electrons in cylindrical quantum wires

8/14/2019 Electrons in Cylindrical Quantum Wires

1/3

3890-7803-7235-2/02/$10.00 2002IEEE

PROC. 23rd INTERNATIONAL CONFERENCE ON MICROELECTRONICS (MIEL 2002), VOL 1, NI, YUGOSLAVIA, 12-15 MAY, 2002

E l e c t r o n s i n C y l i n d r i c a l Q u a n t u m W i r e s

S . M . S t o j k o v i c , B . S . T o s i c , J . P .

S e t r a j c i c a n d D . P o p o v

A b s t r a c t | T h e c y l i n d r i c a l q u a n t u m w i r e s a r e a n a l y z e d i n t h i s

p a p e r . T r a n s l a t i o n a l s y m m e t r y h o l d s a l o n g x - a x i s . T h e n u m -

b e r o f a t o m s i n c i r c u l a r d i s c s i s s e v e r a l o n e s . F o r e x a m p l e , t h e

S c o t ' s m o d e l o f - h e l i x c o n t a i n s t h r e e m o l e c u l e s i n d i s c s . T h e

c y l i n d r i c a l q u a n t u m w i r e s w i t h t h r e e a n d f o u r a t o m s a r e i n v e s -

t i g a t e d . E n e r g i e s o f e l e c t r o n s a s w e l l a s c u r r e n t s a r e f o u n d . I t

i s i n t e r e s t i n g t h a t i n b o t h c a s e s e l e c t r o n e n e r g y s p e c t r u m i s d e -

g e n e r a t e d . I n t h e c a s e o f f o u r a t o m s a l l c u r r e n t s a r e e q u a l , w h i l e

i n t h e c a s e o f t h r e e a t o m s t h e c u r r e n t o f n o n - d e g e n e r a t e d e n e r g y

l e v e l i s t w o t i m e s h i g h e r t h a n o t h e r s . C o n s e q u e n t l y , t h e w i r e w i t h

t h r e e a t o m s i n d i s c s w o r k s a s m o d u l a t o r o f e l e c t r i c i m p u l s e s .

I . I n t r o d u c t i o n

T h e r e h a s b e e n a g r e a t d e a l o f r e c e n t i n t e r e s t i n u l t r a -

n a r r o w c o n n e d s e m i c o n d u c t o r s y s t e m s , c a l l e d q u a n -

t u m w i r e s , w h e r e t h e m o t i o n o f e l e c t r o n s i s e s s e n t i a l l y

r e s t r i c t e d t o b e o n e - d i m e n s i o n a l 1 - 2 ] . T h e q u a n t u m

s i z e e e c t s b e c o m e s i g n i c a n t i n t h e s e s t r u c t u r e s , w h i c h

i m p l i e s e s s e n t i a l l y d i e r e n t p h y s i c a l p r o p e r t i e s i n c o m -

p a r i s o n t o b u l k o n e s . T h e c o n s i d e r a b l e i n t e r e s t i n s u b -

m i c r o n e l e c t r o n i c s t r u c t u r e s h a s b e e n m o t i v a t e d b y e x -

p e c t a t i o n o f p o t e n t i a l a p p l i c a t i o n s i n s o l i d - s t a t e d e -

v i c e s , s u c h a s h i g h - s p e e d t r a n s i s t o r s , e c i e n t p h o t o -

d e t e c t o r s a n d l a s e r s 3 ] .

O u r p r e v i o u s i n v e s t i g a t i o n s o f q u a n t u m w i r e m o d e l s ,

b a s e d o n G r e e n ' s f u n c t i o n m e t h o d , h a v e s h o w n i n u -

e n c e o f w i r e b o u n d a r i e s , a s w e l l a s d i e r e n t b o u n d a r y

c o n d i t i o n s t o t h e p h y s i c a l p r o p e r t i e s o f q u a n t u m w i r e s

