ejercitario matemática i ingeniería una

Facultad de Ingeniería Curso de Nivelación

EJERCITARIO: MATEMÁTICA I

“Tradición y Excelencia en la formación de Ingenieros” Página 66

NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

1. Hallar el menor número que al dividirlo por 5; 6; 7 o 15 de por resto 3. Respuesta: 213

2. Al dividir 10475 y 4312 por un cierto número entero, se tiene por restos 10 y 11 respecti-

vamente. ¿Cuál es el mayor divisor que cumple con esa condición? Respuesta: 23

3. Hallar todos los divisores del número 4536 que sean cuadrados perfectos.

Respuesta: 1, 4, 9, 36, 81, 324

4. Hallar los cocientes que resultan de dividir los números 117975 y 2574 por su mayor divi-sor primo común. Respuesta: 9075 y 198

5. Hallar el menor número por el cual hay que multiplicar 4662, para que el producto sea divi-

sible por 3234. Respuesta: 77

6. Al dividir 1866 y 1479 por un mismo número, se obtienen por restos 33 y 22 respectiva-

mente. ¿Cuál es el mayor divisor que cumple con esa condición? Respuesta: 47

7. Hallar el menor número que divido por 17, 38 y 115 dé resto 11.

Respuesta: 74301

8. En una división entera el resto es 21 y el dividendo 580. Determinar el divisor y el cociente. Respuesta: 43, 13

9. Al dividir 1237 por un número da 37 de resto; al dividir 2587 por el mismo número el resto

es 43. Hallar el número. Respuesta: 48

10. Hallar el menor número no divisible por 4, 6, 9, 11 y 12, tal que al dividirlo por estos nú-

meros se obtengan restos iguales. Respuesta: 397

11. Hallar todos lo divisores simples y compuestos del número 15925.

Respuesta: 1, 5, 7, 13, 25, 35, 49, 65, 91, 175, 245, 325, 455, 637, 1225, 2275, 3185, 15925




12. Hallar el menor número múltiplo de 168 y 1116, que sea divisible por 210. Respuesta: 78120

13. Hallar el menor número primo, distinto de la unidad, que sea primo con 2730 y 21420.

Respuesta: 11 14. Hallar todos los números divisores cuadrados perfectos del número 5292.

Respuesta: 1, 4, 9, 36, 49, 196, 441, 1764 15. ¿Cuántos divisores simples y compuestos tienen en común los números 83853 y 1760913?

Respuesta: 24 16. Hallar el mayor número divisor común de 7644 y 38808, que sea divisor de 1302.

Respuesta: 42

MÁXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MÚLTIPLO

17. Hallar el mínimo común múltiplo de los cocientes que resultan de dividir 3300 y 19250 por el mayor divisor primo común. Respuesta: 10500

18. Hallar el máximo común divisor de los cocientes que resultan de dividir 23100 y 134750

por el mayor divisor primo común. Respuesta: 350

19. Se han divido tres barras de acero de longitudes 540 mm, 480 mm y 360 mm en trozos igua-

les de la mayor longitud posible. ¿Cuántos trozos se han obtenido y cuál es la longitud de ca-da trozo? Respuesta: 23 trozos; 60 mm

20. Hallar el mínimo común múltiplo de los siguientes números: 299, 403 y 713.

Respuesta: 9269 21. Hallar el máximo común divisor de los siguientes números: 24679, 20387 y 16169.

Respuesta: 37 22. Una persona puede caminar un número exacto de pasos andando 650 cm, 1800 cm y

1000 cm. ¿Cuál es la mayor longitud posible de cada paso? Respuesta: 50 cm




23. Hallar el mínimo común múltiplo que resulta de dividir 79781 y 5681 por su menor divisor común distinto de la unidad. Respuesta: 141151

24. El máximo común divisor de dos números es 17. Los cocientes sucesivos obtenidos han si-

do 1, 20, 1 y 5. ¿Cuáles son los números? Respuesta: 2227; 2125

25. Tres cables que miden 110 m, 75 m y 90 m, se dividen en el menor número de trozos posi-

bles de igual longitud. ¿Cuál es la longitud de cada trozo? Respuesta: 5 m

26. El producto de dos números es 575424 y el máximo común divisor de los mismos es 36.

Hallar el mínimo común múltiplo de los números. Respuesta: 15984

27. El producto de dos números es 16632 y el máximo común divisor de los mismos es 6.

¿Cuál es el mínimo común múltiplo de los números? Respuesta: 2772

28. Se desea acondicionar 1830 latas de aceite y 1170 latas de conservas en el menor número

de cajones que contengan el mismo número de latas pero sin mezclarlas. ¿Cuántas latas habrá en cada cajón y cuantos cajones son necesarios? Respuesta: 30 latas; 100 cajones

29. Dos recipientes contienen 11385 litros y 10115 litros de vino de diferente calidad. Desea-

mos envasarlos, sin mezclarlos, en botellas de igual capacidad. ¿Cuál es la máxima capacidad que deberían tener las botellas y cuántas botellas necesitaríamos? Respuesta: 5 litros; 4300 botellas

FRACCIONES SIMPLES Y COMPLEJAS

30. Indicando todos los pasos, resolver: 3 5 1

7 2 0 28 6 182 5 1 1 1 5 7 73 12 4 8 9

,+ − ⎛ ⎞× ÷ ÷⎜ ⎟⎝ ⎠+ − − +

Respuesta: 118

28469




31. Efectuar:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×÷×÷+÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+

91

3145100

1541

57

32

31

Respuesta: 243

32. Efectuar:

2 22 1 1 2 1 13 6 23 3 4 5 10 24

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− × ÷ + ÷ ÷ × −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Respuesta: 10 33. Efectuar:

3 5 3 1 2 7 1 112 44 6 5 2 7 5 2 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ × ÷ − × ÷ × ÷⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Respuesta: 4 34. Indicando todo el proceso, resolver:

31

432

127

94

32

51

61

52

61

92

103

54

83

÷×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

−+÷×

Respuesta: 45

35. Transformar las siguientes fracciones en otras equivalentes de igual numerador:

12047

; 16125

Respuesta: 24094

; 2401875

36. Transformar las siguientes fracciones en otras equivalentes de igual numerador:

1340528

; 47961

Respuesta: 6298024816

; 629801287740




37. Convirtiendo en fracciones comunes y sin efectuar la división, ordenar en forma decrecien-te:

3 82525, .....; 13 11 11 527

++

++

; 328 6,

Respuesta: 3787990

; 16043

; 16145

38. Convirtiendo en fracciones comunes y sin efectuar la división, ordenar en forma decrecien-

te:

1 91313, .....; 31 12 22 3316

++

++

; 16 87 9

,,

Respuesta: 721319

; 16879

; 947495

39. Hallar el número que resulta de restar la mayor y la menor de las siguientes fracciones:

748

; 1356

; 19168

Respuesta: 542

40. Ordenar en forma creciente, sin efectuar las divisiones, las siguientes fracciones:

5182

; 3209

; 4135

; 7465

Respuesta: 4135

; 5182

; 7465

; 3209

41. Hallar el número que resulta de sumar la mayor y la menor de las fracciones siguientes:

730

; 1160

; 111190

Respuesta: 175228




42. Restar de la fracción 275289

los 724

de la misma, y expresar el resultado por medio de una

fracción de numerador 275.

Respuesta: 275408

43. Un automóvil recorre los 43 de su trayectoria en 24 horas. Sabiendo que su velocidad me-

dia en 41 de trayectoria es de 80 km

h y en el resto del mismo es de 120 km

h, ¿cuántas horas

tarda en el recorrido completo? Respuesta: 30,85 horas

44. En una biblioteca pública 13

de los volúmenes son de literatura infantil y los 25

de poesía.

Del resto, 711

son de historia y quedan sin clasificar 768 libros. ¿Cuántos libros hay en total?

Respuesta: 7920 45. Tres personas decidieron festejar un acontecimiento aportando en partes iguales. Uno de

ellos trajo 5 botellas de una bebida y otro 7 de la misma bebida. Al hacer las cuentas llegaron a la conclusión de que el tercero debía contribuir con G 23.040 ¿Cuál es el precio de cada bo-tella y cómo se repartieron los G 23.040 entre el primero y el segundo? Respuesta: G 5.760; G 5.760 y G 17.280

FRACCIONES DECIMALES

46. Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales, efectuar: 263 00444 0 33315

, ... . ...+ −

Respuesta: 13

47. Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales, efectuar:

2110 0444 2 333345

, ... , ...⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

Respuesta: 1024225





13 00444 0 333 130 1

, ... , ...,

× × ÷

Respuesta: 23


1 1 3 551172 9 33 5

47 4 16664 666 6

, ..., ...

, ..., ...

×−

Respuesta: 113500


5 10 060060 1 0 3111 4

12 1 2312313

, ... ,

, ...

⎛ ⎞+ + ÷⎜ ⎟⎝ ⎠

−

Respuesta: 90252202


3 50 4545 3 0 722 6

13 5 15153

, ... ,

, ...

⎛ ⎞+ + ÷⎜ ⎟⎝ ⎠

+

Respuesta: 7398


28 5 0333 1 10 222 2 37

, ..., ...

⎛ ⎞× × −⎜ ⎟⎝ ⎠

Respuesta: 15120





( )21 07888 0 333136

, ... , ...−

Respuesta: 4502412565000


( ) 90 5 0 66 0 055510

3 111 2 0666

, , ... , ...

, ... , ...

+ − ×

−

Respuesta: 4547


( ) ( )

( )

1

2

0 02 0 32 333

819

0 333 24 0 253

, ,, ...

, ...

,

− ÷ −×

−

−

−

Respuesta: 18875


...333,05,05,0...666,0

53

1411...)466,0(

411

83

+−

+÷⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +×+

+

Respuesta: 2315


3 10 222 0 2777 1 5 25 2

5 1 41 3 12 20 5

, ... , ... , ⎛ ⎞+ ÷ + × −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − ÷ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Respuesta: 7355





( )2 10 91666 3 666 44

, ... , ...+ −

Respuesta: 2 59. Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales, efectuar:

1 10 2444 0 222 13 4

3 0 153153

, ... , ...

, ...

⎛ ⎞+ + ×⎜ ⎟⎝ ⎠

+

Respuesta: 111350


( )23 00444 1 7333 0 111, ... , ... , ...+ ÷

Respuesta: 270475

REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA

61. Si 4 libros cuestan $ 20. ¿Cuántos costarán 3 docenas de libros? Respuesta: 180

62. Los 37

de la capacidad de un tanque son 8136 ℓ. Hallar la capacidad del tanque.

Respuesta: 18984 ℓ 63. Cuatro hombres hacen una obra en 12 días. ¿En cuantos días podrían hacer la obra siete

hombres?

Respuesta: 667

días

64. Diez hombres trabajando en la construcción de una obra hicieron 25

de la misma en 8 días.

Si se retiran 8 hombres, ¿cuántos días emplearan los restantes para terminar la obra? Respuesta: 60 días

65. Para embaldosar un piso de 5 m de largo y 4 m de ancho, se han empleado 3 operarios du-

rante 2 días, trabajando 10 horas diarias. ¿Cuántos operarios harán falta para embaldosar en 3 días, trabajando 8 horas diarias otro piso de 8 m de largo y 5 m de ancho? Respuesta: 5 operarios




66. Una cuadrilla de obreros emplean 14 días, trabajando 8 horas diarias en realizar cierta obra. ¿Si hubieran trabajado 1 hora menos al día, en cuántos días habrían terminado la obra? Respuesta: 16 días

67. Se han empleado 8 días para cavar una zanja. Si la dificultad de otro terreno guarda con la

dificultad del anterior la relación de 4 a 3. ¿Cuántos días llevará cavar una zanja igual en el nuevo terreno?

Respuesta: 2103

días

68. Una cuadrilla de 15 hombres se compromete terminar en 14 días cierta obra. Al cabo de

9 días solo han hecho los 37

de la obra. ¿Con cuántos hombres tendrán que ser reforzados pa-

ra terminar la obra en el tiempo fijado? Respuesta: 21 hombres

69. Un grupo de 1800 hombres tienen víveres para 230 días. Después de 52 días recibe un re-

fuerzo de 336 hombres. ¿Cuántos días alcanzarán los víveres dándose siempre la misma ra-ción a cada hombre? Respuesta: 150 días

70. Doce obreros se comprometieron a hacer una obra en 15 días y cuando habían hecho la mi-

tad, abandonaron el trabajo 3 de ellos. ¿En cuantos días más de los calculados, se terminó la obra?

Respuesta: 122

días

71. Un buque partió con 160 hombres, llevando víveres para 40 días. Después de 15 días de

navegación se incorporaron 40 hombres más. ¿Cuántos días más duraron lo víveres, si se dio ración compartida a cada uno de los hombres? Respuesta: 20 días

72. Un libro tiene 210 paginas de 35 líneas cada una y 60 letras cada línea. Se lo quiere reim-

primir con menor formato de 300 páginas con 30 líneas cada página. ¿Cuántas letras tendrá cada línea? Respuesta: 49 letras




73. Trabajando 11 horas diarias durante 20 días, 7 obreros han hecho un trabajo cuya dificultad esta representada por 7 y la actividad de los trabajadores por 9. ¿Cuántos días necesitarán pa-

ra hacer los 54

del trabajo 12 obreros, si su actividad está representada por 11 y la dificultad

por 8, trabajando 10 horas diarias? Respuesta: 15 días

74. Treinta y tres hombres se comprometieron a realizar una obra en 12 días. Después de 9 días

de trabajo solo realizaron los 311

de la obra, razón por la cual se incorporan al grupo 39 obre-

ros. ¿Cuántos días más de los que aún disponen, serán necesarios para terminar el trabajo? Respuesta: 8 días

75. Se emplean 12 obreros para hacer un trabajo y al cabo de 15 días han hecho la tercera parte

de la obra. ¿Cuántos obreros más, son necesarios incorporar para completar la obra en 8 días? Respuesta: 33 obreros

76. Cincuenta hombres tienen provisiones para 20 días, a razón de 3 razones diarias. Si las ra-

ciones diarias se disminuyen a 13

de la original y se aumentan 10 hombres, ¿cuántos días du-

rarán los víveres? Respuesta: 25 días

77. Un grupo de 1600 hombres deben realizar una determinada obra y tienen víveres para

10 días, a razón de 3 raciones diarias para cada hombre. Si se aumenta el grupo con 400 hom-bres, calcular la ración diaria para cada uno, teniendo en cuenta que se necesitan 12 días para terminar la obra. Respuesta: 2 raciones

78. Una guarnición de 3000 hombres tienen víveres para 70 días. Al terminar el día 29, salen

950 hombres de la guarnición. ¿Cuánto tiempo durarán las provisiones que quedan, al resto de la guarnición? Respuesta: 60 días

79. Treinta obreros se comprometen a hacer una obra en 16 días. Al cabo de 9 días solo han

hecho los 311

de la obra. Si el capataz refuerza la cuadrilla con 42 obreros más, ¿podrán ter-

minar la obra en el tiempo fijado? Si no es posible, ¿cuántos días más necesitarán? Respuesta: no; 3 días más




80. Se emplean 12 obreros durante 5 días, trabajando 4 horas diarias para cavar una zanja de 240 m3. ¿Cuántos días necesitaran 6 obreros, trabajando 3 horas diarias, para cavar otra zanja de 360 m3 en un terreno de triple dificultad? Respuesta: 60 días

81. Cuarenta y cinco obreros se comprometen a terminar una obra en 18 días. Si a los 10 días

realizaron solo 917

de la obra, determinar el número adicional de obreros necesarios para ter-

minar el trabajo en el tiempo comprometido. Respuesta: 5 obreros

82. Una obra fue construida por tres cuadrillas de obreros. La primera que estaba compuesta

por 10 hombres, trabajó 6 días, a razón de 8 horas diarias; la segunda de 9 hombres, trabajó 5 días a razón de 6 horas diarias y la tercera de 7 hombres, trabajó 3 días a razón de 5 horas diarias. Si la obra costó en total G 4.275.000 ¿Cuántos guaraníes correspondió a cada cuadri-lla? Respuesta: G 2.400.000; G 1.350.000; G 525.000

83. Ocho hombres se comprometieron a realizar una obra en 18 días. Trabajaron 6 días a razón de 6 horas diarias. Entonces se les pidió que acabaran la obra 4 días antes del plazo fijado ini-cialmente. Se colocaron más obreros, trabajando todos, 8 horas diarias y terminaron la obra en el plazo pedido. ¿Cuántos obreros se aumentaron? Respuesta: 1 obrero

84. Ocho obreros se comprometen a realizar una obra en 28 días. Después de 6 días de trabajo

se incorporan al grupo 3 obreros más y trabajan todos hasta terminar la obra. Calcular la du-ración total de la obra. Respuesta: 22 días

TANTO POR CIENTO

85. ¿De qué número es 7 el 1122

%?

Respuesta: 56 86. ¿Qué % de 315 es 945?

Respuesta: 300%

87. ¿De qué número es 135,73 el 1320

% menos?

Respuesta: 140




88. ¿Qué % de 5,6 es 0,007?

