ekonometrikaya giriġ - wordpress.comiqtisadiyyat, riyaziyyat və statistikanın kəsiúməsi kimi...
TRANSCRIPT
Y A D U L L A H Ə S Ə N L I
EKONOMETRIKAYA GIRIġ
DƏRSLIK
BAKI - 2008
2
A zərba ycan MEA -ni n Kib ern et ika Ġn s t i t unun g en i Ģ l ənmi Ģ e l mi Ģu ra
i c l as ibda b əy ən i l mi Ģd i r (p r . 09 .1 0 . 200 7 )
El mi reda kt o r l ar :
A k ad emi k , f - r . e .d . , p ro f . C əl a l ALL AH VE R DI YE V (B ak ı Dö v l ə t
U nv ers i t e t i )
D r . C ihan B UL UT ( Q af qa z Un v ers i t e t i )
R əy çi l ə r :
P ro f .D r . Mus t af a GÜ N Eġ (Tü rk iy ə Cümh u ri yy ə t i , Do ku z Ey l ü l
Ü n i v ers i t e t i )
D r . R eh a YI L MA Z
Həsənl i Yadul la Həmdulla oğlu «Ekonometrikaya g ir iĢ» ,
Dərs l ik, Bakı , 2008, 236 səhifə ,Əlavələrlə
Kitab müəllifin 2003-cü ilərdə Asiya İnkişaf Bankının maliyyə dəstəyi
ilə İqtisadi İnkişaf Nazirliyinin İqtisadi İslahatlar Mərkəzində (İndiki İqtisadi
İslahatlar İnstituru), 2004-cü ildə Avrasiya Fondu Qafqaz Resurs Tədqiqat
Mərkəzində və 2005-ci ildə Milli Bankın İqtisadi Təhlil və Proqnozlaşdırma
departamentində keçirdiyi «Ekonometrikaya giriş» kursunun mühazirə və
seminar materiallarına bəzi əlavələr edilməklə tərtib edilmişdir. Kitab üç
fəsildən ibarətdir. Birinci fəsildə ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistikanın, o
cümlədən seçmə nəzəriyyənin əsas anlayışlarının qısa xülasəsi verilmişdir.
İkinci fəsildə ekonometrikanın başlanğıc kursunun əsasları (korrelyasiya və
reqressiya təhlilinin əsas məsələsi, ən kisik kvadratlar üsulu və parametrlərin
qiymətləndirilməsi, cüt və çoxluq reqressiya modellərinin qurulması, Qauss-
Markov şərtləri və onların pozulması halları, təhlil və proqnoz modellərinin
adekvatlığı kriteriləri və testləri) verilərək konkret nümunələr üzərində şərhlər
aparılmışdır. Üçüncü fəsildə Azərbaycanın rəsmi statistik rəqəmləri əsasında
ekonometrik modelləşdirmə üsulları ilə bir sıra iqtisadi göstəricilərin təhlilləri
aparılmış və proqnozları verilmişdir. Bu fəsilə əsasən müxtəlif illərdə
ekonometrik modelləşdirməyə aid dərc edilmiş (müəllifi və ya həmmüəllifi
olduğu) bəzi elmi məqalələri daxil edilmişdir.
Kitabda verilən bəzi ekonometrik modellər, hazırda dünyada geniş
istifadə olunan EViews (Econometrics Views) paketində realizə olunmuşdur.
Kitab ekonometrikaya aid Azərbaycan dilində yazılmış ilk dərslikdir.
Hesab edirəm ki, ali məktəblərin iqtisad və sosial yönümlü ixtisaslarında
təhsil alan tələbələr, müvafiq fənləri tədris edən müəllimlər, elmi işçilər,
habelə, təhlil və proqnozlaşdırmanın praktiki məsələləri ilə məşğul olan
müstəqil tədqiqatçılar və dövlət idarəetmə işçiləri üçün yararlı olacaqdır.
Y.H.Həsənli, 2008
3
MÜNDƏRĠCAT
Müəll i fdən ön söz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
I FƏSĠL. EKONOMETRĠKANIN BAġLANĞICINA GĠRĠġ VƏ YA SEÇMƏ
NƏZƏRĠYYƏSĠNĠN BƏZĠ ELEMENTLƏRĠ
1.1. Təsadüfi kəmiyyət və ehtimal ......................................................................... 15
1.2. Təsadüfi dəyişənin nəzəri riyazi gözləməsi ............................................
1.3. Təsadüfi dəyişənin nəzəri dispersiyası ....................................................
1.4. Təsadüfi dəyişənin sabit və təsadüfi tərkibi ............................................
1.5. Qiymətləndirmə üsulları: seçmə orta və seçmə dispersiya .....................
1.6. Meylsiz statik qiymət ..............................................................................
1.7. Effektiv statistik qiymət ..........................................................................
1.8. Sınaqların sayının artmasının statistik qiymətlərin dəqiqliyinə təsiri .....
1.9. Tutarlı statistik qiymət .............................................................................
1.10. Seçmə və nəzəri kovariasiya...............................................
1.11. Nəzəri və seçmə korrelyasiya əmsalı............................
1.12. Toplu və xüsusi korrelyasiya əmsalları ................................................
1.13. Qeyri-xətti asılılıq. Korrelyasiya münasibəti və korrelyasiya
indeksi ....................................................................................................
1.14. Hipotezlərin qurulması və yoxlanılması: I və II tip səhvlər .................
1.14.1. Hipotezlərin yoxlanması..........................................................
1.14.2. Sıfır hipotezin qurulması..............................................................
1.15. Statistik paylanmalar
1.15.1. Normal paylanma
1.15.2. 2 (xi-kvadratı) paylanması
1.15.3. Styudentin t- paylamması
1.15.4. F-paylanma
1.16. Statistik testlərlə hipotezlərin yoxlanması
1.16.1. xi-kvadratı testi
1.16.1.1. Bir neçə məcmuda əlamətlərin payının müqayisəsi....... Nümunə: Treyniq keçirilən mühasiblərə treyninq materiallarının mənimsənilməsinin
2 - testi ilə əhəmiyyətliliyin yoxlanması.
1.16.2. t-test
1.16.2.1. t-test ilə parametrlərin əhəmiyyətliliyinin
yoxlamması
1.16.2.1.1 P-ehtimal qiyməti..................................................................
1.16.2.1.2. İnamlı intervallar................................................................. Nümunə. Vergi auditi məqsədləri üçün risklərin t-testlə qiymətləndirilməsi...............
4
II FƏSĠL. EKONOMETRĠKANIN BAġLANĞICI
2.1. Ekonometrik modellər. Korrelyasiya və reqressiya təhlilinin
əsas məsələləri.........................................................................................91
2.2. Ən kiçik kvadratlar üsulu........................................................................
2.3. Xətti cüt reqressiya modeli. Statistik təhlil. ............................................
2.4. Reqressiya tənliyinin təsadüfi həddi haqqında ilkin şərtlər.
Qauss-Markov şərtləri ..................................................................................
2.5. Reqressiya tənliyinin parametrlərinin qiymə t ləndirməsi . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Reqressiya əmsalları üçün hipotezlərin yoxlanılması:
t-test ..............................................................................................................
2.7. Determinasiya və dəqiqləşdirilmiş determinasiya
əmsalları...................................................................................................
2.8. Çoxdəyişənli xətti reqressiya modeli.......................................................
2.9. Reqressiya əmsalının ümumi keyfiyyətinin yoxlanması: F-test .............
2.10. Qalıqların bir sıra fərz edilən xüsusiyyətlərinin yoxlanması:
Darbin-Uotson statistikası ....................................................................
2.11. Avtokorrelyasiyanın aradan qaldırılması ..............................................
2.12. Heteroskedastiklik ................................................................................. 2.12.1. Çəkili ən kiçik kvadratlar üsulu..................................................................
2.12.2. Heteroskedastikliyin aradan qaldırılması...................................................
2.12.3. Heteroskedastikliyin yoxlanması üçün testlər.............................................
2.13. Zaman sıraları və qeyri-stasionarlıq problemi....................................... 2.13.1. Ciddi stasionarlıq və ya dar mənada stasionarlıq ...................................
2.13.2. Zəif stasionarlıq və ya geniş mənada stasionarlıq ..................................
2.13.3. Ağ küy.....................................................................................................
2.13.4. Təsadüfü dolaşan proses........................................................................
2.13.5. Avtoreqressiya (AR).............................................................................
2.13.6. Sürüıkən orta (MA)...............................................................................
1.13.7. Zaman sıralarının stasionarlığının yoxlanması:
Dikki-Füler testi (DF).............................................................................
1.13.8. Qısamüddətli və uzunmüddətli modellər...............................................
2.14. Qeyri –xətti reqressiya tənlikləri və modelləri....................................
2.15. Reqressiya modellərinin müqayisəsi .................................................. .
2.16. Ekonometrik modellər vasitəsi ilə proqnozlaşdırma...........................
İstifadə olunmuş ədəbiyyatların siyahısı .................................................... .
III FƏSĠL. EKONOMETRĠK MODELLƏġDĠRMƏYƏ AĠD PRAKTĠKĠ
NÜMUNƏLƏR....................................................................................................156
3.1. Azərbaycanda Ümumi Daxili Məhsulun neftin dünya qiymətindən
asılılığının ekonometrik modeli.............................................................
3.2. Əsas istehsal faktorlarının ümumi daxili məhsula təsirinin
Kobb- Duqlas istehsal funksiyası ilə qiymətləndirilməsi...................
3.3. İnflyasiya səviyyəsinin ümumi daxili məhsulun artımına
5
təsirinin qiymətləndirilməsi...................................................................
3.4. İstehlak qiymətlərinin dəyişməsinin (inflyasiyanın) qısamüddətli
modelləri.................................................................................................
3.5. Milli iqtisadiyyatın fiskal və monetar siyasəti və onların
qarşılıqlı əlaqələrinin qiymətləndirilməsi.............................................
3.6. Vergi daxilolmalarının ona təsir edən göstəricilərdən asılılığının
ekonometrik modelləşdirilməsi……………………………………….
ƏLAVƏLƏR. Statistik cədvəllər..........................................................................224
Cədvəl 1. Standart normal paylanma funksiyası.........................................
Cədvəl 2. t-paylanm ........................................................................................
Cədvəl 3. F-paylanma...................................................................................
Cədvəl 4. Darbin-Uotson..............................................................................
Ədəbiyyat siyahısı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231
6
Müəll i fdən ön söz
(Ekonometrikanın sos ia l fə lsəf i aspekt ləri )
Ta qədimdən insanlar yaşadığı dünyanı, eləcə də onun əhatə edən hər şeyi
dərk etməyə çalışmışlar. Baş verən hadisələri müşahidə etməklə müəyyən empirik
qanunauyğunluqların və asılılıqların tapılmasına nail olmuşlar. Münəccimlik
elminin, xalq təbabətinin əsasları, uzun illərin müşahidələri əsasında formalaşmağa
başlamışdır. Məsələn, «quşlar yerə yaxın uçanda zəlzələlər baş verir» , «ulduzlar
çox olanda səhəri hava isti olur» və s. eləcədə əl izləri əsasında insan taleyi
haqqında fikirlərin söylənilməsi, ulduz falları və digər çoxlu sayda nümunələr
göstərə bilərik ki orada ilk öncə müşahidələr əsasında nəticələr çıxarılmışdır.
Müqəddəs kitablarda (TÖVRAT, İNCİL və QURAN) söylənilən fikirlərin sonralar
elmi araşdırmalarla əsaslandırılmışdır. Məsələn, Pakistan fiziki, Nobel mükafatı
laureatı (1979-cu il) Abdul Salam Nobel mükafatının təqdim edilməsində öz
nitqində elmdə etdiyi yeniliyin ideyasını QURANdan götürdüyünü qeyd etmişdir.
Atalar sözləri, Aforizmlər, təbiət və cəmiyyətdəki bir sıra qanunauyğunluqlar
müşahidələr əsasında üzə çıxarılmışdır. Bütün bu empirik müşahidələr,
qanunauyğunluqlar, kateqoriya, və anlayışların yaranmasına səbəb olaraq elmi
istiqamətlərin formalaşmasına təkan vermişdir. Elmlər formalaşdıqdan sonra isə bir
sıra empirik qanunauyğunluqlar elmi cəhətdən əsaslandırılmışdır. Tarixdən
məlumdur ki, Arximed hamamda vannaya girdikdə çəkisinə bərabər həcimdə suyu
sıxışdırıb yerə atdığını müşahidə etdikdən sonra üç dəfə “Evrika” (yəni “Tapdım”)
qışqıraraq yeni qanun kəşf etmişdir. Nüyüton alma ağacının altında olarkən başına
alma düşdüyünü müşahidə etdikdən sonra yerin cazibə qanununu kəşf etmişdir.
Hazırda təcrübə, müşahidə və sınaqlar əsasında empirik statistik asılılıqların
öyrənilməsi sosiologiya, tibb, hüquq, iqtisadiyyat və bir sıra digər elmlərin
inkişafında müstəsna əhəmiyyət kəsb edir. İqtisadi göstəricilər arasında
korrelyasiya və reqressiya təhlillərinin aparılması ekonometrika elminin
yaranmasına səbəb olmuşdur. Ekonometrika elmi bir istiqamətdir. Onun predmeti
7
iqtisadi təzahürlərin və proseslərin kəmiyyət tərəfini riyazi və statistik üsullarla
öyrənməkdən ibarətdir. Bu, iqtisadiyyat elminin nisbətən yeni istiqamətidir.
Ekonometrikanı riyazi iqtisadiyyatdan fərqləndirən ən mühüm cəhət onun real
iqtisadi prosesləri konkret hesablama materialları əsasında tədqiq etməsidir.
Ekonometrika iqtisadiyyatın nəzəri təhlilinin nailiyyətlərini riyaziyyat və
statistikanın nailiyyətləri ilə sintez edir. Bu mənada ekonometrikanı üç elmin –
iqtisadiyyat, riyaziyyat və statistikanın kəsişməsi kimi də xarakterizə etmək olar.
Son illər informasiya və kompüter texnologiyalarının inkişafı digər elmlərə nüfuz
etdiyi kimi ekonometrikaya da nüfuz edərək onun vacib tərkib hissəsinə
çevrilmişdir. Bu mənada praktiki olaraq real iqtisadi proseslərin ekonometrik
modelləşdirilməsi zamanı kompyuter texnologiyalarından istifadə edilməsi bir
zərurətə çevrilmişdir.
Ekonometrika «ekonomiya» (iqtisadiyyat) və «metrika» (ölçmə) sözlərindən
düzəldilmişdir və məşhur Norveç alimi, Nobel mükafatı laureatı R.Friş tərəfindən
elmə daxil edilmişdir.
Ekonometrika elmi XX əsrin əvvəllərində xətti proqramlaşdırma məsələsinin,
sahələrarası balans modelinin yaranması və onların real iqtisadi proseslərə tətbiqi
ilə yanaşı yaranmışdır. Keçmiş sovet elmində ekonometrik modellərə iqtisadi-
riyazi üsulların tərkib hissəsi kimi baxılırdı. İqtisadi-riyazi üsullar terminini
akademik V.S.Nemçinov 60-cı illərin əvvəllərində elmə daxil etmişdir1. İqtisadi-ri-
yazi üsullar iqtisadiyyatın öyrənilməsi üçün iqtisadiyyat və riyaziyyat elmlərinin
birləşməsinin ümumiləşmiş adıdır.
Ekonometrik modellər iqtisadiyyatın mikro və makro səviyyəsində uğurla
tətbiq edilir. Bu modellər vasitəsilə iqtisadiyyatın nəzəri məsələləri riyazi
statistikanın üsulları ilə faktiki və ya empirik materiallar əsasında yoxlanılır. Bu
baxımdan ekonometrik modellərin qurulması və adekvatlığın yoxlanması riyazi
statistikanın korrelyasiya və reqressiya təhlili ilə bilavasitə bağlıdır. Korrelyasiya
anlayışı XIX əsrin ortalarında ingilis statistikləri F.Qalton və K.Pirsonun işlərində
1 В.С.Немчинов «Избранные труды», М.: 1965
8
meydana çıxmışdır. “Korrelyasiya” termini latın “correlation“ sözündən
yaranmışdır, mənası qarşılıqlı asılılıq, münasibət deməkdir. ”Reqressiya” terminini
də F.Qalton daxil etmişdir, latın “regression” sözündən yaranıb, mənası geriyə
hərəkət deməkdir. F.Qalton bu terminləri valideynlərin boy uzunluqları ilə onların
övladlarının boy uzunluqları arasındakı əlaqəni öyrənərkən elmə gətirmişdir. Bu
zaman o, belə bir nəticə almışdır ki, uzun boya malik valideynlərin övladlarının
boylarının uzunluqları orta boya yaxınlaşır.
İqtisadiyyatda bir sıra iqtisadi göstəricilər vardır ki, onlar arasında sıx əlaqə
mövcuddur. Bu elə asılılıqdır ki, bir dəyişənin hər bir qiymətinə digər bir dəyişənin
hansısa müəyyən deyil, çoxlu sayda mümkün qiymətləri uyğun gəlir. Belə
asılılıqlar statistik, stoxastik və ya ehtimallı asılılıqlar adını almışdır. Statistik ası-
lılıqlara misal olaraq, ölkənin ümumi daxili məhsulunun kapital (əsas fondlardan)
və əmək qüvvəsindən (işçilərin sayından); kənd təsərrüfatı bitkilərinin məhsuldar-
lıqlarının onların əkin sahələrinə verilən gübrələrin miqdarından asılılıqlarını
göstərmək olar. Dəyişənlər arasındakı statistik asılılıqları korrelyasiya və
reqressiya təhlilinin üsulları ilə öyrənmək mümkündür. Bu üsulların köməyi ilə
müxtəlif tir məsələlər həll edilir. Reqressiya təhlilinin əsas məsələsi dəyişənlər ara-
sında asılılığın şəklinin müəyyən edilməsindən ibarətdir. Korrelyasiya təhlilinin
əsas məsələsi isə dəyişənlər arasındakı əlaqənin üzə çıxarılması və onun əlaqə
sıxlığının qiymətləndirilməsindən ibarətdir.
Ekonometrik modelləşdirmənin, o cümlədən korrelyasiya-reqressiya
təhlilinin əsasında «Böyük Ədədlər Qanunu» durur. Başqa sözlə, müşahidələr və
sınaqların sayı artdıqca nəticə həqiqətə bir o qədər yaxın olur. Bu mənada «Böyük
Ədədlər Qanunu» ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika çərçivəsindən çıxaraq
daha ümumi xarakter almış olur. “Böyük Ədədlər Qanunu”nun geniş oxucu
kütləsinə aydın olması üçün onu qısa şərh edək. Tutaq ki, ideal simmetrik ölçülərə
malik olan metal pul verilmişdir. Bu metal pulu atdıqda Anakütlə (bəzən ümumi
çoxluq, ümumi yığın və ya baş heyət kimi də işlədilir) «gerb» və digər üzünün
düşməsi ehtimalı bərabər olub ikidə birə bərabərdir (buna ədalətin və həqiqətin tam
bərqərar olması halı da deyə bilərik). Lakin, metal pulu praktik olaraq 10 dəfə
9
atdıqda çox güman ki onlar bərabər sayda (5 dəfə gerb, 5 dəfə digər üz)
düşməyəcəklər (praktikada ədalətin və hüquq bərabərliyinin pozulmasına uyğun).
Lakin sınaqların sayını artırdıqda metal pulun hər iki üzünün düşməsi sayı bir-
birinə yaxınlaşır və Anakütlədakı həqiqət üzə çıxır. Bu mənada deyə bilərik ki,
Atalar sözləri Böyük Ədədlər Qanununa tabe olan ekonometrik nəticələrdir.
Məsələn, belə bir Atalar sözümüz var: «Yalan ayaq tutar yeriməz». Yəni insan bir-
iki dəfə yalan danışmaqla başqalarını aldada (inandıra) bilər, lakin zaman keçdikcə
yalanların sayı artdıqca (sınaqların və ya müşahidələrin sayının artmasına uyğun)
ona inananların sayı da azalacaqdır və nəticədə həqiqət (Anakütlədakı) üzə
çıxacaq. Başqa bir nümunə: hər bir şəxsdən soruşduqda ki, «filankəs necə
adamdır?» Belə bir cavab almaq mümkündür: «Onunla yol yoldaşı olmamışam»,
yəni sınaqlar (müşahidələr) olmadığından və ya az olduğundan deyilən fikir
həqiqətdən kənar ola bilər. Ancaq yol yoldaşı olduqda sınaqların sayı xeyli
artdığından deyilən fikrin həqiqətə yaxın olması ehtimalı da artır. Belə nümunələri
xeyli çoxaltmaq olar. Əslində bizim düşüncəmiz, gündəlik fəaliyyətimiz, qərar
qəbul etməyimiz özümüzdən asılı olmayaraq, onu bilmədən belə Böyük Ədədlər
Qanununa tabe olur. El arasında “dünyagörmüş”, “ağsaqqal”, “müdrik” sözləri tez-
tez işlədilir. Bir qayda olaraq əksər hallarda, bu sözləri çox ömür sürən, çox
oxuyan və çox bilən, düzgün yol gostərən, həyatda bərkdən-boşdan çıxmış
insanlara deyilir. İnsanlar onlardan ona görə məsləhət alırlar ki, müşahidə apararaq
görürlər ki, onların məsləhətləri əksər hallarda doğru olur. Həyatda baş verən
hadisələrə şurlu şəkildə yanaşan adamlar uzun illər ərzində apardıqları müşahidələr
hadisələrdən doğru nəticələr çıxarmalarına kömək etmiş olur. Heç də təsadüfü
olmayaraq “Zaman ən yaxşı hakimdir” müdrik kəlamı yaranmışdır. Yəni, zaman
keçdikcə Böyük Ədədlər Qanununa müvafiq olaraq həqiqət üzə çıxır. Fəlsəfədə
mövcud olan “təsadüfilər zərurət doğurur” fikri də bu deyilənlərə nümunədir.
Beləliklə deyə bilərik ki, insanların düşüncə tərzi, fəaliyyəti və qərar qəbul etmə
prosesi ekonometrik qanunlara tabedir.
10
Ekonometrik modelləşdirmədə ən vacib ilkin şərtlərdən biri hadisə və
sınaqların təsadüfü xarakter daşımasıdır2. Alınmış nəticənin adekvatlığı (başqa
sözlə düzgünlüyü və ya həqiqiliyi) bu şərtin ödənilməsindən xeyli dərəcədə
asılıdır. Bu şərt heç də bəsit mənada başa düşülən təsadüflülük deyil. Əyər proses
və ya hadisə kənar təsirlər olmadan, asılı olmayaraq öz daxili mahiyyəti və ya
qanunauyğunluqları ilə baş verirsə onda onun təsadüfü olması qəbul edilir. Hər bir
kəmiyyət sabit və təsadüfü olan iki hissəyə bölünür. Təsadüfü hissə ölçmə və
hesablamalarda texniki avadanlıqların səhvi, insan beyninin və ya gözün
görməsinin buraxdığı səhvlərlə əlaqədar ola bilər. Seçmə nəzəriyyədə sübut
olunmuşdur ki, kəmiyyətin təsadüfü hissəsinin bütün xarakteristikaları elə
kəmiyyətin özünə də aiddir. Ekonometrik modelləşdirmənin nəticələrindən, o
cümlədən seçmə nəzəriyyənin prinsip və qanunlarından ictimai həyatda insanların
fəaliyyətinin qiymətləndirilməsində, onların daxili təbiətinin üzə çıxarılmasında
istifadə etmək mümkündür. Belə ki, insanların fəaliyyət və hərəkətlərində düzgün
olan (yəni, Allah buyuran) necə olmalı idi (ekonometrik terminlərlə desək
Anakütlədə həqiqət necədir?), ancaq faktiki necə oldu? sualı həmişə insanları
düşündürüb. Düşünməyə səhvlərin mövcud olması səbəb olur. Elə bu səbəbdən də
“insan səhvlərindən öyrənər” müdrik kəlamı meydana çıxıb. Buradan belə qənaətə
gəlmək olar ki, insanların daxili aləmini, onun mahiyyətini insanların gördüyü
yaxşı işlərdən daha çox etdiyi səhvlər üzə çıxarır. Daha doğrusu “Ġnsana onun
səhvlərinə görə qiymət ver”. Çünki insan yaxşı hərəkəti daxili mahiyyətindən
deyil (xalq dilində “ürəkdən deyil”), ona yaxşı adam deyilməsi üçün (yəni insanın
mahiyyətindən doğmayan, təsadüfü olmayaraq) edə bilər ki, bu da əsil həqiqətin
üzə çıxarılmasını gizlədir. Ancaq səhv insanın daxili mahiyyətindən doğur. (Yəni
insanın etdiyi səhvlər şüurlu şəkildə deyil, təsadüfü olaraq sanki özündən asılı
olmayaraq yaranır). Qeyd edək ki, səhvlər insanın təkcə pis cəhətlərini deyil eyni
zamanda yaxşı cəhətlərini də üzə çıxarır. Bu mənada insan düşüncəsinin azad
şəkildə inkişaf etməsi, öz düşüncələrini heç nədən asılı olmayaraq sərbəst şəkildə
ifadə etmələri həqiqətin üzə çıxarılmasına kömək etmiş olur. “Ağıl ağıldan
2 Кристофер Доугерти «Введение в эконометрику», Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1999
11
üstündür” kəlamı elə buradan qaynaqlanır. XVİ əsrin axırları və XVİİ əsrin
əvvəllərində yaşamış ingilis filosofu Frensis Bekon demişdir “neçə-neçə
idarəetmə metodları olsa da elmdə bir metod var: Azadlıq”. Qeyd edək ki,
F.Bekon fəlsəfədə tədqiqatın və elmi induksiyanın əsaslarını inkişaf etdirmiş,
təcrübəni, eksperiment və ya sınaqları yeganə tədqiqat üsulu saymışdır3.
Ekonometrik modelləşdirmənin ən vacib ilkin şərtlərindən biri də səhvlərin
riyazi gözləməsinin başqa sözlə orta kəmiyyətinin sıfıra bərabər olmasıdır (Qauss-
Markov şərtlərindən biri). Bu o deməkdir ki, həqiqətdən nə qədər müsbət
kənarlaşma olarsa, nəticə etibarı ilə bir o qədər də mənfi kənarlaşma olacaqdır. Bu,
fəlsəfədə Heygel dialektikasının obyektiv qanunlarından olan “Əskiklərin vəhdəti
və mübarizəsi qanunu”na, fizikada “Təsir əks təsirə bərabərdir” (Nüyütonun 3-cü
qanunu), “maddənin itməməyi”, “enerjinin itməməyi”, iqtisadiyyatda “rəqabət” və
“tələb-təklif” qanunlar və onların tarazlığı, habelə digər elmlərdəki müvafiq
qanunlara uyğundur. Bu qanunları ümumiləşdirərək “tarazlıq” və ya “saxlanma”
qanunu kimi də ifadə edə bilərik. “Nə tökərsən aşına o da çıxar qarşına”,
“başqasına quyu qazan özü düşər” atalar sözləri də deyilənlərə nümunədir. Ancaq
unutmaq lazım deyildir ki, bu həqiqətlər (ekonometrik terminlə desək
Anakütlədəki həqiqət) konkret bir adamın timsalında üzə çıxması üçün müəyyən
zaman tələb edir (ekonometrik terminlərlə desək “Böyük ədədlər” qanununa görə
müşahidə və ya hadisələrin xeyli artması tələb olunur). Bəzən bir insanın ömr
müddəti buna kifayət etmir. Bu mənada QURANdakı, axirətin, o dünyada cənnət
və cəhənnəmin, qır qazanının və ruhun mövcudluğu inandırıcı görünür. Məsələn,
bütün mənəvi və əxlaqi dəyərlərdən kənar bir insanın bu dünyada nəinki cəzasının
almadığı, hətta daha da hörmət və izzət sahibinə də çevrilir və hörmətlə də
dünyasını dəyişir. Bu zaman ədalətin bərqərar olması, (ekonometrik terminlə desək
riyazi gözləmənin sıfıra çevrilməsi) axirət dünyasında ruhun əzab çəkməsinə qalır.
Ekonometrikada bir iqtisadi göstəricinin dəyişməsinin digər bir iqtisadi
göstəricinin dəyişməsinə təsiri reqressiya tənliyinin əmsalı (modelin parametri) ilə
3 ASE, İİ cild, səh.75
12
xarakterizə olunur. Parametrin tapılmış qiymətinin Anakütlədəki həqiqətə yaxın
olub olmaması həmin parametrin standart səhvi ilə müəyyən edilir. Bunun
yoxlanılması proseduru Styudentin t-statistikası ilə (t-test) həyata keçirilir.
Məsələn, əgər parametrin standart səhvi parametrin öz qiymətindən böyükdürsə
onda parametrin tapılmış qiymətinin həqiqətə yaxınlığından heç söhbət gedə
bilməz. Standart səhv parametrin qiymətinə nəzərən kicildikcə parametrin
qiymətinin həqiqətə yaxınlığı ehtimalı artır. Bu hal insanın etdiyi hərəkətin və ya
söylədiyi sözün hansı dərəcədə həqiqət olmasının insan düşüncəsi ilə doğru olub-
olmamağını müəyyənləşdirməyinə uyğundur. Məsələn, kimsə doğu olmayan
hərəkət və ya yalan söz danışdıqda, onun tamamilə həqiqətdən uzaq olmasını
bildirmək üçün xalq arasında belə deym var: “Filankəs başından böyük qələt edir”.
Yəni, etdiyi hərəkətin və dediyi sözün səhvi onun öz bacarığı və ya ağlının
ölçüsündən böyükdür.
Ekonometrikada birinci və ikinci tip səhvlər mövcuddur. Birinci tip səhv
doğru olmayan bir şey həqiqət kimi qəbul edildikdə baş verir. İkinci tip səhv isə
həqiqət olan bir şeyin doğru olmayan bir şey kimi qəbul edilməsidir. Məsələn,
tələbə imtahana hazır olmadığı halda müəllim imtahandan tələbəyə müsbət qiymət
yazır. Bu zaman birinci tip səhv baş verir. Tələbə imtahana hazır olur, ancaq
müəllim tələbənin imtahana hazır olmamağını göstərir və ona qeyri-kafi qiymət
yazır. Bu zaman isə ikinci tip səhv edilir. Bu səhvlərin sosial təzahürləri müxtəlif
olur. Azərbaycanda adətən birinci tip səhv nəinki səhv hesab edilir, hətta həmin
səhvi edənlər müəyyən hörmət sahibinə də çevrilirlər. Birinci tip səhv müəyyən
fərdçiliyi üstün tutur ümumi və sosial mühitə zərbə vurur. Məsələn, insan öz
mahiyyəti etibarı ilə bioloji və sosial varlıq olduğundan birinci tip səhvdə bioloji
tələbatlar üstün tutulur. Tələbə də bioloji tələbləri üstün tutaraq bilik almaq deyil,
nəyin bahasına olursa-olsun ali təhsil almaq, sonra isə vəzifə sahibi olmaqla fərdi
həyatını təmin etmək istəyir. Çox vaxt da buna nail olunur. Savadsız olduğu üçün
isə cəmiyyətə, iqtisadiyyata və sosial mühitə, nəticə etibarı ilə ümumi inkişafa
zərbələr vurur. Buradan Azərbaycanda kollektivçiliyin zəif inkişaf etməsinin
haradan qaynaqlandığını da görmək mümkündür. İkinci tip səhv isə daha çox
13
fərdçiliyin zəif inkişafını doğurur. Məsələn, tələbənin imtahan verdiyi fənni
bilməsinə baxmayaraq, imtahan verə bilməməyi, ola bilər ki, biliyini daha da
artırıb yenidən imtahan verməsi ilə deyil, ümumiyyətlə ali təhsil ala bilməməyi ilə
nəticələnsin. Bu isə nəticə etibarı fərdin (tələbənin) öz gələcək həyatını təmin edə
bilməsinin qarşısını alan amillərdəndir. Birinci tip səhvdə sosial tələbatın
azaldılması hesabına bioloji tələbatın artırılması, ikinci tip səhvdə isə fərdi
tələbatın azaldılması hesabına sosial tələbatın artırılması baş verir. Hər iki halda,
tarazlıq pozulur, ümumi inkişafın zəiflədilməsi baş verir.
Hüquq elmində ədalətin bərpa olunmasında ekonometrik
qanunauyğunluqlardan istifadə edilir. Məsələn, cinayət hadisəsinin hansı
situasiyada, təsadüfən yoxsa məqsədyönlü şəkildə törədilməsinin öyrənilməsi
cinayətin həqiqi mahiyyətinin üzə çıxarılmasına kömək edir. Biologiya elmində
heyvanlar üzərində, tibdə xəstəlik tarixlərinin, eləcədə insanlar üzərində
eksperimentlərin aparılması ilə qanunauyğunluqlar öyrənilmiş, (ekonometrik
modelləşdirmə üsulları ilə) və neçə-neçə xəstəliklərin dərmanı tapılmışdır. Tarix
elmində də ekonometrik modelləşdirmə üsulları ilə tarixi həqiqətlərin üzə
çıxarılmasında istifadə edilmişdir.
Azərbaycanda, hələ sovet dövründən bəri ekonometrik modelləşdirmə üsulları
ilə elmi tədqiqat işləri aparılmış və monoqrafiyalar yazılmışdır4. Təəssüflə qeyd
etmək lazımdır ki, Azərbaycanda ekonometrika fənni ali məktəblərin müvafiq
ixtisaslarda lazımi səviyyədə, ya da ümumiyyətlə tədris edilməmişdir. Bu vaxta
qədər Ekonometrika və ekonometrik modelləşdirməyə aid Azərbaycan dilində
dərslik və ya dərs vəsaiti mövcud olmamışdır. İqtisadi-riyazi üsul və modellərə,
eləcədə ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistikaya aid Azərbaycan dilində yazılmış
dərslik və dərs vəsaitlərində ekonometrikanın bir sıra mövzuları verilsə də, kursu
tam əhatə etməmişdir. Təqdim edilən bu kitab da heç də ekonometrikanın bütün
mövzularını əhatə etmir. Lakin, fikrimcə ekonometrikanın tədrisi üzrə
ədəbiyyatların yazılması istiqamətdə atılan ilk adımlardandır.
4 К.Д. Иманов «Модели экономического прогнозирования», Баку, Элм, 1988. - 160с.
14
Ekonometrika elmi böyük inkişaf mərhələlərini keçmişdir və təbii ki, bundan
sonra da inkişaf etməkdə davam edəcəkdir. Ekonometrika inkişaf etmiş ölkələrin
universitetlərində nəinki iqtisad yönlü, həmçinin texniki, hüquq, tibb, sosiologiya,
hüquq və digər ixtisaslarda tədris edilir, dövlət idarəetmə orqanlarında praktik
məsələlərin həllində, təhlil və proqnozlaşdırma geniş istifadə edilir.
Azərbaycanda təhsil sisteminin Baloniya təhsil sisteminə keçirilməsinin
nəzərdə tutulması Ekonometrika fənni üzrə müvafiq dərslik və dərs vəsaitlərinin
hazırlanmasını zərurətini yaratmışdır.
Təqdim edilən bu kitab üç fəsildən ibarətdir. Birinci fəsil
“Ekonometrikanın baĢlanğıcına giriĢ və ya seçmə nəzəriyyəsinin bəzi
elementləri”ndə ekonometrikada geniş istifadə edilən ehtimal nəzəriyyəsi və
riyazi statistikanın, o cümlədən seçmə nəzəriyyənin əsas anlayışlarının qısa
xülasəsi verilmişdir. Bu fəsillin tərtibində əsasən Kristofer Doyqertinin
“Ekonometrikaya giriş” dərsliyindən (Кристофер Доугерти «Введение в
эконометрику», Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1999) istifadə edilsə də bəzi
dəyişikliklər edilərək yeni şərhlər verilmişdir. İkinci fəsil “Ekonometrikanın
baĢlanğıcı” adlanır. Bu fəsildə başlanğıc kursun əsasları, o cümlədən korrelyasiya
və reqressiya təhlilinin əsas məsələsi, ən kisik kvadratlar üsulu, cüt və çoxluq
reqressiya modellərinin qurulması və Qauss-Markov şərtləri verilmiş, habelə təhlil
və proqnoz modellərinin adekvatlığının yoxlanması testləri konkret nümunələr
üzərində şərh edilmişdir. Üçüncü fəsil “Ekonometrik modelləĢdirməyə aid
praktiki nümunələr”də elmi-praktik əhəmiyyət daşıyan bir sıra iqtisadi məsələlər
Azərbaycanın rəsmi statistik rəqəmləri əsasında ekonometrik modelləşdirmə yolu
ilə həll edilmişdir. Bu nümunələrdə iqtisadi göstəricilər arasındakı asılılıqlar
ekonometrik qiymətləndirilərək, təhlillər aparılmış və proqnozlar verilmişdir.
Ekonometrik modellər, hazırda dünyada geniş istifadə olunan EViews
(Econometrics Views) paketində realizə olunmuşdur. Bu fəsilə müəllifin (o
cümlədən həmmüəliflərlə) müxtəlif illərdə ekonometrik modelləşdirməyə aid dərc
edilmiş bəzi elmi məqalələri də daxil edilmişdir.
15
Terminlərin Azərbaycan dilində yazılışında müəyyən çətinliklər olmuşdur.
Ona görə onların rus və ingilis dillərində yazılışları verilmişdir. Azərbaycan dilində
vahid terminlərin formalaşması üçün C.E.Allahverdiyev, A.H.Hacıyev,
H.M.Əhmədovanın dörd dildə tərtib etdikləri – «Azərbaycanca-Türkcə-Rusca-
İngiliscə ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika terminləri lüğəti»ndən («Gənclik»
nəşriyyatı, Bakı, 2002) istifadə edilmişdir.
Təbii ki, kitab müəyyən qüsurlardan da xali deyil. Diqqətli oxucular və
mütəxəssislər tərəfindən edilən hər bir qeyd və iradlar hesab ediləm ki, ümumi işin
xeyrinə olar və gələcəkdə müvafiq istiqamətdə yazılacaq dərslik və dərs
vəsaitlərinin, habelə kitabın yeni nəşrinin təkmilləşməsinə köməklik edə bilər.
Yadulla Həsənli, 2005
16
I FƏSĠL. EKONOMETRĠKANIN BAġLANĞICINA GĠRĠġ VƏ YA SEÇMƏ
NƏZƏRĠYYƏSĠNĠN BƏZĠ ELEMENTLƏRĠ
1.1 Təsadüfi kəmiyyət və ehtimal
Hər bir insan həyatda və fəaliyyətində təsadüfi hadisələr və proseslər ilə
rastlaşır. İnsanlar lotereya və azart oyunlarda iştirak etdikdə təsadüfi kəmiyyət və
ya təsadüfi dəyiĢən, ehtimal sözlərindən daha tez-tez istifadə edirlər. Məsələn,
lotereya biletlərini alan şəxs çalışır ki, daha çox lotereya biletləri alsın ki, udma
ehtimalı daha çox olsun. Burada lotereya biletinin nömrəsi təsadüfi kəmiyyət və ya
təsadüfi dəyişəndir. Alınan biletin üzərindəki konkret nömrə isə təsadüfi dəyişənin
ala biləcəyi qiymətlər çoxluğunun bir elementidir. Əgər lotereya tirajı keçiriləndə
alınan biletin nömrəsi uduşa düşərsə, onda təsadüfi dəyişənin qiyməti biletin
nömrəsinə bərabər olur. Təsadüfi dəyişənin qiymətinin hər bir lotereya biletinin
nömrəsinə bərabər olması müəyyən ehtimalla ola bilər. Bu ehtimal mümkün
variantların sayından asılıdır. İxtiyari dəyişənin qiymətinin əgər əvvəlcədən alacağı
qiymət dəqiq bilinmirsə, onda həmin dəyişən təsadüfi dəyiĢən (rus: случайная
величина, случайная переменная, ing.: random variable) adlanır. Təsadüfi
dəyişən (kəmiyyət) diskret və kəsilməz olur. Diskret təsadüfi kəmiyyət (rus:
дискретная случайная величина, ing.: discrete random variable) o
kəmiyyətlərdir ki, onun müəyyən mümkün qiymətlər çoxluğu (dəsti) vardır.
Məsələn, lotereya biletinin nömrəsi diskretdir. Diskret təsadüfi kəmiyyət hər hansı
sonlu dəstdən qiymət alır. Diskret olmayan, başqa sözlə kəsilməz təsadüfi
kəmiyyətə (rus: непрерывная случаяная величина, ing.: continous random
variable) nümunə olaraq havanın temperaturunu göstərə bilərik. Belə ki, havanın
temperaturu müəyyən intervalda kəsilməz qiymət ala bilər. Kəsilməz təsadüfi
kəmiyyət sonsuz sayda qiymətlər ala bilər.
Tutaq ki, əlimizdə iki oyun zəri vardır. Zərlərin atılması zamanı 36 mümkün
variant vardır. Belə ki, I zər və II zər 1-dən 6-ya qədər ixtiyari qiymət ala bilər. Bu
hadisə zamanı bir neçə təsadüfi dəyişən müəyyən edə bilərik. Məsələn, düşən
rəqəmlərin cəmini, düşən rəqəmlərin fərqini, düşən rəqəmlərin fərqinin sıfıra
17
bərabər olmasını və s. təsadüfi dəyişənlərdir.
Təsadüfi dəyişən kimi iki zəri atdıqda düşən hər bir zərdə düşən xalların
(rəqəmlərin) cəmini qəbul edək və onu x ilə işarə edək. Bu təsadüfi x dəyişəni 2-
dən 12-yə qədər qiymətlər ala bilər. 36 mümkün variant vardır və hər bir variantın
baş vermə ehtimalı 1/36 ədədinə bərabərdir. Əlverişli variantların bütün mümkün
variantlara nisbəti ehtimal (rus: вероятность, ing.: probability) adlanır. Təsadüfi
dəyişənin ehtimalını p ilə işarə edək. Düşən zərlərin üzərindəki rəqəmlərin cəminin
vahidə bərabər olması mümkün deyil və onun olması ehtimalı sıfıra bərabərdir.
Ümumiyyətlə, x dəyişəninin mümkün qiymətləri aşağıdakı kimidir:
12;11;10;9;8;7;6;5;4;3;2x
x=2 olması bir halda ola bilər (I zər = 1, II zər = 1). Beləliklə x=2 olması ehtimalı
1/36 ədədinə bərabərdir. x=3 olması iki halda (variantda) mümkündür (I zər = 1, II
zər = 2) və ya (I zər = 2, II zər = 1). Deməli, zərlərin üzərindəki rəqəmlərin 3-ə
bərabər olması (x=3) ehtimali
18
1
36
2
variantlarmumkun
variantlarlverislip
e
ədədinə bərabərdir.
Cədvəl 1.1-də x təsadüfi dəyişəninin qiymətləri və onların baş vermə
ehtimalları göstərilmişdir.
Cədvəl 1.1 Təsadüfi dəyişənin qiymətləri və baş vermə ehtimalları.
Qiymətlər (x) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Ehtimal (p) 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Bütün ehtimalların cəmi 1-ə bərabərdir. Belə ki, zərlər atıldıqda düşən
rəqəmlərin cəmi 2-dən 12-yə qədər olan qiymətlərdən 100% ehtimalla mütləq biri
olacaqdır.
18
Təsadüfi dəyişənin bütün mümkün qiymətləri Anakütlə5 (t.türk: Anakütlə;
rus: генералная совокупность; ing.: parent population) adlanır. Bizim misalda
Anakütlədə 2-dən 12-yə qədər ədədlər dəstidir.
İki zərin atılmasından x təsadüfi dəyişəninin 2-dən 12-yə kimi qiymətlər
alması ehtimalları şəkil 1.1-də göstərilmişdir.
.
ġəkil 1.1 İki zərin atılmasından təsadüfi dəyişənin aldığı qiymətlər və baş vermə ehtimalları.
İndi isə kəsilməz təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanması ilə tanış olaq.
Tutaq ki, havanın temperaturu 5 dərəcədən 45 dərəcəyə qədər dəyişə bilər.
Sadəlik üçün hesab edək ki, bu diopozonda təsadüfi dəyişənin qiyməti bərabər
ehtimallıdır. Qeyd edək ki, təsadüfi dəyişənin göstərilən diopozonda müxtəlif
qiymət alması sonsuzdur. Burada bütün temperaturların olması ehtimalı bərabər və
bütün ehtimalların cəmi vahidə bərabər olduğundan ehtimal sıxlığı (rus:
плотность вереятности, ing.: density of probability) 0,025-ə bərabərdir (Şəkil
1.2). Belə ki,
40 x ehtimal sıxlığı = 1, ehtimal sıxlığı = 0,025
5 Azərbaycan dilində bu termin müxtəlif formada işlədilmişdir, məsələn, Baş heyət, Baş yığın, Ümumi yığın,
Ümumi çoxluq və ya Ümumi toplu. Hesab dirəm ki, Türkiyə türkcəsində işlədilən “Anakütlə” elə Azərbaycan
dilində də bu terminin mahiyyətinə uyğundur.
19
ġəkil 1.2 Ehtimal sıxlığı
Başqa sözlə, şəkildəki düzbucaqlının hündürlüyü 0,025-ə bərabərdir.
Düzbucaqlının hündürlüyünü tapmaqla havanın temperaturunun 5 dərəcədən 15
dərəcəyə qədər olan diopozonundakı qiymətlərinin baş vermə ehtimalını tapa
bilərik. Bu ehtimal şəkil 1.3-də göstərilmiş ştrixlənmiş sahəyə bərabər
ġəkil 1.3 Ehtimal sıxlığının həndəsi mənası
olacaqdır. Şəkil 1.3-də ştrixlənmiş fiqurun sahəsi 10 * 0,025 = 0,25 ədədinə
bərabər olacaqdır. Axtarılan ehtimal 4
1-ə bərabər olacaqdır. Beləliklə, 5 dərəcədən
15 dərəcəyə qədər aralıq diopozon bütün diopozonun 4
1 hissəsini təşkil edir.
Ştrixlənmiş sahənin hündürlüyü ehtimal sıxlığı adlanır. Əgər bu hündürlüyü
təsadüfi dəyişənin funksiyası kimi yazsaq, onda bu funksiya ehtimalın və ya
paylanmanın sıxlıq funksiyası (rus: функсия плотности распределения, ing.:
20
density function of distribution) adlanır və f(x) kimi işarə edilir. Bizim nümunədə
ehtimalın sıxlıq funksiyası:
f(x) = 0,025; 455 x
və
f(x) = 0; 5x və ya 45x
kimidir.
Ehtimalın (paylanmanın) sıxlıq funksiyası təsadüfi dəyiĢənin verilmiĢ
nöqtədə (intervalda) qiymətinin vahid interval daxilində alması ehtimalını
göstərir. Bizim nümunədə bu funksiya hər yerdə 0,025-ə bərabərdir. Buradan belə
çıxır ki, temperaturun məsələn, 30 dərəcə və 31 dərəcə olması ehtimalı 0,025-dir.
Qeyd edək ki, biz bu nümunədə 5 dərəcədən 45 dərəcəyə qədər olan bütün
temperaturların olması ehtimalını bərabər qəbul etmişik. Lakin reallıqda bu heç də
belə deyil. Məsələn, isti yay günlərində havanın temperaturunun 35-45 dərəcə
olması ehtimalı daha çoxdur. Başqa sözlə, ehtimalın sıxlıq funksiyası sabit deyil.
Tutaq ki, 35 dərəcədə temperaturun olması ehtimalının sıxlığı maksimumdur və
sonra 45 dərəcəyə qədər həmin ehtimal sıxlığı sıfıra qədər bərabər azalır (Şəkil
1.4). Ümumi sahə həmişə vahidə bərabərdir. Çünki cəmi ehtimal vahidə bərabər
olmalıdır. Üçbucağın sahə düsturundan istifadə etsək,
2
1 x 10 x hündürlük=1, Hündürlük = 0,2
Yəni, 35 dərəcədə hündürlük (ehtimalın sıxlığı) 0,2-dir
21
ġəkil 1.4 Temperaturun 35 dərəcə səviyyəsində maksimum ehtimalının sıxlığı və 45 dərəcədə
minimum ehtimal sıxlığının qrafiki təsviri.
Tutaq ki, bizə havanın temperaturunun 35-40 dərəcə arasında olması ehtimalını
bilmək lazımdır. Bu ehtimal şəkil 1.5-də ştrixlənmiş sahəyə bərabərdir.
ġəkil 1.5 Temperaturun 35-45 dərəcə arasında olmasının ehtimal sıxlığı.
Həmin sahənin qiymətini trapesiyanın sahəsi6 düsturundan istifadə etməklə tapıla
bilər:
Ştrikənmiş sahə = 75,02
5*)1,02,0(
Əgər faiz ilə ifadə etmiş olsaq, onda havanın temperaturunun 35-40 dərəcə
arasında olması 75% ehtimalla, 40-45 dərəcə arasında olması isə 25% ehtimalla
olacaqdır. Bu halda ehtimalın sıxlıq funksiyası (35; 0,2) və (45; 0) nöqtələrindən
keçən düz xəttin tənliyi ilə ifadə olunacaqdır.
2,00
2,0)(
3545
35
xfx
4535;02,09,0)( xxxf
Tapşırıqlar
6 trapesiyanın sahəsi onun oturaçaqları çəmi ilə hündürlüyü hasilinin yarısına bərabərdir.
22
1. Təsadüfi dəyişən (x) iki oyun zərinin atılması zamanı düşən xalların fərqi kimi müəyyən
edilir. Təsadüfi dəyişən (x) üçün ehtimalları (p) tapın və ehtimalın paylanmasını qrafik təsvir
edin.
2. Çimərlikdə suyun temperaturu gün ərzində 10 dərəcədən 30 dərəcəyə qədər müntəzəm
olaraq bərabər ehtimalla qalxır. Suyun temperaturunun 20-25 dərəcə olması ehtimalını və
ehtimalın paylanmasının sıxlıq funksiyasının riyazi şəklini tapın.
1.2 Təsadüfi dəyiĢənin nəzəri riyazi gözləməsi
Təsadüfi dəyişən Anakütlədan müəyyən ehtimal ilə qiymət alır. Bu ehtimal
təsadüfi dəyişənin «çəkisi»ni xarakterizə edir. Əgər bu «çəki» (rus: вес, ing.:
weight) məlum olarsa, onda nəzəri ortanı (riyazi gözləməni) və dispersiyanı
hesablamaq olar.
Diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsi (rus: математические
ожидание, ing.: mathematical expection, mean value) onun bütün mümkün
qiymətinin çəkili ortasıdır. Burada çəki əmsalı kimi təsadüfi kəmiyyətin müvafiq
qiymətinin ehtimalı götürülür. Əgər təsadüfi dəyişən x kimi işarə olunarsa, onda
onun riyazi gözləməsi E(x) ilə işarə edilir7. Tutaq ki, x dəyişəni n sayda nxxx ,...,, 21
qiymətlərini uyğun olaraq nppp ,...,, 21 ehtimalları ilə alır. Başqa sözlə, ix
qiymətinin alınması ehtimalı ip -ə bərbərdir ),1( ni . Onda diskret təsadüfi x
dəyişəninin riyazi gözləməsi aşağıdakı kimi hesablanır:
n
i
iinn xpxpxppxxE1
2211 ...)( (1.1)
Yuxarıda gətirdiyimiz nümunədə iki oyun zərinin atılması zamanı düşən
xalların cəmi kimi qəbul edilmiş x təsadüfi dəyişənin riyazi gözləməsi aşağıdakı
kimi olacaqdır (cədvəl 1.1).
736
1*12
36
2*11
36
3*10
36
4*9
36
5*8
36
6*7
36
5*6
36
4*5
36
3*4
36
2*3
36
1*2)( xE
7 rusdilli və keçmiş sovet ədəbiyyatlarında riyazi gözləmə «M» hərfi ilə işarə edilirdi.
23
Əgər bir oyun zərini atsaq, onda 6 mümkün variant olacaqdır:
6,5,4,3,2,1 654321 xxxxxx və hər bir variantın baş vermə ehtimalı 1/6-ə
bərabərdir (bax: cədvəl 1.2).
Cədvəl 1.2
x 1 2 3 4 5 6
p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Onda riyazi gözləmə,
5,36
1*6
6
1*5
6
1*4
6
1*3
6
1*2
6
1*1)(
6
1
i
ii xpxE
kimi olacaqdır.
Bu halda göründüyü kimi, riyazi gözləmə sadə şəkildə hesablanan orta
kəmiyyətlə üst-üstə düşür. Ona görə də təsadüfi dəyişənin riyazi gözləməsinin
bəzən Anakütlə üzrə onun ortası da adlandırırlar və ilə işarə edirlər. Kəsilməz
təsadüfi x dəyişəninin riyazi gözləməsi aşağıdakı kimi müəyyən edilir:
dxxxfxE )()( (1.2)
Burada, )(xf - təsadüfi x dəyişəninin ehtimal sıxlıq funksiyasıdır.
Məsələn, havanın temperaturunu 35-45 dərəcə arasında olmasının kəsilməz
təsadüfi dəyişəndir və onun ehtimal sıxlıq funksiyası
4535;02,09,0)( xxxf
kimidir. Onda riyazi gözləməsi aşağıdakı kimi hesablanır (bax: şəkil 1.5).
3,387,321360)2
3502,0
2
4502,0()
2
359,0
2
459,0()
302,0
29,0()02,09,0()(
222245
35
3245
35
xx
dxxxxE
İstər kəsilməz, istərsə də diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləməsinin üç
hesablama qaydası vardır.
I qayda: )()()()( zEyExEzyxE
Burada, x, y və z təsadüfi dəyişənlər, )(),(),( zEyExE isə uyğun olaraq onların riyazi
gözləmələridir.
II qayda: )()( xaEaxE
24
Burada, a sabitdir.
III qayda: aaE )(
İki x və y təsadüfi dəyişənləri üçün
)()()( yExExyE
ödənilirsə, onda həmin dəyişənlər asılı olmayan təsadüfi dəyişənlər adlanır.
Məsələn, x təsadüfi dəyişəni kimi I zəri atdıqda düşən xalları, y təsadüfi dəyişəni
kimi II zəri atdıqda düşən xalları qəbul edək. Təbii ki, hər bir zərin atılması zamanı
düşən xallar digər zərin atılmasından asılı deyil. Ona görə də x və y asılı olmayan
təsadüfi dəyişənlərdir.
Tapşırıqlar
1. İki oyun zərini atdıqda düşən xalların fərqini təsadüfi dəyişən (x) qəbul edib onun riyazi
gözləməsini (E(x)) və x2 kəmiyyətinin riyazi gözləməsini (E(x
2)) hesablayın.
2. Şəkil 1.5-in şərtləri daxilində havanın temperaturunun 25-30 dərəcə arasında
dəyişməsinin riyazi gözləməsini hesablayın.
3. İki zər atıldıqda bir zərin xallarının digər zərin xallarından asılı olmadığını göstərin.
1.2. Təsadüfi dəyiĢənin nəzəri dispersiyası
Amerikan iqtisadçısı, Nobel mükafatı laureatı Milton Fridmen demişdir ki, iqtisadi
göstəricilərin orta kəmiyyətinin proqnozu ona bənzəyir ki, üzə bilməyən adamı
inandırırsan ki, o çayı ayaqla asanlıqla keçə bilər, çünki çayın orta dərinliyi 4
futdan(təxminən 1,22 metr) çox deyil. Fridmen bu sözlərlə onu demək istəyib ki,
orta kəmiyyətlər (riyazi gözləmə) reallığı tam xarakterizə edə bilmir. Məsələn,
göstərilən misalda çayın bir yerində dərinliyi 2 metr, başqa yerində isə 0,44 metr
ola bilər. İnsan isə həmin dərin yerə düşdükdə bata bilər. Orta dərinlik 1,22 metr
isə bu haqda məlumat verə bilmir. Bu çatışmamazlığı kəmiyyətin dispersiyası (rus:
дисперсия, ing.: variance) aradan qaldırır. Dispersiya dəyişənin onun orta
qiymətindən dağılma (kənarlaşma, səpələnmə) ölçüsüdür. Təsadüfi x dəyişəninin
25
nəzəri dispersiyası pop. var (x) və ya 2
x ilə işarə edilir. Əgər hansı dəyişənin
dispersiyasından söhbət getdiyi məlumdursa, onda sadəcə olaraq 2 kimi işarə
edilir8. Dispersiya x kəmiyyətinin onun ortasından fərqinin kvadratlarının riyazi
gözləməsi kimi müəyyən edilir:
nn
n
i
iix pxpxpxpxxExpop 2
2
2
21
1
2
1
222 )(...)()()())(()var(.
(1.3)
Burada, ix - təsadüfi x dəyişəninin qiyməti, ip - uyğun olaraq onun baş vermə
ehtimalı, - isə x-n riyazi gözləməsidir (orta qiyməti).
2)var(. xx xpop (1.4)
x - təsadüfi x dəyişəninin nəzəri standart kənarlaşması və ya nəzəri
standart yayınması( rus: теоретические стандартные отклонение, ing.:
theoretical standart deviation) adlanır.
(1.4)–dən göründüyü kimi, təsadüfi dəyişənin standart yayınması
(kənarlaşması) onun dispersiyasının kvadrat köküdür. Ona görə də bu kəmiyyət
bəzən kvadratik orta yayınma ( rus: среднеквадратическое отклонение, ing.:
mean square( standart) deviation) adlandırılır.
Dispersiyanın hesablanmasını çayın dərinliyi misalında göstərək. Tutaq ki,
çayın eni 4 metrdir və sadəlik üçün hesab edək ki, bir metrdən bir dərinlik ölçüsü
dəyişir və hər metr endə dərinlik eynidir (bax: cədvəl 1.3)
Cədvəl 1.3 Çayın dərinliyi və eninin statistik xarakteristikaları
Çayın eninin hər
metrdə dərinliyi
(x), metrlə
Hər dərinliyin
çəkisi ( )ip ii px )( ix 2)( ix ii px 2)(
1 2 3 4 5 6
0,28 4
1 0,07 -0,94 0,8836 0,2209
0,15
4
1
0,375 0,28 0,0784 0,0196
2,5 4
1 0,625 1,28 1,6384 0,4096
0,6 4
1 0,15 0,62 0,3844 0,0961
Cəmi: 22,1 - - 7462,02 x
8 Rus və keçmiş sovet ədəbiyyatlarında Dispersiya adətən «D» hərfi ilə işarə edilidi.
26
Cədvəldən göründüyü kimi orta kəmiyyət (riyazi gözləmə) 22,1)( xE
ədədinə bərabərdir. Onda 2)( x = 2)22,1( x olacaqdır. Cədvəldən istifadə edərək
2)22,1( x kəmiyyətinin riyazi gözləməsini hesablayaq, başqa sözlə desək cədvəl
1.3-də sonuncu sütunun elementlərini toplasaq, dispersiyanın ( 2
x ) qiymətinin
0,7462 olduğunu görərik.
Beləliklə, x dəyişəninin (bizim misalda çayın enindən asılı olaraq dərinliyinin)
standart kənarlaşması (yayınması) 0,864-ə bərabərdir.
864,07462,0 x
Göründüyü kimi, x dəyişəninin orta kəmiyyəti (riyazi gözləməsi) 1,22-ə,
dispersiyası 0,7462-ə, standart kənarlaşması (yayınması) isə 0,864-ə bərabərdir.
Yəni, baxmayaraq çayın orta dərinliyi 1,22 metrdir, ancaq, dispersiya başqa sözlə
çayın müxtəlif yerlərində dərinliyi orta dərinlikdən kənarlaşması xeyli böyük
olduğu üçün, adam ayaqla asanlıqla çayı keçə bilməz. Əgər dispersiya və ya
standart kənarlaşma kiçik ədədlərlə xarakterizə olunsaydı, belə nəticəyə gələ
bilərdik ki, çayın bütün yerlərində dərinlik onun orta dərinliyindən bir o qədər də
fərqlənmir. Məsələn, sadəlik üçün hesab etsək ki, çayın bütün yerlərində dərinlik
orta dərinliyə bərabərdir, onda dispersiya və standart kənarlaşmanın qiyməti sıfıra
bərabər olar.
Beləliklə, x dəyişəninin riyazi gözləməsi və dispersiyasını bilməklə onu daha
dəqiq xarakterizə etmək mümkündür.
Təsadüfi dəyişənin nəzəri dispersiyasını daha əlverişli düsturla hesablamaq
olar:
22222222 )(2)()()2()()2())(( xExEExExExxExEx
)()()(2)( 2222222 xExExExE (1.5)
Əgər təsadüfi dəyişən kəsilməz olarsa, onda onun nəzəri dispersiyası
dxxfxxEx )()())(( 222 (1.6)
kimi hesablanır.
27
Kəsilməz təsadüfi dəyişənin nəzəri standart yayınması yuxarıda diskret
təsadüfi dəyişəndə olduğu kimi, yəni, nəzəri dispersiyanın kvadrat kökünü almaqla
hesablanır.
Tapşırıq
Cədvəl 1.1. və Cədvəl 1.2.-də göstərilən ədədlərlə xarakterizə olunan təsadüfi x dəyişəninin
nəzəri dispersiyasını və standart kənarlaşmasını (yayınmasını) hesablayın.
1.3. DəyiĢənin sabit və təsadüfi tərkibi
Sual oluna bilər: bütün bu statistik xarakteristikalar (riyazi gözləmə, dispersiya və
s.) təsadüfü kəmiyyətlərə və ya təsadüfü dəyişənlərə aiddir. Bu statistik
xarakteristikaları dəyişənl, o cümlədən iqtisadi göstəricilər üçün hesablamaq nə
dərəcədə doğrudur? Bu sualın cavabını aşağıda aydınlaşdırmağa çalışaq.
Dəyişənin tərkibini iki hissəyə – sabit və təsadüfi hissələrə ayırmaq olar.
Aşağıda göstərəcəyik ki, dəyişənin təsadüfü hissəsinin statistik xarakteristikaları
(riyazi gözləmə və dispersiya) elə dəyişənin özünü də xarakterizə etmiş olur. Başqa
sözlə dəyişənin təsadüfü hissəsi hansı paylanmaya malikdirsə dəyişənin özü də
həmin paylanmaya malikdir. Bu baxımdan iqtisadi göstəricilərə də təsadüfü
kəmiyyət kimi baxaraq statistik üsullatla qiymətləndirmə aparıla bilər.
Tərkibin sabit hissəsi dəyişənin həmişə riyazi gözləməsinə bərabər olur. Əgər
x təsadüfi dəyişəndirsə və onun riyazi gözləməsidirsə, onda təsadüfi kəmiyyət
aşağıdakı şəkildə yazıla bilər:
x (1.7)
Burada, – xalis təsadüfi tərkibdir. Qeyd edək ki, bu reqressiya tənliyində
təsadüfi hədd kimi verilir.
Buradan aydın olur ki, xalis təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləməsi sıfıra
bərabərdir.
Doğurdan da (1.7)-dən -ni tapıb riyazi gözləməsini hesablasaq:
28
x
0)()()()( ExExEE (1.8)
alarıq.
Bu göstərir ki, x kəmiyyətinin qiymətlərinin dağılması (səpələnməsi)
kəmiyyəti ilə əlaqədardır. Ona görə də x-in nəzəri dispersiyası -nin nəzəri
dispersiyasına bərabərdir. Doğrudan da,
)()()(2)2(
)()(2)()(2)(
)()2()()2())(()))(((
2222222
222222222
2222222
EEEE
ExExExExE
ExExExxExExExEx
və
)())0(()))((( 2222 EEEE
22
x . (1.9)
Beləliklə, əgər x –təsadüfi dəyişəni (1.7) düsturu ilə verilibsə və - verilmiş ədəd,
- təsadüfi həddirsə, habelə 0)( E və pop.var 2)( x olarsa onda x –təsadüfi
dəyişəninin riyazi gözləməsi , dispersiyası isə 2
-ya bərabərdir.
