elemntarna matematika

ELEMENTARNA MATEMATIKA Iby B.B.S.

Elementarna matematika I 2

0. OSNOVNI POJMI IN DEJSTVA

Krožnica K s središčem S in radijem r je množica točk, ki je od S oddaljena za r.

Daljica AB je množica točk, ki ležijo na premici skozi A in B in sicer med točkama A in B.

C leži med A in B natanko tedaj, ko veljad(B,C) + d(C,A) = d(B,A)

Nosilka daljice ( n(AB) ) je premica skozi A in B.

Poltraka z izhodiščem v 0 sta p1U{0} in p2U{0} pri čemer je p premica v ravnini, 0 pa točka na njej in velja:

p-{0} =p1Up2

Kot je del ravnine, ki ga omejujeta dva poltraka (kraka kota) s skupnim izhodiščem (vrh kota). Merimo ga v stopinjah.

Naj bodo A,B,C tri nekolinearne točke v ravnini . Del ravnine, ki ga omejujejo daljice AB, BC, AC imenujemo trikotnik.


0.1. Terminologija v zvezi s koti

Sosednja kota dva kota s skupnim vrhom, katerih presek je skupen krak.

Iztegnjeni kot

kot, katerega kraka tvorita premico.

Sokota

sta sosednja kota, katerih unija je iztegnjeni kot.Sokota merita skupaj 180°. (suplementarna)

Sovršna kota

dva kota s skupnim vrhom, pri katerem dva po dva kraka tvorita premico. Sovršna kota sta enaka.

Zunanji kot trikotnika se imenuje sokot notranjega kota.


Skladnost trikotnikov

Dva trikotnika ABC in A'B'C' sta skladna, če se ujemata v vseh treh stranicah in vseh treh kotih.

Izreki o skladnosti trikotnikov:

SSS ... če se ujemata v vseh treh stranicah sta skladnaSKS ... če se ujemata v dveh stranicah in kotu vmes, sta skladnaKSK ... če se ujemata v eni stranici in priležnih kotih sta skladnaSSKv ... če se ujemata v dveh stranicah in kotu nasproti večje stranice, sta skladna.

Trditev: Zunanji kot trikotnika je vedno večji od nepriležnega notranjega kota.

Trditev:

Skozi točki A,B p načrtamo premici q in r tako, da sta kota enaka. Potem sta premici vzporedni.

Trditev:

Naj bosta p in q vzporednici in r premica, ki ju seka. Potem so vsi koti na sliki enaki.

Koti v trikotniku


Trditev: Vsota notranjih kotov v trikotniku je 180°.

Posledica: Zunanji kot trikotnika je enak vsoti nepriležnih dveh notranjih kotov.

Središčni in obodni kot

Definicija: Kot () z vrhom v S, ki iz krožnice izreže lok l , se imenuje središčni kot nad lokom l .Definicija: Kot () z vrhom na krožnici K, ki iz krožnice izreže lok l , se imenuje obodni kot nad lokom l .Izrek: Naj bo središčni in obodni kot nad istim lokom. Potem velja:

Posledica1: Vsi obodni koti nad istim lokom so enaki.

(ker so enaki ½ središčnega kota, ki je en sam!)

Posledica2: Kot v polkrogu meri 90°.


(ker je obodni kot nad AB, središčni kota nad AB pa meri 180°)

Definicija: Štirikotnik je tetivni, če njegova oglišča ležijo na neki krožnici.

Trditev: Štirikotnik je tetivni natanko tedaj, ko je:


1. ZNAMENITE TOČKE IN DALJICE TRIKOTNIKA

1.1. Središče očrtanega kroga in simetrala daljice

Definicija: Simetrala daljice AB je premica, ki poteka skozi razpolovišče dalice AB in je nanjo pravokotna.

Trditev: Točka P leži na simetrali daljice natanko tedaj, ko |AP| = |BP|.

