ejercicios resueltos de algebra.pdf

v

Reconocimientos

La produccion de este folleto incluye como una de sus com-ponentes, el esfuerzo de los profesores del curso MA 1004 Al-gebra Lineal, que durante mi gestion como coordinador, co-laboraron en la elaboracion de examenes y tareas. A OsvaldoAcuna, Marco Alfaro, Miguel Alpızar, William Castillo, Adria-na Garrido, Jorge Gonzalez, Elvis Hurtado, Liliana Jimenez,Jose Jimenez, Leonardo Marranghello, Vıctor Medina, Wal-ter Mora, Mario Murillo, Francisco Quesada, Gabriela Roldan,Alı Sheik, a todos ellos agradezco su colaboracion. Su partici-pacion ha hecho posible que este folleto refleje una vision mascolectiva sobre las tareas que enfrenta el curso.

A todos muchas gracias y esperemos que el trabajo que selogro resumir en este folleto sea de utilidad para los estudiantes.

Prof. Carlos L. Arce S.

Indice general

Presentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

1. Sistemas de ecuaciones lineales 1

2. Matrices 9

2.1. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Rango e independencia lineal . . . . . . . . . . . 20

3. Determinantes 29

4. Programacion Lineal 35

5. Vectores, Rectas y Planos 41

5.1. Vectores n dimensionales . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2. Rectas y Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6. Espacios, subespacios, bases y ortogonalidad 61

6.1. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . 61

vii

viii

6.2. Ortogonalidad y proyecciones . . . . . . . . . . . 72

7. Regresion Lineal 79

8. Transformaciones lineales 85

9. Vectores y valores propios 99

10.Examenes 117

10.1. Examenes I ciclo 1998 . . . . . . . . . . . . . . . 118

10.2. Examenes II ciclo 1998 . . . . . . . . . . . . . . . 123

10.3. Examenes I ciclo 1999 . . . . . . . . . . . . . . . 127


10.5. Examenes I ciclo 2000 . . . . . . . . . . . . . . . 138


10.7. Examenes I ciclo 2001 . . . . . . . . . . . . . . . 152


11.Algebra Lineal con Mathematica 165

11.1. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . 165

11.1.1. RowReduce . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

11.1.2. NullSpace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

11.1.3. Operaciones elementales . . . . . . . . . . 168

11.1.4. Sistemas con parametros . . . . . . . . . . 170

11.1.5. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . 172

ix

11.2. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . 173

11.2.1. Normas, angulos y ... . . . . . . . . . . . . 173

11.2.2. Construccion de bases ortonormales . . . 174

11.2.3. Ortonormalizacion paso a paso . . . . . . 176

11.3. Regresion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

11.3.1. Definicion de procedimientos . . . . . . . 177

11.3.2. Ejemplo: regresion lineal multiple . . . . . 178

11.3.3. Ejemplo: ajuste de una recta . . . . . . . 181

11.3.4. Primitiva Fit . . . . . . . . . . . . . . . . 184

11.3.5. Ejemplo: ajustes por polinomios . . . . . 185

11.4. Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . 190

11.4.1. Polinomio caracterıstico . . . . . . . . . . 191

11.4.2. Espacios caracterısticos . . . . . . . . . . 192

11.4.3. Ortonormalizacion de una base . . . . . . 192

11.4.4. Diagonalizacion ortogonal de A . . . . . . 193

xi

Presentacion

Este material ofrece a los estudiantes de Algebra Lineal,una coleccion de problemas resueltos con los ejercicios tıpicosdel tema, considerando la orientacion que el curso MA 1004Algebra Lineal de la Universidad de Costa Rica, ha tenido enlos ultimos anos.

Las soluciones a los ejercicios planteados, no solo tienen elobjetivo de “dar la solucion” si no de mostrar una apropiadaforma de exponer y organizar las ideas, a fin de promover la for-macion de estilos de escritura que hagan buen uso del lenguajematematico.

Por otra parte, el material que se presenta —incluyendoexamenes— da una definicion explıcita de los conceptos y des-trezas que el estudiante debera adquirir para tener exito en elcurso de Algebra Lineal. La idea motivadora, al poner a dis-posicion del estudiante todos los examenes de los ultimos anosdel curso MA 1004, es que ello permite forjar una idea bastanteclara de las exigencias historicas del curso. Ası el estudiante solodebe ocuparse de preparar bien los temas del curso, porque laspreguntas tıpicas de examenes no constituyen un misterio.

Finalmente, el material incluye una introduccion al paqueteMathematica a traves de los principales temas del curso. No hayduda de la creciente importancia de incorporar las computado-ras en las tareas de la matematica. Con ellas los problemas paralos usuarios de la matematica no son los de “calcular” sino los

xii

de adquirir conceptos para describir problemas y sus solucioneso construir modelos matematicos de diversos fenomenos. Conlos recursos del paquete Mathematica para trabajar los temasdel Algebra Lineal, el estudiante podra reconocer como se incre-mentan sus posibilidades de computo o calculo, tanto simbolicoo algebraico como numerico, de manera que su norte en el estu-dio del Algebra Lineal debera ser el dominio de los conceptos ysus aplicaciones, mas que la habilidad de aplicar manualmentealgunos algoritmos de calculo.

Capıtulo 1

Sistemas deecuaciones lineales

Ejercicio 1.1

Considere los siguientes sistemas de ecuaciones:

1)

⎧⎨⎩−2x+ y = 1

5x+ y = 15x+3y = 3

2)

⎧⎨⎩−2x+ y = 1

5x+ y = 15−3x−2y = −16

3)

⎧⎨⎩−2x+ y = 1

x−y/2 = −1/2−6x+ 3y = 3

4)

⎧⎨⎩−2x+y = 1

5x+y = 152x−y = 3

Haga un representacion grafica de cada sistema y a partir delgrafico establezca si tiene solucion o no tiene. Cuando tengasolucion, determınela. (No debe utilizar reduccion gaussiana)

Solucion:

1)No tiene solucion: no hay puntos que satisfagan las ecua-ciones de las tres rectas, simultaneamente.

2 Sistemas de ecuaciones lineales

−2x + y = 1

x + 3y = 3

5x + y = 15

2

5

15

3

2)Tiene solucion unica: (x, y) = (2, 5) es un punto en comunde las tres rectas.

−2x + y = 1

5x + y = 15

2

5

15

3

−3x − 2y = −16

8

3)Tiene infinitas soluciones: las tres ecuaciones representanla misma recta.

−2x + y = 1x − y

2 = −12

−6x + 3y = 3

4)No tiene solucion: no hay puntos que pertenezcan a lastres rectas simultaneamente.

Sistemas de ecuaciones lineales 3

−2x + y = 1

5x + y = 15

2

5

15

3

2x − y = 3

-3

Ejercicio 1.2

Determine para que valores de a y b el siguiente sistema:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x + ay + −aw = −ax + ay + −bz + (−b2 − a)w = −a + b2

x + ay + z = 0−x + −ay + (b − 1)z + b2w = −b2

a) es inconsistente, b) tiene infinitas soluciones que dependende un parametro, y c) tiene infinitas soluciones que dependende dos parametros.

Solucion:

Transformando la matriz aumentada del sistema a una formaescalonada, teniendo el cuidado de no utilizar operaciones ele-mentales del tipo αfi en las que α dependa de los parametrosa y b y pueda asumir el valor 0 o indefinirse, se tiene:⎛⎜⎜⎝

1 a 0 −a −a1 a −b −a − b2 −a + b2

1 a 1 0 0−1 −a −1 + b b2 −b2

⎞⎟⎟⎠−f1 + f2

−f1 + f3

f1 + f4

−→

⎛⎜⎜⎝1 a 0 −a −a0 0 −b −b2 b2

0 0 1 a a0 0 −1 + b −a + b2 −a − b2

⎞⎟⎟⎠


f2, f3

−→

⎛⎜⎜⎝1 a 0 −a −a0 0 1 a a0 0 −b −b2 b2

0 0 −1 + b −a + b2 −a − b2

⎞⎟⎟⎠bf2 + f3

(1 − b)f2 + f4

−→

⎛⎜⎜⎝1 a 0 −a −a0 0 1 a a0 0 0 ab − b2 ab + b2

0 0 0 −ab + b2 −ab − b2

⎞⎟⎟⎠

f3 + f4

−→

⎛⎜⎜⎝1 a 0 −a −a0 0 1 a a0 0 0 (a − b)b (a + b)b0 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎠Aunque esta ultima matriz aun no tiene la forma escalonada,representa un sistema sobre el cual ya se pueden establecercondiciones para que tenga o no solucion. Especıficamente, seobserva que:

a)la ecuacion 3 es inconsistente si (a−b)b = 0 y (a+b)b �= 0.Esto solo ocurre cuando a = b y b �= 0.

b)si b �= 0 y a �= b, entonces (a − b)b �= 0, en cuyo caso, laoperacion 1

(a−b)bf3 transforma la ultima matriz en:⎛⎜⎜⎝1 a 0 −a −a0 0 1 a a0 0 0 1 (a + b)/(a − b)0 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎠La cual es una matriz escalonada que representa un sis-tema con infinito numero de soluciones dependiendo de unparametro.

c)la ecuacion 3 resulta superflua si b = 0, en cuyo caso el sis-tema tiene infinitas soluciones que dependen de 2 parame-tros: (No. de variables - No. de filas no nulas en la matrizescalonada).


Ejercicio 1.3

Considere el sistema de ecuaciones en las variables x, y y z:{2ax − 3y − z = −4a + 6b3x − y + az = −a − b

con a y b en IR

a)Determine el conjunto solucion si a = 9/2 y b = 0. Repre-sente las fracciones en forma exacta y no aproximada.

b)Encuentre los valores de a y b para que el vector(−2, 2a − b,−3) sea solucion del sistema.

Solucion:

a)Si a = 9/2 y b = 0 el sistema es:{9x − 3y − z = −183x − y + 9

2z = − 92

Y al determinar la forma escalonada de su matriz aumen-tada se obtiene:(

9 −3 −1 −183 −1 9/2 −9/2

)19f1

−→(

1 −1/3 −1/9 −23 −1 9/2 −9/2

)−3f1 + f2

−→(

1 −1/3 −1/9 −20 0 29/6 3/2

)629f1

−→(

1 −1/3 −1/9 −20 0 1 9/29

)19f2 + f1

−→(

1 −1/3 0 −57/290 0 1 9/29

)Ası, el conjunto solucion del sistema es infinito y dependede un parametro. Si y = t, entonces:

x = (1/3)t − 57/29, y = t, z = 9/29

o sea, S = {((1/3)t − 57/29, t, 9/29)|t ∈ IR}.


b)Si (−2, 2a − b,−3)t es solucion del sistema entonces:(2a −3 −13 −1 a

)⎛⎝ −22a − b−3

⎞⎠ =(−4a + 6b

−a − b

)

=⇒(−10a + 3b + 3

−5a + b − 6

)=(−4a + 6b

−a − b

)=⇒

{ −6a − 3b = −3−4a + 2b = 6

Resolviendo este sistema se tiene:( −6 −3 −3−4 2 6

)...

−→(

1 0 −1/20 1 2

)Luego a = −1/2 y b = 2.

