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Ejercicios Resueltos | Investigacion de Operaciones I
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El conocimiento nos hace seres humanos libres. No haylibertad, autodeterminacin y una vida satisfactoria conignorancia
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Ejercicios Resueltos
Aprendiendo a formular modelos
A continuacin se muestran algunos ejemplos de formulacin que le servirn para
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Ejercicios Resueltos | Investigacion de Operaciones I
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cimentar su habilidad al traducir problemas del mundo real a modelos matemticos. Esta
transicin, o modo en que se ha de elaborar el modelo, la forma en que se definir las
variables y se formularn las restricciones y la funcin objetivo es de primordial
importancia.
Intente resolver los siguientes problemas por si mismo. Formlelos con la rapidez que le
sea posible y no lea en un problema ms de lo que se le da. Por ejemplo, no introduzca
restricciones adicionales o matices lgicos o datos imaginarios que en su opinin
podran hacer ms realista el modelo. Por ejemplo, no se preocupe por lo que ocurra la
semana siguiente si el problema nunca se refiere a la semana siguiente. Los problemas
que se muestran han sido escogidos para facilitarle el desarrollo del aprendizaje de la
formulacin. Para lograr esto y que pueda comprobar su trabajo y calibrar su progreso
dentro del contexto descrito, la formulacin correcta, debe carecer por completo de
ambigedad. En otras palabras, que haya una respuesta correcta. Ms tarde, cuando
tenga experiencia, la amplitud de las dudas en la interpretacin y las sutilezas del mundo
real sern mayores. Debido a que el tema de la formulacin es tan importante y como la
prctica es el nico camino para dominarlo, se recomienda hacer un nmero de
problemas grande. Como ltimo consejo: No lea simplemente el problema y despus
vaya de inmediato a la solucin. Esa sera la mejor forma de engaarse a si mismo
sobre lo que ha comprendido. No lea la solucin hasta que est seguro de haber
solucionado en forma correcta el problema por si mismo o est totalmente convencido
que se encuentra en un callejn sin salida.
Problema de produccin
Un taller tiene tres (3) tipos de mquinas A, B y C; puede fabricar dos (2) productos 1 y
2, todos los productos tienen que ir a cada mquina y cada uno va en el mismo orden:
Primero a la mquina A, luego a la B y luego a la C. La tabla siguiente muestra:
L M X J V S D
jun
1 2
3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30
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1. Las horas requeridas en cada mquina, por unidad de producto
2. Las horas totales disponibles para cada mquina, por semana
3. La ganancia por unidad vendida de cada producto
Que cantidad de cada producto (1 y 2) se debe manufacturar cada semana, para
obtener la mxima ganancia ?
Cuantas horas semanales sobran en cada departamento ?
Formulacin
1. Definicin de las variables:
Xj = Unidades semanales a producir del articulo j-esimo ( j = 1 y 2)
2. Funcin objetivo:
Tiempo
Tiempo en Barranquilla
Personajes celebre hoy
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Maximizar Z = X + (3/2) X Sujeto a las siguientes restricciones (c.s.r.):
3. Restricciones:
2X + 2X 16RestriccindebidaalashorasdisponiblesporsemanadelaMQA
X + 2X 12RestriccindebidaalashorasdisponiblesporsemanadelaMQB
4X + 2X 28RestriccindebidaalashorasdisponiblesporsemanadelaMQC
4. Condicin de no negatividad:
Xj0;j=1y2
Problema clsico del transporte
Un fabricante tiene tres centros de distribucin en: Bogot, Medelln y Cali. Estos centros
tienen disponibilidades de: 20, 40 y 40 unidades respectivamente. Sus detallistas
requieren los siguientes cantidades: Pereira 25, Tula 10, Anserma 20, Ibagu 30 y
Armenia 15. El costo de transporte por unidad en pesos entre cada centro de
distribucin y las localidades de los detallistas se dan en la siguiente tabla:
1 2
1 2
1 2
1 2
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Cuanto unidades debe mandar el fabricante desde cada centro de distribucin a cada
detallista, de manera que los costos totales de transporte sean mnimos ?