Izrek: Simetrale stranic trikotnika ABC se sekajo v skupni točki O. Ta točka je enako oddaljena od vseh treh oglišč trikotnika in se imenuje središče trikotniku očrtanega kroga. Radij tega kroga označujemo z R.

Sinusni izrek: Naj bo ABC trikotnik s središčem očrtanega kroga O in radijem R. Tedaj velja:

Trditev:

Definicija: Trikotnika ABC in A'B'C' sta podobna, če se ujemata v vseh treh kotih.

Izrek: Naj bosta trikotnika ABC in A'B'C' podobna. Naj bodo njune stranice a, b, c oz. a', b', c', pri čemer, če v enem trikotniku nasproti nekega kota leži stranica x, v drugem trikotniku nasproti istega leži x'. Tedaj velja:


1.2. Cevov izrek

Definicija: Trikotnik ABC je orientiran pozitivno, če si na očrtani krožnici točke A,B,C sledijo v smeri, obratni smeri urinega kazalca. Sicer je orientiran negativno.

Definicija: Orientirana ploščina trikotnika ABC

Opazimo: (ABC) = - (ACB)(BCA) = (ABC)

Definicija: Orientirana dolžina daljiceNaj bo AB neka dlajica in n(AB) njena nosilka.

Na premici izberemo eno od dveh možnih smeri.

Opazimo: (AB) = - (BA)

Lema: Naj bodo a, b, c , d R, b 0, d 0, b d. Če velja , potem velja tudi:


Izrek: ( Giovanni Ceevo,1678 )Dan je trikotnik ABC. Na stranicah BC, CA in AB trikotnika izberemo točke X, Y, Z. Daljice AX, BY in CZ se sekajo v skupni točki (=so konkurentne) natanko tedaj, ko velja:

Posledica1: Težiščnice se sekajo v skupni točki, ki jo imenujemo težišče trikotnika.

Posledica2: Simetrale kotov se sekajo v skupni točki.

Posledica3: Višine v trikotniku se sekajo v skupni točki, ki jo imenujemo višinska točka (H).

Definicija: Daljica (primer:AX), ki povezuje oglišče trikotnika z eno od točk na nasprotni stranici se imenuje Cevova daljica. Daljica (primer:AX'), ki povezuje oglišče trikotnika z eno od točk na nosilki nasprotne stranice, pa se imenuje posplošena Cevova daljica.


Posplošeni Cevov izrek: Nosilke posplošenih Cevovih daljic AX, BY, CZ so konkurentne (se sekajo v skupni točki) natanko tedaj, ko velja:

1.3. Stewartov izrek

Kosinusni izrek: a2 = b2 + c2 – 2bccos

Izrek: (Stewart: 1746 postavi vprašanje, 1751 Simson)Če je AX Cevova daljica in je |AX|=p, |BX|=m in |CX|=n, potem velja:

a(p2 + mn) = b2m + c2n

1.4. Težišče in težiščnice

Trditev: Težiščnice razdelijo trikotnik na 6 ploščinsko enakih trikotnikov.

Trditev: Težišče G razdeli težiščnice v razmerju 2:1. Natančneje:|CG|:|GC'|=2:1 , |BG|:|GB'|=2:1 , |AG|:|GA'|=2:1.

Definicija: Razpolovišča stranic trikotnika ABC tvorijo nov trikotnik A'B'C', ki ga imenujemo središčni trikotnik trikotnika ABC.

Trditev: Stranice središčnega trikotnika so vzporedne stranicam prvotnega trikotnika.

Trditev: Dolžina stranic središčnega trikotnika je ena polovica dolžin stranic prvotnega trikotnika.


Lema: Razpolovišče hipotenuze v pravokotnem trikotniku je središče očrtanega kroga tega trikotnika.

