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BACHILLERATOUnidad 3. Álgebra
29
Matemáticas I
Ejercicios y problemas propuestos
Página 94
Para practicar
Factorización
1 Descompón en factores estos polinomios y di cuáles son sus raíces:
a) 9x 4 – x 2 b) 4x 2 – 28x + 49 c) x 3 + 9x 2 + 27x + 27
d) 2x 3 – x 2 – x e) x 4 – 13x 2 + 36 f ) x 4 + 2x 2 + 1
a) 9x 4 – x 2 = x 2 (9x 2 – 1) = x 2 (3x – 1)(3x + 1)
Raíces: x = 0, x = 31 , x = –
31
b) 4x 2 – 28x + 49 = (2x –7)2
Raíz: x = 27
c)
x 3 + 9x 2 + 27x + 27 x + 3 x 2 + 6x + 9 x + 3 x + 3 x + 3 1
x 3 + 9x 2 + 27x + 27 = (x + 3)3
Raíz: x = –3
d)
2x 3 – x 2 – x x2x 2 – x – 1 x – 1
2x + 1 2x + 11
2x 3 – x 2 – x = x (x – 1)(2x + 1)
Raíces: x = 0, x = 1, x = – 21
e)
x 4 – 13x 2 + 36 x – 2x 3 + 2x 2 – 9x – 18 x + 2
x 2 – 9 x – 3x + 3 x + 3
1
x 4 – 13x 2 + 36 = (x – 2)(x – 3)(x + 3)(x + 2)
Raíces: x = 2, x = –2, x = 3, x = –3
f ) x 4 + 2x 2 + 1 = (x 2 + 1)2
Es un producto notable. No tiene raíces porque x 2 + 1 no se puede descomponer.
BACHILLERATOUnidad 3. Álgebra
30
Matemáticas I
2 Halla, en cada uno de estos casos, el máx.c.d. [A(x ), B(x )] y el mín.c.m. [A(x ), B(x )]:
a) A(x ) = x 2 + x – 12; B(x ) = x 3 – 9x
b) A(x ) = x 3 + x 2 – x – 1; B(x ) = x 3 – x
c) A(x ) = x 6 – x 2; B(x ) = x 3 – x 2 + x – 1
a) A(x) = (x – 3) (x + 4); B(x) = x (x – 3) (x + 3)
máx.c.d. [A(x), B(x)] = (x – 3)
mín.c.m. [A(x), B(x)] = x (x – 3) (x + 3) (x + 4)
b) A(x) = (x – 1) (x + 1)2; B (x) = x (x – 1) (x + 1)
máx.c.d. [A(x), B(x)] = (x – 1) (x + 1)
mín.c.m. [A(x), B(x)] = x (x – 1) (x + 1)2
c) A(x) = x 2(x + 1) (x – 1) (x 2 + 1); B (x) = (x – 1) (x 2 + 1)
máx.c.d. [A(x), B(x)] = (x – 1) (x 2 + 1)
mín.c.m. [A(x), B(x)] = x 2(x + 1) (x – 1) (x 2 + 1)
3 Resuelve estas ecuaciones factorizando previamente:
a) 6x 3 + 7x 2 – 1 = 0
b) 16x 5 – 8x 3 + x = 0
c) x 3 + 6x 2 – 7x – 60 = 0
d) x 3 – 49x = 0
e) x 3 + 9x 2 + 15x – 25 = 0
f ) x 6 + 3x 2 = 0
a) 6x 3 + 7x 2 – 1 = 0
6x 3 + 7x 2 – 1 = 6(x + 1) x x21
31–+c cm m
Soluciones: x1 = –1, x2 = – 21 , x3 =
31
b) 16x 5 – 8x 3 + x = 0
16x 5 – 8x 3 + x = 16x x x21
21–
2 2+c cm m
Soluciones: x1 = 21 , x2 = 0, x3 = –
21
c) x 3 + 6x 2 – 7x – 60 = 0
x 3 + 6x 2 – 7x – 60 = (x – 3)(x + 5)(x + 4)
Soluciones: x1 = 3, x2 = –5, x3 = – 4
d) x 3 – 49x = 9
x 3 – 49x = x (x –7)(x + 7)
Soluciones: x1 = 0, x2 = 7, x3 = –7
e) x 3 + 9x 2 + 15x – 25 = 0
x 3 + 9x 2 + 15x – 25 = (x – 1)(x + 5)2
Soluciones: x1 = 1, x2 = –5
f ) x 6 + 3x 2 = 0
x 6 + 3x 2 = x 2(x 4 + 3)
Solución: x = 0
BACHILLERATOUnidad 3. Álgebra
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Matemáticas I
Fracciones algebraicas
4 Simplifica las siguientes fracciones:
a) x x x
x x3 2
–5 4 3
4 2
+ + b)
x xx x x
4 46 12 82
3 2
+ ++ + +
c) x x
x x x2 15
4 11 30–
– –2
3 2
++ + d)
x x xx x
4 44–
3 2
4 2
+ +
a) ( ) ( )( ) ( )
x x xx x
x x xx x x
x xx
3 2 2 11 1 1
21– – –
5 4 34 2
3
2
+ +=
+ ++ =
+
b) ( )( )
x xx x x
xx x
4 46 12 8
22 22
3 22
3
+ ++ + + =
++ = +
c) ( ) ( )
( ) ( ) ( )x x
x x xx x
x x x x2 15
4 11 305 3
5 3 2 2–
– ––
– – – –3 2
++ + =
++ + =
d) ( )
