ejercicios resueltos del libro de roxana meneses procesos 6
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Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 1
Desarrollados por el profesor: Marco Antonio Cubillo Murray
Página 62.
Nivel Octavo Año
PROCESOS 6: Fracciones Algebraicas Racionales
Nivel de Dificultad 1
1. Simplificar las fracciones algebraicas. Considerar los denominadores diferentes
de cero.
(1)
3 2
2
3
4
4
a b
ab
a 2b
a 2b
24a
(2)
2
3
4
2
4
x y
xy
2x y
2 x 3y
2
2x
y
Observemos que todos los
elementos, tanto de numerador
como del denominador se están
multiplicando, entonces podemos
simplificar aplicando la ley de
potencias de igual base de la
División.
Observemos que todos los
elementos, tanto de numerador
como del denominador se están
multiplicando, entonces podemos
simplificar aplicando la ley de
potencias de igual base de la
División.
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(3)
3 2
5
3
2
a b
a b
a 2b52 a b
22
b
a
(4)
4 2
5 2
9
18
9
a x
a x
4a 2x
18 5a 2x
1
2a
(5)
3 2
3
a b
ac
a 2b
a
2 2
c
a b
c
Observemos que todos los
elementos, tanto de numerador
como del denominador se están
multiplicando, entonces podemos
simplificar aplicando la ley de
potencias de igual base de la
División. Además nunca debe
quedar un negativo en el
denominador
Observemos que todos los
elementos, tanto de numerador
como del denominador se están
multiplicando, entonces podemos
simplificar aplicando la ley de
potencias de igual base de la
División. Además los negativos se
aplica la ley de signos y queda
positivo.
Observemos que todos los
elementos, tanto de numerador
como del denominador se están
multiplicando, entonces podemos
simplificar aplicando la ley de
potencias de igual base de la
División. Además aquellos
elementos que no tienen pareja se
quedan igual no se les aplica nada
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(6)
4
2
4
a b c
a
a
2
b c
a
2 b c
(7)
6
2 6
6
w
w
w
2 6w
1
2
(8) Esta pregunta está repetida con la número 7.
Observemos que todos los
elementos, tanto de numerador
como del denominador se están
multiplicando, entonces podemos
simplificar aplicando la ley de
potencias de igual base de la
División. Lo que está entre los
paréntesis no se le aplica nada.
Los elementos del numerador se
ponen entre paréntesis y como se
está multiplicado por el número 1,
entonces se cancela con el
paréntesis que es igual del
denominador, siempre aplicando
la ley de potencias de igual base
donde la base es todo el
paréntesis.
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(9)
5
3 5
5
v
v
v
3 5 v
1
3
(10)
23 2
6
3
z z
z
2z 2
6
z
z
2
2
z z
2. Determinar las restricciones (el denominador no puede ser cero) de las
siguientes fracciones algebraicas.
(1)
23
0
0
a b
c
c
c
Los elementos del numerador se
ponen entre paréntesis y como se
está multiplicado por el número 1,
entonces se cancela con el
paréntesis que es igual del
denominador, siempre aplicando
la ley de potencias de igual base
donde la base es todo el
paréntesis.
Lo que debemos hacer es igual a
cero el denominador (parte de
debajo de la fracción) y despejar,
en este caso no fue necesario
despejar por lo que la respuesta
es cero. Recordemos que la
división no está definida ( E ) no
existe por lo que buscamos el
valor que indefine la expresión
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(2)
3 2
2
2
2
0
0
0
0
a b
c
c
c
c
c
(3)
3 2
0 y 0
0 y 0
a b
ac
a c
a c
(4)
2 7
2
0
0
m
m
m
m
Lo que debemos hacer es igual a
cero el denominador (parte de
debajo de la fracción) y despejar,
en este caso no fue necesario
despejar por lo que la respuesta
es cero. Recordemos que la
división no está definida ( E ) no
existe por lo que buscamos el
valor que indefine la expresión.
Eliminamos potencias, aplicando
raíces con igual índice. La raíz de
cero es igual a cero.
En este caso tenemos dos
elementos multiplicándose en el
denominador, entonces se iguala
a cada uno a cero y se despejan, lo
valores resultantes serán las
respuestas.
Para esta expresión solo se toma
las variables (letras) y se igualan a
cero, las constantes (números) no
se toman en cuenta.
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(5) 0
0
w
v
v
v
(6)
5
0
0
w
w
w
(7)
1
1
1 0
1
1
b
c
c
c
c
En este caso debemos igualar toda
la expresión del denominador por
estarse sumando, igual sería el
caso si se estuvieran restando, y
se despejan, esto da el valor que
no debe nunca valer la variable
del denominador para no indefinir
le expresión.
