ELECTROSTÁTICA

Este capítulo constituye un pre-apunte (o sea, no llega a ser un apunte) cuya única función es facilitar la redacción

de los apuntes en clase por parte del alumno. Contiene gráficos, formulas y explicaciones muy elementales de

los contenidos que se dictan en la clase teórica a mi cargo, de forma que los participantes de la misma puedan

completar en los espacios en blanco lo que consideren necesario. De ninguna manera reemplazan la bibliografía

sugerida y se debe tener en cuenta que no han sido corregidos exhaustivamente

ELECTROSTÁTICA Interacciones eléctricas de cargas en reposo

Interacciones: acciones a distancia (Excluimos las de contacto)

Existen 4 interacciones (conocidas) en la naturaleza

gravitatoria (peso, cuerpos celestes; dominante a escala cosmos)

electromagnética (átomos y móleculas, uniones químicas)

nuclear fuerte (cohesión nuclear)

nuclear débil (emisión β radiactiva)

todas las demás son interacciones de contacto

La más conocida: Interacción gravitatoria: expresada por la existencia de fuerzas atractivas entre cuerpos

221

rmmF ∝

F depende solo de mi y r

F siempre atractiva

Interacciones eléctricas

Se observa que experimentalmente que

algunos cuerpos interactuan entre si con F≠ FG

esas interacciones son atractivas o repulsivas (≠ FG)

dependen de una propiedad llamada carga eléctrica (q)

decaen con r de acuerdo a 1/r2

O sea

2

1r

F ∝r

rqq

F (r2

21∝Ley de Coulomb

21 qqF ∝ qi: cargas puntuales

Fr

en dirección q1- q2, y → ← o ← →++ Repulsiva

- - Repulsiva

+ - Atractiva

Carga eléctrica (q)Masa: magnitud física, “medida

de la cantidad de materia” aFm =En realidad

Magnitudes físicas: características cuantificables mediante procesos de medición definidos (mediciones objetivas)

Ej.: longitud, masa, conductividad térmica, calor específico, emisividad, dureza, elasticidad, resistencia a la tracción, .........................

Ej. de características que no lo son: belleza, simpatía, actualidad, valor, interés, influencia,..................... Importancia!

Que es q? Magnitud física causante de F eléctrica

“Ubicación”de la carga eléctrica? A nivel atómico y nucleare

p quark

“nombre” de la carga define el sentido de la fuerza actuando como signo matemático en la

ley de Coulomb

Como medir q? Por su relación con magnitudes conocidas

F

mg

T Como F atractiva o repulsiva =>2 tipos de q (±)

Cuerpo cargado: por desbalance de cargas(carga electrostática)

Necesidad de unidades ?111 Nmu =

2292 /109 CmNKr

rqqKF == (r

1C a 1m de 1C =>F= 9 109 N

Otra + útil (C)

Carga electrón (e): -1,6 10-19 C = - carga protón Carga míni-ma medida

q+ +_

Frq ∝

r

!!!

Valores compartivos

Comparación entre F eléctrica y Fuerza gravitatoria

39

10

273111

10

2199

1038,1

10)1067,1.101,9(1067,6

10)106,1(109

==

−

−−−

−

−

G

E

FF

A escala cósmica domina la FG y a escala atómica, la FE; que pasa?A medida que se acumula masa para formar planetas, estrellas y galaxias se acumula fuerza gravitatoria pero se compensa fuerza eléctrica pues átomos son neutros

10-15 10-10 10-5 1 105 1010 1015 m

Fuer

zas

nucl

eare

s

Fzas

. Ele

ctro

-m

agné

ticas

Fuerzas gravitatorias

Rangos de dominio

1% de desbalance de q a 1 m => F suficiente para sostener peso = Tierra!

Principio de superposición

q0

q2

q1F2-0

F1-0

FT

∑= iT FFr

Cargas puntuales

Cargas distribuidas

rdVr

qKF

rdVr

qKFd

V

(v

(r

∫=

=

20

20

ρ

ρ

rdV

ρ (c/m3)

dFq0

Ejemplos

a q0

λ C/m

rdlr

qFrdVr

qKFdl

(v(r∫== 2

092

0 109 λρ

dl

dF

r

ra

=αcos

( )∫∞

∞− +=

2322

09109la

dlaqFN

λ

( ) 22322

2ala

dl=

+∫∞

∞−

aqFN

2109 09 λ=

aFN

1∝

dFN

αcosdFdFN =

α

Componentes // al hilo se anulan

Hilo infinitoλ C/m

Plano infinito uniformemente cargado plano yz con σ C/m2

∫∫=yz

rr

dzdyqF ''

