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Capitolo 1 - Capitolo 1 - Campionamento (II)

Campionamento di un segnale passa-banda...................................................... 1Introduzione ............................................................................................... 1Schema della conversione di frequenza ...................................................... 2Campionamento diretto .............................................................................. 4Componenti analogiche in bassa frequenza................................................. 9

Conversione digitale-analogica ...................................................................... 15Introduzione ............................................................................................. 15Sovracampionamento in forma numerica .................................................. 16Concetti generali sugli interpolatori.......................................................... 19Interpolatore di ordine 0: mantenitore....................................................... 23Interpolatore lineare (o di ordine 1) .......................................................... 23

Filtro di ricostruzione perfetto............................................................ 29Osservazione ................................................................................. 30

Campionamento irregolare........................................................................ 30

Campionamento di un segnale passa-bandaCampionamento di un segnale passa-banda

INTRODUZIONE

Fino ad ora abbiamo sempre considerato il campionamento di segnali passa-basso, cioè segnaliaventi uno spettro comprendente anche la continua (cioè aventi una componente a frequenza f=0(1)).Adesso ci occupiamo invece del campionamento di segnali passa-banda, aventi cioè componentispettrali in un intervallo relativamente piccolo a cavallo di una frequenza tipicamente grande(rispetto all’intervallo stesso).

Lo spettro di un segnale passa-banda è, in generale, del tipo seguente:

f

S(f)

f1 f2-f2 -f1

1 Ricordiamo che un segnale che presenta una componente non nulla a frequenza f=0 è un segnale a valor medio non nullo, in

quanto tale valor medio coincide proprio con l’ampiezza della componente ad f=0.

Appunti di “Elaborazione numerica dei segnali” - Capitolo 1

Autore: Sandro Petrizzelli2

Volendo procedere come abbiamo fatto fino ad ora, dovremmo campionare questo segnale afrequenza fC almeno doppia rispetto a f2 (dove f2 è la massima componente spettrale non nullaposseduta dal segnale): questa operazione prende il nome di campionamento diretto del segnalepassa-banda considerato.

Tuttavia, questo procedimento ha avuto senso, fino ad ora, in quanto volevamo essere in grado didescrivere qualunque componente spettrale del segnale s(t) compresa tra 0 e la frequenza massimacontenuta dal segnale stesso: infatti, la frequenza di campionamento è legata al contenutoinformativo del segnale, il quale è a sua volta legato alla banda del segnale stesso. In questo caso,non ci interessa molto descrivere quello che c’è prima della frequenza f1, proprio perché non c’èniente da descrivere. O meglio, non ci sono componenti di segnali, ma ci saranno inevitabilmentecomponenti di rumore.

Di conseguenza, l’applicazione del teorema del campionamento, così come lo conosciamo fino adora, ad un segnale passa-banda è uno spreco di risorse, in quanto prendiamo in considerazione unintervallo spettrale in cui sappiamo già che l’informazione è nulla.

SCHEMA DELLA CONVERSIONE DI FREQUENZA

Dato che il contenuto informativo del nostro segnale è legato solo alla banda f2-f1 (ed alla suasimmetrica per le frequenze negative), è logico pensare di legare il campionamento solo alla suddettabanda. Un modo molto efficace di procedere è allora quello di spostareil segnale in bassa frequenza prima di campionarlo:

s(t) sm(t) smC(t)

)t2cos( 0fπ

Sfruttando le note conseguenze del battimento del nostro segnale per una oscillazione locale)t2cos( 0fπ da noi generata, otteniamo una replica spettrale di S(f) in alta frequenza ed una replica

spettrale in bassa frequenza; filtrando la replica in alta frequenza, otteniamo un segnale sm(t),allocato in bassa frequenza, che possiamo finalmente sottoporre a campionamento.

f

Sm(f)

f0-f0

Con questa operazione, il contenuto informativo del segnale resta invariato, con la differenza chene forniamo una descrizione più “compatta”, situata a frequenze più basse: in particolare, conriferimento alle sole frequenze positive, lo spettro del segnale risulta posizionato nell’intervallo[ ]0201 ff,ff −− .

Campionamento (parte II)


Ovviamente, dopo il campionamento, una eventuale ricostruzione dovrà tener conto dellaconversione di frequenza effettuata e quindi prevedere anche l’operazione inversa (da effettuarsi conla stessa identica oscillazione locale), che riporti il segnale nella banda originale [f1,f2].

Ricordiamo, inoltre, a titolo di richiamo, che la conversione di frequenza appena descritta puòessere effettuata ponendo l’oscillazione locale f0 sia a sinistra del segnale da spostare (come indicatonella figura) sia a destra, con la differenza che, in questo secondo caso, si ottenga un ribaltamentodelle bande:

f

Sm(f)

f0-f0

Il motivo del ribaltamento è noto: nell’effettuare la moltiplicazione del segnale s(t) perl’oscillazione )t2cos( 0fπ , ciascuna componente spettrale fX viene riportata, in banda base, ad una

distanza, da f=0, pari al modulo della differenza fX-f0; di conseguenza, se f0 si trova a sinistra di f1,sono le componenti di più bassa frequenza di S(f) a posizionarsi più vicine all’origine, mentre, se f0

si trova a destra di f2, si posizionano più vicine all’origine le componenti di più alta frequenza diS(f), causando appunto il ribaltamento dello spettro.

Questo ribaltamento, però, non dà particolari problemi: infatti, dopo aver campionato e ricostruitoil segnale, la conversione in alta frequenza mediante la stessa oscillazione locale usata primariposizionerà lo spettro nel modo giusto.

Fatte queste premesse, il vantaggio della conversione di frequenza prima del campionamento èintuitivo: volendo rispettare il teorema del campionamento, dato che lo spettro del segnale ècontenuto nell’intervallo [ ]0201 ff,ff −− (con riferimento alle sole frequenze positive), possiamo

campionare con frequenza fC>2(f2-f0), cioè minore (di una quantità 2f0) di quella (2f2) che avremmodovuto usare senza la conversione di frequenza.

Ovviamente, nessuno ci impedisce di spingere questo meccanismo agli estremi, ponendo cioèf1=f0, in modo da portare la minima componente spettrale del segnale direttamente a frequenza 0:

f

Sm(f)

f0-f0

In questo caso, conserviamo ancora i vantaggi descritti prima, ma abbiamo un problema in più,legato alla famigerata banda immagine. Sappiamo, infatti, che, nelle operazioni di conversione difrequenza, non è solo il segnale di interesse che viene riportato in banda base, ma anche tutte leeventuali componenti spettrali situate simmetricamente rispetto all’oscillazione locale:



f

Sm(f)

f0-f0

bandaimmagine

bandaimmagine

Questo fatto, come è noto, richiede che, prima della conversione di frequenza, venga effettuato unapposito filtraggio anti-banda immagine. Essendo tale operazione a cura di un filtro analogico,sappiamo che ci sono problemi legati alla non idealità del filtro, ossia al fatto che la transizione dallabanda passante (nella quale il filtro lascia passare sostanzialmente inalterate le componenti spettrali)alla banda attenuata (nella quale il filtro si sforza di azzerare il segnale) non è mai netta: diconseguenza, ponendo f0<f1, abbiamo una certa separazione tra segnale utile e banda immagine, percui possiamo usare un filtro che non sia ideale, mentre invece, prendendo f0=f1, avremmo bisogno diun filtro che azzeri le componenti spettrali inferiori ad f0 e lasci passare quelle superiori ad f1, il cheè impossibile.

f

Sm(f)

f0-f0

filtroanti- bandaimmagine

Quindi, se dal punto di vista del campionamento la posizione dell’oscillazione locale diventaindifferente, dal punto di visto dei problemi legati alla conversione di frequenza è opportunoprendere sempre f0<f1, ossia sostanzialmente fare in modo che il segnale utile, spostato in bassafrequenza, si mantenga ad una certa distanza (comunque piccola) dalla frequenza 0.

CAMPIONAMENTO DIRETTO

Nello schema descritto nel paragrafo precedente, abbiamo visto che la conversione di frequenzaviene effettuata moltiplicando il segnale s(t) di interesse per una opportuna oscillazione locale. Dopodi che, una volta effettuato il filtraggio allo scopo di isolare solo la replica di S(f) in bassa frequenza,andiamo ad effettuare il campionamento di sm(t); tale campionamento, come più volte visto,corrisponde (matematicamente) a moltiplicare sm(t) per il pettine degli impulsi di campionamento:

∑+∞

−∞=

−δ=n

CmmC )nTt()t(s)t(s

In frequenza abbiamo dunque la convoluzione tra Sm(f) e una successione di infiniti impulsi:



∑+∞

−∞=

−δ=

n CCmmC T

nf

T

1*)f(S)f(S

Questa convoluzione ha l’effetto di periodicizzare Sm(f), ponendolo in corrispondenza dellafrequenza 0, della frequenza di campionamento fC e dei suoi multipli. Viene allora spontaneochiedersi se si possa fare a meno della conversione di frequenza, usando proprio la moltiplicazionedi s(t) per il pettine di campionamento al fine di spostare S(f) nella posizione desiderata. La rispostaè abbastanza intuitiva: l’effetto di spostare S(f) in bassa frequenza si ottiene, direttamente tramite lamoltiplicazione per il pettine di campionamento, a patto però di scegliere la frequenza dicampionamento (e quindi la posizione, in frequenza, degli impulsi di campionamento2) in modo daevitare la sovrapposizione delle repliche spettrali.

