CAPITULO II: EL PROBLEMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO DE VARIACIONESIniciaremos el estudio del clculo de variaciones con el problema bsico:

Maximizar o Minimizar(2.1) Sujeto a (dado A) Y (T,Z dados)Los problemas de maximizacin y minimizacin difieren entre s en la las condiciones de segundo orden, pero comparten la misma condicin de primer orden.La tarea de clculo variacional es seleccionar de un conjunto de rutas posibles de y(o trayectorias) aquella que haga que el valor de V(y) extremo. Ya que el clculo de variaciones se basa en los mtodos del clculo clsico, se requiere la primera y segunda derivada, limitaremos el conjunto de las posibles rutas de y a las curvas continuas con derivadas continuas. Una ruta de Y que obtenga una V(y) extrema (mximo o mnimo) es llamado extremal. Asumiremos tambin que la funcin integral de F se puede diferenciar dos veces.

En cada punto de un extremo de V [y], se puede pensar en un extremo absoluto (global) o un extremo relativo (local). Ya que el clculo de variaciones se basa en mtodos del clculo clsico, este puede tratarse solo de un extremo relativo. Es decir, un extremal cuyo valor hace a V extremo slo en relacin con las rutas vecinas de y circundantes.2.1 LA ECUACIN DE EULERLa primera condicin necesaria de primer orden en el clculo de variaciones es la Ecuacin de Euler. Aunque fue formulada en el ao 1744, sigue siendo el resultado ms importante en esta rea de las matemticas. Debido a su importancia y su genial planteamiento, es importante explicar su justificacin detalladamente. Con referencia a la figura 2.1, el y*(t) de trayectoria consistente es un extremal conocido. Tenemos que encontrar alguna propiedad de los extremales que no tengan las trayectorias vecinas (no extrmales). Esta propiedad constituir una condicin necesaria para un extremal. Mediante la especificacin (2.11), debe pasar por los extremos (0, A) y (T, 2). Una manera sencilla de generar tales caminos vecinos es a travs de una perturbacin de la curva, elegida arbitrariamente con excepcin de las restricciones iniciales y que pasen a travs de los puntos 0 y T en el eje horizontal de la Fig. 2.1, de modo que:

Hemos elegido a modo de ilustracin valores de p relativamente pequeos a lo largo de la pendiente. Agregando p(t) a y*(t), donde es un nmero pequeo y mediante la variacin de la magnitud de E, podemos alterar la trayectoria de y*(t), desplazando a los distintos puntos vecinos, generando as la trayectoria vecina deseada. Este ltima trayectoria puede ser denotada generalmente como:

(impliying=lo que implica)Con la propiedad de que, como . Para evitar cualquier confusin, slo uno de estas trayectorias vecinas se ha graficado en la Fig. 2.1.El hecho de que tanto a y*(t) y p(t) estn dadas sus curvas significa que cada uno de los valores de E determinar una trayectoria particular en la vecindad de y, y por lo tanto un valor particular de V[y]. En consecuencia, en lugar de pensar en V como una funcin de la trayectoria de y ahora podemos considerar que es una funcin de la variable -V(). Este cambio de perspectiva nos permite aplicar los mtodos conocidos de clculo a la clsica funcin V = V(E). Ya que por presuncin de la curva y*(t) que esta asociado con = 0- genera un valor extremo de V, tenemos:

Esta propiedad constituye una definicin de los extremales. Se deduce que dv/d = 0 es una condicin necesaria para los extremos. Tal como est escrito, sin embargo, la condicin (2.4) no es operacional, ya que se supone la utilizacin de las variables arbitrarias , as como alterar la funcin arbitraria p(t). La ecuacin de Euler lo que realiza es expresar esta condicin necesaria en una cmoda forma operacional. Sin embargo, para transformar (2.4) en una modalidad operativa requiere de un conocimiento de cmo tomar las derivadas de una integral definida.Diferenciar una Integral definidaConsiderando a definicin de la integral:

Donde F (t, x) se supone que es continua y derivable Fx (t, x) en el intervalo de tiempo [a, b]. Puesto que cualquier cambio en x afectar el valor de la funcin F y por lo tanto la integral definida, podemos ver la integral como una funcin de x-I (x). El efecto de un cambio en x en la integral est dado por la frmula derivada: [Regla de Leibniz 's]Es decir, para diferenciar una integral definida con respecto a una variable x que no es ni la variable de integracin (t), ni un lmite de integracin (A o B), uno puede simplemente diferenciar a travs del signo integral con respecto a x. La intuicin detrs de la regla de Leibniz se puede ver en la Fig. 2,2a, donde la curva slida representa F (t, x), y la curva punteada representa la posicin desplazada de F (t, x) despus del cambio en x. La distancia vertical entre las dos curvas (si el cambio es infinitesimal) mide la derivada parcial Fx(t, x) en cada valor de t.

