elemente de teoria sistemelor multivariabile -...

IntroducereControlabilitatea sistemelor multivariabileObservabilitatea sistemelor multivariabile

Polii sistemelor multivariabileZerourile sistemelor multivariabile

Concluzii

Elemente de teoria sistemelor multivariabile

Ignat-Coman Aurelian

Universitatea ”Politehnica” din Timisoara, RomaniaFacultatea de Automatica si Calculatoare

31.03.2006

- Referat de doctorat -conducator stiintific: prof. univ. Toma L. Dragomir, dr. ing.

Ignat-Coman Aurelian Elemente de teoria sistemelor multivariabile



Concluzii

1 Introducere

2 Controlabilitatea sistemelor multivariabile

3 Observabilitatea sistemelor multivariabile

4 Polii sistemelor multivariabile

5 Zerourile sistemelor multivariabile

6 Concluzii




Concluzii

ObiectiveMIMO vs. SISOPolii si zerourile sistemelorRealizare minimal a

Introducere




Concluzii


Obiective

Sublinierea importantei studierii sistemelor multivariabile.

Prezentarea unor aspecte privind reprezentareamatematica a sistemelor multivariabile.

Controlabilitatea sistemelor multivariabile.

Observabilitatea sistemelor multivariabile.

Polii sistemelor multivariabile.

Zerourile sistemelor multivariabile (zerourile de transmisie,de decuplare, invariante).




Concluzii


MIMO vs. SISO

Functie de transfer:

fractie rationala

transferul ıntre intrare si iesire

Matrice de transfer:

matrice de fractii rationale dedimensiune p ×m

transferul dintre intrarea i siiesirea j(1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p)




Concluzii


MIMO vs. SISO

Aspecte comune

Controlabilitatea si observabilitatea sistemului

Aspecte diferite

Polii sistemuluiZerourile sistemului (functie de

transfer)

Aspecte diferite

Polii sistemuluiZerourile sistemului (matrice de

transfer)




Concluzii


Polii si zerourile sistemelor

(S) :

{x = Ax + Buy = Cx + Du

H(s) = C(sI − A)−1B + D =1

d(s)[Cadj(sI − A)−1B] + D =

1d(s)

N(s)

SISO

N(s) polinom ın s

d(s) polinom ın s

N(s) = 0 ⇒ zerourile

d(s) = 0 ⇒ polii

MIMO

N(s) matrice polinomiala ın s

d(s) polinom ın s

polii ?

zerourile ?




Concluzii


Realizare minimala

Un sistem prezinta mai multe modele.

Care este cel mai simplu model - (A, B, C, D) - care poatesurprinde transferul intrare-iesire?

(A, B, C, D) - realizare de stare minimala (forma minimala).

(A, B, C, D) - forma minimala ⇔ H(s) nu prezinta anularipoli- zerouri.

(A, B, C, D) - forma minimala ⇔ sistemul este completcontrolabil si complet observabil.




Concluzii

ControlabilitateGrammianul de controlabilitateMatricea de controlabilitateTestul Popov-Belevitch-HautusPartea controlabil a si partea necontrolabil aControlabilitatea pe iesire si controlabiltatea functional a

Controlabilitatea sistemelormultivariabile




Concluzii


Reactie inversa

u = f (x)

u = f (y)

u = f (x , y)

Este nevoie:

Modurile sistemului trebuie sa fie controlabile (controlabilitate).Starile sistemului sunt accesibile (observabilitate).




Concluzii


Sistem necontrolabil

Exemplu

A =

[1 01 −1

], B =

[01

], C =

[0 1

]x0 = [0, 0]T , u(t) = 1

x(t) =

[0

1− e−t

],

y(t) = 1− e−t .

x0 = [1, 1]T , u(t) = 1

x(t) =

[et

12

et − 12

e−t + 1

],

y(t) =12

et − 12

e−t + 1.




Concluzii


Controlabilitate - definitie

(S) :


(1)

Definitie (Controlabilitate)

Sistemul (S) este controlabil daca si numai daca oricare ar fi douastari x0 = x(t0) si x1 = x(t1) si momentele de timp t0, t1 (t0 < t1)exista o comanda u(t), cu t ∈ [t0, t1], care sa permita trecereasistemului din starea initiala x0 ın starea finala x1.

Un sistem este complet controlabil daca toate starile ıi suntcontrolabile.Un sistem este total necontrolabil daca toate starile ıi suntnecontrolabile.




Concluzii


Grammianul de controlabilitate

Teorema (Grammianul de controlabilitate)

Un sistemul (S) descris prin (1) este complet controlabil , dacasi numai daca matricea, de dimensiuni n × n:

W (t0, t1) =

t1∫t0

eA(t1−τ)BBT eAT (t1−τ)dτ

este inversabila.

Matricea W , este de dimensiune n × n, este definita numai peintervalul [t0, t1], este simetrica si pozitiv definita.




Concluzii


Controlabilitate - exemplu

Exemplu

A =

[0 −10 −1

], B =

[01

].

W (0, t1 − t0) =

[− ln e−(t1−t0) e−(t1−t0)

e−(t1−t0) −12

e−2(t1−t0)

]Rangul matricei W (0, t1 − t0) este egal cu 2, matricea W esteinversabila, deci sistemul este complet controlabil.




Concluzii


Matricea de controlabilitate

Teorema (Matricea de controlabilitate)

Sistemul (S) este controlabil daca si numai daca matricea

Φc = [B, AB, A2B, ..., A(n−1)B]n×nm

are rangul egal cu n, unde n este dimensiunea vectorului destare.