( ) ( )x x x
x xx x
x x x xxx
4 44
22 2
22– – –
3 24 2
2
2
+ +=
++ =
+
5 Opera y simplifica el resultado.
a) : ( )aa
aa
12 123 3
11
– –2
2+ + b) ( )
( )x
x xxx
22 3
12
–– ·
––
3
2
2
2+
c) x
xx
xx x
x2 1 3 2–
––
––2 +
d) :x
xx
xx
x12
12
–++
++
c bm l
e) :xx
xx
x1
21
23
21– ·
++
++
+c m
a) ( ) ( )
( ) ( ) ( )a a
a a a12 1 1
3 1 1 141
––2+
+ + = b) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )x x xx x x
x xx
2 1 13 1 2
2 13
– –– –
–3
2
++ =
++
c) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )x x
x x x x xx x
x x x x x2 1
1 22 1
2 0– –
– – – –– –
– – –2 2= + =
d) ( )
( ) ( ) :( ) ( ) ( )x x
x x xx
x xx x
xxx
x xx
x xx
21 2
22
23 2
2 22
2 23 2
2 13 2– ·
2+ ++
+ + =++
++ =
++ =
++
+
e) ( )
·( )x
x x x x xx2
4 4 4 3 22
1– – –2
2 2
++ + + =
+
6 Demuestra las siguientes identidades:
a) x x
xx x1
11
2 1 1 1–
–2++ =c cm m b) :
a aa
a aa a
3 21
22 1 1
––
– –2
2
2
2
++ + =
c) :xx
xx
x x32
23
31
21
–– –
––
––
–c cm m = 2x – 5
a) ·( ) ( )
· ·x
x xx
xx x
xx
xx x
xx1
1 2 11 1
1 11
1 1 1–
– ––
––
–2
+ =+
+ = =c c c c cm m m m m
b) ( ) ( )( ) ( ) :
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
a aa a
a aa
a aa a
2 11 1
2 11
2 11 2 1
– ––
– ––2+
++ =
++ =
c) ( ) ( )
( ) ( ) :( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) :( ) ( )x x
x xx x
x xx x
x x x xx xx x
3 22 3
3 22 3
3 22 3 2 3
3 22 3
– –– – –
– –– – –
– –– – – –
– –– –2 2
= + + + =f ep o
( ) ( )
( ) :( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )x x
xx x x x
x x x x3 2
2 53 2
13 2
2 5 3 2 2 5– –
–– – – –
– – – –= = =
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Matemáticas I
Ecuaciones de primer y segundo grado
7 Resuelve, cuando sea posible, las siguientes ecuaciones:
a) ( ) ( )x x x x16
12
116
14
2– – –2 2+ + = +
b) 0,2x + 0,6 – 0,25(x – 1)2 = 1,25x – (0,5x + 2)2
c) (5x – 3)2 – 5x (4x – 5) = 5x (x – 1)
a) ( ) ( )x x x x16
12
116
14
2– – –2 2+ + = +
Reducimos a común denominador y multiplicamos por 16.
x 2 – 6x – 7 = x 2 – 6x – 7
Obtenemos una identidad, luego las soluciones son todos los números reales.
b) 0,2x + 0,6 – 0,25(x – 1)2 = 1,25x – (0,5x + 2)2
0,2x + 0,6 – 0,25(x 2 – 2x + 1) = 1,25x – (0,25x 2 + 2x + 4)
–0,25x 2 + 0,7x + 0,35 = –0,25x 2 – 0,75x – 4
0,7x + 0,75x = –0,35 – 4
1,45x = – 4,35
Solución: x = –3
c) (5x – 3)2 – 5x (4x – 5) = 5x (x – 1)
25x 2 – 30x + 9 + 25x – 20x 2 = 5x 2 – 5x
9 = 0
No tiene solución.
8 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) 0,5(x – 1)2 – 0,25(x + 1)2 = 4 – x b) x x x23
22
81
81
41– – – –2 + =b l
c) 0,3!
x 2 – x – 1,3!
= 0 d) (x + 1)2 – (x – 2)2 = (x + 3)2 + x 2 – 20
e) x x x x x x22 5
43
64 15– – –2 2 2+ + = + f ) x x x x
33 1
25 3
21
32– – –
2 2+ + = +
g) (x – a)2 + x (x + b ) = 8b 2 – x (2a – b ) + a 2
a) 0,5(x 2 + 1 – 2x) – 0,25(x 2 + 1 + 2x) = 4 – x
0,5x 2 + 0,5 – x – 0,25x 2 – 0,25 – 0,5x = 4 – x
0,25x 2 – 0,5x – 3,75 = 0
x 2 – 2x – 15 = 0
x = 22
8± = 53–
x1 = –3; x2 = 5
b) x x x x23
44 2
81
81
82 2– – – –2
+ + =c m
;x x x x x x3 48 24 1 1 2 2 3 23 44 0– – – – –2 2+ = + + =
x = 2 16
3 ± = /411 3
x1 = 4; x2 = 311
BACHILLERATOUnidad 3. Álgebra
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Matemáticas I
c) 8x x x x3 3
334 0 3 4 0– – – –
2 2= =
x = ± ±2
3 9 162
3 5+ = = 41–
x1 = 4, x2 = –1
d) x 2 + 1 + 2x – x 2 – 4 + 4x = x 2 + 9 + 6x + x 2 – 20
0 = 2x 2 – 8; x 2 = 4
x1 = –2; x 2 = 2
e) 6x 2 – 12x + 30 – 3x 2 – 9x = 2x 2 – 8x + 30
x 2 – 13x = 0
x1 = 0; x 2 = 13
f ) 6x + 2 – 15x 2 – 9 = 3x 2 – 3 – 2x – 4
0 = 18x 2 – 8x; 2x(9x – 4) = 0
x1 = 0; x2 = 94
g) x 2 + a 2 – 2ax + x 2 + bx = 8b 2 – 2ax + bx + a2
2x 2 = 8b 2; x 2 = 4b 2; x = ±2b
x1 = 2b; x2 = –2b
Ecuaciones bicuadradas
9 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x 4 – 5x 2 + 4 = 0 b) x 4 + 3x 2 – 4 = 0 c) x 4 + 3x 2 + 2 = 0 d) x 4 – 9x 2 + 8 = 0
a) ± ±x2
5 25 162
5 3–2 = = = 14
x1 = 2; x2 = –2; x3 = 1; x4 = –1
b) ± ±x2
3 9 162
3 5– –2 = + = = ( )1
4– no vale
x1 = 1; x2 = –1
c) ± ±x2
3 9 82
3 1– – –2 = = = 812 No tiene solución
––
d) ± ±x2
9 81 322
9 7–2 = = = 18
x1 = 1; x2 = –1; x3 = 2 2; x4 = –2 2
10 Resuelve:
a) (x 2 – 2)2 = 1 b) x x x x4
3 121 2
21
45– – – –4 4 2
2+ =c m
c) x 6 – 2x 3 + 1 = 0 d) x 8 – 15x 4 – 16 = 0
a) ( ) 8x x x2 1 4 4 1– –2 2 4 2= + =
x x4 3 0–4 2 + =
± ±x2
4 16 122
4 2–2 = = = 13
; ; ;x x x x3 3 1 1– –1 2 3 4= = = =
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Matemáticas I
b) x x x x3 1 2 4 5– – – –4 4 2 4+ =
x x4 0–4 2 =
( )x x4 1 0–2 2 = xx
04 1 0–
2
2=
=
;x x x021
21–1 2 3= = =;
c) x x2 1 0–6 3 + =
Hacemos el cambio de variable x 3 = y.
y 2 – 2y + 1 = 0 → y = 1
x 1 13= =
d) x x15 16 0– –8 4 =
Hacemos el cambio de variable x 4 = y.
,8y y y y15 16 0 16 1– – –2 = = = que no es válida.
