el inversor trifásico -...

Capítulo 3

El Inversor Trifásico

Capítulo 3: El Inversor Trifásico

Control DTC Síncrono aplicado a una MSIP 33



3. EL INVERSOR TRIFÁSICO

3.1. INTRODUCCIÓN. El control de máquinas alternas conectadas a un inversor trifásico controlado en tensión, generalmente emplea técnicas de modulación de ancho de pulso (Pulse Width Modulation, PWM) para controlar los interruptores de potencia del puente inversor que alimenta a la máquina. Para realizar un control de par sobre una máquina síncrona es necesario alimentar al motor con una tensión alterna, de amplitud y frecuencia variables. Los inversores trifásicos de tensión son convertidores estáticos que permiten imponer sobre una carga un sistema de tensiones trifásicas, obtenidas a partir de una tensión continua de entrada. Para la aplicación del control desarrollado en esta tesis, dispondremos de un inversor trifásico de 15 kW compuesto por seis IGBT’s de potencia de 50A 1200 V, alimentado por una fuente de continua de 3 kW (300V-10A). En este capítulo presentaremos el modelo del inversor trifásico empleado en esta tesis para alimentar el motor síncrono. Se trata de un inversor trifásico a dos niveles de tensión, que alimentará un motor conectado en estrella. Se mostrarán las configuraciones básicas del inversor, sus diferentes estados de conmutación y las tensiones que se pueden obtener del mismo. A continuación se tratará la técnica de control aplicada al inversor. Existen un gran número de estrategias posibles para calcular los instantes de conmutación de los interruptores, y así generar los pulsos modulados de tensión [JORD95]. Para la selección de la técnica a aplicar se deben tener en cuenta criterios como el tipo de control que se vaya a realizar sobre la máquina, la frecuencia de modulación del inversor o las restricciones en contenido en armónicos de las formas de onda, fijadas por el usuario. Un estudio interesante en este sentido se presenta en [KRAH99]. Las técnicas por modulación de ancho de pulso son múltiples [RETIF98], clásicamente basadas en la comparación de una referencia senoidal con una onda triangular o en diente de sierra (técnicas PWM Intersectivas). Durante los años 80 se presentó una nueva técnica de modulación PWM completamente deducida sobre el plano complejo (α, β). El principio de esta técnica se basa en reproducir el vector de tensión estatórica a aplicar en cada periodo de modulación, a partir de la aplicación de diferentes vectores de estado de tensión del inversor [HOLTZ87]. En este capítulo se desarrolla en detalle la técnica de modulación PWM Vectorial (Space Vector Modulation, SVM). Se presentan los fundamentos de esta técnica de control, su desarrollo y su aplicación a una carga trifásica conectada en estrella. Por último al final del capítulo se muestran algunos resultados de simulación.



3.2. EL INVERSOR TRIFÁSICO DE TENSIÓN. El funcionamiento de un inversor de tensión “a dos niveles” ha sido extensamente descrito en la literatura técnica [SEGUI89], [MOHAN89]. Es este apartado se presentará su principio de funcionamiento y las formas de onda características, con el objetivo de comprender mejor los fenómenos que aparecen en el sistema debido a la presencia de inversor trifásico. Los componentes de electrónica de potencia funcionan en conmutación para evitar el calentamiento excesivo del Silicio, es decir, se encuentran siempre o en estado de conducción o en estado de bloqueo. Esto significa que la carga conectada a la salida del inversor recibirá una tensión en forma de pulsos, que permitirán reproducir formas de onda más o menos elaboradas (tensiones senoidales, por ejemplo) mediante la actuación sobre los instantes de entrada en conducción o de apertura de los interruptores. Los métodos de modulación del ancho del pulso (Pulse Width Modulation, PWM) han sido bastante desarrollados estos últimos años. Éstos determinan las leyes de conmutación de forma que se reproduzcan lo más exactamente posible las tensiones de referencia. Las conmutaciones se efectúan a la frecuencia denominada frecuencia de conmutación; y el control de la tensión de salida se realiza a través de la “relación cíclica” de los interruptores (relación entre el tiempo de conducción y el periodo de modulación). Una de las ventajas de los métodos de PWM, en relación a otras aproximaciones, es que permite la variación de la amplitud y de la frecuencia de las tensiones de salida en régimen senoidal, únicamente actuando sobre los instantes de apertura y cierre de los interruptores de potencia. Por otra parte, una frecuencia de conmutación elevada desplaza los armónicos de tensión a zonas de alta frecuencia, donde su efecto sobre las corrientes será más fácilmente filtrado por el carácter inductivo de las fases estatóricas del motor. En este trabajo se ha utilizado una configuración del inversor trifásico con dos niveles de tensión, como se muestra en la Figura. 3.1. Hay seis células de conmutación (6 interruptores de potencia) designados Q1 a Q6, y seis diodos de “libre circulación” (D1 a D6) dispuestos en antiparalelo con los interruptores. Estos diodos aseguran por un lado la continuidad de la corriente en la carga inductiva y por otro lado la reversibilidad de la potencia al poder inyectar corriente desde la carga a la batería de continua. Cada brazo del inversor está formado por dos interruptores en paralelo con sus diodos de libre circulación, estando la salida a cada fase del motor situada en el punto medio del brazo.



+

-

O A B C

N

BNv

ANvCNv

E 2E

2E

−

1D

2D

3D 5D

6D4D

1Q

2Q

3Q

4Q

5Q

6Q

+

+

-

-O

Figura. 3.1. Inversor trifásico con dos niveles de tensión.

Las señales de control de los dos interruptores de un mismo brazo deben ser complementarias a fin de no cortocircuitar la fuente de continua de alimentación. Además debe considerarse que los interruptores precisan de un tiempo mínimo, tanto en la apertura para anular la corriente, como en el cierre para su establecimiento. Por tanto se debe decalar el instante de cierre de un interruptor durante el tiempo de bloqueo necesario del interruptor complementario de la misma rama. Esta corriente de descarga circulará por los diodos dispuestos en paralelo con cada interruptor. Una vez esta corriente sea nula, se permitirá el cierre del interruptor complementario. Este tiempo de espera se denomina generalmente tiempo muerto y debe ser respetado y tenido en cuenta durante el diseño. La inclusión de estos tiempos muertos provocan una deformación de la tensión entre fases de salida, que será proporcional al valor del tiempo muerto y a la tensión de la fuente de continua de entrada, e inversamente proporcional al periodo de modulación. [MOHAN89]. Otro efecto desfavorable de los tiempos muertos es el aumento de la amplitud de los armónicos de la tensión de salida. Otros aspectos prácticos a considerar en el diseño del inversor son las pérdidas. Durante las conmutaciones de los interruptores existirán momentos en que la corriente que atraviesa el mismo y la tensión entre sus extremos tienen valores importantes. Por tanto existirán pérdidas en el componente en el momento de la conmutación (pérdidas en conmutación). La potencia media disipada dependerá entre otros factores de la frecuencia de conmutación. También debe considerarse las pérdidas en conducción, debidas a una caída de tensión residual en el interruptor durante su estado de conducción. La limitación en la simultaneidad de la conducción de los dos interruptores de un mismo brazo, implica que solamente existen 8 configuraciones posibles de salida del inversor. Los diferentes estados de conmutación de los tres brazos del inversor conducen a las tensiones que se indican en la Tabla. 3.I, expresadas en función del estado de los 3 transistores superiores de cada rama (Q1, Q3, Q5). Las tensiones calculadas corresponden a los valores respecto a la referencia “o”, situada en el punto



medio ficticio de la alimentación de continua del inversor (vAo, vBo, vCo). También se muestran las tensiones entre dos fases de salida del inversor (vAB, vBC, vCA).

Q1 Q3 Q5 Aov Bov Cov ABv BCv CAv

A A A -E/2 -E/2 -E/2 0 0 0 C A A +E/2 -E/2 -E/2 +E 0 -E C C A +E/2 +E/2 -E/2 0 +E -E A C A -E/2 +E/2 -E/2 -E +E 0 A C C -E/2 +E/2 +E/2 -E 0 +E A A C -E/2 -E/2 +E/2 0 -E +E C A C +E/2 -E/2 +E/2 +E -E 0 C C C +E/2 +E/2 +E/2 0 0 0

A: abierto; C: cerrado

Tabla. 3.I. Tensiones de cada rama respecto al punto intermedio de la alimentación ‘O’ y entre dos fases, en función del estado de los interruptores.

Estas tensiones se obtienen en función del estado de los diferentes interruptores, tal y como se muestra en la Figura. 3.2. Se puede apreciar que en el primer estado y en el último las tensiones de alimentación al motor son nulas, por lo que a veces estos estados se denominan “estados de libre circulación”.

A A

AAA

A B

B B B

BB C C

CCC

C

A B C

0vr 1vr 2vr

5vr4vr3vr

6vr

, ,2 2 2a b coE E EV ⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

, ,2 2 2a b coE E EV ⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

, ,2 2 2a b coE E EV ⎡ ⎤= + + −⎢ ⎥⎣ ⎦

, ,2 2 2a b coE E EV ⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

, ,2 2 2a b coE E EV ⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

, ,2 2 2a b coE E EV ⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥⎣ ⎦

, ,2 2 2a b coE E EV ⎡ ⎤= + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

, ,2 2 2a b coE E EV ⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

A B C

7vr

Figura. 3.2. Distintas configuraciones del inversor en función del estado de los interruptores.



3.3. PWM VECTORIAL. La técnica de PWM vectorial ha sido presentada durante los años 80 [CANUD00], y presenta una nueva estrategia de modulación en ancho de pulso enteramente desarrollada en el espacio vectorial, es decir, en el plano complejo (α,β). A diferencia de otras técnicas, no realiza cálculos separados de las modulaciones para cada brazo del inversor. En este método se calcula para el inversor completo el vector de tensión estatórica global (vS) a aplicar en cada periodo de modulación. Este vector de referencia de tensión estatórica se reproducirá de forma aproximada mediante un vector promedio, generado por la aplicación secuencial de los dos vectores activos de estado adyacentes a dicho vector de control, y un vector nulo. En un inversor trifásico, la conversión de energía continua-alterna está asegurada por las conmutaciones de los interruptores de inversor que realizarán conexiones temporales entre los terminales de la fuente continua de alimentación y las líneas trifásicas de salida. La transferencia de energía se controla por medio de la relación entre intervalos de apertura y de cierre (relación cíclica) de cada interruptor y, por tanto, por la modulación de los pulsos de control de estos interruptores. Los objetivos principales de este método de control son:

Obtener corrientes lo más senoidales posibles en la alimentación de la máquina eléctrica conectada a la salida del inversor. Esto se consigue con el control de las relaciones cíclicas mencionadas y gracias a una frecuencia de conmutación de los interruptores muy superior a la frecuencia de las tensiones de salida, lo cual desplaza los armónicos hacia la parte alta del espectro de frecuencias.

Permitir un control preciso tanto de la amplitud de la tensión fundamental de salida como de la frecuencia de salida, en el rango mas amplio posible.

Los parámetros esenciales del PWM son:

la frecuencia de modulación (fmod) el índice de modulación (m), definido como la relación entre el valor de

pico del armónico fundamental de la tensión de salida y la amplitud del mayor nivel de la tensión de salida, cuya expresión se dará más adelante.

Como contrapartida, deben tenerse en cuenta las pérdidas en conmutación de los interruptores de potencia, y se debe buscar un compromiso entre la calidad a nivel de armónicos de la onda de salida y las pérdidas debidas a las conmutaciones. En la Tabla. 3.I.. se han presentado las diferentes configuraciones posibles de salida del inversor trifásico, en función del estado de los interruptores de potencia. Cada una de estas configuraciones está representada en el plano complejo (α,β) por un vector de estado del inversor ( 0vr a 7vr ). Las componentes de estos vectores se definen de acuerdo al estado de conmutación de los interruptores de cada fase. El orden



seguido en la asignación de las componentes es nvr (A,B,C), para la fase A, fase B y fase C respectivamente. Así, el estado ‘1’ indica que el interruptor superior de la rama correspondiente esta cerrado, debiendo estar el inferior abierto. En el estado ‘0’ el interruptor superior esta bloqueado mientras que el inferior se encuentra en estado de conducción. Las ocho combinaciones posibles de los diferentes interruptores del puente en sus dos estados, se pueden representar como 8 vectores de tensión, 6 de ellos no nulos (vectores activos), formando un hexágono centrado en al origen del plano (α,β), y dos de ellos nulos (vectores nulos), situados en el origen del plano. Estos vectores se muestran en la Figura. 3.3.

( )0 0,0,0vr ( )7 1,1,1vr

( )2 1,1,0vr( )3 0,1,0vr

( )4 0,1,1vr ( )1 1,0,0vr

( )5 0,0,1vr ( )6 1,0,1vr

23

E

2E

α

β

Figura. 3.3. Representación en el plano complejo (α,β) de los vectores de estado del inversor.

Para una conexión del motor en estrella y, suponiendo una carga equilibrada se pueden calcular las tensiones en cada fase del motor a partir de las tensiones (vAo, vBo, vCo) referidas a un punto medio ficticio de la tensión de alimentación de continua del inversor, calculadas anteriormente. La relación entre ambas se expresa como:

2 1 11 1 2 13

1 1 2

AN Ao

BN Bo

CN Co

v vv vv v

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(0.1)

A partir de estos valores y utilizando la matriz de la transformación de Concordia (T) presentada en el capítulo 2 se pueden obtener los valores de las componentes de la tensión estatórica en la referencia (α,β)

1 112 2 23 3 30

2 2

ANs

BNs

CN

Vv

Vv

V

α

β

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

(0.2)

Estos valores serán posteriormente los utilizados como entradas del algoritmo PWM Vectorial. Tanto los valores de fase aplicados al motor como las componentes (α,β) del vector de tensión estatórica se muestran en la Tabla. 3.II.



0vr 1vr 2vr 3vr 4vr 5vr 6vr 7vr

ANv 0 +

23

.E +E3

−E3

−23

.E −E3

3E

+ 0

BNv 0 −

E3

+E3

+23

.E +E3

−E3

−23

.E 0

CNv 0 −E3

−23

.E −E3

+E3

2 E3

+ ⋅ +E3

0

sv α 0 +

23

.E +16

.E −16

.E −23

.E −16.E +

16

.E 0

sv β 0 0 +12

.E +12

.E 0 −

12

.E −12

.E 0

Tabla. 3.II. Valores de tensiones de fase y tensión estatórica en la referencia (α,β) generados con la aplicación de cada vector de estado.

El valor máximo del fasor espacial de tensión estatórica es 23

E , como se muestra en

la Figura. 3.3. Para evitar la distorsión en las salidas del PWM Vectorial es necesario mantenerse en la zona lineal de modulación, y para ello debe suceder que el afijo del vector tensión estatórica se encuentre en el interior de la circunferencia inscrita en el hexágono definido por los vectores de estado no nulos, mostrados en la Figura. 3.3. El radio de

esta circunferencia coincide con el valor del apotema del hexágono y vale 2

E .

Por tanto, se puede apreciar que no existe un aprovechamiento máximo de la tensión continua de alimentación del inversor, ya que la máxima tensión del fasor de tensión

estatórica será: 2

E = 0.707E. Por otro lado, para obtener la tensión máxima eficaz

que se podrá aplicar al motor debe tenerse en cuenta que la transformada de Concordia que se ha aplicado aqui conserva la potencia, con un factor 2 / 3 . Por tanto, para mantener los valores de tensión deberá multiplicarse por la constante correspondiente ( )2 /3 , y dividir por 2 para obtener el valor eficaz, quedando el valor máximo de esta tensión:

0.4086

E E= (0.3)

3.3.1. CÁLCULO DE LOS TIEMPOS DE APLICACIÓN DE LOS ESTADOS DEL INVERSOR.

Como se ha mencionado el método de PWM Vectorial trata de reproducir el vector de tensión estatórica a partir de dos vectores activos de tensión del inversor, aplicados durante un cierto tiempo. Por tanto este vector vS debe posicionarse en el plano (α,β) a fin de determinar cuales son los vectores activos a aplicar más apropiados en cada caso. El vector de tensión estatórica se encontrará girando a la



velocidad de sincronismo, por lo que en cada periodo de conmutación podrá cambiar o bien los vectores activos a aplicar o bien el tiempo de aplicación de los mismos. En la Figura. 3.4(a) se muestra la distribución por sectores del plano (α,β). En cada sector (i=1…6) se aplicarán los vectores adyacentes al mismo. Por ejemplo en la Figura. 3.4(b) se muestra una situación en que el vector vS se encuentra en el sector 1, por lo que en el PWM vectorial se aplicarán los vectores 1vr y 2vr .