Matricea Φc este de dimensiune n × nm, are mai multe coloanedecat linii.Pentru valori mari ale lui m, sistemul este controlabil daca|ΦcΦ

Tc | 6= 0.




Concluzii


Controlabilitate - sistem necontrolabil

Exemplu

x =

0 −3 0 01 −4 0 00 0 0 −10 0 1 2

x +

3 21 21 11 1

u

ΦC =

3 2 −3 −6 3 18 −3 −541 2 −1 −6 1 18 −1 −541 1 −1 −1 1 1 −1 −11 1 −1 −1 1 1 −1 −1

,rang(Φc ) = 3




Concluzii



Exemplu

ΦcΦTc =

3316 3292 92 923292 3284 84 84

92 84 8 892 84 8 8

, |ΦcΦTc | = 0




Concluzii


Testul Popov-Belevitch-Hautus pentru controlabilitate

Teorema (PBH pentru controlabilitate)

Un sistem invariant ın timp pentru care matricea A poseda valoriproprii distincte, este necontrolabil daca si numai daca exista unvector coloana w (diferit de zero) astfel ıncat:

wT A = λiwT si wT B = 0, (2)

sau altfel spus, daca si numai daca exista un vector coloana w (diferitde zero) care satisface ecuatia:

wT [λi I − A | B] = 0, (3)

unde cu λi s-au notat valorile proprii ale matricei A, i = 1 . . . dim(A).




Concluzii


Testul Popov-Belevitch-Hautus pentru controlabilitate

Teorema (PBH pentru controlabilitate)

Un sistem invariant ın timp este controlabil daca si numai dacarangul matricei:

ΦPBH = [ sI − A | B] (4)

este egal cu n = dim(A), pentru toate valorile complexe s.

RangΦPBH < n ⇔ s = λi , i = 1 . . . n.

Daca Rang(ΦPBH |s=λ) < n, atunci modul determinat des = λ este necontrolabil.




Concluzii


Testul PBH - exemplu

Exemplu

A =

−7 −2 62 −3 −2

−2 −2 1

, B =

1 11 −11 0

, C =

[−1 −1 2

1 1 −1

]

λ1 = −1,λ2 = −5,λ3 = −3.

ΦPBH |s=−1 =

6 2 −6 1 1−2 2 2 1 −1

2 2 −2 1 0

rang(ΦPBH |s=−1) = 2 < 3 ⇒ sistemul estenecontrolabil si modul determinat de λ = −1este necontrolabil.




Concluzii


Partea controlabila si partea necontrolabila

Teorema

Pentru un sistem (S) pentru care matricea de controlabilitate,

Φc = [B, AB, A2B, . . . , An−1B]

are rangul egal cu n1 ≤ n, exista o matrice de transformarenesingulara Pn×n astfel ıncat:

A = P−1AP =

[A11 A12

0 A22

], B = P−1B =

[B1

0

]

C = CP =[

C1 C2

], D = D

(5)




Concluzii


unde [A11]n1×n1 si [B1]n1×m, astfel ıncat

rang(Φc) = rang[B1, A11B1, A11B1, . . . , An−111 B] = n1.

Daca matricea A prezinta valori proprii distincte λi , atuncimatricea P este formata din vectori proprii echivalentivalorilor proprii λi .

Un sistem reprezentat prin matricele (A, B), pentru carematricea A prezinta valori proprii distincte, este completcontrolabil daca si numai daca toatele liniile matriceiB = P−1B sunt nenule.




Concluzii


Controlabilitate - sistem controlabil

Exemplu

A =

0 1 0 00 −4 −10 00 0 0 10 −1 −1 0

, B =

0 01 00 00 1

, C =

[1 0 0 00 0 1 0

].

Valorile proprii ale matricei A sunt:

λ1 = 1

λ2 = −3

λ3 = 0

λ4 = −2




Concluzii


P =

−2

103

152

−2 −10 0 −51 1 0 11 −3 0 −2

B =

−12

0

−14

0

−16

0

−13

0

Matricea B are toate liniile nenule, deci toate starile sistemuluisunt controlabile.




Concluzii


Subspatiul controlabil si subspatiul necontrolabil

Teorema

Pentru sistemul descris prin matricele (A, B) cu matricea decontrolabilitate Φc , fie subspatiul complet controlabil Xc definitca si domeniul matricei Φc si subspatiul necontrolabil Xc definitca si subspatiul nul al matricei ΦT

c , atunci cele doua subspatiisunt complementare, Range(Φc)⊥Ker(ΦT

c ) si ımpreunaformeaza spatiul vectorilor de stare X , adicaRange(Φc)⊕Ker(ΦT

c ) ≡ X .

Se pot determina starile controlabile xc si cele necontrolabile xc :

x = P[

xc

xc

]⇒

[xc

xc

]= P−1x




Concluzii


Se calculeaza matricea de controlabilitate Φc a sistemului;

Se calculeaza rangul n1 al matricei de controlabilitate Φc ;

Se determina o matrice [P1]n×n1 formata din n1 coloaneliniar independente ale matricei de controlabilitate Φc asistemului, adica P1 = Range(Φc). Coloanele matricei [P1]formeaza o baza pentru subspatiul controlabil Xc alsistemului;

Se determina o matrice de completare [P2]n×(n−n1) formatadin n − n1 vectori x , pentru care ΦT

c x = 0, adicaP2 = Ker(ΦT

c ). Coloanele matricei [P2] formeaza o bazapentru subspatiul necontrolabil Xc al sistemului.