± ,8x x x16 2 2–41 2= = =
Ecuaciones con fracciones algebraicas
11 Resuelve estas ecuaciones y comprueba la validez de las soluciones:
a) x x
x1 1 0–2+ = b)
xx
xx3 71
8 5– –=+
c) x
xx
x x2 2
2– –
–+ = d) xx
xx x
93
31 2
––
2 +++ = +
e) xx
x xx x
17
2 17 1 4– –2+
++ +
+ = f ) x x x
xxx
5 630
2 32 1–2 + + +
=++
a) x x
x1 1 0–2+ =
Reducimos a común denominador y multiplicamos por x 2.
8 8xx x x2 1 0 2 1 0
21– –2 = = =
1–
211
21
21
02+ =c m
x = 21 es válida.
b) x
xx
x3 71
8 5– –=+
x
xx
x3 71
8 5 0– –+
+ =
Reducimos a común denominador y multiplicamos por x (x + 1).
( )
( ) 8 8x xx x x
17 0 7 0 7– – es válida.
+= = =
c) x
xx
x x2 2
2– –
–+ =
x
xx
x x2 2
2 0– –
+ + =
BACHILLERATOUnidad 3. Álgebra
35
Matemáticas I
Reducimos a común denominador y multiplicamos por (x – 2).
( ) ( )8x
x x x x23 0 3 0
–– –= =
Soluciones: x1 = 3, x2 = 0. Son válidas.
d) xx
xx x
93
31 2
––
2 +++ = +
xx
xx x
93
31 2 0
–– – –2 +
++ =
Reducimos a común denominador, simplificamos y multiplicamos por (x + 3).
( ) 8xx
xx x
xx x
93
31 2
32 0 2 0
–– – – –2
2+
++ =
++ = + =
Solución: x = –2, es válida.
e) xx
x xx x
17
2 17 1 4– –2+
++ +
+ =
xx
x xx x
17
2 17 1 4 0– –2+
++ +
+ + =
Reducimos a común denominador y multiplicamos por (x + 1)2.
( )
8x
x x x x x x1
3 8 10 0 3 8 10 0– –23 2 3 2
++ + + = + + + =
Factorizamos: ( ) ( )x x x x x x3 8 10 5 2 2– – –3 2 2+ + + = + +
La solución es x = 5, que es válida.
f ) x x x
xxx
5 630
2 32 1–2 + + +
=++
x x x
xxx
5 630
2 32 1 0– –2 + + + +
+ =
Reducimos a común denominador y multiplicamos por x 2 + 5x + 6.
8x xx x x x
5 63 8 28 0 3 8 28 0– – –2
2 2+ ++ = + =
Soluciones: x1 = 2, x2 = 314– . Son válidas.
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Ecuaciones con radicales
12 Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones:
a) x5 6+ = 3 + 2x b) x + x7 3– = 1 c) x x2 5 3 0– + = d) x x2 3 5–+ + = 0
a) ;x x x x x5 6 9 4 12 0 4 7 32 2+ = + + = + +
± ±x8
7 49 488
7 1– – –= = = /13 4
––
x1 = –1; x2 = 43–
b) 7 – 3x = 1 + x 2 – 2x; 0 = x 2 + x – 6
x = 12
1 1 242
5– ± – ±= =+ ( )3
2–
no vale
x = –3
BACHILLERATOUnidad 3. Álgebra
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Matemáticas I
c) 2 – 5x = 3x 2; 0 = 3x 2 + 5x – 2
x66
5 25 24 5 7± – ±–= = =+ / ( )1 32–
no vale
x = –2
d) 2x + 3 = x – 5; x = –8 (no vale)
No tiene solución.
13 Resuelve:
a) x x2 5 6–+ = 4 b) x x2 1– + + = 3 c) x x4
7 16
5 7–+ = d) x
x18
=
a) 5x – 6 = 16 + 2x – 8 x2
3x – 22 = –8 x2
9x 2 + 484 – 132x = 64 · 2x; 9x 2 – 260x + 484 = 0
x = ±18
260 224 = / / ( )484 18 242 9
2no vale=
x = 2
b) Aislamos un radical: x x2 3 1– –= +
Elevamos al cuadrado los dos miembros:
x – 2 = 9 – 6 8 8x x x x1 1 6 1 12 1 2+ + + + = + =
Repetimos el proceso: x + 1 = 4 → x = 3
Comprobamos la solución, 3 2 3 1 3– + + = , vemos que es válida.
c) x x x4
7 136
25 49 70–2+ = +
;x x x x x63 9 25 49 70 0 25 133 40– –2 2+ = + = +
x = ±50
133 117 = / ( )58 25 no vale
x = 5
d) x
x18
=
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
x
x18
2 2=c bm l 8 8 8 8
xx
xx
xx x1
641 1
641 0
6464 0 64 0– – – –2 2 3 3= = = = 8
8 x = 64 43 = , solución válida.
14 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x x3 2– – = 0 b) x x x5 7 4 7 6– – –+ + =
c) x4 1–3 = x – 4 d) x x x4 2 8 16– –23 6=
e) x x2 2 6 10– 4+ + = 0 f ) x x3 1 4 3 1–4 4+ = +
a) x x3 2 0– – =
x x3 2= +
( ) ( )x x3 22 2= +
3x = x x2 2 2+ +
BACHILLERATOUnidad 3. Álgebra
37
Matemáticas I
x x2 2 2 2–=
( ) ( )x x2 2 2 2–2 2=
,8x x x x x8 4 8 4 3 2 2 3– –2= + = + = no es válida.
Solución: x = 3 2+
b) x x x5 7 4 7 6– – –+ + =
( ) ( ) 8x x x x x x x5 7 4 7 6 2 7 5 4 6 1 7 6– – – – – – – –2 2+ + = + =
( )8 8x x x x x x2 7 5 4 8 7 5 4 4 7 33 20 16– – – – – – –2 2 2+ = + = =
Soluciones: x1 = 712– , x2 = –3. Las dos son válidas.
c) x x4 1 4– –3 =
Elevamos al cubo ambos miembros:
( ) ( ) 8 8x x x x x x x x x x4 1 4 4 1 12 48 64 12 48 64 4 1 0– – – – – – – –3 3 3 3 2 3 2= = + + + =
Factorizamos:
x 3 – 12x 2 + 44x – 63 = (x – 7)(x 2 – 5x + 9)
Solución: x = 7 es válida.
d) x x x4 2 8 16– –3 26=
Elevamos a la sexta ambos miembros:
(4 – 2x)2 = 8x 2 – 16x → 4x 2 – 16x + 16 = 8x 2 – 16x → 4x 2 + 16 = 0
No tiene solución.
e) x x2 2 6 10 0– 4+ + =
Aislamos las raíces.
x x2 2 6 104+ = +
Elevamos a la cuarta ambos miembros:
(2x + 2)2 = 4x 2 + 8x + 4 = 6x + 10 → 4x 2 + 8x + 4 = 6x + 10 →
→ 4x 2 + 2x – 6 = 0 → x = 1, x = 23– no es válida.