Ejercicio 1.4

Considere la matriz A =(

a b ca −b c

).

a)Pruebe que A es equivalente por filas a la matriz(a 0 c0 b 0

).

b)Determine los valores de a, b y c, para los cuales el sis-tema de ecuaciones{

a x + b y = ca x − b y = c

i)tiene solucion unica.ii)tiene infinitas soluciones que dependen de un parame-

tro.iii)tiene infinitas soluciones que dependen de dos para-

metros.iv)es inconsistente.

En los tres primeros casos describa el conjunto de solu-ciones.


Solucion:

a) (a b ca −b c

) −f1 + f2

−→(a b c0 −2b 0

) − 12f2

−→(

a b c0 b 0

)−f2 + f1

−→(

a 0 c0 b 0

).

b)La matriz ampliada del sistema{

a x + b y = ca x − b y = c

es(

a b ca −b c

)que es equivalente por filas a

(a 0 c0 b 0

).

Entonces:

i)El sistema tiene solucion unica si y solo si a �= 0 yb �= 0. En este caso el conjunto solucion es

S ={(

ca0

)}.

ii)Para que el sistema de ecuaciones dado tenga infinitassoluciones que dependan de un parametro, la matrizde coeficientes y la matriz ampliada del sistema debentener rango igual a 1; esto ocurre cuando:

b = 0 y a �= 0, en cuyo caso el conjunto soluciones:

S ={(

cat

)| t ∈ IR

},

o cuando, a = 0 = c y b �= 0, en cuyo caso elconjunto solucion es:

S ={(

t0

)| t ∈ IR

}.


iii)El sistema de ecuaciones dado tiene infinitas solu-ciones que dependan de dos parametros si el rangode la matriz de coeficientes y de la matriz ampliadadel sistema son ambos cero; esto ocurre cuando:

a = b = c = 0,

en cuyo caso el conjunto solucion es:

S ={(

st

)| s ∈ IR, t ∈ IR

}.

iv)El sistema de ecuaciones dado resulta inconsistentecuando el rango de la matriz de coeficientes es menorque el de la matriz ampliada; esto es cuando a = 0 yc �= 0.

Capıtulo 2

Matrices

2.1. Operaciones con matrices

Ejercicio 2.1

De un ejemplo de una matriz A, 3 × 3, con todas sus entradasdistintas de cero y dos vectores distintos x = (x1, x2, x3)t yy = (y1, y2, y3)t tales que

Ax = Ay.

Solucion:

Observe que el problema es proponer un sistema de ecuacionesAx = b = Ay con infinitas soluciones, que permita determi-nar dos vectores x y y distintos que lo satisfagan. O sea, serequiere que el numero de filas no nulas de la forma escalonadaequivalente a A sea menor que el numero de columnas de A,( Rng (A) < m, si A es n×m). Ademas, con tal matriz se debeelegir un vector b apropiado para que el sistema tenga solucion.

10 Matrices

Considere, por ejemplo, la matriz

A =

⎛⎝ 1 −2 3−2 1 −2−1 −1 1

⎞⎠cuya ultima fila es la suma de las dos primeras, o sea, su rangosera menor que 3. Y b = (−3, 0,−3)t, cuya ultima entradatambien es la suma de las dos primeras. Esto garantiza que elsistema Ax = b tiene infinitas soluciones. Ahora, resolviendo elsistema de ecuaciones correspondiente:⎛⎝ 1 −2 3 −3

−2 1 −2 0−1 −1 1 −3

⎞⎠ 2f1 + f2

f1 + f3

−→

...

...−→

⎛⎝ 1 0 1/3 10 1 −4/3 20 0 0 0

⎞⎠Se obtiene que su solucion es S = {(1 − 1

3 t, 2 + 43 t, t)|t ∈ IR}.

Entonces eligiendo t = 0 y t = 3, por ejemplo, se obtienen dossoluciones distintas x = (1, 2, 0)t y y = (0, 6, 3)t, para las cualesse cumplira que Ax = Ay.

Observe que este ejercicio reafirma que en el algebra matricial,aunque A no sea la matriz nula, de la proposicion Ax = Ay nose implica que x = y.

Ejercicio 2.2

Sea A =(

11

)e I la matriz identidad de M(2, IR). Use solo

algebra de matrices (no sistemas de ecuaciones) para determi-nar una matriz X ∈ M(2, IR) tal que

AAtX = X + I.

2.1 Operaciones con matrices 11

Solucion:

AAtX = X + I⇐⇒ AAtX − X = I⇐⇒ (AAt − I)X = I.

Luego si (AAt − I) es invertible X = (AAt − I)−1.

AAt − I =(

11

)( 1 1 ) −

(1 00 1

)

=(

1 11 1

)−(

1 00 1

)=(

0 11 0

).

Entonces claramente (AAt − I) es invertible y

(AAt − I)−1 = (AAt − I) =(

0 11 0

)= X.

Ejercicio 2.3

Sean A =(

2 1 00 −1 1

)y B =

⎛⎝ 1 0−2 1−1 2

⎞⎠.

a)Verifique que (AB − I2)−1 = AB.b)Use algebra de matrices, (sin transformar la pregunta en

el problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales),para encontrar una matriz X tal que

ABX − A = X.

Solucion:

a)AB =(

2 1 00 −1 1

)⎛⎝ 1 0−2 1−1 2

⎞⎠ =(

0 11 1

)y efectivamente:

(AB − I2)AB =[(

0 11 1

)−(

1 00 1

)](0 11 1

)

12 Matrices

=( −1 1

1 0

)(0 11 1

)=(

1 00 1

)= I2

Luego (AB − I2)−1 = AB.

b) ABX − A = X=⇒ ABX − X = A=⇒ (AB − I)X = A=⇒ X = (AB − I)−1A=⇒ X = ABA

=(

0 11 1

)(2 1 00 −1 1

)=

(0 −1 12 0 1

).

Ejercicio 2.4

Sea A ∈ M(n, IR).

a)Demuestre que A+At siempre es simetrica, pero no A−At.

b)Demuestre que si AAt = I entonces |A| = 1 o |A| = −1.

Solucion:

a)Para toda A ∈ M(n, IR) se tiene que

(A + At)t = At + (At)t = At + A = A + At,

luego A + At es simetrica. Sin embargo,

(A − At)t = At − (At)t = At − A �= A − At.

b) AAt = I=⇒ |AAt| = |I|=⇒ |A||At| = 1=⇒ |A|2 − 1 = 0=⇒ (|A| − 1)(|A| + 1) = 0=⇒ |A| = 1 o |A| = −1.


Ejercicio 2.5

Considere las siguientes matrices:

A =

⎛⎝ 1 2−1 0

1 −1

⎞⎠ , B =

⎛⎝ 0 −11 13 0

⎞⎠ y C =

⎛⎝ 0 1 01 0 10 1 0

⎞⎠ .

Halle una matriz X tal que XABt = ABt + XC2. (Escribatodo el procedimiento.)

Solucion:

XABt = ABt + XC2 =⇒ X[ABt − C2] = ABt .

Si ABt − C2 es inversible, entonces X = ABt[ABt − C2]−1.

ABt =

⎛⎝ 1 2−1 0

1 −1

⎞⎠(0 1 3

−1 1 0

)=

⎛⎝ −2 3 30 −1 −31 0 3

⎞⎠

C2 =

⎛⎝ 0 1 01 0 10 1 0

⎞⎠⎛⎝ 0 1 01 0 10 1 0

⎞⎠ =

⎛⎝ 1 0 10 2 01 0 1

⎞⎠

Claramente ABt − C2 =

⎛⎝ −3 3 20 −3 −30 0 2

⎞⎠ es una matriz

inversible. ⎛⎝ −3 3 2 1 0 00 −3 −3 0 1 00 0 2 0 0 1

⎞⎠f2 + f1

(1/2)f3

−→

⎛⎝ −3 0 −1 1 1 00 −3 −3 0 1 00 0 1 0 0 1/2

⎞⎠3f3 + f2

f3 + f1

−→

⎛⎝ −3 0 0 1 1 1/20 −3 0 0 1 3/20 0 1 0 0 1/2

⎞⎠

14 Matrices

(−1/3)f1

(−1/3)f2

−→

⎛⎝ 1 0 0 −1/3 −1/3 −1/60 1 0 0 −1/3 −1/20 0 1 0 0 1/2

⎞⎠

Luego (ABt − C2)−1 =

⎛⎝ −1/3 −1/3 −1/60 −1/3 −1/20 0 1/2

⎞⎠y X = ABt[ABt − C2]−1. Esto es:

X =

⎛⎝ −2 3 30 −1 −31 0 3

⎞⎠⎛⎝ −1/3 −1/3 −1/60 −1/3 −1/20 0 1/2

⎞⎠

=

⎛⎝ 2/3 −1/3 1/30 1/3 −1

−1/3 −1/3 4/3

⎞⎠ .

Ejercicio 2.6

Proponga un ejemplo de matrices A y B cuadradas tales que

(A − B)(A + B) �= A2 − B2.

¿Que condicion deben cumplir A y B para que

(A − B)(A + B) = A2 − B2?

Solucion:

En realidad, lo que puede resultar mas difıcil es encontrar dosmatrices A y B cuadradas tales que

(A − B)(A + B) = A2 + B2.

Como (A−B)(A+B) = A2 +AB−BA+B2, lo que se requierees que AB = BA, es decir que “A y B conmuten”.

Si AB �= BA, como ocurre en general, entonces

(A − B)(A + B) �= A2 + B2.


Compruebelo eligiendo las dos primeras matrices que se le ocu-rra, por ejemplo:

A =

⎛⎝ 1 2 34 5 67 8 9

⎞⎠ , B =

⎛⎝ 1 1 11 1 11 1 1

⎞⎠en este caso

AB =

⎛⎝ 5 5 515 15 1524 24 24

⎞⎠ , BA =

⎛⎝ 12 15 1812 15 1812 15 18

⎞⎠ .

Si las que usted se dio conmutan y no son casos triviales comoque una de ellas sea la identidad o ambas sean matrices diago-nales, entonces su eleccion es muy afortunada. Por otra parte,observe por ejemplo que si A es invertible, A y A−1 conmutan.

Ejercicio 2.7

Una matriz cuadrada A se llama antisimetrica si At = −A.Sea A una matriz antisimetrica de dimension n × n, con nimpar. Pruebe que A no es invertible.

Solucion:

det(A) = det(At) = det(−A) = (−1)n det(A). Ahora, comon en impar entonces (−1)n = −1, ası que det(A) = −det(A);luego 2 det(A) = 0 ⇒ det(A) = 0 y por lo tanto A no esinvertible.

Ejercicio 2.8

Sea x ∈ IRn tal que xtx = 1 y A ∈ M(n, IR) tal que A =In − 2xxt.

1. Demuestre que A es simetrica.

2. Demuestre que A2 = In.

3. Proponga un ejemplo de una matriz B ∈ M(3, IR) distintade la identidad tal que B−1 = B.

16 Matrices

Solucion:

1)Basta mostrar que At = A:

(In − 2xxt)t = In − 2(xxt)t = In − 2(xt)txt = In − 2xxt.