109 209 (v

σ

drrSd π2=v

En cilíndricas

Ra

=αcos

∫∞

=0

209 2109

Ra

RdrrqFN

πσ

( )∫∞

+=

02/3220

9 2109radrraqFN πσ

( ) aradrr 1

02/322=

+∫∞

09 2109 qFN σπ= FN independiente de a

Componentes // plano se anulan

En cartesianas dS=dy.dz

Sustitución drrdxrax 222 =⇒+=

x

y

z

aq0

rR

dr

αdF

r´

x

y

z

R

Esfera uniformemente cargada (ρ C/m3)

a

q0

r

r’

ϕ

θ

ϕθθ dddrrdV 'sen'2=

∫∫∫= dVr

qF20

9109 ρ

∫∫∫ −= ϕθθρ dddrsenr

raqF ''

'1109 2

209

rr

( )arararr ,'cos'' 222 −+=

2

32

2 34''

'1

aRdddrsenr

raπϕθθ =

−∫∫∫ rra

aRqF (

2

3

09

34109 πρ=

Es la misma fuerza que ejercería toda la carga de la esfera (Q) concentrada en el origenQR =ρπ 3

34

dF2

9 0109r

dVqdF

ρ=

Campo eléctrico

Si cargas quietas, ley de fuerza de Coulomb es sencilla, pe-ro si cargas en en movimiento las relaciones son complica-das por el retardo de la interacción (“viaja” a velocidad fini-ta de ~300.000Km/s) y por la aceleración

Conviene expresar la electrodinámica a partir del concepto de Campo eléctrico (y magnético)

Descripción con fuerzas

Descripción con campo

q q0F

qiEEqF i

vr=

E: intermediario de la interacción eléctrica

q

0qFEr

v=

q0: carga de prueba

Definición de campo eléctrico

000 qFE lim

q

rr

→= Para que q0 no modifique dis-

tribución de carga generadora [ ]CNE =

Así, E producido por una carga o una distribución de car-gas, puede pensarse como una propiedad del espacio

En general, Campo es toda magnitud física que toma un valor definido en cada punto del espacio

Ejemplos de campos escalares: de temperatura, de alturas, de presiones,...

Ejemplos de campos vectoriales: gravitatorio, eléctrico, de velocidades, magnético,....

Ejemplos de cálculo de campo eléctrico

Cargas puntuales:

rrqKr

qrqqKE ((v

20

20 1

==

r

q

Líneas de campo: puntos geométricos tangentes al vector E

q+

q-

Hilo infinito con densidad lineal de carga λ (C/m)

αcosdEdEN =

rdlr

ErdVr

KEdV

(r(r∫== 2

92 109 λρ

ra

=αcos

( )∫∞

∞− +=

2322

9109ladlaEN

λ

( ) 22322

2ala

dl=

+∫∞

∞−

aEN

2109 9λ=a

EN

1∝

λ+λ-

dENa

dl

r

λ C/mdE

l

Plano infinito uniformemente cargado (plano yz con σ C/m2)

En cartesianas dS=dy.dz ∫∫=yz

rr

dzdyE ''

109 29 (r

σ

En cilíndricas

Ra

=αcos

∫∞

=0

29 2109

Ra

RdrrEN

πσx

y

z

aq0

( )∫∞

+=

02/322

9 2109radrraEN πσ

( ) aradrr 1

02/322=

+∫∞

σπ2109 9=NE EN independiente de a

Componentes // plano se anulandrrSd π2=

v

rR

dr

αdF

σ+σ-

Sustitución drrdxrax 222 =⇒+=

x

y

z

R

a

E en exterior de esfera uniformemente cargada (ρ C/m3)

ϕθθ dddrrdV 'sen'2=

∫∫∫= dVr

E2

9109 ρ

( )arararr ,'cos'' 222 −+=

2

39

34109

aRE πρ=

Es el mismo campo que crearía toda la carga de la esfera (Q) concentrada en el origenQR =ρπ 3

34

29109

rdVdERr ρ

=>

2

32

2 34''

'1

aRdddrsenr

raπϕθθ =

−∫∫∫ rr

ρ+

ρ-ϕ

θ

∫∫∫ −= ϕθθρ dddrsenr

raF ''

'1109 2

29

rr

r

r’

dE

Ley de Gauss E en r 29109

rqE =

221290 /1084,8

10941 NmC−==

πε

0

22

0

44

1ε

πεπ

qrErqE =⇒=

0εqSE esfera=

r

dS

q

E

En la forma mas general ∫∫ =0

.εqSdE

rr

Flujo de un vector ∫∫=Φ SdArr

.A

dSφ =A dS

dS

φ=A

dS

cosα

dSφ = 0

ε0: permitividad en vacío

0

9

41109επ

=si

r

dS

E

'.´'4

1'.' 20

SdrrqSdE

r(vv

επ=

SdrrqSdE

r(vv.