Solución: x = 1
f ) x x3 1 4 3 14 4+ = + + → 0 = 4 → No tiene solución.
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
15 Resuelve expresando ambos miembros de la ecuación como potencias de la misma base:
a) 3x 2 + 1 = 91 b)
39
x
x2 = 27 c) 5 · 2x + 3 =
45 d) 5x 2 + 3x = 0,04
e) 32
278
x=c m f )
91
xc m = 81 g) (0,01)x = 100 h) 3x + 1 · 2x + 1 = 36
i) 2 x3 1– = 0,125 j) 3 2791x
x1
2 53 – =
+c m k) 3 · 9x · 27x = 1 l) 5x – 5 · 1252x = 25
a) 8 8 8x x391 3 3 1 2 3– –x x1 1 2 2 2–2 2= = + = =+ + → No tiene solución.
b) 8 8 8 x39 27
33 3 3 3 3 3
x
xx x x
x
2 4 3 4 3–= = = = → Solución: x = 1
BACHILLERATOUnidad 3. Álgebra
38
Matemáticas I
c) · · ·8 8 x5 245 5 2 5 2 3 2–x x3 3 2–= = + =+ + → Solución: x = –5
d) , 8 8 8 8 x x5 0 04 51004
251 5
251 5 5 3 2–x x x x x x x x3 3 3 3 2 2–2 2 2 2= = = = = + =+ + + +
Soluciones: x1= –1, x2 = –2
e) 832
278
32
32x x 3
= =c c cm m m → Solución: x = 3
f ) 891 81
91
91x x 2–
= =c c cm m m → Solución: x = –2
g) (0,01)x = 100 → (0,01)x = 0,01–2 → Solución: x = –2
h) 3x + 1 · 2x + 1 = 36 → 3x + 1 · 2x + 1 = 62 → 6x + 1 = 62 → x + 1 = 2 → Solución: x = 1
i) , 8 82 0 125 21000125
81x x3 1 3 1– –= = =
8 8 8 x281 2 2
23 1 3– –x x3 1 2
3 1 3– – –= = = → Solución: x = 35–
j) 8 8 83 2791 3 3
31 3 3( ) ( ) ( )x
xx
x xx13
2 53 13
2
2 51 3
3 1 2 2 5– – ––= = =+ +
+ +c cm m
( ) ( ) ( )8 8x x x x13
3 1 2 2 5 2 2 5– – –+ = + = + → Solución: x = –2
k) 3 · 9x · 27x = 1 → 3 · 32x · 33x = 30 → 31 + 2x + 3x = 30 → 1 + 5x = 0 → Solución: x = 51–
l) 5x – 5 · 1252x = 25 → 5x – 5 · 53 · 2x = 52 → 5x – 5 + 6x = 52 → 7x – 5 = 2 → Solución: x = 1
16 Resuelve, tomando logaritmos, estas ecuaciones:
a) e1x = 27 b) e x – 9 = 73 c) 2x · 3x = 81
d) 3
2x
x
1+ = 1 e) 2x + 1 · 162x + 1 = 3 f ) 51
xc m · 125x + 1 = 4
a) 8 8 ln lne ee1 27
271
271x x
x = = = → ln ln ln lnx271 1 27 0 27– –= = = → x ≈ –3,296
b) 8 ln lne e73 73x x9 9– –= = → 8 8ln lnx x921 73 9
273– = = + x ≈ 11,145
c) 6 x = 81 → x log 6 = log 81 → loglogx
681= ≈ 2,453
d) 8 8 8log loglog log
logx x3 3
2 132 3
32 3
2 33
· –xx x
= = = =c m ≈ –2,710
e) 2 x + 1 · 162x + 1 = 3 8 2x + 1 · 24(2x + 1) = 3 8 29x + 5 = 3 8 log 29x + 5 = log 3 8
8 (9x + 5) log 2 = log 3 8 (9x + 5) = loglog
23
= 1,5850
Solución: x = ,9
1 5850 5– = –0,3794
f ) 51 xc m · 125x + 1 = 4 8 5–x · 53x + 3 = 4 8 52x + 3 = 4 8 log 52x + 3 = log 4 8
8 (2x + 3) log 5 = log 4 8 (2x + 3) = loglog
54
= 0,8613
Solución: x = ,2
0 8613 3– = –1,0693
BACHILLERATOUnidad 3. Álgebra
39
Matemáticas I
17 Resuelve las siguientes ecuaciones mediante un cambio de variable:
a) 2x + 21 – x = 3 b) 2x + 1 + 2x – 1 = 25 c) 81 + x + 23x – 1 =
1617
d) 22x – 5 · 2x + 4 = 0 e) 9x – 3x – 6 = 0 f ) 71 + 2x – 50 · 7x + 7 = 0
g) 2x/2 + 2x = 6 h) 3 7x2 + = 3x + 1 i) 23x – 3 · 22x + 1 + 3 · 2x + 2 = 8
a) 222 3xx+ =
;8z xz
z z2 2 3 2 3x 2= + = + =
; ± ±z z z3 2 02
3 9 82
3 1– –2 + = = = = 8 88 8
xx
2 2 2 11 2 1 0
x
x1
2
= == =
b) ; · ;2 222
25 4 2 2 5 2 1· x x x x x+ = + = =
x = 0
c) 2 21617x x3 3 3 1–+ =+
·( ) ( ) 8 8z z z8 22
21617 2 128 8 17x
xx3
33 3+ = = + =
( ) ( ) ; ( ) 8 8z z z128 8 1713617
81
81
21 2
21x3 3+ = = = = = =
x = –1
d) (2x)2 – 5 · 2x + 4 = 0
± ±22
5 25 162
5 3–x = = = 14
x1 = 0; x2 = 2
e) ( ) ; ± ±3 3 6 0 32
1 1 242
1 5– –x x x2 = = + = = ( )32– no vale
x = 1
f ) ·( ) · ; ±7 7 50 7 7 0 714
50 48–x x x2 + = = = /71 7
x1 = –1; x2 = 1
g) · ·82 3 2 6 2 3 2 6– –/x x x x2 = = Hacemos el cambio de variable 2x = y : · · ( ) ( )8 8 8y y y y y y y y y3 6 3 6 3 6 9 36 36– 2 2 2= = + = + = + + 8
8 9y 2 + 35y + 36 = 0 8 y = ±18
35 71– –
No tiene solución.