1.5. Včrtani krog in pričrtani krog

d(T,p) = min { d(T,P) , P p}

Trditev: Naj bo q pravokotnica iz T na premico p in naj ta seka p v točki Q. Tedaj je:d(T,p) = d(T,Q)

(Q je med vsemi točkami premice p točki Q najbližja)

Definicija: Dana je krožnica K. Premica, ki se krožnice dotika v eni sami točki A, se imenuje tangenta na K v točki A.

Trditev: Naj bo p tangenta na krožnico K s središčem S v točki A. Potem je:n(AS) p.

Izrek: Premici p in q se sekata v točki S. Točka T je enako oddaljena od obeh premic natanko tedaj, ko leži na simetrali enega od kotov na katere premici razdelita ravnino.

Definicija: Simetrale notranjih kotov trikotnika se sekajo v skupni točki I. Ta točka je enako oddaljena od vseh treh stranic trikotnika, zato jo imenujemo središče včrtanega kroga. Radij tega kroga označujemo z r.

Izrek: Naj bodo X, Y, Z dotikališča včrtane krožnice trikotnika s stranicoami a, b, c. Tedaj velja:


|BX| = |BZ| = s – b|CX| = |CY| = s – c |AY| = |AZ| = s – a

pri čemer je

Trditev: Ploščina trikotnika je enaka .

1.6. Višinska točka in nožiščni trikotnik

Definicija: Nožišča višin trikotnika (tj. D, E, F) določajo nek novi trikotnik, ki ga imenujemo nožiščni trikotnik trikotnika ABC.

1.7. Središčni trikotnik in Eulerjeva premica

Definicija: Trikotnik A'B'C' na sliki je središčni trikotnik.G ... težišče trikotnika ABCG' ... težišče trikotnika A'B'C'

Izrek : G = G'.

Izrek : H' = O. (H' – višinska točka A'B'C' , O – središče očrtanega kroga ABC)

Lema: Naj bosta ABC in TUV podobna in naj velja . Tedaj velja:

(H – višinska točka ABC , H' – višinska točka TUV)

Izrek: V poljubnem trikotniku ABC ležijo težišče G, višinska točka H in središče očrtane krožnice O na isti premici, ki jo imenujemo Eulerjeva premica trikotnika ABC.

Posledica: Eulerjeva premica ABC sovpada z Eulerjevo premico središčnega trikotnika.


1.8. Krožnica devetih točk

Izrek: Naj bodo v ABC A', B', C' razpolovišča stranic,D, E, F nožišča višin,K, L, M razpolovišča daljic CH, AH, BH.

Točke A', B', C', D, E, F, K, L, M ležijo na isti krožnici, ki jo imenujemo krožnica devetih točk.

(Opazimo: očrtana krožnica središčnega trikotnika je torej tudi očrtana krožnica nožiščnega trikotnika)

1.9. Nožiščni trikotnik točke P

Definicija: Dan je trikotnik ABC in poljubna točka P v ravnini. Nožišča pravokotnic iz točke P na nosilke stranic a, b, c označimo z A1, B1, C1. Trikotnik A1B1C1 imenujemo nožiščni trikotnik trikotnika ABC glede na točko P.

(nožiščni trikotnik = nožiščni trikotnik glede na točko H)(središčni trikotnik = nožiščni trikotnik glede na točko O)


Izrek: Stranice nožiščnega trikotnika glede na točko P merijo:

Izrek: (Neuberg 1892)Tretji nožiščni trikotnik trikotnika ABC glede na točko P je podoben prvotnemu trikotniku ABC.

2. REZULTATI V ZVEZI Z KROŽNICO

2.1. Potenca točke glede na krožnico

Trditev: Naj bo K krožnisa in točka T v ravnini. Premica skozi T seka krožnico K v točkah P in Q. Produkt |PT||QT| je neodvisen od izbire premice p.Če na p izberemo orientacijo dobimo produkt (PT) (QT). To število je neodvisno od izbire premice p, odvisno je le od krožnice K in točke T. Število (PT) (QT) pa imenujemo potenca točke T glede na krožnico K.