Concluzii



Exemplu

A =

0 −3 0 01 −4 0 00 0 0 −10 0 1 2

, B =

3 21 21 11 1

C =

[0 1 0 00 0 0 1

], D =

[0 00 0

].

Φc =

3 2 −3 −6 3 18 −3 −541 2 −1 −6 1 18 −1 −541 1 −1 −1 1 1 −1 −11 1 −1 −1 1 1 −1 −1

, rang(Φc) = 3




Concluzii


P1 =

3 2 −61 2 −61 1 −11 1 −1

, P2 =

00

−11

, P =

3 2 −6 01 2 −6 01 1 −1 −11 1 −1 1

A = P−1AP =

−1 0 0 00 0 −3 −30 1 −4 −10 0 0 −1

, B = P−1A =

1 00 10 00 0




Concluzii


C = CP =

[1 2 −6 01 1 −1 1

], D = D =

[0 00 0

]

A11 =

−1 0 00 0 −30 1 −4

, A12 =

0−3−1

, A22 = [−1]

B1 =

1 00 10 0

, B2 =[

0 0], C1 =

[1 2 −6 01 1 −1 1

].

In noua forma, starile controlabile ale sistemului sunt xc = [x1, x2, x3]T

iar starea necontrolabila este xc = [x4].




Concluzii


Se determina matricea de controlabilitate:

Φc =

3 2 −3 −6 3 18 −3 −541 2 −1 −6 1 18 −1 −541 1 −1 −1 1 1 −1 −11 1 −1 −1 1 1 −1 −1

,

al carei rang este egal cu 3, deci sistemul nu este controlabil.Se verifica controlabilitatea perechii (A11, B1):

rangΦc = rang

1 0 −1 0 1 0 −1 00 1 0 0 0 −3 0 120 0 0 1 0 −4 0 13

= 3,

deci este controlabila.




Concluzii


Matricea de transfer asistemului (A, B, C), este:

H(s) =

1s + 1

2s + 3

1s + 1

1s + 1

.

Matricea de transfer determinatade (A11, B1, C1):

H(s) =

1s + 1

2s + 3

1s + 1

1s + 1

.

Matricea de transfer a sistemului initial este egala cu matricea detransfer a partii controlabile, iar partea necontrolabila nu mai apare ınmatricea de transfer initiala, desi ea exista ın reprezentareastructurala a sistemului.




Concluzii


Poate fi adus sistemul din starea initiala x0(t0) = 0 ın stareafinala xf (tf ) = [0, 1, 0, 0]? Starea finala se poate scrie ın functiede matricea de transformare P a realizarii sistemice decontrolabilitate astfel:

xf = P

xc

xc

= Pz z = P−1xf =

[−1

238

−18

0

]T

Componenta controlabila xc =

[−1

2,38,−1

8

]T

este inclusa ın

subspatiul controlabil si cum nu exista nici o componentanenula, xc = [0], ın subspatiul necontrolabil, rezulta ca aceastastare finala poate fi atinsa ıntr-un interval limitat de timp.




Concluzii


Controlabilitatea pe iesire

Definitie (Controlabilitatea pe iesire)

Un sistem (S) este controlabil pe iesire daca, urmarindu-se oiesire y(t) pentru t > t0, exista o intrare u(t) care genereazaiesirea y(t) pornind din orice stare initiala y(t0)ıntr-un timp finitnenul.

Influenta intrarii asupra iesirii.

Controlabilitatea anterioara surprinde influenta intrariiasupra starilor sistemului.




Concluzii


Teorema (Controlabilitate pe iesire)

Un sistem dinamic descris prin tripletul (A, B, C), de ordinul n sivectorul de iesire y de dimensiune p este controlabil pe iesiredaca si numai daca rangul matricei:

Φio =[

CB CAB . . . CAn−1B]

p×mn (6)

este egal cu p.

Controlabilitatea pe iesire se examineaza ın functie de matricele(A, B, C), spre deosebire de controlabilitatea pe stare caredepinde numai de matricele (A, B).Deoarece matricele (A, B, C) determina si matricea de transfer asistemului, controlabilitatea pe iesire mai poarta denumirea decontrolabilitate intrare-iesire.




Concluzii


Exemplu

A =

0 −3 0 01 −4 0 00 0 0 −10 0 1 −2

, B =

3 21 21 11 1

, C =

[0 1 0 00 0 0 1

]

Φio =

[1 2 −1 −6 1 18 −1 −541 1 −1 −1 1 1 −1 −1

],

al carei rang este 2 = p, deci sistemul este controlabil pe iesire.




Concluzii


Controlabiltatea functionala

1 Cand m = p, sistemul este controlabil functional dacamatricea de transfer H(s) a acestuia este nesingulara,adica ındeplineste conditia |H(s)| 6≡ 0.

2 Daca un sistem are mai multe iesiri decat intrari, adicap > m, el nu este controlabil functional.

3 Daca un sistem are mai multe intrari decat iesiri, m > p,sistemul este controlabil functional daca si numai dacaexista cel putin un minor Hi(s)p×p din H(s), astfel ıncat|Hi(s)| 6= 0. Aceasta conditie este echivalenta curang[H(s)] = p.