2)(In − 2xxt)(In − 2xxt) = In − 2xxt − 2xxt + 4xxtxxt

= In − 2xxt − 2xxt + 4xxt = In

3)Observe que AA = I por lo tanto A−1 = A. Luego unamatriz B tal que, B = B−1, puede ser elegida como uncaso particular de A:

Por ejemplo, con x =

⎛⎜⎝1√3

1√3

1√3

⎞⎟⎠, se tiene que xtx = 1.

Ası,

xxt =

⎛⎜⎝1√3

1√3

1√3

⎞⎟⎠(1√3

1√3

1√3

)=

⎛⎝ 13

13

13

13

13

13

13

13

13

⎞⎠ .

De manera que

B = I − 2xxt =

⎛⎝ 1/3 −2/3 −2/3−2/3 1/3 −2/3−2/3 −2/3 1/3

⎞⎠es una matriz cuya inversa es ella misma.

Ejercicio 2.9

Una matriz A = (aij), m × n, se llama trapezoidal superior siaij = 0 siempre que i > j.

Exprese (factorice) la matriz B =

⎛⎝ 0 −1 2 52 −5 6 72 1 3 −2

⎞⎠, como

el producto de una matriz invertible y una matriz trapezoidal


superior.

Solucion:

Efectuando operaciones elementales hasta transformar la ma-triz A en una matriz trapezoidal superior:

A =

⎛⎝ 0 −1 2 55 −5 6 72 1 3 −2

⎞⎠ f1, f3

−→

⎛⎝ 2 1 3 −25 −5 6 70 −1 2 5

⎞⎠− 5

2f1 + f2

−→

⎛⎝ 2 1 3 −20 −15

2−32 12

0 −1 2 5

⎞⎠−215 f2 + f3

−→

⎛⎝ 2 1 3 −20 −15

2−32 12

0 0 115

175

⎞⎠ = T

Por tanto, T = E(−215 f2 + f3)E(−5

2 f1 + f2)E(f1,f3)A

=⇒ E(f1,f3)E(52f1 + f2)E(

215

f2 + f3)T = A.

Esto es: ⎛⎝ 0 −1 2 55 −5 6 72 1 3 −2

⎞⎠ =

⎛⎝ 0 0 10 1 01 0 0

⎞⎠⎛⎝ 1 0 052 1 00 0 1

⎞⎠⎛⎝ 1 0 00 1 00 2

15 1

⎞⎠⎛⎝ 2 1 3 −20 −15

2−32 12

0 0 115

175

⎞⎠

=

⎛⎝ 0 2/15 15/2 1 01 0 0

⎞⎠⎛⎝ 2 1 3 −20 −15/2 −3/2 120 0 11/5 17/5

⎞⎠ = CT

Observe que T es trapezoidal superior y C invertible.

18 Matrices

Ejercicio 2.10

Considere las matrices:

A =

⎛⎝ 1 1/2 1/31/2 1/3 1/41/3 1/4 1/5

⎞⎠ , B =

⎛⎝ 1.0 0.5 0.3330.5 0.333 0.25

0.333 0.25 0.2

⎞⎠ .

Observe que la diferencia entre A y B es que en esta ultima1/3 se expresa en forma aproximada. Determine las matricesinversas de A y B y compare los resultados. En el calculo deB−1 conserve el mayor numero de dıgitos decimales que le seaposible (aunque no los escriba en su respuesta) para obtener unresultado lo mas exacto posible.

Solucion:

Aplicando el procedimiento para el calculo de la inversa, en elcaso de la matriz A se obtiene:⎛⎝ 1 1/2 1/3 1 0 0

1/2 1/3 1/4 0 1 01/3 1/4 1/5 0 0 1

⎞⎠(−1/2)f1 + f2

(−1/3)f1 + f3

−→

⎛⎝ 1 1/2 1/3 1 0 00 1/12 1/12 −1/2 1 00 1/12 4/45 −1/3 0 1

⎞⎠−1f2 + f3

12f2

−→

⎛⎝ 1 1/2 1/3 1 0 00 1 1 −6 12 00 0 1/180 1/6 −1 1

⎞⎠

(−1/2)f2 + f1

−→

⎛⎝ 1 0 −1/6 4 −6 00 1 1 −6 12 00 0 1/180 1/6 −1 1

⎞⎠

180f3

−→

⎛⎝ 1 0 −1/6 4 −6 00 1 1 −6 12 00 0 1 30 −180 180

⎞⎠


−f3 + f2

(1/6f3 + f1)−→

⎛⎝ 1 0 0 9 −36 300 1 0 −36 192 −1800 0 1 30 −180 180

⎞⎠Y para la matriz B, haciendo las operaciones y preservando elmayor numero de decimales1, tenemos:

⎛⎝ 1.0 0.5 0.333 1.0 0.0 0.00.5 0.333 0.25 0.0 1.0 0.00.333 0.25 0.2 0.0 0.0 1.0

⎞⎠

−0.5f1 + f2

−0.333f1 + f3

−→

⎛⎝ 1. 0.5 0.333 1.000 0. 0.0. 0.083 0.0835 −0.500 1. 0.0. 0.083 0.0891 −0.333 0. 1.

⎞⎠1

0.083f2

−→⎛⎝ 1.0 0.5 0.333 1.000 0.0 0.00.0 1.0 1.006024 −6.024 12.048 0.00.0 0.083 0.089111 −0.333 0.0 1.0

⎞⎠(−0.0835)f2 + f3

−0.5f2 + f1

−→⎛⎝ 1.0 0.0 −0.1700 4.0120 −6.0240 0.00.0 1.0 1.0060 −6.0240 12.0481 0.00.0 0.0 0.0051 0.1700 −1.0060 1.0

⎞⎠1

0.005107f3

−→1Los calculos se han hecho con la mayor precision que ofrece el com-

putador disponible, pero al copiar los resultados, se han omitido cifrasdecimales, para que la respuesta sea mas compacta.

20 Matrices⎛⎝ 1.0 0.0 −0.1700 4.0120 −6.0240 0.00.0 1.0 1.0060 −6.0240 12.0481 0.00.0 0.0 1.0000 33.2835 −196.951 195.771

⎞⎠−1.006024f3 + f2

0.170012f3 + f1

−→⎛⎝ 1.0 0.0 0.0 9.6706 −39.5082 33.28360.0 1.0 0.0 −39.5082 210.186 −196.95110.0 0.0 1.0 33.2835 −196.9511 195.7718

⎞⎠Luego

A−1 =

⎛⎝ 9 −36 30−36 192 −180

30 −180 180

⎞⎠ ,

y B−1 =

⎛⎝ 9.6706 −39.5082 33.2836−39.5082 210.186 −196.9511

33.2835 −196.9511 195.7718

⎞⎠lo cual refleja diferencias muy importantes, derivadas de haberaproximado 1/3 por 0.333, lo que a primera vista no parecıaun error grave. Las matrices que en el calculo numerico refle-jan problemas como este se denominan mal condicionadas yafortunadamente, no son las mas frecuentes.

2.2. Rango e independencia lineal

Ejercicio 2.11

Sea A = (A1 A2), A1, A2 sus columnas y A =

⎛⎝ 1 20 5

−2 3

⎞⎠.

1. ¿El vector u = (4, 10, 6)t es combinacion lineal de A1 yA2?

2. Pruebe que w = (3, 4, 1)t no es combinacion lineal de A1

y A2.

2.2 Rango e independencia lineal 21

3. ¿Para que valores de α, {(1, 0,−2), (2, 5, 3), (4, 10, 5 − α)}es linealmente independiente?

4. ¿Para cual o cuales valores de a, el vector (−2a,−8a +1,−5a−3)t es combinacion lineal de los vectores columnasde A?

Solucion:

1)u es combinacion lineal de A1 y A2: u = 0A1 + 2A2.

2)H.q.m. que no existen α, β ∈ IR tal que w = αA1 + βA2, ası:⎛⎝341

⎞⎠ = α

⎛⎝102

⎞⎠ + β

⎛⎝253

⎞⎠ ⇒⎧⎨⎩

α + 2β = 35β = 4

−2α + 3β = 1Y al resolver el sistema,⎛⎝ 1 2 3

0 5 4−2 3 1

⎞⎠ 2f1 + f3

−→

⎛⎝ 1 2 30 5 40 7 7

⎞⎠15f2

−→

⎛⎝ 1 2 30 1 4

50 7 7

⎞⎠−7f2 + f3

−→

⎛⎝ 1 2 30 1 4/50 0 7/5

⎞⎠se observa que es inconsistente, luego no es posible expre-sar w como combinacion lineal de A1 y A2.

3){(1, 0,−2), (2, 5, 3), (4, 10, 5 − α)} es l.i. si y solo si:

α1

⎛⎝ 10−2

⎞⎠ + α2

⎛⎝253

⎞⎠ + α3

⎛⎝ 410

5 − α

⎞⎠ =

⎛⎝000

⎞⎠=⇒ α1 = α2 = α3 = 0.

22 Matrices

Lo que es equivalente a decir que el sistema anterior debetener solucion unica. Resolviendo:⎛⎝ 1 2 4 0

0 5 10 0−2 3 5 − α 0

⎞⎠ 2f1 + f3

−→

· · · −7f2 + f3

−→

⎛⎝ 1 2 4 00 1 2 00 0 −1 − α 0

⎞⎠ .

R/ Los vectores son l.i. solo si α �= −1.4)Esto ocurre si existen valores α y β tales que⎛⎝ −2a

−8a + 1−5a − 3

⎞⎠ = α

⎛⎝ 10−2

⎞⎠ + β

⎛⎝253

⎞⎠Y resolviendo:⎛⎝ 1 2 −2a

0 5 −8a + 1−2 3 −5a − 3

⎞⎠ 2f1 + f3

−→⎛⎝ 1 2 −2a0 5 −8a + 10 7 −9a − 3

⎞⎠ 15f2

−→⎛⎝ 1 2 −2a0 1 −8a+1

50 7 −9a − 3

⎞⎠ −2f2 + f1

−7f2 + f3

−→

⎛⎝ 1 0 6a−25

0 1 −8a+15

0 0 11a−225

⎞⎠Luego para que el sistema sea consistente 11a−22

5 = 0,entonces a = 2.R/ Si a = 2, el vector dado es combinacion lineal de A1 yA2.

Ejercicio 2.12

Sea A = (A1 A2), con A1 y A2 sus columnas y A =

⎛⎜⎜⎝−1 3

0 −12 00 −1

⎞⎟⎟⎠.


a)¿Para que valores de a, si existen, el conjunto

{A1, A2, (0, 0, 1, a)t, (0, 0, a, a)t}

es linealmente dependiente?

b)¿Para cual o cuales valores de a, si existen, (a, 2, 4, 2a)t escombinacion lineal de las columnas de A?

