ELEMENTI

DI

GEOMETRIA ANALITICA

SABO

COORDINATE CARTESIANE

Ascisse dei Punti di una Retta

Data una retta orientata (verso di percorrenza positivo da sinistra verso destra per rette orizzon-

tali; dal basso verso l’alto per rette verticali), detto O un suo punto fisso e P un suo punto mobile,

il numero x, distanza di P da O misurata rispetto ad un’unità di misura prestabilita, si dice

ascissa del punto P. In tali ipotesi il punto fisso O ha ascissa nulla e viene detto origine.

Distanza di Due Punti su una Retta

Data una retta orientata e due punti su essa, A(a) e B(b), la loro distanza è data da:

La distanza di B da A, misurata nel verso che va da A a B, è:

AB = b – a

Ciò si traduce nel dire:

La distanza di due punti su una retta cartesiana è data dalla

differenza tra l’ascissa del secondo punto e quella del primo

punto.

O PP

x-x PP

O

-xx

Per definire un punto dotato di ascissa si scrive P(x);

così il simbolo P(3) indica che il punto P, di ascissa 3, è

distante tre unità di misura dal punto origine O ed è

situato alla sua destra; mentre il simbolo P(-5) indica

che il punto P, di ascissa –5, è distante cinque unità di

misura dal punto origine O ed è situato alla sua sinistra.

O B(b)A(a)

a bAB = AO + OB = OB – OA

e risultando:

AO = -OA ; OB = b ; OA = a

Ascissa del Punto Medio di un Segmento

Considerato su una retta orientata un segmento AB, essendo A(a) e B(b), e detto M(m) il suo

punto medio (punto che divide esattamente a metà il segmento) si ha:

AM = MB m – a = b – m 2m = a + b

ciò si traduce nel dire:

L’ascissa del punto medio di un segmento è uguale alla

semisomma delle ascisse degli estremi del segmento.

Coordinate Cartesiane di un Punto del Piano

Date due rette orientate tra loro perpendicolari nel punto origine O, esse definiscono il piano

cartesiano. La retta orizzontale si dice asse delle ascisse o delle x, la retta verticale si dice asse

delle ordinate o delle y. Nel loro insieme costituiscono un sistema di assi coordinati; il punto di

intersezione O è detto origine delle coordinate.

Considerato un punto P del piano, non appartenente ad alcuno dei due assi, ed indicato con Px e

Py le sue proiezioni sugli assi x e y, il numero x, distanza del segmento Opx, si dice ascissa di P;

il

E’ importante sottolineare la priorità di x rispetto ad y; infatti, scrivere P(2,3) non è la stessa cosa

2

b a m

le sue proiezioni sugli assi x e y, il numero x, distanza del

segmento OPx, si dice ascissa di P; il numero y, distanza

del segmento OPy, si dice ordinata di P.

E’ possibile, in tal modo, associare ad un qualunque

punto del piano una coppia ordinata di numeri reali (x,y)

che definisce in modo univoco la posizione del punto

rispetto ad un sistema di assi coordinati e tutto ciò si

scrive simbolicamente P(x,y).

P

Px

Py

O X

Y

P(2,3)

3O X

Y

2

P(3,2)2

3

che scrivere P(3,2), rappresentando essi punti diversi del

piano come si nota anche dal grafico.

In base alle precedenti definizioni, i punti sull’asse delle

ascisse hanno ordinata nulla A(x,0) e i punti sull’asse

delle ordinate hanno ascissa nulla B(0,y); il punto origine

ha entrambe le coordinate nulle O(0,0).

Gli assi cartesiani dividono il piano in quattro quadranti, convenzionalmente numerati in verso

antiorario; il primo quadrante ha entrambe le coordinate positive, il secondo quadrante ha ascisse

negative ed ordinate positive, il terzo quadrante ha entrambe le coordinate negative, il quarto

quadrante ha ascisse positive ed ordinate negative.

Ricordando, poi, che la bisettrice di un angolo è il luogo dei punti equidistanti dai lati

dell’angolo, ogni punto sulla bisettrice del primo e terzo quadrante ha ascissa uguale all’ordinata,

mentre ogni punto sulla bisettrice del secondo e quarto quadrante ha ascissa uguale ed opposta

all’ordinata.

Dai teoremi sulla simmetria risulta che due punti P e P’ simmetrici rispetto all’asse delle x,

hanno ascisse uguali ed ordinate opposte; due punti Q e Q’ simmetrici rispetto all’asse delle y,

hanno ascisse opposte ed ordinate uguali.

Distanza di Due Punti nel Piano

La distanza di due punti A(x1,y

1) e B(x

2,y

2) si ottiene dal teorema di Pitagora; detto, infatti, C

Ciò si traduce nel dire:

La distanza di due punti nel piano è data dalla radice quadrata della somma dei

quadrati delle differenze delle coordinate omonime dei due punti,

In particolare se il punto A coincide con l’origine degli assi, indicando con x e y le coordinate di

B, si ha:

che rappresenta la distanza di un punto dall’origine.

y2

O X

Y

y1

x1 x2

A

B

C

d

L’intersezione tra la perpendicolare per B all’asse

delle x e la parallela per A all’asse delle x, si

considera il triangolo ABC, retto in C, la cui

ipotenusa AB = d è la distanza cercata. Applicando

il teorema di Pitagora si ha:

AB2 = AC2 + CB2 d2 = AC2 + CB2

AC = x2 – x

1 ; CB = y

2 – y

1

d2 = (x2 – x

1)2 + (y

2 – y

1)2

2

12

2

12 yyxx d

22 yx d

Punto Medio di un Segmento

Dato un segmento nel piano di estremi A(x1,y

1) e B(x

2,y

2) e detto M(x

m,y

m) il suo punto medio

(punto che divide esattamente a metà il segmento), si indichino con A’, M’, B’ le proiezioni di

tali punti sull’asse delle ascisse; dovendo essere AM = MB, per il teorema di Talete (un fascio di

rette parallele determina su due trasversali segmenti proporzionali) risulta anche A’M’ = M’B’

cioè:

A’M’ = OM’ – OA’ = xm

– x1 ; M’B’ = OB’ – OM’ = x

2 – x

m

xm

– x1 = x

2 – x

m 2x

m = x

1 + x

2

In modo analogo si procede per ottenere l’ordinata di M:

ciò si traduce nel dire:

Le coordinate del punto medio di un segmento sono date dalla

semisomma delle coordinate degli estremi del segmento.

y2

O X

Y

y1

x1 x2

A

B

M

xm

ym

punti sull’asse delle ascisse; dovendo essere AM = MB, per il

teorema di Talete (un fascio di rette parallele determina su due

trasversali segmenti proporzionali) risulta anche A’M’ = M’B’

cioè:

A’M’ = OM’ – OA’ = xm

– x1 ; M’B’ = OB’ – OM’ = x

2 – x

m

2

xxx 21

m

2

yyy 21

m

FUNZIONI

Grandezze Costanti e Grandezze Variabili

Grandezza costante: grandezza che mantiene inalterato il suo valore;

grandezza variabile: grandezza che può assumere valori diversi;

variabile indipendente: variabile a cui si può assegnare un valore arbitrario;

variabile dipendente: variabile il cui valore dipende da un altro valore e varia al variare di

esso.

Concetto di Funzione Matematica

Se due o più variabili, presenti in uno stesso problema, si presentano legate tra loro da relazioni

matematiche, simbolicamente scritte: y = f(x), così che la variabile y è determinata dai valori

assegnati alla variabile x, si parla di funzione matematica. Il simbolo y = f(x) si legge “y è

funzione di x” ed indica che x è una variabile indipendente (può assumere qualunque valore), y

è una variabile dipendente (assume valori che dipendono dai valori di x).

Le funzioni matematiche si dicono algebriche se le operazioni che legano le variabili sono di

addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione; ogni funzione non algebrica si dice

trascendente.

Le funzioni algebriche si dividono in:

funzioni razionali: la variabile x non si trova sotto il segno di radice

razionale intera: la x non compare al divisore,

razionale fratta: la x compare al divisore.

Funzioni irrazionali: la variabile x compare sotto il segno di radice

irrazionale intera: la x non compare al divisore,

irrazionale fratta: la x compare al divisore.

Rappresentazione Grafica di una Funzione

Data una funzione y = f(x) e considerato un piano cartesiano, riportando sulle ascisse i valori

assegnati alla x e sulle ordinate i corrispondenti valori di y, si ottiene un insieme di punti nel

piano che, uniti tra di loro, danno luogo ad una linea (luogo geometrico dei punti del piano) detta

Grafico o Diagramma della funzione.