41. 2

0επ=

22

.'

'.́r

Sdrr

Sdrr(r(

= ∫∫∫∫ ==⇒0

.'.'εqSdESdE

rrrr Vale para cualquier superficie cerrada

El flujo del vector campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada por esa

superficie dividida por la permitividad en vacío

Es esta ley general?∫∫ =

0

.εqSdE

rr

Ley de GaussdS

r’dS’

E’q

r

Ley de Gauss: una de las cuatro ecuaciones de Maxwell

Asemás: útil para calcular E en situaciones de alta simetría

E

Hilo infinito cargado con λ C/m

∫∫ =0

.εqSdE

rr

0

2ελπ llrE =

rE

02 επλ

=

Plano infinito con σ C/m2

E

S

0

2εσ SSE =

02 εσ

=E

Se pueden excluir las cargas externas a la sup. gaussiana en el cálculo de E porque si el hilo o el plano son infinitos E solo

tiene componentes normales a ellos

R

Esfera cargada uniformente en volumen ρ (C/m3)

ρπ 3

34 RQ =

dS E

0

24ε

π QrERr => rrQE (r

204

1επ

=

0

3

2 34

4ε

ρππ

rrERr =<

03ερrE =

E

rR

Es esta una forma general de calcular E? NO

Por ejemplo en la esfera, por que se usan solo las cargas

interiores a la superficie de integración?

dS2

dS1

r1

r2

2rdSKdE σ

=

2

2

22

1

1

rdS

rdS

=

Las cargas “exteriores” a sup. de integración compensan efectos

Ej: E de 2 cargas puntuales en A

A

q2

q1

E total en A no lo puedo calcular solo usando Gauss

con alguna de las cargasE1

E2ET

Solo en caso de simetría se pude calcular el ET

usando parte de la distribución de cargas

Empleo de la ley de Gauss para cálculo de E total: caso de 2 cargas

r2

q2

E2E

0

12

11 4ε

π qrE =

2

1

1

01 4

1rqE

επ=

En el punto o el campo total es E y no E1

En casos de alta simetría, las cargas “exteriores” a la superficie gaussiana se compensan por lo que se

puede calcular el E total considerando solo las cargas encerradas en ella. Pero en caso de falta de simetría,

el campo total usando Gauss debe calcularse por superposición, o sea, en este caso calculando también

E2 por Gauss y componiendo

q

r1

1

E1

o

b

b-a

a

R

Cálculo de E por superposición en geometrías complicadas

0

2

2 εππρ

lblRE =

E

Ojo! `EEET

rrr−=

`EEET −=

ET

∫∫ =0

.εqSdE

rr

E`

0

2

)(2`

εππρ

lablrE

−−

=r

Esfera uniformente cargada en superficie σ (C/m2)

σπ 24 RQ =

R 0

24ε

π QrERr =>

0=< ERr

rrQERr (r

204

1επ

=>

Igual al producido por Q en el origen

0=< ERr

Rr

E

r

Significado de la dicontinuidad

Distinto tipo de comportamiento eléctrico de los materiales

Conductores:Son aquello que permiten el movimiento de las cargas eléctricas en su interior (electrones débilmente ligados de órbitas exteriores en metales o iones)

Metales +++

+ + +

Electrolitos + -

Polarización +q - +

Aislantes o dieléctricos: materiales que por el tipo de unio-nes químicas no presentan portadores libres (cargas con capacidad de desplazarse)

Semiconductores: materiales que en condiciones nor-males se comportan como aisladores pero que ante determinadas solicitudes (potencial eléctrico, radiación,..) se comportan como conductores

Superconductores: materiales que en determinadas condi-ciones permiten que los electrones se mueven sin ningún tipo de dificultad (no presentan resistencia eléctrica)

R

r

Comportamiento electrostático de los conductoresSi hay carga en r < R => hay E en r, y si el material es conductor (hay cargas libres) estas se deben mo-ver (alejándose) por acción de E

En situación electrostática, q en superficie en los conductores

Rr

E

E= 0 dentro de los conductores en

situación electrostática

E creado por carga superficial debe ser normal a S en la

superficie pues sino habría componente tangencial y cargas

se moverían

24 RQπ

σ =

∫∫ =⇒=00

.εσ

ε nEqSdErr

Ley de gauss en forma diferencial

∫∫ =0

.εqSdE

rrExpresión integral de la Ley de Gauss

S∫∫∫∫

∫∫∫∫ ∫∫

+−

+=

23

31

..

