EL ÁREA DE CONOCIMIENTO DE«DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA»

LUIS RICO ROMERO - MODESTO SIERRA VÁZQUEZ - ENCARNACIÓN CASTRO MARTÍNEZ (*)

RESUMEN. En los últimos treinta años los matemáticos españoles han llegado a ocu-par un puesto de relieve en la comunidad científica internacional. Y en este contex-to, también la comunidad de los especialistas en Didáctica de la Matemática hahecho esfuerzos de mejora y progreso considerables: cuenta con nuevos retos queconsolidan un espacio docente e investigador en la universidad, con su participaciónen los planes de estudio de la Formación del Profesorado de primaria y secundariay con el desarrollo de los estudios de tercer ciclo.Sin embargo, el articulado hace un repaso crítico, con absoluta sinceridad, sobre lasituación actual y la falta de bases adecuadas para afrontar los retos del futuro: caren-cias en la formación inicial del profesorado de primaria, falta de formación en el desecundaria, bloqueo administrativo (y universitario) de los planes para poner endesarrollo activo esta formación... La enorme «inversión intelectual« de estos últimosaños en el campo de la Didáctica de las Matemáticas, aún necesitadas también dereformulación y de impulso, es una garantía, no obstante, de que estos desafíos defuturo pueden ser afrontados con éxito.

ABsTRAcr. In the last thirty years Spanish mathematicians have achieved an impor-tant position in the scientific international community. In this context, the commu-nity of experts on didactics of maths has also made considerable efforts to improveand progress, such as: consolidating a teaching and researching position in the Uni-versity, participating in the syllabuses for the Training of Primary and SecondarySchool Teaching Staff, and developing doctoral studies.However, the articles make a critical and sincere check of the current situation andthe lack of adequate conditions to face future challenges: lacks in the initial trainingof Primary School Staff, lack of training in the Secondary School Staff, administrative(and universitary) block of plans to develop this training... Notwithstanding, thehuge «intellectual investment . of the last years in the field oídidactics of maths-whichstill needs reformulation and impetus- is a guarantee to face these future challengeswith success.

APROXIMACIÓN A LA DIDÁCTICADE LA MATEMÁTICA

LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICAEN EL ÁMBITO DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Para explicar y entender qué es la Didácti-ca de la Matemática hay que situarse en elcampo más amplio de la educación mate-

mática. Hablar de educación matemáticasupone que las matemáticas pertenecen alpatrimonio intelectual básico de la humani-dad, que se transmite por el sistema educa-tivo, y que estos conocimientos formanparte esencial de la cultura del ciudadanodel siglo xxi. La educación matemáticacomienza con las primeras nociones sobreel número y la cantidad, la regularidad y la

( ) Universidad de Granada, Universdad de Salamanca y Universidad de Granada, respectivamente.

Revista de Educación, núm. 328 (2002), pp. 35-58

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Fecha de entrada: 01-06-2002

Fecha de aceptación: 15-06-2002

forma, las relaciones y la estructura, laspruebas y las argumentaciones, modos depensamiento que transmitimos en herenciaa nuestros niños y jóvenes y que alcanzansu culminación en determinadas destrezasy teorías, útiles para una formación profe-sional o para estudios superiores. La edu-cación matemática comprende una granvariedad de acciones, términos, símbolos,técnicas, actitudes y recursos utilizadospara construir y aplicar las matemáticas;también abarca sus modos de empleo paracomunicar conocimientos y organizar gran-des parcelas de la actividad intelectual,científica, económica, cultural y social, tal ycomo está documentado en las sociedadeshumanas a lo largo de la historia.

Desde la perspectiva del especialistaconsideramos la educación matemáticacomo el conjunto de ideas, conocimientosy procesos implicados en la construcción,representación, transmisión y valoracióndel conocimiento matemático que tienenlugar con carácter intencional. También laactividad de los profesores, y los procesospara su formación, quedan comprendidosdentro de la educación matemática. Laenseñanza se ubica dentro del grupo deactividades profesionales convencionales,que se distinguen por la resolución de pro-blemas instrumentales sobre la base de unconocimiento científico especializado.

En términos generales se pueden dis-tinguir tres sentidos distintos en educaciónmatemática (Rico, Sierra y Castro, 2000;Rico y Sierra, 2000), cada uno de los cualesestablece un campo diferente de actuacióny un ámbito propio para la investigación:

• En primer lugar, educación matemá-tica como conjunto de conocimien-tos, artes, destrezas, lenguajes, con-venciones, actitudes y valores, cen-trados en las matemáticas y que setransmiten por medio del sistemaescolar. La educación matemática eneste caso se refiere a las matemáticasescolares, es decir, al conocimientomatemático como objeto de ense-ñanza y aprendizaje. La finalidad de

la educación matemática se centraaquí en enriquecer y estructurar demanera adecuada los diversos signi-ficados de los conceptos matemáti-cos, superando la aparente exclusi-vidad de su significación formal ydeductiva y con el propósito de con-tribuir a su comprensión por perso-nas en formación. También se refie-re a los planes de formación necesa-rios para que estos conocimientossean transmitidos, aprendidos, utili-zados y compartidos por la totalidadde los ciudadanos.

• En segundo lugar, educación mate-mática como actividad educativa quetiene lugar en unas institucionessociales y que llevan a cabo unosprofesionales cualificados. En estecaso se entiende la educación mate-mática como la totalidad de accionesy condiciones que hacen posible laenseñanza de las matemáticas. Abar-ca pues el conjunto de conocimien-tos, procesos y condiciones queposibilitan las interacciones entreprofesores y alumnos, y hacen viablela enseñanza y aprendizaje de lasmatemáticas. La educación matemá-tica se refiere al conocimiento didác-tico necesario para planificar tareas,diseñar actividades y evaluar elaprendizaje escolar; también com-prende los conocimientos profesio-nales necesarios para comunicar ypromover la construcción del cono-cimiento matemático. En este ámbitola educación matemática trata delanálisis y estudio de las condicionespara su enseñanza y aprendizaje. Serefiere al conocimiento didáctico y aldesarrollo profesional de los profe-sores y, por ello, se denomina for-mación del profesor de matemáticas.

• En tercer lugar, educación matemáti-ca como disciplina científica; es eneste caso cuando nos referimos a laDidáctica de la Matemática. Se

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entiende aquí educación matemáti-ca como la totalidad de marcos teó-ricos y metoclológicos que permiteninterpretar, predecir y actuar sobrelos fenómenos de la enseñanza yaprendizaje de las matemáticas. LaDidáctica de la Matemática se ocupade indagar metódica y sistemática-mente sobre los procesos de ense-ñanza y aprendizaje de las matemá-ticas así como de los planes para lapreparación profesional de los edu-cadores matemáticos. La Didácticade la Matemática tiene como objetodelimitar y estudiar los problemasque surgen durante los procesos deorganización, comunicación, trans-misión, construcción y valoracióndel conocimiento matemático. Ladisciplina Didáctica de la Matemáti-ca estudia los dos campos antesmencionados y también, comomuchas otras disciplinas, abarca suspropios fundamentos teóricos.

• Este carácter recursivo de la Didácticade la Matemática dentro de la educa-ción matemática puede provocar, aveces, interpretaciones inadecuadas.

LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA COMOACTIVIDAD DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

El desarrollo reciente de la Didáctica de laMatemática avala la consideración de estadisciplina como actividad de resolución deproblemas. Destacar los problemas quesurgen en la educación matemática y quedeben plantearse, abordarse y resolverseha sido una constante en las reflexiones ydebates de los profesionales, comités deespecialistas y esfuerzos de los investiga-dores en Didáctica de la Matemática de losúltimos cincuenta años. Los campos gené-ricos que los expertos (Wheeler, 1984) hanelegido para situar los problemas principa-les de la educación matemática son lossiguientes: Desarrollo teórico, Epistemolo-

gía, Formación del profesorado, Currículode matemáticas, Cognición matemática,Enseñanza de temas específicos de mate-máticas, Sociología de la educación mate-mática y Metodología de la investigación.

Como disciplina, la Didáctica de laMatemática tiene su campo de estudio enese complejo de actividades de significa-ción y tareas sociales de formación quehemos denominado educación matemáti-ca. Por ello decimos que la Didáctica de laMatemática se ocupa de indagar metódicay sistemáticamente sobre la enseñanza yaprendizaje de las matemáticas, proporcio-nar fundamentos teóricos y sostener planespara la formación profesional de los edu-cadores matemáticos. La Didáctica de laMatemática se propone delimitar y abordarlos problemas que surgen durante los pro-cesos de comunicación, transmisión, cons-trucción y valoración del conocimientomatemático, indagar sobre ellos con finesepistémicos y, en su caso, proponer solu-ciones fundadas para tales problemas.

Esta es nuestra aproximación: surgenmultitud de problemas empíricos y teóricosen los procesos de comunicación, enseñan-za y aprendizaje de las matemáticas, algu-nos de ellos de especial intensidad; tambiénsurgen problemas específicos en los proce-sos de formación y actualización de los edu-cadores matemáticos. Desde una perspecti-va ilustrada, la Didáctica de la Matemática esla disciplina que se propone transformar ymodificar los modos de interpretación delmundo y de significación de la realidadsocial por medio de la transmisión intencio-nal del conocimiento matemático y la inte-riorización reflexiva de las principales herra-mientas de este conocimiento por parte dela totalidad de los ciudadanos.

