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El concepto de vector está motivado por la idea de desplazamiento en el espacio
Si una partícula se mueve de P a Q determina un segmento de recta dirigido con punto inicial P y punto final Q
PQ
Vectores en el plano
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La magnitud del vector es la longitud de ese desplazamiento y se denota por
Vectores de la misma magnitud
Vectores en el plano
PQ
PQ RS
R S P Q
S
R
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La dirección del vector viene dada por el punto inicial y el punto final. En este sentido
SRRS
Vectores de la misma dirección
S
R Q
P
S
R
Vectores en direcciones distintas
P
Q
Vectores en el plano
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Vectores Equivalentes
Q
P
RSPQTienen la misma magnitud y dirección
S
R
Definición Geométrica
Un vector es el conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes
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O
Eje x
Eje y
Todo vector se puede representar por un vector cuyo punto inicial es el origen, denominado vector posición.
Vectores en el plano
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(a,b) son las coordenadas del vector 𝒖 y también del punto P
𝑢
a
b
A un vector 𝒖 se le asocia el punto P(a,b) así:
P(a,b)
Eje Y
O Eje X
( , )u OP a b
Vectores en el plano
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Magnitud o módulo de un vector 𝒖:
𝒖 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
El vector nulo (0,0) no tiene dirección
Dirección de 𝒖 es el ángulo que forma con el eje positivo X
a
b tag
Un vector de módulo uno se llama unitario
Vectores en el plano
u
a
b (a,b)
Eje Y
O Eje X
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Definamos el vector como un segmento de recta dirigido.
Definición Geométrica de un vector
SENTIDO
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Flecha encima del símbolo:
Convenciones para representar una magnitud vectorial en un texto
Convenciones para representar el módulo o norma de una magnitud vectorial en un texto
Dos barras rodeando a la magnitud vectorial:
El módulo de un vector siempre es positivo, y especifica las unidades de la magnitud que el
vector representa
a
a
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Todo vector que se puede desplazar por el espacio y mantiene
su magnitud, dirección y sentido, entonces son iguales.
A B
C
A B C
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Sea el vector A
El resultado es otro vector en la misma dirección Si multiplicamos un escalar “ λ ” a un vector
Propiedades de Vectores
B = l
El resultado es otro vector en la misma dirección
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λ > 0
Para: λ > 0 , el vector B tiene
la misma dirección al vector A
B
Para: λ < 0 , el vector B tiene
sentido opuesto al vector A
B
Propiedades de Vectores
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a a2a
2
1
al
al
a2
3
Todos los vectores múltiplos de 𝑎 son paralelos
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Vectores iguales o equivalentes.
Son aquellos que tienen su módulo, dirección y sentido
iguales
α β
A B
Si A y B son iguales se cumple:
• ||A|| = ||B||
• α = β
• Sentido de A = Sentido de B
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Coliniales. Si se encuentran sobre la misma línea de
acción.
A B C
Tipos de Vectores
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Tipos de Vectores
CONCURRENTES.- Si sus líneas de acción concurren
en un mismo punto.
Punto de
Concurrencia
A
C
B
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Consiste en sumar dos vectores gráficamente y se realiza de la siguiente manera:
Se unen los orígenes de los dos vectores.
A partir de sus puntas o terminaciones se trazan paralelas a cada uno de ellos formando una paralelogramo.
La diagonal de dicho paralelogramo es el vector suma, lo cual se ilustra mediante el siguiente ejemplo:
Suma de vectores. Método del Paralelogramo
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A
B
A
B
Método del Paralelogramo
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Consiste en unir el origen del segundo vector con la punta del primero. Si son mas de dos vectores, unir el origen del tercer vector con la punta del segundo y así sucesivamente, el vector resultante es el que va desde el origen del primero hasta la punta del último.
A
B
B C A
C
D D
Método del Polígono
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Multiplicación de un vector por un escalar
Al multiplicar un vector por un escalar, se obtiene un nuevo
vector ( 𝐵 ) que es k veces mayor, k veces menor o bien igual que el vector que le dio origen, todo depende del escalar. Ejemplo:
𝑭 𝑩 = 𝟐𝑭
k = 2
k = 1
2
𝑊 =1
2𝐹
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Negativo de un vector
El negativo de un vector 𝑆 es aquél que tiene la misma
magnitud y dirección que 𝑆 pero sentido contrario.
El negativo de un vector 𝑆 es aquél que hay que sumarle a 𝑆 para obtener el vector nulo.
O bien el vector multiplicado por un escalar unitario negativo. Ejemplo:
𝑺
−𝑺 𝑩 = - 𝑆
k = - 1
𝑺 + −𝑺 = 𝟎
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Se define la resta de vectores como:
𝒂 − 𝒃 = 𝒂 + (−𝒃) = 𝒓
Para restar un vector B al vector A, se procede igual que en la suma con la única salvedad de que se toma el negativo del vector B. Ejemplo
𝒂
𝒃 𝒂
- 𝒃
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Resta de Vectores …
𝑎
𝒃
𝒂
−𝒃
Se define la resta de vectores como:
𝒂 − 𝒃 = 𝒂 + (−𝒃) = 𝒓
Para restar un vector 𝑏 al vector 𝑎 , se procede igual que en la suma
con la única salvedad de que se toma el negativo del vector 𝑏.