Concluzii


Exemplu

Se considera sistemul anterior.

H(s) =

1

s + 12

s + 3

1s + 1

1s + 1

|H(s)| = − s − 1(s + 1)2(s + 3)

.

Sistemul este controlabil functional.

Φc =

3 2 −3 −6 3 18 −3 −541 2 −1 −6 1 18 −1 −541 1 −1 −1 1 1 −1 −11 1 −1 −1 1 1 −1 −1

Rangul matricei Φc = 3 < 4 si ın consecinta sistemul nu estecontrolabil pe stare.




Concluzii

ObservabilitateGrammianul de observabilitateMatricea de observabilitateTestul Popov-Belevitch-HautusPartea observabil a si partea neobservabil aSisteme duale

Observabilitatea sistemelormultivariabile




Concluzii


Sistem neobservabil

Exemplu

A =

[0 11 0

], B =

[01

], C =

[1 −1

]x(t0) = x(0) = [0, 0],u(t) = 1

x(t) =

12

(et − e−t)− 1

12

(et − e−t)

y(t) = Cx(t) = e−t − 1

x(0) = [k , k ], k 6= 0, u(t) = 1

x(t) =

ket − 1 +

12

(e−t + et)

ket +12

(et − e−t)

y(t) = e−t − 1




Concluzii


Observabilitate - definitie

(S) :

{x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)

(7)

Definitie (Observabilitate)

Un sistem (S) este observabil daca avand la dispozitie functiilevectoriale de intrare si iesire, u(t) respectiv y(t), definite pe intervalul[t0, t1] este posibila determinarea vectorului starii initiale x0 = x(t0),(∀) t0 6= t1, t0 < t1.

Un sistem este complet observabil daca toate starile ıi suntobservabile.Un sistem este total neobservabil daca toate starile ıi suntneobservabile.




Concluzii


Grammianul de observabilitate

Teorema (Grammianul de observabilitate)

Sistemul liniar invariant ın timp descris prin (7) este completobservabil daca si numai daca matricea:

W (t0, t1) =

t1∫t0

e(AT (τ−t0))CT CeA(τ−t0)dτ

este inversabila.

Matricea W , este de dimensiune n × n, este definita numai peintervalul [t0, t1], este simetrica si pozitiv definita.




Concluzii


Teorema (Matricea de observabilitate)

Un sistem liniar invariant ın timp de ordinul n este completobservabil ın intervalul [t0, t1] daca si numai daca rangul matricei:

Φo =

C

CACA2

...CAn−1

np×n

este maxim, adica egal cu n.

Matricea Φo este de dimensiune np × n (prezinta mai multe linii decatcoloane).Pentru valori mari ale lui p, sistemul este observabil daca |ΦT

o Φo| 6= 0.




Concluzii


Sistem neobservabil

Exemplu

A =

[0 1−3 −4

], B =

[1 2−3 −4

], C =

[1 1−2 −2

]

W (0, t1 − t0) = 5[

1− e(−6t1+6t0) 1− e(−6t1+6t0)

1− e(−6t1+6t0) 1− e(−6t1+6t0)

]rang(W ) = 1 ⇒ sistemul nu este observabil.

Φo =

[C

CA

]=

1 1

−2 −2−3 −3

6 6

rang(Φo) = 1 ⇒ sistemul nu este observabil.




Concluzii


Testul Popov-Belevitch-Hautus pentru observabilitate

Teorema (PBH pentru observabilitate)

Un sistem liniar invariant ın timp pentru care matricea A posedavalori proprii distincte, este neobservabil daca si numai dacaexista un vector coloana w nenul astfel ıncat:

Aw = λiw si Cw = 0 (8)

unde λi sunt valorile proprii ale matricei A, i = 1, . . . , n.O alta forma a conditiei (8) este:[

λi I − AC

]w = 0 (9)




Concluzii


Testul Popov-Belevitch-Hautus pentru observabilitate

Teorema (PBH pentru observabilitate)

Un sistem liniar invariant ın timp este complet observabil dacasi numai daca rangul matricei:

ΦPHB =

[sI − A

C

], (10)

este maxim, adica egal cu n = dim(A), pentru toate valorilecomplexe s.

Rang(ΦPHB)< n ⇔ s = λi , i = 1 . . . n.Daca rang(ΦPHB|s=λ)< n atunci modul determinat de s = λeste neobservabil.




Concluzii


Exemplu

x(t) =

[−1 0

0 0

]x(t), y(t) =

[1 0

]x(t)

Valorile proprii ale matricei de stare sunt λ1 = −1, λ2 = 0;

s = −1 ⇒ rang

0 00 −11 0

= 2, deci λ1 = −1 determina un

mod observabil;

s = 0 ⇒ rang

1 00 01 0

= 1, deci λ2 = 0 determina un mod

neobservabil.

Concluzie: sistemul nu este observabil.




Concluzii


Partea observabila si partea neobservabila

Teorema

Un sistem (S) pentru care matricea de observabilitate

Φo =

C

CA...

CAn−1

are rangul egal cu n1 < n, exista o matrice de transformarenesingulara Pn×n astfel ıncat sistemul initial poate fi scris subforma:




Concluzii


A = P−1AP =

[A11 0A21 A22

], B = P−1B =

[B1

B2

],

C = CP =[

C1 0], D = D

(11)

unde [A11]n1×n1 si [C1]p×n1 , astfel ıncat:

rang(Φo) = rang

C1

C1A11...

CAn−1

= n1.