Izrek: Potenca točke T glede na krožnico K je enaka: (S – središče, R – radij krožnice) oz.

je enaka kvadratu razdalje od točke T do dotikališča tangente s krožnico K (v primeru, da T leži izven kroga).

Eulerjev izrek:Naj bo O središče očrtane krožnice in I središče včrtane krožnice ABC. Tedaj velja, da je: .

Posledica: V poljubnem trikotniku velja, da je R 2r.


2.2. Potenčna premica dveh krožnic

Definicija: Naj bosta K1 in K2 dve krožnici. Potenciala teh dveh krožnic je množica točk P, ki imajo enako potenco glede na obe krožnici:

{P; potenca P glede na K1 = potenca P glede na K2}.

Trditev: Naj bo K krožnica z enačbo (x-a)2+(y-b)2=r2 oz. x2-2ax+y2-2by+c=0 in naj bo T točka (x0,y0). Tedaj je potenca točke T glede na krožnico K enaka:

(x0-a)2+(y0-b)2 - r2 oz. x02-2ax0+y0

2-2by0+c

Izrek: Naj bosta K1 in K2 poljubni krožnici:a) K1 = K2 potenciala je celotna ravninab) K1 K2 , krožnici koncentrični potenciala =c) K1 in K2 nista koncentrični, je potenciala teh dveh krožnic neka premica, ki

je pravokotna na nosilko središč krožnic K1 in K2. To premico imenujemo potenčna premica dveh krožnic.

Izrek: Naj bodo K1, K2 in K3 tri nekolinearne krožnice z nekolinearnimi središči S1, S2

in S3. Potem obstaja natanko ena točka za katero velja, da je njena potenca glede na vse tri krožnice enaka. Ta točka se imenuje potenčno središče treh krožnic.

2.3. Višinska točka in očrtana krožnica

Trditev:

Trditev: OCH = (-)


Trditev: Višina na c seka očrtano krožnico v točki D1 in stranico c v točki D. Tedaj velja

|HD|=|DD1|Podobno za višine na preostale stranice.

Trditev: Trikotniki ABC, ABH, BCH in CAH imajo isti radij očrtane krožnice.

Izrek: Naj bo H višinska točka trikotnika ABC. Tedaj velja :|AH||HE|=|BH||HF|=|CH||HD| , kjer so D, E, F nožišča višin na

stranice c, a, b.

Trditev: Naj bosta K1 in K2 krožnici, katerih premera sta posplošeni Cevovi daljici ABC. Potem potenčna premica teh dveh krožnic poteka skozi višinsko točko H trikotnika ABC.

Posledica: Naj bodo K1 , K2 in K3 tri krožnice z nekolinearnimi središči katerih premeri so posplošene Cevove daljice trikotnika ABC. Potem je potenčno središče teh treh krožnic višinska točka H trikotnika ABC.

Posledica: Naj bo p premica, ki seka nosilke stranic BC, AC in BA v točkah X, Y, Z. Tedaj velja:

a) višinske točke trikotnikov ABC, AZY, BZK, CYX so kolinearne.b) Naj bodo KX , KY in KZ krožnice s premeri AX, BY in CZ. Središča teh treh

krožnic so kolinearna.


2.4. Simsonove premice

Izrek: Če točka P leži na očrtani krožnici trikotnika ABC, je nožiščni trikotnik točke P degeneriran (nožišča pravokotnic iz točke P na nosilke stranic so kolinearne). Premica, na kateri ta nožišča ležijo, imenujemo Simsonova premica.

2.5. Ptolomejev izrek

Izrek: V tetivnem štirikotniku je vsota produktov nasprotnih stranic enaka produktu diagonal:

ac + bd = efV poljubnem konveksnem štirikotniku pa velja:

ac + bd ef. Pri čemer enačaj velja natanko tedaj, ko je štirikotnik tetivni.

