elektrische und magnetische felder - tu dresden
TRANSCRIPT
0 - 1
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und Magnetische Felder «
TU Dresden Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik Institut Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik Prof. Dr.-Ing. habil. Renate Merker
Skript
Elektrische und magnetische Felder
Vorlesung für Studiengang Mechatronik, Regenerative Energiesysteme
Wirtschaftsingenieurwesen, Lehramt
Sommersemester 2017
0 - 2
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und Magnetische Felder «
Gliederung: 1. Grundlagen des elektrischen Feldes 2. Stationäres elektrisches Strömungsfeld 3. Elektrostatisches Feld 4. Magnetfeld
Anhang: Mathematische Grundlagen
1 - 1
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
1. Grundbegriffe des elektrischen Feldes 1.1 Ladungsdichten
Raumladung Flächenladung Linienladung
stetige Verteilung einer Ladung Q über
Volumen V
mit
Raumladungsdichte
[ ]3
0
m
C
V
QV
=
∆∆=
→∆
ρ
ρ lim
Fläche A
mit
Flächenladungsdichte
d → 0
[ ]2
0
m
C
A
QA
=
∆∆=
→∆
σ
σ lim
Linie mit Länge l
mit
Linienladungsdichte
l
a<< l
[ ]m
C
l
Ql
=
∆∆=
→∆
λ
λ0
lim
Bild 1-1
1.2 Felder im Raum a) Feldbegriff
Feld: Jedem Punkt eines Raumes ist eindeutig ein Wert einer physikalischen Größe zugeordnet.
Feldgröße: physikalische Größe, die den Raumzustand definiert
(Beispiele: Temperatur, Druck, Geschwindigkeit, Feldstärke)
Feldbild: Graphische Darstellung eines Feldes
Bild 1-2
1 - 2 Grundbegriffe des elektrischen Feldes
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
b) Ortsvektoren
x
y
z
ey
ex
ez
x
y
z
x
z
yr
Ortsvektoren
- kartesisches Koordinatensystem: - Kugelkoordinatensystem:
r = x ex + y ey + z ez
=z
y
x
x
y
z
r
er
x
y
z
r = I r I er = r er rezyxr222 ++=
er =r
I r I
Bild 1-3
c) Skalar- und Vektorfelder
Jedem Raumpunkt ist zugeordnet ein
Skalarfeld Vektorfeld
skalarer Wert vektorieller Wert
rr
x
y
z
x
y
z
Darstellung
p1
p2
pp2
),,(
)(
zyxfp
rfp
k== r
zz
yyxx
ezyxF
ezyxFezyxFF
rfF
r
rrr
rr
),,(
),,(),,(
)(
+
+=
=
rr
1Fr
Fr
2Fr
3Fr
xx eFr
zzeFr
rr
Bild 1-4
Feldbilder
x
y
z
p1
p1p1
Flächen (Linien) mit
gleichen Werten
Beispiele:
• Äquipotentialflächen
• Isothermen (iso : gleich)
• Isobaren (baros: Druck)
x
y
z
je größer der Betrag der vektoriellen Werte, umso dichter die Feldlinien
Vektorfelder können homogen oder inhomogen sein
Skalarfeld
FeldlinienRichtung der Linien
Dichte der Linien
Vektorfeld
p2
Bild 1-5
Grundbegriffe des elektrischen Feldes 1 - 3
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Beispiele für Feldbilder:
Bild 1-6 – Bild 1-9
1.3 Coulombsches Gesetz
inhomogenes Vektorfeld
Vektorfeld Feldbild
Darstellung
vektorielle Werte Tangenten an Feldlinien
je größer der Betrag der vektoriellen Werte
umso dichter die Feldlinien Feldbild des Vektorfeldes der Geschwindigkeit eines Luftstromes im Fön
Beispiel
homogenes Vektorfeld
Vektorfeld:
Raumpunkte →
vektorielle Werte (Betrag und Richtung gleich)
Feldbild:
äquidistante Feldlinien
Darstellung
inhomogenes Vektorfeld
Feldbild:
nicht äquidistante Feldlinien
Darstellung
Vektorfeld:
Raumpunkte →
vektorielle Werte (Betrag und Richtung unterschiedlich)
1 - 4 Grundbegriffe des elektrischen Feldes
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
rr
r
r
r
QQe
r
QQF r
r
r
r
rr
30
1
20
1
20
1
444 πε=
πε=
πε=
Q1
Q Fr
rr
r
r
r
rer
r
r
r
r
==Fr
−
Q1, Q > 0
Coulombsches Gesetz in Vektorform
Beispiel:
x
y
z
rr
Q
Q1
Fr
rer
gesucht: Kraft auf Ladung Q im RaumpunktF
r
rr
Bild 1-10
1.4 Elektrische Feldstärke
feste Ladung Q1
)(rFr
r
Probeladung Q
x
y
z
rr
Feste Ladung Q1 versetzt Raum in den Zustand, dass auf eine Probeladung Q in jedem Raumpunkt r eine Kraft
ausgeübt wird.
)(rFr
r
Bild 1-11
Grundbegriffe des elektrischen Feldes 1 - 5
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Q
FE
r
r
=
Definition der elektrischen Feldstärke:
[ ] [ ][ ] m
V
Asm
Ws
C
N
Q
FE 111 ====
Bild 1-12
Feldbild der elektrischen Feldstärke eines flächenhaften Leiters
I
Feldbild der elektrischen Feldstärke einer Punktladung
IQ
Er E
r
Beispiele von Feldbildern der elektrischen Feldstärke:
Bild 1-13
1 - 6 Grundbegriffe des elektrischen Feldes
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
1.5 Spannung und Potenzial a) Definition des Potenzials
Voraussetzung:
Ladung Q im elektrischen Feld hat in jedem Raumpunkt eine potenzielle Energie
)(rEr
r
)(rWr
rr
( ) ( )Q
rWr
r
r =ϕ
Definition des Potenzials:
[ ] [ ][ ] V
As
Ws
Q
W11 ===ϕ
Bild 1-14
I I
• Raumpunkte gleichen Potenzials liegen auf Äquipotenziallinien(~flächen)
• Potenzialfeld ist ein Skalarfeld
Q
rr
Er
Äquipotentiallinie(Äquipotentialfläche)
W( )r
Bild 1-15
Er
I I
ϕ1ϕ2ϕ3
ϕ4
Q
ϕ2
ϕ1
ϕ3
ϕ4
ϕ2
Er
• Potenzial nimmt in Richtung der Feldstärke ab:
ϕ1> ϕ2 > ϕ3 >ϕ4
• Äquipotenzialflächen so zeichnen, dass zwischen benachbarten gleiche
Potenzialdifferenz: ϕ1− ϕ2 = ϕ2− ϕ3 = ϕ3−ϕ4= ...
Bild 1-16
Grundbegriffe des elektrischen Feldes 1 - 7
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Bezugspotenzial:
Er
ϕ=0
I I
ϕ1ϕ2ϕ3
ϕ4
Q
ϕ2
ϕ1
ϕ3
ϕ4
ϕ2
Er
ϕ=0
Beispiele für Wahl des Bezugspotenzials
Bild 1-17
1 - 8 Grundbegriffe des elektrischen Feldes
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b) Berechnung des Potenzials aus der Feldstärke
1-16
QrErFQrrW )()()()(r
rr
rrr == ϕmit und folgt:
')'()()(0
0 rdrErrr
r
rrr
rr
r
r
∫−= ϕϕ
Bezugspotenzial Linienintegral der elektrischen Feldstärke
Die Ladung Q hat im Raumpunkt r0die potenzielle Energie W(r0). Bei der Bewegung der Ladung Q zum Raumpunkt r gibt sie die Energie
')'(0
rdrFr
r
rrr
r
r
∫ ab.
')'()()(0
0 rdrFrWrWr
r
rrr
rr
r
r
∫−=
Die potenzielle Energie W(r) der Ladung Q im Raumpunkt r ergibt sich zu:
Bestimmung des Potenzials aus der elektrischen Feldstärke
II
Er
rr
ϕ( )r
Q Q
0rr
ϕ( )r0 'rdr
Bild 1-18
Spezialfall homogenes elektrisches Feld:
0rr
rr
homogenes elektrisches Feld: ,ErEr
rr
=)(
0rrrr −
d.h. Feldstärke ist an allen Raumpunkten gleich
Er
Bild 1-19
Grundbegriffe des elektrischen Feldes 1 - 9
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
c) Spannung
1-201-20
')'()(')'()(
)()(
2
0
1
0
21
00
21
rdrErrdrEr
rrUr
r
r
r
rr
rrr
rrrr
r
rr
r
r
r
r
rr
∫∫ +−−=
−=
ϕϕ
ϕϕ
')'(2
1
21rdrEU
r
r
rr
rrr
r
r
rr ∫=
Linienintegral der elektrischen Feldstärke
Definition der Spannung
ϕ( )r2
ϕ( )r1
I I
Er
dr‘
r2
r1
Ur1 r2
Spannung zwischenden Raumpunkten r1 und r2
:Ur1 r2
Bild 1-20
1 - 10 Grundbegriffe des elektrischen Feldes
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Beispiel zur Berechnung von Potenzial und Spannung im homogenen elektrischen Feld:
x/cm
y/cm
x
xx
e
eEE
r
rr
cm
V1=
=
1 2-1-2
-1V -2V1V ϕ(0)=0V2V
geg.:
( )
=
=
0
0
,0
0
0
r
Vr
r
rϕ
ges.:
( )
=y
xrrrr
,ϕ
2102,UU
Bild 1-21
Grundbegriffe des elektrischen Feldes 1 - 11
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
d) Existenzbedingungen für das Potenzial
c1
ϕ(r)r
r0
ϕ(r0)
I Ic2
Existenzbedingung für das Potenzial:
Zu einem Vektorfeld existiert ein Potenzialfeld (d.h. jedem Raumpunkt ist eindeutig ein Potenzialwert zugeordnet), wenn das Linienintegral
Er
Er
∫ ′′r
cr
rdrE
r
r
rrr
,0
)( vom Weg c unabhängig ist, d.h.:
∫∫ ′′=′′r
cr
r
cr
rdrErdrE
r
r
r
r
rrr
rrr
2010 ,,
)()(
0)()(0
210 ,,
=′′+′′ ∫∫−
r
cr
r
cr
rdrErdrE
r
r
r
r
rrr
rrr
Bild 1-22
1-20
rϕ(r)
I
ϕ(r0)
r0
Ic
Umlaufintegral (Zirkulation von ) ist Null.E
r
Folgerung: Maschensatz (dU = E dr)
( ) 0=′′∫ rdrErr
r
c
allgemein gilt:
Ein Vektorfeld A hat genau dann ein Potenzial, wenn das Umlaufintegral
auf einem geschlossenen Integrationsweg c verschwindet.
A heißt dann wirbelfrei.