UBICACIÓN DE LA DIDÁCTICA DE LAMATEMÁTICA EN LA UNIVERSIDAD

Hacia mediados de la década de los sesen-ta del siglo )ot comienza la institucionaliza-

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ción de la Didáctica de la Matemática anivel internacional como disciplina, horno-logable como disciplina académica univer-sitaria. La celebración de congresos inter-nacionales dedicados exclusivamente a laeducación matemática; la aparición depublicaciones, libros y revistas dedicados ala investigación específica en educaciónmatemática y la incorporación plena almundo universitario son algunos de losindicadores que avalan esta afirmación.

Después de una serie de encuentrosprevios, una conferencia realizada en laUniversidad de Cornell (USA) en 1968 esta-bleció las condiciones institucionales ycientíficas para integrar las investigacionesen educación matemática en los gradosacadémicos universitarios. Gran parte delas discusiones durante este encuentroestuvieron dedicadas a determinar criteriospara un programa de calidad en la investi-gación sobre educación matemática. Entrelos acuerdos alcanzados subrayamos elénfasis puesto en implicar a los matemáti-cos en tareas de investigación en educa-ción matemática, la discusión sobre lasestrategias para desarrollar programas dedoctorado en educación matemática y lascondiciones necesarias para ello (Long,Meltzer y Hilton, 1970).

A partir de los años setenta diversasuniversidades europeas y americanasincorporaron la disciplina Didáctica de laMatemática a la Universidad, apoyaron pla-nes de formación para el personal investi-gador y, en algunos casos, programas dedoctorado específicos que han tenido unamplio desarrollo.

En lo que se refiere al caso español, apartir de la promulgación de la Ley Generalde Educación en 1970, la constitución delos Institutos de Ciencias de la Educaciónde las Universidades (los ICE) y del Insti-tuto Nacional de Ciencias de la Educación(el INCIE) dan un impulso a la investiga-ción educativa y en particular a la investi-gación en educación matemática. Tambiénseñalamos la presencia de asignaturas de

Didáctica de la Matemática en los planes deestudios para la formación de maestros ylas especialidades de metodología que seestablecen en algunas titulaciones de laLicenciatura de Matemáticas. A partir de ladécada de los ochenta, igual que habíaocurrido en otros países de Europa quinceaños antes, se inicia en España la institu-cionalización de la Didáctica de la Matemá-tica como disciplina, que viene marcadapor su consideración como área de conoci-miento, su homologación con el resto deáreas de conocimiento de la Universidad,el impulso de la investigación, el desarrollode programas específicos de doctorado enalgunas universidades, la realización detesis doctorales en estos programas y lapresencia cada vez más activa de investiga-dores españoles en los congresos y reunio-nes internacionales del área.

La Ley de Reforma Universitaria de1983 proporcionó un marco legal e institu-cional adecuado para abordar los objetivosde desarrollo científico, formación profe-sional y extensión de la cultura, que son lasfunciones básicas que el legislador asigna ala universidad española para el siglo , ou. Laley estructuró la universidad, científica-mente, por áreas de conocimiento y, acImi-nistrativamente, por departamentos quecoordinan una o varias áreas afines. El RealDecreto 1888/84 de 26 de septiembre (BOE26.10.84) establece un Catálogo de Áreasde Conocimiento para la universidad espa-ñola. Es en este marco donde surge el Áreade Conocimiento de Didáctica de la Mate-mática como uno de los campos de cono-cimiento en los que se estructura la Univer-sidad, reconociendo el esfuerzo realizadopor la comunidad de educadores matemá-ticos de nuestro país en los años anteriores.Sin lugar a dudas, la institucionalización dela Didáctica de la Matemática corno área deconocimiento en la universidad es un datoclave para entender su consolidación comodisciplina científica y académica a partir de1984. La nueva Ley Orgánica 6/2001, de 21de diciembre, de Universidades (BOE

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24.12.01) mantiene el estatus ya existentede las áreas de conocimiento y les señalanuevos retos. Las describe «como aquelloscampos del saber caracterizados por lahomogeneidad de su objeto de conoci-miento, una común tradición histórica y laexistencia de comunidades de profesores einvestigadores nacionales e internaciona-les. (Art. 71.1).

La constitución de departamentos uni-versitarios en los que está integrada el Áreade Didáctica de la Matemática ha supuestoun paso importante para la educaciónmatemática en España, disponiéndose denuevos medios personales y materiales,ayudas institucionales y recursos que hanpotenciado y potencian la docencia einvestigación en el área. En este nuevomarco legal están constituidos cuatrodepartamentos universitarios en Didácticade la Matemática en las universidadesComplutense, Granada, Sevilla y Valencia;hay otros 12 departamentos que englobanla Didáctica de la Matemática y las CienciasExperimentales, mientras que en el restode las universidades los profesores deDidáctica de la Matemática forman parte dedepartamentos más amplios, bien de mate-máticas o bien de didáctica en general, condistintas configuraciones y denominacio-nes. Los 228 profesores numerarios, cuyaformación inicial es matemática en la prác-tica totalidad, imparten su docencia y reali-zan su investigación en el ámbito de estosdepartamentos. En el momento de elabora-ción de este documento se distribuyen así:cuatro catedráticos de universidad, 35 pro-fesores titulares de universidad, 30 catedrá-ticos de escuela universitaria y 159 profe-sores titulares de escuela universitaria.

La producción de los departamentosuniversitarios se concreta en su actividad yorganización docente, en su actividad yorganización investigadora y en la promo-ción y difusión de la cultura matemática.En particular, los departamentos universita-rios ocupan un lugar prioritario en la orga-nización y desarrollo de la investigación; se

organizan en líneas de investigación, quepromueven su realización y desarrollo.

UBICACIÓN TEÓRICA DE LA DIDÁCTICADE LA MATEMÁTICA

Situada entre las ciencias de la educación ylas disciplinas matemáticas, la Didáctica dela Matemática se ha desarrollado como dis-ciplina fronteriza, con un carácter multiclis-ciplinar que se refleja en la diversidad deaproximaciones con que se pueden consi-derar los problemas que estudia.

Bishop (1992) distingue tres tradicio-nes en la investigación en educación mate-mática que configuran la disciplina Didác-tica de la Matemática: la tradición pedagó-gica, la empírico-científica y la filosófico-escolástica.

La tradición pedagógica es la más anti-gua y tiene sus antecedentes inmediatos enlos trabajos de Comenio, Pestalozzi y Froe-bel. Esta tradición se preocupa fundamen-talmente de lo que sucede en el aula, y tra-ta de resolver los problemas que allí se pre-sentan; el profesor es agente esencial enesta tradición. La metodología de investiga-ción que se utiliza es la de ensayo-error,esencialmente, intentando refinar cada vezmás los resultados obtenidos.

La tradición empírico-científica trata deconvertir la Didáctica de la Matemática enciencia experimental, utilizando esencial-mente sus métodos de investigación. Lapreocupación de los científicos y filósofosde la ciencia se ha dirigido a establecertinos criterios de demarcación entre elsaber que puede considerarse científico yel que no. Las reglas metodológicas delneopositivismo constituyen el criterio másfuerte; su versión moderna es el racionalis-mo crítico de Popper, que fija el métodohipotético-deductivo y la posibilidad defalsar las teorías como el ideal de la cienciafactual. El esfuerzo por convertir la Didácti-ca de la Matemática en una disciplina expe-rimental ha tenido como consecuencia la

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aplicación de este método en el estudio demultitud de fenómenos de enseñanza yaprendizaje, con utilización de técnicas oprocedimientos específicos para la resolu-ción de problemas concretos y la obten-ción de una gran cantidad de datos empíri-cos, necesitados de una integración teóricacomprensiva.

La tradición escolástica-filosófica tratade teorizar críticamente la disciplina Didác-tica de la Matemática. Los esfuerzos porllevar a cabo una construcción teórica pro-pia para la Didáctica de la Matemática seinician hacia 1970 y alcanzan un alto gradode elaboración en la década de los ochen-ta. Durante estos arios se muestra que laeducación matemática es un campo carac-terizado por una gran complejidad. Lasmatemáticas, en su evolución históricaactual, tienen un amplio desarrollo e inte-rrelacionan con muchas otras ciencias. Laconexión con las áreas de práctica, tecno-logía y cultura, la estructura multidimensio-nal de la enseñanza dentro de nuestrasociedad junto con la diversidad de condi-ciones y factores en el aprendizaje, entreotras relaciones, establecen la complejidadde la disciplina didáctica de la matemática.

A partir del ICME-5, celebrado en Aus-tralia, se constituye el grupo internacionalTheoty of Mathematics Education, el cualdiscute en profundidad la naturaleza de ladisciplina y aglutina el trabajo de un grupocada vez más numeroso de expertos (Stei-ner y cols., 1984). Estos investigadores acep-tan la existencia de una disciplina, tratan dedelimitar sus dimensiones y reconocen laslimitaciones existentes para abordar suestudio desde un marco teórico unificado;en su trabajo no postulan una teoría yaconstruida sino que reflexionan acerca delas condiciones necesarias para una teoríade la Didáctica de la Matemática (Steiner,1987).

En fechas más recientes, la obra Didac-tics of Mathematics as a Scientific Discipli-ne (Biehler y otros, 1994) selecciona losprincipales temas que estructuran la disci-

plina. Dichos tópicos son: currículo dematemáticas, formación de profesores,interacción en el aula, materiales y recur-sos, psicología del pensamiento matemáti-co, historia y epistemología, educaciónpara niños con necesidades especiales yetnomatemáticas.