2.6. Simsonove premice – nadaljevanje

Trditev: PC1A1=PUC

Lema: Naj bo K krožnica in AB, CD dve vzporedni tetivi. Tedaj je AOC = BOD.


Izrek: Naj bosta P in P' dve točki na očrtani krožnici ABC. Potem je kot med pripadajočima Simsonovima premicama enak ½ POP'.

Izrek: Simsonova premica točke P na očrtani krožnici razpolavlja daljico PH, kjer je H višinska točka ABC.

2.7. Morleyev izrek

Frank Morley (1860-1937)izrek 1904objavljen 1924

Definicija: Poltraka, ki kot razdelita na tri enake dele se imenujeta trisektorja kota.


Morleyev izrek: Presečišča priležnih trisektorjev trikotnika ABC tvorijo enakostranični trikotnik.

Lema: Denimo, da za točke Y', Z, Y, Z' velja naslednje:|Y'Z|=|ZY|=|YZ'|YZY' = Z'YZ = 180° - 2 > 60°

Potem velja:a) Točke Y', Z, Y, Z' ležijo na neki krožnici Kb) Če je A neka točka v polravnini, ki jo omejuje n(Y'Z') in ne vsebuje točk Z in Y

in če velja Y'AZ' = 3, potem tudi točka A leži na krožnici K.

Lema: Y', Z0, Y0, Z' ležijo na neki krožnici. Če velja Y'CZ' = 3 sledi, da na krožnici leži tudi točka C.


3. ŠTIRIKOTNIKI IN ŠTIRIOKLI

3.1. Uvodni pojmi

Definicija: Štirikotnik je del ravnine, ki ga omejujejo 4 daljice.Splošneje: n – kotnik je del ravnine, ki ga omejuje n daljic

Definicija: n – cikel je ciklično zaporedje n – točk A1, A2, … , An, od katerih nobene tri zaporedne niso kolinearne, skupaj z daljicami, ki povezujejo dve zaporedni točki v zaporedju.

Vrste 4-ciklov:a) konveksni (izbočeni) 4-cikli

b) konkavni (vbočeni) 4-cikli

c) prekrižani 4-cikel

Štiriciklu ABCD (=BCDA) priredimo realno število:(ABCD) = (ABC) + (ACD) (prekrižamo 4. in 2. točko)


3.2. Varignonov izrek

Izrek: (Pierre Varignon, 1731)Razpolovišča P, Q, R, S stranic konveksnega štirikotnika so oglišča paralelograma.Ploščina tega paralelograma je enaka polovici ploščine prvotnega štirikotnika.

Posplošitev izreka: Naj bo ABCD poljuben 4-cikel. Razpolovišča zaporednih stranic so oglišča paralelograma PQRS, za katerega velja

(PQRS) = ½ (ABCD).

Izrek: Daljici, ki povezujeta razpolovišči nasprotnih stranic konveksnega štirikotnika in daljica, ki povezuje razpolovišča njegovih diagonal, potekajo skozi skupno točko (ki je razpolovišče vseh the daljic PR, SQ, XY).

Trditev: V konveksnem štirikotniku ena diagonala razpolavlja drugo diagonalo rezdeli štirikotnik na dva ploščinsko enaka dela.

Trditev: V konkavnem štirikotniku notranja diagonala razpolavlja zunanjo diagonalo razdeli štirikotnik na dva ploščinsko enaka dela.


Izrek: Naj bo ABCD konveksen štirikotnik za katerega se nosilki daljic BC in AD sekata v točki W. Naj bosta X in Y razpolovišča diagonal AC in BD. Tedaj velja:

(WXY) = ¼ (ABCD).