Formulacin
1. Definicin de las variables:
Xij = Cantidad de unidades a enviar desde el centro de distribucin i-simo (i = 1 =
Bogot, i = 2 = Medelln, i = 3 = Cali), al detallista j-simo (j = 1 = Pereira, j = 2 = Tula,
j = 3 = Anserma, j = 4 = Ibagu,
j = 5 = Armenia).
2. Funcin objetivo:
Minimizar Z = 55X + 30X + 40X + 50X + 40X + 35X + 30X + 100X +
45X + 60X + 40X + 60X + 95X + 35X + 30X Sujeto a las siguientes
restricciones:
3. Restricciones:
11 12 13 14 15 21 22 23
24 25 31 32 33 34 35
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4. Condicin de no negatividad:
Xij0;i=1,2y3;j=1,2,3,4y5
El problema del trasbordo
Una empresa fabrica monitores de alta resolucin en dos plantas de produccin P1 y
P2 . Las capacidades de produccin por semana son de 80 y 60 unidades,
respectivamente. Los monitores se llevan a cuatro centros de ventas Vi , i = 1, 2, 3 Y 4
que solicitan para la prxima semana 30 unidades para V1, 20 para V2 y 40 para V4.
V3 no ha cuantificado su demanda indicando que va a ser muy alta y aceptara toda la
produccin.
La legislacin vigente obliga a la empresa a transportar los monitores de las plantas a
los puntos de venta a travs de alguno de los dos centros de control de calidad
existentes C1 y C2 en los que se controlan los monitores y cuya capacidad es muy
grande. El costo de control por unidad en C1 es de $4.000 y en C2 es de $6.000.
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Los costos en miles de pesos del transporte unitario de las plantas a los centros de
control y de estos a los puntos de venta, aparecen en la tabla siguiente:
La empresa desea distribuir toda la produccin para la semana entrante, sin mostrar
preferencia por la utilizacin de un determinado centro de control o punto de venta, pues
su inters reside en minimizar el costo global de transporte. Cual debe ser la distribucin
de las plantas a los puntos de venta ?
Formulacin
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1. Definicin de las variables:
Xij = Unidades a enviar desde el nodo i-simo (i = 1,2,3 y 4) al nodo j-simo (j =
3,4,5,6,7 y 8)
2. Funcin objetivo:
Minimizar Z = 12X + 11X + 10X + 9X + 4(X + X ) + 6(X + X ) + 22X +
20X + 24X +20X + 19X + 23X Sujeto a las siguientes restricciones:
3. Restricciones:
4. Condicin de no negatividad:
13 14 23 24 13 23 14 24 35
36 37 45 47 48
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Xij0;i=1,2,3y4;j=3,4,5,6,7y8
El problema de asignacionesSe usan cuatro barcos cargueros para transportar bienes de un puerto a otros cuatro
puertos (numerados 1,2,3 y 4). Se puede usar cualquier barco para hacer cualquiera de
los cuatro viajes. Sin embargo, dadas algunas diferencias entre los barcos y las cargas,
el costo total de cargar, transporte y descargue de bienes para las distintas
combinaciones de barcos y puertos varia mucho. Estos costos se muestran el la
siguiente tabla:
El objetivo es asignar los barcos a los puertos en una correspondencia uno a uno, de
manera que se minimice el costo total de los cuatro barcos.
