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Electrodinámica de unsuperconductor
Jesus Alberto Cazares Montes
Centro de Investigacion y Estudios Avanzados – IPN
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 1
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Plan de exposición
Introducción
Modelo de LondonEcuaciones de LondonEcuaciones para los campos eléctrico ymagnéticoCampos eléctrico y magnético en unsuperconductorEfecto Meissner
Número de superelectrones
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 2
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Introducción
1933 Se descubre el efecto Meissner.
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 3
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Introducción
1933 Se descubre el efecto Meissner.
1934 Los hermanos Fritz y Heinz Londondesarrollan la electrodinámica para unsuperconductor con la idea de describir el efectoMeissner:
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 3
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Introducción
1933 Se descubre el efecto Meissner.
1934 Los hermanos Fritz y Heinz Londondesarrollan la electrodinámica para unsuperconductor con la idea de describir el efectoMeissner:
Hay que cambiar las leyes de la electrodinámica...
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 3
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Introducción
1933 Se descubre el efecto Meissner.
1934 Los hermanos Fritz y Heinz Londondesarrollan la electrodinámica para unsuperconductor con la idea de describir el efectoMeissner:
Hay que cambiar las leyes de la electrodinámica...
Las leyes de Maxwell son siempre válidas!
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 3
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Introducción
1933 Se descubre el efecto Meissner.
1934 Los hermanos Fritz y Heinz Londondesarrollan la electrodinámica para unsuperconductor con la idea de describir el efectoMeissner:
Hay que cambiar las leyes de la electrodinámica...
Las leyes de Maxwell son siempre válidas!
Hay que modificar la ley de Ohm.
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Modelo de London
Hay dos tipos de electronesn = nn + ns
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Modelo de London
Hay dos tipos de electronesn = nn + ns
Electrones "normales"nn
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 4
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Modelo de London
Hay dos tipos de electronesn = nn + ns
Electrones "normales"nn
Electrones "superconductores"ns
no contribuyen a la resistividad...
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Modelo de London
Hay dos tipos de electronesn = nn + ns
Electrones "normales"nn
Electrones "superconductores"ns
no contribuyen a la resistividad...
pueden acelerarse !!!!
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Ecuaciones de London
mvs = eE
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Ecuaciones de London
mvs = eE
y como J s = ensvs =⇒ vs =J s
ens
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Ecuaciones de London
mvs = eE
y como J s = ensvs =⇒ vs =J s
ensse tendrá entonces
E =∂
∂t
(
m
e2nsJ s
)
=∂
∂t(∆J s)
siendo∆ =m
e2ns.
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La ley de Faradaydice ∇ × E = −1
c
∂B
∂t
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La ley de Faradaydice ∇ × E = −1
c
∂B
∂t
así, usandoE =∂
∂t(∆J s) tendremos
∇ ×
(
∂
∂t(∆J s)
)
=∂
∂t(∇ × (∆J s)) = −
1
c
∂B
∂t
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 6
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La ley de Faradaydice ∇ × E = −1
c
∂B
∂t
así, usandoE =∂
∂t(∆J s) tendremos
∇ ×
(
∂
∂t(∆J s)
)
=∂
∂t(∇ × (∆J s)) = −
1
c
∂B
∂t
de donde
∇ × (∆J s) = −B
c
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Ecuaciones para los campos eléctricoy magnético