3.3. Brahmaguptova in Heronova formula

Izrek: (Brahmaugupta, 7. stol)Naj bo ABCD tetivni štirikotnik s stranicami ABCD in naj bo

. Tedaj je ploščina štirikotnika ABCD enaka

Heronova formula: Ploščina trikotnika: limita tega, ko d0


3.4. Napoleonovi trikotniki

Izrek: Nad stranicami ABC z zunanje strani konstruiramo trikotnike APB, BQC in ACR. Denimo, da je vsota kotov

P + Q + R = 180° , potem se očrtane krožnice trikotnikovAPB, CQB in ACR sekajo v skupni točki.

Naj bodo O1, O2 in O3 središča očrtanih krožnic teh treh trikotnikov. V O1O2O3 velja: O1 = P, O2 = Q, O3 = R

Posledica1: Naj bo PQR trikotnik. Na vsaki od stranic izberemo po eno točko A, B, C. Potem se očrtane krožnice PBA, BQC in RAC sekajo v skupni točki.


Posledica2: Nad stranicami ABC z zunanje strani konstruiramo tri podobne trikotnike, tako da se vsak od kotov enkrat pojavi na zunanji strani. Potem se očrtane krožnice trikotnikov sekajo v skupni točki, O1O2O3 pa je podoben tem trem.

Posledica3: Nad stranicami ABC z zunanje strani konstruiramo enakostranične trikotnike. Očrtane krožnice APB, BQC in ACR se sekajo v skupni točki. Trikotnik z oglišči O1O2O3 imenujemo zunanji Napoleonov trikotnik trikotnika ABC. Zunanji Napoleonov trikotnik je enakostraničen.


Definicija: Nad stranicami ABC z notranje strani narišemo enakostranične trikotnike. Središča njihovih očrtanih krožnic (N1, N2, N3) tvorijo notranji Napoleonov trikotnik.

Izrek: Notranji Napoleonov trikotnik je enakostraničen. Razlika ploščin zunanjega in notranjega Napoleonovega trikotnika je ploščina prvotnega trikotnika ABC.

4. KOLINEARNOST

4.1. Menelajev izrek

Izrek: (Menelaj, 100 l.)Naj bodo X, Y, Z točke na nosilkah stranic BC, AC in AB trikotnika ABC. Točke X, Y, Z so kolinearne natanko tedaj, ko velja:

Ekvivalentno:


4.2. Paposov izrek

Izrek: Naj bodo A, C, E kolinearne točke in B, D, F kolinearne točke. Denimo, da se nosilke naslednjih parov daljic sekajo:

ABDE = LBCEF = MCDFA = N.

Potem so točke L, M, N kolinearne.

Paposov izrek: (Papos, Pappus (l. 300), Aleksandrija)Naj bodo v 6-ciklu ABCDEF izmenična oglišča kolinearna. Denimo, da se nosilke nasprotnih stranic sekajo v točkah K, L, M. Potem so te tri točke kolinearne.

4.3. Pascalov izrek

Izrek: Če oglišča 6 cikla ABCDEF ležijo na krožnici in se nosilke nasprotnih stranic sekajo, potem so presečišča kolinearna. Premica na kateri ležijo, se imenuje Pascalova premica 6-cikla.


4.4. Perspektivni trikotniki in Deskarguesov izrek

Definicija: Naj bosta A1, ..., An in A1', ..., An' dva n-cikla. Med stranicami in oglišči teh dveh n-ciklov obstaja naravna bijektivna korespondenca. Če sta dve oglišči oz. dani stranici v tem korespondentnem odnosu potem ju imenujemo prirejeni ogliščči oz. prirejeni stranici.

Definicija: Dana n-cikla A1, ..., An in A1', ..., An' sta perspektivna iz točke O, če vse nosilke parov oglišč potekajo skozi točko O.

Definicija: Dva n-cikla A1, ..., An in A1', ..., An' sta perspektivna s premico p, če so presečišča nosilk prirejenih stranic kolineatrna (ležijo na premici p).