Viceversa ad una qualunque linea geometrica corrisponde una funzione che traduce in termini

matematici una proprietà comune a tutti i punti della linea ed è espressa in funzione delle

coordinate dei punti stessi.

In definitiva si può affermare:

Il grafico di una funzione y = f(x) rappresenta il luogo geometrico dei punti

del piano le cui coordinate verificano l’equazione y = f(x)

Per rappresentare graficamente una funzione si attribuiscono dei valori alla x e si calcolano i

corrispondenti valori della y; si ottiene in tal modo un insieme di punti P(x,y) che segnati sul

piano permettono di tracciare il grafico voluto.

Lo studio dei grafici o delle relative funzioni che li rappresentano in termini matematici

costituisce il punto di partenza della Geometria Analitica.

FUNZIONI DI PRIMO GRADO

Il luogo dei punti del piano le cui coordinate si ottengono da un’equazione di primo grado nelle

variabili x e y

ax + by + c = 0

rappresenta una retta. Tale funzione si dice implicita perché le due variabili compaiono nello

stesso membro dell’equazione; considerando nota la x e risolvendo rispetto all’incognita y si ha:

che è equivalente a quella data e viene detta esplicita perché le due variabili compaiono una ad

un membro l’altra all’altro membro dell’equazione.

Ponendo, poi, nell’equazione –a/b = m e –c/b = p si ottiene:

y = mx + p

che viene detta equazione parametrica della retta. I coefficienti a, b, c non devono risultare

contemporaneamente nulli (si otterrebbe l’identità 0 = 0), possono però esserlo separatamente,

dando origine a casi diversi.

1° caso: a = 0 b 0 c 0

L’equazione assume la forma: by + c = 0 y = -c/b = p

i punti che si ottengono da tale equazione hanno ordinata costante e ciò si traduce graficamente

in

che rappresenta l’equazione dell’asse x.

2° caso: a 0 b = 0 c 0

L’equazione assume la forma: ax + c = 0 x = -c/a

Un caso particolare si presenta quando anche c = 0, si ottiene infatti x = 0 che rappresenta

l’equazione dell’asse delle y.

b

cx

b

ay

y = 3

O X

Yuna retta parallela all’asse delle ascisse perché, pur variando la x (si

ricordi che è a = 0 e non la x), la y mantiene sempre lo stesso valore;

è il caso dell’equazione:

2y – 6 = 0 y = 3

Un caso particolare si ha quando anche C = 0, si ottiene infatti y = 0

x =

2

O X

Yi punti che si ottengono da tale equazione hanno ascissa costante e ciò

si traduce graficamente in una retta parallela all’asse delle ordinate

perché, pur variando la y (si ricordi che è b = 0 e non la y), la x

mantiene sempre lo stesso valore; è il caso dell’equazione:

x – 2 = 0 x = 2

3° caso: a 0 b 0 c = 0

L’equazione assume la forma: ax + by = 0 y = (-a/b) x = mx

per x = 0 si ottiene y = 0, il che indica che la retta passa per l’origine degli assi; per x = 1 si

ottiene y = m, ciò significa che il grafico della funzione passa per i punti O(0,0) e A(1,m).

se m > 0 i punti della retta sono nel primo e nel terzo quadrante, x e y hanno segno concorde e

quindi y/x > 0. Se m < 0 i punti della retta sono nel secondo e nel quarto quadrante, x e y hanno

segno discorde e quindi y/x < 0.

Da ciò scaturisce che la relazione precedente è sempre valida e può essere scritta nella forma

m = y/x

da essa si ricava, inoltre, che l’inclinazione della retta rispetto all’asse delle x dipende dal valore

di m, che per tale motivo viene detto coefficiente angolare.

4° caso: a 0 b 0 c 0

L’equazione assume la forma: ax + by + c = 0 y = mx + p

per x = 0 si ottiene y = p, cioè la retta passa per il punto (0,p); il termine noto p rappresenta,

pertanto, l’ordinata del punto di intersezione tra la retta e l’asse delle y.

In conclusione i parametri che caratterizzano la retta sono:

m: coefficiente angolare, valore che determina l’inclinazione della retta rispetto

all’asse delle x e indica, inoltre, se la retta è crescente o decrescente;

p: termine noto, valore che determina il punto di intersezione tra la retta e l’asse delle

y.

Rette Parallele

Due rette sono parallele se hanno la stessa inclinazione rispetto all’asse delle ascisse (se formano

angoli omologhi con l’asse delle x), il che significa che devono avere lo stesso coefficiente

angolare. Quindi se le due rette sono date da:

O X

Y

A

P

A' P'

Tracciata, allora, la retta OA, si consideri su di essa un punto

generico P(x,y) così che risulta:

OA’ = 1 ; AA’ = m ; OP’ = x ; PP’ = y

dai triangoli simili OAA’ e OPP’, essendo i loro lati in

proporzione si ricava:

x

ym

'OP

'PP

'OA

'AA

ax + by + c = 0 ; a’x + b’y + c’ = 0

risultando i coefficienti angolari pari a m = -a/b e m’ = -a’/b’ la condizione di parallelismo

comporta che sia:

b':ba':a 'b

b

a'

a

'b

'a

b

a

'b

'a

b

a- 'mm

Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano parallele è che

abbiano i coefficienti delle incognite in proporzione.

Da notare che se due rette sono parallele la differenza tra i termini noti (p – p’) è un valore

costante e determina la distanza tra le due rette.

Rette Perpendicolari

Date due rette generiche:

y = mx + p ; y m’x + p’

se esse risultano tra loro perpendicolari, per le relazioni di parallelismo, lo saranno anche le rette

passanti per l’origine e ad esse parallele di equazioni:

y = mx ; y = m’x

essendo d’altra parte m e m’ di segno contrario per la condizione di perpendicolarità imposta, il

loro prodotto deve avere segno negativo e quindi è:

m m’ = -1 m’ = -1/m

Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano tra loro

perpendicolari è che il prodotto dei loro coefficienti angolari sia pari a –1.

P

P'

P''

m

m'

1

O X

Y

y = mx + p

y = m

'x + p'y = m

x

y = m

'x

Si considerino sulle due rette passanti per l’origine

due punti P(1,m) e P’(1,m’), dal triangolo OPP’,

retto in O, per il teorema di Euclide (in un

triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa

è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti

sull’ipotenusa) risulta che l’altezza OP’ = 1 è

media proporzionale tra le proiezioni PP’’ = m e

P’’P’ = m’ dei cateti sull’ipotenusa PP’ e quindi è:

m : 1 = 1 : m’ m m’ = 1

Retta Passante per un Punto

Se la retta y = mx + p passa per il punto P(x1,y

1), le coordinate di P devono soddisfare

l’equazione della retta, deve cioè risultare:

y = mx + p y = m x1 + p

sottraendo, allora, membro a membro le due equazioni si ha:

y - y1 = mx – mx

1 y - y

1 = m(x – x

1)

che rappresenta l’equazione richiesta.

E’ bene ricordare che tale equazione non rappresenta una sola retta ma un fascio di rette, tutte

passanti per P, ognuna delle quali si ottiene per un diverso valore del coefficiente angolare m.

Retta Passante per due Punti

Dati due punti P1(x

1,y

1) e P

2(x

2,y

2) con x

1 x

2 tenendo presente che la generica retta passante per

P1 ha equazione y - y

1 = m(x – x

1) e dovendo tale retta passare anche per P

2 il coefficiente

angolare deve essere scelto in modo che l’equazione sia soddisfatta anche per x1 = x

2 e y

1 = y

2

cioè P2 deve essere soluzione dell’equazione:

y2 - y

1 = m(x

2 – x

1)

ricavando m da tale equazione e sostituendolo nella precedente si ha:

12

1

12

11

12

121

12

12

xx

xx

yy

y-y )xx(

xx

yy y- y

xx

yym

Da notare che la retta passante per due punti è univocamente definita, poiché per due punti del

piano passa una ed una sola retta.

Un caso particolare si ha per x1 = x

2 , in questo caso infatti la retta passante per i due punti è

parallela all’asse delle ordinate ed ha equazione x = x1 .

