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2001-2015: One book to rule them (almost) all!
Redactor: Vincent ISOZ isoz@sciences.ch
Revision Date Author(s) Description
3.1 2014-10-01 VI French 3rd Edition translation into English (only 5,000 first pages freely available!). Translation progress ∼ 60%
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Contents
List of Figures 3018
List of Tables 3038
1 Warnings 1 1.1 Impressum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Use of content . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 How to use this book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2.1 Companion eBooks, Forum and Quiz/Flashcards . . . . . . . 3 1.1.3 Data Protection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Use of data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.5 Data transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.6 Agreement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 License . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Preamble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Applicability and Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Verbatim Copying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4 Copying in Quantity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.5 Modifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.6 Combining Documents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.7 Collections of Documents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.8 Aggregation with independant Works . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.9 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.10 Termination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.11 Future revisions of this License . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Only in non-free release . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Acknowledgements 20
3.2.1 Descartes’ Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2.2 Archimedean Oath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3.1 On Sciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3.2 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Science and Faith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Arithmetic 42 4.1 Proof Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.0.1 Foundations Crisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.1 Paradoxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
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4.1.2.1 Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.1.2.2 Connectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.1.2.3 Decision procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.2.3.1 Non-axiomatic procedural decisions . . . . . . . . . 62 4.1.2.3.2 Axiomatic procedural decisions . . . . . . . . . . . 62
4.1.2.4 Quantifiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.1.3 Predicate Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1.3.1 Grammar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.1.3.2 Language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.3.2.1 Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.1.3.2.2 Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.1.3.2.3 Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2 Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.2.1 Digital Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.2.2 Type of Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.2.1 Natural Integer Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2.2.1.1 Peano axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2.2.1.2 Odd, Even and Perfect Numbers . . . . . . . . . . . 87 4.2.2.1.3 Prime Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.2.2 Relative Integer Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2.2.3 Rational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.2.2.4 Irrational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2.2.5 Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.2.2.6 Transfinite Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.2.7 Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.2.7.1 Geometric Interpretation of Complex Numbers . . . 105 4.2.2.7.1.1 Fresnel Vectors (phasors) . . . . . . . . . . 109
4.2.2.7.2 Transformation in the plane . . . . . . . . . . . . . 110 4.2.2.8 Quaternion Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2.2.8.1 Matrix Interpretation of Quaternions . . . . . . . . 121 4.2.2.8.2 Rotations with Quaternions . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.2.9 Algebraic and Transcendental Numbers . . . . . . . . . . . . 128 4.2.2.10 Abstract Numbers (variables) . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2.2.10.1 Domain of a Variable . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.3 Arithmetic Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.3.1 Binary Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.3.1.1 Equalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.3.1.2 Comparators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.3.2 Fundamental Arithmetic Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.3.2.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.3.2.2 Subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.3.2.3 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.3.2.4 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.3.2.4.1 n-root . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.3.3 Arithmetic Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 4.3.4 Absolute Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
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4.3.5 Calculation Rules (operators priorities) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.4 Number Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.4.1 Principle of good order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 4.4.2 Induction Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 4.4.3 Divisibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.4.3.1 Euclidean Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 4.4.3.1.1 Greatest common divisor . . . . . . . . . . . . . . 176
4.4.3.2 Euclidean Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.4.3.3 Least Common Multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 4.4.3.4 Fundamental Theorem of Arithmetic . . . . . . . . . . . . . 186
4.5 Set Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 4.5.1 Zermelo-Fraenkel Axiomatic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.5.1.1 Cardinals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 4.5.1.2 Cartesian Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 4.5.1.3 Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4.5.2 Set Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 4.5.2.1 Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 4.5.2.2 Intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 4.5.2.3 Union . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 4.5.2.4 Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 4.5.2.5 Symmetric Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 4.5.2.6 Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 4.5.2.7 Complementarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4.5.3 Functions and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 4.5.3.1 Cantor-Bernstein Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.6 Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 4.6.1 Event Universe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 4.6.2 Kolmogorov’s Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 4.6.3 Conditional Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
4.6.3.1 Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 4.6.3.2 Bayesian Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
4.6.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 4.6.5 Combinatorial Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
4.6.5.1 Simple Arrangements with Repetition . . . . . . . . . . . . . 263 4.6.5.2 Simple Permutations without Repetitions . . . . . . . . . . . 264 4.6.5.3 Simple Permutations with Repetitions . . . . . . . . . . . . . 265 4.6.5.4 Simple Arrangements with Repetitions . . . . . . . . . . . . 266 4.6.5.5 Simple Combinations without Repetitions . . . . . . . . . . . 267 4.6.5.6 Simple Combinations with Repetitions . . . . . . . . . . . . 269
4.6.6 Markov Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 4.7 Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
4.7.1 Samples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 4.7.2 Averages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
4.7.2.1 Laplace Smoothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 4.7.2.2 Means and Averages properties . . . . . . . . . . . . . . . . 296
4.7.3 Type of variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 4.7.3.1 Discrete Variables and Moments . . . . . . . . . . . . . . . . 302
4.7.3.1.1 Mean and Deviation of Discrete Random Variables . 303
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Draft
4.7.3.1.2 Discrete Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 4.7.3.1.2.1 Anscombe’s famous quartet . . . . . . . . . 319
4.7.3.1.3 Mean and Variance of the Average . . . . . . . . . 321 4.7.3.1.4 Coefficient of Correlation . . . . . . . . . . . . . . 322
4.7.3.2 Continuous Variables and Moments . . . . . . . . . . . . . . 327 4.7.4 Fundamental postulate of statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 4.7.5 Diversity Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 4.7.6 Distribution Functions (probabilities laws) . . . . . . . . . . . . . . . . 331