4 - 5 ] . I n v a r i a n c e t o t h e t h i s p r e v i o u s m o d e l , w i t h r e c t -

a n g u l a r c r o s s s e c t i o n , i n t h i s p a p e r c y l i n d r i c a l q u a n t u m

w i r e i s a n a l y z e d . T h i s m o d e l h a s b e e n p r o v e n a s f r u i t -

f u l p l a t f o r m f o r s t u d y i n g a l a r g e v a r i e t y o f t r a n s p o r t

a n d p h y s i c a l p h e n o m e n a . T h e i n t e r e s t i s m a i n l y f o -

c u s e d o n t h e p h e n o m e n o n c a l l e d p e r i o d i c c o n d u c t a n c e

o s c i l l a t i o n s ( t h e d e v i c e e x h i b i t i n g t h o s e o s c i l l a t i o n s a r e

r e f e r r e d t o a s s i n g l e - e l e c t r o n t r a n s i s t o r s ) 6 ] .

I I . E l e c t r o n P r o p e r t i e s o f Q u a n t u m W i r e s

W e c o n s i d e r q u a n t u m w i r e w h e r e t r a n s l a t i o n a l s y m -

m e t r y h o l d i n g a l o n g x - a x i s . T h e n u m b e r o f a t o m s i n

c i r c u l a r d i s c s i s s e v e r a l o n e s . F o r e x a m p l e , t h e S c o t ' s

m o d e l 7 ] o f - h e l i x c o n t a i n s t h r e e m o l e c u l e s i n d i s c s .

W e s t a r t o u r a n a l y s i s f r o m e l e c t r o n H a m i l t o n i a n o f s i m -

S . M . S t o j k o v i c , B . S . T o s i c a n d J . P .

S e t r a j c i c a r e w i t h I n s t i -

t u t e o f P h y s i c s , F a c u l t y o f S c i e n c e s , U n i v e r s i t y o f N o v i S a d

T r g D . O b r a d o v i c a 4 , 2 1 0 0 0 N o v i S a d , Y u g o s l a v i a , E - m a i l :

b o r a @ i m . n s . a c . y u

D . P o p o v i s w i t h U n i v e r s i t a t e a " P o l i t e h n i c a T i m i s o a r a " , C a t e -

d r a d e F i z i c a , T i m i s o a r a , R o m a n i a

S . M . S t o j k o v i c i s w i t h F r i t z - H a b e r I n s t i t u t d e r M a x - P l a n c k

G e s e l l s c h a f t , B e r l i n , G e r m a n y ,

E - m a i l : s t o j k o v @ f h i - b e r l i n . m p g . d e

p l i e d H u b b a r d m o d e l 4 , 5 , 8 ] i n n e a r e s t n e i g h b o r a p -

p r o x i m a t i o n :

H =

X

a b

a

a

+

a b

a

a b

X

a b a

0

b

0

W

a b a

0

b

0

a

+

a b

a

a

0

b

0

( 1 )

w h e r e

a 2 1 N ] W

1 b 2 b

0

= W

N b 1 b

0

N

B

2

b

N

B

2

N

b

1 0

8

:

T h e v a r i a b l e r e p r e s e n t s t h e e n e r g y o f e l e c t r o n l o c a l -

i z e d o n t h e l a t t i c e s i t e , w h i l e v a l u e s W a r e e l e c t r o n i c

h o p p i n g t e r m s f o r a n i d e a l c r y s t a l . O p e r a t o r s a

+

a n d a

a r e F e r m i o p e r a t o r s o f e l e c t r o n c r e a t i o n a n d a n n i h i l a -

t i o n . N i s n u m b e r o f a t o m s i n e a c h o f d i s c s , w h i l e N

B

i s n u m b e r o f d i s c s .