( )∫ =0rdrArr
r
c
Bild 1-23
1 - 12 Grundbegriffe des elektrischen Feldes
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
wirbelfreie Felder nicht wirbelfreie Felder
( )∫ =0rdrArr
r
c( )∫ ≠0rdrA
rrr
Beispiele:
c
• elektrostatisches Feld
• stationäres elektrisches Strömungsfeld
c
c
Ar
Ar
• Magnetfeld
• elektrisches Feld bei veränderlichem Magnetfeld
Bild 1-24
e) Berechnung der Feldstärke aus dem Potenzial
1-21
ϕ3
ϕ1ϕ2
ϕ4
ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4
Gradient φ (grad φ): Vektor in Richtung des steilsten Anstieges des Potenzials
E
grad ϕ
Feldstärke E = - grad φ : in Richtung des steilsten Sinkens des Potenzials
Veranschaulichung:
Berechnung der Feldstärke aus einem gegebenen Potenzial
zzyyxx
zyx
eEeEeErE
ez
ey
ex
rgradrE
rrrrr
rrrrrr
++==
∂∂+
∂∂+
∂∂−=−=
)(
)()(ϕϕϕϕ
:),,()( zyxr ϕϕ =r
)(rEr
r
Bild 1-25
Beispiel zur Berechnung des Feldstärkefeldes aus dem Potenzialfeld:
Grundbegriffe des elektrischen Feldes 1 - 13
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
1 - 14 Grundbegriffe des elektrischen Feldes
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x/cm
y/cm
ϕ = 25Vcmx
cmy5,2=
ϕ = 15Vcmx
cmy5,1=
ϕ = 5Vcmx
cmy5,0=
1 2
1
2
−=
cmx
cmy
cmV
E10
r
Bild 1-26
1.6 Zusammenfassung
1-27Prof. Merker, TU Dresden 1-27
elektrische Feldstärke
elektrisches Potenzial
),,()( zyxr ϕ=ϕr
Vektorfeld(Feldliniendarstellung)
Skalarfeld(Isolinien ~flächen-darstellung)
rr
QQe
r
QQF r
rrr
30
1
20
1
44 πε=
πε= Q1
Q Fr
rr
rer
Q1, Q > 0:
Coulombsches Gesetz:
zyxr ezeyexerrrrrrr
++==
∂ϕ∂+
∂ϕ∂+
∂ϕ∂−=ϕ−= zyx e
ze
ye
xrgradrE
rrrrrr
)()(
)( 1rr
ϕ )( 2rr
ϕ
Er
)( 0rr
ϕ
Q
FE
r
r
=
)( 0rr
ϕ
∫ ′′−ϕ=ϕr
r
rdrErr
r
r
rrr
rr
0
)()()( 0
elektrische Spannung
21,rrU rr
21,rrU rr
∫ ′′=
ϕ−ϕ=
2
1
21
)(
)()( 21,
r
r
rr
rdrE
rrUr
r
rr
rrr
rr
Bezugspotenzial
2 - 1
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
2. Stationäres elektrisches Strömungsfeld 2.1 Wesen des stationären elektrischen Strömungsfel des
Wesen des stationären elektrischen Strömungsfeldes
• Stationäres Strömungsfeld: I = = konst.dt
dQ
• Medium: elektrischer Leiter beliebiger Form (linienhafter, flächenhafter, räumlicher Leiter)
• für das Leitergebiet gilt das Ohmsche Gesetz: U=IR
elektrischer Leiter:
A1
A2
I
I
FvQ
r
E
• im Leitergebiet: Ladungsströmung mit Geschwindigkeit v( r ) :
[ ] [ ][ ] Vs
m
E
vrErv
2
==µµ= ),()(r
rrr
µ Beweglichkeit der Ladungsträger
Bild 2-1
Strömungsfeld im Querschnitt eines elektrischen Leiters
• Gesamtstrom I teilt sich auf in gleiche Teilströme ∆ I in Teilvolumen mit Querschnitt ∆ A
→ Stromröhren
Spuren der Stromröhren: Strömungslinien
I∆ I
I
Stromröhren
Strömungslinien
∆ A1∆ A2
Bild 2-2
2.2 Stromdichte a) Definition
2 - 2 Strömungsfeld
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Spezialfall: homogenes Strömungsfeld
I I
II
A
A J
Bild 2-3
b) Zusammenhang zwischen Stromdichte und Feldstärke
Strömungsfeld 2 - 3
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EJrr
κ= Ohmsches Gesetz des stationären Strömungsfeldes
µρκ R= elektrische Leitfähigkeit (Materialkonstante)
[ ] [ ][ ]m
S
mVm
A
Vs
m
m
AsR 1
111
2
3=
Ω==== µρκ
mit
elektrische Leitfähigkeit κhängt ab von
Konzentration freier beweglicher Ladungsträger(Raumladungsdichte ρR)
Beweglichkeit µ der Ladungsträger
Stoffe ohne freie Ladungsträger (Isolierstoffe) haben sehr kleines κ.
Bild 2.4
Beispiele für elektrische Leitfähigkeiten:
2-5
elektrische Leitfähigkeitenκ / (Ω−1⋅m−1)
106
108
104
102
10
10-2
10-4
10-6
10-8
10-10
10-12
10-14
10-16
metallische Leiter
Kohle
Seewasser
Flusswasser
Erdbodendestilliertes Wasser
Isolier-stoffe
Pressstoffe
Keramik
Porzellan Glas
GlimmerQuarzglasPolyäthylen, PTFE
Bild 2-5
2 - 4 Strömungsfeld
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c) Beziehung zwischen Strom und Stromdichte Spezialfall: allgemeiner Fall:
IAI
• homogenes Strömungsfeld
II Jα α
A
A
A
Fläche A wird um Winkel α geneigt:
• inhomogenes Strömungsfeld
A
I
J
Zerlegung der Fläche A in Flächen-elemente dA, durch die Strom dI fließt :
dAdI
dA
J
Bild 2-6
Strömungsfeld 2 - 5
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d) Kontinuität der Stromdichte
Kontinuität der Stromdichte:
dA dAJ
Hüllfläche: H
J
Der Gesamtstrom durch eine geschlossene Hülle ist stets NULL:
∫∫ ==H
ges AdJI 0rr
Naturgesetz
Das Stromdichtefeld ist quellenfrei. Folgerung: Es gilt der Knotenpunktsatz.
Bild 2-7
e) Ausgewählte Beispiele für Stromdichten
10…100Halbleiterbauelemente
0,1Elektronenröhre (an Katoden)
3…8Elektrogeräte, Motoren
10,7Isolierte Leiter (Al, Cu, 1,5mm2 Durchmesser)
1elektrische Freileitung
J / (A/mm2)Stromdichte
Bild 2-8
2 - 6 Strömungsfeld
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2.3 Bedingungen an Grenzflächen a) senkrechte und tangentiale Strömung
κ1 κ2
J1 J2
dA1 dA2
db→ 0
JJJ
dAJdAJAdJ
==→=−=∫∫
21
1122 0rr
J
21 κκ <
E
dA2
EEE
dlEdlErdE
==→
=−=∫21
21 0r
r
κ1
κ2
db→ 0
E1
E2
dl
Bild 2-9
1
2
2
1
222111
κκ=
=κ=κ=
E
E
JEEJ
E1 E2
2
1
2
1
22
2
1
11
κκ=
=κ
=κ
=
J
J
EJJ
E
J1
J2
21 κκ <
Bild 2-10
b) Brechungsgesetz für Feldlinien
κ1 κ2
21 κκ <
E1
E2
J1
J2
aa
J1n
J2n
b
b
E1t
E2t
α1
α2
2
1
22
11
2
1
2
1
2
2
2
22
1
1
1
11
κκ=
κκ==
αα
==α
==α
t
t
t
t
n
t
n
t
n
t
n
t
E
E
J
J
J
J
E
E
J
J
E
E
tan
tan
tan
tan
Beim Übergang in ein besser (schlechter) leitendes Medium werden die Feldlinien vom (zum) Einfallslot weg (hin) gebrochen.
Dabei gilt:
tt
nn
EE
JJ
21
21
==
2
1
2
1
tantan
κκ
αα =
Brechungsgesetz für Feldlinien
Bild 2-11
Strömungsfeld 2 - 7
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
c) Grenzfläche zum idealen Leiter und Nichtleiter
Feldlinien senkrecht auf Grenzfläche
Grenzfläche ist Äquipotenzialfläche
Feldlinien entlang der Grenzfläche(Grenzfläche ist Einhüllende der Feldlinien)
Äquipotenzialflächen senkrecht auf Grenzfläche
Eine Äquipotenzialfläche kann durch eine ideal leitende Grenzfläche ersetzt werden, ohne dass sich das Feldbild ändert.
Eine Hüllfläche von Feldlinien kann durch eine ideal nicht leitende Grenzfläche ersetzt werden, ohne dass sich das Feldbild ändert.
1κ 02 →κ
NichtleiterE
Grenzfläche
J
1κ ∞→2κ
idealer LeiterE
J
Grenzfläche
00tantan 122
11 =⇒== αα
κκα °→⇒∞→= 90tantan 12
2
11 αα
κκα
Bild 2-12
Anwendung:
2-12
Leiter
Nichtleiter
Bild 2-13
2 - 8 Strömungsfeld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
2.4 Berechnung elementarer Strömungsfelder Rechenschema für elementare Strömungsfelder:
Er
I Jr EJ
rr
κ=AdJIA
rr
∫∫=
)(rr
ϕ
21,rrU rr
I
UR =
* Bemessungsgleichung für homogenes Feld
A
lR
κ=
*
I I
A
Er
Jr
)( 1rr
ϕ )( 2rr
ϕ
21,rrU rr
κ
Berechnung elementarer Strömungsfelder
∫ ′′=−=2
1
21)()()( 21,
r
r
rr rdrErrU
r
r
rr
rrr
rr ϕϕ
∫ ′′−ϕ=ϕr
r
rdrErr
r
r
rrr
rr
0
)()()( 0)()( rgradrErr
r
ϕ−=
Bild 2-14
2.4.1 Kugelsymmetrische Anordnung a) Punkt- Einströmung
κ
I
in sehr großer Entfernung Gegenelektrode
)(rrϕ
J
rr
1rr
2rr
21,rrU rr
isolierteZuführung
Äquipotenzialflächen:konzentischeKugelflächen
Strömungslinien
Strom I verteilt sich gleichmäßig in alle Richtungen
Feldbild:
Bild 2-15
Strömungsfeld 2 - 9
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
Berechnung der Größen für die Punkt-Einströmung:
dA
J
)(),(),( rrErJrr
rr
r
ϕges.:
rr
Hülle H
I
κ
Bild 2-16
2 - 10 Strömungsfeld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
b) Anwendung: Halbkugelerder
κ
0=κ ∞→κ
I
Halbkugelerder (Radius rE)
E
Us
.const=ϕ
r2
r1
Bild 2-17
κ
0=κ ∞→κ
I
E
κ
0=κ
I
E
Ersatzanordnung:Feld einer Punkt-Einströmung
Berechnung:
Bild 2-18
Strömungsfeld 2 - 11
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
Darstellung des Potenzials (Potenzialtrichter) und der Äquipotenzialflächen
r/r E
ϕ (r) /ϕ (r E)
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
)0
(
:
1:
2,
2
giltsomitund
Halbkugelderinnerhalbda
für
für
==∞→
=≤
=>
==
κκ
ϕϕ
ϕϕ
κπϕ
κπϕ
JE
rrrr
rrr
rrr
r
Ir
r
Ir
EE
EE
E
EE
r
r
Bild 2-19
r/r E
ϕ(r)/ϕ(rE)
Veranschaulichung der Schrittspannung
Bild 2-20
2 - 12 Strömungsfeld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
2.4.2 Zylindersymmetrische Anordnung
2-19
)(rrϕ
Strom I verteilt sich gleichmäßig radial senkrecht zum Leiter
Einströmung in unendlich ausgedehnten Linienleiter
Äquipotenzialflächen:konzentischeZylindermantelflächen
Feldbild:
κ
I
J rr
Berechnung:
l
)(),(),( rrErJrr
rr
r
ϕges.:
dA
Hülle Hκ
I
J rr
Bild 2-21
Strömungsfeld 2 - 13
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
2 - 14 Strömungsfeld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
2.4.3 Überlagerung von Feldern
gesucht: Potenzial und Feldstärke herrührend von einer am Raumpunkt gelegenen Punkteinströmung I1
( )rrϕ ( )rE
rr
1rr
r1
I 1
0
1
1
4)(
rr
Ir
rr
r
−=
πκϕ 3
1
11
4
)()(
rr
rrIrE
rr
rr
rr
−−=
πκ
1rrrr −
r
)(),( rrErr
r
ϕges.:
Lösung:
Bild 2-22
Überlagerungssatz für mehrere Punkt-Einströmungen:
Die Feldgrößen (E, ϕ) der einzelnen Einströmungen addieren sich (vektoriell, skalar) in jedem Raumpunkt r.