4.7.6.1 Discrete Uniform Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 4.7.6.2 Bernoulli Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 4.7.6.3 Geometric Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 4.7.6.4 Binomial Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 4.7.6.5 Negative Binomial Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . 349 4.7.6.6 Hypergeometric Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 4.7.6.7 Multinomial Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 4.7.6.8 Poisson Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 4.7.6.9 Normal & Gauss-Laplace Distribution . . . . . . . . . . . . . 367
4.7.6.9.1 Sum of two random Normal variables . . . . . . . . 375 4.7.6.9.2 Product of two random Normal variables . . . . . . 377 4.7.6.9.3 Bivariate Normal Distribution . . . . . . . . . . . . 379 4.7.6.9.4 Normal Reduced Centered Distribution . . . . . . . 384 4.7.6.9.5 Henry’s Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 4.7.6.9.6 Q-Q plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
4.7.6.10 Log-Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 4.7.6.11 Continuous Uniform Distribution . . . . . . . . . . . . . . . 394 4.7.6.12 Triangular Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 4.7.6.13 Pareto Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 4.7.6.14 Exponential Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 4.7.6.15 Cauchy Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 4.7.6.16 Beta Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 4.7.6.17 Gamma Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 4.7.6.18 Chi-Square (pearson) Distribution . . . . . . . . . . . . . . . 419 4.7.6.19 Student Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 4.7.6.20 Fisher Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 4.7.6.21 Benford Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
4.7.7 Likelihood Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 4.7.7.1 Normal Distribution MLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 4.7.7.2 Poisson Distribution MLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 4.7.7.3 Binomial (and Geometric) Distribution MLE . . . . . . . . . 440 4.7.7.4 Weibull Distribution MLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 4.7.7.5 Gamma Distribution MLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
4.7.8 Finite Population Correction Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 4.7.9 Confidence Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
4.7.9.1 C.I. on the Mean with known Variance . . . . . . . . . . . . 450 4.7.9.2 C.I. on the Variance with known Mean . . . . . . . . . . . . 454 4.7.9.3 C.I. on the Variance with empirical Mean . . . . . . . . . . . 458 4.7.9.4 C.I. on the Mean with known unbiased Variance . . . . . . . 459 4.7.9.5 Binomial exact Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
x
Draft
4.7.9.6 C.I. for a Proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 4.7.9.6.1 Test of equality of two Proportions . . . . . . . . . 471
4.7.9.7 Sign Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 4.7.9.8 Mood’s Median Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 4.7.9.9 Poisson Test (1 sample) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 4.7.9.10 Poisson Test (2 samples) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 4.7.9.11 Confidence/Tolerance/Prediction Interval . . . . . . . . . . . 483
4.7.10 Weak Law of Large Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 4.7.11 Characteristic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 4.7.12 Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 4.7.13 Univariate Hypothesis and Adequation tests . . . . . . . . . . . . . . . 499
4.7.13.1 Direction of hypothesis test . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 4.7.13.1.1 Simpson’s Paradox (sophism) . . . . . . . . . . . . 508
4.7.13.2 Power of a test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 4.7.13.3 Power of the one sample Z-test . . . . . . . . . . . . . . . . 512 4.7.13.4 Power of the one and two samples P-test . . . . . . . . . . . 514 4.7.13.5 Analysis of Variance with one fixed factor . . . . . . . . . . . 516 4.7.13.6 Analysis of Variance with two fixed factors without repetitions 529 4.7.13.7 Analysis of Variance with two fixed factors with repetitions . 545 4.7.13.8 Multifactor ANOVA with Repeated measures . . . . . . . . . 551 4.7.13.9 Greaco Latin Square ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . 552 4.7.13.10 Cochran C test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 4.7.13.11 Adequation Tests (goodness of fit tests) . . . . . . . . . . . . 561
4.7.13.11.1 Pearson’s chi-squared GoF test . . . . . . . . . . . 561 4.7.13.11.2 Kolmogorov-Smirnov GoF test . . . . . . . . . . . 566 4.7.13.11.3 Ryan-Joiner GoF test . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 4.7.13.11.4 Anderson-Darling GoF test . . . . . . . . . . . . . 576
4.7.14 Robustness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 4.7.14.1 Rank Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
4.7.14.1.1 L-Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587 4.7.14.1.2 Ranks Distribution Law . . . . . . . . . . . . . . . 588 4.7.14.1.3 Wilcoxon Rank Sum Test . . . . . . . . . . . . . . 589 4.7.14.1.4 Mann-Witheny Rank Sum Test . . . . . . . . . . . 598 4.7.14.1.5 Treatment of equalities . . . . . . . . . . . . . . . . 604 4.7.14.1.6 One sample Wilcoxon rank sum signed test . . . . . 606 4.7.14.1.7 Wilcoxon rank sum signed test for two paired samples610 4.7.14.1.8 Kruskal-Wallis test . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 4.7.14.1.9 Friedman Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616 4.7.14.1.10 Spearman Rank Correlation Coefficient . . . . . . . 619
4.7.14.2 Range Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 4.7.14.2.1 Tukey’s Range Test . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
4.7.14.3 Extreme Value Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629 4.7.15 Multivariate Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630
4.7.15.1 Principal Component Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 4.7.15.2 Correspondence Factorial Analysis (AFC) . . . . . . . . . . 647 4.7.15.3 Chi-2 Test of Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652 4.7.15.4 Cramér’s V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 4.7.15.5 Exact Fisher Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660
xi
Draft
4.7.15.6 Cohen’s kappa agreement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665 4.7.16 Propagation of Errors (experimental uncertainty analysis) . . . . . . . . 667
4.7.16.1 Absolute and Relative Uncertainties (Direct calculation of bias) 667 4.7.16.2 Statistical Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668 4.7.16.3 Repeatability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670 4.7.16.4 Error propagation (linearized approximation) . . . . . . . . . 671 4.7.16.5 Significative Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
5 Algebra 675 5.1 Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677
5.1.1 Equations and Inequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678 5.1.1.1 Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679 5.1.1.2 Inequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
5.1.2 Remarkable Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687 5.1.3 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691
5.1.3.1 Euclidean Divison of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . 694 5.1.3.2 Factorization Theorem of Polynomials . . . . . . . . . . . . 696 5.1.3.3 Diophantine equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697 5.1.3.4 First order univariate Polynomial and Equations . . . . . . . 698 5.1.3.5 Second order univariate Polynomial and Equations . . . . . . 699
5.1.3.5.1 Irrational Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 703 5.1.3.5.2 Gold Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
5.1.3.6 Third order univariate Polynomial and Equations . . . . . . . 705 5.1.3.7 Fourth order univariate Polynomial and Equations . . . . . . 708 5.1.3.8 Trigonometric Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711 5.1.3.9 Cyclotomic Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711 5.1.3.10 Legendre Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714
5.2 Set Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719 5.2.1 Groups Algebra and Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719
5.2.1.1 Cyclic Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720 5.2.1.2 Transformations Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723 5.2.1.3 Group of Symetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731
5.2.1.3.1 Orbits and Stabilizers . . . . . . . . . . . . . . . . 735 5.2.1.4 Permutations Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736
5.2.2 Galois Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746 5.2.2.1 Elementary symmetric and Invariant Polynomials . . . . . . . 746 5.2.2.2 General Vieta’s formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750
5.3 Differential and Integral Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751 5.3.1 Differential Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751
5.3.1.1 Differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760 5.3.1.2 Usual Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767 5.3.1.3 Smoothness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778
5.3.2 Integral Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779 5.3.2.1 Definite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779 5.3.2.2 Indefinite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785 5.3.2.3 Double Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792
5.3.2.3.1 Fubini’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794 5.3.2.4 Integration by Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795
xii
Draft