Respuesta: 18

%

89. Obtener el 15

% del resultado de efectuar:

0 3 5 0 067 0 4 0 14, ,

, ,× ÷

Respuesta: 1400

90. Obtener el 57% del resultado de efectuar:

50 0555 0 1116 2 333136

, ... , ..., ...

+ −+

Respuesta: 147100

91. Obtener el 47% del resultado de efectuar:

0 5 0 66 0 05553 111 2 0666

, , ... , ..., ... , ...+ +

−

Respuesta: 1120

92. La diferencia entre el 60% y 45% de un número es 126. Hallar el número.

Respuesta: 840 93. Vendí dos terrenos en G 8.400.000 cada uno. En uno gane el 20% del precio de venta y en

el otro perdí el 4% del costo. ¿Cuánto gané o perdí en total? Respuesta: gané G 1.330.000

94. Un hombre dispone de su fortuna, que asciende a G 200.000.000, se entregue el 35% de la

misma a su hijo mayor; el 40% del resto a su hermano menor y el saldo a un hospital. Calcu-lar la parte correspondiente al hospital. Respuesta: G 78.000.000

95. Vendí dos automóviles a G 72.000.000 cada uno. En uno perdí el 25% del precio de venta y

en el otro gane el 25% del costo. ¿Cuánto gané o perdí en total? Respuesta: perdí G 3.600.000




96. Calcular el capital mayor que resultó de repartir un capital de G 1.628.419 entre dos perso-nas, sabiendo que una de ellas recibió 29% más que la otra. Respuesta: G 917.319

97. Repartir G 39.650.000 entre 3 personas de modo que a la segunda le corresponda 5% me-

nos que a la primera y a la tercera 10% más que a la primera. Respuesta: G 13.000.000; G 12.350.000; G 14.300.000

98. Vendí una casa en G 38.400.000 ganando 28% del costo de la misma. ¿Qué porcentaje del

costo hubiera ganado si lo hubiese vendido en G 37.500.000? Respuesta: 25%

99. Compre un articulo con un descuento del 10% sobre el costo y lo vendí con un beneficio

del 10% sobre dicho costo. ¿Qué porcentaje sobre el precio que he pagado gané?

Respuesta: 9222

100. Una persona que tenía G 95.000 gastó el 14% de ese capital y prestó el 15% del resto. ¿Cuánto le queda? Respuesta: G 69.445

101. Un capital del G 1.842.000 se repartió entre dos personas. Una de ellas recibió 1304

% más

que la otra. ¿Cuánto recibió la persona a la que correspondió la suma mayor? Respuesta: G 1.042.000

102. Vendí un televisor en G 792.000, perdiendo el 12% del costo. ¿En cuánto habría tenido que

venderlo para ganar el 8% del costo? Respuesta: G 972.000

103. La cuota de un prestigioso colegio aumenta 5% cada año. Hace 6 años la cuota era de G 120.000. ¿Cuál es la diferencia de la cuota actual comparada con la de hace 3 años? Respuesta: aproximadamente G 21.896

104. Un comerciante compra un artículo con un descuento del 30% del precio de lista y lo vende a 5% más que el precio de lista. ¿Cuál es su ganancia sobre el precio que pagó por el artículo?

Respuesta: 50% del precio de compra 105. Juan y Maria venden una propiedad, ganando un 25% del precio de costo. Juan por la com-

pra puso un 36% más que Maria. Si el precio de venta fue de G 50.150.000. ¿Cuánto aportó cada uno en la compra? Respuesta: Maria aportó G 17.000.000 y Juan G 23.120.000




REPARTICIÓN PROPORCIONAL

106. Descomponer el número 11563 en tres sumando que sean directamente proporcionales a los

cuadrados de 23

; 56

; 19

.

Respuesta: 4464; 6975; 124 107. Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales, descomponer el número

35255 en partes directamente proporcionales a los cuadrados de 0,5; 0,666.... y 0,1333.... Respuesta: 12375; 22000; 880

108. Tres personas forman una empresa. El señor A pone G 20.000.000. Los señores B y C po-

nen el local, que pertenece 30% al señor B y 70% al señor C. El señor B, además de su parte pone G 10.000.000. Sabiendo que al señor A y C obtienen la misma ganancia. ¿Cuánto le co-rresponde al señor B, si tienen que repartirse proporcionalmente a lo que invirtieron, una ga-nancia de G 6.970.000? Respuesta: G 2.210.000

109. Repartir $ 1.900 entre tres personas, de tal modo que la parte que recibe la segunda sea el

triple de la parte que recibe la primera y sea el cuádruplo de la parte que recibe la tercera. Respuesta: 1ª $ 400; 2a $ 1200; 3a $ 300

110. Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales, dividir el número 4730 en

partes directamente proporcionales a 0,7272.... y 0,25. Respuesta: 1210; 3520

111. Los sueldos de tres obreros son G 24.000, G 18.000 y G 9.000, respectivamente. El patrón

ha dispuesto repartir proporcionalmente a sus sueldos un premio de G 229.500. ¿Qué parte de este premio le corresponde a cada uno? Respuesta: G 108.000; G 81.000; G 40.500

112. Tres obreros se reparten un premio proporcionalmente a sus sueldos, recibiendo G 4.000;

G 5.000 y G 6.000 respectivamente cada uno. Si el sueldo del obrero mejor pagado es G 30.000. ¿Cuáles son los sueldos de los otro dos? Respuesta: G 20.000; G 25.000

113. Partir el número 490 en tres partes, tales que cada una de ellas sea los 35

del anterior. ¿Cuá-

les son esas partes? Respuesta: 250; 150; 90




114. Entre tres obreros se han repartido G 343.750 en partes proporcionales a sus jornales. ¿Cuá-les eran estos jornales, sabiendo que al primero le ha correspondido en el reparto G 96.250 y al tercero G 137.500 y que la suma de los jornales de los tres obreros es igual a G 31.250? Respuesta: G 8.750; G 10.000; G 12.500

115. Se ha repartido cierta suma de dinero proporcionalmente a los números 5; 7 y 11. La prime-

ra parte es de G 1.368.000. Hallar las otras dos y la suma repartida Respuesta: G 1.915.200; G 3.009.600; G 6.292.800

116. Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales, repartir G 53.000 en partes

inversamente proporcionales a 0,666....; 11 y 1,222..... Respuesta: G 33.000; G 2.000; G 18.000

117. Dividir el número 467 en parte inversamente proporcionales a los cuadrados de 5; 12

y 3.

Respuesta: 92

; 450; 252

118. Determinar cual es el 1202

% del capital mayor que resulta de repartir la suma de G 34.920

en partes inversamente proporcionales a los números 0,4545...... y 0,13333..... Respuesta: G 5.535

119. Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales, repartir 459 en partes inver-

samente proporcionales a los cuadrados de 0,666..... y 1,0333..... Respuesta: 324,1; 134,9

120. Repartir G 32.000 en dos partes que sean a la vez directamente proporcionales a 2 y 4 e in-

versamente proporcionales a 5 y 6. Respuesta: G 12.000; G 20.000

121. Descomponer 56

en tres sumandos que sean directamente proporcionales a 12

; 16

; 14

e in-

versamente proporcionales a 15

; 18

; 13

.

Respuesta: 511

; 833

; 322

122. Se reparten $ 26 entre dos niños de 3 y 4 años, respectivamente, en partes proporcionales a sus edades e inversamente proporcionales a sus faltas. El niño de 3 años tiene 6 faltas y el de 4 años 5 faltas. ¿Cuánto debe recibir cada niño? Respuesta: $ 10; $ 16




123. Se han comprado dos automóviles por $ 3.400 y se han pagado en razón directa a la veloci-dad que pueden desarrollar, que es proporcional a los números 60 y 70 e inversamente pro-porcional a su tiempo de servicio, 3 y 5 años, respectivamente. ¿Cuánto se ha pagado por ca-da automóvil? Respuesta: $ 2.000; $ 1.400

124. Tres cuadrillas de obreros han realizado un trabajo por el cual se ha pagado $ 516. La pri-

mera cuadrilla de 10 hombres trabajó durante 12 días; la segunda de 6 hombres trabajó 8 días y la tercera de 5 hombres trabajó 18 días. ¿Cuánto debe recibir cada cuadrilla? Respuesta: $ 240; $ 96; $ 180

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

125. El cociente de una división exacta es 2 m2 49 dm2 62 cm2 y el dividendo es 1 m3 123 dm3 290 cm3. Hallar el divisor. Respuesta: 45 cm

126. Hallar la raíz cúbica de 8 dm3 120 cm3 601 mm3.

Respuesta: 201 mm 127. Multiplicar 4 hm2 3 dam2 8 m2 por 5 m 7 dm y expresar el resultado en dm3.

Respuesta: 229.755.600 dm3 128. Al dividir 4 m3 585 dm3 194 cm3 por otro número resulta como cociente 3 m 4 dm 2 cm.

Hallar el divisor. Respuesta: 13.407 cm2

129. Hallar en cm, el 10% de la diferencia entre los 58

de 0,7412 km y los 45

de 28310 m.

Respuesta: 221,8475 cm 130. La longitud de la circunferencia de la rueda de un automóvil mide 0,1 dam 0,5 dm 80 cm.

Calcular el número de vueltas que realiza para recorrer una distancia de 127,65 km. Respuesta: 69000 vueltas

131. Una rueda de automóvil recorre una distancia de 2,9 km 80 m 8 dm al dar 920 vueltas. Cal-

cular la longitud en metros de la circunferencia de la rueda. Respuesta: 3,24 m




132. De los tres cuartos de 9 m3 7 dm3 144 cm3 restar los 29

de 17 m3 512 dm3 38 cm3 y expresar

el resultado en dm3. Respuesta: 2863,8 dm3

133. Si el producto de dos factores es 8 m3 82 dm3 174 cm3 y uno de ellos es 2 m 3 dm 7 cm, de-

terminar el otro factor, expresando el resultado en números complejos. Respuesta: 3 m2 41 dm2 2 cm2

134. Un depósito de 0,009 dam3 esta lleno hasta las tres cuartas partes de su capacidad. ¿En

cuanto tiempo lo llenará una canilla que vierte 50 ℓ de agua por minuto? Respuesta: 45 minutos

135. Expresar en km la diferencia de las longitudes de dos alambres, sabiendo que uno de ellos

mide 47 hm 354 dam 54 m y el otro 236 dam 8 m 140 dm. Respuesta: 5,912 km

136. Un campo de 15 hm2 25 dam2 200 m2, sembrado con papas, produce una cosecha de 50 bol-

sas por dam2. Si la bolsa de papas cuesta G 3.000, ¿cuánto recaudará por toda la cosecha? Respuesta: G 229.050.000

137. Una persona compro un campo de 17 hm2 32 dam2 500 m2 a razón de G 1.545.000 el hm2 y

lo vendió a G 1.500 el m2. Calcular la ganancia obtenida. Respuesta: G 233.713.350

138. Hallar en hℓ, la suma de 5 kℓ 7 hℓ 3 daℓ 5 dℓ y 2 m3 9 dm3 734 cm3.

Respuesta: 77,40234 hℓ 139. Hallar en dm3, la diferencia entre 1 kℓ 1 hℓ 1 daℓ 1 ℓ 1 dℓ y 999 dm3 999 cm3.

Respuesta: 111,101 dm3 140. Si el producto de dos factores es 47 m3 84 dm3 123 cm3 200 mm3 y uno de ellos es

2 m 3 dm 8 mm. ¿Cuál es el otro factor? Respuesta: 20 m2 40 dm2 4 cm2

141. Para llenar una pileta de 23,6 m2 15,02 dm2 8 cm2 de superficie por 1 m 9,4 dm 3 cm de pro-

fundidad se disponen de dos grifos. El primero vierte 3 kℓ 1 hℓ 1,9 daℓ 298 mℓ por hora, y el segundo 6 kℓ 2 hℓ 38 daℓ 596 mℓ por hora. ¿En cuántas horas llenarán la pileta, si se abren simultáneamente los dos grifos? Respuesta: 4,82 horas




142. Una botella vacía pesa 425 gf y llena de agua pesa 1175 gf. Se desea saber cuantas botellas iguales a aquellas podrán llenarse con el contenido de un barril de 2 hℓ 25 ℓ. Respuesta: 300 botellas

CASOS DE FACTOREO

143. Factorizar: 2 2m n m n m n n mx y x y x y+ +− −

Respuesta: ( )mnnmmn yyxxyx −−

144. Factorizar: 1 1 2n n n nax bx bx ax+ − −+ − − Respuesta: ( )21 −− −−+ axbxbaxxn

145. Factorizar:

31 26 21 23 26 15 40 21 19 34 21 17 38 23 1672 24 84 18 120r s t r s t r s t r s t r s t+ − − + Respuesta: ( )2152114175658152123 203144126 tsrtrtrstsrtsr +−−+

146. Factorizar: ( )( ) ( ) ( )( )3 2 3 2 1 3 2x x y z x x y x+ + − − + − + − +

Respuesta: ( )23 +− xz

147. Factorizar: ( ) ( ) ( )3 4 32 2 2 2 4 4 2 24 4 4z zy y z zy y z y z zy y+ + − + + + + +

Respuesta: ( ) ( )42456322 414 yyzyzzyzyz +−−−++

148. Factorizar: 2 3 4 2 3 2 4 2 2 3 43 3a b n a b x n x a b x n x− + − − + Respuesta: ( )( )132432 +−− xxnba

149. Factorizar: 2 2 2 1am an a m n− + − + − Respuesta: ( ) ( )( )121 −+− anm

150. Factorizar: ( ) ( ) ( )ac a c ab a b bc b c+ + − − +

Respuesta: ( )( )( )cacbba ++−

151. Factorizar: ( ) ( ) ( )1 1xy a xy a x y x y+ − + + + − +

Respuesta: ( )( )( )111 −−− xya




152. Factorizar: 1 ab ax bx a b x abx+ + + + + + + Respuesta: ( )( )( )111 +++ bax

153. Factorizar: 2 2 2 4 424 144a am x m x− + Respuesta: ( )22212 xma −

154. Factorizar: 10 5400 40 1x x− +

Respuesta: ( )25 120 +x

155. Factorizar: 10 4 5 6 8 12100 60 9x a x y a y− +

Respuesta: ( )2645 310 yax −

156. Factorizar: ( ) ( )( ) ( )2 29 12 4x y x y x y x y− + − + + +

Respuesta: ( )25 yx −

157. Factorizar: ( ) ( )2 6 9m n m n− + − +

Respuesta: ( )23+− nm

158. Factorizar: 2 2 2 24 9a x b y−

Respuesta: ( )( )byaxbyax 3232 +−

159. Factorizar: ( ) ( )22 2 2 2 24 ad bc a b c d+ − − − +

Respuesta: ( )( )( )( )cdbabdcadcbaadcb −++−++−++−++

160. Factorizar: 16 16a b− Respuesta: ( )( )( )( )( )884422 bababababa ++++−

161. Factorizar: ( ) ( )2 22 2 2 2a ab b a ab b+ + − − +

Respuesta: ( )224 baab +

162. Factorizar: 2 2 22bc b c a+ + − Respuesta: ( )( )cbaacb ++−+




163. Factorizar: 4 8 2 4 8 1681 292 256a b a b x x− + Respuesta: ( )( )8424284242 16291629 xxabbaxxabba −+−−

164. Factorizar: 8 4 2 2 4 449 75 196c c m n m n+ + Respuesta: ( )( )22242224 1411714117 nmmnccnmmncc +++−

165. Factorizar: 84 625x+ Respuesta: ( )( )2102521025 2424 +++− xxxx

166. Factorizar: 5 33 3 3a a a+ + Respuesta: ( )( )113 22 +++− aaaaa

167. Factorizar: 2 8 1008m m− − Respuesta: ( )( )2836 +− mm

168. Factorizar: 2 2 2 256m abcm a b c+ − Respuesta: ( )( )abcmabcm 78 −+

169. Factorizar: 8 4 2x x+ − Respuesta: ( )( )( )( )1112 24 +−++ xxxx

170. Factorizar: 8 4 6x x+ − Respuesta: ( )( )23 44 −+ xx

171. Factorizar: ( ) ( )22 22 2 2 3a a a a+ − + −

Respuesta: ( )( )( )2113 +−+ aaa

172. Factorizar: ( ) ( )22 27 24 7 128x x+ +

Respuesta: ( )( )87167 22 ++ xx

173. Factorizar: 24 4 3x x− + + Respuesta: ( )( )123 +−− xx




174. Factorizar: 2 221 29 72x xy y− −

Respuesta: ( )( )yxyx 9783 +−

175. Factorizar: 2 33 18x x x− − Respuesta: ( )( )1613 −+− xxx

176. Factorizar: 4 216 25 9m m− + Respuesta: ( )( )3434 22 −+−− mmmm

177. Factorizar: 6 37 33 10x x− − Respuesta: ( )( )275 33 +− xx

178. Factorizar: 3 2 2 2 3 33 3m a mn am n a n+ − −

Respuesta: ( )3anm −

179. Factorizar: 9 12 6 4 3 864 125 240 300x y x y x y− − +

Respuesta: ( )343 54 yx −

180. Factorizar: 12 8 5 4 10 15125 600 960 512x x y x y y+ + +

Respuesta: ( )254 85 yx +

181. Factorizar: 6 927 343m n+ Respuesta: ( )( )632432 4921973 nnmmnm +−+

182. Factorizar: ( )364 125m n+ −

Respuesta: ( ) ( ) ( )[ ]252016544 2 ++++−+ nmnmnm

183. Factorizar: 6 729m − Respuesta: ( )( )( )( )939333 22 +++−+− mmmmmm

184. Factorizar: 6 2 2 6a x x a x x− + − Respuesta: ( )( )( )( )( )11111 22 +++−+−+ aaaaaaxx




185. Factorizar: 2 3 3 2a b b a ab− − + Respuesta: ( )( )2baba −+−

186. Factorizar: ( ) ( )3 1 3 1a x ax x+ + +

Respuesta: ( )31+xa

187. Factorizar: 10 532x y+

Respuesta: ( )( )43224682 168422 yyxyxyxxyx +−+−+

188. Factorizar: 7 7 7m a x− Respuesta: ( )( )665524433342256 xamxamxamxamxaaxmmaxm ++++++−

189. Factorizar: 6a a+ Respuesta: ( )( )11 234 +++++ aaaaaa

190. Factorizar: ( ) ( )2 21 ab a b+ − +

Respuesta: ( )( )( )( )1111 −+−+ bbaa

191. Factorizar: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2a b c d ab c d cd a b− − + − + +

Respuesta: ( )( )2222 dcba ++

192. Factorizar: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a c m a d m a c n a d n b c m b d m b c n b d n− − + − + + −