Solucion:

a)Si el conjunto {A1, A2, (0, 0, 1, a)t, (0, 0, a, a)t} es l.d. setiene que la ecuacion:

x1

⎛⎜⎜⎝−1020

⎞⎟⎟⎠ + x2

⎛⎜⎜⎝3−10−1

⎞⎟⎟⎠ + x3

⎛⎜⎜⎝001a

⎞⎟⎟⎠ + x4

⎛⎜⎜⎝00aa

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝0000

⎞⎟⎟⎠debe tener soluciones diferentes de la trivial, o sea, su con-junto solucion es infinito. Al plantear y resolver el sistemase tiene: ⎛⎜⎜⎝

−1 3 0 0 00 −1 0 0 02 0 1 a 00 −1 a a 0

⎞⎟⎟⎠−f1

−f2

−→

⎛⎜⎜⎝1 −3 0 0 00 1 0 0 02 0 1 a 00 −1 a a 0

⎞⎟⎟⎠ −2f1 + f3

−→

⎛⎜⎜⎝1 −3 0 0 00 1 0 0 00 6 1 a 00 −1 a a 0

⎞⎟⎟⎠3f2 + f1

−6f2 + f3

f2 + f4

−→

⎛⎜⎜⎝1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 a 00 0 a a 0

⎞⎟⎟⎠Observe que:

Si a = 0, el rango de la matriz asociada al sistema es3, entonces hay infinitas soluciones.

24 Matrices

Si a = 1, tambien el rango de la matriz asociada alsistema es 3 y hay infinitas soluciones.Si a �= 0 y a �= 1, el rango de la matriz asociada alsistema es 4, luego el sistema tiene una unica solucion.

Luego si a = 0 o a = 1 el conjunto propuesto es l.d.

b)Para que el vector (a, 2, 4, 2a)t sea combinacion lineal delas columnas de A, el sistema x1A1 + x2A2 = (a, 2, 4, 2a)t

debe ser consistente.⎛⎜⎜⎝a242a

⎞⎟⎟⎠ = x1

⎛⎜⎜⎝−1020

⎞⎟⎟⎠ + x2

⎛⎜⎜⎝3−10−1

⎞⎟⎟⎠

⇐⇒

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−x1 + 3x2 = a

−x2 = 22x1 = 4

−x2 = 2a

Resolviendo:⎛⎜⎜⎝−1 3 a

0 −1 22 0 40 −1 2a

⎞⎟⎟⎠ −f1

−→

⎛⎜⎜⎝1 −3 −a0 −1 22 0 40 −1 2a

⎞⎟⎟⎠

−2f1 + f3

−→

⎛⎜⎜⎝1 −3 −a0 −1 20 6 4 + 2a0 −1 2a

⎞⎟⎟⎠ −f2

−→

⎛⎜⎜⎝1 −3 −a0 1 −20 6 4 + 2a0 −1 2a

⎞⎟⎟⎠ −6f2 + f3

f2 + f4

−→

⎛⎜⎜⎝1 −3 −a0 1 −20 0 16 + 2a0 0 −2 + 2a

⎞⎟⎟⎠Observe que el sistema es consistente solo si, simultanea-mente 16+2a = 0 y −2+2a = 0, lo cual nunca se cumple.Entonces para ningun valor de a el vector (a, 2, 4, 2a)t escombinacion lineal de A1 y A2.


Ejercicio 2.13

Sean u1, u1, u3 vectores de IR3 tales que {u1, u2} es l.i. yu1 + u2 − u3 = 0.

1. ¿Es el conjunto {−u1, 2u2} l.i.? Justifique su respuesta.

2. ¿Es el conjunto {u1, u2, u3} l.i.? Justifique su respuesta.

3. Sea A la matriz con columnas −u1,−u2, u3.

a) ¿Cual es el rango de A? Razone su respuesta.b) Demuestre que si x0 es solucion de Ax = 0, entonces

tx0 tambien es solucion.c) Determine el conjunto solucion de Ax = 0.

Solucion:

1)El conjunto {−u1, 2u2} si es l.i porqueα(−u1)+β(2u2) = 0 =⇒ −αu1+2βu2 = 0 y como {u1, u2}es l.i=⇒ −α = 0, 2β = 0 =⇒ α = 0 y β = 0.

2){u1, u2, u3} es l.d. porque u1 = u3 − u2.

3)A =( −u1 −u2 u3

)a)ρ(A) = 2, porque −u1 y −u2 son l.i. y u3 = −1(−u1)+−1(−u2).

b)Si x0 es solucion del sistema Ax = 0 se tiene queAx0 = 0. Ahora ∀t ∈ IR, A(tx0) = t(Ax0) = t0 = 0,luego tx0 tambien es solucion de Ax = 0.

c)Como ρ(A) = 2 y A tiene 3 columnas el sistema tieneinfinitas soluciones que dependen de un parametro.Ademas (−1,−1,−1) es solucion de Ax = 0, porque−1(−u1)+−1(−u2)+−1(u3) = 0, dado que u1 +u2−u3 = 0. Por lo tanto el conjunto solucion del sistemaAx = 0 es S = {(−t,−t,−t)|t ∈ IR}.

26 Matrices

Ejercicio 2.14

Si {u1, u2, u3} es un conjunto de vectores en IRn linealmenteindependiente, determine los valores de α y β para que

{u1 − αu2, αu2 − u3, u3 − βu2}tambien sea linealmente independiente.

Solucion:

Consideremos una combinacion lineal del conjunto de vectores{u1 −αu2, αu2 −u3, u3 −βu2} que de como resultado el vectorcero. Entonces,

x1(u1 − αu2) + x1(αu2 − u3) + x3(u3 − βu2) = 0

implica, reagrupando, que

x1u1 + (−αx1 + αx2 − βx3)u2 + (−x2 + x3)u3 = 0.

Ahora, como el conjunto de vectores {u1, u2, u3} es linealmenteindependiente,

x1 = 0−αx1 + αx2 − βx3 = 0

−x2 + x3 = 0

De donde se sigue que x1 = 0, x2 = x3 y (α − β)x2 = 0.

Se concluye, entonces que {u1 − αu2, αu2 − u3, u3 − βu2} esun conjunto de vectores linealmente independiente, si y solo si,α �= β.

Ejercicio 2.15

Considere la siguiente matriz A cuyos vectores columnas se de-notan por A1, A2, A3.

A =

⎛⎜⎝√

2 −3√

2 −2√

22 1 30 5 5−1 3 2

⎞⎟⎠


(i)Exprese �u = ( 0 7 5 0 )t como combinacion lineal delos vectores columna de A.

(ii)Observe que A3 = A1 + A2. Sin hacer mas calculo, de-duzca la respuesta a las siguientes preguntas y justifique.a) ¿Ax = 0 tiene soluciones no nulas? b) ¿Ax = b tienesolucion para todo b ∈ IR4?

Solucion:

(i)

�u es combinacion lineal de A1, A2, A3

⇐⇒ existen escalares α1, α2, α3 tales que�u = α1A1 + α2A3 + α3A3

⇐⇒ Ax = u, con x = (α1, α2, α3)t, tiene solucion.

Resolviendo este sistema:⎛⎜⎜⎝√

2 −3√

2 −2√

2 02 1 3 70 5 5 5−1 3 2 0

⎞⎟⎟⎠

1√2f1

−→

⎛⎜⎜⎝1 −3 −2 02 1 3 70 5 5 5−1 3 2 0

⎞⎟⎟⎠ −2f1 + f2

f1 + f4

−→

⎛⎜⎜⎝1 −3 −2 00 7 7 70 5 5 50 0 0 0

⎞⎟⎟⎠ 17f2

−→

⎛⎜⎜⎝1 −3 −2 00 1 1 10 5 5 50 0 0 0

⎞⎟⎟⎠

−5f2 + f3

3f2 + f1

−→

⎛⎜⎜⎝1 0 1 30 1 1 10 0 0 00 0 0 0

⎞⎟⎟⎠

28 Matrices

Ası, para todo s ∈ IR, (3 − s, 1 − s, s)t es solucion del sistemay por lo tanto:

�u =

⎛⎜⎝0750

⎞⎟⎠ = (3−s)

⎛⎜⎝√

220−1

⎞⎟⎠+(1−s)

⎛⎜⎝−3

√2

153

⎞⎟⎠+s

⎛⎜⎝−2

√2

312

⎞⎟⎠ ,

∀ s ∈ IR.

(ii) a) A3 = A1 + A2 =⇒ A1 + A2 − A3 = 04

=⇒ A(1, 1,−1)t = 04,

o sea, x = (1, 1,−1)t es una solucion no nula de Ax = 04, luegoeste sistema tiene soluciones no nulas.

Otra forma de responder: como A3 = A1 +A2 y se observa queA1 y A2 son l.i. entonces Rng (A) = 2. Ası:

Rng (A) = Rng (A|0) = 2 < No. de variables,

luego Ax = 0 tiene infinitas soluciones y por lo tanto tienesoluciones no nulas.

(ii) b) Ax = b no tiene solucion para todo b ∈ IR4, porqueRng (A) = 2 y si se elige b de forma tal que {A1, A2, b} sea l.i.entonces

2 = Rng (A) �= Rng (A|b) = 3,

por lo cual Ax = b no tendrıa solucion en estos casos.

Capıtulo 3

Determinantes

Ejercicio 3.1

Sean A, Q ∈ M(n, IR), n impar, tales queA = −At (A es antisimetrica) y Q−1 = Qt (Q es ortogonal), ysea α ∈ IR, α �= 0.

(i)Demuestre que A no es invertible.

(ii)Pruebe que |Q| = ±1 y calcule |(αQ2)−1|.Solucion:

(i)A = −At =⇒ |A| = | − At| = (−1)n|At| = −1|A|,de donde 2|A| = 0, luego A no es invertible.

(ii)|Q| = |Qt| = |Q−1| = 1|Q| ,

de donde |Q|2 = 1, luego |Q| = ±1.

|(αQ2)−1| = 1|αQ2| = 1

αn|Q2| = 1αn1 = α−n.

Ejercicio 3.2

Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que de-

30 Determinantes

pende del parametro α.⎧⎨⎩x+4y − z = 1x+αy + z = 0

2x +3z = 1

i)Use determinantes a fin de establecer los valores del para-metro α, para los cuales el sistema tiene solucion.

ii)Calcule la solucion del sistema, mediante la Regla de Cramer.

Solucion:

i)Considere el sistema dado como Aw = b, con

A =

⎛⎝ 1 4 −11 α 12 0 3

⎞⎠ , b =

⎛⎝101

⎞⎠ y w =

⎛⎝xyz

⎞⎠ .

Entonces Aw = b tiene solucion unica si y solo si |A| �= 0.

|A| =

∣∣∣∣∣∣1 4 −11 α 12 0 3

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 α − 4 20 −8 5

∣∣∣∣∣∣= 5(α − 4) + 16 = 5α − 4.

Luego Aw = b tiene solucion unica si y solo si α �= 4/5.

ii)El calculo de la solucion del sistema usando Cramer, cuan-do α �= 4/5 es:

x =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 4 −10 α 11 0 3

∣∣∣∣∣∣∣∣|A| = 4α + 4

5α − 4 ,

y =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 −11 0 12 1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣|A| = −3

5α − 4 ,

z =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 4 11 α 02 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣|A| = −α − 4

5α − 4 .

Determinantes 31

Ejercicio 3.3

a)Considere dos matrices A y B , de dimension n × n ytales que det(A) = 2 y det(B) = −3 .Calcule det(−A−1Bt).

b)Determine el valor de z en el siguiente sistema de ecua-ciones lineales simultaneas⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ax + ay + bz + bw = a + 2bbx + by + cz + dw = b + c + dbx + ay + dz + ew = a + d + ecx + ay + ez + aw = 2a + e

sabiendo que el determinante de la matriz de coeficienteses 42.