h) 3 7 3 1x x2 + = + Hacemos el cambio de variable 3x = y : ( ) ( )8 8 8 8y y y y y y y y y7 1 7 1 7 2 1 7 2 1 32 2 2 2 2 2+ = + + = + + = + + = + = Solución: x = 1
i) 23x – 3 · 22x + 1 + 3 · 2x + 2 = 8 Hacemos el cambio de variable 2x = y : · · · ( )8 8 8 8y y y y y y y y y y y3 2 3 2 8 6 12 8 6 12 8 0 2 0 2– – – – –3 2 2 3 2 3 2 3+ = + = + = = = Solución: x = 1
BACHILLERATOUnidad 3. Álgebra
40
Matemáticas I
18 Resuelve estas ecuaciones:
a) log (x 2 + 1) – log (x 2 – 1) = log 1213 b) ln (x – 3) + ln (x + 1) = ln 3 + ln (x – 1)
c) (x – 1) log (3x + 1) = 3 log 3 d) log (x + 3) – log (x – 6) = 1
a) log logxx
11
1213
–22 + =
;x x x12 12 13 13 25–2 2 2+ = =
x1 = –5; x2 = 5
b) ( ) ( )ln lnx x x2 3 3 3– – –2 =
;x x x x x2 3 3 3 5 0– – – –2 2= =
x = 5 (x = 0 no vale)
c) log (3(x + 1)(x – 1)) = log 33
3(x + 1)(x – 1) = 33; (x + 1)(x – 1) = 3
x = 2 (x = –2 no vale)
d)
logxx
63 1
–+ =
x + 3 = 10x – 60; 63 = 9x
x = 7
19 Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) log5 (x 2 – 2x + 5) = 1 b) log x3 5+ + log x = 1
c) 2 (log x)2 + 7 log x – 9 = 0 d) 21 log11 (x + 5) = 1
e) log (x 2 + 3x + 36) = 1 + log (x + 3) f ) ln x + ln 2x + ln 4x = 3
a) ( )log logx x2 5 5–52
5+ =
; ( )x x x x2 5 5 2 0– –2 + = =
x1 = 0; x2 = 2
b) ( ( ;))log x x x x23 5 1 3 5 100 0–2+ = + =
±x6
5 35–= = ( )/540 6– no vale
x = 5
c) ± ±log x4
7 49 724
7 11– –= + = = ;
/ / ;x
x1 1018 4 9 2 10– – /
1
29 2–
== =
d) ( )log logx 5 11/11
1 211+ =
( ) ;x 5 11/1 2+ = ( )x 5 112+ =
x = 116
e) logx
x x3
3 36 12
++ + =
;x x x x x3 36 10 30 7 6 0–2 2+ + = + + =
± ±x2
7 49 242
7 5–= = = 61
x1 = 1; x2 = 6
BACHILLERATOUnidad 3. Álgebra
41
Matemáticas I
f ) ln x + ln 2x + ln 4x = 3
ln (x · 2x · 4x) = 3
ln (8x 3) = 3 → 8x 3 = e 3 → x 3 = e83
8x e e x e8 2 233
= = =
Sistemas de ecuaciones
20 Resuelve:
a) =
x y
yx
15
35
· =* b)
+ =x yx y
1 165
2 3 2+ =* c) x y
y x10
2 7–
2 2+ ==
* d) x yx y
56
–2 2 ==
* e) x y x yx y x y
5 5 10 05 5 2 0
– –– –
2 2
2 2+ + =
+ + =*
a) x y35=
;y y3
5 15 92
2= = 88
y xy x
3 53 5– –
= == =
x1 = 5, y1 = 3; x2 = –5, y2 = –3
b) ( )x x x x4 4 63
5 2 2– –+ =
y x xy
y x6 6 5
32 2–
+ =
= 4 6x + 12 = 10x – 10x 2
10x 2 – 4x + 12 = 0
5x 2 – 2x + 6 = 0
No tiene solución.
c) ( )8 8
8x y y yy x x y
10 2 7 102 7 2 7
–– –
2 2 2 2+ = + == =
*
,8 8 8y y y y y y y4 28 49 10 5 28 49 10 3513– –2 2 2+ + = + = = =
y1 = 3, x1 = 1; y2 = , x513
59–2 =
d)
( )8 8 8 8
8
x yy
yy
yy
y y
xy xy
5 6 5 36 5 0 5 36 0
6 6
– – – – – – –2 22
22
4
2
4 2= = = + =
= =
e oZ
[
\
]]
]]
→ y 4 + 5y 2 – 36 = 0 → y = 2, y = –2
y1 = 2, x1 = 3; y2 = –2, x2 = –3
e) ;x x x x2 10 12 0 5 6 0– –2 2+ = + =
± ±x2
5 25 242
5 1–= = = 32
x 2 + y 2 – 5x – 5y + 10 = 0–x 2 + y 2 + 5x – 5y – 2 = 0
2y 2 – 10y + 8 = 0
y 2 – 5y + 4 = 0 → ± ±y2
5 25 162
5 3–= = = 14
x1 = 3, y1 = 4; x2 = 3, y2 = 1; x3 = 2, y3 = 4; x4 = 2, y4 = 1
BACHILLERATOUnidad 3. Álgebra
42
Matemáticas I
21 Resuelve:
a) y y xx y
2 15
–2 + =+ =
* b) x yx y
2 1 12 3 1–
+ = +=
* c) ( )x y xx y3 12
2 6–+ + =
=* d) x y x
x y2 1
2 5–+ + = +
=*
a) x = (5 – y)2
y 2 – 2y + 1 = 25 + y 2 – 10y
8y = 24; y = 3; x = 4
x = 4; y = 3
b) 4x + 4 = y 2 + 1 + 2y; x = y y42 3–2 +
x = y y2
1 34
2 6+ = +
y 2 + 2y – 3 = 2 + 6y
y 2 – 4y – 5 = 0
y = ± ±2
4 16 202
4 6+ = = 88
xx
5 81 1– –
==
x1 = –1, y1 = –1; x2 = 8, y2 = 5
c) y = 2x – 6
( )x x3 3 6 12– –=
9x – 18 = 144 + x 2 – 24x
0 = x 2 – 33x + 162
x = ±2
33 21 = ( )8
8y
y27 486 6
no vale==
x = 6, y = 6 (x = 27, y = 48 no vale)
d) y = 2x – 5
x x3 5 1– –=
3x – 5 = x 2 + 1 – 2x
0 = x 2 – 5x + 6
x = ± ±2
5 25 242
5 1– = = 88
yy 1
3 12 –
==
x1 = 2, y1 = –1; x2 = 3, y2 = 1
22 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) y x 12 2 12
–x y
=+ =
) b) e ex y
11
–x y 1
2 2=
+ =
+* c) :
5 5 15 5 25
·x y
x y==
)
d) ,
,
10 10 0 1
22 0 25
·x y
y
x
1
1
2
–
–
2=
=* e) 3 3 43 3 12
x y
x y
2 1
1