Per chiarire bene questo concetto, possiamo fare riferimento ad un caso molto semplice.Supponiamo che lo spettro S(f) del segnale passa-banda da campionare sia esteso tra fC e 3fC/2, comeindicato nella figura seguente:

f

S(f)

fC-fC 1.5fC-1.5fC

La banda del segnale è dunque 0.5fC. Consideriamo allora un sistema che campiona a frequenzapari proprio ad fC, per cui lo spettro del pettine di campionamento è il seguente:

f

P(f)

fC-fC 2fC-2fC

La convoluzione tra i due spettri, corrispondente appunto all’operazione di campionamento, fa inmodo che lo spettro di S(f) (si intende sia la parte a frequenze positive sia quella a frequenzenegative) venga riportato a cavallo di ciascun impulso di campionamento, secondo quanto indicatonella figura seguente:

ffC-fC 2fC-2fC

SC(f)

2 Si ricordi che il pettine di campionamento, essendo una sequenza di impulsi equispaziati nel tempo di TC, è un segnale periodico,

che ha quindi uno spettro a sua volta costituito da una sequenza di impulsi, equispaziati di fC.



Come si nota, non esiste alcun intervallo di frequenza in cui ci sono contemporaneamente piùtermini spettrali, per cui non incorriamo nel fenomeno dell’aliasing.

Quindi, campionando con una frequenza di campionamento fC un segnale passa-banda il cuispettro si estenda in [fC,1.5fC] (e nel simmetrico intervallo negativo), non incorriamo in problemi dialiasing e siamo perciò in grado di ricostruire il segnale di partenza. Tale ricostruzione, ovviamente,non avviene più con un filtro passa-basso, proprio perché il segnale s(t) è di tipo passa-banda;dovremo perciò usare un filtro passa-banda che, nel caso ideale, ha una funzione di trasferimento deltipo illustrato nella figura seguente:

ffC-fC 2fC-2fC

H(f)

1.5fC-1.5fC

L’esito del filtraggio è proprio il riottenimento del segnale s(t) che era stato campionato.Ovviamente, però, si evidenzia subito il problema di un simile procedimento: non avremo mai la

possibilità di usare un filtro passa-banda del tipo appena descritto. Per ovviare a questa limitazione,l’unica soluzione è che lo spettro del segnale non debba più essere esteso nell’intervallo [fC,1.5fC],ma debba semplicemente essere contenuto in tale intervallo, con un adeguato margine rispetto ai dueestremi:

f

S(f)

fC-fC 1.5fC-1.5fC2fC-2fC

In questo modo, la moltiplicazione per il pettine di campionamento (il cui spettro ad impulsi èstato indicato in figura insieme a quello del segnale) produce un segnale campionato il cui spettro èfatto nel modo seguente:

f

SC(f)

fC-fC 1.5fC-1.5fC2fC-2fC

In questo caso, dunque, non solo non c’è sovrapposizione tra le repliche, ma c’è anche unasufficiente separazione tra le repliche stesse. Bisogna allora fare in modo che tale separazioneconsenta il successivo filtraggio passa-banda senza perdita di informazioni.

Possiamo ora estendere in generale quanto appena visto nel caso particolare di spettro di s(t)contenuto nell’intervallo [fC,1.5fC]: affinché sia possibile il campionamento diretto del segnale, lo



spettro del segnale passa-banda deve essere contenuto nell’intervallo ( )

+

2

f1n,

2

fn CC (e

analogamente per le frequenze negative), in quanto solo in questo caso si evita la sovrapposizionedelle repliche, per cui è effettivamente possibile risalire al segnale di partenza tramite filtraggiopassa-banda del segnale campionato. In caso contrario, i termini spettrali si mescolano tra loro equindi questo metodo di procedere non è applicabile.

Evidentemente, per n=2 otteniamo proprio il caso descritto prima.Possiamo a questo punto fare un confronto tra questo modo di procedere (detto di

campionamento diretto del segnale) ed il modo descritto in precedenza (metodo aconversione di frequenza), che prevedeva prima lo spostamento di S(f) in bassa frequenza e poiil campionamento:

• in primo luogo, è evidente che il metodo del campionamento diretto prevede solo l’utilizzo delcampionatore a frequenza fC, eventualmente preceduto dal solito filtro anti-alias perl’eliminazione del rumore nonché di qualunque componente spettrale esterna all’intervallo diinteresse; al contrario, il metodo a conversione di frequenza richiede, oltre al campionatore(che tra l’altro lavora a frequenza molto prossima a quella usata nel campionamento diretto),anche la circuiteria necessaria alla conversione di frequenza, vale a dire il moltiplicatoreanalogico ed il successivo filtro analogico;

• non solo, ma il metodo della conversione di frequenza prevede anche che, in fase diricostruzione, si debba nuovamente riportare il segnale in alta frequenza, cioè nella sua bandaoriginale, il che è possibile solo usando una oscillazione locale identica a quella usata per laprima conversione di frequenza; non è detto che si possa generare una oscillazione locale conquesti requisiti;

• a fronte di questi pregi, però, abbiamo appena visto che il campionamento diretto richiede unaben precisa relazione tra frequenza di campionamento e spettro del segnale da campionatore, alcontrario dell’altro metodo, che invece è assolutamente generale;

Non è finita qui, in quanto c’è da tener conto di un’altra considerazione molto importante, relativaalla non idealità di funzionamento del campionatore, della quale abbiamo già parlato. Abbiamo inparticolare visto che la non-idealità del campionatore, cioè il fatto che esso presenti un tempo dichiusura finito (di durata τ) comporta che il segnale s(t) di partenza venga prima filtrato passa-bassoe poi effettivamente campionato idealmente:

sC(t)

fC

s(t)sC(t)

fC

s(t)

tτ

Il filtro che tiene conto della non-idealità del campionatore ha funzione di risposta all’impulsorettangolare, per cui ha funzione di trasferimento nella forma sin(f)/f: ciò significa che esso lasciapassare praticamente invariate solo le bassissime frequenze, mentre attenua sempre più man manoche la frequenza aumenta (con una attenuazione teoricamente ∞ alla frequenza 1/τ).

Diventa allora evidente quello che succede a seconda che si scelga il metodo della conversione difrequenza o quello del campionamento diretto:



• con la conversione di frequenza, il segnale in ingresso al campionatore è passa-basso (magarinon contiene la continua, ma è comunque allocato sulle basse frequenze), per cui subisce unaattenuazione, dal filtro sin(f)/f, che può essere tutto sommato accettabile;

• al contrario, con il metodo del campionamento diretto, l’ingresso al campionatore è un segnalepassa-banda, che subisce quindi una attenuazione molto maggiore prima del campionamentoideale vero e proprio.

Possiamo chiarire ulteriormente queste affermazioni con dei grafici. Supponiamo perciò che ilsegnale passa-banda da campionare sia il seguente:

Con il metodo della conversione di frequenza, noi prima spostiamo il segnale in bassa frequenza epoi lo sottoponiamo al campionamento reale, secondo lo schema seguente:

Il segnale in ingresso al campionatore, nell’ipotesi di aver scelto l’oscillazione locale esattamentecoincidente con la minima frequenza posseduta da S(f), ha il seguente spettro:

Il filtro passa-basso cui questo segnale fa da ingresso produce il seguente segnale, da mandarefinalmente al campionatore ideale:



Se invece consideriamo lo schema a campionamento diretto, il risultato è ben diverso:

In questo caso, il segnale passa-banda va direttamente in ingresso al filtro passa-basso, il qualefornisce in uscita, pronto per il successivo campionamento ideale, un segnale del tipo seguente:

E’ evidente quanto l’attenuazione introdotta dal filtro abbia pregiudicato il funzionamentodell’intero sistema.

A questi stessi risultati possiamo d’altra parte arrivare tramite ragionamenti molto più intuitivi, inqualche modo già fatti in precedenza: abbiamo detto che il fatto di spostare in bassa frequenza lecomponenti spettrali del segnale s(t) di partenza non pregiudica il contenuto informativo del segnalestesso, ma ne dà semplicemente una versione più compatta; all’atto pratico, ciò che otteniamo èdescrivere il segnale s(t) di partenza mediante un altro segnale più lento nel tempo3; allora, talesegnale, durante l’intervallo τ di chiusura del campionatore, subisce meno variazioni di quante nesubisce s(t), per cui la misura che il campionatore fornisce al successivo quantizzatore è sicuramentepiù descrittiva; al contrario, il segnale s(t), essendo più veloce, subisce molte più variazioninell’unità di tempo ed il campionatore, che invece è lento, non sarà mai in grado di darne unadescrizione completa. Questo spiega intuitivamente l’effetto del campionatore reale, che può “andaredietro” ai segnali lenti, mentre non è in grado di “seguire” quelli più veloci.

La conclusione del discorso è dunque quella per cui, in presenza di un campionatorecon un τ non piccolissimo, il metodo del campionamento diretto èdecisamente inapplicabile.

COMPONENTI ANALOGICHE IN BASSA FREQUENZA

Quando abbiamo richiamato i concetti principali relativi alla trasformata di Fourier, abbiamo dettoche lo scopo di usare tale trasformata è quello di esprimere un generico segnale reale, non periodico,come somma di infinite sinusoidi reali, ciascuna di frequenza, ampiezza e fase opportune. Questo èinfatti il significato essenziale della formula della antitrasformazione di Fourier:

s t S f e dfj ft( ) ( )=−∞

+∞

∫ 2π

3 E’ ovvio che il contenuto informativo del segnale di partenza non potrà mai essere ricavato dal segnale convertito in frequenza, per

cui è sempre necessario prevedere l’operazione di riconversione di frequenza.