Əyər iqtisadi göstəricinin qiyməti təsadüfü olmayaraq şüurlu surətdə
müntəzəm dəyişikliyə məruz qalarsa, onda həmin iqtisadi göstəricini,
x
kimi yaza bilərik. Burada, iqtisadi göstəricinin qiymətinə təsadüfü olmayaraq
edilən müdaxiləni xarakterizə edən orta kəmiyyətdir.
-ni tapsaq,
)( x
alarıq. Bu bərabərlikdə işarələməsi aparsaq,
x
alarıq.
29
Eyni qayda ilə göstərə bilərik ki, buradakı iqtisadi göstəricinin təsadüfi hissəsinin
riyazi gözləməsi (orta qiyməti) sıfra, dispersiyası isə iqtisadi göstəricinin
dispersiyasına bərabərdir. Bu isə iqtisadi göstəricinin təsadüfi hissəsinin statistik
paylanma baxımından tamamilə iqtisadi göstəricinin özünü də xarakterizə etdiyini
göstərir. Beləliklə, buradan görmək olar ki, iqtisadi tədqiqatlarda iqtisadi
göstəricilərə təsadüfü kəmiyyət kimi baxib ekonometrik modelləşdirmə üsullarını
tətbiq etmək olar. Müəyyən mənada hətta qiymətinə müdaxilə edilən iqtisadi
göstəriciləri də statistik üsullarla tədqiq etmək mümkündür. Çünkü, bu zaman
iqtisadi göstəricinin qiymətinə müdaxilə edilən hissəsi onun sabit hissəsinin
üzərinə keçirmək mümkün ola bilər. İqtisadi göstəricinin qalan hissəsi təsadüfü
xarakterə malik olması və normal qanunla paylanması əsas verir ki, statistik
üsulları tətbiq etmək mümkün olsun. Lakin, qiymətinə təsadüfü olmayaraq
müdaxilə edilən iqtisadi göstəricinin qiymətləndirilmiş orta qiyməti həqiqi
qiymətdən qədər fərqli olacaqdır. Başqa sözlə qiymətləndirmə meylli olur. Ona
görə də müntəzəm müdaxilə olunan iqtisadi göstəricilərin statistik üsullarla
tədqiqində alınmış qiymətləndirmənin meylli olmasına təbii hal kimi baxılmalıdır.
Bununla belə bu tipli iqtisadi göstəricilərin paylanma qanunundakı və ya dəyişmə
qanunauyğunluqlarındakı həqiqətin aşkarlanması mümkün ola bilir.
İqtisadi göstəricilərin təsadüfü hissəsinin və ya statistik səhvlərin mənbəələri
onların qiymətlərinin hesablanmasındakı üç qeyri-müəyyənlik çətinlikləri ilə
əlaqəli olur. Bu səbəbdən bütün iqtisadi göstəricilərin müşahidə olunan empirik
qiymətlərindəki səhvləri üç tipə ayırmaq olar: 1) ölçmənin və ya hesablamanın
səhvləri; 2) seçmənin səhvləri; 3) spesifikasiyanın səhvləri. İqtisadi göstəricilərdəki
səhvlərin tiplərinin şərhin daha kenkrentliyi üçün aqreqllaşdırılmış istehlak
funksiyasının məlum olmayan parametrlərini götürək.
Ölçmə və ya hesablamadakı səhvlər. İqtisadi nəzəriyyədən məlumdur ki,
Keyns tipli istehlak funksiyası aşağıdakı kimidir.
bYaC
Burada, C -aqreqallaşdırılmış, istehlak xərcləri, Y - Ümumi daxili məhsul,
ba, isə parametrlərdir.
30
Məlumdur ki, C və Y Milli Hesablar Sisteminin (MHS) əsas
göstəricilərindəndir. İstər həmin göstəricilərin hesablanma prinsipində,
aqreqallaşdırılmasında və mikrosəviyyədə mühasibat uçotu sənədlərinin
doldurulmasında hesablama zamanı rəqəmlərin yuvarlaqlaşdırılmasında, daha
doğrusu, adi cəbri səhvlər yığılır.
Onagörə də bYaC hipotezi statistik məlumatlar ilə
)( zYbaxC
kimi yoxlanılmalıdır. Burada, x və z qeyri-məlum təsadüfü kəmiyyətdir və ildən
ilə dəyişir. Başqa sözlə,
xbzuubYaC ,
Burada, u - səhvi xarakterizə edir.
Seçmə müĢahidələrdəki səhvlər. Fərz edək ki, bYaC münasibətinin
doöruluğu hansısa yolla müəyyənləşdirilmişdir. Bu halda ona ümüd etmək lazım
deyil ki, bu münasibət ixtiyari hesabat dövrü üçün statistik məlumatlarla yoxlanıla
bilər. Axı, təsadüfü kənarlaşmalar mümkündür. Adətən, belə münasibətlərə
dövrlərin (illərin) orta qiymətləri üşün baxılır. Bir sıra hallarda hansısa dövr və ya
il üşün C -nin həqiqi qiyməti ( bYa )-dən fərqli olur. Məsələn, müharibə
illərindəki a və b parametrlərinin qiymətləri, stabil inkişaf illərindəki müvafiq
əmsallardan kəskin fərqlənə bilər. Bu zaman səhv seçməyə daxil edilən dövrlərin
(illərin) götürülməsi ilə əlaqədar olur. Ona görə də statistik üsullarla
münasibətlərin (hipotezlərin) yoxlanmasında eyni tipli məlumatlara üstünlük
verilməsi zəruridir.
Spesifikasiyanın səhvləri. Məlumdur ki, adətən nəzəriyyələrdə proses
sadələşdirilərək öyrənilir. Məsələn bizim konkret nümunədə hər bir iqtisadçıya
məlumdur ki, məcmu istehlaka (C ) təkcə ÜDM-in həcmi (Y ) deyil,daha çox
amillər təsir edir. Məsələn, istehlakçıların zövqü, faiz stavkası, qiymətlərdəki yerli
fərqlərəhalinin yaş qrupu, əvvəlki ildə istehlakçıların gəlirlərində baş verən
dəyişikliklər və s. Bütün bu amillər cari istehlakın miqyasına bu və ya digər
dərəcədə təsir edir. Bundan başqa hətta bütün təsiredici amilləri modelə daxil etsək
də həqiqi asılılığın şəkili daha mürəkkəb ola bilər. Hətta, istehlakın həcminin
31
təkcə ÜDM-dən asılı olaraq dəyişdiyini qəbul etsək belə həqiqi aslılıq baxdığımız
xətti şəkildə deyil digər şəkildə də ola bilər. Məsələn,
2)log( kyydycbYaC
Başqa sözlə sonsuz olaraq çoxlu sayda mümkün variantlar ola bilər. Bu səbəbdən
də baxılan asılılıqların spesfikasiyasindan səhvlər meydana çıxır.
1.4. Qiymətləndirmənin üsulları: seçmə orta və seçmə dispersiya
Yuxarıda biz təsadüfi dəyişənin nəzəri riyazi gözləməsi və nəzəri
dispersiyası kimi statistik xarakteristikaları ilə tanış olduqda hesab edirdik ki,
təsadüfi dəyişən haqqında dəqiq informasiyalar, o cümlədən onun ehtimal
paylanması (diskret dəyişən olan halda) və ya ehtimalın sıxlıq funksiyası
(kəsilməz dəyişən olan halda) məlumdur. Bu informasiyalar vasitəsi ilə təsadüfi
dəyişənin nəzəri riyazi gözləməsini, nəzəri dispersiyasını, eləcədə digər statistik
xarakteristikalarını hesablamaq olar. Lakin, praktikada bir sıra sadə təsadüfi
kəmiyyətlər, məsələn, metal pulun atılması zamanı düşən gerb və digər üzü, oyun
zərinin atılmasından düşən xallar və s. çıxmaq şərti ilə çoxlu sayda kəmiyyətlərin,
o cümlədən iqtisadi prosesləri xarakterizə edən dəyişənlərin ehtimal paylanmasını
dəqiq bilmirik. Bu o deməkdir ki, nəzəri riyazi gözləmə və nəzəri dispersiya da
bizə məlum deyil. Bununla belə bizə lazım gəlir ki, həmin dəyişənlərin
Anakütlədəki (Ümumi Topludakı, ümumi çoxluqdakı, ümumi yığındakı, baş
heyətdəki) nəzəri statistik xarakteristikalarını qiymətləndirək. Qiymətləndirmənin
prosedurası həmişə eyni olub aşağıdakı kimidir: n sayda müşahidələrdən ibarət
seçmə götürülür. Bu seçmənin köməyi ilə müvafiq düsturlarla təsadüfi dəyişənin
lazımi statistik xarakteristikalarının qiymətləri hesablanır. Qeyd edək ki,
qiymətləndirmənin düsturları ilə üsulları arasındakı fərqə diqqət yetirmək lazımdır.
Qiymətləndirmə üsulu ümumi bir qaydadır. Statistik xarakteristikaları düsturlarla
hesablanan qiymətləri isə seçmədən asılı olaraq dəyişə bilən konkret ədədlərdir.
Ola bilər ki, seçmə, yəni aparılan müşahidələr təsadüfi kəmiyyətin Anakütlədəki
statistik xarakteristikalarının müəyyənləşdirilməsini adekvat əks etdirə bilməsin.
32
Aşağıdakı cədvəldə (bax: cədvəl 1.4) Anakütlədəki ən vacib iki
xarakteristikanın (riyazi gözləmə və dispersiyanın) qiymətləndirmə düsturları
göstərilmişdir. Seçmə orta ( x ) adətən Anakütlədəki nəzəri riyazi gözləmənin( )
qiymətini verir. Seçmə dispersiya ( 2S ) isə Anakütlədəki nəzəri dispersiyanın
( 2 ) qiymətini verir.
Cədvəl 1.4
Anakütlədakı xarakteristikalar Seçmə ilə qiymətləndirmə düsturları
Nəzəri riyazi gözləmə (orta):
n
i
ii xpxE1
)(
Seçmə orta:
n
x
x
n
i
i 1
Nəzəri dispersiya:
))(()var(. 22 xExpopx
Seçmə dispersiya:
1
)(1
2
2
n
xx
S
n
i
i
Qeyd edək ki, Anakütlədəki riyazi gözləmə və dispersiyanın qiymətinin
cədvəl 1.4 -də göstərilən seçmə orta və seçmə dispersiyanın adi düsturları ilə
hesablanması heç də yeganə deyil. Məsələn, -in qiymətləndirilməsi üçün verilən
x -in hesablanma düsturu çəkili orta kimi də verilə bilər:
,1
k
i
kk
n
mxx
k
i
k nm1
(1.10)
Burada, km - n sayda müşahidədə x təsadüfi dəyişəninin kx qiymətinin başvermə
sayı(tezliyi), n
mk isə təsadüfi x dəyişəninin kx qiymətini almasının çəki əmsalıdır
(ehtimalıdır). Təsadüfi x dəyişəninin x seçmə ortasının müxtəlif düsturlarla
verilməsinin səbəbi odur ki, tapılan qiymət iki vacib meylsizlik və effektivlik
meyarlarına uyğun olsun (meylsizlik və effektivlik anlayışları ilə növbəti
paraqraflarda tanış olacağıq). Eləcə də nəzəri ( 2
x ) xarakteristikasını
qiymətləndirilməsi üçün verilən 2S seçmə dispersiya və ya orta kvadratik yayınma
düsturlarındakı kvadratların uyğun cəmi (n-1)-ə deyil, n-ə bölünə bilər9.
9 Я.Р,Магнус, П.К.Катышев, А.А.Пересецкий «Эконометрика» Начальный курс, М, 1997
33
1.5. Meylsiz statik qiymət
Təsadüfi dəyişənlərin sınaqlar vasitəsi ilə riyazi gözləmə, dispersiya və digər
statistik xarakteristikalarının qiymətləndirilməsi zamanı alınmış qiymətlər ancaq
təsadüfən Anakütlədakı xarakteristikaların qiymətlərinə bərabər ola bilər. Adətən,
sınaqların sayından və seçmədəki kəmiyyətin xalis təsadüfi tərkib hissəsindən asılı
olaraq müəyyən kənarlaşmalar olur. Daha doğrusu, biz qiymətləndirmə zamanı
istəyirik ki, qiymətləndirmənin riyazi gözləməsi(seçmə orta) Anakütlədakı uyğun
xarakteristikasına(nəzəri riyazi gözləməyə) bərabər olsun. Əgər bu belə deyilsə,
deməli qiymətləndirmədə meylli qiymət (rus: смещанная оценка, ing.: biased
estimator) alınmışdır. Ona görə də kəmiyyətin riyazi gözləməsi ilə Anakütlədakı
uyğun nəzəri xarakteristikanın fərqi də meylli olacaqdır.
Təsadüfi dəyişənin statistik xarakteristikasının (riyazi gözləmə, dispersiya və
b.) seçmə üzrə tapılmış qiyməti Anakütlədakı qiymətinə bərabər olarsa, onda
meylsiz qiymət (rus: : несмещанная оценка, ing.: unbiased estimator) adlanır.
Əvvəlcə baxaq görək təsadüfi x dəyişəninin x seçmə ortası( x = )(xE ) onun
Anakütlədakı nəzəri riyazi gözləməsi olan E(x) və ya -nin meylsiz statik
qiymətidirmi? Yəni onlar bərabərdirmi? Yuxarıda qeyd edildiyi kimi x
dəyişəninin tərkibi iki hissədən sabit və xalis təsadüfi hissələrindən ibarətdir.
x (1.11)
-nun qiyməti seçmədəki x kəmiyyətinin xalis təsadüfi tərkibi olan -nin
riyazi gözləməsidir Yəni, i -lərin ortasına bərabərdir. Hər bir müşahidədə belə
təmiz(xalis) təsadüfi hissənin riyazi gözləməsi sıfıra bərabərdir. Eyni zamanda -
nin riyazi gözləməsi sıfıra bərabərdir. Beləliklə,
0)()()()( EEExE (1.12)
Beləliklə göstərdik ki x Anakütlədakı riyazi gözləmənin meylsiz qiymətidir. Qeyd
edə bilərik ki, alınan qiymət -nin yeganə mümkün meylsiz qiyməti deyil.
Məsələn, tutaq ki, 3 müşahidədən ibarət seçmə vardır - 321 ,, xxx . Əgər çəkilərin
34
cəmini vahidə bərabər götürsək, onda müşahidələrin ixtiyari çəkili ortası meylsiz
qiymət olar. Bu halı göstərmək üçün tutaq ki, biz qiymətləndirmənin ümumi
düsturunu aşağıdakı kimi qurmuşuq:
332211 xxxy
y-in riyazi gözləməsini hesablayaq:
)()()()()()( 321321332211332211 xExExExxxEyE
Əgər,
1321
olarsa, onda
)(yE
olacaqdır. Bu isə -nin meylsiz qiymətinin y-ə bərabər olması deməkdir.
Beləliklə, prinsipcə meylsiz statistik qiymətin sayı sonsuzdur. Sual olunur: onların
birini necə seçək? Nə üçün əksər hallarda çəkilərin bərabər olması ilə (məsələn,
3
1321 ) seçmə orta istifadə olunur? Ola bilər ki, müxtəlif müşahidələrə
eyni çəki verilməsi düzgün olmasın!
İndi isə göstərək ki, 2S - kəmiyyəti əgər seçmədəki müşahidələr bir-birindən
asılı olmazlarsa, Anakütlədakı nəzəri dispersiyanın ( 2 ) meylsiz statistik
qiymətidir.
Qeyd edək ki, nəzəri dispersiyanın qiyməti olan 2 - kəmiyyəti də təsadüfi
dəyişəndir. (1.7)-dən (1.11)-i tərəf-tərəfə çıxsaq,
ii xx (1.13)
alarıq. Uyğun olaraq,
n
i
i
n
i
in
xxn
S1
2
1
22 )(1
1)(
1
1 . (1.14)
Beləliklə, 2S ancaq seçmədəki x-in müşahidələrinin xalis təsadüfi tərkibindən
asılıdır. Seçmədən-seçməyə dəyişənin təsadüfi tərkibi dəyişdiyi üçün seçmədən-
seçməyə də 2S dəyişəcəkdir.
Göstərmək olar ki, 2S kəmiyyətinin riyazi gözləməsi 2 bərabərdir və bu
kəmiyyət nəzəri dispersiyanın meylsiz qiymətidir. Doğrudan da,
35
n
i
i
n
i
i
n
i
n
i
ii
n
i
n
i
ii
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
xnxn
xnnxnxxn
xnnxxxn
xnxxxn
xxxxn
xxn
xxn
S
1
22
1
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
22
1
2
1
22
)()(1
1)())((2)(
1
1
)()(2)(1
1
)()()(2)(1
1
))())((2)((1
1
))()((1
1)(
1
1
Bu ifadənin riyazi gözləməsini götürsək,
))()(1
1()(
1
222n
i
i xnxn
ESE
222
2
2
1
2
)1(1
1
11)var(
1)var(.
1
)(1
)(1
1
nnnn
n
n
nx
n
nxpop
n
n
xEn
nxE
n
n
i
i
(1.15)
alarıq.
Ona görə də 2S kəmiyyəti 2 - nin meylsiz qiymətidir.
36
Tapşırıqlar
1. Asılı olmayan x1 və x2 müşahidələri üçün
1, 212211 xxz
dəyişəni verilmişdir. 12 xüsusi halı və 122 12
12
22
12 bərabərliyindən istifadə
edərək, 1;8,0;6,0;5,0;4,0;2,0;0 1111111 qiymətlərində z
dəyişəninin nəzəri ortasının dispersiyasını hesablayın. Tapılan nöqtələri qrafikdə göstərin. 1 və
2 çəki əmsallarının bir-birinə bərabər olması vacibdirmi?
2. n müşahidə üçün
nn xxxz ...2211
ümumiləşmiş düsturunun meylsiz qiymət verməsi üçün
1...21 n
şərtinin ödənilməsini göstərin.
1.7. Effektiv statistik qiymət
Statistik qiymətləndirmədə meylsiz qiymət arzu ediləndir, lakin
qiymətləndirmənin yeganə xassəsi deyil. Qiymətləndirmənin daha vacib tərəfi
etibarlılığın olmasıdır. Daha doğrusu qiymətləndirmədə mümkün maksimum
ehtimalla nəzəri xarakteristikalara yaxın qiymət alınmış olsun. Yəni ehtimalın
sıxlıq funksiyası gərək daha çox kəmiyyətin həqiqi qiyməti ətrafına «sıxılsın». Bu
isə o deməkdir ki, mümkün qədər kiçik dispersiya olmalıdır (bax: şəkil 1.6).
Tutaq ki, nəzəri orta üçün eyni bir informasiya əsasında hesablanmış iki
qiymət vardır və onların hər ikisi meylsizdir. Onların ehtimallarının sıxlıq
funksiyaları aşağıdakı şəkil 1.6-da göstərilib.
Təsadüfi x dəyişəni üçün 1-qiymətdə ehtimalın sıxlıq funksiyası orta qiymət
ətrafında daha çox sıxılıb, nəinki 2-qiymətdə. Göründüyü kimi 1-qiymətində daha
dəqiq qiymət alınır. Başqa sözlə, 1-qiyməti daha səmərəlidir və ya effektivdir
(rus: еффективная оценка, ing.: effective estimate). Effektiv qiymət odur ki,
dispersiya ən az olsun. Bütün müşahidələrin bərabər çəkisi olduqda dispersiya ən
az olur.
37
Şəkil 1.6. Effektiv statistik qiymət
Doğrudan da, tutaq ki, asılı olmayan 1x və 2x müşahidələri aparılmışdır və
2211 xxy . Onda nəzəri dispersiyanın qiyməti
22
2
2
12211 )()var(.)var(. xxpopypop
Yuxarıda göstərilmişdir ki, meylsiz qiymət üçün 1 və 2 kəmiyyətinin
cəminin vahidə bərabər olması zəruridir:
12
21
1
1
və
12221)1( 1
2
1
2
11
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
Biz 1 və 2 -ni elə seçməliyik ki, dispersiya ən kiçik olsun. Onda
122 1
2
1 ifadəsinə ən kiçik qiymət verən 1 elə dispersiyanı da
minimumlaşdırır. 122 1
2
1 ifadəsinin ən kiçik qiymətini törəməsinin sıfıra
çevrildiyi nöqtədə alır (Ferma teoremi)
38
2
11
2
1
024
12
1
1
Beləliklə, biz göstərdik ki, seçmə orta bərabər ehtimallarda (çəkilərdə)
statistik qiymətlər arasında ən kiçik dispersiyaya malik olur. Bu onu göstərir ki,
ehtimal paylanması həqiqi orta ətrafında daha sıxdır. Deməli, daha dəqiqdir. Başqa
sözlə, seçmə orta bütün meylsiz qiymətlər arasında daha çox effektiv qiymətdir.
Biz bunu ancaq 2 müşahidə halı üçün göstərdik, lakin bu nəticə, əgər
müşahidələr bir-birindən asılı olmayanda seçmənin ixtiyari ölçüsü üçün də
doğrudur.
Aşağıdakıları qeyd edək:
Qiymətin effektivliyini ancaq və ancaq eyni bir informasiyadan istifadə
etdikdə müqayisə etmək olar.
Biz burada effektivlik anlayışını meylsiz qiymətlərin müqayisəsi ilə
göstərdik. Lakin bu anlayış meylli qiymətləri müqayisə etməklə də
ümumiləşdirilə bilər.
Tapşırıq
Müşahidələrin sayı artıqda statistik qiymətin paylanmasının dispersiyası azalır. Onda
statistik qiymət daha effektiv olurmu?
1.8. Sınaqların sayının artırılmasının statistik qiymətlərin
dəqiqliyinə təsiri
Tutaq ki, təsadüfi x dəyişəninin Anakütlədakı nəzəri riyazi gözləməsi və
nəzəri dispersiyası 2
x məlum deyil və n sayda müşahidə aparmaqla -nün
qiymətləndirilməsi üçün seçmə orta x -dən istifadə edilir. Belə sual meydana çıxır:
seçmə orta x -in dəqiqliyi müşahidələrin sayı n-dən asılıdırmı?
39
Ümumiyyətlə, «Böyük Ədədlər Qanunu»na eləcədə «mərkəzi limit teoremə» görə
müşahidələrin sayının artması qiymətləndirmənin dəqiqliyini artırır. Deməli,
seçmə orta x -in də dəqiqliyi artır. x -in dispersiyası 2 /n ilə ifadə olunduğundan,
n
xpop xx
22
)var(.
(1.16)
göründüyü kimi müşahidələrin sayı n nə qədər böyük olarsa, dispersiyanın qiyməti
də bir o qədər kiçik olar və x üçün ehtimalın sıxlıq funksiyası ədədi ətrafında
daha çox sıxılmış olur (bax: şəkil 1.7).
Şəkil 1.7. n-nin artmasının x -in paylanmasına təsiri
Biz hesab edirik ki, x dəyişəni ortası (riyazi gözləməsi) 5 və standart yayınması
(kənarlaşması) 3 olan normal paylanmışdır. Tutaq ki, n=9 olduqda x dəyişəninin
standart kənarlaşması 19
32
nn
xx ədədinə bərabərdir. Əgər seçmənin
ölçüsü, yəni müşahidələrin sayı 36 olarsa, onda x dəyişəninin standart yayınması
(kənarlaşması)
2
1
6
3
36
3)var(.
2
nn
xpop xxx
5
40
olacaqdır.
Əgər müşahidələrin sayı 81-ə bərabər olarsa, onda bu standart kənarlaşma,
3
1
9
3
81
3
ədədinə bərabər olar. Göründüyü kimi, seçmənin ölçüsü artdıqca (n=9; n=36;
n=81) standart kənarlaşmanın qiyməti azalır (uyğun olaraq, 1x2
1x ,
3
1x ).
Şəkil 1.7-də uyğun ehtimalların sıxlıq funksiyası göstərilmişdir. Şəkildən
göründüyü kimi, seçmənin ölçüsü nə qədər böyük olarsa, x üçün ehtimal sıxlıq
funksiyasının qrafiki də ətrafında sıxılaraq yuxarı qalxır. Əgər n sonsuz böyük
ədəd olarsa, onda ehtimalın sıxlıq funksiyasının qrafiki x = nöqtəsindən keçən
şaquli düz xətdən fərqlənməyəcəkdir. Bu zaman x dəyişəninin təsadüfi tərkibi
(hissəsi) çox kiçik olur, ona görə də x dəyişəni -yə çox yaxın olur. Belə ki,
xnlim
Bu faktın daha geniş yayılmış təsviri «plim» terminindən istifadə etməklə yazılır.
«plim» yazılışı «ehtimal üzrə limit» deməkdir və göstərir ki, limit ehtimal
mənasındadır:
plim x =
(1.17)
1.9. Tutarlı statistik qiymət
Əgər ehtimal üzrə statistik qiymətin limiti Anakütlənun xarakteristikalarının
həqiqi (doğru) qiymətinə bərabər olarsa, onda statistik qiymət tutarlı (rus:
состоятельная оценка, ing.: consistent estimator) adlanır. Başqa sözlə böyük
seçmələr üçün statistik qiymət dəqiq alınarsa onda, bu zaman tutarlı olur.
Əksər praktiki məsələlərin həllində meylsiz statistik qiymət həm də tutarlı
olur. Bəzən kiçik ölçülü seçmələrdə statistik qiymət meylli olmasına baxmayaraq,
tutarlı olur. Hətta elə hal ola bilər ki, kiçik seçmədə sonlu riyazi gözləməyə malik
olmayan statistik qiymət də tutarlı ola bilər.
41
Şəkil 1.8. Kiçik seçmədə meylli, lakin tutarlı olan statistik qiymət
Şəkildən göründüyü kimi (bax: şəkil 1.8) müxtəlif ölçülü seçmələrdə
ehtimalın paylanması qrafiki göstərilmişdir. Göründüyü kimi, müşahidələrin sayı
artdıqca (seçmənin ölçüsü artdıqda) ehtimalın paylanması həqiqi qiymət ətrafında
simmetrik olur. Bu isə statistik qiymətin asimmetrik meylsiz olmasını göstərir.
Statistik qiymətin Anakütlədakı həqiqi qiymətə çevrilməsi onu göstərir ki, o tutarlı
qiymətdir. Belə qiymətləndirmə reqressiya tənliyində vacib amildir. Çünki bəzən
kiçik ölçülü seçmələrdə meylsiz statistik qiymət tapmaq mümkün olmur. Əgər heç
olmasa meylliyin istiqamətini müəyyən etməklə tutarlı statistik qiymət tapılarsa, bu
statistik qiymətin heç olmamağından daha yaxşıdır.
Ancaq onu da bilmək lazımdır ki, prinsipcə kiçik ölçülü seçmələrdə tutarlı
statistik qiymət tutarsız qiymətə nəzərən daha pis olsun (məsələn, tutarlı statistik
qiymətin böyük orta kvadratik səhvi ola bilər). Əgər meylli qiymətin dispersiyası
meylsiz qiymətin dispersiyasından kiçikdirsə, onda meylli qiymətə üstünlük
vermək olar. Həmçinin kiçik dispersiyaların olmasına görə də tutarlı, lakin meylli
qiymətə meylsiz qiymətdən və ya tutarsız qiymətdən üstünlük vermək olur.
42
Tapşırıqlar
1. Statistik qiymətin meylsiz olması tutarlılıq üçün zəruri və kafi şərtdirmi?
2. x təsadüfi dəyişəni eyni ehtimalla 1 və 2 qiymətlərin y təsadüfi dəyişəni isə eyni
ehtimalla 3 və 4 qiymətlərini alır. x və y kəmiyyətləri bir-birindən asılı olmayaraq paylanıb, z
kəmiyyəti z=x/y kimi təyin olunub və 1/4 bərabər ehtimallı aşağıdakı cədvəldə göstərilən dörd
qiymət alır:
Сədvəl 1.5
Y
X 1 2
3 3 1,5
4 4 2
Göstərin ki, )(
)()(
yE
xEzE
1.10. Seçmə və nəzəri kovariasiya
Kovariasiya (rus: ковариация , ing.: covariance) anlayışı korrelyasiya-
reqressiya təhlilinin əsas məsələlərinin qoyuluşu və şərhində mühüm əhəmiyyət
kəsb edən korrelyasiya əmsalının daxil edilməsinə zəmin yaradır. Kovariyasiya iki
dəyişən arasındakı qarşılıqlı asılılığın ölçüsüdür.
Tutaq ki, x və y təsadüfi dəyişənləri verilmişdir və n müşahidə aparılaraq
niyx ii ,1),,( qiymətləri müəyyənləşdirilmişdir. Təsadüfi x və y dəyişənləri
arasındakı seçmə kovariasiya (rus: выборочная ковариация, ing.: sample
covariance) ),cov( yx ilə işarə edilir və aşağıdakı düsturla hesablanır10
:
yyxxn
yx i
n
i
i 1
1),cov( (1.18)
Kovariasiya əmsalının hesablanmasının bir sıra vacib qaydaları vardır ki,
onlar bilavasitə kovariasiyanın tərifindən alınır.
I qayda. Əgər y=u+v olarsa, onda
),cov(),cov(),cov( vxuxyx
10
Bəzi ədəbiyyatlarda müvafiq cəm n-ə deyil (n-1)-ə bölünür.
43
Doğrudan da,
),cov(),cov(11
11),cov(),cov(
1 1
11
vxuxvvxxn
uuxxn
vvxxuuxxn
vuvuxxn
vuxyx
n
i
n
i
iiii
n
i
iiiiii
n
i
i
II qayda. Əgər y= az olarsa (burada a – sabitdir), onda
),cov(),cov( zxayx
Doğrudan da,
),cov(1
),cov(),cov(11
zxazzxxn
azaazxx
nazxyx
n
i
iii
n
i
i
III qayda. Əgər y= a olarsa (burada, a – sabitdir), onda
0),cov( ax
Doğrudan da,
01
),cov(),cov(1
aaxxn
axyxn
i
i
Bu əsas qaydalardan istifadə etməklə daha mürəkkəb ifadə ilə verilmiş
kovariasiyanı sadələşdirmək olar. Məsələn, əgər dəyişənlərdən biri bir neçə
dəyişənin funksiyası kimi verilmişdirsə,
tavauaay 3210
Burada, 3210 ,,, aaaa sabitlərdir.
Onda,
),cov(),cov(),cov(
),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(
321
3210
txavxauxa
txavxauxaaxyx
Kovariyasiyanın hesablama qaydalarından və xassələrindən istifadə etməklə
ona başqa bir hesablama düsturu tapmaq olar.
yxyxn
yx i
n
i
i
1
1),cov( (1.19)
Doğrudan da,
yxyxn
yxnyxnyxnyxn
yxnxyyxyxn
yxyxyxyxn
yyxxn
yx
n
i
ii
n
i
ii
n
i
n
i
n
i
iiii
n
i
iiiii
n
i
i
111 1 1
11
111
11),cov(
44
Təsadüfi x və y dəyişənləri arasında nəzəri kovariasiya (rus:
теоретическая ковариация, ing.: theoretical covariance) bu dəyişənlərin orta
qiymətlərindən (riyazi gözləmələrindən) kənarlaşmalarının hasilinin riyazi
gözləmələri kimi təyin edilir və xy yaxud ),cov(. yxpop ilə işarə edilir:
yxxy yxEyxpop ),cov(. , (1.20)
Burada, x və y - uyğun olaraq x və y dəyişənlərinin nəzəri orta
qiymətləridir.
Əgər x və y kəmiyyətləri asılılığı yoxdursa onda onların nəzəri kovariasiyaları
sıfıra bərabərdir. Doğrudan da,
0))()()(()()( yxyxyx yExEyExEyxE
Qeyd edək ki, dəyişənlər bir-birinə bərabər olduqda yəni, x=y olarsa onda
kovariasiya dispersiyaya çevrilir.
22 )var(.)((),cov(. xxxx xpopxExxExxpop (1.21)
Əgər Anakütlədakı nəzəri kovariasiya məlum deyilsə, onda onun qiymətinin
tapılması üçün aparılan müşahidələr əsasında hesablanan seçmə kovariasiyadan
istifadə etmək olar. Lakin bu zaman kovariasiya üçün hesablanan statistik qiymət
mənfi meylli olur, belə ki,
yxpopn
nyxE ,cov.
1),cov(
. (1.22)
Buna səbəb onunla bağlıdır ki, seçmə kənarlaşmalar x və y kəmiyyətlərinin
seçmə ortalarına nəzərən ölçülür. x və y kəmiyyətlərinin seçmə ortaları isə həqiqi
orta qiymətlərindən aşağı qiymət almaları kimi kənarlaşmalara malik olmaları
ənənəsinə malikdir. Ona görə də nəzəri kovariasiyanın meylsiz qiymətini
hesablamaq üçün seçmə kovariasiyanın qiymətini )1( n
n-ə vururlar.
Nümunə: Aşağıdakı cədvəldə əsas istehsal fondları (x) və gündəlik məhsul istehsalı (y) 50
eynitipli müəssisə üçün verilmişdir.
45
Cədvəl 1.6
Əsas istehsal
fondlarının
həcmi, min AZN
(x)
İntervalların
ortası Gündəlik məhsul istehsalının həcmi, ton (y)
Cəmi,
in
Qrup
ortası,
ton,
iy i
j
x
y
7-11 11-15 15-19 19-23 23-27
9 13 17 21 25
20-25 22,5 2 1 - - - 3 10,3
25-30 27,5 3 6 4 - - 13 13,3
30-35 32,5 - 3 11 7 - 21 17,8
35-40 37,5 - 1 2 6 2 11 20,3
40-45 42,5 - - - 1 1 2 23,0
Cəmi , jm 5 11 17 14 3 50 -
Qrup ortası ( jx ), min AZN 25,5 29,3 31,9 35,4 39,2 - -
Cədvəldə ix və iy ilə uyğun intervalların ortası, in və jm ilə onların uyğun olaraq çəkiləri
işarə edilmişdir. Tələb olunur ki, x və y göstəriciləri arasındakı kovariasiyanı hesablayın.
Həlli: Əvvəlcə orta göstəriciləri hesablayaq. Hər bir ix -nin (i=1,2...l) qiyməti üçün, daha
doğrusu cədvəlin hər bir sətri üçün qrup ortası iy aşağıdakı kimi hesablanır:
i
m
j
ijj
in
ny
y
1
, li ,1 (1.23)
Burada, ),( jiij yxn cütlərinin çəkiləri və ya tezlikləridir. Məsələn, ),( 11 yx cütü üçün çəki
(tezlik) 211 n ; ),( 21 yx -cütü üçün çəki (tezlik) 112 n ; uyğun olaraq 013 n ; 014 n ; 015 n .
211 n olması o deməkdir ki, əsas istehsal fondları 20-25 min AZN (ortası 22,5 min AZN) olan
( 1x ) müəssisə içərisində gündəlik məhsul istehsalı 7-11 ton olan (ortası 22,5 min AZN) olan 1(x )
müəssisə içərisindən gündəlik 11-15 ton (ortası 13 ton) olan )( 2y müəssisə 1 dənədir.
13n 14n 015 n olması o deməkdir ki, əsas istehsal fondları 20-25 min AZN (ortası 22,5) olan
1(x ) müəssisələri içərisindən heç birinin gündəlik məhsul istehsalı orta hesabla 13 tondan çox
deyil.
Aydındır ki,
m
j
iji nn1
, li ,1 (1.24)
Məsələn,
46
211000
.
.
.
300012
55545352515
15141312111
nnnnnn
nnnnnn
və
mjnml
i
ijj ,1,1
(1.25)
Məsələn,
312000
.
.
.
500032
55453525155
51413121111
nnnnnm
nnnnnm
l
i
m
j
ij
m
j
j
l
i
i nmnn1 111
(1.26)
Bizim nümunədə n=50 . Deməli, (1.23) düsturuna görə,
0.23;3.20;8.17
.3.1313
04*176*133*9
3.103
0001*132*9
543
2
2552442332222112
1
1551441331221111
yyy
n
nynynynynyy
n
nynynynynyy
Analoji olaraq, hər bir jx üçün
j
l
i
iji
jm
nx
x 1 , mj ,1 (1.27)
2.39;4.35;9.31;3.29
5.255
0*5.420*5.323*5.272*5.22
5432
1
5154143132121111
xxxx
n
nxnxnxnxnxx
Orta kəmiyyətlər
n
nx
x
l
i
ii 1 (1.28)
n
my
y
m
j
jj
1
(1.29)
Düsturları ilə hesablandığından,
47
1.3250
2*5.4211*5.3721*5.3213*5.273*5.225544332211
n
nxnxnxnxnxx min AZN
və ya
AZNxxxxx
x min.1325
54321
Eyni qayda ilə
tony 92.16
(1.29) düsturuna müvafiq olaraq bizim nümunə üçün seçmə kovariasiya
yxn
nyx
yx
l
i
m
j
ijji
1 1
),cov( (1.30)
kimi hesablana bilər.
278951*25*5.42
1*21*5.422*25*5.376*21*5.372*17*5.371*13*5.377*21*5.3211*17*5.32
3*13*5.324*17*5.276*13*5.273*9*7.2713*1*5.222*9*5.221 1
l
i
m
j
ijji nyx
768.1492.16*1.3250
27895),cov( yx
Kovariasiya sıfıra bərabər olmadığı üçün (sıfırdan fərqləndiyi üçün) x və y göstəriciləri
arasında, daha doğrusu gündəlik məhsul istehsalı ilə müəssisənin əsas istehsal fondları arasında
xətti əlaqə mövcuddur.
TapĢırıq
Azərbaycanın cədvəl 1.7-də göstərilmiş bir sıra iqtisadi göstəriciləri arasındakı seçmə
kovariasiyanı hesablayın:
Cədvəl 1.7
İllər
Maliyyə bazarlarında
kredit faizi dərəcəsi,
%-lə
ÜDM, mln AZN
Pul
aqreqatları(M0),
mln AZN
İstehlak qiymətləri indeksi
(İnflyasiya), %-lə
1 2 3 4
T MBKFD ÜDM M0 IQI
1990 0.3
1991 0.5
1992 15.0 4.8 2.07
48
1993 50.0 31.4 9.4 10.12
1994 150.0 374.7 55.2 17.64
1995 50.0 2133.8 120.5 5.12
1996 29.2 2732.6 173.1 1.20
1997 25.3 3158.3 234.1 1.04
1998 20.3 3440.6 185.2 0.99
1999 19.8 3775.1 227.2 0.92
2000 19.5 4718.1 270.0 1.02
2001 19.7 5315.6 293.8 1.02
2002 15.6 6062.5 333.7 1.03
2003 15.2 7010.7 408.2 1.02
2004 8374.4 477.8 1.07
?)0,IQIcov( M , ?)IQIUDM,cov( , ?)MBKFD UDM,cov(
1.11. Nəzəri və seçmə korrelyasiya əmsalları
Dəyişənlər arasında xətti asılılığın mövcud olub-olmamağını yoxlamaq üçün
ilk növbədə korrelyasiya əmsalını yoxlamaq lazımdır. Korrelyasiya əmsalı (rus:
коффицент корреляции, ing.: correlation coefficient) dəyişənlər arasında xətti
əlaqənin mövcudluğu səviyyəsini göstərir. İki x və y dəyişənləri arasındakı seçmə
korrelyasiya əmsalını (rus: выборочный коффицент, ing.: sample coefficient of
correlation) ),( yxrn və ya yxr , ilə işarə edilir və aşağıdakı düsturla hesablanır:
),( yxrn
n
k
k
n
j
j
n
i
ii
yyxx
yyxx
1
2
1
2
1
)()(
))((
, (1.31)
burada: ( ii yx , ) cütləri ( ni ,1 ) real statistikadan və ya sınaqlardan götürülmüş
ədədlər, x və y isə uyğun olaraq onların orta kəmiyyətləridir.
(1.31) düsturundan görmək olar ki, seçmə korrelyasiya əmsalı x və y
dəyişənlərinin seçmədəki qiymətlərinin ( ix və iy ) orta qiymətlərindən kənarlaş-
maları eyni işarəli olduqda müsbət, müxtəlif işarəli olduqda mənfi olur.
Korrelyasiya əmsalı ölçüsüz kəmiyyətdir və onun kəmiyyəti dəyişənlərin ölçü
49
vahidlərindən asılı deyil. Korrelyasiya əmsalının kəmiyyəti mənfi vahiddən (-1)
müsbət vahidə (+1) qədər qiymətlər ala bilər:
-1 ),( yxrn 1
Korrelyasiya əmsalının mənfi vahidə yaxın qiymət alması o deməkdir ki,
dəyişənlər arasında sıx xətti əks əlaqə mövcuddur, yəni bir dəyişənin qiyməti
artdıqda digər dəyişənin qiyməti azalır (bax: şəkil 1.9, a). Müsbət vahidə yaxın
olması dəyişənlər arasında düz xətti asılılıq olmasını (bax: şəkil 1.9, b), sıfıra yaxın
olması isə xətti əlaqənin mövcud olmamağını göstərir (bax: şəkil 1.9, c).
Qeyd edək ki, korrelyasiya əmsalının sıfıra yaxın qiymət olması yalnız xətti
asılılığın olmadığını göstərir, ancaq bu o demək deyildir ki, dəyişənlər arasında
ümumiyyətlə asılılıq mövcud deyildir. Qeyri-xətti asılılıq mövcud ola bilər. Bu
zaman əlaqənin sıxlığı korrelyasiya münasibəti (nisbəti) (rus: корреляционное
отношения, ing.: correlation ratio) və korrelyasiya indeksi (rus: индекс
корреляции, ing.: index of correlation) ilə qiymətləndirilir (korrelyasiya
münasibəti və korrelyasiya indeksi anlayışları ilə növbəti paraqraflarda tanış
olacağıq) .
Şəkil 1.9. Asılılığın növləri və korrelyasiya əmsalı
Onu da qeyd edək ki, x və y dəyişənlərinin seçmə korrelyasiya əmsalının yu-
xarıda göstərilən düsturunda onlar arasındakı kovariasiya göstəricisi də vardır. Ko-
variasiya göstəricisi korrelyasiya əmsalı kimi x və y dəyişənləri arasındakı xətti
əlaqənin səviyyəsini (dərəcəsini) göstərir. Dəyişənlər arasında xətti asılılıq ol-
50
madıqda bu dəyişənlərin də qiyməti sıfıra bərabər olur. Lakin kovariasiya göstərici
ölçüsüz kəmiyyət deyil. Onun ölçüsü x və y dəyişənlərinin ölçü kəmiyyətlərindən
asılıdır. Kovariasiya göstəricisindən statistik təhlil və qiymətləndirmədə nadir
hallarda istifadə edilir. O, ancaq korrelyasiya əmsalının hesablanmasında aralıq
element kimi iştirak edir.
Biz bu vaxta qədər seçmə korrelyasiya əmsalı haqqında mülahizələr söylədik.
Seçmə korrelyasiya əmsalı ),( yxrn və ya ),( yxr verilmiş seçmə, daha doğrusu x və
y dəyişənlərinin statistik və ya müşahidə qiymətləri əsasında onlar arasındakı xətti
əlaqənin dərəcəsini (sıxlığını) göstərir. Ancaq x və y dəyişənləri arasındakı həqiqi
xətti əlaqənin sıxlığını Anakütləda mövcud olan nəzəri korrelyasiya əmsalı (rus:
теоретический(ая) коффицент корреляции, ing.: theoretisal coefficient of
correlation) xy ilə işarə edilir. Nəzəri korrelyasiya əmsalının )( xy qiy-
mətləndirilməsi üçün seçmə korrelyasiya əmsalından istifadə olunur. Anakütlədakı
nəzəri korrelyasiya əmsalı aşağıdakı kimi müəyyən olunur:
yx
xy
yx
xy
yxpop
),cov(., (1.32)
burada: ),cov(. yxpop və ya xy Anakütlədakı x və y dəyişənləri arasındakı ko-
variasiya əmsalı (nəzəri kovariasiya əmsalı), x və y isə uyğun olaraq x və y də-
yişənlərinin Anakütlədakı kvadratik orta kənarlaşmalarıdır. Kovariasiya və
dispersiyanın müvafiq düsturlarından istifadə etməklə seçmə korrelyasiya
əmsalını( ),( yxrn ) aşağıdakı kimi yaza bilərik.
),( yxrn)var()var(
),cov(
)()(
))((
1
2
1
2
1
yx
yx
yyxx
yyxx
n
k
k
n
j
j
n
i
ii
(1.33)
Nümunə: Cədvəl 1.6-da verilmiş rəqəmlər əsasında seçmə korrelyasiya əmsalı hesablayaq.
Bunun üçün çəkilərin nəzərə alınması ilə korrelyasiya əmsalı (1.33.) düsturuna müvafiq olaraq
51
m
j
jj
l
i
ii
l
i
m
j
ijii
ynnyxnnx
nyyxx
r
1
22
1
22
1 1
)()(
))((
(1.34)
və ya
m
j
m
j
jjjj
n
i
l
i
iiii
l
i
m
j
m
j
jj
l
i
iiijji
nynynnxnxn
nynxnxxn
r
1 1
22
1 1
22
1 1 11
)()(
))((
(1.35)
kimidir.
Qeyd edək ki, (1.35) düsturu praktiki hesablama üçün daha əlverişlidir, çünki onun
köməyi ilə korrelyasiya əmsalı (r) birbaşa müşahidələrdən alınmış verilənlər əsasında hesablanır.
Əgər müşahidələr ancaq n cüt ),( ii yx - dən ibarətdirlərsə və heç bir ix və iy göstəricisinin
çəkisi (tezliyi) olmazsa, onda (1.34) və ya (1.35) düsturlarında ijnij ,1 qəbul edib,
l
i
m
j1 1
cəminin yerinə isə
n
i 1
yazmaq lazımdır. Onda (1.33) düsturunu almış olarıq.
İndi isə (1.35) düsturu ilə korleyasiya əmsallarını hesablasaq
r=0,74
alarıq.
Hesablanmış korrelyasiya əmsalı (r=0,74) müsbət vahidə yaxın olduğundan deyə bilərik
ki, x və y dəyişənləri arasında, başqa sözlə gündəlik məhsul istehsalı ilə müəssisənin əsas istehsal
fondları arasında sıx düz xətti əlaqə mövcuddur.
Tapşırıq
Azərbaycanın cədvəl 1.7-də göstərilmiş bir sıra iqtisadi göstəriciləri arasındakı seçmə
korrelyasiya əmsalını hesablayın:
?)0,IQI( Mr , ?)IQIUDM,( r , ?)MBKFD UDM,( r
1.12. Toplu və xüsusi korrelyasiya əmsalları
İqtisadi proseslərdə bir göstəriciyə (dəyişənə) adətən çoxlu sayda amillər
(göstəricilər) təsir edir. Ona görə də, iki dəyişən deyil, çoxlu sayda dəyişənlərin
arasındakı əlaqənin öyrənilməsi məsələsi qarşıya çıxır.
52
Tutaq ki, pji xxxxx ,...,...,,...,, 21 dəyişənləri verilmişdir. Aşağıdakı matrisə
baxaq:
1.........
........................................
...1......
........................................
......1....
........................................
.........1
.........1
21
21
21
22221
11112
pjpipp
jpjijj
ipijii
pji
pji
p
(1.36)
Bu matris Anakütlədakı korrelyasiya matrisi (rus: корреляционная
матрица, ing.: correlation measure) adlanır və Anakütlədakı )...2,1,( pjiij cüt
korrelyasiya əmsallarından təşkil edilmişdir. Hər bir ij ayrı-ayrılıqda (1.32)
düsturu ilə hesablanır. p nəzəri korrelyasiya matrisini qiymətləndirmək üçün
müəyyən seçmə əsasında aşağıdakı seçmə korrelyasiya əmsalları matrisi düzəldilir.
1.........
....................................
...1......
....................................
......1....
....................................
.........1
.........1
21
21
21
22221
11112
pjpipp
jpjijj
ipijii
pji
pji
p
rrrr
rrrr
rrrr
rrrr
rrrr
(1.37)
Burada, )...2,1,( pjirij cüt seçmə korrelyasiya əmsalları (1.33) düsturları və
ya onun modifikasiyaları olan (1.34) və (1.35) düsturları ilə hesablanır.
İki məsələ qarşıda durur:
1) Dəyişənlərdən birinin qalan toplu (p-1) sayda dəyişənlərdən əlaqəsinin
sıxlığını müəyyən etmək;
53
2) q sayda )2(( pq ) dəyişəni nəzərə almadan və ya onları sabit
saxlamaqla yerdə qalan dəyişənlər arasındakı əlaqənin sıxlığının müəyyən
edilməsi.
Birinci məsələ toplu (çoxluq) korrelyasiya əmsalı və ya toplu
korrelyasiya (rus: множественная корреляция, ing.: multiple correlation),
ikinci məsələ isə xüsusi korrelyasiya əmsalları və ya xüsusi korrelyasiya (rus:
частный коффицент корреляции, ing.: partial correlation coefficient) vasitəsi
ilə həll edilir.
piR ...12, - ilə i-ci dəyişən ilə yerdə qalan bütün dəyişənlər arasındakı xətti
əlaqənin sıxlığı, başqa sözlə toplu (çoxluq) korrelyasiya əmsalı işarə edilir və
aşağıdakı kimi hesablanır:
ii
p
piv
vR 1...12, . (1.38)
Burada, pv - korrelyasiya matrisinin ( pv ) determinantıdır, iiv - isə iir
elementinin cəbri tamamlayıcısıdır.
Xüsusi halda p=3 , yəni dəyişənlərin sayı üç olduqda x dəyişəni ilə y və z
dəyişənləri arasındakı toplu (çoxluq) korrelyasiya əmsalının ( yzxR , ) hesablama
düsturu,
2
22
,1
**2
1
1
1
1
1
1yz
yzxzxyxzxy
yz
yz
yzxz
yzxy
xzxy
yzxr
rrrrr
r
r
rr
rr
rr
R
(1.39)
kimi olacaqdır.
Toplu korrelyasiya əmsalının qiyməti 10 R parçasında dəyişir. Toplu
korrelyasiya əmsalı ixtiyari cüt korrelyasiya əmsalının mütləq qiymətindən kiçik
deyil.
ijrR
54
Əgər dəyişənlər bir birindən asılıdırlarsa onda, cüt korrelyasiya əmsalının
kəmiyyətinə başqa dəyişənlərin qismən təsiri də olur. Ona görə də bir və ya bir
neçə dəyişənin təsirini istisna etməklə dəyişənlər arasındakı əlaqənin sıxlığını
öyrənmək zərurəti yaranır. Bu dəyişənlər arasındakı xüsusi korrelyasiya
əmsalları vasitəsi ilə yerinə yetirilir. (p-2) sayda dəyişənin sabit qalması şərti ilə i
və j-ci dəyişənləri arasındakı xüsusi korrelyasiya əmsalı pijr ...12, ilə işarə edilir və
aşağıdakı kimi hesablanır:
jjii
ij
pijvv
vr
...12, . (1.40)
Burada, ijv , iiv və jjv kəmiyyətləri pv matrisinin uyğun olaraq ijr , iir ( 1iir ) və
jjr ( 1jjr ) elementlərinin cəbri tamamlayıcılarıdır. Xüsusi halda üç x, y və z
dəyişənləri olarsa, onda z dəyişəninin təsirinin sabit qaldığı halda x və y
dəyişənləri arasındakı xüsusi korrelyasiya əmsalı
)1)(1(
*
22,
yzxz
yzxzxy
zxy
rr
rrrr
(1.41)
kimi olacaqdır. Burada, xyr , xzr , yzr - uyğun olaraq x və y, x və z, y və z dəyişənləri
arasındakı adi cüt korrelyasiya əmsallarıdır.
Xüsusi korrelyasiya əmsalı pijr ...12, cüt korrelyasiya əmsalları kimi (-1)-dən
(+1)-ə kimi qiymətlər ala bilər. Bundan başqa n ölçülü seçmə ilə hesablanmış
pijr ...12, xüsusi korrelyasiya əmsalı, (n-p+2) müşahidə ilə hesablanmış cüt
korrelyasiya əmsalları ilə eyni paylanmaya malik olur.
Nümunə: Müəyyən seçmə müşahidələr əsasında mütəxəssislərin əmək məhsuldarlığı (x),
yaşları (y) və iş təcrübəsi (z) arasındakı cüt korrelyasiya əmsallarının qiymətləri 2,0xyr ;
41,0xzr ; 82,0yzr kimi alınmışdır. Çoxluq korrelyasiya yzxR , əmsalını hesablamaq tələb
olunur.
Həlli: (1.39) düsturuna görə çoxluq korrelyasiya əmsalını hesablayaq:
55
47,0225,0
82,01
82,041,02,0241,02,0
1
**22
22
2
22
,
yz
yzxzxyxzxy
yzxr
rrrrrR
Göründüyü kimi əmək məhsuldarlığına işçilərin yaşları və iş təcrübələri his olunacaq
təsir edir.
Tapşırıq
Azərbaycanın cədvəl 1.7-də göstərilmiş bir sıra iqtisadi göstəriciləri arasındakı xüsusi və
çoxluq korrelyasiya əmsallarını hesablayın
1.13. Qeyri-xətti asılılıq. Korrelyasiya münasibəti və korrelyasiya
indeksi
Əvvəllərdə tanış olduğumuz korrelyasiya əmsalı, toplu və xüsusi korrelyasiya
əmsalları yuxarıda qeyd edildiyi kimi ancaq birgə normal paylanmaya malik olan
təsadüfi dəyişənlər arasındakı xətti əlaqənin sıxlığını göstərir. Lakin, praktikada
əksər hallarda, o cümlədən iqtisadi göstəricilər arasındakı xətti əlaqə deyil qeyri-
xətti asılılıqlar mövcud olur. Bu zaman ixtiyari asılılıq formasında dəyişənlər
arasındakı mövcud olan əlaqənin intensivliyinin doğruluq (rus: достоверность,
ing.: accuracy) göstəricisinin olması zərurəti yaranır.
Belə bir göstəricinin olması üçün ümumi dispersiya adlanan aşağıdakı seçmə
dispersiyaya baxaq:
n
nyy
S
n
j
ji
y
1
2
2
)(
(1.42)
Əgər y göstəricisi üçün aparılmış müşahidələrin sırası kəsişməyən
qruplardan ibarətdirsə, onda 2
yS ümumi dispersiya iki toplananın cəmi kimi
göstərilə bilər:
222
iyiyy SS (1.43)
Burada, 2
iyS - kəmiyyəti 2
iyS -nin orta qrup dispersiyası və ya qalıq dispersiyasıdır:
56
n
nS
S
l
i
iiy
y
1
2
2 ; (1.44)
i
h
j
ij
iyn
nyy
S
1
2
2
)(
; (1.45)
2
iy - isə qruplararası dispersiyasıdır:
n
nyyl
i
ii
iy
1
2
2
)(
(1.46)
Qalıq dispersiya ( 2
iyS ) y-in qiymətlərinin elə dəyişən hissəsini ölçür ki, hansı
ki, bu hissə x-dən asılı olmayan nəzərə alınmayan faktorların dəyişməsi hesabına
yaransın. Qruplararası dispersiya ( 2
iy ) y-in dəyişməsinin elə hissəsini ifadə edir ki,
x-in dəyişməsi ilə şərtlənmiş olsun. Aşağıdakı ifadə
2
2
2
y
iy
yxS
(1.47)
y-in x üzrə empirik və ya seçmə korrelyasiya münasibəti (rus: эмпирического
(выборочного) корреляционного отнощения, ing.: sample correlation ratio)
adlanır. Nə qədər əlaqə sıx olarsa, 2
yx bir o qədər yuxarı olur. Başqa sözlə, x-in
dəyişməsi nəzərə alınmayan faktorlara nəzərən daha çox y-in dəyişəninin
variasiyasına təsir edir. 2
yx kəmiyyəti ( növbəti fəsildə kəmiyyətin orta qiymətinə
nəzərən variasiyasını, başqa sözlə səpənənməsini xarakterizə edən determinasiya
əmsalı şərh ediləcəkdir) adlanır və y-in ümumi variasiyasından elə hissəsini
göstərir ki, bu hissə x-in variasiyası ilə əlaqədar olmuş olsun. Analoji olaraq x-in y
üzrə empirik korrelyasiya münasibəti daxil edilir:
2
2
x
jx
xyS
(1.48)
Kifayət qədər böyük ölçüyə malik seçmələr (n-müşahidələrin sayının böyük
olması halı) üçün korrelyasiya münasibətinin əsas xassələrini göstərək.
57
1. Korrelyasiya münasibəti mənfi olmayan kəmiyyətdir və birdən böyük deyil,
yəni:
1) 10 yx
2) Əgər yx =0 olarsa, onda korrelyasiya əlaqəsi yoxdur.
3) Əgər yx =1 olarsa, onda dəyişənlər arasında funksional əlaqə vardır.
4) yxxy , yəni korrelyasiya əmsalından fərqli olaraq (korrelyasiya əmsalı üçün
yxxy rr ) hansı dəyişənin asılı (nəticə), hansının isə asılı olmayan (təsir edən)
dəyişən olmasından asılı olaraq korrelyasiya münasibəti müxtəlif qiymətlər alır.
Empirik (seçmə) korrelyasiya münasibəti ( yx ) korrelyasiya sahəsinin
nöqtələrinin iy qiymətlərinin sınıq xətlərlə birləşməsi kimi ifadə olunan empirik
reqressiya xəttinə nəzərən dağınıqlığının səviyyəsini göstərir. Lakin iy -in
qanunauyğun dəyişməsi nəzərə alınmayan faktorların təsiri nəticəsində yaranan
sınıq xətlərin təsadüfi əyri-düz xətlərlə (ziqzaqlarla) pozulduğu üçün yx əlaqənin
sıxlığını artırır. Bunu aradan qaldırmaq üçün yx korrelyasiya münasibəti ilə
yanaşı, əlaqənin sıxlığı göstəricisi yxR -yə də baxılır. yxR göstəricisi ),( axfyx
reqressiya xəttinə nəzərən korrelyasiya sahəsinin nöqtələrinin dayanıqlığını
xarakterizə edir. yxR -ə y-in x-ə nəzərən nəzəri korrelyasiya münasibəti (rus:
теоретичесого корреляционного отнощения, ing.: theoretical correlation ratio)
və ya korrelyasiya indeksi (rus: индекс корреляции, ing.: index of correlation)
deyilir.
2
2
2
2
1y
y
x
y
yxS
S
SR
, (1.49)
Burada, 2
y və 2
yS Anakütlədakı dispersiyalardır və onların hesablanması (1.36)-
(1.39) düsturları kimidir, lakin bu zaman iy qrup ortası Anakütlədakı qrup ortası
( və ya sətri riyazi gözləmə) əvəz edilir. Yəni,
222
yyy (1.50)
58
n
l
i
iy
y
1
2
2
(1.51)
i
n
j
i
iyn
y
1
2
2
)(
(1.52)
n
yl
i
i
y
1
2
2
)ˆ(
(1.53)
Analoji olaraq x-in y-ə görə, korrelyasiya indeksi ( yxR ),
2
2
2
2
1x
x
x
xxyR
(1.54)
kimi müəyyən olunur.
2
y və xyR kəmiyyətlərinin üstünlüyü ondan ibarətdir ki, onlar x və y dəyişənləri
arasındakı ixtiyari əlaqə forması üçün hesablanır. Baxmayaraq ki, göstəricisi
əlaqənin sıxlığı R-ə nəzərən artır, lakin onun hesablanması üçün reqressiya
tənliyini bilmək lazım gəlmir. Korrelyasiya münasibətinin ( ) korrelyasiya əmsalı
(r) ilə aşağıdakı kimi əlaqəsi vardır.
10 Rr
Xüsusi halda, xətti asılılıq olduqda,
rRR yxxy
Yəni, x və y dəyişənləri arasındakı korrelyasiya indeksi (R) korrelyasiya
əmsalından kiçik olmur, ancaq xətti asılılıq olduqda onlar bir-birinə bərabər olur.
Ona görə də, (və ya R) və r-in bir-birindən fərqlənməsi xətti korrelyasiya
asılılığının yoxlanması üçün də istifadə edilə bilər.
Nümunə: Cədvəl 1.6-da verilmiş rəqəmlər əsasında korrelyasiya münasibətini yx
hesablayaq:
Əvvəlki nümunələrdə ümumi orta ;92.16y seçmə dispersiya 23.182 yS , qrup ortası iy
hesablanmışdır. Hesablamanın sadəliyi üçün cədvəl düzəldək (bax: cədvəl 1.8).
(1.46)-ya görə,
59
36.1050
8.5172 iy
və (1.47)-yə görə,
754.0568.023.18
36.10yx
Cədvəl 1.8
ix in iy ii nyy 2)(
22,5 3 10,3 131,5
27,5 13 13,3 170,4
32,5 21 17,8 16,6
37,5 11 20,3 125,7
42,5 2 23,0 73,9
92.16y 8.517
Korrelyasiya münasibətinin qiyməti korrelyasiya əmsalının qiymətinə r=0,74 yaxın olduğu üçün
əvvəlcə aldığımız x və y dəyişənləri arasındakı xətti asılılığın özünü doğrultduğunu görərik.
Tapşırıqlar
1. Cədvəl 1.6-da verilmiş rəqəmlər əsasında x və y dəyişənləri arasındakı korrelyasiya
münasibətlərini hesablayın ( xy ) və yx kəmiyyəti ilə müqayisə edin.
2. Azərbaycanın cədvəl 1.7-də göstərilmiş iqtisadi göstəricilər arasındakı korrelyasiya
indeksini hesablayın.
60
1.14. Hipotezlərin qurulması və yoxlanılması: I və II tip səhvlər
1.14.1. Hipotezlərin yoxlanılması
Tutaq ki, nxxx ,...,, 21 təsadüfü seçimi edilmişdir və bu seçim F paylanmasna
malikdir. təsadüfi seçimin verilmiş parametridir ( ). parametrinin hər
hansı daha dar çoxluğa daxil olmasının fərz edilməsi parametrinə nəzərən 0H
hipotezi adlanır: H0: ,0 burada 0 . Alternativ 1H hipotezi isə ondan
ibarətdir ki, parametri başqa şoxluğa daxildir: H1: ,1 burada 01 \ .
nxxx ,...,, 21 seçməsindən asılı olan hər hansı bir s statistikasına (məsələn, xi-kvadrat,
t-statistikası, F-statistika) baxaq.
),...,,( 21 nxxxss
Hipotezin yoxlanması statistik meyar (statistik kriteriya) və ya statistik test
(rus.: статическим критерием, стратегическим тестом; ing.: statical test)
adlandırılır. 0H hipotezinin alternativ 1H hipotezinə qarşı yoxlanmasının məğzi
aşağıdakından ibarətdir: iki kəsişməyən 0S və 1S oblastları verilir və bu oblastların
birləşməsi 10 SS s statistikasının bütün qiymətləri oblastıdır. Əgər 0Ss , onda
0H sıfır hipotezləri qəbul edilir, əgər 1Ss olarsa, onda 0H hipotezi rədd edilir.
Adətən, ),( *
0 sS və ),( *
1 sS olur. Burada, s* - kritik sərhəddir. Belə
kriteriya birtərəfli (rus.: односторонний; ing.: one-sided, unilateral, one-way)
adlanır. Bu zaman kriteriya aşağıdakından ibarət olur:
əgər s < s*, onda H0 qəbul edilir,
əgər s > s*, onda H0 rədd edilir.
0S və 1S , o zaman seçilir ki, H0 doğru olsun və s S1 olması ehtimalı hər
hansı verilmiş kiçik α ehtimalına bərabər olsun. Bir qayda olaraq təcrübədə α=0.05
ehtimalı istifadə olunur (baxmayaraq ki, bu hər hansı nəzəri əsasa malik deyil).
