elementos finitos scaletti
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Modelos hModelos h--Adaptivos de Elementos FinitosAdaptivos de Elementos Finitos
Dr. Ing. Hugo Scaletti Farina
Universidad Nacional de Ingeniería
Las técnicas de elementos finitos fueron inicialmentedesarrolladas para el análisis estructural
Actualmente se emplean en prácticamente todas lasáreas de la ciencia y la ingeniería
Se reconocen como herramientas poderosas para lasolución de ecuaciones diferenciales en general
Son particularmente útiles al tratar medios congeometría irregular y no homogeneidad
introducción
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Ecuaciones Diferenciales paraun Problema Estacionario
Aproximaciones de Elementos Finitos
Sistema de Ecuaciones Algebraicas
Ecuaciones Diferenciales paraun Problema Dinámico
Aproximaciones de Elementos Finitos
Sistema de EcuacionesDiferenciales Ordinarias
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Primer modo de vibraciónT = 1.85 s
Cuarto modo de vibraciónT = 1.25 s
Mampostería no reforzada
Quincha
Evaluación estructural delMuseo de Arte de Lima
Estructura típica conirregularidad de rigidez y masa
Iglesia de la Sagrada Familia Iglesia del TriunfoBasílica Catedral
Catedral del CuzcoCatedral del CuzcoCISMID (2002)CISMID (2002)
Modelo de un pilarcon elementos sólidos
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Máximos esfuerzos cortantes (kN/m) al ensayar tensores
Momentos flectores verticales (kN m/m)debidos a sismo, considerado como empuje activo
Muro de Contención Atirantado
Deformada al finalizarel proceso constructivo
Momentos flectores horizontales (kN m/m)debidos al tensado y al empuje pasivo del suelo
Puente Billinghurst, Puerto Maldonado
Modelo de la Cámara de Anclaje IzquierdaCortado en el Plano de Simetría
Modelo de la Cámara de Anclaje IzquierdaEntre plano de cables y Plano de Simetría
Esfuerzos Principales Máximos (kg/cm2) - Plano de cables
Esfuerzos Cortantes XZ (kg/cm2) - Plano de cables
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antecedentes
Las ideas básicas del método de elementos finitos seencuentran en diversos trabajos precursores
Estrictamente son una extensión de los métodos deparámetros indeterminados, propuestos por Gauss enel siglo XVIII y más desarrollados a inicios del siglo XX
Los procedimientos de parámetros indeterminados ensu forma “clásica”, basados en aproximaciones válidaspara todo el medio estudiado, están limitados asituaciones relativamente simples
L
xsenxv )(
mínimadxwvdxvEIvLL
P 221)(
wL
L
EIP
2
2)( 2
3
4
21
Aproximación:
función conocidaparámetroindeterminado
en este caso ∆ puede interpretarse como la deflexión máxima
Con la aproximación y sus consecuencias, la energía potencial:
se reduce a una simple función del parámetro indeterminado ∆
Método de parámetros indeterminados:Viga simplemente apoyada con carga uniforme
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EI
wL
EI
wL 44
013021.0384
5La solución exacta es:
02
2 3
4
wL
L
EIP
EI
wL
EI
wL 44
5013071.0
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La forma de v(x) antes propuesta no es exacta, pero se parece mucho ala forma correcta, lo que explica los buenos resultados
Sin embargo, cuando se tiene una geometría irregular, más aún si elmaterial no es homogéneo, se hace difícil plantear una aproximaciónanáloga, válida para todo el medio estudiado
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En las técnicas de elementos finitos se resuelve elproblema dividiendo el medio estudiado ennumerosos “elementos”, que se interconectan en unnúmero finito de puntos o “nudos”
Para cada elemento se hacen aproximacionesdistintas, de carácter local:
Habitualmente los parámetros ai que definen laaproximación son los valores numéricos de la(s)función(es) incógnita en los nudos. En tal caso, lasaproximaciones son propiamente interpolaciones
ideas básicas del método de EF
ii ayxNu ),(
La idea básica al emplear elementos finitos es quecualquier función, por complicada que sea, puede seraproximada localmente por una función muy simple
La calidad de los resultados en una región del modelodepende de que tan bien las aproximaciones puedanajustarse a la solución correcta
A medida que se reducen las dimensiones de loselementos (se refina la malla) las aproximacionesdeben ser mejores. Si los elementos fueraninfinitesimales la solución debería ser exacta
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Labelle, F. and Shewchuk, J.R. Isosurface Stuffing: Fast Tetrahedral Meshes with Good Dihedral Angles. 2007 Siggraph Conf.Proceedings
ecuación armónica
0 puuTK
quT Kn
en Ω
en Sq
refT uuhu Kn
en Suuu
Ecuación diferencial:
Condiciones de borde: S = Su + Sq
C.B. esenciales
C.B. naturales flujo
convección
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dpuuuuu TP
221
21 K
Con la restricción en Suuu
