elementare geometrie vorlesung 10 - universität bielefeldzink/vorlesung10.pdf · 1.kongruenz von...
TRANSCRIPT
![Page 1: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/1.jpg)
Elementare Geometrie Vorlesung 10
Thomas Zink
24.5.2017
![Page 2: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/2.jpg)
1.Kongruenz von Dreiecken
Es sei E eine Ebene.Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck eine Folgevon drei Punkten ABC in E, die nicht auf einer Geraden liegen.Es kommt uns auf die Reihenfolge der Eckpunkte an. Die DreieckeABC und BAC sind fur uns verschieden.
Definition
Wir nennen zwei Dreiecke ABC und A′B′C ′ kongruent, wenn eseine Isometrie f : E → E gibt, so dass
f(A) = A′, f(B) = B′, f(C) = C ′.
![Page 3: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/3.jpg)
1.Kongruenz von Dreiecken
Es sei E eine Ebene.Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck eine Folgevon drei Punkten ABC in E, die nicht auf einer Geraden liegen.Es kommt uns auf die Reihenfolge der Eckpunkte an. Die DreieckeABC und BAC sind fur uns verschieden.
Definition
Wir nennen zwei Dreiecke ABC und A′B′C ′ kongruent, wenn eseine Isometrie f : E → E gibt, so dass
f(A) = A′, f(B) = B′, f(C) = C ′.
![Page 4: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/4.jpg)
2.Kongruenz von Dreiecken
Wenn ABC und A′B′C ′ kongruent sind, so gibt es genau eineIsometrie f , wie sie in der Definition gefordert ist.
In der Tat, wir ordnen ABC die beseitete Strecke (AB,S), so dassC ∈ S. Entsprechend ordnen wir A′B′C ′ die beseitete Strecke(A′B′,S ′), C ′ ∈ S ′ zu.Dann bildet f diese beseiteten Strecken auf einander ab, und istdaher nach dem Theorem Vorlesung 8, 12 eindeutig bestimmt.
![Page 5: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/5.jpg)
2.Kongruenz von Dreiecken
Wenn ABC und A′B′C ′ kongruent sind, so gibt es genau eineIsometrie f , wie sie in der Definition gefordert ist.
In der Tat, wir ordnen ABC die beseitete Strecke (AB,S), so dassC ∈ S. Entsprechend ordnen wir A′B′C ′ die beseitete Strecke(A′B′,S ′), C ′ ∈ S ′ zu.Dann bildet f diese beseiteten Strecken auf einander ab, und istdaher nach dem Theorem Vorlesung 8, 12 eindeutig bestimmt.
![Page 6: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/6.jpg)
![Page 7: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/7.jpg)
3. Der erste Kongruenzsatz
Es sei f eine Isometrie, die das Dreieck ABC auf das DreieckA′B′C ′ abbildet. Dann gilt:
|AB| = |A′B′| |AC| = |A′C ′| |BC| = |B′C ′|
∠BAC = ∠B′A′C ′ ∠CBA = ∠C ′B′A′ ∠ACB = ∠A′C ′B′
Proposition
(SSS): Es seien ABC und A′B′C ′ zwei Dreiecke, so dass|AB| = |A′B′|, |AC| = |A′C ′|, |BC| = |B′C ′|.Dann sind die beiden Dreiecke kongruent.
![Page 8: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/8.jpg)
3. Der erste Kongruenzsatz
Es sei f eine Isometrie, die das Dreieck ABC auf das DreieckA′B′C ′ abbildet. Dann gilt:
|AB| = |A′B′| |AC| = |A′C ′| |BC| = |B′C ′|
∠BAC = ∠B′A′C ′ ∠CBA = ∠C ′B′A′ ∠ACB = ∠A′C ′B′
Proposition
(SSS): Es seien ABC und A′B′C ′ zwei Dreiecke, so dass|AB| = |A′B′|, |AC| = |A′C ′|, |BC| = |B′C ′|.Dann sind die beiden Dreiecke kongruent.
![Page 9: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/9.jpg)
4. Beweis des 1.Kongruenzsatzes
Wir betracheten die gleichen beseiteten Strecken (AB,S) und(A′B′,S ′) wie oben. Nach dem Theorem Vorlesung 8, 12 findenwir eine Isometrie f , so dass
f(A) = A′, f(B) = B′,
und so dass f(S) = S ′. Dann liegt f(C) auf der gleichen Seite vonA′B′ wie C ′. Da
|A′C ′| = |AC| = |A′f(C)|, |B′C ′| = |BC| = |B′f(C)|
folgt, dass C ′ = f(C). Q.E.D.
![Page 10: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/10.jpg)
![Page 11: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/11.jpg)
5. Das gleichschenklige Dreieck
Proposition
Es sei ABC ein Dreieck, so dass |AC| = |BC|. Dann gilt
∠BAC = ∠ABC
Beweis: Wir betrachten das Dreieck A′B′C ′, wo A′ = B, B′ = A,C ′ = C. Es ist kongruent zu dem Dreieck ABC, da
|AB| = |BA| = |A′B′|, |AC| = |BC| = |A′C ′|, |BC| = |AC| = |B′C ′|.
Also gilt:∠BAC = ∠B′A′C ′ = ∠ABC.
![Page 12: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/12.jpg)
5. Das gleichschenklige Dreieck
Proposition
Es sei ABC ein Dreieck, so dass |AC| = |BC|. Dann gilt
∠BAC = ∠ABC
Beweis: Wir betrachten das Dreieck A′B′C ′, wo A′ = B, B′ = A,C ′ = C. Es ist kongruent zu dem Dreieck ABC, da
|AB| = |BA| = |A′B′|, |AC| = |BC| = |A′C ′|, |BC| = |AC| = |B′C ′|.