5.3.2.4.1 Jacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796 5.3.2.5 Integration by Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802 5.3.2.6 Usual Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804 5.3.2.7 Dirac Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823 5.3.2.8 Gamma Euler Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825
5.3.2.8.1 Euler-Mascheroni Constant . . . . . . . . . . . . . 829 5.3.2.9 Curvilinear Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 830
5.3.2.9.1 Curvilinear Integral of a scalar field . . . . . . . . . 831 5.3.2.9.2 Curvilinear Integral of a vector field . . . . . . . . . 832
5.3.3 Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835 5.3.3.1 First order Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . 836 5.3.3.2 Linear Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 836 5.3.3.3 Resolution Methods of Differential Equations . . . . . . . . . 838
5.3.3.3.1 Method of characteristic polynomial . . . . . . . . 839 5.3.3.3.1.1 Resolution of the H.E. of the first order
L.D.E. with constant coefficients . . . . . . 839 5.3.3.3.1.2 Resolution of the H.E. of the first order
L.D.E. with non-constant coefficients . . . . 840 5.3.3.3.1.3 Resolution of the H.E. of the second order
L.D.E. with constant coefficients . . . . . . 841 5.3.3.3.2 Integrating Factor Method (Euler’s Method) . . . . 845 5.3.3.3.3 Method of separation of variables . . . . . . . . . . 848 5.3.3.3.4 Method of constant variation . . . . . . . . . . . . . 849
5.3.4 Systems of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851 5.3.5 Regular Methods of Perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856
5.3.5.1 Perturbation theory for algebraic equations . . . . . . . . . . 856 5.3.5.2 Perturbation theory of differential equations . . . . . . . . . . 858
5.4 Sequences and Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862 5.4.1 Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862
5.4.1.1 Arithmetic Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863 5.4.1.2 Harmonic Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866 5.4.1.3 Geometric Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867 5.4.1.4 Cauchy Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868 5.4.1.5 Fibonacci Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872 5.4.1.6 Logic Sequences/Psychologist Sequences . . . . . . . . . . . 873
5.4.2 Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874 5.4.2.1 Gauss Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875
5.4.2.1.1 Bernoulli’s Numbers and Polynomials . . . . . . . . 878 5.4.2.2 Arithmetic Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883 5.4.2.3 Geometric Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884
5.4.2.3.1 Zeta function and Euler’s identity . . . . . . . . . . 885 5.4.2.4 Taylor and Maclaurin Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890
5.4.2.4.1 Usual Maclaurin developments . . . . . . . . . . . 895 5.4.2.4.2 Taylor series of bivariate functions (multivariate
Taylor series) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901 5.4.2.4.3 Quadratic Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903 5.4.2.4.4 Lagrange Remainder . . . . . . . . . . . . . . . . . 905 5.4.2.4.5 Taylor Series with Integral Remainder . . . . . . . . 907
xiii
Draft
5.4.2.5 Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909 5.4.2.5.1 Power of a signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928 5.4.2.5.2 Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 930
5.4.2.6 Bessel Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939 5.4.2.6.1 Zero order Bessel’s Functions . . . . . . . . . . . . 939 5.4.2.6.2 n order Bessel’s Functions . . . . . . . . . . . . . . 939 5.4.2.6.3 Bessel’s Differential Equations of ordern n . . . . . 944
5.4.3 Convergence Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945 5.4.3.1 Integral Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946 5.4.3.2 D’Alembert Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947 5.4.3.3 Alternating Series Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948 5.4.3.4 Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949
5.5 Vector Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952 5.5.1 Concept of Arrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953 5.5.2 Set of Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954
5.5.2.1 Pseudo-Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956 5.5.2.2 Multiplication by a scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958
5.5.2.2.1 Rule of three . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958 5.5.3 Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960
5.5.3.1 Linear Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961 5.5.3.2 Sub-vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961 5.5.3.3 Generating families . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962 5.5.3.4 Linear Dependance or Independance . . . . . . . . . . . . . 962 5.5.3.5 Base of a vectorial space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963 5.5.3.6 Direction Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965 5.5.3.7 Dimensions of a vector space . . . . . . . . . . . . . . . . . 966 5.5.3.8 Extension of a free family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966 5.5.3.9 Rank of a finite family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967 5.5.3.10 Direct Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968 5.5.3.11 Affine spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969
5.5.4 Euclidean Vectore Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972 5.5.4.1 Scalar Product (Dot Product) . . . . . . . . . . . . . . . . . 974
5.5.4.1.1 Cauchy–Schwarz inequality . . . . . . . . . . . . . 978 5.5.4.1.2 Triangular Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . 979 5.5.4.1.3 General Scalar/Dot Product . . . . . . . . . . . . . 980
5.5.4.2 Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981 5.5.4.3 Mixed Product (triple product9 . . . . . . . . . . . . . . . . 986
5.5.5 Vectorial Functional Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988 5.5.6 Hermitian Vector Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 990
5.5.6.1 Hermitian Inner Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 991 5.5.6.2 Types of Vectors Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992
5.5.7 System of Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993 5.5.7.1 Cartesian (rectangular) Coordinate System . . . . . . . . . . 993 5.5.7.2 Spherical Coordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . . 994 5.5.7.3 Cylindrical Coordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . 999 5.5.7.4 Polar Coordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001
5.5.8 Differential Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002 5.5.8.1 Gradients of Scalar Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004
xiv
Draft
5.5.8.2 Gradients of Vector Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010 5.5.8.3 Divergences of a Vector Field . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011 5.5.8.4 Rotationals of a Vector Field (Curl) . . . . . . . . . . . . . . 1019 5.5.8.5 Laplacians of Scalar Field (Laplace Operator) . . . . . . . . . 1029 5.5.8.6 Laplacians of a Vector Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033 5.5.8.7 Remarkable Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1041 5.5.8.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044
5.6 Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048 5.6.0.1 Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052
5.6.1 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056 5.6.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058
5.6.2.1 Rank of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059 5.6.2.2 Matrix Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064 5.6.2.3 Type of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067 5.6.2.4 Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075
5.6.2.4.1 Derivative of a Determinant . . . . . . . . . . . . . 1087 5.6.2.4.2 Determinant Cofactor and Matrix Inverse . . . . . . 1088
5.6.3 Change of Basis (frames) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1090 5.6.4 Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093
5.6.4.1 Rotation Matrices and Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . 1096 5.6.5 Spectral Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098
5.7 Tensor Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104 5.7.1 Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105 5.7.2 Indicial Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107
5.7.2.1 Summation on multiple index . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108 5.7.2.2 Kronecker Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108 5.7.2.3 Antisymmetric Symbol (Levi-Civita symbol) . . . . . . . . . 1109
5.7.3 Metric and Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115 5.7.4 Gram’s Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118 5.7.5 Contravariant and Covariant Components . . . . . . . . . . . . . . . . 1123 5.7.6 Operation in Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124
5.7.6.1 Gram-Schmidt Orthogonalization Method . . . . . . . . . . . 1125 5.8 Spinor Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126
5.8.1 Unit Spinor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126 5.8.2 Geometric Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133
5.8.2.1 Plane Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133 5.8.2.2 Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136 5.8.2.3 Properties of Pauli Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1141
6 Analysis 1148 6.1 Functional Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1149
6.1.1 Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1150 6.1.1.1 Tabular Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1150 6.1.1.2 Graphical Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1151