Per descrivere le suddette sinusoidi reali, abbiamo notoriamente due possibilità:

• la prima è quella di usare forme d’onda sinusoidali, come cos(ωt+ϕ) oppure sin(ωt+ϕ);• la seconda è quella di usare gli esponenziali complessi, come ej(ωt+ϕ).

Nell’uno o nell’altro modo, il significato finale non cambia:

s t S f e df S f ft df j S f sin ft dfj ft( ) ( ) ( ) cos( ) ( ) ( )= = +−∞

+∞

−∞

+∞

−∞

+∞

∫ ∫ ∫2 2 2π π π

C’è però una differenza sostanziale tra l’uso degli esponenziali complessi e l’uso delle sinusoidi:infatti, gli esponenziali complessi richiedono l’uso anche delle frequenze negative, al contrario delleforme d’onda sinusoidali, che considerano solo le frequenze positive.

Nella trasformata di Fourier, i termini a frequenza negativa, che in se sono semplicemente unartificio matematico, sono necessari, per quanto appena detto, alla descrizione della forma d’ondareale. Tuttavia, essi non portano alcuna informazione aggiuntiva rispetto alle frequenze positive, inquanto, in base alla nota proprietà di simmetria hilbertiana dei segnali reali, i valori dellecomponenti spettrali negative sono il complesso coniugato dei valori delle corrispondenticomponenti spettrali positive. In altre parole, ove siano noti i valori delle componenti a frequenzapositiva, siamo subito in grado di costruire le componenti a frequenza negativa, proprio perché essenon portano alcuna informazione nuova. Questo vale, come sottolineato, solo per i segnali reali.

In base a queste considerazioni, per rappresentare un segnale reale per mezzo di esponenzialicomplessi, dovremmo adottare la seguente notazione:

( ) ( ) ( )e e tj t j tω ϕ ω ϕ ω ϕ+ − ++ = +2cos

Questa uguaglianza (che non è altro che una delle due formule di Eulero), si ottienesemplicemente sviluppando i due esponenziali in forma trigonometrica. Tali due esponenzialipresentano entrambi la parte reale pari proprio a cos(ωt+ϕ). Questo suggerisce un modo di operaremolto comodo: tenendo a mente che abbiamo a che fare con un segnale reale, possiamo usare un

unico esponenziale complesso, tipicamente ( )e j tω ϕ+ , e poi, alla fine del discorso, dovremo ricordarcidi considerare solo la parte reale, moltiplicata per due, di quello che otteniamo:

( ) ( )[ ] ( )e e tj t j tω ϕ ω ϕ ω ϕ+ + → = +2 2Re cos

Quindi, quando diamo una rappresentazione del segnale s(t) secondo la sua trasformata di Fourier(lavorando cioè nel dominio della frequenza), ossia quindi come sovrapposizione di sinusoidi,possiamo usare esponenziali complessi solo a frequenza positiva, avendo poi cura, nell’operazione diantitrasformazione, di adottare l’operatore “parte reale”:

s t S f e df S f e dfj ft m j ft( ) ( ) Re ( )= =

−∞

+∞ +∞

∫ ∫2 2

0

1

2π π

dove abbiamo indicato con Sm(f) la cosiddetta trasformata di Fourier monolatera, che, in basealla relazione appena riportata, è così definita:



S f

S f

m ( )

( )

=

2 per f > 0

S(f) per f = 0

0 per f < 0

Quindi, la trasformata monolatera ha il vantaggio di usare solo le frequenze positive, mentreinvece quelle negative possono eventualmente essere valutate considerando che, per un segnale reale,risulta S(-f)=S*(f). Se non fosse valida questa condizione (rappresentativa della simmetriaHilbertiana) i ragionamenti appena condotti non avrebbero alcun senso.

Fatte queste premesse, possiamo tornare al problema del campionamento di un segnale passa-banda. Il nostro scopo è quello di ridurre la frequenza di campionamento al di sotto del limite,verificato nei precedenti paragrafi, pari al doppio della banda del segnale.

Potrebbe venire in mente di effettuare una operazione del tipo seguente:

s(t) x(t)

)tf2cos( iπ

Con questo schema, avendo indicato con fi la frequenza centrale del segnale s(t), si ottiene unsegnale x(t), da eventualmente sottoporre al campionamento, con il seguente spettro:

f

B

fB

fi-fi

S(f)

E’ vero che si ottiene un segnale passa-banda con banda dimezzata, ma è anche vero che, a causadella simmetria hilbertiana di cui godono i segnali reali4, il contenuto informativo è statopregiudicato dalla sovrapposizione delle repliche: infatti, nell’intervallo [0,B/2] c’è lasovrapposizione della banda centrata su fi e di quella centrata su -fi, oppure, considerando solo labanda a frequenza positiva, c’è il ripiegamento della stessa a cavallo dello 0. A prescindere da come

4 Il prodotto di un segnale reale per un altro segnale reale quale il cos(2πfit) è a sua volta un segnale reale



vediamo la cosa, il risultato è che il contenuto informativo di x(t) non coincide assolutamente conquello di s(t).

Dobbiamo allora seguire altre strade. Ad esempio, possiamo tener conto del fatto chel’informazione, in un segnale reale, è contenuta solo nelle frequenze positive del segnale stesso;allora, possiamo pensare di portare in banda base solo la banda positiva:

f

S(f)

-f1 f2-f2

f-f1 f2-f1-f2

Sm(f)f1

Così facendo, però, non otteniamo un gran risultato, in quanto le componenti spettrali di interessesi trovano ancora in un intervallo di ampiezza f2-f1. Sarebbe invece auspicabile ridurre questointervallo, ad esempio di un fattore 2, in modo da ottenere quanto segue:

f-f1-f2

Sm(f)

In questo caso, però, è vero che abbiamo dimezzato la banda, ma è anche vero che abbiamogenerato un segnale che non è più reale, ma complesso, che quindi non gode della simmetriahilbertiana. Questo rende inattuabile anche questo modo di procedere. Allora, possiamo verificareche è possibile ottenere la traslazione a cavallo dello 0 in altro modo, evitando di trattare segnalicomplessi.

Per ottenere uno spettro come Sm(f), partendo dallo spettro S(f) del segnale di partenza, nondobbiamo far altro che shiftare a sinistra S(f), di una quantità pari alla frequenza centrale di S(f), cheindichiamo con fi. Ci basta allora convolvere S(f) per un impulso a frequenza -fi:

f

I(f)

-fi fi



L’esito della convoluzione è lo spostamento di S(f) a cavallo dell’impulso, ossia uno spettro Sm(f)fatto come indicato nella precedente figura.

Questo è quello che avviene nel dominio della frequenza, ma è immediato trovare l’equivalentenel dominio del tempo, nel quale dovremo evidentemente effettuare una moltiplicazione tra s(t) el’antitrasformata dell’impulso a frequenza -fi. Tale antitrasformata, applicando semplicemente ladefinizione, è

)tf2(jsin)tf2cos(edfe)ff()t(h iitf2jft2j

ii π−π==+δ= π−

+∞

∞−

π∫

Dobbiamo dunque moltiplicare il segnale s(t) per questo numero complesso:

)tf2(sin)t(js)tf2cos()t(s)t(s)t(h ii π−π=

Avendo il prodotto tra un segnale reale ed uno complesso, il risultato è un segnale complesso;tuttavia, una quantità complessa è univocamente determinabile tramite la sua parte reale e ilcoefficiente della sua parte immaginaria, che sono due quantità sicuramente reali. Nel nostro caso, laparte reale è )tf2cos()t(s)t(r iπ= mentre il coefficiente della parte immaginaria è

)tf2(sin)t(s)t(i iπ−= . Tali due segnali prendono il nome di componenti analogiche in bassafrequenza del segnale s(t)

Possiamo facilmente disegnare uno schema a blocchi che ci consenta di ricavare proprio i segnali(reali) r(t) ed i(t):

s(t) r(t)

i(t)

)tf2cos( iπ

)tf2(sin iπ−

Vediamo se, effettivamente, le uscite del sistema sono r(t) ed i(t).Per fare questo, consideriamo il dominio della frequenza. La moltiplicazione nel tempo

corrisponde ad una convoluzione in frequenza; ciò significa che s(t) viene in un caso convoluto conlo spettro di )tf2cos( iπ e, nell’altro caso, con lo spettro di )tf2(sin iπ− .

f-fi fi

spettro di spettro di)tf2cos( iπ )tf2(sin iπ

f-fi fi



Se lo spettro del segnale s(t) è

f

S(f)

-f1 f2-f2 f1

gli spettri che vengono fuori dalle due convoluzioni (in frequenza) sono i seguenti (il filtraggiopassa-basso ha ovviamente contribuito ad eliminare le repliche esterne all’intervallo di nostrointeresse):

f

R(f)

f

I(f)

Come si nota, i termini spettrali a frequenza positiva e quelli a frequenza negativa in un caso sisommano (ramo del Coseno) e nell’altro si sottraggono (ramo del Seno). Se indichiamo, ad esempio,S+(f) ed S-(f) le bande positiva e negativa di S(f), risulta

−−+=−++=

−+

−+

)ff(S)ff(S)f(I

)ff(S)ff(S)f(R

ii

ii

I due segnali, quindi, non permettono, singolarmente, di recuperare il segnale di interesse, mentrequesto è permesso da una loro opportuna combinazione, cioè dalla risoluzione di quel sistema (2equazioni in 2 incognite): per esempio sommandoli si ottiene il doppio della banda positiva, mentresottraendoli si ottiene il doppio di quella negativa:

−=−+=+

−

+

)ff(S2)f(I)f(R

)ff(S2)f(I)f(R

i

i

Il vantaggio di disporre di r(t) ed i(t) è a questo punto evidente:

• da un lato, la loro conoscenza consente di risalire nuovamente ad s(t) (come mostrato dalleultime due relazioni), il che ci dice che r(t) ed i(t) costituiscono una rappresentazioneperfettamente equivalente di s(t);

• dall’altro, si tratta di segnali reali (quindi con simmetria hilbertiana) con banda pari a metàdella banda di s(t), per cui rendono più facile il campionamento, richiedendo campionatori piùlenti di un fattore 2.