Respuesta: ( )( )( )( )( )( )nmdcbanmdcba −−−+++

193. Factorizar: ( ) ( ) ( )2 2 2a b c b c a c a b− + + − +

Respuesta: ( )( )( )cabacb ++−

194. Factorizar: ( ) ( ) ( )4 2 2 4 2 2 4 2 2a b c b c a c a b− + − + −

Respuesta: ( )( )( )( )( )( )cacababacbcb +−+−+−

195. Factorizar: 6 4 23 75 48 1200x x x− − + Respuesta: ( )( )( )( )( )422553 2 ++−+− xxxxx




196. Factorizar: 2 2n n n na b a b+ +

Respuesta: ( )( )nnnnnnnn bbaabbaa +++−

197. Factorizar: 4 24 2 1x x x− + − Respuesta: ( )( )( )12112 2 +−+− xxxx

198. Factorizar: ( ) ( ) 2 2m n n m n m m na b a a b b b a− + − + −

Respuesta: ( )( )nmnmmn bbaaba −+−+

199. Factorizar: 2 2 2 22 2 2 2 2 2x xy xz xw y yz yw z zw w− + − + − + + − +

Respuesta: ( )2wzyx −+− 200. Factorizar: 3669 24 +− xx

Respuesta: ( )( )xxxx 9696 22 ++−+ 201. Factorizar: yxayxyayxxax 2352333437 22 −−+++

Respuesta: ( )( ) ( )222 yxaxax −−+

202. Factorizar: ( )( )32 42 −−x

Respuesta: ( )33 4−xx

203. Factorizar: 2224 1 xyyx +−−

Respuesta: ( )( )( )22 111 yxxx ++−+

204. Factorizar: 8277 22 −−−++ xyyyxx

Respuesta: ( )( )18 −−+− yxyx

205. Factorizar: 222222 181822 aaxyayax +−−

Respuesta: ( ) ( )( )3322 −+− yyaax

206. Factorizar: 54233245 3223 xyxyxyxxyy −−−++

Respuesta: ( )( )4xyxy +−




207. Factorizar: 2222 48461036 yyxxyxyyxx −−−+++

Respuesta: ( )( )( )2322 −++ xyyx

FRACCIONES ALGEBRAICAS: SIMPLIFICACIÓN – SUMA – RESTA – MULTI-PLICACIÓN – DIVISIÓN

208. Simplificar:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2

4 2 2 4 2 2 4 2 2

a b c b c a c a ba b c b c a c a b

− + − + −

− + − + −

Respuesta: ( )( )( )

1a b b c c a+ + +

209. Simplificar:

( )( ) ( )

2

3 2

11

x b x bx b c x bc b c x bc

− − −− + − + − − +

Respuesta: 1x c−

210. Simplificar:

( )( )( ) ( )( )( )( )( )

2 2 2

2 2 2

1 1 1

1 1

a b c a bc b ca c ab

a b c abc

+ + + − + + +

+ + + +

Respuesta: 11

abcabc

−+

211. Simplificar:

( ) ( )( ) ( )

3 2 2 2

3 2 2 2

2 2

2 2

x a b x a ab x a b

x a b x ab b x ab

+ + + + +

+ + + + +

Respuesta: a xb x++

212. Simplificar:

( ) ( )( )

2 2

2 2 2

4ab x y xy a b abxya axy b x by b xy+ + + −

+ − −

Respuesta: ax byax by

+−




213. Simplificar:

( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1

a a b a c b b a b c c c a c b+ +

− − − − − −

Respuesta: 1abc

214. Simplificar:

2

3 22 2 1

1x x x

x x x− +

−− −

Respuesta: ( )

11

xx x

−+

215. Simplificar:

( )( )( )

( )( )( )

2 2 2 2 2 2 2 22 2

2 2 2 2 2 2 2 2

y b z b y c z cy zb c b b c c b c

− − − −+ −

− −

Respuesta: 1 216. Simplificar:

3

2 2 2 2 4 41 2b a a

a b a b a b a b+ − +

+ − + −

Respuesta: 2 22a

a b−

217. Simplificar:

22 2 2 15

2 3 3 2 4 9a

a a a+

− −− + −

Respuesta: 13 2a−

218. Simplificar:

23 1 10

2 4 2 2 8x

x x x+

− −− + −


3 2

2 32a b a a a b

b a b a b b− +

+ −− −

Respuesta: ba b−




220. Simplificar: 2 2

2 21 1 1 1 21 1 1 1

x x x x x xx x x x

+ − − + + ++ − − +

− + + −

Respuesta: ( )2 3

4

2 1

1

x x

x

+ −

−

221. Simplificar:

( )( )

( )( )

22 3 4 12 132 1 2 1 2 1

m mmm m m m m

− +−+ +

− − −


2 2 2

2 2 4 42 4a a a a b

a b a b a b a b+ + +

− + + −

Respuesta: 2

2 24a

a b−

223. Simplificar:

( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1

a b a c b a b c c a c b+ +

− − − − − −


( )( ) ( )( ) ( )( )a b b c c a

c a c b a b a c b a b c+ + +

+ +− − − − − −


( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2a bc b ac c ab

a b a c b c b a c a c b− − −

+ ++ + + + + +


( )( ) ( )( ) ( )( )3 3 3a b c


− − − − − −

Respuesta: a b c+ +




227. Simplificar:

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )1 1 1

a b a c x a a b b c x b a c b c x c− +

− − + − − + − − +

Respuesta: ( )( )( )cxbxax +++1

228. Simplificar:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2a b b c a ca b c b c a c a b

ab bc ac+ + +

+ − + + − + + −

Respuesta: a b c+ + 229. Simplificar:

( )( ) ( )( ) ( )( )ab ac bc

b c c a a b b c a b a c+ −

− − − − − −

Respuesta: 1− 230. Simplificar:

( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 a b b c a c

a b b c c a b c a c a b c a a b b c− − −

+ + − + −− − − − − − − − −


2 2 2

2 2 2 2

22 2 3

23

b a ca b a b aab a b a

a b ca b bbb a

⎛ ⎞− +⎛ ⎞⎛ ⎞ ++ + + − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠÷

⎛ ⎞− +⎛ ⎞ +− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Respuesta: ab

232. Simplificar:

1

1 1 1

a b a bb a a b

a ba b a b

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−×⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Respuesta: ( )a b− +




233. Simplificar:

( ) ( )( )( )

( )( )

2 2 22 2

3 2 2

236

a ya ya x x ya y x ya xa y

−++ −× × ×

− +−+

Respuesta: x ya x−−

234. Simplificar:

( )( )

2x a

ax a x ax a x x a

ax a x a x a

+− + +

+− −− + −


2 12

2 3 3

ba b c c caa b a b a b a b a b aa b a b c c c

a b a b b a a b a b a b

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤+− −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠+ − + + +⎢ ⎥+ ÷ − +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + −⎢ ⎥+ − + + +⎣ ⎦⎣ ⎦

Respuesta: 1a

236. Simplificar:

( )( )

2 22

2 2

2 2 2

2 2

a b a ba ba b a b

a b a b a ba b a b

+ +× +− − ×

+ − −×− −

Respuesta: ( )( )

3

3

a ba b+

−

237. Simplificar:

( )22 2

2 2 2

2 32 2 1 1 11 1 2 2 2 2 1

aa a a aa a a a a

⎡ ⎤− −⎡ ⎤+ + + −− − +⎢ ⎥⎢ ⎥− − − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Respuesta: ( )

2

21

1aa

+

+




238. Simplificar:

( )( ) 2 2 21 1 1

2 3 2 5 6 2 3x

x x x x x x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤÷ + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − + − −⎣ ⎦⎣ ⎦

Respuesta: 1x + 239. Simplificar:

( )2

2 2

1 1 11 11 2

211

aaa a

a a aaa

× × +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + ÷ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ +

−

Respuesta: a 240. Simplificar:

( ) ( )4

3 22 2

2

42 2

bb a baa b ba a b

⎡ ⎤− ⎡ ⎤⎢ ⎥ −

− + − ÷ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥⎣ ⎦

Respuesta: ( )2b a b−

241. Simplificar:

2 22 2

2 2

2 22 2 2 2

1 1 1 1

1 11 1 1 1

a ab aa b a b a b a b

a b a ba b a ba b a b

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + × × ÷ + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦− ++⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ −⎣ ⎦

Respuesta: 2 2

4 4a b

a b+

242. Simplificar:

( )

( ) ( )

6 3 3

2 4 3 3 1

aa b c ab c a c abb

ab a c a ab a b c c

⎡ ⎤− − ÷ + −⎣ ⎦

⎡ ⎤− + − +⎣ ⎦

Respuesta: 1a




243. Simplificar: ( )( )( )( )

( )( )( )( )2 22 2 2 2

1 11 2a b b a b ba b b aa b a b a b a b

+ − − −+ − +

+ −− + + +

Respuesta: 1a b−

244. Simplificar:

( )2 2

8 43 2 3 2 1 16 562 2 2 4 4

a a a aa a a a a a a

−+ − −+ − + + +

− + + − −


( ) ( )2

2 22

2 2 2

ab aba ba b a b

a b a b b a ba b a b a b b

⎛ ⎞⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞+ − −⎛ ⎞− + ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + − ⎝ ⎠⎝ ⎠

Respuesta: 2 2

2 2a b

a b−

246. Simplificar:

2 2 2 3

3 3 3 3 2 22 21 1a ab a ab b a ab

a b a b a b a ab b⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + ⎛ ⎞× + − × −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + + + +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Respuesta: 2a ba b−+

247. Simplificar:

3 3

2 2 2 2

4

1 1 1 1

1 1

2 2

a bb a

a b b aa bb a b a

a b a ba b

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

+ −×

− −

+ −×

Respuesta: 2 2a ba b++




248. Simplificar: ( )( )( )( )( )( )a b b c a ca b b c a c

a b b c a c a b b c a c− − −− − −

+ − −+ + + + + +


( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

2 2 22 2a b a c b c a b cb c c a a b b c a b a c a c b c c a

+ + + + −+ − −

− − − − − − − − −

Respuesta: ( )( )( )

2 b ca b a c

+− −

250. Simplificar:

( )( ) ( )( ) ( )( )a b c


− − − − − −


( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2a b c


− − − − − −


( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2a b c b c a c a b

a b a c b a b c c a c b+ + + + + +

+ +− − − − − −


( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

2 2 2 2 2 2b c x a c a x b a b x c

c a a b a b b c c a b c

+ + + + + ++ +

− − − − − −


( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 2 2 2a b a c b c

a c b c a b c b b a c a+ +

− − − − − −

Respuesta: ab ac bc+ +




255. Simplificar: ( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

a x b x b x c x c x a xa c b c b a c a c b a b− − − − − −

+ +− − − − − −


2 2

2 2 2 25 6 55 3

1 11a a a a ab ab b b ab b

⎛ ⎞− + − +÷ ×⎜ ⎟+ − +⎝ ⎠

Respuesta: ( )13

b bb−+

257. Simplificar:

( ) ( )( ) ( )11 121 1 1 2 2 2a a a a−− −− − + − + −

Respuesta: 11a −

258. Simplificar:

2 2 21 1 1

a ac ab bc ab ac b bc ab ac bc c− +

− − + − − + − − +


3 2 2 2 2 2

3 3 2 3 32 4

8a ab a ab b a ab ba b a ab a b− − + + +

× ÷+ − −

Respuesta: 2a b− 260. Simplificar:

( ) ( ) ( )( ) 11 1 2 23 1 3 1 1 1a a a a a−− −⎡ ⎤+ − − ÷ + −⎣ ⎦


( )( )3 2

2 2 3 3 3 3

2 2 1 1a a b a b a bb a b a b aa b a b

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟− + − ⎝ ⎠⎝ ⎠

Respuesta: 0




262. Simplificar: 3 2 52 2 3 1 2

1 3 2 3 2 12 4 2c d a c c da b b d a b

− − − −

− − − − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −÷⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Respuesta: 2

54cad

263. Simplificar:

( )( ) ( )1 13 3n n n n n n n na b a b a b a b− −⎡ ⎤− − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

Respuesta: n na b+ 264. Simplificar:

22 2 22

2 21 2

2 2 1 1a b a b a a

a a

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− ÷ +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Respuesta: ab 265. Simplificar:

( )2

3 2 3

2 12 1 3 11 1 1 1

a aa aa a a a a⎡ ⎤+ −

+ + ÷⎢ ⎥− − + + −⎣ ⎦


( )2 1 2

13 31

n nn

n na a b a ba a b

+−

+

⎛ ⎞−− ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Respuesta: 2 2

2 2a b

a ab b+

+ +

267. Simplificar:

( ) ( )( ) ( )

1a a c b c b b cc a c b a b a b

−+ + − +⎛ ⎞÷⎜ ⎟+ + − +⎝ ⎠


( )2 2 2 2 a b ca b c bca b c+ −⎛ ⎞− − + ÷⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

Respuesta: ( )2 2a c b+ −




FACTORIAL – BINOMIO DE NEWTON

269. Simplificar:

!4!5!9+


( )( )2!

!3+

+mm

m

Respuesta: 342 ++ mm 271. Simplificar:

( )( )!2

!1:!!

−+

nm

nm

Respuesta: ( )( )111

+− mnn

272. Obtener el valor de m en la siguiente expresión: ( )

( ) 41

!!1!1!=

−+−−

mmmm

Respuesta: 2 273. Obtener el valor de m en la siguiente expresión:

( ) ( ) ( )( ) 4

177!1

!12!2!

!!2=

−−+−

+−+

mmm

mmm

Respuesta: 5

274. Desarrollar el binomio:

( )422 xx −

Respuesta: 87654 8243216 xxxxx +−+−




275. Desarrollar el binomio: 6

25

2x

x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

Respuesta: 1296336

156252

187504

93752

62516375

1615

64−−−− ++++++ xxxxxx

276. Sin desarrollar el binomio, calcular el quinto término del desarrollo de:

1025 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

x

Respuesta: 26105,52 −⋅ x 277. Sin desarrollar el binomio, hallar el termino central del desarrollo de :

142

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

yy

x

Respuesta: 14

16429 x−

278. Determinar el valor de k de modo que en el desarrollo del binomio ( )1222 kk x+ se verifique

que 25

7

1514

T xT

−=

Respuesta: 21

279. Dado el binomio n

xx

32 35 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − , encontrar el menor valor de n para que exista un término in-

dependiente; hallar el lugar que ocupa y cuánto vale dicho término. Respuesta: 1=n ; tercer término; 135

280. Sabiendo que en el desarrollo del binomio n

xx

52

313 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − en el término que ocupa el tercer

lugar el exponente de la x es 14, hallar n y el tercer término. Respuesta: 14

3 32805;2 xTn ==




281. Sabiendo que en el desarrollo del binomio n

xx

22

21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − el término de mayor coeficiente bi-

nomial ocupa el 7º lugar, determinar dicho término.

Respuesta: 67 16

231 xT =

282. En el desarrollo del binomio 93 3

5 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

xx determinar el termino independiente y el termino

con 6x . Respuesta: No existe término independiente. El séptimo término: 6888,489 x

283. Del binomio ( )nax 22 − se sabe que T8 y T9 equidistan de los extremos; a. Hallar n; b. Hallar el término en x10 y el lugar que ocupa.