6.1.1.2.1 2D representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152 6.1.1.2.2 3D representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156 6.1.1.2.3 2D Vector representations . . . . . . . . . . . . . . 1162 6.1.1.2.4 Properties of visual representations . . . . . . . . . 1165
xv
Draft
6.1.2.1 Limits and Continuity of Functions . . . . . . . . . . . . . . 1184 6.1.2.2 Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1190
6.1.3 Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196 6.1.4 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203
6.1.4.1 Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203 6.1.4.2 Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203 6.1.4.3 Hilbert Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204
6.1.5 Functional dot product (inner product) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204 6.2 Complex Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209
6.2.1 Linear Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209 6.2.2 Holomorphic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219
6.2.2.1 Orthogonality of real and imaginary iso-curves . . . . . . . . 1225 6.2.3 Complex Logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227 6.2.4 Complex Integral Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1230
6.2.4.1 Convergence of a complex series . . . . . . . . . . . . . . . 1237 6.2.5 Path Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246
6.2.5.1 Inverse Path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247 6.2.6 Laurent Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249 6.2.7 Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257 6.2.8 Residue Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1260
6.2.8.1 Pole at infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264 6.3 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266
6.3.1 General Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267 6.3.1.1 Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268
6.3.2 Metric Space and Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269 6.3.2.1 Equivalent Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274 6.3.2.2 Lipschitz Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274 6.3.2.3 Continuity and Uniform Continuity . . . . . . . . . . . . . . 1277
6.3.3 Opened and Closed Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279 6.3.3.1 Balls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1280 6.3.3.2 Partititions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284 6.3.3.3 Formal Ball . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286 6.3.3.4 Diameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287
6.3.4 Varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289 6.3.4.1 Surfaces Homeomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1290 6.3.4.2 Differential Varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294
6.4 Measure Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296 6.4.1 Measurable Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296
6.4.1.1 Monotone Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304
7.1.1 Radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309 7.1.2 Circle Trigonometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311
7.1.2.1 Remarkable trigonometric triangle identities . . . . . . . . . 1319 7.1.2.1.1 Laws of Cosines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323
xvi
Draft
7.2 Euclidean Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343 7.2.1 Objects of Euclidean Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343
7.2.1.1 Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345 7.2.2 Euclid Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1351
7.2.2.1 Segments and Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353 7.2.2.1.1 Quantities of the same type . . . . . . . . . . . . . 1353
7.2.3 Plane Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358 7.2.3.1 Displacements and Turnarounds . . . . . . . . . . . . . . . . 1359 7.2.3.2 Plane angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1360
7.2.3.2.1 Angle Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366 7.2.3.2.2 Units of Angle Measurements . . . . . . . . . . . . 1369 7.2.3.2.3 Bisector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1372
7.2.3.3 Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373 7.2.3.3.1 Equal Triangles (congruent triangles) . . . . . . . . 1374 7.2.3.3.2 Isosceles Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377
7.3 Non-Euclidean Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1382 7.3.1 Geodesic and Metric Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383 7.3.2 Riemann Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1387
7.4 Projective Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393 7.4.1 Conical Perspective (Central Perspective) . . . . . . . . . . . . . . . . 1394
7.4.1.1 Images of Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397 7.4.1.2 Images of Straight Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413
7.5 Analytical Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415 7.5.1 Conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415
7.5.1.1 Algebraic approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416 7.5.1.2 Geometric Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424 7.5.1.3 Dudelin Theorem (Dudelin Spheres) . . . . . . . . . . . . . 1432
7.5.2 Parametrizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434 7.5.2.1 Equation of the Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434 7.5.2.2 Equation of the straight line . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437
7.5.2.2.1 Distance from a line to a point . . . . . . . . . . . . 1439 7.5.2.2.2 Line defined by the intersection of planes . . . . . . 1440 7.5.2.2.3 Parametric equation of a line in R3 . . . . . . . . . 1440
7.5.2.3 Equation of a square . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1442 7.5.2.4 Equation of a cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443 7.5.2.5 Equation of a Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445 7.5.2.6 Equation of an Ellipsoid (spheroid, geoid) . . . . . . . . . . . 1447 7.5.2.7 Equation of a Cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1449 7.5.2.8 Surface of revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1450
7.5.2.8.1 Paraboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1451 7.5.2.8.2 Hyperboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453 7.5.2.8.3 Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455
7.6 Differential Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457
xvii
Draft
7.6.1 Parametric Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457 7.6.2 Isolines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463 7.6.3 Frenet Frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1469 7.6.4 Surface Patchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1480
7.6.4.1 Metric of a Surface Patch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1481 7.6.4.1.1 Regularity of a Surface . . . . . . . . . . . . . . . . 1483
7.7 Geometric Shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487 7.7.1 Known Surfaces (Areas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488
7.7.1.1 Polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488 7.7.1.2 Rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493 7.7.1.3 Square . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494 7.7.1.4 Unspecified Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495 7.7.1.5 Isosceles Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499 7.7.1.6 Equilateral Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1501 7.7.1.7 Right Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1503 7.7.1.8 Trapezoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504 7.7.1.9 Parallelogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506 7.7.1.10 Hexagon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1508 7.7.1.11 Rhombus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512 7.7.1.12 Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514 7.7.1.13 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516
7.7.2 Known Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519 7.7.2.1 Polyhedron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1520
7.7.2.1.1 Parallelepiped . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1520 7.7.2.1.1.1 Moment of Inertia of a rectangular plate . . . 1522 7.7.2.1.1.2 Moment of Inertia of a triangular plate . . . 1524
7.7.2.1.2 Pyramid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526 7.7.2.1.2.1 Moment of Inertia of a regular square pyramid1527
7.7.2.1.3 Right Prism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528 7.7.2.1.4 Regular Polyhedron . . . . . . . . . . . . . . . . . 1529 7.7.2.1.5 Regular Tetrahedron . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534 7.7.2.1.6 Regular hexahedron (cube) . . . . . . . . . . . . . 1537 7.7.2.1.7 Regular octahedron . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537 7.7.2.1.8 Regular Icosahedron . . . . . . . . . . . . . . . . . 1541 7.7.2.1.9 Regular Dodecahedron . . . . . . . . . . . . . . . . 1545
7.7.2.2 Solids of Revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1550 7.7.2.2.1 Cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1552 7.7.2.2.2 Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554 7.7.2.2.3 Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556 7.7.2.2.4 Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1560
7.8 Graph Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1562 7.8.1 Type of Graphs and Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1563 7.8.2 Graph Adjacency matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585 7.8.3 Categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1590