–+ =+ =+* f )
2 2+ =21
2 4( )
x y
x y
2
2 – =*
a) y x
y1
2 2 12–x
=+ =
*
y = 1 + x → 2x + 21 + x = 12 → 2x + 2 · 2x = 12 → 3 · 2x = 12 →
→ 2x = 4 → x = 2 → y = 1 + 2 = 3
x = 2, y = 3
BACHILLERATOUnidad 3. Álgebra
43
Matemáticas I
b)·
( ) ( ) ;8 88 8 8 8
e e e e x yx y y y y y y y y y
1 11 1 1 2 2 0 1 0 0 1
– –– – –
x y x y1 1 0
2 2 2 2 2= = =
+ = + = + = + = = =
+ + +*
x1 = –1, y1 = 0; x2 = 0, y2 = –1
c) ·
: 8 8x yx y
5 5 15 5 25
02
5 55 5 –
x y
x y
x y
x y
0
2–=
=+ =
===
+) **
x = 1, y = –1
d) ,
, 8 8 8x yx y
x yx y
10 10 0 1
22 0 25
10 102 2
1 12 1 2
02 3
· – –– – – –
x y
yx
x y
x y
1
12
1 1
2 1 2
2 2–
–
– –
– –
22=
==
=+ =
+ =+ =
=+
+* * * * →
→ ,8
x y
y y y y2 3 0 123
–
– – –
2
2
=
+ = = =*
x1 = –1, y1 = 1; x2 = – 49 , y2 = –
23
e) 3 3 43 3 12
x y
x y
2 1
1
–+ =+ =+*
Llamamos 3x = z y 3y = t ,8 8 8zz t
z tz t
z z z zt3
43 12
3 123 12
3 3 0 0 1–2 2
2+ =+ =
+ =+ =
= = =**
z = 0 (no vale)
z = 1 → t = 9 → x = 0, y = 2
f ) 2 221
2 4( )
x y
x y
2
2 –
+ =
=*
Llamamos 2x = z y 2y = t , ( )8 8
8
z t t t t t
z z tt
21 4
21
41
21
4 4
– no vale2 2
22
2 2
+ = + = = =
= =
Z
[
\
]]
]]
t = 41 → z =
21 , z = –
21 no es válida.
8t z41
21= = 8 x = –1, y = –2
Página 96
23 Resuelve:
a) log loglog log
x yx y
31– –
+ ==
* b) log log
log
x y
yx
3 5
3
2 2
22+ =
=* c) ( )loglog log
x yx y
26
2
2=
= +*
d) log logx y
x y11
1–
–
2 2 ==
* e) log logx y
y x25
1–
–==
* f ) ln lnln ln
x yx y
24
– =+ =
*
a) 2log x = 2
x = 10; y = 100
BACHILLERATOUnidad 3. Álgebra
44
Matemáticas I
b) log2 x + 3log2 y = 5
2log2 x – log2 y = 3
log2 x + 3log2 y = 56log2 x – 3log2 y = 97log2 x = 14
x = 4, y = 2
c) 2log x + log y = 2
log x – 2log y = 6
4log x + 2log y = 4log x – 2log y = 6
5log x = 10 → log x = 2
xy
100
1001
== 4
d) log ; ;yx
yx x y1 10 10= = =
; ; ±8y y y y y100 11 99 1191
31–2 2 2 2= = = =
;x y310
31= =
y31– no vale=c m
e)
,y x0 1=
,log
x y
xy x
25
1 0 9 25–
= +
= =4
x = ; y9
250925=
f ) 8 8
ln lnln ln ln ln
x yx y x x x e
24 2 6 3
– Sumando las dos ecuaciones, queda:3
=+ = = = =
4
Restando a la 2.ª ecuación la 1.ª, queda:
2ln y = 2 → ln y = 1 → y = e
x = e 3; y = e
Método de Gauss
24 Resuelve por el método de Gauss:
a) xxx
yyy
zzz2
210
118
–
–
– –+ +
+
===
* b) xxx
yyy
zzz
234
36 2
000
–––
++
+ ===
* c) xxx
yyy
zzz
2321
–– –
+ ++
===
*
d) xxx
y
y
zzz2
1860–
–+ +
+
===
* e) xxx
yyy
zzz
2 35
56
21129–
++
+++
===
* f ) xxx
yyy
zzz
22
246
94
1––
–
–
+++
===
*
a)
xxx
yyy
zzz2
210118
–
–
– –+ +
+
===
4 (1.ª)
(2.ª) + (1.ª)
(3.ª) + (1.ª)
xxx
yyy
z23 2
1012
– – –
––+
===
4 (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + 2 · (2.ª)
xxx
yy
z xyz
xyz
27
1010
01
1 10 9
019
– – –
–+
===
=== + =
===
4 4
BACHILLERATOUnidad 3. Álgebra
45
Matemáticas I
b) x
x
yyy
zzz
x3
32
000
2
46
–––
++
===
+4
(1.ª)
(2.ª) + 2 · (1.ª)
(3.ª) + (1.ª)
xxx
y
y
z xyz
276
3
2
000
000
–
–
+ ===
===
4
c) x
x
yyy
zzz
x2 2
1
3
–– +
+
===
+ +4
(1.ª)
(2.ª) + (1.ª)
(3.ª) + (1.ª)
xxx
y zzz
3 22
542
3++
===
+ +4
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
xxx
y zz
xz x
y x z
xyz
3 2351
1
25 3 13 1
111– –
–
– –
+ ++
===
== == =
===
_
`
a
bb
bb4
d)
xxx
y
y
zzz2
1860–
–+ +
+
===4
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + 2 · (1.ª)
xxx
y zzz3 3
186
36–
+ +
+
===4
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) : 3
xxx
y zzz
186
12–
+ +
+
===4
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (2.ª)
xxx
y zz
xz xy x z
xyz2
186
18
96 3
18 6 3
96– –
– –
+ + ===
== == =
===
4 4
e)
xxx
yyy
zzz
2 35
56
21129–
++
+++
===4
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
x y
yy
zzz6
35
27
27–
+ +++
===4
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + 6 · (2.ª)
x y
yzzz
zy zx y z
xyz
323
27
69
2369 37 3 7 9 22 2 2 3 1
12
3– – –– – –
–+ +
+===
= == = == = + =
===
_
`
a
bb
bb4
f )
xxx
yyy
zzz
22
246
941
––
–
–
+++
===4
(1.ª)
(2.ª) + (1.ª)