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(8)
2
1
1 0
1
1
h
u
u
u
u
(9)
3
3
3 0
3
3
b
c
c
c
c
(10)
1
3
3 0
3
3
h
u
u
u
u
En este caso debemos igualar toda
la expresión del denominador por
estarse sumando, igual sería el
caso si se estuvieran restando, y
se despejan, esto da el valor que
no debe nunca valer la variable
del denominador para no indefinir
le expresión.
En este caso debemos igualar toda
la expresión del denominador por
estarse sumando, igual sería el
caso si se estuvieran restando, y
se despejan, esto da el valor que
no debe nunca valer la variable
del denominador para no indefinir
le expresión.
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(11)
0
w z
v z
v z
v z
v z
(12)
1
0
w
v z
v z
v z
v z
(13)
12
3
3 0
3
3
k
k
k
k
El denominador está compuesto
de dos variables que se están
sumando, se iguala toda la
expresión a cero y se despeja, lo
que nos da que la otra variable no
puede asumir el valor opuesto de
la variable que se suma, porque si
no se convierte en una resta y nos
quedaría cero.
El mismo caso del anterior
ejercicio.
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(14)
12
3
3 0
3
3
k
k
k
k
(15)
12
3
3 0
3
3
k
k
k
k
(16)
6
2
0
a
a c
a c
a c
a c
Recordar que la variable que se
despeja nunca debe quedar con
un signo negativo, entonces se le
cambia de signo y esto se repite
en el valor despejado por igual.
El denominador está compuesto
de dos variables que se están
sumando, se iguala toda la
expresión a cero y se despeja, lo
que nos da que la otra variable no
puede asumir el valor opuesto de
la variable que se suma, porque si
no se convierte en una resta y nos
quedaría cero.
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(17)
2
1
0 y 1 0
1
0 y 1
ab
a b
a b
b
a b
(18)
5
2 5
5 0
5
5
a
a
a
a
a
Nivel de Dificultad 2
3. El numerador y el denominador en la expresión 5
5
x
x con 5x son
inversos aditivos ya que 1 5 5 5 .x x x Entonces podeos
simplificar:
551
5 5
xx
x x
Cuando en el denominador hay
dos expresiones multiplicándose
se igualan a cero por separado y
se despejan aquellas que lo
permitan, al final cualquiera de los
dos valores serían aquellos que
me indefinen la expresión.
Aunque esta expresión se puede
simplificar y nos quedaría como
respuesta
5
2 5
5
a
a
a
2 5a
1
2
lo que
No indefine la expresión nunca.
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Hallar la mínima expresión de las siguientes fracciones racionales algebraicas.
(1)
4
4
4
x
x
x
4x
1
(2)
2
2
2
a
a
a
2a
1
(3)
3 1
1
3 1
b
b
b
1 b
3
Cuando se le da vuelta a la
expresión, automáticamente se
le pone un negativo afuera de
los paréntesis y se simplifica la
expresión.
Observemos que se le puede
dar vuelta a la parte de arriba o
abajo, siempre que
mantengamos que al darle
vuelta a la expresión debemos
poner un negativo afuera de
paréntesis.
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(4)
3
4 3
3
w
w
w
4 3w
1
4
(5)
3 9
3
3 3
3
3 3
c
c
c
c
c
3 c
3
En este caso debemos
factorizar la expresión del
numerador (Arriba de la
fracción) para que luego
podemos tener los mismos
elementos que el
denominador, por último
aplicar darle vuelta y poner un
negativo afuera del paréntesis.
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(6)
1
2 2
1
2 1
1
a
a
a
a
a
2 1a
1
2
(7)
5 2
6 15
2 5
3 2 5
2 5
d
d
d
d
d
3 2 5d
1
3
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(8)
4 12
6 2
4 3
2 3
4 3
h
h
h
h
h
2 3 h
4
2
2
(9)
2 2
4 2
2
2 2
2
k k
k
k k
k
k k
2 2 k
2
k
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(10)
3
2
2
2
2
2
6 12
2
6 2
2
z z
z
z z
z
z z
26 2z
6
z
4. Simplificar las fracciones algebraicas. Considerar los denominadores diferentes
de cero.
(1)
4 3 44 12
4 4
xx
x x
3
4
x 3x
xx
(2)
2 3 22 6
4 4
yy
y y
3
4
y 3
2
y
yy
(3)
2 2 2
2
5 5 5
5 5 1
c c c
c c c c c
5
5 15 1
c
cc
(4)
3 3
2
12 12 12
3 6 3 2
d d
d d d d
3d
3d
24
22
d
dd
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(5)
2
2
3 1 33 3
6 9 3 2 3
m m mm m
m m m m
1
3
m
m
1
2 32 3
m
mm
(6)
2
2
22 2 14 2
10 5 5 2 1
yy yy y
y y y y
2 1y
5 y 2 1y
2
5
(7)
4 45 4
2
6 16
1
x x xx x
x x x x
6 1x
x
3 6 1
11
x x
xx
(8)
556 5
8 7 7
1
1
aa aa a
a a a a
1a
7a 1a2
1
a
Nivel de dificultad 3.