r1
r2
r3
I 1
I 2
I 3
0
∑∑== −πκ
=ϕ=ϕ3
1
3
1 4
1)()(
n n
n
nn rr
Irr
rr
rr
∑∑== −
−πκ
==3
13
3
1
)(
4
1)()(
n n
nn
nn
rr
rrIrErE
rr
rr
rr
rr
1rrrr −
3rrrr −
r
)(),( rrErr
r
ϕges.:
Bild 2-23
Strömungsfeld 2 - 15
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
Beispiel: Überlagerung der Felder zweier gleich gerichteter Punkt-Einströmungen
I 1 I 2
x
y
- a ar1 r2
1rrrr − 2rr
rr −r
x
y
)(),( rrErr
r
ϕges.:
Bild 2-24
2 - 16 Strömungsfeld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
Spezialfälle: Feldbilder: - elektrische Feldstärke
I I
Überlagerung zweier entgegengesetzt gerichteter Punkt-Einströmungen
- Potenzial:
Potential (Angaben in V)
-2000-1800-1600-1400-1200-1000-800-600-400-200
0200400600800
100012001400160018002000
1800-2000
1600-1800
1400-1600
1200-1400
1000-1200
800-1000
600-800
400-600
200-400
0-200
-200-0
-400--200
-600--400
-800--600
-1000--800
-1200--1000
-1400--1200
-1600--1400
-1800--1600
950-1000900-950850-900800-850750-800700-750650-700600-650550-600500-550450-500400-450350-400300-350250-300200-250150-200100-15050-1000-50-50-0-100--50-150--100-200--150-250--200-300--250-350--300-400--350-450--400-500--450-550--500-600--550-650--600-700--650-750--700-800--750-850--800-900--850-950--900
Bilder 2-25-2-28
Potential (Angaben in V)
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
1800-2000
1600-1800
1400-1600
1200-1400
1000-1200
800-1000
600-800
400-600
200-400
0-200
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
950-1000
900-950
850-900
800-850
750-800
700-750
650-700
600-650
550-600
500-550
450-500
400-450
350-400
300-350
250-300
200-250
150-200
100-150
50-100
0-50
II
Überlagerung zweier gleich gerichteter Punkt-Einströmungen
Strömungsfeld 2 - 17
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
Spiegelungsprinzip
2-26
II
idealer Nichtleiter
keine Feldänderungen beim:
Schneiden mittels eines idealen Leiters entlang Äquipotenzialflächen:
Schneiden mittels eines idealen Nichtleiters entlang Strömungslinien:
IIid
eale
r N
icht
lei
ter
II
idealer
Leiter
Bild 2-29
Anwendung des Spiegelungsprinzips:
II
Kugelerder in endlicher Tiefe
I
II
Modell
idealer Nichtleiter
Bild 2-30
2 - 18 Strömungsfeld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
Beispiel für die Anwendung des Spiegelungsprinzips:
I
a
x
κ
Ersatzanordnung (Modell):Überlagerung zweier gleich gerichteter Punkt-Einströmungen
Aufgabe:geg.: Kugelerder mit Radius R in Tiefe ages.: E(x), ϕ(x) auf der Erdoberfläche
R
I
I
Modell zur Lösung:
x
y
r1
r2
R
r
)(),( rrErr
r
ϕges.:
Bild 2-31
Strömungsfeld 2 - 19
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
2.5 Verlustleistungsdichte im Strömungsfeld
EJ
∆ I
∆ A
∆ PV
∆ l
∆ U
Abschnitt einer Stromröhre mit Volumen ∆ V = ∆ A ∆ l :
umgesetzte Leistung ∆ PV im Volumen ∆ V:
VJEAJlEIUP ∆=∆∆=∆∆=∆rrrr
V
Definition der Verlustleistungsdichte pV :
V
Pp V
V ∆∆=
→∆ 0V lim
κκ
22
V
JEJEp ===
rr
Die Verlustleistung PV in einem Volumen V folgt zu: dVpPV V∫∫∫=V
Bild 2-32
Beispiel: homogenes Feld
2 - 20 Strömungsfeld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
2.6 Widerstandsberechnung räumlicher Leiter
geg.: räumliche Leiteranordnung mit Leitfähigkeit κProblemstellung:
ges.: Widerstand R=U/I oder Leitwert G = I/U der Anordnung
Lösungsmöglichkeiten:
κ
U
I
a) Berechnung über Feldgrößen und Definitionsgleich ung (siehe Kap. 2.4)
Bedingung: 1. Kontaktflächen sind Äquipotenzialflächen
2. Begrenzungen zum Nichtleiter sind Einhüllende von Stromlinien
Bild 2-33
I I
A
Er
Jr
)( 1rr
ϕ )( 2rr
ϕ
21,rrU rr
κRechenschema: Widerstandsberechnung räumlicher Leiter über Feldgrößen:
Er
I Jr
AdJIA
rr
∫∫=
)(rr
ϕ
21,rrU rr
I
UR =
∫ ′′=−=2
1
21)()()( 21,
r
r
rr rdrErrU
r
r
rr
rrr
rr ϕϕ∫∫
∫ ′′
=
A
r
rrr
AdJ
rdrE
Rrr
rrr
r
r
rr
2
1
21
)(
,allg.:
U
IG =
Bild 2-34
Strömungsfeld 2 - 21
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
Beispiel: Berechnung des „Kugelwiderstandes“ einer konzentrischen Anordnung
Ersatzanordnung:Feld einer Punkt-Einströmung
κ
irr
arr
arr
irr
Äquipotenzialflächen
Anordnung
I
I
κ
I
Bild 2-35
2 - 22 Strömungsfeld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
b) Widerstandsberechnung räumlicher Leiter über die Bemessungsgleichung des Widerstandes/Leitwertes für das homogene Feld
A
lR
κ=
l
AG
κ=
Weg:
1. Zerlegung des Feldraumes in differentielle Raumelemente mit annähernd homogener Feldverteilung
2. Bestimmung des Widerstandes dR/ Leitwertes dG des differentiellen Raumelementes, wenn Raumelemente in Serie/ parallel geschaltet sind
3. Berechnung des Gesamtwiderstandes/Gesamtleitwertes durch Integration
über Bemessungsgleichung des Widerstandes/Leitwertes für homogenes Feld:
I Iκ
l
A
Bild 2-36
Beispiele:
• Berechnung des „Kugelwiderstandes“ einer konzentrischen Anordnung
κ
irr ar
r
I
I
dr
...I I
Reihenschaltung der Widerstände dRder differentiellen Raumelemente (rote Bereiche):
Bild 2-37
Strömungsfeld 2 - 23
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
I
I
1rr
2rr
rr
b
dr
A
• Widerstand eines bogenförmigen Leiters
radiale Durchströmung
...
I
I
Reihenschaltung der Widerstände dRder differentiellen Raumelemente (rote Bereiche):
Bild 2-38
I
I
2rr
1rr
rr
b
A
• Widerstand eines bogenförmigen Leiters
Längsdurchströmung
...
I
I
Parallelschaltung der Widerstände dRder differentiellen Raumelemente (rote Bereiche):
Bild 2-39
2 - 24 Strömungsfeld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
2.7 Zusammenfassung
2-37
Stationäres Strömungsfeld
Gleichstromkreis (Integralverhalten zwischen ausgezeichneten Schnittstellen P):
Antriebsquelle von Trägerströmung
P2
0=∫∫H
AdJrr
0=∫∫H
AdJrr
A ∫∫=A
AdJIrr
R20=∑υ υI
0=∑µ µU
0=∫c
rdEr
r
Er
EJrr
κ=H
Hκ
Quelle: R. Paul, ET1
P1
P2
P1
P3
P4
P4
P3
R1
R3 R4
Bild 2-40
3 - 1
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3. Elektrostatisches Feld 3.1 Wesen des elektrostatischen Feldes
U
I = konst.
E ϕJ
U
E ϕ
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
--Q+Q
Strömungsfeld( ) 0
0
0
→κ=→→κ
EJ
I elektrostatisches Feld
Dielektrikum ε(κ = 0)
Leiter: κ >0
Bild 3-1
3 - 2 Elektrostatisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
++++++++++
----------
+Q
-Q
+Q -Q
+Q hat immer –Q als Partner im Raum
Beispiele elektrostatischer Felder
E
E
kugelsymmetrische AnordnungPlattenkondensator
Bild 3-2
3.2 Influenz
In einem Leiter im elektrischen Feld werden Ladungen getrennt (verschoben):
Influenz:
------
++
++
++
++++++++++
----------
+Q -Q
------
++
++
++
++++++++++
----------
+Q -Q
++
++
+++
-Q
++
++
++ +
+
++
++
++
+
++
++
+ +
+Q
Bild 3-3
Elektrostatisches Feld 3 - 3
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Anwendung: Abschirmung einer Ladung durch kurzzeitig geerdete Metallhülle:
Bild 3-4
Dielektrische Polarisation:
Elektret
++++++++++
----------
+Q -Q
- + - + - +
- + - + - +
- + - + - +
- + - + - +
Dielektrikum
verschiedene Arten der dielektrischen Polarisation: z.B. atomare Polarisation, Dipol-Polarisation
Anwendungen: bei Erfordernis eines elektrischen Feldes: Luftfilter, Elektret-Mikrofone etc.
Elektret-
elektrisches Analogon zum Dauermagneten
z.B. in M.Ahlbach: Grundlagen der Elektrotechnik 1
Bild 3-5
3.3 Physikalische Größen des elektrostatischen Feld es a) Verschiebungsfluss und Verschiebungsflussdichte
+Q∆Q
Verschiebungsflusslinien(von + nach -)
Q∆=∆Ψ
Verschiebungsflussröhre
Anordnung: Metallhüllen auf Äquipotenzialflächen, im Mittelpunkt Ladung Q
A∆
D
Ladung Q (bzw. ∆Q ) bewirkt in den Metallhüllen (bzw. Teilen der Metallhüllen) eine Ladungsverschiebung:
• In allen Metallhüllen werden gleiche Ladungen verschoben.
• Die auf einer geschlossenen Metallhülle insgesamt verschobene Ladung ist gleich der umhüllten Ladung.
• Ladungsverschiebung bei Q = konstant ist unabhängig vom Dielektrikum
Definition Verschiebungsfluss Ψ : Q=Ψ(Analogie SF: Strom I )
[ ] [ ] AsQ 1==Ψ
Bild 3-6
3 - 4 Elektrostatisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Spezialfall: homogenes Feld
E ϕ
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
--Q+Q
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
U
E ϕ
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
--Q+Q
D
U
A
A
QD =Q=Ψ
Bild 3-7
Grundeigenschaft:
Der Verschiebungsfluss Ψ im nicht leitenden Medium durch eine geschlossene Hülle H ist gleich der eingeschlossenen Ladung Q:
∫∫ =H
QAdDrr Naturgesetz
(Gaußsches Gesetz der Elektrostatik)
Das elektrostatische Feld ist ein Quellenfeld.
∫∫ ==H
ges AdJI 0rr
Analogie SF:
Hüllfläche: H
D+QdA
Bild 3-8
Der Verschiebungsfluss Ψ transportiert (im Gegensatz zum Strom I im SF) nichts Materielles wie etwa Ladungsträger. Er überträgt die Wirkung des zugrunde liegenden Kraftfeldes von einem zu einem anderen Punkt, so dass Ladungen in Leitern, die in das Feld eingebracht werden, verschoben werden.
Elektrostatisches Feld 3 - 5
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Hüllfläche H: Kugeloberfläche
eingeschlossene Ladung:-Q1
dAdA
D-Q1
Beispielanordnung:
Bild 3-8
b) Zusammenhang zwischen Verschiebungsflussdichte u nd Feldstärke
relative Dielektrizitätszahl εr (bei 20°C)
Bariumtitanat einige 1000
Glas 5…12
Holz 2…7
Papier 1,5…3
Destilliertes Wasser 80
Porzellan 5
Polystyren 2,6
Metalle 1
Silizium 12
Galiumarsenid 11 Bild 3-9
3-9
U = konst.
ε
ε0
D
Elektrodenspannung U = const.
U = konst.
ε
D
Q, Ψ,D vergrößern sich (E konst.):
U
ε
E
U
ε
ε0
E
Elektrodenladung Q = const.
E,U verkleinern sich (D konst.):
b)a)
Bild 3-10
3 - 6 Elektrostatisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
c) Bedingungen an Grenzflächen Grenzfläche zwischen zwei Dielektrika
ε1 ε2
ε1 ε2
α1
α2α2
α1
E1
E2
D1
D2
21 εε >
D1n
D2n E1t
E2t
a a
b
b
nn DD 21 = tt EE 21 =
Ladungsfluss durch Grenzfläche ist stetig. Grenzfläche ist Quelle (Senke) von Feldlinien.
