elektřina = jevy spojené s náboji
DESCRIPTION
Elektřina = jevy spojené s náboji. Elektrický náboj:. ● Jednotka 1 coulomb ( 1C ) ● Celočíselný násobek elementárního náboje e = 1.602 10 -19 C ● Dvojí znaménko +,- ● Zachovává se. Náboj se projevuje silou mezi nabitými objekty. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Elektřina = jevy spojené s náboji
Coulombův zákon pro sílu mezi dvěma bodovými náboji velikosti q1 a q2 ve vakuu:
Elektrický náboj:
● Jednotka 1 coulomb (1C)● Celočíselný násobek elementárního náboje e=1.602 10-19C● Dvojí znaménko +,-● Zachovává se
Náboj se projevuje silou mezi nabitými objekty.
2
21
04
1
r
qqF
F/m10854.8 120
Směr síly: od sebe pro stejná znaménka náboje a k sobě pro opačná znaménka
je permitivita vakua
Platí princip superpozice: síly od různých nábojů se vektorově sčítají, takže sílu od libovolného rozložení náboje získáme jako součet (integrál) sil od bodových nábojů.
Stejný tvar Coulombova zákona a Newtonova gravitačního zákona
Hlavní rozdíl: elektrická síla přitažlivá i odpudivá, gravitační jen přitažlivá
Podobné vlastnosti elektrických a gravitačních sil
Možno zavést elektrické pole: jeden náboj vytváří pole, druhý testuje
Síla na testovací náboj je úměrná velikosti testovacího náboje.
Sílu vydělíme hodnotou testovacího náboje q a dostaneme intenzitu:
q
FE
rr
Q rrE
204
Intenzita pole bodového náboje Q ve vakuu v místě r
…směr od kladného náboje, k zápornému náboji
Elektrické pole je konzervativní
Můžeme zavést potenciální energii. Referenční bod často klademe do nekonečna jako v gravitačním poli.
Potenciální energii vydělíme velikostí testovacího náboje a dostaneme potenciál:
rrErr
~d~
U
Pro bodový náboj: r
Q
r
rQ
rr
QU
r 02
02
0 4~
~d
4~
~d~
~4
rrr
r
rr dd rr r dr
dr
kde jsme využili
jednotka 1 volt (1V)
Přesněji elektrostatické—na příští přednášce uvidíme, že časová změna ho může udělat nekonzervativním
Stejně jako síla je i potenciální energie úměrná velikosti testovacího náboje.
Obrácený vztah:
z
U
y
U
x
UUU
rrrrrrE ,,grad
Intenzita: tečná k siločárám ve směru šipek, kolmá na ekvipotenciály.
Ekvipotenciály (čárkované) = plochy konstantního potenciáluSiločáry (plné) jsou na ně kolmé a mají směr
Homogenní pole Bodový náboj 2 bodové náboje (tvořící dipól)
Grafické znázornění intenzity a potenciálu…pomocí ekvipotenciál a siločar:
Obdobný Gaussovu zákonu pro gravitační pole:
Uzavřenou plochu rozdělíme na kousky o obsahu A, vynásobíme A průmětem intenzity do směru normály k plošce, sečteme přes celou uzavřenou plochu a provedeme limitu A 0:
AEAE dcosΔcos
Tím jsme dostali tok elektrické intenzity uzavřenou plochou. Gaussův zákon říká, že tento tok je roven náboji uvnitř plochy děleno permitivitou vakua:
0
dcos
QAE
Gaussův zákon
Důkaz jako v gravitačním případě: ukážeme pro bodový náboj a použijeme princip superpozice
Pro bodový náboj využijeme toho, že
d4
d
4ddcos
02
0
q
r
AqArEArE
takže
000
44
d4
dcos
qqqArE
dAdA
r
d
E(r)
q
dA je průmět plošky dA do směru kolmého k intenzitě E.
Příklad použití Gaussova zákona: pole rovnoměrně nabité nekonečně velké desky
s plošnou nábojovou hustotou
● Tok pláštěm je nulový
● Tok každou z podstav je EA
● Náboj uvnitř válce je A
Jako uzavřenou plochu vezmeme válec, jehož podstavy s obsahem A jsou rovnoběžné s deskou a který je deskou předělen v půlce.