Punto Comune a due Rette

Se due rette hanno in comune un punto, cioè si intersecano nel punto P(x0,y

0), le coordinate di P

sono soluzioni di entrambe le rette. Tale punto si ottiene imponendo che le due equazioni

formino un sistema di primo grado in due incognite:

'px'my

pmxy

la cui soluzione determina il punto P.

FUNZIONI DI SECONDO GRADO

Funzioni Simmetriche

Una funzione y = f(x) si dice simmetrica rispetto all’asse delle ordinate se risulta f(x) = f(-x), il

che è possibile solo se la funzione è di grado pari. Si dice simmetrica rispetto all’origine degli

assi se risulta f(-x) = -f(x), il che è possibile quando sia x sia y presentano o solo grado pari o

solo grado dispari.

Equazione della Parabola

La parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una

retta fissa, detta direttrice, non passante per il fuoco e parallela all’asse delle ascisse.

cbxaxy

df

dfe

df

e

dfa

df

dfex

df

ex

dfy

ddyffyeexdyfyex

2

222

2222

2222222

)(2c ; b ;

)(2

1

)(2)(2

1

222 x

che rappresenta l’equazione della parabola.

Considerando, poi, noti i valori di a, b, c ed incogniti i valori e, f, d si ottiene:

2a

b- e

b

e-

2a

1 ;

b

e- d-f

d-f

e-b

2a

1d-f

)(2

1

df

a

Dato un sistema di assi cartesiani ortogonali, si consideri una retta

passante per il fuoco F parallela all’asse delle y e perpendicolare

alla direttrice d; siano (e,f) le coordinate di F, con f d e sia P(x,y)

un generico punto della parabola, indicato con H(x,d) il piede della

perpendicolare per P alla direttrice d, per la definizione data, deve

essere:

PF = PH PF2 = PH2

Applicando la formula della distanza di due punti si ha: O X

Y

P(x,y)

F(e,f)

d

H

V(e, f+d)

2

2a-

2

4b-

2

b-4ac

2

b-2c d)(f

2

b d)(f-2c

4

b )(2

2a

1

e d)(f-2cd)-(f 2

e

2c

d)(f-2cd)-(f

2

e

2c

df-1d)-(f

2

e

2c

d)(fd)-(f-d)-(f

2

))((

2

e d)-(f

)(2

e c

222

2

2

2

222

22222

a

ac

aa

aadfc

cc

cc

dfdf

cdf

df

4a

1- d

4a

1-

4a

1--

4a

2--1

2

1

4a

-1

2a

1-f d

4a

-1 f

2a

-1 2f

2a-

2a

1 d-f

a

df

da cui si ricava che il fuoco ha coordinate:

la direttrice ha equazione:

l’asse di simmetria ha equazione:

Infine, il punto V, detto vertice della parabola, che è il punto sull’asse di simmetria equidistante

tra il fuoco e la direttrice ha coordinate:

4a

-1y;

a2

bx F FF

4a

1y

2a

by

4a

;2

VV ya

bxV

Significato dei Parametri a, b, c

Ricordando le coordinate del fuoco e del vertice, i tre parametri a, b, c assumono un preciso

significato nell’equazione parametrica della parabola:

y = ax2 + bx + c

parametro a:

parametro b:

ricordando l’equazione dell’asse di simmetria della parabola se è b = 0, risulta x = 0, e ciò

significa che l’asse di simmetria coincide con l’asse delle y e il punto di intersezione con l’asse

delle ordinate è il vertice della parabola.

parametro c:

ponendo nell’equazione della parabola a = b = 0, si ottiene y = c; ciò significa che il termine noto

c rappresenta il punto in cui la parabola interseca l’asse delle ordinate, per cui se:

c = 0 la parabola passa per l’origine;

c > 0 la parabola interseca l’asse y in un punto di ordinata positiva;

c < 0 la parabola interseca l’asse y in un punto di ordinata negativa.

a > 0 il fuoco è al di sopra del vertice, il valore assunto

da y è sempre positivo e si dice che la parabola

volge la concavità verso l’alto; in questo caso il

vertice rappresenta il punto più basso (minimo)

della curva.

O X

Y

a > 0

a < 0 il fuoco è al di sotto del vertice, il valore assunto

da y è sempre negativo e si dice che la parabola

presenta la concavità verso il basso; in questo

caso il vertice rappresenta il punto più alto

(massimo) della curva.

X

Y

O

a < 0

c o; V 4a

ac4b ;

a2

b V

2

Intersezione della Parabola con l’Asse delle x

I punti di intersezione tra la parabola e l’asse delle x si ricercano imponendo il sistema:

0y

cbxaxy 2

e risolvendo l’equazione di secondo grado che si ottiene; i casi che si possono presentare sono:

O X

Y

> 0

x1 x2

> 0 l’equazione ammette due radici reali e distinte che

rappresentano i punti di intersezione della parabola

con l’asse delle x.

Si tenga presente, come si vede anche dalla figura che

risulta x1 < x

2

O X

Y

= 0

= 0 l’equazione ammette due radici reali e coincidenti

(x1=x

2); tale valore indica che la parabola è tangente

all’asse delle x nel punto di ascissa x = x1 = x

2;

O X

Y

< 0

< 0 l’equazione non ammette radici reali ma complesse e

coniugate; ciò indica che non esistono punti di

intersezione tra la parabola e l’asse delle x.

Equazione dell’Iperbole

L’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle

distanze da due punti fissi detti fuochi.

a2ycxycx 2222

da cui eliminando le radici e sviluppando i calcoli si ha:

(c2 – a2)x2 – a2y2 = a2(c2 – a2)

Siccome in un triangolo un lato è sempre minore della somma degli altri due e maggiore della

loro differenza (vedi figura) si ha F1F2 > PF1 – Pf2 equivalente a c2 > a2, cioè c2 – a2 > 0, è lecito

porre c2 – a2 = b2 con b numero reale positivo; si ottiene pertanto:

b2x2 – a2y2 = a2b2 1b

y

a

x2

2

2

2

che rappresenta l’equazione generale dell’iperbole. Il valore c viene detto distanza focale e vale:

22 bac

Proprietà dell’Iperbole

comparendo nell’equazione dell’iperbole x2 e y2, la curva è simmetrica rispetto ad entrambi gli

assi cartesiani e di conseguenza rispetto all’origine degli assi, che per tale motivo è detto centro

dell’iperbole.

O X

Y

P

F1 F2

Dati due punti fissi sull’asse delle x, F1(-c,0) e

F2(c,0), equidistanti dall’origine, detto P(x,y) il

generico punto della curva e indicato con 2a la

differenza costante della distanza di P dai fuochi, si

ha: P F1 - P F

2 = 2°

E trasormando i segmenti nelle loro misure:

O X

Y

A'(-a,0) A(a,0)

y = (-b/a)xy

= (b/a

)x

Andando a considerare l’intersezione dell’iperbole con

l’asse delle x si ottiene:

0y

ax ;

0y

ax

0y

1b

y

a

x

1

1

1

12

2

2

2

cioè l’iperbole incontra l’asse delle x nei punti A’(-a,0) e

A(a,0), che si dicono vertici dell’iperbole.

Risolvendo l’equazione dell’iperbole rispetto ad y si ottiene:

22 axa

by

e siccome quest’espressione è reale solo se è x2 – a2 > 0, una retta parallela all’asse delle y

interseca l’iperbole solo se ha da y una distanza maggiore o uguale ad a, cioè se è x a; in

particolare l’intersezione avviene in due punti simmetrici rispetto all’asse delle x se è x > a (retta

verticale tratteggiata); è tangente all’iperbole in A se è x = a. Ciò porta a dire che l’iperbole è

tutta esterna alla parte di piano delimitata dalle rette:

x = -a ; x = a

Asintoti dell’Iperbole

Si consideri la generica retta y = mx passante per l’origine, imponendo il sistema tra essa e

l’iperbole si ha:

222222

2

2

2

2

bax)ma(b 1b

y

a

x

mxy

volendo sapere se la retta e l’iperbole sono tra loro tangenti bisogna porre nell’equazione

risultante = 0 b2 - a2m2 = 0 m = b/a

andando, però, a sostituire tali valori di m si ottiene l’assurdo 0 = a2b2; ciò geometricamente

significa che sostituendo ad m i due valori trovati si ottengono due rette

xa

b y; x

a

by

che, pur non risultando mai tangenti ai rami dell’iperbole, si avvicinano ad essi sempre di più o,

che è lo stesso, sono tangenti all’iperbole all’infinito; tali rette per questa caratteristica vengono

dette asintoti dell’iperbole.