En el momento actual, y por lo que serefiere a los fundamentos de la Didácticade la Matemática como área científica, secontinúa trabajando intensamente poralcanzar un marco teórico unificado, perotambién en subrayar las características pro-pias de los grupos nacionales de investiga-ción (Malara y col., 1996; Ponte y cols.,1998; Arzarello, 1999), o en algunos casos,internacionales, como el grupo de trabajoen educación matemática constituido porlos investigadores de los países nórdicos:Dinamarca, Finlandia, Islandia, Noruega ySuecia. De esta manera se destaca la impor-tancia que para la Didáctica de la Matemá-tica tienen las condiciones sociales, históri-cas, culturales y políticas propias de cadapaís o región. En este y otros trabajos tam-bién nosotros nos hemos propuesto carac-terizar la situación española en Didácticade la Matemática.

Todos estos avances muestran que hayun marco global, caracterizado por algunascomponentes y aportaciones.

A nuestro juicio, el marco teórico enque se plantean, estudian e investigan losproblemas y cuestiones de la Didáctica dela Matemática se sostiene desde el dominiode la Matemática, la Epistemología e Histo-ria de la Ciencia, la Pedagogía, la Psicolo-gía y la Sociología de la Educación. Nocabe confusión entre las cuestiones queabordan estas disciplinas y las que estudiala Didáctica de la Matemática: se distingueque un problema es propio de nuestra áreade conocimiento cuando están implicadosprocesos de comunicación, enseñanza yaprendizaje de las matemáticas. Postula-mos que los fundamentos teóricos para elestudio y resolución de estos problemas sesostienen en las cinco familias de discipli-

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nas citadas de una manera específica, quetrasciende e integra las aportaciones con-cretas de cada una de ellas y cuya articula-ción se ha comenzado a desarrollar.

Finalmente, la investigación en Didác-tica de la Matemática tiene como fin laactuación en el medio social, trata de seracción transformadora. Esta actuación tie-ne lugar en determinados ámbitos deactuación de modo prioritario, entre losque hemos destacado:

• Diseño, desarrollo y evaluación delcurrículo.

• Formación de profesorado y desa-rrollo profesional.

• Fundamentos y desarrollo teórico dela disciplina.

Estos campos no agotan las posibilida-des de acción de la educación matemática,sólo señalan sus prioridades actuales.

Así mismo, postulamos que toda inves-tigación en Didáctica de la Matemática sepuede caracterizar mediante tres compo-nentes: su marco teórico, su marco meto-dológico y su ámbito de actuación, queencuadran los problemas en estudio.

DOCENCIA EN DIDÁCTICADE LA MATEMÁTICA

Los comienzos de la Didáctica de la Mate-mática en nuestro país han estado vincula-dos con la Universidad y con la formacióninicial del profesorado de Matemáticas delos distintos niveles educativos. Hoy día, laformación de los profesores se lleva a cabodesde los Departamentos universitarios enlos que se ubican los especialistas en lasdistintas áreas de conocimiento, entre ellasla Didáctica de la Matemática.

Desde la creación y consolidación delsistema nacional de educación en España,a mediados del siglo xix, se puede asegurarque han existido dos modelos en la forma-ción del profesorado. El primer modelocorresponde a la formación del profesora-

do de educación primaria en institucionesespecíficas, que han recibido distintasdenominaciones a lo largo de la historiacomo Escuelas Normales, Escuelas deMagisterio, Escuelas Universitarias de For-mación del Profesorado de EducaciónGeneral Básica, muchas de ellas transfor-madas actualmente en Facultades de Edu-cación. En estas instituciones el profesor deeducación primaria ha recibido una forma-ción con cuatro componentes: científica,didáctica, psico-pedagógica y práctica.Estos cuatro componentes han tenido dife-rente peso en los distintos planes de for-mación de maestros que se han sucedido.

El segundo modelo se refiere a la for-mación del profesorado de secundariadonde ha primado ante todo la formacióncientífica en las facultades de ciencias o dehumanidades, con algún complementoañadido en formación psicopedagógica yen didácticas especiales.

Sólo en fechas muy recientes se hacomenzado a trabajar en nuestro país sobrela formación del profesorado universitarioy su currículo docente. La nueva Ley Orgá-nica 6/2001 de Universidades, entre lasgarantías que marca para la calidad de lasuniversidades, establece la evaluación, cer-tificación y acreditación de la actividaddocente (Art. 31). Más adelante señala quela formación del personal docente será unode los criterios de eficiencia en el desarro-llo de su actividad profesional (Art. 33).Estas nuevas competencias deberán serobjeto de planes específicos de formación.Aún es pronto para señalar las principaleslíneas por las que esos planes van a discu-rrir, pero no cabe duda que las competen-cias pedagógicas y el dominio didáctico ytecnológico serán componentes ineludi-bles en la formación y promoción del pro-fesorado universitario.

El trabajo que se realiza en torno a lasasignaturas que se imparten desde el áreade conocimiento y la actividad docente quese ha desarrollado de manera complemen-taria, han permitido configurar un grupo de

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expertos en formación inicial de profesoresde matemáticas de primaria y de secunda-ria —especialistas en Didáctica de la Mate-mática— quienes llevan a cabo undesarrollo teórico específico, acompañadode algunos trabajos de investigación. Tam-bién está pendiente la consolidación degrupos de expertos en la formación delprofesorado universitario.

FORMACIÓN INICIAL DE MAESTROS

Las Matemáticas y su didáctica han estadopresentes con regularidad en la formaciónde los maestros. En los actuales planes deestudio del Título de Maestro (R.D.1440/1991) hay establecidas siete especiali-dades, cada una de ellas con un plan deestudios diferente: Maestro especialista enEducación Primaria, Maestro especialista enEducación Física, Maestro especialista enLengua Extranjera, Maestro especialista enEducación Musical, Maestro de EducaciónEspecial, Especialista en Audición y Lengua-je y Maestro especialista en EducaciónInfantil. Las cuatro primeras titulacioneshabilitan para ejercer como profesor enEducación Primaria.

PLANES DE ESTUDIO DE MAGISTERIO

Uno de los objetivos de los planes de estu-dios actuales era conseguir una mayor pro-fesionalización para los titulados de magis-terio. Sin embargo, la formación en Didác-tica de la Matemática, al igual que en el res-to de las didácticas especiales, es absoluta-mente insuficiente para las necesidadesprofesionales del maestro. En el plan deestudios actual cada una de las titulacionesde magisterio tiene un total de 200 créditosasignados. Esta carga docente se distribuyeen asignaturas troncales (comunes a todaslas titulaciones a nivel nacional), obligato-rias de universidad (establecidas por cadauniversidad), optativas (ofertadas por los

departamentos para cada titulación) y cré-ditos de libre configuración (ofertados porlos departamentos para toda la universi-dad). Los créditos asignados a la troncali-dad (120) suponen el 60% de la carga lecti-va global. Para la especialidad de primariahay asignados 9 créditos dentro de la tron-calidad a la materia Matemáticas y suDidáctica, y 4,5 créditos para esa mismamateria en las especialidades de EducaciónFísica, Educación Musical y Lengua Extran-jera. En algunas universidades se amplía elnúmero de créditos dedicado a Matemáti-cas y su Didáctica para la especialidad deprimaria con una asignatura obligatoria deuniversidad, cuya carga oscila entre 6 y 9créditos. También es usual ofertar algunaasignatura optativa, cuya carga docenteestá en 6 créditos por término medio.

Estos datos proporcionan una referen-cia para establecer los porcentajes entre losque oscila la formación del profesor de Edu-cación Primaria en Matemáticas y su Didác-tica. El mínimo legal está en un 4%, porcen-taje que se da en algunas universidades. Unporcentaje medio está en el 8% de la cargadocente global. Si consideramos aquellosestudiantes que, además, cursan algunaasignatura optativa de este campo, el por-centaje en la formación del profesor de pri-maria puede llegar hasta el 11%. Lo usual esque la mayor parte de los profesores de pri-maria, en su período de formación, no ten-gan opción para que el 10% de su formaciónse ocupe en Matemáticas y su Didáctica.

Si consideramos ahora las especialida-des de Educación Física, Educación Musi-cal y Lengua Extranjera podemos afirmarque sólo el 2% de la formación de los estu-diantes que cursan estas especialidadesestá dedicada a Matemáticas y su Didáctica.Estos estudiantes no tienen otras asignatu-ras de esta área que amplíen la troncal y,raras veces, eligen asignaturas optativascomplementarias en este campo. Sinembargo, están legalmente habilitadospara impartir todas las materias de cual-quier curso de primaria.

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La formación descrita es claramenteinsuficiente para ejercer como maestro ytener la responsabilidad de la formaciónmatemática de los niños de Educación Pri-maria. Hay una contradicción profundaentre la importancia concedida a la compe-tencia matemática de los ciudadanos y laformación de los profesionales encargadosde la educación matemática en los decisi-vos primeros niveles escolares.

La situación actual sobre formación ini-cial de Maestros de Primaria en Didácticade la Matemática es claramente insatisfac-toria y así es percibido por la comunidadde especialistas. Algo similar ocurre con laformación del Maestro de Educación Infan-til, cuya oferta de troncalidul se reduce a laasignatura Desarrollo del PensamientoMatemático del Niño y su Didáctica, con 6créditos que supone un 3% de su carga lec-tiva total.