Ejemplo
𝒃
𝒂
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Propiedades
i. 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
ii. 𝑎 + (𝑏 + 𝑐 ) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐
iii. 𝑎 + 0 = 𝑎
iv. 𝑎 + −𝑎 = 0
v. 𝑘 𝑎 + 𝑏 = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏 𝑘1 escalar
vi. 𝑘1 + 𝑘2 𝑎 = 𝑘1𝑎 + 𝑘2𝑎 𝑘1, 𝑘2 escalares
vii. 𝑘1 𝑘2𝑎 = 𝑘1𝑘2 𝑎 𝑘1𝑘2 escalares
viii. 1 ∙ 𝑎 = 𝑎
ix. 0 ∙ 𝑎 = 0
x. 0 = (0,0)
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Definición 2: (Definición algebraica de un vector)
Un vector v en el plano XY es un par ordenado de números reales (a,b) donde a y b se llaman componentes del vector.
v= (a,b) se llama vector de posición, cuyo punto inicial es el origen (0,0)
Vectores en el plano (R2)
(a,b)
y
x
v
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Definiciones en R2
2 2
1 2a a a
Sea 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2), 𝑏 = (𝑏1, 𝑏2) en R2
(i) 𝑎 + 𝑏 = (𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2) (ii) 𝑘𝑎 𝑘 = (𝑘𝑎1, 𝑘𝑎2)
(iii) 𝑎 = 𝑏 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑎1 = 𝑏1, 𝑎2 = 𝑏2
(iv) −𝑎 = (−1)𝑎 = (−𝑎1, −𝑎2)
(v) 𝑎 − 𝑏 = (𝑎1 − 𝑏1, 𝑎2 − 𝑏2)
(vi) 0 = (0,0) (vi)
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Ejemplo 1.
Si 𝑎 = (1, 4), 𝑏 = (−6, 3), hallar 𝑎 + 𝑏, 𝑎 − 𝑏 , 2𝑎 + 3𝑏.
Solución Usando propiedades (1), (2), (4), tenemos
𝑎 + 𝑏 = (1 + −6 , 4 + 3)
𝑎 − 𝑏 = 1 − −6 , 4 − 3 = (7,1)
2𝑎 + 3𝑏 = 2 1,4 + 3 −6,3 = 2,8 + −18,9 = (−16,17)
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El espacio tridimensional R3
El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales recibe el nombre de espacio numérico tridimensional, y se denota por R3. Cada terna ordenada (x, y, z) se denomina punto del espacio numérico tridimensional.
x y
z
plano xz
plano yz plano xy
orígen
SISTEMA DE
COORDENADAS
CARTESIANAS
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Es un conjunto de ternas ordenadas de números reales
Primera
componente
Segunda
componente Tercera
componente
R3 = { ( x , y , z ) / x R, y R, z R }
El espacio tridimensional R3
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Vector en R3
P(a1,a2,a3) z
x
y
a
a1
a2 a3
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Ejemplo 2.
Represente los puntos (4, 5, 6) y (−2, −2, 0).
Solución Fig 7.25.
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Definiciones en R3
2 2 2
1 2 3a a a a
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Propiedades del módulo o norma
Sean 𝑟 , 𝑢 ∈ ℝ𝑛, entonces:
1. 𝑟 ≥ 0; 𝑟 = 0 si y sólo si 𝑟 = 0.
2. 𝑟 + 𝑢 ≤ 𝑟 + 𝑢
3. 𝛼𝑟 = 𝛼 𝑟 , 𝛼 ∈ ℝ
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Un vector cuya magnitud es la unidad, se denomina vector unitario.
a
𝑎
Vector unitario.
Todo vector unitario 𝑎 , tiene la misma dirección del vector 𝑎 .
aa
a
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Ejemplo 3.
Calcula 𝑎 si 𝑎 = (−2,3,6)
𝑎 = (−2)2+32 + 62 = 49 = 7
𝑎 =(−2,3,6)
7= −
2
7,3
7,6
7
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Ejemplo 4.
Dado 𝑎 = (2,−1) el vector unitario en la misma dirección 𝑢 es:
𝑎 = 22 + (−1)2= 5
𝑢 =1
5𝑎 =
1
52,−1
𝑢 =2
5, −
1
5
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Nota: En R2 y en R3 existen vectores que nos permiten representar cualquier otro vector en términos de ellos. Se les llaman vectores unitarios canónicos y se representan por
ii
𝑅2: 𝑖 = 1,0 ; 𝑗 = (0,1)
𝑅3: 𝑖 = 1,0,0 ; 𝑗 = 0,1,0 ; 𝑘 = (0,0,1)
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Los vectores 𝒊 , 𝒋
Si 𝑎 = (a1, a2) entonces:
𝑎 = 𝑎1, 0 + 0, 𝑎2
𝑎 = 𝑎1 1,0 + 𝑎2 0,1
𝑎 = 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗
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i
j
1a i
2a j
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Ejemplo 5.