2
1
20
10
2
1
1
2
2
1
2
1
tan
tan
r
r
r
r
n
n
t
t
E
E
D
D
εε
εεεε
εε
αα =====
Spezialfall: Grenzfläche zu Leiternε
E
D
κ = 0Leiter mit κ→ ∞:
+++++
E = 0
Bild 3-11
Elektrostatisches Feld 3 - 7
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
d) Kapazität
C =Verschiebungsfluss ΨΨΨΨ zwischen den Elektroden A,Bmit Ladungen ±±±± Q
Spannung U zwischen den Elektroden A,B
++
+
+
+
+-
-
-
-
-
-
Ψ
U
+ Q - Q
A B
D
ε
UQ ~=Ψ
[ ] [ ][ ] )(FaradF
V
C
V
As
U
QC ====
anschaulich:
Kapazität C ist die Eigenschaft desBauelementes Kondensator,Schaltzeichen des Kondensators:
+ Q - Q
U
C
Definition der KapazitätU
QC =
(Q ist Ladung auf einer Elektrode)
Proportionalitätskonstante: Kapazität C
U
IG =
Analogie SF:
Bild 3-12
3.4 Berechnung einfacher elektrostatischer Felder Rechenschema:
Q
A
Er
Dr
)( 1rr
ϕ )( 2rr
ϕ
21,rrU rr
ε
- Q
Dr
Er
)(rr
ϕ
21,rrU rr
∫ ′′=−=2
1
21)()()( 21,
r
r
rr rdrErrU
r
r
rr
rrr
rr ϕϕ
∫ ′′−ϕ=ϕr
r
rdrErr
r
r
rrr
rr
0
)()()( 0)()( rgradrErr
r
ϕ−=
EDrr
ε=AdDQ
A
rr
∫∫=
Ψ,Q
U
Q
UC =Ψ=
d
AC
ε=
* Bemessungsgleichung für homogenes Feld
*
Bild 3-13
3 - 8 Elektrostatisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
a) homogenes Feld (z.B. Feld eines Plattenkondensat ors)
+
+++
+
+--
--
-
-+ Q - QD
ε
-
+Fläche A
Plattenabstand d
x
ϕ (x)
d
0
A
dQ
ε−
geg.: A, Q, d,ε ges.: E, ϕ (x), U0d , C
Bild 3-14
b) Feld einer Punktladung Q (kugelsymmetrisches Feld)
3-14
Äquipotenzialflächen:konzentischeKugelflächen
ε
)(rrϕ
rr
1rr
2rr
21,rrU rr
DQ
Feldbild: Berechnung:
dA
D
Q
)(),(),( rrErDrr
rr
r
ϕges.:
rr
Hülle H
Bild 3-15
Elektrostatisches Feld 3 - 9
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3 - 10 Elektrostatisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Anwendung: Berechnung der Kapazität eines Kugelkondensators:
U
Ersatzladungsanordnung:Feld einer Punktladung
+Q
-Q
U
εirr
arr ε
+Qarr
irr
Äquipotenzialflächen
Bild 3-16
c) Feld einer Linienladung Q (zylindersymmetrisches Feld)
Feldbild:
)(rrϕ
l
)(),(),( rrErDrr
rr
r
ϕges.:
Äquipotenzialflächen:konzentrische Zylindermantelflächen
dA
Hülle H
Feldbild: Berechnung:
D rr
D rr
Q
ε ε
Q
Bild 3-17
Elektrostatisches Feld 3 - 11
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3 - 12 Elektrostatisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Anwendung: Berechnung der Kapazität eines Zylinderkondensators/Koaxialkabels Koaxialkabels
Ersatzladungsanordnung:Feld einer Linienladung
U
ε
irr
arr
+Q+Q
ÄquipotenzialflächenU
ε
irr
arr
1 Innenleiter, 2 Dielektrikum, 3 Außenleiter, 4 Schutzmantel
Bild 3-18
Elektrostatisches Feld 3 - 13
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
d) Feld zweier paralleler Linienladungen y
x
z
-λλλλ +λλλλa- a
-λλλλx
y
- a ar1 r2
1rrrr − 2rr
rr −r
x
y
+λλλλ
Analogie SF:entgegengesetzteEinströmungen inLinienleiter)(),( rrE
rrr
ϕges.:
Bild 3-19
3 - 14 Elektrostatisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
e) Elektrostatisches Feld und Strömungsfeld treten gemeinsam auf e) Elektrostatisches Feld und Strömungsfeld treten gemeinsam auf
A B
εεεε
κκκκ
CAB Kapazität der Anordnung im Dielektrikum (ε )
RAB Widerstand der Anordnung im Leiter (κ )
Material: z.B. Halbleiter
τκε ====⋅
∫∫∫∫
A
AABAB
AdJ
AdD
U
Q
I
UCR rr
rr
τ : Relaxationszeit
anschauliche Interpretation:
eStromdichtchtengsflussdiVerschiebu==
κετ in einem beliebigen Raumpunkt der Anordnung
Bild 3-20
3.5 Kondensatoren Kondensatoren sind wichtige passive Bauelemente mit Einsatz z.B. für
• Energiespeicherung (z.B. Blitzgerät)
• Informationsspeicherung (DRAM)
• Sensoren in mikro-elektro-mechanischenSystemen (MEMS) Beschleunigungssensors
(Quelle: Bosch)
Klassifikation nach Bauformen/praktische Ausführungsformen:
• Röhrchenkondensatoren
• Scheibenkondensatoren
• Mehrschichtkondensatoren
mit unterschiedlichen Dielektrika wie Papier, Keramik, Kunststofffolie
z.B. in M.Ahlbach: Grundlagen der Elektrotechnik 1
Bild 3-21
3.5.1 Bemessungsgleichung (homogenes Feld)
(Herleitung siehe Kapitel 3.4a )
A
ε
d
d
AC
ε=l
AG
κ=
Analogie SF:
Beispiel: Gegeben ist ein Plattenkondensator mit A = 100cm2, d = 1mm,
Dielektrikum Luft: Vm
As120 10854,8 −⋅=ε
Elektrostatisches Feld 3 - 15
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Vm
Achtung: Es existiert eine untere Grenze für den Plattenabstand d . Diese wird von
der Durchbruchfeldstärke des Dielektrikums bestimmt.
EBRist die Feldstärke, bei der eine leitende Überbrückung zwischen den Elektroden entsteht.Beispiele: Luft: Isolator:
d
UEBR ≈
cm
kVEBR 30≈
cm
kVEBR 500≈
Bild 3-22
3.5.2 Zusammenschaltung von Kondensatoren a) Parallelschaltung
Q
Q1 Q2
- Q1- Q2
- Q
C1 C2U
Q
- Q
CU =+==
U
U
Q 21
∑=µ
µ=++=n
n CCCC1
1 K
allgemein:
Die Kapazitätswerte addieren sich bei parallel geschalteten Kondensatoren.
C1+ C2C
2
2
1
1
C
Q
C
QU ==
2
1
2
1
C
C
Q
Q =
Ladungsteiler:
Bild 3-23
b) Reihenschaltung
U
C1 C2
U1 U2
Q1 Q2-Q1 -Q2
CQ -Q
U
Voraussetzung: Es fließen keine Ladungen ab.
∑=µ µ
=n
CC 1
11
allgemein:
Spannungsteiler:
2121
22
11 C
Q
C
QUUU
C
QU
C
QU +=+===
2121 QQQUUU ==+=
21
2
21
11
11
1
CC
C
CC
C
U
U
+=
+=
1
2
2
1
C
C
U
U =
Q
U
Q
UUU
Q
U
Q
2121
1
+=
+== C
C = 11
C1
1C2
+
Bild 3-24
3 - 16 Elektrostatisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Anwendungen:
Bild: Kammstruktur eines oberflächenmikromechanischen Beschleunigungssensors.(Quelle: Bosch)
Beschleunigungssensor
Bild: Funktionsprinzip eines oberflächenmikromechanischenDrehratensensors. (Quelle: Bosch)
Drehratensensor
Bild 3-25
c) RC – Netze bei Gleichspannung
3-
Ersatzschaltbilder für RC-Kombinationen für den stationären Zustand,
d.h. für t → ∞:
R C
U
UR= 0 Uc= U
C
U
Uc= U
U= I R
C
R
I
0)(
)( ===td
tUdCtI
R
I
U= I R
Widerstand durchKurzschluss ersetzen
Kondensator durchLeerlauf ersetzen
Bild 3-26
Elektrostatisches Feld 3 - 17
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3.6 Verschiebungsstrom a) Erscheinung und Definition
εεεεH
IK
+ Q - Q - Gesetzmäßigkeit:Jeder Strom wird von einem Magnetfeld umwirbelt.
H
- für den Fall gilt: Im Dielektrikum ist ein
Magnetfeld nachweisbar.
0≠dt
dQ
IK Konvektionsstrom(Ladungsträgerstrom)
IV
• Durch das Dielektrikum fließt ein Strom: IV Verschiebungsstrom
• Magnetfelder um IK und IV sind gleich groß. → IK = IV
dt
dQ
dt
dIV =Ψ=Definition des Verschiebungsstromes IV :
Bild 3-27
Verschiebungsstrom bei Auf- und Entladung eines Kondensators:
3-28
t
IV
I=I K I=I K
dQdQdtdt < 0Entladung des
Kondensators
D
H
H
H
U(t )
U(t )
I v entgegen Richtung
von D (E, Ψ)
t
DdQdQdtdt = 0
U(t )
U(t )
I v = 0
Aufladung des Kondensators
U(t )
I=I K I=I K
H
DH
H
dQdQdtdt > 0 U(t )
t
I v in Richtung
von D (E, Ψ)
IV
3 - 18 Elektrostatisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
b) Verschiebungsstromdichte c) Heterostrukturen
A
εεεε
κκκκ
C Kapazität der AnordnungR Widerstand der Anordnung
Materialien (z.B. Halbleiter), die gleichzeitig Leitfähigkeit κ und Dielektrizitätskonstante ε besitzen
Bεεεε κκκκ
IErsatzschaltung:
I
BA
R
C
IK
IV
VK III +=
→ an jeder Stelle des Raumes der Heterostruktur gilt:
dt
EdEJ
JJJ VKr
rr
rrr
εκ +=
+=
Die Gesamtstromdichte ist die Summe aus Stromdichte des Konvektionsstromes plus Verschiebungsstromdichte.
Bild 3-29
Elektrostatisches Feld 3 - 19
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Anwendung: Ersatzschaltung einer Anordnung:
Ersatzschaltung:
U(t)
I V1
IK
I I
I V2 C2
C1
R
1,0 εκ =
2, εκ
d
U(t)
A2
A1
I I
Anordnung:
Bild 3-30
3.7 UI - Beziehung am Kondensator a) lineare Kapazität
C
U(t)
I(t) Annahme: lineare Kapazität C
U
Q
Q=CU
Es gilt:
td
tUdC
dt
UCdtI
)()()( ==
VK II =
UCQ =mit folgt:dt
dQIItI VK ===)(
(C unabhängig von U und t )
Bild 3-31
3 - 20 Elektrostatisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
allgemein gilt: Die Kondensatorladung Q ist immer stetig.*(besitzt keine Sprünge, darf aber Knickstellen aufweisen)
* rechts- und linksseitiger Grenzwert stimmen überein:Q (- t0) = Q (+ t0) bei t = t0
für zeitunabhängige Kapazität C gilt: Die Kondensatorspannung U ist stetig.
Bild 3-32
Elektrostatisches Feld 3 - 21
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Beispiele:
3 - 22 Elektrostatisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
b) RC-Kreis ges: UC ( t ), I( t )
UR(t)
R
CUq(t) UC(t)
I(t)
Ladevorgang mit Uq ( t ) = U0 (Gleichspannung)
Anfangsbedingung: Kondensatorspannung UC0 = 0bei t = 0
Entladevorgang mit Uq ( t ) = 0Anfangsbedingung: UC0 = UC ( t0 ),t0 = 0 Startpunkt der Entladung
UC(t)
tτ
U0
UC(t)
t
UC0
Bild 3-33
Elektrostatisches Feld 3 - 23
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3.8 Energie im elektrostatischen Feld a) Energie
Energiespeicherung im Kondensator ist reversibel:
R
CU
C R
Ladevorgang:
Entladevorgang:
2CUQUW == 2
2U
C
2
2U
C
2
2U
CGespeicherte Energie im Kondensator kann zurück gewonnen werden.
0,0 00 == QW
∫ ′=Q
QdUW0
Annahme:
Spannungsquelle: U =konst.:
Kondensator:
UQW =
22
0 22, U
C
C
QQd
C
QW
C
QU
Q
==′== ∫
Bild 3-31
3 - 24 Elektrostatisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Beispiele für Energiespeicherung:
Energieakkumulation und stoßartige Abgabe
U0
Ri Ic
Uc
t1Uc Ic
tt1
z.B.- Blitzgerät- Kondensatorzündung- Impulsstromschweißen
Bild 3-32
Elektrostatisches Feld 3 - 25
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
b) Energiedichte Energiedichte
∆ Ψ = ∆ Q = D ∆ A
∆ A
∆ V
∆ l
∆ U
Für Volumen ∆ V = ∆ A ∆ l gilt:
Energie wird im elektrostatischen Feld gespeichert.