LA LICENCIATURA DE MAGISTERIO

El modelo actual para la formación inicialdel profesor de primaria necesita una revi-sión a fondo para superar las disfuncionesantes descritas. Parece conveniente laadopción de un modelo único para la for-mación de los profesores de primaria, yésta es una razón para la reforma de losplanes de estudio de Magisterio. Se vienendiscutiendo dos opciones generales: unmodelo basado en una única titulación obien un modelo de especialización, asumi-do de manera coherente y que considerauna especialidad propia para cada una delas áreas del currículo de primaria.

Por otra parte, está abierta la necesidadde transformar los estudios de Magisterioen una titulación de segundo ciclo, en unalicenciatura. España es el único país de laUnión Europea en el cual la formación delprofesor de primaria tiene una duración detres cursos, con reconocimiento académicoinferior al de la licenciatura. En la mayoríade los países el plan de estudios tiene una

duración de cuatro cursos y en algunos,como Alemania, de cinco cursos. La nece-sidad de homologar la preparación de losprofesores de primaria españoles con loseuropeos obliga a su transformación enlicenciatura y, en este sentido, resulta unamedida necesaria y acertada.

El profesor de primaria europeo tieneuna sólida preparación sobre todas lasmaterias del currículo de primaria y susdidácticas; la formación especializada tieneun carácter de iniciación que, en algunoscasos, alcanza un alto nivel. El paso enEspaña a la formación de licenciado puedeincorporarnos a los estándares europeos,ya que puede conjugar un buen plan gene-ral de formación en el primer ciclo, comúnpara todos los profesores de primaria, conuna especialización en el segundo cicloque contemple de manera diferenciadatodas las áreas.

El escenario menos favorable para lareforma de las titulaciones de maestro seríaaquel que reforzara la orientación funda-mentalmente pedagógica del plan actual ydiera lugar a un título subordinado al depedagogo, con profesionales de escasaautonomía intelectual, cuya preparacióncomo docentes sufriría un empobrecimien-to preocupante. En especial, se incremen-taría el desconocimiento de los profesoressobre las áreas curriculares —entre ellas lasmatemáticas— y sus didácticas, conocimien-tos que serían reemplazados por un incre-mento de reflexiones y discursos genera-les, desligados de los conocimientos profe-sionales y prácticos necesarios.

A diferencia de los planes europeos, elplan español actual de formación inicialpara maestro de primaria dedica un tiempoexcesivo a la formación psicopedagógicageneral y muy poco tiempo a las didácticasespecíficas, lo cual está poniendo en peli-gro la preparación profesional de estosprofesores. En particular, la escasa forma-ción en educación matemática restringe lacompetencia para impartir matemáticas.Mientras que el profesorado europeo tiene

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una formación básica garantizada en mate-máticas y su didáctica y dedica parteimportante de su tiempo al trabajo prácticoen el aula, a tareas de innovación y pro-yectos de investigación, el profesoradoespañol dispone de un tiempo escaso depreparación en esta materia y recibe pocaorientación práctica. Idéntica reflexiónpuede hacerse para el resto de las materiasdel currículo de primaria.

La reforma de la titulación de maneraque contemple una licenciatura con variasespecialidades, una por cada materia delcurrículo de primaria, conjuga la homolo-gación europea con las necesidades forma-tivas del profesor de primaria en las distin-tas materias del currículo. Un primer ciclodedicado a la formación común en lasmaterias básicas, que habilitase para traba-jar en cualquier nivel y sobre cualquiermateria de primaria, quedaría reforzadocon un segundo ciclo de especialización enel que también tuviese lugar la realizacióndel practtcum. Esta organización permitiríacorregir el desnivel existente entre losconocimientos del profesor de primariasobre las áreas curriculares y sus didácticasy sus conocimientos pedagógicos genera-les. También permitiría adoptar medidaspara mejorar el conocimiento profesional.

El trabajo práctico es una de las atencio-nes básicas que debe contemplar un nuevoplan de formación. El trabajo práctico com-prende los créditos de prácticas de cada unade las materias además del practicum en loscentros. En los créditos de prácticas hay queabordar la preparación y diseño de unida-des didácticas, el estudio y análisis de docu-mentos y materiales, el visionado y análisisde clases dadas por expertos, la preparaciónde clases prácticas y su implementación. Lapreocupación por el desarrollo profesionaly práctico debe formar parte de las asigna-turas de educación matemática y no quedaral margen en las clases de matemáticas paralos maestros de primaria.

La escasez de horario para matemáticasy su didáctica en los actuales planes de

estudios ha hecho que los créditos de prác-ticas de las materias se desarrollen escasa-mente o bien no se contemplen con untrabajo práctico adecuado, incluyendo acti-vidades de taller y de laboratorio. Esa esca-sez de horario también conecta con lasdificultades para fundamentar planes deformación mediante desarrollo de progra-mas de innovación y proyectos de investi-gación.

En Abraira y otros (1998), Rico (2000) yen Blanco, Castro y Sánchez (2001) pode-mos apreciar el debate existente sobre lasnecesidades formativas de los profesoresde primaria en Didáctica de la Matemática,las coincidencias y diferencias entre losprogramas que se imparten en distintasuniversidades y la discusión sobre nuevasideas relativas a la metodología y evalua-ción en estas asignaturas.

FORMACIÓN INICIAL DEL PROFESORADODE EDUCACIÓN SECUNDARIA

La formación inicial del profesorado deenseñanza secundaria en España ha segui-do un modelo distinto, sostenido implícita-mente en la máxima »Para enseñar es sufi-ciente el dominio de la disciplina», lo cualha dado lugar a que el profesor de mate-máticas de secundaria tenga una fuerte for-mación científica y una nula formacióndidáctica y sobre otros conocimientosprofesionales necesarios para ejercer deprofesor.

Sin embargo, enseñar matemáticas enlos niveles de secundaria es una actividadcompleja, ya que supone introducir a losjóvenes en el estudio de las estructuras for-males mediante el uso de unos conceptos yuna reglas de razonamiento que se basanen sistemas simbólicos muy elaborados yque se sustentan en un alto grado de abs-tracción y generalización. Su utilidad en lasociedad actual queda fuera de duda yaque las matemáticas permiten abordar laresolución de problemas complejos

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mediante procesos de modelización. Eldominio de las matemáticas constituye unaherramienta de trabajo imprescindible parael ciudadano de una sociedad moderna,democrática e informatizada. Con diferen-cias de matices estas ideas son aceptadashoy día ampliamente en la comunidad dematemáticos y profesores de matemáticas.También es de dominio común que paraenseriar una materia es necesario, pero nosuficiente, tener dominio de ella, ya que latarea de enseñar requiere el dominio deconocimientos y competencias diversos.Los expertos en educación e institucioneseducativas profesionales han aceptado esteprincipio desde hace más de un siglo, perolos responsables de la política educativa nohan acertado hasta el momento con unaforma adecuada de ponerlo en práctica alos efectos de la formación del profesoradode secundaria, si bien en algunas universi-dades ha existido la especialidad de Meto-dología de las Matemáticas, en los antiguosplanes de la Licenciatura de Matemáticas.

PLANES DE ESTUDIOS DE MATEMÁTICAS

Los profesores de matemáticas de secunda-ria reciben su formación inicial en una licen-ciatura de ciencias, con preferencia en lalicenciatura de Matemáticas. En las directri-ces generales de los nuevos planes del Títu-lo de Licenciado en Matemáticas (R D1416/1990) no se contempla la Didáctica dela Matemática como materia troncal; tam-bién se han ignorado otras materias impor-tantes para Ios licenciados en matemáticascomo son la historia y la filosofía de la Mate-mática. Con el plan actual es posible que seformen buenos técnicos en campos especí-ficos del conocimiento matemático, perotendrán que suplir como autodidactas sudesconocimiento de lo que suponen lasmatemáticas desde una perspectiva culturaly educativa, amplia y completa.

En la actualidad, del total de 25 univer-sidades que imparten la Licenciatura de

Matemáticas, 10 de ellas (Alicante, Almería,Autónoma de Barcelona, Cantabria, Extre-madura, Granada, La Laguna, La Rioja,Murcia y Valencia) han incorporado algunaasignatura optativa del área de Didáctica dela Matemática en sus planes de estudio. Laprincipal orientación de estas materias es laformación inicial de los futuros profesoresde matemáticas de secundaria. De un totalde 300 créditos que, por término medio,abarca una licenciatura, la carga docentede esas asignaturas oscila entre 6 y 12 cré-ditos, según las diferentes universidades.Es decir, entre el 2% y el 4% de oferta opta-tiva para la formación como profesores desecundaria en Didáctica de la Matemática.

Esta formación se complementa con uncurso de postgrado de 18 créditos, que pro-porciona el Certificado de Aptitud Pedagó-gica, necesario para ejercer como docenteen la Educación Secundaria. La formaciónen Didáctica de la Matemática se concentraen este caso en un curso de 3 créditos, enpromedio, que es toda la formación inicialque reciben los futuros profesores dematemáticas de secundaria; exactamenteigual ocurre para el resto de las disciplinas.

