elementos de una función cuadrática

Elementos de una función cuadrática

Distinción entre ceros y raíces de una función cuadrática

Las funciones cuadráticas se llaman de esa forma ya que el exponente mayor de la variable “x” es 2, es decir es cuadrático.

Por lo tanto la función cuadrática se describe de la siguiente manera:

Donde los valores de “a”, “b” y “c” son números reales. Existen funciones cuadráticas completas e incompletas:

Completas: Son aquellas que tienen la forma:

Incompletas: Son aquellas que pueden tener las siguientes formas:

Para poder encontrar los valores que resuelven estas funciones es necesario igualar la función a “cero”, de allí el nombre que se le da a las soluciones de la ecuación cuadrática de “Cero de la función”. También se les conoce como raíces porque toda ecuación cuadrática se puede resolver por medio de la fórmula general la cual implica una raíz cuadrada.

Pero es importante hacer una distinción, los valores que cruzan el eje de las “x” se les llaman cero de función y los valores que no cruzan el eje de las “x” se llaman raíces de la función.

Si después de resolver las operaciones dentro de la raíz cuadrada de la fórmula general, nos da como resultado un número negativo entonces, esa función tiene raíces de la función si el valor es positivo la función tiene ceros.

Ejemplos incisos a, b, c y d

De las siguientes funciones cuadráticas, encontrar cuáles tienen ceros y cuáles tienen raíces:

Para ello se utilizará la fórmula general para determinar si las funciones tienen ceros o raíces.

Pasos Procedimiento

Inciso a:

Donde:

Sustituyendo en la fórmula:

Resultado

Como se puede observar dentro de la raíz cuadrada hay un número negativo, por lo tanto se puede concluir que esta función tiene RAICES.

Pasos Procedimiento

Inciso b:

Donde:


Resultado

Como se puede observar dentro de la raíz cuadrada hay un número positivo por lo tanto se puede concluir que esta función tiene CEROS.

Pasos Procedimiento

Inciso c:

Donde:


Resultado

Como se puede observar dentro de la raíz hay un número negativo por lo tanto se puede concluir que esta función tiene RAICES.

Pasos Procedimiento

Inciso d:

Donde:


Resultado

Como se puede observar dentro de la raíz hay un número positivo por lo tanto se puede concluir que esta función tiene CEROS.

Vértice, gráfica e imagen de una función cuadrática

La función cuadrática tiene varios elementos que la componen, en este tema solo se abordarán tres de esos elementos que son: vértice, gráfica y la imagen de la función cuadrática.

Se debe distinguir que una función cuadrática, puede ser cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo, tal como lo muestran las siguientes gráficas.

Para determinar si la concavidad de la función será hacia arriba o abajo solo es necesario aplicar la siguiente regla:

Si el valor de “a” de la función cuadrática es mayor que cero la función es cóncava hacia arriba.

Si el valor de “a” de la función cuadrática es menor que cero la función es cóncava hacia abajo.

En la siguiente gráfica se observa el vértice, el cual es el punto máximo o el punto mínimo de la parábola.

Dentro de una gráfica, es sencillo determinar en donde está el vértice, ¿pero qué pasa si la función está dada como una ecuación? ¿Cómo se calcula el vértice de la función?

Para resolver estas incógnitas se basará en la representación en forma estándar de una función cuadrática. La cual permite determinar de manera analítica en qué posición del plano cartesiano se encuentra localizado el vértice.