(3.ª) + (1.ª)
xxx
y zzz
33
224
9138
–+++
===4
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
xx
y zzz
z
x z
y x z
xy
z
3222
9135
25
313 2 69 2 9 6 5 2
62
25
–
–
–
–
– – – –
––
++
===
=
= == + = =
==
=
_
`
a
bbb
bb
4
25 Resuelve:
a) x y z
x y zx z y
3 2 3 05
2 3
––
– –
+ + =+ ==
* b) x y z
x y zx y z
7 3 111
2 2 8
– ––
+ =+ =
+ = +* c)
z 6
10
–
– –
+ =
=
x y
x y z
x y z
2 3
25
0
43
3 2
– –
–
=
Z
[
\
]]]
]]]
d) 8=– +
( )x y z
x y z
x y z
52 1
64
2 4 3
24
1
– –+ =
+ + =
Z
[
\
]]]
]]]
a)
x y z
x y zx z y
3 2 3 05
2 3
––
– –
+ + =+ ==
4 → xxx
yyy
zzz
3 2
2
353
––
––
+++
+ ===4
(2.ª)
(1.ª)
(3.ª)
xxx
yyy
zzz
3 22
533
–
–
–
–
+++
+===4
(1.ª)
(2.ª) – 3 · (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
x y
yy
zz4
5182
–– –++
===4
xyz
225
–===
BACHILLERATOUnidad 3. Álgebra
46
Matemáticas I
b)
xxx
yyy
zzz
7
2
3
2
1118
––
–
+
++=
==+
4 → xxx
yyy
zzz
7
2
3
2
1118
–– –
–
––
+
+ ===
4 (2.ª)
(1.ª)
(3.ª)
xxx
yyy
zzz
72
32
1118
––
–
–
––
++
===
4 (1.ª)
(2.ª) – 7 · (1.ª)
(3.ª) – 2 · (1.ª)
x y
yy
zzz
44
814
10
– – ––+
+
===4
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
x y
yzzz
4 87
14
14
– –
–
–+
===4
xyz
032–
===
c)
x y z
x y z
x y z
2 36
25
0
43
3 210
–
– –
– – –
+ =
=
=
_
`
a
bbb
bbb
→
z 6– –+ =x
xx
y
yy
z
z
22
43
3
3
5
2
0–
– – =
10–– – =
_
`
a
bbb
bb
→ xxx
yyy
zzz
3109
254
6
6
360
120–––
–––
–
–
+ ===
4 (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (1.ª)
xxx
yyy
zz
31012
256
6 360
84–––
––
–
–
+ ===
4 (1.ª) – 6 · (2.ª)
(2.ª)
1/6 · (3.ª)
xxx
yyy
z57102
325
360
14
–
–––
––
–
+ ===
_
`
a
bb
bb
(1.ª) + 32 · (3.ª)
(2.ª)
(3.ª)
xxx
yy
z121102
5484
014
–
–––
––
–
===
_
`
a
bb
bb
xyz
4610
===
d)
( )x y z
x y z
x y z
52 1
64
2 4 38
24
1
– –
–
+ =
+ =
+ + =
_
`
a
bbb
bbb
→
( )x y z
x y z
x y z
52 1
64
2 4 38
24
1
– –
–
–+ =
+ =
+ + =
_
`
a
bbb
bbb
→ xxx
yyy
zzz
1264
3038
54
12 120964
–– – –+
+++
===
4 →
→ xxx
yyy
zzz
1264
3038
54
108964
–– –+
+++
===
4 (1.ª) + 5 · (3.ª)
(2.ª) – 4 · (3.ª)
(3.ª)
xxx
yyy z
32104
70358
88804
– ––+
+ +
===
_
`
a
bb
bb
(1.ª) + 2 · (2.ª)
(2.ª)
(3.ª)
xxx
yy z
12104
358
72804
– –+ +
===
_
`
a
bb
bb
xyz
64
12–
===
BACHILLERATOUnidad 3. Álgebra
47
Matemáticas I
26 Resuelve aplicando el método de Gauss:
a) xxx
yyy
zz
2 6 51
40
–––
–++
===
* b) xxx
yyy
zzz5
222
517
351
––
+ +++
===
* c) xxx
yyy
zzz
22
3348
21
7– – – –
++
++
===
*
d) xxx
yyy
zzz
235
23
25
22
1–
––
––
–+ +
===
* e) xxx
yyy
zzz
24 3
351
–+++
+++
===
* f ) xxx
yyy
zzz
23 2
4
102
–
––
+++
+
+
===
*
a)
xxx
yyy
zz
2 6 5140
––
––++
===
_
`
a
bb
bb
(1.ª)
(2.ª) – 5 · (3.ª)
(3.ª)
xxx
yyy z
3140
––
––+
+
===
_
`
a
bb
bb
(1.ª)
(2.ª) + 3 · (1.ª)
(3.ª)
x
x
yyy z
2110
––
––
+
===
_
`
a
bb
bb
y
x
z
21
121
23
23
21 2
=
= + =
= + =
_
`
a
bbb
bbb
x
y
z
23
21
2
=
=
=
b)
xxx
yyy
zzz5
222
517
351
––
+ +++
===4
(1.ª)
(2.ª) + (1.ª)
(3.ª) + (1.ª)
xxx
y zzz
26
26
18
384
+ +++
===4
(1.ª)
(2.ª) : 2
(3.ª) : 6
/
xxx
y zzz
233
34
4 6
+ +++
===
4 Las ecuaciones 2.ª y 3.ª dicen cosas contradictorias.
El sistema es incompatible, no tiene solución.
c)
xxx
yyy
zzz
22
3348
217– – – –
++
++
===4
(1.ª)
(2.ª) – 3 · (1.ª)
(3.ª) + (1.ª)
xxx
y zzz
355
255
––
––
––
+ + ===4
Hay dos ecuaciones iguales. El sistema es compatible indeterminado. Buscamos las soluciones en función de z :
( )8 8
8x y z
x zz y z y z
x z2 35 5
5 5 2 3 2 35 5
–– –
– – ––
+ == +
+ = ==
3
x = 5 – 5z, y = 2z – 3, z = z
d)
xxx
yyy
zzz
235
23
25
221–
––
––
–+ +
===4
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) + 5 (1.ª)
xxx
y
y
z2
5 92
22–
–
–
––
===4
xy x
z x y
2
25 9
21
2 223
–
– –
== =
= =
_
`
a
bb
bb
x = 2, y = 21 , z =
23
e)
xxx
yyy
zzz
24 3
351
–+++
+++
===4
(1.ª)
(2.ª) + (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
x y
yy
zzz
33
22
382–
+ +++
===4
Las ecuaciones 2.ª y 3.ª obtenidas dicen cosas contradictorias. Por tanto, el sistema es incompatible.