Also gilt:∠BAC = ∠B′A′C ′ = ∠ABC.
![Page 13: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/13.jpg)
![Page 14: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/14.jpg)
6. Der zweite Kongruenzsatz
Proposition
(SWS): Es seien ABC und A′B′C ′ zwei Dreiecke, so dass
|AB| = |A′B′|, |AC| = |A′C ′| ∠BAC = ∠B′A′C ′.
Dann sind die Dreiecke ABC und A′B′C ′ kongruent.
Beweis: Wir betrachten die gleichen beseiteten Strecken (AB,S)und (A′B′,S ′) wie auf Blatt 4. Wir nehmen die dort definierteIsometrie f . Es reicht zu zeigen, dass die Dreieckef(A), f(B), f(C) und A′B′C ′ kongruent sind. Nach Konstruktionvon f ist f(A)f(B) = A′B′ und f(C) und C ′ liegen auf dergleichen Seite von A′B′.
![Page 15: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/15.jpg)
6. Der zweite Kongruenzsatz
Proposition
(SWS): Es seien ABC und A′B′C ′ zwei Dreiecke, so dass
|AB| = |A′B′|, |AC| = |A′C ′| ∠BAC = ∠B′A′C ′.
Dann sind die Dreiecke ABC und A′B′C ′ kongruent.
Beweis: Wir betrachten die gleichen beseiteten Strecken (AB,S)und (A′B′,S ′) wie auf Blatt 4. Wir nehmen die dort definierteIsometrie f . Es reicht zu zeigen, dass die Dreieckef(A), f(B), f(C) und A′B′C ′ kongruent sind. Nach Konstruktionvon f ist f(A)f(B) = A′B′ und f(C) und C ′ liegen auf dergleichen Seite von A′B′.
![Page 16: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/16.jpg)
7. zum Beweis des zweiten Kongruenzsatzes
Nach Vorausetzung gilt: ∠B′A′f(C) = ∠B′A′C ′. Da f(C) undC ′ auf der gleichen Seite von A′B′ liegen, mussen die Punktef(C) und C ′ auf dem gleichen Strahl von A′ aus liegen. Da
|A′C ′| = |A′f(C)|
folgt, dass C ′ = f(C). Also sind die Dreiecke A′B′C ′ undA′B′f(C)′ gleich.
![Page 17: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/17.jpg)
![Page 18: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/18.jpg)
8. Der dritte Kongruenzsatz
Proposition
(WSW): Es seien ABC und A′B′C ′ zwei Dreiecke, so dass
|AB| = |A′B′|, ∠ABC = ∠A′B′C ′ ∠BAC = ∠B′A′C ′.
Dann sind die Dreiecke ABC und A′B′C ′ kongruent.
Corollary
Es sei ABC ein Dreieck, so dass ∠BAC = ∠ABC. Dann gilt|AC| = |BC|.
Die Beweise sind Ubungsaufgaben.
![Page 19: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/19.jpg)
![Page 20: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/20.jpg)
9. H”ohen im Dreieck
Proposition
Es sei ABC ein Dreieck mit seinem Umkreis. Es sei F ∈ BC derFußpunkt des Lots von A auf BC. Das ist eine Hohe des Dreiecks.Der andere Schnittpunkt von AF mit dem Umkreis sei I. Es sei Hder Schnittpunkt mit einer anderen Hohe des Dreiecks.Dann gilt
|HF | = |FI|.
![Page 21: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/21.jpg)
![Page 22: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/23.jpg)
![Page 24: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/24.jpg)
10.Eine Folgerung
Corollary
Es sei ABC eine Dreieck. Die Hohe von A aus schneide denUmkreis in einem weiteren Punkt I und die Hohe von B ausschneide den Umkreis in einem weiteren Punkt K. Dann gilt furdie Lange der Bogen:
Bogen CK = Bogen CI.
![Page 25: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/25.jpg)
11. SSW ist falsch
![Page 26: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/26.jpg)
12. Kongruenzsatz fur rechtwinklige Dreiecke
Proposition
Es seien ABC und A′B′C ′ zwei Dreiecke, so dass
|AB| = |A′B′|, |BC| = |B′C ′|, ∠ACB = ∠A′C ′B′ = 90o.
Dann sind die Dreiecke ABC und A′B′C ′ kongruent.
Wenn man die Dreiecke an AC bzw. A′C ′ spiegelt, erhalt manzwei gleichschenklige Dreiecke, auf die man SSS anwenden kann.
![Page 27: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/27.jpg)
12. Kongruenzsatz fur rechtwinklige Dreiecke
Proposition
Es seien ABC und A′B′C ′ zwei Dreiecke, so dass
|AB| = |A′B′|, |BC| = |B′C ′|, ∠ACB = ∠A′C ′B′ = 90o.
Dann sind die Dreiecke ABC und A′B′C ′ kongruent.
Wenn man die Dreiecke an AC bzw. A′C ′ spiegelt, erhalt manzwei gleichschenklige Dreiecke, auf die man SSS anwenden kann.
![Page 28: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/28.jpg)
![Page 29: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/29.jpg)
13. Die Dreiteilung des Winkels
![Page 30: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/30.jpg)
13. Die Dreiteilung des Winkels
![Page 31: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/31.jpg)
13. Die Dreiteilung des Winkels
![Page 32: Elementare Geometrie Vorlesung 10 - Universität Bielefeldzink/Vorlesung10.pdf · 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040701/5d5f621688c99370518b5c71/html5/thumbnails/32.jpg)
13. Die Dreiteilung des Winkels