La densidad total de corriente esJ = J s + Jn dondeJn = σE , así las ecuaciones de London
E =∂
∂t(∆J s) −
B
c= ∇ × (∆J s)
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Ecuaciones para los campos eléctricoy magnético
La densidad total de corriente esJ = J s + Jn dondeJn = σE , así las ecuaciones de London
E =∂
∂t(∆J s) −
B
c= ∇ × (∆J s)
tomarán la forma
E =∂
∂t(∆J−∆Jn) ⇒
∂
∂t(∆J) = E+∆σ
∂E
∂t
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 7
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Ecuaciones para los campos eléctricoy magnético
La densidad total de corriente esJ = J s + Jn dondeJn = σE , así las ecuaciones de London
E =∂
∂t(∆J s) −
B
c= ∇ × (∆J s)
tomarán la forma
E =∂
∂t(∆J−∆Jn) ⇒
∂
∂t(∆J) = E+∆σ
∂E
∂t
∇ × (J − σE) = −B
c∆⇒ ∇ × J = −
B
c∆+ σ
∂B
∂t
donde se ha usado la ley de Faraday.Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 7
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De la ley de Ampère–Maxwell
∇ × B −1
c
∂E
∂t=
4π
cJ
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De la ley de Ampère–Maxwell
∇ × B −1
c
∂E
∂t=
4π
cJ
se tiene
∇ × (∇ × B) −1
c
∂
∂t∇ × E =
4π
c∇ × J
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 8
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De la ley de Ampère–Maxwell
∇ × B −1
c
∂E
∂t=
4π
cJ
se tiene
∇ × (∇ × B) −1
c
∂
∂t∇ × E =
4π
c∇ × J
o bien, usando la ley de Faraday
∇ × (∇ × B) = −1
c2
∂2B
∂t2+
4π
c∇ × J
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 8
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así obtenemos
∇ × (∇ × B) = −1
c2
∂2B
∂t2+
4π
c
(
−B
c∆+ σ
∂B
∂t
)
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 9
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así obtenemos
∇ × (∇ × B) = −1
c2
∂2B
∂t2+
4π
c
(
−B
c∆+ σ
∂B
∂t
)
es decir
c2∇ × (∇ × B) +
4π
∆B + 4πσ
∂B
∂t+
∂2B
∂t2= 0
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 9
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de forma similar, se puede obtener
c2∇ × (∇ × E) +
4π
∆E + 4πσ
∂E
∂t+
∂2E
∂t2= 0
c2∇ × (∇ × J) +
4π
∆J + 4πσ
∂J
∂t+
∂2J
∂t2= 0
4π
∆ρ + 4πσρ + ρ = 0
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La solución para una EDO de segundo orden se proponeρ ∼ e−γt, así, de la ecuación de segundo orden paraρtendremos
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La solución para una EDO de segundo orden se proponeρ ∼ e−γt, así, de la ecuación de segundo orden paraρtendremos
γ2− 4πσγ +
4π
∆= 0
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 11
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La solución para una EDO de segundo orden se proponeρ ∼ e−γt, así, de la ecuación de segundo orden paraρtendremos
γ2− 4πσγ +
4π
∆= 0
de donde
γ1,2 =4πσ ±
√
16π2σ2 −16π∆
2
= 2πσ
(
1 ±
√
1 −1
∆πσ2
)
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como√
1 −1
∆πσ2≈ 1 −
1
2
(
1
∆πσ2
)
+ · · ·
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 12
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como√
1 −1
∆πσ2≈ 1 −
1
2
(
1
∆πσ2
)
+ · · ·
se tendrá
γ1,2 = 2πσ
(
1 ±
√
1 −1
∆πσ2
)
≈ 2πσ
(
1 ±
(
1 −1
2
1
∆πσ2
))
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 12
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como√
1 −1
∆πσ2≈ 1 −
1
2
(
1
∆πσ2
)
+ · · ·
se tendrá
γ1,2 = 2πσ
(
1 ±
√
1 −1
∆πσ2
)
≈ 2πσ
(
1 ±
(
1 −1
2
1
∆πσ2
))
=
4πσ ≃ 1019seg−1
1
∆σ ≃ 1012seg−1
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 12
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El tiempo de relajaciónτ se define por la más pequeñade las exponenciales
τ =1
γ2
≃ ∆σ ≃ 10−12seg
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 13
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El tiempo de relajaciónτ se define por la más pequeñade las exponenciales
τ =1
γ2
≃ ∆σ ≃ 10−12seg
por lo que, cualquier carga que llegue a unsuperconductor deberá desaparecer en un tiempo de eseorden.