Eccentricità dell’Iperbole

Ricordando che c è l’ascissa del fuoco e che a è l’ascissa del vertice dell’iperbole, si definisce

eccentricità il rapporto:

e risultando sempre c > a tale valore è sempre maggiore di 1.

L’eccentricità è un parametro molto importante perché definisce l’ampiezza dell’iperbole,

supponendo infatti che risulti e = 1 ciò comporterebbe c = a e quindi l’iperbole degenererebbe in

a

ce

una retta parallela all’asse delle y; supponendo, invece, che risulti e = si avrebbe il fuoco

all’infinito e quindi l’iperbole degenererebbe in una retta coincidente con l’asse delle x.

Iperbole Equilatera

L’iperbole è una iperbole avente gli asintoti perpendicolari tra di loro, il che si ottiene quando si

pone a = b e l’iperbole assume la forma:

Fuochi: ricordando che è c2 = a2 + b2 , sostituendo si ha: c2 = a2 + a2 = 2a2 c = a 2, per cui i fuochi

avranno coordinate F1 = (-a 2 ; 0) e F2 = (a 2 ; 0).

Eccentricità: risultando e = c/a sostituendo si ha: 22a

ae (valore costante).

Asintoti: dall’equazione y = ±(b/a)x, ponendo a = b, si ha: y = ±x, cioè gli asintoti dell’iperbole

equilatera saranno le bisettrici dei quadranti.

Iperbole Equilatera riferita agli asintoti

Facendo ruotare gli asintoti dell’iperbole equilatera in senso antiorario in modo da sostituirli agli

assi, si ottiene un nuovo tipo di iperbole equilatera che si dice riferita agli asintoti; in questo caso

i vecchi assi diventeranno le bisettrici dei nuovi quadranti e siccome i fuochi si trovano sui

vecchi assi con distanza dall’origine pari ad a 2, in questo nuovo sistema di assi avranno

coordinate F(±a ; ±a). Applicando, allora, la formula per il calcolo della distanza di due punti con

queste nuove coordinate e sviluppando i calcoli si giunge all’equazione xy = a2/2 e ponendo in

essa a2/2 = k si ha:

x

ky kxy

che esprime la proporzionalità inversa tra le due variabili x e y.

ay- x 1y

-x 22

2

2

2

2

aa

X

Y

O

a > 0

Da quanto detto risulta, quindi, che al diminuire di x fino a farlo avvicinare molto a zero, la y

cresce sempre di più fino ad assumere il valore infinito per cui la curva tende a diventare

tangente all’asse delle y e, ricordando che significa ciò, si può dire che l’asse delle y è un

asintoto dell’iperbole equilatera; d’altra parte lo stesso discorso può essere fatto anche nei

confronti dell’asse delle x che, pertanto, risulta essere anch’esso un asintoto

Risultando in questa espressione k 0, non può essere né x = 0 né y = 0, cioè la curva non passa

per l’origine degli assi.

Risultando, infine, f(-x) = -f(x) la curva è simmetrica rispetto all’origine ed è sempre costituita

da due rami; in particolare se è k > 0 i due rami sono posizionati nel primo e nel terzo quadrante

e la curva presenta un andamento crescente; se è k < 0 i due rami sono situati nel secondo e nel

quarto quadrante e la curva presenta un andamento decrescente.

Fuochi: ricordando le coordinate attribuite ai fuochi e che si è posto a2/2 = k, risulta a = ± 2k e

quindi: F(± 2k ; ± 2k)

Vertici: essendo punti di intersezione tra l’iperbole e le bisettrici dei quadranti si ha:

0 ;kA k x x 2 kxy

kxy

Eccentricità: siccome l’eccentricità di un’iperbole equilatera è un valore costante resterà

e = 2

Asintoti: ricordando che gli asintoti di questa iperbole sono i vecchi assi cartesiani si ha:

x = 0 e y = 0

Equazione della Circonferenza

La circonferenza è il luogo dei punti del piano che hanno distanza costante (raggio r) da un punto

fisso (centro C).

La condizione affinché un punto P(x,y) appartenga alla circonferenza è:

Sviluppando ed ordinando si ha:

x2 +y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

e facendo le posizioni

m = -2a ; n = -2b ; p = a2 + b2 – r2

si ottiene l’equazione parametrica della circonferenza:

x2 + y2 + mx + ny + p = 0

Ne l caso particolare in cui il centro della circonferenza coincide con l’origine degli assi, cioè è

a=0 e b=0, l’equazione assume la forma:

x2 +y2 = r2

Dall’analisi dell’equazione parametrica, si nota che l’equazione della circonferenza:

presenta i coefficienti di x2 e y2 pari da 1 (cosa che si può sempre ottenere dividendo tutto

per il loro valore comune),

manca del termine in xy,

deve risultare sempre m2 + n2 – 4p > 0 o equivalentemente a2 + b2 – p > 0, perché solo in

questo caso r 0 (è un numero reale). Infatti se risulta m2 + n2 – 4p = a2 + b2 – p = 0 si ha r

= 0, il che significa che la circonferenza è soddisfatta solo dalle coordinate del centro (si

parla in tal caso di circonferenza a raggio nullo).

Circonferenza passante per Tre Punti

La condizione affinché una circonferenza passi per tre punti assegnati A(x1,y

1), B(x

2,y

2), C(x

3,y

3)

è che tali punti siano soluzione dell’equazione della circonferenza.

Imponendo un sistema formato andando a sostituire le coordinate dei tre punti alle incognite x e

y dell’equazione della circonferenza si ha:

O

P (x,y)

X

Y

C(a,b)

CP = r

Indicato con C(a,b) il punto fisso, dalla formula della distanza

tra due punti si ha:

22222rbyax rbyax

che rappresenta l’equazione della circonferenza.

0pnymxyx

0pnymxyx

0pnymxyx

33

2

3

2

3

22

2

2

2

2

11

2

1

2

1

e risolvendo rispetto alle incognite m, n, p si ottengono i coefficienti dell’equazione cercata.

Tangente alla Circonferenza in un Punto

Dato il punto P(x1,y

1) per avere la tangente alla circonferenza in esso, bisogna cercare

l’equazione della retta passante per quel punto:

y – y1 = (x – x

1) [ = coefficiente angolare]

e imporre il sistema tra la retta e la circonferenza:

xy

0pnymxyx 22

la cui risoluzione conduce ad un’equazione di secondo grado che, per rispettare la condizione di

tangenza, deve avere discriminante nullo (soluzioni reali e coincidenti). D’altra parte, essendo

presente nel il valore incognito , porre = 0 significa determinare un’equazione

nell’incognita che, risolta, fornisce i valori dei coefficienti angolari (si tenga presente che si

tratta di un’equazione di secondo grado e, pertanto, si ottengono due soluzioni) delle rette

tangenti alla circonferenza.

Equazione dell’Ellisse

L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze

da due punti fissi detti fuochi.

a2ycxycx 2222

estraendo le radici e sviluppando i calcoli, la relazione assume la forma:

(a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2)

risultando a > c (nel triangolo F1PF

2 il lato F

1 F

2 è minore della somma degli altri due) è

possibile fare la posizione:

a2 – c2 = b2

con b numero reale positivo e quindi si ottiene:

1b

y

a

x bayaxb

2

2

2

2222222

che rappresenta l’equazione dell’ellisse di semiassi a e b con a > b.

Da notare che per a = b l’equazione si trasforma in quella della circonferenza di centro O(0,0) e

raggio r = a.

Poiché l’equazione dell’ellisse è un’equazione di grado pari la curva è simmetrica rispetto agli

assi coordinati (che pertanto si dicono assi dell’ellisse) e, quindi, rispetto all’origine degli assi

che si dice centro dell’ellisse.

Risolvendo l’equazione una volta rispetto alla variabile x e una volta rispetto alla variabile y si

ottiene:

2222 xbb

ay ; yb

b

ax

da cui si deduce che l’ellisse è interna al rettangolo delimitato dalle rette:

x = -a x = a

y = -b y = b

F1 F2

A A'

B

B' P

X

Y

O

Dati due punti fissi, F1(-c,0) e F

2(c,0), sull’asse delle ascisse,

equidistanti dall’origine, detto P(x,y) il generico punto della

curva e indicato con 2a la somma costante delle distanze di P

da F1 e F

2, si ha:

P F1 + PF

2 = 2a

E trasformando i segmenti nelle rispettive misure:

Infatti, ponendo nell’espressione di x il valore y = 0 si ottiene x = a, cioè l’ellisse incontra

l’asse delle x nei punti A(-a,0) e A’(a,0); ponendo nell’espressione di y il valore x = 0 si ottiene y

= b, cioè l’ellisse incontra l’asse delle y nei punti B(0,-b) e B’(0,b).