De ello se deduce que el efecto del cambio en x en la totalidad integral, dI/ dx, corresponde a la zona entre las dos curvas, o, equivalentemente, la integral definida de Fx(t, x) en el intervalo [a, b] . Esto explica el significado de (2.6). El valor de la integral definida en (2.5) tambin puede verse afectada por un cambio en un lmite de integracin. Definimos la integral alternativa:

Obtenemos el siguiente par de frmulas derivadas:

Es decir, la derivada de una integral definida con respecto a su lmite superior de la integracin b es igual a la integral evaluada en t = b; y el derivado con respecto a su lmite inferior de integracin a es el negativo del integrando evaluado en t = a.En la Fig. 2.2b, un aumento en b se refleja en un desplazamiento hacia la derecha de la frontera de la mano derecha del rea bajo la curva. Cuando el desplazamiento es infinitesimal, el efecto sobre la integral definida se mide por el valor de la funcin F en la mano derecha lmite-F (b, x). Esto proporciona la intuicin de (2.8). Para un aumento en el lmite inferior, por otro lado, el desplazamiento resultante, como se ilustra en la Fig. 2.2c, es un movimiento hacia la derecha de la frontera de la mano izquierda, lo que reduce el rea bajo la curva. Es por esto que hay un signo negativo en (2.9).Las frmulas anteriores derivadas tambin se pueden utilizar en combinacin. Si, por ejemplo, la integral definida toma la forma:

Donde x no slo entra en la funcin integral F, sino tambin afecta al lmite superior de la integral, entonces podemos aplicar tanto (2.6) y (2.8), para obtener la derivada total

El primer trmino de la derecha es una integral, viene de (2.6); el segundo trmino, representa la cadena , se basa en (2,8). Ejemplo 1 La derivada de con respecto a x es, por regla de Leibniz,

Ejemplo 2 Del mismo modo,

Ejemplo 3 Para diferenciar con respecto a x que aparece en el lmite superior de la integracin, tenemos que la regla de la cadena as como en (2.8). El resultado es:

Desarrollo de la ecuacin de EulerPara facilitar la comprensin, la ecuacin de Euler se desarrollar en cuatro pasos.Paso I Primero expresamos V en trminos de , y tomar su derivada. Sustituyendo (2.3) en la funcin objetivo en (2.1), tenemos:

Para obtener la derivada de dV/d, la regla de Leibniz nos dice que debemos diferenciar a travs del signo integral:

Separar la ltima integral en (2.13) en dos integrales separadas, y hacer dV/d = 0, obtenemos una forma ms especfica de la condicin necesaria para un extremal de la siguiente manera:

Si bien esta forma de condicin necesaria ya est libre de la variable arbitraria , la perturbacin arbitraria de la curva p(t) todava est presente junto con su derivada p'(t). Para hacer que la condicin necesaria totalmente funcional, tambin debemos eliminar p(t) y p(t).Paso II Para ello, primero integramos por partes la segunda integral en (2.14), utilizando la frmula:

Sea v = Fy y u=p (t). Entonces tenemos:

Sustituyendo estas expresiones en (2.15), con a = 0 y b = T, nos da:

Ya que el primer trmino a la derecha del primer signo igual debe desaparecer bajo el supuesto (2.2). La sustitucin de (2.16) a (2.14) y la combinacin de las dos integrales en el mismo, se obtiene otra versin de la condicin necesaria para el extremal:

Paso III Aunque p(t) ya no est presente en (2.17), p(t) arbitrario sigue presente. Sin embargo, precisamente porque p (t) entra de manera arbitraria, podemos concluir que la condicin (2.17) slo puede ser satisfecho si la expresin entre corchetes [Fy dFy/ dt] va a desaparecer para cada valor de t en la extremal, de lo contrario, la integral puede no ser igual a cero para algunos casos de la perturbacin de la curva p(t). En consecuencia, es una condicin necesaria para una extremal que:(Ecuacin de Euler)Tenga en cuenta que la ecuacin de Euler es completamente libre de expresiones arbitrarias y por lo tanto se puede aplicar siempre que sea dada una funcin diferenciable F(t, y, y ').La ecuacin de Euler a veces tambin se presenta en la forma:

Que es el resultado de la integracin de (2.18) con respecto a t.Paso IV La naturaleza de la ecuacin de Euler (2.18) puede ser ms clara cuando expandimos la derivada dFy/dt en una forma ms explcita. Debido a que F es una funcin con tres argumentos (T, Y, Y '), la derivada parcial Fy, tambin debe estar en funcin de los mismos tres argumentos. Por lo tanto la derivada total dFy/dt consta de tres trminos:

Sustituyendo en (2.18), multiplicando por -1, y reordenando, llegamos a un versin ms explcita de la ecuacin de Euler:(Ecuacin de Euler)Esta versin ampliada revela que la ecuacin Euler en general es una ecuacin diferencial de segundo orden no lineal. Su solucin general, por lo tanto, contienen dos constantes arbitrarias. Ya que nuestro problema en (2,1) viene con dos condiciones de frontera (una inicial y una final), que normalmente poseen informacin suficiente para definir las dos constantes arbitrarias y obtener la solucin definida.EJEMPLO 4 Encontrar los extremos de la funcin:

Con condiciones iniciales y(0) = 0 e y(2) = 8.Ya que , tenemos las derivadas:

Por (2.19), la ecuacin de Euler es:

Que, tras la integracin, obtenemos y (Solucin general)A las constantes arbitrarias definidas c1 y c2, que inicialmente se establecieron en t=0 la solucin general de y (0) = c2; a partir de la condicin inicial, se deduce que c = 0. Sustituyendo el valor t = 2 en la solucin general, se obtiene y (2) = 8 + 2c; a partir de la condicin final, de ello se sigue que c = 0. Los extremos es, pues, la funcin cbica:(Funcin definida)EJEMPLO 5 Encontrar los extremos de la funcin:

Con condiciones iniciales y(1) = 3 e y(5) = 7. Tenemos , por lo tanto:

La ecuacin de Euler en (2.19) se reduce a:

La nica forma de satisfacer esta ecuacin es tomar como constante a y, con el fin de que y" = 0. Por lo tanto, escribimos y (t) = c1 que integra a la solucin:

A las constantes arbitrarias definidas c1 y c2, primero hacemos t = 1 para hallar y(1) = c1+ c2 = 3 (por la condicin inicial), y, despus establecer t = 5 para encontrar y(5) = 5c1+ c2 = 7 (por la condicin final). Estas dos ecuaciones nos dan c1 = 1 y c2 = 2. Por lo tanto, los extremos toma la forma de la funcin lineal:

EJEMPLO 6 Encontrar los extremos de la funcin:

Con condiciones de iniciales y(O) = 0 e y(5) = 3. Ya que F = t + y2 + 3y, tenemos:

Por (2.18), escribimos la ecuacin de Euler como 2y = 0, con solucin:

Sin embargo, tenga en cuenta que si bien esta solucin es coherente con la condicin inicial y(0) = 0, que viola la condicin final y(5) = 3. Por lo tanto, debemos concluir que no existe ningn extremo entre el conjunto continuo de curvas que consideramos posibles. Este ltimo ejemplo es de importante, ya que sirve para ilustrar que ciertos problemas variacionales con extremos no tienen una solucin. Ms concretamente, llama la atencin que uno de los dos posibles resultados pueden surgir cuando el integral de la funcin F es lineal en y'. Uno de los resultados, ejemplificado en el Ejemplo 6, es que todava no existe una solucin. La otra posibilidad, se muestra en el Ejemplo 7, es que la propia ecuacin de Euler es una identidad, y ya que se satisfacen automticamente, cualquier camino es ptimo posible.EJEMPLO 7 Encontrar los extremos de la funcin:

Con las condiciones iniciales y (0) = A e Y (t) = p. Con F = y ', tenemos:

De ello se desprende que la ecuacin de Euler (2.18) queda satisfecha. En este ejemplo, de hecho, es evidente que a partir de la integracin que:

El valor de V depende slo de los estados finales e iniciales dados, independientemente de la trayectoria de acceso subsiguiente a los dos puntos finales dados.La razn detrs de estas peculiaridades es que cuando F es lineal en y ', Fy es una constante, y Fyy = 0, por lo que el primer trmino de la ecuacin de Euler (2.19) desaparece. La ecuacin de Euler, entonces, pierde su estatus como una ecuacin diferencial de segundo orden, y no va a proporcionar dos constantes arbitrarias en su solucin general, solucin que nos permita adaptar la trayectoria temporal de las condiciones iniciales dadas. En consecuencia, a menos que ocurra que la trayectoria de solucin pase a travs de los criterios de valoracin fijados por casualidad, no pueden calificarse como extremal. La nica posibilidad bajo la cual una solucin se puede garantizar para un problema como este (con F lineal en y ' y con los extremos fijos) es cuando Fy = 0, as que, junto con el hecho de que Fy= constante (lo que implica dFy / dt = O), convertira a la ecuacin de Euler (2.18) en una identidad, como en el Ejemplo 7.EJERCICIO 2.11 En la discusin de la diferenciacin de las integrales definidas, no se hizo ninguna mencin de la derivada con respecto a la variable t. Es eso una omisin justificable?Encuentra las derivadas de las siguientes integrales definidas con respecto a x:

Encuentra los extremales, en su caso, de las siguientes funciones:

2.2 ALGUNOS CASOS ESPECIALESHemos escrito la funcin objetivo en la forma general , en el que la funcin integral F tiene tres argumentos: t, y, y '. Para algunos problemas, la funcin integral no pueden contener los tres argumentos. Para estos casos especiales, podemos derivar versiones especiales de la Ecuacin de Euler que a menudo (aunque no siempre) puede resultar ms fcil de resolver.Caso especial I: F = F (t, y ') En este caso especial, la funcin F es libre de Y, lo que implica que Fy = 0. Por lo tanto, la ecuacin de Euler se reduce a dFy / dt = 0, con la solucin:

Cabe sealar que el ejemplo 5 de la seccin anterior cae bajo este caso especial, aunque en ese momento slo utilizamos la Ecuacin de Euler regular para su solucin. Es fcil verificar que la aplicacin de (2.20) nos llevara al mismo resultado. He aqu otro ejemplo de este caso especial.Ejemplo 1 Encuentre los extremales de la funcin

Con condiciones de iniciales y (0) = y (1) = 1. Ya que:

En (2.20) encontramos t + 2Y (t) = constante, o:

Tras la integracin directa, obtenemos

Con la ayuda de las condiciones iniciales y (0) = Y (1) = 1, se verifica fcilmente por lo tanto, que c1 = f y c2 = 1. El extremal es la trayectoria cuadrtica

Caso especial II: F = F (y, y ') Como F es libre de t, en este caso, tenemos Fty = 0, por lo que la ecuacin de Euler (2.19) se reduce a

La solucin de esta ecuacin no es de ninguna manera obvia, pero resulta que si multiplicamos a travs de y ', la expresin del lado de la mano izquierda en el resultado la nueva ecuacin ser exactamente la derivada de , por

En consecuencia, la ecuacin de Euler se puede escribir como ,con la solucin yFY- F = constante, o lo que viene a ser el mismo:

Este resultado,la ecuacin de Eulersimplificada una vezya integrada, es unaecuacindiferencial de primer orden, que puede seren algunas circunstanciasms fcilde manejar quela ecuacin de Euleroriginal (2.19).Adems, enaplicaciones analticas(programascomputacionales),(2.21)puede producir resultadosque no seraperceptible a partir de(2.19), como seilustra en laSec.2.4.Ejemplo 2 Encuentre la extremal de la funcin

Con las condiciones iniciales y (0) = 1 e y (/ 2) = 0. Como

Por sustitucin directa en (2.21) nos da

Este ltimoesuna constanteno negativa, porque lostrminosdel ladoizquierdoson todos cuadrados;asquecon raznpodemosdenotarpora2,donde a esun nmero realno negativo.