Solucion:

a) det(−A−1Bt) = (−1)n det(A−1) det(Bt)

= (−1)n det(Bt)det(A) = 3

2 (−1)n+1.

b)Aplicando la regla de Cramer,

z =

∣∣∣∣∣∣∣∣a a a + 2b bb b b + c + d db a a + d + e ec a 2a + e a

∣∣∣∣∣∣∣∣42

Ahora calculamos el numerador de esta fraccion:

∣∣∣∣∣∣∣∣a a a + 2b bb b b + c + d db a a + d + e ec a 2a + e a

∣∣∣∣∣∣∣∣−C4 + C3

=

∣∣∣∣∣∣∣∣a a a + b bb b b + c db a a + d ec a a + e a

∣∣∣∣∣∣∣∣−C2 + C3

=

∣∣∣∣∣∣∣∣a a b bb b c db a d ec a e a

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 42.

Luego z = 1.

32 Determinantes

Ejercicio 3.4

Sean A = (A1, A2, A3, A4) y B = (B1, B2, B3, B4) matrices 4×4tales que |B| = 3 y las columnas de A satisfacen:

A1 = −B1, A2 = B3, A3 = −B2, A4 = 2B1 − B2.

En cada caso, justifique su respuesta.

a)Deduzca el valor del rango de A.

b)Determine:i) det(A) ii) det(B2, B1, 2B3, B4) iii) det((2B)−1).

c)Determine el conjunto solucion del sistemaAx = 0, x ∈ IR4.

Solucion:

a)Como |B| = 3 las columnas de B son l.i. luego el conjunto{B1, B2, B3} es l.i., de lo que se deduce que {A1, A2, A3}es l.i. y como

A4 = 2B1 − B2 = −2A1 + 0A2 + A3

entonces el maximo numero de columnas l.i. de A es 3.Ası Rng (A) = 3.

b)i) det(A) = 0, porque A es una matriz 4 × 4 de rango 3,esto es, A no es invertible.ii) det(B2, B1, 2B3, B4) = −2 det(B1, B2, B3, B4)

= −2(3) = −6.

iii) det((2B)−1) = 1/|(2B)| = 124|B| = 1

243 = 1/48.

c)Ax = 0 se puede expresar como:

(−B1, B3, −B2, 2B1 − B2)

⎛⎜⎜⎝x1

x2

x3

x4

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝0000

⎞⎟⎟⎠=⇒ −x1B1 + x2B3 − x3B2 + x4(2B1 − B2) = 0

Determinantes 33

=⇒ (−x1 + 2x4)B1 + (−x3 − x4)B2 + x2B3 = 0

y como {B1, B2, B3} es l.i.

=⇒⎧⎨⎩

−x1 + 2x4 = 0−x3 − x4 = 0

x2 = 0=⇒

⎧⎨⎩x1 = 2x4

x3 = −x4

x2 = 0

=⇒

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x1 = 2tx2 = 0x3 = −tx4 = t

Luego la solucion al sistema es S = {(2t, 0,−t, t)|t ∈ IR}.

Ejercicio 3.5

Sea A =

⎛⎝ −1 0 −1−1 −2 1

0 −4 1

⎞⎠ y bij = (−1)i+j |Aij |, donde Aij es

la matriz que resulta de quitar a A la fila i y la columna j.

1. Calcule la matriz B = (bij).

2. Verifique que ABt = |A|I3.

3. Deduzca cual es la matriz A−1.

Solucion:

1. b11 =∣∣∣∣ −2 1−4 1

∣∣∣∣ = 2, b12 = −∣∣∣∣ −1 1

0 1

∣∣∣∣ = 1,

b13 =∣∣∣∣ −1 −2

0 −4

∣∣∣∣ = 4, b21 = −∣∣∣∣ 0 −1−4 1

∣∣∣∣ = 4,

b22 =∣∣∣∣ −1 −1

0 1

∣∣∣∣ = −1, b23 = −∣∣∣∣ −1 0

0 −4

∣∣∣∣ = −4,

34 Determinantes

b31 =∣∣∣∣ 0 −1−2 1

∣∣∣∣ = −2, b32 = −∣∣∣∣ −1 −1−1 1

∣∣∣∣ = 2,

b33 =∣∣∣∣ −1 0−1 −2

∣∣∣∣ = 2.

Luego B =

⎛⎝ 2 1 44 −1 −4

−2 2 2

⎞⎠.

2. Tenemos que:

ABt =

⎛⎝ −1 0 −1−1 −2 1

0 −4 1

⎞⎠⎛⎝ 2 4 −21 −1 24 −4 2

⎞⎠

=

⎛⎝ −6 0 00 −6 00 0 −6

⎞⎠ = −6I3.

Por otra parte:

|A| =

∣∣∣∣∣∣−1 0 −1−1 −2 1

0 −4 1

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣−1 0 −1

0 −2 20 −4 1

∣∣∣∣∣∣= −1(−2 + 8) = −6.

Entonces se verifica que ABt = −6I3 = |A|I3.

3. Como ABt = −6I3 = |A|I3, entonces A 1|A|B

t = I3, por lotanto

A−1 =1|A|B

t =−16

⎛⎝ 2 4 −21 −1 24 −4 2

⎞⎠ .

Capıtulo 4

Programacion Lineal

Ejercicio 4.1

Considere el programa lineal:

min z = 6x1 + 4x2 + 15sujeto a las restricciones:⎧⎨⎩ x1 + 2x2 ≤ 60

3x1 + 10x2 ≤ 1803x1 + 2x2 ≥ 60

x1 ≥ 0 y x2 ≥ 0.

(i)Grafique la region de soluciones factibles. Especifique clara-mente las coordenadas de los puntos donde hay intersec-ciones.

(ii)¿Es posible eliminar una de las restricciones sin alterar laregion de soluciones factibles? Si este es el caso, ¿diga cualde ellas? Justifique.

(iii)Calcule el valor mınimo de la funcion z sujeto a las restric-ciones dadas. Use el metodo grafico.

36 Programacion Lineal

(iv)De tres soluciones factibles distintas donde la funcion zalcanza su valor mınimo.

Solucion:

(i) En el grafico siguiente se identifican con 1, 2 y 3 las rectascorrespondientes a las fronteras de los semiplanos asociadosa las restricciones 1, 2, y 3 respectivamente:1) La recta x1 + 2x2 = 60, por los puntos (60, 0) y (0, 30).2) La recta 3x1 +10x2 = 180, que contiene los puntos (0, 18)y (60, 0).3) La recta 3x1 + 2x2 = 60, que contiene los puntos (0, 30)y (20, 0).

0 10 20 30 40 50 60 70-5

0

5

10

15

20

25

30

1

2

3

El punto interseccion de las rectas frontera para las restric-ciones 2 y 3 es: (10, 15).

(ii) Es evidente del grafico anterior que se puede eliminar la 1a

restriccion, pues toda solucion factible que satisfaga la 2a

restriccion necesariamente satisface la 1a.

(iii) Haciendo z = 255 (elegido arbitrariamente al evaluar la fun-cion objetivo en el punto (40, 0) de la region de solucionesfactibles), y trazando la recta 255 = 6x1 + 4x2 + 15 obser-vamos todos los puntos de la region de soluciones factiblestales que z = 255. Repitiendo este proceso para z = 160, seobserva que la respectiva recta se desplaza a la izquierda, esdecir, conforme el valor de la funcion objetivo sea menor lospuntos (soluciones factibles) donde z alcanza estos valores

Programacion Lineal 37

son mas cercanos a la frontera determinada por la restric-cion 3, (3x1 + 2x2 = 60).

0 10 20 30 40 50 60 70

0

10

20

30

1

2

3

z = 255

z = 160

Se observa tambien que para z constante la recta z = 6x1 +4x2 + 15 = 2(3x1 + 2x2) + 15, tiene la misma pendiente quela correspondiente a la frontera de la restriccion 3. Luego lafuncion z alcanza el valor mınimo (sujeta a las restriccionesdadas) en todos los puntos de la frontera de la region desoluciones factibles determinada por la restriccion 3, esto es,el segmento de recta con extremos (10, 15) y (20, 0). Ası elvalor mınimo de z sujeto a las restricciones dadas es:

z = 6(20) + 4(0) + 15 = 6(10) + 4(15) + 15 = 135.

(iv) Como se observo, el valor mınimo z se alcanza sobre cual-quier punto (x1, x2) del segmento que va desde el vertice(20, 0) hasta el vertice interseccion de las rectas 3x1 +2x2 =60 y 3x1 + 10x2 = 180, que es el punto (10, 15). Todos estospuntos (soluciones optimas) son de la forma:

(x1, x2) = (20, 0)+ t[(10, 15)− (20, 0)] = (20, 0)+ t(−10, 15),

con 0 ≤ t ≤ 1. Ası por ejemplo, tres soluciones optimas son:

(20, 0), (10, 15) y (15, 7.5)

La tercera solucion optima elegida corresponde a t = 1/2, osea, el punto medio del segmento dado.


Ejercicio 4.2

Considere el programa lineal:

Maximizar: z = −2x2 + x3.

Sujeto a las restricciones: 3x1 + x2 − 2x3 ≤ 102x1 + x2 − 3x3 = 4x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.

a)Exprese el problema en la forma canonica y de una primerasolucion basica factible que no corresponda a la solucionoptima.

b)Si en otros dos problemas de programacion lineal, simi-lares al dado, se obtienen las siguientes tablas, al aplicarel metodo simplex:i)

1 0 0 1 62 1 −4 0 82 0 −1 0 −z + 10

ii)1 0 −1 1 62 1 −4 0 42 0 2 0 −z + 10

¿Cual es la solucion del problema, en cada caso?1

Solucion:

a)Aplicando las siguientes dos operaciones elementales, laformulacion del problema adquiere la forma canonica:

3 1 −2 1 102 1 −3 0 40 2 −1 0 −z

−f2 + f1

−2f2 + f3

−→

1 0 1 1 62 1 −3 0 4

−4 0 5 0 −z − 8

1 Observe que en 6.a) se pide explıcitamente no calcular la solucionoptima y para responder 6.b) no requiere hacer ningun computo.

Programacion Lineal 39

De lo que se deduce que (x1, x2, x3, x4) = (0, 4, 0, 6) es unasolucion basica factible.Tambien, si en la primera tabla se aplican las operaciones12f2 y −3f2+f1, o se usa la tecnica de variables artificiales,se obtiene la siguiente tabla en la forma canonica:

0 −1/2 5/2 1 41 1/2 −3/2 0 20 2 −1 0 −z

de lo que se deduce que (x1, x2, x3, x4) = (2, 0, 0, 4) es unasolucion basica factible.

b) i)En este caso no hay una solucion optima, o la fun-cion objetivo no es acotada, porque el problema tienela forma canonica y hay un coeficiente negativo en lafuncion objetivo (tercera columna), para el que losrestantes elementos de la columna son negativos ocero.

ii)En este otro caso, la funcion objetivo alcanza el opti-mo, z = 10, en el punto

(x1, x2, x3, x4) = (0, 4, 0, 6).

