombs (C), temosque

0 = 8, 85 1012 C2

N.m2

E ~r o vetor separao

~r = r r (2)

Figura 1 Vetor separao

A fora aponta ao longo da linha quevai de q at Q; ela ser repulsiva se q e Qtiverem o mesmo sinal, e atrativa se seussinais forem opostos.

0.0.3 O campo eltrico

Se tivermos vrias cargas pontuais q1, q2, , qn,s distncias r1, r2, , rn de Q, a fora totalsobre Q ser

~F = ~F1 + ~F2 +

= 14pi0

(q1Q

r21r1 +

q2Q

r22r2 +

)Colocando Q em evidncia, chegamos

~F = Q4pi0

(q1r1r21

+ q2r2r22

+ )

(3)

ou~F = Q~E (4)

onde ~E o campo eltrico das cargas fontes:

~E(~r) = 14pi0

ni=1

qir2ir (5)

De maneira geral, ~E a fora por unidadede carga que seria exercida sobre uma cargade prova Q.

0.0.3.1 Distribuies contnuas de carga

Se a carga for distribuda continuamentesobre uma determinada regio, o somatrioda Equation 5 torna-se uma integral

~E(~r) = 14pi0

1r2rdq (6)

Se a carga se espalhar ao longo de umlinha, definimos ela em termos da densidadede carga por unidade de comprimento ,ento escrevemos dq = dl, onde dl umelemento de comprimento ao longo da linha.

Se a carga preencher um volume, comcarga por unidade de volume , ento dq =d~ (onde o elemento de volume):

dq dl da d

Ento, o campo eltrico de uma distri-buio linear de carga

~E(~r) = 14pi0

(~r)r2

rdl (7)

No caso de uma distribuio em superf-cie:

~E(~r) = 14pi0

(~r)r2

rda (8)

e para o caso de uma distribuio volum-trica, temos

~E(~r) = 14pi0

(~r)r2

rd (9)

0.0.4 Divergente e rotacional de cam-pos eletrostticos

0.0.4.1 Linhas de campo, fluxo e lei de Gauus

O campo eltrico de uma carga pontualq localizada na origem

~E(~r) = 14pi0q

r2r (10)

Figura 2 Campo eltrico de uma cargapontual na origem

A magnitude do campo indicada peladensidade das linhas de campo: ele maisforte perto do centro, onde as linhas decampo esto mais prximas umas das outrasenfraquecendo-se com a distncia, quandoelas ficam mais separadas.

O fluxo se ~E atravs de uma superfcieS

E =S

~E d~a (11)

onde a Equation 11 representa o nmero delinhas de campo"que passam atravs de S.

~E d~a proporcional ao nmero de linhasque passam atravs da rea infinitesimal d~a.Isto sugere que o fluxo atravs de qualquersuperfcie fechada uma medida da cargatotal no seu interior, porque as linhas decampo que se originam em uma carga posi-tiva devem passam atravs da superfcie outerminar em uma carga negativa no interiorda superfcie.

Por outro lado, uma carga externa su-perfcie no contribuir para o fluxo total,j que suas linhas de campo entram por umlado e saem pelo outro. Essa a essncia dalei de Gauss.

No caso de uma carga pontual q na ori-

gem, o fluxo de ~E atravs de uma esfera deraio r

E =

~Ed~a = 1

4pi0

(q

r2r

)(r2 senddr)

= q4pi0

Referncias

GRIFFTHS, D. J. Introduction toelectrodynamics. 3o. ed. New Jersey:Prentice-Hall, 1999.

Princpio da superposioLei de CoulombO campo eltricoDistribuies contnuas de carga

Divergente e rotacional de campos eletrostticosLinhas de campo, fluxo e lei de Gauus

Referncias