I punti A, A’, B, B’ si dicono vertici dell’ellisse, mentre i segmenti delimitati da tali punti, cioè:

AA’ = 2a e BB’ = 2b

Si dicono assi dell’ellisse; in particolare, risultando a > b, il segmento AA’ si dice asse maggiore

il segmento BB’ si dice asse minore.

Molto importante, per l’ellisse, è il rapporto:

e = c/a

valore compreso tra 0 e 1, che viene detto eccentricità dell’ellisse e può essere assunto come la

misura di quanto l’ellisse, per la sua forma più o meno allungata, differisce dalla circonferenza.

In particolare, se risulta e = 1 l’ellisse coincide con l’asse x (tale situazione indica che a tende

all’infinito, cioè i due fuochi si trovano a distanza infinita tra loro); se risulta e = 0 l’ellisse

coincide con la circonferenza di raggio r = b = a.

Tangenti all’Ellisse

Per determinare le equazioni delle tangenti all’ellisse in un punto P, si impone il sistema tra

l’equazione dell’ellisse e l’equazione della generica retta passante per P, dopo di che si impone

che il discriminante ottenuto dal sistema sia nullo. In particolare se il punto P1(x

1,y

1) appartiene

all’ellisse, l’equazione della tangente in P1 ha equazione:

1b

yy

a

xx2

1

2

1

FUNZIONI TRASCENDENTI

Si dicono funzioni trascendenti quelle funzioni per le quali il legame tra la variabile indipendente

e la variabile dipendente non è dato da operazioni aritmetiche.

Funzione Esponenziale

Se a è un numero reale positivo e diverso da 1 la potenza ax sarà definita per ogni valore reale di

x, pertanto risulterà definita, per ogni x reale, anche la funzione

y = ax

avente come esponente la variabile x e come base la costante a; tale funzione è detta funzione

esponenziale e il suo grafico curva esponenziale.

crescere di |x| la y decresce restando però sempre positiva.

Per a = 1 la funzione, qualunque sia il valore di x, assume sempre il valore 1, per cui la curva

degenera in una retta parallela all’asse delle x passante per il punto (0,1).

Per 0 < a < 1 la funzione risulterà decrescente all’aumentare di x, restando però sempre positiva.

Equazione Esponenziale

Come si è visto la funzione y = ax, con a > 0, è definita per ogni valore di x ed è sempre positiva.

Ponendo, ora, y = b, con b reale e positivo, e lasciando x variabile si ottiene:

ax = b [a > 0, b > 0]

che rappresenta un nuovo tipo di equazione caratterizzata dal fatto che l’incognita x è

all’esponente.

Per la risoluzione di tale equazione si possono distinguere, in pratica, quattro casi:

a = 1 b = 1 L’equazione assume la forma 1x = 1; qualunque valore di x soddisfa l’equazione,

per cui essa ammette infinite soluzioni (equazione indeterminata).

a = 1 b 1 L’equazione assume la forma 1x = b; nessun valore di x soddisfa l’equazione,

per cui essa non ammette soluzioni (equazione impossibile).

Per a > 1 il valore ax è sempre positivo e, quindi, il

grafico è posizionato sempre al di sopra dell’asse

delle x; in particolare per x = 0 risulta y = 1, da cui

si deduce che la curva incontra l’asse delle y nel

punto (0,1); per x > 0 è ax > 1, per cui al crescere

di x cresce anche y; per x < 0 è ax < 1, per cui al

xx

y

a > 1 0 < a < 1

a = 1

a 1 b = 1 L’equazione assume la forma ax = 1; esiste un’unica soluzione x = 0.

a 1 b 1 L’equazione assume la forma ax = b; sia per a > 1, sia per 0 < a < 1 l’equazione

ammette un’unica soluzione.

In quest’ultimo caso si possono avere due tipi diversi di equazione:

1° tipo: b è un multiplo di a, b = an , in questo caso è ax = b = an e la soluzione

si ottiene uguagliando gli esponenti, x = n; così ad esempio:

2x = 8 2x = 23 x = 3

3x

0x 27x3x 55

2

122)7x3x( 2

2° tipo: b non è multiplo di a; l’equazione ammette ancora un’unica soluzione a

cui si dà il nome di logaritmo del numero b in base a e si scrive x = logab, ne

segue che le due equazioni: ax = b x = logab sono tra loro

equivalenti.

LOGARITMI

Si dice logaritmo di un numero reale positivo, in una data base positiva e diversa da 1,

l’esponente a cui bisogna elevare tale base per ottenere il numero dato:

x = logab ax = b

da questa definizione segue:

1aa xblog ba xbloga

blog aa

sempre dalla definizione di logaritmo segue che due numeri diversi possono avere logaritmi

uguali:

25 81 ; log525 = 2 ; log

981 = 2

mentre uno stesso numero, variando la base, può avere logaritmi disuguali:

log381 = 4 ; log

981 = 2

E’ importante notare che il valore del logaritmo di un numero dipende sia dalla base sia dal

numero stesso:

038/1log negativo log. 1b0

0416log positivo log. 1b 1a

2

2

024/1log positivo log. 1b0

0327log negativo log. 1b 1a0

1/2

1/3

Sistemi di Logaritmi

Un sistema di logaritmi è l’insieme dei logaritmi di tutti i numeri reali positivi, presi tutti in una

stessa base.

I logaritmi più utilizzati sono:

Logaritmi decimali (volgari o di Briggs), hanno come base il numero 10; il simbolo è

log.

Logaritmi naturali (neperiani o iperbolici), hanno come base il numero irrazionale e =

2,7182…; il simbolo è ln.

Proprietà dei Logaritmi

I numeri negativi non hanno logaritmi.

Qualunque sia la base a, il logaritmo di 1 è sempre 0:

loga1 = 0 (a0 = 1)

il logaritmo di un numero che ha per base il numero stesso è sempre 1:

logaa = 1 (a1 = a)

due numeri uguali hanno logaritmi uguali se la base è la stessa; equivalentemente, due numeri

che hanno logaritmi uguali, nella stessa base, sono uguali:

x = logab ; y = log

ab (x = y)

Se è a > 1 il logaritmo di un numero cresce al crescere del numero stesso; se è 0 < a < 1 il

logaritmo di un numero decresce al crescere del numero.

I Teoremi Fondamentali dei Logaritmi

I teoremi che regolano le operazioni sui e con i logaritmi sono essenzialmente quattro:

1° teorema: il logaritmo del prodotto di due o più numeri positivi è uguale alla somma dei

logaritmi dei singoli fattori:

loga(m n) = log

am + log

an

2° teorema: il logaritmo del quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza tra il

logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore:

loga(m/n) = log

am - log

an

3° teorema: il logaritmo della potenza di un numero reale, positivo è uguale al prodotto

dell’esponente per il logaritmo della base della potenza:

logamn = n log

am

4° teorema: il logaritmo di un radicale è uguale al prodotto dell’inverso dell’indice per il

logaritmo del radicando:

mlogn

1mlog a

na

Passaggio da un Sistema di Logaritmi ad un Altro

Il logaritmo di un numero, in una qualsiasi base b, si ottiene da quello, in un’altra base a,

moltiplicandolo per la quantità fissa:

blog

1m

a

detta modulo di passaggio da una base all’altra:

xlogmblog

1xlogxlog a

aab

Logaritmi Decimali

Il logaritmo decimale di un numero reale positivo è l’esponente a cui bisogna elevare il numero

10 per ottenere il numero dato:

10x = n log n = x

dalla definizione di logaritmo risulta:

100 = 1 log 1 = 0 ; 101 = 10 log 10 = 1

dal terzo teorema dei logaritmi discende che il logaritmo decimale di una generica potenza di 10

è uguale all’esponente:

log 10n = n log 10 = n 1 = n

da ciò discende che:

il logaritmo decimale di una qualsiasi potenza di 10 è dato dal numero degli zeri di cui è

composta la potenza stessa:

10 = 101 log 10 = 1 ; 1000 = 103 log 103 = 3

il logaritmo decimale di una qualsiasi unità decimale minore di 1 è quell’intero negativo

il cui valore assoluto fornisce il numero degli zeri presenti, compreso quello che precede

la virgola:

0,1 = 10-1 log 10-1 = -1 ; 0,01 = 10-2 log 10-2 = -2

In conclusione si può affermare che i logaritmi decimali dei numeri maggiori di 1 sono positivi,

quelli dei numeri compresi tra 0 e 1 sono negativi.