Porque esta formulacion tiene la forma canonica y to-dos los coeficientes de la funcion objetivo son positivoso cero.

Ejercicio 4.3

Un inversionista puede comprar dos tipos de bonos A y B, has-ta por un total de $6000. Esta sujeto a un reglamento que leprohibe invertir mas de $4000 en bonos de tipo B y menos de$1500 en bonos de tipo A. Ademas la cantidad invertida enbonos de tipo B no puede ser mayor que la mitad de la can-tidad invertida en bonos de tipo A. Los bonos de tipo A dandividendos del 8 %, mientras que los de tipo B dan dividendosdel 10 %. Formule el problema de programacion lineal corres-pondiente y establezca ¿como debe proceder dicho inversionistapara obtener el rendimiento maximo?


Solucion:

Sean x = inversion en bonos de tipo A.y = inversion en bonos de tipo B.

El rendimiento z es entonces z = 0.08x + 0.10y

y las restricciones son:

Inversion total: x + y ≤ 6000Inversion en bonos de tipo B: y ≤ 4000Inversion en bonos de tipo A: x ≥ 1500

Relacion entre las dos inversiones: y ≤ 12x

Ası, el problema puede plantearse de la siguiente forma:

Maximizar z = 0.08x + 0.10ySujeto a: x + y ≤ 6000

y ≤ 4000x ≥ 1500

−x + 2y ≤ 0x ≥ 0, y ≥ 0

0 1000 2000 3000 4000 5000 60000

1000

2000

3000

4000

5000

6000

1

2

3

4

La region de factibilidad, que se muestra en la figura de arriba,tiene por vertices:

(1500, 0), (1500, 750), (4000, 2000), (6000, 0).

En los cuales la funcion objetivo z toma los valores z = 120,z = 195, z = 520 y z = 480, respectivamente. Luego paraobtener el rendimiento maximo ( z = 520 ) se deben invertir$4000 en bonos de tipo A y $2000 en bonos de tipo B.

Capıtulo 5

Vectores, Rectas yPlanos

5.1. Vectores de IRn

Ejercicio 5.1

Sean A = (2,−1, 1), B = (1, 2, 0), C = (3,−1, 2) y�u = (1, 1,

√2).

a)Determine el area del triangulo en el espacio cuyos verticesson los puntos A, B y C.

b)Sean �ı = (1, 0, 0), �j = (0, 1, 0) y �k = (0, 0, 1). Calcule losangulos que forma el vector �u con cada uno de los vectores�ı,�j y �k.

Solucion:

a) Una forma de expresar el area de este triangulo es:

Medida del area =12

∥∥∥∥−→AB ×

−→AC

∥∥∥∥ , donde:

42 Vectores, Rectas y Planos

−→AB = B − A = (−1, 3,−1),

−→AC = C − A = (1, 0, 1) y

−→AB ×

−→AC =

∣∣∣∣ 3 −10 1

∣∣∣∣�ı − ∣∣∣∣−1 −11 1

∣∣∣∣�j +∣∣∣∣−1 3

1 0

∣∣∣∣�k = (3, 0,−3).

Luego:

area =12

∥∥∥∥−→AB ×

−→AC

∥∥∥∥ =12‖(3, 0,−3)‖ =

3√

22

.

El area tambien puede calcularse usando los vectores−→BA y

−→BC o

−→CA y

−→CB, o sus opuestos.

b) Si θ1, θ2 y θ3 son respectivamente los angulos entre �u y �ı, �u

y �j y �u y �k, entonces:

cos(θ1) = �u ·�ı‖�u‖‖�ı‖ = 1

(2)(1) = 12

=⇒ θ1 = cos−1(1/2) = π/3

cos(θ2) = �u · �j‖�u‖‖�j‖ = 1

(2)(1) = 12

=⇒ θ2 = cos−1(1/2) = π/3

cos(θ3) = �u · �k‖�u‖‖�k‖ =

√2

(2)(1) =√

22

=⇒ θ3 = cos−1(√

2/2) = π/4

Ejercicio 5.2

Suponga que

A = (1, 0, 3), B = (−1, 2, 1), C = (−4,−4, 2)

son los vertices de un triangulo. Verifique, usando vectores, quelas medianas1 del triangulo se intersecan en un unico punto Py que P divide cada mediana en la razon 1:2.

1una mediana de un triangulo es un segmento de recta que une uno desus vertices con el punto medio del lado opuesto.

5.1 Vectores n dimensionales 43

B

A

C

M2

M3

M1

P m2

m3

m1

Figura 5.1: Medianas del triangulo A,B,C.

Solucion:

De la figura 5.1, note que:

M1 = B + 12 (C − B)

= (−1, 2, 1) + 12 [(−4,−4, 2) − (−1, 2, 1)]

=(− 5

2 ,−1, 32

)Analogamente: M2 = (0, 1, 2) y M3 =

(− 32 ,−2, 5

2

).

Luego, la mediana m1 es un segmento de la recta:

m1 : (x, y, z) = A + t1 (M1 − A) =(1 − 7

2 t1,−t1, 3 − 32 t1

),

y similarmente:

m2 : (x, y, z) = C + t2 (M2 − C) = (−4 + 4t2,−4 + 5t2, 2)

m3 : (x, y, z) = B + t3 (M3 − B) =(− 1− 1

2 t3, 2− 4t3, 1+ 32 t3

).

Igualando las dos primeras tripletas, se obtiene un sistema deecuaciones cuya solucion es t1 = t2 = 2

3 , que corresponde alpunto de interseccion entre m1 y m2:

P =(− 4

3,−2

3, 2).

Por otra parte, con t3 = 23 , se observa que P tambien es un

punto de m3, ası P es el punto donde se intersecan las tresrectas.


Finalmente, observe que para m2, por ejemplo, se obtiene que:

‖M2 − C‖ = ‖(4, 5, 0)‖ =√

41,

‖M2 − P‖ = ‖(4/3, 5/5, 0)‖ = 13

√41, y

‖P − C‖ =∥∥( 8

3 , 103 , 0

)∥∥ = 23

√41.

Es decir:‖M2 − P‖‖P − C‖ =

13‖M2 − C‖23‖M2 − C‖ =

12.

Ejercicio 5.3

Verifique que las alturas del triangulo de vertices P = (−1, 1, 2),Q = (5, 1,−1) y R = (1,−1, 0), se intersecan en un punto S,llamado ortocentro.

P

S

R

Q

Solucion:

El termino “alturas” se refiere a rectas, en el plano determinadopor P , Q, y R, que contienen un vertice y son perpendicularesal lado opuesto a este vertice. Para determinar las ecuacionesvectoriales de estas rectas (alturas), observe primero que:

−→PQ = Q − P = (6, 0,−3) y

−→PR = R − P = (2,−2,−2),

luego un vector normal al plano que contiene el triangulo dado

es−→PQ ×

−→PR = −6(1,−1, 2). Si se elige N = (1,−1, 2), las


direcciones de las alturas son vectores perpendiculares a N y allado opuesto al vertice.

Recta 1: altura que contiene el vertice P .

Lado opuesto:−→RQ = Q − R = (4, 2,−1),

direccion : v = N ×−→RQ = (−3, 9, 6).

Ecuacion vectorial: X = P + rv = (−1 − 3r, 1 + 9r, 2 + 6r).

Recta 2: altura que contiene el vertice Q.

Lado opuesto:−→PR = (2,−2,−2),

direccion: u = N ×−→PR = (6, 6, 0).

Ecuacion vectorial: X = Q + su = (5 + 6s, 1 + 6s,−1).

Recta 3: altura que contiene el vertice R.

Lado opuesto:−→PQ = (6, 0,−3),

direccion: w = N ×−→PQ = (3, 15, 6).

Ecuacion vectorial: X = R + tw = (1 + 3t,−1 + 15t, 6t).

La interseccion entre las alturas 1 y 2 es un punto que satisfacelas ecuaciones:

(−1 − 3r, 1 + 9r, 2 + 6r) = (5 + 6s, 1 + 6s,−1).

Resolviendo se obtiene r = −1/2, s = −3/4 y el punto deinterseccion:

S = (12,−7

2,−1).

Por otra parte, se puede verificar que S tambien es un puntode la altura 3, puesto que con t = −1/6:

(1 + 3t,−1 + 15t, 6t) = (12,−7

2,−1) = S.


Luego S es el punto de interseccion de las tres alturas 1, 2 y3.

Ejercicio 5.4

Sean �u y �v vectores de IRn.

a)Verifique que ‖�u + �v‖2 − ‖�u − �v‖2 = 4�u · �v.

b)Demuestre que �u ⊥ �v ⇐⇒ ‖�u + �v‖ = ‖�u − �v‖.c)Explique en forma breve y concisa la interpretacion geo-

metrica de la proposicion en b). Ilustre este resultado conun grafico de vectores.

Solucion:

a) ‖�u + �v‖2 − ‖�u − �v‖2

= (�u + �v) · (�u + �v) − (�u − �v) · (�u − �v)= �u · �u + �u · �v + �v · �u + �v · �v − �u · �u + �u · �v

+�v · �u − �v · �v= 2�u · �v + 2�v · �u= 4�u · �v

b) �u ⊥ �v ⇐⇒ �u · �v = 0⇐⇒ 4�u · �v = 0⇐⇒ ‖�u + �v‖2 − ‖�u − �v‖2 = 0⇐⇒ √‖�u + �v‖2 =

√‖�u − �v‖2

⇐⇒ ‖�u + �v‖ = ‖�u − �v‖c)Interpretacion geometrica: “los lados adyacentes de un

paralelogramo son perpendiculares sı y solo sı sus diago-nales tienen igual magnitud”.o “un paralelogramo es un rectangulo sı y solo sı sus dia-gonales tienen la misma magnitud”.

Ejercicio 5.5

Encuentre el angulo entre los vectores �a y �b, si ninguno de elloses el vector cero y ∥∥∥�a ×�b

∥∥∥2

=(�a ·�b

)2

.


Solucion:

Si θ es el angulo formado por los vectores �a y �b, entonces de lasrelaciones:

‖�a ×�b‖2 = ‖�a‖2‖�b‖2sen2θ

(�a ·�b

)2

= ‖�a‖2‖�b‖2cos2θ

Con la hipotesis∥∥∥�a ×�b

∥∥∥2

=(�a ·�b

)2

se obtiene que:

sen2θ − cos2θ = 0,

siempre que �a y �b sean no nulos. Luego senθ = ±cosθ, de dondese obtiene que θ es π

4 o 3π4 .

Ejercicio 5.6

Demostrar que para dos vectores �a y �b de IRn se tiene la iden-tidad: ∥∥∥�a +�b

∥∥∥2

−∥∥∥�a −�b

∥∥∥2

= 4�a ·�b

y por lo tanto �a ·�b = 0 si y solo si∥∥∥�a +�b

∥∥∥ =∥∥∥�a −�b

∥∥∥.

Interpretar este resultado geometricamente en IR2.