D
Bild 3-33
Energiedichte w:
∫∫∫=V
dVwWGesamtenergie W:
εε
222lim
22 DEDE
V
Ww
V===
∆∆=
∞→∆
Beispiele für maximal erreichbare Energiedichten w:
32
2max
0
120max
33
2612
2max
0
120max
cm
Ws10854,8
2
8,Vm
As10854,8,
cm
kV500
cm
Ws40
m
Ws40
2
)mV
103(
Vm
As10854,8
2
Vm
As10854,8,
cm
kV30
−
−
−
−
⋅==
=⋅==
==
⋅⋅==
⋅==
Ew
E
w
Ew
E
r
r
εε
εε
µ
ε
ε• in Luft:
• in Glas:
Bild 3-37
3 - 26 Elektrostatisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3.9 Kraft auf Grenzflächen 3.9.1 Kraft auf leitende Grenzflächen
+
++
+--
-
-+ Q - Q
F F
Beobachtung:
Kraft zwischen geladenen Elektroden, die Anziehung dieser bewirkt.
F
Bild 3-38
a) globale Kraftgleichung ( F ausgedrückt durch C )
+ Q
F
- Q
dx
Q = konst. → E = konst., D = konst.
Energiebilanz bei Verschiebung der rechten Platte um dx:
xFWC
QWW
m
FFeld
⋅=
==2
2
nimmt ab
nimmt zu
Bild 3-39
Elektrostatisches Feld 3 - 27
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Anwendungen:
Elektrostatischer Motor
Bild 3-40
3 - 28 Elektrostatisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3-37
DMD: Digital Mirror Device
digitale Steuerung und Projektion von Licht
> 2 Millionen Mikrospiegel
- Kantenlänge: 10,8 µm,- 12° aus horizontaler Ruhelage kippbar- einzeln pro Sekunde tausendfach bewegbar
Prinzip: Spiegelelektrode
elektrostatische Kräfte
Quelle: BioPhotonik 2008
Bild 3-41
3.9.2 Kraft auf ladungsfreie Grenzflächen a) quergeschichtete Dielektrika
a) quer geschichtete Dielektrika Grenzfläche A
F
dx
11,Vε 22,Vε
21 εε >
..0 konstDkonstQI =→=→=
nach Grenzflächenbedingungen nur Normalkomponenten:
nnnn EEDDD 2121 ,,==
022
022
0
2
2
1
2
22
2
11
2
=+−
=++
=+
dxFAdxD
AdxD
dxFdVD
dVD
dWdW mF
εε
εε
AdxdV
AdxdV
−==
2
1 Volumenzunahme
Volumenabnahme
Energie-zunahme
Energie-abnahme
)(2
11
2 2121
12
2
εεεε
−=
−== nn EED
A
Fp
Kraftdichte p an Grenzfläche ist Differenz der Energiedichten beider Medien. Bild 3-42
Elektrostatisches Feld 3 - 29
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
b) längsgeschichtete Dielektrika
b) längs geschichtete Dielektrika
F
1ε
2ε
21 εε >
l b
A
U
dx
Ad ′
.. konstEkonstU =→=nach Grenzflächenbedingungen nur Tangentialkomponenten:
tttt DDEEE 2121 ,,==
AdDDdQ
UdQdxFdVE
dVE
dWdWdW elmF
′−=
=++
=+
)(22
21
2
22
1
21 εε
lbAdxbAd
AdxdV
AdxdV
==′−=
=
,2
1 Volumenzunahme
Volumenabnahme
AE
AE
F
dxbElEdxFAdxE
AdxE
22
)(22
22
21
21
22
21
εε
εεεε
−=
−=+−
( )
−=−==21
212121
2
22 εεεεεε ttDDE
A
Fp
Bild 3-43
c) Schlussfolgerungen Kraft wirkt immer senkrecht auf die Trennfläche der Dielektrika in Richtung des Mediums mit der kleineren Permittivität
3 - 30 Elektrostatisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3.10 Zusammenfassung
Elektrostatisches Feld und Strömungsfeld
elektrostatisches Feld
Feldstärke E
Verschiebungsfluss ΨΨΨΨ
Verschiebungsflussdichte D
D = ε E
Kapazität C
elektrisches Strömungsfeld
Feldstärke E
Strom I
Stromdichte J
J = κ E
Leitwert G
E ist wirbelfrei
Korrespondenzen
0=∫ rdE r
r
Unterschiede
QAdD H
=∫∫rr
D hat Quellen: J ist quellenfrei: 0=∫∫H AdJ rr
ε variiert:10-11…10-7 As/Vm
(4 Dekaden)
κ variiert:10-17…108 A/Vm
(25 Dekaden)
Es gibt kein Medium mit ε = 0. Es gibt Nichtleiter mit praktisch κ = 0. Bild 3-44
4 - 1
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
4. Magnetfeld 4.1 Wesen des magnetischen Feldes
4-1
Quelle: http://www.polarlichtinfo.de/cms/front_content.php?idcat=59
N S
S N
N S
Auftreten von Magnetfeldern z.B.:
- in der Umgebung von Naturmagneten:
- in der Umgebung elektrischer Ströme(Jeder elektrische Strom ist von einem Magnetfeld umwirbelt.)
- in der Umgebung der Erde:
H
I
Bild 4-1
4.2 magnetische Feldgrößen 4.2.1 magnetische Feldstärke H
r
, Durchflutungsgesetz
H
I
H
I
I
H
stromdurchflossener Leiter stromdurchflossene Spule
Jeder elektrische Strom ist von einem Magnetfeld umwirbelt:
(rechte Handregel)
Bild 4-2
4 - 2 Magnetisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Durchflutungsgesetz (Naturgesetz):
umf
Ac
IAdJrdH == ∫∫∫rr
rr
Das Umlaufintegral über die magnetische Feldstärke auf einemgeschlossenen Weg c ist gleich dem Gesamtstrom (Durchflutung) Iumf
durch eine beliebige in c eingespannte Fläche A.
Hr
dt
DdJJJJ KVK
r
rrrr
+=+=
mit
folgt:
∫∫∫ +=A
K
c
Addt
DdJrdH
r
r
rr
r
)( Durchflutungsgesetz(1. Maxwellsche Gleichung, Integralform)
H
c
dA A
J
ε, κ
Bild 4-3
Spezialfall: Durchflutung bei stromführenden Leitern:
4-
I 1 I 2I 3
c HA1
A2A3
dA
umf
n
c
IIrdH ===Θ ∑∫=1ν
νr
r
Die Durchflutung Θ ist gleich der vorzeichen-behafteten Summe Iumf aller umfaßten Ströme.
Verallgemeinerung:
Beispiel:
Bild 4-4
Magnetisches Feld 4 - 3
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
4.2.2 Berechnung einfacher Magnetfelder
I rr
J geg.: nebenstehende vom Strom ΙΙΙΙdurchflossene Anordnung, Stromdichte J
r
ges.: magnetische Feldstärkeim Raumpunkt
)(rHr
r
rr)(rH
rr
κ
Bild 4-5
a) Berechnung mittels Durchflutungsgesetz Beispiele:
1. linienhafter Leiter
)(rHr
r
I
crr
rev
Lev
rdr
y
)(rHr
r
I
cx
y
z
rr
xrr
)(rHr
r
yyeHr
xxeHr
rer
Ler
rr0
rL eerr ×
Bild 4-6
4 - 4 Magnetisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Magnetisches Feld 4 - 5
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
2. zylindrischer Leiter
I
cx
y
z
Rr
AA´
Bild 4-7
Anwendung: Kompassmissweisung durch stromführendes Kabel im Meer
Anordnung: Ein einpoliges Seekabel führt von Süden nach Norden einen Gleichstrom von I = 1kA und liegt in einer Tiefe von h = 30m.
I
h
y
x
ges.: Um wieviel Grad αweicht der Kompass im Schiff von der S-N-Richtung ab?
Magnetfeld der Erde:
KHr
zE eHr
r
m
A16=
Lösung:
1. Berechnung der Feldstärke an der Wasseroberfläche herrührend vom Kabel
)(2
)(2
)( 2 rer
Iee
r
IrH LrLK
rrrrrr
×=×=ππ
EHr
KHr
Hr
α
ΝS
ΝS
zL eerr =
=0
y
x
rr
mit und
x
y
z
Bild 4-8
4 - 6 Magnetisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
−
+=
0)(2
)0,,(22
x
y
yx
IyxH K π
r
−=+−==×
00
100 x
y
exey
yx
eee
re yx
zyx
L
rr
rrr
rr
Für die Feldstärke an der Wasseroberfläche (x = h) im Schiff über dem Kabel(y = 0) folgt:
yK eh
Ih
h
IhH
rr
ππ 20
0
)0(2)0,0,(
2=
+=
yK ehHr
r
m
A3,5)0,0,( =
KHr
Für den Winkel α folgt:
°=→== 3,1833,0
mA
16
mA
3,5tan αα
α
ΝS
ΝS
yK eHr
r
m
A3,5=
zE eHr
r
m
A16=
Bild 4-9
3. Paralleldrahtleitung
y
- a a
2rrrr
−r
I 1 = II 2 = I )(rHr
r
)(2 rHr
r
)(1 rHr
r
x
1rrrr
−
2rr
1rr
Bild 4-10
Magnetisches Feld 4 - 7
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
4. Zylinderspule der Länge l mit w Windungen
Hr
l
A B
c2
c1
Bild 4-11
b) Berechnung der magnetischen Feldstärke mit dem B iot-Savartschen Gesetz
4-12
Biot-Savartsches Gesetz
geg.: vom Strom I durchflossenerlinienhafter Leiter (Raumkurve )ges.: magnetische Feldstärkeim Raumpunkt
0
I 2rr
1rr
r ′r rr
ar
)(rHr
r
rd ′r
Bezugspunkt
)(rHr
r
rr
)(λ′rr
Lösung: Biot-Savartsches Gesetz:
∫∫ ′−′−×′=×′=
2
1
2
1
33
)(
44)(
r
r
r
r rr
rrrdI
a
ardIrH
r
r
r
r
rr
rrrrr
rr
ππ
: Abstandsvektor von nach
: Raumkurve, die den Leiter beschreibt
: Linienelement des Leiters
rr
r ′r
)(λ′rr
λλ∂λ′∂=′ d
rrd
)(r
r
rra ′−=rrr
Bild 4-12
Beispiele: 1. Magnetfeld eines geraden Leiterstückes
0
I
r ′r
rr
)(rHr
r
x
y
z
z1
z2 ges.: Magnetfeld auf x –Achse herrührend von dem geraden vom Strom I durchflossenen Leiterstück auf der z –Achse
)(rHr
r
Bild 4-13
4 - 8 Magnetisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Ix
y
z
)(rHr
r
- z2
z2
Magnetisches Feld 4 - 9
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
I
x
y
z
)(rHr
r
Ix
y
z
)(rHr
r
-b
Bild 4-14
2. Kreisring in der yz-Ebene mit Radius R
)0,0,0(Hr
ges.: Magnetfeld im Raumpunkt herrührend von dem vom Strom I durchflossenen Kreisring in der y z –Ebene
)0,0,0(=rr
I
r ′r x
y
zR(0,0,0)
rd ′r
R z
y
I
λ r ′r
Bild 4-15
4 - 10 Magnetisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
4.2.3 Weitere magnetische Feldgrößen a) magnetische Spannung magnetische Spannung V
0
c
1rr
Hr
(Bezugspunkt)
[ ] A,2
1
21
,
== ∫ VrdHVr
cr
rr
r
r
rr
rrr
IrdHrdHrdHr
cr
r
crcc
=+= ∫∫∫1
22
2
1121 ,,,
r
r
r
r
rr
rr
rr
I
1rr 2r
r
c1
c2
2rr
Hr
(Die Addition der magnetischen Spannungen in einem geschlossenen Umlauf c=c1+c2 ergibt die Summe der eingeschlossenen Ströme.)
0
Schlussfolgerungen: - das Integral ist i.a. vom Weg c abhängig
- die magnetische Feldstärke hat i.a. kein skalares Potenzial
∫2
1 ,
r
cr
rdH
r
r
rr
4-16
b) magnetischer Fluss und magnetische Flussdichte
∆Φ
∆A ∆Φ
I
∆A∆A
magnetischer Fluss Φ
Bild 4-17
Magnetisches Feld 4 - 11
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Kontinuität der magnetischen Flussdichte B:
dA dAB
Hüllfläche: H
B
Der Gesamtfluss durch eine geschlossene Hülle ist stets NULL:
∫∫ =H
AdB 0rr
Naturgesetz
Das Feld der magnetischen Flussdichte ist quellenfrei.