...

SS

SS

SdESdE

SdESdESdE

rvrv

rvrvvv

∫∫ ∑ ∫∫=i i

SdESdErrrr

..

EV

SdElim

iVi

vvr

..

0∇=∫∫

→

∫ ∫

∑ ∫∫∫∫

==∇=

=→

00

0

.

.lim.

ε

ρ

ε

dVqdVE

VV

SdESdE

ii

iVi

v

vrvv

0

.ερ

=∇ Er

S1S3 S3 S2

Teorema de la divergencia

i

i

VV

E

zE

yE

xE

V

SdElimEEDiv zyx

i

S

Vi ∂∂

+∂

∂+

∂∂

==∇= ∫∫→

rrrr .

.0

x

y

zΔy

Δx

Δz

zyEE xxxxxx ΔΔ− Δ−

Δ+

]))[22

yxEExzEEzyEESdE zzzzzzyyyyyyxxxxxx ΔΔ−+ΔΔ−+ΔΔ−= Δ−

Δ+

Δ−

Δ+

Δ−

Δ+∫∫ ]))[]))[]))[.

222222

rr

...........2!2

12

))2

2

2

2

±⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+Δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

±=Δ±

xxEx

xEEE

x

x

x

xxxxxx

yxzzEz

zE

xzyyE

yy

Ezyx

xEx

xE

z

z

z

z

y

y

y

y

x

x

x

x

ΔΔ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+ΔΔ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+Δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+ΔΔ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

....2!3

2

....2!3

2....2!3

2

3

3

3

3

3

33

3

3

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ΔΔΔ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ 333 ,, zyxo

zE

yE

xE

z

z

y

y

x

x zE

yE

xE

VSdE

lim zyx

i

S

Vi ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∫∫→

rr.

0

Teorema de la Divergencia o de Gauss

En dirección x

Ejemplo: pared ∞ de ancho d y densidad de carga uniforme ρ

∫∫ =0

.εqSdE

rr

00 22

2 ερ

ερ dEdSSEdx =⇒=>

00

222 ε

ρε

ρ xExSSEdx =⇒=<

0

0

0

22

22

22

ερερε

ρ

dEdx

xEdxd

dEdx

−=−<

=<<−

=>d

E En x ±d/2 las soluciones convergen

0

.ερ

==∇dxEdEr

r

d

E

x

β

ερ

ερ

α

==−<

+==<<−

==>

EdxdEdx

ctexEdxdEdxd

EdxdEdx

02

22

02

00

Condiciones de borde

=± )2

( dE βα

βαβε

ραε

ρ−=⇒=−=

00 22dd

00)0( =⇒= cteE

0

0

0

22

22

22

ερ

ερε

ρ

dEdx

xEdxd

dEdx

−=−<

=<<−

=>

Energía electrostáticaEnergía potencial:

gravitatoria

elástica 2

21 xkE

hgmE

PE

PG

Δ=Δ

Δ=Δ

)()( propiasFzasWExtFzasWEP −==Δ

∫ ∫−== ldFldFW ext

rrrr.. int

Δhmg

-mgSi cae (acción espontánea que no requiere interven-ción externa) el sistema (masa-Tierra) pierde energía potencial. Si sube (solo posible por acción de un agente externo) el sistema gana energía potencial

Como medir EP?. Solo por el trabajo realizado para crear la situación concreta sin el agrado de ningún otro tipo de energía (EC), o sea con F= - F(propia) y en pasos infinitesimales para no acelerar

Energía electrostática de un sistema de dos cargasq(+) q1 ∫∫

∞∞

−==Δrr

extFext rdEqrdFW rrrr.. 1

EP

r

q1 +Fext

q1 - Fext

∫∞

−=Δr

Fext rdrqqW 21

041επ

rqqEW PFext

14 0

1

επ=Δ=Δ

++ o -- : (fuerzas repulsivas) la energía potencial aumenta cuando acerco las cargas (solo posible por acción de un agente exterior)

+ - : (fuerzas atractivas) la energía potencial disminuye cuando acer-co las cargas (espontáneo)

Si cargas van de r1 a r2

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−==Δ ∫

120

12

0

1 1144

2

1 rrqq

rdrqqE

r

rP επεπ

ΔE>0 si ++ o -- y acerco o si +- y alejo y <0 si ...

Fuerza de Coulomb es conservativa, o sea el W necesario para mover una carga entre dos puntos es independiente del camino recorrido (Idem fuerzas gravitatorias)

drrqqldr

rqqldFdW C 2

1

02

1

0 41.