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 13
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Campos eléctrico y magnético en unsuperconductor
Para un conductor
∇ · E = 4πρ = 0 =⇒ ∇ · J = −ρ = 0
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 14
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Campos eléctrico y magnético en unsuperconductor
Para un conductor
∇ · E = 4πρ = 0 =⇒ ∇ · J = −ρ = 0
ahora, recordando la identidad
∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) −∇2A
tendremos que siA esE , B ó J
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 14
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Campos eléctrico y magnético en unsuperconductor
Para un conductor
∇ · E = 4πρ = 0 =⇒ ∇ · J = −ρ = 0
ahora, recordando la identidad
∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) −∇2A
tendremos que siA esE , B ó J
∇ × (∇ × A) = −∇2A
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 14
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así, las ecuaciones (utilizamosA para denotarE , B ó J )
c2∇ × (∇ × A) +
4π
∆A + 4πσ
∂A
∂t+
∂2A
∂t2= 0
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 15
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así, las ecuaciones (utilizamosA para denotarE , B ó J )
c2∇ × (∇ × A) +
4π
∆A + 4πσ
∂A
∂t+
∂2A
∂t2= 0
tomarán la forma
c2∇
2A =
4π
∆A + 4πσ
∂A
∂t+
∂2A
∂t2
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 15
![Page 40: Electrodinámica de un superconductorrbaquero/ideas5.pdf1934 Los hermanos Fritz y Heinz London desarrollan la electrodinámica para un superconductor con la idea de describir el efecto](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042214/5eb99ace632bfb34b66d5b75/html5/thumbnails/40.jpg)
así, las ecuaciones (utilizamosA para denotarE , B ó J )
c2∇ × (∇ × A) +
4π
∆A + 4πσ
∂A
∂t+
∂2A
∂t2= 0
tomarán la forma
c2∇
2A =
4π
∆A + 4πσ
∂A
∂t+
∂2A
∂t2
por otro lado, si los campos son cuasi–estacionarios,entonces se tendrá
∇ × (∇ × A) +4π
∆c2A = 0
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 15
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si consideramos la ecuación para un campo eléctricoestacionario, la ecuación anterior corresponde a
∇ × (∇ × E) +4π
∆c2E = 0
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si consideramos la ecuación para un campo eléctricoestacionario, la ecuación anterior corresponde a
∇ × (∇ × E) +4π
∆c2E = 0
pero, de la ley de Faraday
∇ × E = −1
c
∂B
∂t
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 16
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si consideramos la ecuación para un campo eléctricoestacionario, la ecuación anterior corresponde a
∇ × (∇ × E) +4π
∆c2E = 0
pero, de la ley de Faraday
∇ × E = −1
c
∂B
∂t= 0 =⇒ E = 0
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 16
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si consideramos la ecuación para un campo eléctricoestacionario, la ecuación anterior corresponde a
∇ × (∇ × E) +4π
∆c2E = 0
pero, de la ley de Faraday
∇ × E = −1
c
∂B
∂t= 0 =⇒ E = 0
es decir,en un superconductor no existen camposelectricos
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 16
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si consideramos la ecuación para un campo eléctricoestacionario, la ecuación anterior corresponde a
∇ × (∇ × E) +4π
∆c2E = 0
pero, de la ley de Faraday
∇ × E = −1
c
∂B
∂t= 0 =⇒ E = 0
es decir,en un superconductor no existen camposelectricos (esto, no implica que no exista corrienteeléctrica).
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como ya se vió, para campos cuasi–estacionarios
∇ × (∇ × A) +4π
∆c2A = 0
∇ × (∇ × A) = −∇2A
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como ya se vió, para campos cuasi–estacionarios
∇ × (∇ × A) +4π
∆c2A = 0
∇ × (∇ × A) = −∇2A
así se obtendrán ecuaciones de la forma
∇2A =
4π
∆c2A
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 17
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como ya se vió, para campos cuasi–estacionarios
∇ × (∇ × A) +4π
∆c2A = 0
∇ × (∇ × A) = −∇2A
así se obtendrán ecuaciones de la forma
∇2A =
4π
∆c2A
cuya solución es del tipo
e−
√
4π
∆c2x
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 17
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Efecto Meissner
Analicemos dicha ecuación para el campo magnético
∇2B =
4π
∆c2B con solución e
−
√
4π
∆c2x
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Efecto Meissner
Analicemos dicha ecuación para el campo magnético
∇2B =
4π
∆c2B con solución e
−
√
4π
∆c2x
la longitud de penetraciónλL del material es
λL = c
√
∆
4π∼ 10−6cm
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 18
![Page 51: Electrodinámica de un superconductorrbaquero/ideas5.pdf1934 Los hermanos Fritz y Heinz London desarrollan la electrodinámica para un superconductor con la idea de describir el efecto](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042214/5eb99ace632bfb34b66d5b75/html5/thumbnails/51.jpg)
Efecto Meissner
Analicemos dicha ecuación para el campo magnético
∇2B =
4π
∆c2B con solución e
−
√
4π
∆c2x
la longitud de penetraciónλL del material es
λL = c
√
∆
4π∼ 10−6cm
es decirel campo magnetico desaparece continuamenteen la superficie del superconductor
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 18
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Efecto Meissner
Analicemos dicha ecuación para el campo magnético
∇2B =
4π
∆c2B con solución e
−
√
4π
∆c2x
la longitud de penetraciónλL del material es
λL = c
√
∆
4π∼ 10−6cm
es decirel campo magnetico desaparece continuamenteen la superficie del superconductor (efecto Meissner).