Analisi dei Logaritmi

Il logaritmo di un numero è composto di due parti:

caratteristica: parte intera del logaritmo; può essere positiva, nulla, negativa.

mantissa: parte decimale del logaritmo; è sempre positiva e minore di 1.

mantissa 14548

ticacaratteris 2 14548,2327log

In effetti, la caratteristica del logaritmo di un numero maggiore di 1 è pari al numero delle cifre

della parte intera del numero diminuito di un’unità; infatti, se N è un numero positivo maggiore

di 1 composto da n cifre, si ha:

10n-1 < N < 10n log 10n-1 < log N < log 10n (n-1) < log N < n

e ciò indica, appunto, che la parte intera del logaritmo di N è (n-1);

esempio: il numero 327 è compreso tra 100 e 1000 per cui si ha:

102 < 327 < 103 log 102 < log 327 < log 103 2 < log 327 < 3 log 327 = 2, ….

La caratteristica di un numero positivo minore di 1 è pari a tantante unità negative quanti sono

gli zeri che precedono la prima cifra significativa, compreso quello che precede la virgola; infatti

se M è un numero compreso tra 0 e 1 ( 0 < M < 1), si ha:

10-n < M < 10-(n-1) log 10-n < log M < log 10-(n-1) -n < log N < -(n-1)

e ciò indica, appunto, che la parte intera del logaritmo di M è -n;

esempio: il numero 0,00327 è compreso tra 0,001 e 0,01 per cui si ha

10-3 < 0,00327 < 10-2 log 10-3 < log 0,00327 < log 10-2 -3 < log 0,00327 < -2

log 0,00327 = -3, ….

In definitiva se il numero è maggiore di 1 il suo logaritmo è dato dalla somma di due numeri

positivi (c + m); se il numero è minore di 1 il suo logaritmo è dato dalla somma di un numero

negativo e di un numero positivo (-c + m), in quest’ultimo caso però il numero che si ottiene

viene detto forma mista e si scrive simbolicamente:

14548,3 3,14548- m,c__

Dall’esempio si evince un’altra importante proprietà dei logaritmi:

Moltiplicando o dividendo un qualunque numero per una qualsiasi potenza di

10, la mantissa del suo logaritmo non cambia.

Indicato, infatti, con N un numero positivo qualunque e con k un numero intero positivo o

negativo, si può scrivere N’ = N 10k , per cui il logaritmo di N’ è:

log N’ = log(N 10k ) = log N + log 10k = log N + k

log N’ - log N = k

cioè i due logaritmi differiscono per il numero k, il che significa che le due mantisse sono uguali;

esempio:

2 log3,27 - log327 14548,027,3log

14548,2327log

Operazioni sui Logaritmi

In base ai teoremi sui logaritmi è possibile sommare o sottrarre due logaritmi tra loro; è

possibile, invece, fare il prodotto o il rapporto solo tra un logaritmo e un numero e non tra

logaritmi.

DISEGUAGLIANZE

Dati due numeri relativi a e b se la loro differenza è una quantità positiva (maggiore di zero) si

dice che a è maggiore di b e si scrive:

a – b > 0 a > b;

se è una quantità negativa (minore di zero) si dice che a è minore di b e si scrive:

a – b < 0 a < b.

Un’espressione del genere si dice diseguaglianza e sarà di verso positivo nel primo caso, di verso

negativo nel secondo caso.

PROPRIETÀ DELLE DISEGUAGLIANZE

Data una diseguaglianza, aggiungendo ad entrambi i membri uno stesso numero si ottiene una

diseguaglianza dello stesso verso:

a > b a + m > b + m ; a < b a + m < b + m

Due diseguaglianza dello stesso verso possono sommarsi membro a membro dando luogo ad una

diseguaglianza dello stesso verso (non è lecito effettuare la differenza):

a > b ; c > d a + c > b + d

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una diseguaglianza per uno stesso numero

positivo, si ottiene una diseguaglianza dello stesso verso

a > b ; m > 0 a m > b m ; a > b ; m > 0 a /m > b/m

Se, invece, il numero è negativo si ottiene una diseguaglianza di verso opposto:

a > b ; m < 0 a m < b m ; a > b ; m < 0 a /m < b/m

Da questa proprietà si deduce, come caso particolare, che cambiando il segno ai membri di una

diseguaglianza si ottiene una diseguaglianza di verso opposto:

a > b ; m = -1< 0 -a < -b

Moltiplicando membro a membro tra loro due diseguaglianze dello stesso verso, si ottiene una

diseguaglianza dello stesso verso:

a > b ; c > d a c > b d

Facendo il reciproco dei membri di una diseguaglianza si ottiene una diseguaglianza di verso

opposto:

a > b 1/a < 1/b ; a < b 1/a > 1/b

Elevando i due membri di una diseguaglianza a potenza con esponente intero positivo (n > 0), si

ottiene una diseguaglianza dello stesso verso se i due membri sono entrambi positivi:

a > 0 ; b > 0 ; n > 0 ; a > b an > bn

se i due membri sono entrambi negativi e l’esponente è dispari (n = 2 m+1), si ottiene una

diseguaglianza dello stesso verso:

a < 0 ; b < 0 ; n = 2 m+1 ; a > b an > bn

se i due membri sono entrambi negativi e l’esponente è pari (n = 2 m), si ottiene una

diseguaglianza di verso contrario:

a < 0 ; b < 0 ; n = 2 m ; a > b an < bn

Se m e n sono due numeri interi positivi ed a è un qualsiasi numero positivo diverso da uno, dalla

diseguaglianza m > n segue:

a 1 (a > 1) am > an ; a 1 (a < 1) am < an

DISEQUAZIONI

Se tra i membri di una diseguaglianza di due espressioni algebriche sono presenti una o più

variabili incognite si ottiene una disequazione, che gode delle stesse proprietà delle

diseguaglianze:

A(x) > B(x) ; A(x) < B(x)

I due polinomi A(x) e B(x) si dicono membri della disequazione.

Risolvere una disequazione significa trovare quei valori, detti limiti o soluzioni, tra cui devono

essere compresi quelli da attribuire alle incognite affinché la disequazione si trasformi in una

diseguaglianza numerica. Se la disequazione non è soddisfatta da alcun valore, cioè non ha

soluzioni, si dice assurda.

Una disequazione si dice ridotta a forma normale se al primo membro è presente un polinomio

ordinato secondo le potenze decrescenti dell’incognita e il secondo membro è zero:

A(x) > 0 axn + bxn-1 + … + vx + z > 0

A(x) < 0 axn + bxn-1 + … + vx + z < 0

Se in una disequazione compare solo il segno di diseguaglianza, la disequazione si dice forte; se

compare anche il segno di eguaglianza, la disequazione si dice debole o mista:

A(x) 0 ; A(x) 0

È importante sottolineare che, mentre un’equazione è soddisfatta solo da uno o più valori

dell’incognita (dipende dal grado dell’incognita), una disequazione è soddisfatta da infiniti valori

dell’incognita. Infatti, mentre l’equazione x – 5 = 0 è soddisfatta dalla soluzione x = 5, la

disequazione x – 5 > 0 è soddisfatta dalle soluzioni x > 5, cioè da qualunque valore maggiore di

5.

DISEQUAZIONI DI 1° GRADO

Disequazioni ad una incognita Una disequazione di primo grado ad una incognita si presenta nella forma

a x + b > 0 ; a x + b < 0

Per la sua risoluzione si procede come per le equazioni di primo grado, supponendo a > 0 (cosa

che è sempre possibile ottenere, moltiplicando, eventualmente, tutto per -1):

a x + b > 0 a x > -b x > -b/a

a x + b < 0 a x < -b x < -b/a

la disequazione di verso positivo sarà soddisfatta da tutti i valori (infiniti) maggiori di -b/a; la

disequazione di verso negativo sarà soddisfatta da tutti i valori (infiniti) minori di -b/a.

È spesso conveniente eseguire la rappresentazione grafica delle soluzioni su di una retta (vedere

esempi relativi).