Questo modo di procedere costituisce dunque una validissima alternativa ai precedenti due metodidi campionamento per segnali passa-banda5, in quanto consente di usare un passo campionamentodoppio (e quindi una frequenza di campionamento metà) rispetto ad entrambi quei due casi.

Ci si può porre anche un’altra domanda, riprendendo proprio i concetti esposti nei paragrafiprecedenti: anziché determinare le componenti r(t) ed i(t) tramite lo schema visto prima esuccessivamente campionarle, si può evitare la fase di moltiplicazione/filtraggio, passandodirettamente al campionamento? In altre parole, è possibile ricavare r(t) ed i(t) in forma numericacampionando direttamente (e opportunamente) il segnale s(t)? La risposta è affermativa, per cuivediamo come si può procedere.

Sappiamo che moltiplicare s(t) per il pettine di campionamento (ideale) equivale a convolvere, infrequenza, S(f) per infiniti impulsi equispaziati di fC; questi infiniti impulsi, se presi a due a due (unoa frequenza positiva fX e l’altro alla corrispondente frequenza negativa -fX) rappresentano infinitispettri di segnali del tipo cos(2πfXt), per cui siamo sicuramente in grado di generare, tramite ilcampionamento diretto ed un successivo filtraggio, il segnale r(t). Per ottenere invece i(t), ci bastaspostare nel tempo, di una quantità opportuna τ, il pettine di campionamento: infatti, traslare neltempo di una quantità τ equivale ad applicare in frequenza l’operatore ej2πfτ; tutti gli impulsi (infrequenza) vengono dunque moltiplicati per l’operatore ej2πfτ; se consideriamo in particolare, gli

impulsi a frequenze fi e -fi, gli operatori da considerare sono rispettivamente τπ if2je e τπ− f2j

e . Seallora scegliamo τ in modo tale che la quantità 2πfiτ sia pari a 90° (cioè τ=1/4fi), l’impulso afrequenza fi rimane com’è, mentre quello a frequenza -fi diventa negativo. Abbiamo cioè ottenutoesattamente lo spettro del segnale sin(2πfit), il che ci consente quindi di ottenere (a meno di unainversione di segno) la componente i(t).

In conclusione, al posto di effettuare conversione e campionamento (sui due canali), possiamoeffettuare direttamente il campionamento (sempre sui due canali), con due pettini di campionamentisfasati nel tempo di 1/4fi, a patto, ovviamente, di rispettare la condizione per cui lo spettro di s(t) siacontenuto (con un adeguato margine dagli estremi) nell’intervallo [ ]CC f)1n(,nf + , dove fC è la

frequenza di campionamento:

C21C f)1n(ffnf +<<<

Conversione digitale-analogicaConversione digitale-analogica

INTRODUZIONE

Fino ad ora ci siamo occupati del campionamento essenzialmente dal punto di vista dellaconversione analogico-digitale. Abbiamo chiarito che tale operazione ha senso solo se, una voltadisponibili i campioni del segnale analogico di partenza, è possibile utilizzarli per ricostruire ilsegnale, senza perdita di informazioni. Ci occupiamo allora, da adesso in poi, proprio di questoaspetto, ossia della ricostruzione del segnale.

Il problema si può inquadrare molto facilmente nei seguenti termini: dato che i campioni ciforniscono il valore del segnale negli istanti di campionamento, si tratta di valutare il valore delsegnali in tutti gli altri istanti. All’atto pratico, abbiamo già visto in cosa questo si traduca: dato ilsegnale campionato sC(t), il suo spettro è una ripetizione periodica, a passo fC (frequenza di

5 cioè il metodo del campionamento diretto e quello della conversione di frequenza



campionamento), dello spettro S(f) del segnale di partenza, per cui la ricostruzione consistesemplicemente in un filtraggio che elimini tutte le repliche spettrali tranne quella corrispondenteproprio ad S(f). Un dispositivo di ricostruzione (cioè un convertitore digitale-analogico osemplicemente un interpolatore) non è altro, quindi, che un filtro.

SOVRACAMPIONAMENTO IN FORMA NUMERICA

Nei paragrafi che seguiranno ci dedicheremo con maggior dettaglio alla descrizione dei vari tipi diinterpolatori. In questo paragrafo, invece, vogliamo fare una osservazione relativa ad una operazioneche è possibile fare, in numerico, prima della ricostruzione, ai fini evidentemente di migliorare laricostruzione stessa.

Abbiamo osservato che la ricostruzione consiste sostanzialmente nell’isolare lo spettro S(f) delsegnale di partenza tra le infinite repliche da cui è costituito il segnale campionato. Questaoperazione di filtraggio risulta critica laddove la separazione delle repliche spettrali sia ridotta: peroperare un filtraggio molto selettivo, noi abbiamo bisogno filtri con pendenza molto elevata nellabanda di transizione e cioè filtri con un numero elevato di poli:

f

HR(f)

-fC fC

2Cf

2Cf

−

Schematizzazione del modulo della funzione di trasferimento di un filtro passa-basso: per operare unfiltraggio selettivo, la transizione dalla banda passante alla banda attenuata deve essere molto rapida, il

che si ottiene disponendo molti poli molto ravvicinati tra di loro (idealmente coincidenti)

Anche nell’ipotesi di ottenere questa rapida transizione, abbiamo comunque dei problemi nellacaratteristica di fase del filtro: infatti, questa si può ritenere più o meno rettilinea (corrispondente adun ritardatore puro) solo nell’intervallo di frequenze in cui il modulo della funzione di trasferimentoè abbastanza regolare; quando, invece, il modulo comincia a variare bruscamente (cosa che avvienein corrispondenza dei poli), la fase varia anch’essa rapidamente; ne consegue che alle alte frequenzela fase del filtro varia molto più velocemente di quanto non faccia alle basse frequenze, il cheintroduce una distorsione sul segnale. Questa distorsione non dà grossi problemi nel caso, peresempio, di segnali musicali monofonici, mentre è decisamente inaccettabile nei segnali musicalistereofonici. Bisogna allora rimediare al problema.

Tanto per avere una idea concreta di quanto appena detto, consideriamo il caso dei CD musicali,sui quali vengono registrati, in forma numerica, segnali musicali, cioè con banda di circa 15 kHz. Lafrequenza di campionamento che si usa nei CD è standardizzata è vale 48 kHz (per motivi legati allacompatibilità con un sistema preesistente). La situazione è dunque la seguente:



f (Hz)

S(f)

15 k

SC(f)

fC=48k-fC

-15 k

f (Hz)15 k-15 k

33 k

S(f) è lo spettro del segnale musicale, con banda monolatera di 15 kHz. SC(f) è il segnale campionatoche si ottiene campionando a 48kHz.

Come si nota, nel segnale campionato, la replica spettrale posizionata su fC (=48kHz) comincia da48 kHz, per cui noi abbiamo bisogno di un filtro che abbia una transizione tra 15 kHz a 33 kHz. Talefiltro, quindi, dovrà avere una transizione da banda passante e banda attenuata che avvenga in unintervallo di appena 18 kHz. Considerando che ogni polo introduce un aumento di pendenza delmodulo della funzione di trasferimento di 20 dB/decade, sono necessari parecchi poli per ottenere latransizione desiderata. Anche nell’ipotesi di ottenere tale transizioni, abbiamo grossi problemi, comedetto prima, sulla caratteristica di fase.

Il problema, dunque, della ricostruzione del segnale musicale inciso su CD è molto forte. Laprima alternativa che può venire in mentre, per separare le repliche, è ovviamente quella diaumentare la frequenza di campionamento, ma nel caso dei CD ciò non è possibile, penal’impossibilità di mantenere la compatibilità con un sistema pre-esistente. Si deve allora ricorrere aqualche altra soluzione.

In linea teorica, aumentare la frequenza di campionamento significa sostanzialmente aumentare ilnumero di campioni a disposizione del segnale considerato. Ad esempio, supponiamo di avercampionato un segnale ad un generico passo TC e di aver ottenuto i seguenti campioni:

tTC

Se noi introducessimo un nuovo valore tra un campione e l’altro, otterremmo un numero doppiodi campioni, cioè una frequenza di campionamento doppia. Questo avrebbe una conseguenzaimmediata sul segnale campionato: la separazione tra le repliche spettrali aumenterebbe di un fattore2 (proprio perché è raddoppiata fC), il che risolverebbe i nostri problemi sul filtraggio analogico diricostruzione, che potrà essere sicuramente più blando. Se anziché introdurre un solo valore tra un



campione e l’altro, ne introducessimo 2, avremmo un ulteriore miglioramento (la frequenza dicampionamento triplicherebbe) e così via.