El lectorreconocer quela ecuaciny'2+y2=a2puede ser trazadacomo un crculo,como en la Fig.2.3,con un radioa ycon centro enel punto de origen.Puesto que y' se representa en el ejeyen el diagrama,este crculoconstituye lalnea de fasepara la ecuacin diferencial.Por otra parte, el buclecircular forma de estalnea de fasesugiere queda lugara una ruta detiempo cclico, conlos valores de ydelimitadospor el intervalo [-a,a]cerrado, como enuna funcin coseno tieneunaamplitud ay el perodo2 .Tal funcincosenopuede ser representadoen generalpor la ecuacin

donde, adems delparmetro de amplituda,tambin tenemosotros dosparmetros bycque se relacionan conel perodoy la fasede lafuncin,respectivamente.Ennuestro caso, elperodo debe ser2 ;pero puesto que la funcin cosenomuestraun perodo de2/b(obtenido introduciendoel trminobta2)seinfiere queb=1.Sin embargo, losvalores deA y C sonan desconocidos,ydeben serdeterminados a partir delas condiciones de contornodadas.1. Diagramas de fasese explican enAlfaC.Chiang,MtodosFundamentales deMatemtica Economa,3 ed.,McGraw-Hill, NuevaYork,1984,Sec.14.6.Lalnea de fasees similar a lnea de faseCen la Fig.14.3en esa seccin;la ruta detiempo queimplicase muestra en laFig.14.4En t =0, tenemos

Cuandot = /2,setiene

Para satisfaceresta ltima ecuacin, debemostener ya seaa =0o cos(/2+c)=0. Perounano puede ser cero,porque de lo contrarioun coscposiblemente no puedeser igual a 1. Por lo tanto,cos(/2+c)debedesaparecer, lo que implicadosposibilidades: o bienc=0, oc =P.Conc =0, la ecuacin acosc =1se convierte en acos0=1o a(1) =1, dandoa =1. Conc =,sin embargo, laecuacin acosc=1 se convierte en a(-1) =1, dndonosa =-1, que esinadmisibleporquese ha restringidoapara ser unnmero no negativo.Por lo tanto,llegamos a la conclusinde que las condiciones inicialesrequierena =1yc =0,y que la trayectoria detiempo de y quecalifica comoelextremales

Lamisma solucinse puede,como era de esperar,obtenerde maneradirecta a partir dela ecuacin originalde Euler(2.18) o (2.19).Despus dela normalizaciny reordenando,la ecuacin de Eulerse puede expresar como la siguienteecuacin diferencial linealhomognea de segundo orden:

Dado que esta ecuacin tiene races complejas caractersticas r1, r2 = i, la solucin general toma la forma de

Por las condiciones iniciales se asignan a la constante arbitraria y a los valores de 1 y 0, respectivamente. Por lo tanto, nos encontramos con la misma solucin:

Para este ejemplo,la ecuacin original de Euler(2.18) o (2.19)resulta ser ms fcilde usar queel caso especialen(2.21).Ilustramoseste ltimo,no slo parapresentarlo comouna alternativa, sinotambinpara ilustraralgunas otras tcnicas(tales comoel diagrama de fasescircularen la Fig.2.3).El lector tiene que elegirla versin adecuada dela ecuacin de Eulerpara aplicar a cualquier problema particular.

Ejemplo 3Entrelas curvasque pasan pordos puntos fijosA y Z, Queva a generarla curva dela superficiems pequea derevolucincuando se gira alrededor del ejehorizontal X?Este es un problemaen la fsica,pero puede serdeinters debido a queesuno de los primerosproblemas en el desarrollodel clculo de variaciones.Para construir la funcin objetivo, puede ser til tener en cuentala curva deAZen la Fig.2.4como posible extremal deseado.Cuando se giraalrededor del ejeten la forma prevista,cada puntoen la curva deAZtrazaun crculoparalelo al planoxy, con su centro en el ejet,ycon un radioRigual alvalor de yen ese punto.Ya que la circunferencia de uncrculocomoes2R(en nuestro casopresente,2Y), todo lo que tiene que hacerpara calcularla superficie de revolucinesintegrarla circunferenciaen toda la longitudde la curva deAZ.Una expresinpara la longitudde la curva deAZse puede obtener conla ayudade la figura.2.5.Imaginemos queMy Nrepresentan dospuntos que estn situadosmuycerca uno del otroen la curva deAZ.Debido a la extrema proximidad deMyN,elarco MN puedeser aproximado poruna lnea recta, con sulongitud igual a ladiferencial ds.Con el fin deexpresards en trminosde lasvariables Y y t,recurrimos alteorema de Pitgoraspara escribir.De ello se desprendeque. Tomando la raiz cuadrada en ambos lados, obtenemos

Lo que da paso a la expresin deseada para ds en trminos de Y y t de la siguiente manera:

Toda la longitud de la curva AZ debe entonces ser el integrante de ds, a saber, . Para resumir, como la longitud de la circunferencia es 2y, por lo tanto, AZ dar lugar a la funcin

El lectordebe tener en cuentaque, si bienes legtimo"factorizar 2" (constante) como parte de la expresin2R, "y"(variable)debe permanecer dentro delsigno integral.A efectos dela minimizacion,se puede no tener en cuentala constante 2Ry tomar como la expresin para lafuncin F,con

