el teorema fundamental del cálculo -...

El TeoremaFundamental

Introduccion

Un problematecnico


Dos corolariosimportantes

Derivacion defuncionesintegrales

El Teoremade Cambio deVariable

Integracionpor partes

El Teorema Fundamental del Calculo

Departamento de Analise Matematica

Facultade de Matematicas

Universidade de Santiago de Compostela

Santiago, 2011


Introduccion

Un problematecnico






IntroduccionLa Regla de Barrow: un resultado sorprendente

Recordemos que f es integrable en I = [a, b] y su integral en Ivale A ∈ R si se cumplen las dos siguientes definiciones(equivalentes):

1 ∫ b

af =

∫ b

af = A.

2 Para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si P ∈ P(I ) cumple‖P‖ < δ entonces |S(f ; P)− A| < ε para cualquiereleccion de puntos intermedios.

¿De donde sale la Regla de Barrow?∫ b

af (x) dx = F (b)− F (a) si F ′ = f en I y f continua en I .


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Un problematecnico






Un problema tecnicoTiene que ver con la aditividad con respecto al intervalo de integracion

Recordemos que si f : [a, b] −→ R es integrable en [a, b] sedefine ∫ a

bf (x) dx = −

∫ b

af (x) dx .

Problema. Demuestra que si f : I = [a, b] −→ R es integrableen I entonces para cualesquiera x , y , z ∈ I se tiene que∫ y

xf (s) ds −

∫ z

xf (s) ds =

∫ y

zf (s) ds.


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Un problematecnico






La funcion integral indefinida

Sea f : I = [a, b] −→ R una funcion integrable en I .Definicion. Una integral indefinida de f es cualquier funcionde la forma

F : x ∈ I 7−→ F (x) =

∫ x

x0

f (s) ds,

donde x0 ∈ I esta fijado de antemano.

Teorema. En las condiciones de la definicion anterior, lafuncion F es lipschitziana en I (y, por tanto, continua en I ).


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Un problematecnico






La funcion integral indefinida

Sea f : I = [a, b] −→ R una funcion integrable en I .Definicion. Una integral indefinida de f es cualquier funcionde la forma

F : x ∈ I 7−→ F (x) =

∫ x

x0

f (s) ds,

donde x0 ∈ I esta fijado de antemano.Teorema. En las condiciones de la definicion anterior, lafuncion F es lipschitziana en I (y, por tanto, continua en I ).


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El Teorema Fundamental del CalculoRelaciona los calculos diferencial e integral

Teorema Fundamental del Calculo.Sean f : I = [a, b] −→ R integrable en I , x0 ∈ I , y la funcionintegral indefinida

F : x ∈ I 7−→ F (x) =

∫ x

x0

f (s) ds.

Si f es continua en un punto c ∈ I entonces F es derivable enc y F ′(c) = f (c).

Nota. Si c es un extremo del intervalo se entiende que F ′ es lacorrespondiente derivada lateral.


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Dos corolarios importantesExistencia de primitivas para las funciones continuas y la Regla de Barrow

Corolario (Existencia de primitivas para las funcionescontinuas). Si f : J −→ R es continua en un intervalo J (nonecesariamente cerrado o acotado), entonces para cualquierx0 ∈ J fijado la funcion integral indefinida

F : x ∈ J 7−→ F (x) =

∫ x

x0

f (s) ds,

es una primitiva de f (es decir, F ′(x) = f (x) para todo x ∈ J).Ademas, cualquier otra primitiva de f es de la formaG (x) = F (x) + k para todo x ∈ J y para un cierto valor k ∈ R.

Corolario (Regla de Barrow). Si f : I = [a, b] −→ R escontinua en I y F es una primitiva de f entonces∫ b

af (x) dx = F (b)− F (a).