Formulacin
1. Definicin de las variables:
Xij = 0, No asigne el barco i-simo (i = 1,2,3 y 4) al puerto j-simo (j = 1,2,3 y 4)
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Xij = 1, Si asigne el barco i-simo (i = 1,2,3 y 4) al puerto j-simo (j = 1,2,3 y 4)
2. Funcin objetivo:
Minimice Z = 5X + 4X + 6X + 7X + 6X + 6X + 7X + 5X + 7X +
5X + 7X + 6X + 5X + 4X + 6X + 6X Sujeto a las siguientes
restricciones:
3. Restricciones:
4. Condicin de no negatividad:
Xij0;i=1,2,3y4;j=1,2,3y4
Problema de la mezcla
11 12 13 14 21 22 23 24 31
32 33 34 41 42 43 44
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Una compaa de petrleos produce tres tipos de gasolina: Super, Normal y Euro. Se
obtienen por mezcla de tres calidades de crudo (A,B,C), que contienen tres
componentes (1,2,3) . La participacin de estos componentes en la composicin de cada
crudo es:
Las especificaciones de los tres tipos de gasolina son:
Los costos por barril de crudo A, B y C son: $650, $500 y $450, respectivamente.
El presupuesto diario de compra es de $50 Millones.
La disponibilidad diaria de crudos B y C se limita, respectivamente, a 3.000 y 7.000
barriles.
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Ciertos acuerdos obligan a comprar al menos 2.500 barriles de A.
Las demandas de gasolina Super y Normal son de 2.000 y 2.500 barriles diarios, que
deben satisfacerse. La compaa desea maximizar la produccin de gasolina Euro.
Formule un modelo de programacin lineal que de respuesta al problema planteado por
la compaa.
Formulacin
1. Definicin de las variables:
Xij = Cantidad de barriles diarios del crudo i-simo (i = A, B, C) dedicado al tipo de
gasolina j-sima (j = S, N, E)
2. Funcin objetivo:
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Maximizar Z = X + X + X Sujeto a las siguientes restricciones:
3. Restricciones:
650(X + X + X ) + 500(X + X + X ) + 450(X + X + X )50000.000
Restriccin debida a la limitacin de disponibilidad de capital
AE BE CE
AS AN AE BS BN BE CS CN CE
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4. Condicin de no negatividad:
Xij0;i=A,B,C;j=S,N,E
El problema del financieroUn inversionista tiene la intencin de hacer varias inversiones, las cuales se extendern
por un periodo de cinco aos, al final del cual necesitar de todo el capital. Las
inversiones se hacen el 1 de Enero de cada ao y son:
Inversin A: Disponible el 1 de Enero de cada ao y produce el 15% de inters al final
de cada ao.
Inversin B: Disponible en dos aos a partir de ahora (Comienzo del 3 ao), y produce
un retorno del 25% al final del 3 ao y lo mximo que el inversionista considerar son
$40.000
Inversin C: Disponible en un ao a partir de ahora (Comienzo del 2 ao), y produce el
40% al final del cuarto ao. Esta inversin ser de $30.000 como mximo.
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El inversionista tiene $100.000 disponibles para las inversiones.
Cul debe ser el portafolio de inversin que le permita obtener la mxima cantidad de
dinero al final del ao quinto ?
Formulacin
1. Definicin de las variables:
Xij = Cantidad de dinero a invertir en la alternativa i-sima (i=A, B y C) al principio del
ao j-simo (j = 1, 2, 3, 4 y 5 ).
Capital Inicial: $100.000
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Para construir las restricciones piense, que al principio de cada ao va a tener
disponibles algunas alternativas de inversin para las que no podr invertir ms de lo
tenga disponible en ese momento. El lado izquierdo de las restricciones, representa la
cantidad de dinero que el inversionista invertir en las alternativas disponibles al principio
de cada ao y el lado derecho representa la cantidad de dinero disponible para invertir,
que es la suma de: El capital inicial + La suma de todos los intereses recibidos hasta la
fecha Los capitales que estn invertidos en ese momento y que no han retornado.