5) 𝑎 = 6𝑖 + 4𝑗 , 𝑏 = 9𝑖 + 6𝑗 son paralelos y 𝑏 =3
2𝑎
1) (4, 7) = 4𝑖 + 7𝑗
2) (2 𝑖 – 5 𝑗 ) + (8 𝑖 + 13 𝑗 ) = 10 𝑖 + 8𝑗
3) 𝑖 + 𝑗 = 2
4) 10(3 𝑖 – 𝑗 ) = 30 𝑖 – 10 𝑗
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Los vectores 𝒊 , 𝒋 , 𝒌
Si 𝑎 = (a1, a2, a3) entonces:
𝑎 = 𝑎1, 0,0 + 0, 𝑎2, 0 + 0,0, 𝑎3
𝑎 = 𝑎1 1,0,0 + 𝑎2 0,1,0 +𝑎3(0,0,1)
𝑎 = 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗 + 𝑎3𝑘
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Vectores unitarios canónicos 𝒊 , 𝒋 , 𝒌 .
Los vectores 𝑖 , 𝑗 y 𝑘 son unitarios y están dirigidos en la dirección de los ejes 𝑋, 𝑌 y 𝑍 respectivamente.
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ij
k
1a i 2a j
3a k
a
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Ejemplo 6
Sea 𝑎 = 4𝑖 + 2𝑗 , 𝑏 = −2𝑖 + 5𝑗 . Dibujar 𝑎 + 𝑏, 𝑎 − 𝑏.
Solución
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Dos vectores son paralelos entre sí si todas sus componentes son proporcionales. Ejemplo:
Definición
),,( 321 aaau
),,( 321 bbbv
Dado:
vu
// kb
a
b
a
b
a
3
3
2
2
1
1
vku
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Un vector es libre de moverse bajo desplazamientos paralelos si queremos medirlo con nuestro sistema de referencia Oxyz.
x
y O
A
z
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Coordenadas de un vector libre cualquiera
Las coordenadas de un vector libre 𝑃𝑄 respecto a los vectores
𝑖 , 𝑗 y 𝑘 se obtienen restando las coordenadas del punto P con las coordenadas correspondientes de Q.
𝑂𝑃 + 𝑃𝑄 = 𝑂𝑄
Los puntos 𝑃 y 𝑄 determinan
el vector fijo 𝑃𝑄
𝑃𝑄 = 𝑂𝑄 − 𝑂𝑃
𝑃𝑄 = 𝑂𝑄 − 𝑂𝑃 = (𝑏 − 𝑎, 𝑏′ − 𝑎′, 𝑏"−𝑎")
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Ejemplo 7.
Hallar el vector que va de (4, 6, −2) a (1, 8, 3)
Solución
( , , ( ))
( , , )
1 2 2 1
1 2
1 2
P P OP OP
P P 1 4 8 6 3 2
P P 3 2 5
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Recordemos que la dirección de un vector r no nulo en R2 es la medida del ángulo α, que forma el semieje positivo X con el vector posición asociado a r. El ángulo α esta medido en radianes tal que 0 ≤ α ≤ π.
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Cosenos Directores
Los ángulos directores de un vector no nulo en R3 son los tres ángulos , , que forman respectivamente los ejes positivos X, Y,Z con el vector posición s
Los ángulos α, β, γ están medidos en radianes tales que 0 ≤ α, β, γ ≤ π.
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Si 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 , se cumple además que:
sin 𝛼 =𝑦
𝑟 , cos 𝛼 =
𝑥
𝑟 , tan 𝛼 =
𝑦
𝑥
𝑟 = 𝑟 cos 𝛼 𝑖 + 𝑟 sin 𝛼 𝑗
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decimos que cos , cos , cos son cosenos directores, y
||a||||a||||a||
321 cos,cos,cosaaa
Cosenos Directores
31 2
a c
aa aa
os(
i j
) i cos( ) j cos( ) k
ka a a
cos2() + cos2() + cos2() = 1
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Hallar los cosenos directores y los ángulos directores de
𝑎 = 2𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘.
Solución
1 1 12 5 4cos ; cos ; cos ;
3 5 3 5 3 5
2 5 4
cos ; cos ; cos3 5 3 5 3 5
2 2 2a 2 5 4 45 3 5
Ejemplo 6
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Hallar la magnitud o norma y dirección del vector 𝑟 = (−2,1).
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Dados los puntos 𝐴(−2,1,3), 𝐵 = (1,2,−3) y 𝐶 = (2,1,4). Se pide:
c) Ángulos directores del vector 𝐵𝐶.
b) Un vector unitario en la dirección 2𝐴𝐵 − 3𝐵𝐶.
a) Gráfica de los puntos.
d) Perímetro del triángulo formado por los puntos dados.