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Dos corolarios importantesNotas sobre la existencia de primitivas para las funciones continuas

1 El primer corolario no solo asegura la existencia deprimitivas para las funciones continuas, sino que tambiennos dice como son:

si f es continua en el intervalo Jentonces todas sus primitivas son de la forma

F (x) = k+

∫ x

x0

f (s) ds (x ∈ J), con x0 ∈ J y k ∈ R fijados.

2 No siempre las funciones elementales tienen primitivaselementales. Por ejemplo, F (x) =

∫ x0 e−s

2ds es una

primitiva de f (x) = e−x2, pero F no se puede expresar en

terminos de funciones elementales.

3 Las funciones discontinuas pueden tener primitivas o no¿Ejemplo de cada una?


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1 El primer corolario no solo asegura la existencia deprimitivas para las funciones continuas, sino que tambiennos dice como son: si f es continua en el intervalo Jentonces todas sus primitivas son de la forma

F (x) = k+

∫ x

x0



∫ x0 e−s

2ds es una





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F (x) = k+

∫ x

x0


2 No siempre las funciones elementales tienen primitivaselementales.

Por ejemplo, F (x) =∫ x

0 e−s2

ds es una





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F (x) = k+

∫ x

x0



∫ x0 e−s

2ds es una





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Dos corolarios importantesNotas sobre la Regla de Barrow

1 En ocasiones podemos usar la Regla de Barrow aunque enprincipio no se cumplan sus hipotesis.

Por ejemplo, cuandotenemos una cantidad finita de discontinuidades, todasellas evitables; en el calculo de integrales de funcionescontinuas a trozos quiza podamos aplicar la Regla deBarrow al calcular la integral en cada trozo.

2 Existe una version mas general de la Regla de Barrow.Segundo Teorema Fundamental del Calculo. Sif : I = [a, b] −→ R es integrable en I y F es una

primitiva de f , entonces∫ ba f (x) dx = F (b)− F (a).

Ejercicio. Encuentra un ejemplo de una funcion f quesatisfaga las condiciones del Segundo TeoremaFundamental y no las de la Regla de Barrow.


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1 En ocasiones podemos usar la Regla de Barrow aunque enprincipio no se cumplan sus hipotesis. Por ejemplo, cuandotenemos una cantidad finita de discontinuidades, todasellas evitables

; en el calculo de integrales de funcionescontinuas a trozos quiza podamos aplicar la Regla deBarrow al calcular la integral en cada trozo.





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1 En ocasiones podemos usar la Regla de Barrow aunque enprincipio no se cumplan sus hipotesis. Por ejemplo, cuandotenemos una cantidad finita de discontinuidades, todasellas evitables; en el calculo de integrales de funcionescontinuas a trozos quiza podamos aplicar la Regla deBarrow al calcular la integral en cada trozo.





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Derivacion de funciones integralesEsto es otra consecuencia del Teorema Fundamental del Calculo

Nos planteamos ahora como calcular derivadas de funciones deltipo

x 7−→∫ h(x)

g(x)f (s) ds.

Proposicion. Si f : I −→ R es continua en el intervalo I ,g , h : J −→ R son derivables en el intervalo J y g(x), h(x) ∈ Ipara todo x ∈ J, entonces para todo x ∈ J tenemos que(∫ h(x)

g(x)f (s) ds

)′= f (h(x))h′(x)− f (g(x))g ′(x).

Ejemplo. Calcula la derivada de la funcion

G (x) =

∫ cos x

sen xe−s

2ds (x ∈ R).


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Cambio de variable en la integral definida¡No sera necesario deshacer los cambios de variable!

Teorema de Cambio de Variable en la integral definida.La formula de cambio de variable∫ G(b)

G(a)f (x) dx =

∫ b

af (G (t)) G ′(t) dt

es valida si G : I = [a, b] −→ R es continuamente derivable enI y f es integrable en G (I ).