2. Funcin objetivo:
Maximizar Z = 0,15 (X + X + X +X + X ) + 0,25X + 0,4XA1 A2 A3 A4 A5 B3 C2
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Sujeto a las siguientes restricciones:
3. Restricciones:
4. Condicin de no negatividad:
Xij0;i=A,ByC;j=1,2,3,4y5
Problema de inventarios
Un producto de la firma XYZ tiene la siguiente demanda pronosticada para los prximos
cuatro meses: Mes 1: 2.800 unidades, Mes 2: 2.200 unidades, Mes 3: 3.200 unidades y
Mes 4: 2.500 unidades.
La compaa puede producir 2.700 unidades del artculo por mes en sus turnos
normales. Utilizando tiempo extra es posible fabricar 300 unidades adicionales. La
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produccin en tiempo extra tiene un sobre costo de $10 por unidad. La administracin
ha estimado que se incurre en un costo de almacenamiento de $2 por unidad que se
produzca en un mes determinado y no se venda en el mismo.
Se trata de determinar un programa ptimo de produccin que minimice los costos
totales de produccin y almacenamiento. Supngase que la cantidad en existencia es
cero y se desea un inventario final del periodo igual a cero.
Formulacin
1. Definicin de las variables:
Xi = Unidades a producir en el mes i-simo (i = 1, 2, 3 y 4) en tiempo normal.
Yi = Unidades a producir en el mes i-simo (i = 1, 2, 3 y 4) en tiempo extra.
Ii = Unidades a almacenar al final del mes i-simo (i = 1, 2, 3 y 4).
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2. Funcin objetivo:
Minimizar Z = 10 + 10 + 10 + 10 + 2 + 2 + 2
Sujeto a las siguientes restricciones:
3. Restricciones:
4. Condicin de no negatividad:
Xi0;Yi0;Ii0;i=1,2,3y4
Y1 Y2 Y3 Y4 I1 I2 I3
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El problema de los manteles
En un saln de banquetes se tienen programados banquetes durante los siguientes
cinco das. Los requisitos de manteles por banquete son:
El problema del administrador es que se requieren manteles diferentes a los que se
usan, por lo que tendr que comprar ese tipo de manteles. El costo de cada mantel es
de $40 y el costo de mandarlo a la lavandera bajo servicio urgente para tenerlo listo a
los dos das es de $10 por mantel.
Cul es el modelo que le permitir al administrador cumplir con sus requisitos y adems
minimizar el costo total?
Formulacin
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1. Definicin de las variables:
Xi = Nmero de manteles a comprar para el banquete i-simo (i = 1, 2, 3, 4 y 5).
Yi = Nmero de manteles a mandar a lavar despus del banquete i-simo (i = 1, 2 y 3).
Ii = Nmero de manteles limpios al final de cada banquete i-simo (i = 1, 2, 3 y 4).
2. Funcin objetivo:
Minimizar Z = 40(X + X +X +X +X ) + 10(Y + Y + Y )
Sujeto a las siguientes restricciones:
1 2 3 4 5 1 2 3
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3. Restricciones:
4. Condicin de no negatividad:
Protrac, Inc.
PROTRAC, Inc, produce dos lneas de equipo pesado. Una de estas lneas de
productos (llamada equipo de excavacin) se destina esencialmente a aplicaciones de
construccin. La otra lnea (llamada equipo para la silvicultura) est destinada a ala
industria maderera. El miembro ms grande de la lnea de equipo de excavacin (el E-9)
y el miembro mayor de la lnea de equipo para la silvicultura (el F-9) se producen en el
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mismo departamento y con el mismo equipo. Haciendo uso de las predicciones
econmicas para el prximo mes, el gerente de mercadotecnia de PROTRAC juzga que
durante ese periodo ser posible vender todos los E-9 y F-9 que la empresa pueda
producir. La administracin debe ahora recomendar una meta de produccin para el
prximo mes. Es decir, cuntos E-9s y F-9s deben producirse? En la toma de decisin,
los principales factores a considerar son los siguientes: PROTRAC tendr una utilidad de
$5000 por cada E-9 que se venda y $4000 por cada F-9. Cada producto pasa por
operaciones mecnicas tanto en el departamento A como en el departamento B. Para la
produccin del prximo mes, estos dos departamentos tienen disponibles 150 y 160
horas, respectivamente. Cada E-9 consume 10 horas de operacin mecnica en el
departamento A y 20 horas en el departamento B, mientras que cada F-9 consume 15
horas en el departamento A y 10 horas en el departamento B. Estos datos se resumen
en la tabla siguiente.