Respuesta: 10106 072.075.3;15 xaTn −==

RACIONALIZACION

284. Racionalizar el denominador de la fracción:

11

a aa a− −+ −

Respuesta: 22 2 1a a a− − + 285. Racionalizando previamente el denominador de la primera fracción, efectuar:

2 3 3 2 363 3

a a a− − −−

+

Respuesta: 1 286. Previa racionalización del denominador de la fracción, efectuar:

a b b a a ba b−

−−

Respuesta: 0 287. Racionalizar el denominador de la fracción:

2

b

a a b+ −

Respuesta: 2a a b− −




288. Racionalizar el denominador de la fracción: 1

2 1

a

a a

−

+ −

Respuesta: 2 1a a− − 289. Racionalizar el denominador de la fracción:

423 7 10

aa a a+ +

Respuesta: ( )21 3 7 10a a a+ −

290. Racionalizar previamente el denominador de la fracción y efectuar las operaciones indica-

das:

4

a b b a ba−

+

Respuesta: 4 ab 291. Racionalizar el denominador de la fracción:

3 65 3 2 12 32 50

+− − +

Respuesta: 3 292. Racionalizar el denominador de la fracción:

12 3 5+ −

Respuesta: 3 2 2 3 3012

+ +

293. Racionalizar el denominador de la fracción:

1

2 1

x

x x

−

+ −

Respuesta: 2 1x x− −




EXPRESIONES IRRACIONALES: SIMPLIFICACIÓN Y OPERACIONES ELE-MENTALES

294. Efectuar:

2 23 1 9 18 3 1 3 2a a a a⎛ ⎞⎛ ⎞− − − − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Respuesta: 19 6a− 295. Efectuar:

( )( )2

2a b ab a ab a ba bb a b

−− +

−−


2 2 22 4 4 4a ab ac b bc c+ − + − + Respuesta: 2a b c+ −

297. Efectuar:

( )a b b a ab a ba b

⎛ ⎞+− −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

Respuesta: ab a b b a− − 298. Simplificar:

( ) ( ) ( )( ) ( ){ }24 3 3 2 3 3 2 1 9x x x x x x x x⎡ ⎤⎡ ⎤− − + + − − + − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Respuesta: 27 9x− − 299. Efectuar:

53 7105 53

2 25 43 5

a a aa a

×÷

×


2

1 12 3 12 3 4 9

aa a

⎛ ⎞⎛ ⎞− + ÷ +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ −⎝ ⎠

Respuesta: 2 3a−




301. Efectuar:

2b ab a b b aaa ba b

− −+ +

−+

Respuesta: a b+ 302. Efectuar:

( )0a b b a ab aba b+ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦+


7

63

ab abab

⎛ ⎞÷⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Respuesta: 6ab ab 304. Efectuar:

( )( ) ( )

32 2 4 2 4 4 2 4 66

2 2

2a m a n m b mnb n b m n c

a b c m a b c n

− + − + + −

+ + − + +


a b a b a b a ba b a b a b a b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + −− ÷ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Respuesta: ab

306. Efectuar:

12 2

22 2

2 4 1 2 4 1 141 4 1 1 4 1

m m m mmm m

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − +

÷ ÷⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Respuesta: 1




307. Efectuar: 3 33 32 2 8 27 2 2 8 27a a− − × + −

3 33 3 a27822a27822 −+×−− Respuesta: 3a

308. Efectuar:

11a b b ab

ab−

−+ +

−


2 2 24 12 4 9 6a ab ac b bc c+ − + − + Respuesta: 2 3a b c+ −

310. Efectuar:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 22 2 2 23 3a b a b a b a b a b a b a b a b− + − + − + + + + + −

Respuesta: 2 32 2a a b ab a b+ + − 311. Efectuar:

( )( )2 2 2 2a b a b a b a b+ + + + − +

Respuesta: 2ab 312. Efectuar:

2 21 1 16 4 364 3 9

a a ab b b+ − + − +

Respuesta: 1 1 62 3

a b− +

313. Efectuar:

3 2 2 31 127 3

13

m m n mn n

m n

− + −

−

Respuesta: ( )13

m n−




314. Efectuar:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 2

2

a c ab bc b

a b c

− + + − − +

+ −

Respuesta: a b c+ + 315. Efectuar:

( )( )

2 1 1

1 1

x xy x x y

x y

+ + − − − −

+ + −

Respuesta: 1x + − 316. Efectuar:

4

a b aa b ba b b

⎡ ⎤⎛ ⎞−− ÷ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟−⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Respuesta: 4 3b a b− 317. Simplificar:

( ) ( ) ( )3

3 5 42 2 2 34 3 5a b ab a b a b ab⎛ ⎞⎜ ⎟× × ÷⎜ ⎟⎝ ⎠

Respuesta: 405 4 21 39a b a b 318. Simplificar:

32 4

54

m mn n

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥×⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Respuesta: 7

2109

mmn

319. Simplificar:

13 4

2 15 33 2

1 133 1 3 2

a ab a b

a b c a

−−

−− −

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Respuesta: 24010637

1cba




320. Simplificar:

( )

31 1 11 112 3 43 54

3

12

1 31 1 33 5

aba b cc

a b c

−

−−

⎛ ⎞⎜ ⎟ ×⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠

⎣ ⎦

Respuesta: 602 5 14 40 2 19a b c a b c 321. Simplificar:

141 43 31

2232 3

5

a abb

−− −

−

⎛ ⎞⎜ ⎟ ×⎜ ⎟⎝ ⎠

Respuesta: 22

3025

ba

322. Simplificar:

2 23

11 1

34

5

a bab aba a

b b

− −

−− −

−

−

×

Respuesta: 1ab

323. Simplificar:

3

23 3 23

21 3

3

a aca acb b c ab baab

b

−

−−

−−

−

× ×

Respuesta: 2

32

ca




324. Simplificar:

( )( )( )( )

2a x a x a x a x x

a x a x a x a x

+ + + + − + −

− + + − − +

Respuesta: ax aa−

325. Simplificar:

( )

4 3 3 4

2 2

a a b ab ba b a ab b

+ + +

+ − +

Respuesta: 1

EXPRESIONES COMPLEJAS

326. Efectuar: ( ) ( ) ( )1 5 2 11 6i i i+ + − + +

Respuesta: 17 5i+ 327. Efectuar: ( ) ( )3 7 5 3i i+ − − +

Respuesta: 8 4i+ 328. Efectuar: ( ) ( )7 6 7 6i i+ − −

Respuesta: 12i 329. Efectuar: ( )( )( )2 3 1 3 2i i i+ + −

Respuesta: 7 17i+ 330. Hallar el cociente de: ( ) ( )5 4 1 3i i− − ÷ +

Respuesta: 17 1110 10

i− +

331. Hallar el cociente de: ( ) ( )4 3 1i i+ ÷ +

Respuesta: 72

i−




332. Calcular las potencias indicadas: a) 12i b) 47i c) 102i d) 1519i

Respuesta: 1; i− ; 1− ; i 333. Simplificar:

1 11 2 1 2

i ii i

+ −+

+ −

Respuesta: 65

334. Simplificar:

3 5 41 1 1i i i

− ++ − −

Respuesta: 1 2i−

335. Efectuar: ( )42 i+

Respuesta: 7 24i− + 336. Hallar la raíz cuadrada de: 3 4i+

Respuesta: 2 i+ ; 2 i− − 337. Simplificar:

3 2 17 35

16 13 30i i i i

i i i− + −− +

Respuesta: 1−i 338. Simplificar: 12 4 63 2i i i− −


5 4 3 21 1 1 1 1i i i i i+ + + +

Respuesta: i− 340. Simplificar: 4 3 25 13 6 13i i i i− + +

Respuesta: i261+−




341. Simplificar: 1 11 1

i ii i

− ++

+ −


a bi a bia bi a bi+ −

−− +

Respuesta: 2 24abi

a b+

343. Simplificar:

( )213

ii

+−

Respuesta: 1 35 5

i− +

344. Simplificar:

( )( )

3

2

11

ii

+

−

Respuesta: 1 i− − 345. Simplificar:

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

3 33 3

i ii i

+ − −

+ + −

Respuesta: 34

i

346. Efectuar:

( )( )6 4 35i i

i+ −

+

Respuesta: 134

1358 i

+

347. Efectuar: ( )( )3 2 3 4i i− +

Respuesta: ( )i.23342433 −++




348. Efectuar: 3 4i− Respuesta: i−2 ; i+− 2

349. Efectuar: ( )62 i+

Respuesta: 117 44i− +

350. Hallar: ( )33 2i+

Respuesta: 9 46i− + 351. Hallar: 33 56i−

Respuesta: i47 +− ; i47 − 352. Determinar el valor de a de modo que sea imaginario puro, el cociente de los complejos:

( ) ( )2 3 2a i i+ ÷ +

Respuesta: -3/4

353. Hallar el valor de x para que el cociente ixi

4325−+ sea un número imaginario puro.

Respuesta: 8

15

354. Hallar el valor de x para que el cociente ixi

4325−+ sea un número real.

Respuesta: 3

10−

355. Hallar el número complejo que satisfaga la condición de que su cuadrado sea igual a su conjugada.

Respuesta: i23

21±−

356. La suma de dos números complejos es i621− . La parte real del primer número es 7 y el

cociente entre los números es un número real. Obtener dichos números. Respuesta: ii 414;27 −−

357. Determinar el valor de M y N, números complejos, sabiendo que iNM 2931. −= ,

5123

56´3 =+ NM y iNM 74+=− .

Respuesta: 7 2 3 5M i ; N i= + = −




358. Determinar el número biaZ += que cumpla con la condición 2

21 ZZZ =+ .

Respuesta: iZ47

41±−=

359. El cuadrado del conjugado de un número complejo son los 25

del número. Determinar di-

cho número.

Respuesta: 1 35 5

i− ±

360. Probar que: ( )( )2

2

13

31

ii

ii

−−

=+

+

361. Determinar un complejo a bi+ tal que su cuadrado sea igual a su conjugado.

Respuesta: 1 32 2

i− ±

ECUACIONES LINEALES DE UNA INCÓGNITA

362. Resolver: 24 1 3 201 4 3

x x xx

−− =

−

Respuesta: 3; 123

−

363. Resolver:

( ) ( )2 22 1 3 2 96x x− − − − =

Respuesta: 4 4795

i±

364. Resolver:

4 5 7 5 5 139615 6 18 12 9 36

x x x x− + = − − +

Respuesta: 5 365. Resolver:

7 5 8 6 3 7 122 3 4 6

x x x x− − + −− = − −

Respuesta: 53




366. Resolver: ( )7 7 17 2 4 9 13 4

6 3 7 2x x x x− − − −− = − +


( )( )5 23 5 31 4 2 7 1332

4 9 3 24

xxx

−− −− −= + +


( )26 5 7 2 3 1 10 11 1

15 14 1 21 30 105x x x x

x− − + −

− = − +−


1 2 3 11 2 3

x x xx x x+ + +

+ − =− − −

Respuesta: 32

370. Resolver:

2x a x b x ba b b a− −

− = + −

Respuesta: b 371. Resolver:

1 1 1 12 2 4 4 8 5 10 8

a a a ax x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Respuesta: 6a 372. Resolver:

2 2 2 3

2 22 22

1 1 1 1x h x h hx hxh h h h− +

+ − = −− + − −

Respuesta: h




373. Resolver:

( )2 1x x a bx

a a b a b a a b− − = + −

− + +

Respuesta: b ab a−+

374. Resolver:

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

2 2 2

3x a x b x c

x b x c x a x c x a x b− − −

+ + =− − − − − −

Respuesta: 3

a b c+ +

375. Resolver:

( )( ) ( )

2 2 2

2 3

2 33a b b x a b bx abccx

a a ba a b a b

++ = + −

++ + +

Respuesta: aba b+

376. Resolver:

2 2 322 2 3

x x xx x x− + +⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟+ − −⎝ ⎠

Respuesta: 0; 43

377. Resolver:

3 3 1 13 14 2 11 3

1

x x xxx

⎛ ⎞⎜ ⎟− −

− = −⎜ ⎟−⎜ ⎟−+⎝ ⎠


2 1

27 3 6 6

1 1 1

n n n n nx x x x xx x x

+ ++ ++ =

− − +

Respuesta: 0; 1112

−




379. Resolver:

( ) ( )2 2 2 3 3 3a b c x a b cx a x b x ca b c abc

+ + − + +− − −+ + =

Respuesta: a b c+ + 380. Resolver:

( )( ) ( ) ( )( )2 2

3 51 2 1 1 2

x x a a xa a a a a a a

− +− =

+ − − − −

Respuesta: 23 1

aa

−+

381. Resolver:

( )1x x x abc a b c xab bc ac

+ + − = − + +

Respuesta: abca b c+ +

382. Resolver:

( ) ( )2

2 22 2 a b x a bx b x a

a b a b a b a b

⎛ ⎞+ − −+ ⎛ ⎞⎜ ⎟− = ⎜ ⎟⎜ ⎟− + − −⎝ ⎠⎝ ⎠

Respuesta: a b− 383. Resolver:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 3 3 3 0x a x b x c x a x b x c+ + + + + − + + + =

Respuesta: 3

a b c+ +−

384. Resolver:

( )21

2

1

1 1 1

mm m m ax xax x bxx x x

+ +−+ =

− + −

Respuesta: 11

a ba b+ ++ −

385. Resolver:

( )( ) ( )( ) ( )( ) 12 2 3 5 4 1 3 2 5 02

x x x x x x+ − + − − − + + − =

Respuesta: 21




386. Resolver: 1 1 1 1

1 13 4 6 51 1 3 65 4

x x

x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ = ++ +

Respuesta: 310

−

387. Resolver:

( )1 13 1 11 23 5 7 15 4 4 4 3

x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Respuesta: 14

−

388. Resolver:

( ) ( ){ } ( )( )21 1 1 1 1a x a a x a a a+ − − + − = + −⎡ ⎤⎣ ⎦

Respuesta: 2 232

b aab−

389. Resolver:

( ) ( ){ }64 2 5 3 2 4 5 3 2 3 7 8x x x x x− − − − − + − + =⎡ ⎤⎣ ⎦


( ) ( )2

2 2

a b x a bax a b axa b a b a b a b a b+ +−

+ − = +− + + − −


1 11 11 11 11

2 3x

=+ +

+ +

Respuesta: 56




392. Resolver: ( ) ( )

2 21 2 1a b x a b x

a b a b b a b a a b+ −

+ = − −− + − − +

Respuesta: 2 21b

a b−+

393. Resolver:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 21ax b a bx a a b x a x a a b− − −− + + + − = − −


( )

1 1 11 11 1

xmm

x mmm x

− +− =

−+ −

Respuesta: 14

mm+

395. Resolver:

1 1 111 11 11

b ab ax x ab

ab a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − ÷ − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Respuesta: 1

ab aab++

396. Resolver:

2 2 2x x− = − + Respuesta: 2

397. Resolver:

2 2 1 1 1 13 3 2

x x xb ab a ab a a

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤− + − =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Respuesta: 3b




398. Resolver:

( )2 2

8 43 2 3 2 7 16 562 2 2 4 4

a a a ax x xa a a a a a a

⎛ ⎞−⎜ ⎟+ − −+ = − + +⎜ ⎟− + + − −⎜ ⎟

⎝ ⎠


21 12 14 5x+ + + =


1 1 1 1x x x+ + = + + −

Respuesta: 2425

−

401. Resolver:

1 1 41

x xx x

+ + + =+ −

Respuesta: 916

402. Resolver:

32 2 12 1

x xx

+ − =−

Respuesta: 87

403. Resolver:

( ) ( )

acb

cab

acb

xcab

acb

cab

acb

xcab

−

+−

+

−=

+

−−

−

+

Respuesta: 1−




404. Resolver:

( )( ) ( )( )2 2 2

1x a b c xa b c a b c c a b b a c

+ + −− =

+ − − + − − − −

Respuesta: bc 405. Resolver:

3 3 2x x x+ − − = Respuesta: 9

406. Resolver:

22 2 25 4 5x x x+ − = −

Respuesta: 164

407. Resolver:

( ) ( )16 1 4 3 1 4 3 3 5 3 5 160 0x x− + − + − − + + + − − =


( )

4 113 3

11 112

y a a yya a aa

− −+ = −

− −−

Respuesta: 13

aa−

409. Resolver:

1 1 1 1 1 2 1 1 12 4 5 2 3 5 2 3 5

x x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Respuesta: ∞




PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

410. Una persona tenía cierta cantidad de dinero y realizó los siguientes gastos: primero los 25

de

lo que tenía al principio y segundo los 56

de lo que le quedó. Si aún tiene $ 500, ¿cuánto tenía

al principio? Respuesta: $ 5.000

411. Una persona tenía un cierto capital del cual gastó los tres cuartos. Si después recibió

$ 1.300 y ahora tiene $ 100 más de lo que tenía al principio, ¿cuál fue su capital inicial? Respuesta: $ 1.600

412. A un alambre de 91 m de longitud se le dan tres cortes, de manera que la longitud de cada

trozo resultante es igual al la del inmediato anterior aumentada en su mitad. ¿Cuál es la longi-tud de cada trozo? Respuesta: 11,2 m; 16,8 m; 25,2 m; 37,8 m

413. El agua contenida en un tanque de forma de cilindro de revolución se vacía en 3 horas. Si

en cada hora, el nivel del agua baja la mitad de la altura más 1 m, determinar la altura inicial del agua en el tanque. Respuesta: 14 m

414. Un obrero tarda 6 horas más que otro obrero en efectuar un trabajo. Hallar el tiempo que

emplearía cada uno de ellos en realizar el trabajo solo, sabiendo que juntos utilizan 4 horas en efectuar el mencionado trabajo. Respuesta: 6 horas; 12horas

415. Un obrero gasta diariamente 23

de su jornal en alimentación y 15

del mismo en otras aten-

ciones. Si en 30 días laborables, de los cuales dejó de trabajar 2 días, ha ahorrado G 40.000, ¿cuál es su jornal? Respuesta: G 20.000

416. Si la suma de los cuadrados de dos números impares consecutivos es 24202, hallar los nú-

meros? Respuesta: 109; 111




417. Un pintor puede terminar una obra en 6 horas y su ayudante en 10 horas. El pintor comien-za solo la tarea y al cabo de 2 horas se incorpora su ayudante y trabajan juntos hasta terminar la obra. Calcular la duración total del trabajo.