Concluzii


Partea observabila si partea neobservabila

Daca matricea A prezinta valori proprii distincte λi , atuncimatricea P este formata din vectori proprii echivalentivalorilor proprii λi .

Un sistem reprezentat prin matricele (A, C), pentru carematricea A prezinta valori proprii distincte, este completobservabil daca si numai daca toatele liniile matriceiB = CP sunt nenule.

Daca matricea C prezinta pe o coloana toate elementelezero, starea s = λ corespunzatoare coloanei respective dinmatricea Λ = P−1AP, nu este observabila.




Concluzii


Subspatiul observabil si subspatiul neobservabil

Teorema

Pentru sistemul descris prin matricele (A, C) cu matricea deobservabilitate Φo, fie subspatiul complet observabil Xo definitca si domeniul matricei ΦT

o si subspatiul neobservabil Xo definitca si subspatiul nul al matricei Φo, atunci cele doua subspatiisunt complementare, Range(ΦT

o )⊥Ker(Φo) si ımpreunaformeaza spatiul vectorilor de stare X , adicaRange(ΦT

o )⊕Ker(Φo) ≡ X .

Astfel se pot determina starile observabile xo si starile neobservabilexo:

x = P[

xo

xo

]⇒

[xo

xo

]= P−1x




Concluzii


Se determina matricea de observabilitate Φo a sistemului;

Se calculeaza rangul n1, al matricei de observabilitate Φo;

Se construieste o matrice [P1]n×n1 formata din n1 coloaneliniar independente ale matricei ΦT

o , adicaP1 = Range(ΦT

o ). Coloanele matricei [P1] formeaza obaza pentru subspatiul observabil Xo al sistemului;

Se construieste o matrice [P2]n×(n−n1) cu vectori caresatisfac ecuatia Φox = 0, adica P2 = Ker(Φo). Coloanelematricei [P2] formeaza o baza pentru subspatiulneobservabil Xo al sistemului.




Concluzii


Sistem neobservabil

Exemplu

A =

[0 1

−3 −4

], B =

[1 2

−3 −4

], C =

[1 1

−2 −2

]

Φo =

1 1

−2 −2−3 −3

6 6

rang(Φo)=1, deci sistemul nu este observabil. In plus rezulta cadim(X0) = dim(X0) = 1.

P1 =

[11

], P2 =

[−1

1

], P =

[1 −11 1

].




Concluzii


A =

[−3 0−4 −1

], B =

[−1 −1−2 −3

], C =

[2 0−4 0

]A11 = [−3] , A21 = [−4] , A22 = [−1] , B1 =

[−1 −1

],

B2 =[−2 −3

], C1 =

[2−4

], C2 =

[00

]




Concluzii


Matricea de transfera sistemului initial:

H(s) =

− 2

s + 3− 2

s + 3

4s + 3

4s + 3

Matricea de transfera sistemului (A11, B1, C1):

H(s) =

− 2

s + 3− 2

s + 3

4s + 3

4s + 3

Matricea de transfer a sistemului initial este egala cu matricea detransfer a partii observabile a sistemului iar partea neobservabila numai apare ın matricea de transfer, desi ea exista ın reprezentareastructurala a sistemului.




Concluzii


Este starea x = [3, 4]T observabila?

xo

xo

= P−1x = P−1

3

4

=

72

12

,

Deoarece xo = 1/2 6= 0 rezulta ca starea x = [3, 4]T nu esteobservabila. Ea contine un element nenul ın subspatiul neobservabilal sistemului.




Concluzii


Sisteme duale

Pentru un sistem descris prin matricele (A, B, C), sistemuldescris prin matricele (AT , CT , BT ) se numeste sistemulechivalent sau dual al sistemului initial.Astfel efectele intrarilor si cele ale iesirilor sunt schimbate ıntreele:

B → CT , C → BT

Teorema

Un sistem (A, B, C) este complet controlabil daca si numaidaca sistemul echivalent acestuia (AT , CT , BT ) este completobservabil, si invers.




Concluzii


Exemplu

Fie sistemul:

x =

[0 1−3 −4

]x +

[1 2−3 −4

]u

y =

[1 1−2 −2

]x

Φc =

[1 2 −3 −4

−3 −4 9 10

]Sistemul estecontrolabil.

Φo =

1 1

−2 −2−3 −3

6 6

Sistemul nu este observabil.




Concluzii


Sistemul dual este:

x =

[0 −31 −4

]x +

[1 −21 −2

]u

y =

[1 −32 −4

]x

Φec =

[1 −2 −3 61 −2 −3 6

]Sistemul dual nueste controlabil.

Φeo =

1 −32 −4

−3 9−4 10

Sistemul dual este observabil.




Concluzii

DefinitieForma Smith-McMillanPolii sistemului - spatiul st arilorPolii sistemului - forma Rosenbrock

Polii sistemelor multivariabile




Concluzii


Definitie

Pentru un sistem cu m intrari si p iesiri, descris printr-o matricede transfer [H(s)](p×m), polii nu sunt ıntotdeauna radacinilepolinoamelor de la numitorii fractiilor rationale din H(s). Dacaexista radacini comune ıntre numaratorii si numitorii unor astfelde functii rationale, unii poli pot sa dispara din forma finala areprezentarii H(s), prin anulare cu anumite zerouri.