41.

επεπ===

r(rr

Caso gravitatorio sin fr haααsenagmhgmW ==Δ

q q1

r

dl

ldrrdr(r .=

r(

Ejemplo: v necesaria para acercar a un núcleo de Tritio y otro de Deuterio a distancia de 10-15 m para producir fusión

En sistema CM

pn n

T

VT

pn

D

VD

D

TTDDDTT M

VMVVMVM =⇒=− 0

dqqVMVM DT

DDTT0

22

41

21

21

επ=+

Kgm

MMmm

Cqq

e

DTpe

DT

31

19

101,923

2000

106,1

−

−

=

=≈≈

==

smVsmV

D

T

/105,6/103,4

6

6

=

=

En un gas velocidad es proporcional al cuadrado de la temperatura; las

velocidades anteriores equivalen a temperaturas del orden de 107-108 °K

Energía electrostática de un sistema de cargasq1

q2

q3

00 =Δ⇒=Δ PEW

r1-2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=Δ

−−− 320

32

310

31

210

21 14

14

14 r

qqr

qqr

qqEP επεπεπ

r1-3

r2-3

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=Δ

−210

21 14 r

qqEP επ

EP de un sistema de cargas puntuales ∑≠ −

=Δji ji

jiP r

qqE

041επ

Energía electrostática de cargas distribuidas

∫∫∫ −=⇒=

'sen'

441 2

0

11

0 rRdddrrqE

rdVqdE PP rr

ϕθθεπρρ

επ

EP igual al de Q en origen rqqEP

0

1

4 επ=

Rr

r´

q1

ρ

Para traer q1 aislada desde ∞

Para traer ahora q2

Y para traer q3

Potencial eléctrico F=>E=F/qEP =>V=EP/q

Diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos: cambio de la energía potencial cuando una carga de prueba se mueve entre esos dos puntos dividido el valor de la carga

( )∫∫−

===Δ

=Δ −−

b

a

b

a

extabPba q

ldEqldq

Fq

WqEV

rrr

r.. ∫−=−=Δ −

b

aabba ldEVVV

rr.

EV1 V2

V1 > V2 E apunta en la dirección en que V decrece

A B

[V]=J/C=Volt (V)

De A a B el potencial decrece de B a A el potencial aumenta

E

Carga puntualr

qq

EVVV P

00

)2(22 4 επ

=Δ

=−= −∞∞

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=−=Δ −

1201221

114 rr

qVVVεπ

0000

12

21

12

21

<Δ→>Δ→⇒−>Δ→<Δ→⇒+

VrrVrrqVrrVrrqa

b

0=−=Δ − abba VVV

Superficies equipotencialesSistema de cargas puntuales q1

q2

q3

r1

r2

r3

∑=−= ∞i i

i

rqVVV

041επ

r2

V2

r1

V1

q

r

Potencial de una linea infinita con carga λ C/m

r

Idem pared infinita con carga σ C/m2

∫−=−=Δ2

1

.12

r

r

rdEVVV rrr

rE (r

02 επλ

=

1

2

012 ln

2 rrV

επλ

=Δ − ?0 dondeV =

)(10 arbitrariorenV ==

∫−=−=Δ2

1

.12

r

r

rdEVVV rr

02 εσ

=Er

)(2 12

012 rrV −−=Δ − ε

σ?0 dondeV =

)(10 arbitrariorenV ==

r

equipotenciales

Potencial generado por esfera conductora

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=Δ>

1012

114

2rr

qVVVRrεπ

(Carga en superficie)

V

0)( =∞=rV

∫−=−=Δ2

1

.12

r

r

rdEVVV rr

RqRV

041)(επ

=

rqrV

041)(επ

=

04

12

0

=<

=>

ERr

rrqERr (r

επ

)(0 cteVVRr ==Δ<

r

R

Superficie equipotencial

Potencial de esfera cargada uniformemente en V

r

R∫−=−=Δ2

1

.12

r

r

rdEVVV rr rrqERr (r

204

1επ

=>

03ερ rERr =<

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=Δ>

1012

114

2rr

qVVVRrεπ 0)( =∞=rV

RqRV

041)(επ

=

rqrV

041)(επ

=

∫∫ <−>−=<∞

r

R

R

rdRrErdRrErVRr rrrr).().()(

)(64

1)( 22

00

RrRqrV −−=

ερ

επ

ρπ 3

34 Rq =

)(RVRr ⇒=

)]1(211[

4)(

2

2

0

−−=Rr

RqrVεπ 2

)(30 RVVr =⇒=

V

Potencial generado por una carga rodeado de una cáscara conductora

∫−=−=Δ2

1

.12

r

r

rdEVVV rrr

rqEbr (r2

041επ

=>

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=Δ>

1012

114

2rr

qVVVbrεπ

0)( =∞=rV rqrV

041)(επ

=

∫∫∫ −−−=<∞

r

a

a

b

b

ldEldEldEVbrrrrrrr

...