Respuesta: 142

horas

418. Si la diferencia de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 324, hallar los nú-

meros. Respuesta: 82; 80

419. Si la suma de dos números enteros consecutivos es igual a los 59

del primero aumentado en

1217 del segundo, hallar los números.

Respuesta: 15; 16 420. Sabiendo que al restar 91 de un número dado, se obtiene otro número cuya tercera parte es

110

del número dado, hallar el número.

Respuesta: 130 421. Un empleado tiene un contrato de trabajo por 11 años. ¿Cuántos años ya trabajó si los

23

del tiempo que ha trabajo es igual a los 45

del tiempo que le falta para cumplir su contrato?

Respuesta: 6 años 422. Dividir el número 254 en dos partes tales que al dividir una de las partes por 4 y la otra por

3, la suma de los cocientes obtenidos, sea igual a 70. Respuesta: 176; 78

423. Un padre tiene 27 años de edad, su hijo 3 años; ¿dentro de cuantos años la edad del hijo se-

rá la cuarta parte de la del padre? Respuesta: 5 años

424. Aumentando un número en sus tres centésimas partes, se obtiene 103 unidades más la quin-

ta parte de la suma. Hallar el número. Respuesta: 125




425. Descomponer el número 440 en dos sumandos, de manera que las 25

partes del primero ex-

cedan en 15 unidades a las 34

partes del segundo.

Respuesta: 300; 140

426. En un batalla murieron 215

de los soldados de un ejercito, fueron heridos los 335

, hechos

prisioneros los 275

y se salvaron 13.200 hombres. ¿Cuántos soldados tenía el ejército al em-

pezar la batalla? Respuesta: 17500 hombres

427. ¿Qué día del año marcará la hoja de un almanaque cuando el número de hojas arrancadas

exceda en 2 a los 38

del número de hojas que quedan?

Respuesta: 12 de abril 428. Un fabricante tiene para la venta un cierto número de tubos de barro. Vende primero las

tres quintas partes y después se le hace un pedido de las siete octavas partes de los que so-bran. Si antes de atender el último pedido se inutilizaron 240 tubos y solo puede entregar las cuatro quintas partes de la cantidad pedida, ¿qué cantidad de tubos se vendieron? Respuesta: 1760 tubos

429. Si la suma de dos números es 270 y la raíz cuadrada de uno de ellos es igual a la raíz cua-

drada del otro aumentado en 18, hallar los números. Respuesta: 144; 126

430. Al morir dos individuos de una familia, queda ésta disminuida en las dos séptimas partes

del número de individuos que la componían. ¿Cuántos miembros componen la familia ac-tualmente? Respuesta: 5 individuos

431. Si se hallan las dos terceras partes de un cierto número aumentado en una unidad, luego se

resta 4 al producto obtenido y se hace cinco veces menos la diferencia que resulta, se obtiene cero por cociente. Hallar el número. Respuesta: 5




432. Disminuyendo una misma cantidad a los dos términos de la fracción ab

, resulta esta una

fracción invertida, ¿cuál es la cantidad que se agrega? Respuesta: a b+

433. Al preguntar un padre a su hijo cuánto había gastado de los $ 350 que le dio, contesta: las

tres cuartas partes de los que no gasté, ¿Cuánto había gastado el hijo? Respuesta: $ 150

434. Si a un número de tres cifras que empieza en 9 se le suprime esta cifra, queda 121

del nú-

mero dado. Hallar el número. Respuesta: 945

ECUACIONES DE 2º GRADO

435. Resolver y verificar la ecuación: 5 16 8 0x x+ + − =


( ) ( )( )1 12 13 4 1 2

5x x x

− −− − − + =

Respuesta: 12

− ; 3

437. La diferencia de las raíces de 23 2 5 0x x m− + = es igual a 1. Hallar m.

Respuesta: 112

−

438. Resolver:

2 16 10 12 8x x− −− + + =

Respuesta: 12

; 3−

439. Resolver:

2 10 1 03 1 2

xx+

− =−

Respuesta: 3




440. Resolver: 7 1 2 2 0x x x+ + − − + =

Respuesta: 2 441. Formar la ecuación de 2º grado cuyas raíces son las reciprocas de las raíces de la ecuación

23 5 8 0x x+ − = . Respuesta: 28 5 3 0x x− − =

442. Resolver:

1 11 121

x xx

− + = ++


( ) ( ) 11 2 52 2 3 1 08

x x−−− − − − =

Respuesta: 115

− ; 3−

444. Calcular el valor de k en la ecuación 2 10 0x x k− + = , sabiendo que una de las raíces es el

cuádruplo de la otra. Respuesta: 16

445. Resolver:

24 1 17

9 3 3x

x x−

+ = −− −

Respuesta: 4 19, ; 2 86,− 446. Resolver:

( )2 2 52 33

xx −+ − =

Respuesta: 43

− ; 2−

447. Sabiendo que el cociente de las raíces de una ecuación de 2º grado es 5, que la diferencia de

las mismas es 12, encontrar dicha ecuación. Respuesta: 2 18 45 0x x− + =




448. Resolver: 2 13 5 4 2x x− −− + + =

Respuesta: 12

− ; 3−

449. Resolver:

3 3 2x x x+ − − = Respuesta: 9

450. Resolver la ecuación ( )22 1 3 8 0x k x k− + + − = , sabiendo que sus raíces son reciprocas y

de signos contrarios.

Respuesta: 2k = ; 2; 12

−

451. Resolver:

( )2 2 2 4 0bx a a b x a b− + + =

Respuesta: 3a

b; ab

452. Resolver:

1 1 1 02a a x a x

+ + =+ +

Respuesta: ( )3 32a

− ±

453. Resolver:

( ) ( )2 24 1 4 2 2 0x a x a a− − + − − =

Respuesta: 2 1a + ; 2 2a − 454. Resolver:

( ) ( )2 2 2 2 2 2 24 2 2 0a b x a b x a b− − − + − =

Respuesta: 2

a ba b−−

; 2

a ba b++




455. Resolver: 2

0x x c x b aa b c bc− − + =

Respuesta: a bc

; a cb

456. Determinar m de modo que una de las raíces de la ecuación ( )2 4 5 8 0x m x m− + + − = sea

el triple que la otra.

Respuesta: 443

; 4

457. Hallar la ecuación de 2º grado cuyas raíces sean la suma y el producto de las raíces de la

ecuación 2 8 25 0x x− + = . Respuesta: 2 33 200 0x x− + =

458. Hallar la ecuación de 2º grado que tiene por raíces 235

i+ ; 235

i− .

Respuesta: 225 150 229 0x x− + = 459. Resolver:

( ) ( )2 2 2 21 2a x a b x b x a b x− + − = + − −

Respuesta: 1a b−

; 1a b+

460. Resolver:

2 22

2 22 1 0a bx xa b

+− + =

−

Respuesta: a ba b+−

; a ba b−+

461. Resolver:

( )2 2 2 2 2 0abx a b x a b− + + − =

Respuesta: a bb− ; a b

a+




462. Resolver:

( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2 22 0a b x a b a b x ab a b+ − − − − + =

Respuesta: 2 2a ba b++

; 2aba b

−+

463. Resolver:

1 1 1 1 1 12 3 3 4 4 5

x x x x x x⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− − + − − = − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Respuesta: 23

; 310

464. Resolver:

( ) ( )( )

2 1 4 3 52103 3 7 3 3 7x x

x x− +

+ = −− −

Respuesta: 133

; 12

465. Resolver:

xaxb

xabx

axab

ax 1212

2

2

22

2

2 +−−

=+−

Respuesta: a b− ; b a−

466. Determinar los valores de m en la ecuación 2 6 0x x m− + = de suerte que una raíz sea el

cuadrado de la otra. Respuesta: 8; 27−

467. Determinar m en la ecuación ( )2 23 5 1 2 0x m x m− − + + = , de manera que la suma de una

de las raíces con el cuádruplo de la otra, sea 14.

Respuesta: 4; 742127

468. Determinar k y las raíces de la ecuación ( ) 0482 22 =+++−+ kkxkx , de modo que una de

las raíces sea el doble de la otra.

Respuesta: ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =====−=

818;

1619;

87;4;2;4 222111 βαβα kk




469. Determinar k en la ecuación ( ) ( )22 1 2 1 3 0k x k x k− + − + = de modo que la unidad negati-

va sea una de sus raíces.

Respuesta: 9;73

== αk

470. Formar una ecuación de 2º grado que tenga por raíces los cuadrados de las raíces de la

ecuación ( )2 1 0abx a b x− + + = .

Respuesta: ( )2 2 2 2 2 1 0a b x a b x− + + =

471. Formar la ecuación de 2º grado cuyas raíces sean la suma y el producto de las raíces de la

ecuación 2 0ax bx c+ + = . Respuesta: ( )2 2 0a x b c ax bc+ − − =

472. Hallar la ecuación de 2º grado en la cual una de las raíces es el triple de otra y la suma de

los cuadrados de las raíces es 40. Respuesta: 2 8 12 0x x± + =

473. Determinar los valores del parámetro k para los cuales la suma de los cubos de las raíces

de la ecuación ( )2 23 3 1 0x k x k− + + = sea igual a 1.

Respuesta: 0; 32

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

474. Resolver: 3 7 172 5 8x yx y− =⎧

⎨ + = −⎩

Respuesta: 1x = ; 2y = − 475. Resolver:

5 2 2 33 4 5 107 3 6 19

x y zx y zx y z

+ − =⎧⎪ − + =⎨⎪ − + =⎩

Respuesta: 1x = ; 2y = ; 3z =




476. Resolver:

⎩⎨⎧

=−=+

23566225

yxyx

Respuesta: 12x = ; 2y = 477. Resolver:

3 4 2 475 3 7 417 2 5 24

x y zx y zx y z

+ + =⎧⎪ − + =⎨⎪ − − =⎩

Respuesta: 7x = ; 5y = ; 3z = 478. Resolver:

2

2

ax y a

bx y b

⎧ + =⎪⎨

− = −⎪⎩

Respuesta: bax −= ; aby = 479. Resolver:

6 5 8 57 9 4 318 10 13 17

x y zx y zx y z

+ − =⎧⎪ − + =⎨⎪ − − = −⎩

Respuesta: 4x = ; 1y = ; 3z = 480. Resolver:

4 5 2 02 3

3 2 7 6

x y zx y zx y z

− + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

Respuesta: 3x = ; 2y = ; 1z = − 481. Resolver:

⎩⎨⎧

=−=+

691835871221

yxyx

Respuesta: 3x = ; 2y =




482. Resolver: 5 6 2 82 9 3 77 2 4 24

x y zx y zx y z

− − =⎧⎪ + + =⎨⎪ + − =⎩

Respuesta: 2x = ; 1y = ; 2z = − 483. Resolver:

( ) ( )( ) ( ) 2

4

2 3

a b x a b y ab

a b x a b y ab b

⎧ + + − =⎪⎨

− + − = −⎪⎩

Respuesta: x a b= + ; y b a= − 484. Resolver:

1 3 2 8 1002 5 11 110

5 1 4 5 3 8 71 46 10 4 30

y y x x

x y x y x x

− − − −⎧ + − =⎪⎪⎨ − − − −⎪ + = −⎪⎩

Respuesta: 1x = − ; 0y = 485. Resolver:

( ) ( )( )( )2 2 2

a b x a b y a

a b x y a

− + + =⎧⎪⎨

− + =⎪⎩

Respuesta: ( )2

axa b

=−

; ( )2

aya b

=+

486. Resolver:

( )2 2

2 2

2 2

62 2 4

2 2

2 2 4

x y aba b a b a b

a ab bx y x ya b a b a b

⎧ − =⎪ − + −⎪⎨ − ++ −⎪ + =⎪ + − −⎩

Respuesta: x a b= + ; y a b= −




487. Resolver: 7

2 4 3 211

2 4 5 5

3 2 4

x y z x y z

z x x y z y

z y x z y x

− − −⎧ − = +⎪⎪

− + −⎪ − = −⎨⎪

− + −⎪ − =⎪⎩

Respuesta: 2x = ; 2y = − ; 4z = 488. Resolver:

2 3

2 3

2 3

a x ay z a

b x by z b

c x cy z c

⎧ + + =⎪

+ + =⎨⎪ + + =⎩

Respuesta: x a b c= + + ; y ab bc ca= − − − ; z abc= 489. Resolver:

2 2 2

3 3 3

1

11

ax by cz

a x b y c za x b y c z

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

Respuesta: ( )( )( )( )

1 1b cx

a a b a c− −

=− −

; ( )( )( )( )

1 1a cy

b b a b c− −

=− −

; ( )( )( )( )

1 1b az

c c b c a− −

=− −

490. Resolver:

( ) ( )3 2 5

2 2 2x ya x b y a b+ =⎧⎪

⎨ + + − = +⎪⎩

Respuesta: 3 4 103 2 10b axb a− −

=− −

; 3 103 2 10a byb a+ −

=− −

491. Resolver:

3 5 74 8 6 315 5 7 39

x y zx y zx y z

− + =⎧⎪ + − =⎨⎪ − + =⎩

Respuesta: 8x = ; 12

y = − ; 12

z = −




492. Resolver: x y ay z bz x c

+ =⎧⎪ + =⎨⎪ + =⎩

Respuesta: 2

a c bx + −= ;

2a b cy + −

= ; 2

b c az + −=

493. Resolver:

1

1

1

xyx y a

yzy z bzx

z x c

⎧ =⎪ +⎪⎪ =⎨ +⎪⎪

=⎪+⎩

Respuesta: 2xa c b

=+ −

; 2ya b c

=+ −

; 2zb c a

=+ −

494. Resolver:

10 7 52 5 3 5 6

14 9 13 5 4 3

9 5 14 3 2 5 12

x y y z

y z z x

z x x y

⎧+ =⎪ + +⎪

⎪+ =⎨ + +⎪

⎪− =⎪

+ +⎩

Respuesta: 5x = ; 2y = ; 3z =

495. Resolver: 1 1

2 3 2 3 5 82 3 1 2 1 8

3 2

x x x y x y x y

x y x y

− + − +⎧ + − = −⎪⎪⎨ − − + +⎪ = −⎪⎩





496. Resolver:

222 3 7

313 5 2

324 2 3

x y z

x y z

x y z

⎧ + + =⎪⎪⎪ + + =⎨⎪⎪ + − =⎪⎩

Respuesta: 12x = ; 30y = ; 45z =

497. Resolver: 1

4 6 12 30

14 2 4

x y z

x y zx y z

⎧ + − =⎪⎪

+ − =⎨⎪⎪ + − = −⎩

Respuesta: 4x = ; 4y = − ; 0z =

498. Resolver:

( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

22 2

5 3 2 4

2

a b x y ab a b

a bca y b y ab a b bx a b ca b

⎧ − + = −⎪⎨

− = + + − + +⎪+⎩

Respuesta: abxa b

=+

; abya b

=−

499. Resolver:

3 3 3

00

3

ax by czay bz cx

az bx cy a b c abc

⎧ − − =⎪ − − =⎨⎪ − − = − − −⎩

Respuesta: 2x b ac= + ; 2y c ab= + ; 2z a bc= + 500. Resolver:

2 2 13 126 3 3

3 4 5 12 625 6 15

x yx x

x yy x

+⎧ + − =⎪⎪⎨ −⎪ − + =⎪⎩





501. Resolver:

( )

( )

3 2 524

5 24 5 2

113 53

x yx yx y

y

−⎧= −⎪ −⎪⎪

⎨ +=⎪ ⎛ ⎞⎪ +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

Respuesta: 16

x = ; 13

y =

502. Resolver:

( ) ( )

( ) ( )

3 13 2 2 54 22 4 3 6 2 25

x y x y

x y x y

⎧ + − + = +⎡ ⎤⎣ ⎦⎪⎪⎨⎪ − + − = +⎡ ⎤⎣ ⎦⎪⎩


4 2 1 12 145 3 3 4 35 3 1 23 5 116 4 2 3

yx x y

x y y x

⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩


12 3 4 115 6 72 3 4 15 6 7

x y

x y

x yx y

⎧ + +⎪=⎪

⎪ + +⎨⎪

+ +⎪ =⎪ + +⎩

Respuesta: 2536

x = ; 8156

y = −




SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON DOS INCOGNITAS

505. Resolver:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

4.4511

yxyx

Respuesta: ( ) ( )1,4;4,1

506. Resolver:

( ) ( )⎩⎨⎧

=+=−+−

331041 22

yxyx

Respuesta: ( )1;0

507. Resolver:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+

−=

326

3.

yx

yx

Respuesta: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

31;9;9;

31

508. Resolver:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=+

94.