61
Aydındır ki, hər hansı hipotezin qəbul edilməsi müəyyən ehtimalla olur ki,
bu da səhvlər yaradır. Hipotezlərin qəbul edilməsindən asılı olaraq səhvlərin də
təbiəti müxtəlif olur.
Əgər doğru sıfır hipotez rədd edilərsə, onda edilən səhv birinci tip səhv
(rus.: ошибка первого рода; ing.: error of first kind, alpha error, type I error)
adlanır. Birinci tip səhvin yaranma ehtimalı α – ya bərabərdir. Birinci tip səhvin
ehtimalı əhəmiyyətlilik səviyyəsi (rus.: уровень значимости; ing.: significance
level) adlanır. (1-α) ehtimalı etibarlılıq səviyyəsi (rus.: уровень доверия; ing.:
confidence level) adlanır.
Doğru olmayan sıfır hipotezin qəbul edilməsi ikinci tip səhv (rus.: ошибка
второго рода; ing.: beta error) adlanır. Ikinci tip səhvin ehtimalı β ilə işarə
olunur. (1-β) kəmiyyəti meyarın gücü (rus.: мощность критерия; ing.: power of
test) adlanır. Burada “güc” meyarın hansı sıviyyədə yaxşı işlədiyini xarakterizə
edir. Verilmiş α ehtimalında mümkün qədər böyük olmalıdır. Tələb olunur ki, ən
azı α < 1-β olsun. Bu şərti ödəməyən meyar sürüĢkən (rus.:смещенным; ing.:
bias, slippery) adlanır.
Hipotezin yoxlanılmasının alternativ üsulu kimi birinci tip səhvin ehtimalı
istifadə olunur. Əgər s*-un s-ə bərabər olması qəbul edilərsə s > s
* olmasının
ehtimalı tapılır. Bu ehtimal əhəmiyyətlilik səviyyəsi və ya P-qiymət (rus.: р-
значный; ing.: p-valent) adlanır.
Bunu pv ilə işarə edək. Verilmiş α ehtimalında meyar aşağıdakından ibarətdir.
əgər pv >α, onda H0 qəbul edilir.,
əgər pv < α, onda H0 rədd edilir.
Qeyd edək ki, əksər standart tətbiqi proqram paketlərində bu üsul istifadə
edilir. Hipotezlərin daha bir alternativ üsulu θ parametrinin etibarlılıq oblastına
əsaslanır (rus.: доверительная область; ing.: confidence bound, confidence belt,
confidence region). Tutaq ki, θ parametri üçün etibarlılıq oblastı D-dir. D-oblastı
62
elədir ki, 1-α ehtimalı ilə θD ödənilir. Fərz edək ki, H0: θ=θ0 hipotezi alternativ
H1: θ θ0 hipotezinə qarşı yoxlanılır və meyar aşağıdakından ibarətdir:
əgər θ0 D, onda H0 qəbul olunur,
əgər θ0 D, onda H0 rədd edilir.
Qeyd edək ki, bu zaman θ0 təsadüfi kəmiyyət deyil, burada təsadüfi kəmiyyət
bütövlükdə etibarlılıq oblastı D-dir.
Hipotezlərin yoxlanılması riyazi statistikada olduğu kimi, ekonometrikanın da
əsas məsələlərindəndir.
Tutaq ki, mRccxFxF ),,()( paylanma funksiyasına malik təsadüfi x
kəmiyyətinin Anakütlədəki n21 x,...,x,x təsadüfi seçməsidir və c parametrinə nəzərən
iki hipotez irəli sürülür. H0 və H1 hipotezləri.
0:0 cH və 0:1 cH və ya 0:1 cH
H0 hipotezi əsas və ya sıfır hipotezi, H1 hipotezi isə birtərəfli alternativ
hipotez adlanır. Əgər H1 hipotezi aşkar şəkildə deyil 0c kimi göstərilərsə, onda
bu H1 ikitərəfli alternativ hipotez adlanır.
n21 x,...,x,x müşahidələrinə əsaslanan müəyyən prosedura ilə hipotezlərin
yoxlanması yuxarıda qeyd edildiyi kimi statistik test və ya sadəcə test adlandırılır.
Testin nəticəsində aşağıdakı iki mümkün nəticə alınır.
1) H0 sıfır hipotezi rədd edilmir (yəni, H0 hipotezi qəbul edilir).
2) H0 sıfır hipotezi alternativ H1 hipotezinin xeyrinə rədd edilir (yəni, H1
hipotezi qəbul edilir).
Test təsadüfi n21 x,...,x,x seçməsi üçün istifadə edildiyindən təbii ki, birinci və
ya ikinci tip səhv edilə də bilər. (birinci tip səhv: sıfır hipotezi doğrudur, lakin o
rədd edilir; ikinci tip səhv: alternativ hipotez doğru olur, ancaq sıfır hipotezi qəbul
edilir).
Məsələn, H0 sıfır hipotezi: “tələbə imtahana hazır deyil”, H1 alternativ
hipotezi: “tələbə imtahana hazırdır” kimi fərziyyə irəli sürülərsə, onda birinci tip
63
səhv o zaman baş verir ki, tələbə imtahana hazır olmadığı halda müəllim
imtahandan tələbəyə müsbət qiymət yazır. İkinci tip səhv isə o zaman baş verir ki,
alternativ hipotez, yəni tələbə imtahana hazır ola-ola müəllim tələbənin imtahana
hazır olmamağını hesab edərək “qeyri-kafi” qiymət yazır. Başqa bir nümunə: Əgər
sıfır hipotezi kimi məhkəmədə «təqsirləndirilən şəxs günahkar deyil», alternativ
hipotez kimi isə «təqsirləndirilən şəxs günahkardır» qəbul etsək. Onda müttəhim
günahkar olmadığı halda onun günahkar olduğu barədə məhkəmə hökm çıxarsa,
onda birinci tip səhv baş verir. Əgər məhkəmə müttəhim günahkar olduğu halda
ona bəraət verərsə, onda buraxılan səhv ikinci tip səhv olur.
1.14.2. Sıfır hipotezin qurulması
Tutaq ki, hipotezin qurulması eksperimenti qabaqlayır. Yəni bizə artıq hansısa
hipotetik əlaqə və ya asılılıq məlumdur. Məsələn, Keyns iqtisadi nəzəriyyəsindən
məlumdur ki, pula tələb üç transaksion, ehtiyatlaşma və spekulyativ motiv
əsasında formalaşır. Transaksion motiv dedikdə xərc əməliyyatlarının ödənilməsi
nəzərdə tutulur. İnsanlar əmtəə və xidmətlər bazarından gündəlik ehtiyaclarını
ödəmək üçün aldıqları məhsullara görə pul ödəmələri olurlar ki, bu da pula tələb
yaradır. Ehtiyatlaşma motivi dedikdə insanların əvvəlcədən nəzərdə tutulmadıqları
işlərə görə pulun lazım olması nəzərdə tutulur. Ona görə də əvvəlcədən nəzərdə
tutulmayan iş üçün müəyyən miqdar ehtiyatda pul saxlayırlar. Bu isə pula tələbin
həcmini artırmış olur. Spekulyativ motiv dedikdə puldan pul qazanmaq nəzərdə
tutulur. Bu məqsədilə insanlar pula tələb yaradırlar. Məsələn, qiymətli kağızlar
bazarından səhm və istiqraz alıb sonradan onu satmaqla pul qazanmağı pula tələbin
spekulyativ motivinə nümunə göstərmək olar. Belə ki, həmin pul vasitəsilə insanlar
əmtəə və xidmətlərin alınması və ehtiyatda saxlanması üçün deyil, qiymətli
kağızlar alınmasına sərf edirlər. Sonra isə onu sataraq daha çox pul qazanırlar.
Belə hesab edə bilərik ki, maliyyə bazarı Azərbaycanda tam formalaşmadığı
və əhalinin həyat səviyyəsi yuxarı olmadığı üçün insanlar əsasən pula tələbi
gündəlik əmtəə və xidmətlərin alınması üçün yaradırlar. Ona görə də ümumi pula
tələb (M) yaradılan əmtəə və xidmətlərin dəyərini (ÜDM) ödəmək üçün, yəni
transaksion motiv əsasında yaranır. Başqa sözlə ölkədə pula tələb səviyyəsi faiz
64
stavkası və digər amillərdən deyil, əsasən ümumi daxili məhsulun (Y) həcmindən
asılıdır.
M = β1 + β2Y + u
burada, β1 və β2 parametrlərdir, u isə təsadüfi həddir.
Ümumi pula tələbin həcmi (daxil edilən təsadüfi kəmiyyətin effektini nəzərə
almadan) ÜDM-in həcmindən yaranan (transaksion motivə görə) pula tələbin
həcmi ilə üst-üstə düşür. Bu şərt daxilində sıfır hipotezi (H0 ilə işarə olunur) belə
ifadə edə bilərik: β2 əmsalı vahidə bərabərdir (β2=0). Həmçinin alternativ hipotez
də qura bilərik (H1 ilə işarə olunur): Əgər eksperimental yoxlamalar H0 hipotezinin
doğru olmadığını üzə çıxararsa, onda iqtisadiyyatda ümumi pula tələbin həcmi
təkcə transaksion motivlə deyil, digər motivlər əsasında da formalaşır. Yəni, β2 ≠1
Yuxarıda qəbul olunan hipotezi aşağıdakı kimi işarələmələrlə yaza bilərik:
H0 : β2 =1 (Sıfır hipotez)
H1 : β2 ≠1 (Alternativ hipotez)
Əgər biz doğrudan da hesab edirik ki, ümumi pula tələbin həcmi, ancaq
transaksion motiv əsasında yaranır, onda sıfır hipotezin (H0) doğru olmasına
çalışmalıyıq.
Praktikada sıfır hipotezi elə qurulur ki, onu doğru hesab edilən alternativ
hipotezin köməyilə yoxlamaq mümkün olsun. Məsələn, istehlakın həcmi (C),
gəlirin həcmindən (Y) xətti asılıdır:
C = β1 + β2Y + u
Burada biz sıfır hipotez kimi istehlakın həcminin gəlirdən asılı olmadığını
qəbul etsək (daha doğrusu β2= 0), onda əks proseduradan istifadə edə bilərik.
Alternativ hipotez ondan ibarət olur ki, β2 sıfra bərabər deyil, yəni gəlir səviyyəsi
istehlak səviyyəsinə təsir edir. Əgər biz sıfır hipotezi rədd etsək, onda istehlakın
gəlirdən asılı olduğu müəyyən olunur. Yuxarıda qəbul olunan işarələmələrdən
istifadə etsək sıfır və alternativ hipotezi riyazi şəkildə aşağıdakı kimi yaza bilərik:
H0 : β2 = 0
H1 : β2 ≠ 0
İndi isə cüt reqresiya modelinin təhlilinə baxaq.
65
yi = β1 + β2 xi + ui
Burada, sıfır hipotezinin yoxlanılmasına, β1 sabit əmsalın və β2 meyllilik əmsalının
əhəmiyyətliliyinin yoxlanılması proseduru kimi baxılır. Ümumi hala baxsaq, yəni
sıfır hipotez kimi β2-nin hansısa bir konkret qiymətə bərabər olduğunu qəbul edək:
0
221
0
220 :;: HH
Biz məqsədimizdən asılı olaraq sıfır hipotezin qəbul edilməsi və ya rədd
edilməsi üçün cəhdlər edə bilərik. Ancaq, bu zaman yaddan çıxarmaq lazım deyil
ki, əvvəldən hesab olunur ki, Qauss-Markov şərtləri ödənilir.
Əgər H0 hipotezi doğrudursa, onda reqresiya təhlili vasitəsilə tapılan b2
qiyməti 0
2 riyazi gözləməsi və )var(
2
xn
u dispersiya ilə normal paylanmaya
malikdir. Belə fərziyyə qəbul edək ki, qalıq (u) həddi normal paylanmaya malikdir.
Əgər bu belədirsə, onda b2 kəmiyyəti də normal paylanmaya malikdir. (bax: şəkil
1.10)
b2 qiymətlənməsi üçün standart kənarlaşma (s.k) aşağıdakı kimi hesablanır:
)var().(
2
2 xnks u
b
Əgər sıfır hipotez doğrudursa ( 0
220 : H ), onda normal qanunun
strukturunu nəzərə alsaq görərik ki, b2 parametrinin qiymətləndirilməsindən alınan
əksər qiymətlər 0
2 -dan iki standart kənarlaşma sərhəddində yerləşir.
66
2b - nin ehtimal sıxlıq
funksiyası
0 s.k*20
2 ..ks0
2 0
2b s.k*20
2 ..ks0
2 2b
Şəkil 1.10. b2 qiymətlənməsi üçün normal paylanmanın strukturu (standart səhv (kənarlaşma)
(s.k) və riyazi gözləmə ( 0
2 ) ilə işarə olunmuşdur).
1.15. Statistik paylanmalar
1.15.1. Normal paylanma
Normal paylanma (t.türkcə: Normal Dağılım; rus.: Нормальное
распределение; ing.: Normal Distribution) məşhur kəsilməz paylanmadır.
Təsadüfi kəmiyyətin paylanmasının ən mühüm tipidir. Dəqiq desək çoxlu sayda
bir- birindən ancaq miqyasa və sürüşməyə görə fərqlənən normal paylanan tam ailə
mövcüddur. Riyazi gözləməsi μ və dispersiyası σ 2
olan normal paylanma ),( 2N
kimi işarə edilir. Standart normal paylanma dedildə riyazi gözləməsi sıfır və
dispersiyası olan birə bərabər olan normal paylanma başa düşülür və ),( 10N kimi
yazılır.
67
Birölçülü halda x-təsadüfü kəmiyyətinin normal paylanmasının sıxlıq
funksiyası aşağıdakı kimidir11
:
2
2
2
2
1
)(
)(
x
exf
Standart normal paylanmasının sıxlıq funksiyası aşağıdakı kimidir:
,
burada, e –natural ədddir: 3.142.72;e xpe .
Təsadüfi kəmiyyətə bir-birindən asılı olmayan çoxlu sayda toplananın cəmi kimi
baxmaq olar. Bu toplananların hər birinin ölçüsü bütün cəmlə müqayisədə az
fərqlənir. Ühtimal nəzəriyyəsinin “Mərkəzi limit teoremi”nə əsasən gözləmək olar
ki, hər bir toplanan təsadüfü kəmiyyətin paylanması normal paylanmadan az
fərqlənir. Bu normal paylanmanın aparıcı paylanma olmasını izah edir. Demək olar
ki, əksər praktiki, o cümlədən iqtisadi məsələlərdə göstəricilərin normal
paylanması tələb olunur.
İnteqral ehimalın paylanması funksiyası adətən erf(x) xüsusu funksiyaı ilə
ifadə edilir:
Birölçülü normal paylanmanın sıxlıq funksiyasının, habelə ehtimal
paylanması funksiyasının qiymətləri hesablanaraq cədvəl şəkilinə salınmışdır. Bu
cədvəllər ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistikaya aid əksər kitablarda vardır.
11
Математика и кибернетика в экономике, Словарь-Спровочник, М.:Экономика,1975, ст.383-385
68
Normal paylanma ilə əlaqəli bir sıra paylanma vardır. Məsələn, bir ölçülü
normal paylanma ilə 2 -paylanma və t-paylanma əlaqəlidir.
1.15.2. 2 (xi-kvadratı) paylanması
k sərbəstlik dərəcəsi ilə xi-kvadratı paylanması (t.türkcə:Ki-Kare Dağılım;
rus.: Распределение хи-квадрат; ing Chi-Square Distribution) – sıfr riyazi
gözləmə və birə bərabər dispersiyası (və ya birə bərabər standart səhvi) olan k
sayda təsadüfü kəmiyyətin kvadratları cəmidir. Bu paylanma normal paylanmaya
yaxındır.
Bu paylanma standart normal paylanmış təsadüfü kəmiyyətlərin kvadratlarının
cəmidir.
Tutaq ki, kXXX ,...,, 21-birgə asılı olmayan standart normal təsafüfü
kəmiyyətlərdir, onda,
22
2
2
1 kXXXY ...
təsadüfü kəmiyyəti k sərbəstlik dərəcəsi ilə xi-kvadrat paylanmasına malikdir.
xi-kvadratı paylanmasından adətən statistik hipotezlərin yoxlanmasında geniş
istifadə olunur. Bu paylanma ilə əlaqədar olan razılıq kriteriyası (критерий
согласия) məşhurdur ki bu statistika xi-kvadratı paylanmasına malikdir. Həmcinin
bu paylanmadan seçmələrin dispersiyalarının qiymətləndirilməsi zamanı da istifadə
edilir.
xi-kvadratı paylanmasından ehtimal sıxlıq funksiyası aşağıdakı kimidir:
İnteqral sıxlıq funksiyası isə aşağıdakı kimidir:
Burada, (.)Г -qanma- funksiya, (.,.) isə tam olmayan qamma- funksiyadır.
69
Qamma-funksiya həqiqi ədəd halında faktorialın ümumiləşməsidir. x=0
noqtəsində və ya x-ın mənfi tam qiymətlərində qamma-funksiya polyosa(полюса)
malik olur. Müsbət həqiqi x və ya mənfi tam olmayan x üçün qamma-funksiya
aşağıdakı düsturla müəyyən olunur:
Arqumentin müsbərt tamqiymətli qiymətlərində aşağıdakı düstur doğru olur:
Γ(k)=(k-1)!
Qeyd etmək lazımdır ki, yuxarıda göstərdiyimiz fdüsturlar kompleks
arqumentlər üçün də təıtbiq edilə bilər. Lakin, kompleks arqumentlər üçün qamm-
funksiya nadir hallarda istifadə olunur.
Tam olmayan qamma- funksiya aĢağıdakı kimi müəyyən olunur:
Bu düsturlar aşağı tam olmayan qamma-funksiyanı və yuxarı tam olmayan
qamma-funksiyanı verir( hansı inteqrallaşdırma sərhədinin -aşağı yoxsa yuxarı
qeyd olunmasından asılı olaraq).
Bu fuksiyalarla requlyarlaşdırma funksiyaları adlandırılan qamma-
funksiyaları sıx əlaqəlidir:
1.15.3. Styudentin t-paylamması
t- paylanma təkcə normal paylanma ilə deyil 2 -paylanma ilə də əlaqəlidir.
70
Başqa sözlə, təsadüfü
21
k
Zt ,
kəmiyyətinin paylanmasına Styudent t-paylanması(rus.: t-распределение
Стьюдента; ing.: t-distribution Student's) deyilir. Styudentin t- paylamması bir
parametrli (həmin bu parametr sərbəstlik dərəcəsinin sayını göstərir) təsadüfi
kəmiyyətin kəsilməz birölçülü paylanmasıdır. Burada, Z - müşahidə olunan
təsadüfü kəmiyyətdir və standart normal paylanan (yəni, riyazi gözləməsi sıfır,
dispersiyası birə bərabər olan təsadüfü kəmiyyətdir: N(0; 1)); 2 - isə Z -dən
asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətdir, və k sərbəstlik dərəcəsi ilə xi-kvadratı
paylanmasına malikdir.
Styudent paylanmasının ehtimal sıxlıq funksiyası aşağıdakı kimidir:
2
12
1
2
2
1
k
n
x
kk
k
x
,
burada,
0
1 dttey yt - Eylerin Qamma funksiyasıdır (tam müsbət qiymətlər
üçün !1 nn ).
t-paylanmaya malik təsadüfü kəmiyyətin onun əyrisindən çıxır ki, riyazi gözləmə
sıfra bərabərdir, dispersiyası isə k/(k-2) ədədinə bərabərdir. Yəni, 0 )(tEtM ,
2
k
kttD )var( .
Styudent paylammasının şəkili normal paylanmanın şəkilinə oxşayır.
Aşağıdakı şəkildə standart normal və t-paylanmanın sıxlıq funksiyalarının qrafiki
təsviri verilmişdir. Sərbəstlik dərəcəsinin sayı artdıqca normal paylanmaya daha
yaxın olur. Fərq ondadır ki, Styudent paylammasında quyruq normal paylanmaya
nəzərən daha az sürətlə sıfıra yaxınlaşır. (şəkil NT).
71
Şəkil NT. Standart normal paylanmanın sıxlığına (N0 ,1) nəzərən Styudent
paylanmasının sıxlığının (Tk) müqayisəsi.
Şəkil NT-dan göründüyü kimi sınaqların sayı k olduqda t-paylanma
normala yaxınlaşır. Praktiki olaraq müəyyən edilmişdir ki, k > 30 olduqda
t-paylanmanı təxmini olaraq normal paylanma hesab etmək olar. Qeyd
edək ki, k-ın kiçik qiymətlərində Styudent paylanması normal paylanmadan
kifayyət qədər fərqlənir.
Tutaq ki, x1,...,xn normal paylanan x-təsadüfü kəmiyyətinə uyğun seçmədir.
Onda, ns
xEx
/
)(_
təsadüfü kəmiyyəti (n-1) sərbəstlik dərəcəsi ilə Styudent
paylanmasına və ya t-paylanmaya malikdir; 2
12
1)(
_
xxn
k
k
təsadüfü kəmiyyəti isə
(n-1) sərbəstlik dərəcəli 2 -paylanmasına malik olur. Burada, 2s -təsadüfü x
kəmiyyətinin seçmə dispersiyasıdır, _
x -isə seçmədəki orta qiymətdir. Bu
kəmiyyətlər aşağıdakı kimi hesablanır:
1
2
12
n
xx
s
n
k
k )(_
; n
x
x
n
k
k 1
_
Qeyd edək ki, təsadüfü kəmiyyətin seçmə üzrə statitik xarakteristikalarının
hesablanması zamanı, məsələn orta kvadratik kənarlaşmanı ( xs ),
72
2
1
1)(
_
xxn
sn
k
kx
, (burada, xk- təsadüfü x kəmiyyətinin seçmədə aldığı k-cı
qiymətini göstərir. k=1,2,...,n; n-seçmədəki müşahidələrin sayıdır, başqa sözlə x-
kəmiyyətinin qiymətlərinin sayıdır.).
düsturu ilə hesabladıqda, anakütlədəki müvafiq standart səhvin həqiqi qiymətindən
müəyyən meyl yaranır. Belə ki, bu zaman sistematik olaraq, uyğun parametrin
anakütlədəki dispersiyasını azaldır12
. Ona görə də 2
xs kəmiyyətini vahiddən böyük
1n
n əmsalına vurulur və dispersiyanın meylsiz qiyməti yaranır. Statistik qiymətin
nəzəri cədvəlində (anakütlədəki paylanma müvafiq) seçmədəli müşahidələrin
sayından deyil, sərbəstlik dərəcəsibdən istifadə edilir. Sərbəstlik dərəcəsi
seçmədəki müşahidələrin sayından, qiymətləndirilən göstəricinin tabe olduğu
əlaqənin sayını çıxmaqla alınır. Məsələn, Styudent paylanması cədvəlindən
müşahidələrin sayı n olan kiçik seçmədəki orta qiymət üçün istifadə etdikdə
sərbəstlik dərəcəsi n-1 olur. Çünki, seçmədəki orta qiyməti hesabladıqda bu
kəmiyyət seçmədəki hədlərin cəmi ilə əlaqəli olur.
Qeyd edək ki, Bu paylanma13
XIX əsrin əvvəllərində Böyük Britaniyada
Qinnesin pivə zavodunda pivənin keyfiyyətinin yoxlanmasını həyata keçirən
Uilyam Hossen tərəfindən yaradılmışdır. Zavodun rəhbərliyi qarşısında
kommersiya sirrinin yayılmamağı öhdəliyinin olması ilə əlaqədar olaraq Hossen öz
məqaləsini “Biometrika” jurnalında “Student” (Tələbə) ləqəbi ilə dərc etdirmişdir.
O zamandan etibarən bu paylanma Styudentin t-paylanması kimi elmə daxil
olmuşdur.
1.15.4. F-paylanma
12
Математика и кибернетика в экономике, Словарь-Спровочник, М.:Экономика,1975, ст.255 13
Styudentin t-paylanması bir statistikadır. Bu statistikadan seçmədəki orta qiymətin və ya dispersiyanın
qiymətləndirilməsində meyar (kriteriya) kimi istifadə etdikdə t-kriteriya və ya t-test adlandırılır.
73
Əyər bizdə iki təsadüfü Y1 və Y2 kəmiyyətləri olarsa və onlar müvafiq
olaraq a və b sərbəstlik dərəcələri ilə xi-kvadratı paylanmasına malikdirlərsə onda
onların nisbətinin
paylanması mövcuddur. Bu a və b sərbəstlik dərəcəsi ilə F-paylanmma (t.türkcə:
F- Dağılım; rus.: F- распределение; ing.: F-Distribution) adlanır. Həmçinin bu
paylanma FiĢer paylanması adı ilə də məşhurdur. Buradan göründüyü kimi F-
paylanma t-paylanmadan fərqli olaraq iki parametrə (a və b) malikdir. Hər hansı a
və b üçün F-paylanmanın ehtimal sıxlıq funksiyasının şəkildə təsvir olunmuş
qrafikindən görmək olar ki parametrlərin (a və b sərbəstlik dərəcələrinin) artması
ilə F-paylanma Normal paylanmaya yaxınlaşır.
Ehtimal sıxlıq funksiyasının analtik şəkili
aşağıdakı kimidir:
F-paylanmanın inteqral sıxlıq funksiyası
aşağıdakı kimidir:
Burada, B(.,.) –Beta-funksiya, I(.) requlyarlaşdırılan tam olmayan Beta
funksiyadır.
Beta-funksiya aşağıdakı kimi təyin edilir:
74
Beta-funksiyanı qamma-funksiya ilə ifadə edən digər bir düsturda mövcuddur:
Tam olmayan Beta –funksiya aşağıdakı kimi təyin edilir:
. Bu funksiya ilə requlyarlaşdırılan Tam olmayan Beta –funksiya ilə sıx
əlaqəlidir.
Tam olmayan Beta –funksiya ya statistikada tez-tez rast gəlinir. Məsələn, binomial
paylanma, F-paylanma və Styudentin t-paylanması bu funksiya ilə ifadə olunur.
1.16. Statistik testlərlə hipotezlərin yoxlanması
Statistik verilənlərin təhlili zamanı hər hansı fikrin söylənməsi üçün daha sadə
ifadə olunan hipotezlərdən istifadə olunur. Məsələn, iki seçmənin ortasını
müqayisə etmək üçün seçmə ortalar arasındakı fərqə təsadüfi kəmiyyət kimi
baxılır. Başqa sözlə, sıfır hipotez iki seçmənin ortaları arasındakı fərqin sıfır olması
kimi qəbul olunur. Əgər iki seçmənin ortaları arasındakı fərq uyğun qəbul edilən
əhəmiyyətlilik səviyyəsindəki inamlı sərhəddi keçərsə onda sıfır hipotezi rədd
edilir. Bu zaman sıfır hipotezin rədd edilməsi, iki seçmənin ortalarının üst-üstə
düşməməyini, başqa sözlə fərqli olmasını göstərir.
1.16.1. xi-kvadratı testi
75
Biz sıra məsələlərində müşahidə olunan paylanmaların tezliklərinin nəzəri
tezliklə müqayisəsi zamanı xi-kvadrat ( 2 –meyar və ya test) tətbiq olunur. Bu
meyara görə mövcud tezliklə nəzəri tezlik arasındakı fərq hesablanır, bu fərqin
kvadratı nəzəri tezliyə bölünür və alınmış münasibət cəmlənir14
. Əgər alınmış
qiymət 2 -nın kritik qiymətindən (qəbul edilən əhəmiyyətlilik səviyyəsində)
böyükdürsə, onda mövcud tezliyin paylanmasının, təklif edilən nəzəri paylanmaya
malik olması hipotezi rədd edilir.
2 meyarının tətbiqinin sadə nümunəsinə 2x2 əlamətili qoşma cədvəli göstərə
bilərik. Bu zaman verilən müşahidə olunan tezliklərlə (Cədvəl 1) nəzəri tezlik
müqayisə edilir (Cədvəl 2).
Cədvəl 1.
Müşahidə olunan tezliklər.
Əlamət
Qruplar
Mövcud oyrənilən
əlamət
İştirak etməyən
Öyrənilən əlamət
Cəmi
1-ci qrup
2-ci qrup
k1
k2
m1
m2
n1
n2
Cəmi k m n
Cədvəl 2.
Nəzəri tezliklər.
Əlamət
Qrup
Mövcud oyrənilən
əlamət
İştirak etməyən
Öyrənilən əlamət
Cəmi
1-ci qrup
2-ci qrup
kp
kq
mp
mq
n1
n2
Cəmi k m n
14
Кремер Н.Ш., Теория вероятности и математическая статистика, М., 2006-573с., стр. 362-363.
76
Burada,
p = n
ni və q = n
ni ; q+p = 1, n1 + n2 = n
q
q
p
p
q
q
p
p
m
mm
m
mm
k
kk
k
kk 2
2
2
1
2
2
2
12)()()()(
2 – meyarını tətbiq etmək üçün kifayət qədər müşahidə olmalıdır. Bir sıra
müəlliflər hesab edirlər ki, nəzəri ədəddən ( Cədvəlin bir xanasında) 10-dan az
olmamalıdır. Kiçik həcmdə seçmədə ( 28n ) xüsusi hiperheometrik cədvəldən
istifadə edilir15
.
Bunlar verilən empirik cədvəlin nəzəriyyədən kənarlaşması ehtimalını
göstərir. Əgər tapılan ehtimal kiçik olarsa, onda bu onu göstərir ki, empirik
cədvəldəki xanalardakı tezliklərin paylanması təsadüfi deyil və müəyyən səbəblə
izah olunur (sifir hipotez rədd edilir).
Hipotezlərin statistik yoxlanılmasının sonrakı çətinlikləri doğru hipotezin səhv
edilməsidir. Bu hipotezin səhv olması mümkünlüyü ilə bağlıdır. Bu zaman
meyarın gücü (rus.: мощность критерия; ing.: power of test) anlayışından
istifadə edilir. Bu meyar doğru olmayan hipotezin doğru olduğu, və doğru olan
hipotezin isə rədd edilməsi ehtimalını göstərir.
1.16.1.1. Bir neçə məcmuda əlamətlərin payının müqayisəsi.
Tutaq ki, baĢ heyətdəki payları P1, P2, ... PL olan L sayda məcmu vardır. Baş
heyətdəki payların bir-birinə barabərliyinin yoxlanılması lazımdır. Daha doğrusu,
H0 : P1= P2 = ... PL = P
və ya
15
Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики, M., 1968
77
H0 : Pi = P (i = 1,2 .... L)
Bu toplularda H0 hipotezinin yoxlanılması üçün kifayət qədər həcmdə n1, n2, ... nL
sayda L-dən asılı olmayan seçmə aparılır.
Əlamətin seçmə payı uyğun olaraq 1
11
n
m ,
2
22
n
m , . . . . . .
L
L
n
m1
bərabərdir.
Burada, mi i-ci seçmədəki verilən əlamətə malik olan elementlərin sayıdır. (i = 1,2
... L)
Hesab etmək olar ki, H0 hipotezinin doğruluğu,
L
i
ii PnPP 1
22 )ˆ()ˆ1(ˆ
1 (1)
statistikasının (L-1) sərbəstlik dərəcəsinə malik 2 statistikası ilə paylanıb.
(1)-ə daxil olan P
-nin məlum olmayan qiyməti P-nin ən yaxşı
qiymətləndirilməsi qəbul olunur. P
-nin qiyməti kimi əgər bütün L seçməni bir yerə
qarışdırdıqda əlamətin seçmə payına bərabər olan ən yaxşı qiyməti qəbul olunur.
L
i
i
L
i
i
n
m
P
1
1
H0 hipotezini yoxlamaq üçün adətən sağ tərəfli kritik oblast götürülür. H0
hipotezi əgər 2
1;
2
L olduqda rədd edilir. Burada, 2
1; L (L-1) sərbəstlik dərəcəsi
ilə α əhəmiyyətlilik səviyyəsindəki 2 - nın kritik qiymətidir.
Nümunə: Treyniq keçirilən mühasiblərə treyninq materiallarının mənimsənilməsinin 2 -
testi ilə əhəmiyyətliliyin yoxlanması.
78
Tutaq ki, fəaliyyət növü kimi sənaye, ticarət, kənd təsərüfatı sahəsində qeydiyyatdan
keçərək fəaliyyətə başlayan vergi ödəyiciləri (müəssisələrin) mühasiblərinin vergi
bəyannaməsini doldurma qaydaları üzrə treyninq keçdikdən sonra birinci dəfə vergi
bəyannaməsini doldurmuşlar.
1-ci qrup sənaye sahəsində 105 suala cavab verilməli, hansı ki, onlardan 60 düzgün cavab
verilib. 2-ci qrup ticarət sahəsində 140 sual verilib, onlardan 69-na düzgün cavab verilib, 3-cü
qrup tikinti sahəsində 125 sual verilib, onlardan 63-ü düzgün cavablandırılmışdır, 4 cü qrup kənd
təsərüfatı sahəsində 160 sual verilib, onlardan da 105-nə düzgün cavab verilmişdir.
Tələb olunur ki, 0.05 əhəmiyyətlilik səviyyəsində dörd qrupda treyninq materiallarının
mənimsənilməsi arasındakı fərqlərin əhəmiyyətli olub-olmaması müəyyənləşdirilsin.
Həlli: əvvəlcə işarəmələri qəbul edək.
1-ci qrup m1=60, n1=105
2-ci qrup m2=69, n2 =140
3-ci qrup m3=63, n3=125
4-ci qrup m4=105, n4=160
Hər bir qrupda düzgün cavab verilən suallar baş heyətdəkinə uyğun olaraq paylanmanı P1,
P2, P3, P4 ilə işarə edək.
Aşağıdakı sıfır hipotezini irəli sürək:
H0: P1= P2= P3= P4=P,
Daha dogrusu, bütün qruplardakı düzğün cavab verilən sualların payı bir-birinə bərabərdir.
Alternativ hipotez kimi,
H0: P1 P2= P3 P4
götürək.
H0 hipotezinin doğru olduğu zaman P-nin ən yaxşı qiyməti kimi əlamətin (bütün nümunədə
düzgün cavab verilən suallrın sayı) seçmə payına bərabər olması götürülüb P
qəbul edilir.
Əgər 4 seçməni bir yerə qarışdırsaq, daha doğrusu
4321
4321
nnnn
mmmmP
olar. Onda,
553.0160125140105
105636560
P
Qruplar üzrə seçmə payları uyğun olaraq 1 , 2 , 3 , 4 ilə işarə edək. Onda hər bir qrup
üçün düzgün cavabların payları,
571.0105
60
2
11
n
m , ,493.0
140
69
2
22
n
m ,504.0
125
633 ,656.0
160
1054
2 -meyarı üzrə statistika
87.9))553.0656.0(*160
)553.0504.0(*125)553.0499.0(*140)553.0571.0(105(*)553.01(553.0
1
2
2222
kimidir.
79
Cədvəldən, α=0.05 əhəmiyyətlilik səviyyəsində L-1=4-1=3 sərbəstlik
dərəcəsində 82.73;05.02 kimidir. Beləliklə, 2
> 3;05.02 olduğu üçün H0 hipotezi rədd edilir.
Yəni, α = 0.05 əhəmiyyətlilik səviyyəsində 4 qrupda treyninq materiallarının mənimsənilməsi
fərqlənir.
1.16.2. t-test.
Tutaq ki, X1 , ..., Xn - riyazi gözləməsi (orta qiyməti) və dispersiyası 2
olan normal qanunla paylanan kəmiyyətdir16
. Onda biz və 2 parametrləri üçün
aşağıdakı qiymətləndirməni ala bilərik:
)...(_
nXXXn
21
1
n
i
in Xn
XXXn 1
222
2
2
1
2
1
1
1
1)())(...)()((
_____
Burada, _
kəmiyyəti X dəyişənin seçmə orta qiyməti (riyazi gözləmə), və _
2 isə
X-in seçmə dispersiyasıdır. - kəmiyyəti X dəyişəninin həqiqi standart səhvidir
(kənarlaşması) və dispersiyanın kvadrat kökünə bərabərdir:
= 2 = )var( X .
_2 =nin hesablama düsturu göstərir ki, X dəyişəninin seçmədəki dispersiyası
(_
2 ) seçmənin təsadüfü tərkibindəki saydan asılıdır. Bu tərkib seçmədən seçməyə
dəyişdikcə _
2 qiymətlənməsinin kəmiyyəti də dəyişir. Bu zaman hesablanan
seçmə orta qiymət dəqiq olaraq – yə bərabər olmur, ancaq bu kəmiyyət ətrafında
olur. Həqiqi orta ilə seçməyə görə hesablanan orta arasındakı fərqin miqyas verən
əmsala bölünməsindən alınan kəmiyyət n sərbəstlik dərəcəli Styudent paylanması
adlanır:
16
X dəyişəninin riyazi gözləməsi adətən rus ədəbiyyatlarında M(X), qərb ədəbiyyatlarında E(X) kimi, dispersiyası
isə rus ədəbiyyatlarında D(X), qərb ədəbiyyatlarında isə var(X) kimi işarə edilir. =E(X)=Μ(X) ; σ 2 =
var(X)=D(X)
80
n
t
/_
_
Burada, _
- qiyməti seçmədəki standart kənarlaşmadır və seçmə standart
kənarlaşmanın kvadrat köküdür. Sərbəstlik dərəcəsi (n) seçməyə daxil edilən
dəyişənin müşahidə olunan təsadüfü qiymətlərinin sayıdır.
Styudent paylanması daha çox normal paylanmaya malik olan iki seçmənin
orta qiymətlərinin yoxlanmasında və inamlı intervalların qurulmasında tətbiq
edilir. Lakin, bu paylanmadan digər məqsədlər üçün də məsələn, dispersiyaların
əhəmiyyətliliyinin qiymətləndirilməsində istifadə edilir. Həmçinin digər
paylanmalardan fərqli olaraq t-paylanma ilə daha kiçik ölçülü seçmədə etibarlı
qiymətləndirmə mümkün ola bilər.
Əyər, göstəricinin orta kəmiyyətin həqiqi qiyməti məlum olmazsa, onda bu
zaman seçmə üzrə hesablanmış orta qiymət sıfır ilə müqayisəsi qiymətləndirilir. Bu
zaman t-test aşağıdakı kimi olur:
_
_
t
Bu nisbət nə qədər böyük ədədə bərabər olarsa, başqa sözlə
qiymətləndirilmiş parametrin standart səhvi (kənarlaşması) parametrin qiymətinə
nəzərən kiçik olarsa, onda parametrin seçmə üzrə hesablanmış qiyməti bir o qədər
həqiqətə yaxın olma ehtimalı da artır. Məsələn, praktiki iqtisadi məsələlərdə
adətən, standart səhvin qiyməti parametrin qiymətinin 40 faizindən az olduqda (t-
nin qiymətinin təxminən 2,6-dan böyük olması) qiymətləndirmə bir qayda olaraq
95 faiz əhəmiyyətli olu. Qiymətləndirmənin daha dəqiq əhəmiyyətlilik ehtimalı və
inamlı intervalı seçmədəki müşahidələrin (və ya sınaqların) sayı və sərbəstlik
81
dərəcəsindən asılı olaraq t-paylanmanın statistik cədvəlindən t-nin kritik qiymətinə
görə müəyyən edilir17
.
Statistik qiymət təsadüfü kəmiyyət olub paylanma funksiyasına malik olur.
seçmə orta seçmənin kifayyət qədər böyük həcmində əksər hallarda normal
paylanmaya malik olur. Bu normal paylanmanın dispersiyası təxminən 1
2
n
sx -ə
bərabər olur. Normal paylanmaya malik məcmudan götürülmüş 2-dən 20-ə qədər
kiçik seçmədə dispersiya məlum olmadıqda Styudentin t-paylanmasından istifadə
edilir.
Statistik müşahidələrlə qiymətləndirilmiş parametrlərin anakütlədəki həqiqi
qiyməti ilə müqayisəsimüəyyən statistik kriteriya ilə və ya testlə həyata keçirilir.
Bu zaman tədqiqatçının əvvəlcədən böyük olmayan səhv etmə ehtimalıqəbul
edilir. Bu ehtimal əhəmiyyətlilik səviyyəsi (уровнем значимости) adlanır.
Məsələn, =0.01 olduqda, tədqiqatçının öz düşüncəsində səhv etmə ehtimalının,
riskinin 100 haldan birində doğru olanı rədd etməsidir. Tədqiq edilən məsələnin
vacibloyindən aslı olaraq əhəmiyyətlilik səviyyəsini0.001-ə qədər və ondan da
yuxarı artırmaq olar. (1- ) ədədi isə inam əmsalı (коэффицент доверия) adlanır.
Əhəmiyyətlilik səviyyəsinə uyğun olaraq inamlı interval (доверителная граница)
müəyyən iolunur.
Beləliklə, iqtisadi göstəricinin hesablanmış orta qiymətinin (parametrin)
həqiqətə yaxın olub-olmaması həmin parametrin standart kənarlaşması ilə
müəyyən edilir. Bunun yoxlanılması proseduru Styudentin t-kriteriyası ilə (t-test)
həyata keçirilir. Məsələn, əgər parametrin standart kənarlaşması parametrin öz
qiymətindən böyükdürsə onda parametrin tapılmış qiymətinin həqiqətə
yaxınlığından heç söhbət gedə bilməz. Standart kənarlaşma parametrin qiymətinə
nəzərən kiçikdirsə parametrin qiymətinin həqiqətə yaxınlığı ehtimalı artır. Bu hal
insanın etdiyi hərəkətin və ya dediyi sözün insan düşüncəsi ilə doğru olması və ya
17
Кристофер Доугерти «Введение в эконометрику», Издание второе. /Перовод с англ. – М.: ИНФРА-М,
2004, - 432 с.
82
olmamağını müəyyənləşdirməsinə uyğundur. Məsələn, kimsə doğru olmayan
hərəkət və ya yalan söz danışdıqda, onun tamamilə həqiqətdən uzaq olmasını
bildirmək üçün xalq arasında belə deyim var: “Filankəs başından böyük qələt
edir”. Yəni, etdiyi hərəkətin və dediyi sözün səhvi onun öz boyunun ölçüsündən
böyükdür.
1.16.2.1. t-test ilə parametrlərin əhəmiyyətliliyinin yoxlamması
Qiymətləndirilmiş b2 əmsalının (parametrinin) əhəmiyyətliliyi standart
kənarlaşmanın məlum olduğu və məlum olmadığı hallarda yoxlanıla bilər. Praktiki
məsələlərdə b2-nin standart kənarlaşması məlum olmadığı hala baxaq. Bu zaman
əhəmiyyətliliyin yoxlanılması prosedurunda iki dəyişiklik edilməsi lazım gəlir.
Birincisi, əhəmiyyətlilik standart kənarlaĢma (s.k.) ilə deyil, eksperimental
tapılan standart səhv (s.s) ilə yoxlanılır və bu t-statistika adlanır:
).(. 2
0
22
bsst
İkincisi, t-nin kritik səviyyəsi normal paylanma əvəzinə t-paylanma ilə tapılır. Bir
daha qeyd edək ki, t-paylanma normal paylanmaya oxşar paylanmadır və sərbəst
dərəcə (n-k) artdıqca daha çox normal paylanma ilə aproksimasiya edilə bilinir.
(Əlavələrdə sərbəst hədd və əhəmiyyətlilik dərəcələrindən asılı olaraq t-
paylanmanın kritik qiyməti verilmişdir).
Reqressiya tənliyinin hər bir parametrinin qiymətləndirilməsi seçmədə bir
sərbəst dərəcə azaldır. Beləliklə, sərbəst dərəcənin sayı seçmədəki müşahidələrin
sayından qiymətləndirilən parametrlərin sayını çıxmaqla tapılır. Əgər sabit hədd də
reqressiya tənliyinə salınıbsa, onda parametrlərə sərbəst hədd və dəyişənlərin
əmsalları aid edilir. Məsələn, yuxarıda göstərdiyimiz cüt xətti reqressiya modelində
iki β1 və β2 parametrləri qiymətləndirilir. Ona görə də sərbəst dərəcə n-2 olacaqdır.
t-nin kritik qiyməti tkritik ilə işarə edək.
0
220 : H sıfır hipotezinin rədd edilməsi üçün reqressiya əmsalının qiyməti
aşağıdakı şərti ödəməlidir:
83
kritiktbss
b
)(. 2
0
22
kritikkritik tbss
bt
)(. 2
0
22
Beləliklə, biz qərar qəbul etmək üçün qaydaya malik oluruq:
Əgər kritiktbss
b
)(. 2
0
22 olarsa, sıfır hipotez (H0) rədd edilir;
Əgər kritiktbss
b
)(. 2
0
22 olarsa, onda sıfır hipotez rədd edilmir.
Burada )(. 2
0
22
bss
b t-nin mütləq qiymətidir.
1.16.2.1.1. P-ehtimal qiyməti
Eviews - proqram paketində reqresiya modelinin parametrlərinin
qiymətləndirilməsi nəticələri cədvəlində sonunu sütunda p-qiymət (ing: p-
proboality) göstərilir( tp olmasını göstərir). Bu reqressiya əmsalının
əhəmiyyətliliyini göstərmək üçün alternativ bir yanaşmadır. Belə ki, bu sütundakı
ədəd əgər H0 : β2 = 0 sıfır hipotezi doğru olarsa t-statistikanın uyğun qiymətinin
alınması ehtimalını göstərir. p-nin qiymətinin 0.01-dən az olması onu göstərir ki,
sıfır hipotez 1%-lik əhəmiyyətlilik səviyyəsində rədd edilir. p -kəmiyyəti 0.01 və
0.05 arasında olması onu göstərir ki, sıfır hipotez 5%-lik əhəmiyyətlilik dərəcəsi
üçün rədd edilə bilər. Amma 1%-lik əhəmiyyətlilik səviyyəsi üçün rədd edilə
bilməz. p- kəmiyyətinin 0.05-i keçməsi onu göstərir ki, sıfır hipotez 5%-li
əhəmiyyətlilik səviyyəsində rədd edilə bilməz.
Reqresiya əmsalının əhəmiyyətliliyini p ehtimal qiyməti ilə yoxlamaq daha
əlverişlidir. Belə ki, əgər sıfır hipotez doğru olarsa p- proboality I tip səhvin dəqiq
ehtimalını göstərir. Qeyd edək ki, iqtisadi məsələlərin həllində əmsalların tapılmış
qiymətləıri adətən p-nin qiyməti 1 və ya 5%-li əhəmiyyətlilik səviyyəsi üçün
qəbul edilir.
1.16.2.1.2. İnamlı intervallar
84
İndi isə ikinci yanaşmaya, daha doğrusu eksperimentin hipotezi qabaqlaması
halına baxaq. Praktikadan məlumdur ki, hipotez və eksperiment çox tez-tez
qarşılıqlı təsirdə olurlar. Buna tipik misal olaraq istehlak funksiyasının reqressiya
modelini göstərə bilərik. Biz iqtisadi nəzəriyyə nöqteyi-nəzərindən bilirik ki,
gəlirin səviyyəsinin artması istehlakın səviyyəsini də artırır. Reqresiya
qiymətləndirilməsinin nəticəsi bu intuitiv gözləməni o mənada təsdiq edir ki, biz
sıfır hipotezi (H0 : β2 = 0) rədd etmiş olaq. Lakin bundan sonra bir boşluq yaranır.
Belə ki, bu hipotezə görə β2 qiymətinin hər hansı konkret ədədə bərabər olması
haqqında fərziyyə irəli sürə bilmirik. Lakin indi biz əks istiqamətdə hərəkət edə
bilərik və hansı hipotezin reqressiyanın nəticəsi ilə uyuşandır sualını qoya bilərik.
Tamamilə mümkündür ki, məsələn, β2=0.7 olması hipotezə uyuşan olsun. Belə ki,
hipotez və eksperimentin nəticəsi üst-üstə düşə bilər. Bundan başqa hipotezin
β2=0.68 və β2=0.72 olması da uyuşan ola bilər. Cünki hipotez və eksperimentin
nəticəsi fərqi böyük deyil. Sual ondan ibarətdir ki, hipotetik qiymət hansı dərəcədə
eksperimentin nəticəsindən fərqlənə bilər ki, onlar uyuşan olmasın və sıfır hipotezi
rədd edə bilmiş olaq. Bu suala əvvəlki fikirdən istifadə edərək cavab vermək olar.
b2 reqresiya əmsalı və β2 hipotetik qiyməti uyuşan o vaxt olacaq ki, aşağıdakı şərt
ödənilsin:
kritiktbss
b
)(. 2
22
Daha doğrusu,
kritiktbssb )(. 222 və ya kritiktbssb )(. 222
222 )(. kritiktbssb və ya 222 )(. kritiktbssb
Buradan aydın olur ki, β2 hipotetik qiyməti reqresiya qiymətləndirilməsinin
nətiəsi ilə uyğun olması üçün gərək aşağıdakı şərtlər eyni zamanda ödənilsin:
222 )(. kritiktbssb və 222 )(. kritiktbssb
Daha doğrusu β2 kəmiyyəti ikiqat bərabərsizliyi ödəyir:
kritikkritik tbssbtbssb )(.)(. 22222
85
β2 üçün ixtiyari hipotetik qiymət sonuncu münasibətini ödəyərsə, onda o b2
qiymətlənməsi ilə uyuşan olacaqdır. Başqa sözlə, b2-nin tapılmış qiyməti rədd
edilməyəcək. Bərabərsizliyin aşağı və yuxarı sərhəddi arasındakı bütün belə
qiymətlər çoxluğu β2 kəmiyyəti üçün inamlı interval (rus.: доверительный
интервал; ing: Confidence interval) adlanır.
Qeyd edək ki, inamlı intervalın ortası b2 kəmiyyətinin özünün qiyməti olur.
İnamlı interval parametri “interval qiyməti” verir. Daha doğrusu əvvəlcədən
verilmiş intervalla parametrin həqiqi qiymətinin daxil olduğu diapazonu göstərir.
Nümunə. Vergi auditi məqsədləri üçün risklərin t-testlə qiymətləndirilməsi.
Vergidən yayınma hallarının qarşısının alınması ilk növbədə onu yaradan faktorların
öyrənilməsini və təhlilini tələb edir. Vergi inzibatçılığının gücləndirilməsi, habelə vergi auditi
təbii ki, vergidən yayınma hallarının qarşısının alınmasında mühüm vasitədir. Lakin vergi
auditinin səmərəliliyi xeyli dərəcədə audit məqsədləri üçün vergi ödəyicilərinin seçilməsindən
asılıdır. Belə ki, Azərbaycan Respublikasında hazırda 200 mindən artıq, o cümlədən ƏDV
məqsədləri üçün 10 minə yaxın qeydiyyatdan keçmiş vergi ödəyicisi vardır. Audit məqsədləri
üçün vergi ödəyicilərinin səmərəli şəkildə seçimi vaxtdan və insan resurslarından səmərəli
istifadə edilməsi ilə yanaşı inzibati xərcləri də aşağı salır.
Vergi ödəyicisinin müvafiq vergi bəyannaməsində əks etdirdikləri məlumatların, o
cümlədən faktiki hesablama və ödəmələri hansı səviyyədə həqiqətdən yayınmaya malikdir? Bu
suala t-testin tətbiqi ilə vergi ödəyicilərinin təqdim etdikləri bəyannamələrdəki bir sıra
göstəricilərinin qiymətlərinin həqiqi qiymətlərdən yayınma səviyyəsinə görə vergidən yayınma
risklərinin qiymətləndirilməsi ilə cavab tapaq.
Aydındır ki, vergidən yayınma risklərini idarə etmək, yəni azaltmaq üçün, hər vergi
ödəyicisinin vergidən yayınma riski qiymətləndirilməlidir. Ancaq hər konkret vergi ödəyicisinin
həqiqi öhdəliyini əvvəlcədən müəyyən etmək praktiki baxımından mümkün deyil. Belə
qiymətləndirməni aparmaq üçün vergi ödəyicilərinin eyni cinsli göstəriciləri haqqında
məlumatların orta kəmiyyəti hesablanır. Daha sonra bu orta kəmiyyətin dispersiyası hesablanır.
Qeyd edək ki, digər ölkələrin təcrübəsi də göstərmişdir ki, vergi ödəyicilərinin bəyannamə
məlumatları üzrə əsas risk faktorlarına daxil edilən göstəricilərinin orta kəmiyyəti normal
paylanmaya tabedir. Ona görə də risklərin qiymətləndirilməsində t-paylanmanın tətbiqi elmi və
praktiki əsasa malikdir. Lakin, bu fikri sadələşdirilmiş vergi ödəyiciləri haqqında söyləmək
86
çətindir. Birincisi, sadələşdirilmiş vergi ödəyicilərinin təqdim etdikləri bəyannamə məlumatları
vergidən yayınma risklərinin qiymətləndirilməsi baxımından xeyli azlıq təşkil edir. İkincisi,
sadələşdirilmiş vergi ödəyicilərinin fəaliyyəti kənar müdaxiləyə məruz qalınaraq tənzimlənir.
Məsələn, hazırda qüvvədə olan Azərbaycan Respublikasının Vergi Məcəlləsiniə əsasən əvvəlki
üç aylıq dövr ərzində vergi tutulan əməliyyatlarının həcmi 22500 manat və ondan az olan hüquqi
şəxslər və hüquqi şəxs yaratmadan sahibkarlıq fəaliyyətini həyata keçirən fiziki şəxslər
sadələşdirilmiş vergi ödəyiciləri olmaq hüququna malikdirlər18
(Maddə 218.1). Bu isə həmin
vergi ödəyicilərinin fəaliyyətini əks etdirən göstəricilərə təsadüfü kəmiyyət kimi baxılması üçün
onun tərkibinin sabit orta kəmiyyətə və təsadüfü hissəyə ayrılması problemini yaradır. Bu isə
həmin göstəriciləri normal paylanmaya malik olmamağı ehtimalını artırır. Ona görə də t-test ilə
risklərin qiymətləndirilməsi modeli əsasən ƏDV ödəyiciləri üçün nəzərdə tutulmuşdur.
Vergi bəyannamələrinin formatı elə qurulmalıdır ki, risk faktorları üzrə təhlil aparmaq
üçün kifayət qədər göstəricilər olsun və onlar hüquqi (fiziki) şəxsin mühasibat hesabatlarında öz
əksini tapsın. Qeyd edək ki, hazırda ölkədə tətbiq edilən vergi bəyannamələrinin formatı və
həmin bəyannamələrdə əks olunan məlumatlar risklərin qiymətləndirilməsinə imkan yaradır.
Bununla belə ƏDV bəyannaməsi və onun əlavəsində vergi ödəyicisinin digər vergi
ödəyicilərindən aldığı VHF barədə məlumat verməklə bərabər verdiyi VHF-lar haqqında
məlumatlar da öz əksini tapsaydı, bu istər ƏDV potensialının, istərsə də vergidən yayınma
riskinin qiymətləndirilməsi üçün əhəmiyyətli olardı. Belə ki, ölkə üzrə bütün vergi ödəyicilərinin
verdikləri VHF məbləği ilə vergini əvəzləşdirmələri üçün aldıqları bütün VHF-in məbləği
arasındakı fərq ƏDV-nin potensialını vermiş olar. Aydındır ki, təqdim edilən bütün mal və
xidmətlər aralıq istehlaka sərf olunmur (aralıq istehlaka sərf olunan məhsullar ona müvafiq
təqdim edilən (alınan) VHF vergi ödəyiciləri tərəfindən əvəzləşdirilir və əvəzləşdirilən vergi
məbləği ƏDV bəyannaməsində öz əksini tapır). Həmin məhsulların bir hissəsi son istehlaka sərf
olunduğu üçün əvəzləşdirilmir. Ona görə də cəm olaraq verilən hesab fakturaların məbləği
alınaraq əvəzləşdirilən vergi hesab fakuraların məbləğindən çox olmalıdır. Ayrıca götürülmüş
vergi ödəyicisi üçün bu fərq mənfi də ola bilər. Dolayı vergi kimi ƏDV istehlak vergisi olduğu
üçün son istehlak xərcləri ƏDV-nin vergitutma bazasıdır. Həmin bazaya müvafiq hesablanan
ƏDV isə ƏDV-nin potensialını vermiş olar. Digər tərəfdən vergi ödəyiciləri tərəfindən saxta
təqdim edilən VHF-na görə məsuliyyət və həmin VHF təqdim edən vergi ödəyicilərinin aşkar
olunmasında operativlik artmış olar. Həmçinin, vergi ödəyiciləri tərəfindən verilən və aldınan,
habelə onlar arasındakı fərq öz mahiyyəti etibarı ilə normal paylanmaya tabe olmalıdır. Bu
faktorların risk faktorlarına daxil edilməsi qiymətləndirmənin əhəmiyyətini xeyli artırmış olar.
18
Azərbaycan Respublikasının Vergi Məcəlləsi, Bakı, 2008-ci il, 274 səhifə.
87
Doğrudur belə bir təklif vergi ödəyiciləri və müvafiq beynəlxalq təşkilatlar tərəfindən heç də
müsmət qarşılanmaz.Çünki bir qayda olaraq vergi ödəyiciləri vergi bəyannamələrində daha az və
yığcam məlumat təqdim etmələrinə maraqlıdırlar Ancaq, bununla belə bir daha qeyd edim ki,
ƏDV ödəyicilərinin vergidən yayınma hallaının qarçısının alınması baxımından əhəmiyyətlidir.
Yuxarıda qeyd etdik ki, seçməyə daxil edilən risk faktorlarının göstəriciləri bircins olmalıdır.
Ona görə də seçmənin əsas prinsipi olaraq seçilmiş göstəricilərə əsasən vergi ödəyicilərinin
qruplarında onların arasında müqayisə aparmaqdır. Əsas tələb odur ki, bu müqayisə eyni
fəaliyyətlə məşğul olan vergi ödəyiciləri arasında aparılmalıdır. Bununla yanaşı müqayisənin
dəqiqliyini artırmaq məqsədilə seçilmiş fəaliyyət sahəsi üzrə müqayisə edilən müəssisələr
onların yerləşdiyi əraziyə, işləmə müddətlərinə, işçilərin sayına və s. üzrə qruplaşdırılmalıdırlar.
Biz belə qrupu əhatə qrupu (əhatə dairəsi) adlandıracağıq. Əhatə qrupu daxilində vergi
ödəyicilərinin bəyannamələrində göstərilmiş müvafiq vergi və digər maliyyə göstəricilərinə görə
müqayisəsi aparılır. Aşağıdakı yaxınlaşma bu müqayisənin alqoritmlərini izah edir.
Seçilmiş əhatə dairəsində risk faktorları iki qrupa ayrılır. 1-ci və 2-ci qrup: 1-ci qrup risk
faktorlarına vergi ödəyicilərinin vergi bəyannamələrində əks etdirdikləri əsas göstəricilər daxil
edilir. Məsələn, təqdim edilmiş mallara (işlərə, xidmətlərə) və əmlaka görə əldə edilmiş ümumi
hasilatın həcmi; hesablanmış verginin məbləği; azaldılmış verginin məbləği; ödənilmiş vergilərin
məbləği və s. Bu tip göstəricilər əsasən normal paylanmaya malik olur və həmin faktorlara
risklərin qiymətləndirilməsi t-test vasitəsi ilə həyata keçirilir. 2-ci qrup risk faktorlarına spesfik
xarakterə, həmçinin mahiyyəti etibarı ilə normal paylanmaya malik olmayan göstəricilər daxili
edilir. Məsələn, vergi borcları; artıqödəmə və s.
1-ci qrup göstəricilərə görə risklərin hesablanması: Yuxarıda qeyd edildiyi kimi 1-ci qrup
faktorlarda risklər t-test ilə müəyyənləşdirilir. Bu zaman faktorların orta kəmiyyəti və
dispersiyası hesablanaraq orta kəmiyyətdən standart kənarlaşma müəyyən edilir.
k-cı göstəriciyə görə(risk faktoru) i-ci vergi ödəyiciləri üzrə orta qiymət ( kg ) aşağıdakı
kimi müəyyən olunur:
nkm
g
g
m
i
ik
k ,...,,, 211
Burada m – əhatə qrupunda olan vergi ödəyicilərinin sayıdır, n- isə risk göstəricilərinin
(faktorlarının) sayıdır, ikg - əhatə dairəsindəki konkret seçilmiş i-ci vergi ödəyicisinin k-cı
göstəricinin qiymətdir.
88
ikg - göstəricisinin dispersiyası ( ))var( ikg aşağıdakı kimi hesablanır. Dispersiya hər bir
vergi ödəyicisinin seçilmiş göstəriciyə görə onun orta qiymətə nəzərən dağılmasını
(səpələnməsini) göstərir.
2)()var( kikik ggg
j
ikg - göstəricisinin standart kənarlaşma (səhv, meyli, sapma,) onun dispersiyasının kvadrat
kökü kimi hesablanır.
)var().(. ikik ggss
Styudentin t-paylanmasına (t-test) əsasən göstəricinin standart kənarlaşması göstəricinin öz
qiymətindən xeyli kiçik ədəddirsə (kobud qiymətləndirməyə görə 40%-indən də kiçik) olarsa
onda həmin göstəricinin qiyməti 95% əhəmiyyətlidir, başqa sözlə 95% risksiz göstəricidir.
Beləliklə, k-cı risk faktorunun (RF) qiyməti həmin faktora nəzərən t-statistika olacaqdır.
).(. ik
ikik
gss
gt
Hər bir göstəriciyə görə t-statistikanın faktiki qiymətinə ( ikt ) əsasən risk faktorunun balı
( ikRFB )müəyyənləşdirilir.
Əhatə qrupu üzrə i-ci vergi ödəyicilərinin k-cı göstəriciyə görə risk faktorların ( ikt )
qiymətləri 5 interval üzrə bölünür və hər interval üzrə risk balı verilir:
İntervallar Ballar
1-ci interval - ən böyük risk faktoru
(t-statistikanın 1-dən kiçik qiyməti), 5 (ən böyük risk)
2-ci interval - böyük risk faktoru
(t-statistikanın 1-1.5 arasında qiyməti), 4 (böyük risk)
3-cü interval - orta risk faktoru
(t-statistikanın 1.5-2.0 arasında qiyməti), 3 (orta risk)
4-cü interval - kiçik risk faktoru
(t-statistikanın 2.0-2.5 arasında qiyməti), 2 (kiçik risk)
5-ci interval - ən kiçik risk faktoru
(t-statistikanın 2.5-3.0 arasında qiyməti), 1 (ən kiçik risk)
89
6-ci interval - sıfır risk faktoru
(t-statistikanın 3.0-dən böyük qiyməti), 0 (risk yoxdur)
2-ci qrup göstəricilərə görə risklərin hesablanması: Qeyd edək ki, konkrent vergi ödəyicisinin
2-ci qrupa daxil olan borc və arıqödəmə risk fakprlarınin ancaq biri üzrə qiymətləndirmə aparılır.
Çünkü əyər vergi ödəyicisinin borcu varsa deməli artıqödəməsi yoxdur, yox əyər artıqödəməsi
varsa, deməli borcu yoxdur. Bu faktorlara gorə risk sıfır qiymətindən kənarlaşmaya görə
müəyyən edilir. Məsələn, borcun olmamağı (sıfıra bərabər olması) və ondan kənarlaşmaya
əsasən risk müəyyənləşdirilir.
Bu qrupa daxil olan borc və artıqödəmənin hər biri üçün risklərin hesablanmasını
göstərək.
Borc faktoruna görə riskin hesablanması: Tutaq ki, verilmiş əhatə dairəsi üzrə vergi
ödəyicilərinin borcun orta miqdarı x -kəmiyyətinə, vergi ödəyicisinin isə borcunun miqdarı x
kəmiyyətinə bərabərdir.