La forma estándar de la función cuadrática es la siguiente:

En donde el vértice está dado por el punto para lo cual se tendrán tres casos para determinar el vértice, dependiendo de la forma de la ecuación:

Si la ecuación tiene la forma:

El vértice esta

en:

El vértice esta

en:

El vértice esta en:

Determinar el vértice de las siguientes funciones cuadráticas:

Respuestas a los incisos:

Inciso a:

Como se puede observar la función es de la forma por lo tanto

el vértice está en

Inciso b:

Como se puede observar la función es de la forma por lo tanto

el vértice está en

Inciso c:

Como se puede observar la función es de la forma por lo

tanto el vértice está en

Inciso d:

Como se puede observar la función es de la forma por lo

tanto el vértice está en

Ejemplo inciso e

Encuentra el vértice:

Pasos Procedimiento

Inciso e: Para este ejemplo se debe de cambiar a la forma estándar, es decir deberá de quedar de la siguiente manera:

Para poder llegar a ese resultado, a la función original se aplica un procedimiento de factorización que se llama completar el Trinomio Cuadrado Perfecto, a continuación se explica el procedimiento paso a paso con el ejemplo.

1er paso: Para aplicar este procedimiento el coeficiente de la variable al cuadrado deberá de ser 1.

Esta función sí cumple con esta regla.

2do paso: Se toma el coeficiente (sin signo) de la variable con exponente uno.

En este caso es 6.

3er paso: Este valor se divide entre 2 (siempre es entre 2).

El resultado es 3.

4to paso: El resultado se eleva al cuadrado:

5to paso: Este resultado se suma y se resta a la función original.

NOTA: Esto se hace con la finalidad de no alterar la ecuación original, ya que el valor que se le está agregando a la función original es CERO.

6to paso: Se reordena la ecuación de la siguiente manera:

7mo paso: Se factorizan los 3 primeros términos de la función reordenada, al realizar la reordenación se forma un Trinomio Cuadrado Perfecto, el cual queda factorizado de la siguiente manera:

8vo paso: Se suman términos semejantes.

Observa la función:

Se parece a la forma estándar:

y el resultado es:

por lo

tanto despejando

y

Resultado

Por lo tanto el vértice está en el punto

Ejemplo inciso f

Encuentra el vértice:

Pasos Procedimiento

Inciso f:

Para este ejemplo se debe de cambiar a la forma estándar, es decir deberá de quedar de la siguiente manera:

Para poder llegar a ese resultado, a la función original le vamos a aplicar un procedimiento de factorización que se llama completar el Trinomio Cuadrado Perfecto, a continuación se explica el procedimiento paso a paso con el ejemplo.

1er paso: El coeficiente de “x” al cuadrado no es uno.

Por lo tanto se divide TODA la función entre 2, para que se cumpla la primera regla. Quedando de la siguiente forma:


En este caso es


El resultado es





7mo paso: Se factorizan los

3 primeros términos de la función reordenada, al realizar la reordenación se forma un Trinomio Cuadrado Perfecto, el cual queda factorizado de la siguiente manera:

8vo paso: Se suman términos semejantes y se multiplica por 2 cada término.


La forma estándar es:

y el resultado es:

, por lo tanto

despejando

y .

Resultado

Por lo tanto el vértice esta en el punto

Gráfica de una función cuadrática:

Para realizar la gráfica de una función cuadrática, lo primero que se debe de hacer es transformarla a la forma estándar, para con ello determinar el vértice y con el valor de “a” definimos si es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. Con dos valores que le demos a “x” podremos dibujar la función cuadrática.

Ejemplo inciso a

Determina la gráfica de las siguientes funciones:

Pasos Procedimiento

Inciso a:

Primeramente se debe transformar la función a la forma estándar. Para ello se aplica la técnica de completar el Trinomio Cuadrado Perfecto.

1er paso: El coeficiente de “x” al cuadrado es uno.


En este caso es


El resultado es









y el resultado es:

por lo tanto ,

despejando h


Como el valor de “a” es positivo, es cóncava hacia arriba, ahora se asignan valores de “x” considerando el valor de “x” del vértice.

Graficando estos datos se obtiene la siguiente gráfica:

Resultado

Ejemplo inciso b


Pasos Procedimiento

Inciso b:

Primeramente se debe de transformar la función a la forma estándar. Para ello se aplica la técnica de completar el Trinomio Cuadrado Perfecto.

1er paso: El coeficiente de “x” al cuadrado no es uno, por lo tanto se factoriza con término común -3, solo los términos que tienen variable.