Solucion:

Note que:

‖�a+�b‖2−‖�a−�b‖2 = ‖�a‖2+‖�b‖2+2�a·�b−‖�a‖2−‖�b‖2+2�a·�b = 4�a·�bLuego, ‖�a +�b‖ = ‖�a −�b‖ ⇒ 4�a ·�b = 0 ⇒ �a ·�b = 0. Recıproca-mente, si �a ·�b = 0 ⇒ ‖�a +�b‖2 = ‖�a −�b‖2 ⇒ ‖�a +�b‖ = ‖�a −�b‖.Interpretacion geometrica: “las diagonales de un paralelogramoson iguales si y solo si el paralelogramo es un rectangulo”


Ejercicio 5.7

Demostrar que para dos vectores cualesquiera �a y �b de IRn, setiene: ∥∥∥�a +�b

∥∥∥2

+∥∥∥�a −�b

∥∥∥2

= 2‖�a‖2 + 2∥∥∥�b∥∥∥2

¿Que teorema geometrico acerca de los lados y diagonales deun paralelogramo se puede deducir de esa identidad?

Solucion:

En forma similar al desarrollo hecho en el ejercicio 5.4.a.:

‖�a +�b‖2 + ‖�a −�b‖2

= ‖�a‖2 + ‖�b‖2 + 2�a ·�b + ‖�a‖2 + ‖�b‖2 − 2�a ·�b= 2‖�a‖2 + 2‖�b‖2

El resultado que se deduce de la anterior identidad es: “la sumade los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igualal doble de la suma de los cuadrados de las longitudes de suslados”.

Ejercicio 5.8

En geometrıa de solidos existe un teorema que establece que elvolumen de cualquier piramide (tetraedro) es 1

3 de la base porla altura.

(i)Use este resultado para de-mostrar que el volumen V deltetraedro cuyos lados son vec-tores l.i. �a, �b y �c, es:

V =16|(�a ×�b) · �c|

�a

�b

�c


(Sugerencia: puede usar la interpretacion geometrica cono-cida para la norma del producto cruz de dos vectores).

(ii)Utilice (i) para hallar el volumen del tetraedro PQRS convertices P (−1, 2, 0), Q(2, 1,−3), R(1, 0, 1), S(3,−2, 3).

Solucion:

(i)Partimos de que ||�a ×�b|| es el area del paralelogramo delados �a y�b. Ası el area B de la base triangular del tetraedroformada por los vectores �a y �b es:

B =12||�a ×�b||

y la altura h del tetraedro, sobre esta base, sera la normade la proyeccion del vector �c sobre un vector normal a labase (por ejemplo �a ×�b) esto es:

h = ‖Proy�a×�b�c‖ = ‖�c · (�a ×�b)

||�a ×�b||2�a ×�b‖ =

|�c · (�a ×�b)|||�a ×�b||

por lo que el volumen V del tetraedro es:

V =13Bh =

13(12||�a ×�b||) |�c · (�a ×�b)|

||�a ×�b||=

16|(�a ×�b) · �c|.

(ii)Tomando

�a =−→PQ = Q − P = (2, 1,−3) − (−1, 2, 0) = (3,−1,−3),

�b =−→PR = R − P = (1, 0, 1) − (−1, 2, 0) = (2,−2, 1),

�c =−→PS = S − P = (3,−2, 3) − (−1, 2, 0) = (4,−4, 3),

y dado que

(�a ×�b) · �c =

∣∣∣∣∣∣4 −4 33 −1 −32 −2 1

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣4 −4 33 −1 −30 0 −1/2

∣∣∣∣∣∣=

−12

∣∣∣∣ 4 −43 −1

∣∣∣∣ =−12

(8) = −4


se tiene segun el punto (i) que el volumen del tetraedro es:

V =16|(�a ×�b) · �c| =

16| − 4| =

23.

Ejercicio 5.9

¿Que puede decirse de los vectores �a y �b si para toda pareja deescalares α y β no nulos, los vectores α �a + β�b y β�a − α�b sonortogonales?

Solucion:

Como

(α�a + β�b) · (β�a − α�b) = αβ(‖�a‖2 − ‖�b‖2) + (β2 − α2)�a ·�b = 0

para toda pareja de escalares α y β no nulos. Entonces, eligiendoα = β = 1 por una parte y α = 1 y β = 2 por otra, se tiene que�a y �b deben satisfacer el siguiente sistema:{

‖�a‖2 − ‖�b‖2 = 02(‖�a‖2 − ‖�b‖2) + 3�a ·�b = 0

Luego ‖�a‖ = ‖�b‖ y �a·�b = 0. Es decir, �a y�b deben ser ortogonalesy con igual magnitud.

5.2. Rectas y Planos

Ejercicio 5.7

Sea π el plano: 3x − 2y + 4z = 5.

a) Establezca un sistema de ecuaciones parametricas y unaecuacion vectorial, para la recta que contiene Q(2,−3, 1) yes perpendicular al plano π.

b) Establezca la ecuacion cartesiana (ax+by+cz = d) del planoque contiene a los puntos A(−2, 1, 3), B(3, 0, 2) y C(1, 3,−1).

5.2 Rectas y Planos 51

Solucion:

a) Si la recta es perpendicular a π entonces un vector directores: �n = (3,−2, 4).Luego las ecuaciones parametricas serıan:⎧⎨⎩

x = 2 + 3ty = −3 − 2tz = 1 + 4t

; t ∈ IR

Y una ecuacion vectorial es:

(x, y, z) = (2,−3, 1) + t(3,−2, 4), t ∈ IR.

b) Dos vectores directores para este plano pueden ser:

�u =−→AB = (5,−1,−1) y �v =

−→AC = (3, 2,−4)

y un vector �n normal al plano es cualquiera ortogonal a �u y�v, en particular:

�n = �u × �v =∣∣∣∣−1 −1

2 −4

∣∣∣∣�ı − ∣∣∣∣ 5 −13 −4

∣∣∣∣�j +∣∣∣∣ 5 −1

3 2

∣∣∣∣�k= (6, 17, 13)

Entonces la ecuacion es del tipo: 6x + 17y + 13z = d, y alevaluarla en un punto cualquiera del plano, p.e. (−2, 1, 3),se obtiene que d = 6(−2) + 17(1) + 13(3) = 44.

Ası la ecuacion es: 6x + 17y + 13z = 44.

Ejercicio 5.8

Sean las rectas de IR3

1 :

⎧⎨⎩x = 1 + αy = 2 − 2αz = 3 + α

, y 2 :

⎧⎨⎩x = 2 − βy = 3βz = 1

,

α ∈ IR, β ∈ IR.


(i)Demuestre que 1 y 2 son rectas alabeadas, esto es, noson paralelas ni se intersecan entre sı.

(ii)Determine las ecuaciones vectorial y cartesiana del planoπ1 que contiene a 1 y es paralelo a 2.

(iii)Calcule d(1, 2), la distancia mınima entre 1 y 2.(Sugerencia: Observe que d(1, 2) = d(π1, 2)).

Solucion:

(i) Los vectores directores de 1 y 2 son respectivamente

�v = (1,−2, 1) y �u = (−1, 3, 0),

los cuales evidentemente no son paralelos y por lo tanto lasrectas tampoco lo son.Para ver que no se intersecan, observe que un punto (x, y, z)esta en la interseccion de las rectas 1 y 2 ⇐⇒ existen es-calares α y β tales que:

1 + α = x = 2 − β2 − 2α = y = 3β3 + α = z = 1

⇐⇒ el sistema

⎧⎨⎩α + β = 1

−2α − 3β = −2α = −2

tiene solucion.

Ahora como: ⎛⎝ 1 1 1−2 −3 −2

1 0 −2

⎞⎠ 2f1 + f2

−f1 + f3

−→⎛⎝ 1 1 1

0 −1 00 −1 −3

⎞⎠ −f2 + f3

−→

⎛⎝ 1 1 10 −1 00 0 −3

⎞⎠se observa que el sistema anterior no tiene solucion, lo quesignifica que las rectas no se intersecan.


(ii) Las ecuaciones vectoriales de las rectas son:

1 : (x, y, z) = (1, 2, 3) + α(1,−2, 1), α ∈ IR,

2 : (x, y, z) = (2, 0, 1) + β(−1, 3, 0), β ∈ IR.

Ası, una ecuacion vectorial para el plano π1 es:

π1 : (x, y, z) = (1, 2, 3)+α(1,−2, 1)+β(−1, 3, 0), α, β ∈ IR.

Una forma de obtener la ecuacion cartesiana de π1 es calcu-lando un vector N normal a π1, por ejemplo si �v y �u son losvectores directores del plano π1,

N = �v × �u = (1,−2, 1) × (−1, 3, 0) = (−3,−1, 1)

y como el punto P = (1, 2, 3) de l1, tambien es un punto deπ1, entonces

X = (x, y, z) es un punto de π1

⇐⇒ (X − P ) · N = 0 ⇐⇒ X · N = P · N⇐⇒ −3x − y + z = (1, 2, 3) · (−3,−1, 1)⇐⇒ −3x − y + z = −2.

Ası la ecuacion cartesiana de π1 es: 3x + y − z = 2.

(iii) Dado que 1 ⊂ π1 ‖ l2 y 1 �‖ 2, entonces en algun punto 2“pasa sobre” 1 y define los puntos de 1 y 2 con distanciamınima, la que corresponde tambien a la distancia entre unpunto cualquiera de 2 y el plano π1. (no se exige explicaresta situacion).

P

Q

N 1

2

π1


Se conoce queP = (1, 2, 3) ∈ π1 y Q = (2, 0, 1) ∈ 2, luego

d(1, 2) = d(π1, 2) = d(π1, Q) = ‖ProyN

−→PQ‖

y−→PQ = Q − P = (2, 0, 1) − (1, 2, 3)

= (1,−2,−2).

Ademas:

ProyN

−→PQ =

−→PQ · NN · N N

= (1,−2,−2) · (−3,−1, 1)(−3,−1, 1) · (−3,−1, 1)(−3,−1, 1)

= −311 (−3,−1, 1).

Entonces:

d(1, 2) = ‖ProyN

−→PQ‖ = ‖−3

11 (−3,−1, 1)‖= 3

11√

11 = 3√11

.

Ejercicio 5.9

Considere las rectas en IR3:

L1 :

⎧⎨⎩x = 3 + 2ty = −1 + tz = 5 − t

; t ∈ IR

L2 :

⎧⎨⎩x = 6 + sy = 2 + 2sz = 3 − s

; s ∈ IR

y el plano π : 3x − 2y + 4z = 5.

a) Determine, si existe, el punto de interseccion entre L1 y L2.

b) Determine, si existe, el punto de interseccion entre L1 y elplano π.


c) Calcule la distancia entre la recta L1 y el plano π. Utiliceproyecciones para hacer este calculo y haga un dibujo ex-plicativo.