+q ab

-q+q

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

arq

bqV 11

441

00 επεπ

V

Influencia de V externa sobre la distribución de cargas en conductores

+q’ ab

-q’+q

V

V impone q’ en esfera interior, totalmente o modificando una

carga existente, y por inducción se generan –q’ y +q’ en la cáscara de

acuerdo a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

arq

bqV

i

114

''4

1

00 επεπ

ri: radio esfera interior

V impone q’ en esfera interior de forma que

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

arqV

i

114

'

0επ

En cáscara conductora E= 0 por lo que en r= a la carga debe ser –q’. En

r= b la carga depende de la carga original en la cáscara

V+q’ a

b

-q’+q’

Relación entre E y VrdEdVrdEV

r

r

rrrr..

2

1

−=−=Δ ∫

0

.ερ

=∇ Er

0

2

ερ

−=∇ V Ec.Poisson

kzVj

yVi

xVV

(((

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

cartesianas

2

2

2

2

2

22

zV

yV

xVV

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

02 =∇ V Ec.LaplaceSi ρ=0

VE −∇=r

r

V

ΔV

Δr

drdV

E: campo electrostático generado por cargas. Es un campo derivado de fuerzas conservativas (~1/r2), que son aquellas de las cuales

pueden derivarse potenciales queson solo función de los estados

iniciales y finales

Ejemplo Pared ∞

Dentro pared Ec. Poisson y fuera Ec. Laplace

02

0

2 =∇−=∇ VVερ

0

.ερ

=∇ Er

cxbVxVaE

xEDx +=⇒=

∂∂

=⇒=∂∂

> 002 2

2

fxexVxV

dxExEDxD

++−=⇒−=∂∂

+=⇒=∂∂

<<−

2

002

2

00

2

22

ερ

ερ

ερ

ερ

ixhVxVgE

xEDx +=⇒=

∂∂

=⇒=∂∂

−< 002 2

2

Condiciones de borde para E

02)

2(00)0(

ερ DDEdE =⇒=⇒=

⇒=−−= )2

()2

()2

( DEDEDE inexex

xEin0ερ

=

02 ερ DEex ±=

ρ

D

00)0( =⇒= fV

ixhVDx

fxexVDxD

cxbVDx

+=−<

++−=<<−

+=>

2

222

22

0ερ

0242242

)2

()2

(

2

0

2

0

=⇒

+−=−−

⇒=−

e

DeDDeD

DVDV inin

ερ

ερ

2

02xVin ε

ρ−=

0

2

0

2

0 82242 ερ

ερ

ερ DccDDD

=⇒+−=−

0

2

0 82 ερ

ερ DxDVex += m

dxdVDEex −=±=

02ερ

ixDDxV

cxDDxV

+=<

+−=>

0

0

2)

2(

2)

2(

ερ

ερ

)2

()2

(intDVDV ext ±=± i=

E

V

Conductor en campo eléctrico

+

+

+

-

--

+

+

+

--

----

+++

En conductor cargas en superficie, sino repeliéndose y en movimiento

Superficie de un conductor nece-sariamente debe ser equipotencialsino las cargas se estarían mo-viendo

00 εσ

εσ

=⇒= ESSE

SE ⊥

Superficie interior es un equipotencial

Si dentro E ≠ 0

∫−=−B

AAB rdEVV rv

.

Si A-B se toma de forma que camino paralelo a E

BA VVrdE >⇒> 0. rr

contradiciendo hipótesisDentro de los conductores, sean macizos o huecos, E es nulo, independientemente de las car-gas externas y su distribución

Apantallamiento

Lugar más seguro?

A

Bmetal

Influencia de la forma del conductor

R1q’1σ’1

R2q’2 σ’2

Al conectar los 2 cuerpos todos los conductores

forman un equipotencial

20

2

22

10

2

11

44

44

RR

RR

επσπ

επσπ

=1

2

2

1

RR

=σσ

En los conductores las cargas se concentran en las zonas de menor radio de curvatura => pararrayos