LA FORMACIÓN INICIAL DEL PROFESORADODE MATEMÁTICAS

Actualmente, el conocimiento matemáticoes el único referente profesional de lamayoría de los profesores de secundaria,que carecen por tanto de formación inicialadecuada en didáctica. Y ello a pesar deque no se discute que el profesor necesitatambién disponer de otros conocimientos,como son los de Didáctica de la Matemáti-ca y los derivados de la práctica escolar.Los planes de estudios que las licenciaturasde Matemáticas de las distintas universida-des proponen a los estudiantes tienen unaoferta curricular poco diversificada y esca-samente vinculada con el futuro profesio-nal de aquellos que van a dedicarse a laenseñanza. Parece claro que los profesores

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de matemáticas requieren de un conoci-miento de las matemáticas específico a lastareas de enseñar y aprender. Tambiénresulta necesario que la formación inicialen este campo se haga en el mismo perío-do en que los estudiantes para profesor seforman como matemáticos. Desde el Áreade Didáctica de la Matemática se han reali-zado numerosas aportaciones acerca de lanaturaleza y desarrollo del conocimientobase para la formación del profesor dematemáticas y existen publicaciones que loavalan. En el contexto académico españole internacional se han debatido y presenta-do caracterizaciones del conocimientodidáctico, necesario para capacitar a unprofesional de la enseñanza.

La Ley de Ordenación General del Sis-tema Educativo (LOGSE) estableció el Cur-so de Cualificación Pedagógica (CCP), parala formación inicial del profesorado desecundaria, sustituyendo al Curso de Apti-tud Pedagógica (CAP); han transcurridodoce años desde la promulgación de la Leyy aún no se ha desarrollado una normativadefinitiva para su puesta en práctica concarácter generalizado. Parece como si lospoderes públicos no tuviesen interés enuna formación inicial especifica para el ofi-cio de profesor. Al menos no terminan deencontrar el modelo de formación inicialadecuado y la forma para su financiación.

El modelo aún vigente de formación deprofesorado, basado en un curso de post-grado de 18 créditos (CAP), incluso si seamplía a los 60 créditos del CCP, no cree-mos que sea ya la mejor respuesta paraatender a la formación inicial del profeso-rado de secundaria. El curso de postgradoalarga el período de formación y se basa enun modelo acumulativo y no integrado,con el conocimiento didáctico y el conoci-miento profesional desconectados delconocimiento científico. Aún cuando resul-te muy conveniente mantener una ofertade formación en el postgrado es necesariodiseñar una formación inicial de pregraclopara los profesores de secundaria, que

resulte atractiva y que no alargue innecesa-riamente los períodos de la formación ini-cial.

El profesorado de Matemáticas de Edu-cación Secundaria debe tener una forma-ción científica específica, con la materia deDidáctica de la Matemática y las prácticasde enseñanza formando parte de la tronca-lidad e integradas en una licenciatura desegundo ciclo, licenciatura de EducaciónMatemática, o en un itinerario muy especí-fico de la Licenciatura de Matemáticas. Estaespecialidad o licenciatura de segundociclo, al que se podría acceder desde unprimer ciclo de Matemáticas u otras diplo-maturas mediante las correspondientespasarelas, estaría diseñada según un perfilde «Profesor de Matemáticas de EducaciónSecundaria» al que se incorporarían igual-mente materias del segundo ciclo de laLicenciatura de Matemáticas, materias edu-cativas para el fundamento del currículo yotras materias como historia y filosofía delas matemáticas, especialmente adecuadaspara la formación del profesor. Se adopta-ría así una estructura basada en dos ciclos(3+2) que sería alternativa a la estructura5+1 existente en estos momentos.

Esta misma estructura debiera propo-nerse para todas las materias de secundariaque necesitan de preparación didácticaespecífica.

El debate sobre esta problemática espermanente en nuestro país. En los núme-ros 21 y 32 de la Revista Interuniversitariade Formación del Profesorado hay unacolección de trabajos monográficos sobreel ámbito que acabamos de comentar, don-de se presentan con detalle algunos de losproblemas enunciados y de las solucionesensayadas. Recientemente, con motivo dela celebración en el año 2000 del ario mate-mático mundial, quedó recogido en la Pro-posición no de ley elaborada por el Con-greso de los Diputados (Díaz et al., 2000).Esta polémica continua en la actualidad yen ella intervienen la Real Academia deCiencias (Guzmán y Rico, 1999), la Real

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Sociedad Matemática (Comité de Educa-ción de la RSME, 2001), la Sociedad Espa-ñola de Investigación en Educación Mate-mática (Sociedad Española de Investiga-ción en Educación Matemática, 2001) y laFederación Española de Sociedades deProfesores de Matemáticas (Sociedad IsaacNewton, 2001), entre otras instituciones.Recientemente ha tenido lugar una ponen-cia en el Senado sobre la enseñanza de lasciencias en educación secundaria, en laque también se ha abordado la formacióndel profesorado de matemáticas de secun-daria (Llinares, 2002).

PROGRAMAS DE DOCTORADO

El análisis de la docencia especializada enel tercer ciclo de los estudios universitarioscompleta la actuación del área en cuanto adocencia y la vincula con la investigación.En el curso 88-89 se iniciaron Programasde Doctorado específicos de Didáctica dela Matemática en las Universidades de Gra-nada, Autónoma de Barcelona y Valencia.Con posterioridad se han desarrolladonuevos programas de doctorado en Didác-tica de la Matemática en las Universidadesde Sevilla, Extremadura, Valladolid, Mála-ga, La Laguna y Salamanca, lo que ha dadolugar a un fuerte impulso a la investigaciónen el área. Hay otras universidades quedesarrollan programas de doctoradoamplios, que incluyen la Didáctica de laMatemática entre sus enseñanzas y líneasde investigación.

Son ya más de 70 tesis doctorales lasque se han presentado y defendido desde1994 elaboradas por profesores del área deconocimiento de Didáctica de la Matemáti-ca. Examinando los títulos y contenidos deestas tesis doctorales se observa que, granparte de ellas, tienen una profunda rela-ción con el desarrollo curricular, la detec-ción de carencias en el sistema educativo,el conocimiento profesional del profesor ydesarrollo del profesorado de matemáticas.

En gran medida se trata de investigacionespara la innovación curricular y la forma-ción del profesorado que, sin lugar adudas, a medio y largo plazo tendrán efec-tos positivos en las aulas.

Estos programas de doctorado han for-mado parte de los estudios de postgradoofertados en los programas de la ComisiónEuropea, han recibido estudiantes becariosde los planes de formación de personalinvestigador del gobierno español como laAECI, procedentes de la mayoría de lospaíses latinoamericanos; algunos de ellosreciben financiación como programas dedoctorado de calidad. El desarrollo deestos programas ha permitido disponer deun marco adecuado para la consecución ytransmisión de los avances científicos enDidáctica de la Matemática, con la partici-pación de investigadores cualificados deotros países en la orientación, asesora-miento y evaluación de las tesis; tambiénhan impulsado las relaciones entre investi- •gadores de distintas líneas y de diferentesuniversidades. Mediante estos programasse han formado nuevos investigadores y sehan consolidado equipos que se han pre-sentado en las convocatorias públicas auto-nómicas, nacionales e internacionales parafinanciar proyectos específicos, obtenien-do financiación regular en competicióncon otras áreas de conocimiento, y dandolugar a líneas de investigación desarrolla-das por grupos estables. Los programashan impulsado la formación de nuevo pro-fesorado y están perfeccionando el desa-rrollo profesional y científico de los titula-dos superiores (Rico, Sierra y Castro, 2000).

Torralbo (2001) ha realizado un estu-dio exhaustivo sobre la producción de tesisdoctorales en educación matemática reali-zada en España entre 1976 y 1998, estu-diando un total de 135 memorias desdeuna triple perspectiva: cientimétrica, con-ceptual y metodológica. Este trabajo mues-tra la evolución reciente de la investigaciónen Didáctica de la Matemática, los centrosy directores más productivos, los temas

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estudiados, los métodos seguidos y los ins-trumentos prioritarios empleados. Esteestudio analiza hasta un total de 89 varia-bles que sirven de indicadores de produc-ción y calidad de las tesis doctorales ennuestra área de conocimiento y muestranlas leyes a las que se ajusta la productivi-dad diacrónica en educación matemáticaen España durante el período considerado.

INVESTIGACIÓN EN DIDÁCTICADE LA MATEMÁTICA

A partir de los años setenta, con la promul-gación de la Ley General de Educación, lacreación de los Institutos de Ciencias de laEducación (ICE) en las Universidades y elInstituto Nacional de Ciencias de la Educa-ción (INCIE), se da un impulso a la investi-gación educativa y, en particular, a la inves-tigación en Didáctica de la Matemática y enotras didácticas específicas (Rico, Sierra yCastro, 2000). En los planes nacionales deinvestigación educativa de la década de lossetenta encontramos varios proyectos deinvestigación relacionados con estas disci-plinas (Rico y Sierra, 1994). Pero es a partirde la promulgación de la Ley de ReformaUniversitaria (LRU) y, posteriormente, conla consideración de la Didáctica de la Mate-mática como área de conocimiento en launiversidad española cuando se va a pro-ducir un despegue en la investigación.Como ya hemos comentado, Torralbo(2001) ha realizado un análisis exhaustivode la producción investigadora española,en tesis doctorales en educación matemáti-ca en los últimos veinticinco años.

LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICAEN LOS PLANES DE INVESTIGACIÓN

Desde la constitución del área de conoci-miento los investigadores de esta disciplinahan presentado sus proyectos en convoca-torias públicas de investigación, tanto

nacionales como internacionales. En 1983se crea el Centro de Investigación y Docu-mentación Educativa (CIDE) del Ministeriode Educación, Cultura y Deporte, organis-mo que continua existiendo hasta el día dehoy, que gestiona el Plan Nacional deInvestigación Educativa asignando fondosa proyectos y trabajos finalizados. En cuan-to a la investigación en educación matemá-tica en el marco de los Planes nacionales secontabilizan, durante la década de losnoventa, treinta y tres proyectos de investi-gación en la modalidad Concursos/ Ayu-das, con implicación de profesores detodos los niveles educativos. La temática delos proyectos incide fundamentalmente endesarrollo curricular, investigación sobre laenseñanza—aprendizaje de algún tópicoconcreto, investigación sobre el desarrollohistórico y análisis de libros de texto deconceptos matemáticos, investigaciónsobre formación de profesores; algunas deestas investigaciones han salido a la luzmediante publicaciones del propio CIDE oen artículos en revistas especializadas (Puiget al., 1996).