Esempi

Disequazioni a due incognite

Una disequazione di primo grado a due incognite si presenta nella forma:

ax + by + c > 0 ; ax + by + c < 0

per la sua risoluzione, supposto a > 0, si pone il primo membro uguale a zero ottenendo, in tal

modo, l’equazione associata:

ax + by + c = 0

indicato, poi, con xo e yo una delle infinite coppie di valori che verificano l’equazione, se la

disequazione è di verso positivo si assume un valore y > yo per b > 0, y < yo per b < 0, cosi che

le coppie di valori (xo , y) costituiscono le soluzioni della disequazione; se la disequazione è di

verso negativo, per ognuno dei valori xo che verificano l’equazione, si assume un valore y < yo

4x 04x

212x2

3x3

-2x 02x

-2x 02x

0 4 x(tutti i valori > 4, escluso 4)

0-2x(tutti i valori > -2, escluso -2)

0-2 x(tutti i valori > -2, compreso -2)

per b > 0, y > yo per b < 0, cosi che le coppie di valori (xo , y) costituiscono le soluzioni della

disequazione.

In conclusione, per decidere a quali limitazioni deve sottostare il valore della y affinché, in

coppia con xo, soddisfi la disequazione bisogna confrontare il segno del coefficiente b con quello

della disequazione stessa, assumendo:

y > yo Se il segno di b è concorde con quello della

disequazione;

y < yo Se il segno di b è discorde con quello della

disequazione;

Esempio

-3x – 4y – 5 < 0

cambiando segno: 3x + 4y + 5 > 0 equazione associata: 3x + 4y + 5 = 0

x = xo = 0 y = -5/4

Esempio

x – 2y + 5 > 0

equazione associata: x - 4y + 5 = 0

x = xo = 1 y = 3

X

Y

-5/3

-5/4

(0, -5/4) Coppia di valori, tra gli infiniti, che soddisfano

l’equazione.

b = 4 > 0 Valore di b concorde con il verso della

disequazione.

y > -5/4 Ogni valore di y maggiore di –5/4, accoppiato

con xo, costituirà una soluzione della

disequazione.

X

Y

-5

5/2

(1, 3) Coppia di valori, tra gli infiniti, che

soddisfano l’equazione.

b = -2 < 0 Valore di b discorde con il verso della

disequazione.

y < 3 Ogni valore di y minore di 3,

accoppiato con xo, costituirà una

soluzione della disequazione.

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO

Disequazioni ad una incognita

Una disequazione di secondo grado ad una incognita si presenta nella forma:

ax2 + bx + c > 0 ; ax2 + bx + c < 0

per la risoluzione di questa disequazione, supposto a > 0 (cosa che è sempre possibile), bisogna

considerare l’equazione associata: ax2 + bx + c = 0 e calcolarne il discriminante = b2 – 4ac.

Si hanno tre casi distinti:

1) > 0 L’equazione ammette due radici reali e distinte x1 e x2; l’equazione può essere

scritta nella forma: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)

Risultando, in tal caso, le due radici una minore dell’altra, x1 < x2, si nota che per valori di x >

x2 le differenze (x – x1) e (x – x2) saranno entrambe positive; per valori di x < x1 le differenze

(x – x1) e (x – x2) saranno entrambe negative. In ogni caso il prodotto delle due differenze sarà

positivo, per cui il trinomio (ax2 + bx + c) sarà positivo per tutti i valori x > x2 e x < x1, cioè

quando si attribuiscono alla x valori esterni all’intervallo (x1, x2). Dando alla x valori interni a

tale intervallo, risultando x – x1 > 0 e x – x2 < 0, il prodotto delle due differenze sarà negativo

come negativo sarà anche il trinomio (ax2 + bx + c). In conclusione si ha:

ax2 + bx + c > 0 x < x1 ; x > x2

ax2 + bx + c < 0 x1 < x < x2

2) = 0 L’equazione ammette due radici reali e coincidenti x1 = x2; l’equazione può essere

scritta nella forma: ax2 + bx + c = a(x – x0)2 = a(x + b/2a)2

Il trinomio è positivo per qualunque valore di x -b/2a. In conclusione si ha:

O X

Y

2 3

Esempio

x2 – 5x + 6 > 0

x2 – 5x + 6 = 0 x1 = 2 ; x2 = 3

= 1 > 0 x < 2 ; x > 3

ax2 + bx + c > 0 x -b/2a

ax2 + bx + c < 0 Assurda, perché un valore al quadrato

non può essere negativo

3) < 0 L’equazione ammette due radici complesse e coniugate, cioè radici non

reali. Tuttavia il trinomio può essere scritto nella forma:

Risultando b2 – 4ac < 0, nella parentesi quadra ci sarà la somma di un numero positivo o nullo

(il binomio al quadrato) con un un numero positivo (ottenuto come prodotto di due valori

negativi), per cui il trinomio risulterà positivo per ogni valore di x. In conclusione si ha:

ax2 + bx + c > 0 Qualunque valore della x

ax2 + bx + c < 0 Non ammette alcuna soluzione

2

22

2

a4

ac4b

a2

bxacbxax

Y

X

Esempio

4x2 – 4x + 5 > 0

4x2 – 4x + 5 = 0 x1 = (2 – 4i)/4 ; x2 = (2 + 4i)/4

< 0 x = qualunque valore

SISTEMI DI DISEQUAZIONI

Un insieme di due o più disequazioni, che devono essere soddisfatte contemporaneamente,

costituisce un sistema di disequazioni ed ogni soluzione comune a tutte le disequazioni del

sistema si dice soluzione del sistema.

Per risolvere un sistema di disequazioni, si risolvono singolarmente le disequazioni e, poi, si

esamina se vi sono soluzioni comuni; in caso positivo esse costituiscono le soluzioni del sistema;

in caso negativo il sistema sarà impossibile, cioè le disequazioni saranno tra loro incompatibili.

Esempi si sistemi di disequazioni di 1° grado a due incognite:

Esempio 1:

il sistema è soddisfatto dalla parte di piano tratteggiata.

Esempio 2:

il sistema è soddisfatto dalla parte di piano racchiusa dalle tre rette.

X

Y

3

-273

3x + 7y > 21

2x – 3y < 6

x = 0 y > 3

3x + 7y > 21

y = 0 x > 7

x = 0 y > -2

2x – 3y < 6

y = 0 x < 3

3x + 2y – 6 < 0

4x + y + 8 > 0

x –y + 4 < 0

x = 0 y < 3

3x + 2y – 6 < 0

y = 0 x < 2

x = 0 y > -8

4x + y + 8 > 0

y = 0 x > -2

x = 0 y < 3

x - y + 4 < 0

y = 0 x < 2

X

Y

-2

-8

3

-4 2

Esempio di sistema di disequazioni di 2° grado ad una incognita:

x2 – 8x + 15 > 0

2x2 – 15x + 7 < 0

x2 – 8x + 15 = 0 x = 3 ; x = 5 x2 – 8x + 15 > 0 x < 3 ; x > 5

2x2 – 15x + 7 = 0 x = 1/2 ; x = 7 2x2 – 15x + 7 = 0 1/2 < x < 7

DISEQUAZIONI FRATTE

Una disequazione si dice fratta o frazionaria se contiene variabili al denominatore. La sua

risoluzione si riconduce a quella dei sistemi di due o più disequazioni.

Data la disequazione fratta:

con A(x) e B(x) polinomi nella variabile x, essa sarà soddisfatta dalle soluzioni di uno dei due

sistemi:

0)x(B

0)x(A

0)x(B

0)x(A

cioè da tutti i valori di x che rendono concordi numeratore e denominatore.

Data la disequazione fratta:

con A(x) e B(x) polinomi nella variabile x, essa sarà soddisfatta dalle soluzioni di uno dei due

sistemi:

0)x(B

)x(A

0)x(B

)x(A

0 3 5

0 0,5 7

0 3 50,5 7

il sistema è soddisfatto per i valori di x

tale che:

1/2 < x < 7

5 < x < 7

0)x(B

0)x(A

0)x(B

0)x(A

cioè da tutti i valori di x che rendono discordi numeratore e denominatore.

Un altro metodo, molto più veloce, consiste nello studiare singolarmente la funzione numeratore

e la funzione denominatore, prese entrambe positive:

0)x(B

0A(x) oppure 0)x(A

La soluzione richiesta sarà data dall’intervallo o dagli intervalli che soddisfano il segno della

frazione.

Questo metodo, del tutto generale, può essere applicato anche a disequazioni di grado superiore

al secondo; è sufficiente, infatti, scomporre i polinomi nei loro fattori primi e considerare il

prodotto dei loro segni.