A n a l y s i s w i l l b e b a s e d o n t h e s i n g l e p a r t i c l e w a v e -

f u n c t i o n :

=

X

m n

A

m n

a

+

m n

j 0 i

X

m n

j A

m n

j

2

= 1 ( 2 )

w h e r e j 0 i i s t h e g r o u n d s t a t e o f t h e e l e c t r o n s y s t e m . I n

o r d e r t o d e t e r m i n e t h e c o e c i e n t s A w e s h a l l u s e t h e

s t a n d a r d H e i s e n b e r g ' s e q u a t i o n o f m o t i o n 8 ] :

i h _a

c d

= a

c d

H ] a

c d

( t ) = a

c d

( 0 ) e

i ! t

( 3 )

a n d a l s o f a c t t h a t :

i h _a

c d

= E a

c d

E = h ! : ( 4 )

I t l e a d s t o :

f E a

c d

a

c d

H ] g j i = 0 : ( 5 )

S u b s t i t u t i n g H a m i l t o n i a n ( 1 ) a n d a p p l y i n g s t a n d a r d

p r o c e d u r e o f c a l c u l a t i o n w e g e t :

( E

c

) a

c d

+

X

a b

W

c d a b

a

a b

= 0 ( 6 )

w h i c h i n n e a r e s t - n e i g h b o r a p p r o x i m a t i o n b e c o m e s :

( E

c

) A

c d

+

X

a

U

c a

( A

a d + 1

+ A

a d 1

) = 0 ( 7 )

w h e r e U

c a

= W

c d a d + 1

= W

c d a d 1

. S i n c e a l o n g d -

d i r e c t i o n t r a n s l a t i o n a l i n v a r i a n c e i s h o l d , w e s h a l l u s e

t r a n s f o r m a t i o n :

A

c d

=

c

e

i d a

0

k

( 8 )


2/3

390

w h e r e a

0

i s l a t t i c e c o n s t a n t i n d i r e c t i o n d . S u b s t i t u t i n g

( 8 ) i n t o ( 7 ) w e o b t a i n :

( E

c

)

c

+

X

a

U

c a

( k )

a

= 0 ( 9 )

w h e r e U

c a

( k ) = 2 U

c a

c o s a

0

k .

T h e e q u a t i o n ( 9 ) w i l l b e w r i t t e n i n n e a r e s t - n e i g h b o r s

a p p r o x i m a t i o n , t a k i n g i n t o a c c o u n t t h a t i n d e x a d e -

n o t e s p a r t i c l e s l o c a t e d o n d i s c ' s e d g e :

U

( k )

c a

= U ( k ) j c a j = a

0

: ( 1 0 )

E l e c t r o n e n e r g i e s o f q u a n t u m w i r e c a n b e f o u n d b y

s o l v i n g t h e s e c u l a r e q u a t i o n ( 9 ) ( s y s t e m o f e q u a t i o n s ) .

T h i s l e a d s t o c a l c u l a t i o n o f r o o t s o f d e t e r m i n a n t :

D =

%

k

1 0 0 0 0 1

1 %

k

0 0 0 0 0

0 1 %

k

1 0 0 0

.

.

.

0 0 0 0 1 %

k

1

1 0 0 0 0 1 %

k

= 0

( 1 1 )

w h e r e :

%

S

k

=

E

S

S

U ( k )

U ( k ) = 2 W c o s a

0

k : ( 1 2 )

O n t h e b a s i s o f t h e s e r e s u l t s i t i s p o s s i b l e t o n d e l e c -

t r i c a l c u r r e n t o f q u a n t u m w i r e f r o m f o l l o w i n g e x p r e s s i o n

9 ] :

j =

h e

2 m

e

i

(

r r

) : ( 1 3 )

I n t h i s w o r k e n e r g i e s o f e l e c t r o n s a s w e l l a s c u r r e n t s

o f t h e q u a n t u m w i r e s w i t h t h r e e a n d f o u r a t o m s i n d i s c s

a r e f o u n d .

A . Q u a n t u m W i r e W i t h T h r e e A t o m s

I n t h i s p a r t q u a n t u m w i r e w i t h t h r e e a t o m s i n e a c h

o f d i s c s i s c o n s i d e r e d . I t i s a s s u m e d t h a t a t o m s a r e

d i s t r i b u t e d o n t h e w a y f o r m i n g t r i a n g l e o f e q u a l s i d e s .