Por otro lado, en 1986 se promulgó lallamada Ley de la Ciencia, que creó laComisión Interministerial de Ciencia y Tec-nología (CICYT) que ha venido desarrollan-do los Planes Nacionales de InvestigaciónCientífica y Desarrollo Tecnológico. Dentrode estos planes aparece el Plan Sectorial dePromoción General de Conocimiento; puesbien, a lo largo de estos últimos años, inves-tigadores universitarios del área de Didácti-ca de la Matemática han conseguido finan-ciación en convocatorias competitivas den-tro de dicho Plan Sectorial.

A semejanza del gobierno central, algu-nas Comunidades Autónomas han publica-do su propia ley para el desarrollo de laciencia y la tecnología y han mantenido Pla-nes de Investigación, Planes de Investiga-ción Educativa, Ayudas a la InvestigaciónEducativa y Proyectos de Innovación Edu-cativa en el ámbito de sus competencias.Esto ha permitido que investigadores en

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educación matemática obtengan financia-ción regular para sus proyectos de investi-gación o de innovación educativa, realiza-dos estos últimos en colaboración con pro-fesores de primaria y secundaria.

A nivel internacional, en los progra-mas—marco de la Comunidad Europea, gru-pos de investigadores de universidadesespañolas han conseguido proyectos encoordinación con grupos de otras universi-dades nacionales y extranjeras.

Lo que resulta preocupante en elmomento actual es la política agresiva definanciación de proyectos que el nuevoMinisterio de Ciencia y Tecnología hacomenzado a desarrollar, orientada casi enexclusiva a proyectos I+D, que está tenien-do como consecuencia la disminución delos fondos asignados a los proyectos edu-cativos, en particular los procedentes de laDidáctica de la Matemática y otras didácti-cas específicas.

SOCIEDAD ESPAÑOLA DE INVESTIGACIÓNEN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Hay que destacar la creación, en marzo de1996, de la Sociedad Española de Investi-gación en Educación Matemática (SEIEM),cuya finalidad principal es aglutinar losesfuerzos de los investigadores y profeso-res universitarios de Didáctica de la Mate-mática, necesidad que desde hacía algúntiempo se venía sintiendo en la comu-nidad.

Entre los objetivos de la SEIEM, hayque destacar:

• Mantener un espacio de comunica-ción, critica y debate sobre investi-gación en educación matemática.

• Promover la constitución de gruposde investigación.

• Contribuir y participar en el desarrollo,evaluación y aplicación de investiga-ciones en Didáctica de la Matemática.

• Favorecer activamente la coopera-ción y el intercambio entre investi-

gación y docencia en todos los nive-les educativos.

Para su funcionamiento interno laSEIEM se articula en varias líneas de inves-tigación:

• Aprendizaje de la Geometría.• Conocimiento y Desarrollo Profesio-

nal del Profesor.• Didáctica del Análisis.• Didáctica de la Estadística, la Proba-

bilidad y la Combinatoria.• Didáctica de la Matemática como

disciplina científica.• Pensamiento Numérico y Algebraico.• Metodología de la Investigación en

Educación Matemática.• Educación Infantil.• Historia de la Educación Matemática.

Los miembros de cada una de las líneasde investigación, constituidos por investiga-dores de distintas universidades, mantienenencuentros con regularidad, presentando ydiscutiendo investigaciones en curso o yafinalizadas. Se trata de coordinar los esfuer-zos, delimitando prioridades y abordandocuestiones de indagación específicas. Algu-nos de estos grupos han presentado, conéxito, sus proyectos a convocatorias nacio-nales.

La SEIEM ha celebrado, hasta elmomento, cinco simposios: Zamora (Rico ySierra, 1997), Pamplona (Pascual, 1998),Valladolid (Ortega, 1999); Huelva (Contre-ras, Carrillo, Climent y Sierra, 2000) y Alme-ría (2001) de acuerdo con los objetivosenunciados anteriormente. En estos simpo-sios además de debatir temas actuales deinterés específico, se ha llevado a cabo unaprofunda reflexión sobre el sentido culturaly social de nuestra investigación, definien-do un perfil de investigador que, sin renun-ciar a las cuestiones conceptuales, atiendaa las necesidades de la práctica educativacon el fin de mejorar el sistema educativo ycontribuir a que nuestra sociedad alcanceel desarrollo intelectual y la posición cien-tífica que le corresponde.

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La SEIEM tiene convenios de colabora-ción con diferentes sociedades de matemá-ticos y de profesores de matemáticas, tantonacionales como internacionales. Hay quedestacar las relaciones fluidas con la comu-nidad de investigadores portugueses e ita-lianos, con la celebración de congresos ysimposios conjuntos. También la SEIEMparticipa activamente en la estructura orga-nizativa de la educación matemática enEspaña; por ejemplo, es miembro delComité español de la International Com-mission on Mathematical Instruction(ICMI) y ha participado activamente en lasactividades realizadas con motivo del AñoMundial de las Matemáticas 2000.

LINEAS DE INVESTIGACIÓN

Las diferentes líneas de investigación, quese exponen resumidamente a continuación,marcan el trabajo de los investigadores enDidáctica de la Matemática en nuestro país,quienes se agrupan principal, pero noexclusivamente, en los departamentos uni-versitarios y en la Sociedad Española deInvestigación en Educación Matemática. Enlo que sigue se presenta, brevemente, unadescripción de cada una de estas líneas deinvestigación y las universidades en lasque, principalmente, se desarrollan (Rico ySierra, 2000; Sierra 2001). Puede encon-trarse más información también en la pági-na de la Sociedad Española de Investiga-ción en Educación Matemática (SEIEM):http://www.ugres/local/seiem/

DISENO Y DESARROLLO CURRICULAR

El diseño y desarrollo curricular es uno delos ámbitos esenciales de la Didáctica de laMatemática. Se está llevando a cabo unaamplia reflexión teórica sobre el conceptode currículo desde la educación matemáti-ca, analizando la historia del desarrolloorricular en nuestro país, los desarrollos

curriculares oficiales del gobierno central,de las Comunidades Autónomas y los deotros países de nuestro entorno, las pro-puestas curriculares derivadas de la investi-gación y la consideración del currículo des-de un punto de vista cultural. En fin, se tra-ta de definir metas y dimensiones del currí-culo para la educación matemática. Lareflexión teórica va seguida de propuestaspara ser incorporadas a los diseños curri-culares oficiales, así como de la producciónde materiales didácticos.

En la Universidad de Granada existe ungrupo de investigadores que vienen traba-jando en esta línea de investigación desdehace unos veinticinco años, con unaamplia producción de trabajos, tesis docto-rales y manuales escolares. La investiga-ción «Granada Mats» (Rico, 1985) fue pio-nera en este tipo de trabajo.

DIDÁCTICA DEL ANÁLISIS

La Didáctica del Análisis se inscribe dentrode la línea de investigación más generalconocida como Pensamiento MatemáticoAvanzado, que se refiere a los aspectosmatemáticos y psicológicos de los procesosde enseñanza y aprendizaje de conceptosmatemáticos complejos de los últimos añosde Bachillerato y primer curso de universi-dad, a sus estructuras e interrelaciones.

En las Universidades de Alicante, Autó-noma de Barcelona, Castilla—La Mancha,Jaén, La Laguna, Lleida, Pública de Navarra,Salamanca, Santiago de Compostela, Sevillay Valladolid, se está trabajando en Didácticadel Análisis Matemático. Existe una buenacoordinación entre los miembros del grupo,que se manifiesta en el desarrollo de pro-yectos de investigación conjuntos.

DIDÁCTICA DE LA GEOMETRIA

Con la reforma de la matemática moderna,la Geometría prácticamente desapareció

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del currículo de matemáticas en la Educa-ción Obligatoria y Bachillerato, sustituidapor el álgebra lineal. En los nuevos currí-culos se ha tratado de restituir al pensa-miento geométrico el papel que nunca

. debió perder. En las investigaciones actua-les sobre enseñanza—aprendizaje de laGeometría destacan las que se realizan entorno a los niveles de Van Hiele y las inves-tigaciones sobre el uso de programas infor-máticos, tanto para el estudio de la geome-tría plana como para la geometría espacialy, en particular, para el desarrollo de habi-lidades de visualización y el aprendizaje dediversas formas de representación plana decuerpos.

En las Universidades Autónoma de Bar-celona, La Coruña, La Rioja, País Vasco yValencia, se realizan regularmente investiga-ciones sobre aprendizaje de la Geometría.

DIDÁCTICA DE LA ESTADISTICA,

PROBABILIDAD Y COMBINATORIA

Los temas de Estadística, Probabilidad yCombinatoria están despertando un graninterés, dentro de la educación matemática,por tres motivos principales. El primero deellos, la creciente aplicación de la Estadísti-ca en diferentes profesiones y camposcientíficos. En segundo lugar, la inclusiónde estos temas en los nuevos diseños curri-culares para la Educación Primaria, Educa-ción Secundaria Obligatoria y Bachillerato.En tercer lugar, por el cambio de metodo-logía motivada por la aplicación de las nue-vas tecnologías.