Esempio

La disequazione fratta è soddisfatta dai valori

-3/2 < x < 2 ; x > 2

06xx2

7x212

-3/2 1/3 20 x

21x - 7 > 0

2x2 –x - 6 > 0

21x - 7 > 0 x > 1/3

2x2 –x - 6 > 0 x < -3/2 ; x > 2

da cui: x > 2

0 1/3 2-3/2x

21x - 7 < 0

2x2 –x - 6 < 0

21x - 7 < 0 x < 1/3

2x2 –x - 6 < 0 -3/2 < x < 2

da cui : x > 2

Esempio

A(x) = 12x2 – 4x – 5 > 0

B(x) = 12x2 – 13x + 3 > 0

La disequazione fratta è soddisfatta dai valori:

03x13x12

5x4x122

2

5/6x ; 1/2- x :

5/6x ; 2/1x

12

6042x 05x4x12

1

2

A(x) 3/4x ; 1/3x :

3/4x ; 3/1x

24

144-15913x 03x13x12

1

2

B(x)

6

5 x

4

3 ;

3

1 x

2

1

-1/2 1/3 3/4 5/6

+ +- - -

+ + + +-

- -+ ++

A(x)

B(x)

A(x)/B(x)

PROGRESSIONI ARITMETICHE

Si chiama progressione aritmetica una successione di tre o più numeri tali che la differenza tra

ognuno di essi ed il precedente sia costante:

a1, a

2, a

3, a

4, ……, a

n, a

n+1, …

ai – a

i-1 = d (i = 1,….,n)

esempio:

3, 7, 11, 15, 19, 23, ……..

7 – 3 = 4 ; 11 – 7 = 4 ; 15 – 11 = 4 ; …

tale costante si dice ragione e si indica con la lettera d; i numeri che formano la progressione, ai,

si dicono termini della progressione; il pedice i ad essi associato si dice indice della progressione

ed indica il posto occupato da quei numeri nella progressione (il termine a7 indica che il numero

occupa il settimo posto nella successione).

Una progressione aritmetica si dice limitata se i suoi termini sono in numero finito, in tal caso il

primo ed ultimo termine si dicono estremi della progressione; si dice illimitata se i suoi termini

sono infiniti (è il caso, questo, dell’insieme dei numeri naturali).

Rivolgendo l’attenzione alle sole progressioni aritmetiche limitate e ricordando la definizione si

ha:

ai – a

i-1 = d

ai = a

i-1 + d ; a

i-1 = a

i – d

In una progressione aritmetica un generico termine si ottiene da quello

precedente aumentato della ragione o da quello successivo diminuito della

ragione.

Da ciò scaturisce che se d > 0 la progressione è crescente; se d = 0 la progressione e formata da

termini tutti uguali tra loro; se d < 0 la progressione è decrescente.

Teoremi e Proprietà

In una progressione aritmetica un termine qualunque è uguale al primo termine aumentato di

tante volte la ragione quanti sono i termini che lo precedono:

an = a

1 + (n-1) d

da questo teorema segue che:

1d

aan ;

1n

aad 1n1n

a1 = a

n - (n-1) d

indicati con ar e a

s due termini generici di una progressione aritmetica, con r < s, risulta:

as = a

r + (s-r) d

essendo (s-r) il numero dei termini che precedono as a partire da a

r.

In ogni progressione aritmetica limitata la somma di due termini equidistanti dagli estremi è

costante e pari alla somma degli estremi:

a1 + a

n = a

2 + a

n-1 = …..

esempio:

3, 5, 7, 9, 11, 13

3 + 13 = 5 + 11 = 7 + 9

la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica limitata è pari al prodotto della

semisomma degli estremi per il numero n dei termini:

n2

aaS n1

questo teorema permette di calcolare la somma di n termini consecutivi di una progressione

aritmetica, conoscendo il numero dei termini da addizionare e il primo e l’ultimo termine; d’altra

parte ricordando che l’ultimo termine lo si ottiene conoscendo il primo termine, la ragione ed il

numero dei termini si ha anche:

nd2

1naS 1

esempio:

calcolare la somma dei primi sette termini di una progressione aritmetica il cui primo termine è –

8 e la ragione è 5

a1 = -8 ; d = 5 ; n = 7 ; a

7 = -8 + 6 5 = 22

49752

68S

4972

228S

Un’importante applicazione che discende dal primo teorema è l’inserimento di k medi aritmetici

tra due numeri dati a e b, in modo da ottenere una progressione aritmetica. Il problema consiste,

in effetti, nel trovare k numeri in modo da ottenere la progressione aritmatica formata da k + 2

termini:

a, x1, x

2, ……, x

k-1, x

k, b

a tale scopo basta calcolarsi la ragione d, sapendo che è: a1 = a, a

n = b, n = k + 2, dalla relazione:

1k

abd

1n

aad 1n

esempio:

inserire 8 medi aritmetici tra 13 e 40

a1 = 13 ; a

n = 40 ; n = 8 + 2 = 10

318

1340d

13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40

PROGRESSIONI GEOMETRICHE

Una progressione geometrica è costituita da una successione di tre o più numeri in cui costante il

rapporto tra uno qualunque di essi e il suo precedente:

a1, a

2, a

3, a

4, ……, a

n, a

n+1, … —> n)1,......,(i q

a

a

1i

i

tale costante si dice ragione e si indica con la lettera q. I numeri che costituiscono la

progressione (ai) si dicono termini della progressione, il pedice i ad essi associato si dice indice

ed indica il posto che essi occupano nella successione.

Una progressione geometrica si dice limitata se è formata da un numero limitato di termini, in

tal caso il primo e l’ultimo termine si dicono estremi della progressione; si dice illimitata se è

formata da un numero infinito di termini. Ricordando la definizione data si ha:

qa

a

1i

i

ai = q a

i-1 ; a

i-1 = a

i/q

In una progressione geometrica il generico termine si ottiene dal prodotto del suo

precedente per la ragione o dal rapporto tra il suo successivo e la ragione.

Da ciò si ricava che per q > 1 la progressione è crescente; per q = 1 la progressione ha tutti i

termini uguali; per 0 < q < 1 la progressione è decrescente; per q < 0 i termini risulteranno

alternativamente positivi e negativi e la progressione non sarà né crescente né decrescente.

Inoltre, nessun termine di una progressione geometrica può essere nullo e, quindi, anche la

ragione deve essere diversa da zero.

Teoremi e Proprietà

In una progressione geometrica il generico termine si ottiene moltiplicando il primo termine

per la ragione elevata ad un esponente pari al numero dei termini che precedono il termine

generico: an = a

1 q n-1

da questo teorema segue che:

qlog

alogqlogalogn

a

aq ;

q

aa

1n

1-n

1

n1n

n1

Detti ar e a

s due termini generici di una progressione geometrica, con r < s, risulta:

as = a

r q (s-r)

essendo (s - r) il numero dei termini che precedono as a partire da a

r.

In una progressione geometrica limitata il prodotto di due termini equidistanti dagli estremi è

costante ed è uguale al prodotto dei termini estremi:

a1 a

n = a

2 a

n-1 = a

2 a

n-2 = ……

il prodotto di n termini consecutivi di una progressione geometrica è uguale alla radice

quadrata della potenza che ha per base il prodotto degli estremi e per esponente il numero dei

termini: n

n1n aaP

la somma di n termini di una progressione geometrica limitata e crescente (q > 1) è data da:

1q

1qaS

n

1n

la somma di n termini di una progressione geometrica limitata e decrescente (0 < q < 1) è data

da: q1

q1aS

n

1n

la somma di n termini di una progressione geometrica illimitata e decrescente (0 < q < 1) è

data da: q1

aS 1

n

Un’importante applicazione del primo teorema è l’inserimento di medi geometrici tra due numeri

dati a e b, in modo da ottenere una progressione geometrica. Il problema consiste, in effetti, nel

trovare k termini in modo da ottenere la progressione geometrica di k + 2 termini:

a, x1, x

2, ……, x

k-1, x

k, b

a tale scopo, basta trovare la ragione q sapendo che è: a1 = a, a

n = b, n = k + 2, dalla relazione:

per k pari risulta (k + 1) dispari, per cui si ottiene un solo valore di q; per k dispari risulta (k + 1)

pari, per cui si hanno due valori di q tra loro opposti se è (b/a) > 0, nessun valore se (b/a) < 0.

1k1-n

1

n

a

bqha si

a

aq