Folgerung: Es gilt der Knotenpunktsatz.
Bild 4-18
c) Zusammenhang zwischen magnetischer Feldstärke un d magnetischer Flussdichte
4 - 12 Magnetisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Einteilung der Materialien in: • nicht ferromagnetische Materialien
0,999 991Wasser
0, 999 981Silber
0,999 975Quecksilber
0,999 990Kupfer
µrdiamagnetische Stoffe
1,000 003 8Zinn
1,000 360 0Platin
1,000 001 3Sauerstoff
1,000 022 0Aluminium
µrparamagnetische Stoffe
H
BB = f(H)
Bild 4-19
• ferromagnetische Materialien
H H
ohne äußeres Magnetfeld
schwaches äußeres Magnetfeld
starkes äußeres Magnetfeld
Weiß‘sche Bezirke
Blochwände
Bild 4-20
Magnetisches Feld 4 - 13
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
4-21
130 000Supermalloy (80% Ni, 16% Fe, 4% Mo)
25 000Mumetall (76% Ni, 5% Cu, 3% Mo, Fe Rest)
200…2 000Eisen, rein
µrferromagnetische Stoffe
B = f(H) HysteresekurveB
H
Br
Hc
A
A: unmagnetischer ZustandBr : RemanenzflussdichteHc: KoerzitivfeldstärkeBs: Sättigungsflussdichte
Sättigung (H~B)
Sättigung (H~B)
Neukurve
Bs
Anwendung:Magnetische Remanenz bildet Basis für alle Speicherverfahren auf Magnetismusbasis (z.B. Festplatten, Magnetbänder)
Anwendung:magnetischer Fluss statischer und niederfrequenter Magnetfelder konzentriert sich im Stoff
d) magnetischer Widerstand
4 - 14 Magnetisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
e) Rechenschema
AdBA
rr
∫∫=Φ
A
lRm µ
= * ∫ ′=2
1
21,
r
r
rr rdHV
r
r
rr
rr
21,rrV rr
Br HB
rr
µ=Hr
Φ
Φ= V
Rm
Φ
A
Br
Hr
21,rrV rr
Φ
IJ,r
∫∫∫ ==A
umf AdJrdHIrr
rr
Berechnung elementarer magnetischer Felder, magnetischer Kreise
* Bemessungsgleichung für homogenes Feld
Spezialfall Durchflutungsgesetz:
Bild 4-22
Beispiel:
Hr
I
xy
z
Adr
x1 x2
h
Beispiel: Berechnung des magnetischen Flusses durch eine rechteckige Leiterschleife auf der x -Achse im Feld eines Linienleiters
Bild 4-23
Magnetisches Feld 4 - 15
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
4.3 Magnetische Kreise 4.3.1 Grundgesetze a) Durchflutungsgesetz
IEisen
w
I
w
Φ
c2
c1
B
A
kleiner Luftspalt
w Windungszahl
Bild 4-24
4 - 16 Magnetisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Beispiel: magnetischer Kreis: elektrische Ersatzschaltung:
I
Φ
Rm1
Rm2
Rm3
Rm4
w
Bild 4-25
b) Kontinuitätsgesetz
Hüllfläche: H
Φ1 Φ2
Φ3
dA
A1A2
A3
∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ++==31 2
0AA AH
AdBAdBAdBAdBrrrrrrrr
3210 Φ+Φ+Φ−=
Bild 4-26
4.3.2 Beispiel für die Berechnung magnetischer Krei se
a a
aI
Φ
w
Φ1
gesucht: Φ1
32
21
mm
m
RR
R
+=
ΦΦ
321 mmm RRR
wI
+=Φ
( ) ( )32
2
3211
mm
m
mmm RR
R
RRR
wI
++=Φ
A
aRm µ
=
A, µ
Iw
Φ
Φ1
Lösung:
elektrische Ersatzschaltung:
mm RR 3 1 =
mm RR =2 mm RR 3 3 =
Bild 4-27
Magnetisches Feld 4 - 17
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
4.4 Induktion von Spannung 4.4.1 Induktionsgesetz
4-28
Induktionsgesetz:
E
E
Ändert sich die magnetische Flussdichte über der Zeit so ist sie von einem elektrischen (Wirbel-) Feld umgeben. E
Induktionsgesetz (2. Maxwellsche Gleichung, Integralform)∫∫∫ ∂
∂−=Ac
Adt
BrdE
r
r
rr
Umlaufintegral der elektrischen Feldstärke auf geschlossenem Weg c (Richtung: Rechtsschraube)
Flächenintegral der Flussdichteänderung durch eine auf c aufgespannte Fläche A
c
dA
E
B B
B
>0dBdt
<0dBdt
A
Bild 4-28
Längs des geschlossenen Weges c tritt eine Induktionsspannung Ui auf. Sie ist das Wegintegral der induzierten elektrischen Feldstärke:
∫∫∫ ∂∂−==
Ac
i Adt
BrdEU
r
r
rr
Lenzsche Regel:
HH I
Wird die sich ändernde magnetische Flussdichte durch eine Leiterschleifeumschlossen, so entsteht in dieser Leiterschleife ein Induktionsstrom I.
Der Induktionsstrom I bewirkt ein Magnetfeld H, das der Flussdichteänderung entgegenwirkt.
HH I
B>0dBdt
<0dBdt B
Bild 4-29
4 - 18 Magnetisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
4-30
B(t)
I(t)
Strom I1 in Leiterschleife?
I1 I1
Strom I so gerichtet, dass sein Magnetfeld derErhöhung Verringerung
von B in Leiterschleife entgegen wirkt.
Beispiel:
<0dBdt>0dB
dt
A
A A
Bild 4-30
4.4.2 Ruheinduktion a) induzierte Spannung in einer Leiterschleife (w = 1)
·B
Anordnung: Ruhende Leiterschleife (mit vernachlässigbarer kleiner Öffnung) in einem zeitlich sich ändernden B - Feld
c
dA
E
∫∫∫ ∂∂−==
Ac
i Adt
BrdEU
r
r
rr
mit A = konstant folgt:
dt
dAdB
dt
dAd
t
B
AA
Φ−=−=∂∂− ∫∫∫∫
rrr
r
dt
drdEU
c
i
Φ−== ∫r
r
Bild 4-31
c1
(Integrationsweg c, Rechtsschraube)
+
-E B
A
UAB = - Ui
c2
Φ
A
B
·Φ UAB
Ersatzschaltung>0dΦdt
Bild 4-32
Magnetisches Feld 4 - 19
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
b) induzierte Spannung bei mehrfachem Umlauf (w > 1)
Φ1
Φ2A2
A1
Induktionsfluss Ψ
∑Φ=Ψn
n
Φn: von der n-ten Windungumfasster magnetischer Fluss
• nur eine Windung
Spezialfälle:Φ
Φ=Ψ w
• alle w Windungen umfassen den magnetischen Fluss Φ
Φ=Ψ
Φ
Bild 4-33
·Φ1
·Φ2
A2
A1
B
A
UAB
·Φ
dt
d
dt
dU v
AB
Ψ=Φ=∑ν
Φ=Ψ wfür gilt:
dt
dwU AB
Φ=
Induzierte Spannung bei mehrfachem Umlauf (w > 1)
Bild 4-34
4 - 20 Magnetisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
c) Berechnung der Induktionsspannung bei Ruheindukt ion
∫= rdtHtI umfr
r
)()()()( tHtBrr
µ=AdtBt
A
rr
∫∫=Φ )()(
)()( twt Φ=Ψ
∑Φ=Ψn
n tt )()(
)(tHr
)(tBr
)(tΦ
)(tΨ
)(tI
dt
tdU AB
)(Ψ=
Anordnung: Leiter, in dem Spannung UAB erzeugt wird, umfasst ein zeitlich sich änderndes Magnetfeld
Bild 4-35
Beispiel:
Hr
I
xy
z
x1 x2
hA
BUAB
Beispiel: Berechnung der Spannung UAB an der rechteckigen Leiterschleife im zeitl. sich ändernden Magnetfeld eines Linienleiters
4-36
Magnetisches Feld 4 - 21
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
4.4.3 Bewegungsinduktion a) Kraft auf Ladung im Magnetfeld –Lorentzkraft
rechte Handregel für Richtung:
Q
B v
F
F
Ursache (Daumen)
Vermittlung (Zeigefinger)
Wirkung (Mittelfinger)
B
v
Auf eine sich mit der Geschwindigkeit in einem konstanten Magnetfeld bewegende Ladung Q wird eine Kraft
ausgeübt.
Br
( )BvQFr
rr
×=
vr
Lorentzkraft
Bild 4-37
b) induzierte Spannung an einem bewegten Leiter in einem konstanten Magnetfeld
v
Fm
+
-
Fel
A
B
c
Eel
B
Bild 4-38
4 - 22 Magnetisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Spezialfälle:
Spezialfälle: Leiter der Länge l, B homogen, v konstant
v
A
B
UAB = 0
3.
0, =×↑↑ BvBv r
rr
r
B
UAB = v B l
rdBvBv r
rr
rr ↑↓×, rdBvBv
rr
rr
r ↑↓×,
v
A
B
1.
B
Bvr
r×
v
A
B
UAB = 0
2.