BACHILLERATOUnidad 3. Álgebra
48
Matemáticas I
f )
xxx
yyy
zzz
23 2
4
102
–
––
+++
+
+
===4
(1.ª)
(2.ª) + (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
xxx
yyy
z233
111
– +++
+ ===4
Hay dos ecuaciones iguales. El sistema es compatible indeterminado. Buscamos las soluciones en función del parámetro y :
( )8 8x z y
x yy z y z y2 1
1 32 1 3 1 3 7– –
–– – – –+ =
=+ = =4
x = 1 – 3y, z = 3 – 7y
Inecuaciones. Sistemas de inecuaciones
27 Resuelve estas inecuaciones:
a) 5(2 + x) > –5x b) x2
1– > x – 1 c) x 2 + 5x < 0
d) 9x 2 – 4 > 0 e) x 2 + 6x + 8 ≥ 0 f ) x 2 – 2x – 15 ≤ 0
a) 10 + 5x > –5x; 10x > –10; x > –1 b) x – 1 > 2x – 2; 1 > x
(–1, +∞) (– ∞, 1)
c) x (x + 5) < 0 d) ∞,32– –c m ∪ , ∞
32 +c m
(–5, 0)
e) ± ±2
6 36 322
6 2– – –= = 42
––
f ) ± ±2
2 4 602
2 8+ = = 35–
(– ∞, – 4] ∪ [–2, +∞) [–3, 5]
28 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
a) xx4 3 1
6 2– <
>+) b) x
x3 2 75 1
– ––
><
) c) xx x
5 1216 2 3 3
– –– –
<<
) d) xx
2 3 05 1 0
– ><+
)
a) b) ( , )
xx
14 4 1– –
<>3 ( , ∞)x
x35
44–>
>+4
c) d) ( , ∞)
xx
17
519 17
>> +4
x
x23
51–
>
<
_
`
a
bb
bb No tiene solución.
29 Resuelve:
a) (x + 1) x 2 (x – 3) > 0 b) x (x 2 + 3) < 0 c) x
x4
2
+ < 0 d)
xx
23–
+ < 0
a)
( , )1–∞ –
xx
xx
xx
xx
1 03 0
13
1 03 0
13
––
––
>>
>>
<<
<<
+
+
( , )3 ∞+_
`
a
bb
bb
3 3
3 3 (– ∞, –1) ∪ (3, +∞)
b) (– ∞, 0)
BACHILLERATOUnidad 3. Álgebra
49
Matemáticas I
c) d)
(– ∞, – 4) (– 4, 0) (0, +∞)
x 2 + + +
x + 4 – + +
xx
42
+– + +
(– ∞, – 2) (–2, 3) (3, +∞)
x – 3 – – +
x + 2 – + +
xx 3
2–+ + – +
(– ∞, – 4) ∪ (– 4, 0) (–2, 3)
30 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
a) x xx2 15
3 2 7–>
<
2 +* b) x xx x
5 45 1 4 2
– ≥– <
2
+* c) x
x x45 4 0
≤– ≤
2
2 +* d) x x
x x5 6 011 24 0
– – ≥– – ≥
2
2 +*
a) x x
x2 15
3 2 7–>
<
2 +* → Soluciones: (– ∞, –5) ∪ (3, ∞)→ Soluciones: (–2, ∞)
Las soluciones comunes son: ((–∞, –5) ∪ (3, ∞)) ∩ (–2, ∞) = (3, ∞)
b) ≥x x
x x5 45 1 4 2
–– <
2
+* → Soluciones: [1, 4]
→ Soluciones: (– ∞, 3)
Las soluciones comunes son: [1, 4] ∩ (– ∞ 3) = [1, 3)
c) ≤
≤xx x
45 4 0–
2
2 +*
→ Soluciones: [–2, 2]→ Soluciones: [1, 4]
Las soluciones comunes son: [–2, 2] ∩ [1, 4] = [1, 2]
d) ≥
≥x xx x
5 6 011 24 0
– –– –
2
2 +* → Soluciones: (– ∞, –1] ∪ [6, ∞)
→ Soluciones: [3, 8]
Las soluciones comunes son: ((–∞, –1] ∪ [6, ∞)) ∩ [3, 8] = [6, 8]
31 Resuelve gráficamente:
a) x + y – 2 ≥ 0 b) 2x – 3y ≤ 6 c) x y
23–
≤ 3 d) x2
– y3
≥ – 1
a) Dibujamos la recta r : x + y – 2 = 0.
Tomamos el punto O = (0, 0) ∉ r, sustituimos en la inecuación y comprobamos que no se verifica la desigualdad 0 + 0 – 2 ≥ 0.
La solución es el semiplano que no contiene a O.
2
2
4 6
4
Y
X
x + y – 2 ≥ 0
b) Dibujamos la recta r : 2x – 3y – 6 = 0.
Tomamos el punto O = (0, 0) ∉ r, sustituimos en la inecuación y comprobamos que se verifica la desigualdad 0 – 0 – 6 ≤ 0.
La solución es el semiplano que contiene a O.
2
2
4–2
–2
4Y
X
2x – 3y – 6 ≤ 0
BACHILLERATOUnidad 3. Álgebra
50
Matemáticas I
c) ≤ ≤8x y x y2
3 3 3 6 0– – – . Dibujamos la recta r : x – 3y – 6 = 0.
Tomamos el punto O = (0, 0) ∉ r, sustituimos en la inecuación y comprobamos que se verifica la desigualdad 0 – 0 – 6 ≤ 0.
La solución es el semiplano que contiene a O.
2
2
4 6
–2
Y
X
x – 3y – 6 ≤ 0
d) 8x y x y2
1 3 2 6 03
– ≥ – – ≥+ . Dibujamos la recta r : 3x – 2y + 6 = 0.
Tomamos el punto O = (0, 0) ∉ r, sustituimos en la inecuación y comprobamos que se verifica la desigualdad 0 – 0 + 6 ≥ 0.
La solución es el semiplano que contiene a O.
3x – 2y – 6 ≥ 0
2
2
4–2
4
Y
X
32 Resuelve gráficamente:
a) x yx2 2
3≤>+) b) x y
y3
2– ≤≤
* c) x yx y
2 32 5
– ≤≤+
* d) x yx y3 2 5
8– ≤
≥+*
a) Resolvemos cada una de las inecuaciones. El recinto solución es la in-tersección de ambos semiplanos. La recta 2x + y = 2 no pertenece al recinto solución.
2x + y > 2
x ≤ 32
2
4–2
–2
–4
Y
X
b) Resolvemos cada una de las inecuaciones. El recinto solución es la in-tersección de ambos semiplanos.
x – y ≤ 3y ≤ 2
2
2
4 6
4
Y
X
c) Resolvemos cada una de las inecuaciones. El recinto solución es la in-tersección de ambos semiplanos.
2
2
4–2
4
Y
X
2x + y ≤ 5
2x – y ≤ 3
d) Resolvemos cada una de las inecuaciones. El recinto solución es la in-tersección de ambos semiplanos.
2
2
4 6
4
6
8Y
X
3x – 2y ≤ 5x + y ≥ 8