Gaussův zákon má tvar:
0
2A
EA
02
E
Takže E nezávisí ani na vzdálenosti od desky.
Pak platí:
Ze symetrie musí být intenzita kolmá k desce a závislá jen na vzdálenosti od desky, ne na poloze podél desky:
= 2 rovnoběžné desky ve vzdálenosti l se stejnou hustotou náboje opačného znaménka:
02
EE
Pohled z boku
Pole je konstantní mezi, nulové vně
+ -
E+
E-
E= E++E- 0 0
0
l
Rovinný kondenzátor
Plochu každé desky označíme S
…pak každá deska je nabitá nábojem S.
Síla mezi deskami je
SESS
SESEF 20
2
00
0
2
2
1
2
1
2
Práce na oddálení desek na vzdálenost l: SlEFlW 202
1
Zákon zachování energie: tato práce se přemění na energii elektrického pole.
Prostorová hustota energie elektrického pole je: 202
1E
Sl
W
V
W
(síla je konstantní a ve směru posunutí)
Napětí na kondenzátoru = rozdíl potenciálů na deskách:
0l
ElU
Kapacita kondenzátoru = náboj na jeden volt:
l
S
l
S
l
Q
U
Qc 0
00
využili jsme vztahu mezi nábojem Q a plošnou nábojovou hustotou .
Charakterizuje prostředí
Charakterizuje geometrii
● Kapacita roste, když roste plocha desek a klesá vzdálenost mezi nimi.
● Kapacita roste, když zvýšíme mezi deskami—viz dále.
Jednotka: Fm
m
m
F 2
Příklad: kondenzátor s deskami 23cm oddělenými mezerou 1mm
pF3.5F103.5m10
m106
m
F1085.8 12
3-
2412
c
● Plošná hustota náboje při napětí 1V:
293
120 C/m1085.8
m10
F/m1085.8V1
-l
U
Vidíme, že farad je obrovská jednotka zejména kvůli malé hodnotě permitivity vakua. Běžně používané kondenzátory mají kapacitu maximálně mikrofarady, když obsahují vysoce polární elektrolyty.
● Náboj na kondenzátoru:
cUSQ C103.5m106m
C1085.8 1224
29
● Kapacita:
● Intenzita pole uvnitř kondenzátoru při napětí 1V: V/m10001mm
V1E
● Síla mezi deskami kondenzátoru:
N107.2C103.5m
V1000
2
1
2
1 912 EQQEQEF
● Hustota energie:
36
26122
0 m
J104.4
m
V10
m
F1085.8
2
1
2
1
E
● Energie v poli kondenzátoru:
J107.2m10106m
J104.4
2
1 1433-43
620
SlE
…ani kvadrát poměrně velké hodnoty intenzity nepřekoná malou hodnotu permitivity.
Zatím jsme studovali elektrické pole vytvořené náboji.
Když toto pole naopak působí na nabité částice, tak je urychluje podle Newtonova zákona
Užití: obrazovka a lineární urychlovač (viz zvětšující se délku trubic)
E
vq
t
m
d
d
Působení elektrického pole na náboje
Toto byly nabité částice ve volném prostoru. Většinou je máme v prostředí, zejména elektrony a ionty v pevné látce.
Dvě základní možnosti:
1. Izolanty: náboje se mohou jen málo pohnout z rovnovážné polohy
Důsledek: zeslabení pole uvnitř látky
Popis: permitivita vakua se vynásobí relativní permitivitou r, takže
Např. látka složená z polárních molekul …elektrické pole uspořádá směr molekul:
2
21
r04
1
r
qqF
Gaussův zákon má pak tvar:
r0
dcos
QAE
Coulombův zákon má pak tvar:
vzduch 1,00054
polystyrén 2,6
papír 3,5
porcelán 6,5
slída 7,0
sklo 7,6
křemík 12
voda 80
Relativní permitivita…bezrozměrné číslo většinou řádu jednotek:
Využití: možnost zvětšení kapacity kondenzátoru, jak už bylo zmíněno.
Příklad: když mezi desky kondenzátoru vložíme papír, kapacita se zvýší 3,5
l
Sc r0
Pokud je mezi deskami kondenzátoru izolant s relativní permitivitou r, pak kapacita je
2. Vodiče: náboje se mohou pohybovat po materiálu
Pohyb nábojů popisuje veličina elektrický proud:t
Q
t
QI
d
d
Δ
Δ
Jednotka: 1amper (1A)
Coulomb je odvozená jednotka: náboj, který proteče za 1s, když je proud 1A.