Como Fes libredet, es posible queapliquemos(2.21) para obtener

Esta ecuacinse puede simplificarmediante la adopcin delas siguientes pasos:(1)se multiplica por,(2)se anulayy2y-yy'2en el ladoizquierdo, (3)reordenarambas partesy resolver paray2en trminos deY y C,y(4)tomar la raz cuadrada.El resultado es

Enesta ltima ecuacin, observamos quelasvariables y ythansido separado, de modo quecada ladose puede integrarpor s mismo.Ellado derecho no plantea ningnproblema,la integral dedt, siendo en formasencillat +k,donde k esuna constante arbitraria.Sin embargo, ellado izquierdoes ms complicado.De hecho,para tratar deintegrarla"sin desarrollar"tomarademasiado esfuerzo;por lo tanto,se debe consultar alas tablaspreparadas defrmulas de integracinpara encontrar elresultado:

Igualandoeste resultado cont +k(ydividiendola constante c con la constante k) obtenemos

Multiplicando amboslados porc,restaryde ambos lados,reordenando anulamosel trminoy2yresolviendo para yen trminos det,nos da finalmente elextremaldeseado, ser:

Dondelas dos constantescyksondefinidas mediante el uso delas condiciones iniciales.Esteextremales una forma modificadade ladenominada curvacatenaria.

Cuyacaracterstica distintivaes quese trata dela media de dos trminos exponenciales,en el queel exponentede un trminoes el negativoexacto del exponentede la otra.Dado que el exponente del termino es positivoda lugar a unacurva queaumentaa un ritmo creciente, mientras queelexponente negativoproduceuna curvacada vez menor,la media de losdos tiene una forma generalque retratala formade una cuerdaflexiblecon dos puntos fijos.(De hecho, el nombrecatenariaviene de la palabralatinacatena, que significa "cadena"). Estoformageneral se ilustrapor la curvaAZen la Fig.2.4. A pesar de quehemos encontrado nuestroextremalenuna familia de curvas catenarias, noes seguro quela superficie resultantede la revolucin(conocidocomo uncatenoide)se haya maximizadoo minimizado.Sin mbargo,geomtricamente y teniendo consideracionesintuitivasdebendejar claro quela superficiees de hecho un minimo.Conreferencia a la Fig.2.4,si sustituimosla curvaAZ trazando , digamos,una nueva curva deAZcon la curvaturaopuesta, a continuacin,una superficie ms amplia de revolucinpuede ser generado.Por lo tanto,lacatenoideno puedeposiblemente ser de un mximo.Caso especialIII: F= F(y f)Cuandola funcin Fdepende solamente dey', muchos de las derivadasen(2.19)desaparecer,incluyendoFyy,Ftyy Fy''. De hecho, slo el primertrmino se mantiene,por lo que laecuacin de Eulerse convierte

Para satisfaceresta ecuacin, debemostener que Fyy=0o y(t)=0. Si y(t)=0,entonces, evidentemente,y '(t) =c1,e y(t)=c1t+c2,lo que indica quela solucin general es una familia de dos parmetros de lneas rectas. Si, por otra parteFyy =0, ya que Fyy es, como la propia F, una funcin de y' solamente, la solucin de Fyy = 0 debera aparecer como valores especficos de y '. Supongamos que hay una o ms soluciones reales y'=hi, entonces podemos deducir que y = hit + c, que a su vez representa una familia de lneas rectas. En consecuencia, dada una funcin integral que depende de y ' solamente, siempre podemos tomar a su extremal como una lnea recta.EJEMPLO 4 Encuentre la extremal de la funcin

Con condiciones iniciales y(0)=A e y(t)=2. El lector tenga en cuenta que esta funcionalidad se ha encontrado disfrazada de manera diferente en Ejemplo 3. Recordando la discusin de longitud de arco que conduce a (2.22), sabemosque (2.25) mide la longitud total de una curva que pasa a travs de dos puntos dados. Por tanto, el problema de encontrar el extremal de este funcin es el de encontrar la curva con la distancia ms corta entre los dos puntos.La funcin integral, F= (1 + y'2)1/2, depende solamente de y'. Por lo tanto, podemos concluir inmediatamente que el extremal es una lnea recta. Pero si se desea examinar este ejemplo particular explcitamente por la ecuacin de Euler, se puede utilizar (2.18). con Fy = 0, la ecuacin de Euler es simplemente dFy/ dt = 0, y su solucin es Fy=constante. En vista del hecho de que Fy =y / (l + y'2)1/2, podemos escribirlo como (despus de reordenar)

Multiplicando por (1 + y2), reordenando y factorizando y ', podemos expresar y en trminos de c de la siguiente manera: y2 = c2 / (1 - c2). De manera equivalente,

En la medida de y (t), la pendiente de y (t), es una constante, el extremal deseado y * (t) debe ser una lnea recta.En sentido estricto, slo hemos encontrado un "extremal", que podr maximizar o minimizar el funcional dado. Sin embargo, es intuitivamente que la distancia entre los dos puntos dados es se minimiza en lugar de maximizar el extremal de lnea recta, porque no hay tal cosa como "la mayor distancia" entre dos puntos dados.Caso especial IV: F = F (t, y) En este caso especial, el argumento y' falta en la funcin F. Puesto que ahora tenemos Fy = 0, la ecuacin de Euler, ti en reduce simplemente a Fy = 0, o, ms explcitamente,