Izrek: (Descargues, 1591 – 1661)Če sta dva trikotnika perspektivna iz točke in se pari nosilk sekajo, potem so ta tri presečišča kolinearna.

Izrek: Če sta dva trikotnika perspektivna s premico in se dva para nosilk prirejenih oglišč sekata v točki O, potem skozi O poteka tudi nosilka tretjega para prirejenih oglišč.


5. TRANSFORMACIJE

5.1. Izometrije

Definicija: Transformacija iz je izometrija, če za x, y veljad(x, y) = d((x), (y))

(preslikava je izometrija, če ohranja razdaljo elementov {zrcaljenje, premik, rotacija})

Lema: Naj bodo A, B, C .a) Točka B leži na daljici AC d(A, C) = d(A, B) + d(B, C)b) Točke A, B, C so kolinearne ena od razdalj d(A, B), d(A, C), d(B,C) enaka

vsoti preostalih dvehc) Naj bo : izometrija. Točke (A), (B), (C) so kolinearne A, B, C so

kolinearne

Izrek: Izometrija : preslika premico p v neko premico.

Izrek: Izometrija : nam krožnico K(A, r) preslika v krožnico K((A), r).

5.2. Translacija

Definicija: Preslikava : je translacija, če obstaja tak vektor , da za neko točko X velja:

Oznaka:

Lastnosti:a) je izometija.

b) Translacija preslika premico v vzporedno premico. (ker je izometrija, že vemo, da jo preslika v premico)

c) Translacije tvorijo podgrupo grupe vseh transformacij.


5.3. Rotacija

Definicija: Rotacija (A, ) je transformacija ravnine, ki poljubno točko X zavrti za kot okrog točke A.

Lastnosti:a) Rotacija je izometrija.b) Rotacija (A, ) in 180° preslika premico p v premico q, ki seka premico p

pod kotom .

5.4. Zrcaljenje preko točke

Definicija: Rotacija (A, 180°) rečemo tudi zrcaljenje preko točke A in označimo ZA.

Lastnosti: a) ZA je izometrija (kot vsaka rotacija).b) ZA ohranja premice skoz A.c) ZA preslika premice v vzporedne premice.d) Orientirane premice se preslikajo v vzporedne orientirane premice z nasprotno

orientacijo.

Trditev: Naj bo A, B . Kompozitum ZA ○ ZB je translacija.


5.5. Zrcaljenje preko premice

Definicija: Zp : X X'X' leži na pravokotnici na p skozi točko X in o tako, da p razpolavlja XX'.

Lastnosti:a) Zp je izometrija

|XY| = |X'Y'|

5.6. Klasifikacija izometrij ravnine

Izrek: Naj bosta in dve izometriji, ki enako preslikata tri nekolinearne točke A, B, C. Potem = .

Izrek: Naj bodo A, B, A', B' . Obstajata največ dve izometriji, ki preslikata dve točki A A'

B B'.

Lema: Naj bosta A, B različni točki in p = n(AB). Tedaj velja:

(Drsno zrcaljenje : prezrcalimo in še malo zdrsnemo za vektor v smeri premica)

Izrek: (Klasifikacija izometrij ravnine)Naj bo izometrija ravnine. Potem je bodisi:

a) identiteta (orientacija ostane enaka)b) translacija (orientacija ostane enaka)c) rotacija (orientacija ostane enaka)d) zrcaljenje preko premice (orientacija se spremeni)e) drsno zrcaljenje (orientacija se spremeni)


5.7. Raztegi

Definicija: Naj bo : transformacija, za katero obstaja konstanta k, da zax, y velja |(x) (y)| = k|xy|.

Tako preslikavo imenujemo podobnostna transformacija.

Definicija: Naj bo P in k 0, k 1. Razteg P,k s središčm P in koeficientom k je transformacija, ki točko P preslika samo v sebe, točko X pa preslika v neko točko X' n(PX), tako da je:

(PX') = k(PX)

Komentar: k > 0; P,-k = ZP P,k = P,k ZP

Trditev:

Posledica: Razteg je bijekcija in je njen inverz.