E l e c t r o n d i s p e r s i o n l a w c a n b e f o u n d f r o m d e t e r m i n a n t

( 1 1 ) w h i c h , i n t h i s c a s e , i s o f 3 x 3 o r d e r . E n e r g i e s o f

e l e c t r o n s i n q u a n t u m w i r e w i t h t r e e a t o m s a r e :

E

1

= E

2

= + 2 W c o s a

0

k

E

3

= 4 W c o s a

0

k : ( 1 4 )

E l e c t r o n e n e r g y s p e c t r u m i s d e g e n e r a t e d .

E l e c t r i c a l c u r r e n t o f e a c h e n e r g y l e v e l i s f o u n d f r o m

e x p r e s s i o n ( 1 3 ) :

E

1

: j

1 1

=

1

4

j

1 2

= j

1 3

=

h e k

6 m N

d

E

2

:

1

4

j

1 1

= j

1 2

= j

1 3

=

h e k

6 m N

d

( 1 5 )

E

3

: j

1 1

= j

1 2

= j

1 3

=

h e k

3 m N

d

a n d t o t a l c u r r e n t i s

j = 3

h e k

m N

d

: ( 1 6 )

I n t h e c a s e o f w e e k l y c o u p l e d e l e c t r o n s ( d e g e n e r a t e d

e l e c t r o n g a s ) w h e n = 6 W , e l e c t r o n e n e r g y s p e c t r a

i s s h o w n o n F i g u r e 1 , w h e r e r e d u c e d e l e c t r o n e n e r g i e s

E =

E

W

a r e s h o w n .

F i g . 1 . E l e c t r o n e n e r g y s p e c t r a o f q u a n t u m w i r e w i t h t h r e e

a t o m s

C u r r e n t o f d e g e n e r a t e d e n e r g y l e v e l h a s a d i e r e n t

c o m p o n e n t s , w h i l e i n t h e c u r r e n t o f n o n - d e g e n e r a t e d

l e v e l a l l c o m p o n e n t s a r e s a m e . O n t h e o t h e r h a n d , c u r -

r e n t s o f n o n - d e g e n e r a t e d l e v e l a r e t w o t i m e s h i g h e r o r

l o w e r t h a n c u r r e n t s o f d e g e n e r a t e d e n e r g y l e v e l .

B . Q u a n t u m W i r e W i t h F o u r A t o m s

I n t h i s c a s e i s a l s o a s s u m e d t h a t a t o m s a r e d i s t r i b u t e d

a t e q u a l d i s t a n c e s , s o t h e y f o r m s q u a r e . D e t e r m i n a n t

( 1 1 ) i s o f 4 x 4 o r d e r a n d i t s s o l u t i o n g i v e s u s e l e c t r o n

e n e r g i e s :

E

1

= E

2

=

E

3

= + 4 W c o s a

0

( 1 7 )

E

4

= 4 W c o s a

0

k : ( 1 8 )

E l e c t r o n s p e c t r u m i s a l s o d e g e n e r a t e d a s i n c a s e o f w i r e

w i t h t h r e e a t o m s . I t c a n b e s e e n t h a t d e g e n e r a t e d e n -

e r g y l e v e l l i e s i n t h e m i d d l e b e t w e e n o t h e r t w o e n e r g y

l e v e l s .

E l e c t r o n e n e r g y s p e c t r u m i n t h e c a s e o f w e e k l y c o u -

p l e d e l e c t r o n s i s s h o w n o n F i g u r e 2 .

E l e c t r i c a l c u r r e n t i s f o u n d f r o m e x p r e s s i o n ( 1 3 ) a n d

i t i s s h o w n t h a t a l l c u r r e n t ' s c o m p o n e n t s a r e s a m e a n d


3/3

391

F i g . 2 . E l e c t r o n e n e r g y s p e c t r a o f q u a n t u m w i r e w i t h f o u r a t o m s

e q u a l t o :

j

i k

=

h e k

4 m N

d

i k = 1 2 3 4 : ( 1 9 )

T o t a l c u r r e n t i s t h a n :

j = 4

h e k

m N

d

: ( 2 0 )

O n t h e b a s i s o f t h e s e t w o a n a l y z e d c a s e s o n e c a n s e e

t h a t e n e r g y s p e c t r u m o f q u a n t u m w i r e i s d e g e n e r a t e d

a n d t h a t n u m b e r o f l e v e l s w i t h d i e r e n t e n e r g i e s i s i n

b o t h c a s e s N 1 , w h e r e N i s n u m b e r o f a t o m s i n d i s c .