1vr

2vr3vr

4vr

5vr6vr

0vr 7vr 23

E

2E

vα

vβ

3i =

4i =

2i =

1i =

6i =

5i =

(a)

1vr

2vr3vr

vα

vβ

Sv

1 1vρ2 2vρθ

(b)

Figura. 3.4. (a) Distribución de sectores y vectores de estado en el plano (α,β). (b) Ejemplo para un vector vs situado en el sector 1

Los tiempos de aplicación de cada uno de estos vectores son las denominadas relaciones cíclicas y están representados en la Figura. 3.4(b) como 1ρ y 2ρ , definidos como:

11

mod

tT

ρ = y 22

mod

tT

ρ = (0.4)

siendo Tmod el periodo de modulación. De forma general, el vector tensión estatórica de control vS se aproxima durante un periodo de modulación por un vector de tensión promedio <vS> . Este vector será obtenido por la aplicación de los dos vectores de estado del inversor adyacentes vi y vi+1 y de los vectores nulos v0 y v7 , siendo i el número del sector donde se encuentra vS. Para realizar esto, el vector vS debe ser muestreado a una frecuencia de modulación del inversor, fmod= 1/Tmod. Este valor muestreado (vS)n se utiliza para obtener el tiempo de aplicación de cada vector (relación cíclica), dentro de un periodo de modulación:

( ) ( )1 1 0mod

1S S i i i i zn n

v v t v t v t vT + += = + + (0.5)

debiendo cumplirse que: 1 modi it t T++ ≤ (0.6)

y por tanto:

( )0 mod 1i it T t t += − + (0.7)



donde: t0 es el tiempo de aplicación de uno de los vectores nulos, vz es el vector nulo aplicado en cada caso (v0 ó v7).

vi y vi+1 son los dos vectores activos de estado del inversor que delimitan el sector i del plano de tensiones; dentro del cual se sitúa el vector ( Sv )n

Las entradas al algoritmo PWM Vectorial son los valores instantáneos de las componentes del vector de tensión estatórica en el plano (α,β). A continuación se establecen las expresiones que relacionan dichas componentes con los tiempos de aplicación de cada vector de estado. La tensión generada por cada vector de estado se puede escribir como:

323

j i

iv mEeπ

= (0.8)

siendo entonces, a partir de (0.5):

( )113 3

mod mod

23

j i j ii i

S n

t tv mE e eT T

π π+

+⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎣ ⎦ (0.9)

y, por otro lado, S s sn

v v jvα β= + (0.10) De las ecuaciones (0.9) y (0.10) se pueden deducir los tiempos de aplicación de los vectores activos como:

mod sin3it mT π θ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (0.11)

1 mod sin3it mT π

+⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(0.12)

( )0 mod 1i it T t t += − + (0.13) siendo:

θ el ángulo entre el vector vS y el vector de estado más próximo en el sentido antihorario, definido en la Figura. 3.4(b).

m el índice de modulación, definido como el cociente entre el valor de cresta de la onda de tensión de referencia y el radio de la circunferencia inscrita en el hexágono:

2 SvmE

= (0.14)

Con esta definición la zona lineal de funcionamiento queda limitada por un índice de modulación m ≤ 1. La definición adoptada coincide con la de [BROE88]. En estas expresiones una tensión de referencia de valor 0.7071E supone obtener una componente máxima fundamental de la tensión de referencia, obtenida para un modulación lineal. Este valor corresponde a un valor del índice de modulación m =1. A medida que el índice de modulación aumenta entre 0 y 1, disminuyen los tiempos durante los que se aplica un vector nulo, aumentando por lo tanto el valor de las



tensiones activas aplicadas. Si se sigue incrementando el índice m, se penetra en la zona denominada de sobremodulación, donde m > 1, la cual será brevemente estudiada en el apartado 3.4. A partir de las ecuaciones (0.11) a (0.13) se pueden deducir los tiempos de aplicación de los vectores no nulos, para cada sector angular, dentro de un periodo de modulación. A modo de ejemplo se muestra el cálculo para el sector i=1, donde intervendrán los vectores activos 1vr y 2vr :

1 21 2

mod modS s s

t tv v jv v vT Tα β= + = +

r r r (0.15)

e igualmente,

( ) ( )1 2

mod mod

2 2cos 0 sin 0 cos sin3 3 3 3s s

t tv jv E j E jT Tα β

π π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⎡ + ⎤ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (0.16)

Después de la resolución en componentes real e imaginaria se obtienen:

mod1

3 12 2s s

Tt v vEα β

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(0.17)

mod2 2 s

Tt vEβ= (0.18)

La Tabla. 3.III. muestra los tiempos de aplicación de cada vector de estado en función de las componentes ( ),s sv vα β y del sector angular i dentro del cual se encuentra el vector de referencia (vS)n. Los tiempos de aplicación se han calculado en función de las componentes (α,β) de dicho vector.

i=1 i=2 i=3

mod1

3 12 2s s

Tt v vEα β

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

mod2 2 s

Tt vEβ=

mod2

3 12 2s s

Tt v vEα β

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

mod3

3 12 2s s

Tt v vEα β

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

mod3 2 s

Tt vEβ=

mod4

3 12 2s s

Tt v vEα β

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

i=4 i=5 i=6

mod4

3 12 2s s

Tt v vEα β

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

mod5 2 s

Tt vEβ= −

mod5

3 12 2s s

Tt v vEα β

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

mod6

3 12 2s s

Tt v vEα β

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

mod6 2 s

Tt vEβ= −

mod1

3 12 2s s

Tt v vEα β

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Tabla. 3.III. Tiempos de aplicación de cada estado del inversor en función de las tensiones ( ),s sv vα β



3.3.2. CÁLCULO DE LAS RELACIONES CÍCLICAS DE CONMUTACIÓN POR SECTOR.

A fin de facilitar los cálculos, a continuación se normalizarán, dentro del intervalo [-1 1], los valores de las componentes (vsα,vsβ) de la tensión estatórica. La

normalización se realiza tomando como valor máximo 2

E , que es el valor del radio

de la circunferencia inscrita en el hexágono de valores máximos mostrado en la Figura. 3.3. Por tanto, las tensiones quedarán como:

ˆ 2 ss

vvEα

α = (0.19)

ˆ 2 ss

vv

Eβ

β = (0.20)

siendo ˆsv α y ˆsv β la nomenclatura elegida para los valores normalizados de tensión. El cálculo de los instantes de conmutación depende de las relaciones cíclicas, definidas como:

mod

ii

TT

ρ = (0.21)

Aplicando estas normalizaciones obtendremos las relaciones cíclicas correspondientes a cada vector activo. Por ejemplo, para el sector i=1, los valores de la Tabla. 3.III. determinan que:

mod1

3 12 2s s

Tt v vEα β

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(0.22)

mod2 2 s

Tt vEβ= (0.23)

Si se escriben ahora estas ecuaciones en función de los valores normalizados se obtiene:

13 1ˆ ˆ2 2s sv vα βρ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(0.24)

2 ˆsv βρ = (0.25) Operando de la misma manera para el resto de sectores se obtendrán los valores de la Tabla. 3.IV:



i=1 i=2 i=3


⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 ˆsv βρ =

23 1ˆ ˆ

2 2s sv vα βρ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

33 1ˆ ˆ


= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3 ˆsv βρ =

43 1ˆ ˆ


= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

i=4 i=5 i=6

43 1ˆ ˆ


= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

5 ˆsv βρ = −

53 1ˆ ˆ


= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

63 1ˆ ˆ


= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

6 ˆsv βρ = −

13 1ˆ ˆ


= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Tabla. 3.IV. Expresión de las relaciones cíclicas por sector.

3.3.3. CÁLCULO DE LAS RELACIONES CÍCLICAS DE CONMUTACIÓN POR BRAZO.

Una vez calculados los tiempos de conducción correspondientes a los vectores de estado activos ti y ti+1, existen varias formas de determinar los instantes de apertura y de cierre de los interruptores de potencia del puente inversor, es decir, existen varias secuencias de conmutación posibles. Para obtener un mismo armónico fundamental en la tensión de salida, cada secuencia provoca unos armónicos de corriente y unas pérdidas en conmutación diferentes. Esta libertad de elección en parte es debida a que el tiempo de aplicación de un vector nulo puede ser arbitrariamente distribuido entre los vectores v0 y v7. Según el método de cálculo de las secuencias de conmutación, existen dos familias principales de PWM Vectoriales: el modo continuo, y el modo discontinuo de conducción. Esta clasificación se realiza a partir de la función de modulación, que es una relación matemática que permite el cálculo explícito de las relaciones cíclicas de cada interruptor, a partir del módulo y de la fase del vector estatórico de control. Según esto, los métodos continuos son aquellos donde se puede expresar esta función por el producto de un índice de modulación comprendido entre 0 y 1 y una función del ángulo de fase del vector de referencia. Independientemente de su función de modulación, los métodos discontinuos se caracterizan por el hecho de que una de las tres ramas del inversor no se controla durante ciertos periodos completos de modulación. Las modulaciones discontinuas presentan la ventaja de disminuir el número de conmutaciones y, por tanto, las pérdidas en conmutación, pero a su vez tienen el inconveniente de que las ondas de salida contienen un número mayor de armónicos que en los métodos continuos. Una vez seleccionado el tipo de modulación, continua o discontinua, todavía existen ciertos grados de libertad en cuanto al orden de aplicación de los vectores dentro de un mismo periodo de modulación. Así, el método descrito por Trzynadlowski y Legowski [TRZY94], optimiza un compromiso entre las pérdidas en conmutación y



los armónicos de corriente. La técnica elegida en esta tesis utiliza solamente secuencias que comienzan por la aplicación del vector cero (v0) (en caso de que t0 ≠ 0). De esta forma, los instantes de cierre son siempre posteriores a los de apertura. Por otro lado, también tendremos en cuenta que la mejor solución desde el punto de vista de contenido en armónicos de las corrientes y de ruido acústico emitido por el motor, consiste en centrar los impulsos dentro de un periodo de modulación [MAUR92]. Teniendo en cuenta todos estos aspectos, en este trabajo se ha elegido un método de determinación de los instantes de conmutación de tipo continuo. Este método consiste en distribuir los tiempos de aplicación de los vectores nulos de forma idéntica entre v0 y v7. Igualmente se ha elegido una generación de la tensiones centrada en el periodo de modulación del inverso, lo cual contribuye a disminuir el contenido en armónicos de las tensiones de salida. La secuencia de los vectores de estado aplicados entonces al motor será:

v0 → vector no nulo → v7 → vector no nulo → v0 Esta secuencia, que será la empleada a lo largo de esta tesis, se muestra en la Figura. 3.5. en función, del sector angular en el que se encuentre el vector de tensión de referencia (i).

i = 1 i = 2 i = 3

i = 6i = 5i = 4rv4

rv0

rv1

rv2

rv7

rv0

rv2

rv7

rv3

rv0

rv7

rv3

rv4

rv0

rv7

rv1

rv6

rv0

rv7

rv6

rv5

rv0

rv7

rv5

T22

T12

T04

T04

T04

T22

T12

T04

Q1

Q3

Q5

Q1

Q3

Q5

Figura. 3.5. Secuencias de conmutación para los 3 brazos del inversor. Modo continuo.

En cada período de conmutación del inversor existirán tres estados diferentes, dos de ellos correspondientes a dos vectores activos de tensión y el tercero a un vector nulo. A partir de las relaciones cíclicas mostradas en la Tabla. 3.IV para cada sector, de los interruptores del inversor necesarios en cada caso, se calcularán ahora los correspondientes a cada brazo, en función del sector i. A modo de ejemplo se realizarán de forma explícita los cálculos correspondientes al sector i=1. Considerando el cronograma de la Figura. 3.5. para el caso del sector 1, y suponiendo que se cumple que: 1 2 1ρ ρ+ < , dentro de cada período se distribuyen los



tiempos entre los dos vectores activos y el vector nulos. La relación cíclica de estos últimos se denomina zρ , y en ella los tiempos estarán igualmente distribuidos para ambos vectores nulos 0vr y 7vr . Según las distribuciones temporales marcadas en el cronograma del sector 1, se puede escribir:

Para el brazo A: 1 2 0.5A zρ ρ ρ ρ= + + (0.26) Para el brazo B: 2 0.5B zρ ρ ρ= + (0.27) Para el brazo C: 0.5C zρ ρ= (0.28)

De estas relaciones y sabiendo que debe cumplirse que: 1 2 1zρ ρ ρ+ + = se puede calcular las relaciones cíclicas de cada brazo para i=1,

( )1 20.5 1Aρ ρ ρ= + + (0.29) ( )1 20.5 1Bρ ρ ρ= − + (0.30) ( )1 20.5 1Cρ ρ ρ= − − (0.31)

Reiterando estos cálculos para el resto de sectores se llega a la Tabla. 3.V:

Sector Aρ Bρ Cρ

1 ( )1 20,5 1 ρ ρ+ + ( )1 20,5 1 ρ ρ− + ( )1 20,5 1 ρ ρ− − 2 ( )2 30,5 1 ρ ρ+ − ( )2 30,5 1 ρ ρ+ + ( )2 30,5 1 ρ ρ− − 3 ( )3 40,5 1 ρ ρ− − ( )3 40,5 1 ρ ρ+ + ( )3 40,5 1 ρ ρ− + 4 ( )4 50,5 1 ρ ρ− − ( )4 50,5 1 ρ ρ+ − ( )4 50,5 1 ρ ρ+ + 5 ( )5 60,5 1 ρ ρ− + ( )5 60,5 1 ρ ρ− − ( )5 60,5 1 ρ ρ+ + 6 ( )6 10,5 1 ρ ρ+ + ( )6 10,5 1 ρ ρ− − ( )6 10,5 1 ρ ρ− +

Tabla. 3.V. Expresión de las relaciones cíclicas por brazo, en función de las relaciones cíclicas por sector.

Para implementar el control PWM Vectorial es necesario expresar estas relaciones cíclicas en función de las componentes ( ),s sv vα β del vector de tensión estatórica, que son las entradas al algoritmo de cálculo. Tomando de nuevo a modo de ilustración los valores correspondientes al sector 1, para el brazo A, se tiene:

1 2 0.5A zρ ρ ρ ρ= + + (0.32) y, de la Tabla. 3.IV se obtiene:


⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(0.33)

2 ˆsv βρ = (0.34) Sustituyendo en la expresión (0.32) los valores de las ecuaciones (0.33) y (0.34) se llega a:



3 1ˆ ˆ0,5 12 2A s sv vα βρ

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (0.35)

Estos mismos cálculos deben ser realizados para cada brazo del inversor y cada sector. Finalmente se obtendrán los valores deseados para las entradas del algoritmo PWM Vectorial, mostrados a continuación en la Tabla. 3.VI.

Sector Aρ Bρ Cρ

1 3 1ˆ ˆ0,5 12 2s sv vα β

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ 3 3ˆ ˆ0,5 1

2 2s sv vα β

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ 3 1ˆ ˆ0,5 1

2 2s sv vα β

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 ( )ˆ0,5 1 3 sv α+ ( )ˆ0,5 1 sv β+ ( )ˆ0,5 1 sv β−

3 3 1ˆ ˆ0,5 12 2s sv vα β

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ 3 1ˆ ˆ0,5 1

2 2s sv vα β

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ 3 3ˆ ˆ0,5 1

2 2s sv vα β

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

4 3 1ˆ ˆ0,5 12 2s sv vα β

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ 3 3ˆ ˆ0,5 1

2 2s sv vα β

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ 3 1ˆ ˆ0,5 1

2 2s sv vα β

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

5 ( )ˆ0,5 1 3 sv α+ ( )ˆ0,5 1 sv β+ ( )ˆ0,5 1 sv β−

6 3 1ˆ ˆ0,5 12 2s sv vα β

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ 3 1ˆ ˆ0,5 1

2 2s sv vα β

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ 3 3ˆ ˆ0,5 1

2 2s sv vα β

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Tabla. 3.VI. Relaciones cíclicas por brazo del inversor, en función de las tensiones ( ),s sv vα β

Finalmente, y a modo de ilustración, se muestra en la Figura. 3.6. una secuencia de conmutación discontinua presentada por Van der Broeck [BROE91]. En ella, en función del sector angular, una de las tres señales lógicas de control del inversor se deja a cero durante todo el periodo de modulación. Así, las conmutaciones se reducen en un factor de 2/3 con respecto al método continuo, siendo la secuencia a aplicar en este caso:

v0 → vector no nulo → v0 Se puede observar que, en ambos casos, la transición de un vector de estado al vector siguiente se realiza mediante la conmutación de un solo brazo del inversor.



i = 1 i = 2 i = 3

i = 6i = 5i = 4rv4

rv0

rv1

rv2

rv0

rv2

rv3

rv0

rv3

rv4

rv0

rv1

rv6

rv0

rv6

rv5

rv0

rv5

0

Q1

Q3

Q5

Q1

Q3

Q5

modTmodT modT

modTmodT modT

0 0

00 0

0

Figura. 3.6. Secuencias de conmutación para los 3 brazos del inversor. Modo discontinuo.

