ejercicios transformadas de laplace
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Matemáticas V Transformadas de Laplace
1 . Encuentra la solución a la ecuación diferencial y’2yy tet sujeta a y(0) y y(0) 0
-Transformando la ED:
-Sustituir condiciones iniciales, simplificando y encontrando a Y(s):
-Antitransformando a Y(s) se obtiene a y(t), por lo que:
-Aplicando convolución a la primer antitansformada y separación fraccional a la segunda:
-Por último, sumando, y(t) será entonces:
Matemáticas V Transformadas de Laplace
2. Encuentra la solución de la ecuación: si
-Transformando la ecuación integro-diferencial:
-Simplificando, sustituyendo condiciones iniciales y encontrando a Y(s):
-Antitransformando, se obtiene y(t):
3. ¿Cuál es la transformada del arco parábola que cae en el primer cuadrante?
Antitransformando a y(t), se obtiene Y(s):
Ahora, realizar las integrales por partes:
Matemáticas V Transformadas de Laplace
-Sumando los tres resultados de las integrales, se obtiene a Y(s):
4. Encuentra la solución a la ED: sujeta a y
-Transformando la ED:
-Simplificando y obteniendo a Y(s):
-Antitransformando, se encuentra la solución a la ED:
5. Encuentre solución al PVI : sujeto a que y
-Transformando la ED:
-Simplificando, sustituyendo y obteniendo a Y(s):
Matemáticas V Transformadas de Laplace
-De lo anterior, es posible conocer la expansión de la segunda fracción de Y(s), por tanto:
-Antitransformando, se obtiene y(t) y la solución del PVI:
6. Usar el teorema dado en este ejercicio para hallar:
-Primero, evaluar el límite por la derecha para :
Indeterminación. Aplicando la regla L’Hopital:
-El límite por la derecha existe, por lo tanto, es posible aplicar la transformada dada:
Matemáticas V Transformadas de Laplace
-Evaluando los límites de integración, se obtendrá el resultado:
7. Resolver la ED: sujeta a y , si f(t) es dada por la función periódica definida en un periodo como:
-Transformando la ED:
, donde el periodo es 2:
-Sustituyendo las c.i y el resultado anterior en la transformación de la ED:
-Donde la fracción se puede representar como una serie infinita:
Matemáticas V Transformadas de Laplace
-Por lo tanto, sustituyendo a la serie por la fracción se tiene:
-Ahora, expandir las fracciones con la multiplicación de la serie, obteniendo:
-Encontrar la antitransformada de la fracción: , debido a que es un factor común en los tres primeros términos de Y(s) y para después aplicar en cada serie obtenida las antitransformadas del primer caso del teorema de traslación en el eje t.
Antitransformando queda entonces:
Matemáticas V Transformadas de Laplace
-Encontrar la antitransformada de , el último término de Y(s):
-Volviendo a las antitransformadas de cada serie, se obtiene y(t):
-Ordenando términos de las series obtenidas en forma de sumatorias:
Matemáticas V Transformadas de Laplace
8. Resuelve las ED no homogéneas por medio de las transformadas de Laplace
a) si y
-Transformando la ED y sustituyendo condiciones iniciales:
-Encontrar la antitransformada para la primera fracción de Y(s), tomada de izq. A der:
Matemáticas V Transformadas de Laplace
-Ahora, encontrar la antitransformada para la segunda fracción de Y(s):
-Por último, antitransformar la tercer fracción de Y(s):
Matemáticas V Transformadas de Laplace
-Sumando los resultados de las tres fracciones, se obtiene el resultado de la ED:
b) con donde
-Transformando la ED:
, encontrar la transformada de g(x):
-Reescribiendo la transformación de la ED y sustituyendo condiciones iniciales:
-Antitransformando a Y(s), queda entonces:
-Encontrar las primeras dos antitransformadas que involucran una convolución. Para la primera se tiene entonces:
-Para la segunda, se involucra una función unitaria, por lo tanto:
Matemáticas V Transformadas de Laplace
-Sumando, se obtiene la solución a la ED y y(t):
9. Encuentra F(s) de las funciones dadas con el uso de algún teorema de transformación:
a) . Aplicando el teorema: “Derivada de una transformada”, con n=1:
b) . Expandiendo a f(t): .Aplicando el 2do caso del teorema de traslación en el eje t:
Matemáticas V Transformadas de Laplace
10. Encuentra a f(t) si:
a) . Primero, expandir la fracción: . Ahora, buscar f(t):
; donde:
Ahora: :
-Sumando los dos resultados, se obtiene la antitransformada:
b) . Primero, realizar una expansión a F(s):
. Ahora, antitransformando se obtiene :