7.9 Knot Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594 7.9.1 Braids Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594
7.9.1.1 Braids Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596 7.9.2 Knot Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1599
xviii
Draft
7.9.2.1 Knots Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1601 7.9.3 Tait’s Knot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1604 7.9.4 Mathematical Formalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1608
7.9.4.1 Planar Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616
8.1.1 System of Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1623 8.1.1.1 Dimensional Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1630
8.1.1.1.1 Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1632 8.1.1.1.2 Length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633 8.1.1.1.3 Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635 8.1.1.1.4 Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1638 8.1.1.1.5 Electric Charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639
8.1.1.2 Scientific Notation and Metric Prefixes . . . . . . . . . . . . 1642 8.1.2 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645
8.2 Analytical/Lagrangian Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1647 8.2.1 Lagrangian formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1649
8.2.1.1 Generalized coordinates and frames . . . . . . . . . . . . . . 1649 8.2.1.2 Variational Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1653 8.2.1.3 Euler-Lagrange Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655
8.2.1.3.1 Beltrami Identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1661 8.2.1.3.2 Theorem of Variational Calculus . . . . . . . . . . 1662
8.2.2 Canonical Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664 8.3 Classical Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665
8.3.1 Newton’s Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1669 8.3.1.1 Newton First Law (Inertia Law) . . . . . . . . . . . . . . . . 1669 8.3.1.2 Newton Second Law (Fundamental Principle of Dynamics) . 1671 8.3.1.3 Newton Third Law (Law of Action and Reatction) . . . . . . 1673
8.3.2 Center of Mass and Reduced Weight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674 8.3.2.1 Center of Mass Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1677 8.3.2.2 Guldin’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1679
8.3.3 Kinematics of Rectilinear Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1682 8.3.3.1 Position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1682 8.3.3.2 Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1683 8.3.3.3 Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684
8.3.3.3.1 Osculator Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687 8.3.3.4 Galilean Relativity Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1689
8.4 Wave Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1692 8.4.0.1 Wave Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1692 8.4.0.2 Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1693
8.4.1 Type of Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695 8.4.1.1 Periodic Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695 8.4.1.2 Harmonic Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696 8.4.1.3 Stationnary Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697 8.4.1.4 Vibration Modes in a Stretch String . . . . . . . . . . . . . . 1699
8.4.1.4.1 Dirichlet Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 1701 8.4.1.4.2 Neumann Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707
xix
Draft
8.5 Statistical Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1709 8.5.1 Statistical Information Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1709 8.5.2 Boltzmann Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716 8.5.3 Statistical Physics Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1721
8.5.3.1 Maxwell Distribution (velocity distribution) . . . . . . . . . . 1721 8.5.3.2 Maxwell-Boltzmann Distribution . . . . . . . . . . . . . . . 1727
8.6 Thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1731 8.6.1 Thermodynamic Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1732 8.6.2 Thermodynamics Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1735 8.6.3 Thermodynamic Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736 8.6.4 State Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738
8.6.4.1 Phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1740 8.6.5 Equation of State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1742
8.6.5.1 Ideal Gaz Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1742 8.6.5.2 State equation of a Liquid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1743 8.6.5.3 State equation of a Solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745
8.7 Continuum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1748 8.7.1 Rigid Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1749
8.7.1.1 Pressures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1749 8.7.1.2 Elasticity of Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1750
8.7.1.2.1 Hooke’s law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755 8.7.1.2.2 Shear Modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1759
8.7.2 Liquids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1760 8.7.3 Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1761
9 Electromagnetism 1763 9.1 Electrostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765
9.1.1 Electric Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765 9.1.2 Electric Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1769
9.1.2.1 Path Independance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1772 9.1.3 Equipotential and Field lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1772
9.1.3.1 Infinite straight wire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775 9.1.3.2 Electric Rigid Dipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777
9.1.4 Electric Field Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1788 9.1.4.1 Capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1789
9.2 Magnetostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1792 9.2.1 Ampere’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795
9.2.1.1 Infinitely long solenoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797 9.2.1.2 Toroidal coils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1798 9.2.1.3 Electromagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1799
9.2.1.3.1 Strength of a magnet or electromagnet . . . . . . . 1800 9.2.2 Maxwell-Ampere Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1802 9.2.3 Biot-Savart law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1803
9.2.3.1 Magnetic field for a current loop . . . . . . . . . . . . . . . . 1804 9.2.3.2 Magnetic field for an infinite wire . . . . . . . . . . . . . . . 1806
9.2.4 Magnetic dipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1808 9.3 Electrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814
9.3.1 Maxwell Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815
9.3.1.1 First Maxwell Equation (constant electric flow) . . . . . . . . 1815 9.3.1.2 Second Maxwell Equation (non-existence of magnetic
monopomple) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1818 9.3.1.3 Third Maxwell Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1819
9.3.1.3.1 Betatron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1822 9.3.1.4 Fourth Maxwell Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826 9.3.1.5 Magnetic Monopoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1829
9.3.2 Charge conservation equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1831 9.3.3 Gauge Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1832
9.4 Electrokinetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837 9.4.1 Kirchoff’s laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1838
9.4.1.1 Mesh law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1838 9.4.1.2 Nodes law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1839
9.4.2 Drude model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1839 9.4.3 Ohm’s law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845
9.4.3.1 Equivalent Resistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847 9.4.3.2 Equivalent Capacities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1849
9.4.4 Electromotive Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1850 9.5 Geometric Optics (ray optics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1853
9.5.1 Sources and Shadows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1853 9.5.2 Colors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857 9.5.3 Radiometry/Photometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1863
9.5.3.1 Energy flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1863 9.5.3.1.1 Beer–Lambert law . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1863
9.5.3.2 Light Intensity (Radiant Intensity) . . . . . . . . . . . . . . . 1865 9.5.3.3 Energy Emittance (Radiant Emittance) . . . . . . . . . . . . 1866 9.5.3.4 Radiance and Luminance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1867
9.5.3.4.1 Lambert’s Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1868 9.5.3.5 Kirchhoff’s law of Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1870 9.5.3.6 Spectral Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1870
9.5.4 Law of Refraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1871 9.6 Wave Optics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1874
9.6.1 Huygens’ principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1874 9.6.2 Fraunhofer Diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1877
9.6.2.1 Case of a rectangular slot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1877