Se están llevando a cabo trabajossobre: evaluación del razonamiento proba-bilístico, inferencia estadística, razona-miento combinatorio, análisis exploratoriode datos, formación y concepciones de losprofesores y análisis de libros de texto.

En las Universidades de Granada yJaén hay un equipo de investigación quetrabaja sobre estos temas. Este equipo tieneuna buena proyección internacional, con

una destacada presencia en la Internatio-nal Association for Statical Education(IASE).También en las Universidades de LaLaguna y Murcia se trabaja en Didáctica dela Estadística y en la Autónoma de Madridy Cádiz en Didáctica de la Probabilidad.

PENSAMIENTO NUMÉRICO Y ALGEBRAICO

Entre el conocimiento numérico y algebrai-co hay una multiplicidad de vínculos, demodo que los problemas derivados de laenseñanza y aprendizaje de estos doscampos son similares y las bases teóricas ymetodológicas para su estudio tienencomponentes comunes. Se trabaja en losprocesos de enseñanza y aprendizaje dela aritmética escolar, estructuras numéri-cas, sistemas de representación, paso dela aritmética al álgebra, procesos infinitosy resolución de problemas. Se han hechoinvestigaciones con enfoques desde lapsicología cognitiva, el lenguaje, las calcu-ladoras y ordenadores, la historia y la epis-temología, la enseñanza y el desarrollocurricular, situaciones evidentemente nodisjuntas.

Las Universidades de Granada, LaLaguna, Málaga y Valencia, mantienenequipos de investigación sobre Pensamien-to Numérico y Algebraico, con una exce-lente producción científica. También en lasUniversidades de Alicante, Almería, Córdo-ba, Barcelona, Pública de Navarra, Zarago-za y Valladolid se trabajan estos campos.

CONOCIMIENTO Y DESARROLLO PROFESIONAL

DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS

El profesor es pieza central del procesoeducativo. La importancia de los profeso-res en las reformas educativas, su habilidady su voluntad para innovar, y la cantidad deinformación de la que pueden disponer,son factores esenciales en todos los pro-yectos de reforma.

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Durante los últimos años se ha desa-rrollado una línea de investigación que,por un lado, trata de indagar sobre el cono-cimiento, las actitudes y las creencias delprofesor de matemáticas y, por otro, inda-ga sobre los componentes básicos de laformación de dichos profesores y el cono-cimiento didáctico. Esta línea de investiga-ción se desarrolla en las Universidades deCádiz, Extremadura, Granada, Huelva,León y Sevilla. También la producción esalta, con el desarrollo de diversos proyec-tos de investigación y colaboraciones inter-nacionales.

DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICACOMO DISCIPLINA CIENTÍFICA

Debido a su juventud como disciplina y ala complejidad de su objeto, no es posibleaún hablar de paradigmas (dominantes ono) en la Teoría de la Didáctica de la Mate-mática, pero es posible, no obstante, hablarde tentativas para dotarla de un marco teó-rico propio; se trata de buscar unos funda-mentos intrínsecos o matemáticos.

Pertenecen a este grupo investigadoresde las Universidades Autónoma de Barce-lona, Granada, Complutense, Jaén y Za-ragoza.

HISTORIA DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Después de la reforma esencialmente«a-histórica» de la matemática moderna, apartir de los años setenta se ha vuelto aintensificar el interés por los aspectos his-tóricos en educación matemática. Algunasiniciativas que se han llevado a cabo con-ciernen a objetos de estudios relacionadosentre sí: uso de la historia de las matemáti-cas en su enseñanza, historia de la educa-ción matemática y de la didáctica de lamatemática. Otros investigadores analizanla historia de las matemáticas con el fin deelaborar secuencias didácticas para el aula,

de acuerdo con lo elaborado teóricamenteen el análisis histórico; ponen a pruebaesas secuencias didácticas y después vuel-ven al análisis de la historia en busca deposibles equivalentes de los resultadosdidácticos.

En las Universidades de Barcelona,Granada, Murcia, Valencia y Salamanca serealizan investigaciones en esta línea.

EVALUACIÓN EN MATEMÁTICAS

Por las funciones que satisface, la evalua-ción en matemáticas, y en el resto de las dis-ciplinas, interesa de modo prioritario a todaslas partes implicadas en el proceso educati-vo: administración, padres, profesores,alumnos e investigadores. Aunque la apre-ciación de la evaluación en matemáticascomo un campo de estudio diferenciado seha producido en fechas muy recientes, en laúltima década se han desarrollado, a nivelinternacional, numerosos estudios e investi-gaciones, en particular, para el estudio ycomparación de los diferentes sistemas deeducación matemática.

Se trabaja en evaluación en matemáti-cas en las Universidades de Almería, Autó-noma de Barcelona, Barcelona, Granada,León y País Vasco, con proyectos de inves-tigación financiados en convocatoriasnacionales.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

En el actual desarrollo curricular para laEducación Obligatoria y el Bachillerato, laresolución de problemas se consideracomo un bloque transversal, destacándosela importancia de esta actividad en la edu-cación matemática. Se considera que elnúcleo del currículo no viene determinadopor los conocimientos que hay que trans-mitir, sino por los procesos de produccióndel conocimiento; lo interesante no es elconocimiento transmitido, sino el conoci-

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miento producido por los alumnos, siendola resolución de problemas uno de loslugares privilegiados de esa producción.

Aunque en el resto de las líneas deinvestigación se trabaja en resolución deproblemas de modo más o menos explíci-to, hay un amplio grupo de investigadoresque reflexionan específicamente sobreresolución de problemas en las Universida-des Autónoma de Barcelona, Extremadura,Huelva, Granada, La Laguna y Valencia, asícomo en el Instituto de Estudios Pedagógi-cos de Somosaguas (IEPS).

ETNOMATEMÁTICAS

Se entiende por Etnomatemáticas las mate-máticas practicadas por grupos culturalesbien definidos. Es el conocimiento matemá-tico expresado en el lenguaje de un gruposociocultural dado. Por ejemplo, en elmedio rural español existe una etnomate-mática que comprende aritmética y álgebraelemental (no formalizadas) relacionadascon las faenas agrícolas, particiones de tie-rras y herencias. El movimiento a favor deconsiderar la etnomatemática como unacomponente de la educación matemáticasurgió en Brasil, un país con grandes dife-rencias étnicas y culturales, liderado porUbiratán D'Ambrosio y se ha extendido apaíses con minorías étnicas y de emigrantes.

En el caso español en las UniversidadesAutónoma de Barcelona, Extremadura yGranada hay grupos de investigación enEtnomatemáticas, que mantienen una activi-dad estable y una proyección internacional.

CRITERIOS DE CALIDAD DE LA INVESTIGACIÓN

La preocupación por la calidad de la inves-tigación en Didáctica de la Matemática hasido una constante desde el despegue deeste campo de indagación y ha ido en para-lelo con el avance metodológico en inves-tigación educativa. El desarrollo de la

investigación educativa y un interés per-manente por la calidad de los resultadoshan obligado a establecer estándares ydeterminar criterios para la valoración deestas investigaciones (Wittrock, 1986).Entre los criterios más usuales encontra-mos: empiricidad, factibilidad, claridad,pertinencia para la comunidad, pertinen-cia para la práctica, pertinencia para la teo-ría, originalidad, eticidad y precisión (Fer-nández—Cano, 1995). Cada uno de estoscriterios explicita alguna preocupaciónbásica de los investigadores en educación.

Los criterios para evaluar la investiga-ción en Didáctica de la Matemática no sonespecíficos sino que coinciden, en térmi-nos generales, con los establecidos por losexpertos para evaluar la calidad de lainvestigación en educación.

Kilpatrick (1993) y Sierpinska (1993)establecen una serie de criterios más ela-borados para evaluar la calidad de unainvestigación en Didáctica de la Matemáti-ca, que se derivan igualmente de los crite-rios generales establecidos para la investi-gación educativa. Los criterios propuestosy comentados por estos autores son: perti-nencia, validez, objetividad, originalidad,rigor y precisión, predictibilidad, replicabi-liclad y conexiones; estos criterios mantie-ne actualidad e interés.

Cada uno de estos criterios evalúa demanera prioritaria una de las componentesantes señaladas para una investigación.Así, rigor y precisión, y replicabilidad, soncriterios centrados en los aspectos metodo-lógicos de la investigación, y establecenexigencias de calidad respecto al métodoelegido, prioritariamente.

Validez, objetividad y conexiones soncriterios orientados a evaluar el marco teó-rico en que se sitúa la investigación.

Finalmente, pertinencia y predictibili-dad evalúan la coherencia del estudio conel ámbito de actuación en que se sitúa.

La originalidad tiene que ver con la glo-balidad del estudio y es un criterio de valora-ción comparativo respecto de otras investiga-ciones realizadas sobre el mismo problema.

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Kilpatrick enuncia diversas cuestionespor medio de las cuales explicitar cada unode los criterios mencionados; estas cuestio-

nes ponen de manifiesto cuál componentede la investigación es la que se evalúamediante cada criterio.

Criterio ExpLicitación

Pertinencia ¡Para qué o para quién es importante la investigación? ¡Qué se va a mejorar?¡Qué utilidad va a tener?

Validez ¡Cómo se justifica la interpretación que se hace de la investigación?¡Qué consecuencias se derivan?

Objetividad ¡Hasta qué punto es posible refutar las conclusiones y argumentos utilizados?