F u r t h e r m o r e , f r o m e x p r e s s i o n s ( 1 6 ) a n d ( 1 9 ) w e c a n

c o m e t o c o n c l u s i o n t h a t t o t a l e l e c t r i c a l c u r r e n t i s a l -

w a y s :

j = N

h e k

m N

d

: ( 2 1 )

A c c o r d i n g t o L a n d a u e r - B u t t i k e r f o r m u l a 1 0 , 1 1 ]

( w h i c h t r e a t s e l e c t r o n s i n m e s o s c o p i c q u a s i - o n e -

d i m e n s i o n a l s y s t e m s a s n o n - i n t e r a c t i n g e n t i t i e s ) t h e

c o n d u c t a n c e o f n a r r o w b a l l i s t i c c h a n n e l s ( p u r e m e t a l s )

i s a s t a i r c a s e l i k e f u n c t i o n o f t h e F e r m i e n e r g y , w i t h

s t e p s a p p r o x i m a t e l y 2 e

2

= h h e i g h t .

O u r r e s u l t s f o r c u r r e n t a r e i n a g r e e m e n t w i t h t h i s

f a c t ( o u r q u a n t u m w i r e i s o f i n n i t e l e n g t h a n d w i t h o u t

d i s o r d e r s ) . A c t u a l l y , w e c a n s a y t h a t c u r r e n t i n i n n i t e

q u a n t u m w i r e w i t h o u t a n y d i s o r d e r s i s i n t e g e r m u l t i p l e

o f c u r r e n t q u a n t : h e k = m N

d

.

H o w e v e r , r e a l q u a n t u m w i r e h a s d i e r e n t k i n d o f d i s -

o r d e r s , i m p u r i t i e s a n d r o u g h n e s s w h i c h c a n e a s i l y d e -

s t r o y c o n d u c t a n c e q u a n t i z a t i o n . I n t h e l a s t f e w y e a r s

t h i s p r o b l e m h a s d r a w n c o n s i d e r a b l e i n t e r e s t o f t h e o r i s t

6 , 1 2 , 1 3 ] .

I I I . C o n c l u s i o n

I n t h i s p a p e r e l e c t r o n e n e r g y s p e c t r u m a n d e l e c t r i c a l

c u r r e n t o f c y l i n d r i c a l q u a n t u m w i r e w a s i n v e s t i g a t e d .

P a r t i c u l a r l y a t t e n t i o n w a s p a i d t o t h e w i r e w i t h t h r e e

a n d f o u r a t o m s i n d i s c s .

I t i s i n t e r e s t i n g t h a t i n t h e b o t h c a s e s e l e c t r o n e n e r g y

s p e c t r u m i s d e g e n e r a t e d . I n t h e c a s e o f f o u r a t o m s a l l

c u r r e n t s a r e e q u a l , w h i l e i n t h e c a s e o f t h r e e a t o m s t h e

c u r r e n t o f n o n - d e g e n e r a t e d e n e r g y l e v e l s i s t w o t i m e s

h i g h e r o r l o w e r t h a n o t h e r s . C o n s e q u e n t l y , t h e w i r e

w i t h t h r e e a t o m s i n d i s c s w o r k s a s m o d u l a t o r o f e l e c t r i c

i m p u l s e s w h a t c o u l d h a v e w i d e p r a c t i c a l i n t e r e s t .