El hecho de que la derivada y' no aparece en esta ecuacin significa que la ecuacin de Euler no es una ecuacin diferencial. El problema es degenerado. Puesto que no hay constantes arbitrarias en su solucin que se definan de acuerdo con las condiciones iniciales dadas, el extremal puede no satisfacer las condiciones iniciales, excepto por pura coincidencia.Esta situacin es muy similar al caso en que la funcin F es lineal en el argumento y '(Sec. 2.1, Ejemplo 6). La razn es que la funcin F (t, y) se puede considerar como un caso especial de F(t, y, y ') Y' puede entrar a travs de un solo trmino aditivo 0y', con un coeficiente de cero. Por lo tanto, F (t, y) es, en un sentido especial, "lineal" en y '.EJERCICIO 2.2Encuentra las extremales de las siguientes funciones: con y (0) = 0 e Y (1) = 2 con y (0) = 9 e Y (2) = 11 con y (0) = 2 e y (1) = 5 (Encuentre la solucin general.)con y Y (1) = 1 + e con y (0) = 0 e y (/ 2) = 1 2.3 Dos generalizaciones de la Ecuacin de EULER La discusin anterior de la ecuacin de Euler se basa en una funcin integral con el integrando F (t, y, y '). Generalizaciones simples pueden ser planteadas, sin embargo, para el caso de varias variables de estado y cuando se presentan derivadas de orden superior estas aparecen como argumentos en la funcin F.Caso con mltiples Variables de EstadoCon n> 1 variables de estado en un determinado problema, se convierte la funcin en:

y habr un par de condiciones iniciales y condiciones finales para cada una de las n variables de estado. Cualquier extremal yj * (t), (j = 1,..., N), por definicin, debe dar la trayectoria extrema relativa a todos los caminos vecinos. Un tipo de trayectorias vecinas surge variando slo una de las funciones yJ(t) en un momento, por ejemplo, y1(t), mientras que todos los otras funciones yJ (t) se mantienen fijos. Entonces la funcin slo depende de la variacin en y1(t) como si tratramos el caso de una variable de estado sola. En consecuencia, la ecuacin de Euler (2.18) todava debe mantener como condicin necesaria, siempre y cuando cambiemos el smbolo y a y1 para reflejar el nuevo problema. Adems, este procedimiento puede utilizarse de manera similar para variar la otras funciones yj, uno a la vez, para generar otras ecuaciones de Euler. Por lo tanto, para el caso de n variables de estado, la ecuacin de Euler sola (2.18) debe ser reemplazada por un conjunto de n ecuaciones simultneas de Euler:

Estas ecuaciones n sern, junto con las condiciones iniciales, las que nos permitan determinar las soluciones y1(t),. . . , Yn* (t).Aunque (2.27) es una generalizacin directa de la ecuacin de Euler(2,18) -Sustitullendo el smbolo y por yj-el mismo procedimiento no puede ser utilizado para generalizar (2.19). Para ver por qu no, asuma por simplicidad que hayan slo dos variables de estado, Y y Z, en nuestro nuevo problema. La funcin F ser entonces una funcin con cinco argumentos, F (t, y, z, y ', z'), y las derivadas parciales sern tambin Fy y Fz. Por lo tanto, la derivada total de Fy (t,y,z, y ', z') con respecto a t incluir cinco trminos:

Con una expresin similar de cinco partes para dFz/dt. La versin ampliada con ecuaciones de Euler simultaneas correspondientes a (2.19) se ve mucho ms complicada que (2.19) en s mismo:

Ejemplo 1 Encuentre el extremal de

De la integral, nos encontramos con que

As, por (2.27), tenemos dos ecuaciones simultneas Euler

El mismo resultado puede obtenerse tambin a partir de (2.28). En este caso particular, sucede que cada una de las ecuaciones de Euler contiene una variable exclusivamente. Tras la integracin, los primeras derivadas y '=1/2t + c1, y por lo tanto

Anlogamente, el extremal de z es

Los cuatro constantes arbitrarias (c1,..., C4) se pueden definir con la ayuda decuatro condiciones iniciales relativas a Y (0), Z (0), y (T), y z(T).Caso con derivadas de orden superiorComo otra generalizacin, considere una funcin que contiene derivadas de orden superior de y (t). Generalmente, esto se puede escribir como

Dado que muchos derivadas estn presentes, las condiciones iniciales deberan en este caso denotar para los valores iniciales y finales no slo de y, sino tambin de las derivadas y ', y ", hasta que lleguemos a la derivada y(n-1) , haciendo un total de 2n condiciones iniciales.Para resolver este caso, observamos en primer lugar que una funcin F con una sola variable de estado con derivadas de y hasta el orden n puede ser transformada en una forma equivalente que contenga n variables de estado y sus derivadas de primer orden solamente. En otras palabras, la funcin en (2.29) se puede transformar en la forma en (2.26). En consecuencia, la ecuacin de Euler (2.27) o (2.28) puede volver a ser aplicada. Por otra parte, dicha transformacin se puede tomar automticamente usando tambin las condiciones iniciales.Ejemplo 2 Transformar la funcin

Con las condiciones iniciales y (0) = A, y (t) = 2, y '(0) =, y y (T) = , en la forma de (2.26). Para lograr esta tarea, slo tenemos que introducir un nueva variable

Entonces podemos reescribir la integral como:

Que ahora contiene dos variables de estado y y z, sin presencia de derivadas superiores ms que que la primera orden. Sustituyendo la nueva F en el funcin conseguimos el formato de (2.26).Qu pasa con las condiciones de frontera? Para la variable de estado original y, las condiciones y (0) = A y Y (t) = Z pueden mantenerse intactas. Las otras dos condiciones para y' se pueden reescribir directamente como las condiciones para la nueva variable de estado z: z(0) = y z (T) = . Esto completa la transformacin.-Dada la funcional (2.29), tambin es posible desarrollarlo directamente en vez de transformarlo en el formato de (2.26). Por un procedimiento similar al que se utiliza en la deduccin de la ecuacin de Euler, una condicin necesaria para un extremal se puede encontrar para (2.29). La condicin, conocida como la Ecuacin de Euler-Ecuacin de Poisson, es:

Esta ecuacin es, en general, una ecuacin diferencial de orden 2n. As pues, su solucin implicar constantes arbitrarias 2n, que se pueden definir con la ayuda de las 2n condiciones iniciales.Ejemplo 3 Encuentra un extremal de la funcin en el Ejemplo 2. Teniendo:

La ecuacin de Euler-Poisson es

que es una ecuacin diferencial de cuarto orden.EJERCICIOS 2.31. Busque el extremal de , con y(0)=0 y y(0)=y (1) = y '(1) = 1.2. Busque la extremal de (solucin general nicamente)3. Busque la extremal de , con y (0) = z (0) =0 e Y(/2)=z( / 2)=1.4. El ejemplo 3 de esta seccin muestra que, para el problema indicado en el Ejemplo 2, una condicin necesaria para el extremal es ty + 2y = 0. Deducir el mismo resultado mediante la aplicacin de las ecuaciones de definicin z = Y ' y la de Euler (2.27) para ese problema.2.4 OPTIMIZACIN DINMICA DE UN MONOPOLISTAPasemos ahora a las aplicaciones econmicas de la ecuacin de Euler. En el primer ejemplo, vamos a discutir el modelo clsico de Evans de una empresa monopolista, una de las primeras aplicaciones de clculo variacional a la economa.Una funcin de utilidad dinmica Considere una empresa monopolista que produce un solo producto con un funcin de costo total cuadrtica

Dado que no se considera los inventarios, la oferta Q se pone siempre igual a la cantidad demandada. Por lo tanto, vamos a utilizar un solo smbolo Q (t) para designar cantidades. La cantidad demandada se supone que depender no slo del precio P (t), sino tambin de la velocidad de cambio de precio P(t):

La utilidad de la empresa es

que es una funcin de P y P '. Multiplicando la expresin anterior y reordenando los trminos, tenemos la funcin de utilidad dinmica

El problemaEl objetivo de la empresa es encontrar una trayectoria ptima del precio P que maximiza la utilidad total durante un perodo de tiempo finito [0, TI. Este perodo se supone que es lo suficientemente corto como para justificar el supuesto de demanda fija y funciones de coste, as como, la omisin de un factor de descuento. Adems, como la primera aproximacin al problema, tanto en el Po precio inicial y el precio final Pt deben darse.El objetivo del monopolista es por lo tanto

La trayectoria ptima del PrecioAunque (2.34) se refiere al caso especial II, resulta que para el clculo con funciones especficas es ms simple de usar la ecuacin original de Euler (2.19), en el que, obviamente, deberamos sustituir por F y P por y. De la funcin de utilidad (2.33), esta se obtiene fcilmente

Estos a su vez en la expresin (2.19) -despus de normalizar- en la forma especfica:

Esta es una ecuacin diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes y un trmino constante, en la forma general de

Su solucin general se sabe que es:

donde la races caractersticas r1y r2 toman los valores

y la integral particular de es

Por lo tanto, para la ecuacin de Euler del presente modelo (donde a1 = 0), tenemos

Donde

Y

Tenga en cuenta que las dos races caractersticas son reales y distintas segn su signo en las especificaciones. Adems, son los negativos exactos una de otra. Podemos por lo tanto reescribir la solucin, donde r denota el valor absoluto comn de las dos races, como:

Las dos constantes arbitrarias A1 y A2 en (2.36 ') puede ser definidas a travs las condiciones iniciales P (0) = Po y P (t) = PT. Cuando establecimos t = 0 y t = T, sucesivamente, en (2.36'), obtenemos dos ecuaciones simultneas en las dos variables A1 y A2:

Siendo los valores de la solucin:

La determinacin de estos dos constantes completa la solucin del problema, para toda la trayectoria de los precios P * (t) est ahora especificada en trminos de los parmetros conocidos T, Po, PT,, , ,a ,b y h. De estos parmetros, todos tienen signos especificados excepto h. Pero como el parmetro h entra en la trayectoria de la solucin (2,36 ') slo a travs de r, y slo en la forma de un trmino cuadrtico h2 , podemos ver que su signo no afectar a nuestros resultados, solo su valor numrico.En este momento, no estamos preparados para decir si la trayectoria de hecho maximiza utilidades (en lugar de minimiza). Suponiendo que se maximiza, que de hecho lo hace, a continuacin, una pregunta relevante es: Qu podemos decir acerca de la ecuacin general de la trayectoria de los precios (2.36 ')? Por desgracia, no es posible dar una respuesta sencilla. Si PT> Po, el precio del monopolista puede ptimamente aumentando de manera constante en el intervalo (O, T) de Po a PT o puede tender a reducirse ligeramente antes de subir al nivel de PT al final del perodo, dependiendo de lo valores de los parmetros. En el caso opuesto de Po> PT la trayectoria del precio ptimo es caracterizado por una indeterminacin similar. Aunque este aspecto del problema puede ser perseguido un poco ms lejos (vase el ejercicio 2.4, Probs. 3 y 4), especficamente se necesitan valores de los parmetros para tener una idea mas clara sobre la trayectoria optima de los precios.Una Vista ms general del problemaLa frmula de Evans es especfica para una funcin de costes cuadrtica y una Funcin de demanda lineal. En un estudio ms general del problema dinmico-monopolista por Tintner, estas funciones no son especficas. La funcin de utilidad es simplemente escrita como (P,P'). En una formulacin general de este tipo, resulta que la frmula (2.21) -para el caso especial III- su utilizacin es una gran ventaja. Se obtiene directamente de una sencilla condicin necesaria