3.4. LÍMITES DE VALIDEZ DEL PWM VECTORIAL. Pueden darse ocasiones en las que el sistema de control solicite tensiones cuyo módulo sea superior al valor máximo del algoritmo de PWM Vectorial. Es este caso el algoritmo de modulación debe ser capaz de detectar esta situación y de actuar en consecuencia. En general, el método utilizado es limitar el módulo del vector de referencia al radio de la circunferencia inscrita en el hexágono de valores máximos. Otra posibilidad es permitir un funcionamiento en la zona del PWM no lineal, es decir con valores de tensiones superiores a los máximos, aquí determinado por E/√6. Esto puede permitirse durante tiempos limitados a fin de responder a sobrecargas transitorias del sistema. Como ya se ha mencionado, existe una limitación temporal en la definición de los tiempos de aplicación de los vectores de estado, dentro de un periodo de modulación [ec. (0.6)]. Esta limitación se refiere a que los tiempos de conducción de los dos vectores activos no pueden ser superiores al periodo de modulación:

1 modi it t T++ ≤ (0.36) Esta relación se puede expresar igualmente:

( )mod mod3 sin sin 1

2 3 3T i i Tπ πθ θ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − − ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(0.37)



La relación (0.37) se puede escribir en función de las tensiones ( ),s sv vα β para obtener los límites de validez de la tensión a aplicar. Si, en el límite, consideramos una igualdad en la ecuación anterior, obtendremos los valores máximos de aplicación, en función del sector (i=1…6). Estas zonas conforman un hexágono exterior a la circunferencia representada en la Figura. 3.7. De esto se deduce que los tiempos de aplicación calculados para cada vector activo de estado solo serán aplicables si el afijo del vector tensión de referencia se encuentra en el interior de dicho hexágono.

2E

23

E

2E

α

β

1 modi it t T++ >

1 modi it t T++ =

1 modi it t T++ <

( )1m = Figura. 3.7. Zona de validez de la modulación vectorial, en el plano (α, β).

La circunferencia inscrita en el interior del hexágono de la figura anterior representa el sistema de tensiones trifásicas senoidales de amplitud máxima. Se puede comprobar que la modulación PWM Vectorial permite generar hasta 0.816E, extendiendo la zona de funcionamiento al hexágono de la Figura. 3.7. Aumentando el índice de modulación a una valor superior a la unidad se entraría en la zona de sobremodulación, la cual se caracteriza por una relación entre la componente fundamental de la tensión de salida y la tensión de referencia no lineal. Es posible considerar dos zonas de funcionamiento en sobremodulación [BOSE97] : o En la primera zona – con valores el índice de modulación de amplitud m2

comprendidos entre 1 y m3 de la Figura. 3.8 – la trayectoria del vector de salida promediado sigue la circunferencia que corresponde al índice de modulación de amplitud m2 en los arcos de circunferencia que son interiores al hexágono. En el resto de la trayectoria se ajusta al hexágono. En un periodo de la onda de referencia senoidal, el convertidor es capaz de seguir la amplitud de la tensión de referencia pero no su fase. Esta trayectoria se resalta en grueso en la Figura. 3.8.

o La segunda zona – con índice de modulación de amplitud igual o mayor a m3 – se alcanza cuando el radio que corresponde al índice de modulación de amplitud es igual o mayor al de la circunferencia circunscrita al hexágono. El incremento del índice de modulación se realiza añadiendo componentes armónicas que no son de secuencia cero, por lo que la distorsión armónica aumenta considerablemente- La velocidad de giro del vector de tensión de salida promediado se controla variando la duración de los dos estados activos adyacentes. Esta velocidad será cada vez mayor en la porción central de cada lado del hexágono y menor en sus vértices, lo que conduce a un enclavamiento del vector de tensión promediado en los vértices del hexágono. Cuando la velocidad se hace cero en los vértices, e



infinito en los lados del hexágono, la modulación vectorial converge entonces en el funcionamiento de onda cuadrada, también denominado six-steps. Este modo supone trabajar con 6 pulsos por ciclo, precisamente con los vectores que apuntan a los vértices del hexágono. El índice de modulación entonces alcanza un valor de:

23 1.1512

Em

E= = (0.38)

La trayectoria que impone este índice de modulación no es posible de seguir. El máximo valor eficaz del armónico fundamental de la tensión de salida es el que

corresponde a una onda del tipo six-steps, es decir 2 Eπ

. Se puede comprobar que

no existe una relación lineal entre la tensión E y el armónico fundamental de la tensión de salida. Se ha de limitar por tanto la trayectoria del vector de referencia saturando convenientemente los tiempos de permanencia en cada estado activo.

2E

23

E

2E

α

β

2m3m

Figura. 3.8. Distinción de zonas en un convertidor trifásico según el valor del índice de

modulación en amplitud m.

Si se desea evitar la discontinuidad de tensión que una saturación natural de los pulsos conlleva, dentro de la región m ∈ [1, 1.15] es posible emplear nuevas técnicas digitales de eliminación de pulsos. Según lo sofisticado del método de eliminación de pulsos elegido, la tensión tendrá un contenido armónico más o menos elevado, pero éste será por lo general mayor que el obtenido en la zona de m < 1.

En la Figura. 3.9. se encuentra representada la circunferencia externa al hexágono máximo de tensiones, donde nos encontraríamos en una zona no lineal de modulación.



2E

α

β

23

E

2E

323

j iEe

π

312

j iEe

π

θ

Zona demodulación lineal

Zona desobremodulación

Límite superior de lamodulación lineal

Figura. 3.9. Zonas de modulación lineal y no lineal para una conexión en estrella.