Con el objeto de cumplir un compromiso con el sindicato, el total de horas de trabajo
que se dedicarn a la verificacin de los productos terminados del prximo mes no
puede ser menos en 10% a una meta establecida de 150 horas. Esta verificacin se
realiza en un tercer departamento que no tiene relacin con las actividades de los
departamentos A y B. cada E-9 requiere de 30 horas de comprobacin y cada F-9, 10.
Puesto que el 10% de 150 es 15, el total de horas de trabajo destinadas a la verificacin
no puede ser menos de 135. Estos datos se concentran en la tabla siguiente.
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Con el fin de mantener su posicin en el mercado, la alta gerencia ha decretado
como poltica operativa que: deber construirse cuando menos una F-9 por cada tres E-
9 que sean fabricadas.
Uno de los principales distribuidores ha ordenado un total de cuando menos cinco E-9 y
F-9 (en cualquier combinacin) para el prximo mes, por lo cual tendr que producirse
por lo menos esa cantidad.
Formulacin
1. Definicin de las variables:
Xi = Cantidad de maquinas tipo i-simo (i = E; F). que se deben fabricar el prximo mes.
2. Funcin objetivo:
Maximizar Z = 5000X + 4000X
Sujeto a las siguientes restricciones:
E F
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3. Restricciones:
10X + 15X 150CapacidadeneldepartamentoA
20X + 10X 160CapacidadeneldepartamentoB
30X + 10X 135Horasdetrabajoempleadasnelaverificacin
X - 3X 0Balancedelaposicinenelmercado
X + X 5Requisitodeproduccinmnima
4. Condicin de no negatividad:
Xi0;i=EyF
Optimizacin del corte de maderaEn una marquetera se fabrican cuadros, cuyos marcos se obtienen de cortar varillas
para bocel, cuya longitud original es de 300 cms. El Departamento de ventas tiene
pedidos para el siguiente mes de 175 cuadros de 119 x 90 cms. El Jefe de produccin
ordena que se corten 350 boceles de 119 cents. Y 350 boceles de 90 cms. (Cada
cuadro lleva 2 boceles de cada dimensin).
E F
E F
E F
E F
E F
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Con sta manera de cortar la madera, la Fbrica necesita el capital para comprar 292
varillas para bocel de 300 cms. cada una y genera 14.450 cms. de desperdicio.
Formule un problema de programacin lineal que minimice el desperdicio, la compra de
materia prima y optimice la productividad.
Formulacin
Mtodo de corte actual y si valoracin:
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Total de varillas de 300 cms a comprar: 175 + 117 = 292 varillas
Total de centmetros de desperdicio: 10.850 + 3600 = 14.450 cms
1. Definicin de las variables:
Xj = Nmero de varillas a cortar de la forma j-sima (j = 1, 2 y 3)
Formas posibles de cortar la varilla:
2. Funcin objetivo:
Minimizar Z = 62X + X + 30X (Minimizar el desperdicio)
Sujeto a las siguientes restricciones:
1 2 3
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3. Restricciones:
Restricciones debidas a la necesidad de boceles de cada tamao:
2X + X = 350
2X + 3X = 350
4. Condicin de no negatividad:
Xj0;j=1,2y3
El problema de los paquetes de tuercasUn distribuidor de ferretera planea vender paquetes de tuercas y tornillos mezclados.