que se le puede dar una interpretacin econmica clara.Para ver esto, primero explicamos el sentido econmico de la constante c. Si la utilidad no depende de la velocidad de cambio de precio P ', es decir, si estamos tratando con el problema del monopolio esttico como un caso especial del modelo dinmico, luego d/ dP'= 0, y (2.38) se reduce a = c. As la constante c representa el beneficio del monopolio esttico. Acerqumonos, pues denotamos por ,(s subndice de esttica). A continuacin, observamos que si (2.38) se divide por el segundo trmino del lado izquierdo implicar

que representa la elasticidad parcial de con respecto a P '. De hecho, despus de realizar la divisin indicada, la ecuacin se puede reordenar obteniendo la regla de optimizacin:

Esta norma establece que la empresa monopolista siempre debe seleccionar el precio de tal manera que la elasticidad de la utilidad con respecto a la tasa de cambio del precio sea igual a 1 s / . El lector notar que este resultado analtico no habra surgido tan fcilmente si no hubiramos recurrido al caso especial de la frmula (2.21).Es interesante comparar esta regla con una elasticidad correspondiente a la regla de elasticidad para el monopolista esttica. Dado que la utilidad en ltimo instancia slo depende de P, la condicin de primer orden para la maximizacin del beneficio es simplemente d/dP=0. Si multiplicamos a todo por P / , la regla se convierte en la expresada en trminos de elasticidad de la siguiente manera: Ep = 0. Por lo tanto, mientras que en el modelo monopolista esttico la elasticidad de la utilidad con respecto al precio lo establece igual a cero, el modelo monopolista dinmico debe considerar la elasticidad de la utilidad con respecto a la tasa de variacin de precio y establecer su valor en 1 - S / La materia del precio TerminalLa discusin anterior se basa en la suposicin de que el precio final P (t) viene dado. En realidad, sin embargo, la empresa es probable que tenga discreto control sobre P (T) a pesar de que el tiempo final T ha sido preajustado. Si es as, se encontrara en el punto de situacin final consignada en la variable representada en la Fig. 1.5a, donde la condicin inicial P (T) = P, debe ser sustituido por la adecuada condicin de transversalidad. Vamos a desarrollar este tipo de condiciones de transversalidad en el siguiente captulo.EJERCICIO 2.41. Si una empresa monopolista en el modelo de Evans se enfrenta a una demanda lineal esttica (h = O), qu precio va a la empresa va a maximizar su utilidad? Sea el precio Ps, revise que tenga el signo correcto. Luego compare los valores de Ps y y dar a la integral parcial en (2.36) una interpretacin econmica.2. Compruebe que A1 y A2 realmente deben tener los valores mostrados en (2.37).3. Demostrar que el extremal P*(t) no implicar una inversin de la direccin de movimiento de precios en el intervalo (0, T) a menos que haya un valor 0 A2 (b) A1 = A2 y (c) A1 D se utiliza para convertir la utilidad (P, P ') en cualquier punto de tiempo a su valor presente, entonces la integral en (2.34) tomar la forma general a. En este caso, sigue siendo aplicable la frmula (2.21)?b. Aplicar la frmula (2.19) a esta expresin F para derivar la nueva ecuacin de Euler.c. Aplicar la frmula (2.18) para derivar la ecuacin de Euler, y expresarla como resultado, por regla general con respecto a la tasa de crecimiento de p.2.5 EL DILEMA ENTRE LA INFLACIN Y DESEMPLEOLos males econmicos de la inflacin y el desempleo infligen prdidas sociales. Cuando existe un el dilema de Phillips entre los dos, cul sera la mejor combinacin entre la inflacin y el desempleo a travs del tiempo? La respuesta a esta pregunta se puede obtener a travs del clculo de variaciones. En esta seccin presentamos una formulacin simple de un problema adaptado de uno de los documento de Taylor. En esta formulacin, la variable de desempleo como tal no se ha incluido; en cambio, se aproxima por (Yf - Y) -el dficit corriente de Y, la renta nacional, a partir de su nivel de pleno empleo Yf.La funcin de prdida SocialEl ideal econmico consiste en alcanzar el nivel de ingresos Yf, junto con una tasa de inflacin 0. Cualquier desviacin, positivo o negativo, del ingreso real y de Yf se considera perjudicial, y tambin lo es cualquier desviacin de la tasa real de inflacin p de cero. Entonces podemos escribir la funcin de prdida social de la siguiente manera:

Debido a que la expresin de la desviacin se eleva al cuadrado, desviaciones positivas y negativas se consideran iguales (ver ejercicio 1.3, Prob. 2). Sin embargo, las desviaciones de y y las desviaciones de p se consideran en la funcin de prdida social con diferentes pesos, en el rango de 1 a , lo que refleja los diferentes grados de sesgo para los dos tipos de desviaciones.El dilema de Phillips aumentado con expectativas entre (Yf - Y) y p es capturado en la ecuacin:

Donde , a diferencia de su uso en la seccin anterior, ahora denota a la tasa de inflacin esperada. La formacin de las expectativas de inflacin se supone que son adaptativas:

Si la tasa real de inflacin p excede la tasa esperada de inflacin (demostrando que esta subestimado), entonces '> 0, y se analizar al alza; Si, por otro lado, la tasa de p actual cae por debajo de la tasa esperada (demostrando que est sobreestimado), entonces '