Lema: Če se trikotnika ABC in A'B'C' ujemata v enem kotu in razmerju prilžnih straniv, potem sta podobna.

Izrek: Naj bo poljuben razteg, X, Y in X', Y' njuni sliki. Tedaj velja:a) |X'Y'| =|k||XY|b) n(XY) || n(X'Y')

Posledica: Razteg preslika premico v vzporedno premico.

Trditev: Razteg preslika krožnico K(S, R) v krožnico K(S, |k|R).


6. INVERZIJA

6.1. Definicija in lastnosti

Definicija: Naj bo K krožnica s središčem S in radijem R. Inverzija glede na krožnico K je preslikava I : - {S} , ki točki X priredi točko X' na poltraku SX, tako da velja:

|SX||SX'| = R2

Lastnosti:a) Če je X K, potem je X' = X.b) Inverzija je involucija: I2 = id

(če je inv.: X' = I(X) I(X') = I2(X) = X)c) Če je X znotraj krožnice K, je X' zunaj, in obratno.d) Nobena točka se z inverzijo ne preslika v Se) I : - {S} - {S} je bijekcija.

Geometrijska konstrukcija točke X':a) X je zunaj

- iz X potegnemo obe tangenti na K, dotikališči sta P in Q- n(PQ) n(SX) = {Y}- Y = X'

b) X je znotraj (postopamo obratno)- pravokotnica na n(SX) v X = p- p K = {P, Q}- v P potegnemo tangento tP , v Q tangento tQ

- ti dve tangenti se sekata v X'


Trditev: Naj bo I inverzija preko krožnice K s središčem S in radijem R, X, Y - {S} in X', Y' njuni sliki. Tedaj sta SXY in SY'X' podobna.

Izrek: Naj bosta X' in Y' sliki točk X in Y za inverzijo glede na K(S, R). Tedaj velja:

.

Nadaljnje lastnostif) Inverzija glede na K s središčem S in radijem R preslika krožnico L s

središčem S in radijem r v krožnico s središčem S in radijem .

g) Naj bo p neka premica skozi točko S. Inverzija I glede na krožnico K s središčem S in radijem R preslika p – {S} samo vase.

h) Naj bo p premica v , ki ne poteka skozi S. Tedaj se premica p preslika na neko krožnico, ki poteka skozi S

i) Krožnica k, ki poteka skozi S, se nam z inverzijo preslika v premico, ki ne poteka skozi S.

j) Dve krožnici K1 in K2, ki se dotikata v S se z inverzijo I preslikata v vzporedni premici

k) Dve krožnici K1 in K2, ki se sekata v točkah S in A se z inverzijo preslikata v dve premici, ki se sekata v točki A

Izrek: Krožnica k(, r), ki ne poteka skozi S, se z inverzijo glede na krožnico K(S, R) preslika v krožnico, ki ne poteka skozi S.


6.2. Inverzija in koti

Definicija: Kot med dvema krožnicama K1 in K2 v presečišču A je kot med njunima tangentama v točki A.

Trditev: Če se krožnici sekata v dveh točkah, sta kota v obeh točkah enaka.

Izrek: Inverzija ohranja kot med krožnicami inverzne ravnine.

Definicija: Krožnici K1 in K2 sta ortogonalni, če se sekata pod pravim kotom.

Lema: Krožnici K1 in K2 sta ortogonalni natanko tedaj, ko tangenta t2 na K2 v presečišču krožnic poteka skozi središče S1 na krožnici K1.


Izrek: Naj bosta K1 in K2 dve krožnici brez skupnih točk. Potem obstaja inverzija, ki te dve krožnici preslika v koncentrični krožnici.

Apolonijev problem:Iščemo krožnice, ki se dotikajo vseh treh krožnic.

elemntarna matematika

Documents