mín221 dSuuhdSqu
qq Sref
S
Sólo uno de estos dos términos
formulación alternativa: energía potencial
Flujo bajo una presa a través de suelo no homogéneo (O.C.Zienkiewicz)
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Modelo de EF para amplificación de altura de olas – Puerto Long Beach (J.R.Houston)
Malla de elementos finitos1701 nudos, 2853 elementosGeometría
Análisis del acuífero de Puerto Mùsquodoboit, Nueva Escocia (Connor & Brebbia)
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Función de esfuerzos de Prandtl – Sección transversal del puente Tahuamanú (Peñafiel)
Modelo de elementosfinitos (media sección) Contornos de la función
de esfuerzos de Prandtl
aproximación de elementos finitos
aN ),(),( yxyxuInterpolación local:
Gradiente:
función desconocida(altura piezométrica) parámetros indeterminados
(valores nodales de u)funciones deinterpolación
aBaN u
Componentes de flujo(ley de Darcy): aBKuKq
permeabilidades
Para cada elemento:
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dpTTTP NaNaNaBaKBaa 2
121)(
baHaaa TTP 2
1)(
0bHa0a
P
La energía potencial πP se reduce a una simple función de losparámetros indeterminados a:
minqS
T dSqNa
Por lo tanto:
dTT NNBKBH
qS
TT dSqdp NNb
funciones de interpolación (triángulos CST)
)(2
1ycxba
ALN iiiii
mji
mji
yyy
xxxA
111
21
jmi
mji
jmmji
xxc
yyb
yxyxa
i, j, m son permutaciones cíclicas de 1, 2, 3
1
/
321
LLL
AAL ii
i
i
ii
i
i yLyxLx
3
1
3
1
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solución con elementos finitos CST
aB
aN
3
2
1
321
321
3
2
1
321
332211
2
1
2
1
u
u
u
ccc
bbb
Au
ycxbaA
L
u
u
u
LLLu
uNuNuNu
iiii
e e
TTe de
NNBKBHH )(
e
S
TT
e
e
qee
dSqdp NNbb )(
233231
322221
312121
233231
322221
312121
)(
44ccccc
ccccc
ccccc
A
k
bbbbb
bbbbb
bbbbb
A
k yyxxeH
..
1
1
1
3)( tb
pAe
b
211
121
112
122
2
2
43323321331
2332221221
1331122111A
cbcbcbcbcb
cbcbcbcbcb
cbcbcbcbcb
A
kxy
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ensamble de las ecuaciones
convergencia de la aproximación de EF
Los métodos de elementos finitos son intrínsecamenteaproximados
En el contexto de estos métodos “convergencia”significa que la solución aproximada tiende a la exactaa medida que el tamaño de los elementos tiende acero
Para tener convergencia se requiere que lasaproximaciones sean suficientemente derivables y quecumplan condiciones de consistencia, continuidad(hasta cierto orden de las derivadas) y estabilidad
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Viga en voladizo cargada en el extremo:Error en el máximo desplazamiento
consistencia
En el límite, si las dimensiones de los elementos fueraninfinitamente pequeñas, la aproximación de elementosfinitos debería reproducir exactamente las condicionessupuestas para un elemento diferencial, que son labase para las ecuaciones que están siendo resueltas
Si en el principio variacional (o formulaciónequivalente) se incluyen la(s) función(es) y susderivadas hasta de orden m, las interpolaciones debenpoder representar exactamente situaciones en las quela función o cualquiera de sus derivadas hasta deorden m es constante
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continuidad
Si la formulación incluye derivadas hasta de orden m,las aproximaciones para la función y sus derivadashasta de orden m-1 deben ser continuas en los bordesentre elementos (esto permite descomponer cualquierintegral en todo el dominio en la suma de integralesanálogas sobre cada elemento)
Las derivadas de orden m (o combinaciones lineales detales derivadas) no son necesariamente continuas; lasdiferencias observadas en los bordes entre elementosson una medida del error
Elementos “Shell” SAP2000
Esfuerzos Cortantes en un Muro Debidos a Fuerza Lateral
Elementos “Plane” SAP2000
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orden de convergencia
La precisión depende de la regularidad de la función, dela calidad de la aproximación local y del tamaño, h, delos elementos
Si la aproximación es un polinomio completo de gradop≥m, el orden de convergencia depende de que tan bienese polinomio puede aproximar localmente la expansiónde u en series de Taylor y por tanto resulta O(h p+1)
Las derivadas de orden k convergen con O(h p+1-k)
Este orden de convergencia puede no lograrse si elproblema presenta alguna singularidad
Efecto de la singularidad en la convergencia
Singularidad
NGL es aproximadamente inversamente proporcional a h 2
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Convergencia para distintassubdivisiones uniformes
NGL es aproximadamenteinversamente proporcional a h2
cómputo de los esfuerzos
LosLos resultadosresultados dede esfuerzosesfuerzos nono sonson continuoscontinuos enen loslosbordesbordes entreentre elementoselementos (incluyendo(incluyendo loslos nudos)nudos)