20

2

10

121 44 R

qR

qVVεπεπ

=⇒=R1q1 σ1

R2q2 σ2

Capacitores

∫ =−=Δ0

0 εσ drdEV rr

0εσ dV =Δ

-q+q

E0

d

00 ε

σ=E

VqCΔ

=dSC 0ε=capacidad Capacitor

plano

00

1122ελ

εσππ llrlrE ==

r1r2

rr

rE

0

11

02 εσ

επλ

==

1

2

0

11

1

2

0

lnln2

.rrr

rrrdEV ∫ ==−=Δ

εσ

επλrr

1

2

0

1

2

0

ln

2

ln

2

rrl

rr

lC επεπ==[ ] )(FFaraday

VcC == Capacitor

cilíndrico

C depende solo de parámetros geométricos

Aproximación capacitor infinito

00 ε

σ SSE =

Significado de la capacidad dqCqdqVdEP ==

∫=q

P dqqC

E0

1

VqVCC

qEP 21

21

22

2

===

C mide la capacidad de almacenar energía de un

capacitor

Faraday: unidad muy grande

28

0

101,1 mdCS ==ε

C en μF (10-6) a pF (10-12)

FCymmd 11 ==en condensador plano si

q

V

c/dq que muevo entre placas requie-re otra energía pues V va variando

)( hgmnEP =distinto a

Energía del campo eléctrico

Sd

dEdS

Sd

VC

VolEu P

2202

212

1

.

ε

===

202

1 EuP ε=Densidad de energía potencial en vacío

Donde hay E hay energíaVacío absoluto? 2cmEnergía =

Deducida para condensador plano pero vale en general

Ej. Capacitor cilíndrico

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1

222

12

00

r

rP drrl

rE π

επλε

1

2

0

2

ln4 r

rlEP επλ

=

202

1 EdVoldEP ε= 2

21 VCEP =

2

1

2

0

1

2

0 ln2ln

221

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

rr

rr

lEP επλεπ

1

2

0

2

ln4 r

rlEP επλ

=

Energía por unidad de volumen

Energía de una esfera cargada en volumen: complejo!

202

1 EdVoldEu P ε==

∫ ∫ ∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∞π π

επερϕθθε

0

2

0 0

2

2

20

2

2

00 43

sen21 R

RP drr

rqdrrrddE

( ) ∫∫∞

−+=R

R

P drrqdrrE 22

0

2

00

4

0

2

44

2122

18 εππεπ

ερ

Rq

RqREP

0

2

0

2

0

52

406

85.184

επεπερπ

=+=

∫= dVolEEP2

021 ε en todo el espacio

00

3

2

334

4ε

ρε

πρπ rE

rrE =⇒=Por Gauss, para r<R

E para r>R

ϕθθ ddrdsenrdV 2=

Conexión de capacitores

serie C1 C2

V1 V2

-q

V

+q -q+qisla

Cq

Cq

CqVVV =+=+=

2121

∑=iCC

11

paralelo

C2

C1

V

q1q2

C

q

)( 2121 CCVqqVCq +=+==

∑= iCC

Carga neta =0 si condensadoresinicialmente descargados

Capacitor originalmente cargado

cuando se conectan, la carga q0 se redis-tribuye en ambos condensadores

021 qqq =+q0

C2

C1

1

00 C

qV =

1

2

0000 2

121

CqVqEP ==

y conjunto equivale a tener un //: C=C1+C2

21

0

CCqV+

= VCqVCq 2211 ==

021

2

0021 2

121

21

21

PP ECC

qVqVqVqE <+

==+=

Una parte de la energía se disipa en los conductores cuando las cargas se distribuyen y otra se emite como radiación electromagnética

Dipolo eléctrico

Moléculas polares

Agua H2O OHH +

-

Amoníaco NH3

N

H

+

-

Moléculas no polares se polarizan en presencia de E

+- --

-+-

E

E

F=q E

α

+q

-q

2a αατ sen2sen2 aEqaF ==

definimos +−= aaqp 2r

p

dipolo tiende a rotar alineándose con E Eprr ×=τ

αdads =

dsdα

αα sen. daEqsdFdWdEP === rr

ds

)cos(cossen2 12

2

1

ααααα

α

−−==Δ ∫ EpdEaqEP

Si EP=0 cuando α = 90° αcosEpEP −=

I +

+

–

+ I

EP min

EP=0

EP max

E

EpEP

vr .−=

Dipolo en E

p: momento dipolar

+-+-+-

+q -q

E0

Dieléctricos

E

'0 EEE −=

00

)'(.εε

qqqsdE enc −==∫∫

rr

00

')'(εσσ

εσσ −

=⇒−

= ESSE

PDSirr

== 'σσ PEDrrr

+= 0ε

EPEPrr

χε 0=⇒∝ ( ) EEDrrr

εεχ =+= 01

D: Desplazamiento P: Polarización

χ : susceptibilidad, ε : permitividad en medio

rεεεχ =Κ==+

0

)1( constante dieléctrica

EDEP

rr

rr

ε

χε

=

= 0

( ) ( ) EKEEEEPE χεεεεσεσ

000000

1'''' =−=−===⇒=

E’

-q’ +q’

En sup. dieléctricocarga de polarización

qqqqSSPSE =+⇒−=== )11('''0

00 χχ

σεχε

ε

)11(')1('K

qqqq −=⇒=+ χχqqK

qK=⇒∞=∞=

=⇒==')(0')0(1

χχ

Ley de Gauss en dieléctricos∫∫ −= '.0 qqSdE

rrε

∫∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−= )11(1.0 K

qSdD rr

εε ∫∫ = qSdD

rr.