90088122

yx

yx


⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

65;

158;

158;

65

509. Resolver:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=+

3030111

22 xyyxyx

Respuesta: ( ) ( )6;5;5;6 −−




510. Resolver:

⎩⎨⎧

−=−+=−+

12216222

xyyxxyyx

Respuesta: ( ) ( ) ( ) ( )1;3;7;3;3;1;3;7 −−

511. Resolver:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

−=−−+

5248

22

22

yxxyyxyx

Respuesta: ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−−−

261

27;

261

27;

261

27;

261

27;2;6;6;2

512. Resolver:

⎩⎨⎧

=+

=+

1893

33 yxyx

Respuesta: ( ) ( )3;6;6;3 −−

PROBLEMAS SOBRE SISTEMAS DE ECUACIONES

513. Un hombre compró cierto número de caballos, pagando en total $ 2.000. Sabiendo que mu-rieron 2 caballos, que vendió cada uno de los restantes en $ 60 por encima del costo y que ga-nó en total $ 80, ¿cuántos caballos compró y cuánto le costo cada uno? Respuesta: 10 caballos; $ 200

514. Una pieza de género ha sido vendida en G 6.000. El comprador al verificar la compra, se da

cuenta que le han entregado una pieza de genero que cuesta G 25 menos por metro, pero en compensación contiene 20 metros más que la primera. Determinar cuantos metros tiene la pieza original. Respuesta: 80 m

515. Una persona compro cierto número de libros por G 42.000. Si hubiera comprado 2 libros

menos por la misma suma de dinero, cada libro hubiera costado G 700 más. ¿Cuántos libros compró? Respuesta: 12 libros

516. Cuando empiezan a jugar A y B, la relación entre sus capitales es de 10 a 13, respectiva-

mente. Después que A le ha ganado $ 10 a B, la relación entre los nuevos capitales es respec-tivamente de 12 a 11. Calcular el capital inicial de cada jugador. Respuesta: $ 50; $ 65




517. Si A le diera a B G 30.000, ambos tendrían igual cantidad de dinero, pero si B le diera a A G 30.000, A tendría el cuádruplo de le queda a B. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? Respuesta: G 130.000; G 70.000

518. Un comerciante pagó G 144.000 por un cierto número de cuadernos. Si cada cuaderno

hubiera costado G 200 más, con la misma suma de dinero hubiera comprado 24 cuadernos menos. ¿Cuántos cuadernos compró el comerciante? Respuesta: 144 cuadernos

519. Un padre va con sus hijos al teatro y al querer sacar entradas de G 3.000 observa que le fal-

ta dinero para pagar las entradas de 3 de ellos. Entonces compra entradas de G 1.500 para to-dos, incluido el mismo. Si le sobra G 3.000, ¿cuál es el número de hijos y cuánto es el capital del padre? Respuesta: 7 hijos; G 15.000

520. La relación de dos números es igual a cuatro quintos. Si el mayor se aumenta en 2 y el me-

nor se disminuye en 6, la relación es de una a seis. Hallar los números. Respuesta: 8; 10

521. La diferencia de dos números es igual a 2. Los 35

del mayor sumados a los 23

del menor es

igual a 52

de dicha diferencia. Hallar los números.

Respuesta: 3; 5 522. Dos números son entre si como 4 es a 3. El triple del menor menos el mayor es igual a 15.

Hallar los números. Respuesta: 12; 9

523. Un comerciante compró bolígrafos por $ 180 y los vende todos, menos 6, con una ganancia

de $ 2 en cada bolígrafo. Sabiendo que con el dinero recaudado en la venta podría haber comprado 30 bolígrafos más que antes, hallar el costo de cada bolígrafo. Respuesta: $ 3

524. Si a cada alumno de un grado se le entregan tantos caramelos como alumnos hay, faltarían

12 caramelos; pero si a cada alumno se le entregara 2 caramelos menos, sobraría la misma cantidad que faltó anteriormente. ¿Cuántos alumnos hay en el grado? Respuesta: 12 alumnos




525. Un comerciante pagó $ 14,40 por un cierto número de ventiladores. Si cada ventilador hubiese costado $ 0,02 más, con la misma suma de dinero hubiese comprado 24 ventiladores menos. ¿Cuántos ventiladores compró el comerciante? Respuesta: 144 ventiladores

526. Hallar dos números cuya suma, producto y cociente, sean iguales.

Respuesta: 12

; 1−

527. Dos obreros trabajaron durante 37 días el primero, y 25 días el segundo. El primero perci-

bió por día G 2.000 más que el segundo y recibió al final del trabajo G 218.000 más que el segundo. ¿Cuánto ganó cada operario? Respuesta: G 12.000; G 14.000

528. Si a un número de dos cifras se le suma 9, se obtiene otro número con las cifras de orden

inverso al primero. Si este segundo número se divide por 7, el cociente es 6 y el residuo 1. Hallar el primer número. Respuesta: 34

529. Hallar el número que divido por 5 da resto 1; dividido por 6 da resto 2; divido por 7 da

resto 5 y que la suma de los cocientes es igual a la mitad de la diferencia entre el número y 2. Respuesta: 26

530. Se tienen $ 11,30 en 78 monedas de 20 centavos y 10 centavos. ¿Cuántas monedas de 20

centavos y de 10 centavos se tienen? Respuesta: 43 monedas de 20 centavos; 35 monedas de 10 centavos

531. Hallar un número de dos cifras sabiendo que excede en una unidad al triple de la suma de

sus cifras y que invirtiendo el orden de estas cifras se obtiene un número que es igual al ante-rior más 18. Respuesta: 13

532. Hallar dos números consecutivos tales que la diferencia de sus cuadrados exceda en 43 a

111

del número menor.

Respuesta: 22; 23 533. Encontrar dos números sabiendo que la suma es 7b− y el producto 210b .

Respuesta: 5b− ; 2b−




534. Descomponer el número 24 en dos números positivos, tales que la razón de sus cuadrados sea igual al inverso de 4. Respuesta: 16; 8

535. Cierto número de personas han hecho un gasto de G 12.000 en un bar. En el momento de

pagar, ya se han ido 4 personas. Si la cuenta de cada una de las personas restantes se aumen-tan en G 500, ¿cuántas personas estuvieron presentes inicialmente? Respuesta: 12 personas

536. Si se suma 4 al numerador y al denominador de un quebrado, la fracción es reducible a 12

.

Si se resta 2 al numerador y al denominador, la fracción resultante es equivalente a 38

. ¿Cuál

es la fracción original?

Respuesta: 1126

537. Un comerciante compró una damajuana de aceite a G 400 el litro y otra de vino a G 80 el li-

tro, pagando en total G 16.400. Involuntariamente la damajuana de vino se le proveyó llena de aceite y viceversa, por lo cual el comerciante recibió en devolución G 1.600. ¿Cuál es la capacidad de cada damajuana? Respuesta: 35 litros; 30 litros

538. Dos números están en la relación de 5 a 8. Si a cada uno se le suma 6, los nuevos números

están entonces en la relación de 2 a 3. Hallar los números primitivos. Respuesta: 30; 48

539. El denominador de una fracción es 7 y su numerador es un número cuyas dos cifras suman

5. Determinar dicha fracción, sabiendo que invirtiendo el orden de las cifras del numerador, la fracción obtenida es igual a la anterior aumentada en nueve séptimos.

Respuesta: 237

540. Se gasta diariamente en una fábrica, para jornales de los empleados, profesionales, técnicos

y operarios, $ 8.900. Cada profesional gana diariamente $ 150, cada técnico $ 300 y cada operario $ 60. Se sabe que el número de técnicos es 2 veces más que el séxtuplo del número de profesionales y que el número de operarios es 6 veces menos que el doble del número de técnicos. Hallar el número de empleados de cada tipo que tiene la fábrica. Respuesta: 6 empleados; 38 profesionales; 70 técnicos




541. Para el transporte de tierras se dispone de 130 equipos, entre carretillas de una rueda, carros de dos ruedas y vagonetas de cuatro ruedas. Siendo el número de estas ultimas el doble que el de carros y sabiendo que entre todos los vehículos se tienen 270 ruedas, hallar el número total de cada uno de los equipos. Respuesta: 70 carretillas; 20 carros; 40 vagonetas

542. Al dividir un número sucesivamente por 11, 15 y 71 da por restos 4, 5 y 6, respectivamente.

Si la suma de los cocientes es igual a la sexta parte del número aumentado en 4 unidades, hallar el número. Respuesta: 290

543. Dos obreros trabajan juntos y el primero gana por día un tercio más que el segundo. Si el

primero ha trabajado cinco días mas recibiendo $ 4.500 y el segundo recibe $ 2.700, ¿cuántos días ha trabajado cada obrero? Respuesta: 25 días; 20 días

544. Un contratista disponía de una cierta cantidad de dinero para los gastos de una obra. Gastó

la cuarta parte y le abonaron $ 720.000; después gastó la tercera parte de la cantidad que en-tonces tenía y le quedaron $ 1.118.000. ¿De que cantidad de dinero disponía el contratista al iniciar las obras? Respuesta: $ 1.276.000

545. Andrés compró un paquete de caramelos, se comió la tercera parte y su hermano Pedro le

quito seis; después se comió la mitad de lo que tenía y Pedro le volvió a quitar cinco de los que le quedaban. ¿Cuántos caramelos tenía el paquete y quien de los hermanos es más golo-so? Respuesta: 24; Andrés

546. La suma de las dos cifras que componen un número es 9 y la mitad del número es igual a

cinco veces la cifra de las decenas. ¿Cuál es el número? Respuesta: 90

547. En los muelles de una estación hay un cierto número de carros de una, dos y tres caballe-

rías. El número de carros es 70 y el de caballerías 130. Si el número de carros de dos caballe-rías es el doble que el de tres, ¿cuántos hay de cada clase? Respuesta: 20; 30; 15




548. La suma de las tres cifras que componen un número es 24. La cifra de las decenas es media aritmética entre las otras dos; si al número invertido se suma 591, se tiene el doble del núme-ro, hallar el número. Respuesta: 789

549. Los obreros de una fábrica se declararon en huelga. La cuarta parte de ellos cobran un jor-

nal de $ 120; la tercera parte $ 100 y el resto $ 80. La huelga duró 15 días; y al reintegrarse al trabajo se les abonó la cuarta parte de lo que hubieran ganado en 15 días, con lo cual perdie-ron los obreros $ 548.100. ¿Cuántos son los obreros? Respuesta: 504 obreros

MATRICES Y DETERMINANTES

550. Hallar A + B y A - B 1 2 30 1 4⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

A ; 2 3 01 2 5

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

B

Respuesta: 3 5 31 3 9

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

; 1 1 3

1 1 1− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

551. Comprobar que ( ) ( )A + B - C = A + B - C

1 2 35 0 21 1 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

A ; 3 1 24 2 52 0 3

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

B ; 4 1 20 3 21 2 3

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

C

552. Hallar C , de modo que A + B - C = 0

1 23 45 6

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

A ; 3 2

1 54 3

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

B

Respuesta: 2 0

4 19 9

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

553. Efectuar el producto de A×B

( )4 5 6=A ; 231

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

B

Respuesta: 17




554. Si A y B son matrices de 4 x 3; C matriz de 3 x 4 y D matriz de 4 x 4. Indicar cual/es de la/s operación/es pueden realizarse: a) ( )A B C− × b) ( )A C D× ×

c) ( ) A C D× × d) A B× ;

Respuesta:

a) ( )A B C− × está definida, se puede realizar

b) ( ) CBA ×× no está definida, no se puede realizar

c) ( ) A C D× × está definida, se puede realizar

d) A B× no está definida, no se puede realizar 555. Efectuar A×B

2 3 41 5 6⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

A ; 123

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

B

Respuesta: 2029⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

556. Efectuar A×B

1 2 14 0 2⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

A ; 3 41 52 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

B

Respuesta: 3 88 12⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

557. Dada la matriz A , hallar 2A y 3A

2 1 10 1 21 0 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

A

Respuesta: 5 3 12 1 43 1 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

; 11 8 08 1 88 4 3

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠




558. Demostrar que 2 4 5− − =A A I 0 , si: 1 2 22 1 22 2 1

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

A

559. Demostrar que ( )2 2 2+ = +A B A B

1 12 1

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

A ; 1 14 1⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠B

560. Determinar el/los valor/es de x , de modo que =A B

2

2 2

5 6 42

x xx x x

⎛ ⎞− += ⎜ ⎟

+⎝ ⎠A ;

0 412 5 3x⎛ ⎞

= ⎜ ⎟+⎝ ⎠B

Respuesta: 3 561. Calcular el producto:

( )4 1 21 0 1

2 1 0

xx y z y

z

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟× − ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Respuesta: ( )yzxyxzx 2244 2 +−+ 562. Calcular el determinante de A :

2 3 41 0 20 5 6

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

A

Respuesta: 18− 563. Calcular el determinante de A

1 0 63 4 155 6 21

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

A

Respuesta: 18− 564. Calcular el determinante de A :

1 0 02 3 44 1 3

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

A

Respuesta: 5




565. Demostrar que ( ) ( ) ( )det det det× = ×A B A B

1 21 3−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

A ; 2 41 0

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

B

566. Hallar la inversa de la matriz A:

1 23 4⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

A

Respuesta: 12 1

3 12 2

A−−⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎝ ⎠


1 2 32 5 72 4 5

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

A

Respuesta: 1

3 2 14 1 1

2 0 1A−

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠


2 1 11 2 11 1 3

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

A

Respuesta: 1

5 2 11 4 5 3

113 1 5

A−

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠


1 2 3

2 1 04 2 5

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

A

Respuesta: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−=−

5686710345

1A




570. Hallar la inversa de la matriz A :

2 3 11 2 11 1 3

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

A

Respuesta: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=−

111354

5871A


1 2 05 3 24 3 5

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

A

Respuesta:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

−

=−

137

1311

1327

132

135

1317

134

1310

1321

1A


5 4 21 4 30 6 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

A

Respuesta:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

−−−

=−

134

135

131

7817

795

781

392

394

397

1A

573. Determinar el rango de la matriz A:

2 3 11 2 33 1 2

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

A

Respuesta: 2




574. Determinar el rango de la matriz A: 1 0 02 1 14 2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

A

Respuesta: 2 575. Determinar el rango de la matriz A:

2 4 21 1 00 1 2

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

A

Respuesta: 3

FUNCIONES

Establecer cual de las siguientes relaciones es una función sabiendo que Aa∈ ; Bb∈ ; { }2,1,0,1,2 −−=A y { }5,4,3,2,1=B

576. ( ){ }32/, −=−= babaf Respuesta: es función

577. ( ){ }01/, 2 =+−= babaf Respuesta: es función

578. ( ){ }22/, ababf ==

Respuesta: no es función

Aplicar conceptos de desigualdad y valor absoluto en los siguientes ejercicios 579. Si xy −= 2 y 23 <−x , ¿que valores puede tomar y?

Respuesta: 13 <<− y Expresar en forma de intervalos las siguientes desigualdades:

580. 2111 <−y


⎜⎝⎛

223;

221

581. 672 ≥+x


⎜⎝⎛ ∞−∪⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞− ;

21

213;




582. Determinar para que valores se cumple la igualdad 252 −=+ xx

Respuesta: { }1,7 −−

583. Determinar el dominio de definición de la siguiente función real de variable real: 24 xy −=

Respuesta: { }22 ≤≤−∧ℜ∈= xxxD

584. Determinar el dominio: 323 +−= xxy

Respuesta: ℜ=D 585. Determinar el dominio:

9312 −

=x

y

Respuesta: { }3±≠∧ℜ∈= xxxD 586. Determinar el dominio:

xy

−=

11

Respuesta: { }1<∧ℜ∈= xxxD 587. Dada la función ( ) 75 2 −= xxh . Determinar el dominio y el recorrido de la función

( )351 +− xh

Respuesta: ( ) { }7/;351 −≥∧ℜ∈=ℜ=+− xxxRD xh

588. Una pelota cae desde una altura de 122,5 m, según la relación altura-tiempo dada por

29,45,122 th −= . ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función?

Respuesta: [ ] [ ]5,122;0;5;0 == RD

589. Con 100 m de tejido se puede alambrar el perímetro de un terreno rectangular. Si x es un lado del terreno, determinar el área en función de x . Establecer el dominio y el recorrido de la función. Respuesta: ( ) ( )xxxA −= 50 ; ( )50;0=D ; ( )625;0=R




590. Si la relación entre la cantidad de calor en función de la temperatura para un gramo de agua está definida por:

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤<+

=

<≤−+

=oo

o

oo

tsittsi

tsit

tQ10085

045

010521

Determinar el dominio y el recorrido de la función. Respuesta: [ ]10;10−=D ; [ ]95;0=R

591. En la tabla se tiene las alturas de distintos árboles y sus sombras tomadas en un mismo día al mismo instante.

a) Exprese la función que relaciona las dos variables de la tabla. b) ¿Cuál es la longitud de la sombra de un árbol de 18m de altura? c) ¿Cuál es la altura del árbol que da una sombra de 9,6m?

Altura 2 3 4 8 Sombra 1,6 2,4 3,2 6,4

Respuesta: a) xy 8,0= , siendo x = altura e y = sombra. b) 14,4m. c) 12m.

Siendo las funciones ( ) 67 2 −= xxf y ( ) ( )2

5−=

xxg , hallar las funciones:

592. ( ) ( )xgxf +

Respuesta: 2

172

7 2 −+xx

593. ( )( )xfg −

Respuesta: 27

27 2 ++−

xx

594. ( )[ ]xgf

Respuesta: 27 35 1514 2 4

x x− +

595. fg

Respuesta: 2

1127 2 −x




Conociendo ( ) 622 −+= xxxg , hallar:

596. ( ) ( )23 gg − Respuesta: 7

597. ( ) ( )[ ]82 +− xgxg

Respuesta: 4 2 18 80x x x+ − − 598. ( ) ( )xghxg −+

Respuesta: ( )122 ++ xhh

599. ( )[ ]31 −−gg Respuesta: -3

Conociendo ( )263 2xxxh −

= , determinar:

600. ( )xh 2

Respuesta: 2123 xx −

601. ( )12 −ch

Respuesta: 29

2153 24 −+− cc

602. ( ) ( )121 −−+ xhxh

Respuesta: 2 39 1532 2

x x− +

603. Demostrar ( ) ( )fghfgh = para las funciones ( ) 92 −= xxf ; ( ) 75 −= xxg y

( ) xxh −= 3 , definidas como sigue ℜ→ℜℜ→ℜℜ→ℜ :;:;: hgf

Respuesta: ( ) ( ) xfghfgh 1055−==

604. Determinar gf y fg e indicar en cada caso el dominio y recorrido de cada una de las funciones resultantes. ( ) ( ) xxgsenxxf 5; == Respuesta: { } { }55/;;11/; <<−∧ℜ∈=ℜ=<<−∧ℜ∈=ℜ= yyyRDyyyRD ggff

605. Determinar la función lineal que cumple las condiciones: ( ) 5,25 =f y ( ) 67 =f

Respuesta: ( ) 25,675,1 −= xxf




606. Escribe la función cuadrática que cumple las condiciones: ( ) ( ) ( ) 573;1215;60 =−== fff

Respuesta: 625 2 +−= xxy 607. Si las funciones f , g y h están definidas como se indica en el diagrama, con su dominio a

la izquierda, y el codominio a la derecha, decir ¿cuáles son inyectivas o sobreyectivas o am-bas?

Respuesta: f es inyectiva y h es biyectiva Dadas las funciones AAgAAf ⎯→⎯⎯→⎯ :;: y AAh ⎯→⎯: con [ ]∞= ,0A . ¿Cuál de ellas es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva? 608. ( ) 52 −= xxf

Respuesta: es biyectiva

609. ( ) ( )32+= xxg Respuesta: es inyectiva

610. ( ) xxh cos= Respuesta: no es inyectiva ni sobreyectiva

Considerar las funciones siguientes definidas del conjunto de los números reales al conjunto de los números reales:

611. ¿Cómo se puede definir 1−f si ( )523−+

=x

xxf con BAf →: y ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−ℜ=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−ℜ=

21;

25 BA ?

Respuesta: ( )12351

−+

=−

xxxf

612. Verificar ( )[ ] xxff =−1 para ( )672

+−

=xxxf y establecer el dominio de la función inversa.

Respuesta: { }21 −ℜ=−fD

613. Restringir el dominio de la función ( ) 922 −+= xxxf para que tenga función inversa.

Respuesta: [ )∞−= ;1D

5 6 7

1 2 3

a b c

x y z

g hf




614. Determinar el dominio para que la función ( ) ( )75−

=xx

xf tenga función inversa.

Respuesta: ( )7 7 72

D ; ;⎡ ⎞= ∪ ∞⎟⎢⎣ ⎠

615. Establecer el dominio y el rango para la existencia de la función inversa de ( ) yyg 26−=

Respuesta: ( ] +ℜ=∞−= RD ;3;

616. Restringir el dominio de la función ( )( )2

2

341305

+−+

=x

xxxf para que tenga función inversa.

Respuesta: ( )∞−= ;3D

DIVISIBILIDAD – TEOREMA DEL RESTO – ESQUEMA DE RUFFINI-BRIOT

Hallar sin efectuar la división, el residuo de dividir: 617. 4 3 25 2 6a a a− + − entre ( )3a +

Respuesta: 72 618. 5 4 3 23 2 4 2 2x x x x x+ − + − + entre ( )3x +

Respuesta: 98 619. 3 26 3 5x x x+ + + entre ( )2 1x +

Respuesta: 3 620. 4 3 25 12 9 22 21x x x x− + − + entre ( )5 2x +

Respuesta: 1254017

Verificar, sin efectuar la división, si son exactas las divisiones siguientes: 621. 4 3 22 5 7 9 3x x x x− + − + entre ( )1x −

Respuesta: no es exacta 622. 5 4 3 26 2 3 3 3x x x x x+ − − + + entre ( )3 1x +

Respuesta: no es exacta




623. 5 4 3 23 2 3 2 6 7n n n n n+ − − + + entre ( )3 2n +

Respuesta: no es exacta 624. 4 3 216 24 37 24 4x x x x− + − + entre ( )4 1x −

Respuesta: 451

Halla el valor de K para que: 625. 42 25a a K+ + sea divisible entre ( )3a +

Respuesta: 87−=K 626. 3 220 7 29x x x K− + + sea divisible entre ( )4 1x +

Respuesta: 8=K 627. Efectuar la división del Polinomio 4 3 23 2 8x x x x+ − − + entre 2 5 2x x+ − .

Respuesta: cociente 1022 +− xx ; resto 2855 +− x 628. Dividir 3 3 3 3a b c abc+ + − entre ( )a b c+ +

Respuesta: cociente bcacabcba −−−++ 222 ; resto 0

629. Determinar el valor de a en el polinomio 5 4 3 23 2 4 7 16x x x x ax− + − + − de modo que sea divisible por ( )1x −

Respuesta: a =18

630. Dado el polinomio 4 3 24 10x x x ax b− − + + ; determinar a y b, de modo que sea divisible por 2 5x x− + Respuesta: 90;3 −== ba

631. Dado el polinomio 4 2x px q+ + , determinar las constantes p y q de modo que sea divisible

por 2 6 5x x− + Respuesta: 25;26 =−= qp

632. Determinar p y q de modo que el polinomio 4 2x px q+ + sea divisible entre 2 2 5x x+ +

Respuesta: 25;6 == qp




633. Sabiendo que 3 23x x ax b+ + + es divisible por los binomios ( )3x + y ( )2x − encontrar

a y b. Respuesta: 12;4 −=−= ba

634. Sabiendo que 3 22 12x x mx− + − es divisible por ( )2x − , encontrar m.

Respuesta: 0=m 635. Si ( )1x + es un divisor de ( )3 22 3 3x ax a b x b− + + − y de ( )3 2 2x a b x a− + + , hallar

a y b. Respuesta: 4;3 −== ba

636. Determinar por el método de polinomios idénticos (método de Descartes), el cociente y el

resto de la división de 1891432 234 ++−− xxxx por 673 −− xx Respuesta: ( ) ( ) 0;32 =−= xRxxQ

637. Determinar por el método de polinomios idénticos (método de Descartes), el cociente y el resto de la división de 1232 24 ++ xx por 23 23 +− xx Respuesta: ( ) ( ) xxxRxxQ 421;62 2 −=+=

638. Determinar por el método de polinomios idénticos (método de Descartes), el cociente y el resto de la división de 236 32 +− xx por 33 3 −− xx Respuesta: ( ) ( ) 152;12 2 −+=−= xxxRxxQ

639. ¿Qué expresión se debe adicionar al binomio 3 22x x+ para que sea divisible por ( )5x + ?

Respuesta: x15− 640. Demostrar que ( )1x + y ( )3x − son factores de ( ) ( ) ( )4 3 21 13 2 3 1 12x a x a x a x− − − − + − +

641. Determinar la relación entre a y b para que el polinomio 4 32 7x x ax b− + + sea divisible

entre ( )3x −

Respuesta: 273 =+ ba 642. Determinar m, n y p de modo que el polinomio ( ) ( )( )4 22 1 1x mx x nx p x+ + + + + sea divi-

sible por el producto ( )( )( )1 2 3x x x− − −

Respuesta: 6;16;11 −==−= pnm




643. Hallar todos los valores de la variable x para los cuales ( ) 0=xf

( ) 1053 234 −−+−= xxxxxf

Respuesta: ixixxx 21;21;2;1 4321 −=+==−=

644. Obtener un polinomio cuyas raíces sean ii 25;25 −+ .

Respuesta: 29102 +− xx

645. Escribir un polinomio que tenga a iyi −+ 527 como raíces.

Respuesta: ( ) ( )ixix 337122 +++−

DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES

646. Descomponer: 2

4 25 4

5 4x

x x−

− +

Respuesta: ( ) ( ) ( ) ( )234

161

234

161

−+

++

+−

−−

xxxx

647. Descomponer: 3 2

4 210 65 6

13 36x x xx x+ − +− +

Respuesta: ( ) ( ) ( ) ( )22

23

33

32

−+

++

−+

+ xxxx

648. Descomponer: 2

3 24 28 28

3 4 12x x

x x x− +

− − +

Respuesta: ( ) ( ) ( )34

24

25

−−

−+

+ xxx

649. Descomponer: 2

3 25 5

3 4x xx x

+ −− +

Respuesta: ( ) ( ) ( )223

22

11

−+

−+

+−

xxx

650. Descomponer: ( )

3

311

xx x

+

−

Respuesta: ( ) ( ) ( )32 12

11

121

−+

−+

−+−

xxxx




651. Descomponer: ( )2

44x x +

Respuesta: ( )41

2 +−

xx

x

652. Descomponer: ( ) ( )22 2

16

1 3x x+ +

Respuesta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222222 38518688

325534820

369301

32320

11

1851934

++

+−

+−

++

++

+ xxx

xxx

xx

653. Descomponer: ( )3 2

22

2

2

x x

x

+ +

+

Respuesta: ( )( ) ( )222 2

221

+−

++

−x

xxx

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

654. Resolver la ecuación: 2 64x = Respuesta: 6

655. Resolver la ecuación: 125 625x− =

Respuesta: 3

656. Resolver la ecuación: 3437 862

=+− xx Respuesta: 5; 1

657. Resolver la ecuación: 3 1 4 22 5 110x x.+ − =

Respuesta: 0,89

658. Resolver la ecuación: xba c=

Respuesta: ( )b alog log c

659. Resolver la ecuación:xbca d=

Respuesta: ac

log dlogb

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠




660. Resolver: 1 2 3 4 53 3 3 3 3 3 1092x x x x x x− − − − −+ + + + + = Respuesta: 6

661. Resolver: 22 21 2 80 0x x.− + =

Respuesta: 4; 2,322 662. Resolver: 9 4 3 45 0x x.− − =

Respuesta: 2

663. Resolver: 1 644 2574

xx

+ + =

Respuesta: 3; 1− 664. Resolver: ( ) ( )1 1 3log x log x+ + − =

Respuesta: 1001

665. Resolver: ( ) ( )3 xx xa a=

Respuesta: 0; 3

666. Resolver ( )4 22 4xxa a−= , sabiendo que 1a ≠

Respuesta: 12

− ; 1

667. Resolver ( )2 37 24x xa a+ −= , sabiendo que 1a ≠

Respuesta: 1− ; 7−

668. Resolver: ( ) 125 47 7xx + −=

Respuesta: 15

− ; 45

−

669. Resolver: ( ) ( )2 7 6 12 1 3 2 7 2 65 5 5 5 5x xx x x x x. . .+ −+ − − +=

Respuesta: 4

670. Resolver: 1 2 11 2 2 133 3 3x x xx x x.− − ++ + +=

Respuesta: 65

; 5




671. Resolver: 2 2 11 1 2 17 7 7x x xx x x.+ − ++ − += Respuesta: 0; 4−

672. Resolver: 1 3 5 2 12 2 2 2 512x. . . . − =

Respuesta: 3 673. Resolver: 1 2 3 4 667 7 7 7 7 7x. . . . . =

Respuesta: 11

674. Resolver: 2 163 81x x− − =

Respuesta: 4− ; 5

675. Resolver: 2 2 319 1x x+ − =

Respuesta: 3− ; 1 676. Resolver: 1 2 17 7 5 5 5x x x x x+ + ++ = + +

Respuesta: 4099log

677. Resolver: 1 2 2 4 67 7 7 3 3 3 3x x x x x x x+ + + + ++ + = + + +

Respuesta: 3,14 678. Resolver: mx nxa b c⋅ =

Respuesta: ( )nmbac

loglog

679. Resolver: ( )2 32 57 65 2 1x x+ − = −

Respuesta: 3; 3− 680. Resolver: 1 27 7 7 2793x x x+ ++ + =

Respuesta: 2 681. Resolver: 2 1 15 5 5 5 156x x x x+ + −+ + + =

Respuesta: 1

682. Resolver: 3

2 1 32 8 24 0x

x+

− − + = Respuesta: 2




683. Resolver: 1 183 293

xx

+ + =

Respuesta: 2; 0 37,− 684. Resolver: 7 4 7 1 7 2 7 52 2 2 2 2340x x x x+ + − −+ + + =

Respuesta: 1 685. Resolver: 2 3 35 25 25 125 150x x x x− − −− + + =

Respuesta: 4

686. Resolver: 2 5 94 3 972x x. − + =

Respuesta: 1; 4 687. Resolver: 5 2 4 11 33 5 15x x x.− − −=

Respuesta: 3 688. Resolver: ( )( )1 2 3 13 3 5 5 17528x x x x− + + −+ + =

Respuesta: 1

689. Resolver: ( )( )

( ) ( )2 2

2

x

xa ba b a b

a b

−− = +

+

Respuesta: ( )( ) 1

loglog 2

−−+

baba

690. Resolver: 23

22 4 7568

x

,⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =

Respuesta: 1

691. Resolver: 1 421 0 7071

4

x

,⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Respuesta: 12

692. Determinar los valores de a y b para obtener la función ( ) xabxf = , tal que ( ) 2,833 =f y

( ) 6,25,0 =f

Respuesta: ( ) xxf 4.3,1=




693. Conociendo que 2 0 30103log ,= y 3 0 47712log ,= , hallar log x .

( ) ( )2 37 2 5 4625

, ,x

×=

Respuesta: 1,11595 694. Sabiendo que 2 0 30103log ,= , hallar log x .

4 781 25x ,= Respuesta: 0,72319

695. Sabiendo que a b> ; a y b positivos y que verifican la expresión ( )log a b log a log b− = + ,

hallar la relación que existe entre a y b

Respuesta: 1

bab

=−

696. Demostrar que si a y b son las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo y c la me-

dida de su hipotenusa, entonces se verifica: 2 c b c b c b c blog a log a log a log a+ − + −⋅ = + .

697. Simplificar, utilizando las propiedades de los logaritmos: 75 135 452 349 32 28

log log log+ −

Respuesta: 2150log

698. Simplificar: ( )

12 4 6

3 3 69

ab clog

a b c−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Respuesta: 2

log a

699. Dado 5 0 69897log ,= y 3 0 47712log ,= , hallar

13 525

9log

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Respuesta: 0,26662

700. Demostrar que: 1aa

am

log k log mlog k

= + .

701. Resolver: 17 3 4 5 32

log x log x log+ + + = +

Respuesta: 1




702. Resolver: 3 37 5log x log x+ =

Respuesta: 151610

703. Resolver: ( ) ( )21 2 1 2log x log x x− + − + =

Respuesta: 3 100 1+ 704. Resolver: ( ) ( ) 32log1,0log157log +−=−+ xx

Respuesta: 23;

75

−−

705. Resolver: ( )1 12 3 1 1 55 2

x xlog log log x lg− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Respuesta: 11

706. Resolver: 322 2xlog x log= −

Respuesta: ( ) 120 10

−

707. Resolver: 3 101log xlog x

= +

Respuesta: 100; 5310

−

708. Resolver: ( ) ( )2 27 9 3 4 2log x log x− + − =

Respuesta: 2; 1321

709. Resolver: ( )1610log2324log4log

21

842 −=−+ xxx

Respuesta: 2; 8

710. Sabiendo que: 7 0 845098log ,= ; 10 1log = ; 13 1 113943lg ,= , hallar: 534300528561

log

Respuesta: 0,079522




711. Utilizando las propiedades de los logaritmos, demostrar:

75 5 322 2 016 9 243

log log log log− + − =


13117 7 6 014

log log log log− − − =


11 490 72 2 015 297 9

log log log+ − − =

714. Efectuar utilizando las propiedades de los logaritmos 3 2 52 5 3log .log .log .

Respuesta: 1 715. Sabiendo que 4blog a = , hallar 2

6a

log b .

Respuesta: 34

716. Resolver: 3 23

xlogx+⎛ ⎞ =⎜ ⎟−⎝ ⎠

Respuesta: 33

101

717. Resolver: ( ) ( )1 54 2 6 2 7 0x xlog log log− −− − + + =

Respuesta: 2; 1,192612

718. Resolver: 100 1 410 3

log x

log x+

=

Respuesta: 3 ; 33

719. Hallar un número tal que el doble de su logaritmo exceda en una unidad al logaritmo del

número que resulta aumentando en 1110

al que se pide.