Əgər ( x - x )/ x kəmiyyəti (-1)-ə bərabərdirsə ( x - x )/ x =-1, yəni borc yoxdursa, onda
həmin göstəriciyə görə risk balı “0” verilir (risk yoxdur);
Əgər, -1< ( x - x )/ x 0, onda risk balı “1” verilir (ən kiçik risk);
Əgər, 0< ( x - x )/ x 1, onda risk balı “2” verilir (kiçik risk);
Əgər, 1< ( x - x )/ x 2, onda risk balı “3” verilir (orta risk);
Əgər, 2< ( x - x )/ x 3, onda risk balı “4” verilir (böyük risk);
Əgər, 3< ( x - x )/ x 4, onda risk balı “5” verilir (ən böyük risk).
Artıqödəmə faktoruna görə riskin hesablanması: Tutaq ki, verilmiş əhatə dairəsi üzrə vergi
ödəyicisinin artıqödəməsi vardır (x>0), onda Artıqödəmə faktoruna görə risk balı “0” verilir
(risk yoxdur).
Konkret vergi ödəyicisi üçün Vergi ödəyicilərinin ümumi risk balı ( iVÖÜRB )
miRFBVÖÜRB ik
n
k
ki ,...,,211
kimi hesablanır. Burada nkk ,...,,, 21 k-cı göstəricinin vergi ödəyicisinin risk faktorundakı
çəki əmsalıdır. Əgər bütün göstəricilərin ümumi riskdəki payı bərabər olarsa onda çəki əmsalının
qiyməti nkn
k ,...,,, 211
olacaqdır.
90
Əgər faktoru (VÖÜRB) sıfır bal alarsa bu vergi ödəyicisi risksiz sayılır. Əgər konkret
vergi ödəyicisi üçün bal 5 olarsa, bu vergi ödəyicisi ən riskli sayılır və belə vergi ödəyicisi
birinci növbədə vergi yoxlamasının aparılması üçün seçilməlidir.
Qeyd edək ki, vergi ödəyicilərinin vergidən yayınma risklərin müəyyənləşdirilməsi üçün
təsvir edilən bu modelin müxtəlif modifikasiyaları (variantları) mümkündür. Qeyd edək ki, ƏDV
məqsədləri üçün qeydiyyatda olan vergi ödəyicisinin artıqödəmə göstəricisinin xüsusi təhlilinin
aparılmasına ehtiyac vardır. Belə ki, bu göstəricinin mövcud olması nəinki riski azaldan hətta
artıran faktora çevrilə bilər. Məsələn, əyər vergi ödəyicisinin artıqödəməsi idxal etdiyi məhsula
görə verginin əvəzləşdirilməsi hesabına yaranıbsa, deməli həmin məhsul son istehlaka deyil
məhsul istehsalı prosesində aralıq istehlaka sərf olunub. Bu isə o deməkdir ki, həmin məhsul
hesabına müəssisə əlavə dəyər yaradacaqdır və bu əlavə dəyərə görə yaranan vergi öhdəliyi
gömrükdə idxala görə ödənilən ƏDV-nin miqdarından çox olmalıdır. Məsələn, rəsmi statistik
məlumata görə 2007-ci ildə ölkədə ümumi buraxılışda əlavə dəyərin xüsusi çəkisi 66.3 faizə
bərabərdir. Bu isə o deməkdir ki, müəssisə orta hesabla istehsal etdiyi məhsulun dəyərinin yalnız
33.7 faizi sərf olunan (əvəzləşdirilən dövriyyə) məhsul, yəni aralıq istehlak təşkil edir. Məhsul
dəyərinin qalan 66.3 faizi isə müəssisə tərəfindən yeni yaradılan dəyərdir ki, bunun da təkcə
ƏDV-si nəticə etibarı ilə əvəzləşdirilən ƏDV-dən təxminən iki dəfə çox olmalıdır. Deməli eyni
bir müəssisə üçün verginin əvəzləşdirilməsi yolu ilə artıqödəmənin yaranması uzun sürə bilməz
və növbəti istehsal dövrlərində (bu proses istehsalın başlanması ilə başa çatması dövrün, yəni 3
aydan 3 ilə qədər, çox nadir hallarda uzun müddətli nəhəng tikililətin və ya zavodların işə
düşməsi dövrünə qədər, yəni, 5 ilə qədər uzana bilər) yox olaraq əlavə vergi ödənilməsinə
çevrilməlidir. Əyər bu proses baş vermirsə deməli, müəssisə istehsal etdiyi məhsulun xeyli
hissəsinin qeyri-rəsmi dövriyyəsini yaratmaqla vergidən yayınır. Uzun müddət istehsal olunmuş
məhsulun satılmayaraq anbarlarda qalması da məntiqə uyğun deyil, çünki bu zaman müəssisənin
nəinki artıq ödəməsi hətta istehsal xərclərinin ödəyə bilməməyi səbəbindən borc öhdəlikləri
yaranmalıdır. Qeyd edək ki, rəsmi statistik məlumatlara əsasən ölkədə 2007-ci ildə məhsul
istehsalında əlavə dəyərin xüsusi çəkisi müxtəlif məhsul növləri və istehsal sahələrində 12.5
faizdən (qida məhsulları, içki və tütün) 97 faizə (neft hasilatı - ƏBƏŞ) dəyişir.
Vergi borclarının əhəmiyyətli şəkildə risklərin qiymətləndirilməsinə daxil edilməsi də
müəyyən tədqiqat tələb edir. Belə ki, bu hal mahiyyət etibarı ilə vergidən yayınma riskini artıran
faktor kimi olmaya da bilər. Məsələn, istehsal prosesində istehlak olunan məhsul istehsalçısının
və ya satıcısının inhisarçı mövqeyə malik olması səbəbindən süni şəkildə artırılmış qiymətlərlə
aralıq istehlak xərclərinin artması və nəticə etibarı ilə vergi ödəyicisinin borclanmasını göstərə
bilərik. İstər artıqödəmə, istərsə də borc də borc amilinin modeldə nəzərə alınması üçün ən azı
müəssisənin 3 illik bəyannamə məlumatları lazım gəlir. Qeyd edək ki, yeni vergi bəyannamə
91
formalarının və AVİS-in 2006-cı ildən tətbiqini nəzərə alsaq, hazırda mükəmməl risk modelləri
üçün məlumat bazası formalaşmamışdır. Artıq növbəti illərdə bu tipli modellərin real olaraq
tətbiq edilməsi şəraiti yaranacaqdır.
Modelin digər bir variantı kimi, seçilmiş əhatə dairəsində vergi ödəyicilərini əvvəlcə risk
faktorları toplanılaraq orta qiyməti tapılır. Qeyd edək ki, bu zaman, risk faktorlarına daxil edən
bütün göstəricilərin normal paylanmaya malik olmaları, habelə sabit dispersiya və sınaqların
(müəssisə və göstəricilərin) sayının bərabər olması vacibdir.
,m
g
g
n
k
ik
m
i
11
ig - göstəricisinin dispersiyası ( ))var( ig aşağıdakı kimi hesablanır. Dispersiya hər bir
vergi ödəyicisinin seçilmiş göstəriciyə görə onun orta qiymətə nəzərən dağılmasını
(səpələnməsini) göstərir.
2)()var( ggg ii
ig - göstəricisinin standart kənarlaşma (səhv, meyli, sapma,) onun dispersiyasının kvadrat
kökü kimi hesablanır.
)var().(. ii ggss
Styudentin t-paylanmasına (t-test) əsasən göstəricinin standart kənarlaşması göstəricinin öz
qiymətindən xeyli kiçik ədəddirsə (kobud qiymətləndirməyə görə 40%-indən də kiçik) olarsa
onda həmin göstəricinin qiyməti 95% əhəmiyyətlidir, başqa sözlə 95% risksiz göstəricidir.
Beləliklə, risk faktorunun (RF) qiyməti həmin faktora nəzərən t-statistika olacaqdır.
).(. i
ii
gss
gt
Hər bir göstəriciyə görə t-statistikanın faktiki qiymətinə ( it ) əsasən risk faktorunun balı
( iRFB ) müəyyənləşdirilir.
Əhatə qrupu üzrə vergi ödəyicilərinin risk faktorların ( it ) qiymətləri 5 interval üzrə
bölünür və hər interval üzrə risk balı verilir:
92
İntervallar Ballar
1-ci interval - ən böyük risk faktoru
(t-statistikanın 1-dən kiçik qiyməti), 5 (ən böyük risk)
2-ci interval - böyük risk faktoru
(t-statistikanın 1-1.5 arasında qiyməti), 4 (böyük risk)
3-cü interval - orta risk faktoru
(t-statistikanın 1.5-2.0 arasında qiyməti), 3 (orta risk)
4-cü interval - kiçik risk faktoru
(t-statistikanın 2.0-2.5 arasında qiyməti), 2 (kiçik risk)
5-ci interval - ən kiçik risk faktoru
(t-statistikanın 2.5-3.0 arasında qiyməti), 1 (ən kiçik risk)
6-ci interval - sıfır risk faktoru
(t-statistikanın 3.0-dən böyük qiyməti), 0 (risk yoxdur)
Əgər faktoru (VÖÜRB) sıfır bal alarsa bu vergi ödəyicisi risksiz sayılır. Əgər konkret
vergi ödəyicisi üçün bal 5 olarsa, bu vergi ödəyicisi ən riskli sayılır və belə vergi ödəyicisi
birinci növbədə vergi yoxlamasının aparılması üçün seçilməlidir.
93
II FƏSĠL. EKONOMETRĠKANIN BAġLANĞICI
2.1. Ekonometrik modellər . Korrelyasiya və reqressiya təhlil inin
əsas məsələləri
Ekonometriya elmi bir istiqamətdir. Onun predmeti iqtisadi təzahürlərin və
proseslərin kəmiyyət tərəfini riyazi və statistik üsullarla öyrənməkdən ibarətdir.
Bu, iqtisadiyyat elminin nisbətən yeni istiqamətidir. Ekonometrikanı riyazi
iqtisadiyyatdan fərqləndirən ən mühüm cəhət onun real iqtisadi prosesləri konkret
hesablama materialları əsasında tədqiq etməsidir. Ekonometrika iqtisadiyyatın
nəzəri təhlilinin nailiyyətlərini riyaziyyat və statistikanın nailiyyətləri ilə sintez
edir. Bu mənada ekonometrikanı üç elmin –iqtisadiyyat, riyaziyyat və statistikanın
kəsişməsi kimi də xarakterizə etmək olar.
Ekonometrika «ekonomiya» (iqtisadiyyat) və «metrika» (ölçmə) sözlərindən
düzəldilmişdir və məşhur Norveç alimi, Nobel mükafatı laureatı R.Friş tərəfindən
elmə daxil edilmişdir. Bu elm xarici ölkələrdə, xüsusilə Qərbdə geniş yayılmışdır.
Bazar münasibətlərinə malik inkişaf etmiş ölkələrdə ali məktəblərin iqtisadi və
sosial yönümlü ixtisaslarında geniş tədris olunur.
Ekonometrika elmi XX əsrin əvvəllərində xətti proqramlaşdırma məsələsinin,
sahələrarası balans modelinin yaranması və onların real iqtisadi proseslərə tətbiqi
ilə yanaşı yaranmışdır. Bəzi ədəbiyyatlarda ekonometrika termininin əvəzinə
"ekonometriya" termini də işlədilir.
Keçmiş sovet elmində ekonometrik modellərə iqtisadi-riyazi üsulların tərkib
hissəsi kimi baxılırdı. İqtisadi-riyazi üsullar terminini akademik V.S.Nemçinov 60-
cı illərin əvvəllərində elmə daxil etmişdir. İqtisadi-riyazi üsullar iqtisadiyyatın
öyrənilməsi üçün iqtisadiyyat və riyaziyyat elmlərinin birləşməsinin ümumiləşmiş
adıdır.
Ekonometrik modellər iqtisadiyyatın mikro və makro səviyyəsində uğurla
tətbiq edilir. Bu modellər vasitəsilə iqtisadiyyatın nəzəri məsələləri riyazi
statistikanın üsulları ilə faktiki və ya empirik materiallar əsasında yoxlanılır. Bu
94
baxımdan ekonometrik modellərin qurulması və adekvatlığın yoxlanması riyazi
statistikanın korrelyasiya və reqressiya təhlili ilə bilavasitə bağlıdır.
Korrelyasiya anlayışı XIX əsrin ortalarında ingilis statistikləri F.Qalton və
K.Pirsonun işlərində meydana çıxmışdır. “Korrelyasiya” termini latın “correlation“
sözündən yaranmışdır, mənası qarşılıqlı asılılıq, münasibət deməkdir. ”Reqressiya”
terminini də F.Qalton daxil etmişdir, latın “regression” sözündən yaranıb, mənası
geriyə hərəkət deməkdir. F.Qalton bu terminləri valideynlərin boy uzunluqları ilə
onların övladlarının boy uzunluqları arasındakı əlaqəni öyrənərkən elmə gətir-
mişdir. Bu zaman o, belə bir nəticə almışdır ki, uzun boya malik valideynlərin
övladlarının boylarının uzunluqları orta boya yaxınlaşır.
İqtisadiyyatda bir sıra iqtisadi göstəricilər vardır ki, onlar arasında sıx əlaqə
mövcuddur. Bu elə asılılıqdır ki, bir dəyişənin hər bir qiymətinə digər bir dəyişənin
hansısa müəyyən deyil, çoxlu sayda mümkün qiymətləri uyğun gəlir. Belə
asılılıqlar statistik, stoxastik və ya ehtimallı asılılıqlar adını almışdır. Statistik ası-
lılıqlara misal olaraq, ölkənin ümumi daxili məhsulunun kapital (əsas fondlardan)
və əmək qüvvəsindən, kənd təsərrüfatı bitkilərinin məhsuldarlıqlarının onların əkin
sahələrinə verilən gübrələrin miqdarından asılılıqlarını göstərmək olar. Dəyişənlər
arasındakı statistik asılılıqları korrelyasiya və reqressiya təhlilinin üsulları ilə
öyrənmək mümkündür. Bu üsulların köməyi ilə müxtəlif tir məsələlər həll edilir.
Reqressiya təhlilinin əsas məsələsi dəyişənlər arasında asılılığın şəklinin
müəyyən edilməsindən ibarətdir.
Korrelyasiya təhlilinin əsas məsələsi isə dəyişənlər arasındakı əlaqənin üzə
çıxarılması və onun əlaqə sıxlığının qiymətləndirilməsindən ibarətdir.
2.2. Ən kiçik kvadratlar üsulu
Tutaq ki, x iqtisadiyyatı xarakterizə edən hər hansı bir göstəricisidir.
(məsələn, ölkədə və ya müəssisədə işləyənlərin sayı, əsas fondların miqdarı və s.).
x iqtisadi göstəricinin qiymətinin dəyişməsi digər bir iqtisadi göstərici olan y
iqtisadi göstəricisinin məsələn, ölkə və ya müəssisənin məhsul istehsalının
95
həcminin dəyişməsinə səbəb olur. Başqa sözlə x və y iqtisadi göstəriciləri arasında
funksional asılılığı y=f(x) kimi ifadə edək. Bizdən bu asılılığın konkret aşkar
şəkilinin müəyyənləşdirilməsi tələb olunur. Bu məqsədlə n sayda sınaq və ya
müşahidə aparılaraq (xi, yi), i=1...n cütləri üçün aşağıdakı cədvəl düzəldilmişdir.
Cədvəl 2.1
x 1x 2x ...
ix … 1nx nx
y 1y 2y ...
iy … 1ny ny
Bu məsələnin həlli üçün ilk növbədə bu verilənləri qrafik olaraq təsvir edək:
düzbucaqlı koordinat sistemində koordinatları uyğun olaraq (x1, y1), (x2, y2), . . .,
(xi, yi), . . ., (xn-1, yn-1), (xn, yn) olan A1, A2, . . ., Ai, . . ., An-1, An nöqtələrini quraq
(bax: şəkil 2.1).
Şəkil 2.1. x və y dəyişənlərinin faktiki qiymətləri və onlar arasındakı asılılığın qrafiki təsviri.
Əgər x və y dəyişənləri arasında hər hansı asılılıq varsa, onda A1, A2, . . ., Ai,
. . ., An-1, An nöqtələrinin qrafik təsviri müəyyən xəttin üzərində və ya ətrafında
olacaqlar. Əgər müşahidələrdən alınmış bütün A1, A2, . . ., Ai, . . ., An-1, An
nöqtələri PQ düz xəttinin üzərində yerləşərsə ( bu çox nadir halda rast gəlinə
bilər) məsələ xeyli sadələşər. Belə ki, kifayətdir ki, (x1, y1), (x2, y2), . . ., (xi, yi), . .
., (xn-1, yn-1), (xn, yn) nöqtələrindən ixtiyari ikisini götürüb onlardan keçən düz xəttin
96
tənliyini yazsaq x və y dəyişənləri arasındakı xətti asılılığı müəyyən etmiş olarıq.
Qeyd edək ki, praktikada ideal hal çox nadir olaraq alına bilər çünki, x və y
dəyişənlərinin ölçüləri müəyyən dəqiqliklə hesablanır, onların müəyyən ölçülərlə
verilmiş statistik qiymətlərinə həmişə təsadüfi xarakterli səbəblər təsir edir. Ona
görə də müşahidələrdən alınmış A1, A2, . . ., Ai, . . ., An-1, An nöqtələri PQ düz
xəttinin üzərində yerləşən n1-n21 A,A,...,'...,,A,A i
A nöqtələrindən
fərqlənəcəkdir. Əgər (x1, y2), (x2, y2),…,(xi, yi),…,(xn-1, yn-1), (xn, yn) nöqtələri düz
xətt boyunca səpələnibsə onda axtarılan asılılığı
xyx 10 (2.1)
kimi axtarmaq olar.
Beləliklə məsələ 0 və 1 əmsallarının (parametrlərin) tapılmasına gətirilir.
(2.1) tənliyi bizə x1, x2, . . ., xi, . . ., . . ., xn-1, xn -lərə uyğun elə
n1-ni21 y,y,...,y...,,y,y ordinatlar çoxluğu verir ki, onlar PQ düz xəttinin
üzərində yerləşərsən A1, A2,…, Ai ,…, An-1 , An nöqtələrinin
n1-ni21 y,y,...,y...,,y,y ordinatları ilə üst-üstə düşmürlər. Müəyyən kənarlaşmalar
olur. Onda tənliyin 0 və 1 parametrlərini dəyişməklə A1, A2,…, Ai ,…, An-1 , An
nöqtələrinə yaxınlaşmaq və ya kənarlaşmaq olar. Kənarlaşmaları
nn1-n1-nii2211 AA,AA,..., AA...,,AA,AA parçalarının uzunluqları xarakterizə
edir və onları uyğun olaraq nni ,,...,,..., 121 ilə işarə edək (bax: şəkil 2.1).
Deməli, məsələ xəttin tənliyinin tapılmasına gətirilir və bu tənlik axtarılan asılılığı
ifadə edəcək. Çoxlu sayda xəttlər çəkmək olar ki, bu nöqtələr həmin xətlərin
ətrafında yerləşmiş olsun. Bu halda xətlərdən hansının seçilməsi və onun tənliyini
qurmaq məsələsi yaranır. Aşağıdakı kimi hərəkət edirlər: əvvəlcə verilənlərin
hərtərəfli analizi əsasında və qrafikdəki nöqtələrin yerləşməsinə görə müəyyən tip
tənlik seçilir. Tənlik seçildikdən sonra yalnız onun parametrlərini
müəyyənləşdirmək qalır.
97
Yuxarıda qeyd etdik ki, məqsədimiz elə bir xətt (əyri) keçirməkdir ki, bu xətt
(əyri) (x1, y2), (x2, y2),…,(xi, yi),…,(xn-1, yn-1), (xn, yn) nöqtələrindən mümkün
qədər yaxın keçsin.
1806-da fransız riyaziyyatçısı Lejandr təklif etmişdi ki, kənarlaşmaları
kvadrata yüksəldib onların çəminin ən kiçik qiymətinin tapılması nöqtələrin
yaxınlığından keçən ən yaxşı xəttin (əyrinin) tapılmasına imkan verir. Ona görə də
Ən Kiçik Kvadratlar Üsulu (ƏKKÜ) (rus: Способ Наименших Квадратов,
ing.: Ordinary Least Squares (OLS) method) adlandırılmışdır.
Tutaq ki, əlaqə (2.1) şəklindədir yəni xəttidir. (2.1) tənliyindən ix -lərə uyğun
alınmış qiymətləri i
y və ya ixy ilə işarə edək. Onda
nnnxn
x
x
yxyy
yxyy
yxyy
n
10
221022
111011
2
1
olar.
Lejandrın təklif etdiyi kimi n ,...., 21 kənarlaşmalarını kvadrata yüksəldib
onların çəminin (S) minimumunu tapaq:
minyx....yxyx....S2
nn10
2
2210
2
1110
2
n
2
2
2
1
Bu cəmdə 0 və 1 parametrlərin qiyməti məlum deyil, (x1, y1), (x2, y2), . . ., (xn, yn)
cütlərinin qiymətləri isə müşahidələrdən məlumdur. Deməli S çəminə 0 və 1
parametrlərindən asılı funksiya kimi baxa bilərik.
min,10S
Məlumdur ki, funksiyanın ekstremum üçün zəruri şərt ekstremum nöqtəsində
xüsusi törəmələrin sıfıra çevrilməsidir (Ferma teoremi).
0
0
1
0
S
S
02.....22
02.....22
102221011110
1022101110
nnn
nn
xyxxyxxyx
yxyxyx
98
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
yxxx
yxn
1
2
1
1
1
0
11
10
(2.2)
(2.2) xətti tənliklər sistemini həll edib 0 və 1 parametrlərinin qiymətlərini tapıb
(2.1) xətti reqressiya tənliyində yerinə yazsaq y dəyişəninin x-dən xətti asılılığının
konkret şəklini tapmış olarıq.
İqtisadi proseslərdə bir çox hallarda iqtisadi göstəricilər arasında xətti
asılılıq deyil, başqa asılılıq şəkilində olur.
Əgər x və y göstəriciləri arasında əlaqə
1
0
xyx (2.3)
şəkildə olarsa, onda 10 , -i qiymətləndirməklə asılılığın konkret şəklini taparıq.
Əgər əlaqə hiperbolik şəkildə olarsa,
x
y 10
(2.4)
10 , parametrlərinin tapılması tələb olunur.
Əgər əlaqə parabolik şəkildədirsə,
2
210 xxay (2.5)
onda 210 ,, -in tapılması əlaqəni konkretləşdirir.
Əgər (2.3) şəkilli asılılıq axtarılırsa, onda həmin asılılıq formasını asanlıqla
xətti şəklə gətirə bilərik.
Bərabərliyin hər iki tərifini loqarifmləsək,
)()()( 10 xLnLnyLn
alarıq. Burada *
00
** )( ,)( ,)( LnyyLnxxLn işarələmələrini aparsaq, (2.3)
qeyri-xətti asılılığını
*
1
*
0
* xy (2.6)
kimi xətti asılılığa gətirmiş olarıq. (2.6) -nın *
0 və 1 tapmaq üçün normal
tənliklər sistemi (2.2) sisteminə müvafiq olaraq aşağıdakı kimi olacaqdır.
99
**
1
*
1
1
*
1
*
0
**
1
1
*
0
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
yxxx
yxn
(2.7)
və ya
)( )( ))( ()( )(
)( )( )(
11
2
1
1
0
11
10
ii
n
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
yLnxLnxLnxLnLn
yLnxLnLnn
(2.8)
olacaqdır.
Deməli, (2.3) şəklində asılılığın 0 və 1 parametrlərini (2.8) sistemindən
tapmaq olar.
Əgər dəyişənlər arasında hiperbolik asılılıq mövcuddursa, yəni (2.4) şəkilli
asılılıq axtarılırsa, onda 0 və 1 parametrləri aşağıdakı sistemdən tapıla bilər.
i
in
ii
n
ii
n
i
i
n
ii
n
i
x
y
xx
yx
n
12
1
1
1
0
11
10
11
1
(2.9)
Əgər dəyişənlər arasında (2.5) parabolik asılılıq axtarılırsa, onda 0 , 1 və
2 parametrləri
n
1ii
2
i
n
1i
4i
n
1i
3i
n
1i
2i
n
1iii
n
1i
3i
n
1i
2i
n
1ii
n
1ii
n
1i
2i
n
1ii
yxxxx
yxx
yxxn
xx
210
210
210
(2.10)
normal tənliklər sistemindən tapılır.
Nümunə 1. Aşağıda verilmiş cədvələ əsasən dəyişənlər arasındakı asılılığı xətti şəkildə
axtarın və onun parametrlərini ən kiçik kvadratlar üsulu ilə tapın.
Cədvəl 2.2
x -1 1 2 3 5 6
y 7,2 5,8 5 3,9 2 0,6
100
Həlli: Burada x və y dəyişənləri arasında xətti asılılıq olduğundan bu funksiyanın ümumi
şəkli belədir:
y=bx+a
Yuxarıda deyilənlərdən göründüyü kimi, belə asılılığın şəklini tapmaq üçün, yəni a və b
parametrlərini müəyyənləşdirmək üçün (2.2) tənliklər sistemini həll etməliyik. Bunun üçün əv-
vəlcə aşağıdakı köməkçi cədvəli düzəldək:
Cədvəl 2.3
n xi yi 2ix xi yi
1 -1 7,2 1 -7,2
2 1 5,8 1 5,8
3 2 5 4 10
4 3 3,9 9 11,7
5 5 2 25 10
6 6 0,6 36 3,6
16 24,5 76 33,9
Verilmiş (xi, yi), i=1...n koordinatlarına uyğun Ai, i=1...n (burada n=6) nöqtələrini düzbucaqlı
koordinat sistemində göstərək.
Şəkil 2.2
Şəkil 2.2-dən göründüyü kimi A1, A2, A3, A4, A5, A6 nöqtələri arasında demək olar ki, xətti
asılılıq var. Deməli, bu asılılığın şəklini tapmaq üçün aşağıdakı sistemə müraciət etmək olar:
598,6
943,0
3,94100
5,24616
7,10148a-228
19648128
)3(9,331676
)8(5,24616
a
b
b
ab
b
ad
ab
ab
Deməli, x və y dəyişənləri arasında asılılığın şəkli aşağıdakı kimidir:
y = -0,943x +6,598
101
Nümunə 2. Azərbaycanda 1997-2004-illədə ümumi daxili məhsulun (ÜDM) həçmi
aşağıdakı çədvəldəki kimi olmuşdur:
Cədvəl 2.4
İllər (t) 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
ÜDM, milyard ABŞ
dolları, (y) 4,0 4,5 4,6 5,3 5,7 6,2 7,3 8,5
ÜDM-in zaman faktorundan asılılığının konkret şəklini tapın.
Həlli: Əgər cədvələ nəzər yetirsək görərik ki, ildən ilə ÜDM–in həcmi artır. Bu bizə ilk
baxışdan ÜDM-in zamandan asılı xətti funksiya kimi axtarmağımıza əsas verir. Beləliklə,
ty 10
Hesablamanın sadə olması üçün zaman faktoru t-ni t = (t-2000) kimi yazaq. Onda zaman faktoru
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 kimi olacaq.
i
iii
i
i
i
yiii
yi
2004
1997
22004
1997
1
2004
1997
0
2004
1997
2004
1997
10
200020002000
20007
6,0
6,5
4,48444
1,4648
1
0
10
10
)2000(6,03,5 ty
Bu onu göstərir ki, baza ili olan 2000-ci ildə Azərbaycanda ÜDM-in həcmi 5,3 milyard ABŞ
dollarına bərabərdir və hər il orta hesabla baza ilinə nəzərən ÜDM-in həcmi 600 milyon ABŞ
dolları artır.
Tapşırıqlar
Aşağıdakı cədvəldə Azərbaycanın bir sıra iqtisadi göstəricilərinin statistik qiymətləri
verilmişdir.
Cədvəl 2.5
İllər
Ümumi
daxili
məhsul (cari
qiymətlərlə),
milyard
AZN
ÜDM-
in
deflyato
ru, %-lə
İqtisadiyyat
da məşğul
olanların
orta illik
sayı, milyon
nəfərlə
Əsas
fondlar
(nominal
qiymətlə),
milyard
AZN
Real ümumi
daxili
məhsul
(1990-ci ilin
qiymətləri
ilə), min
AZN
Real əsas
fondlar,
(1990-ci
ilin
qiymətləri
ilə), min
AZN
İstehlak
xərcləri,
milyard
AZN
Çəmi
əhalinin
sayı,
milyon
nəfərlə
T NUDM UDMD L EF Y K C EHS
102
1995 2,1 645,8 3,6 12,2 122,5 700,3
1996 2,7 126,5 3,7 15,5 124,1 705,2
1997 3,2 109,2 3.7 15,6 131,3 650,1 2.8 7,8
1998 3,4 99,1 3,7 16,3 144,3 685,5 3.3 7,9
1999 3,8 102,2 3,7 16,9 154,9 696,7 3,5 8,0
2000 4,8 112,5 3,7 18,1 174,8 661,8 3,8 8,0
2001 5,3 102,5 3,7 21,0 189,2 746,4 4,0 8,1
2002 6,1 103,1 3,7 22,3 209,3 770,4 4,8 8,1
2003 7,2 104,0 3,7 25,4 237,2 843,6 5,2 8,2
2004 8,4 108,4 3,8 29,1 256,5 889,5 28,4 8,3
2005 11,9 110,2 3,9 330,0 - 8,4
1. İstehlak xərclərinin (C) Ümumi Daxili Məhsuldan (Y) asılılığının
YbaС
xətti funksiyasının a və b parametrlərini ƏKKÜ ilə tapın və b əmsalının iqtisadi
mənasını göstərin.
2. ÜDM-in (Y) əsas fondlar (K) və əhalinin sayından (L) asılı Kobb-Duqlas funksiyasının
1
0 LKaY
yL
Y
və k
L
K
ilə işarə etsək,
ky а0
alarıq. Burada, 0a və parametrlərini ƏKKÜ ilə tapın və parametrlərinin iqtisadi
mənasını göstərin.
2.3. Xətti cüt reqressiya modeli . Statistik təhlil
Tutaq ki, x və y təsadüfi kəmiyyətləri arasında xətti əlaqə mövcuddur:
xy
Fərz edilir ki, x və y-in bütün mümkün qiymətləri üçün belə bir əlaqə vardır.
Müşahidə edilən хi və yi kəmiyyətləri arasındakı düstura təsadüfi səhvi (rus:
ошибка, ing.: eror) əlavə etsək:
y x i ni i i , ,1 (2.11)
alarıq. Burada: i - təsadüfi səhvdir.
103
Cüt xətti reqressiyanın parametrlərinin qiymətləndirilməsi problemi ondan
ibarətdir ki, хi , yi müşahidələrinə uyğun və qiymətlərinin tapılması gərək
Q - ”yaxınlıq meyarı”nın minimum qiymətini təmin etsin. Bunun üçün daha çox ən
kiçik kvadratlar üsulundan (ƏKKÜ) istifadə edirlər. Yuxarıda qeyd edildiyi kimi,
bu zaman minimallaşdırma meyarı kimi y-in müşahidə olunan və reqressiya tənli-
yinə görə hesablanan (”nəzəri”) qiymətlərinin fərqlərinin kvadratları cəmi
götürülür.
min2
i
ii bxayQ ,
burada: ix və iy -lər məlum kəmiyyətlər (müşahidələr), a və b isə və
parametrlərinə uyğun qiymətlənmədir (hələlik məlum deyillər). Qiymətləndirilən
reqressiya tənliyi
ieixbaiy (2.12)
şəklini alır. Burada: ie , i səhvinin müşahidə olunan qiymətidir. ƏKKÜ-dan
istifadə edilən zaman i səhvinə Qauss-Markov şərtləri adlanan aşağıdakı tələblər
irəli sürülür:
1) i - təsadüfi kəmiyyətdir;
2) i - nin riyazi gözləməsi sıfıra bərabərdir: 0iM ;
3) i - səhvinin (kənarlaşmasının) qiymətinin dispersiyası sabitdir; ixtiyari
i və j üçün 2 ji DD ;
4) i - kəmiyyətləri müxtəlif ji, -larda statistik asılı olmayandırlar;
5) i - kəmiyyətləri xi qiymətləri ilə statistik asılı deyillər;
6) i - kəmiyyəti 2;0 N normal paylanmaya malikdir;
Əgər (1, 2, 3, 4, 6) şərtləri (müddəaları) ödənilərsə, onda ƏKKÜ ilə alınan a
və b -nin qiymətləri aşağıdakı xassələrə malik olurlar:
a) qiymətlənmə meylsizdir, daha doğrusu hər bir parametrin riyazi gözləməsi
onun həqiqi qiymətinə bərabərdir: bMaM ; . Bu göstərir ki, xətti
reqressiyanın müddəalarında sistematik səhvlər mövcud deyil.
104
b) əgər müşahidələrin sayı kifayət qədər böyük olarsa, onda a-nın çox güman
ki, qiyməti -nın qiymətinə, b -nin qiyməti -nın qiymətinə yaxındır. Böyük
ədədlər qanununa görə, bu onu göstərir ki, qiymətlənmənin tutarlılığı (statistik
əhəmiyyətliliyi) seçmənin ölçüsünü artırdıqda qalxır.
Başqa sözlə,
0lim;0lim
bDaDnn
.
c) qiymətlənmə bütün meylsiz və qiymətlənmələri içərisində ən kiçik
dispersiyaya malik olduqda effektiv (səmərəli) adlanır.
2.4. Reqressiya tənliyinin təsadüfi həddi haqqında ilkin Ģərtlər.
Qauss-Markov şərtləri
Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika kursundan aydındır ki, reqressiya
əmsalı ( ) təsadüfi həddin ( ) xassəsindən kifayət qədər asılıdır. Daha doğrusu
ən kiçik kvadratlar üsulu ilə tapılan reqressiya tənliyinin parametrləri (a və b)
bütün mümkün nəticələrdən ən yaxşısı olması (Anakütlədakı qiymətə ən yaxın
olması) üçün təsadüfi hədd yuxarıda göstərilən altı şərti – Qauss-Markov şərtlərini
ödəməlidir. Qeyd edək ki, müasir ədəbiyyatlarda reqressiya tənliyinin təsadüfi
tərkibinin üzərinə qoyulan ilkin şərtlər (Qauss-Markov şərtləri) daha da
təkmilləşdirilərək dörd şərt kimi formalaşdırılmışdır.[10, səh. 79-82].
Qauss-Markov şərtlərinə baxaq:
1-ci Qauss-Markov Ģərti: 0)()( ii ME .
Bütün müşahidələr üçün təsadüfi kəmiyyətlərin riyazi gözləmə sıfırdır.
Birinci şərtin mahiyyəti ondan ibarətdir ki, ixtiyari müşahidədə təsadüfi
həddin riyazi gözləməsi sıfır olmalıdır. Bu o deməkdir ki, təsadüfi səhv sistematik
olaraq müsbət və mənfi qiymətlər alır və bu müsbət və mənfi qiymətlər orta
hesabla bir-birini yox edir.
reqressiya tənliyinə sabit əmsal daxil edildikdə düşünmək olar ki, bu birinci
şərt avtomatik ödənir. Belə ki, sabit həddin rolu reqressiya tənliyinə daxil
105
edilməyən izahedici dəyişənlərin nəticə göstəricisinə (y) ixtiyari sistematik
tendensiyanı müəyyən edilməsindən ibarət olur.
2-ci Qauss-Markov Ģərti: 2)()var( ii D .
İkinci şərtin mahiyyəti ondan ibarətdir ki, bütün müşahidələr üçün təsadüfi
həddin dispersiyası sabit ədədə bərabərdir. Bu o deməkdir ki, təsadüfi hədd bəzən
böyük, bəzən də kiçik qiymətlər ala bilər, lakin bu ona səbəb olmamalıdır ki, səhv
bir müşahidə üçün böyük, digər müşahidə üçün kiçik olsun.
Bu sabit dispersiya adətən 2 ilə işarə edilir və şərt aşağıdakı kimi yazılır:
niD ii ,1)()var( 2
Birinci şərtə görə, 0)( iE olduğundan,
)()()()var(222
iiii EEE
Beləliklə,
22)( iE
- kəmiyyəti, yəni təsadüfi həddin standart kənarlaşması məlum olmur.
reqressiya təhlilinin əsas məsələlərindən biri təsadüfi həddin standart
kənarlaşmasının qiymətləndirilməsindən ibarətdir.
Əgər reqressiya tənliyində bu ikinci şərt ödənilməzsə, onda adi ən kiçik
kvadratlar üsulu ilə tapılan reqressiya əmsalı səmərəsiz olacaqdır. Bu zaman
məsləhət görülür ki, parametrlərin (reqressiya əmsallarının) qiymətləndirilməsi
üçün digər üsullardan (məsələn, çəkili ən kiçik kvadratlar üsulu, ümumiləşmiş ən
kiçik kvadratlar üsulu, Monte-Karlo üsulu və s.) istifadə edilsin.
3-cü Qauss-Markov Ģərti: )(0),cov( jiji .
Bu şərtdə nəzərdə tutulur ki, ixtiyari iki müşahidədə təsadüfi həddin
qiymətləri arasında simmetrik əlaqə olmamalıdır. Başqa sözlə, təsadüfi hədlər bir-
birindən asılı olmamalıdır.
Birinci şərtə görə, 0)()( ji EE olduğundan, üçüncü şərti aşağıdakı kimi
yaza bilərik:
)(0),( jiE ji
106
Əgər bu şərt ödənilməzsə, onda reqressiya tənliyinin parametrlərinin adi Ən
kiçik kvadratlar üsulu ilə qiymətləndirilməsi yenə də səmərəsiz (effektsiz) nəticə
verir.
4-cü Qauss-Markov Ģərti: Təsadüfi hədd izahedici dəyişənlərdən asılı
olmayaraq paylanmaya malik olmalıdır.
Bu şərtə görə ixtiyari izahedici dəyişənlərin hər bir müşahidədəki qiyməti
reqressiya tənliyində nəzərə alınmayan kənar səbəblərlə müəyyən olunan endogen
verilməlidir. Əgər bu şərt ödənilərsə, onda təsadüfi hədd və asılı olmayan dəyişən
arasındakı nəzəri kovariasiya sıfıra bərabər olur. Belə ki, 0)( iE . Onda
),()(),(()))(((),cov( iiiiiiiii xEExxExxEx
Beləliklə, dördüncü şərti aşağıdakı kimi yaza bilərik:
0),( ii xE
Normallıq haqqında fərziyyə: Qauss-Markov şərtləri ilə bərabər adətən təsadüfi
həddin normal paylanmaya malik olması haqqında ilkin şərt qəbul edilir. İş
ondadır ki, əgər təsadüfi həddi normal qanunla paylanarsa, onda reqressiya
əmsalı (parametrlər) da normal qanunla paylanacaqdır. Bu şərt reqressiya
tənliyinin qiymətləndirilməsi ilə tapılan parametrlərin statistik əhəmiyyətliliyi
müəyyən edən hipotezlərin yoxlanılmasında və bu parametrlər üçün inamlı
intervalların müəyyən edilməsində lazım gəlir.
Normallıq haqqında fərziyyə mərkəzi limit teoreminə əsaslanır. Bu teoremin
mahiyyəti ondan ibarətdir ki, əgər təsadüfi kəmiyyət çoxlu sayda digər təsadüfi
kəmiyyətlərin qarşılıqlı təsirlərinin ümumi nəticəsidirsə (onların hər biri digərinə
nəzərən üstünlük təşkil etməsi), onda bu təsadüfi kəmiyyət hətta onun ayrıca
tərkibi normal paylanmaya malik olmasa belə təxminən normal paylanmaya malik
olur.
reqressiya tənliyi təsadüfi hədlər aşkar şəkildə daxil olmayan çoxlu sayda
faktorlarla müəyyən edilir. Ona görə də hətta bu faktorların paylanmaları haqqında
heç bir şey bilmiriksə belə onların normal qanunla paylanmaları haqqında fərziyyə
107
qəbul edə bilərik. Digər tərəfdən paylanmada çox nadir hallarda təsadüfi tərkibi
olan proseslər normal paylanmaya malik olmur.
2.4. Reqressiya tənliyinin parametrlərinin qiymət ləndiri lməsi
reqressiya tənliyinin parametrlərinin, yəni a və b -nin qiymətləri Q
funksiyasının minimallaşdırılması yolu ilə (ən kiçik kvadratlar üsulu) tapıla bilər.
Əgər Q - minimumdursa, onda onun xüsusi törəmələri sıfıra bərabərdir:
0;0 // ba QQ
Bu şərt iki dəyişəni (a və b ) və iki xətti tənliyi olan sistem əmələ gətirir.
Onların qiyməti sistem tənliyi həll etməklə tapılır.
Həll aşağıdakı kimidir:
)xvar(
)y,xcov(
i
2)xix(
i)yiy)(xix(
b
(2.13)
xbya , (2.14)
burada: n
x
xn
y
y i
i
i
i ; x və y-in orta qiymətidir (riyazi gözləmə), ix
verilənlərinə uyğun gələn i
y kəmiyyəti təsadüfi adlanır. Buradan çıxır ki, a və b -
nin qiymətləri də təsadüfidir. Onların riyazi gözləmələri uyğun olaraq və -ya
bərabərdir.
a və b -nin qiymətləri nə qədər və ətrafında olarsa (dispersiyaları az
olarsa), bir qədər onlar əhəmiyyətli olarlar. Dispersiyanın tərifinə görə
.)()(
;)()(2
2
aMaD
bMbD
Onların düsturları aşağıdakı kimidir:
i
ixx
SSD
2
2
2
b)b( (2.15)
108
i
i
i
i
axxn
xS
SaD2
22
2)( (2.16)
burada: 2
2
2
n
e
S i
i
- izaholunmaz dispersiyadır (asılı dəyişənin qiymətinin reqressiya
xətti ətrafında dağılması), Sa və b
S a və b parametrlərinin standart meylləridir.
Qiymətləndirilən reqressiya tənliyinin statistik keyfiyyətinin yoxlanılması
aşağıdakı addımlardan ibarətdir.
- hər bir reqressiya əmsalının statistik əhəmiyyətliliyinin yoxlanması;
- reqressiya tənliyinin ümumi keyfiyyətinin yoxlanması;
- reqressiya tənliyinin qiymətləndirilməsi zamanı verilənlərin mövcud
xüsusiyyətlərinin yoxlanması.
Əgər reqressiya tənliyinin köməyi ilə iqtisadi göstəricilər (dəyişənlər)
arasındakı qarşılıqlı əlaqə təhlil edilərsə, onda qiymətləndirmənin nəticəsi
ağlabatan iqtisadi izaha malik olmalıdır. Bu qiymətləndirmə aşağıdakı suallara da
cavab verir:
- nəzəri cəhətdən izah edən faktorun (yuxarıda göstərilən xətti reqressiya
tənliyində bu x dəyişənidir) statistik əhəmiyyətliliyi varmı ?;
- bu faktorların təsir istiqamətini göstərən əmsallar müsbət və ya mənfidirmi
və nə üçün ?;
- reqressiya əmsallarının qiymətləri nəzəri mülahizələrdə nəzərdə tutulan
intervallara daxildirmi ?
2.5. Reqressiya əmsalları üçün hipotezlərin yoxlanılması: t-test
Statistik tədqiqat hipotezin nəzəri qurulması və ya empirik təhlil ilə
başlanır. Həqiqətdə nəzəriyyə və praktika bir-birini tamamlayırlar. Ona görə də
hipotezin yoxlanması məsələsinə iki nöqteyi - nəzərdən yanaşırlar. Birinci
yanaşma ondan ibarətdir ki, əvvəlcə hipotez formalaşdırılır. Sonra isə
eksperimentlər aparmaqla onun qəbul edilib-edilməməzliyi yoxlanılır. Bu
109
hipotezin əhəmiyyətliliyinin yoxlanılmasına gətirir. İkinci yanaşmada isə əvvəlcə
eksperimentlər aparılır. Sonra hansı nəzəri hipotezin eksperimentin nəticələrinə
uyğun olması müəyyən edilir. Bu inamlı intervalların qurulmasına gətirir.
Hipotezin əhəmiyyətliliyin yoxlanması: Birinci yanaşmadan başlayaq. Yəni
hesab edək ki, əvvəlcə hipotez qurulur, sonra isə eksperimentlər aparılır. İqtisadi
nəzəriyyədən iqtisadi göstəricilər arasında hipotetik əlaqələrin və ya asılılıqların
olması bizə məlumdur. Məsələn, hesab etmək olar ki, iqtisadiyyatda ümumi
inflyasiya ( p , %-lə) əmək haqqı artımı ( w , %-lə) ilə yaranan inflyasiya tempindən
asılıdır və bu asılılıq xətti tənliklə təsvir olunur:
uwp ,
Burada, və parametrlərdir, u - təsadüfü həddir. Sonra isə belə bir hipotez
qurmaq olar ki, daxil edilən təsadüfü həddin effektini nəzərə almadan, ümumi
inflyasiya əmək haqqının artması ilə yaranan inflyasiyaya bərabərdir. Bu sıfır
hipotez adlanır və H0 ilə işarə edilir. H0 hipotezi o zaman baş tutur ki, 1 olsun.
Alternativ hipotez də müəyyən edilir və H1 ilə işarə edilir. Alternativ hipotez (H1-
hipotezi) aparılan eksperiment yoxlamaların H0 hipotezinin düzgün olmamağını
göstərir. Başqa sözlə alternativ H1 hipotezi həmin göstəricilərin bir-birinə bərabər
olmamağıdır. Yəni, 1 . Beləliklə formalaşdırılmış iki hipotezi aşağıdakı kimi
yaza bilərik:
1: oH ;
1:1 H .
Konkret bu halda, əgər həqiqətən ümumi inflyasiyanın, əmək haqqı artımı
ilə yaranan inflyasiya tempindən asılılığı hesab olunursa onda H0 hipotezinin
müdafiə olunmasına cəhd edilir. Lakin praktikada daha çox sıfır hipotez qurularaq,
daha sonra doğruluğu fərz edilən alternativ hipotez vasitəsi ilə yoxlanılır. Məsələn
sadə bir tələb funksiyasına baxaq:
uxy ,
burada, y - ərzaq məhsuluna tələbin kəmiyyətini, x isə gəliri göstərir. Keynisin
iqtisadi nəzəriyyəsinə əsaslanaraq tam məntiqidir ki, ərzaq məhsuluna tələb
110
gəlirdən asılıdır. Əgər burada sıfır hipotez qəbul olunarsa, bu o deməkdir ki, y
kəmiyyəti x-dən asılı deyil, yəni, 0 . Alternativ hipotez isə onu göstərir ki, x
dəyişəni y-ə təsir edir. Yəni, 0 . Əgər sıfır hipotez rədd edilərsə, bu onu göstərir
ki, asılılıq mövcuddur. Beləliklə qəbul edilmiş işarələmələrə görə sıfır və alternativ
hipotez uyğun olaraq aşağıdakı şəkildə olacaqdır:
H0-hipotezi: y dəyişəni x dəyişənindən asılı deyil, yəni 0: oH
və
H1-hipotezi: y dəyişəni x dəyişənindən asılıdır, yəni 0:1 H .
İndi isə yuxarıda göstərdiyimiz cüt reqressiya modelində reqressiya
əmsalının əhəmiyyətliliyinin yoxlanmasına baxaq. Eyni prosedura qaydası sabit
həddinə də aiddir. Sıfır hipotezi kimi əmsalının hər hansı bir konkret qiymətə,
tutaq ki, 0 -a, alternativ hipotez kimi isə əmsalının həmin qiymətə bərabər
olmadığını qəbul edək ( 0: oH ; 01 : H ). Fərz edək ki, Qauss-Markovun
dörd şərti ödənilir. Biz sıfır və ya alternativ hipotezlərdən hər hansı birini
məqsədimizdən asılı olaraq qəbul və ya rədd etməyə çalışmalıyıq.
Əgər, H0-hipotezi doğrudursa, onda ən kiçik kvadratlar üsulu ilə tapılan -
nın qiyməti Anakütlədakı b-nin riyazi gözləməsi (yəni 0 ) və )var(
2
xn
u
dispersiyası ilə paylanmaya malikdir. İndi fərz edilir ki, qalıq hədd (u) N-normal
paylanmaya malikdir. Əgər bu doğrudan da belədirsə, onda b –də normal
paylanmaya malik olacaqdır. (bax: şəkil 2.3). Şəkildə qısaldılmış şəkildə
göstərilmiş “ bS ”, b-nin qiymətinin standart kənarlaşmasının kəmiyyətini göstərir.
Daha doğrusu,
)var(
2
xnS u
b
111
Şəkil 2.3. b-qiymətləndirilməsi üçün Normal paylanmanın strukturu
Normal paylanmanın strukturunu nəzərə alsaq, əgər 00 : H hipotezi
doğrudursa onda, b-nin əksər qiymətləri 0 -ın iki standart kənarlaşmanın arasında
olacaqdır.
İnamlı intervallar:
krtbss
b
)(.
və ya krt
bss
b
)(.
krkr tbssbtbssb ).(.).(.
bS20 bS0 bS0 bS20
б цчцн ещтималын
сыхлыг функсийасы
b 0
112
Şəkil 2.4
I və II tərtib səhvlər: I tərtib səhv o zaman olur ki, doğru H0 hipotezi rədd edilir.
II tərtib səhv isə o zaman baş verir ki, yalan hipotez rədd edilmir. Əhəmiyyətlilik
səviyyəsi ədədi böyük olduqda, II tərtib səhv aşağı olur.
Reqressiya əmsallarının əhəmiyyətliliyi aşağıdakı formal üsulla yoxlanılır:
b - reqressiya əmsalı onun standart səhvinə ( )(bDSв ) bölünür.
Əgər b
S
b - kəmiyyəti Qauss-Markov şərtlərini ödəyərsə (n-2), sərbəst dərəcəli
(n - müşahidələrin sayıdır) t – paylanma vardır (Styudent paylanması). Bu, t –
statistika adlanır.
bS
b
bD
bt
)(
t - statistika üçün sıfır hipotezi yoxlanılır. Daha doğrusu, onun sıfra
bərabərliyi haqqında hipotez yoxlanılır.
Əgər t>tkr (tkr - t statistikasının cədvəldən tapılmış kritik qiyməti olarsa,
onda sıfır hipotez rədd edilir. Başqa sözlə, b =0 olması rədd edilərək b -yə ƏKKÜ
ilə tapılmış qiymət əhəmiyyətli hesab olunur.
%5,2 05,0 %5,2
Щипотезин гябул областы
b
113
Nümunə: t - statistikasını təhlil etmək üçün Fillips əyrisinin modelinə baxaq.
1990-1994-cü illər üzrə n=5 Azərbaycanın verilənlərinə görə cüt reqressiya tənliyi (P -
inflyasiyanın, u isə işsizliyin səviyyəsidir)
uP 80,2764,6377
s.s. (98,7)
kimi olmuşdur. b - reqressiya əmsalının standart səhvi 7,98).( b
ss olmuşdur. Deməli,
8,27,98
80,276t
Tutaq ki, əhəmiyyətlilik səviyyəsi ikitərəfli alternativ hipotez üçün 0,01 bərabərdir (bu onu
göstərir ki, əgər 0b olarsa, onda həm müsbət, həm də mənfi ola bilər). Styudent
paylanmasının cədvəlindən tapmaq olar ki, (n-2)=3 sərbəst dərəcəli ikitərəfli kritik qiymət
tkr=t3 : 0,99=5,841 bərabərdir. [bax: Əlavə 2]
841,58,2 t
0,10 əhəmiyyətlilik səviyyəsində isə
tkr=t3 : 0,9=2,35
35,28,2 t
[bax: Əlavə 2]
Deməli, birinci halda 0,01 əhəmiyyətlilik səviyyəsində sıfır hipotezini rədd etmək olmaz.
İkinci halda isə (0,10 əhəmiyyətlilik səviyyəsində) rədd edilir. Bu isə o deməkdir ki, v-nin
alınmış qiymətini 99%-li inamlı intervalla qəbul etmək olmaz, 90%-li inamlı intervalla isə əhə-
miyyətli hesab etmək olar.
Cüt xətti reqressiya əmsalının əhəmiyyətliliyinin yoxlanılması, x və u
dəyişənlərinin korrelyasiya əmsalının əhəmiyyətliliyinin yoxlanılması ilə
ekvivalentdir.
Xətti reqressiya əmsalının statistik əhəmiyyətliliyini yoxlamaq üçün aşağıdakı
təqribi qaydanı göstərə bilərik. Əgər b -əmsalının b
S standart səhvi onun moduldakı
qiymətini aşarsa ( 1t ), onda qiyməti yaxşı (əhəmiyyətli) saymaq olmaz. Əgər b
S
kəmiyyəti əmsalın modulundan kiçik olarsa, lakin onun yarısından çox olarsa
(1 2 t ), onda müəyyən dərəcədə əhəmiyyətlidir. Bu halda inamlı ehtimal
təqribən 0,7 və 0,95 arasında olur. Əgər 3
),(2
bss
bb
114
olarsa, daha doğrusu 2 3 t , onda asılılıq tamamilə əhəmiyyətlidir (inamlı eh-
timal 0,95 və 0,99 arasında olur).
Əgər t 3 olarsa, onda qiymətin statistik əhəmiyyətliliyi aşkardır. Hər bir
xüsusi halda nəticə müşahidələrin sayından asılıdır. Müşahidələrin sayı nə qədər
çoxdursa, t - statistikanın həmin qiymətində parametrin tapılmış qiymətinin əhə-
miyyətliliyi bir o qədər böyük olur. Lakin n-in 10 və ondan böyük qiymətlərində
fərq o qədər də əhəmiyyətli olmur.
Tapşırıqlar
Aşağıdakı verilmiş cədvəldəki göstəricilərin statistiq qiymətləri əsasında Eiews –da pula
tələb və istehlak funksiyalarının parametrləri qiymətləndirilmişdir:
1) parametrlərin t-statistika ilə əhəmiyyətlilik səviyyələrini Eiews –dan alınmış cədvəllər
əsasında yoxlayın ( bax:(a) və b)).
2) sıfır hipotezin P-ehtimal qiyməti ilə əhəmiyyətlilik səviyyələrini Eiews –dan alınmış
cədvəllər əsasında yoxlayın ( bax:(a) və b)).
İllər Pul kütləsi(pula
tələb) (M), min
AZN
Son istehlak (C),
min AZN
ÜDM-n
deflyatou(ÜDM
D), faizlə
Ümumi daxili
Məhsul(Y), min
AZN
1993 13080.00 30080.00 847.6000 31420.00
1994 86200.00 374530.2 1484.400 374680.0
1995 191520.0 2072800. 645.8000 2133800.
1996 240840.0 2724400. 126.5000 2732640.
1997 311260.0 2750200. 109.2000 3158280.
1998 243700.0 3274080. 99.10000 3440620.
1999 280860.0 3450040. 102.2000 3775080.
2000 325820.0 3753760. 112.5000 4790100.
2001 351120.0 3994160. 102.5000 5315600.
2002 406420.0 4565320. 103.1000 6062460.
2003 518440.0 5010840. 104.0000 7146500.
2004 683600.0 5861300. 108.4000 8530200.
2005 NA 5918300. 110.2000 11875600
a) Pula tələb funksiyasının qiymətləndirilməsi
Dependent Variable: M
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1993 2004
Included observations: 12 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
Constant 32450.96 21876.95 1.483340 0.1688
Y 0.068717 0.004700 14.62127 0.0000
R-squared 0.955314 Mean dependent var 304405.0
Adjusted R-squared 0.950845 S.D. dependent var 179949.9
S.E. of regression 39896.60 Akaike info criterion 24.17698
Sum squared resid 1.59E+10 Schwarz criterion 24.25780
Log likelihood -143.0619 F-statistic 213.7814
Durbin-Watson stat 1.211695 Prob(F-statistic) 0.000000
115
M = 32450.96+ 0.068717*Y
b) Istehlak funksiyasının qiymətləndirilməsi
Dependent Variable: C
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1993 2005
Included observations: 13 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
Constant 976506.7 306808.9 3.182784 0.0087
Y 0.523611 0.055239 9.479090 0.0000
R-squared 0.890931 Mean dependent var 3367678.
Adjusted R-squared 0.881015 S.D. dependent var 1825411.
S.E. of regression 629660.8 Akaike info criterion 29.68439
Sum squared resid 4.36E+12 Schwarz criterion 29.77130
Log likelihood -190.9485 F-statistic 89.85314
Durbin-Watson stat 0.897437 Prob(F-statistic) 0.000001
C = 976506.7+ 0.523611*Y
116
2.6. Determinasiya və dəqiqləĢdirilmiĢ determinasiya əmsalları
Reqressiya modellərinin adekvatlıq ölçüsü kimi determinasiya əmsalından
istifadə edilir:
n
i
i
n
i
i
yy
yy
r
1
2
1
2
2
)(
)(
, (2.17)
burada: iy nəticə göstəricisi statistikadan verilmişdir, iy isə tapılmış reqressiya
tənliyindən alınmış qiymətləridir.
Determinasiya əmsalının müsbət kvadrat kökü korrelyasiya əmsalına
bərabərdir. Determinasiya əmsalının qiyməti nə qədər böyük alınarsa, reqressiya
tənliyində nəticə göstəricisinin apraksimasiya səviyyəsi bir o qədər yüksək olur.
10 2 r
Lakin determinasiya əmsalının bəzi çatışmazlığı vardır. Bu çatışmazlıq ondan
ibarətdir ki, determinasiya əmsalının böyük qiyməti sınaqların və ya müşahidələrin
sayının azlığı səbəbindən alına bilər. Bu çatışmazlıq dəqiqləĢdirilmiĢ determi-
nasiya əmsalı vasitəsi ilə aradan qaldırılır. Bir izahedici dəyişən (x) olduqda bu
əmsal aşağıdakı kimi hesablanır:
)1(2
11 22* r
n
nr
(2.18)
Əgər m sayda izahedici dəyişən olarsa ( mxxx ,...,, 21 ) onda
)1()1(
11 22* r
mn
nr
(2.19)
olur.
2.8. ÇoxdəyiĢənli xətti reqressiya modeli
İqtisadi dəyişənlərin (göstəricilərin) qiymətlərinə adətən çoxlu amillər tə’sir
göstərir. y f x ( ) şəklində yazılışda x, m sayda komponentdən ibarət vektor olur:
117
х х х хm ( , ,..., )1 2 . y və x dəyişənləri arasındakı xətti əlaqəni (reqresiyanı) qiymətlən-
dirək:
mmxxxy ...22110 , (2.20)
burada: ( , ,..., )0 1 m -reqressiya əmsallarının vektoru, isə təsadüfi
səhvlərdir. Fərz edilir ki i -səhvləri sıfır orta və sabit dispersiya ilə normal
paylanıb. i və j i j olduqda statistik asılı deyirlər.
Beləliklə, (m+1) sayda j parametrlərini n sayda müşahidələrdən
(sınaqlardan) götürülmüş seçmə əsasında qiymətləndirmək lazımdır. Daha
doğrusu, u və x dəyişənləri arasında ümumiləşmiş (çoxhədli) xətti reqressiya asılı-
lığı qiymətləndirilir.
Məsələ (m+1) ölçülü vektorunu tapmaqdan ibarətdir. Bu tapılmış vektorun
elementləri vektorunda uyğun elementlərin qiymətləri olur. Məsələ adətən
ümumiləşmiş ən kiçik kvadratlar üsulu (UƏKKÜ) ilə həll edilir. Bu üsulun
köməyilə
exaxaxaay mm ...22110 (2.21)
tənliyi qiymətləndirilir. Burada qalıqların (meyllərin) kvadratları cəmi
minimumlaşdırılır: Q= i
ie2min
Məsələni formal həll etmək üçün n m 1 şərtinin ödənilməsi zəruridir.
(n m 1) müsbət fərqi sərbəst dərəcə ədədi (sayı) adlanır.
Qiymətlənmənin statistik e’tibarlılığının (əhəmiyyətliliyinin) tə’min olunması
üçün müşahidələrin sayının qiymətləndirilən parametrlərin sayından ən azı üç dəfə
çox olması tələb olunur.
Əgər 1 - 6 müddəaları ödənilərsə, onda ümumiləşmiş (çoxluq) xətti
reqresiyanın parametrlərinin qiymətləri qatışmayan, əhəmiyyətli və səmərəli
adlanır.
Q funksiyasının minimum nöqtəsində bütün aj - lərə görə xüsusi törəmələri
sıfra bərabərdir. Bu xüsusi törəmələr aj kəmiyyətlərinin xətti funksiyası olur. Biz
(m+1) sayda xətti tənliyi və (m+1) sayda dəyişəni olan sistem alırıq. Bu sistem
normal tənliklər sistemi adlanır. Belə sistemlərin adətən yeganə həlli olur.
118
Hər bir aj əmsalı üçün ayrıca sıfır hipotezi yoxlamaq üçün t –statistika
hesablanır:
j
j
aS
at
Onlar aj halında (n-m-1) sərbəst dərəcə ilə Styudent paylanmasına malik
olurlar. Ümumiləşmiş (çoxluq) reqressiya əmsallarının statistik
əhəmiyyətliliklərinin yoxlanması prosedurası cüt reqressiya halında olduğu
kimidir.
2.9. Reqressiya əmsalının ümumi keyfiyyətinin yoxlanması: F-test
reqressiya əmsalının ümumi keyfiyyətini yoxlamaq üçün adətən
determinasiya əmsalından ( 2R -dan) istifadə edirlər. Cüt reqressiya halında o,
r x y( , ) -korrelyasiya əmsalının kvadratına bərabərdir. R2 üçün düstur aşağıdakı ki-
midir:
n
i
i
n
i
i
yy
e
R
1
2
1
2
2
)(
1 0 12 R (2.22)
R2 - əmsalının statistik əhəmiyyətliliyini müəyyən etmək üçün F-statistika
üçün sıfır hipotez yoxlanılır.
F - statistika üçün düstur belədir:
m
mn
R
RF
1
1 2
2
(2.23)
Yoxlanılan hipotezin məğzi ondan ibarətdir ki, reqressiya tənliyinin sərbəst
həddən başqa bütün əmsalları sıfra bərabər olur. Əgər o doğrudan da baş heyətdə
sıfra bərabərdirsə, onda reqressiya tənliyi yy və R2 determinasiya əmsalı və F –
statistika da sıfra bərabərdir.
Əgər 1-5 şərtləri ödənilərsə, onda sıfır hipotezinin ödənilməsi zamanı F
kəmiyyəti (m;n-m-1) sərbəst dərəcəli Fişer paylanmasına malikdir. Bu, mənfi
olmayan təsadüfi kəmiyyətlərin iki parametrli paylanmasıdır. Xüsusi halda m=1
119
olduqda, t Styudent paylanmasına malik olan təsadüfi kəmiyyətin kvadratının pay-
lanması olur. Fişer paylanması üçün xüsusi cədvəl olur. F üçün sıfır hipotezin
yoxlanması zamanı onun verilmiş əhəmiyyətlilik səviyyəsi üçün tircF - kritik
qiyməti tapılır. Əgər F tircF olarsa, sıfır hipotez rədd edilir. Cüt xətti reqressiya
halında t - statistika üçün sıfır hipotezin yoxlanması F-statistika üçün sıfır
hipotezin yoxlanmasının ekvivalentidir.
Misal: (Azərbaycanın 1990-1994-cü illər üçün Fillips əyrisinin tənliyi, 5
müşahidə) u8,2764,6377 45,02R . Buradan çıxır ki, 355,0/345,0 F .
(1;3) sərbəst dərəcə üçün F-paylanmanın 5%-li əhəmiyyətlilik səviyyəsində (95%
ehtimalla inamlı interval) tircF qiyməti 10,1-ə bərabərdir.
3F tircF olduğu üçün sıfır hipotez rədd edilmir. Yə’ni determinasiya
əmsalının alınmış qiyməti əhəmiyyətli deyil.