10 Atomistic 1884 10.1 Corpuscular Quantum Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1885
10.1.1 Dalton’s model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1886 10.1.2 Thomson’s model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1887 10.1.3 Rhuterfords’s model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888 10.1.4 Bohr’s Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1890
10.1.4.1 Bohr’s Postulates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1890 10.1.4.2 Quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1890 10.1.4.3 Hydrogen Type Atoms Model without dragging . . . . . . . . 1893 10.1.4.4 Hydrogen Type Atoms Model with dragging . . . . . . . . . 1897 10.1.4.5 Neutron Assumption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1900
10.1.5 Wilson and Sommerfeld’s Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1902
xxi
Draft
10.1.6 Relativistic Sommerfeld Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1906 10.2 Wave Quantum Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914
10.2.1 Postulates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915 10.2.1.1 1st Postulate: Quantum State . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916 10.2.1.2 2nd postulate: Time evolution of a quantum state . . . . . . . 1918 10.2.1.3 3rd postulate: Observables and operators . . . . . . . . . . . 1919 10.2.1.4 4th postulate: Measure of a property) . . . . . . . . . . . . . 1921 10.2.1.5 5th postulate: Average of a property) . . . . . . . . . . . . . 1923
10.2.2 Classical principles of uncertainty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1924 10.3 Relativistic Quantum Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925
10.3.1 Relativistic Schrödinger evolution equation . . . . . . . . . . . . . . . 1926 10.3.1.1 Antimatter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1927
10.3.2 Generalized Klein-Gordon Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1930 10.4 Nuclear Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1934
10.4.1 Nuclear Weapon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1934 10.4.2 Radioactivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1937
10.4.2.1 Disintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1940 10.4.2.1.1 Half-life isotope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1941
10.4.2.2 Activity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1941 10.5 Quantum Field Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944
10.5.1 Yukawa potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947 10.5.1.1 Mass fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949
10.6 Elementary Particle Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1951 10.6.1 Coupling Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1952
11 Cosmology 1957 11.1 Astronomy (Celestial Mechanics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1958
11.1.1 Drake Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1958 11.1.2 Kepler’s Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1959
11.1.2.1 First Kepler’s Law (conicity law) . . . . . . . . . . . . . . . 1959 11.1.2.2 Second Kepler’s Law (area law) . . . . . . . . . . . . . . . . 1960 11.1.2.3 Third Kepler’s Law (periods’ law) . . . . . . . . . . . . . . . 1962
11.1.3 Newton Gravitational Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965 11.1.3.1 Shell Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1971 11.1.3.2 Asteroids/Meteors impact velocity . . . . . . . . . . . . . . . 1972 11.1.3.3 Spherisation of Celestial Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . 1973
11.1.3.3.1 Flattening of Celestial Bodies (rotational flattening) 1974 11.1.3.4 Stability of Atmospheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976
11.1.4 Roche’s Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1977 11.1.5 Keplerian Orbitals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979
11.1.5.1 First Binet Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979 11.2 Astrophysics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1981
11.2.1 Stars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1981 11.2.1.1 Star Formation and Genesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1987
11.2.1.1.1 Collapse of an Interstellar Cloud . . . . . . . . . . . 1987 11.2.1.1.2 Nuclear Duration Life . . . . . . . . . . . . . . . . 1989
11.3 Special Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994 11.3.1 Assumptions and Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995
xxii
Draft
11.3.2 Lorentz Transformations/Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998 11.3.2.1 Displacement four-vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2002
11.3.2.1.1 Wave Equation Invariance . . . . . . . . . . . . . . 2004 11.3.2.1.2 Wave Equation Invariance . . . . . . . . . . . . . . 2005
11.4 General Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008 11.4.1 Assumptions and Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008
11.4.1.1 Equivalence Postulates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008 11.4.1.2 Mach Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012
11.4.2 Metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013 11.4.2.1 Schild Critera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018
11.5 Cosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2021 11.5.0.1 Newtonian Cosmological Model . . . . . . . . . . . . . . . . 2021 11.5.0.2 Hubble’s Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2022
11.5.1 Friedmann Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2025 11.5.1.0.1 Critical Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2029
11.6 String Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2032 11.6.1 Wave equation of a transervsal string . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2033 11.6.2 Non-relativistic Wave equation of a transversal string . . . . . . . . . . 2035
11.6.2.1 Nambu-Goto Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2041 11.6.3 Lagrangian of a String . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2048
12 Chemistry 2049 12.1 Quantum Chemistry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2050
12.1.1 Infinite three-dimensional rectangular potential . . . . . . . . . . . . . 2050 12.1.2 Molecular Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2053 12.1.3 Hydrogenoid Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056 12.1.4 Rigid Rotator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2060
12.2 Molecular Chemistry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076 12.2.0.1 Orbital Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2077
12.2.1 LCAO Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2081 12.3 Analytical Chemistry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2090
12.3.1 Simple Mixtures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2091 12.3.2 Reactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2093
12.4 Thermochemistry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2098 12.4.0.1 Chemical transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2098
12.4.1 Molar Quantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2100
13.1.1 Computer Representation of Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2110 13.1.1.1 Decimal System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2110 13.1.1.2 Binary system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2111
13.1.1.2.1 Binary arithemetics . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112 13.1.1.3 Hexadecimal System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112 13.1.1.4 Octal System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113 13.1.1.5 Conversion of decimal system to non-decimal system: . . . . 2113
xxiii
Draft
13.1.2 Complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2115 13.1.2.1 NP-Completude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2120
13.1.3 Integer Part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2122 13.1.4 Heron’s Square Root Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2124 13.1.5 Archimedes Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126 13.1.6 Euler’s Number e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2128 13.1.7 Stirling’s factorial approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2128 13.1.8 Linear System of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2130
13.1.8.1 One equation with on unknown . . . . . . . . . . . . . . . . 2130 13.1.8.2 Two equations with two unknowns . . . . . . . . . . . . . . 2130 13.1.8.3 Three equations with three unknowns . . . . . . . . . . . . . 2132 13.1.8.4 n equations with n unknowns . . . . . . . . . . . . . . . . . 2135
13.1.9 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136 13.1.10 Regression Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2139
13.1.10.1 Univariate linear regression model . . . . . . . . . . . . . . . 2141 13.1.10.1.1 Regression line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2142 13.1.10.1.2 Least Squares Method (LSM) . . . . . . . . . . . . 2143 13.1.10.1.3 Univariate Regression Variance Analysis . . . . . . 2146
13.1.10.2 Univariate linear regression Gaussian Model . . . . . . . . . 2151 13.1.10.2.1 Pearson Correlation Coefficient Test . . . . . . . . . 2160 13.1.10.2.2 Confidence interval of predicted values . . . . . . . 2162
13.1.10.3 Linear univariate regression forced through the origin . . . . 2167 13.1.10.4 Multiple linear regression Gaussian Model . . . . . . . . . . 2168 13.1.10.5 Polynomial regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2176 13.1.10.6 Logistic Regressions (LOGIT) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178
13.1.10.6.1 Binomial Logistic Regression . . . . . . . . . . . . 2178 13.1.10.6.2 ROC and Lift curves . . . . . . . . . . . . . . . . . 2187