Když teď víme, jak velký je náboj, získáme představu, jak velká je elektrostatická síla. Síla mezi dvěma bodovými náboji velikosti 1C vzdálenými 1m ve vakuu:
3 tíha Empire State Building!N10m
CV10
m
C
F
m
1
11
10
1
4
1
F/m104F/m10854.8
10102
2
210221
0
100
120
r
qqF
Slovy: náboj, který proteče vodičem za jednotku času
Ve většině vodičů se mohou pohybovat jenom elektrony. Ionty zůstávají na místě.
Bez vnějšího pole:
= pohyb elektronů náhodnými směry velkou rychlostí v0 řádu 106m/s (z Prahy do Londýna za 1s)
Ale tento pohyb trvá jen krátkou dobu řádu =10-14s, za niž elektron ulétne jen řádově 10-8m, než se srazí (s nečistotami v materiálu, s dalšími elektrony, s kmitající krystalovou mřížkou, atd.) a pokračuje v jiném náhodném směru.
v průměru se elektron nepohybuje nikam: 00 v
Ohmův zákon= vztah mezi elektrickým polem a proudem ve vodiči. Nyní ho odvodíme.
Přiložené elektrické pole urychluje elektrony:
Ev
et
m d
de
Konstantní síla jako pro volný pád konstantní zrychlení
tm
ete
0
Evv mezi srážkami, tj. pro t< platí:
Pro elektrické pole 1V/m má druhý člen velikost řádu:
m/s10s10kg10
V/m1C10 3-14
30-19
Druhý člen v každém okamžiku zanedbatelný (o cca 10 řádů) vůči prvnímu, ale…
Elektron má hmotnost me10-30kg a náboj – e –10-19C, takže Newtonův zákon má tvar:
…v průměru to je naopak: první člen vypadne, druhý zůstane
e
dee
0 met
met
met
Ev
EEvv
index „d“ od slova drift
Z driftové rychlosti můžeme spočítat proud:
● Pokud má vodič průřez A, pak za dobu t jím protečou elektrony v objemu
● Pokud elektronů na jednotku objemu je n, pak náboj proteklý průřezem vodiče je
tAenvVenQ ΔΔΔ d
tAvxAV ΔΔ d
Úměra mezi silou a rychlostí podobně jako pro odpor prostředí v harmonickém oscilátoru.
Aenvt
QI dΔ
Δ
Odtud proud
Proud je úměrný průřezu vodiče. Zavedeme proudovou hustotu jako vektor o velikosti
Příklad: měděný vodič o průřezu A=1mm2=10-6m2.Měď má n1029 elektronů v m3, takže při driftové rychlosti 10-3m/s poteče proud
A10m10m/s10m01C10 2-6332919 I
denvA
Ij
a směru toku náboje, tj.
dvj en
Dosazení za driftovou rychlost: EEj
e
2
m
ne
Ohmův zákon
Ul
AI
A
Ij
l
UE
,
A
l
A
lR Označíme:
kde 1/ je měrný odpor. Pak Ohmův zákon má známější tvar
R
UI
e
2
m
ne je měrná vodivostkde
A I
U,l
E
Vyjádření pomocí délky l, průřezu A, napětí U a proudu I:
Příklad: řádový odhad měrného odporu mědi
me 10-30kge 10-19Cn 1029m-3
10-14s
ne
m2
e
cmμΩ10Ωm10Ωm101010
10 7-142938
30
Přesná hodnota při pokojové teplotě: 1,7cm
Obecně dobré vodiče mají měrný odpor řádu několika cm.
● Vztah pro měrný odpor:
● Řádové odhady parametrů elektronu:
● Odtud:
a mědi:
Když vodičem teče proud, náboj vstupuje na vyšším potenciálu než vystupuje.
Tím se snižuje energie náboje. Za dobu t proteče náboj Q =I t a pokles energie je UQ. Proto spotřebovaný výkon je
22
Δ
ΔRI
R
UUI
t
QUP
Elektron ztrácí energii při srážkách v materiálu. Takto předaná energie materiálu je teplo zvané Jouleovo.