5. Decir cuáles expresiones racionales están simplificadas correctamente. Las que
no son correctas, decir qué error se cometió. Considerar los denominadores
diferentes de cero.
(1)
4 2
3 2
4 2
3 2
84
2
88
2
x yx
x y
x y
x y
4x 2y
2 3x 2y4x
(2)
4 3
5 2
4 3
5 2
147
7
14 14
7
a bab
a b
a b
a b
4a 3b
7 5a 2b
2b
a
Si es correcta la respuesta
No es correcta la respuesta. Se
simplificaron mal los números y
las letras al aplicar ley de
potencias de división de igual
base.
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(3)
5 21
2 5
2 55 2
2 5 2 5
n
n
nnNO
n n
(4)
2 77
2
2 7
2
m
m
mNO
m
(5)
w z w
v z v
w zNO
v z
(6)
3 1
3 1
3
3
b b
c c
bNO
c
No es correcta la respuesta. No se
puede simplificar la expresión
más.
No es correcta la respuesta. No se
puede simplificar la expresión
más.
No es correcta la respuesta. No se
puede simplificar la expresión
más. Para poder simplificar las
letras se deben estar
multiplicando entre sí, de lo
contrario no se pueden eliminar.
No es correcta la respuesta. No se
puede simplificar la expresión
más. Para poder simplificar las
letras se deben estar
multiplicando entre sí, de lo
contrario no se pueden eliminar.
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(7)
5 1 5
1
5 1 5 5
1 1
x
w x w
x xNO
w x w x
(8)
2 3 1 2 1
9 3
2 3 1 2 3 3
9 9
v v
v vNO
(9)
22
2 2
u hh
u
u h u hNO
u u
(10)
2 32
3
2 32 3 2 3
3 3
k
k
kk k
k k 3k
22
1
No es correcta la respuesta. No se
puede simplificar la expresión
más. Para poder simplificar las
letras se deben estar
multiplicando entre sí, de lo
contrario no se pueden eliminar.
No es correcta la respuesta. No se
puede simplificar la expresión
más. Para poder simplificar las
letras se deben estar
multiplicando entre sí, de lo
contrario no se pueden eliminar.
No es correcta la respuesta. No se
puede simplificar la expresión
más. Para poder simplificar las
letras se deben estar
multiplicando entre sí, de lo
contrario no se pueden eliminar.
No es correcta la respuesta. La
simplificación correcta da -2,
como vemos en el desarrollo.
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6. Parear las respuestas.
(1) 2 1
( 1 ) 21
c
c
2 12 1
1
cc
c 1c
22
1
(2) 2 1 1
( 4 ) 1 2
c
c
2 12 1
1
cc
c 1c
22
1
(3) 1
( 2 ) 22 1
c
c 111
2 1 2 1
ccc
c c 2 1c
1 1
2 2
(4) 1
(NO esta ) 12 1
c
c 111
2 1 2 1
ccc
c c 2 1c
1
2
(5) 2
( 5 ) 12
c
c
222
2 2
ccc
c c 2c1
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Nivel de Dificultad 4
7. Simplificar las fracciones algebraicas. Considerar los denominadores diferentes de cero.
(1)
11
1 1
aa
a a 1 1a a
1
1a
(2)
1 11 1
1
a aa a
a 1a1a
(3) 2
1 11 1
1
a aa a
a 21a
1
1
a
a
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(4) 2
11 1
1
aa a
a 2
1
1
a
a
1
1
a
a
(5)
22 11
1 1
aa
a a 1 1a a
1
1
a
a
(6)
22 11
1 1
aa
a a 1a
1
11
a
aa
(7)
14 1 1 1 4
1 1
aa b a a b
a a
4
1
b
a4 b
(8)
1 55 1 1 1 5
5 5
a ca c a a c
c c 5 c1a
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(9)
2 12 2 2 2 1
1 1
b a ba b b b b b a b
a b a b 1a b2b
(10)
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
v w z w w v w z w w w v z
w w w
1w 1
1
v z
w1v z ó 1z v
(11)
3 3 3 3 3 3 3 1
1 1 1
u z w z z u z w z z z u w
u w u w u w
3 13 1
1
z u wz u w
u w 1u w3z
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(12)
3 23 2 u vu v h h hu v h u v h u v h
h u v h u v
2 1h h h
h u v
u v 2 1h h h
h u v
h 2 1h h
h
2 1h h
(13)
2 11 1 2 11 2 1
1 1
aa aa a
a a
1 2 1
1
a
a1 2 2 2 1a a
(14)
222 2 2 11
1 1
a b ca b ca a b a c
b c b c 1 b c
2a
(15)
22 3 2 1 3 4 22 6 8
2 2
c c c cc c c
c c
21 3 4
2
c c
c
2 21 3 4 4 3 1c c c c