rdBvBv r
rr
rr ×,
B
Bvr
r×
Bild 4-39
c) Beispiele • bewegte Leiterschleife in einem zeitlich konstanten Magnetfeld
4-40
gesucht: induzierte Spannung UAB
Lösung:
GFEDAc
rdBvUB
cA
AB
→→→→
×−= ∫
:
)()(
rr
r
∫∫∫∫ ×−×−×−×−=B
F
F
E
E
D
D
A
AB rdBvrdBvrdBvrdBvUr
rrr
rrr
rrr
rr
)()()()(
1)( rdBvr
rr ↑↑× 2)( rdBv
rr
r ↑↓×0= 0=
( ) ( ) 00 −+−−= hrBvhrBvU iaAB ( )x
IxB
πµ=
20
(siehe 4.2.3 e))
−
πµ=
aiAB rr
IhvU
11
20 )(, iaai rrtvrtvr −+==
x
z
yI A
B
DE
Fr i ra
zeBvBvr
rr =×
UAB
h
yeBBr
r
=
xevvrr =
1rdr
2rdr
Magnetisches Feld 4 - 23
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
• Unipolarmaschine
B homogen
UnipolarmaschineA B
A B A B
UAB < 0 UAB > 0
+ -+-
ω ω
B Bv
vF
F
Bild 4-41
4 - 24 Magnetisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
4.5 Selbst- und Gegeninduktion
w1
Spule (1) = Erregerspule
I1(t)
H1(t)
U2
U1Φ11(t)
Φ21(t)
I1(t) → H1(t) → B1(t)Φ11(t) → U1(t) Selbstinduktion
Φ21(t) → U2(t) Gegeninduktion
Spule (2)
w2
Bild 4-42
4.5.1 Selbstinduktion, Induktivität a) Definition der Induktivität L
=Ψ=I
L
[ ] [ ][ ] (Henry)HsΩ
A
Vs ===Ψ=I
L
Induktionsfluss Ψ durch die vom Strom I umschlossene Fläche
erregender Strom I
Bauelement: Spule: mit Induktivität LI L
Bild 4-43
Selbstinduktion, Induktivität
∫= rdtHtI umfr
r
)()()()( tHtBrr
µ=AdtBt
A
rr
∫∫=Φ )()(
)()( twt Φ=Ψ
∑Φ=Ψn
n tt )()(
)(tHr
)(tBr
)(tΦ
)(tΨ
dt
tdU AB
)(Ψ=
IL
Ψ=
)(tI
linearer Fall: Ψ ∼ I
mR
wL
2
=
Bild 4-44
Magnetisches Feld 4 - 25
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
b) Bemessungsgleichung der Induktivität
w
I Φ
Rm : magnetischer Widerstand, der von den Windungen w umschlungen wird
Bild 4-45
Beispiel: Bestimmung der Induktivität einer Eisendrossel mit Luftspalt
w
I
µ, A
lE : mittlere Eisenlänge
lF : Luftspaltlänge
Bild 4-46
4 - 26 Magnetisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
c) Strom-Spannungsbeziehung an der Spule (Induktivi tät) Beispiel:
Anschalten einer Gleichspannung an eine Spule bei t = 0
I(t)
t = 0
U0 I0
geg.: Strom I(t) = I0 für t ≤ 0
ges.: Strom I(t) für t > 0
Bild 4-47
Magnetisches Feld 4 - 27
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
d) Reihen- und Parallelschaltung von nicht gekoppel ten Spulen
4-48
L1 L2
U1 UnU2
…Ln
U
LI
I
L1
L2
Ln
I 1
I 2
I n… …
∑∑==
==n
i i
n
i L
U
L
U
dt
tdI
dt
tdI
11
,)()(
nIIII K++= 21 nUUUU K++= 21
∑∑==
==n
ii
n
ii L
dt
tdI
dt
tdIL
dt
tdIL
11
)()()(
∑=
=n
i iLL 1
11 ∑
=
=n
iiLL
1
nicht gekoppelte Spulen verhalten sich bei der Zusammenschaltung wie Widerstände
dt
tdILU
)(=
Bild 4-48
4.5.2 Gegeninduktion, Gegeninduktivität a) Definition der Gegeninduktivität M
I1(t)
Φ11(t)
Φ21(t)
(1) Erregerspule
(2) Induktionsspule w2
w1
I2(t)
Φ12(t)
Φ22(t)
(2) Erregerspule
w1
w2
(1) Induktionsspule
Fall 1: Fall 2:
Bild 4-49
4 - 28 Magnetisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Magnetisches Feld 4 - 29
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Spezialfälle der Kopplung von Spulen:
ideale Kopplung:
keine Kopplung:
212
1221 11 LLMkkk =⇒=⇒==
000 21221 =⇒=⇒== Mkkk
(auch bei Abschirmung und großer Entfernung)
Bild 4-50
4 - 30 Magnetisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
b) Zwei gekoppelte Spulen (Zweitor)
gleichsinnige Kopplung
I 1
I 2Ψ21
Ψ12
gegensinnige Kopplung
I 1
I 2Ψ21
Ψ12
Punkte charakterisieren Windungsanfang
gleichsinnige Kopplung
gegensinnige KopplungL2
I 1
L1
I 20>M0<M
Bild 4-51
c) Beispiel zur Bestimmung von Induktivität und Geg eninduktivität zweier gleichsinnig gekoppelter Spulen
w1 w2
a a
a
I 1I 2
Φ11 + Φ12
Φ21 + Φ22
Bild 4-52
Magnetisches Feld 4 - 31
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
4 - 32 Magnetisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
4.5.3 Strom- Spannungsbeziehungen an Gegeninduktivi täten a) Grundgleichungen
Wirkungsschema:
L2
I1
L1
I2
0>M
U1 U2
w1 w2
I1 1Hr
1Br
I22Hr
2Br
12Φ11Φ
22Φ21Φ
w1 w1
w2 w2
11Ψ 12Ψ
21Ψ 22Ψ
1Ψ
2Ψ
Bild 4-53
Magnetisches Feld 4 - 33
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Beispiele für Spezialfälle:
4-54
L2
I1
L1
I2
0>M
U1 U2
w1 w2
Beispiele für Spezialfälle:
1. Spannungsbeziehung bei ausgangsseitigem Leerlauf:
2
12
22
21
12
1
21
2
1
21
11
2
1
12
1112
,,
:
1
,0)(
w
wü
R
wL
R
wL
L
Lü
RRRfür
k
ü
L
L
kLLk
L
M
L
U
U
dt
dIMU
dt
dILUtI
mm
mmm
=⇒===
==
====
⇒==⇒=
2. Strombeziehung bei ausgangsseitigem Kurzschluss:
ü: Übersetzungsverhältnis
k : Koppelfaktor
ükL
L
kLLk
L
M
L
I
I
ItIM
LtI
dt
dIL
dt
dIMtU
11
)()(
0)(
1
2
21
22
2
1
022
1
22
12
−=−=−=−=
+−=
⇒−=⇒=
b) Reihenschaltung gekoppelter Spulen
Reihenschaltung gekoppelter Spulen:
L2
U1 U2 U
LII 1
U
L1 I 2
I
21 UUU += 21 III ==
( )dt
dIMLLU
dt
dIM
dt
dIL
dt
dIM
dt
dILU
221
122
211
++=
+++=
( )MLLLdt
dILU
221 ++=
=
gleichsinnige Kopplung:
Bild 4-55
4 - 34 Magnetisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
gegensinnige Kopplung:
L2
U1 U2
I 1
U
L1 I 2
IU
LI
21 UUU −= 21 III −==
( )dt
dIMLLU
dt
dIM
dt
dIL
dt
dIM
dt
dILU
221
122
211
−+=
−−+=
( )MLLLdt
dILU
221 −+=
=
Bild 4-56
4.6 Energie und Kräfte im Magnetfeld 4.6.1 Energie und Energiedichte a) Energie
I
U wP
Φ⋅=Ψ w
dtIUdWdt
dWIUP
=
=⋅=
dt
dU
Ψ=
Ψ= dIdW
( ) ( ) ∫Ψ
Ψ
Ψ′+Ψ=Ψ1
1 dIWWEnergie bei Induktionsflussänderung von Ψ1 auf Ψ.
Energie geht vom Stromkreis in das magnetische Feld der Spule und wird dort gespeichert.
Bild 4-57
Spezialfall:
• linearer I-Ψ- Zusammenhang: Ψ = LΙ
• Induktionsflussänderung von 0 auf Ψ durch Stromerhöhung von 0 auf Ι
• W(0) = 0
Für diesen Spezialfall gilt: ∫ =′′=I I
LIdLIW0
2
2
Die in der Spule mit der Induktivität L gespeicherte Energie:
L
ILW
22
22 Ψ== Analogie ESTF:2
2UCW =
Bild 4-58
Magnetisches Feld 4 - 35
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
b) Energiedichte
∆Φ = B ∆ A
∆ A
∆ W
∆ l
LW
2
2∆Ψ=∆
ABww ∆=∆Φ=∆Ψ
mit
Al
w
R
wL
m
∆∆
== µ22
VB
lAw
ABwW ∆=∆
∆∆=∆
µµ 22
2
2
222
und
folgt:
Energiedichte:22
2 HBB
V
Ww ==
∆∆=
µ
B
Analogie ESTF:2
DEw =
Bild 4-59
4.6.2 Kraftwirkungen im Magnetfeld a) globale Kraftgleichung ( F als Funktion von I und L)
I
I
U FdWel
dx
F I L
Prinzip der virtuellen Verschiebung:
FdxIL
dUIdt
dWdWdW mechmagel
+=
+=
)2
( 2
mit .),( konstILIddUdt ==Ψ=
folgt:
dx
dLIF
FdxdLI
dLI
2
22
22
=
+=
Kraft wirkt immer in Richtung einer Induktivitätsvergrößerung
Bild 4-60
4 - 36 Magnetisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Beispiel: Elektromagnet
I
xF
lE : mittlere Eisenlänge
A
xl
A
x
A
lR
R
wL
dx
dLIF
r
Fe
r
Fem
m
000
22
22
,,2
µµ
µµµ
+=+=
==w
( )20
2
20
22
2
)(
2
2
2 xl
AIw
xl
AwIF
Fe
r
Fe +−=
+
−=∗
µ
µ
µ Kraft wirkt in Richtung einer Induktivitätsvergrößerung, d.h.x-Verkleinerung bzw. Verkürzung der Feldlinien
Bild 4-61
b) lokale Kraftgleichung ( F als Funktion von H und B)
B
µ1 µ2
dx
F
21 µµ <Annahme:
homogenes -Feld, zeitlich konstant → Φ = konst. (abgeschlossenes System)
Br
HBrr
,
Energiebilanz bei Verschiebung um dx:
ABH
F
AdxdVFdxdVBH
dWdW mechmag
2
02
0
=→
−==+
=+
(Volumenabnahme)
2
BH
A
Fp == Kraft pro Fläche, Druck auf Grenzfläche,
Energiedichte, mechanische Spannung
Bild 4-62
Spezialfälle:
Bn1
µ1 µ2
F
21 µµ <
Bn2
quergeschichtetes Medium: längsgeschichtetes Medium:
µ2
21 µµ <H t2
F µ1H t1
−==
==
21
2
21
11
2
1
µµn
nnn
BA
Fp
BBB
( )212
21
2
1 µµ −==
==
t
ntt
HA
Fp
HHH
Kraft wirkt immer in Richtung des Mediums mit dem kleineren µ.
Bild 4-63
Magnetisches Feld 4 - 37
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
c) Kraft auf bewegte Ladungen im Magnetfeld (siehe Kapitel 4.4.3a) Lorentzkraft) d) Kraft auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfel d Kraft auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld
Spezialfall:
B
I
Br
BlIF =
F
( )BlIFrrr
×=lr
Ein gerader Leiter der Länge l befindet sich in einem homogenen Magnetfeld mit der Flussdichte B und wird vom Strom Ι durchflossen:
Kraft auf Leiter
lr
: Vektor der Länge l und der Richtung des Stromes Ι
lr
Bild 4-64
H1
I 1
H2
I2
Anwendung:
llB1
F1F2
0µ
a
r
a
lIIlBIF
r
IB
r
IHI
πµ
πµ
π
2
22
210121
101
111
==
=→=→
• Leiter mit gleichsinnigen Stromfluss ziehen einander an.
• Leiter mit ungleichsinnigen Stromfluss stoßen einander ab.