Cada paquete pesa por lo menos 2 libras. Tres tamaos de tuercas y tornillos componen
el paquete y se compran en lotes de 200 libras. Los tamaos 1, 2 y 3 cuestan
respectivamente $20, $8 y $12, adems:
a) El peso combinado de los tamaos 1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso total
del paquete.
b) El peso de los tamaos 1 y 2 no debe ser mayor que 1,6 libras.
c) Cualquier tamao de tornillo debe ser al menos el 10% del paquete total.
Cul ser la composicin del paquete que ocasionar un costo mnimo?
1 2
2 3
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Formulacin
1. Definicin de las variables:
Xj= Peso en libras de las tuercas y tornillos del tamao j-simo (j=1,2 y 3) en la bolsa
Observe que:
20/200 es lo que vale una libra de tornillos tipo 1
8/200 es lo que vale una libra de tornillos tipo 2
12/200 es lo que vale una libra de tornillos tipo 3
2. Funcin objetivo:
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Minimizar Z = (20/200) X + (8/200) X + (12/200) X
Sujeto a las siguientes restricciones:
3. Restricciones:
4. Condicin de no negatividad:
Xj0;j=1,2y3
Problema de distribucinTransporte y Trnsito del Tolima estudia la factibilidad de introducir un sistema de
autobuses de transporte masivo que aliviar el problema del smog al reducir el trnsito
en la ciudad. El estudio inicial busca determinar el mnimo nmero de autobuses que
1 2 3
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Ejercicios Resueltos | Investigacion de Operaciones I
http://invdoperaciones.wordpress.com/ejercicios-resueltos/[04-03-2014 17:09:56]
pueden suplir las necesidades de transporte en la ciudad. El estudio inicial busca
determinar el nmero mnimo de autobuses que pueden suplir las necesidades de
transporte. Despus de recolectar la informacin necesaria, el ingeniero de la entidad
advierte que el nmero mnimo de autobuses que se necesitan para cubrir la demanda
flucta segn la hora del da. Estudiando los datos ms a fondo descubri que el
nmero requerido de autobuses se puede suponer constante en intervalos sucesivos de
4 horas cada uno. En la figura se resumen los hallazgos del ingeniero. Se decidi que
para hacer el mantenimiento diario requerido, cada autobs podra operar solo 8 horas
sucesivas al da.
Formulacin
1. Definicin de las variables:
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Xj = Nmero de buses a signar en el turno j-simo (j = 1, 2, 3, 4, 5 y 6) de 8 horas cada
uno.
2. Funcin objetivo:
Minimizar Z = X + X + X + X + X + X
Sujeto a las siguientes restricciones:
3. Restricciones:
1 2 3 4 5 6
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4. Condicin de no negatividad:
Xj0;j=1,2,3,4,5y6
Sistema Operativo de ProduccinLa compaa Wetski Water Ski es la ms grande productora de skis para agua, como
Usted sospecha, existe una estimacin de alta demanda, con un mximo en los meses
de verano y un mnimo en los meses de invierno. Conociendo los costos y el pronstico
por trimestre; Formule un programa de programacin lineal que minimice los costos y
satisfaga la demanda. Cules son los costos de ese plan?
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Formulacin
Produccin mxima por trimestre con la fuerza de trabajo regular:
1.000 (Pares /Empleado) * 50 (Empleados) = 50.000 skis
1. Definicin de las variables:
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Es lgico pensar que Io = 0 y I = 0 , para minimizar los costos.
2. Funcin objetivo:
Minimizar Z = 50(X + X + X + X ) + 75(H + H + H + H ) + 85(M + M + M +
M ) + . . .
. . +3(I + I + I )
4
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3
4
1 2 3
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Sujeto a las siguientes restricciones:
3. Restricciones:
4. Condicin de no negatividad:
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personajes importantes Russell L.Ackoff Mark S Hillier Gerald J Liberman Frederick S Hillier Gyula Farkas Metodo Hngaro Mtodo del Cruce delarrollo Mtodo Esquina Noroeste Dualidad Mtodo MODI Sensibilidad Mtodo de Voguel Ernesto Che Guevara Dantzig y Karmakar
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