Dobbiamo allora porci il problema di come calcolare i nuovi campioni da aggiungere a quellieffettivamente tirati fuori dal campionatore. Il vincolo cui non possiamo rinunciareè evidentemente quello di introdurre campioni che non modifichino ilcontenuto informativo del segnale: l’operazione di aggiunta di campioni non devecioè pregiudicare il contenuto informativo che il campionatore ha conservato nelle proprie misure.

Chiediamoci allora cosa succede se, come nuovi campioni, inseriamo tutti valori =0. Ad esempio,volendo triplicare la frequenza di campionamento, dobbiamo ottenere quanto segue:

tTC

campionioriginali

campioni nulliintrodottinumericamente

Di fatto, con l’introduzione di tali campioni, è come se imponessimo un andamento del segnaleoriginale s(t) diverso da quello di partenza. D’altra parte, introdurre campioni nulli, almeno a livellointuitivo, non modifica comunque il contenuto informativo del segnale. Infatti, il segnale campionatorimane invariato rispetto a prima, in quanto è costituito dagli stessi impulsi da cui era costituitoprima:

∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

−δ

= →−δ=

n

CCC

campioni dei toinfittimenl' dopo

nCCC 3

Tnt

3

Tns)t('s)nTt()nT(s)t(s

Il motivo è evidente: anche se, teoricamente, abbiamo aggiunto dei nuovi impulsi, essi hanno tuttiarea nulla, per cui non avranno alcun effetto sul successivo filtro di ricostruzione.

C’è però una differenza rispetto a prima: è vero che il segnale campionato presenta gli stessiidentici impulsi che aveva prima, ma è anche vero che adesso il tempo evolve non più a passo TC, maa passo TC/3. Questo significa che abbiamo un allargamento in frequenza di un fattore 3, ossia che lerepliche spettrali, pur rimanendo identiche (per cui conserviamo ancora intatto lo spettro del segnaledi partenza), si pongono a cavallo di 3fC e multipli, esattamente come volevamo ottenere:

f

f3fC

S(f)

S'C(f)

-3fC



In conclusione, con la banale (apparentemente) introduzione di campioni nulli, equispaziati diTC/3 tra loro, tra i campioni effettivamente misurati dal campionatore, noi otteniamo,numericamente, l’aumento di un fattore 3 della frequenza di campionamento. Il discorso,ovviamente, si può generalizzare: introducendo N-1 campioni nulli tra icampioni misurati effettivamente dal campionatore, otteniamo unaumento (numerico) della frequenza di campionamento di un fattore N.

Questo è esattamente il meccanismo usato nei lettori CD. Esso consente di utilizzare un filtraggioanalogico blando quanto si vuole e quindi una ricostruzione del segnale musicale ad alta fedeltà.

CONCETTI GENERALI SUGLI INTERPOLATORI

Cominciamo adesso ad occuparci più dettagliatamente degli interpolatori, ossia dei filtri cheusiamo per ricostruire il segnale analogico di partenza a partire dai suoi campioni.

A livello puramente matematico, per effettuare una interpolazione bastano i numeri; nella realtà,invece, la cosa è più complessa: consideriamo infatti che l’interpolazione si realizza sollecitando, inistanti opportuni, un dispositivo che ha come risposta all’impulso la funzione interpolante che ciserve; non possiamo allora pensare di mandare in ingresso al filtro delle funzioni che siano semprenulle tranne che in un istante, in quanto tali funzioni hanno area nulla, il che comporta che anchel’uscita del filtro risulti nulla: infatti, tale uscita è la convoluzione della risposta all’impulso delfiltro per l’ingresso. E’ necessario dunque dare una descrizione dei campioni del segnale comunquesotto forma di una funzione tempo-continua. Nella pratica, l’ingresso all’interpolatore è costituito dalsegnale di uscita di un latch, il quale carica la configurazione di bit corrispondente al campione inquell’istante e fornisce in uscita un segnale elettrico stabile che rappresenta il suddetto campione.

Fatta questa necessaria premessa, vediamo i concetti generali sugli interpolatori. Tutto sta acapire come deve essere fatta la funzione di risposta all’impulsodell’interpolatore: infatti, sappiamo che, a livello matematico, la formula diricostruzione può essere posta nella forma

∑+∞

−∞=

−µ=k

CnR )nTt(h)t(s

Questa espressione dice in pratica che il segnale ricostruito si ottiene considerando la funzioneinterpolante h(t) (cioè appunto la funzione di risposta all’impulso del filtro), posizionandola negliistanti di campionamento e scalandola di un certo fattore di scala µn. Questo fattore di scala è ilvalore che il segnale assume negli istanti di campionamento. Lo abbiamo indicato così per un motivomolto importante:

• se siamo riusciti ad effettuare un campionamento perfetto, il campionatore6 è riuscito amisurare il segnale esattamente negli istanti di campionamento, per cui i coefficienti µn nonsono altro che i campioni misurati dal campionatore: µn=s(nTC);

• nella realtà, invece, il campionamento perfetto non esiste, non solo per il fatto che ilcampionatore ha un tempo di chiusura non infinitesimo, ma soprattutto perché non si riesce maia realizzare una equispaziatura perfetta dei campioni; ciò significa che non tutte le misure dicui disponiamo rappresentano effettivamente il valore del segnale negli istanti dicampionamento: il generico valore misurato corrisponderà al valore del segnale poco prima o

6 per semplicità, lo consideriamo ideale



poco dopo l’istante di campionamento cui il campione stesso si riferisce. Accertato questo,sarebbe errato ricostruire il segnale ponendo µn=s(nTC), perché si attribuirebbero al segnale deivalori, in certi istanti, sicuramente diversi da quelli effettivi. In questi casi, comeapprofondiremo in seguito, quello che si fa è calcolare i valori degli µn a partire dai valorimisurati dal campionatore.

Per queste ragioni, dunque, la formula di prima ha validità più generale.Concentriamoci dunque sulla funzione interpolante h(t).Un sicuro requisito cui tale funzione deve soddisfare, affinché il

segnale ricostruito rispetti i valori dei campioni negli istanti dicampionamento, è che non ci sia interferenza tra campioni adiacenti.In altre parole, la risposta all’impulso del filtro interpolante deve valere 1 (o comunque esserediversa da zero) nell’origine e deve valere necessariamente 0 in tutti gli altri punti dicampionamento; deve cioè presentare degli zeri ogni TC secondi (dove TC è il periodo dicampionamento), fatta eccezione per l’origine.

Quindi, per garantire la mancanza di interferenza tra campioni adiacenti negli istanti dicampionamento, la risposta all’impulso dell’interpolatore deve essere a zeri equidistanti7:

Come è noto, una funzione del tempo che sia a zeri equidistanti (a distanza TC) gode di unaimportante proprietà: periodicizzando il suo spettro a passo 1/TC, si ottiene una costante. In formule,se H(f) è la funzione di trasferimento del filtro, si ha cioè che

tcosT

kfH

k C

=

−∑

+∞

−∞=

Un altro vincolo cui l’interpolatore deve sottostare riguarda il suo “comportamento” in frequenza.Abbiamo infatti visto più volte che l’interpolatore, idealmente, deve lasciare immutato lo spettronell’intervallo non ambiguo compreso tra -fC/2 e fC/2, mentre invece deve annullare le altre replichespettrali (posizionate intorno alle armoniche della frequenza di campionamento).

ffC

H(f)

-fC -fC/2 fC/2

Funzione di trasferimento del filtro di ricostruzione ideale, la cui corrispondente funzione di rispostaall’impulso è nella classica forma sin(t)/t.

7 Il problema è assolutamente analogo a quello che si pone, nei ricevitori numerici, per l’intersimbolo all’uscita del filtro di

ricezione: anche in quel caso, per evitare interferenza tra i campioni adiacenti, era necessario avere, all’uscita del suddetto filtro,forme d’onda ad intersimbolo nullo, ossia forme d’onda a zeri equidistanti.



Possiamo allora cominciare ad imporre che la funzione di trasferimento del filtro di ricostruzionesia nulla proprio nelle armoniche della frequenza di campionamento. Anche qui, dunque, vogliamouna funzione che sia a zeri equidistanti, ma questa volta in frequenza: dualmente, allora, rispetto aprima, la funzione di risposta all’impulso h(t) del filtro dovrà essere tale che, periodicizzata a passoTC=1/fC, dia una costante:

tcosf

kth

k C

=

−∑

+∞

−∞=

Un interpolatore la cui H(f) è nulla a frequenza fC ed armoniche permette sicuramente un’ottimaricostruzione del segnale:

ffC

H(f)

-fC -fC/2 fC/2

Una funzione di trasferimento di questo è sufficientemente piatta nell’intervallo di frequenza in cui ècollocato lo spettro del segnale da isolare e, allo stesso tempo, presenta una attenuazione

sufficientemente alta in prossimità delle armoniche di fC.

Un risultato ancora migliore lo otteniamo se imponiamo che, in corrispondenza delle armoniche difC, non si annulli solo H(f), ma anche la sua derivata prima8: infatti, se questo accade, l’attenuazionein prossimità proprio di fC e armoniche, è maggiore.