Nota para recordar la formula. En la primera integralhacemos x = G (t), de donde dx = G ′(t) dt.Solamente lo demostraremos en el caso “f continua”.Al contrario que el en Teorema de Cambio de Variable para elcalculo de primitivas, la funcion de cambio de variable G nonecesita ser inyectiva.


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G(a)f (x) dx =

∫ b


es valida si G : I = [a, b] −→ R es continuamente derivable enI y f es integrable en G (I ).Nota para recordar la formula. En la primera integralhacemos x = G (t), de donde dx = G ′(t) dt.

Solamente lo demostraremos en el caso “f continua”.Al contrario que el en Teorema de Cambio de Variable para elcalculo de primitivas, la funcion de cambio de variable G nonecesita ser inyectiva.


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G(a)f (x) dx =

∫ b


es valida si G : I = [a, b] −→ R es continuamente derivable enI y f es integrable en G (I ).Nota para recordar la formula. En la primera integralhacemos x = G (t), de donde dx = G ′(t) dt.Solamente lo demostraremos en el caso “f continua”.

Al contrario que el en Teorema de Cambio de Variable para elcalculo de primitivas, la funcion de cambio de variable G nonecesita ser inyectiva.


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G(a)f (x) dx =

∫ b


es valida si G : I = [a, b] −→ R es continuamente derivable enI y f es integrable en G (I ).Nota para recordar la formula. En la primera integralhacemos x = G (t), de donde dx = G ′(t) dt.Solamente lo demostraremos en el caso “f continua”.Al contrario que el en Teorema de Cambio de Variable para elcalculo de primitivas, la funcion de cambio de variable G nonecesita ser inyectiva.


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Cambio de variable en la integral definidaAplicaciones practicas: Caso Facil y Caso No Tan Facil

Como usar el cambio de variable en la integral definida.∫ G(b)

G(a)f (x) dx︸︷︷︸

(I )

=

∫ b

af (G (t)) G ′(t) dt︸︷︷︸

(II )

.

Ejemplo del Caso Facil (Partimos de la integral (II), porlo que la funcion de cambio G y su dominio se encuentranentre los datos del problema.)

(a) Calcula la∫ π/4

0

√sen t cos t dt.

(b) Calcula la∫ √

sen t cos t dt.


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Cambio de variable en la integral definidaAplicaciones practicas: Caso Facil y Caso NO TAN Facil

Como usar el cambio de variable en la integral definida.∫ G(b)

G(a)f (x) dx︸︷︷︸

(I )

=

∫ b

af (G (t)) G ′(t) dt︸︷︷︸

(II )

.

Ejemplo del Caso NO TAN Facil (Partimos de la integral(I), por lo que la funcion de cambio G NO se encuentraentre los datos del problema.)

(a) Calcula la∫ 1−1

√1− x2 dx .

(b) Calcula la∫ √

1− x2 dx .(c) Repite el apartado (a) usando la misma funcion de cambiopero con dominio en [−π/2, π/2 + 2π].


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Cambio de variable en la integral definidaSegunda version: solamente para cambios biyectivos

Segunda version del Teorema de Cambio de Variable.La formula de cambio de variable∫ G(b)

G(a)f (x) (G−1)′(x) dx =

∫ b

af (G (t)) dt

es valida si G : I = [a, b] −→ R es continuamente derivable enI , G ′(t) 6= 0 para todo t ∈ I , y f es integrable en G (I ).Ejemplo. Calcular ∫ π2

(π/2)2

cos√

t dt.


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Integracion por partes en la integral definida

Teorema de integracion por partes en la integral definida.Si f , g : I = [a, b] −→ R son funciones continuamentederivables en I entonces∫ b

af ′(x) g(x) dx = f (b)g(b)− f (a)g(a)−

∫ b

af (x) g ′(x) dx .

Abreviatura de la formula:∫ b

au dv = u v |ba −

∫ b

av du.

Ejemplo.∫ π

0 ex sen x dx .

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