13.1.11 Interpolation Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2202 13.1.11.1 Bezier Curves (B-Splines) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2202 13.1.11.2 Euler Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2209 13.1.11.3 Polynomial of collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2211 13.1.11.4 Lagrange polynomial interpolation method . . . . . . . . . . 2214
13.1.12 Roots search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2216 13.1.12.1 Proportional parts methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2216 13.1.12.2 Bisection method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2218 13.1.12.3 Secant method (Regula Falsi or False Position) . . . . . . . . 2220 13.1.12.4 Newton’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2222
13.1.13 Numerical Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2227 13.1.14 Numerical Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2229
13.1.14.1 Rectangles method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2230 13.1.14.2 Trapezoidal method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2231
13.1.15 Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2232 13.1.15.1 Linear programming (Linear Optimization) . . . . . . . . . . 2233
13.1.15.1.1 Graphical LP resolution . . . . . . . . . . . . . . . 2236 13.1.15.1.2 Algebraic LP resolution . . . . . . . . . . . . . . . 2237 13.1.15.1.3 Simplex algorithm LP resolution . . . . . . . . . . 2238
13.1.16 Monte Carlo Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2238 13.1.16.1 Inverse Transform Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239
xxiv
Draft
13.2.1.1 Fractals Metric Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2258 13.2.2 Fractals Visualization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2262
13.3 Logical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2263 13.3.1 Strict Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2263
13.3.1.1 Boolean Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2264 13.3.1.2 Logical Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2271
13.4 Error-Correcting Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2273 13.4.1 CheckSum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2276 13.4.2 Encoders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2277
13.5 Automata Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2282 13.5.1 Von Neumann machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2284
13.6 Cryptography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2285 13.6.1 Cryptographic systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2286
13.6.1.1 Kerckhoffs’ principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2290 13.6.2 Traps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2291 13.6.3 Secret-key encryption system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2292
13.6.3.1 Feistel Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2294 13.7 Quantum Computing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2296
13.7.1 Schrödinger’s Cat superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2298 13.7.2 Photon polarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2299
14 Social Sciences 2302 14.1 Population Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2304
14.1.1 Birth rate and mortality tables (biometric features) . . . . . . . . . . . 2304 14.1.1.1 Population Renevewal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2312
14.1.2 Population Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2314 14.1.2.1 Exponential model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2314 14.1.2.2 Deterministic Logistic Model (Verlhust) . . . . . . . . . . . . 2317 14.1.2.3 Chaotic Logistic Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2321
14.1.2.3.1 Feigenbaum’s Bifurcation Diagram . . . . . . . . . 2325 14.1.2.4 Malthusian Growth Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2329 14.1.2.5 Leslie model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2330 14.1.2.6 SIR Model for Spread of Disease . . . . . . . . . . . . . . . 2332 14.1.2.7 Lotka–Volterra predator–prey model . . . . . . . . . . . . . . 2335
14.1.3 Schaefer’s Optimal capture model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2344 14.1.4 Hardy-Weinberg model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2346 14.1.5 Mendel’s law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2352 14.1.6 Growth rate with temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2353
14.2 Game and Decision Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2354 14.2.1 Utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2357
14.2.1.1 Pareto Optimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2357 14.2.1.2 Nash Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2358
14.2.2 Games Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2361 14.2.2.1 Extensive representation of a Game . . . . . . . . . . . . . . 2363 14.2.2.2 Extensive representation of a Decision . . . . . . . . . . . . 2364
14.2.2.2.1 Real Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2371
xxv
Draft
14.2.2.3 Normal representation of a Game . . . . . . . . . . . . . . . 2373 14.2.2.3.1 Repetitive Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2380
14.2.2.4 Set representation of a Game . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2382 14.2.2.5 Graphical representation of a Game . . . . . . . . . . . . . . 2385
14.2.3 Expected Utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2389 14.2.3.1 Hurwitz Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2389 14.2.3.2 Laplace Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2392
14.2.4 Evolutionary Game . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2393 14.2.5 Multi-Criteria Decision Making (MCDM) . . . . . . . . . . . . . . . . 2393
14.2.5.1 Analytic Hierarchy Process (AHP) . . . . . . . . . . . . . . 2393 14.3 Economy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2395
14.3.1 Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2395 14.3.1.1 Microeconomics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2396
14.3.1.1.1 Average & Marginal Cost . . . . . . . . . . . . . . 2401 14.3.1.2 Macroeconomics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2406
14.3.1.2.1 Cobb-Douglas Model . . . . . . . . . . . . . . . . 2407 14.3.2 Monetary Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2412
14.3.2.1 Walras’ law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2414 14.3.3 Supply and Demand Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2420
14.3.3.1 Expected utility theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2420 14.3.4 Net gain/loss opposite feedback model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426 14.3.5 Capitalization and Actuarial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2434
14.3.5.1 Dates Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2436 14.3.5.2 Rates Equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2439 14.3.5.3 Simple Interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2440
14.3.5.3.1 Discounts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2441 14.3.5.4 Compound Interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2443 14.3.5.5 Continuous Interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2445
14.3.6 Progressive interest (annuities) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2446 14.3.6.1 Postnumerando annuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2447 14.3.6.2 Praenumerando annuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2450
14.3.7 Rounding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2452 14.3.8 Loans Amortization/Repayments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2454
14.3.8.1 Fixed-Term Loan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2456 14.3.8.2 Loan with constant amortization . . . . . . . . . . . . . . . . 2457 14.3.8.3 Loan with constant annuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2457
14.3.9 Modern Portfolio Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2460 14.3.9.1 No Arbitrage Opportunity (N.A.O.) . . . . . . . . . . . . . . 2463 14.3.9.2 Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2466
14.3.9.2.1 Stocks (shares of stocks)/Equities . . . . . . . . . . 2471 14.3.9.2.1.1 Dividend Yield . . . . . . . . . . . . . . . . 2473 14.3.9.2.1.2 Shares Benchmark Indices . . . . . . . . . . 2475 14.3.9.2.1.3 Durand Model . . . . . . . . . . . . . . . . 2476
14.3.9.2.2 Obligations (Bonds) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2479 14.3.9.2.3 Warrants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2493 14.3.9.2.4 Futures & Forwards . . . . . . . . . . . . . . . . . 2497
14.3.9.2.4.1 Futures & Forwards naive pricing . . . . . . 2502 14.3.9.2.4.2 Futures & Forwards commodity hedging . . 2506
xxvi
Draft
14.4 Quantitative Management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2527 14.4.1 Corporate Finance Management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2530
14.4.1.1 Basic Accounting Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2531 14.4.1.2 Ratio Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2532
14.4.1.2.1 Short term solvency or liquidity measure . . . . . . 2533 14.4.1.2.2 Long term solvency or Liquidity measure . . . . . . 2534 14.4.1.2.3 Profability Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . 2535 14.4.1.2.4 Growth Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2536 14.4.1.2.5 Asset management or turnovers measures . . . . . . 2538 14.4.1.2.6 Market Value Measures . . . . . . . . . . . . . . . 2538
14.4.1.3 Weighted average cost of capital (WACC) . . . . . . . . . . . 2539 14.4.1.4 Break-even Point Analysis (BEPA) . . . . . . . . . . . . . . 2541 14.4.1.5 Investment Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2543 14.4.1.6 Capital Goods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2544