Facciamo allora un esempio concreto. Consideriamo un filtro interpolatore con funzione dirisposta all’impulso di tipo rettangolare; sappiamo bene che la corrispondente funzione ditrasferimento è il classico sin(f)/f. Questa funzione è a zeri equidistanti, ma non lo è la sua derivataprima:

f)f0f)fff

f)ff

f

f

ff

f(tg(sin)cos(

(sin)cos()(sin

d

d)(sin2

=→=−→−

=

→

Se invece consideriamo una funzione di risposta all’impulso di tipo triangolare, la corrispondentefunzione di trasferimento è del tipo sin2(f)/f2:

t t

TC

-TC TC

convoluzione

2

TC−2

TC

1

La risposta all’impulso di tipo triangolare si ottiene convolvendo quella rettangolare con se stessa; diconseguenza, in frequenza, lo spettro del triangolo è il prodotto dello spettro del rettangolo con se stesso,

ossia appunto un sin2(f)/f2.

8 In tal modo, sia H(f) sia H’(f) sono a zeri equidistanti, dove la distanza è sempre fC.



Per essere precisi, se il triangolo ha base TC e ampiezza unitaria, il suo spettro è

( )2C

C2

triangT

)T(sin)(H

f

ff

π

π=

Diagrammando questa funzione, abbiamo quanto segue:

Confronto tra la funzione sin(f)/f e la funzione sin2(f)/f2.Gli zeri sono nelle stesse posizioni ed entrambevalgono 1 in corrispondenza dell’origine. Tuttavia, la funzione sin2(f)/f2 presenta uno smorzamento molto

più rapido

Si tratta evidentemente di una funzione che ha ancora zeri equidistanti, in corrispondenza di fC earmoniche, ma che presenta una attenuazione decisamente maggiore in corrispondenza di tali zeri;questo deriva proprio dal fatto che anche la derivata prima della funzione si annulla negli stessipunti.

Ovviamente, questo aspetto positivo relativo alla maggiore attenuazione in corrispondenza dellealte frequenze si paga con un evidente difetto: la zona, a cavallo dello 0, in cui la funzione sin2(f)/f2 èsostanzialmente piatta è diminuita rispetto alla funzione sin(f)/f. Quindi, a fronte della maggioreattenuazione delle alte frequenze, abbiamo anche un più accentuato effetto passa-basso, che potrebbenon andarci bene se lo spettro del segnale non è a banda stretta.

Potremmo anche procedere con questo metodo, considerando funzioni che abbiano anche laderivata seconda a zeri equidistanti, ma è intuitivo aspettarsi come evolvano le cose: crescel’attenuazione delle repliche spettrali che non interessano ma cresce anche l’effetto passa-basso.Questo è il motivo per cui, nella realtà, si considerano solo interpolatori con funzione di rispostaall’impulso rettangolare (interpolatore di ordine 0, altrimenti detto mantenitore) o triangolare(interpolatore di ordine 1, altrimenti detto interpolatore lineare).

t t

interpolatoredi ordine 0

interpolatoredi ordine 1



INTERPOLATORE DI ORDINE 0: MANTENITORE

Il funzionamento del mantenitore è descritto dalla parola stessa: il valore del singolo campioneviene mantenuto fino all’arrivo del successivo. Un siffatto interpolatore è dunque un filtro che,sollecitato con un impulso (corrispondente al valore del campione) restituisce un rettangolo dialtezza pari all’area dell’impulso e di durata TC (periodo di campionamento).

tTC/2-TC/2

Vediamo il corrispondente comportamento in frequenza. Abbiamo già detto che la funzione ditrasferimento è del tipo sin(f)/f, con gli zeri in corrispondenza delle frequenze fC e multipli. Quindi,il comportamento del filtro è quello di lasciare passare pressoché invariate le componenti del segnalimolto prossime allo 0 e di attenuare progressivamente tutte le altre, con la massima attenuazioneottenuta in prossimità appunto di fC e multipli.

Deduciamo dunque che il filtro non attenua completamente le repliche spettrali, il che costituisceil suo limite principale: laddove il segnale da ricostruire ha una banda B sufficientemente stretta, ilproblema è minimo, mentre diventa tanto più consistente quanto più larga è B (sempre ovviamentenella condizione che BfC/2).

INTERPOLATORE LINEARE (O DI ORDINE 1)Il funzionamento pratico dell’interpolatore di ordine 1 , avente cioè funzione di risposta

all’impulso di tipo triangolare, è stato già descritto in precedenza, in quanto è quello usato dallafunzione PLOT del Matlab:

t

Azione di ricostruzione esercitata da un interpolatore lineare: ogni triangolo è collocato incorrispondenza degli istanti di campionamento ed è scalato di una quantità pari al campione cui siriferisce; questo equivale semplicemente a congiungere i campioni mediante dei segmenti rettilinei



La caratteristica essenziale di questo interpolatore è che, all’interno del genericoperiodo di campionamento, ogni valore che interpoliamo dipende solodal campione precedente e dal campione successivo, proprio perché si trova sulsegmento che congiunge i due campioni9.

Ci concentriamo, perciò, adesso su una problematica importante relativa al funzionamento diquesto interpolatore.

Supponiamo di avere a disposizione i campioni del nostro segnale, misurati negli istanti t=nTC:

+∞−∞=→ ,.......,0,.....,n )nT(s)t(s C

Potremmo trovarci nella necessità di calcolare i valori assunti dal segnale negli istanti t=nTC+τ,cioè negli istanti traslati di una quantità τ costante rispetto agli istanti di campionamento:

+∞−∞=τ+→ ,.......,0,.....,n )nT(s)t(s C

Come facciamo?La cosa è immediata se τ è un multiplo di TC, in quanto ci basterebbe considerare la sequenza dei

campioni traslata. Se invece τ≠kTC, dobbiamo procedere in altro modo.Un modo molto banale di procedere potrebbe essere quello di riconvertire il segnale in analogico e

ricampionarlo negli istanti desiderati, ma questo, oltre ad essere un metodo poco razionale,comporterebbe sicuramente un peggioramento del rapporto segnale-rumore. Dobbiamo alloranecessariamente sfruttare i campioni di cui già disponiamo: dobbiamo cioè interpolare.

Usando l’interpolatore lineare10, la soluzione è la seguente: considerando il generico intervallo[ ]CC T)1n(,nT + ed i corrispondenti campioni sn ed sn+1, il valore in nTC+τ si troverà sul segmento

congiungente i due campioni:

t

s(t)

sn+1

sn

nTC (n+1)TC

τ+

9 Se passassimo ad interpolatori di ordine superiore, imponendo cioè l’annullarsi delle derivate successive, otterremmo come

risultato che il valore in un generico istante non dipende solo dal campione precedente e dal campione successivo, ma anche daun certo numero di campioni precedenti e seguenti. Questo significa che l’interpolazione si estende su un tempo tanto più lungoquanto maggiore è l’ordine dell’interpolatore: infatti, l’interpolazione non è altro che una media pesata dei campioni che seguonoe che precedono. Tale media corrispondente ad un filtraggio passa-basso: quanto maggiore è l’intervallo su cui la media pesataviene calcolata, tanto più forte è l’effetto del filtraggio. Questo è il motivo, come detto anche prima, per cui non si va mai oltrel’interpolatore lineare.

10 Non ha senso considerare l’interpolatore di ordine 0 (mantenitore), in quanto otterremmo gli stessi valori s(nTC), dato chel’interpolatore mantiene il valore di campione fin quando non arriva il campione successivo.



Ci basta allora determinare l’equazione della retta congiungente i due campioni (noti) econsiderare poi il valore di s(t) nell’istante nTC+τ. La suddetta retta ha la seguente equazione(facilmente ricavabile come la retta passante per i due campioni assegnati):

[ ] [ ]CC1nnC

n1n T)1n(,nTper t solo nss)1n(tT

ss)t(s +∈−++

−= +

+

Calcolandola in t=nTC+τ, otteniamo

( ) [ ] ( ) [ ]

nC

1nC

nC

n1n

1nnC

n1nn1n1nnC

C

n1nC

sT

1sT

sT

ss

nss)1n(T

ssssnnss)1n(nT

T

ss)nT(s

τ−+

τ=+τ

−=

=−++τ−

+−=−++τ+−

=τ+

++

++

+++

Come era ovvio aspettarsi, il valore interpolato dipende, oltre che dai duecampioni, dal valore di τ. Dobbiamo adesso chiederci a cosa corrisponda, in frequenza,l’operazione di interpolazione appena descritta.

Prima di tutto, cerchiamo di semplificare il simbolismo. Consideriamo perciò un’asse dei tempinormalizzato a TC, il che significa che gli istanti di campionamento sono adesso t=0,1,2,..,n,.. e cosìvia; in secondo luogo, come generico intervallo consideriamo quello compreso tra t=n e t=n+1;riapplicando allora lo stesso ragionamento di prima, per calcolare s(τ), otteniamo evidentemente che

( ) )1n(s)n(s1T

nsC

+τ+τ−=

τ+

Per comprendere l’equivalente, in frequenza, di questa operazione dobbiamo necessariamenterichiamare dei concetti a proposito dei sistemi tempo-discreti.

Nella elaborazione numerica dei segnali, l’informazione è sempre espressa in forma di serienumerica ed abbiamo visto che tale serie numerica si ottiene, partendo da una funzione continua neltempo, mediante l’operazione di campionamento. Per poter effettuare delle elaborazioni con uncomputer, non possiamo fare a meno di avere, in qualsiasi punto della catena elaborativa, deisegnali tempo-discreti, cioè delle sequenze di numeri. Per questo motivo, il sistema attraversocui passa il segnale dovrà essere necessariamente discreto, ossia dovrà avere una fisica che si muoveper istanti discreti di tempo. Questo, in parole povere, significa una cosa molto semplice: inserendouna sequenza numerica nel nostro sistema, esso risponderà con un’altra sequenza numerica ed il suostato evolverà per istanti discreti.