Definitie (Polii sistemului)

Pentru un sistem caracterizat de o matrice de transfer[H(s)](p×m), valorile sp pentru care lim

s→sp|H(s)| = ∞ poarta

denumirea de poli ai sistemului sau ai matricei H(s).




Concluzii


Forma Smith McMillan

Forma Smith-McMillan a matricei de transfer [H(s)]p×m este:

M(s) =

n1(s)

d1(s)0 · · · 0

0n1(s)

d1(s)· · · 0

......

. . . 0 Or×(m−r)

0 0 · · · nr (s)

dr (s)O(p−r)×r O(p−r)×(m−r)

M(s) = L(s)H(s)R(s), unde L(s) si R(s) sunt doua matriceunimodale de transformare la stanga, respectiv la dreapta.




Concluzii


Polinomul pH(s) = d1(s)d2(s) . . . dr (s) poarta denumireade polinomul caracteristic al matricei H(s). Radacinilepolinomului caracteistic sunt polii sistemului.polinomul zH(s) = n1(s)n2(s) . . . nr (s) poarta denumireade polinomul zero al matricei H(s).Numarul total de poli ai sistemului este dat de gradulpolinomului pH(s) si este cunoscut sub denumirea deordinul McMillan al sistemului. Acesta indica dimensiuneaminima (forma minimala) de reprezentare a sistemului.Daca se determina o valoare sp ca fiind radacina multipla aunui polinom di(s), i = 1 . . . k , atunci s = sp este un polmultiplu pentru sistem, cu ordinul McMillan asociatacestuia egal cu k . Ordinul McMillan k aferent unui pol sp,indica existenta a k poli la s = sp.




Concluzii


Exemplu

H(s) =

1

s + 10

s − 1(s + 1)(s + 2)

− 1s − 1

1s + 2

1s + 2

M(s) =

1

(s + 1)(s − 1)(s + 2)0 0

0(s − 1)

(s + 2)0

Se poate observa ca sistemul poseda poli la s = {−2, −2, −1, 1}.Sistemul poseda un pol la s = −2 cu ordinul McMillan egal cu 2.Polul s = −2, desi are ordinul McMillan egal cu 2, nu este un polmultiplu, el fiind localizat ın zone diferite ale matricei de transfer.




Concluzii


Polii sistemului - spatiul starilor

Teorema

Pentru un sistem liniar invariant ın timp (LTI) descris ın spatiulstarilor:

(S) :


cu x ∈ Rn, u ∈ Rm si y ∈ Rp, multimea radacinilor ecuatiei|sI − A| = 0 (multimea valorilor proprii ale matricei A) contine sipolii sistemului.

polii H(s)} ⊂ { valorile proprii ale matricei A}.




Concluzii


Polii sistemului - forma Rosenbrock

Teorema

Pentru un sistem descris prin forma matriceala Rosenbrock:

P(s) =

[T (s) U(s)−V (s) W (s)

]=

[sI − A B−C D

],

radacinile ecuatiei |T (s)| = |sI − A| = 0 sunt polii sistemului.




Concluzii


Exemplu

Se cunoaste reprezentarea matriceala Rosenbrock a unui sistem:

P(s) =

s + 1 0 0 −1 0−1 s + 3 0 0 00 0 s + 2 0 11 −3 1 0 05 0 k 0 0

Polii sistemului sunt solutiile ecuatiei:

∣∣∣∣∣∣s + 1 0 0−1 s + 3 00 0 s + 2

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇒ s1 = −1, s2 = −2, s3 = −3




Concluzii

Zerourile de transmisieZerourile la infinitZerourile de decuplareZerourile invarianteZerourile sistemului

Zerourile sistemelormultivariabile




Concluzii


Zerourile de transmisie - definitie

Definitie

Un sistem poseda un zerou de transmisie s = z0 daca exista ostare initiala x0 diferita de zero, astfel ıncat daca intrarea esteu(t) = u0ez0t · 1(t), atunci x(t) = x0ez0t si y(t) = 0, pentru (∀)t ≥ 0.Vectorul [x0 u0]

T se numeste directia de transmisie asociatazeroului de transmisie z0.

Definitia este valabila si ın cazul sistemelor SISO.

Conditiile initiale sunt x0(t) = (z0I − A)−1Bu0, iar zeroul detransmisie z0 mai poarta denumirea de zerou de blocare.




Concluzii


Determinare - matricea Rosenbrock

Teorema

Un sistem descris prin cvadruplul (A, B, C, D) prezinta zerouride transmisie daca matricea Rosenbrock, notata P(s), arerangul mai mic decat rangul maxim posibil (n + min(p, m)).

P(s) =

[s0I − A B−C D

](n+p)×(n+m)

m = p, |P(z0)| = 0, ⇒ z0 zerou de transmisie.[x0, u0]

T poate fi determinata prin rezolvarea ecuatiei:[z0I − A B−C D

]·[

x0

u0

]=

[00

]Ignat-Coman Aurelian Elemente de teoria sistemelor multivariabile



Concluzii


Forma Smith-McMillan

Teorema

Un sistem descris prin matricea de transfer H(s), cu formastandard Smith-McMillan asociata M(s), prezinta zerouri detransmisie daca si numai daca M(s) are polinoame ın s lanumarator, iar radacinile acestor polinoame sunt zerouri detransmisie pentru sistem.

Zerourile de transmisie sunt radacinile polinomului zero,adica ale ecuatiei zH(s) = 0.




Concluzii


Teorema

Daca un sistem MIMO este descris prin matricea de transfer[H(s)]m×p si aceasta este ıntr-o forma ireductibila, atunci acestsistem prezinta zerouri de transmisie la acele valori s = z0,care nu sunt poli ai sistemului, pentru care H(s) ısi micsoreazarangul, rang(H(s)) < min(m, p).

Daca un sistem are toate zerourile de transmisie situate ınsemiplanul stang, atunci el este de faza minima;

Daca un sistem are cel putin unul dintre zerourile detransmisie situat ın semiplanul drept, atunci el este de fazaneminima.




Concluzii


Exemplu

Se considera sistemul descris prin:

H(s) =s + 2

s2 + 3s + 1

O realizare de stare este data de matricele:

A =

[0 1

−1 −3

], B =

[01

], C =

[2 1

], D = [0]

Exista un posibil zerou de transmisie la s = z0 = −2.

Pentru z0 = −2, exista o intrare u(t) = u0e−2t , u0 6= 0 si oconditie initiala x0 6= 0 astfel ıncat x(t) = x0e−2t si y(t) = 0, (∀)t ≥ 0.




Concluzii


Se scrie matricea Rosenbrock:

P(s) =

[sI − A C−B D

] P(−2) =

−2 −1 01 1 −12 1 0

Directia de transmitere [x01, x02, u0]

T a zeroului z0 = −2 este data desolutia ecuatiei: −2 −1 0

1 1 −12 1 0

· x01

x02

u0

= 0 (12)

Solutia ecuatiei (12) este [−1, 2, 1]T . Se poate verifica si faptul carelatia [x01, x02] = (z0I − A)−1Bu0, pentru u0 = 1, conduce la acelasirezultat, respectiv [−1, 2]T .




Concluzii


Raspunsul sistemului pentru conditiile initiale x0 = [−1, 2]T , laintrarea u(t) = e−2t . Se observa ca y(t) = 0, ∀ t ≥ 0.




Concluzii


Raspunsul sistemului pentru conditiile initiale x0 = [1, 1]T , la intrareau(t) = e−2t , y(t) 6= 0, ∀ t ≥ 0.




Concluzii


Zerourile la infinit

Zerourile unui sistem la infinit sunt un caz particular dezerouri de transmisie.

In matricea de transfer a sistemului se ınlocuieste s = 1/z.Se calculeaza forma Smith-McMillan a matricei rezultate,iar numarul de zerouri rezultate la z = 0 (zerourile z = 0ale fractiilor rationale) ın forma Smith-McMillan este egalcu numarul de zerouri la infinit ale sistemului.

In general, pentru un sistem multivariabil numarul polilor(n) nu este egal cu suma zerourilor de transmisie finite (nf )si infinite n∞, n 6= nf + n∞, mai mult n ≥ nf + n∞.




Concluzii


Exemplu

H(s) =

1

s + 10

s − 1(s + 1)(s + 2)

− 1s − 1

1s + 2

1s + 2

.

Se ınlocuieste s = 1/z ın H(s):

H(1/z) =

zz + 1

0z(z − 1)

(z + 1)

− zz + 1

z2z + 1

z2z + 1




Concluzii


Forma Smith-McMillan:

M(1/z) =

z

(2z + 1)(z2 − 1)0 0

0z(z − 1)

2z + 10

Se observa ın M(s) ca exista doua zerouri la z = 0. In consecintasistemul prezinta doua zerouri la infinit (s = ∞ ) de ordinul ıntai. Inplus se poate determina ca sistemul poseda trei poli si un zerou detransmisie.




Concluzii


Zerourile de decuplare

Se poate vorbi de zerouri de decuplare ale unui sistem (S)numai daca acesta este descris ın spatiul starilor:

(S) :


cu x ∈ Rn, u ∈ Rm si y ∈ Rp.

H(s) = C(sI − A)−1B + D

In matricea H(s) pot aparea anulari (simplificari) ıntrenumitorii si numaratorii functiilor rationale din H(s).Cauza acestor simplificari o reprezinta zerourile dedecuplare.




Concluzii


Zerourile de decuplare pe intrare

Definitie (Zerourile de decuplare pe intrare)

Zerourile de decuplare pe intrare (z.d.i.) ale sistemului S sunt:

Valorile s pentru care matricea Qi = (sI − A)−1 · B are rangulmai mic decat m:

rang(Qi) = rang[(sI − A)−1 · B] < m, sau

Zerourile polinoamelor invariante ale matricei:

Pi(s) = [sI − A B], sau

Polii necontrolabili ai matricei H(s) = C(sI − A)−1B + D.




Concluzii


Zerourile de decuplare pe iesire

Definitie (Zerourile de decuplare pe iesire)

Zerourile de decuplare pe iesire (z.d.o.) ale sistemului (S) sunt:

Valorile s pentru care matricea Qo = C · (sI − A)−1 are rangulmai mic decat p:

rang(Qo) = rang[C · (sI − A)−1] < p, sau

Zerourile polinoamelor invariante ale matricei:

Po(s) =

[sI − A

C

], sau

Polii neobservabili ai matricei H(s) = C(sI − A)−1B + D.




Concluzii


Zerourile de decuplare pe intrare si pe iesire

Definitie (Zerourile de decuplare pe intrare si pe iesire)

Zerourile de decuplare pe intrare si pe iesire (z.d.i.o.) ale unui sistemS sunt:

acele zerouri ale sistemului care sunt si zerouri de decuplare peintrare cat si zerouri de decuplare pe iesire;

valorile s care sunt si polii necontrolabili si neobservabili aisistemului (A, B, C, D).