En este caso es










y el resultado es:

por lo tanto

despejando “h”


Como el valor de “a” es positivo, es cóncava hacia arriba, ahora se le asignan valores de “x” considerando el valor de “x” del vértice.


Resultado

Ejemplo inciso c


Pasos Procedimiento

Inciso c:

Primeramente se debe de transformar la función a la forma estándar. Para ello se aplica la técnica de completar el Trinomio Cuadrado Perfecto.

1er paso: El coeficiente

de “x” al cuadrado es uno, pero se factoriza por el signo negativo.


En este caso es 10


5.









y el resultado es:

por lo tanto

despajando “h”




Resultado

Ejemplo inciso d


Pasos Procedimiento

Inciso d:

Primeramente se debe transformar la función a la forma estándar. Para ello se aplica la técnica de completar el Trinomio Cuadrado Perfecto.

1er paso: El coeficiente de “x” al cuadrado es diferente de uno. Factorizando solo los

términos que contienen variables:


En este caso es 4


2







Observa la función


y el resultado es:

, por lo tanto

despejando “h”




Resultado

Imagen de las funciones cuadráticas:

Para determinar la imagen de las funciones cuadráticas, sólo es necesario observar hacia donde está la concavidad, y la imagen está determinada desde el vértice de la función hacia el infinito positivo o infinito negativo del eje “y”.

Ejemplos:

Si la función es cóncava hacia arriba y el vértice está en el punto , entonces la imagen es desde -1 hasta el infinito positivo.

Si la función es cóncava hacia abajo y el vértice está en el punto , entonces la imagen es desde el infinito negativo hasta -1.

Crecimiento y decrecimiento

En las funciones cuadráticas se observa que crece (aumenta el valor de “y”) llegando a un punto llamado vértice, en el cual la función decrece (disminuye el valor de “y”) dependiendo el intervalo que se considere.

En las siguientes gráficas se observan los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como determinar si la función tiene un máximo o un mínimo.

Por lo tanto, para poder determinar si la función “crece” o “decrece” en el intervalo descrito es importante realizar la gráfica, observar en los intervalos dónde la función es creciente y

decreciente.

Ejemplo 1. En la gráfica 2, en el intervalo de menos infinito hasta cero, la función es creciente.

En el intervalo de cero a más infinito, la función es creciente.

Ejemplo 2. En la gráfica 1, en el intervalo de “x” [-5,-1], la función es decreciente.

Modelación de fenómenos

Cuando se habla de fenómenos, se refiere a que se puede expresar por medio de ecuaciones cuadráticas la solución de problemas, para ello revisa los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1

Regina es 7 años mayor que Sebastián. Si el producto de sus edades es de 60, ¿cuál es la edad de Sebastián?

Pasos Procedimiento

Datos: Edad de Sebastián: ya que no se conoce la edad.

Edad de Regina: Producto de la edades: 60 años

Operación:

Resolviendo la ecuación cuadrática, utilizando fórmula general:

Resultado

Como no pueden existir edades negativas, la edad de Sebastián es de: 5 años.

Ejemplo 2

Se fabrica una caja de cartón a partir de una hoja rectangular, a la cual se le cortan en las esquinas cuadrados de 4 pulgadas y se doblan los lados hacia arriba. Si el ancho de la caja es de 3 pulgadas menos que el largo y la caja contiene 280 pulgadas cúbicas. Encuentra las dimensiones de la hoja de cartón.

Pasos Procedimiento

Datos: Ancho de la caja: ya que no se conoce.

Largo de la caja Altura de la caja: 4 pulgadas. Volumen de la caja: 280 pulgadas cúbicas.

Operación:

Resolviendo la ecuación cuadrática, utilizando fórmula general:

Resultado

Como no pueden existir valores negativos, el ancho de la hoja que

se le cortaron las esquinas es de

Largo es: Por lo tanto, la hoja rectangular de cartón de la cual se fabricó la caja es de: 15 x 18 pulgadas.

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