Per analizzare il comportamento del sistema sul segnale ricevuto in ingresso, anche nel campo deisistemi tempo-discreti si usa il concetto di funzione di risposta all’impulso, definita come larisposta del sistema ad un ingresso impulsivo. E’ ovvio che la suddetta risposta sarà una sequenza dinumeri:


26

St tu(n) h(n)

Metodo per la determinazione della risposta all’impulso di un sistema tempo-discreto: si manda iningresso un impulso (discreto) e si misura la corrispondente risposta

La risposta all’impulso nel caso tempo-discreto ha lo stesso ruolo di quella nel caso tempo-continuo: dato che ogni segnale discreto può essere espresso come sovrapposizione di impulsi, larisposta del sistema (supposto ovviamente lineare) ad un qualsiasi ingresso sarà ottenibile valutandola risposta a ciascun impulso in cui l’ingresso è scomponibile e poi sommando. Traduciamo questiconcetti in formule.

In primo luogo, l’espressione analitica convenzionale di un impulso unitario discreto è laseguente:

δ( )nT T=≠

1 n = 0

0 n 0

Questo impulso gode di una proprietà fondamentale, che è l’analoga della proprietà di setaccioche conosciamo nel dominio tempo-continuo: ricordando che la definizione di prodotto diconvoluzione tra segnali discreti è

∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

−δ=−==kk

)kTnT()kT(xT)kTnT(y)nT(xT)nT(y*)nT(x)nT(z

la suddetta proprietà dice che

)nT(*)nT(x)kTnT()kT(xT)nT(xk

δ=−δ= ∑+∞

−∞=

In base a tale proprietà, possiamo calcolare l’uscita y(nT) del nostro generico sistema cui poniamoin ingresso il generico segnale x(nT): indicando con TD[] l’operatore che rappresenta l’effetto delsistema sull’ingresso, possiamo scrivere che

[ ] [ ]

−δ=δ== ∑

+∞

−∞=mDDD )mTnT()mT(TxT)nT(*)nT(xT)nT(xT)nT(y

Data la linearità del sistema (e quindi di TD) abbiamo poi che

[ ] [ ]∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

−δ=−δ=m

Dm

D )mTnT(T)mT(xT)mTnT()mT(xTT)nT(y

dove l’ultimo passaggio è dovuto al fatto che gli x(mT) sono numeri, mentre l’operatore TD agiscesolo su funzioni di nT.



D’altra parte, abbiamo detto che, per definizione, mandando il segnale )mTnT( −δ in ingresso alsistema, la sua risposta è proprio la risposta all’impulso:

[ ] →−δ=− )mTnT(T)mTnT(h D y nT Tx mT h nT mT x nT h nTm

( ) ( ) ( ) ( ) * ( )= − ==−∞

+∞

∑

Abbiamo dunque dimostrato che, anche per i sistemi tempo-discreti, larisposta ad un qualsiasi ingresso è calcolabile come convoluzione(nella sua definizione tempo-discreta) tra l’ingresso e la funzionedi risposta all’impulso:

)nT(h*)nT(x)nT(y =

Ovviamente, perché tutto questo discorso abbia senso, il passo di campionamento del segnaleingresso deve essere uguale al passo di campionamento della risposta all’impulso del sistema.

Fatti questi richiami, possiamo tornare al nostro problema principale, che era quello diinterpretare in frequenza l’azione di interpolazione rappresentata dall’equazione

( ) )1n(s)n(s1T

nsC

+τ+τ−=

τ+

A primo membro abbiamo in pratica l’n-simo campione del segnale che stiamo supponendo siacampionato non più negli istanti nTC, ma negli istanti nTC+τ. Indichiamo allora tale campione comeun generico u(n), al fine di rappresentare il fatto che si tratti dell’uscita di un sistema:

( ) ( ) )1n(s)n(s1nu +τ+τ−=

La discretizzazione del sistema, oltre che del segnale, ci permette di interpretare questa relazionecome la convoluzione tra la sequenza di ingresso e la risposta all’impulso di un filtro che ha 2campioni, di ampiezza τ e 1-τ, opportunamente disposti nel tempo. Siamo allora in grado di definirela funzione di trasferimento del sistema: infatti, la trasformata di Fourier dell’uscita u(n) è

( ) ( ) CfT2je)f(S)f(S1fU πτ+τ−=

per cui la funzione di trasferimento del sistema, applicando la normale definizione, è

( ) ( ) CfT2je1)f(S

fU)f(H πτ+τ−==

Per capire che “aspetto” abbia questa funzione, facciamo qualche semplice passaggio

( ) ( ) ( ))fT2(sinj)fT2cos(1)fT2(jsin)fT2cos(1e1)f(H CCCCfT2j C πτ+πτ+τ−=π+πτ+τ−=τ+τ−= π

Si tratta dunque di una funzione di trasferimento complessa, dipendente dal valore di τ.Concentriamoci allora sul suo modulo. Tralasciando i dettagli analitici, possiamo diagrammare |H(f)|in funzione di f, ottenendo quanto segue:



Andamento di |H(f)|: nella figura a sinistra è evidenziata la funzione nel suo complesso, come unaoscillazione sinusoidale (che in pratica ha l’andamento di un cos2(f) ) sovrapposta ad un termine

costante; nella figura a destra, invece, è mostrata solo l’oscillazione sinusoidale nel caso particolare diτ=1/2; si nota, in questo caso, il primo minimo nullo in corrispondenza di 1/2TC (dove TC è il periodo di

campionamento), cioè nella frequenza di Nyquist

La funzione risulta dunque composta da un termine costante 1-τ cui si sovrappone unaoscillazione sinusoidale11 la cui entità dipende da τ. Questo significa che la funzione che si ottiene,per interpolazione, da quella di partenza (supponendo che il campionamento sia avvenuto rispettandoil teorema di Nyquist), è diversa a seconda del valore di τ. Concentriamoci in particolare sul periodofondamentale della funzione di trasferimento, nel quale essa ha andamento passa-basso, variabile conτ. Consideriamo allora i vari casi:

• un primo caso semplice è quello in cui τ=1/2, per cui vogliamo il valore intermedio tra i due

campioni considerati: in questo caso, risulta 2

)1(s)0(s)2/1(s

+= , per cui il valore determinato è

la media aritmetica dei campioni estremi; in frequenza, come evidenziato nella figura di prima,la funzione |H(f)| presenta un minimo nullo in corrispondenza della frequenza di Nyquist fC/2 esi verifica che il maggiore effetto passa-basso si ha proprio in questa condizione;

• i casi ancora più semplici sono quelli estremi, in cui cioè τ=1 oppure τ=0: in questi casi, siprendono esattamente s(1) oppure s(0), per cui il segnale di uscita ha la stessa banda che avevain ingresso

• in generale, se τ diventa più piccolo o più grande rispetto ad 1/2, si effettua ancora una mediadei campioni estremi, ma non più aritmetica, bensì pesata12; quanto più τ è vicino al puntomedio tra i due estremi, tanto più l’operazione di filtraggio è spinta, fino al massimo valore chesi ha, come detto, quando τ=1/2.

Quindi, concludendo, il problema di questo interpolatore è che, quando usato per eseguire unoshift temporale del segnale che è stato campionato, svolge la funzione di filtro passa-basso con bandapassante dipendente dall’entità dello shift: ciò significa che l’interpolazione effettuatanon dà i valori del segnale di partenza negli istanti desiderati,bensì i valori del segnale di partenza sottoposto ad un filtraggiopassa-basso, dipendente da τ.

11 Si tratta di una funzione periodica e non c’è da stupirsi: è infatti la trasformata di un segnale (la risposta all’impulso) che è

campionato.

12 il che significa che si dà più peso all’uno o all’altro campione a seconda che τ sia maggiore o minore di 1/2



Filtro di ricostruzione perfetto

Il problema appena descritto non si presenta, invece, nell’interpolatore perfetto, cioè nel filtropassa-basso ideale, avente funzione di risposta all’impulso del tipo sin(t)/t.

Il motivo principale per cui tale filtro non è implementabile è che la sua funzione di rispostaall’impulso è estesa da -∞ a +∞, per cui sarebbe utilizzabile solo a patto di avere un numero infinitodi campioni. Per rendere implementabile il filtro, possiamo allora pensare di finestrare la sua h(t),ossia di limitarla ad un intervallo temporale prefissato e di durata finita. Ad esempio, scegliamo unintervallo, centrato nell’origine, che vada da t=-NTC/2 a t=NTC/2, con N generico.

Finestratura di un segnale del tipo sin(t)/t, dove l’intervallo di finestratura è stato esteso dal 3° zeronegativo al 3° zero positivo. Nel caso del filtro di ricostruzione ideale, dove gli zeri sono posizionati in

±TC e multipli, la finestratura considerata in figura è quella che va da -3TC a 3TC.