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 18
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Número de superelectrones
De las ecuaciones de London, encontramos que
∆ =m
nse2, por lo que
λL = c
√
∆
4π=
c
e
√
m
4πns
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 19
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Número de superelectrones
De las ecuaciones de London, encontramos que
∆ =m
nse2, por lo que
λL = c
√
∆
4π=
c
e
√
m
4πns
o bien
ns =mc2
4πe2λ2L
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 19
![Page 55: Electrodinámica de un superconductorrbaquero/ideas5.pdf1934 Los hermanos Fritz y Heinz London desarrollan la electrodinámica para un superconductor con la idea de describir el efecto](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042214/5eb99ace632bfb34b66d5b75/html5/thumbnails/55.jpg)
Laurman y Schoenberg encontraron experimentalmente(1947) que la longitud de penetraciónλ depende de latemperatura como
λ(T ) = λo
[
1 −
(
T
Tc
)4]−1/2
siendoλo una constante que depende del material,
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 20
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Laurman y Schoenberg encontraron experimentalmente(1947) que la longitud de penetraciónλ depende de latemperatura como
λ(T ) = λo
[
1 −
(
T
Tc
)4]−1/2
siendoλo una constante que depende del material, así[
1 −
(
T
Tc
)4]−1
=
(
λ(T )
λo
)2
=
(
no
ns
)
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 20
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o bien
ns = no
[
1 −
(
T
Tc
)4]
es decir, el número de superelectrones tiende a cero siT → Tc y tiende a un valor constante siT → 0
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 21
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o bien
ns = no
[
1 −
(
T
Tc
)4]
es decir, el número de superelectrones tiende a cero siT → Tc y tiende a un valor constante siT → 0
3210
5
x
4
3
5
2
1
40
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 21
![Page 59: Electrodinámica de un superconductorrbaquero/ideas5.pdf1934 Los hermanos Fritz y Heinz London desarrollan la electrodinámica para un superconductor con la idea de describir el efecto](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042214/5eb99ace632bfb34b66d5b75/html5/thumbnails/59.jpg)
Conclusiones
Se estableció un tipo de electrones (superelectrones)que no contribuyen a la resistividad.
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![Page 60: Electrodinámica de un superconductorrbaquero/ideas5.pdf1934 Los hermanos Fritz y Heinz London desarrollan la electrodinámica para un superconductor con la idea de describir el efecto](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042214/5eb99ace632bfb34b66d5b75/html5/thumbnails/60.jpg)
Conclusiones
Se estableció un tipo de electrones (superelectrones)que no contribuyen a la resistividad.
Se encontraron las ecuaciones de London, querelaciona la densidad de corriente de lossuperelectrones con los campos eléctrico ymagnético, estableciéndose las ecuaciones para laelectrodinámica de los campos eléctrico ymagnético.
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 22
![Page 61: Electrodinámica de un superconductorrbaquero/ideas5.pdf1934 Los hermanos Fritz y Heinz London desarrollan la electrodinámica para un superconductor con la idea de describir el efecto](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042214/5eb99ace632bfb34b66d5b75/html5/thumbnails/61.jpg)
Conclusiones
Se estableció un tipo de electrones (superelectrones)que no contribuyen a la resistividad.
Se encontraron las ecuaciones de London, querelaciona la densidad de corriente de lossuperelectrones con los campos eléctrico ymagnético, estableciéndose las ecuaciones para laelectrodinámica de los campos eléctrico ymagnético.
Se calcularon los campos eléctrico y magnético enun superconductor, explicándose así, el efectoMeissner.
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 22
![Page 62: Electrodinámica de un superconductorrbaquero/ideas5.pdf1934 Los hermanos Fritz y Heinz London desarrollan la electrodinámica para un superconductor con la idea de describir el efecto](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042214/5eb99ace632bfb34b66d5b75/html5/thumbnails/62.jpg)
Conclusiones
Se estableció un tipo de electrones (superelectrones)que no contribuyen a la resistividad.
Se encontraron las ecuaciones de London, querelaciona la densidad de corriente de lossuperelectrones con los campos eléctrico ymagnético, estableciéndose las ecuaciones para laelectrodinámica de los campos eléctrico ymagnético.
Se calcularon los campos eléctrico y magnético enun superconductor, explicándose así, el efectoMeissner.
Se determinó el número de superelectrones enfunción de la temperatura.
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 22
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Por su atención...
GRACIAS !!
Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 23