2.10. Qalıqların (ei-in) bir sıra fərz edilən xüsusiyyətlərinin yoxlanması.
Darbin-Vatson statistikası
Xətti reqressiya modelinin reqressiya əmsallarının standart səhvlərinin
hesablanma düsturu ancaq Qauss-Markov şərtləri ödənildikdə korrekt olur. Ona
görə reqressiya tənliyi qiymətləndirildikdən sonra bu şərtlərin ödənilib-ödənil-
məməsini yoxlamaq lazımdır. Biz qalıqların (ei-lərin) statistik asılı olmamaları
haqqındakı hipotezin yoxlanmasını göstərək. Bunun üçün qonşu еi -lərin bir-
birindən asılı olub-olmaması yoxlanılır. Bu meyllərin statistik asılı olmamazlıqları
üçün zəruridir, ancaq kafi deyil. Burada ola bilsin birinci tərtib r e ei i( , )1
avtokorrelyasiya əmsalı hesablanıb təhlil edilsin. Lakin onun yerinə adətən Darbin-
Vatson ( DW ) əmsalı istifadə edilir. Onun düsturu aşağıdakı kimidir:
n
i
i
n
i
ii
e
ee
DW
1
2
2
2
1 )(
(2.24)
120
DW -kəmiyyəti ri i, 1 ilə sıx əlaqəlidir. )1(2 1, iirDW . Əgər hər bir еi dəqiq
еi1-ə bərabərdirsə, onda 0DW ; əgər е еi i 1 , onda 4DW , başqa hallarda
40 DW olur
- еi kəmiyyətləri arasındakı birinci tərtib avtokorrelyasiyanın müsbət olduğu
halda DW sıfra yaxın olur;
- еi kəmiyyətləri arasındakı birinci tərtib avtokorrelyasiyanın mənfi olduğu
halda DW 4-ə yaxın olur;
- еi kəmiyyətləri arasındakı birinci tərtib avtokorrelyasiyanın olmadığı halda
DW 2-yə yaxın olur.
DW statistikası üçün sıfır hipotezi yoxlanılır. Başqa sözlə, sıfır hipotezi kimi
avtokorrelyasiyanın mövcud olmaması qəbul edilir. DW paylanması cədvəli
verilmiş müşahidə və izahedici dəyişənlərin sayında və verilmiş əhəmiyyətlilik sə-
viyyəsində DW -nin kritik qiymətinin tapılmasına imkan verir. Cədvəlin köməyilə
inamlı interval tapılır. Bu intervalın içərisində sıfır hipotezi ya rədd edilir ya da
rədd edilmir. Burada Darbin-Vatson statistikasının 2-dən az olan iki kritik qiyməti-
nin olması əhəmiyyətlidir: aşağı dl-qalıqların müsbət avtokorrelyasiyasının
mövcudluğunun qəbul edilməsinin sərhəddi; yuxarı d u -onun yoxluğunun qəbul
edilməsinin sərhəddidir. Bu, onunla əlaqədardır ki, DW -statistikasının paylanması
təkcə müşahidələrin və izah edən dəyişənlərin sayından deyil, həmçinin izah edən
dəyişənlərin qiymətindən də asılıdır. Qalıqların mənfi avtokorrelyasiyası haqqında
hipotezi yoxlamaq üçün bu iki qiymət 2 ədədinə nisbətən simmetrik olmalıdır.
Qalıqların müsbət
avtokorrelyasiyası
mövcuddur.
Qeyri-müəyyənlik
zonası
Qalıqların
avtokorrelyasiyası
mövcud deyil
(arzu olunan hal).
Qeyri-müəyyənlik
zonası
Qalıqların mənfi
avtokorrelyasiyası
mövcuddur.
0 dl du 4-du 4-dl 4 DW
Şəkil 2.5 Darbin-Vatson statistikasının yoxlanılması mexanizmi
121
Məsələn, 275 4 9 8, , u (Azərbaycanın 1990-1997-ci illər üçün Fillips əyrisinin
tənliyi, 8 müşahidə) cüt reqressiya tənliyi üçün DW 09, . Əgər əhəmiyyətlilik
dərəcəsi 5% olarsa, onda cədvəldən tapırıq ki, 33,1;76,0 ul dd
ul dDWd .
Deməli, qalıqların avtokorrelyasiyası qeyri-müəyyənlik zonasına düşür. Başqa
sözlə, qalıqların avtokorrelyasiyası haqqında sıfır hipotezini nə rədd, nə də qəbul
etmək olmur.
Müşahidələrin sayı kifayət olan zaman (10-15-dən az olmamaqla) 1-3 iza-
hedici dəyişənlə DW kəmiyyəti 1-dən kiçik və 3-dən böyük olmamalıdır. Başqa
hallarda biz qalıqların avtokorrelyasiyasını etiraf edirik və asılılıq düsturunu
yaxınlaşdırmağa çalışırıq. Belə avtokorrelyasiya olduqda asılılıq düsturunun düz-
gün seçilməməsi haqqında, izah edən dəyişənlərin heyəti haqqında, ya da
ie kəmiyyətlərinin xüsusi statistik əlaqəsi haqqında danışa bilərik. Bu halda ilkin
reqressiya əmsalının qiyməti qarışıq olur, onların standart səhvləri isə dəqiq hesab
olunmur. Bəzən də DW -statistikası əvəzinə ədəbiyyatlarda Neyman ortası istifadə
edilir [1].
Qalıqların başqa tələb olunan xüsusiyyətlərini də yoxlamaq olar. Məsələn,
homoskelastiklik adlanan xüsusiyyətlə onların dispersiyalarının sabitliyini (stabil-
liyini) yoxlamaq olar [7,səh. 212-218].
Ümumiyyətlə xətti və ya qeyri-xətti reqressiya tənliklərinin
qiymətləndirilməsi üçün daha ətraflı metodikalarla [1,2,3,4,6,17] ədəbiyyatlarında
tanış olmaq olar.
2.11. Avtokorrelyasiyanın aradan qaldırılması
Birinci tərtib avtokorrelyasiyaya ədəbiyyatlarda daha çox diqqət yetirirlər.
Çünki bu daha mürəkkəb avtokorrelyasiyanın olub-olmadığının
müəyyənləşdirilməsinə imkan verir. Birinci tərtib avtokorrelyasiya modeldə
122
aparılan sadə çevirmə ilə aradan qaldırıla bilər. Tutaq ki, reqressiya tənliyi
aşağıdakı kimi verilmişdir:
iii ubxay (2.25)
Proses avtokorrelyasiyaya malik olduğu üçün iu - qalığını
i1ii uu (2.26)
kimi yazaq.
Əgər (2.25) tənliyini bir dövr əvvəlki gecikmə ilə yazıb -ya vursaq,
1i1i1i uxbay (2.27)
alarıq.
(2.27)-ü (2.25)-dən çıxsaq,
1ii1ii1ii uuxbbx)1(ayy (2.28)
i1ii1ii xbbxy)1(ay (2.29)
(2.29) modelinin avtokorrelyasiyadan azad olunmasını düşünə bilərik, çünki
təsadüfi hədd yeni i -ə gətirilmişdir.
Daha ümumi çoxluq (toplu) reqressiya modeli üçün
imimi22i110i uxa...xaxaay (2.30)
iu ilə əlaqəli AR(1) avtokorrelyasiyanın aradan qaldırılması prosedurası eyni ilə
yuxarıda göstərilən kimidir:
1i1mim1i1101i uxa...xaay (2.31)
(2.30)-dan (2.31)-ı çıxsaq və qruplaşdırma aparsaq,
i1mimmim1i111i0i xaxa...xay)1(ay (2.32)
Qeyd edək ki, (2.32) modeli qeyri-xəttidir, çünki x-in gecikməsini göstərən
dəyişənin əmsalı onun cari qiymətinin və 1iy -in əmsallarının ( ) hasilinin
qiymətinə bərabərdir. Bu onu göstərir ki, həmin əmsalların qiymətləndirilməsi
üçün adi ən kiçik kvadratlar üsulundan istifadə edilə bilməz. Əgər istifadə edilərsə,
onda tapılmış əmsalların Anakütlədakı nəzəri qiymətləri xarakterizə etməsinə
təminat verilə bilməz. Belə qiymətləndirmə üçün digər üsullardan, məsələn, qeyri-
123
xətti ən kiçik kvadratlar üsulundan və maksimum həqiqətə uyğunluq
üsullarından istifadə etmək daha yaxşı olardı.
2.12. Heteroskedastiklik
Burada ekonometrik modelləşdirlmə üçün mühüm əhəmiyyət kəsb edən
heteroskedastiklik öyrəniləcəkdir. Bu termin səhvlər vektorunun kovariasaiya
matrisi diaqonal olduqda, lakin baş diaqonal elementləri müxtəlif olduqda işlədilir.
Başqa sözlə, müxtəlif müşahidələrdəki səhvlər asılı olmurlar, lakin onların
dispersiyaları müxtəlif olur(bax: şəkil 2.7).
Reqressiya tənliklərindəki məlum olmayan parametrlərin qiymətləndirilməsi
problemi formal olaraq ümumiləşmiş ən kiçik kvadratlar üsulu (ÜƏKKÜ) ilə həll
edilir. Lakin bu zaman səhvlər vektorunun kovariasiya matrisinin () məlum
olması tələb olunur ki, bunun da məlum olması nadir hallarda mümkün olur. Ona
görə nəzəri mənbələrlə yanaşı ÜƏKKÜ-nun praktiki istifadəsinin bir sıra
cəhətlərinə toxunulması zəruridir.
Şəkil 2.6 Homoskedastiklik
124
Şəkil 2.7 Heteroskedastiklik
Yuxarıda qeyd edildi ki, heteroskedastiklik onu göstərir ki, səhvlər korrellyar
(rus.: korrelirovannıy, ing.: correlated) təşkil etmirlər (asılı deyillər), lakin sabit
dispersiyaya da malik deyillər. Klassik olaraq səhvlər sabit dispersiyaya malik
olduqda homoskedastiklik adlandırılır (bax: şəkil 2.6). Qeyd etmək lazımdır ki,
heteroskedastiklik əgər təhlil edilən obyekt yumşaq deyilərsə bircins olmadıqda
kifayət qədər tez-tez rast gəlinir. Məsələn, əgər müəssisənin ödədiyi vergilərin
həcminin hansısa bir amildən tutaq ki, müəssisənin gəlirindən asılılığı tədqiq
edirdisə, onda təbii olaraq gözləmək olar ki, böyük müəssisələr üçün vergilərin
dəyişməsinin miqdarı kiçik müəssisələrə nisbətən böyük olacaq. Bu isə səhvlərin
dispersiyasının sabitliyinin pozulmasına gətirib çıxara bilər.
Heteroskedastikliyin aradan qaldırılmasının bir sıra üsulları vardır. Bu üsullar
heteroskedastikliyin müxtəlif şəkildə meydana çıxması ilə əlaqədar olaraq tətbiq
edilir.
2.12.1. Çəkili ən kiçik kvadratlar üsulu
Tutaq ki,
125
b
axxxy ),,1(, , (2.33)
fərz edilir ki, səhvlər vektorunun ( ) kovariasiya matrisi diaqonaldır,
niii ,...,2,1,)cov( 2
bəzən aşağıdakı kimi təsvir etmək əlverişli olur:
n
i
ii
1
22
burada, i elə normallaşdırılıb ki,
nn
i
i 1
olsun. Onda nii ,...,2,1,1 olduqda model klassik hala gətirilir. ÜƏKKÜ bu
halda çox sadə olur. (2.33)-nin hər bir tənliyi uyğun i kəmiyyətinə bölünür.
i
k
j i
ij
j
i
i uxy
1
, (2.34)
burada, i
iiu
, həmçinin D(ui)=var(ui)=1, cov(ui ,us)=0, is. (2.34)-ə standart
ƏKKÜ tətbiq edilir. ÜƏKKÜ ilə qiymətləndirmə b=(b1,…,bk)/-lərə görə
minimallaşdırma nəticəsində alınır.
2
1 1
1)(
n
i
k
j
ijji
i
xbybf
Bu çevirmənin mahiyyətini başa düşmək çətin deyil. Belə ki, adi ƏKKÜ ilə
qalıqların kvadtarlarının cəmini minimallaşdırırıq.
min)(1
2
1
n
i
k
j
ijji xbyb
Yumşaq desək, müxtəlif cəmlər (toplananlar) müxtəlif dispersiyalara malik
olduğu üçün müxtəlif statistik töhvə verir. Nəticədə ƏKKÜ ilə qiymətləndirməyə
effektivsizliyə gətirir. Hər bir müşahidəni i
1 əmsalı ilə «çəkməklə» biz belə qeyri-
bircinsliyi aradan qaldırırıq. Qeyd edək ki, bu onu göstərir ki, biz kiçik dispersiyalı
126
müşahidəyə böyük «çəki» veririk. Ona görə də ÜƏKKÜ-u hetereskedastikliyi olan
sistemlər üçün çəkili ən kiçik kvadratlar üsulu adlandırırlar.
2.12.2. Heteroskedastikliyin aradan qaldırılması
Əgər i ədədi məlum deyilsə (bir qayda olaraq praktikada belə olur), onda 2
i
dispersiyasını qiymətləndirən əlverişli, yəni istifadəsi mümkün ola bilən ÜƏKKÜ-
dən istifadə olunması zəruridir. Belə ki, bu parametrlərin sayı n-ə bərabər olduğu
üçün matrisinin strukturuna əlavə məhsudiyyətlər olmadan dispersiyanın
qəbuledilən qiymətləndirilməsinin alınmasına ümüd olmur. Aşağıda biz
hetereskedastikliyə malik bir neçə sinif modellərə baxacağıq. Bu modellərdə belə
məhdudiyyətlərin qoyulması hesabına matrisinin kafi şəkildə
qiymətləndirilməsinə nail olmaq olur. Bu zaman əlverişli (mümkün) ÜƏKKÜ və
SLFG - qiymətləndirilməsindən istifadə edilir[8, səh.169-177]. Korreksiya
aşağıdakı hallar üçün həyata keçirilir.
1. Səhvlərin standart kənarlaşmaları asılı olmayan dəyişənə proporsional
olması.
Bir sıra hallarda hesab etmək olar ki, səhvin standart kənarlaşması asılı
olmayan dəyişənlərdən birinə düz proporsionaldır, məsələn, 222: ikik xx . Onda i-
ci tənliyi xik, (i=1,2,…,n)-yə bölüb və asılı olmayan yeni ik
ij
ijx
xx dəyişənlər və
yeni asılı dəyişən kjnix
yy
ik
iij ,...,2,1,,...,2,1, daxil edilərək klassik reqressiya
modeli alırıq. ƏKKÜ ilə bu modelin əmsallarının qiymətləndirilməsi birbaşa
olaraq ilkin verilən modelin qiymətləndirlməsini verir. Onu da yada saxlamaq
lazımdır ki, x-də birinci reqressor (asılı olmayan sabit faktor) vahidlərdən
düzəldilmiş dəst olduğu üçün yeni modeldə sərbəst həddin və ik
ix
x1
1 -nin
əmsalının qiymətləndirilməsi ilkin modeldəki uyğun xtk-nin əmsalının və sərbəst
həddin qiymətləndirilməsi olur.
127
2. Səhvlərin dispersiyası ancaq iki qiymət alır:
1
2
1
2 ,...,2,1, nii , üçün
211
2
2
2 ,...1, nnnii , üçün
Ancaq, 2
1 və 2
2 məlum deyil. Başqa sözlə birinci n1 sayda müşahidədə səhvlərin
dispersiyası bir qiymət, sonrakı n2 sayda müşahidədə isə başqa qiymət alır. Bu
halda təbii olaraq aşağıdakı variantlarda ümumiləşmiş ən kiçik kvadratlar üsulunun
tətbiqi mümkündür.
a. adi reqressiya modeli qiymətləndirilərək qalıqlar vektorunu almaq və onu
uyğun olaraq ölçüləri n1 və n2 olan iki e1 və e2 alt vektorlarına ayırmaq;
b. 2
1 və 2
2 dispersiyaları üçün 1
112
1ˆ
n
ee və
2
222
2ˆ
n
ee qiymətləndirməsi
qurmaq;
c. birinci n1 sayda tənliyi 1 , sonrakı n2 sayda tənliyi isə 2 -yə bölərək yeni
dəyişənlər yaratmaq;
d. yeni yaradılmış, daha doğrusu çevrilmiş modellər üçün adi qiymətləndir-
məni həyata keçirmək.
Sübut olunub ki, 2
1 və 2
2 statistik qiymətlənməsi meyllidir [8,səh.154-59]
ancaq onlar tutarlıdır [9]. Aydındır ki, bu üsul dispersiyanın iki deyil, daha çox
qiymət aldığı hallar üçün də ümumiləşdirilə bilər.
3. Dispersiyanın tutarlı (sostoətelğnoe-tutarlı, sübutlu, mötəbər, doğru)
qiymətləndirilməsi.
İndi isə tutaq ki, hetereskedastikliyə malik olan (10) modelində parametrlər
vektorunun qiymətləndirilməsi üçün adi ƏKKÜ istifadə edilir. Müəyyən
olunmuşdur ki, [8, fəsil 5] bu kimi qiymətləndirmə tutarlıdır və statistik meylli
deyil, lakin onun kovariasiya matrisinin
12 xxvarD SLOar
ˆˆ)ˆ(
standart qiyməti meyllidir və tutarlı deyil. Qeyd edək ki, kompüter paketlərində
reqressiya əmsallarının qiymətləndirilməsi zamanı reqressiya əmsallarının standart
səhvləri elə bu düsturla hesablanır. Hetereskedastiktiyə düzəliş və kovariasiya
128
matrisinin yaxşılaşdırılması üçün daha çox iki qiymətləndirmə üsullarından 1) Ağ
(White) şəklində standart səhvlər və 2) Nyu-Vest şəklində standart səhvlər
üsullarından istifadə edirlər [8, səh.173-75].
Uayt (White, 1980) göstərmişdir ki,
1
1
21 1ˆ)ˆ(
xxxxe
nxxnvarD
n
s
sss , (2.35)
qiymətlndirməsi, yəni reqressiya əmsallarının qiymətləndirilməsinin kovariasiya
matrisinin qiyməti tutarlıdır.
(2.35) düsturu ilə hesablanan standart kənarlaşmalar Uayt (White) şəkilli
standart səhvlər və ya heteroskedastiklik olduğu halda tutarlı standart səhvlər
adlanır.
2.12.3. Heteroskedastikliyin yoxlanması üçün testlər
Xırdalıqlarına kimi tədqiq etmədən heteroskedastikliyin yoxlanması üçün
ümumi isifadə olunan bir neçə statistik testlər göstərək. Bir qayda olaraq hər bir
testin təsvirindən (mahiyyətindən) aydın olur ki, onların hansı əhəmiyyətlidir.
Bütün bu testlərdə əsas hipotez olan 22
2
2
10 ...: nH hipotezi alternativ H1:H0
doğru deyil hipotezinə qarşı yoxlanılır.
Uayt (White) testi istisna olmaqla əksər testlər bu və ya digər situasiyalarda
heteroskedastikliyin təcrübədən asılı olmayaraq xarakterinə aid olan struktur
məhdudiyyətin olub-olmamasının yoxlanmasına yönəldilib [8,səh.177-183].
Uayt (White) testinin mahiyyəti aşağıdakından ibarətdir. Modeldə
heteroskedastiklik halı səhvlərin dispersiyası hər hansı şəkildə asılı olmayan
dəyişənlərdən asılılığı kimi mövcud olur və hetereskedastiklik hansısa şəkildə ilkin
verilən modelin adi reqressiya qalıqlarında əks olunur. Bu ideyadan istifadə edərək
Uayt (White, 1980) heteroskedastikliyin strukturuna heç bir fərziyyə irəli
sürmədən H0 hipotezinin yoxlanılması üsulunu təklif etmişdir. Əvvəlcə ilkin
verilən modelə adi ƏKKÜ tətbiq edilərək ei, i=1,2,…,n reqressiya qalıqları tapılır.
129
Sonra bu qalıqların (RESİD) kvadratlarının ( 2
ie ) bütün x reqressorlarından (xətti
asılı olmayan faktorlardan), onların kvadratlarından, cüt-cüt hasillərindən və
sabitdən asılılığının reqressiya tənliyinə baxılaraq qiymətləndirilir.
iii ebxay (2.36)
2
321
2
iii xcxcce (2.37)
Onda H0 hipotezində nR2 asimptotik olaraq 12 N paylanmasına malik olur.
Burada R2-determinasiya əmsalıdır, n- ikinci reqressiya tənliyindəki müşahidələrin
(sınaqların), N-isə (2.37) tənliyindəki reqressorların sayıdır. Uayt testinin üstün
cəhəti onun universal olmasıdır. Lakin H0 hipotezi rədd edildikdə bu test
heteroskedastikliyin funksional şəkli haqda heç nə demir. Bu zaman
heteroskedastikliyin korreksiya edilməsinin yeganə üsulu Uayt şəklində standart
səhvin tətbiq edilməsi olur.
2.13. Zaman sıraları və qeyri-stasionarlıq problemi
Qeyd edək ki, əksər ekonometrik modellər adətən zaman sıraları əsasında
realizə edilir. İqtisadi kəmiyyətin müxtəlif zaman anlarında (adətən ay, rüb və il)
müşahidələrinin məcmusu zaman sırası (rus: временные ряды, ing: time series)
adlanır. Mahiyyət etibarı ilə iqtisadi göstəricilərin bir-birinə təsir etməsi və cari
qiymətlərinin əvvəlki dövrlərdəki (ildəki) qiymətlərindən asılı olması qalıqların
Qaus-Markov şərtlərinin, daha doğrusu dəyişənlərin qiymətlərinin stasionarlığının
pozulmasına gətirib cıxarır.
Stasionarlıq dedikdə dəyişənin zamanla əlaqədar olaraq bir sıra xassələrinin
dəyişməməsi başa düşülür.
2.13.1. Ciddi stasionarlıq və ya dar mənada stasionarlıq
Əgər dəyişənin zamanla əlaqədar olaraq qiymətinin dəyişməsinə
baxmayaraq onun paylanmasının sıxlıq funksiyası dəyişməz olaraq qalarsa onda
proses ciddi stasionar adlandırılır. Başqa sözlə ciddi stasionar sıraları zamana görə
sürüşdürdükdə paylanmanın sıxlıq funksiyası dəyişməz olaraq qalar. Bəzən bu tip
130
stasionarlığı güclü də adlandırırlar. Ciddi stsionarlığı siranın daha cox işlədilən
statistik xüsusiyyətlərinə (riyazi gözləmə, dispersiya) görə də xarakterizə etmək
olar.
Dar mənada stasionar (ciddi stasionar) prosesin şağıdakı xassələri vardır:
riyazi gözləməsi zamandan asılı deyil;
Dispersiya zamandan asılı deyil;
Avtokovariasiya və avtokorelyasiya funksiyaları a) ancaq zaman
fərqlərindən asılıdır; b) cüt funksiyadır.
Zaman anları arasındakı bütün mümkün məsafələrdə covariasiyanın qiymətlər
toplusu təsadüfü prosesin avtokovariasiya funksiyası adlanır. Məlumdur ki,
koralyasiya əmsalı kovalyasiyanın iki dispersiyanın hasilinin kvadrat köklərinə
bölünməsindən alınır. Dispersiya sabit olduğundan, onda biz korelyasiyanın ancaq
kovalyasiyadan asılılığını almış oluruq. Bu zaman sırasının avtokorelyasiya
funksiyasını müəyyən edir. Avtokorelyasiya funksiyası zaman sırasının müxtəlif
sürüşmələrində (məsələn, illik verilənlər üçün bir il və ya iki il və s.) qiymətinin
hansı dərəcədə statistik əhəmiyyətini göstərir.
2.13.2. Zəif stasionarlıq və ya geniĢ mənada stasionarlıq
Əgər təsadüfü prosesin riyazi gözləməsi və dispersiya mövcuddursa və
zamandan asılı deyisə, avtokoralyasiya (avtokovariasiya) funksiyası ancaq zaman
fərqlərindən asılıdırsa onda belə prosesi zəif stsionar və ya geniĢ mənada
stasionar adlandırırlar. İxriyari ciddi stasionar proses zəif stasionar prosesdir.
Bunun tərsi, yəni zəif stasionar proses ciddi stasionar proses deyill. Normal
proseslər üçün stasionarlığın bu hər iki tərifi ekvivalentdir. Ona görə də normal və
ya Qauss prosesləri üçün zəif stasionarlıqdan güclü stasionarlıq alınır. Qeyd edək
ki, stasionar proseslərdə avtokorelyasiya funksiyası ixtiyari qiymət ala bilməz.
Avtokorelyasiya funksiyasını qiymətlərini quruduqda gərək biz edə edək ki, bu
xassə ödənilmiş olsun. Aşağıdakı şəkildə avtokorelyasiya funksiyasının qrafiki
təsvir olunmuşdur.
131
Şəkil. Avtokorelyasiya funksiyasının qrafiki. Burada, ()-korelyasiya funksiyası <1, t-
zamandır.
2.13.3. Ağ küy
Zaman sıraları vasitəsi ilə ekonometrik modelləşdirmədə ağ küy (rus:
белый шум ; ing: white noise) və təsadüfü dolaĢan (həyacanlanan) (rus:
процесс случайного блуждения; ing: random walk) proseslər anlayışlarına tez-tez
rast gəlinir19
.
Qalıqların (ei-in) Qauss-Markov şərtlərinin (E(ei )=0; var(ei )= 2 ; ji
olduqda cov (ei , ej)=0 ) ödəməsi prosessin zəif stasionar və ya geniĢ mənada
stasionar olduğunu göstərir. Bu proses ağ küy adlanır. Əgər şərtlərin sırasına ei
təsadüfü kəmiyyətinin normal qanunla paylandığını əlavə etsək onda proses ciddi
stasionar və ya dar mənada stasionar olur. Bu zaman güclü stasionar (dar mənada
stasionar), zəif stasionar (geniş mənada stasionar), o cümlədən ağ küy proseslərinin
statistik xüsusiyyətləri üst-üstə düşür. Bu hal ədəbiyyatlarda Qauss ağ küylü proses
19
Канторович Г.Г. “Анализ временных рядов», Экономический журнал ВШЭ, №1, 2002, ст. 85-116
t
1
132
adlanır və ),(20 WNei şəkilində yazılır. Ağ küy zaman sıralarının analizində çox
mühüm əhəmiyyətə malikdir və daha mürəkkəb prosesləri doğurur.
2.13.4. Təsadüfü dolaĢan proses
Bəzən bu prosesi Braun hərəkəti də adlandırırlar. Bu proses aşağıdakı kimi
verilir:
ttt exx 1 , burada te -ağ küydür.
Təsadüfü dolaşan prosesə reqressiya əmsalı 1-ə bərabər olan proses kimi
baxmaq olar. “Təsadüfü dolaşan“ termini 19-cu əsrin əvvələrində zarafat yana bur
məsələnin deyilişi ilə əlaqədar yaranmışdır: Əgər təmiz sahəyə tamamilə sərxoş
adam buraxılarsa, onda onu bir müddətdən sonra harada axtarmaq lazımdır?
Cavab: əgər sərxoş təsadüfü olaqa həyacanlanarsa, onda onu elə sahəyə
buraxıldığı yerdə axtarmaq lazımdır. Daha doğrusu, sərxoş təsadüfü dolaşaraq
nəticədə (orta olaraq) elə həmin əvvəlki yerinə qayıdacaq.
Təsadüfü dolaşan proses aşağıdakı xassəyə malik olur:
00 0 xconstxxE t ,)( - prosesin başlanğıc andakı qiymətidir.
2
et tx )var( . Bu göstərir ki, təsadüfü dolaşan prosesin dispersiyası
zamandan asılı olaraq dəyişir. Daha doğrusu, o zamana proporsional
olaraq artır.
Buradan belə nəticəyə gəlmək olar ki, təsadüfü dolaşan proses hətta zəif
stasionar (geniş mənada stasionar) deyil. Çünkü, dispersiyası sabit deyil və
zamandan asılı olaraq dəyişir. Lakin, sadə çevirmələr vasitəsi ilə təsadüfü
həyacanlanan təsadüfü prosesi stasionar hala gətirmək mümkündür.
Biz ttt exx 1 tənliyini ttt exx 1 və ya tt ex şəkilində yaza bilərik. tx
artımını və ya birici fərqi (rus: первую разность; ing:first difference) tz kimi
işarə edib başqa zaman sırası kimi baxa bilərik. Onda, tt ez alarıq. Beləliklə, əgər
biz qeyri-stasionar sıranın birinci fərqə baxırıqsa nəticədə stasionar olan yeni sıra
almaq olar. Bu stasionar olmayan zaman sıralarının stasionar siraya gətirmək üçün
ən geniş yayılmış üsuldur.
133
Stasionarlıq pozulduğu zaman reqresiya tənliyinin əmsallarının adi ən kiçik
kvadratlar üsulu ilə qiymətləndirilməsi müəyyən təhriflər yaradır. Prosesin
stasionarlığının pozulması ilk növbədə özünü avtokovariasiya və
avtokorrelyasiyanın olmasında göstərir.
2.13.5. Avtoreqressiya (AR)
Fərz edək ki, Y(t) –dəyişən olaraq avtoreqression dinamikaya malikdir.
Başqa sözlə, Y(t) -nin t- dövründə dinamikası t-1 dövründəki dinamikasından
asılıdır. Riyazi olaraq bu asılılıq aşağıdakı kimi ifadə oluna bilər:
Y(t) = *Y(t-1) + e (t),
Burada Y (t) - t dövründə dəyişənin qiyməti, Y(t-1) - (t-1) dövründə qiymətini
göstərir. e (t) - təsədüfi xətaları əks etdirir. Əgər <1 şərti ödənilərsə onda sıra
yığılan olur. Bu şərt sıranın dayanıqlığını göstərir. Bu hala bu və ya digər şəkildə
avtoreqressiyalı həddi olan bütün dinamik modellərdə rast gəlinir20
.
e(t)= e(t-1)+ (t)
Əgər, <1 və (t) (t=1,2,...,n) təsadüfü kəmiyyəti ardıcıllığının riyazi gözləməsi sıfır
və dispersiyası sabit 2
-ə bərabər olan normal qanunla paylanıbsa, onda prosesi
1-ci tərtib avtoreqressiya prosesi (rus:авторегрессионный процесс; ing:
autoregressive)-AR(1) adlanır21
. Beləliklə, e(t) (t=1,2,..., n) təsadüfü ardıcıllığı
stasionar proses əmələ gətirir. Qeyd edək ki, <1 şərti stasionarlıq üçün zəruridir.
Əgər reqressiya modelində avtoreqressiya həddi olarsa, onda ilk növbədə
avtokorellyasiya səhvinin olmasının yoxlanması zəruridir.
Biz ttt exx 1 tənliyini ttt exx 1 və ya tt ex şəkilində yaza bilərik. tx
artımını və ya birici fərqi (rus: первую разность; ing:first difference) tz kimi
işarə edib başqa zaman sırası kimi baxa bilərik. Onda, tt ez alarıq. Beləliklə, əgər
biz qeyri-stasionar sıranın birinci fərqə baxırıqsa nəticədə stasionar olan yeni sıra
almaq olar. Bu stasionar olmayan zaman sıralarının stasionar siraya gətirmək üçün
ən geniş yayılmış üsuldur.
20
Я.Р.Магнус, П.К.Катышев, А.А.Пересецкий «Эконометрика. Начальный курс», 6-ое изд., - М.:Дело, 2004.-
576, с. 265 və 295 21
Yenə orada, səh. 185 və 269
134
2.13.6. Sürüıkən orta (MA)
Zaman sıralarının sürüşkən ortaya (rus: скользящего среднего; ing:movinq
average) malik olması prosesi xarakterizə edən ən mühüm cəhətdir. Qeyd edək ki,
göstəricilərin zaman sıralarının sürüşkən ortaya (MA) malik olmaları ilə
stasionarlığının pozulması modelə MA(q) q-cü tərtib sürüşkən orta daxil edilməklə
aradan qaldırılır. Məsələn, MA(4) onu göstərir ki, qeyri-stasionar zaman sırası
xüsusiyyətlərinin dəyişməsinin (orta kəmiyyətin və dispersiyanın sabit olmaması)
modeldə yaratdığı problemlər sıraya 4-cü tərtibə qədər gecikmə (laq) verməklə
aradan qaldırılır22
.
Nümunə olaraq, 1-ci tərtib sürüşkən orta MA(1) modelinə baxaq:
y(t)= c + (t)- 1(t-1),
Burada, c-sabit, 1 modelin parametridir (1<1), (t)-ortası 0 və dispersiyası 2
olan normal qanunla paylanb. Onda, MA(1) prosesi q=1 və 1 qiymətində
stasionardır.
1.13.7. Zaman sıralarının stasionarlığının yoxlanması: Dikki-Füler testi (DF)
Sadəlik üçün tutaq ki, xt dəyişəninin zaman sırasının davranışı sadə bir
proseslə təsvir olunur,
yt = θyt-1 + εt.
Burada t zamandır və t = 1,2,...T, θ əmsalı yt-1 –nin parametridir. yt-1 isə yt -nin geridə
qalmış (t-1) zamanındakı qiymətidir. εt kəımiyyəti (səhvi) σ2 sabit dispersiyaya və
orta qiyməti (riyazi gözləməsi) sıfıra bərabər şərtini ödəyir. εt kəmiyyətindən hər
hansı bir məlumatın (statistikanın) əldə edilməsinin vacib rol oynadığı üçün, onu izah
etməyə calışaq. εt kəmiyyətini yt –nin səviyyəsindəki dəyişiklik kimi qəbul edək.
(məsələn, yt –ni neft sektorunun əlavə dəyəri qəbul etsək, onda εt –ni neftin
qiymətinin dəyişikliyinin neft sektorunun əlavə dəyərində yeni dəyişikliklər olar).
22
Я.Р.Магнус, П.К.Катышев, А.А.Пересецкий «Эконометрика. Начальный курс», 6-ое изд., -
М.:Дело, 2004.-576 c., səh.295-303
135
Onda, yt-1 neft sektorunun əlavə dəyərinin əvvəlki səviyyəsinin θ nisbətinə əlavə
olunmaqla yt nin hazırkı dəyərini verər. εt yeni məlumatdan asılı olduğu üçün, onun
həcmi əvvəlcədən bilinmir. Beləliklə, εt neft sektorunun əlavə dəyərinin səviyyəsinə
(yt) şokedici və ya gözlənilməz dəyişiklik vermiş olur. εt hadisəsinə (neftin
qiymətinin dəyişməsi) neft sektorunun əlavə dəyərində yeni dəyişikliklərin təsiri kimi
qəbul oluna bilər. (hansı ki əvvəlcədən bilinmirdi). Buradan, εt -də yerləşdirilmiş yeni
məlumatın nümunəsini görmüş oluruq. Bura, müharibə, böhran, çiçəklənmə və s.
kimi gözlənilməz hadisələr daxildir. Əslində, εt –nin hər bir baş verməsi təhlilçilər və
idarəçilər üçün şok ola bilən hazırkı zaman müddəti ərzində neft sektorunun əlavə
dəyəri haqqında yeni məlumatdır.
yt –nin səviyyəsinin bütün mövcud və keçmiş şokların toplanmasından ibarət
olduğunu göstərmək olar:
yt = θyt-1 + εt
yt-1 = θyt-2 + εt-1,
yt-2 = θyt-3 + εt-2, ...,
.
.
.
y1 = ε1.
Ardıcıl olaraq yt-1 , yt-2 , ..., y1 –nin bu ifadələrini birinci bərabərlikdə yerinə yazsaq,
aşağıdakını alarıq:
yt = εt + θ1 εt-1 + θ
2 εt-2 + ... + θ
T εt-T.
Bu onu göstərir ki, yt dəyişəni εt və onun əvvəlki qiymətlərindən xətti asılıdır. Əgər
|θ|<1 olarsa, onda, yt stasionar (homogen) prosesin nəticəsində yaradılmışdır. yt –in
stasionarlığı o deməkdir ki, yt –nin (neft sektorunun əlavə dəyərinin) zamana görə
toplanmasının sıfra bərabər sabit ortası və σ2/(1-θ
2)-yə bərabər sabit dispersiyası
(dəyişkənliyi) vardır (zaman keçdikcə).
136
Əgər θ=1 olarsa, o zaman yt dəyişəninin səviyyəsi qeyri-stasionar
(heteroskedastik və ya heterojen) proseslə yaranmışdır,
yt = εt + εt-1 + εt-2 + ... + εt-T.
Belə bir proses yuxarıda qeyd etdiyimiz kimi eyni Təsadüfü dolaşan proses adlanır.
Bu prosesin sabit dəyişkənliyi yoxdur, Var (yt) = tσ2; yəni onun dəyişməsi zamanla
artır. Qeyri-stasionar dəyişənin dəyişməsi zamandan asılı olduğu üçün ənənəvi
sandart normal paylamaları və xüsusiyyətləri olmur. Ona görə də, hipotezin
yoxlanması üçün standart testlərdən (t-test, F-test, xi-kvadratı) istifadə etmək olmaz.
Qeyri-stasionar proseslərin mövcudluğunda, t-testi və ya F-testdən üstün alternativ
testlərdən istifadə olunmalıdır. Məsələn,
yt = βxt + ut,
reqressiya tənliyinə baxaq. Burada, ut reqressiyada səhvi, Xt qeyri-stasionar (θ=1
olmaqla) sıradır. Adətən, β əmsalının əhəmiyyətini yoxlayarkən, t-testi üçün vacib
olan qiymətdən (standart 2-dən, bəzi hallarda, vacib hətta 3 qiymətindən də yüksək
ola bilər), ancaq adekvatlıq olmaya bilər. Eyni şəkildə, θ=1 qüvvəsi olmayan
hipotezi yoxlamaq üçün vacib qiymət 2-dən daha yüksəkdirlər. Ona görə də, qeyri-
stasionar dəyişənlərlə əlaqədar düzgün nəticə çıxarmaq üçün, ehtiyatlı olmaq
lazımdır.
Əgər yt zaman sırası stasionardırsa (və ya homogen), onda o zaman bir
hadisənin və ya dəyişikliyin təsiri zaman keçdikcə azalır. Misal üçün, əgər θ = .8
olarsa, yt dəyişəni 1% (=εt) qədər artacaq, birinci ilin sonunda yalnız 0.8% (θ1 εt-1)
çoxalmaya səbəb olacaq, ikinci ilin sonunda 0.64% (θ2 εt-2) ibarət çoxalmaya səbəb
olacaq və nəhayyət T-ci ilin sonunda 0.01% (θT εT-20) ibarət çoxalmaya səbəb olacaq.
Bu o zamana qədər davam edəcək ki, belə bir dəyişikliyinin yt –nin artmasına təsiri
sıfıra yaxınlaşacaq. Ona görə də, stasionar və ya homojen zaman sıtasına malik
dəyişənə hadisələrin və ya bir dəfəlik dəyişikliklərinin artım təsirləri tədricən yox
olub gedir.
137
Əgər yt qeyri –stasionardırsa onda hər hansı bir hadisənin və ya gəyişikliyinin
təsiri, εt zaman keçdikcə azalmır. Misal üçün, yt –nin 10% (=εt) artmasına səbəb olan
dəyişiklik olarsa, o birinci ilin sonuna qədər bərabər artıma səbəb olacaq 10% (=εt-1)
və n-ci ilin sonuna qədər 10% (εt-n) – in eyni şəkildə çoxalmasına səbəb olacaq. yt –
nin illik 10% artım qeyri-müəyyən müddətdə özünün ilkin gücü ilə davam edəcək.
Ona görə də, bu proses qeyri-stasionar yolla davam edərsə, hər hansı bir
dəyişikliyinin davamlı təsiri olacaqdır.
yt = εt + εt-1 + εt-2 + ... + εt-T –dən biz müşahidə edirik ki, yt nin qeyri-stasionar
dinamikasına səbəb odur ki, yt (ε şokları) bütün dəyişikliklərin tam gücündə
toplanmasıdır. Buradan aydın olur ki, əgər yt və ya hər hansı başqa dəyişən qeyri-
stasionar hərəkət nümayiş etdirirsə, bu dəyişənlərdə hər hansı keçid dəyişikliyinin
təsiri daimi və toplanan hesab olunmalıdır. Hər hansı bir dövrdə gələcəkdə müəyyən
bir məqsədə nail olmaq üçün əvvəlcədən edilən qısamüddətli təsir (və ya siyasət
dəyişiklik) uzunmüddətli dövr üçün qeyri-effekiv olur. Məsələn, yt ümumi daxili
məhsul həcmi qeyri-stasionar olarsa və onun hazırkı dövrdə dinamikası qarşıya
qoyulan hədəfə- iqtisadi artıma müvafiq deyilsə, onda qısamüddətli dövr üçün büdcə
xərclərinin artırılması ilə iqtisadi artıma nail olmaq kimi siyasət dəyişikliyi
uzunmüddətli dövrə effektsiz olur. Ona görə də, qeyri-stasionar zaman sıralarında
göstəricinin problemləri haqqında düzgün siyasət təhlili və təklifləri vacib əhəmiyyət
daşıyır.
İqtisadi göstəricilərin zaman sıralarından hər hansı əsaslı təhlildə istifadə
olunmazdan əvvəl onun qeyri-stasionarləğının (heteroskedeskatikliyini və ya
heterojenliyini) yoxlamaq vacibdir. Qeyri-stasionarlığ üçün yoxlamaları həyata
keçirmək asandır. İqtisadiyyatda, məlumatda qeyri-stasionarlığın yoxlanmasının son
zamanlar çoxalması əvvəlki hərəkətin və gələcək planların araşdırılmasında qeyri-
sabit dəyişənlərin modelə daxil edilməsinin getdikcə artan problemlərindən xəbər
verir. Ona görə də, zaman sıraları ilə təhlillər apardıqda və statistik nəticə çıxardıqda
xeyli ehtiyatlı olmaq lazımdır.
İqtisadi göstəricinin zaman sırasının qrafiki təhlilindən görmək olar ki,
məlumatlarda əhəmiyyətli mövsümilik mövcümülük var yoxsa yox. Bir sıra
138
göstəricilərin müəyyən mövsümilik səviyyəsi olur. Məsələn, inflyasiyanın yay
aylarında bir qədər səngiməsi kənd təsərüffatı məhsullarının yetişdirilməsinin
müəyyən mövsümülüyü ilə əlaqələndirilə bilər.
Heteroskedeskatik (Heterojen) və ya qeyri-sabit proses yt göstəricisi üçün,
yt = θyt-1 + εt , θ=1 bərabərliyinin öddənilməsidir.
Müvafiq olaraq, bu bərabərliyin hər iki tərəfindən yt-1 çıxsaq aşağıdakı nəticəni
alarıq.
yt - yt-1 = (θ-1)yt-1 + εt,
və ya,
Δyt = yt - yt-1 və β=(θ-1)
qəbul etməklə, biz aşağıdakını alırıq.
Δyt = βyt-1 + εt.
İndi, β=0 yoxlanması θ=1 yoxlanmasına bərabər olur. Əgər biz β=0 olmasına məhəl
qoymasaq, onda deyə bilərik ki, yt qeyri-stasionar (qeyri-sabit) prosesə sahibdir.
Beləliklə, bu bərabərlikdə asılı dəyişəni onun dəyişikliklərinə çevirməklə, β=0 olması
hipotezi yoxlanıla bilər və beləliklə yt –nin qeyri-stasionar olub-olmamasını
müəyyənləşdirə bilərik. Dəyişənin qeyr-stasionar (qeyri-sabit, Heteroskedeskatik və
yaxud heterojen) olub-olmamasını müəyyən etmək üçün, Dickley-Fuller testindən
(DF-testi) istifadə olunur. İki məsələni qeyd etmək lazımdır: birincisi, qeyri-
stasionarlıq üçün bir çox başqa testlər mövcud olsa da, DF-testi ən geniş yayılımış və
ən sadəsidir; ikincisi, DF-testi Styudentin t-testi kimi hesablandığı halda, onun
standart t paylanması yoxdur. Əksər standart Tətbiqi Proqram Paketlərində, məsələn,
Eviews-da DF-testi vardır.
Tutaq ki, neft sektorunun əlavə dəyərinin (yt), onun logy loqaritmik
ifadəsindən istifadə etməklə qeyri-stasionar (və yaxud heterojen) hərəkətə
(dinamikaya) malik olmamağı hipotezini yoxlamaq üçün Eviews proqramından
istifadə etməklə aşağıdakı reqressiyaya baxaq:
139
Δlogyt = βlogyt-1 + εt.
yt –də qeyri-stasionar prosesin mövcudluğunu rədd etmək üçün DF-testinin böyük
qiymətləri ilə ölçülən β-in böyük qiymətləri götürülmüşdür. Bu bərabərliyi
hesablamaq aşağıdakına gətirib çıxarır:
Δlogyt = 0.006logyt-1 + êt (0.6)
burada, t-testinin mütləq qiyməti (0.3) onu göstərir ki, neft sektorunun əlavə
dəyərinin dinamikası qeyri-stasionar bir prosesdir. Bununla belə, neft sektorunun
əlavə dəyərinin artım həcmi Δlogyt qeyri-stasionar bir proses deyil; misal üçün,
aşağıdakı reqressiyaya baxaq:
ΔΔlogyt = -1.55Δlogyt-1 + êt (11.78)
Müvafiq olaraq, neft sektorunun əlavə dəyərinin bundan sonrakı modelləşdirməsində
artım səviyyəsindən istifadə olunması tövsiyyə olunur (dəyişənin özünün
səviyyəsindən yox).
Neft sektorunun əlavə dəyərinin müvsümülüyü olduqda, neft məhsullarının
satışın mövsümi təbiəti neft sektorunun əlavə dəyərinin yaranması prosesində
mövsümi komponentə gətirib çıxarır. Neft sektorunun əlavə dəyərinin mövsümi
komponenti bizim onun həcminin proqnozlaşdırmağımızda istifadə edilə bilər.
Müvafiq olaraq, neft sektorunun əlavə dəyərinin məlumatının 12-ay (mövsümülük
hər il davam etdiyi üçün) gecikməsinə səbəb olduqdan sonra, aşağıdakı reqressiya
hesablanır:
Δlogyt-12 = -0.0082logyt-12 + êt (3.86)
140
Bu həmçinin onu göstərir ki, neft sektorunun əlavə dəyərinin məlumatı qetri-
stasionar bir prosesdir.
Neft sektorunun əlavə dəyərinin proqnozları sadə reqressiv proseslə əldə oluna
bilər. Yəni,
logyt = -0.9 + 1.082logyt-12 + êt (14.72)
Burada, -0.9 neft sektorunun əlavə dəyərinin baza səviyyəsidir (exp(-
0.9)=0.4). Bu o deməkdir ki, qanunlar, siyasətlər və ümumiyyətlə mühit
dəyişməsəydiyi halda neft sektorunun əlavə dəyəri 0.4 səviyyəsinə bərabər ola
bilərdi.
Qeyri-stasionar məlumat olan yerdə, ənənəvi hesablama üsulları və statistik
testlər adətən empirik təhlil aparmaq üçün müvafiq deyil. Burada göstərildiyi kimi,
qeyri-stasionarlığın testlərini həyata keçirmək asan olduğu üçün, neft sektorunun
əlavə dəyəri üzrə tarixi məlumatları və digər müvafiq zaman sıraları üzrə məlumatı
qeyri-stasionar prosesinin olub-olmamasını müəyyən etmək üçün yoxlamaq lazımdır.
Qeyri-stasionar proses olduqda, adi ən kiçik kvadratlar (OLS) üsulu reqressiya
əmsalının düzgün olmayan hesablamalarına gətirib çıxarır. Bundan əlavə, OLS-in
tətbiq olunması ilə əldə olunan t-testləri və F-testləri özlərinin standart normal
paylamalarına malik olmurlar.
Qeyri-stasionar zaman sıraları məlumatı probleminin bir həlli yolu qeyd
edildiyi kimi təhlilin sabit dəyişikliklərlə aparılmasıdır.. Bu o deməkdir ki, səviyyələr
yox, yalnız dəyişikliklər haqqında məlumat istifadə olunur. Misal üçün, əgər yt t
zamanında neft sektorunun əlavə dəyərinin səviyyəsini əks etdirirsə, bizim təhlilimiz
Δyt (=yt - yt-1) ətrafında mərkəzləşəcək. Burada, Δyt neft sektorunun əlavə dəyərinin t
dən t-1 yə dəyişikliyidir. Əgər neft sektorunun əlavə dəyərinin meyllərində
dəyişikliklər Δyt sabitdirsə, o zamanda bu dəyişikliklər haqqında düzgün nəticə
çıxarmaq üçün standart statistik üsullar və testlər yararlı olur. Əgər neft sektorunun
141
əlavə dəyərinin meylləri yt qeyri-sabit olarsa, dəyişikliklərdən (Δyt) istifadə edərkən
ehtiyatlı olmaq lazımdır.
1.13.8. Qısamüddətli və uzunmüddətli modellər
Dəyişənləri zaman sırası vasitəsi ilə modelləşdirdikdə dəyişənlərin
məlumatlarda baş verən dəyişikliklər və səviyyələr qısa-müddətli və uzun-müddətli
xarakterə malik ola bilər. Məsələn, dəyişən haqında məlumatlar müvafiq olaraq t
zamanında yeni εt məlumatına malik olarsa (hansı ki, t zamanından əvvəl
bilinmirdi) , yəni Δyt = εt olarsa, onda bu zaman εt kəmiyyəti yt dəyişənindəki
dəyişikliyin yeni məlumatını göstərir. Yəni, hadisə və ya dəyişiklik qısa-müddətdə t
zamanında baş verir . Ona görə də dəyişənin artımının (Δyt) iştirakı ilə qurulan
modellər bir qayda olaraq qısamüddətli modellər adlandırılır. Digər tərəfdən, yt =
εt + εt-1 + εt-2 + ... + εt-T olduqda görmək olar ki, yt –nin səviyyəsi əvvəlki
zamanların məlumatları, hadisələr və ya siyasət dəyişikliklərinin toplanmasından
ibarətdir. Ona görə də, (yt) səviyyələr yerinə (Δyt) dəyişikliklərdən istifadə etməklə
düzgün statistik təhlil aparmağın qiyməti neft sektorunun əlavə dəyərinin meyllərinin
səviyyəsində yığılmış (uzun-müddətli) köhnə məlumatın itkisidir. Uzunmüddətli
ekonometrik modellərdə nəticə göstəricisinə təsir edən amillər öz vahidləri ilə
iştirak edir. Nəticə göstəricisi isə bir qayda olaraq zamandan asılı olur. Bu amillər,
özündə uzunmüddətli dəyişmə meyllərini əks etdirmək xüsusiyyətinə malik olan
qeyri-stasionar zaman sıraları olur.
Uzunmüddətli modellərdə asılı dəyişənlərlə sərbəst dəyişənlər arasında
əlaqələrin mahiyyəti mühüm əhəmiyyət kəsb edir. Bu əlaqələr standart
kənarlaşmalara (xətaya) istinadən qiymətləndirilir və sıx əlaqəli zaman sıraları
seçilir. Ekonometrikada müəyyən bir funksiya ilə sıfır və ya sıfıra olduqca yaxın
birgə standart kənarlaşmaya malik və sinxron dəyişən zaman sıraları birgə sıralar
və ya kointeqrasiya sraları adlanır. Əgər, modelə daxil edilmiş sıralar (sıralar,
qeyri-stasionar da ola bilərlər) arasında sıx və gecikən (sürəkli) əlaqə
mövcuddursa, onda belə dəyişənlər asılı dəyişənlə birgə əlaqəli və ya
kointeqrasiya hesab edilirlər. Birgə əlaqələrin təhlilində (kointeqrasiya təhlili)
142
dəyişənlər arasında sıx və gecikən əlaqənin mövcudluğu ilə yanaşı, verilənlər
arasında qarşılıqlı asılılığın mahiyyəti (düz və ya tərs mütənasib olması) də mühüm
əhəmiyyət kəsb edir. Məsələn, təhlildə asılı dəyişən kimi istehlak qiymətləri
indeksi, sərbəst (izahedici) dəyişənlər kimi isə pul təklifi, real ÜDM, valyuta
məzənnəsi, inflyasiya gözləntisi və zamana görə dəyişmə meyli götürüldükdə
qurulan ekonometrik model uzunmüddətli dövrü xarakterizə etmiş olur.
2.14. Qeyri–xətti reqressiya tənlikləri və modelləri
Sosial-iqtisadi təzuhurlər və proseslər arasındakı mövcud olan münsibətləri
heç də həmişə xətti şəkildə ifadə edtəm mümkün olmur. Çünki bu zaman qerresiya
tənlikləri üçün ödənilməsi vacib olan Qauss-Makrov şərtləri pozulur və özünü
doğrultmayan böyük səhvlər yaranmış olur.
Sosial-iqtisadi proseslərin modelləşdirilməsi zamanı daha çox qeyri-xətti
reqressiya tənliklərinə rast gəlinir.
Rast gəlinən qeyri-xətti reqressiya tənliklərini öz mahiyyətinə görə 3 qrupa
bölmək olar.
Birinci qrupa elə reqressiya tənliklərini aid etmək olar ki, bu zaman
parametrlərin ƏKKÜ ilə tapılması zamanı heç bir əlavə çevirmə aparmadan
izahedici dəyişənlərin reqressiya tənliklərini qeyri-xətti istifadəsində
müşahidələrdən alınmış qiymətləri əsasında hesablamalar aparılaraq yerinə
yetirilir. Belə qeyri-xətti reqressiya tənliklərinə aşağıdakıları nümunə göstərə
bilərik:
),1(...2
210 nixaxaxaay k
kii (polinomial reqresiya) (2.38)
kkx
ax
axaay1
...1
2210 (2.39)
k
k xaxaxaay sin...sinsin 2
210 (2.40)
k
k xaxaxaay cos...coscos 2
210 (2.41)
xaxaxaay k
k cos...coscos 2
210 (2.42)
143
xaxaxaay k
k sin...sinsin 2
210 (2.43)
Məsələn, (2.38) reqressiya tənliyinin parametrlərini qiymətləndirmək üçün
kiik
iiiii xxxxxxxx ,...,, 3
3
2
2
1 kimi yazıb asanlıqla xətti reqressiya tənliyinə
gətirə bilərik.
İkinci qrup qeyri-xətti reqressiya tənliklərinə
p
pxxxy
*...* 21
210 (üstlü funksiya) (2.44)
px
p
xxy *...** 21
210 (2.45)
və s. nümunə göstərmək olar. Bu tip tənliklərin parametlərini
qiymətləndirmək üçün çevirmələrin aparılması zəruridir. Məsələn, (2.44)-in hər iki
tərəfini loqarifmləsək,
pp xxy log...logloglog 110 (2.44a)
alarıq.
(2.44a)-da *log yy , *log 00 a , *log 1 xx , …, p
p xx log işarələmələri
aparsaq, xətti tənlik alarıq:
pp xxay *...*** 110
(2.45) da eyni qayda ilə xətti tənliyə gətirilə bilər.
Üçüncü qrup qeyri-xətti reqressiya tənliklərinə elə tənlikləri aid etmək olar
ki, onları çevrilmələr vasitəsilə xətti tənliklərə gətirmək mümkün olur. Məsələn,
)...( 121
22110k
kk xxxy (2.46)
)cos(...)cos()cos( 2221110 kkk xxxy (2.47)
(2.46)-(2.47) şəkilli reqressiya tənliklərini heç bir çevirmə aparmadan xətti
reqresiyaya gətirmək mümkün olmur və bu tip tənliklər parametrlərə görə qeyri-
xətti tənliklər olduğundan ƏKKÜ ilə onların parametrlərini bilavasitə
qiymətləndirmək (tapmaq) mümkün olmur. Onların parametrləri Laqranc
vuruqralı, Qradiyent, nyuton, markvart və s. üsullar ilə qiymətləndirilir. Lakin
qeyri-xətti funksiyaların optimalladırılmasının universal üsulu olmadığından,
burada da məsələninin həlli bəzən mümkün olmur.
144
Beləliklə, I və II tip ekonometrik modellər parametrlərə görə, xətti
olduğundan, onların parametrlərini ƏKKÜ ilə tapmaq mümkündür. III tip modellər
isə paramtrlərə görə qeyri-xətti olduğundan adi ƏKKÜ ilə onları qiymətləndirmək
olmur. Bu zaman hər bir modelə fərdi yanaşmaq lazımdır. Bu baxımdan I və II tip
tənliklər qeyri-xətti funksiya şəklində olsa da, parametrlərə görə xəttidir və onları
xətti ekonometrik modellər adlandıra bilərik. III tip modellər isə parametrlərə görə
qeyri-xətti olduğundan bu tip modelləri qeyri-xətti ekonometrik modellər
adlandıra bilərik.
Birinci fəsildə göstərdik ki, dəyişənlər arasında qeyri-xətti əlaqənin sıxlığı
korrelyasiya münasibəti )( və ya korrelyasiya inleksi ilə öyrənilir.
- korrelyasiya münasibətinin əhəmiyyətliliyi F-statistikaya əsaslanır:
)1)(1(
)(2
2
m
mnF
(2.48)
Burada, m-qruplaşma əlamətləri üzrə intervalların sayıdır, 11 mf və mnf 1
sərbəstlik dərəcələri adlanır. Ona görə, əgər 21 :; ffFF olarsa, onda sıfırdan
əhəmiyyətli fərli olur. Burada, 21 :; ffF - 11 mf və mnf 1 sərbəstlik
dərəcələrində əhəmiyyətlilik səviyyəsi ilə F – kriteriyanın cədvəl qiyməti olur.
İki dəyişən üçün R – korrelyasiya indeksi əgər,
2
2
1
)(
R
mnRF
(2.49)
statistikasının qiyməti cədvəl 21 :; ffF ( 11 f və 21 f ) qiymətindən böyük
olarsa, əhəmiyyətlidir.
145
Tapşırıq
Aşağıdakı cədvlədə taxıl bitkilərinin məhsuldarlığı (y) və vegetasiya dövründə düşən
yağıntının miqdarı (x) verilmişdir.
Cədvəl 2.6
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Yağıntının
miqdarı , sm
(xi)
25 27 30 35 36 38 39 41 42 45 46 47 50 52 53
Məhsuldarlıq,
sentner/hektar
(yi)
23 24 27 27 32 31 33 35 34 32 29 28 25 24 24
Verilmiş cədvəl əsasında taxılın məhsuldarlığının düşən yağıntının miqdarından asılılığını
tədqiq edin.
2.15. Reqressiya modellərinin müqayisəsi
Tutaq ki, biz iki modeli müqayisə edirik:
I. iii ezxy (məhdudiyyətsiz model),
II. iii exy (məhdudiyyətli model).
Burada, z- əlavə kaltordur (reqressor). “Məhdudiyyətsiz model” (rus.: модель без
ограничений; ing: unrestricted model) və “məhdudiyyətli model” (rus.: модель с
ограничением; ing: limitation model, restricted model) terminlərinin istifadə
olunması aşağıdakı kimi şərh edilir: əğər I modelindəki parametrinin üzərinə
0 şərti qoyularsa, onda II modeli alınar.
Bu modellərdən hansını seçmək lazımdır? Bunun üçün bir neçə üsullar
vardır.
1-ci üsul (Determinasiya əmsalına əsaslanan).
Bu üsulda məhdudiyyətsiz I modelinin determinasiya əmsalı məhdudiyyətli
II modelinin determinasiya əmsalı ilə müqayisə edilir. Hansı modelin
determinasiya əmsalı böyük olarsa həmin modelin qəbuledilməsi məqsədəmüvafiq
146
hesab edilir. Ancaq bir qayda olaraq bizə məlumdur ki, məhdudiyyətsiz I
modelinin determinasiya əmsalı məhdudiyyətli II modelinin determinasiya
əmsalından kiçik deyil. Ona görə də bu heç də yaxşı üsul hesab edilmir23
.
............................................
Tutaq ki, y nəticə göstəricisi üçün iki reqressiya modeli qiymətləndirilmişdir.
I. model: iii exy
II. model: iii exy logˆlog
Modeləllərin ümumi xüsusiyyətləri aşağıdakı kriteriyalarla müəyyən edilir.
n
i
i
n
i
i
n
yy
kn
e
R
1
2
1
2
2
)1(
)(
)(1 (2.50)
Akaik (Akaike into criterion) kriteriyası:
n
ke
nAIC
n
i
i
21
1
2
log (2.51)
AİC (Akaik kriteriyası) cərimə xakterli kriteriyadır. Təbii ki, onun qiyməti
kiçik olanda modelin digər modellə müqaisəsində üstünlüyünü göstərir.
Şvars (Schwars criterion) kriteriyası
nn
ke
nSIC
n
i
i log1
log1
2
(2.52)
SİC (Schwars criterion)-kritreiyasının qiyməti kiçik olması arzu edilən hal
kimi qəbul edilir.
İndi isə yuxarıda göstərdiyimiz xətti (I model) və loqarifmik (II model)
modellərin birinin digərindən üstünlüyü üçün testi göstərək.
I modelin ƏKKÜ ilə qiymətləndirərək iy tapılmışdır. II modelin də
parametrləri eyni qayda ilə tapılaraq
iylog hesablanmışdır.
Əgər I xətti model, II loqarifmik modelə qarşı qoyularaq yoxlanılarsa, onda
23
Я.Р.Магнус, П.К.Катышев, А.А.Пересецкий «Эконометрика. Начальный курс», 6-ое изд., -
М.:Дело, 2004.-576 c., səh.129.
147
iiixettiii yyxy logˆlog (2.53)
reqressiya modeli qiymətləndirilir və H0:xətti=0 hipotezi yoxlanılır. Əgər H0
hipotezi rədd edilməzsə, yəni qiymətləndirilmiş x e t t i reqressiya əmsalı statistik
əhəmiyyətli deyilsə, onda xətti model (I model) loqarifmik modeldən (II model)
üstün hesab olunur. Əks halda, yən H0 hipotezi rədd oluna bilərsə onda II model I
modeldən üstün hesab olunur.
Əgər loqarifmik model (II model) xətti modelə (I model) qarşı qoyularsa,
onda aşağıdakı tənlik qiymətləndirlir
iiiii yyxy
)logexp(ˆ)(loglog log (2.54)
Sonra H0:log=0 hipotezi yoxlanılır. Əgər H0 hipotezi rədd edilərsə loqarifmik
model üstün hesab olunur.
İndi isə konkret misal üzərində loqarifmik və xətti modelləri müqayisə edək:
I model kimi 1990-2003-cü illərin rəqəmləri əsasında24
nominal ÜDM-in
(NOMİNAL_GDP) neftin dünya qiymətlərindən (OİL_PRİCE) xətti asılılığının
modelini götürək. Qiymətləndirmədən alınmış model aşağıdakı kimidir:
Dependent Variable: NOMINAL_GDP
Method: Least Squares
Date: 12/09/05 Time: 19:51
Sample(adjusted): 1990 2003
Included observations: 14 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -1207.864 2643.964 -0.456838 0.6559
OIL_PRICE 239.9589 129.8175 1.848433 0.0893
R-squared 0.221623 Mean dependent var 3591.314
Adjusted R-squared 0.156759 S.D. dependent var 2035.335
S.E. of regression 1869.011 Akaike info criterion 18.03577
Sum squared resid 41918432 Schwarz criterion 18.12706
Log likelihood -124.2504 F-statistic 3.416704
Durbin-Watson stat 0.365331 Prob(F-statistic) 0.089320
White Heteroskedasticity Test:
F-statistic 0.147687 Probability 0.864383
Obs*R-squared 0.366101 Probability 0.832726
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
24
Müvafiq göstəricilərin rəqəmləri III fəslin 3.1. paraqrafında - «Azərbaycanda ümumi daxili məhsulun neftin
dünya qiymətindən Azяrbaycanda asılılığının ekonometrik modeli”ndə verilmişdir.
148
Method: Least Squares
Date: 12/09/05 Time: 19:55
Sample: 1990 2003
Included observations: 14
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -1504830. 19534887 -0.077033 0.9400
OIL_PRICE 548025.4 1922568. 0.285049 0.7809
OIL_PRICE^2 -15577.18 46265.20 -0.336693 0.7427
R-squared 0.026150 Mean dependent var 2994174.
Adjusted R-squared -0.150914 S.D. dependent var 2986440.
S.E. of regression 3203872. Akaike info criterion 32.98503
Sum squared resid 1.13E+14 Schwarz criterion 33.12197
Log likelihood -227.8952 F-statistic 0.147687
Durbin-Watson stat 1.111269 Prob(F-statistic) 0.864383
NOMINAL_GDP = -1207.863638 + 239.9588962*OIL_PRICE
II model kimi isə 1990-2003-cü illərin rəqəmləri əsasında nominal ÜDM-in
(NOMİNAL_GDP) neftin dünya qiymətlərindən (OİL_PRİCE) loqarifmik
asılılığının modelini götürək. Qiymətləndirmədən alınmış model aşağıdakı kimidir:
:
Dependent Variable: LOG(NOMINAL_GDP)
Method: Least Squares
Date: 12/09/05 Time: 19:58
Sample(adjusted): 1990 2003
Included observations: 14 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 4.053667 2.762929 1.467163 0.1680
LOG(OIL_PRICE) 1.323322 0.926091 1.428933 0.1785
R-squared 0.145412 Mean dependent var 7.993367
Adjusted R-squared 0.074196 S.D. dependent var 0.697981
S.E. of regression 0.671588 Akaike info criterion 2.173221
Sum squared resid 5.412370 Schwarz criterion 2.264515
Log likelihood -13.21255 F-statistic 2.041849
Durbin-Watson stat 0.466720 Prob(F-statistic) 0.178534
White Heteroskedasticity Test:
F-statistic 0.460123 Probability 0.642823
Obs*R-squared 1.080803 Probability 0.582514
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 12/09/05 Time: 19:59
Sample: 1990 2003
Included observations: 14
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -2.959006 26.54708 -0.111463 0.9133
LOG(OIL_PRICE) 2.981749 17.93879 0.166218 0.8710
(LOG(OIL_PRICE))^2 -0.621451 3.022945 -0.205578 0.8409
R-squared 0.077200 Mean dependent var 0.386598
Adjusted R-squared -0.090582 S.D. dependent var 0.520880
S.E. of regression 0.543960 Akaike info criterion 1.807528
Sum squared resid 3.254819 Schwarz criterion 1.944469
149
Log likelihood -9.652696 F-statistic 0.460123
Durbin-Watson stat 1.642051 Prob(F-statistic) 0.642823
LOG(NOMINAL_GDP) = 4.053666842 + 1.323322364*LOG(OIL_PRICE)
Yuxarıda göstərilən hər iki model üçün determinasiya əmsalı, Akaik (Akaike into
criterion) və Şvars (Schwars criterion) kriteriyalarının verilmiş qiymətlərini
müqayisə etsək görərik ki, I xətti model II loqarifmik modeldən daha üstündür.
Lakin bu I modelin II modeldən bütün müqayisə kriteriyalarına görə üstün olması
demək deyildir. Daha mükəmməl müqayisə üsulu (2.53) və (2.54)-da göstərilən t-
testlə yoxlama aparılmasıdır. Əvvəlcədən onu da qeyd edək ki, hər iki model bir
sıra statistik xarakteristikalarına görə (məsələn, t-statistika, Darbin-Uotson
statistikası və s.) adekvat deyil. Bununla belə birinin digərinə nəzərən üstünlüyünü
üzə çıxarmaq mümkündür.
I modelin reqressiya tənliyindən alınmış nəticə göstəricisinin qiymətlərini
NOMİNAL_GDFX ilə II modelin reqressiya tənliyindən alınmış nəticə
göstəricisinin qiymətlərini isə NOMİNAL_GDFL ilə işarə edək.
Cədvəl 2.7
İLLƏR NOMINAL_GDP,fakt,
milyard ABŞ dolları
NOMINAL_GDFX ,
I modeldən tapılmış,
milyard ABŞ dolları
NOMINAL_GDFL ,
II modeldən tapılmış,
milyard ABŞ dolları
1990 2443.3 4503.158 3820.676
1991 703.1 3375.351 2855.652
1992 1309.8 3279.367 2776.781
1993 1326.9 2799.449 2390.742
1994 1629.3 2559.491 2203.159
1995 2415.2 2919.429 2485.923
1996 3180.8 3783.281 3196.744
1997 3960.9 3423.343 2895.289
1998 4446.6 1935.598 1733.785
1999 4583.6 3111.396 2640.069
2000 5272.6 5582.973 4804.704
2001 5716.8 4623.138 3927.253
2002 6089.9 4311.191 3651.658
2003 7199.6 4071.23 3443.048
Cədvəldəki göstəricilərin qrafiki aşağıdakı kimidir:
150
0
2000
4000
6000
8000
90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
NOMINAL_GDFL NOMINAL_GDFX NOMINAL_GDP
Şəkil 2.8
I modeli II model ilə müqayisə edək:
Bunun üçün loqarifmik modelin reqressiya tənliyindən nəticə göstəricisinin
tapılmış qiymətlərini NOMİNAL_GDFL ilə, xətti modeldən tapılmış qiymətlərin
loqarifmini isə LOG(NOMİNAL_GDFX işarə edək və aşağıdakı reqressiya
tənliyini qiymətləndirək:
NOMINAL_GDP = C(1) + C(2)*OIL_PRICE + C(3)*(LOG(NOMINAL_GDFX)-NOMINAL_GDFL)
Qiymətləndirmənin nəticələri aşağıdakı kimi alınmışlır:
Dependent Variable: NOMINAL_GDP
Method: Least Squares
Date: 12/09/05 Time: 21:03
Sample(adjusted): 1990 2003
Included observations: 14 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 4302.964 5326.321 0.807868 0.4363
OIL_PRICE 314.9788 142.4993 2.210389 0.0492
LOG(NOMINAL_G
DFX)-
NOMINAL_GDFL
-44142.63 37234.46 -1.185532 0.2608
R-squared 0.309810 Mean dependent var 3591.314
Adjusted R-squared 0.184321 S.D. dependent var 2035.335
S.E. of regression 1838.212 Akaike info criterion 18.05838
Sum squared resid 37169263 Schwarz criterion 18.19532
Log likelihood -123.4087 F-statistic 2.468821
Durbin-Watson stat 0.594013 Prob(F-statistic) 0.130115
151
White Heteroskedasticity Test:
F-statistic 0.597442 Probability 0.673768
Obs*R-squared 2.937439 Probability 0.568349
NOMINAL_GDP = 4302.964374 + 314.9788136*OIL_PRICE - 44142.63449*(LOG(NOMINAL_GDFX)-NOMINAL_GDFL)
Modeldən göründüyü kimi (LOG(NOMINAL_GDFX)-NOMINAL_GDFL) fərqin
əmsalının t-statistikası əhəmiyyətli olmadığı üçün H0:log=0 hipotezi rədd edilmir
yəni, həmin əmsalı sıfır qəbul etmək olar. Bu isə xətti modelin loqarifmik
modeldən üstün olması deməkdir. Qeyd edək ki, biz yuxarıda determinasiya
əmsalı, Şvarts və Akayk kriteriyalarına görə də I modelin II modeldən, daha
doğrusu xətii modelin loqarifmik modeldən üstün olduğunu görmüşdük.
2.16. Ekonometrik modellər vasitəsi ilə prognozlaĢdırma
Proqnozlaşdırmanın bir sıra üsulları vardır ki, onların içərisində praktiki işlərdə
ən genis tətbiq ediləni ekonometrik proqnozlaşdırmadır. Əməmiyyətli ekonometrik
modellərin qurulması iki məqsədə xidmət edir. Birincisi, təhlillərin aparıması,
ikincisi, proqnozların verilməsidir. Bəzən ekonometrik modellərin bir sıra statistik
xarakteristikaları təhlil aparılmasına yararlı hesab olunsa da, həmin model ilə
proqnozların verilməsi məqsədəuygun hesab edilmir. Proqnozlaşdırma üçün
qurulmuş mollərdə bir sıra əlavə statistik xarakeristikaların yoxlanılması tələb
olunur. Məsələn, əgər təhlil üçün istifadə olunacaq modeldə t-statistika və
homoskastiklik şərtinin ödənilməsinə daha cox diqqət yetirilirsə, proqonzlaşdırma
üçün modellərdə ilk novbədə determinasiya əmsalı, Darbin-Uotson statistikası və
digər kriteriyalara diqqət yetirilir. Ona görə də bir sıra hallarda poqnoz modelləri
təhlil modellərindən fərqlənir. Daha ümumi hal qurulmuş modelin bütün statistik
xarakteristika və kriteriyalarının arzu edilən alınmasıdır ki, belə modellər istər
təhlil istərsə də proqnoz üçün yararlı olur. Lakin qurulmuş modeli həm təhlil həm
də proqnoz üçün həmişə istifadə etmək mümkün olmur. Belə fərqliliklərin bir
səbəbi də nəzəri biliklərin təcrübi biliklərlə bir sıra hallarda üst-üstə düşməməsidir.
152
Belə ki, təhlil modellərində daha cox nəzəri biliklərə üstünlük verilirsə, proqnoz
modellərində təcrübi biliklər və spesfik cəhətlər daha cox əksini tapır. Məsələn,
ölkənin Ümumi daxili məhsulunun ona təsir edən istehsal amillərindən asılılıgı
tədqiq edilirsə, onda nəzəri biliklərə əsaslanan istehsal funksiyaları
qiymətləndirilərək təhlillər aparılır. Ancaq, Ümumi daxili məhsulun proqnozunun
verilməsi qarşıya məqsəd qoyularsa, onda təcrübi biliklər və ölkənin spesfik
cəhətləri nəzərə alınaraq digər amillər –neftin dünya qiymətləri, xarici
investisiyaların həcmi və s. də modelə daxil edilir.
Bəzən praktikada bu kriteriyaları ödəyən bir neçə modelə rast gəlinir və
onlardan ən yaxşısını seçmək problemi qarşıya çıxır. Belə hallarda proqonz üçün
yararlı olan mövcud modellərdəki aşağıdakı göstəricilər müqayisə edilir:
Səhvin orta kvadratik kökü (Root Mean Squared Error)
Orta mütləq səhv (Mean Absolute Error)
Bu göstəricilər hansı modeldə kiçikdirsə, o model proqnozlaşdırmada
istifadəyə daha münasibdir.
Digər tərəfdən isə hansı modellərdə Theil bərabərsizlik əmsalı (Theil
İnequality Coeffisient) kiçik, Meyllilik ölçüsü (Bias Proportion) kiçik, Dəyişmə
ölçüsü (Variance Proportion) kiçik, Kovariyasiya ölçüsü (Covariance Proportion)
isə böyükdürsə, o modellər verilmiş göstərici sırasını daha adekvat
proqnozlaşdırır. Qeyd edək ki, Meyllilik ölçüsü (Bias Proportion) proqonzun
ortasının faktiki ortadan nə qədər uzaqlaşmasını, Kovariyasiya ölçüsü (Covariance
Proportion) Meyllilik ölçüsünün (Bias Proportion) konsentrasiyasını, Dəyişmə
ölçüsü (Variance Proportion) isə proqnozun dəyişməsinin faktiki dəyişmədən
uzaqlaşmasını göstərir [10, səh 336-338].
Beləliklə, yuxarıdakı proqnozlaşdırma prinsipləri rəhbər tutularaq iqtisadi
artımın inflyasiyadan asılı proqnozlaşdırılması üçün aşağıdakı reqressiya modeli
seçilmişdir:
1/GDP3 = 0.1068763438 + 0.00161150966*INF1(-1)
GDP3 = 1/(0.1068763438 + 0.00161150966*INF1(-1))
153
Dependent Variable: 1/GDP3
Method: Least Squares
Date: 08/02/05 Time: 12:01
Sample: 1996 2003
Included observations: 8
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.106876 0.008452 12.64503 0.0000
INF1(-1) 0.001612 5.80E-05 27.80012 0.0000
R-squared 0.992296 Mean dependent var 0.193938
Adjusted R-squared 0.991012 S.D. dependent var 0.234216
S.E. of regression 0.022204 Akaike info criterion -
4.564734
Sum squared resid 0.002958 Schwarz criterion -
4.544874
Log likelihood 20.25894 F-statistic 772.8467
Durbin-Watson stat 2.141230 Prob(F-statistic) 0.000000
White Heteroskedasticity Test:
F-statistic 3.087013 Probability 0.133937
Obs*R-squared 4.420270 Probability 0.109686
Cədvəl 2.9
2004-2006-cı illər üzrə real iqtisadi artımın proqnozlaşdırılması
İllər Faktiki real iqtisadi
artım,%-lə
Hesablanmış real iqtisadi
artım,%-lə Proqnozun standart səhvi
1991 -0.7 -0.7
1992 -22.6 -22.6
1993 -23.1 -23.1
1994 -19.7 -19.7
1995 -11.8 -11.8
1996 1.3 1.3 0.053
1997 5.8 7.2 1.224
0
5
10
15
20
25
96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06
R GD P3_P ± 2 S.E.
Forecast: RGDP3_P
Actual: RGDP3
Forecast sample: 1996 2006
Included observations: 8
Root Mean Squared Error 1.384644
Mean Absolute Error 1.179895
Mean Abs. Percent Error 13.55504
Theil Inequality Coefficient 0.078883
Bias Proportion 0.051071
Variance Proportion 0.128313
Covariance Proportion 0.820616
154
1998 10 8.7 1.864
1999 7.4 9.5 2.132
2000 11.1 10.7 2.745
2001 9.9 9.1 1.971
2002 10.6 9.2 1.988
2003 11.2 9.0 1.913
2004 9.1 1.947
2005 8.5 1.712
2006 8.6 1.746
Cədvəl 2.9
2004-2006-cı illər üzrə real iqtisadi artımın proqnozlaşdırılması kriteriyaları
Göstəricilər İllər
2004 2005 2006
Proqnozun orta standart səhvi 1.759716 1.754993 1.754189
95%-lik əhəmiyyətlilik səviyyəsində t-statistikanın kritik
qiyməti 2.4469 2.4469 2.4469
Proqnozun son hədd səhvi 4.305849 4.294293 4.292326
Model üzrə hesablanmış proqnoz göstəriciləri 9.056194 8.498093 8.580347
Proqnozun yuxarı sərhəddi 13.36204 12.79239 12.87267
Proqnozun aşağı sərhəddi 4.750345 4.2038 4.288021
Cədvəl 2.10
2004-2006-cı illər üçün real iqtisadi artımın proqnoz göstəriciləri
İllər Göstəricilər
Proqnozlaşdırılan Faktiki Fərq
2004 9.056193812 10.6 1.54
2005 8.498093048 -
2006 8.580347098 -
Qeyd edək ki, real iqtisadi artımın 2004-cü ilin faktiki göstəricisi hesablanmış
proqnoz göstəricisinin proqnoz intervalları daxilindədir. Bu isə proqnoz modelinin
adekvat olduğunu göstərir.
155
I VƏ II FƏSILDƏ ISTINAD EDILƏN ƏDƏBIYYATLARIN SIYAHISI
1 . Г.Титнер «Ввведение в эконометрику» , пер. с немец.,
“Статистика”, 1965
2. Г.М.Галебаров, Н.М.Журавлев, и др. ”Статистическое моделирование
и прогнозирование”. М., “Финансы и статистика”, 1990
3. А.И.Карасев, Н.Ш.Кремер, T.И.Савельева - ”Математические методы
и модели в планировании”. М., “Экономика”, 1987
4. Р.Винн, К.Холден - ”Введение в прикладной эконометрический ана-
лиз”. пер. с анг., М.: “Финансы и статистика”, 1981
5. А.Клас , К.Гергели и др. - ”Введение в эконометрическое моделирова-
ние”. пер. с славян., “Статистика”, 1978
6. Клейнер ”Производственные функции”. М., 1981.
7. Дж.Джонстон ”Эконометриические методы”. пер. с анг., М.:
“Статистика”, 1980
8. Я.Р.Магнус, П.К.Катышев, А.А.Пересецкий «Эконометрика», Начальный
курс, учеб.-6-е изд. Перераб. и доп.-М.: Дело, 2004 – 576 с.
9. Goldberger A. (1990). A Course in Econometrics. Combridge, MA: Harvard
Unversity Press.
10. Кристофер Доугерти «Введение в эконометрику». Перевод с англ., М.;
ИНФРА-М, 1999, 402 c.
11. Н.П.Tихинов, Е.Ю.Дорохина «Эконометрика»: Учебник-М.: «Экзамен»,
2003.-512 с.
12. EViews-4 User guides
13. Кремер Н.Ш., Теория вероятности и математическая статистика, М.,
2006-573с., стр. 362-363.
14. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики, M.,
1968
156
III FƏSĠL. EKONOMETRIK MODELLƏġDIRMƏYƏ AID PRAKTIKI
NÜMUNƏLƏR
3.1. Azərbaycanda ümumi daxili məhsulun neftin dünya qiymətindən asılılığın
ekonometrik modeli
Neft sektorunun Azərbaycan iqtisadiyyatında rolu xeyli böyükdür.
Azərbaycanda zəngin təbii neft–qaz ehtiyatları vardır. Ekspertlərin qiymətləndiril-
məsinə görə bu ehtiyatların həcmi 4–5 milyard tona bərabərdir. Bu vaxta qədər
Azərbaycan ərazisindən 1 milyard 500 milyon tondan çox neft çıxarılmışdır.
Azərbaycanda il ərzində neft hasilatı ən çox 1941–ci ildə – 23.4 milyon ton olub.
1994–cü ildən “Əsrin müqaviləsi” ilə başlanan beynəlxalq neft kontraktlarının sayı
21–ə çatmışdır. Bu kontraktlarda dünyanın ən iri BP, AMOKO, EXXON,
LUKOYL və s. kimi neft şirkətləri iştirak edir. İmzalanmış beynəlxalq neft
kontraktlarına əsasən 30 il müddətində Azərbaycan iqtisadiyyatına 60 milyard
ABŞ dolları həcmində xarici investisiya cəlb olunması nəzərdə tutulmuşdur. Bu
kontraktlarda 15 ölkənin 30–dan çox neft şirkəti iştirak edir. Transmilli neft
şirkətlərinin investisiyaları və dünyanın aparıcı maliyyə təşkilatlarının (Dünya
Bankı, Beynəlxalq Valyuta Fondu, Avropa Yenidənqurma və İnkişaf Bankı,
Beynəlxalq Maliyyə Korporasiyası, Asiya İnkişaf Bankı və s.) kreditləri hesabına
1994–cü ildən başlayaraq Azərbaycana xarici investisiyaların axını xeyli
artırılmışdır və hazırda 15 milyard ABŞ dolları təşkil etmişdir. Bu vəsaitlərin
80%–ə yaxını birbaşa investisiyalardır. Birbaşa investisiyaların 76%–i neft
sektoruna yönəldilmişdir. 1995–ci ildən 2002–ci ilə qədər Azərbaycanın neft
layihəsinə 4,161 milyard ABŞ dolları həcmində sərmayə (investisiya) qoyulub.
1992–ci ildən bəri bonuslar, akrhesabı ödənişlər və müqavilələrdəki paylarının
satışından əldə edilən gəlirdən ödənişlər üzrə Azərbaycan 800 milyon ABŞ dolları
həcmində vəsait alıb. Bu vəsait 1999–cu ildə ölkə Prezidentinin fərmanı ilə
yaradılmış Azərbaycan Dövlət Neft Fondunda toplanmışdır.
Hazırda ölkənin Ümumi Daxili Məhsulunun 30%–i, Dövlət büdcəsinin
157
gəlirlərinin 50%–ə qədəri neft sektorunun payına düşür. Sənaye məhsulu
istehsalının ümumi həcmində neft sektorunun payı 1991–ci ildə 10.1%, 1995–ci
ildə 46.2%, 2000–ci ildə 71.8%, 2001–ci ildə 73.5% olub.
Cədvəl 1. Azərbaycanda ÜDM–in həcmi, neft ixracı və neftin dünya qiymətləri
İllər
Ümumi Daxili
Məhsul, milyon
ABŞ dolları
Neft
məhsullarının
ixracı, milyon
ABŞ dolları
Neft qiymətləri,
US$ / barrel
1990 2443.3 23.8
1991 703.1 19.1
1992 1309.8 18.7
1993 1326.9 16.7
1994 1629.3 15.7
1995 2415.2 373.1 17.2
1996 3180.8 419.1 20.8
1997 3960.9 480.1 19.3
1998 4446.6 417.8 13.1
1999 4583.6 730.4 18.0
2000 5272.6 1484.9 28.3
2001 5716.8 2113.6 24.3
2002 6089.9 1927.4 23.0
2003 7199.6 22.0 Mənbə: Azərbaycan Respublikası Dövlət Statistika Komitəsi, Milli Bankın hesabatları
Ümumi ixracda neft və neft məhsullarının xüsusi çəkisi 90%–ə qədərdir. De-
məli neftin Azərbaycanın Ümumi Daxili Məhsulun həcmində, Dövlət Büdcəsində
və ümumi ixracda rolu kifayət qədər böyükdür. Ona görə də Ümumi Daxili Məhsu-
lun həcminin neft ixracının həcmindən və neftin dünya qiymətlərindən asılılığı
məntiqidir.
Aşağıdakı cədvəldə Ümumi Daxili Məhsul, neft ixracı və neftin dünya
qiymətlərinin dinamikası verilmişdir.
Qrafik 1–də Azərbaycanda Ümumi Daxili Məhsulun həcminin 1990–2003–
cü illər dövründə dinamikasının qrafiki verilmişdir. Qrafikdən görünür ki, ÜDM–in
ABŞ dolları ilə həcmi 1991–ci ildə 1990–cı ilə nəzərən kəskin aşağı düşmüşdür.
Sonrakı illərdə isə müntəzəm olaraq artmışdır. Qrafik 2–də neftin 1990–2003–cü
illərdə dünya qiymətlərinin qrafiki verilmişdir. Qrafikdən görünür ki, neftin bir
barrelinin qiyməti ən aşağı 1998–ci ildə, ən yüksək səviyyəsi isə 2000–ci ildə
158
olmuşdur. 2000–ci ildə neftin dünya bazarında qiymətinin qalxmasına İraqla dünya
ölkələrinin o cümlədən ABŞ–ın münasibətlərinin kəskinləşməsi təsir etmişdir.
ÜDM–in həcminin neftin qiymətindən statistik asılılığını öyrənmək üçün xətti
reqressiya tənliyinə baxaq.
y=a0+a1x (1)
burada, y – Ümumi Daxili Məhsul (milyon ABŞ dolları), x – neftin dünya
qiymətləridir (US $ barrel), a0 və a1 parametrlərdir. Bu parametrlərin qiymətlərini
müxtəlif üsullarla təyin etmək olar [1], [2], [3], [4]. Bu üsullardan praktikada daha
geniş istifadə edilən ən kiçik kvadratlar üsuludur. Bu zaman a0 və a1 aşağıdakı
normal xətti tənliklər sistemini həll etməklə tapılır.
n
i
n
i
n
i
iiii
n
i
n
i
ii
yxxaxa
yxana
1 1 1
2
10
1 1
10
(2)
(2) sistemini həll etmək üçün aşağıdakı cədvəli tərtib edək.
0
2000
4000
6000
8000
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
Qrafik 1. Azərbaycanda ÜDM–in 1990–2003–cü illərdə dinamikası (milyon ABŞ dolları ilə)
159
0
5
10
15
20
25
30
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
Qrafik 2. Neftin 1990–2003–cü illərdə dünya qiymətlərinin dinamikası (US $ barrel)
Cədvəl 2. Parametrlərin hesablanması ücün köməkçi hesablamalar.
Sına
q-lar
İllər
(t) ÜDM (y)
Neft
qiymətlə
ri (x)
1 1990 2443,3 23,8 566,4 58150,5 5969714,9 -1148,0 1317927,0
2 1991 703,1 19,1 364,8 13429,2 494349,6 -2888,2 8341757,0
3 1992 1309,8 18,7 349,7 24493,3 1715576,0 -2281,5 5205287,9
4 1993 1326,9 16,7 278,9 22159,2 1760663,6 -2264,4 5127552,7
5 1994 1629,3 15,7 246,5 25580,0 2654618,5 -3893,7 15160977,6
6 1995 2415,2 17,2 295,8 41541,4 5833191,0 -1176,1 1383234,7
7 1996 3180,8 20,8 432,6 66160,6 10117488,6 -410,5 168518,5
8 1997 3960,9 19,3 372,5 76445,4 15688728,8 369,6 136596,8
9 1998 4446,6 13,1 171,6 58250,5 19772251,6 855,3 731521,0
10 1999 4583,6 18,0 324,0 82504,8 21009389,0 992,3 984639,4
11 2000 5272,6 28,3 800,9 149214,6 27800310,8 1681,3 2826467,1
12 2001 5716,8 24,3 590,5 138918,2 32681802,2 2125,5 4517707,7
13 2002 6089,9 23,0 529,0 140067,7 37086882,0 2498,6 6242952,0
14 2003 7199,6 22,0 484,0 158391,2 51834240,2 3608,3 13019756,7
Cəmi 50278,4 280,0 5807,4 1055306,7 234419206,8 -1921,6 65164896,0
Orta
qiymət 3591,3 20,0 414,8 75379,1 16744229,1 -138,0 4654635,4
Orta
vadratik
səhv ( ) 1961,3 3,6 - - - - -
Cədvəl 2–yə əsasən (2) sistem tənliyini aşağıdakı kimi yaza bilərik
68,105530628,5807280
4,502780,28014
10
10
aa
aa
xy yy 2yy 2x
2y
160
Birinci tənliyi (–20) ədədinə vurub, ikinci tənliklə toplasaq ikinci tənlikdə 0a yox
olar
68,4973820728
4,5027828014
1
10
a
aa
89,1207
96,239
0
1
a
a
Bu parametrləri birbaşa olaraq aşağıdakı düsturlarla da tapmaq olar
222
1
2
11
,cov
x
n
i
i
n
i
iyx
xx
yxyx
xx
xxyy
a
; xaya 10
Burada,
,1
n
x
x
n
i
i ,1
n
x
y
n
i
i uyğun olaraq x və y dəyişənlərinin orta qiymətidir.
Beləliklə, (1) xətti reqressiya modeli
xyx 96,23989,1207ˆ kimi olacaqdır.
x və y dəyişənləri arasında kovalyasiya
n
i
ii yxyxxxyyn
yx1
))((1
),cov( ,
dispersiya isə
221
2
2
)(
)( xxn
xx
xD
n
i
i
x
221
2
2
)(
)( yyn
yy
yD
n
i
i
y
kimi hesablanır. Burada x və y uyğun olaraq x və y dəyişənlərinin orta kvadratik
səhvidir.
85,381,1440081,414 x
31,196154,3846721)31,3591(06,16744229 2 y
161
Öyrənilən əlaqənin sıxlığı xətti cüt korrelyasiya əmsalı ilə qiymətləndirilir
11 xyr
yxyxy
xxy
yxyxyxar
),cov(1
471,031,1961
85,396,239 xyr
Tapılmış sərbəst həddin ( 0a ), reqressiya əmsalının ( 1a ) və korrelyasiya
əmsalının ( xyr ) statistik əhəmiyyətini qiymətləndirmək üçün Styudentin t–
kriteriyası (t–test) hesablanır və hər bir parametr (bizim məsələdə 0a və 1a ) üçün
inamlı (etibarlı) interval tapılır.
Göstəricilərin təsadüfi olması haqqında 0H – hipotezi irəli sürülür. Daha
doğrusu fərziyyə irəli sürülür ki, tapılmış qiymətlər təsadüfən həmin qiymətləri
alıb və onların qiyməti sıfırdan çox az fərqlənir. Parametrlərin ( 0a və 1a ) və
korrelyasiya əmsallarıının ( xyr ) əhəmiyyətliliklərinin qiymətləndirilməsi
Styudentin t– kriteriyası (t–test) vasitəsilə onların qiymətlərinin təsadüfü (standart)
səhvləri ilə müqayisə etməklə aparılır:
)( 0
11
1
1
aD
a
S
at
a
a ; )( 0
00
0
0
aD
a
S
at
a
a ; )( xy
xy
r
xy
rrD
r
S
rt
Burada, 1aS – 1a parametrinin,
0aS – 0a parametrinin,
rt – isə korrelyasiya əmsalının ( xyr ) standart səhvi,
D(a1), D(a0) və D(rxy) – isə uyğun olaraq həmin kəmiyyətlərin
dispersiyalarıdır.
Xətti reqressiya tənliyinin parametrlərinin və korrelyasiya əmsalının standart
səhvləri aşağıdakı düsturlarla hesablanır:
)()()(
2/)ˆ(
)(
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1 1 xnD
S
n
S
xx
S
xx
nyy
SaDqal
x
qal
n
i
i
qal
n
i
i
n
i
xi
a
162
)()(
2
)(
)(2
2
22
1
2
2
1
2
1
2
2
12
0 0 xnD
xS
n
x
S
xxn
x
n
yy
SaD qal
x
n
i
i
qaln
i
i
n
i
i
n
i
xi
a
i
2
1)(
2
2
n
rSrD
xy
rxy
burada,
2
)ˆ(1
2
2
n
yy
S
n
i
xi
qal
i
2
qalS – qalıq (izahedilməz) dispersiyadır. Qalıq dispersiya ( 2
qalS ) asılı dəyişənin
(bizim məsələdə y – Ümumi Daxili Məhsul) qiymətinin reqressiya xətti ətrafında
dağılmasını göstərir.
ixii yyu ˆ
kimi işarə etsək,
2
1
2
2
n
u
S
n
i
i
qal
u – reqressiya tənliyinin kənarlaşmasını (səhvini) göstərir.
Parametrlərin standart səhvlərini hesablamaq üçün cədvəl 3–dən istifadə edilir.
72,3493209214
63,419185162
qalS
02,1682562,207
72,3493209
)85,3(14
72,3493209)(
21
aD
15,068,2906
81,414
)85,3()14(
81,414)(
220
aD
07,0214
)471,0(1)(
2
xyrD
71,129)( 11 aDSa ; 39,0)( 00
aDSa ; 26,0rS
Burada: 0a mənfi olduğu üçün 0aS mənfi götürülür
Cədvəl 3
163
İllər y x u = y x– y u2=( y x– y )
2 A: (%)
1990 4503.16 2060.16 4243023.22 85
1991 3375.35 2672.25 7140920.07 380
1992 3279.37 1969.57 3879205.99 151
1993 2799.45 1472.55 2168403.51 111
1994 2559.49 930.19 865253.44 57
1995 2919.43 504.23 254247.9 21
1996 3783.28 602.48 362982.15 19
1997 3423.34 -537.56 288970.76 14
1998 1935.59 -2511.01 6305171.22 57
1999 3111.39 -1472.21 2167402.29 33
2000 5582.98 310.38 96335.75 6
2001 4623.14 -1093.66 1196092.2 20
2002 4311.19 1778.71 3163809.27 30
2003 4071.23 -3128.37 9786698.86 44
cəmi 50278.39 3557.71 41918516.63 1028.0
orta
qiyməti
362.23 254.13 73.43
Beləliklə,
xyx 96,23989,1207ˆ
s.s. (0,39) (129.71)
Determinasiya əmsalı (R2) korrelyasiya əmsalının ( xyr ) kvadratına bərabərdir.
23,0)471,0( 22 R
Determinasiya əmsalının (R2) qiymətinin 0,23–ə bərabər olması (R
2=0,23)
onu göstərir ki, Azərbaycanda 1990–2003–cü illər arasında Ümumi Daxili
Məhsulun dəyişməsinin nəticəsini 23% həmin illərdə neftin dünya qiymətinin
dəyişməsi ilə izah edilə bilər, qalan 77%–i isə reqressiya tənliyində nəzərə
almadığımız faktlar hesabına baş vermişdir. Reqressiya tənliyi ilə
apraksimasiyanın orta səhvi (A) – tənlikdən alınan, daha doğrusu hesablanan
qiymətin faktik (statistik) qiymətdən kənarlaşmanın ortasıdır
n
i
i
n
i i
xi Any
yy
nA
1
1
1
1%100
ˆ1
i
xii
y
yyA
ˆ
164
%43,73A
Apraksimasiyanın orta səhvinin sərhəddi 8–10%–dən çox olmamalıdır.
Bizim məsəldə isə bu rəqəm 73,43% təşkil edir. Deməli böyük kənarlaşma vardır.
ta1=71.12996.239
=1.85; ta0= 16.309739.0
89.1207 ; tr= 82.1
26.0471.0
bir qayda olaraq t–statistikanın faktiki qiyməti 2.5–dən böyük olanda parametrlər
əhəmiyyətli hesab olunur və H0 hipotezi rədd edilir. Daha doğrusu a0,a1 və rxy heç
də təsadüfi olaraq sıfırdan fərqli olmur, onların qiymətləri x – dəyişəninin
sistematik təsiri ilə formalaşır. Bizim məsələdə a0 –ın tapılmış qiyməti yüksək
etibarlığa malikdir.
Lakin bu sözləri a1 və rxy üçün söyləmək mümkün deyil. Çünki, onlar üçün
hesablanmış t –statistikanın qiyməti əhəmiyyətlilik üçün yol verilən sərhəddən bir
qədər aşağıdır. t –statistikanın (t–test) faktiki (t–fakt) qiyməti ilə cədvəldəki kritik
qiymətlərini müqayisə etməklə H0 hipotezi qəbul edilir və ya rədd edilir.
Əgər tfakt>tkr olarsa, onda H0 hipotezi rədd edilir, yəni a0,a1 və rxy heç də
təsadüfi olaraq sıfırdan fərqli olmur və x təsiredici (sərbəst) faktorun təsiri ilə
qiyməti formalaşıb. Əgər tfakt<tkr olarsa, onda H0 hipotezi rədd edilmir, yəni a0,a1
və rxy –in dəyişənlərinin sıfra bərabər olması qəbul edilir və onların tapılmış
qiymətlərinin təsadüfən alındığı hesab edilir. a0, a1 və rxy –in hər biri üçün t –
statistikanın kritik qiymətini cədvəldən tapaq. Əvvəlcə a1 parametrinin 239.96–ya
bərabər olmasının əhəmiyyətliliyini qiymətləndirək. Tutaq ki, əhəmiyyətlilik
səviyyəsi ikitərəfli alternativ hipotez üçün 0.05–ə bərabərdir. Bu onu göstərir ki,
əgər a0 0 olarsa, onda həm müsbət, həm də mənfi ola bilər. Styudentin t
paylamasının 12 (n–2=14–2=12) sərbəst dərəcəli 5% əhəmiyyətlilik səviyyəsi ilə
cədvəldəki kritik qiyməti tkr =2.79 bərabərdir (1, səhifə 368).
ta1= 1.85< tkr=2.179
olduğu üçün H0 hipotezi rədd edilmir. Başqa sözlə a1=239.96 bərabər olmasını
95% inamla söyləmək olmaz. Lakin ola bilər ki, daha aşağı səviyyəsi etibarlığı ilə
a1 parametrinin tapılmış qiymətlərini qəbul etmək mümkün olsun. Məsələn, 10%
əhəmiyyətlilik səviyyəsi ilə t paylanmasının kritik qiyməti 1.782–ə bərabərdir.
165
tkr=1.782
onda.
ta1= 1.85> tkr=1.792
tfakt>tkr olduğu üçün H0 hipotezi rədd edilir, 90% əhəmiyyətlilik səviyyəsi ilə a1
parametrinin qiyməti etibarlı sayilir. reqressiya əmsalının 90%–li inamlı intervalı
239.96– tkr . sa1 < a1<239.96 + tkr + sa1
239.96–1.782129.71 < a1<239.96 + 1.782129.71
8.82< a1<471.11
Ona görə də 471.11–dən böyük 8.82–dən qiymət alan ixtiyari hipotetik
qiymət rədd edilir. reqressiya tənliyinin qiymətləndirilməsi nəticəsində alınan bu
intervaldan kənara çıxmayan hipotez isə rədd edilmir.
a0 parametrinin tapılmış qiyməti 99% əhəmiyyətlilik səviyyəsinə malikdir.
Belə ki, 12 sərbəst dərəcəli 1% əhəmiyyətlilik səviyyəsi ilə t –paylanmasının kritik
qiyməti 4.318–ə bərabərdir.
ta0=|–1207.89| > tkr=4.318
Ona görə də H0 hipotezi rədd edilir
a0–üçün 99%–li inamlı intervalı
–1207.89–4.318 0.39< a0<–1207.89+4.318 0.39
–1209.58< a0<–1206.20
y və x dəyişənləri, başqa sözlə Azərbaycan ÜDM ilə neftin dünya bazarındakı qiy-
məti arasındakı əlaqənin sıxlığını göstərən cüt korrelyasiya əmsalının ryx=0.471–ə
bərabər olmasını 90% əhəmiyyətlilik səviyyəsinə malikdir. İnamlı interval isə
0.471–1.782 0.26<rxy<0.471+1.782 0.26
0.01<ryx>0.95
kimidir. Qeyd edək ki, əgər inamlı intervalın aşağı sərhəddi (–), yuxarı sərhəddi
(+) ədəd olarsa 0 həmin intervala düşür. Bu zaman qiymətləndirilən parametr 0
qəbul edilir. Belə ki, parametrin qiyməti eyni zamanda 0 və ya 0–dan fərqli ola
bilməz. Başqa sözlə, H0 hipotezi rədd edilmir.
166
reqressiya tənliyinin keyfiyyətinin qiymətləndirilməsi F–testlə həyata
keçirilir. Başqa sözlə, əlaqənin sıxlığı göstəricisinin və reqressiya tənliyinin
statistik əhəmiyyət kəsb etməməsi haqqındakı H0 hipotezi yoxlanılır. Bunun üçün
F– Fişer kriteriyasının faktiki qiyməti Ffakt ilə cədvəl (kritik) qiyməti Fkr müqayisə
edilir. Əgər Ffakt<Fkr olarsa H0 –rədd edilmir və reqressiya tənliyinin statistik
əhəmiyyətsizliyi, etibarsızlığı qəbul edilir.
Ffakt= 59,377,0
76,2)214(
)471,0(1
)471,0()2(
1 2
2
2
2
nr
r
xy
xy
5%–li əhəmiyyətlilik səviyyəsi ilə
Fkr=Fm; n–m–1=F1;12=4.75
Ffakt=3.59<Fkr=4.75
olduğu üçün reqressiya tənliyi etibarlı sayılmır.
Əgər Azəırbaycanın Ümumi Daxili Məhsuluna neftin dünya bazarındakı
quymət ilə yanaşı zaman ənənəsinin də təsirini nəzərə alsaq
)1998(210 taxaay
və reqressiya tənliyini E–views (Econometric Views) sisteminin vasitəsi ilə
qiymətləndirsək, qiymətləndirmənin nəticəsi aşağıdakı kimi olar.
LS // Dependent Variable is UDM$
Date: 05/07/04 Time: 21:53
Sample: 1990 2003
Included observations: 14
UDM$=C(1)+C(2)*NQ$BAR+C(3)*(T–1998)
Coefficient Std. Error t–Statistic Prob.
C(1) 2558.649 937.8781 2.728125 0.0196
C(2) 84.21159 44.99234 1.871687 0.0881
C(3) 433.9768 43.00532 10.09124 0.0000
R–squared 0.924160 Mean dependent var 3591.314
Adjusted R–squared 0.910370 S.D. dependent var 2035.335
S.E. of regression 609.3428 Akaike info criterion 13.01217
Sum squared resid 4084286. Schwarz criterion 13.14911
Log likelihood –107.9503 F–statistic 67.02069
Durbin–Watson stat 1.335785 Prob (F–statistic) 0.000001
)1998(9768,43321159,84649,2558 txy
167
(937,8781) (44,99234) (43,00532)
924160,0R 2 , 335785,1DW
burada, mötərizə işarəsində yazılmış ədədlər uyğun parametrlərin standart səhvləri,
R2–determinasiya əmsalı, DW–isə Darbin–Vatson statistikasıdır.
Cədvəldəki uyğun parametrləri t–statistikalarının qiymətləri göstərir ki,
parametrlərin qiymətləri əhəmiyyətlidir. Determinasiya əmsalının təxminən 0.924–
ə bərabər olması (R2=0.924) onu göstərir ki, Azərbaycanda 1990–2003–cü illər
ərzində Ümumi Daxili Məhsulun qiymətinin dəyişməsinin 92.4%–i həmin illərdə
neftin dünya qiymətlərinin və zaman ənənələrinin dəyişməsi ilə izah edilir.
Darbin – Vatson statistikası reqressiya tənliyinin qalıqlarının avtokorrelyasi-
yasının mövcud olub–olmamasını yoxlayır və qiyməti 0 ilə 4 arasında dəyişir.
Əgər DW2 ətrafında olduqda avtokorrelyasiya mövcud olmur. Bu hal arzu
olunandır.
Neftin Dünya bazarındakı qiymətinin və zaman faktorunun Azərbaycanda
Ümumi Daxili Məhsulun həcminə təsir gücünü xarakterizə etmək üçün orta
elastiklik əmsalını hesablayaq:
y
xaE yx 1 ;
%47,03,3591
2021159,84
yxE
E yx =0.47%–ə bərabər olunan göstərir ki, neftin Dünya bazarında qiymətinin orta
qiymətində 1% qalxması Azərbaycanda Ümumi Daxili Məhsulun orta qiymətinin
0.47% qalxmasına səbəb olur. 2004–cü ilin may ayının əvvəlində neftin dünya
bazarındakı qiyməti sürətlə qalxaraq 1 barreli 40 ABŞ dollarına yaxın olmuşdur.
Hesab etsək ki, il ərzində bu rəqəm orta hesabla 35 ABŞ dolları/barrel olacaqdır.
Onda Ümumi Daxili Məhsulun həcminin proqnozu
y=2558,649+84,21159*35+433,976*(2004–1998) = 8109,92 milyon ABŞ dolları
olacaqdır. Bu isə 2003–cü ilə nəzərən 13 faiz artım deməkdir.
ƏDƏBIYYAT
168
1. Кристофер Доугерти «Введение в эконометрику». Перевод с англ., М.;
ИНФРА-М, 1999, 402 c.
2. Г.С. Кильдишев «Корреляционный меtод изучения связи экономических
явлений», М. «Статистика», 1976
3. Практикум по эконометрику, под. ред. И. И. Елисеевой, М., «Финансы и
статистика», 2001
4. Я. Р. Магнус и др. «Эконометрика, Начальный курс», М, Дело, 1998
5. Yadulla Həsənli, Rasim Həsənov “İqtisadi tədqiqatlarda riyazi üsulların
tətbiqi”, Bakı, 2002, 303 s.
Azərbaycan Respublikası
Təhsil Cəmiyyət, «Business» jurnalı,
(ingilis dilində). №4, Bakı, 2004, səh.40-50
169
3.2. Əsas istehsal faktorlarının ümumi daxili məhsula təsirinin Kobb-
Duqlas istehsal fuksiyası ilə qiymətləndirilməsi
Kobb-Duqlas istehsal fuksiyası iqtisadi proseslərin analizi və
proqnozlaşdırılmasında geniş istifadə edilir1,2,3,4,5. Kobb-Duqlas istehsal
fuksiyası Azərbaycan iqtisadiyyatı timsalında dəfələrlə qiymətləndirilmişdir6,7.
Lakin iqtisadiyyat inkişaf etdikcə onun parametrlərinin qiymətləri dəyişir. Ona
görə də ölkə iqtisadiyyatının son illərdə inkişaf istiqmətlərini təhlil edilməsi üçün
Kobb-Duqlas istehsal fuksiyasının parametlərinin qiymətlərinin tapılması heç də
az əhımiyyət daşımır.
Milli Hesablar Sisteminin (MHS) əsas makro göstəricilərindən olan
ümumi daxili məhsulu (ÜDM) bu funksiya vasitəsi ilə tədqiq edək.
Məlumdur ki, Kobb-Duqlas istehsal fuksiyası riyazi olaraq, məhsul
istehsalı (Y) ilə ona təsir edən əsas fondlar (K- kapital ) və işçi qüvvəsi (L)
arasındakı kəmiyyət xarakteristikasını öyrənir və aşağıdakı şəkildədir .
Y=aK L
, +=1 (1)
Burada, a- sabit ədəddir. , parametirlərdir. Y- nəticə gösdəricisi kimi
respublikanın ümumi daxili məhsulunu, K- əsas fondları, L- işçilərin orta illik
sayını göstərir.
, parametiri Y-in uyğun olaraq K və L-ə ğörə elastiklik əmsallarıdır.
Doğrudan da,
Y
K
K
YE y
k (2)
Y
L
L
YE y
L (3)
(1)- in hər tərəfini L-ə bölsək,
)(L
Ka
L
Y
alarıq.
170
L
Y bir işçiyə düşən ÜDM-i,
L
K isə bir işçiyə düşən əsas fondları (kapitalı) göstərir.
yL
Y və k
L
K işarələmələrini aparsaq (1)-i,
aky (4)
kimi yaza bilərik.
Amerikan iqtisadçısı P . Duqlas və riyaziyyatçı D. Kobbanın 1928-ci ildə
nəşr olunmuş “İstehsal nəzəriyyəsi” məqaləsində 1899-1922 -ci illərdə ABŞ e’mal
sənayesində məhsul istehsalının həcminə kapitalın və əməyin təsir kəmiyyətini
müəyyən etmək üçün aldıqları funksiyanın şəkli
Y=1,01 K0,25
L0,75
, (5)
kimi olmuşdur . [8, səh.210-212] .
Elmi-Texniki Tərəqqinin (ETT), daha doğrusu zaman ənənəsi ilə
iqtisadiyyatda baş verən dəyişikliklərin nəzərə alınması ilə Kobba-Duqlas istehsal
fuksiyası
Y= a K L
et
(6)
kimi modifikasiya edilmlşdir. Fərz edilir ki, +=1 və ETT ümumi daxili
məhsulunun yaradılmasına et
vuruğu ilə təsir edir. Burada t-zamanı, - isə
ETT-nin başqa sözlə zaman ənənəsinin ÜDM-in artımına təsirini xarakterizə edir.
Bir işçiyə düşən müvafik istehsal funksiyası aşağıdakı kimi olacaqdır.
teaky (7)
İstehsal funksiyasının parametrlərinin qiymətləndirilməsi üçün Azərbaycan
Respyblikası Dövlət Statistika Komitəsinin(ARDSK) müvafiq məlumatlarından
istifadə edilmişdir (Cədvəl 1).
171
Cədvəl 1.
İllər
Ümumi
daxili
məhsul (cari
qiymətlərlə)
, min AZN
ÜDM-in
deflyato
ru, %-lə
İqtisadiyy
atda
məşğul
olanların
orta illik
sayı, min
nəfərlə
Əsas fondlar
(nominal
qiymətlə), min
AZN.
Real ümumi
daxili
məhsul
(1990-ci ilin
qiymətləri
ilə), min
AZN
Real əsas
fondlar,
(1990-ci ilin
qiymətləri
ilə), min
AZN
T
(trend) NUDM UDMD L EF
Y K
1995 2133800,0 645,8 3613,0 12 195 000,0 122.5 700.3
1996 2732640,0 126,5 3686,7 15 533 640,0 124.1 705.2
1997 3158280,0 109,2 3694,1 15 637 260,0 131.3 650.1
1998 3440620,0 99,1 3701,5 16 341 060,0 144.3 685.5
1999 3775080.0 102,2 3702,8 16 974 100,0 154.9 696.7
2000 4790100,0 112,5 3704,5 18 139 680,0 174.8 661.8
2001 5315600,0 102,5 3715,0 20 959 660,0 189.2 746.4
2002 6062460,0 103,1 3726,5 22 314 480,0 209.3 770.4
2003 7146500,0 104,0 3747,0 25 412 380,0 237.2 843.6
2004 8374500,0 108,4 3809,1 29 045 700,0 256.5 889.5
2005 11875600,0 110,2 3850,2 330.0 Mənbəə: ARDSK və müəlifin hesablamaları.
Ekonometrik usulla qiymətləndirmə: Qiymətləndirmə üsulu kimi ən kiçik
kvadratlar üsullundan (ƏKKÜ) istifadə edilmişdir. Təhlil ekonometrik
modelləşdirmə ilə həyata keçirilmlşdir. Modellər kompyuterdə Evews-4 Proqram
Paketində realizasiya edilmişdir [9].
(7)-nın qiymətləndirilməsinin nəticəsi aşağıdakı kimi alınmışdır.
Cədvəl 2.
Dependent Variable: LOG(y)
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1995 2004
Included observations: 10 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -149.8582 10.21179 -14.67501 0.0000
LOG(k) 0.429201 0.162032 2.648875 0.0330
trend 0.073751 0.005008 14.72669 0.0000
R-squared 0.989196 Mean dependent var -
3.089924
Adjusted R-squared 0.986109 S.D. dependent var 0.256123
S.E. of regression 0.030186 Akaike info criterion -
3.919535
Sum squared resid 0.006378 Schwarz criterion -
3.828759
172
Log likelihood 22.59767 F-statistic 320.4597
Durbin-Watson stat 2.208249 Prob(F-statistic) 0.000000
White
Heteroskedasticity
Test:
F-statistic 1.002332 Probability 0.453853
Obs*R-squared 3.338511 Probability 0.342319
LOG(y) = -149.858203 + 0.4292014694*LOG(k) + 0.07375105753*trend (8)
(8) reqresiya modelinin cədvəl 3-də verilən statistik xarakteristikaları
göstərir ki model kifayət qədər adekvatdır. Belə ki, əmsalların (c-sabit əmsal , -
elastiklik əmsalı, - zaman ənənəsinin (trend) ÜDM-in artımına təsirini
xarakterizə edən paramet) standart səhvləri ( müvafiq olaraq 10.21179, 0.162032,
0.005008) onların tapılmış qiymətlərindən (müvafiq olaraq -149.8582, 0.429201,
0.073751) xeyli kiçik olduğundan 95%-li əhəmiyyətlilik səviyyəsində əmsalların
qiymətlərinin Anakütlədakı həqiqi qiymətə bərabər olmaması (kənarlaşması)
ehtimalı ( Prob.) müvafiq ilaraq 0.0%, 3.3% və 0.0%-dir (t-test). Ümumiyyətlə
nəzərə alınmayan lakin sabit qalan faktorların (c), ildən-ilə dəyişən bir işçiyə düşən
əsas fondların (k) və dinamik dəyişən zaman faktorunun (trend) nəticə göstəricisi
bir işçiyə düşən real ümumi daxili məhsula (y) təsiri güclüdür. Başqa sözlə
determinasiya əmsalının R-squared=0.989196 olması göstərir ki, həmin faktorlar
tədqiq edilən 1995-2004-cü illərdə y-in qiymətinin dəyişməsini 98.9% izah edir.
Dəqiqləşdirilmiş determinasiya əmsalının qiymətinin (Adjusted R-squared)
determinasiya əmsalının (R-squared) qiymətinə xeyli yaxın olması bunun təsadüf
olmadığını göstərir. Yəni, sınaqların (illərin) sayı kifayət emişdir ki,
qanunauyğunluq üzə çıxarılsın. F-statistikanın qiyməti göstərir ki, baxılan
faktorların nəticə göstəricisinə birgə təsiri güclüdür və determinasiya əmsalının
qiyməti əhəmiyyətlidir. Durbin-Watson statistikasının 2.208249 olması göstərir
ki, qalıqların avtokorelyasiyası mövcud deyil və bu arzu olunan haldır. Bu modelin
proqnoz məqsədi üçün yararlı olduğunu göstərir. Məlumdur ki, ekonometrik
modellərin qurulmasında Qauss-Markov şərtlərinin ödənilməsi mühümdür [10].
173
(7)-nin hər tərəfini loqariflədikdən sonra göstəricilərin zaman sırasının qeyri-
stasionarlığı aradan qaldırılmışdır[11]. Sıranın stasionarlıq şərtinin ödənilməsi
vahidə bərabər köklər testi (Dickey-Fuller test statistic) ilə müəyyən edilmişdir.
Vayt Heteroskedastikik testi (White Heteroskedasticity Test) göstərir ki, Qauss-
Markov şərtlərindən olan qalıqların dispersiyasının sabit olması şərti ödənilir.
Ümumiyyətlə modelin cədvəl 2-də verilmiş statistik xarakteristikaları və testlər
göstərir ki, Qauss-Markov şərtləri ödənilir və (8) modeli təhlil və proqnozlaşdırma
üçün yararlıdır.
(8) modelinin reqresiya tənliyi ilə alınan (Fitted) və faktiki (Actual)
qiymətlərin, habelə onlar arasındakı qalıqların (Residual) dinamikası Qrafik 1-də
verilmişdir.
Qrafik 1.
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
-3.6
-3.4
-3.2
-3.0
-2.8
-2.6
95 96 97 98 99 00 01 02 03 04
Residual Actual Fitted
Qrafik 2-də (8) reqresiya tənliyi ilə tapılmış adambaşına real ümumi daxili
məhsulun (ABRUDM) illər üzrə qiymətləri və standart səhvləri, habelə tənliyin
proqnoz məqsədi üçün istifadə edilməsinin bir sıra xarakteristikaları göstərilmişdir.
Qrafik 2.
174
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
95 96 97 98 99 00 01 02 03 04
ABRUDMF ± 2 S .E.
Forecast: ABRUDMF
Actual: ABRUDM
Forecast sample: 1995 2005
Adjusted sample: 1995 2004
Included observations: 10
Root Mean Squared Error 0.001043
Mean Absolute Error 0.000922
Mean Abs. Percent Error 2.141694
Theil Inequality Coefficient 0.010798
B ias Proportion 0.000205
Variance Proportion 0.002450
Covariance Proportion 0.997344
Cədvəl 3-də adambaşına real ümumi daxili məhsulun (y), (8) reqresiya
tənliyi ilə tapılmış qiymətlərinin (ABRUDMF) və onların standart səhvlərlə sola
(ABRUDMF-2*SEABRUDM) və sağa kənarlaşmaların
(ABRUDMF+2*SEABRUDM) bir sıra xarakteristikaları orta qiyməti (Mean),
medianı (Median), ən böyük qiyməti (Maximum), ən kiçik qiyməti (Minimum), və
s. göstərilmişdir.
Cədvəl 3
y yF yF-2*SEy yF+2*Sy
Mean 0.053728 0.051586 0.043650 0.050093
Median 0.049054 0.046564 0.041094 0.047156
Maximum 0.085716 0.081007 0.063208 0.073187
0.033648 0.032417 0.029969 0.034865
Std. Dev. 0.017417 0.015694 0.011330 0.013062
Skewness 0.539341 0.603709 0.465824 0.523716
Kurtosis 2.006217 2.180918 1.937235 2.007115
Jarque-Bera 1.434105 1.330471 0.832266 0.867888
Probability 0.488189 0.514152 0.659593 0.647948
Observations 16 15 10 10
(8)-i (7) kimi ilkin verilmiş şəkilə yazaq.
teLKeY 0738.05708.04292.08582203.149 (9)
Qeyd edək ki burada,
175
LOG(C) -149.858203
858203.149 ec
kimi tapılmışdır.
(9) modeli göstərir ki, əsas fondların bir faiz artımı ölkənin real ümumi
daxili məhsulunun həcmini təxminən 0.43 faiz, iqtisadiyyatda məşğul olan əhalinin
bir faiz artması isə real ümumi daxili məhsulun həcmini 0.57 faiz artırır. Zamanla
əlaqədar olaraq eimi-texniki yeniliklərin, informasiya texnologiyalarşnın
iqtisadiyyata tətbiqi hər il real ümumi daxili məhsulun həcminə 7.4 faiz əlavə
artım verir.
Qeyd edək ki, çoxlu sayda digər ölkələr uçün qiymətləndirilmiş ishehsal
funksiyalarının tədqiqi göstərmişdir ki, iqtisadiyyat inkişaf etdikcə hər yeni
yaranan məhsulda fiziki kapitalın (əsas fondların) payı azalaraq işçi qüvvəsinin
(mürəkkəb əməyin) payı artır. Məhz ona görə də inkişaf etmiş ölkələrdə bir qayda
olaraq işçi qüvvəsinin elastiklik əmsalı 0.75 faizdən yüxarı olur. Bu əsasən
mürəkkəb əməklə silahlanmış insan kapitalının inkişafı ilə baş verir.
Alınmış nəticələr göstərir ki, ölkəyə xarici investisiyaların güclü axını
kadırların ixtisaslı peşə hazırlığınin inkişaf sürətini ötmüşdür.
Optimal iqtisadi artımın Solou modelində “ylğımın qızıl qaydası”na görə
yığm norması gəlirin kapitala görə ekastiklik əmsalına bərabər olduqa
iqtisadiyyatın dayanıqlı tarazlı vəziyyəti təmin edilir. İqtisadi nəzəriyyədən
məlumdur ki, investisiyalar nəticə etibarı ilə əsas fondların yığımına çevrilir.
Solou modelinin Azərbaycan iqtisadiyyatı timsalında əvvəlki illərin statistik
rəqəmləri ilə realizasiyası göstərmiıdir ki, ölkə iqtisadiyyatının dayanıqlı tarazlı
vəziyyətini təmin edən yığım norması 0.34 alınmışdır[10]. İndi isə son illərin
rəqəmləri əsasında bu rəqəm qalxaraq 0.43 -ə bərabər olmuşdur.
ƏDƏBIYYAT
1. Г.Б. Клейнер Производетвенные функции , М, 1986.
2. А. Клас, К. Гергели и ур. Введение в экономитрические моделирование,
М , 1978 (пер. с словацкого)
176
3. Р. Винн , К. Холдин Введение в прикладной экономитрический анализ,
М, 1981 (пер. с анг )
4. М . Кубанива , М . Табата , С . Табата , Ю. Хасэбэ Математическая
эканомика на персональном компютере ,М, 1991 (пер.с япон.)
5. Основы теории оптимаьного упровления. Под.ред. В .Ф.Кротова, М,
1990.
6. Q.C.İmanov, Y.H.Həsənli “Azərbaycanın sosial-iqtisadi inkişafının modelləri.
Makroiqtisadi təhlil”,Bakı, Elm, 2001, 248 səh.
7. Y.H.Həsənli, R.T.Həsənov “İqtisadi tədqiqatlarda riyazi üsulların tətbiqi”, Bakı,
2002, 303 səh.
8. С.А.Ашманов “Введение в математическую экономику”, М, Наука,1984
9. EViews 4 Command and Proqramming reference, Quantitative Micro Software
10. Кристофер Доугерти «Введение в эконометрику», М., 1999 (ingilis
dilindən tərcümə)
10. Y.H.Həsənli, F.Həsənov “İqtisadi artımın neoklassik Solou modeli və onun
ölkə iqtisadiyyatı timsalında realizasiyası”, Sumqayıt Dövlət Unversitetinin “ELMİ
XƏBƏRLƏR” curnalı, Cild 2 N 1, 2006, səh., 60-66
11. Канторович Г.Г. «Анализ временных рядов», Экономических журнал
ВШЭ, №1 2002, ст. 85-116
177
3.3. Ġnflyasiya səviyyəsinin ümumi daxili məhsulun artımına təsirinin
qiymətləndirilməsi
GiriĢ: İnflyasiya–iqtisadi artım əlaqəsi makroiqtisadi səviyyənin həm nəzəri,
həm də empirik tədqiqatlarında ən mühüm problem olmaqla illərdən bəri öz
aktuallığını qoruyub saxlamaqdadır. İqtisadi artım və inflyasiya arasındakı
əlaqənin xarakteri və mövcudluğu üzrə xeyli debatlar olmuşdur. Lakin belə bir
razılıq vardır ki, inflyasiyanın iqtisadi artım ilə müəyyən əlaqəsi vardır və bu əlaqə
makroiqtisadi stabillikdə mühüm rol oynayır [1].
Nəzəri aspektlər: Əvvəlcə iqtisadi artım və inflyasiya münasibətlərinin
nəzəri aspektlərinə nəzər yetirək.
Klassik iqtisadi məktəbə (A. Smit) görə, qənaət edərək kapital qoymaqla milli
iqtisadiyyatın artımına nail olmaq olar. Bu nəzəriyyə inflyasiyanın iqtisadi artıma
təsirini onun qənaətə təsiri nöqteyi-nəzərindən izah etməyə çalışır. A.Smit qənaətə
investisiyanın yaradıcısı və beləliklə də, iqtisadi artımın mənbəyi kimi baxırdı. O,
habelə mənfəətin azalmasını məhsuldarlığın azalmasının nəticəsi hesab edirdi.
Qiymət səviyyəsinin yüksəlməsinin mənfəət və ya buraxılan məhsul üzərindəki
«vergi» effektləri iqtisadi artımın klassik nəzəriyyəsində dəqiq müəyyən
olunmamışdı. Lakin bu iki dəyişən arasındakı əlaqə mənfi əlaqə kimi verilmişdir.
Çünki firmaların mənfəət səviyyəsinin azalması daha yüksək əmək haqqı ödəməklə
balğıdır [2, s. 5-6]. Keynsin ənənəvi modeli məcmu tələb ilə məcmu təklif
əyrilərindən ibarət olub, inflyasiya iqtisadi artım münasibətini qısamüddətli dövrdə
izahını verir. Məcmu təklif əyrisi yuxarıya doğru hərəkət edir, lakin şaquli vəziyyət
almır. Əgər məcmu təklif əyrisi şaqulidirsə, iqtisadiyyatda tələbin dəyişməsi yalnız
qiymətlərə təsir edir, əks halda məcmu tələbdəki dəyişiklik həm qiymətə, həm də
məhsula təsir göstərir. Bu fakt onunla təsdiqlənir ki, bir sıra amillər qısa müddət
ərzində həm məhsul istehsalının səviyyəsinin, həm də inflyasiya səviyyəsinin
artmasına səbəb olur. Bu amillərə inflyasiya gözləmələri, iş qüvvəsi, digər istehsal
amillərinin qiymətlərindəki dəyişiklik, maliyyə və valyuta siyasəti sahəsindəki
dəyişiklik aiddir. Qısamüddətli dövrdən hipotetik uzunmüddətli dövrədək
178
yerdəyişmə zamanı yuxarıda göstərilən amillər və bu amillərin «dayanıqlı
vəziyyət»dəki «şok»u iqtisadiyyatdakı tarazlığı pozur. Bu «dayanıqlı vəziyyət»də
«heç nə dəyişmir». Qısamüddətli dövrdə «dinamik tənzimləmə» məcmu tələb və
məcmu təklif əyrilərinin tənzimləmə yoluna gətirib çıxarır ki, bu da inflyasiya ilə
iqtisadi artım arasındakı ilkin müsbət əlaqəni göstərir. Lakin sonuncu hissədə
(klassik hissədə) inflyasiya ilə iqtisadi artım arasındakı müsbət əlaqə pozulur.
Beləliklə, Keyns və onun ardıcılları belə hesab edirlər ki, zəif inflyasiya iqtisadi
artımı stimullaşdırır. Qiymətlərin ləng, daimi artımı firmalara əlavə mənfəət əldə
etməyə imkan verir, onlar investisiya qoymaqda və istehsalın genişləndirilməsində
maraqlı olurlar. Bu proses resursların tam məşğulluğu təmin olunanadək davam
edir [3], [2, səh. 6-8].