La solución óptima por tanto seria trabajar en el interior de la zona lineal de modulación en régimen permanente, de manera que las tensiones estén limitadas a los valores máximos ya mencionados. Por el contrario durante los transitorios se permitirá realizar una modulación no lineal en el inversor, lo cual mejorará la respuesta dinámica del sistema. Algunos autores investigan activamente en este sentido en la actualidad. En [HOLTZ92] se calcula explícitamente la expresión de los tiempos de aplicación de los vectores activos requeridos para seguir la trayectoria puramente hexagonal. Otros autores aportan recientemente soluciones para llevar a la práctica la modulación vectorial en la zona de sobremodulación como es el caso de [BACKH00] que propone un algoritmo de clasificación del modo de funcionamiento de un VSI controlado por vectores espaciales basado en la teoría de las redes neuronales. A juzgar por sus resultados se obtiene una buena linealidad entre el índice de modulación y la amplitud de la componente fundamental de la tensión de salida.

3.4.1. MÉTODO DE LIMITACIÓN DE LA TENSIÓN MÁXIMA. Para realizar la limitación de tensiones en la zona lineal de modulación, en primer lugar se debe determinar el módulo del vector tensión de referencia a partir de sus componentes (α, β).

2 2s s s sv v v vα β= = + (0.39)

Si este módulo es superior al del valor máximo ( )maxSv , se limitará cada una de las componentes de dicho vector de referencia al valor máximo permitido. Estas limitaciones se calculan según:



( )' maxSs s

S

vv v

vα α= (0.40)

( )' maxSs s

S

vv v

vβ β= (0.41)

De esta forma limitamos el módulo de dicho vector, pero sin modificar su ángulo respecto al eje α. Estos valores conformarán un vector cuyo afijo estará situado en la frontera de la circunferencia inscrita en el hexágono de valores máximos. Se ha preferido la opción de realizar la limitación del módulo de la tensión en la entrada del algoritmo de PWM Vectorial frente a otras aproximaciones. Algunos autores [JORD95] prefieren corregir los tiempos calculados de aplicación de los vectores activos, si se encuentra que no se cumple la relación (0.36).

3.5. CONEXIÓN TRIÁNGULO. Para una conexión triángulo del estator de la máquina, los 8 vectores de tensión de estado varían respecto a los representados en la Figura. 3.3 para una conexión estrella. En la Figura. 3.10 se han representado conjuntamente los vectores para una conexión estrella [Figura. 3.10(a)] y para una conexión triángulo [Figura. 3.10(b)].

i=1i=2

i=4 i=5

rv0rv7

i=3

i=6

1vr

2vr

3vr

4vr

5vr

6vr

32

E

2E

rv0

rv7

i=1

i=2

i=3

i=4

i=5

i=6

23

E

α

β

1vr

2vr3vr

4vr

5vr 6vr

2E

β

α

(a) (b)

Figura. 3.10. Vectores de estado para una conexión del estator en estrella (a) y en triángulo (b).

A partir de esta figura se pueden deducir la relación entre ambos sistemas de vectores, que consiste en una rotación de su fase de 30°, y de un aumento del módulo de 3 . Esta afirmación es cierta para todo vector de tensión ya que siempre se podrá expresar como una combinación lineal de dos vectores de tensión de estado. La transformación estrella / triángulo se puede escribir de la siguiente manera:

63j

S Sv v eπ

∆ ϒ=r r (0.42)

613

j

S Sv v eπ

−ϒ ∆=r r (0.43)



3.6. MODELO DEL INVERSOR Y RESULTADOS DE SIMULACIONES. En este apartado se muestran algunos resultados de simulaciones obtenidos a partir del modelo del inversor trifásico desarrollado para este trabajo. En la Figura. 3.11. se muestran las señales lógicas de control aplicadas a los interruptores superiores de cada brazo del inversor. La secuencia de la figura corresponde a un funcionamiento en modo continuo, en la zona lineal de modulación y con vector de tensión de referencia estatórica situado en el tercer sector (i =3).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10-4

0

0.5

1

Q1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10-4

0

0.5

1

Q3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10-4

0

0.5

1

tiempo (s)

Q5

Figura. 3.11. Señales de control aplicadas a los transistores superiores de cada rama.

Se puede apreciar que los pulsos de control se generan centrados respecto al periodo de modulación, el cuál en este caso se ha fijado a 100 µs. En la Figura. 3.12. se muestran las formas de onda correspondientes a la evolución de los tiempos de conmutación aplicados a cada rama del inversor. Se han representado las tensiones compuestas entre dos brazos del inversor en la Figura. 3.12(a) y en la Figura. 3.12(b) una vez filtradas las mismas formas de onda referidas al punto medio de la alimentación O.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(a)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

(b)

Figura. 3.12. Formas de onda correspondientes (a) a la evolución de los tiempos activos en los tres semiconductores superiores, (b) a las tensiones de salida de cada brazo filtradas (VAO, VBO, VCO).



3.7. CONCLUSIONES DEL CAPITULO. En este capitulo se ha mostrado en primer lugar la configuración general y el modo de funcionamiento del inversor trifásico de tensión empleado en este trabajo. Se han representado los vectores de estado del inversor, así como las tensiones generadas por los mismos sobre una carga trifásica. Posteriormente se ha descrito el método de modulación por ancho de pulso, PWM Vectorial, aplicado en el control de dicho inversor. Este método de modulación se encuentra ampliamente desarrollado en la literatura técnica, sin embargo, en este capítulo ha sido presentado en detalle. La razón de ello es que el método de control desarrollado en esta tesis emplea esta técnica de control PWM Vectorial, con la variación de que en vez de ser aplicada sobre el vector de tensión estatórica (vS), se aplicará sobre un vector obtenido en el algoritmo de control denominado “Vector de incremento de flujo deseado (∆Φs )”. Los fundamentos, el desarrollo y la aplicación de este algoritmo de control se muestran en el Capítulo 4. Por último se han presentado algunos resultados de simulación, que demuestran el correcto funcionamiento de la técnica PWM Vectorial implementada.

el inversor trifásico -...

Documents