Possiamo anche calcolare lo spettro di questo segnale, ossia quindi la funzione di trasferimentodel filtro: infatti, quella funzione del tempo è semplicemente interpretabile come prodotto di unsin(t)/t per un rettangolo, per cui in frequenza avremo la convoluzione di un rettangolo per unsin(f)/f: tale convoluzione ha l’ovvio effetto di introdurre delle code sia all’interno sia all’esterno delrettangolo, dando quindi una funzione di trasferimento del tipo seguente:

E’ ovvio che il risultato della convoluzione è simmetrico rispetto all’origine delle frequenze.Si identifica dunque una banda passante al cui interno l’andamento del filtro è circa unitario con

dei piccoli scostamenti, facilmente valutabili proprio perché dovute alla convoluzione del rettangolo(filtro ideale) con il sin(f)/f. C’è poi una frequenza al di là della quale l’attenuazione garantita dalfiltro è sicuramente superiore ad un valore minimo prestabilito. L’unico problema serio è dunquenella banda di transizione che ha una estensione non troppo piccola: perché il filtro sia applicabile,dovremo perciò richiedere un sufficiente allontanamento delle repliche spettrali (costituenti lospettro del segnale campionato).Per migliorare le prestazioni del filtro, non abbiamo altra strada

che ampliare la durata della finestratura, in modo da tendere semprepiù al filtro ideale: ampliando la finestratura, le oscillazioniaddensano verso i bordi e la banda di transizione diventa piùstretta.



Osservazione

Consideriamo ancora il filtro di prima, ottenuto cioè finestrando la funzione di rispostaall’impulso del filtro di ricostruzione ideale:

E’ ovvio che questa funzione di risposta all’impulso dà un proprio contributo, nella ricostruzionedel segnale, per un intervallo di tempo pari a 6 periodi di campionamento. Questo rappresenta unasostanziale differenza con gli altri filtri di ricostruzione precedentemente esaminati: lasciando daparte il filtro di ricostruzione ideale, che influenza la ricostruzione da -∞ a +∞ (essendo estesa da -∞a +∞), ricordiamo infatti che sia il mantenitore (risposta all’impulso di tipo rettangolare) sial’interpolatore lineare (risposta all’impulso di tipo triangolare) influenzano la ricostruzione per unintervallo di durata TC. Si dice allora che tali due filtri non hanno memoria da un campione alsuccessivo, al contrario dell’interpolatore ideale, che invece ha memoria infinita (ed è per questoirrealizzabile).

CAMPIONAMENTO IRREGOLARE

Consideriamo un segnale tempo-continuo s(t) e supponiamo di sottoporlo ad un campionamento apasso TC. Ci aspettiamo, in uscita dal campionatore (supposto ideale), le misure dei valori delsegnale esattamente negli istanti di campionamento nTC:

Campionatore

periodo: TC

s(t) s(nTC)

Nella realtà, non è mai pensabile che il campionatore esegua tutte le misure esattamente negliistanti di campionamento; in generale, per il generico istante teorico nTC di campionamento, ilcampionatore fornirà il valore assunto da s(t) poco prima o poco dopo rispetto a nTC. In formule,possiamo perciò scrivere che, mentre il segnale atteso è s(nTC), con n=-∞,....,+∞, il segnalerealmente ottenuto è

ℜ∈τ+∞∞=τ+ nnC , ,....,-n )nT(s

Il caso peggiore possibile è quando l’errore temporale τn è diverso per ciascun istante dicampionamento: in questo caso, abbiamo un disturbo casuale sul segnale. Il caso migliore è invecequello in cui τn è lo stesso per ogni istante di campionamento: in questo caso, infatti, l’errore diventapraticamente inosservabile, visto che equivale semplicemente alla presenza di uno sfasamentotemporale del pettine di impulsi di campionamento e cioè ad un termine ejωτ nella funzione ditrasferimento corrispondente.

Mettiamoci perciò nel caso peggiore di τn diverso per ogni istante di campionamento. Se noiignorassimo la presenza di questi errori temporali ed andassimo a ricostruire il segnale,commetteremmo evidentemente un errore, in quanto assegneremmo, al segnale ricostruito, dei valori,



negli istanti di campionamento, sbagliati. Infatti, la formula di ricostruzione, quale che sia il filtrointerpolatore utilizzato, ha la caratteristica essenziale di onorare i dati, cioè di fare in modo che ilsegnale ricostruito abbia, negli istanti di campionamento, i valori dei corrispondenti campioni; ma icampioni di cui noi disponiamo non necessariamente corrispondono, per quanto detto, ai valori delsegnale s(t) di partenza negli istanti di campionamento, da cui l’errore.

In generale, possiamo porre il segnale ricostruito nella già citata forma

∑+∞

−∞=

−µ=n

CnR )nTt(h)t(s

Questa espressione dice in pratica che il segnale ricostruito si ottiene considerando la funzioneinterpolante h(t) (cioè la funzione di risposta all’impulso del filtro), posizionandola negli istanti dicampionamento e scalandola di un certo fattore di scala µn. Questo fattore di scala coincide cons(nTC) solo nell’ipotesi di campionamento perfetto; se, invece, il campionamento non è perfetto, nonc’è altra soluzione che calcolare i coefficienti µn. Il calcolo va ovviamente condotto a partire dagliunici dati a disposizione: i campioni )nT(s nC τ+ forniti dal campionatore.

La condizione che dobbiamo imporre è che il segnale ricostruito onori i dati a nostra disposizione,il che significa imporre che

)nT(s)(h)nT(s nCn

nnnCR τ+=τµ=τ+ ∑+∞

−∞=

Supponendo di avere a disposizione un numero finito N di campioni, abbiamo dunque un sistemadi N equazioni in N incognite, che potremmo immediatamente risolvere conoscendo i valori di τn.

Consideriamo la relazione ∑+∞

−∞=

−µ=n

CnR )nTt(h)t(s ; possiamo evidentemente interpretare questa

relazione come la convoluzione di un pettine di impulsi, il generico dei quali di area µn, per lafunzione di risposta all’impulso del filtro di ricostruzione: infatti,

)t(s)nT(hd)nT()t(hd)nT()t(h

d)nT()t(hd)()t(h)nTt(*)t(h)t(*)t(h

Rn

Cnn

Cnn

Cn

nCn

nCn

=−τµ=τ−τδτ−µ=τ−τδτ−µ=

=τ−τδµτ−=ττµτ−=−δµ=µ

∑∑ ∫∫ ∑

∫ ∑∫∑∞+

−∞=

∞+

−∞=

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

−∞=

+∞

∞−

+∞

−∞=

+∞

∞−

+∞

−∞=

Se allora passiamo nel dominio delle frequenze, otteniamo che

)(M)(H)(SR fff ⋅=

In questa relazione, M(f) è la trasformata del pettine di impulsi µ(t), ossia

[ ] ∑∑∑+∞

−∞=

π−+∞

−∞=

+∞

−∞=

µ=−δµ=

−δµ=

n

fnT2jn

nCn

nCn

Ce)nTt(F)nTt(F)f(M

La funzione M(f) risulta essere dunque una funzione periodica di periodo TC, dato che è latrasformata di una sequenza campionata a passo TC.

Senza perdere di generalità, data la possibilità di sfruttare la sovrapposizione degli effetti,possiamo supporre che i campioni forniti dal campionatore abbiano dei valori molto particolari:



≠=

=τ+0n 0

0n 1)nT(s nC

Stiamo cioè supponendo che ci sia un campione unitario seguito da campioni tutti nulli. Questoequivale a dire che l’ingresso al campionatore è stato un ingresso puramente impulsivo, di areaunitaria. Per confrontare i risultati con quelli noti, supponiamo che τn=0.

Allora, anche la funzione ricostruita dovrà essere unitaria in 0 e nulla altrove (dato che deveonorare i dati). Supponiamo allora di campionare sR(t) a passo 1/TC: il corrispondente segnalecampionato sarà

∑+∞

−∞=

−δ=n

CCRRC )nTt()nT(s)t(s

Dato che l’unico campione non nullo è quello nell’origine, abbiamo evidentemente che)t()t(sRC δ= ed il corrispondente spettro è quindi costante e pari ad 1. Tale spettro, d’altra parte, non

è altro che una ripetizione periodica di SR(f) a passo 1/TC:

∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

−−=−==n

CCn

CRRC )n(M)n(H)n(S)(S1 fffffff

Abbiamo inoltre osservato prima che la funzione M(f) è periodica di per se, per cui la possiamosicuramente portare fuori dalla sommatoria:

∑+∞

−∞=

−=n

C )n(H)(M1 fff

Da qui possiamo ricavare l’espressione di M(f) e possiamo sostituire nella formula)(M)(H)(SR fff ⋅= :

→−

=

∑∞+

−∞=nC )n(H

1)(M

fff

∑∞+

−∞=

−=

nC

R

)n(H

)(H)(S

ff

ff

Avendo detto che sR(t) deve essere =1 nell’origine e nulla in tutti gli altri istanti, il suo spettroSR(f) è sempre una costante pari ad 1. Questo può accadere solo se la funzione H(f) è di tipo passa-basso. Ce ne possiamo accorgere facilmente se supponiamo che H(f) sia il rettangolo passa-bassoideale, ma la cosa accade per qualunque spettro passa-basso. Ad esempio, si può considerare H(f)come una gaussiana.

Quindi, la conclusione è che, anche nel caso di campionamento irregolare, la ricostruzione delsegnale è fattibile, risolvendo il sistema di equazioni descritto in precedenza, tramite una qualunquefunzione h(t) di ricostruzione di tipo passa-basso.

Autore: SANDRO PETRIZZELLIe-mail: [email protected]

sito personale: http://users.iol.it/sandrysuccursale: http://digilander.iol.it/sandry1

elaborazione numerica dei segnali - libero...

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