Pasul 1:{z.d .oe} = {z.d .o.} − {z.d .i .}

Pasul 2:{z.d .i .o.} = {z.d .o.} − {z.d .oe}




Concluzii


Zerourile de decuplare ale sistemului

Definitie (Zerourile de decuplare ale sistemului)

Zerourile de decuplare (z.d.) ale sistemului sunt elementele multimiizerourilor de decuplare pe intrare si a zerourilor de decuplare peiesire.

Pasul 1: Se calculeaza multimea formata din reuniuneazerourile de decuplare pe intrare (z.d.i.) si a zerourilede decuplare pe iesire (z.d.o.).

Pasul 2: Se elimina din reuniunea zerourile de decuplare peintrare (z.d.i.) si a zerourile de decuplare pe iesire(z.d.o.), zerourile de decuplare pe intrare si pe iesire(z.d.i.o.):

{z.d .} = {z.d .i . ∪ z.d .o.} − {z.d .i .o.}




Concluzii


Zerourile invariante

Zerourile invariante ale sistemului sunt acele zerouri caresunt invariante ıntr-o bucla ınchisa.Invarianta se refera si la operatii sau transformari care sepot aplica asupra intrarilor, starilor sau a iesirilor sistemului.

Definitie (Zerourile invariante)

Zerourile invariante ale unui sistem descris sub reprezentareamatriceala Rosenbrock

P(s) =

[sI − A B−C D

],

sunt radacinile polinoamelor invariante ale matricei P(s).




Concluzii


Zerourile invariante

Toate zerourile de transmisie sunt zerouri invariante alesistemului.

Zerourile de transmisie sunt acele zerouri invariante carenu sunt zerouri de decuplare.

Un zerou de decuplare nu este si necesar un zerouinvariant. Un pol necontrolabil sau neobservabil nu esteneaparat un zerou invariant al sistemului.




Concluzii


Exemplu

Fie sistemul:

x =

−5 −8 04 7 01 2 3

x +

2 00 00 1

u

y =[

2 2 0]

x +[

1 0]

u

Matricea Rosenbrock este:

P(s) =

s + 5 8 0 −2 0−4 s − 7 0 0 0−1 −2 s − 3 0 −12 2 0 1 0




Concluzii


Forma Smith a matricei P(s) este:

P(s) = L(s) ·

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 s2 + 2s − 15 0

· R(s)

Polinoamele invariante sunt:

n1(s) = n2(s) = n3(s) = 1

n4(s) = s2 + 2s − 15.

Zerourile invariante ale sistemului sunt s = {3,−5}.




Concluzii


Se determina matricea de transfer a sistemului:

H(s) =

[s + 5s + 1

0

]

Forma Smith-McMillan a matricei H(s) este chiar matricea H(s).

s = −5 este zerou de transmisie.

directia acestui zerou este [x0, u0]T = [−3, 1, 0, 4, 1].

in conditiile initiale x0 = [−3, 1, 0], la intrarea u(t) =

[4e−5t

e−5t

]iesirea sistemului va fi y(t) = 0, (∀) t ≥ 0.




Concluzii


Intrarea u(t) =

[4e−5t

e−5t

]. Iesirea sistemului. 10−9!!!




Concluzii


Iesirea sistemului la intrarea u(t) =

[4e−5t

e−5t

]si ın conditiile initiale

x0 = [−3, 0, 0].




Concluzii


Se verifica daca s = 3 este zerou de decuplare pe intrare. Secalculeaza matricea:

Pi(s) =[

sI − A B]

=

s + 5 8 0 −2 0−4 s − 7 0 0 0−1 −2 s − 3 0 −1

Forma Smith este:

Pi(s) = L(s) ·

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 0

· R(s),

cu polinoamele invariante n1(s) = n2(2) = n3(s) = 1, deci sistemul nuprezinta nici un zerou de decuplare pe intrare.




Concluzii


Se verifica daca s = 3 este zerou de decuplare pe iesire:

Po(s) =

[sI − A

C

]= L(s) ·

1 0 00 1 00 0 s2 − 6s + 90 0 0

· R(s)

Polinoamele invariante sunt n1(s) = n2(s) = 1 si n3(s) = s2 − 6s + 9,deci s = 3 sunt doua zerouri de decuplare pe iesire. Rezulta caacestea sunt si doi poli neobservabili, care nu mai apar ın matriceade transfer H(s).




Concluzii


Zerourile sistemului

Definitie (Zerourile sistemului)

Zerourile sistemului sunt totalitatea zerourilor invariante, a celorde decuplare si a zerourilor la infinit.




Concluzii

Concluzii

Analiza sistemelor multivariabile este mai dificila decat a celormonovariabile, ın principal datorita conexiunilor interne ıntreintrari si iesiri.

Unele aspecte legate de analiza sistemelor MIMO sunt comunesi sistemelor SISO - controlabilitate, observabilitate.

Alte aspecte difera - poli, zerouri.

O categorie aparte de zerouri o reprezeinta zerourile detransmisie, care ın cazuri particulare pot bloca transferulintrare-iesire.

Pozitionarea (fata de origine si relativ la pozitia lor) a polilor sizerourilor ın spatiul starilor influenteaza performantele de controlın bucla ınchisa (functia de sensibilitate si complementara ei).


elemente de teoria sistemelor multivariabile -...

Documents