14.4.2 Linear Amortization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2544 14.4.2.1 Wages model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2545
14.4.3 Project Management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2547 14.4.3.1 Probabilistic PERT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2547
14.4.4 Lean Management (Six Sigma Process) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2555 14.4.4.1 Pareto Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2558
14.4.4.1.1 Gini Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2562 14.4.4.2 Weighted Ishikawa Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2565
14.4.5 Supply Chain Management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2569 14.4.5.1 Supply Chain Management in uncertain future . . . . . . . . 2571 14.4.5.2 Optimal initial stock management with zero rotation . . . . . 2573 14.4.5.3 Wilson’s Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2580
14.4.5.3.1 Wilson’s model with resupply . . . . . . . . . . . . 2586 14.4.5.3.2 Wilson’s model without resupply . . . . . . . . . . 2594 14.4.5.3.3 Wilson’s model with resupply and break-up . . . . . 2596
14.4.6 Sensitivity Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2601 14.4.6.1 Direct Bias Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2603 14.4.6.2 Correlation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2607
14.5 Music Maths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2612 14.5.1 Longitudinal Sound Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2612
15 Engineering 2617 15.1 Marine & Weather Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2618
15.1.1 Visual horizon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2618 15.2 Mechanical Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2621
15.2.1 Gears . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2621 15.2.1.1 Transmission ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2624 15.2.1.2 Gears association . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2627
15.2.1.2.1 Odd/Even Gear "problem" . . . . . . . . . . . . . . 2631 15.2.1.3 Type of Gears . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2633
15.2.2 Strength of materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2636 15.3 Electrical Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2638
xxvii
Draft
15.4 Civil Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2640 15.4.1 Static . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2641 15.4.2 Pulleys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2642
15.4.2.1 Windlass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2648 15.4.3 Cornu spiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2650
15.5 Aerospace Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2652 15.5.1 Cosmological Speeds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2653
15.6 Software Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2655 15.6.1 Google PageRank algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2655
15.6.1.1 Weighted Count . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2657 15.7 Industrial Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2659
15.7.1 Six Sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2660 15.7.1.1 Quality Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2662 15.7.1.2 Defaults/Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2663 15.7.1.3 Capability Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2668 15.7.1.4 Quality Levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2680
15.7.2 Taguchi Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2693 15.7.3 Preventive Maintenance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2699
15.7.3.1 Planned Obsolescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2700 15.7.3.2 Reliability Empirical Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . 2700 15.7.3.3 Weibull Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2715 15.7.3.4 Topology of Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2722
15.7.3.4.1 Fault Tree Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . 2733 15.7.3.5 Maximum Likelihood for failure rate determination of samples2735 15.7.3.6 Kaplan-Meier Survival Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2737 15.7.3.7 ABC Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2742
15.7.4 Design of Experiments (DoE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2747 15.7.4.1 Full Factorial Designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2755 15.7.4.2 Fractional Factorial Designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2766 15.7.4.3 Taguchi Designs and Nomenclature . . . . . . . . . . . . . . 2774
16 Epilogue 2777
17 Biographies 2779 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2780 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2782 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2789 D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2796 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2800 F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2803 G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2808 H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2813 I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2821 J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2821 K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2823 L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2826 M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2834 N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2842 O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2846
xxviii
Draft
P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2847 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2852 S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2853 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2861 V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2864 W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2865 Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2868 Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2870
18 Chronology 2872
19 Humour 2902 19.1 Situations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2903 19.2 Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2915 19.3 Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2933 19.4 Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2949 19.5 Chemistry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2952 19.6 Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2958 19.7 Computing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2965 19.8 Social Sciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2974
20 Links 2980 20.1 Exact Sciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2981 20.2 Publishing/Magazines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2982 20.3 Associations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2984 20.4 Jobs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2985 20.5 Television/Radio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2985 20.6 Other sciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2986 20.7 Softwares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2986
21 Quotes 2990
List of Figures 3018
List of Tables 3038
1.1.2 How to use this book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Data Protection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5 Data transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Verbatim Copying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.5 Modifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.8 Aggregation with independant Works . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.9 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.10 Termination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Only in non-free release . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1
Draft
1.1 Impressum
1.1.1 Use of content
The contents of this book are elaborated by a development process by which volunteers reach a consensus. This process that brings together volunteers, research also the point of view of people interested in the topics of this book. The person in charge of this book administers the process and establishes rules to promote fairness in the consensus approach. It is also responsible for drafting the text, sometime for testing/evaluating or independently verifying the accuracy or completeness of the presented information.
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Vincent ISOZ [EAME v3.0-2013] 1. Warnings
1.1.2 How to use this book
At the university level, this book can be used for a Ph.D., graduate level or advanced under- graduate level seminar in many exact and pure sciences fields. The seminars where we use this material is part of Scientific Evolution Sàrl program, where the trainees typically already have taken undergraduate or graduate courses in their respective specialization. In reality this books also aims to cover the full Kindergarten to PhD curriculum.
Because the methods of Applied Mathematics are learned by practice and experience, we view a seminar on Applied Mathematics as a learning-by-doing (project oriented) seminar. We struc- ture our mathematical modelling seminars around a set of problems that require the trainee to construct models that help with planning and decision making. The imperative is that the models should be consistent with the theory and back-tested. To fulfill this imperative, it is necessary for the trainee to combine mathematical theory with modeling. The result is that the trainee learns the theory, and more importantly, learns how that theory is applied and combined in the real world. The ability to criticize and identify limitations of dangerous mathematical tools is the most valuable feature of our seminars.
The problems with solutions in this book prov