Monetarçılar pul-kredit münasibətlərinin inflyasiyadakı kəskin rolunu təkrarən
qeyd edirlər. Onlar inflyasiya iqtisadi artım əlaqəsinə uzunmüddətli təklif nöqteyi-
nəzərindən yanaşaraq, problemi pulun kəmiyyət nəzəriyyəsi və pulun netrallığı
nəzəriyyəsi əsasında izah edirlər. M.Fridman təklif edir ki, cəmiyyətdə inflyasiya o
vaxt yüksəlir ki, məcmu pul kütləsi məhsulun həcmindən çox olur. İnflyasiyanın
kapital yığımına, investisiyaya, ixraca təsiri ölkənin artım normasına pis təsir
göstərə bilər. Beləliklə, monetarçılar elə hesab edirlər ki, uzunmüddətli dövrdə
qiymətlər pul kütləsinin artımına təsir edir, lakin iqtisadi artıma heç bir real təsir
etmir. Əgər pul kütləsinin artımı iqtisadi artımdan çoxdursa, deməli «lazımlı
inflyasiya» (yəni təhlükəsiz inflyasiya) dövrü başa çatmışdır və bundan sonrakı
inflyasiya iqtisadi artım üçün təhlükəlidir [2, səh. 9-10].
Neoklassiklər və artımın endogen nəzəriyyəsinin tərəfdarları isə inflyasiyanın
iqtisadi artım üzərindəki təsirini onun investisiya və kapitala təsiri nöqteyi-
nəzərindən təhlil edirlər. Keynisin ardıcıllarından fərqli olaraq, neoklassik
nəzəriyyənin nümayəndələri belə hesab edirlər ki, hətta zəif inflyasiya belə iqtisadi
artıma mənfi təsir edir. Birincisi, qiymətlərin artımı ona gətirib çıxarır ki, əvvəlcə
əmanətçilər əmanətlərin artım tempini ləngidir, sonra isə onları istehlak sferasına
yönəldərək azaldırlar. İkincisi, qiymətlərin artımı investisiya prosesini ləngidir.
179
Qiymətlərin artımı şəraitində məhsulun satışı prespektivi qeyri-müəyyən olur və
belə şəraitdə istehsalın genişləndirilməsi riskli və hətta mənasız olur.
Neokeynsçi konsepsiyaya görə, inflyasiya səviyyəsi yalnız faktiki ÜDM-in
səviyyəsindən və təbii işsizlik normasından asılıdır. Burada üç hal ola bilər: 1)
Əgər ÜDM-in faktiki səviyyəsi onun potensial səviyyəsini ötüb keçirsə və işsizlik
səviyyəsi təbii işsizlik səviyyəsindən aşağıdırsa, onda digər şərtlər sabiq qaldıqda
təchizatçıların öz qiymətlərini artırmaları fonunda inflyasiya səviyyəsi yüksələcək.
Bu hal Fillips əyrisinin staqflyasiya istiqamətinə doğru yerini dəyişməsinə səbəb
olur-artan inflyasiya səviyyəsi işsizliyin artması ilə müşahidə olunur. 2) Əgər
ÜDM-in faktiki səviyyəsi onun potensial səviyyəsindən aşağıdırsa və işsizlik
səviyyəsi təbii işsizlik səviyyəsindən yuxarıdırsa, onda başqa şərtlər sabiq
qaldıqda, təchizatçıların qiymətləri endirmələri fonunda inflyasiya səviyyəsi aşağı
düşməyə başlayacaq. Bu hal zamanı Fillips əyrisi azruolunan istiqaməyə doğru
yerini dəyişəcəkdir-aşağı inflyasiya səviyyəsi ilə müşayət olunan aşağı işsizlik
səviyyəsi. 3) Əgər faktiki ÜDM potensial ÜDM-ə və faktiki işsizlik təbii işsizlik
səviyyəsinə bərabərdirsə, onda nə qədər ki, şok təklif baş vermir inflyasiya
səviyyəsində dəyişiklik olmayacaq. Neokeynsçilər inanırlar ki, uzunmüddətli
dövrdə Fillips əyrisi təbii işsizlik səviyyəsindən yüksələn şaquli düz xəttdir. İstər
iqtisadi artım–inflyasiya, istərsə də inflyasiya–işsizlik prizmasından yanaşdıqda bu
nəzəriyyəsinin əsas nöqsanlarından biri odur ki, potensial ÜDM və təbii işsizliyin
dəqiq müəyyənləşdirilmiş səviyyələri məlum deyil və bu səviyyələr zaman
keçdikcə dəyişməyə meyillidir. Digər tərəfdən inflyasiya qiymətlərin sabitliyinin
azalması səbəbindən assimetrik yolla da hərəkət edə bilər: daha cəld artar, daha
asta aşağı düşər [2, s.14-16].
Artımın endogen nəzəriyyəsi iqtisadi artımı istehsal prosesi hüdudundakı
amillərin təsiri ilə izah edir. Bu nəzəriyyəyə görə, iqtisadi artım yalnız bir
dəyişəndən: kapitalın məhsuldarlığından asılıdır. Qeyd edək ki, neoklassiklərin
əksinə olaraq, artımın endogen nəzəriyyəsinin nümayəndələri kaptialın
məhsuldarlığının getdikcə artdığını qeyd edirlər. İnflyasiya kimi eqzogen dəyişən
180
kapitalın məhsuldarlıq normasını azaldır və beləliklə də, kapital yığımını və
nəticədə iqtisadi artım aşağı düşür [2, s. 16-18].
Göründüyi kimi İnflyasiyanın iqtisadi artıma təsiri heç də birqiymətli deyildir.
Müxtəlif iqtisadi məktəb və konsepsiyalarda bu məsələdə fikir ayrılıqları
mövcuddur. İnflyasiya-iqtisadi artım münasibətlərinin müxtəlif yanaşmalarını tələb
və təkif əyriləri konteksində izah edək. Belə ki, klassik nəzəriyyədə qiymətlərin
artımının heç bir iqtisadi artım yaratmadığı iddia edilir. Bu onunla izah edilir ki,
iqtisadiyyat həmişə tarazlıqda olur və tarazlıq tam məşğulluq şəraitində baş verir.
Başqa sözlə, məcmu tələb və təklifin tarazlığında əsas istehsal faktorları əmək və
kapital tam məşğul olur.
Tələbin artması (Şəkil 1-də tələbin /
KLD səviyyəsindən //
KLD səviyyəsinə
keçməsi) tam məşğulluq olduğundan, təklifin artımına imkan vermir və tarazlığın
yaranması üçün ancaq qiymətlər artır (Şəkil 1-də qiymətlərin /
KLP səviyyəsindən
//
KLP səviyyəsinə qalxması).
Keyns nəzəriyyəsində isə iddia edilir ki, tarazlıq adətən tam məşğulluq
şəraitində olmur. Ona görə də tələbin stimullaşdırılması (Şəkil 1-də tələbin /
KED
səviyyəsindən //
KED səviyyəsinə keçməsi) heç bir qiymət dəyişikliyi yaratmır,
əksinə iqtisadi artım baş verir (Şəkil 1-də ÜDM-in /
KEY səviyyəsindən //
KEY
səviyyəsinə keçməsi). Belə ki, iqtisadi subyektlər gördükdə ki, onların
məhsullarına tələb artıb, məşğul olmayan işçi qüvvəsi və əsas fondları (kapitalı)
hərəkətə gətirərək, artan tələbi artan təklif ilə qarşılayırlar və qiymətlərin səviyyəsi
əvvəlki kimi qalmış olur.
Monetarist konsepsiyada qiymətlərin səviyyəsi ilə məhsul həcmi arasındakı
münasibət klassik nəzəriyyədəki baxışlar ilə oxşar olaraq, pulun kəmiyyət
münasibətlərinə əsaslanır və hesab edilir ki, məhsul həcminin artımına müvafiq
pulun emissiya edilməsi qiymət dəyişkənliyinə (inflyasiyaya) səbəb olmur.
Məsələnin qoyuluĢu: Hazırda iqtisadi sistemlərdə inflyasiya prosesinin
yaranmasına müxtəlif faktorların təsiri ilə mürəkkəb əlaqələrin nəticəsi kimi
baxılır. Ona görə də probleminə yanaşmalarda müəyyən dəyişikliklər baş
181
vermişdir. Real proseslərin tədqiqində «aralıq» mövqeyin öyrənilməsi daha etibarlı
nəticələrin əldə edilməsinə imkan verər (bax, Şəkil 1). Bu zaman «aralıq»
mövqeyin müxtəlif variantları ola bilər (bax , Şəkil 2).Müasir dövrdə belə bir
konsensus vardır ki, inflyasiya pul-kredit fenomenidir və güman edilir ki, pul
təklifində əhəmiyyətli artım olmasa, inflyasiya səviyyəsi yüksələ bilməz. Bu fikir
belə bir qənaətə gəlməyə Müasir dövrdə belə bir konsensus vardır ki, inflyasiya
pul-kredit fenomenidir və güman edilir ki, pul təklifində əhəmiyyətli artım olmasa,
inflyasiya səviyyəsi yüksələ bilməz. Bu fikir belə bir qənaətə gəlməyə imkan verir
ki, uzunmüddətli dövrdə qiymətlərin sabitliyini təmin etmək üçün pulun artım
tempini real iqtisadi artım tempinə bərabər ölçüdə saxlamaq lazımdır. Lakin
monetarçılar pul kütləsinin artım tempinin real iqtisadi artım tempini üstələməsinə
normal baxırlar.
Şəkil 1.
Классик С
Аралыг
С
Кейнс С
KLY //
AY /
AY //
KEY /
KEY
KEP
/
AP
//
AP
/
KLP
//
KLP
//
KLD
/
KLD
//
AD
/
AD
//
KED /
KED
Гиймят,
П
ЦДМ, Й 0
С
/P
//P
Гиймят,
П
//D
/P
//P
/D
Гиймят,
П
182
a) b)
Şəkil 2
Axarıncı iki onillikdə monetar siyasətin nəzəriyyəsi və praktikasında əsas
meyl bu siyasətin qiymət stabilliyi probleminə həsr olunmasıdır. Monetar siyasətin
qiymət stabilliyinə həsr edilməsinin makroiqtisadi nəticələri özünü işsizlik, real
ÜDM kimi göstəricilərdə əks etdirir. Belə hesab edilir ki, mərkəzi bank xüsusilə
qısamüddətli dövrdə real iqtisadi proseslərə təsir etmək gücünə malikdir. Mərkəzi
banklar ilə taktiklər arasında belə bir razılıq vardır ki, inflyasiya iqtisadi artım üçün
zərərlidir. Mərkəzi banklar öz fəaliyyətlərində belə bir hala şəffaf yanaşırlar ki,
onlar qiymət stabilliyini yerinə yetirməlidirlər. Belə bir qənaətə gəlməyə səbəb
«qiymət stabilliyi və ya aşağı inflyasiya səviyyəsi yüksək iqtisadi artım üçün
mühümdür» baxışıdır. Bildiyimiz kimi, mərkəzi banklar əsasən üç alətdən (açıq
bazar əməliyyatları, uçot faizinin dəyişdirilməsi, ehtiyat normasının dəyişdirilməsi)
məqsədəuyğun şəkildə istifadə edərək ölkədəki inflyasiya səviyyəsini tənzimləyə
və beləliklə də iqtisadi artım üçün münbit şərait yarada bilər [2], [5].
Müasir dövrdə inflyasiya və iqtisadi artım arasında hansı əlaqənin olmasını
aydınlaşdırmaq üçün dövrdən-dövrə iqtisadi ədəbiyyatlarda bu mövzunun necə
dəyişdiyini, bu barədə hansı iqtisadi görüşlərin formalaşdığını nəzərdən keçirmək
lazımdır. Bu baxımdan, müasir dövrdə Alan Stockman, Robert Mundell [2],
Ceyms Tobin [1], [2], [8], Stenli Fişer [5], Robert Lukas [1], [2], Xavier Salai-
Martinin, Robert Barro [5], Abdulhak Sənhacı, Mak Gilmann, Əmrə Alper [6], [7]
kimi alimlər tərəfindən aparılan tədqiqatlar və onların nəticələri olduqca
əhəmiyyətlidir. Beləliklə, inflyasiya–iqtisadi artım əlaqələrinin nəzərəri
183
aspektlərinin təhlilindən aşağıdakı ümumiləşmiş nəticələri qeyd etmək olar:
1) ümumi olaraq iqtisadi artım–inflyasiya əlaqəsi belədir: aşağı səviyyəli
inflyasiya iqtisadi artım üçün zərərli deyil və çox vaxt ona stimul verir, bu hal
müəyyən bir həddə qədər davam edir, bu həddi keçən inflyasiya iqtisadi artıma
mənfi təsir edir;
2) əvvəllər Fillips əyrisinə istinadən belə bir görüş hakim idi ki, inflyasiya ilə
iqtisadi artım müsbət əlaqədədir. Əslində isə bu fikri deməyə əsas verən o dövrün
iqtisadi şərait idi;
3) müasir dövrdə aparılan çoxlu sayda tədqiqatlar deməyə əsas verir ki,
inflyasiya ilə iqtisadi artım əsasən tərs və qeyri-xətti asılılıqdadır. Ola bilsin ki, bu
hal müasir dövrün iqtisadi xüsusiyyətlərindən və şəraitindən qaynaqlanır;
4) fərqli inflyasiya səviyyələrində və fəqli iqtisadi şəraitlərdə inflyasiya–
iqtisadi artım əlaqələri də fərqli məcrada olur;
6) inflyasiyanı azaltmaq yolu ilə əldə edilən iqtisadi artım payı inflyasiya
səviyyəsi azaldıqca böyüyür;
7) iqtisadi artım inflyasiya əlaqələri qısamüddətli dövrdə əsasən əks asılılıq
xarakterlidir və uzunmüddətli dövrdə statistik əhəmiyyətli əlaqə mövcud deyil.
Bizim burada qarşıya qoyduğumuz problem mövcud situasiyadan çıxış edərək
inflyasiyanın iqtisadi artımı əngəlləməyən səviyyəsinin ən aşağı və ən yuxarı
həddinin müəyyənləşdirməkdən ibarətdir. Bu , inflyasiyanın xarakterinin
müəyyənləşdirilməsi ilə yanaşı, aparılmış monitar siyasətin effektivliyinin
qiymətləndirilməsinə də imkan verir.
Həll metodu: Yuxarıda qoyulmuş məsələlərin ekonometrik modelləşdirmə
üsulları ilə həllinə baxaq. Ekonometrik modelləşdirmənin mahiyyətinə müvafiq
olaraq hesab edək ki, ümumi daxili məhsulun artımına (ÜDMART) təsir edən
amillər iki qrupa bölünür: birinci qrup amillər sabit qalır, ikinci qrup amillər isə
dəyişir. Dəyişən amillər kimi inflyasiya səviyyəsini, yerdə qalan amillərin isə sabit
olma fərziyyəsini irəli sürək.
ÜDMART=f(c, inflyasiya)
184
Burada c – sabit amillərin ÜDMART-ə təsirini xarakterizə edir. f – ÜDMART-
in inflyasiyadan asılılığını xarakterizə edir. Asılılığın konkret şəkli statistik
rəqəmlər əsasında qiymətləndirmədən müəyyən edilir. Qeyd edək ki, əgər biz
inflyasiyanın iqtisadi artıma təsirini yuxarıda göstərildiyi kimi birqiymətli qəbul
etmiriksə, onda qeyri-xətti funksiyaya baxılmalıdır. Lakin alınan ekonometrik
model parametrlərə görə xətti olduğundan, o xətti reqresiya tənliyi kimi
qiymətləndiriləcəkdir:
LOG(RÜDMART) = C1 + C2*(İNFLYASİYA+ İNFLYASİYA 2) + C3* İNFLYASİYA +
+ C4* LOG(İNFLYASİYA) (1)
Maliyyə stabilliyinin əsas göstəricisi olan inflyasiyaya xüsusi əhəmiyyət
verilir. Əgər maliyyə risklərinin təhlilinin ənənəvi sxeminə nəzər yetirsək görərik
ki, iqtisadi subyektlər qiymətlərin səviyyəsinin əvvəlki ilə nəzərən dəyişməsinə
(inflyasiyaya) həssas olurlar. Burada təkcə maliyyə sisteminin elementi olan
istehlak qiymətlərinin nöqtəvi qiyməti deyil, onun dinamikliyi və dəyişkənliyini
ifadə edən interval xarakteristikası da nəzərə alınır.
Modelin realizasiyası və dlınmıĢ nəticələrin təhlili: Real ümumi daxili
məhsulun artımının(RÜDMART) (1) reqresiya asılılığının 1996-2003-cü illərdəki
şəkli aşağıdakı kimi alınmışdır:
Dependent Variable: LOG(RUDMART)
Method: Least Squares
Date: 08/23/05 Time: 16:44
Sample(adcusted): 1996 2003
Included observations: 6
Excluded observations: 2 after adcusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 10.57053 0.666692 15.85518 0.0040
INFLYASIYA+INFLY
ASIYA^2
0.149953 0.039752 3.772191 0.0636
INFLYASIYA -4.643323 1.215912 -3.818798 0.0622
LOG(INFLYASIYA) 8.265371 2.372693 3.483541 0.0734
R-squared 0.987853 Mean dependent var 7.169201
Adcusted R-squared 0.969633 S.D. dependent var 1.023876
S.E. of regression 0.178423 Akaike info criterion -0.374602
185
Sum squared resid 0.063669 Schwarz criterion -0.513429
Log likelihood 5.123806 F-statistic 54.21703
Durbin-Watson stat 1.899156 Prob(F-statistic) 0.018165
LOG(RUDMART) = 10.57052792 + 0.1499534516*(INFLYASIYA+INFLYASIYA^2) –
-4.643322862*INFLYASIYA + 8.265371252*LOG(INFLYASIYA) (2)
(2) reqresiya tənliyinin parametrlərinin t-statistikası göstərir ki, sabit
əmsaldan başqa, digər əmsallar 95% əhəmiyyətlilik səviyyəsi ilə etibarlı deyil,
lakin 90% əhəmiyyətlilik səviyyəsinə malikdirlər. Belə ki, sabit parametr üçün
tapılmış qiymətdən kənarlaşma ehtimalı 0,4%, ikinci əmsal üçün bu rəqəm 6,36%,
üçüncü parametr üçün 6,22%, dördüncü əmsal üçün isə 7,34%-dir. Darbin-Uotson
statistikasının 2-yə yaxın olması (1,899) qalıqların avtokorelasiyaçının mövcud
olmadığını göstərir ki, bu da arzuolunan haldır. Başqa sözlə, model proqnoz
məqsədləri üçün də əhəmiyyətlidir. Ümumiyyətlə, (2) tədqiq edilən illərdə ÜDM-
in real həcminin dəyişməsini 98,8% ilə aproksimasiya edir. (2) modelindən
aşağıdakı nəticələr çıxarmaq olar. İqtisadi artım inflyasiya əlaqələri prosesi iki
rejimdə mövcuddur.
(2) funksiyasının ekstremumunun tədqiqi göstərir ki, asılılığın iki stasionar
nöqtəsi vardır: 13,7-minimum nöqtəsi və 2,9 maksimum nöqtəsi. Əgər
inflyasiyanın faktiki qiyməti bu iki nöqtə arasında olarsa, onda bu rejimdə
iqtisadiyyat monetar siyasətdən əlavə təkan alır və inflyasiya real ÜDM-in artımına
müsbət təsir edir. Əgər inflyasiyanın faktiki qiyməti 2,9-13,7 intervalından çıxarsa,
onda iqtisadiyyat başqa rejimə düşür. Bu zaman monetar siyasətdə dəyişikliklərin
edilməsi zərurəti yaranır, çünki inflyasiya real ÜDM-in artım tempini aşağı salır.
ƏDƏBIYYAT
1 Yılmaz K., Akçay J., Alper E. Enflasyon ve Büyüme Dinamikleri. TUSİAT-
T/2002-12/341, gelişmekde olan ülke deneyimleri işığında Türkiye analizi, 2002,
108 s.
2. Gokal V., Hanif S. Relationship between inflation and economic growth.
186
Working Paper No. 2004/04. Economics Department Reserve Bank of Fici ,
December 2004, 51.p. http://www.reservebank.gov.fc/docs/2004_04_wp.pdf
3. Инфляция. http://www.bolshe.ru/unit/110/books/2516/s/
4. Ghosh A, Philips S. Inflation, Disinflation, and Growth, IMF Working Paper,
1998, 44 p. www.imf.org/external/pubs/ft/wp/wp9868.pdf
5. De Gregorio C. Inflation, Growth and Central Banks: Theory and Evidence,
The World Bank Policy Research Department Macroeconomics and Growth
Division, February 1996, 54 p.
http://wdsbeta.worldbank.org/external/default/WDSContentServer/IW3P/IB/
1996/02/01/000009265_3961019185641/additional/109509322_20041117141021
6. Khan M. S. Inflation, Financial Deepening, and Economic Growth. IMF 2002,
Paper for Banco de Mexico Conference on Macroeconomic Stability, Financial
Markets and Economic Development, 27 p.
http://www.banxico.org.mx/gPublicaciones/Seminarios/esp/dgie/estamacrome
r/Inflation.pdf
7. Khan M. S., Senhadci A. S. Threshold Effects in the Relationship between
Inflation and Growth, IMF, 2001, Staff Papers Vol. 48 No.1, 21 p.
http://www.imf.org/External/Pubs/FT/staffp/2001/01a/pdf/khan.pdf
8. Gillman M., Nakov A. A Revised Tobin Effect From Inflation: Relative Input
Price and Capital Ratio Realignments, US and UK, 1959 – 1999. 1999, Vol. 18, 19
p, www.ceu.hu/econ/economic/tobin_ceuwp.pdf.
AMEA-nın “Məruzələr” jurnalinda dərc olunub,
LXI cild, №3, 2005 (Fexri Həsənovla həmmüəllif)
187
3.4. Ġstehlak qiymətlərinin dəyiĢməsinin (inflyasiyanın) qısamüddətli
modelləri
GiriĢ: İstehlak qiymətləri indeksi, yəni cari dövrdəki istehlak malları və
xidmətlərin qiymətlərinin səviyyəsinin müqayisə olunan dövrdəki (baza dövri)
qiymətlərinin səviyyəsinə nisbəti ilə ifadə olunur. İstehlak qiymətləri indeksini
(İQİ) 100%-ə vurulması İQİ-nin artım tempini, ondan 100%-in çıxılması isə əlavə
artım tempini (inflyasiyanı) göstərir. İQİ-nin başlıca təyinatı istehlak mallarının və
xidmətlərin qiymət dinamikasını müəyyənləşdirməkdən ibarətdir. İQİ Laspeyres
düsturu ilə hesablanır[1, səh.331]. Azərbaycanda İQİ-nin hesablanmasında əhalinin
istehlakının milli xüsusiyyətləri nəzərə alınmaqla 585 mal və xidmət qrupları üzrə
toplanmış qiymət və tariflərdən istifadə edilir.
Azərbaycanda İstehlak qiymətlərinin dəyişməsinə (artmasına) bir sıra
obyektiv və subyektiv səbəblər təsir edir. Onları aşağıdakı kimi qruplaşdıra bilərik:
1) Neft gəlirlərinin artımı;
2) Əhalinin pul gəlirlərinin və ya əmək haqqının artması;
3) Dövlət büdcəsinin kəsirlə maliyyələşdirilməsi (xərclərin gəlirlərdən çox
olması);
4) İnhisarçılıq və müşahidə olunmayan iqtisadiyyat;
5) Gömrük vergi və rüsumları;
6) Tədiyyə balansının İdxal və ixracın dəyişməsi;
7) Manatın xarici valyutalara nəzərən dəyərinin artması;
8) Denominasiya;
9) Regionlarda infrastrukturun inkişaf səviyyəsi;
10) Pul kütləsinin artımının məhsul həcminin artımını üstələməsi;
11) Qiymətli kağızlar bazarının tam formalaşmamağı;
12) Valyuta bazarına müdaxilə;
13) İqtisadiyyatın inkişafının diversifikasiya (rəngarəngliyi) səviyyəsi;
14) Dolayı (əlavə dəyər vergisi, aksizlər və s.) vergilər.
188
15) Vergi yükü;
16) Kredit faizləri;
17) Milli bankın kommersiya banklarına qoyduğu məcburi ehtiyat norması.
Yuxarıda göstərdiyimiz obyektiv və subyektiv səbəblərin istehlak qiymətləri
indeksinin dəyişməsinə təsirinin müsbət və ya mənfi tərəfləri ola bilər. Məsələn,
istehlak məhsullarının (xüsusi ilə ərzaq) cari dövr üçün idxalının artımı
inflyasiyanı aşağı salan amildir. Ancaq, uzun müddətli dövrdə bu inflyasiyanı
artıran amilə çevrilir. Əhalinin pul gəlirlərinin və ya əmək haqlarının artımı qısa
müddətli dövrdə inflyasiyanı artırır, uzunmüddətli dövr də ilə azaldan amildir.
Eləcə də cari dövrdə obyektiv səbəb, uzun müddətli dövrdə subyektiv səbəb olur.
Məsələn, cari dövrdə neftin qiymətlərinin kəskin artması ilə neft gəlirlərinin
artması (deməli, xərclərin artmasına gətirib çıxarmaqla) inflyasiyanın
yaranmasında obyektiv amil kimi çıxış edirsə, uzunmüddətli dövrdə subyektiv amil
olur. Ayrı-ayrı amillərin istehlak qiymətlərinin səviyyəsinə təsirləri də müxtəlif
olur. İlk növbədə həmin amillərin nəticə göstəricisi olan inflyasiyaya təsir güclərini
müəyyənləşdirmək lazımdır. Eləcə də hazırkı dövrdə inflyasiyanın yaranmasında
və onun qarşısının alınmasında monetar və qeyri-mometar amillərin rolunu
aydınlaşdırmaq zəruridir. Hər bir amilin inflyasiyanın yaranmasında rolunun
müəyyənləşdirilməsi anti-inflyasiya tədbirlərinin konkret istiqamətlərinin
müəyyənləşdirilməsinə kömək edir. Məhz bundan sonra makroiqtisadiyyatın
monetar və fiskal siyasətləri və onların qarşılıqlı əlaqələrinin yarıdılmasının
köməyi ilə effektiv şəkildə arzu olunan nəticəni almaq mümkündür. Qurulmuş
modellərin xarakterindən (qısamüddətli və uzunmüddətli) asılı olaraq aparılmış
təhlillərin nəticələrindən çıxan təkliflər də qısa və uzun müddətli xarakterə malik
olur.
Ümumiyyətlə nəzərə alsaq ki, 2012-2014-cü ilə qədər ölkəyə neft gəlirlərinin
güclü axını baş verəcəkdir və bu amil inflyasiyanın zəruri səviyyədə saxlanması
problemlərini daha da aktuallaşdıracaqdır. Ona görə də qısa və uzun müddətli dövr
üçün monetar və fiskal siyasət və tədbirləri əhatə edən “İnflyasiyanın qarşısının
alınması üzrə Dövlət Proqramı”nın hazırlanması məqsədəuyğundur. Proqramın
189
hazırlanması və yerinə yetirilməsində Milli Bank, Maliyyə Nazirliyi və digər
dövlət qurumlarının iştirakı ilə bərabər beynəlxalq maliyyə qurumlarının
tövsiyələrindən də istifadə edilməlidir.
Ġstehlak qiymətlərinin mal qruplarından asılılığı: İstehlak malları və xidmətləri
daha ümumi şəkildə 1) ərzaq malları, 2) qeyri-ərzaq malları və 3) xidmətlərə
ayırmaq olar. İQİ-nin formalaşmasında ərzaq mallarının qiymət indeksi (ƏM_Qİ),
qeyri-ərzaq mallarının qiymət indeksi (QƏM_Qİ) və xidmətlərin qiymət indeksləri
(X_Qİ) müəyyən paylara malikdirlər. Ona görə də həmin indekslərin
dəyişmələrinin də İQİ-nin dəyişməsinə təsiri də müxtəlif olur. Digər tərəfdən 2006-
cı ilin yanvarın 1-dən ölkədə manatın denominasiyası həyata keçirilməsi ( 1 yeni
manat – AZN = 5000 köhnə manat – AZM) ilə əlaqədar qiymətlərin zəruri olaraq
yuvarlaşdırılması zamanı texniki olaraq qiymətləri artırır.
İQİ-nin yuxarıda göstərilən amillərdən asılılığını xarakterizə edən
aşağıdakı funksiyaya baxaq:
İQİ = ƏM_Qİc(1)
* QƏM_Qİc(2)
* X_Qİc(3)
* ec(4)*denominasiya
(1)
Burada, c(1), c(2), c(3), c(4) əmsallar və ya parametrlərdir. c(1), c(2), c(3)
parametrləri nəticə göstəricisi olan İQİ-nin uyğun olaraq ƏM_Qİ, QƏM_Qİ və
X_Qİ amillərinə nəzərən elastiklik əmsallarıdır[2, səh.159]. ec(4)*denominasiya
vuruğu
denominasiyanın İQİ-yə təsirini xarakterizə edir. c(4) parametri yarım elastiklik
əmsalıdır[3. səh.112-118].
(1)-in hər tərəfini loqorifmləsək aşağıdakını alarıq.
LOG(İQİ) = C(1)*LOG(ƏM_Qİ) + C(2)*LOG(QƏM_Qİ) +
+ C(3)*LOG(X_Qİ) + C(4)* DENOMİNASİYA (2)
(2)- reqressiya tənliyini Azərbaycanın müvafiq göstəricilərinin 1997-2006-cı
illəri əhatə edən aylıq rəqəmləri [4,5] əsasında EVews sistemində ekonometrik
qiymətləndirək. Qiymətləndirilmənin nəticələri aşağıdakı cədvəldə verilmişdir
(bax: Cədvəl 1.).
Cədvəl 1.
Dependent Variable: LOG(CPI_95_M12)
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1997:12 2006:07
190
Included observations: 104 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 16 iterations
Backcast: 1997:11
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
LOG(FOOD_PI_95_M12) 0.650739 0.009866 65.96062 0.0000
LOG(NFOOD_PI_95_M12) 0.197801 0.025548 7.742248 0.0000
LOG(SERVICE_PI_95_M12) 0.134395 0.018529 7.253208 0.0000
DUMMY 0.015112 0.001349 11.20226 0.0000
AR(1) 0.956028 0.031146 30.69500 0.0000
MA(1) 0.353011 0.099619 3.543615 0.0006
R-squared 0.999779 Mean dependent var 4.680097
Adjusted R-squared 0.999768 S.D. dependent var 0.090622
S.E. of regression 0.001380 Akaike info criterion -10.27697
Sum squared resid 0.000187 Schwarz criterion -10.12441
Log likelihood 540.4024 Durbin-Watson stat 1.854404
Inverted AR Roots .96
Inverted MA Roots -.35
White Heteroskedasticity Test:
F-statistic 1.230051 Probability 0.271741
Obs*R-squared 15.69033 Probability 0.266257
LOG(ĠQĠ) = 0.6507385684*LOG(ƏM_QĠ) +
+ 0.1978012062*LOG(QƏM_QĠ) +
+ 0.1343952062*LOG(X_QĠ) +
+ 0.0151117241* DENOMĠNASĠYA (3)
Tapılmış parametrlərin statistik xarakteristikaları və ümumilikdə modelin
adekvatlığının yoxlanması testlərinin nəticələri göstərir ki, (3) modeli kifayyət
qədər adekvatdır. İQİ-nin (3) modeli ilə tapılmış qiyməti (Fitted) ilə faktiki
qiyməti (Aktual) 99.9779 faiz (R-squared = 0.999779) üst-üstə düşür və ona görə
də onların qiymətləri arasındakı fərq (Residual) xeyli kiçik ədədlə xarakterizə
olunur (bax: Qrafik 1.)
Məlumdur ki, ekonometrik modelləşdirmənin ən zəruri tələbi qalıqların
(Residual) Qaus-Markov şərtlərini ödəməsi və Normal qanunla paylanmasıdır[2,
səh.78-81]. Dispersiyalarının sabit ədədə bərabər olması (2-ci şərt) və qalıqların
bir–birindən asılı olmayaraq paylanması (avtokorelyasiyanın olmamağı) (3-cü
şərt) və ən mühüm Qaus-Markov şərtləridir.
Qrafik 1.
191
-.012
-.008
-.004
.000
.004
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
98 99 00 01 02 03 04 05 06
Residual Actual Fitted
Cədvəl 1-dən göründüyü kimi Darbin-Vatson statatistikasının qiymətinin 2-
yə yaxın olması (Durbin-Watson stat = 1.854404 ) 1-ci tərtib avtokorelyasiyanın
mövcud olmamağını göstərir. Qeyd edək ki, ilkin təhlil zamanı qalıqların 1-ci tərtib
avtokorelyasiyaya malik olası aşkar edilmişdir və o AR(1) vasitəsi ilə aradan
qaldırılmışdır. Qalıqların orta kəmiyyətinin 1-ci tərtibdən dəyişməsi (sürüıkən orta)
isə MA(1) vasitəsi ilə aradan qaldırılmışdır. İstər AR(1), istərsə də MA(1)-in
modelə daxil edilməsi qalıqların dispersiyasının dəyişməsini (Heteroskedasticlik)
aradan qaldıraraq sabitləşməsinə səbəb olmuş və homoskedastiklik yaranmışdır
(White Heteroskedasticity Test:).
Beləliklə (3) modeli göstərir ki, ərzaq məhsullarının qiymət indeksinin (ƏM_Qİ)
ay ərzində bir faiz artması istehlak qiymətləri indeksinin (İQİ) 0.6507385684 faiz
artmasına, qeyri-ərzaq məhsullarının qiymət indeksinin (QƏM_Qİ) ay ərzində
bir faiz artması İQİ-nin 0.1978012062 faiz artmasına, xidmətlərin qiymət
indeksinin (X_Qİ) ay ərzində bir faiz artması isə İQİ-nın 0.1343952062 faiz
artmasına səbəb olur. Ümumiyyətlə isə manatın denominasiyası istehlak qiymətləri
indeksinin təxminən 1.5 faiz artmasına səbəb olmuşdur. Göründüyü kimi
qiymətlərin artımına ən güclü təsir edən faktor ərzaq məhsullarının qiymətlərinin
artmasıdır(təxminən 65 faiz). Ona görə də anti-inflyasiya tədbirləri ilk növbədə
ərzaq məhsullarının qiymətlərinin artımının qarşısının alınmasına yönəldilməlidir.
192
Ərzaq məhsullarının qiymətlərinin artımının təhlili: Birinci modeldə
öyrəndik ki, ölkədə qiymətlərin səviyyəsinin qalxmasında ərzaq məhsulları 65 faiz,
qeyri ərzaq məhsulları 20 faiz, xidmətlərin isə 14 faiz rola malik olmuşdur.
Ümumiyyətlə isə təkcə manatın denominasiyası 1.5 faiz texniki inflyasiya
yaratmışdır. Başqa sözlə əgər 2006-cı il yanvarın 1-dən manatın denominasiyasının
həyata keçirilməsəydi onda, cari ilin yanvar-sentyabr aylarında qiymətlərin
səviyyəsi hazırda olan 7.7 faiz deyil 5.2 faiz (7.7 faiz – 1.5 faiz) olacaqdır.
Göründüyü kimi ərzaq məhsullarının qiymətlərinin qalxması ölkədə istehlak
qiymətlərinin qalxmasında müstəsna rola malikdir. Bu faktı nəzərə alaraq ərzaq
məhsullarının qiymətlərinin qalxmasının qarşısının alınmasına yönələn tədbirlərə
xüsusi diqqət yetirilməlidir. Görüləcək tədbirlərin istiqamətlərini konkretləşdirmək
məqsədi ilə ərzaq məhsullarının qiymətlərinin səviyyəsinə təsir edən amilləri və
onların təsir etmə güclərini müəyyənləşdirək. Bunun üçün ərzaq məhsullarının
qiymət indeksinin ona təsir edən amillərdən asılılığının ekonometrik modelini
quraq.
Qurulmuş modelin statistik xarakteristikaları cədvəl 2-də verilmişdir.
Cədvəl 2. Dependent Variable: LOG(IQI_ƏRZAQ)
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1997:01 2006:07
Included observations: 115 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 23 iterations
Backcast: 1996:12
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
LOG(EMEK_H) 0.083587 0.038885 2.149613 0.0338
LOG(IQI_ERZAQ_95_A_12(-1)) 0.722994 0.095550 7.566621 0.0000
LOG(AGRICUL_OUTPUT) -0.006096 0.002713 -2.246955 0.0267
T 0.001863 0.000584 3.188443 0.0019
AR(1) 0.679767 0.081117 8.380077 0.0000
AR(12) 0.253733 0.068758 3.690228 0.0004
MA(1) -0.255661 0.136077 -1.878796 0.0630
R-squared 0.988386 Mean dependent var 0.012604
Adjusted R-squared 0.987741 S.D. dependent var 0.115396
S.E. of regression 0.012777 Akaike info criterion -5.823440
Sum squared resid 0.017631 Schwarz criterion -5.656358
Log likelihood 341.8478 Durbin-Watson stat 2.023086
Inverted AR Roots .98 .85+.42i .85 -.42i .50 -.75i
.50+.75i .05 -.88i .05+.88i -.40 -.76i
-.40+.76i -.73+.44i -.73 -.44i -.85
193
Inverted MA Roots .26
White Heteroskedasticity Test:
F-statistic 0.311161 Probability 0.960342
Obs*R-squared 2.638678 Probability 0.954950
White Heteroskedasticity Test:
F-statistic 0.488512 Probability 0.934512
Obs*R-squared 7.361571 Probability 0.919874
LOG(IQI_ERZAQ) = 0.08358678198*LOG(EMEK_H) +
+ 0.7229938096*LOG(IQI_ERZAQ(-1)) –
– 0.006096413986*LOG(KT_M) +
+ 0.001862939497*T (4)
Burada, IQI_ERZAQ - ərzaq məhsullarının qiymət indeksi; IQI_ERZAQ(-1) -
ərzaq məhsullarının əvvəlki aydakı qiymət indeksi; EMEK_H – ölkədəki aylıq
əmək haqqı; KT_M – isə kənd təsərrüfatı məhsullarının istehsal həcmini göstərir.
Cədvəl 2-də verilmiş statistik xarakteristikaların təhlili göstərmişdir ki, (4)
modeli adaekvatdır. Başqa sözlə onun nəticələri kifayət qədər reallığı əks etdirir.
Qrafik 2-də ərzaq məhsullarının 1996-cı ilin yanvar ayından 2006-cı ilin
avqust aylarını əhatə edən dövrdə faktiki qiymətləri ilə qurulmuş (4) modeli
vasitəsi ilə alınmış qiymətlərinin və onlar arasındakı kənarlaşmanın dinamikası
göstərilmişdir. Göründüyü kimi modeldən alınan qiymətlərin faktiki qiymətlərdən
kənarlaşmaları kifayət qədər kiçikdir.
Birinci modelin qurulmasının izahında qeyd etmişdik ki, qalıq və ya
kənarlaşmaların (bizim modeldə ərzaq məhsullarının qiymət indeksinin faktiki
qiymətləri ilə qurulmuş modeldən alınan qiymətlər arasındakı fərq) normal qanunla
paylanmaya malik olmalıdır. Ək halda modelin nəticələri aldadıcı xarakter daşıya
bilər və reallığı əks etdirməz. ərzaq məhsullarının qiymət indeksinin faktiki
qiymətləri ilə (4) modelindən alınmış qiymətləri arasındakı fərqin (qalıq və ya
kənarlaşmaların) paylanma qanununun dioqram 2-dəki təsviri və onun statistik
xarakteristikaları göstərir qalıqlar normal qanunla paylanır.
Qrafik 2.
194
-.08
-.04
.00
.04
.08
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
.4
97 98 99 00 01 02 03 04 05 06
Residual Actual Fitted
Qurulmuş modelin təhlili göstərir ki, cari aydakı ərzaq məhsullarının
qiymətlərinin səviyyəsinin qalxmasına ən güclü təsir edən amil ərzaq məhsullarının
əvvəlki aydakı qiymətlərinin qalxması təsir edir. Belə ki, əgər əvvəlki ayda ərzaq
məhsullarının qiymətləri 10 faiz qalxmışdırsa onda digər təsir edici amillər sabit
qalsa belə növbəti ayda ərzaq məhsullarının qiymətləri 7.2 faiz qalxacaqdır. Ərzaq
məhsullarının qiymətlərinin səviyyəsinin qalxmasına ikinci ən güclü təsir edən
amil ölkədəki əmək haqqı səviyyəsinin artımıdır. Belə ki, cari ayda əmək haqqının
10 faiz artımı ərzaq məhsullarının qiymət səviyyəsini elə həmin ayda 0.7 faiz
artmasına gətirib çıxarır. Ərzaq məhsullarının istehsalının həcminin artımı ərzaq
məhsullarının qiymətlərinin aşağı düşməsinə səbəb olursa da təsiri aşağı
səviyyədədir. Belə ki, ərzaq məhsullarının istehsalının həcminin 10 faiz artımı
ərzaq məhsullarının qiymətlərinin səviyyəsini 0.06 faiz aşağı salır. Düşünmək olar
ki, ərzaq məhsullarının idxalı yerli istehsalın həcminin artımının ərzaq
məhsullarının qiymətlərinin səviyyəsinə güclü təsir etməsini kompensasiya edir.
Modeldə nəzərə almadığımız lakin zaman ənənəsi ilə müntəzəm dəyişən amillərin
ərzaq məhsullarının qiymətlərinin səviyyəsini hər ayda orta hesabla 0.002 faiz
195
artırır. Yəni, il ərzində təkcə bu amilin hesabına 0.024 faiz ərzaq məhsullarının
qiymətləri artır.
Ġstehlak qiymətlərinin dəyiĢməsinə monetar amillərin təsiri: Monetar siyasət
istehlak qiymətlərinin o, cümlədən inflyasiyanın qarşısının alınmasında müstəsna
əhəmiyyətə malikdir. Məlumdur ki, monetar siyasət Milli Bank tərəfindən həyata
keçirilir. Cari dövr üçün pul kütləsinin və valyuta kursunun istehlak qiymətlərinin
səviyyəsinə təsirini müəyyənləşdirmək məqsədi ilə ekonometrik model qurularaq
qiymətləndirilmişdir. Modelin təhlilinin nəticələri aşağıdakı kimi alınmışdır:
Cədvəl 3.
Dependent Variable: LOG(İQİ)
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1999:12 2006:07
Included observations: 80 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 12 iterations
Backcast: 1998:12 1999:11
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
LOG(M3) 0.170110 0.007501 22.67678 0.0000
LOG(VM_D_M) -0.443041 0.092770 -4.775690 0.0000
C 3.242235 0.064872 49.97868 0.0000
AR(1) 0.772514 0.076953 10.03877 0.0000
AR(5) -0.244713 0.069971 -3.497358 0.0008
MA(1) 0.185714 0.118864 1.562408 0.1225
MA(12) 0.391973 0.116904 3.352955 0.0013
R-squared 0.988907 Mean dependent var 4.694984
Adjusted R-squared 0.987995 S.D. dependent var 0.094895
S.E. of regression 0.010397 Akaike info criterion -6.211085
Sum squared resid 0.007892 Schwarz criterion -6.002658
Log likelihood 255.4434 F-statistic 1084.600
Durbin-Watson stat 1.921985 Prob(F-statistic) 0.000000
Inverted AR Roots .82+.37i .82 -.37i -.11+.68i -.11 -.68i
-.64
Inverted MA Roots .88 -.24i .88+.24i .64 -.65i .64+.65i
.22 -.89i .22+.89i -.26 -.89i -.26+.89i
-.67+.65i -.67 -.65i -.91+.24i -.91 -.24i
White Heteroskedasticity Test:
F-statistic 0.841798
Probability
0.503050
Obs*R-squared 3.437347
Probability
0.487469
LOG(ĠQĠ) = 0.1701095298*LOG(M3) –
- 0.4430407685*LOG(VM_D_M) +
+ 3.242234924 (5)
196
Cədvəl 3-də gösrərilən statistik xarakteristikaları və digər müvafiq testlər
göstərmişdir ki, (5) modeli adekvatdır. Başqa sözlə qalıqlar Qaus-Markov şərtlərini
ödəməklə bərabər normal qanunla və ya asimtotik normal qanunla paylanmışdır.
Determinasiya əmsalının (R-squared) 0.988907 ədədinə bərabər olması
göstərir ki, tədqiq edilən dövrdə xarici valyutaları da nəzərə almaqla geniş mənada
pul kütləsinin (M3 pul aqreqatı) və ABŞ dollarının manata nəzərən məzənnəsinin
(VM_D_M) dəyişmələri istehlak qiymətləri indeksinin dəyişməsini təxminən 99.9
faiz izah edir. Dəqiqləşdirilmiş determinasiya əmsalının ( Adjusted R-squared)
qiymətinin (0.987995) determinasiya əmsalının qiymətinə kifayət qədər yaxın
alınması bu nəticənin heç də təsadüfən alınmadığını göstərir.
İstehlak qiymətlərinin indeksinin faktiki qiymətləri, (5) modelindən tapılmış
qiymətləri və onlar arasındakı fərqin dinamikası Qrafik 3-də verilmişdir.
Qrafik 3.
-.04
-.02
.00
.02
.04
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Residual Actual Fitted
(5) modelindən görmək olar ki, xarici valyutaları da nəzərə almaqla geniş
mənada pul kütləsini (M3 pul aqreqatını) 10 faiz artımı istehlak qiymətlərinin
197
səviyyəsini 1.7 faiz yüksəldir. Manatın dollara nəzərən dəyərinin 10 faiz
ucuzlaşması isə istehlak qiymətlərinin səviyyəsini 4.4 faiz aşağı salır.
Pul kütləsinin dəyiĢməsinin təhlili: Məlumdur ki, Milli bank manatın xarici
valyutalara məzənnəsini tənzimlənməsi məqsədi ilə valyuta bazarına müdaxilə
etməklə xarici valyutaların alınıb satılmasında müəyyən rol oynayır. Nəticədə pul
kütləsinin həmi və stukturunda müəyyən dəyişikliklər yaranır. Bu dəyişikliklərin
təhlili məqsədi ilə M3 pul aqreqatının valyuta kursundan və nağd pul kütləsindən
(M0) asılılığı ekonometrik qiymətləndirilmişdir. Qiymətləndirmənin nəticəsi
Cədvəl 4-də verilmişdir.
Cədvəl 4.
Dependent Variable: LOG(M3) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1995:12 2006:07 Included observations: 128 after adjusting endpoints Convergence achieved after 20 iterations Backcast: 1995:05 1995:11
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
LOG(VM_D_M) 1.229733 0.307711 3.996384 0.0001 LOG(MO) 1.135333 0.006069 187.0727 0.0000
MA(1) 0.684983 0.085315 8.028843 0.0000 MA(2) 0.722590 0.098668 7.323443 0.0000 MA(3) 0.854611 0.110743 7.717064 0.0000 MA(4) 0.572669 0.125841 4.550730 0.0000 MA(5) 0.467740 0.112187 4.169290 0.0001 MA(6) 0.418875 0.100360 4.173726 0.0001 MA(7) 0.362907 0.086933 4.174541 0.0001
R-squared 0.990721 Mean dependent var 8.025290 Adjusted R-squared 0.990098 S.D. dependent var 0.635439 S.E. of regression 0.063233 Akaike info criterion -2.616257 Sum squared resid 0.475814 Schwarz criterion -2.415723 Log likelihood 176.4404 Durbin-Watson stat 1.988420
Inverted MA Roots .59+.64i .59 -.64i .08 -.91i .08+.91i -.57 -.57i -.57+.57i -.88
White Heteroskedasticity Test:
F-statistic 0.407532 Probability 0.802936 Obs*R-squared 1.674204 Probability 0.795398
White Heteroskedasticity Test:
F-statistic 1.273171 Probability 0.279834 Obs*R-squared 6.347711 Probability 0.273840
LOG(M3) = 1.229733*LOG(VM_D_M) + 1.135333*LOG(MO) (6)
Statistik xarakteristikalar (bax: Cədvəl 4), M3 pul aqreqatının faktiki, model
qiymətləri və onlar arasındakı fərqlərin (qalıqlqrın) dinamikası (bax: Qrafik 4),
habelə qalıqların normal qanunla paylanması göstərir ki, (6) modeli adekvatdır.
198
(6) modeli göstərir ki, manatın dəyəri 10 faiz ucuzlaşdıqda M3 pul aqreqatının
həcmi 1.2 faiz artır, nağd pul kütləsinin (M0 pul aqreqatı) 10 faizlik artımı isə M3
pul aqreqatını 1.1 faiz artırır.
Qrafik 4
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06
Residual Actual Fitted
Nəticələr və təkliflər: İstehlak malları və xidmətləri daha ümumi şəkildə 1) ərzaq
malları, 2) qeyri-ərzaq malları və 3) xidmətlərə ayrılır. İstehlak qiymətləri
indeksinin (İQİ) formalaşmasında ərzaq mallarının qiymət indeksi, qeyri-ərzaq
mallarının qiymət indeksi və xidmətlərin qiymət indeksləri müəyyən paylara
malikdirlər. Ona görə də həmin indekslərin dəyişmələrinin İQİ-nin dəyişməsinə
təsiri də müxtəlif olur. Digər tərəfdən 2006-cı ilin yanvarın 1-dən ölkədə manatın
denominasiyası həyata keçirilməsi (1 yeni manat (AZN)= 5000 köhnə manat
(AZM)) ilə əlaqədar qiymətlərin zəruri olaraq yuvarlaşdırılması zamanı texniki
olaraq qiymətləri artırır.
İstehlak qiymətləri indeksinin yuxarıda göstərilən amillərdən asılılığını
xarakterizə edən ekonometrik model qurulmuş və modelin təhlilindən aşağıdakı
199
nəticələr alınmışdır. Qeyd edək ki, ekonometrik model qısamüddətlidir və müvafiq
göstəricilərin 1997-ci ilin yanvar ayından 2006-cı avqust ayına qədər dövrü əhatə
edən rəqəmləri əsasında qiymətləndirilmişdir.
- Ərzaq məhsullarının qiymət indeksinin ay ərzində bir faiz artması istehlak
qiymətləri indeksinin 0.65 faiz artmasına səbəb olur. Başqa sözlə istehlak
qiymətləri indeksinin artımında ərzaq məhsullarının payı 65 faizə bərabərdir.
- Qeyri-ərzaq məhsullarının qiymət indeksinin ay ərzində bir faiz artması
istehlak qiymətləri indeksinin 0.2 faiz artmasına səbəb olur. Başqa sözlə istehlak
qiymətləri indeksinin artımında qeyri-ərzaq məhsullarının payı 20 faizə bərabərdir.
- Xidmətlərin qiymət indeksinin ay ərzində bir faiz artması isə istehlak
qiymətləri indeksinin 0.13 faiz artmasına səbəb olur. Başqa sözlə istehlak
qiymətləri indeksinin artımında xidmətlərin payı 13 faizə bərabərdir.
- Manatın denominasiyası istehlak qiymətləri indeksinin təxminən 1.5 faiz
artmasına səbəb olmuşdur.
Beləliklə qurulmuş model vasitəsi ilə öyrəndik ki, ölkədə istehlak qiymətlərin
səviyyəsinin qalxmasında ərzaq məhsulları 65 faiz, qeyri ərzaq məhsulları 20 faiz,
xidmətlərin isə 14 faiz rola malik olmuşdur. Ümumiyyətlə isə təkcə manatın
denominasiyası 1.5 faiz texniki inflyasiya yaratmışdır. Başqa sözlə əgər 2006-cı il
yanvarın 1-dən manatın denominasiyasının həyata keçirilməsəydi onda, cari ilin
yanvar-sentyabr aylarında qiymətlərin səviyyəsi hazırda olan 7.7 faiz deyil 5.2 faiz
(7.7 faiz – 1.5 faiz) olacaqdır
Göründüyü kimi qiymətlərin artımına ən güclü təsir edən faktor ərzaq
məhsullarının qiymətlərinin artmasıdır(təxminən 65 faiz). Ona görə də anti-
inflyasiya tədbirləri ilk növbədə ərzaq məhsullarının qiymətlərinin artımının
qarşısının alınmasına yönəldilməlidir.
Bu faktı nəzərə alaraq ərzaq məhsullarının qiymətlərinin qalxmasının qarşısının
alınmasına yönələn tədbirlərin istiqamətlərini konkretləşdirmək məqsədi ilə ərzaq
məhsullarının qiymətlərinin səviyyəsinə təsir edən amilləri və onların təsir etmə
güclərini müəyyənləşdirilmişdir. Bunun üçün ərzaq məhsullarının qiymət
indeksinin ona təsir edən amillərdən asılılığının ekonometrik modeli qurulmuşdur.
200
Model qısa müddətli dövr üçündür. Modelin qiymətləndirilməsi ərzaq
məhsullarının və ona təsir edən amillərin 1996-cı ilin yanvar ayından 2006-cı ilin
avqust aylarını əhatə edən dövrdəki qiymətləri əsasında aparılmışdır.
Modelin təhlilinin nəticələri aşağıdakı kimi alınmışdır:
Tədqiq edilən hər cari aydakı ərzaq məhsullarının qiymətlərinin səviyyəsinin
dəyişməsinə ən güclü şəkildə ərzaq məhsullarının əvvəlki aydakı qiymətlərinin
dəyişməsi təsir edir. Belə ki, əvvəlki ayda əgər ərzaq məhsullarının qiymətləri 10
faiz qalxmışdırsa onda digər təsir edici amillər sabit qalsa belə növbəti ayda ərzaq
məhsullarının qiymətləri 7.2 faiz qalxır. Deməli cari ayda hər hansı tədbir və
mexanizmlə ərzaq məhsullarının qiymətlərinin səviyyəsi 10 faiz aşağı salmaq
mümkün olarsa onda növbəti ayda ərzaq məhsullarının qiymətlərinin 7.2 aşağı
düşməsi təmin edilmiş olur. Yuxarıda aldığımız nəticəyə görə ərzaq məhsullarının
qiymət indeksinin istehlak qiymətləri indeksinin dəyişməsində payı 65 faiz
olduğunu nəzərə alsaq təkcə ərzaq məhsullarının qiymətlərinin 10 faiz aşağı
salınması mümkün olarsa onda İQİ-nin elə həmin ayda 6.5 faiz aşağı düşməsi,
növbəti ayda isə təxminən 4.7 faiz (7.2*65/100=4.68) aşağı düşməsi təmin edilmiş
olur. Sual oluna bilər bəs əvvəlki ayda ərzaq məhsullarının qiymət artımı nə ilə
əlaqədar olmuşdur. Artımın 72 faizi qeyri-iqtisadi amillərlə izah oluna bilər.
Məsələn, inhisarçılıq, bürokratik əngəllər və s.). Ona görə də ərzaq məhsullarının
qiymətlərinin aşağı salınmasında inzibatçılığın artırılması yolu ilə də mümkündür.
Digər bir yol kimi ərzaq məhsullarının idxalının artırılmasını göstərə bilərik.
- Ərzaq məhsullarının qiymətlərinin səviyyəsinin qalxmasına ikinci ən güclü
təsir edən amil ölkədəki əmək haqqı səviyyəsinin artımıdır. Belə ki, cari ayda əmək
haqqının 10 faiz artımı ərzaq məhsullarının qiymət səviyyəsini elə həmin ayda 0.7
faiz artmasına gətirib çıxarır.
- Ərzaq məhsullarının istehsalının həcminin artımı ərzaq məhsullarının
qiymətlərinin aşağı düşməsinə səbəb olursa da təsiri aşağı səviyyə alınmışdır. Belə
ki, ərzaq məhsullarının istehsalının həcminin 10 faiz artımı ərzaq məhsullarının
qiymətlərinin səviyyəsini 0.06 faiz aşağı salır. Məntiqi olaraq düşünmək olar ki,
ərzaq məhsullarının istehsalının artımının qiymətlərin aşağı düşməsinə təsirinin
201
aşağı səviyyədə olması daxili bazarda ərzaq məhsullarının satışında inhisarçılığın
mövcud olması ilə izah oluna bilər. Çünki, inhisarçılıq olan yerdə məhsul
istehsalının həcminin artması onun satış qiymətinin aşağı düşməsində öz əksini
tapmır. Bu isə bir daha yuxarıda deyilənlərin əsaslı olduğunu göstərir.
Monetar siyasət istehlak qiymətlərinin o, cümlədən inflyasiyanın qarşısının
alınmasında müstəsna əhəmiyyətə malikdir. Məlumdur ki, monetar siyasət Milli
Bank tərəfindən həyata keçirilir. Cari dövr üçün pul kütləsinin və valyuta kursunun
istehlak qiymətlərinin səviyyəsinə təsirini müəyyənləşdirmək məqsədi ilə
ekonometrik model qurularaq qiymətləndirilmişdir. Modelin təhlilinin nəticələri
aşağıdakı kimi alınmışdır:
- Xarici valyutaları da nəzərə almaqla geniş mənada pul kütləsini (M3 pul
aqreqatını) 10 faiz artımı istehlak qiymətlərinin səviyyəsini 1.7 faiz
yüksəldir.
- Manatın dollara nəzərən dəyərinin 10 faiz ucuzlaşması isə istehlak
qiymətlərinin səviyyəsini 4.4 faiz aşağı salır.
Digər bir modellə müəyyən edilmişdir ki, manatın dəyəri 10 faiz ucuzlaşdıqda
M3 pul aqreqatının həcmi 1.2 faiz artır, nağd pul kütləsinin (M0 pul aqreqatı) 10
faizlik artımı isə M3 pul aqreqatını 1.1 faiz artırır. Buradan görünür ki, hazırkı
dövrdə Milli Bankın valyuta bazarına müdaxilə edərək dolların kursunun
qaldırması istehlak qiymətlərinin (inflyasiyanın) aşağı salmaq üçün ən təsirli
vasitədir. Doğrudur valyuta bazarında təklif edilən xarici valyutaların bir hissəsinin
Milli Bank tərəfindən alınması dövriyyədəki pul kütləsini artırır. Bu isə
inflyasiyanı yaradan amilə çevrilmiş olur. Lakin, artan pul kütləsinin inflyasiya
yaratmaq gücü manatın bahalaşmasından xeyli aşağı olduğundan müsbət nəticə
əldə olunur.
ƏDƏBIYYAT
1. Курс социально-экономической статистики, Под ред. М.Г.Назарова, -
М.: Финстатинформ, ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 771 с.
2. Кристофер Доугерти «Введение в эконометрику», Издание второе.
/Перовод с англ. – М.: ИНФРА-М, 2004, - 432 с.
202
3. Магнус Я.Г., Катжшев П.К., Пересецкий А.А. «Эконометрика.
Начальный курс»: Учеб. – 6-е изд., перераб. И доп. – М.: Дело, 2004, -
576 с.
4. Azərbaycanda qiymətlər, ARDSK, “Səda”, Bakı, 2003, 2004, 2005, 2006.
5. Qiymətlər və qiymət indeksləri, 2006 sentyabr, ARDSK-nin aylıq bülleteni
203
3.5. Milli iqtisadiyyatın fiskal və monetar siyasəti və onların qarĢılıqlı
əlaqələrinin qiymətləndirilməsi
Azərbaycan müstəqilliyini bərpa etdikdən sonra iqtisadiyyatın liberal
dəyərlərə əsaslanan bazar münasibətlərinə keçid prosesi başlanmışdır. Bazar
münasibətləri sistemində dövlət öz üzərinə düşən iqtisadi funksiyaları effektiv
yerinə yetirməsi üçün çoxlu sayda qanunlar və normativ hüquqi qanunvericilik
aktları qəbul edilmişdir (torpaq islahatı, özəlləşdirmə proqramları və sair), struktur
siyasəti həyata keçirilmişdir. Rəqabətin qorunması üçün bir sıra addımlar
atılmışdır. Gəlirlərin və ehtiyatların yenidən bölgüsü üçün sosial, demoqrafik,
ekoloji siyasətlərin formalaşdırılmasına başlanmışdır. İqtisadiyyat stabilləşdirilmiş,
davamlı iqtisadi artıma nail olunmuşdur. Qeyd edək ki, müstəqilliyin ilk illərində
ölkədə maliyyə sabitliyi pozulmuş, hiperinflyasiya, işsizlik artmış, iqtisadi tənəzzül
baş vermiş əhalinin həyat səviyyəsi xeyli aşağı düşmüşdür. Həyata keçirilən
effektiv makroiqtisadi siyasət (vergi-büdcə və pul-kredit siyasətləri) nəticəsində
1995-ci ildən maliyyə stabilliyinə, 1997- ci ildən isə ümumi daxili məhsulun
davamlı artımına nail olunmuşdur. 2005-ci ildə ÜDM-in artım sürəti 26.4 faizə
çatmışdır. 2006-cı ilin yanvar-fevralında 2005-cı ilin yanvar-fevralına nisbətən
ÜDM-in artımı sürəti 48.1 faiz olmuşdur.
Təbii ehtiyatların kəşfi və istismarı ilə əlaqədar Böyük Britaniya, Niderland
(Hollandiya), Avstriya və digər ölkələrin acı təcrübəsi vardır (Holland sindromu).
Azərbaycanda neft kontraktları ilə ölkəyə daxil olan neft gəlirlərinin küllü
miqdarda artması iqtisadiyyatın birtərəfli inkişafına gətirib çıxarılması kimi
təhlükə yaratmışdır. İqtisadiyyatın rəngarəng inkişafı və neft gəlirlərindən səmərəli
istifadə edilməsi hazırda qarşıda duran ən ümdə məsələlərdəndir. Bunun üçün ilk
növbədə milli iqtisadiyyatın spesifik xüsusiyyətlərini özündə əks etdirən inkişaf
modelinin yaradılmalı və bu model əsasında effektiv monetar və fiskal siyasət
həyata keçirilməlidir.
Fiskal siyasət özündə vergi-büdcə prosesini əks etdirməklə onun
hazırlanması və həyata keçirilməsi monetar siyasətə nəzərən zaman amili nöqteyi-
204
nəzərdən gec baş verir. Belə ki, müvafiq qanunvericiliyə əsasən dövlət büdcəsinin
növbəti il üçün gəlir və xərclərinin proqnozlaşdırılması və nəhayət Milli Məclisdə
qəbulu 11 ay davam edir. Vergi Məcəlləsinə dəyişikliklər də Milli Məclis
tərəfindən qəbul edilməlidir. Fiskal siyasətdə Maliyyə və Vergilər Nazirliklərinin
müstəsna əhəmiyyəti olsa da onun hazırlanması və həyata keçirilməsində demək
olar ki bütövlüklə hökumət iştirak edir. Fiskal siyasət ölkənin sosial-iqtisadi
inkişafında strateji əhəmiyyət daşıyır.
Monetar siyasət özündə pul-kredit münasibətlərini əks etdirməklə hökumətin
üzvü olmayan Milli Bank tərəfindən hazırlanaraq həyata keçirilir. Pul siyasətinin
alətlərinə zaman baxımında daha tez dəyişiklik edilməsi imkanlarına malik olduğu
üçün monetar siyasət daha mobildir. Monetar siyasət ölkənin sosial-iqtisadi
inkişafında taktiki əhəmiyyət daşıyır. İstər fiskal siyasət, istərsə də monetar siyasət
ölkənin vahid makroiqtisadi siyasətinin tərkib hissələri olmaqla vəhdət təşkil
edirlər.
Keçid dövrünün iqtisadiyyatı üçün tez-tez və kəskin dəyişən vergi sisteminin
stabilliyinin iqtisadi artıma necə təsir etdiyinin öyrənilməsi heç də az əhəmiyyət
kəsb etmir. Vergi sistemim stabilliyinin və ya qeyri-stabilliyinin iqtisadi artıma
təsiri haqqında fərziyyə inflyasiya nəzəriyyəsinin analogiyasıdır.
Əksər iqtisadçılar o fikirdədirlər ki, milli iqtisadiyyata inflyasiya tempindən
daha çox onun xaotik və gözlənilməz olaraq artıb-azalması böyük zərbə burur.
Hesab olunur ki, inflyasiya stabil və proqnozlaşdırılan olduqda, iqtisadi agentlər
hətta yüksək inflyasiya tempinə də uyğunlaşa bilirlər. Bu halda iqtisadi agentlər
özlərinin dəqiq inflyasiya gözləmələrini formalaşdıraraq onu cari və gələcək
əməliyyatlarının üzərinə gəlirlər.