Originalidad ¡Hasta qué punto la investigación muestra ideas conocidas en una nueva perspectiva?

Rigor y precisión ¡Qué precisión tienen las observaciones realizadas? ¡Con qué exigencias se hanllevado a cabo?¡Qué precisión tienen los criterios para interpretar las informaciones obtenidas?

Predictibilidad ¡Qué explicación se deriva del estudio? ¡Qué comprensión proporciona?¡Hasta qué punto se anticipan las actuaciones de alumnos y profesores?

Replicabilidad ¡Están claramente descritos los procedimientos utilizados?¡Seria posible para otro investigador replicar el estudio?¡Es pública la totalidad de la información?

Conexiones ¡De qué modo está relacionado el estudio con la matemática y con la educación?

Azcárate (1999) ha analizado y discuti-do diversos criterios de calidad de lasinvestigaciones, teniendo en cuenta surelevancia para la práctica y su incidenciaen la situación educativa española.

No obstante, hay que señalar que loscriterios de calidad tienen una caracteriza-ción precisa pero excesivamente genérica.Cada criterio se orienta de modo prioritariohacia una de las componentes considera-das; sin embargo, la coherencia y articula-ción entre estas componentes no se con-templan en los criterios usuales, por lo quetrabajos superficiales pueden satisfacer for-malmente los criterios generales y cubriruna apariencia de calidad.

DIFUSIÓN Y APLICACIÓN

DE LA INVESTIGACIÓN EN ESPAÑA

Como parte de la contribución de losinvestigadores en Didáctica de la Matemä-

tica al desarrollo de la educación matemá-tica, es necesaria la difusión de los resulta-dos de sus investigaciones y la conexióncon las necesidades de la práctica escolar yla formación del profesorado.

La difusión se lleva a cabo principal-mente a través de libros especializados,artículos en revistas y ponencias o comuni-caciones a encuentros, congresos y jorna-das de educación matemática.

Entre los numerosos libros que sepublican sobre educación matemática, hayque destacar las colecciones de EditorialSíntesis Matemáticas: cultura y aprendizajey Educación Matemática en Secundaria,que ponen a disposición de los educadoresmatemáticos el conocimiento fundado dis-ponible sobre un tópico específico, o lacolección Mathema cle Editorial Comares,en la que se recogen trabajos de investiga-ción en Didáctica de la Matemática.

A partir de 1983 comenzaron a publi-carse en España revistas específicas de

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educación matemática, donde los especia-listas en Didáctica de la Matemática publi-can regularmente artículos: Enseñanza delas Ciencias (Universidades Autónoma deBarcelona y Valencia), SUMA (FederaciónEspañola de Sociedades de Profesores deMatemáticas), Epsilon (Sociedad Andaluza«Thales» de Educación Matemática), Núme-ros (Sociedad Canaria de Profesores dematemáticas «Isaac Newton») y Uno. Revistade Didáctica de la Matemática (EditorialGraó, Barcelona). También aparecen artí-culos de investigación en Didáctica de laMatemática en las revistas de psicología opedagogía que se editan en España.

En los encuentros, congresos y jorna-das que habitualmente se celebran ennuestro país se difunde la investigación denuestro campo de conocimiento, en parti-cular, en las Jornadas nacionales y regiona-les de las Sociedades de Profesores deMatemáticas.

En los encuentros, congresos y jorna-das que habitualmente se celebran ennuestro país se difunde la investigación denuestro campo de conocimiento, en parti-cular, en las Jornadas nacionales y regiona-les de las Sociedades de Profesores deMatemáticas.

En el campo de la aplicación, libros detexto y materiales didácticos incorporanresultados de la investigación en Didácticade la Matemática. La proliferación de edito-riales y la producción masiva de libros detexto hacen imposible un control de ellos,pero se puede asegurar que hay una ten-dencia general a incorporar informaciónprocedente de resultados de investigación,aunque, como es bien conocido, siempreexistirá un desfase entre investigación yaplicación.

CONCLUSIÓN

El desarrollo educativo en España durantelos treinta últimos arios ha venido marcadopor una serie de normas cuyas referenciasprincipales son la Ley General de Educa-

ción de 1970, la Constitución Española de1978, la Ley de Reforma Universitaria de1983, la Ley de la Ciencia de 1986, La Leyde Organización General del Sistema Edu-cativo de 1990, la Ley Orgánica de Univer-sidades de 2001 y, en el futuro, la Ley deCalidad del Sistema Educativo. Estas leyeshan sido los principales instrumentos decambio e innovación en el sistema educati-vo español, en su universidad, y del consi-derable desarrollo científico del paísdurante estos años.

Este marco ha encauzado gran parte delos cambios sociales, políticos, económicosy culturales recientes. Dentro de ese con-texto, el indudable avance de la educaciónmatemática ha contribuido a mejorar elnivel intelectual de las nuevas generacio-nes de ciudadanos, haciendo desapareceren la práctica el tradicional analfabetismomatemático de la sociedad española. Nocabe duda de que en los últimos treintaaños los matemáticos españoles han llega-do a ocupar un puesto de relieve en laproducción científica internacional, de quelos profesores de matemáticas han alcanza-do una fuerte autonomía profesional ymayor competencia en el ejercicio de suprofesión. Por otra parte, la sociedad espa-ñola plantea mayores demandas de forma-ción básica y especializada en las distintasramas de las matemáticas.

En este contexto general, también lacomunidad de los especialistas en Didácti-ca de la Matemática ha hecho esfuerzos deprogreso y mejora considerables y tieneplanteados nuevos retos. En los últimostreinta años esta comunidad ha consolida-do un espacio de trabajo dentro de la uni-versidad, marcado por su presencia en lastitulaciones orientadas hacia la formacióndel profesorado de primaria y de secunda-ria y por el desarrollo de una investigaciónacadémica centrada en los estudios de ter-cer grado.

Los esfuerzos realizados por mejorar ladocencia y consolidar la investigación en elárea de Didáctica de la Matemática han

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producido resultados apreciables, que yase han comentado. Ese trabajo ha venidoacompañado de una gran producción dedocumentos, de la constitución de nuevosgrupos y sociedades, y de un trabajo conti-nuado de cooperación con matemáticos yprofesores de matemáticas de los distintosniveles del sistema educativo. La coordina-ción con las áreas educativas, en especialcon las áreas de didácticas específicas tam-bién ha sido un espacio permanente de tra-bajo.

Pero una mirada crítica nos hace ver lasdeficiencias de la situación actual y losmúltiples retos de futuro.

La formación inicial de los profesoresde primaria y de secundaria tiene gravescarencias en relación con los conocimien-tos de Didáctica de la Matemática necesa-rios para un ejercicio adecuado de la pro-fesión. La situación actual es de estanca-miento y no terminan de abordarse los gra-ves problemas de la formación inicial delprofesorado. Se produce la paradoja deque la universidad actual, cuyas posibilida-des de elaboración y aprobación de nue-vos planes de estudio son amplias y flui-das, tiene bloqueados los planes de forma-ción inicial de profesores de primaria ysecundaria, sin que hasta el momentoparezca avanzarse en ninguna de las inicia-tivas contempladas. El bloqueo del CCPdespués de más de diez años de su apro-bación por ley es un ejemplo paradigmáti-co del enorme estancamiento en el que nosencontramos.

La participación del área en los nuevosplanes de formación en la universidad deri-vados de la cultura de calidad es un nuevocampo en el que hay que tomar iniciativas.

En el ámbito de la investigación tam-bién nos encontramos en un momento crí-tico. El profesorado del área de Didácticade la Matemática ha hecho una enormeinversión intelectual y de medios y recur-sos por facilitar el doctorado a aquellos desus miembros, y de otros colectivos, que lohan demandado. Pero el desarrollo de la

investigación plantea nuevas demandas: lacoordinación de grupos, la delimitación detemas prioritarios enmarcados por agen-das, la organización de institutos de inves-tigación, la conexión de la investigación enDidáctica de la Matemática con el desarro-llo económico e industrial, la integraciónen redes europeas, la captación de fondosFEDER, la publicación en revistas con altosíndices de impacto, entre otros, son nuevasy difíciles metas para la comunidad deinvestigadores en el área.

El esfuerzo realizado ha sido conside-rable, pero aún queda mucho por hacer.El balance es aceptable pero la autocom-placencia no es buena para el trabajo inte-lectual e indagador. Nuestras preocupa-ciones e inquietudes son las de todas lasáreas de didácticas específicas con las quecompartimos los problemas e, igualmente,buena parte de las referencias teóricas,métodos y herramientas. También sonnuestros los problemas de la ampliacomunidad de matemáticos y de educado-res matemáticos, en cuyo espacio de tra-bajo estamos obligados a hacer nuestrascontribuciones. Nuestra pertenencia yparticipación en las sociedades de mate-máticos y de profesores de matemáticas esobligada; también lo es nuestra participa-ción en la gestión y gobierno de las uni-versidades, así como la presencia en forosacadémicos y en encuentros y reunionesde divulgación científica. La coordinaciónde nuestra actividad por medio de los gru-pos de docencia e investigación, sobretodo por medio de la Sociedad Españolade Investigación en Educación Matemáti-ca, es una obligación permanente. Peroserá nuestro esfuerzo continuado por darrespuesta a los problemas que hoy día tie-ne planteados la sociedad española en elcampo de la educación matemática, loque dará la medida adecuada de nuestraresponsabilidad como ciudadanos y comoeducadores españoles, que quieren con-tribuir al progreso de la sociedad de laque forman parte.

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