Respuesta: 11 720. Si la diferencia de los logaritmos de las raíces cuadradas de dos números que se diferencian

en 11 unidades es igual a 0,0791812, hallar los números.




Respuesta: 25; 36 721. La suma de los logaritmos de tres números en progresión geométrica de razón 3 es

4,2940913. Hallar los números. Respuesta: 27; 81

PROGRESIÓN ARITMÉTICA

722. En una progresión aritmética los términos que ocupan los lugares 54 y 4 son 61− y 64 res-pectivamente. Hallar el término que ocupa la posición 23.

Respuesta: 332

723. La suma del cuarto y décimo términos de una progresión aritmética es 60 y la relación del

segundo al décimo es un tercio. Hallar el primer término. Respuesta: 10

724. En una progresión aritmética de 12 términos, el primero y el duodécimo suman 53,5. ¿Cuál

es la suma del tercero y el décimo? Respuesta: 53; 5

725. En una progresión aritmética, cuyo primer termino es 4, la suma del cuarto y noveno térmi-

nos es igual a la semisuma del undécimo y décimo séptimo. ¿Cuáles son esos términos? Respuesta: 10; 20; 24; 36

726. El quinto término de una progresión aritmética es 31 y el noveno 59. Hallar el duodécimo

término. Respuesta: 80

727. Hallar tres términos consecutivos de una progresión aritmética, sabiendo que si al primer

término se le suma 2, al segundo 5 y al tercero 13 se obtienen números proporcionales a 15, 30 y 60 respectivamente. Respuesta: 3; 5; 7

728. La suma de tres números en progresión aritmética es igual a 3. El cociente de dividir el

primer término por el tercer término es 2 . Hallar los tres números.

Respuesta: 2 22 1+

; 1; 22 1+

729. Los tres primeros términos de una progresión aritmética son 5, 9 y 13. ¿Cuántos términos

de dicha progresión deben considerarse par obtener como suma de los mismos 10877? Respuesta: 73




730. El primer término de una progresión aritmética es 3 y la suma de los 12 primeros términos es 168. ¿Cuántos términos, a partir de cuarto, sumaran igual que la suma del undécimo y duo-décimo términos? Respuesta: 4

731. Si los dos primeros términos de una progresión aritmética de 280 términos son 32

y 2,

hallar la suma de los 80 últimos términos. Respuesta: 9700

732. Hallar el vigésimo término de una progresión sabiendo que sus tres primeros términos son

2 ; 3 ; 3 22

.

Respuesta: 93 3

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

733. El noveno, décimo y undécimo términos de una progresión aritmética son 12

; 56

; 76

, res-

pectivamente, hallar la suma de los 20 primeros términos de la progresión. Respuesta: 20

734. La razón de una progresión aritmética es 2 y el séptimo término es el triple del segundo.

Formar la progresión. Respuesta: ÷ 3 : 5 : 7 : 9 ...

735. Un joven ahorra cada mes G 300 más de lo que ahorró el mes anterior. En cinco años sus

ahorros suman G 1.059.000. Hallar la suma ahorrada en el primer y último mes. Respuesta: G 8.800; G 26.500

736. Una empresa ganó G 1.867.500 en 6 días. Si sus ganancias están en progresión aritmética y

el primer día ganó G 280.000. ¿Cuánto ganó cada día? Respuesta: G 280.000; G 292.500; G 305.000; G 317.500; G 330.000; G 342.500

737. La suma de los dos primeros términos en una progresión aritmética es 4 y el sexto término

es 38. Hallar el noveno término de la progresión. Respuesta: 62

738. En una progresión aritmética, la suma del segundo y sexto términos es igual a 6 y la suma

del quinto y décimo términos es igual a 20. Hallar el vigésimo término. Respuesta: 35




739. Los términos séptimo, décimo y último de una progresión aritmética son 16; 22 y 32 res-pectivamente. Hallar el número de términos de la progresión. Respuesta: 15

740. Determinar la suma de los 25 últimos términos de una progresión aritmética de 75 térmi-

nos, sabiendo que los dos primeros términos son –17 y 1163

− .

Respuesta: 18253

741. En una progresión aritmética la razón es 3; el último término es 23 y la suma de los n pri-meros términos es 98. Determinar el número de términos de la progresión. Respuesta: 7

742. Los tres primeros términos de una progresión aritmética son 637,5; 657 y 676,5. La suma

de todos los términos de la progresión es igual a 8937. Calcular el número de términos. Respuesta: 12

743. Hallar la suma de todos los números pares comprendidos entre 98 y 1002.

Respuesta: 248.050

744. Hallar la suma de los 7 primeros términos de la progresión aritmética ( )2a b− : ( )2a b+ : ...

Respuesta: 2 27 7 70a b ab+ + 745. El primer término de una progresión aritmética es 17; el último término es 12 y la razón

es 12

− . Hallar el número de términos y la suma de la progresión.

Respuesta: 11; 159,5 746. Calcular el número de términos de una progresión aritmética cuyo primer término es 2a − ;

razón 2 a− y suma 10 5a− . Respuesta: 5

747. En una progresión aritmética de 6 términos, el primero es 2 y la suma de todos ellos es

igual a la mitad del cuadrado del número de términos. Formar la progresión. Respuesta: ÷ 2 : 2,4 : 2,8 : 3,2 : 3,6 : 4

748. Si b es el segundo término de una progresión aritmética de 5 términos y la suma de estos es

10 5b a− . Hallar el primer término. Respuesta: a




749. ¿Cuantos números impares consecutivos mayores que 7, suman 153? Respuesta: 9

750. Calcular el último término y la razón de una progresión aritmética cuyo primer término es

a b− ; el número de términos es 4 y la suma es 4 2a b+ . Respuesta: 2a b+ ; b

751. Hallar la suma de los n términos de la progresión 1nn− : 2n

n− : 3n

n− : ...

Respuesta: 12

n −

752. Hallar el último término y la suma de los 20 primeros términos de la progresión aritmética

a : a b+ : 2a b+ : ... Respuesta: 19a b+ ; 20 190a b+

753. Hallar la suma de los 12 primeros múltiplos de 5.

Respuesta: 390 754. El primer término de una progresión aritmética es n; el número de términos n y la razón n.

Calcular el último término y la suma de la progresión.

Respuesta: 2n ; 2 3

2n n+

755. La siguiente progresión aritmética: .... : 6 : 7,5 : ........ : 28,5; es de 20 términos. Hallar la

suma de los mismos. Respuesta: 285

756. El producto de tres números positivos en progresión aritmética es 2688, y el más pequeño

de ellos es 12. Determinar los otros dos. Respuesta: 14; 16

757. En una progresión aritmética de razón 4, el producto de sus cuatro términos es 144. ¿Cuál

es la progresión? Respuesta: -6; -2; 2; 6

758. Sabiendo que la suma de seis términos consecutivos de la progresión aritmética

8 : 11 : 14 : ... ; es 147. ¿Cuáles son el primer y el último término? Respuesta: 17; 32




759. La suma de los 9 términos de una progresión aritmética es 27 y la diferencia entre el último y el primero es 16. ¿Cuál es la progresión? Respuesta: –5 : –3 : –1 : 1 : ... : 11

760. Los tres primeros términos de una progresión aritmética son números consecutivos y el

producto de ellos es 24 veces el segundo. Formar la progresión. Respuesta: 4 : 5 : 6 : ...

761. En una progresión aritmética se verifica que el primer término es el doble de la razón e

igual al número de términos, y que el segundo término es igual a la diferencia entre el último término y el tercero. Hallar el primer término, el último término, el número de términos y la suma de la progresión. Respuesta: 6; 21; 6; 81

762. Una persona, no pudiendo pagar de una vez una deuda de $ 12.950, propone a sus acreedo-

res pagar $ 600 al final del primer mes y cada mes $ 50 más que el anterior. ¿En cuantos me-ses pagará toda la deuda y cual será el importe del último pago? Respuesta: 14 meses; $ 1.250

763. La suma de cinco términos enteros de una progresión aritmética creciente es 35 y el pro-

ducto de ellos es 3640. Formar la progresión. Respuesta: 1 : 4 : 7 : 10 : 13

764. Dada la progresión aritmética 3 : 6 : 9 : ...; hallar el número de términos que se han de to-

mar de esa progresión, a partir del undécimo termino para que su suma sea igual a 495. Respuesta: 11

765. Determinar la suma de los n primeros números impares.

Respuesta: 2n 766. Determinar la suma de los n primeros números pares

Respuesta: ( )1n n −

767. Calcular la suma de los 100 primeros números múltiplos de 3 mayores que 100.

Respuesta: 25050 768. Calcular la suma de los números inferiores a 1000 que no son divisores de 7.

Respuesta: 428429




769. Encontrar cinco números en progresión aritmética creciente, sabiendo que su suma es 15 y su producto 210.

Respuesta: 2 : 52

: 3 : 72

: 4; 3 2 11− : 3 11− : 3 : 3 11+ : 3 2 11+

770. Demostrar que si 1b c+

, 1c a+

, 1a b+

están en progresión aritmética entonces 2a , 2b , 2c

también lo están. 771. Sabiendo que el enésimo término de una progresión aritmética es 3 2n + , calcular la suma

de los 10 primeros términos. Respuesta: 185

772. El primer término de una progresión aritmética es 23 y el último es 35. Determinar la pro-

gresión, sabiendo que el número de términos es igual a la razón. Respuesta: 23 : 27 : 31 : 35

773. Determinar una progresión aritmética de 10 términos, sabiendo que la suma de los dos pri-

meros términos es –13 y los dos últimos 67. Respuesta: –9 : –4 : 1 : 6 : ...

774. El término enésimo de una progresión aritmética es ( )1 3 16

n − . Determinar el primer térmi-

no, la razón y la suma de los términos.

Respuesta: 13

; 12

; ( )3 112

n n +

775. Encontrar cuatro números en progresión aritmética, sabiendo que la suma vale 36 y que el

producto del segundo por el tercero excede al producto de los extremos en 32. Respuesta: 3; 7; 11; 15

776. ¿Cuántos múltiplos de 11 existen entre 100 y 1000?

Respuesta: 81

777. Calcular el valor de a de modo que ( )24a + , ( )21a − , ( )22a + formen una progresión arit-

mética.

Respuesta: 98

−




778. Hallar cuatro números en progresión aritmética creciente, sabiendo que su suma es 2 y que la suma de sus cuadrados es 46. Respuesta: –4; –1; 2; 5

779. Calcular el primer término y la razón de una progresión aritmética de 100 términos, sabien-

do que la suma de sus términos vale 100 y que el último término también es 100. Respuesta: –98; 2

780. Una progresión aritmética tiene 21 términos. La suma de los tres términos medios es 129 y

la suma de los tres últimos es 237. Determinar la progresión. Respuesta: ÷ 3 : 7 : 11 : ... : 83

PROGRESION GEOMÉTRICA

781. La población de un pueblo ha aumentado en progresión geométrica de 59049 habitantes en 1971 a 100000 habitantes en 1976. ¿Cuál es la razón de crecimiento por año? Respuesta: 1,1

782. Encontrar cinco números en progresión geométrica, sabiendo que la suma de los dos prime-

ros términos es 89

y la de los dos últimos es 24.

Respuesta: 29

; 23

; 2; 6; 18

783. Hallar tres números en progresión geométrica, sabiendo que el mayor de ellos excede en

115 a la suma de los otros dos y cuyo producto es 328509. Respuesta: 23; 69; 207

784. Los tres primeros términos de una progresión geométrica de doce términos son 23

, 29

y

227

. Determinar la suma de los cinco últimos términos.

Respuesta: 243242

785. La suma de los tres términos consecutivos de una progresión geométrica creciente es 26. Si

se resta 8 del tercer termino, la misma se transforma en una progresión aritmética. Formar las progresiones. Respuesta: 2 : 6 : 18 : .... ; 2 : 6 : 10 : ....




786. El cuarto término de una progresión geométrica es 14

y el séptimo término es 132

. Hallar el

sexto termino de la progresión

Respuesta: 116

787. Si el quinto término de una progresión geométrica es 9 y el undécimo término es 6561,

hallar el primer término.

Respuesta: 19

788. ¿Qué número debe sumarse a los números 10, 25 y 55 para que se tenga una progresión

geométrica? Respuesta: 5

789. Los 4 primeros términos de una progresión geométrica son ( )2 7a + ; ( )7 19a + ; ( )40 19a +

y ( )100 97a + , hallar el valor numérico del quinto término sabiendo que a es entero.

Respuesta: 891 790. Hallar el número de términos y la razón de una progresión geométrica, cuyo primer término

es 4, el último término es 62500 y la suma de todos los términos es 78124. Respuesta: 7; 5

791. Si la razón de una progresión geométrica es 2; el número de términos es 11 y la suma de

ellos es 207, hallar los términos extremos.

Respuesta: 89

9216;899

792. La suma de los 5 términos que forman una progresión geométrica es ( )( )2 1 1b b+ + y la ra-

zón es b . ¿Cuál es el primer término?

Respuesta: 4

511

bb

−−

793. Sabiendo que a y aa b−

son los dos primeros términos de una progresión geométrica,

hallar la suma de los seis primeros términos de la progresión.

Respuesta: ( )[ ]( )( )5

6

11

bababaa−+−

−−




794. El número de términos de una progresión geométrica es 6; la suma de todos ellos es 364 y la diferencia entre el cuarto término y el tercero es igual al séxtuplo del segundo. Calcular el primer término. Respuesta: 1; 3

795. El primer término de una progresión geométrica es 1; el producto de todos los términos es

32768 y el número de términos es 6. Calcular la suma. Respuesta: 63

796. Siendo 1 el primer término y 3 la razón de una progresión geométrica. ¿Cuál es la suma de

los términos comprendidos entre el segundo y el noveno? Respuesta: 3276

797. Hallar la suma de los 5 primeros términos de una progresión geométrica, en la que se veri-

fica que la suma del primero y segundo términos es 12 y la suma del primero y tercero es 30. Respuesta: 363

798. En una progresión geométrica de 4 términos, la suma de los dos primeros es 1 y la de los

dos últimos 16. Escribir la progresión.

Respuesta: 15

: 45

: 165

: 645

799. La suma de los términos que ocupan el lugar impar en una progresión geométrica de 6 tér-

minos es 1365 y la suma de los que ocupan el lugar par es 5460. Hallar el primer término y la razón de la progresión. Respuesta: 5; 4

800. Las edades de cuatro hombres están en progresión geométrica. El producto de todas ellas es

3779136 y el más joven de ellos tiene 24 años. ¿Qué edad tiene el más viejo? Respuesta: 81

801. La suma de tres términos de una progresión geométrica es 56 y la diferencia de los extre-

mos es 24. Determinar la progresión. Respuesta: 8 : 16 : 32

802. La suma de tres términos de una progresión geométrica decreciente es 39 y su producto es

729. Encontrar la progresión. Respuesta: 27 : 9 : 3 : 1 : ...




803. La suma de los términos de una progresión geométrica de 5 términos es 186, siendo la su-ma de los dos términos de orden par 60. Determinar la progresión. Respuesta: 6 : 12 : 24 : 48 : ...

804. Dividir el número 65 en tres partes formando una progresión geométrica tal que el tercer

termino exceda al primero en 40. Respuesta: 5; 15; 45

805. Calcular el valor de x de tal modo que los números: ( )5 x+ ; ( )29 x+ ; ( )101 x+ estén en

progresión geométrica. Respuesta: 7

806. Hallar una progresión geométrica con 9 términos, sabiendo que la suma de sus tres prime-

ros términos es 14 y la suma de los tres últimos es 896. Respuesta: 2 : 4 : 8 : 16 : ...

807. Dividir el número 221 en tres partes que formen una progresión geométrica tal que el tercer

termino exceda al primero en 136. Respuesta: 17; 51; 153

808. Calcular tres números enteros en progresión geométrica sabiendo que la suma es 31 y se

cumple 1 2

1 3

313

t tt t+

=+

Respuesta: 1; 5; 25

809. Calcular tres números cuya suma sea 33 y que estén en progresión aritmética y geométrica simultáneamente. Respuesta: ( )11;11;11

810. Calcular la suma de tres números en progresión geométrica creciente, sabiendo que su suma

es 28 y que la suma de sus cuadrados es 336. Respuesta: 4; 8; 16

811. Determinar la progresión geométrica de 6 términos, tal que la suma de los términos de or-

den impar sea 182 y la suma de los de orden par sea 546. Respuesta: 2 : 6 : 18 : 54 : 162 : 486




812. Determinar 4 números en progresión geométrica creciente, sabiendo que la suma de sus cuadrados es 85; el exceso del segundo sobre el primero es 1 y el exceso del cuarto sobre el tercero es 4. Respuesta: 1; 2; 4; 8

813. Son dados 4 números tal que aumentados en 2; 4; 8 y 15, respectivamente, pasan a consti-

tuir una progresión geométrica. Determinar los números. Respuesta: 6; 8; 10; 12

ejercitario matemática i ingeniería una

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