Uyğun proses vergi yükünə münasibətdə də baş verir. Hətta vergi yükü
yüksək və proqnozlaşdırılan olduqda belə iqtisadi agentlər ona adaptasiya olunurlar
və özlərinin planlarını qururlar. Əgər vergi yükü daimi olaraq artıb-azalarsa onda
iqtisadi agentlər tərəddüd içində qalaraq bir sıra təsərrüfat proyektlərindən imtina
etməli olurlar. Bu halda vergi yükünün səviyyəsi təsərrüfat əməliyyatlarının
rentabellik xarakteristikası kimi çıxış edir. Vergi yükü nə qədər yuxarı olarsa bir o
205
qədər rentabellik aşağı olur. Əməliyyatların mənfəət səviyyəsinin
investisiyalaşdırılmasının müasir nəzəriyyəsində qərarların qəbul olunma
prosesində əsas faktorlardan biri layihələndirilən əməliyyatların riskliliyidir.
Layihələrin riskliliyinin klassik göstəricisi kimi mənfəətlilik kəmiyyətinin
səpələnmə (dispersiya) əmsalı çıxış edir. Əgər risk çox böyükdürsə , onda
investisiya riski aşağı olan istiqamətə yönəlir. Oxşar proses vergi yükünün həddən
yuxarı qeyri-stabilliyi olduqda baş verir. Kapital ölkə sərhədindən kənara vergi
yükü stabil və aşağı olan ölkələrə çıxarılır və ya kapital sahibləri gözləmə mövqeyi
tuturlar. Bu da öz növbəsində iqtisadi artımı ləngidir. Beləliklə iqtisadi təhlildə
vergi yükü ilə yanaşı vergi sisteminin stabilliyi göstəricisinin də daxil edilməsi
məqsədəuyğun hesab edilmişdir.
Cədvəl 1
Bir sıra makroiqtisadi göstəricilərin dinamikası
min AZN
İllər Büdcə gəlirləri(BG) Büdcə xərcləri(BX) Ümumi daxili
məhsul(UDM)
Vergi
daxilolmaları(VD)
1996 402560.0 481860.0 2732640.0 329080.0
1997 513040.0 588700.0 3158280.0 344062.0
1998 465460.0 528340.0 3440620.0 340380.0
1999 559520.0 651440.0 3775080.0 387687.0
2000 714640.0 763960.0 4790100.0 510404.0
2001 784800.0 807500.0 5315600.0 579600.0
2002 910240.0 931760.0 6062460.0 679946.4
2003 1220900.0 1234540.0 7146500.0 823381.6
2004 1481160.0 1501000.0 8374500.0 1005216.0
2005 2055200.0 2140700.0 11875600.0 1427667.0
Bu göstərici kimi vergi yükünün dəyişmə əmsalı çıxış edir[1]. Hazırkı dövrdə
artıq qəbul olunmuşdur ki, yüksək inflyasiya iqtisadi artıma mənfi təsir edir. Lakin
qiymətlərin böyük olmayan artımı iqtisadi artımı stimullaşdırır. Analoji olaraq fərz
edilir ki, vergi yükü müəyyən səviyyədə dəyişməlidir ki, təsərrüfat fəaliyyətinin
aktivləşməsinə stimul vermiş olsun. Əks halda həddən ziyadə konservativ vergi
sistemi iqtisadi artımı ləngidə bilər.
206
Yuxarıda göstərdiyimiz monetar və fiskal siyasətlərin iqtisadi artıma
təsirinin nəzəri cəhətlərini Azərbaycanın müvafiq göstəriciləri əsasında
ekonometrik qiymətləndirək[2], [3], [4]
Qrafik 1 və 3-də Cədvəl 1-də göstərilən göstəricilərin zaman sırasının qrafiki
təsviri verilmişdir.
Qrafik 1.
0.0E+00
2.0E+06
4.0E+06
6.0E+06
8.0E+06
1.0E+07
1.2E+07
96 97 98 99 00 01 02 03 04 05
BG
BX
UDM
VD
Qrafik 2.
0.0E+00
2.0E+06
4.0E+06
6.0E+06
8.0E+06
1.0E+07
1.2E+07
96 97 98 99 00 01 02 03 04 05
BG
BX
UDM
VD
İqtisadi stabilləşdirmə yəni, inflyasiya, valyuta kursuna, pul kütləsinə, işsizliyə
nəzarət etməklə iqtisadi artıma nail olunması dövlətin vacib funksiyalarındandır.
Buna makroiqtisadiyyatın tərkib hissələri olan fiskal və monetar siyasətlər
vasitəsi ilə nail olunur.
207
Monetar siyasətin əsas hədəfi inflyasiyaya nəzarət olduğu kimi fiskal
siyasətin əsas hədəfi fiskal sistemin stabilliyinə nail olmaqdan ibarət olmalıdır.
Fiskal və monetar tənzimlənmənin iqtisadi artıma təsirini öyrənmək üçün
ümumi daxili məhsulun (ÜDM) monetar və fiskal siyasətlərin nəticə
göstəricilərindən (vergi yükü (vy), vergi sisteminin stabilliyi (vss), işsizlik (iş),
istehlak qiymətlər indeksi (iqi) və ya inflyasiya (inf)) asılılığı qiymətləndirək:
Qrafik 3
0
400000
800000
1200000
1600000
2000000
2400000
96 97 98 99 00 01 02 03 04 05
BG
90
95
100
105
110
115
120
125
96 97 98 99 00 01 02 03 04 05
IQI
0.0E+00
2.0E+06
4.0E+06
6.0E+06
8.0E+06
1.0E+07
1.2E+07
96 97 98 99 00 01 02 03 04 05
UDM
0
500000
1000000
1500000
2000000
2500000
3000000
3500000
96 97 98 99 00 01 02 03 04 05
VD
))(),(),(),(()( tvsstvytiştiqiftÜDM , (1)
burada, t-zaman(il); iqi – istehlak qiymətləri indeksi; iş – işsizlik səviyyəsi; vy -
vergi yükü, yəni vergi daxilolmaların (vd) ümumi daxili məhsula (ÜDM) nisbəti,
vy= vd/ÜDM; vss – vergi siyasətinin stabilliyi; f – isə ÜDM-in göstərilən
amillərdən asılılığını xarakterizə edən funksiyadır.
Burada vergi sisteminin stabilliyi faktoru (vss) xüsusi əhəmiyyət kəsb edir.
vss cari ildəki vergi yükünün kəmiyyətinin əvvəlki ildəki kəmiyyətindən
208
kənarlaşmasına əsaslanırlar. Bu kənarlaşma nə qədər böyük olarsa iqtisadi agentlər
bir o qədər tərəddüd içində qalırlar. Ona görə vergi sistemin stabilliyi əmsalı (vsse)
kimi vergi yükünün dəyişməsinin mütləq kəmiyyəti götürülə bilər:
vsse(t)=|vy(t)- vy(t-1)|. (2)
(1)-i ekonometrik qiymətləndirilməsi üçün müvafiq törəmə göstəricilər
cədvəl 2-də verilmişdir.
Qeyd edək ki, Vergilər Nazirliyi tərəfindən toplanan vergilər heç də bütün
vergiləri əhatə etmədiyindən dövlət büdcəsinin gəlirlərinin (bg) ÜDM-ə
nisbətinin(fvy) və onun dəyişməsinin (fssə) ÜDM-in artımına təsirinə baxılmışdır.
İşsizlik səviyyəsi kimi statistikada ancaq rəsmi status almış işsizlər verildiyi və
reallıqdan xeyli kənarlaşdığı üçün tədqiqata daxil edilməmişdir.
Cədvəl 2. Fiskal və monetar siyasət göstəricilərinin dinamikası
İllər İnflyasiya
(inf), %-lə
İstehlak
qiymətləri
indeksi(iqi),
%-lə
Vergi sisteminin
stabilliyi əmsalı
(vsse)
Vergi yükü
(vy)
Fiskal vergi
yükü (fvy)
Fiskal
sistemin
stabilliyi
əmsalı(fsse)
Dolların
manatla
məzənnəs
i(dmm)
1996 19.9 119.9 0.120426 0.147315
1997 3.7 103.7 0.011486 0.108940 0.162443 0.015127
1998 -0.8 99.2 0.010010 0.098930 0.135284 0.027159
1999 -8.5 91.5 0.003767 0.102696 0.148214 0.012930
2000 1.8 101.8 0.003858 0.106554 0.149191 0.000977 0.8950
2001 1.5 101.5 0.002484 0.109038 0.147641 0.001550 0.9550
2002 2.8 102.8 0.003119 0.112157 0.150144 0.002503 0.9790
2003 2.2 102.2 0.003058 0.115215 0.170839 0.020695 0.9820
2004 6.7 106.7 0.004818 0.120033 0.176865 0.006027 0.9830
2005 9.6 109.6 0.000186 0.120219 0.173061 0.003805 0.9480
Qrafik 3 və 4-də cədvəl 2-də verilmiş göstəricilərin qrafiki təsviri verilmişdir.
Qrafik 3.
209
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
96 97 98 99 00 01 02 03 04 05
DMM
FSSE
FVY
VSSE
VY
Qrafik 4.
-10
-5
0
5
10
15
20
25
96 97 98 99 00 01 02 03 04 05
INF
Ümumi daxili məhsulun dəyişmə tempinin (UDMDTEMP) monetar və fiskal
göstəricilərdən asılılığını aşağıdakı kimi axtaraq:
LOG(UDMDTEMP) = C(1) + C(2)*INF + C(3)*D(VSSE(-1)) + C(4)*LOG(BX-BG) + C(5)*T (3)
(3)-ün ekonometrik qiymətləndirilməsindən aşağıdakı nəticələr alınmışdır:
Dependent Variable: LOG(UDMDTEMP)
Method: Least Squares
Date: 04/30/06 Time: 19:17
Sample(adjusted): 1999 2005
Included observations: 7 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -419.5938 35.64152 -11.77261 0.0071
INF -0.076460 0.020283 -3.769655 0.0637
210
D(VSSE(-1)) -0.012686 0.002025 -6.265537 0.0245
LOG(BX-BG) 0.428613 0.041115 10.42474 0.0091
T 0.208841 0.017707 11.79423 0.0071
R-squared 0.993948 Mean dependent var 2.878288
Adjusted R-squared 0.981844 S.D. dependent var 0.474346
S.E. of regression 0.063916 Akaike info criterion -2.486698
Sum squared resid 0.008170 Schwarz criterion -2.525333
Log likelihood 13.70344 F-statistic 82.11672
Durbin-Watson stat 1.992094 Prob(F-statistic) 0.012067
LOG(UDMDTEMP) = -419.5937639 - 0.07645963425*INF - 0.0126863012*D(VSSE(-1)) +
+0.4286134473*LOG(BX-BG) + 0.2088408519*T (4)
(4)-ün cədvəldə göstərilən statistik xarakteristikaları göstərir ki, model
adekvatdır. Modeldən görünür ki, maliyyə və vergi sisteminin stabilliyinin
pozulması ümumi daxili məhsulun artım tempinə mənfi, büdcə kəsiri və zaman
faktoru isə müsbət təsir edir. Belə ki, inflyasiyanın 1 faiz artması ÜDM-in artım
tempini baza səviyyəsindən 7.6 faiz aşağı salır.
Vergi sisteminin stabilliyi əmsalının 1 vahid dəyişməsi növbəti ildə 1.3 faiz
aşağı salır. Büdcə kəsirinin artması multiplikativ effekt verərək ÜDM-in baza
səviyyəsini kifayət qədər yüksək artırır. Zaman faktoru isə ildə 20 faiz artım
yaradır. ÜDM-in artım tempinə İnflyasiya elə həmin ildə, vergi sisteminin
stabilliyinin dəyişməsi növbəti ildə təsir edərək aşağı salır. Bu yuxarıda qeyd
edilən nəzəri aspektə uyğundur. Büdcə kəsirinin ÜDM-in artımını stimullaşdırması
Keynisin multiplikator nəzəriyyəsinə müvafiqdir.
Zaman amilinin ÜDM-in artımını sürətləndirməsi daha çox beynəlxalq neft
kontraktlarından neft gəlirlərinin artması ilə əlaqədardır.
Yuxarıda qeyd edildiyi kimi monetar və fiskal siyasətlər qarşılıqlı təsirə
malikdirlər. Bu əlaqələri öyrənmək üçün onları xarakterizə edən göstəricilərin
arasında aşağıdakı reqressiya tənliyini qiymətləndirək:
LOG(VY) = C(1) + C(2)*LOG(IQI) (5)
(5) reqressiya tənliyinin qiymətləndirilməsinin nəticəsi aşağıdakı kimi alınmışdır:
211
Dependent Variable: LOG(VY)
Method: Least Squares
Sample: 1996 2005
Included observations: 10
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -5.787877 0.983790 -5.883241 0.0004
LOG(IQI) 0.773746 0.211934 3.650881 0.0065
R-squared 0.624923 Mean dependent var -2.196542
Adjusted R-squared 0.578038 S.D. dependent var 0.068504
S.E. of regression 0.044499 Akaike info criterion -3.209839
Sum squared resid 0.015841 Schwarz criterion -3.149322
Log likelihood 18.04920 F-statistic 13.32893
Durbin-Watson stat 1.172117 Prob(F-statistic) 0.006486
White Heteroskedasticity Test:
F-statistic 0.097238 Probability 0.908544
Obs*R-squared 0.270314 Probability 0.873579
LOG(VY) = -5.787876644 + 0.7737456229*LOG(IQI) (6)
(6) modeli göstərir ki, istehlak qiymətləri indeksinin bir faiz artması vergi
yükünü təxminən 0.8 faiz artırır. Bu hal ədəbiyyatlarda “inflyasiya vergisi” kimi
qiymətləndirilir.
Qeyd edək ki, Azərbaycanda milli valyutanın (manatın) ABŞ dollarına
nəzərən bahalaşması (revalvasiya) və istehlak mallarının qiymətlərinin isə
qalxması (inflyasiya) müşahidə olunur. Bu prosesin baş verməsinin bir sıra
səbəbləri vardır.
Əvvəla, ölkəyə daxil olan neft gəlirlərinin artması valyuta bazarında dollar
təklifini artırmış manatın bahalaşması üçün münbit şərait yaratmışdır. Monetar
siyasət baxımından manatın bahalaşmasının qarşısının alınması üçün Milli Bank
tənzimlənən valyuta siyasəti apararaq valyuta bazarına müdaxilə edərək xarici
valyutanın bir qismini alaraq manatın emissiyasını həyata keçirirdi. Nəticədə
dövriyyədə manatın kütləsi artaraq inflyasiya baş verirdi. Lakin 2005-ci ilin
fevralından bu siyasətdən qismən əl çəkilərək üzən-tənzimlənən siyasətə üstünlük
212
verilmişdir. Son aylarda müdaxilənin həcmi valyuta bazarının cəmi 1.5 faizini
təşkil etmişdir. Başqa sözlə valyuta bazarında təklif oluna xarici valyutanın 1.5
faizi Milli Bank tərəfindən alınmışdır.
Bununla belə nəzərdə tutmaq lazımdır ki, neft gəlirlərinin artan təzyiqi
qarşısında bu siyasət davamlı xarakter almaya bilər.
ƏDƏBIYYAT
1. 1. Балацкий Е. «Стабильность налоговой системы как фактор
экономического роста», Общество и экономика, №2, 2005, ст.100-119.
2. Azərbaycanın statistik göstəriciləri, ARDSK, Bakı, 2005.
3. Кристофер Доугерти «Введение в эконометрику», М.,ИНФРА-М,
2004, 432с.
4. EViews-4 User’s guide.
“Azərbaycanın vergi xəbərləri” jurnalında
dərc olunub, №05, 2006
(A.F.Musayevlə həmmüəllif)
213
3.6. Vergi daxilolmalarının ona təsir edən göstəricilərdən
asılılığının ekonometrik modelləĢdiriləməsi
Vergilər üzrə daxilolmalar Azərbaycanda dövlət büdcəsinin gəlirlərin 80%-
dən çoxunu təşkil edir. Hazırda mövcud olan 9 vergi növündən dördu: gəlir vergisi,
müəssisə və təşkilatların mənfəət vergisi, əlavə dəyər vergisi və aksislər əsas
vergilərdir.
Aşağıdakı cədvəldə vergi daxilolmalarının həcmi və ona təsir edə biləcək
göstəricilərin 1996-2003-cü illərdəki qiymətlərinin dinamikası verilmişdir.
Cədvəl 1. Vergi daxilolmalar və ona təsir edən göstəricilər, milyard manatla
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
Vergi
daxilolmaları 1645,4 2095,8 1701,9 1938,4 2552,0 2898,0 3400,0 4116,9
Ümumi Daxili
Məhsul 13663,2 15791,4 17203,1 18875,4 23509,5 26619,8 30312,3 35053,4
Ümumi buraxılış 26525,3 31027,9 33685,9 34874,5 41186,2 41842,5 49762,9 59588,8
Pərakəndə əmtəə
dövriyyəsi 7339,0 8485,6 9238,8 9448,1 10599,4 11877,4 13442,3 15310,0
Topdansatış
əmtəə dövriyyəsi 1783,4 2469,3 5358,5 5425,0 6015,6 6365,1 6920,4 8630,5
Əhalinin pul
gəlirləri 9525,7 12367,1 14423,8 16134,4 17556,8 19381,8 21220,3 24207,9
Müəssisə və
təşkilatların
mənfəəti
2508,4 1409,6 1729,2 1117,5 2699,7 3134,0 4581,0 5709,7
Yuzarıda verilmiş cədvəldəki müvafiq statistik rəqəmlərlə vergi
daxilolmalarının (VD) ona təsir edən göstəricilərdən asılılığını ekonometrik
modellərinə baxaq. Ekonometrik modellərin qiymətləndirilməsinin nəticələri
müvafiq sahədə təhlil və proqnozlaşdırmaq üçün əhəmiyyət kəsb edə bilər.
Əvvəlcə aşağıdakı xətti reqressiya modelinə baxaq.
`PEDcMTMcEPGccVD 4321 (1)
burada, EPG – əhalinin pul gəlirləri; MTM – müəssisə və təşkilatların mənfəəti;
PED – pərakəndə əmtəə dövriyyəsini göstərir. c1, c2, c3 və c4 – parametrlərdir və
uyğun göstəricilərin vergi daxilolmaları həcminə təsirini xarakterizə edir.
(1)- in Eviews sistemi ilə qiymətləndirilməsindən alınan nəticə aşağıdakı
kimidir.
214
78377.2,00228,0)(Pr,67991.36,938618.0,964925.02
47278,0040993,009953,04852,963
)303,0(
)181193,1(
)400256,0(
)8601,0(
)187870,0(
)218199,0(
)587,0(
)589919,0(
)168718,0(
)3759,0(
)99535,0(
)9867,967(
:
:
:.
DWFobFRR
PEDMPMEPGDV
adj
prob
t
SS
(2)
burada, mötərizə işarəsi altında yazılmış ədədlər uyğun parametrlərin standart
səhvləri, t – styudent statistikası və p – qiymətidir. R2 – determinasiya əmsalı, DW
– Darbir-Vatson statistiksı, F – Fişer funksiyası, Prob(F) – F statistikası üçün P –
qiymətdir.
(2) – xətti modelinin parametrlərinin standart səhvləri, t- statistikaları və p –
qiymətləri göstərir ki, parametrlərin ən kiçik kvadratlar üsulu ƏKKÜ ilə tapılmış
qiymətləri statistik əhəmiyyətli deyil.
Məsələn, MTM – göstəricisinin standart səhvi 0,218199-a bərabərdir. t-
statistikası,
187870.0218199.0
040993.0t
ədədinə bərabərdir.
t- statistikası ilə H0:C3=0 hipotezinin alternativ H1:C3 0 hipotezinə qarşı
dayanıqlılığının yoxlanması həyata keçirilə bilər. Tutaq ki, H0 – hipotezi doğru
olur, yəni C3 əmsalı üçün tapılmış 0,040993 ədəd doğru deyil və həqiqətdə onun
qiyməti sıfıra bərabərdir, onda
)(ˆ
3ˆ
3 kntS
ct
c
2,5 %-li, yəni 025.02
əhəmiyyətlilik səviyyəsinə, (n-k) sərbəst dərəcəli t–
paylanmasının nöqtəsini verək bizim misalda n-k=8-4=4 sərbəst dərəcədə
styudentin )(2
knt paylanmasının cədvəl qiyməti t0,0025(4)=2,776 olur. [1, səh.78-
79 və səh.556].
Yəni,
95.0)}4()4({ 025.0025.0 tttP
215
Əgər 4025,0tt olarsa 5%-li əhəmiyyətlilk səviyyəsində biz 0H hipotezini
rədd edirik (və alternativ 1H hipotezini qəbul edirik). Əks halda biz 0H hipotezini
rədd edə bilmərik (və 0H hipotezi qəbul olunur).
330ˆ: CCH hipotezi ikitərəfli alternativ 330
ˆ: CCH hipotezinə qarşı inamlılıq
səviyyəsində testləşdirilməsi zamanı sıfır hipotezi ( 0H hipotezi) kntt 2/
olduqda rədd edilir. Uyğun olaraq 0H hipotezinin birtərəfli alternativ 331ˆ: CCH
hipotezinə qarşı testləşdirmə zamanı kntt olduqda sıfır hipotezi ( 0H
hipotezi) rədd edilir. Burada, knt işarələməsi (n-k) sərbəst dərəcəli
Styudentin paylanmasının %100 li nöqtəsini göstərir.
95,04/ˆ025,0ˆ33 3
tsccP c
ifadəsindəki bərabərsizliyi 3C ə nəzərən həll edsək
95,04ˆ4ˆ33 ˆ025,033ˆ025,03 cc stccstcP
alaraq, burada 3ˆ3cSc əmsalının standart səhvidir. Bu ifadəni başqa şəkildə desək,
33 ˆ025,03ˆ025,03 4ˆ,4ˆ
cc stcstc 3c
c3 əmsalı üçün 95%-li inamlı intervaldır.
İnamlı interval 3c parametrinin həqiqi qiymətini verilmiş ehtimalla (indiki
verilən halda 95%) örtür. Uyğun olaraq 3c parametri üçün ikitərəfli
%1100 li inamlı interval aşağıdakı şəkildə olur.
33 ˆ2/3ˆ2/3
ˆ,ˆcc skntcskntc
0H hipotezin 30 :cH =0 olduqda daha sadə olur. Bu zaman
3ˆ
3ˆ
cs
ct
olur. Bu qiymətlər bütün kompüter paketlərində reqressiyanın nəticəsində
göstərilir. kntt 025,0 (n-in böyük qiymətəlri üçün 2025,0 knt ) olarsa
reqressiya əmsalının (bizim misalda 3c əmsalının) müvafiq əhəmiyyətlilik
səviyyəsində sıfırdan fərqli olması haqqında nəticə sıxara bilərik. t - nin kiçik
qiyməti izahedici MTM - in göstəricisinin (dəyişənin) asılı olmayan VD
216
göstəricisinə (dəyişəninə) etibarlı standart əlaqəsinin olmamasını göstərir. Bizim
misalda 3c əmsalı üçün t - stasitikanın qiyməti (0,187870) onun cədvəl
qiymətindən (2,776) kiçik olduğu üçün sıfır hipotezi 0: 30 CH rədd edilmir.
Başqa sözlə MTM-i VD-yə təsiri qiymətləndirilmiş (2) xətti reqressiya modelində
əhəmiyyətli deyil. Eyni qayda ilə yoxlamalar aparsaq göstərərik ki, digər
göstəricilər üçün tapılmış əmsalların qiymətləri də əhəmiyyətli deyil.
Kompüter paketlərində t-statistikanın ikitərəfli P - qiyməti də verilir. Daha
doğrusu t·(n-k) qanunu üzrə paylanan izahedici göstəricinin (dəyişənin) qiymətinin
mütləq kəmiyyətinin 3ˆ
3ˆ
cs
ct -dən böyük olması ehtimalı göstərilir. Model (2)-də
c3 əmsalı üçün p-qiymət 0,8601-dir. Yəni t-statistikanın verilmiş əhəmiyyətlilik
səviyyəsində (kompüter paketlərində bir qayda olaraq 5% götürülür) cədvəl
qiyməti (kritik qiymət) 86,01% ehtimalla 3ˆ
3ˆ
cs
c kəmiyyətindən (0,187870-dən)
böyükdür. Bu isə H0 hipotezini rədd oluna bilinməməsi deməkdir. (2)-modelinin
izahedici dəyişənlərinin P qiymətlərindən aydın görmək olar ki, digər göstəricilər
üçün də tapılmış əmsalların qiymətləri əhəmiyyətli və tutarlı deyil, yəni həqiqi
qiymətindən kənarlaşma vardır. (2) modelinin adekvat alınmamasının bir sıra
səbəbləri vardır. Birincisi modelin strukturunda müəyyən dəyişikliklərin aparılması
zəruridir. Belə ki, ekonometrik modelləşdirmənin şərtlərinə görə (Qauss-Markov
şərtləri) izahedici dəyişənlər (bizim modeldə EPG, MTM, PED) kollinearlıq təşkil
etməməlidirlər. Başqa sözlə bir-birindən asılı olmamalıdırlar. Baxılan reqressiya
tənliyində isə əhalinin pul gəlirlərinin (EPG) və müəssisə və təşkilatların
mənfəətlərinin (MTM) pərakəndə əmtəə dövriyyəsindən asılı olması nəzəri olaraq
izah ediləndir. Modelin əmsallarının əhəmiyyətli olmamasının və qarışıq olmasının
digər bir səbəbi reqressiya tənliyində vergi daxilolmalarının (VD) digər
göstəricilərdən xətti şəkildə asılılığının axtarılması da ola bilər. Qeyd edək ki,
izahedici dəyişənlərin ayrı-ayrılıqda təsirini xarakterizə edən əmsallar qarışıq olsa
da, daha doğrusu əhəmiyyətli deyillərsə də onların hər birinin bütünlükdə vergi
217
daxilolmalarına təsiri mövcuddur. Bunu determinasiya əmsalının (R2) və F-
kriteriyasının qiymətlərindən görmək olar. Belə ki, determinasiya əmsalının
qiyməti (0,964925) göstərir ki, baxılan izahedici (asılı olmayan) göstəricilərin
dəyişməsi vergi daxilolmalarının ildən-ilə dəyişməsini təxminən 96,5% izah edir.
F-statistika reqressiya tənliyinin keyfiyyətini yoxlayır. F-statistika Fişer
paylanmasına malikdir və onun vasitəsi ilə H0 : c2=c3=c4=0 hipotezi yoxlanılır. H0
hipotezi seçilmiş izahedici dəyişənlərin nəticə göstəricisinə təsirinin olmadığını
göstərir.
11 2
2
k
kn
R
RF F(k-1, n-k)
FFc olarsa H0 hipotezi rədd edilir. Burada Fc=F(k-1, n-k), - əhəmiyyətlilik
səviyyəsi, n-sınaqların sayı, k-dəyişənlərin sayı (sərbəst hədd daxil olmaqla), (n-k)
isə sərbəstlik dərəcəsidir. (2) modeli üçün F=36,67991 və Fc=F0,05 (3, 4)=6,59.
Beləliklə, FFc olduğu üçün dəyişənlərin əmsallarının sıfır olması rədd edilir. Yəni
həmin dəyişənlər nəticə göstəricilərinə təsir göstərilir. Bu nəticəni vergi
qanunvericiliyinin müddəalarından aydın görmək olar. F-statistikanın qiymətinin
verilmiş əhəmiyyətlilik səviyyəsində Fişer paylanmasının kritik (Fc) qiymətindən
böyük olmaması ehtimalı (Prob=0,00228, F-statistika üçün) xeyli kiçik 0,228 %-
dir. Yəni EPG, MTM, PED izahedici dəyişənlərinin birlikdə nəticə göstəricisi
olan VD-yə təsiri böyükdür.
Bütün bunlarla yanaşı yuxarıda qeyd edildiyi kimi (2) modeli göstəricilərin
ayrı-ayrılıqda vergi daxilolmalarına təsirinin öyrənilməsi nöqteyi-nəzərindən
əhəmiyyətli deyil. Ona görə də aşağıdakı reqressiya modelinə qiymətləndirək.
VD=c1+c2·EPG+c3·MTM (3)
VD = 112,1932 + 0,096974·EPG + 0,278607·MTM (4) s.s. (340,8633) (0,029197) (0,087798)
t. (0,329144) (3,321381) (3,17328)
Prob (0,7554) (0,0210) (0,0247)
R2=0,95269; 2
adjR =0,933766; F=50,34298; Prob(F)=0,000487; DW=3,0347
(4) modelinin parametrlərinin statistik xarakteristikalarının qiymtləri göstərir
ki, sərbəst hədd üçü tapılmış qiymətdən başqa digər dəyişənlər üçün (EPG və
MTM) tapılmış əmsallar statistik əhəmiyyətlidir.
218
(4) modelinin nəticəsi göstərir ki, müəssisə və təşkilatların mənfəətlərinin
(MTM) sabit qalması şərti ilə əhalinin pul gəlirlərinin 1 milyard manat artmavsı
vergi daxilolmalarının həcmini təxminən 97 milyon manat artırır. Əhalinin pul
gəlirlərinin (EPG) sabit qalması şərti ilə isə müəssisə və təşkilatların
mənfəətlərinin (MTM) 1 milyard manat artması vergi daxilolmalarının həcmini
təxminən 279 milyon manat artırmış olur.
Vergi daxilolmalarının (VD) uyğun olaraq EPG və MTM-yə görə elastiklik
əmsalları,
02.136.1448
79.15321096974.02
VD
EPGcEVD
EPG
36.036.1448
4.1906278607.03
VD
MTMcEVD
MTM
kimi olacaqdır. Burada VD , EPG və MTM uyğun göstəricilərin 1996-2003-cü
illərdəki orta qiymətləridir. Buradan görünür ki, əhalinin pul gəlirlərinin orta
hesabla 1% artması vergi daxilolmalarının orta hesabla 1,02% artmasının, müəssisə
və təşkilatların mənfəətlərinin orta hesabla 1% artması isə vergi daxilolmalarının
orta hesabla 0,36% artmasına səbəb olmuşdur.
F-statistikanın qiyməti (F=50,34298) və onun üçün verilmiş Prob(F)-in
qiymətinin (Prob(F)=0,000487) sıfırdan xeyli kiçik olması göstərir ki, c2 və c3
əmsallarının eyni zamanda sıfra bərabər olmasını göstərən H0 hipotezin inamla
rədd etmək olar. R2=0,95269 olması onu göstərir ki, VD-nin göstərilən illərdə
qiymətinin dəyişməsini 95,269 % həmin illərdəki EPG və MTM-in qiymətlərinin
dəyişməsi ilə izah edilə bilər. (4) modeli üçün determinasiya əmsalının qiymətinin
(2)-yə nəzərən bir qədər kiçik alınmasına baxmayaraq modelin digər statistik
xarakteristikaları xeyli yaxşılaşmışdır. Qyed edək ki, (4) modelindən alınmış
nəticələr xətti reqressiya tənliyi üçün ilkin şərtlər rolunu oynayan Qauss-Markov
şərtlərinin pozulması ilə aldadıcı xarakter ala bilər. Ona görə də ilk növbədə
qalıqların (səhvlərin) dispersiyasının sabit ədədə bərabər olmasını yoxlamaq
lazımdır. Heteroskedastiklik halında səhvlər korrelirovanlıq təşkil etmirlər (asılı
olmurlar), lakin sabit dispersiyaya da malik olmurlar. Klassik olaraq səhvlər sabit
219
dispersiyaya malik olduqda homoskedastiklik adlanır. Qeyd edək ki,
heteroskedastiklik halında ƏKKÜ ilə əmsalların qiymətləndirilməsi qarışıq olur.
Məsələn, əgər təhlil edilən obyekt yumşaq deyilsə bircins olmazsa,
heteroskedastiklik halına tez-tez rast gəlmək olar. Belə ki, müəssisə və təşkilatların
ödədiyi vergilərin həcmi hansısa bir amildən (tutaq ki, müəssisənin gəlirinin
səviyyəsindən) asılılığı tədqiq edilərsə, onda görmək olar ki, böyük müəssisələr
üçün vergilərin dəyişməsi (vergi diferensiasiyası) kiçik müəssisələrə nisbətən
yuxarı olacaq. Bu isə səhvlərin dispersiyasının sabitliyi şərtinin pozulmasına
gətirib çıxara bilər. Ekonometrik modelləşdirmədə heteraskedastikliyin aradan
qaldırılması və yoxlanması üçün bir neçə statistik testlər vardır [1, səh.169-183]
Əksər testlər tənlikdə struktur məhdudiyyyətlər olduqda heteroskedastiklik
halının olmasının yoxlanılmasına yönəldilib. Ancaq Uayt (White) testi istisna
təşkil edir. Bütün testlərdə 22
2
2
10 ...: nH hipotezinin alternativ H1:H0- deyil
hipotezinə qarşı yoxlanılır. Uayt (White) testinin üstün cəhəti onun universal
olmasıdır. Lakin H0 hipotezi rədd edildikdə heteroskedastikliyin funksional şəkli
haqda heç nə demir. (4) reqressiya modelində heteroskedastiklik üçün aparılmış
Uayt (White) testinin nəticəsi aşağıdakı kimi olmuşdur.
Cədvəl 2.
White Heteroskedasticity Test
F-statistic 0.765947 Probability 0.611727
obs*R-squared 4.042077 Probability 0.400341
Cədvəldəki P ( Probability )- qiyməti göstərir ki, H0 hipotezi rədd edilmir və
deməli heteroskedastiklik yoxdur.
(4) modelində qalıqların avtokorrelyasiyasının mövcud olub-olmamasını
xarakterizə edən Darbin-Vatson (Darbin-Watson) statistikasının qiyməti 2-dən
xeyli fərqləndiyi üçün avtokorrelyasiya mövcuddur. Qeyd edək ki,
avtokorrelyasiyanın mövcudluğu arzu edilən hal deyil və modelin proqnoz üçün
yararsız olduğunu göstərir.
220
579793,1,000032,0)(Pr,945755,0,953504,0
113498,089088,25
2
0000.0)9185.0(Pr
DWstFobRR
UDMVD
adj
ob
Bu model göstərir ki, Ümumi Daxili Məhsulun 1 milyard manat artması
vergi daxilolmalarını təxminən 113,5 milyon manat artırır. Bu nəticə yüksək
əhəmiyyətlilik səviyyəsinə malikdir.
Modelin adekvatlığını artırmaqla onun təhlil və proqnoz üçün yararlı olması
üçün digər reqressiya asılılıqlırana qiymətləndirək:
log(VD) = 6,829124 + 4,33E-0,5·ERG + 8,16E-0,5·MTM (5) Prob (0,0000) (0,284) (0,1139)
R2=0,922
2
adjR =0,89 Prob(F-statistika)=0,001693 DW=2,79
(5) yarım loqarifmik reqressiya modelinin statistik xarakteristikaları göstərir
ki, modelin adekvatlıq səviyyəsi (4) modelinə nəzərən qalxmışdır. Doğrudur MTM
üçün alınmış əmsalın əhəmiyyətlilik səviyyəsi yüksək olmasa da onu təxminən
90%-dən bir qədər az ehtimalla əhəmiyyətli hesab edə bilərik. DW–nin qiymətinin
(4) modelində olduğuna nəzərən 2-yə bir qədər yaxınlaşması onun proqnoz üçün
əhəmiyyətinin artdığını göstərir.
(5) modeli göstərir ki, digər göstəricilərin sabit qalması şərti ilə əhalinin pul
gəlirlərinin (EPG) bir milyard manat artması vergi daxilolmalarının (VD) həcmini
4,33% artırır. Müəssisə və təşkilatların mənfəətinin 1 trilyon manat artması isə
vergi daxilolmalarını 8,16% artırır. Qeyd edək ki, (5) modelində EPG və MTM
göstəricilərinin əmsalları yarımelastiklik əmsalları adlandırılır. Həmin əmsalların
sıfırdan xeyli kiçik qiymətlərində, məsələn
log(VD)=c2·EPG
EPGceVD
2 , EPG=1 olarsa
212 ceVDc
, (c2 -nin çox kiçik daha doğrusu sıfra yaxın qiymətində)
yaza bilərik. Qeyd edək ki, Eviews paketində log natural loqarifm kimi götürülür.
log(VD) = -0,813090 + 0,677756 ·log(ERG) + 0,260078·log(MTM) (6) Prob (0,6051) (0,0157) (0,0504)
R2=0,9096 2
adjR =0,8735 Prob(F-statistika)=0,002455 DW=3,003
221
(6) modelində sabit əmsaldan başqa digər əmsalların tapılmış qiymətləri
statistik əhəmiyyətlidir.
(6)-nın nəticəsi onu göstərir ki, 1% EPG artdıqda VD-i 0,677756%, MTM isə
1% artdıqda VD 0,26% artır.
7.1,000148.0)(Pr,909917.0,922786.0
)log(959008,0778045,1)log(
2
)0001.0()1668.0(Pr
DWstFobRR
UDMVD
adj
og
Bu model göstərir ki, ÜDM-1% artdıqda VD 0,959 % artır.
Qeyd edək ki, ÜDM-in heç də hamısı vergilərə cəlb olunmur, məsələn, kənd
təsərrüfatı demək olar ki, əksər vergilərdən azad olunmuş olur. Ona görə də ÜDM-
dən kənd təssərrüfatında yaradılan əlavə dəyəri çıxdıqdan sonra alınan məhsulun
(ÜDMKT) vergi daxilolmalarına təsirini öyrənmək məqsədə uyğun olardı:
63531,1000212,0)(Pr898597,0913,0
)log(854855,057634,0)log(
2
)0002.0()6045.0(
DWstFobRR
UDMKTVD
adj
Bu model göstərir ki, 1% ÜDM (kənd təsərrüfatı daxil olmadan) artması VD-
ni 0,8548% artırır.
Praktiki məsələlərin həllində bəzən iqtisadi göstəricilərin həcm
göstəricilərindən deyil, artım göstəricilərindən istifadə olunduqda daha yaxşı
nəticələr əldə edilir.
VDAT=f(ÜDMAT, EPGAT, PEDAT, TEDAT, MXUBAT, MTMAT) (7)
Burada, veilmiş işarələmələr müvafiq göstəricilərin əvvəlki ilə nəzərən artım
templərini göstərir. Müvafiq göstəricilərin artım templəri cədvəl 3-də verilib.
Cədvəl 3. Göstəricilərin əvvəlki ilə nəzərən artım templəri
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
VDAT 0.274 -0.188 0.139 0.317 0.136 0.173 0.211
ÜDMAT 0.156 0.089 0.097 0.25 0.128 0.139 0.156
TEDAT 0.385 1.17 0.012 0.109 0.058 0.087 0.247
PEDAT 0.156 0.089 0.023 0.122 0.121 0.132 0.139
MXUBAT 0.17 0.086 0.035 0.181 0.016 0.189 0.197
ƏPGAT 0.298 0.166 0.119 0.088 0.104 0.095 0.141
MTMAT -0.438 0.227 -0.354 1.416 0.161 0.462 0.246
222
(7)-i xətti reqressiya modeli şəklində qiymtləndirilməsindən aşağıdakı nəticələr
alınmışdır.
MTMAT413528.0MXUBAT0.322738
PEDAT0.389656·EPGAT1,680414 - ·UDMAT5,052824 0,32048-VDAT
)1171.0((0.5553)
)6600.0((0.1796))0888.0((0.1532)Prob
(8)
9857.02 R 9142.02 adjR 20156.0)(Pr stFob 4.2DW
(8) modelində göstəricilərin əmsallarının P-qiymətləri göstərir ki, ayrı-ayrı
göstəricilərin artım templərinin vergi daxilolmalarının artım templərinə təsirini
xarakterizə edən əmsalların tapılmış qiymətlərinin heç birisi əhəmiyyətli deyil və
bir-birinə qarışmışdır.
MTMAT0.385118-·EPGAT1,366507 - ·UDMAT5,320612 0,327783-VDAT)0121.0((0.0422))0038.0((0.0201)Prob (9)
9608.02 R 9216.02 adjR 013.0)(Pr stFob 045565.2DW .
(9) modelinin statistik xarakteristikaları yaxşı alınsa da ilkin şərtlər olan Qauss-
Markov şərtləri pozulmuşdur. Belə ki, əhalinin pul gəlirlərinin və müəssisə və
təşkilatların mənfəətlərinin artım templəri ümumi daxili məhsulun artım tempindən
asılı olduğu üçün izahedici dəyişənlərin asılı olmamazlıq şərti pozulmuşdur.
)·log(UDMAT0.99123 0,273563log(VDAT))0211.0((0.6264)Prob
(10)
7724.02 R ; 715509.02 adjR ; 021121.0)(Pr stFob ; 674275.0DW
(10) modelində sabit ədədin statistik əhəmiyyətli alınmaması göstərir ki, vergi
daxilolmalarının artım tempinə ümumi daxili məhsulun artım tempindən başqa da
təsir edən dəyişən amillər mövcuddur. Bununla belə UDMAT-nın əmsalı statistik
əhəmiyyətlidir və onun iqtisadi interpretasiyası göstərir ki, ümumi daxili məhsulun
223
əvvəlki ilə nəzərən artım templərinin 1% artması vergi daxilolmalarının artım
tempini əvvəlki ilə nəzərən təxminən 1% artırır.
ƏDƏBIYYAT
1. Я.Р.Магнус, П.К.Катышев, А.А.Пересецкий «Эконометрика» Начальный
курс, учеб.-6-e изд. Петербург, M.:, Дело, 2004, 576 с.
224
Ə L A V Ə L Ə R
(Statistik cədvəllər)
225
Cədvəl 1. Standart normal paylanma funksiyası
dteZAZ
t
0
2
2
2
1
)(
Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.016 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753
0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.091 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141
0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517
0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879
0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549
0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852
0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133
0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.334 0.3365 0.3389
1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621
1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830
1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.398 0.3997 0.4015
1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177
1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319
1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441
1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545
1.7 0.4454 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633
1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706
1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767
2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817
2.1 0.4821 0.4826 0.483 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.485 0.4854 0.4857
2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890
2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916
2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936
2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952
2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.496 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964
2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.497 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974
2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981
2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986
3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.499 0.4990
Mənbə: Gujarati, Damodar N.: Basic Econometrics, 4th ed., McGraw-Hill, New York, 2003
226
Nümunə: Tutaq ki, Z- N(0.1) standart normal qanunla paylanıb. Onda,
475009610 .)().Pr( ZAZ (bax: Cədvəl 1-də 10-cu sətir, 7-ci sutun və Şəkil A, a)
0250475005050961 ...)(.).Pr( ZAZ (bax: Şəkil A, b)
62170121705050310 ...)(.).Pr( ZAZ (bax: Cədvəl 1-də 4-cü sətir 2-ci sutun və
Şəkil A, c)
a)
b)
c)
Şəkil A. Standart normal paylanmanın qrafiki təsviri
227
Cədvəl 2. t – paylanma )(nt ; t-nin kritik qiyməti
Sərbəstlik dərəcəsi
sayı (n)
Mühümlük səddi (Əhəmiyyətlilik səviyyəsi)
İkitərəfli test ( )
Birtərəfli test (
2
)
10%
5%
5%
2,5%
2%
1%
1%
0,5%
0,2%
0,1%
0,1%
0,05%
1 6,314 12,706 31,821 63,657 318,31 636,62
2 2,920 4,303 6,965 9,925 22,327 31,598
3 2,353 3,182 4,541 5,841 10,214 12,924
4 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173 8,160
5 2,015 2,571 3,365 4,032 5,893 6,869
6 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 5,959
7 1,895 2,365 2,998 3,499 4,785 5,408
8 1,860 2,306 2,896 3,355 4,501 5,041
9 1,833 2,262 2,821 3,250 4,297 4,781
10 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144 4,587
11 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025 4,437
12 1,782 2,179 2,681 3,055 3,930 4,318
13 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852 4,221
14 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 4,140
15 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733 4,073
16 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686 4,015
17 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646 3,965
18 1,734 2,101 2,552 2,878 3,610 3,922
19 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 3,883
20 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552 3,850
21 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527 3,819
22 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505 3,792
23 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485 3,767
24 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467 3,745
25 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450 3,725
26 1,706 2,056 2,479 2,779 3,435 3,707
27 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421 3,690
28 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408 3,674
29 1,699 2,045 2,462 2,756 3,396 3,659
30 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385 3,646
40 1,684 2,021 2,423 2,704 3,307 3,551
60 1,671 2,000 2,390 2,660 3,232 3,460
120 1,658 1,980 2,358 2,617 3,160 3,373
∞ 1,645 1,960 2,326 2,576 3,090 3,291
Mənbə: Pearson E.S., Harley H.O. (editors), Biometrika Tables for Statisticians, Cambridge, Cambridge University
Press, 1970
228
Nümunə: Tutaq ki, t- təsadüfü kəmiyyətdir və sərbəstlik dərəcəsi 5-dir (n=5). Onda, 5%
əhəmiyyətlilik səviyyəsində ( =0.05) ikitərəfli t-nin kritik qiyməti 2.571 olacaqdır.
571250250 .)(. t , daha doğrusu 0.0252.571)Pr( t (bax: Cədvəl 2-də altıncı sətir, 4-cü
sutun). Başqa sözlə,
)(ntt
əhəmiyyətlik səviyyəsi (mühümlük səddi) 0.025 olan Styüdent qanunu ilə paylanıb
Cədvəl 3. F- paylanma: v1 və v2 sərbəstlik dərəcələri ilə kritik qiymətlər
Mühümlük səddi (əhəmiyyətlilik səviyyəsi) 5%
v1
v2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120
1 161,4 199,5 215,7 224,6 230,2 234,0 236,8 238,9 240,5 241,9 243,9 245,9 248,0 249,1 250,1 251,1 252,2 253,3 254,3
2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,41 19,43 19,45 19,45 19,46 19,47 19,48 19,49 19,50
3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,74 8,70 8,66 8,64 8,62 8,59 8,57 8,55 8,53
4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,91 5,86 5,80 5,77 5,75 5,72 5,69 5,66 5,63
5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,68 4,62 4,56 4,53 4,50 4,46 4,43 4,40 4,36
6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,00 3,94 3,87 3,84 3,81 3,77 3,74 3,70 3,67
7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,57 3,51 3,44 3,41 3,38 3,34 3,30 3,27 3,23
8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,28 3,22 3,15 3,12 3,08 3,04 3,01 2,97 2,93
9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,07 3,01 2,94 2,90 2,86 2,83 2,79 2,75 2,71
10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,91 2,85 2,77 2,74 2,70 2,66 2,62 2,58 2,54
11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,79 2,72 2,65 2,61 2,57 2,53 2,49 2,45 2,40
12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,69 2,62 2,54 2,51 2,47 2,43 2,38 2,34 2,30
13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,60 2,53 2,46 2,42 2,38 2,34 2,30 2,25 2,21
14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,53 2,46 2,39 2,35 2,31 2,27 2,22 2,18 2,13
15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,48 2,40 2,33 2,29 2,25 2,20 2,16 2,11 2,07
16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,42 2,35 2,28 2,24 2,19 2,15 2,11 2,06 2,01
17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,49 2,38 2,31 2,23 2,19 2,15 2,10 2,06 2,01 1,96
18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,34 2,27 2,19 2,15 2,11 2,06 2,02 1,97 1,92
19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,31 2,23 2,16 2,11 2,07 2,03 1,98 1,93 1,88
230
Cədvəl 3-nin ardı.
Mühümlük səddi (əhəmiyyətlilik səviyyəsi) 5%
v1
v2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120
20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,28 2,20 2,12 2,08 2,04 1,99 1,95 1,90 1,84
21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 2,25 2,18 2,10 2,05 2,01 1,96 1,92 1,87 1,81
22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 2,23 2,15 2,07 2,03 1,98 1,94 1,89 1,84 1,78
23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 2,20 2,13 2,05 2,01 1,96 1,91 1,86 1,81 1,76
24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 2,18 2,11 2,03 1,98 1,94 1,89 1,84 1,79 1,73
25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 2,16 2,09 2,01 1,96 1,92 1,87 1,82 1,77 1,71
26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 2,15 2,07 1,99 1,95 1,90 1,85 1,80 1,75 1,69
27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20 2,13 2,06 1,97 1,93 1,88 1,84 1,79 1,73 1,67
28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 2,12 2,04 1,96 1,91 1,87 1,82 1,77 1,71 1,65
29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 2,10 2,03 1,94 1,90 1,85 1,81 1,75 1,70 1,64
30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 2,09 2,01 1,93 1,89 1,84 1,79 1,74 1,68 1,62
40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,3 2,25 2,18 2,12 2,08 2,00 1,92 1,84 1,79 1,74 1,69 1,64 1,58 1,51
60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 1,92 1,84 1,75 1,70 1,65 1,59 1,53 1,47 1,39
120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,17 2,09 2,02 1,96 1,91 1,83 1,75 1,66 1,61 1,55 1,50 1,43 1,35 1,25
3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88 1,83 1,75 1,67 1,57 1,52 1,46 1,39 1,32 1,22 1,00
v1 – sərbəstlik dərəcəsinin sayı, v2 – sərbəstlik dərəcəsinin sayı
Cədvəl 4. Darbin-Uotson statistikası: dl və du –nun 5%-li əhəmiyyətlilik səviyyəsində
n k=1 k=2 k=3 k=4 k=5
dl du dl du dl du dl du dl du
6 0.61 1.40 - - - - - - - -
7 0.70 1.36 0.47 1.90 - - - - - -
8 0.76 1.33 0.56 1.78 0.37 2.29 - - - -
9 0.82 1.32 0.62 1.70 0.46 2.13 0.30 2.59 - -
10 0.88 1.32 0.70 1.64 0.53 2.02 0.38 2.81 0.24 2.82
11 0.93 1.32 0.76 1.60 0.60 1.93 0.44 2.28 0.31 2.65
12 0.97 1.33 0.81 1.58 0.66 1.86 0.51 2.18 0.38 2.51
13 1.01 1.34 0.86 1.56 0.72 1.82 0.57 2.09 0.45 2.39
14 1.05 1.35 0.91 1.55 0.77 1.78 0.63 2.03 0.51 2.30
15 1.08 1.36 0.95 1.54 0.82 1.75 0.69 1.97 0.56 2.21
16 1.10 1.37 0.98 1.54 0.86 1.73 0.74 1.93 0.62 2.15
17 1.13 1.38 1.02 1.54 0.90 1.71 0.78 1.90 0.67 2.10
18 1.16 1.39 1.05 1.53 0.93 1.69 0.82 1.87 0.71 2.06
19 1.18 1.40 1.08 1.53 0.97 1.68 0.86 1.858 0.75 2.02
20 1.20 1.41 1.10 1.54 1.00 1.68 0.90 1.83 0.79 1.99
21 1.22 1.42 1.13 1.54 1.03 1.67 0.93 1.81 0.83 1.96
22 1.24 1.43 1.15 1.54 1.05 1.66 0.96 1.80 0.86 1.94
23 1.26 1.44 1.17 1.54 1.08 1.66 0.99 1.79 0.90 1.92
24 1.27 1.45 1.19 1.55 1.10 1.66 1.01 1.78 0.93 1.90
25 1.29 1.45 1.21 1.55 1.12 1.66 1.04 1.77 0.95 1.89
26 1.30 1.46 1.22 1.55 1.14 1.65 1.06 1.76 0.98 1.88
27 1.32 1.47 1.24 1.56 1.16 1.65 1.08 1.76 1.01 1.86
28 1.33 1.48 1.26 1.56 1.18 1.65 1.10 1.75 1.03 1.85
29 1.34 1.48 1.27 1.56 1.20 1.65 1.12 1.74 1.05 1.84
30 1.35 1.49 1.28 1.57 1.21 1.65 1.14 1.74 1.07 1.83
31 1.36 1.50 1.30 1.57 1.23 1.65 1.16 1.74 1.09 1.83
32 1.37 1.50 1.31 1.57 1.24 1.65 1.18 1.73 1.11 1.82
33 1.38 1.51 1.32 1.58 1.26 1.65 1.19 1.73 1.13 1.81
34 1.39 1.51 1.33 1.58 1.27 1.65 1.21 1.73 1.15 1.81
35 1.40 1.52 1.34 1.58 1.28 1.65 1.22 1.73 1.16 1.80
36 1.41 1.52 1.35 1.59 1.29 1.65 1.24 1.73 1.18 1.80
37 1.42 1.53 1.36 1.59 1.31 1.66 1.25 1.72 1.19 1.80
38 1.43 1.54 1.37 1.59 1.32 1.66 1.26 1.72 1.21 1.79
39 1.43 1.54 1.38 1.60 1.33 1.66 1.27 1.72 1.22 1.79
40 1.44 1.54 1.39 1.60 1.34 1.66 1.29 1.72 1.23 1.79
45 1.48 1.57 1.43 1.62 1.38 1.67 1.34 1.72 1.29 1.78
50 1.50 1.59 1.46 1.63 1.42 1.67 1.38 1.72 1.34 1.77
55 1.53 1.60 1.49 1.64 1.45 1.68 1.41 1.72 1.38 1.77
60 1.55 1.62 1.51 1.65 1.48 1.69 1.44 1.73 1.41 1.77
65 1.57 1.63 1.54 1.66 1.50 1.70 1.47 1.73 1.44 1.77
70 1.58 1.64 1.55 1.67 1.52 1.70 1.49 1.74 1.46 1.77
75 1.60 1.65 1.57 1.68 1.54 1.71 1.51 1.74 1.49 1.77
80 1.61 1.66 1.59 1.69 1.56 1.72 1.53 1.74 1.51 1.77
85 1.62 1.67 1.60 1.70 1.57 1.72 1.55 1.75 1.52 1.77
90 1.63 1.68 1.61 1.70 1.59 1.73 1.57 1.75 1.54 1.78
95 1.64 1.69 1.62 1.71 1.60 1.73 1.58 1.75 1.56 1.78
100 1.65 1.69 1.63 1.72 1.61 1.74 1.59 1.76 1.57 1.78
Qeyd: n- müşahidələrin sayı; k – izahedici dəyişənlərin sayı (sərbəst hədd nəzərə alınmadan)
Mənbə: Durbin, Watson (1951)
232
ƏDƏBĠYYAT SĠYAHISI
Azərbaycan dilində
1. Q.C.İmanov, Y.H.Həsənli “Azərbaycanın sosial-iqtisadi inkişafının modelləri.
Makroiqtisadi təhlil”,Bakı, Elm, 2001, 248 səh.
2. Y.H.Həsənli, R.T.Həsənov “İqtisadi tədqiqatlarda riyazi üsulların tətbiqi”, Bakı,
2002, 303 səh.
3. «Azərbaycanca-Türkcə-Rusca-İngiliscə ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika
terminləri lüğəti», «Gənclik» nəşriyyatı, Bakı, 2002
10. Y.H.Həsənli, F.Həsənov “İqtisadi artımın neoklassik Solou modeli və onun
ölkə iqtisadiyyatı timsalında realizasiyası”, Sumqayıt Dövlət Unversitetinin “ELMİ
XƏBƏRLƏR” curnalı, Cild 2 N 1, 2006, səh., 60-66
11. A.Musayev, N.Əmirov,Y.Həsənli “Fiskal siyasətin səmərəliliyinin
qiymətləndirilməsi. I və II tip Lafer nöqtələrinin tapılması”, №5, 2006, səh.2-16
12. A.Musayev, N.Əmirov,Y.Həsənli “Vergi sisteminin sabitliyinin iqtisadi artıma
təsirinin qiymətləndirilməsi”, Azərbaycan Vergi Xəbərləri, №3, 2006, səh.22-26.
13. Azərbaycanda qiymətlər, ARDSK, “Səda”, Bakı, 2003, 2004, 2005, 2006.
14. Qiymətlər və qiymət indeksləri, 2006 sentyabr, ARDSK-nin aylıq bülleteni
15. Azərbaycanın statistik göstəriciləri, ARDSK, Bakı, 2005.
Türk dilində
16. Yılmaz K., Akçay J., Alper E. Enflasyon ve Büyüme Dinamikleri. TUSİAT-
T/2002-12/341, gelişmekde olan ülke deneyimleri işığında Türkiye analizi, 2002,
108 s.
17. Nilgün Körlü “Açıqlamalı istatistik terimleri sözlügü”, Nobel, Ankara,
Kasım, 2002, 192 s.
18. Mustafa Sevüktekin, Mehmet Nargeleçekenler “Ekonometrik zaman serileri
analizi. Eviews Uyğulamalı”, Genişlenmiş 2 Baskı, Nobel Yayın Dağıtım,
Ankara, Ekim 2007, 494 səh.
233
19. Damodar N. Gujarati “Temel Ekonometri”, İngilisceden Türk diline
çevirenler:Ümit Şenesen, Günay Göktürk Şenesen, Dördüncü Basım: Eylül 2006,
İstanbuıl, 849 səh.
20. Yüksel İşyar “Ekonometrik Modeller”, 2 Baskı, VİPAŞ A.Ş., Bursa, 1999,
695 səh.
21. Tümay Ertek “Ekonometriye GiriĢ”, Genişlenmiş 2. Baskı, Beta,İstanbul,
2000, 446 səh.
Ġngilis dilində
22. Goldberger A. (1990). A Course in Econometrics. Combridge, MA: Harvard
Unversity Press.
23. EViews-4 User guides
24. EViews 4 Command and Proqramming reference, Quantitative Micro Software
25. Gokal V., Hanif S. Relationship between inflation and economic growth.
Working Paper No. 2004/04. Economics Department Reserve Bank of Fici ,
December 2004, 51.p.
http://www.reservebank.gov.fc/docs/2004_04_wp.pdf
26. Ghosh A, Philips S. Inflation, Disinflation, and Growth, IMF Working Paper,
1998, 44 p.
www.imf.org/external/pubs/ft/wp/wp9868.pdf
27. De Gregorio C. Inflation, Growth and Central Banks: Theory and Evidence,
The World Bank Policy Research Department Macroeconomics and Growth
Division, February 1996, 54 p.
http://wdsbeta.worldbank.org/external/default/WDSContentServer/IW3P/IB/
1996/02/01/000009265_3961019185641/additional/109509322_20041117141021
28. Khan M. S. Inflation, Financial Deepening, and Economic Growth. IMF 2002,
Paper for Banco de Mexico Conference on Macroeconomic Stability, Financial
Markets and Economic Development, 27 p.
http://www.banxico.org.mx/gPublicaciones/Seminarios/esp/dgie/estamacrome
234
r/Inflation.pdf
29. Khan M. S., Senhadci A. S. Threshold Effects in the Relationship between
Inflation and Growth, IMF, 2001, Staff Papers Vol. 48 No.1, 21 p.
http://www.imf.org/External/Pubs/FT/staffp/2001/01a/pdf/khan.pdf
30. Gillman M., Nakov A. A Revised Tobin Effect From Inflation: Relative Input
Price and Capital Ratio Realignments, US and UK, 1959 – 1999, Vol. 18, 19 p.
www.ceu.hu/econ/economic/tobin_ceuwp.pdf.
31. Maddala G.L., Kim In-Moo (1999), Unit Roots, Cointegration, and Structural
Change. Cambridge Univ. Press.
32. Davidson R., MacKinnon J.G. (1993), Estimation and Inference in
Econometrics. Oxford Univ. Press.
33. Hatanaka M. (1996), Time-Series Based Econometrics. Unit Root and
Cointegration. Oxford Univ. Press.
34. Green W.H. (1993), Econometric Analysis ( second edition). Macmillan
Publishing Company.
35. Johnston, J., DiNardo J. (1997), Econometric Methods. McGraw-Hill, Inc.
Rus dilində
36 . Г .Титнер «Ввведение в экон ометрику», пер. с немец.,
“Статистика”, 1965
37. Г.М.Галебаров , Н.М.Журавлев , и др. ”Статистическое моделирование
и прогнозирование”. М., “Финансы и статистика”, 1990
38. А.И.Карасев, Н.Ш.Кремер , T.И.Савельева - ”Математические ме-
тоды и модели в планировании”. М., “Экономика”, 1987
39. Р.Винн, К.Холден - ”Введение в прикладной эконометрический ана-
лиз”. пер. с анг., М.: “Финансы и статистика”, 1981(пер. с анг )
40. А.Клас, К.Гергели и др. - ”Введение в эконометрическое моделирова-
ние”. пер. с славян., “Статистика”, 1978
235
41. Статистика, Учебник/под ред. Проф. И.И.Елисеевой-М.:ООО
«ВИТРЭМ»,2002.-448 с.
42. Дж.Джонстон ”Эконометриические методы”. пер. с анг., М.:
“Статистика”, 1980
43. Я.Р.Магнус, П.К.Катышев, А.А.Пересецкий «Эконометрика», Начальный
курс, учеб.-6-е изд. Перераб. и доп.-М.: Дело, 2004 – 576 с.
44. Мовшович С.М., Соколовский Л.Е. Выпуск, налоги и кривая Лаффера,
Экономика и математические методы, 1994, Вып.3.
45. Н.П.Tихинов, Е.Ю.Дорохина «Эконометрика»: Учебник-М.: «Экзамен»,
2003.-512 с.
46. Г.С. Кильдишев «Корреляционный меtод изучения связи экономических
явлений», М. «Статистика», 1976
47. Практикум по эконометрику, под. ред. И. И. Елисеевой, М., «Финансы и
статистика», 2001.
48. Г.Б. Клейнер Производетвенные функции , М, 1986.
49. Н.П.Тихомиров, Е.Ю.Дорохина «Эконометрика», Учебник-М.: «Экзамен»,
М.:2003.-512 с.
50. В.А.Валентинов «Эконометрика», М.:,2006.-448 с.
51. М . Кубанива , М . Табата , С . Табата , Ю. Хасэбэ Математическая
эканомика на персональном компютере ,М, 1991 (пер.с япон.)
52. Основы теории оптимаьного упровления. Под.ред. В .Ф.Кротова, М,
1990.
53. С.А.Ашманов “Введение в математическую экономику”, М, Наука,1984
54. Канторович Г.Г. «Анализ временных рядов», Экономических журнал
ВШЭ, №1 2002, ст. 85-116
55. Инфляция. http://www.bolshe.ru/unit/110/books/2516/s/
56. Курс социально-экономической статистики, Под ред. М.Г.Назарова, - М.:
Финстатинформ, ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 771 с.
236
57. Кристофер Доугерти «Введение в эконометрику», Издание второе.
/Перовод с англ. – М.: ИНФРА-М, 2004, - 432 с.
58. Балацкий Е. В «Стабильность налоговой системы как фактор
экономического роста», Общество и экономика, №2, 2005, ст.100-119.
59. Балацкий Е.В.«Эффективность фискальной политики государства»,
Проблемы прогнозирования, ИНП РАН, 2000, N0 5, c.32.
60. Балацкий Е.В. «Лафферовы эффекты и финансовые критерии
экономической деятельности», Мировая экономика и международные
отношения, 1997, №11.
61. Балацкий Е.В. «Точки Лаффера и их количественная оценка», Мировая
экономика и меcдународные отношения, 1999, №12.
62. Математика и кибернетика в экономике, Словарь-Спровочник,
М.:Экономика,1975, 700 с.
63. А.Г.Шоломицкий «Теория риска. Выбор при неопределенности и
моделирование риска», ГУ ВШЭ, - Москва: 2005.-400 с.
64. Курс социально-экономической статистики, Под ред. М.Г.Назарова, -
М.: Финстатинформ, ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 771 с.
65. http://www.biometrica.tomsk.ru/WHS08.pdf
66. Н. Плохинский. Биометрия. http://www.biometrica
67. П. Рокицкий. Биологическая статистика. http://www.biometrica
237
Textbook
HASANLI YADULLA HAMDULLA OQLU
Doctor of economics science, as. professor
INTRODUCTION TO
ECONOMETRICS
CAUCASION UNVERSITY PRESS
2008