T h e d e s c r i b e d m o d e l a n d g i v e n m i c r o t h e o r e t i c a l a p -

p r o a c h o p e n a p o s s i b i l i t y t o s t u d y p r e s e n c e o f d i e r e n t

k i n d o f d i s o r d e r s a s w e l l a s w i r e o f n i t e l e n g t h . T h i s

c o r r e s p o n d s t o m o r e r e a l i s t i c c a s e w h e n p e r i o d i c c o n -

d u c t a n c e o s c i l l a t i o n s , c h a r a c t e r i s t i c f o r s i n g l e e l e c t r o n

t r a n s i s t o r , c a n a p p e a r . T h e m o d e l p r e s e n t e d h e r e i s

s u i t a b l e t o s e r v e a s a b a s i s o f s u c h r e s e a r c h . T h e s e

p r o b l e m s w i l l b e o b j e c t o f o u r f u r t h e r i n v e s t i g a t i o n s .

R e f e r e n c e s

1 ] J . S i n g h , P h y s i c s o f S e m i c o n d u c t o r s a n d T h e i r H e t e r o s t r u c -

t u r e s , M c G r a w - H i l l , N e w Y o r k , 1 9 9 3 , p . 2 2 8 .

2 ] C . W . J . B e e n a k k e r , H . V a n H o u t e n , Q u a n t u m T r a n s p o r t i n

S e m i c o n d u c t o r N a n o s t r u c t u r e s , S o l i d S t a t e P h y s i c s v o l . 4 4 :

S e m i c o n d u c t o r H e t e r o s t r u c t u r e s a n d N a n o s t r u c t u r e s , A c a -

d e m i c , B o s t o n , 1 9 8 9 .

3 ] C . W e i s b u c h , B . W i n t e r , Q u a n t u m S e m i c o n d u c t o r S t r u c -

t u r e s , A c a d e m i c , S a n D i e g o , 1 9 9 1 ( C h a p t e r 6 ) .

4 ] D . L j . M i r j a n i c , J . P .

S e t r a j c i c , S . M . S t o j k o v i c , D .

S i j a c i c ,

I . D . V r a g o v i c , I E E E P r o c . 2 2 n d M I E L 1 ( 2 0 0 0 ) 1 7 3 .

5 ] S . M . S t o j k o v i c , D . L j . M i r j a n i c , J . P .

S e t r a j c i c , D . D .

S i j a c i c ,

I . K . J u n g e r , S u r f a c e S c i e n c e 4 7 7 ( 2 0 0 1 ) 2 3 5 .

6 ] K . N i k o l i c , A . M a c K i n n o n , C o n d u c t a n c e u c t u a t i o n s o f n a r -

r o w d i s o r d e r e d q u a n t u m w i r e s , h t t p : / / w w w . a r x i v . o r g / l i s t -

/ c o n d - m a t 9 4 0 5 0 5 5 .

7 ] B . T o s i c , L j . M a s k o v i c , M .

S k r i n j a r , D . K a p o r , G . K n e z e v i c ,

J . P h y s 3 ( 1 9 9 1 ) 7 6 1 9 .

8 ] W . J o n e s a n d N . H . M a r c h , T h e o r e t i c a l S o l i d S t a t e P h y s i c s ,

D o v e r , N e w Y o r k 1 9 8 5 .

9 ] A . S . D a v y d o v , T e o r i y a t v e r d o g o t e l a , N a u k a , M o s k v a 1 9 7 6 .

1 0 ] R . L a n d a u e r , P h i l o s . M a g . 2 1 ( 1 9 7 0 ) 8 6 3 .

1 1 ] M . B u t t i k e r , P h y s . R e v . L e t t . 5 7 ( 1 9 8 6 ) 1 7 6 1 .

1 2 ] J . C s e r t i , G . S z a l k a , G . V a t t a y , C o n d u c t a n c e i n a P e r i o d i c a l l y

D o p e d Q u a n t u m W i r e s , h t t p : / / w w w . a r x i v . o r g / l i s t / c o n d -

m a t 9 7 1 0 2 6 5 .

1 3 ] Y . - L . L u , C o n d u c t a n c e o f F i n i t e Q u a n t u m W i r e C o n n e c t e d

t o R e s e r v o i r s , h t t p : / / w w w . a r x i v . o r g / l i s t / c o n d - m a t 9 7 0 6 0 8 1

electrons in cylindrical quantum wires

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