∫∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−= )11(1.

00 K

qSdP r

χεε

Kq

Kqq χ

=−= )11(' ∫∫ = '. qSdPrr

0CKC =

E

P

D D D

E0E0

+q -q

odieléctricconEDodieléctricsinED

εε

== 00

KVV

KEE

EE 00001 =⇒=⇒=

εε

KV

qVqC

0

==

La introducción de un dieléctrico en un condensador multiplica la capacidad por K

dS

dSKC εε == 0

ValoresMaterial K Campo

Ruptura V/m

Aire 3 106

Pilicarbonato 2,8 3 107

Poliéster 3,3 6 107

Vidrio pirex 4,7 1 107

P o li

Al introducir dieléctrico V cte en bornes de C

Hasta ahora C aislado (q cte); que pasa si conectado a V?

C

ε

KCCC 00 =→

Cargas de polarización en dieléctrico tienden a reducir el campo pero como este está fijado por ε, la batería termi-na reforzando las cargas en C

KCCKqq 00 =⇒→

Capacitor aislado Capacitor conectado a V2

000 21 VCEP =

KVVVKCCC 0

000 =→=→

KE

KVKCVCE P

P0

2

2

00

2

21

21

===

Introduciendo un dieléctrico

000 VVKCCC ==→

0

2

002

21

21

PP EKVKCVCE ===

Introduciendo un dieléctrico

ε2ε1

E1E2

Condiciones de borde en límite entre dieléctricos

h

∫ =0. ldErr

∫∫ =−⇒→ 0..0 21 ldEldEhrrrr

21 tt EE = siempre

∫∫ == 0. qSdDrr si no hay q en

superficie de separación

ε2

ε1

E2

E1

h

∫∫∫∫ =−⇒→ 0..0 21 SdDSdDhrrrr

21 NN DD =

Si no hay cargas libres en superficie

coaxil Cu

malla

ε1

ε2

Ejemplos DDD nn == 21

2022

1011 K

DDEK

DDEεεεε

====

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=+=+=

2

2

1

1

0221121 K

dKdDdEdEVVV

ε

K2K1

d2d1

K1

K2

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=+=

2

2

1

1

020

2

10

1 11Kd

Kd

SSKd

SKd

C εεε

2 condensadores en serie

SKd

KdD

qV

C σε

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

== 2

2

1

1

01

EEE tt == 21 EKDEKD 202101 εε ==σ1

σ2

dEV =

2 condensadores en paralelo⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠≠Δ=

Cq

V

0=→∞= Vr

Esfera cargada con q en volumen

Cáscara dieléctrica

aire Cáscara conductoraε

r2 r1r3r4

20

21 4;

rqErrrεπ

=<<

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

23240

11111114 rrrrrqV

εεπ

4043 4

;0;4

4 rqdrEdrEVErrr

r r

r επ∫ ∫∞

=−−==<<

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+==<<

3402

032

1114

;4

;rrr

qVr

qErrrεπεπ

( )22

102132400

1 61111111

4;

3; rr

rrrrrqVrErr −+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+==<

ερ

εεπερ

∫∞

=−==>r

rqdrEV

rqErr

02

04 44 επεπ

A t=0 q en exte-rior de cáscara

En interior de cáscara aparece -q1 y en exterior q+q1

Esfera conductora descargada

Cáscara dieléctrica

Cáscara conductora inicialmente con qε

r2 r1r3

Con V esfera interior se carga en sup.

V

101110

4)(4 11

rVqrrVr

qV ri

r επεπ

=⇒<==

20

132

1211 4

)(,0)(,4

)(,0)(r

qqrrEcascEr

qrrrErrEεπεπ+

=>==<<=<

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+=⇒−=−<< ∫

1

12

121

1144

;1

11 rr

qVVr

drqVVrrr rr

r

rrr επεπ

232 rVcteVrrr ==⇒<<

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−+=>

30

1

12

13

114

1141 rr

qqrr

qVVrr r επεπ