Použití: elektrický ohřívač.
Příklad: 1kW ohřívač má odpor Ω50Ω1000
1001214
W10
V2203
222
P
UR
Výkon Ohmův zákon říká, že je potřeba potenciálový rozdíl mezi konci vodiče, aby jím tekl elektrický proud.
● Na rozhraní mezi izolanty a vodiči. Typický příklad: Si s diamantovou krystalovou strukturou:
● V čistém stavu to jsou izolanty
● Malé množství příměsí mnohanásobně zvětší vodivost
Např. 0,001% As v Si zvětší vodivost 10 000 při pokojové teplotě
Tato citlivost umožnila vytvořit aktivní součástky—tranzistory—bez vakuových elektronek
Aktivní součástka: elektřina řídí elektřinu
Polovodiče
Rozdíl mezi vodičem a polovodičem je nejen v číselné hodnotě měrného odporu, ale i v závislosti měrného odporu na teplotě.
Vodič—roste: Polovodič—klesá:
Když se teplota blíží k absolutní nule, měrný odpor některých kovů, např. mědi, se blíží k nenulové hodnotě. Pro jiné kovy se stane něco zajímavějšího:
Odpor úplně zmizí skokem při určité tzv. kritické teplotě:
Do poloviny 80. let nejvýše 20-30K
Pak nová skupina materiálů, vrstevnatých oxidů mědi, u kterých se to děje při 100-150K, tzv. “vysokoteplotní supravodiče“. Dosud není jasné, zda v nich má supravodivost stejný mechanismus jako v nízkoteplotních nebo jiný.
1911: objev1933: supravodič vytlačuje magnetické pole1935: vlnová podstata elektronů je důležitá1950, 1957: úplné řešení
Supravodivost
Stručná historie:
Elektrické obvodyProtože se při tekoucím proudu energie přeměňuje z elektrické na tepelnou, potřebujeme zdroj, který bude udržovat elektromotorické napětí = napětí, které dodává elektrickou energii.
Možnost: baterie
Symboly v diagramech:
+Baterie:
Rezistor (odpor):
nebo
-chemická energie elektrická energie
Podobné jako s vodou, kde odpor prostředí překonává pumpa:
Tohle je nejjednodušší obvod: jeden zdroj a jeden odpor
Složitější obvody: Kirchhoffovy zákony
1. Kirchhoffův zákon o proudech v uzlech: Co vteče do uzlu, to vyteče.
Je to vlastně zákon zachování náboje.
2. Kirchhoffův zákon o napětích ve smyčkách: Co dodají zdroje, to spotřebují spotřebiče.
v1+v2+v3+v4=0Je to vlastně zákon zachování energie.
Napětí se někdy značí písmenem v nebo V.
Příklad:
33222
33111
231
IRIRV
IRIRV
III
Tři rovnice pro tři neznámé proudy. Ty můžeme vyřešit.
Uzel
Levá smyčka
Pravá smyčka
1221133221
1311
232
1311
232
131
00
0
0111
0
0
0111
0
0
0111
VRVRRRRRRR
VRRR
VRR
VRRR
VRR
VRR
133221
23132321
133221
23113
133221
1221311
13311
12
133221
12213
11
RRRRRR
VRVRRIII
RRRRRR
VRRVR
RRRRRR
VRVRRRV
RIRRV
RI
RRRRRR
VRVRI
Řešení:
1. Úprava soustavy na trojúhelníkový tvar:
2. Postupné vyjádření neznámých od poslední k první:
Dělič proudu:
URR
RUIRU
RR
UIIRIRU
21
2222
2121
● Komplementární závislost na odporech.● V děliči napětí můžeme použít proměnný odpor (potenciometr) a
tak měnit výstupní napětí.
R2
R1
U2
U1
I
U
I2
R1
R2
I
I1
Použití: děličeDělič napětí:
21
2211
III
RIRI
IRR
RI
RIRII
21
12
2212
● Elektrické náboje vytvářejí elektrické pole.
● Toto elektrické pole působí silou na jiné náboje a ovlivňuje jejich pohyb.
● Náboje v pohybu vytvářejí také magnetické pole.
● Elektrické a magnetické pole se vzájemně ovlivňují.
● Elektromagnetické pole se může oddělit od nábojů.
Dnes:
Příště: