Elektromagnetik Alan Teorisi

Elektrostatik alan (statik elektik alan) Statik alan teorisi

Zamanla değişim yok Magnetostatik alan (statik magnetik alan)

Dalga Teorisi denince dinamik alan (zamanla değişim var) akla geliyor.

Matematiksel Temeller + = + = +

ÖR: (2,0,2) , (0,2,1) - = ?

= -2 + 2 -

O K bir sabit ise = k

Skaler Çarpım :

1)

2) ve olarak verilirse

Ör: kuvvetinin uygulama noktası vektörü kadar yer değiştirirse yapılan iş ne olur? ( İş = Kuvvet yol ) (Nt) (m)

14 Joule

Vektörel Çarpım

ise vektörü hem hem de ’ ye diktir (Sağ el sistemi).

1)2)

3)

ise

Karışık çarpım:

1) (Dairesel permütasyon) 2) Skaler çarpım komütatif (değişme özelliği) olduğundan 3) Tek permütasyon yapıldığında işaret değişir

Karışık çarpım paralel yüzün hacmini verir.

İki katlı vektörel çarpım:

(BAC-CAB)

Koordinat Sistemleri :

Kartezyen Koordinatlar: (x,y,z)

(Birim vektör)

z

y

x

P(x,y,z) noktasından çok küçük diferansiyel artımlarla (dx,dy,dz) elde edilen yeni nokta (x+dx, y+dy, z+dz) olur.

R P(x,y,z)

Silindirik Koordinatlar: ; 0 ;

cos(90-)= sin ; cos(90+)= -sin

x = rcos r =

y = rsin

z = z z = z

Küresel Koordinatlar: ( R,, ) 0 R <+ ; 0 0

(silindirik)

= (kartezyen) (silindirik)

= (kartezyen)

P1(2,5,4)

(kartezyen)

Örnek : Koordinat sistemi seçiminin önemine işaret eden örnek:

F = ’ ye hareket ettirilirken yapılan iş ?

1.Çözüm:

= J

2.Çözüm:

(1.1)‘den (2.1)’e y sabit y = 1

r =

(2.1) ‘den (2,2) ‘ye x sabit x = 2

bu problemde x = y ve dx = dy olduğundan

= J ]

ise korunumlu alan Örnek: ‘den ‘ye

a) ve yoluyla b) yoluyla ( her şey z = 4 düzleminde gerçekleşiyor.)

Çözüm : a) L1 üzerinde dx = dz = demek ki 1. ve 3.

integraller sıfır. (x = 2 ve z = 4 ) ise = -168 J

L2 yolunda dy = dz =0, y=2 ve z= 4 W2 = W1,2=W1 +W2 = -158 [J]

b) L3 yoluyla dz = 0 y=mx+n ’de (x,y) yerine sırasıyla (2,5) ve (3,2) konursa y= -3x+11 olarak bulunur.

P2(3,2,4)P3(2,2,4) L2

L1 L3

x

y

y→-3x+11

dy →-3dx konursa

L1-L2 ile L3 yolu ile elde edilen iş aynı değil.( korunumlu

alan değil).

ÖDEV: W= F.dl = ? F= axxy+ay(3x-y2)(a) P1→P2’ye (1). yoldan (b) (2). yoldan bulunuz. Alan korunumlu mu?

ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR VE YÜZEYLER

x,y,z → (-,) f(x,y,z) sürekli ve türevli . Belli P0(x0,y0,z0) gibi bir değeri vardır. f’in bu değere sahip bulunduğu (x,y,z) noktalarının kümesine yüzey denir. f yüzeyi değişkenlerden birini örneğin z’i içermiyorsa f(x,y)= sabit bağıntısı ile tanımlı S yüzeyi, z= düzleminde f(x,y) ile tanımlı C eğrisine değen eksenine paralel olan doğruların oluşturduğu yüzeyden ibaret olur. Bu S yüzeyine dik kesiti C olan silindirdir.

F(x,y,z) (a,b,c>0) f(x,y,z)= yüzeyi ax + by + cz düzlemx2 + y2 + z2 küre( >0) , x2+y2 dairesel silindir( >0)ax2 + by2 eliptik silindir , ax2-by2 hiperbolik silindirax2 + cy parabolik silindir , ax2+by2+cz2 elipsoit ( >0)x2 + y2 + cz2 dönel elipsoit

EĞRİLERİN PARAMETRİK GÖSTERİLİMİ

t sonlu ve sonsuz aralıkta değişmek üzere f(t), (t), (t) t’nin sürekli fonksiyonlarını gözönüne alalım. Kartezyen koordinatları sırasıyla f(t), (t) ve (t)’ye eşit P(x,y,z) noktası t değiştikçe uzayda sürekli olarak konum değiştirir. Bu şekil bir eğri adını alır. x=f(t), y=(t), z= (t)şimdi parametrik denklemi yukarıdaki gibi verilen C eğrisi üzerinde birbirine çok yakın P ve P’ noktalarını göz önüne alalım. P noktası t, P’ noktası t+t değerine karşı gelsin. PP’/t vektörünün bileşenleri

, P noktasında teğet olan bir vektördür.

Bileşenleri de f’(t), ’(t), ’(t) olur. Bu demektir ki bileşenleri f’(t), ’(t), ’(t) olan vektörü C eğrisine P(f,,) noktasında teğettir. C’nin üzerinde belirli bir P0 noktasından itibaren ölçülen yay uzunluğu S olsun. C’nin parametrik denklemi S cinsinden de yazılabilir. vektörü birim vektördür.

Gradyant: R → R3

dl=dx.ax+dy.ay+dz.az

burada

O halde df=gradf. yazılabilir.

del operatörü , olarak tanımlanır.(ax,ay,az birim vektörler)

S kalan alanın maksimum değişme yönünü gösterir. Yüzeye dik bir vektörü verir. Diğer koordinat sistemlerinde de gradyant olgusu benzer benzer şekilde tanımlanır.Örneğin silindirik koordinatlarda

dl=dr.ar+r.d.a+dz.az

df=gradf.dl

(ar,a,az birim vektörler)

küresel koordinatlarda;

(aR,a,a birim vektörler)

Belirli bir doğrultuda türev f.u= Örneğin; u=ax için türev f/x

Örnek: E=V olarak verilmektedir. E’yi (1,1,0) noktası için hesaplayınız.

a-) V=V0.ex.sin(. ) b-) V=V0.R.cos

V0.ex.sin(. )= V0.ex

(ax,ay,az birim vektörler)

a-) E(1,1,0)=(ax-ay. /4).

b-) E=-[ar. +a. +a. ]. V0.R.cos

V0.R.cos→ V0.z önceden yazılsaydı, kartezyen koordinatlarda

E= -V= -az ( V0.z) = - az.V0

Bir vektör alanının Diverjansı: R3→R

Hacim sıfıra giderken, söz konusu hacmi sınırlayan kapalı yüzeyden dışarı çıkan net akı miktarına A vektör alanının diverjansı denir.

divA Kartezyen koordinatlarda ; .A= + +

en genel olarak; .A = [ (h2.h3.A1)+ (h1.h3.A2)+ (h1.h2.A3)]

Diverjans teoremi:

Bir vektör alanının diverjansının hacim integrali hacmi sınırlayan yüzey üzerinden söz konusu vektörün dışarı doğru toplam akı miktarına eşittir.

Örnek: A = axx2+ayxy+azyz için diverjans teoreminin doğruluğunu aşağıdaki şekilde verilen küp üzerinde test edin.

1. ön yüz: x=1 dS = axdy.dz önyüz A.dS =

2. arka yüz: x=0, dS = - ax.dy.dz arkayüz A.dS =0

3. Sol yüz: y=0, dS = - ay.dx.dz sol yüz A.dS =0

4. Sağ yüz: y=1, dS = ay.dx.dz sağ yüz A.dS =

5. Üst yüz: z=1, dS = dx.dy. az üst yüz A.dS =

6. Alt yüz: z=0, dS = - ax.dx.dy alt yüz A.dS = 0

Hepsini toparlarsak; =1+0+0+1/2+1/2+0=2

Diğer yolla ise bu problem için çok daha kısa bir şekilde aynı sonuca ulaşabiliriz.

Kartezyen koordinatlarda Diverjans:

y

z

x

1

1

1

div olduğuna göre

Silindirik Koordinatlarda diverjans

Küresel Koordinatlarda diverjans

Ödev : olduğunu göster.

Örnek 2: vektörü için diverjans teoremini doğrulayın

= 3 (Kort.)

olduğu görülür.

Örnek: F (x,y,z) = ay vektör alanı nedeniyle z = 0’dan z = 2m’ye uzanan ve yarı çapı 2m olan kapalı silindirden dışarı çıkan net akıyı hesaplayın.

böylelikle

dır.

Bir vektör Alanını Rotasyoneli R3 R3

Yüzey alanı sıfıra giderken birim yüzey alanda oluşan maksimum net sirkülasyon verir. Yönü yüzey alanı net sirkülasyonu maksimum yapan yüzey alanına diktir.

Sirkülasyon yok Saat yönünde sirkülasyon var Saatin tersi yönünde sirkülasyon’nin yönü parmaklarken baş parmağın yönü ’i gösterir.

Kartezyen Koordinatlarda Rotasyonel

’yı diferansiyel

alan içinde yaklaşık sabit alınırsa

aynı işlemler xz ve yz düzlemlerinde de yapılırsa

(yz düzlemi) (xz düzlemi)

Silindirik Koordinatlarda Rotasyonel

dan hareketle aşağıdaki gibi yazılabilir.

Küresel Koordinatları

olduğunu

göster. (Markus Zahn ,EM Field Theory)

STOKES TEOREMİ

Açık bir yüzey üzerinden bir vektör alanın rotasyonelinin yüzey integrali aynı yüzeyi çevreleyen kapalı

çevre üzerinden söz konusu vektör alanının çizgisel integraline eşittir.

Örnek : vektör alanı için yarıçapı 3 olan çeyrek dairesel disk üzerinde Stokes

teoremini doğrulayın.

Şimdi de ’yi bulalım.

demek ki sağlıyor.

Örnek : vektör alanı için L kapalı eğrisi ile sınırlanan

a) xy düzlemindeki düz dairesel düzlem için

b) Yarım küre yüzeyi için

c) Silindir yüzeyi için i hesaplayınız.

L kapalı eğrisi için L üzerinde r = R

a)

b)

c) doğrultusunda olduğundan yanal yüzeylerden bir katkı gelmez. Ayrıca z’e de bağlı

olmadığından sadece silindirin üst sınırındaki daire üzerinden integral olarak sonuca ulaşırızki bu (a) şıkkı ile

aynıdır.

Örnek : için ’i hesaplayın. Şekilde sonuç 0 ve yönü

Ödev: vektör alanı için Stokes

teoreminin geçerliliğini yandaki şekilden faydalanarak

gösterin.

Bazı özdeşlikler

F ve G vektörel fonksiyonlar , f,g ise reel fonksiyonlarstoker ve k bir sabit olmak üzere aşğıdaki

özdeşlikler yazılabilir.

*sabitin gradyantı sıfırdır.

y

z

x

(0,1,1)

(0,1,0)

(0,0,1)

Önemli Özdeşlikler

1-)

türevde sıralama önemli değil.

2-)

3 - )

Mini Özet

Kartezyen Koordinatlar

(x,y,z)

Silindirik Koordinatlar

(r,,z)

Küresel Koordinatlar(R,,)

Baz Vektörler

h1

Metrik Katsayılar h2

h3

111

1r1

1R

RsinDiferansiyel Hacim dV dxdydz rdrddz R2sindddR

dSu1

Diferansiyel Alan dSu2

( ) dSu3

dydzdxdzdxdy

rddzdrdzrdrd

R2sinddRsin ddR

Rd dRdlu1

Diferansiyel Uzunluk dlu2

dlu3

dxdydz

drrddz

dRRd

Rsin d

Genel Tanımlamalar

dV = h1h2h3du1du2du3 (Diferansiyel Hacim) ; (Diferansiyel Uzunluk);

(Diferansiyel Alan) ;

Gradyent Operatörü (Del Operatörü)

Bir A vektörünün diverjansı ( , ) olarak verilirse,

Bir Vektör Alanının Rotasyoneli ( )

Laplasyen ( 2 Operatörü)

Birim Vektörler Arası Dönüşüm Tablosu

1 0 1

0 1 0 0 0 1

cos -sin 0

sin cos 0

0 0 1

sin cos cos cos -sin

sin sin cossin cos

cos -sin 0

cos sin 0

-sin cos 0

0 0 1

1 0 1

0 1 0 0 0 1

sin cos 0

0 0 1

cos -sin 0 sin cos sin sin cos

cos cos cossin -sin

-sin cos 0

sin 0 cos

cos 0 -sin

0 1 0

1 0 1

0 1 0 0 0 1