AntesAntes dede graficar,graficar, loslos programasprogramas comercialescomerciales promedianpromedianloslos resultadosresultados obtenidosobtenidos enen cadacada nudo,nudo, lolo quequeproporcionaproporciona mejoresmejores resultadosresultados queque aquellosaquellos calculadoscalculadosparapara cualquieracualquiera dede loslos elementoselementos porpor separadoseparado
EnEn cadacada elemento,elemento, loslos resultadosresultados sonson mejoresmejores sisi sesecalculancalculan enen puntospuntos óptimosóptimos yy luegoluego sese extrapolanextrapolan aa loslosnudosnudos
PuedenPueden obtenerseobtenerse resultadosresultados muchomucho mejoresmejores suavizandosuavizandoloslos esfuerzosesfuerzos concon unauna aproximaciónaproximación dede mínimosmínimoscuadradoscuadrados
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Puntos de Colocación Óptima (superconvergentes)
Malla de EFMalla de EFcuadráticos (Serendip)cuadráticos (Serendip)
Muestreo de esfuerzo cortante en puntos de Gauss con extrapolación a nudosMuestreo de esfuerzo cortante en puntos de Gauss con extrapolación a nudos
Los esfuerzos evaluados en estos puntos convergen conel mismo orden que los desplazamientos O(hp+1)
Aproximación de mínimos cuadrados
*σNiσ
2
1
),(),(σ
n
kkkkki yxyx *σN
),(ˆ1
*
1k
n
kki
Tk
n
kk
Tk yxNσNN
Para cada componente de esfuerzo,Para cada componente de esfuerzo, σσii , se plantea una, se plantea unaaproximación suavizada, de la forma:aproximación suavizada, de la forma:
* agrupa los valores nodales suavizados y las* agrupa los valores nodales suavizados y las NN son lasson lasmismas funciones de interpolación empleadas para losmismas funciones de interpolación empleadas para losdesplazamientosdesplazamientos
Llamando a los esfuerzos inicialmente obtenidosLlamando a los esfuerzos inicialmente obtenidosenen nn puntos de muestreo (óptimos), se minimiza:puntos de muestreo (óptimos), se minimiza:
),(σ kki yx
De donde:De donde:
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estimación del error
*
*
σσeεεe
σε ˆ,ˆ
21
21
*1***
dd TT σσDσσεεDεεe
Varias formas de la norma de energía son de uso frecuente:
En lo que sigue, u, , se refieren a la solución por EF,mientras que denotan los valores exactos
pueden aproximarse por
Los estimadores de error más simples:
σεu ˆ,ˆ,ˆ
pueden en algunos casos ser inadecuados
**,σε
Una vez obtenida una solución con elementos finitos,pueden estimarse los errores en cada región del modeloy modificar la malla de elementos para lograr la precisiónrequeridaEn el refinamiento-h se mantiene la misma clase deelementos, pero se cambia su tamaño, haciéndose máspequeños donde se requiera más precisión y en otroscasos más grandes, para no hacer un esfuerzo decómputo innecesario
El refinamiento puede hacerse subdividiendo loselementos o generando una malla totalmente nueva (loque es más eficiente)
refinamiento adaptivo de mallas de EF
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Refinamiento adaptivo de mallas de Elementos Finitos
refinamiento adaptivo de mallas de EF
La estimación del error en cada región del modelopreviamente usado
La determinación del orden de convergencia para eltipo particular de elemento finito empleado
La estimación del tamaño de elemento requerido (encada región del modelo) para lograr los objetivos deprecisión
Un algoritmo de regeneración de la malla confiable yeficiente
El refinamiento automático de la malla de elementosfinitos requiere:
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error admisible
m
ii
ee1
22
du T εDε
emi
21
2u
e
eii e 1i
Considerando que:
Si el error relativo máximo admisible es , el error encualquier elemento no debe exceder
Definiendo la malla debe refinarse siy puede hacerse más gruesa si
%100 ueError relativo en lanorma de energía:
1i
nuevo tamaño de los elementos
Considerando el orden de convergencia
donde hk es el tamaño del elemento y p es el grado delpolinomio completo de aproximación, se debe tener paracada elemento:
pkkkk hhnuevo1
1
1
kkk hhnuevo
λ puede conservadoramente tomarse como 0.5
pkk
he
Al refinar, la malla tiende a ser óptima y menos afectadaspor las singularidades, excepto en los elementosadyacentes a las mismas, para los que:
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Secuencia derefinamiento adaptivo
Basada en:
a) Igual distribución delerror total en energía
b) Igual distribución de ladensidad del error enenergía
c) Igual máximo error enlos esfuerzos
d) Igual máximoporcentaje de error enlos esfuerzos
Menos que 5% en lanorma de energía
Mallas de elementos finitoslineales (CST) para análisis deviga corta en voladizo
Malla 1
Malla 3
Malla 2
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Velocidades experimentales de convergencia para la viga corta en voladizo
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.000.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00
Momento Meridional en un Tanque Axisimétrico
Resultados con12 elementos
Resultados conmalla refinada