Größenwerte:
21
21
2,0
1,1,100
FNF
mlcmaAII
======
Bild 4-65
4 - 38 Magnetisches Feld
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
5. Wechselseitige Verkopplung des elektrischen und des magnetischen Feldes
∫∫∫∫∫ ρ==VH
dVQAdDrr
0=∫∫H AdB rr
Maxwellsche Gleichungen in Integralform
∫∫∫∫∫ +=A
AAd
dt
DdAdJrdH
r
r
rrr
r
1. Maxwellsche Gleichung (Durchflutungsgesetz)
2. Maxwellsche Gleichung (Induktionsgesetz)
Adt
BrdE
A
r
r
rr
∫∫∫ ∂∂−=
Nebenbedingungen:
Materialgleichungen (für isotrope und ruhende Materialien):
(D-Feld hat Quellen) (B-Feld ist quellenfrei)
HBEDEJrrrrrr
µ=ε=κ= ,
Bild 4-66
Anhang A1
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und Magnetische Felder «
Mathematische Grundlagen
x
y
z
ey
ex
ez
x
z
yr
1. Ortsvektoren
a) Darstellung- im kartesischen Koordinatensystem
ex , ey , ez … Einheitsvektorenin x, y, z –Richtung mit
x
y
z
ex
ez
r = x ex + y ey + z ez
Ortsvektor:
I r I = r = x2 + y2 + z2
Betrag des Ortsvektors:
1=== zyx eeerrr
Bild A-1
x
y
z
r = I r I er = r err
x
z
y
- im Kugelkoordinatensystem
er … Einheitsvektor
in Richtung des Ortsvektors r 222 zyx
ezeyex
r
re zyx
r++
++==
rrrr
r
er
Bild A-2
A2 Anhang
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und Magnetische Felder «
b) Anwendung zur Beschreibung von Kurven c
x
y
c
a
b
x1
r
Beispiele:
1.Beschreibung der Kurve c:
ba
eexr yx
K
rrr
:Parameter
1
λλ+=
x
y
c
a
b
x1
r
2.Beschreibung der Kurve c:
ab
eexr yx
K
rrr
:Parameter
1
λλ+=
Richtung
Richtung
Bild A-3
x
y
c
R
rR
R
y
xα
3.Beschreibung der Kurve c:
παααK
rrr
rrr
0:Parameter
sincos yx
yx
eReRr
eyexr
⋅+⋅=
+=
R
y
r
y
R
x
r
x ====rr
αα sin,cos
Bild A-4
Allgemeine Beschreibung einer Kurve c :
x
y
z
ex
ez
cr(λ)
zyx ezeyexrrrrr
)()()()( λλλλ ++=
ba...:λ
Bild A-5
Anhang A3
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und Magnetische Felder «
TUD, IEE, Prof. Merker
2. Verknüpfung von Vektoren
),(cos bababar
r
r
r
r
r =
abbar
rr
r =
- Skalarprodukt:
ar
br
α ),( bar
r=α
1=xx eerr
Beispiele:
xer
xer
0=yx eerr
xer
yer
( ) ( )
2211
1
22
0
12
0
21
1
11
2121
bababa
eebaeebaeebaeeba
ebebeaeaba
yyxyyxxx
yxyx
+=
+++=
+⋅+=
====r
r
rrrrrrrr
rrrr
r
r
Berechnung:yxyx ebebbeaeaarr
r
rrr
2121 , +=+=
Bild A-6
zyx eaeaeaarrrr
321 ++=
zyx ebebebbrrr
r
321 ++=321
321
bbb
aaa
eee
baczyx
rrr
r
rr =×=
Berechnung:
- Vektorprodukt (Kreuzprodukt): cbar
r
r =×
),(sin babacr
r
r
rr =
(Zeigefinger)
Betrag: Richtung:
ar
br
),( bar
r
cr
(Daumen)
(Mittelfinger)(rechte Hand)
Bild A-7
A4 Anhang
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und Magnetische Felder «
3. Linienintegralea) Vektorfeld: Feld von Vektoren
x
y
z
1Fr
2Fr
3Fr
Fr
Beispiel: Kraftfeld: an jedem wirkt Kraft rr
)(rFr
r
x
y
z
r
an jedem Raumpunkt mit Ortsvektor
existiert ein Vektor zzyyxx erFerFerFrFrrrrrrr
r
)()()()( ++=r
zzeFr
xx eFr
F(r)
Bild A-8
b) LinienintegralBeispiel: Berechnung der Arbeit W, die von einem Kraftfeld beim Verschieben eines Massepunktes auf einem Weg verrichtet wird
Arbeit = Kraft · WegFr
sr
sFW
sFW
=
= rr
Fall A:
es gilt:
o
rr
r
0),(.2
konstant.1
=
=
sF
F
es gilt:
konstant),(.2
konstant.1
=α=
=
sF
Fr
r
r
sFW
sFW
sFW
rr
⋅=
=′=
)cos( α
Fall B:
Fr
sr
F ′r
α
Fr
sr
Bild A-9
Anhang A5
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und Magnetische Felder «
TUD, IEE, Prof. Merker
1rr
2rr
c
)( cirFr
r )( cjrFr
r
∆∆∆∆ rcj∆∆∆∆ rci
Arbeit:
∫
∑
=
∆⋅==→∆
∞→
2
1)(
10
d
)(lim
r
cr
n
icici
rn
rF
rrFWci
r
r
r
rr
rrr
Fall C:
∫=2
1)(
dr
cr
rFW
r
r
rr
Linienintegral von F entlang c(F entlang c integrieren)
1. Weg: Kurve c vom Raumpunkt zu mit der Darstellung
2. Kraft:
ist an den Raumpunkten nicht konstant
es gilt:
baezeyexr zyx K
rrrr
:,)()()()( λλλλλ ++=2rr
1rr
zzyyxx erFerFerFrFrrrrrrr
r
)()()()( ++=rr
Bild A-10
c) Berechnung des Linienintegrals
λλλλ
d)(d2
1)(
∂∂+
∂∂+
∂∂== ∫∫
zF
yF
xFrFW zy
b
ax
r
cr
r
r
rr
baezeyexr zyx K
rrrr
:,)()()()( λλλλλ ++=
zzyyxx erFerFerFrFrrrrrrr
r
)()()()( ++=
mit:
- Weg (Kurve c):
- Vektorfeld:
- Wegdifferential ( entlang Kurve c):rr
d
λλλλ
λλ
d)(dd zyx ez
ey
exr
rrrr
r
r
∂∂+
∂∂+
∂∂=⋅
∂∂=
Bild A-11
A6 Anhang
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und Magnetische Felder «
d) Berechnung des Linienintegrals für ein Beispiel
gesucht: die von einem Kraftfeld geleistete Arbeit Wbei Verschiebung eines Massepunktes entlang - des Halbkreises c1- der Strecke c2
.)( konstFeFF xxx == rr
rx
y
c1
R-R
R
y
xα
c2
xx eFFr
r
=
xx eFFr
r
=
0:
sincos)(
K
rrr
πλλλλ yx eReRr +=
Weg c1:
Kraft:
RR
er x
+−=K
rr
:
)(
λλλ
Weg c2:
Bild A-12
Lösung:
( ) λλλπλλλλ
dcossind
0:,sincos)(
yx
yx
eReRr
eReRrrrr
K
rrr
+−=
+=Weg c1:
( )
( ) [ ] RFRFRF
eReReFrFW
xxx
yxxxc
2cosdsin
dcossind
00
0
1
==−=
+−==
∫
∫∫
ππ
π
λλλ
λλλ rrrrr
λλλλ
dd
:,)(
x
x
er
RRerrr
K
rr
=−=Weg c2:
[ ] RFFF
eeFrFW
xR
Rx
R
Rx
R
Rxxx
c
2d
dd1
===
==
−−
−
∫
∫∫
λλ
λrrrr
Bild A-13
e) Umlaufintegral
x
y
c3
c1
∫∫∫∫ +==+
3131
ddddcc
cccrFrFrFrFr
rr
rr
rr
r
Integral entlang eines geschlossenen Weges c = c1 + c3 heißt
Umlaufintegral ∫c rFr
r
d
Bild A-14
Anhang A7
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und Magnetische Felder «
16
f) Spezialfälle des Linienintegrals ∫∫ =2
1
ddr
crc
rErE
r
r
rr
rr
1.Fall:
• Weg c Gerade vom Raumpunkt nach Raumpunkt :
• Vektor konstant für alle RaumpunkteEr
2rr
1rr
Er
c
1rr
2rr
( )12
2
1
2
1
ddd rrErErErEr
cr
r
crc
rrr
rr
rr
rr
r
r
r
r
−=== ∫∫∫
bzw. ausführlich mit:
( ) ( ) ( )12
1
012
1
012 ddd rrErrErrErE
c
rrr
rrr
rrr
rr
−=−=−= ∫∫∫ λλ
( ) ( ) λλλ dd,10:, 12121 rrrrrrrrrr
K
rrrr −=−+=
12 rrrr −
Bild A-15
2.Fall:
- in kartesischen Koordinaten:
• Weg c liegt auf Koordinatenachse (x- y- oder z-Achse)
• Vektor verläuft parallel zu Weg c und ist nicht konstant,
Beispiel: Weg c liegt auf x-Achse:
Er
∫∫ =a
b
x
c
xdxErdE )(r
r
xx exEEr
r
)(=c
a b x
abxexr x ...:,rr =Weg c :
xx exEEr
r
)(=
a b
cx
baxexr x ...:,rr =Weg c :
∫∫ =b
a
x
c
dxxErdE )(r
r
Linienintegral:
Bild A-16
A8 Anhang
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und Magnetische Felder «
3.Fall: in Kugelkoordinaten:
• Weg c liegt auf Ortsvektor
• Vektor verläuft parallel zu Weg c und ist nicht konstantEr
x
y
z
r
c
rr erEEr
r
)(=
21...:, rrrerr r
rr =Weg c :
∫∫ =2
1
)(r
r
r
c
rdrErdEr
r
c
rr
r1
r2
r
Bild A-17
4. Flächenintegrale
Fläche AFläche A
ASASASAS ==⇒ o
rrrr
0cos1. Fall:
Ar
A
Sr
Ar
HomogenesVektorfeld
Sr
Sr
),cos( ASrr
),cos(konstant),cos( ASASASASrrrrrr
=⇒=
Ar
A
Ar S
r
2. Fall:
Bild A-18
Fläche AVektorfeld S
r
iA∆iAr
∆
iAr
∆
)( iAS ∆r
∫∫∑ =∆∆=
→∆∞→
A
n
iii
An
ASAAS
i
rrrr
r
d)(lim1
0
Flächenintegral:
Anhang A9
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und Magnetische Felder «
Flächenintegral, wenn Fläche Aeine geschlossene Hülle H:
∫∫H
ASrr
d H
Bild A-19
ASASA
=∫∫rr
d
Ar
d
ASr
Spezialfall:
• Vektorfeld durchsetzt Fläche A senkrecht
• auf Fläche A ist Betrag von konstant
Sr
Sr
∫∫∫∫ =AA
ASAS ddrr
ASASA
== ∫∫d
dA
24 rA π=ASAS
A
=∫∫rr
d
Fläche A ist Kugeloberfläche
A
Ar
dSr
rdA
rlA π= 2
ASASA
=∫∫rr
d
Fläche A ist Zylindermantel
ASr
rl
Ar
dSr
Bild A-20
Beispiel zur Berechnung eines Flächenintegrals:Aufgabe: Berechnung der Ladung Q auf einer rechteckigen Fläche A
x
y
x1 x2
y1
y2
d xd y
d A
A
geg.: Flächenladungsdichte σ = c x y c = 3 mC/cm4, x1= 1cm, x2= 7cm,y1= 1cm, x2= 5cm
Lösung: differenzielle Ladung dQ im differenziellen Flächenelement dA: dAdQ σ=
∫∫=→A
dAQ σ Flächenintegral
dyx
ycdydxyxcdydxdAQ
x
x
y
y
y
y
x
x
y
y
x
xA
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
12
2
∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ==== σσ
mC88422222
21
22
21
22
221
22
21
22
2
1
2
1
=−−=−=−= ∫yyxx
cyxx
cdyxx
ycy
y
y
y
Bild A-21
A10 Anhang
TUD IEE Prof. Merker Vorlesungsskript » Elektrische und Magnetische Felder «
5. Volumenintegral
stetige Verteilung einer Ladung Q über Volumen V
homogen
V
Dichte der Ladung im Raum → Raumladungsdichte ρ:
V
Q=ρ
VQ ρ=
inhomogen
V
V
QV ∆
∆=→∆ 0
limρ
VQV
d∫∫∫= ρ
Volumenintegral Bild A-22
Beispiel zur Berechnung eines Volumenintegrals:Aufgabe: Berechnung der Ladung Q in einem Volumen V
geg.: Raumladungsdichte
c = 2 mC/cm4, x2= 2cm, y2= 3cm, z1= 1cm, z2= 2cm,
Lösung: differenzielle Ladung dQ im differenziellen Flächenelement dV: dVdQ ρ=
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫ +===2
1
2 22
1
2 2
0
22
00 0
)(z
z
y xz
z
y x
V
dydzdxyxz
cdydzdxdVQ ρρ
x
yx2
z
z2
z1
y2
Vd V
)( 22 yxz
c +=ρ
∫∫∫=→V
dVQ ρ Volumenintegral dzdydxdV =
∫ ∫∫ ∫
+=
+=
2
1
22
1
2 2
0
22
32
0 0
23
33
z
z
yz
z
y x
dzdyxyx
z
cdzdyxy
x
z
c
Bild A-23
( )∫∫ +=
+=
2
1
2
1
2
23
223
2
0
2
332
333
z
z
z
z
y
dzxyyxz
cdzx
yy
x
z
c
( ) ( )mC36
ln3
ln3 1
22
322
322
322
32
2
1
=
+=+=
Q
z
zxyyx
czxyyx
c z
z
Bild A-24
Formelübersicht
TUD IEE Prof. Merker
Er
)(tΨI
LΨ=
)(tI)(tHr ∫= rdtHtI umf
rr
)()()()( tHtBrr
µ=AdtBt
A
rr
∫∫=Φ )()(
)(tBr
)(tΦ
)()( twt Φ=Ψ
∑Φ=Ψn
n tt )()(
Adt
BrdE
A
r
r
rr
∫∫∫ ∂∂−= Induktionsgesetz:
mR
wL
2
=
Magnetfelddt
tdU AB
)(Ψ=
Hr
Durchflutungsgesetz:
Er
I Jr EJ
rr
κ=AdJI
A
rr
∫∫=
)(rr
ϕ
∫ ′′=−=2
1
21)()()( 21,
r
r
rr rdrErrU
r
r
rr
rrr
rr ϕϕ
I
UR =
EDrr
ε=
U
Q
UC =Ψ=
AdDQA
rr
∫∫=
stationäres Strömungsfeld elektrostatisches Feld
Dr
Ψ,Q
* Bemessungsgleichung für homogenes Feld
A
lR
κ=
*
d
AC
ε=*
∫∫∫∫∫ +=A
AAd
dt
DdAdJrdH
r
r
rrr
r
Φ= V
Rm
AdBA
rr
∫∫=ΦHBrr
µ=Br
Φ
21,rrV rr
∫ ′=2
1
21,
r
r
rr rdHV
r
r
rr
rr
A
lRm µ
=*
Magnetfeld
)()( rgradrErr
r
ϕ−=
∫ ′′−ϕ=ϕr
r
rdrErr
r
r
rrr
rr
0
)()()( 0
21,rrU rr