Solucion:

a) L1 y L2 se intersecan si existen t y s tales que:⎧⎨⎩3 + 2t = 6 + s−1 + t = 2 + 2s

5 − t = 3 − s=⇒

⎧⎨⎩s − 2t = −32s − t = −3−s + t = 2

Resolviendo el sistema:⎛⎝ 1 −2 −32 −1 −3

−1 1 2

⎞⎠ ...−→

⎛⎝ 1 0 −10 1 10 0 0

⎞⎠Luego hay un unico punto de interseccion determinado pors = −1 o t = 1. O sea, el punto de interseccion es: (x, y, z) =(5, 0, 4).

b) Un punto de interseccion entre L1 y π es un punto de larecta L1: (x, y, z) = (3 + 2t,−1 + t, 5 − t), que satisface laecuacion del plano π : 3x − 2y + 4z = 5, o sea:

3(3 + 2t) − 2(−1 + t) + 4(5 − t) = 5=⇒ 9 + 6t + 2 − 2t + 20 − 4t = 5=⇒ 31 = 5

Se produce una inconsistencia:Entonces no existe t tal que (3 + 2t,−1 + t, 5 − t) sea unpunto del plano π.Luego la recta L1 no interseca al plano π, o sea L1 es paralelaa π.

c) Como L1 es paralela a π, entonces d(L1, π) = d(R, π), dondeR es cualquier punto de L1. Para calcular d(R, π) usandoproyecciones, se requiere:

elegir R, por ejemplo: R = (3,−1, 5).elegir un punto S de π, por ejemplo: S = (1,−1, 0).


dar un vector normal al plano π, �n = (3,−2, 4).

Reconocer que d(R, π) = ‖Proy�n

−→SR‖.

Lo cual se puede visualizar del grafico siguiente.

π1

1R

S

Proy�n−→SR

�n

Finalmente:

d(R, π) = ‖Proy�n

−→SR‖

= ‖−→SR · �n‖�n‖2 �n‖ = |

−→SR · �n|‖�n‖

= |(2, 0, 5) · (3,−2, 4)|√9 + 4 + 16

= 26√29

.

Ejercicio 5.10

Considere el plano Π : x + y + 2z = 1 y A = (−1, 1, 12 ), B =

(1, 1,− 12 ), y C = (0, 0, 1

2 ) puntos de Π. Encuentre D (en Π!)tal que {A,B,C, D } sea un paralelogramo. Haga un dibujo.

Solucion:

Sean A,B,C los tres puntos de Π dados, (A = v1, B = v2 yC = v3) y D = v4 el punto en Π a determinar, de manera que{A,B,C, D} sean los vertices de un paralelogramo.


P

C

Q

D

B

A

O

Π

Si v =−→CB = B −C y w =

−→CA = A−C entonces una ecuacion

vectorial para el plano Π es

X = C + tv + sw,

y D = C +v +w ∈ Π. Ademas, {A,B, C, D} son los vertices de

un paralelogramo en Π ya que v =−→CB =

−→AD y w =

−→CA =

−→BD.

Como A = (−1, 1, 12 ), B = (1, 1,− 1

2 ), y C = (0, 0, 12 ), entonces

D = C +−→CA +

−→CB = (0, 2,−1/2).

Tambien se observa que Q = B +−→BA +

−→BC = (−2, 0, 3

2 ), y

P = A +−→AB +

−→AC = (2, 0, −1

2 ), son otras soluciones.

Ejercicio 5.11

Considere el triangulo con vertices en:A = (−1, 1, 1

2 ), B = (1, 1,− 12 ), y C = (0, 0, 1

2 ).

a. Muestre que si ||v|| = ||w|| entonces v + w biseca el anguloformado por v y w.

b. De una ecuacion vectorial de la recta L1 que pasa por B ybiseca el angulo de vertice B (L1 serıa una bisectriz).

c. Calcule el incentro del triangulo (el incentro es el puntodonde se intersecan las bisectrices)


Solucion:

a. Sea u = v + w entoncesSi ||v|| = ||w|| =⇒ v ·v = w ·w =⇒ v ·v +w ·v = w ·w+w ·v=⇒ (v + w) · v = (v + w) · w =⇒ u · v = u · w. Luego, siθ1 = ∠ v, u y θ2 = ∠ w, u entonces

cos θ1 =u · v

‖u‖‖v‖ =u · w

‖u‖‖w‖ = cos θ2.

b. y c. Nuevamente, denominamos A = v1, B = v2 y C = v3,los vertices del triangulo dado.

Sean v =−→CA = A−C, w =

−→CB = B−C y u =

−→BA = A−B

entonces:• v y ||v||

||w||w tienen la misma norma, ası que su suma

vL1 = v +||v||||w||w

biseca al angulo entre v y w (el angulo de vertice C).

• u y − ||u||||w||w tienen la misma norma, ası, su suma

vL2 = u − ||u||||w||w

biseca al angulo entre u y −w (el angulo de vertice B).• la recta L1 : C + tvL1 biseca al angulo con vertice en C.• la recta L2 : B + svL2 biseca al angulo con vertice en B.• L1

⋂L2 = {(0, 2/3, 1/6)}. Ası, el incentro es

P = (0, 2/3, 1/6).

Ejercicio 5.12

El plano Π : z + y = 2 es intersecado por otros tres planos

Π1 : y + x = 2, Π2 : z + x = 2 y Π3 : x = 2.5.


Estas intersecciones determinan un triangulo en Π. Calcule elarea de este triangulo.Solucion:

Sean L1, L2, L3 las rectas de interseccion entre los planos Π yΠ1, Π y Π2 y Π y Π3, respectivamente. Si tomamos a z comoparametro obtenemos que:

L1 : (0, 2, 0) + t(1,−1, 1)L2 : (2, 2, 0) + t(−1,−1, 1)L3 : (2.5, 2, 0) + t(0,−1, 1)

Luego L1

⋂L2 = {(1, 1, 1)}, L1

⋂L3 = {(5/2,−1/2, 5/2)} y

L2

⋂L3 = {(5/2, 5/2,−1/2)}. Entonces los vertices del trian-

gulo son: A = (1, 1, 1), B = (52 , −1

2 , 52 ), C = (5

2 , 52 , −1

2 ), y el areaes:

||(B − A) × (C − A)||2

=√

32

Ejercicio 5.13

Considere las rectas

L1 : (−1, 4, 1) + t(2,−83,−2

3), L2 : (1, 3, 0) + t(−2, 1,−1).

a. Encuentre la ecuacion cartesiana de un plano ΠL1 que con-tenga a la recta L1 y que a la vez sea paralelo a L2.

b. Sea Q = (a, b, c) ∈ L2. Muestre que la distancia de Q a ΠL1

es 2√3.

Solucion:

a. Un vector ortogonal a los vectores directores de L1 y L2 es

(2,−8/3,−2/3) × (−2, 1,−1) = (10/3, 10/3,−10/3),

luego N = (1, 1,−1) es ortogonal a L1 y L2, y la ecuaciondel plano ΠL1 que contiene a L1 y es paralelo a L2 es dadapor

[(−1, 4, 1) − (x, y, z)] · N = 0 o sea, x + y − z = 2.


b. Observe que este plano es paralelo a las rectas L1 y L2,y como contiene a (−1, 4, 1) entonces contiene a L1. Dadoque L2 es paralela al plano, la distancia de cualquiera de suspuntos al plano es la misma (tambien es la distancia mınimaentre las rectas L1 yL2). Entonces tomando Q = (1, 3, 0) ∈L2 y P = (−1, 4, 1) ∈ ΠL1 , obtenemos:

d(Q,ΠL1) = ‖ProyN

−→PQ‖ =

|(Q − P ) · N |||N || =

2√3.

Capıtulo 6

Espacios, subespacios,bases y ortogonalidad

6.1. Espacios vectoriales

Ejercicio 6.1

Sean V = M2×2 y H1 = {A ∈ M2×2|a11 = 0},H2 = {A ∈ M2×2|A =

( −b aa b

)}.

a) Muestre que H1 y H2 son subespacios de V.

b) Describa el conjunto H = H1 ∩ H2 y muestre que es unsubespacio de V.

Solucion:

a) H1 es subespacio de V :Sean A = (aij), B = (bij) tales que A ∈ H1 y B ∈ H1,luego a11 = 0 y b11 = 0. Y sea α ∈ IR. Entonces A + αB =

62 Espacios, subespacios, bases y ortogonalidad

(aij + αbij) y como a11 = b11 = 0, A + αB = ((a + αb)ij)con (a + αb)11 = a11 + αb11 = 0 ⇒ A + αB ∈ H1.Luego H1 es subespacio de V.

H2 es subespacio de V :

Sean C y D matrices en H2, luego C =( −c1 c2

c2 c1

)y

D =( −d1 d2

d2 d1

). Y sea γ ∈ IR.

Entonces C+γD =( −c1 − γd1 c2 + γd2

c2 + γd2 c1 + γd1

), y si hacemos

c1 + γd1 = k1 y c2 + γd2 = k2, C + γD =( −k1 k2

k2 k1

),

de manera que C + γD ∈ H2.Luego H2 es subespacio de V.

b) H = H1 ∩ H2 ={

A ∈ M22/A =(

0 aa 0

)}.

Si M1 y M2 estan en H, M1 =(

0 bb 0

)y M2 =

(0 cc 0

).

Luego si M1 ∈ H, M2 ∈ H y γ ∈ IR,

M1 + γM2 =(

0 b + γcb + γc 0

),

y haciendo b + γc = d, M1 + γM2 =(

0 dd 0

)∈ H.

Luego H es subespacio de V .

Ejercicio 6.2

Halle una base para S, el espacio solucion del sistema ho-mogeneo: ⎧⎨⎩

x − 3y + z + w = 0−2x + 2y − 3z − 2w = 0

4x − 8y + 5z + 4w = 0

Y determine una matriz B, que permita describir S como:

S = {y ∈ IR4 | y = Bx, para alguna x ∈ IR2}.

6.1 Espacios vectoriales 63

Solucion:

Haciendo las operaciones elementales necesarias para resolverel sistema y determinar S, tenemos:

⎛⎝ 1 −3 1 1 0−2 2 −3 −2 0

4 −8 5 4 0

⎞⎠−4f1 + f3

2f1 + f2

−→

⎛⎝ 1 −3 1 1 00 −4 −1 0 00 4 1 0 0

⎞⎠

f2 + f3

−→

⎛⎝ 1 −3 1 1 00 −4 −1 0 00 0 0 0 0

⎞⎠

f2 + f1

−→

⎛⎝ 1 −7 0 1 00 −4 −1 0 00 0 0 0 0

⎞⎠Ası x = 7y − w y z = −4y, y toda solucion del sistema es dela forma: ⎛⎜⎜⎝

7y − wy

−4yw

⎞⎟⎟⎠ = y

⎛⎜⎜⎝71−40

⎞⎟⎟⎠ + w

⎛⎜⎜⎝−1001

⎞⎟⎟⎠Entonces {(7, 1,−4, 0)t, (−1, 0, 0, 1)t} genera el conjunto S solu-cion del sistema y como sus vectores son l.i., es una base paraS.

Por otra parte, como:⎛⎜⎜⎝7y − w

y−4yw

⎞⎟⎟⎠ = y

⎛⎜⎜⎝71−40

⎞⎟⎟⎠ + w

⎛⎜⎜⎝−1001

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝7 −11 0

−4 00 1

⎞⎟⎟⎠(yw

)


la matriz B =

⎛⎜⎜⎝7 −11 0

−4 00 1

⎞⎟⎟⎠, permite describir S como:

S = {y ∈ IR4 | y = Bx, para alguna x ∈ IR2}.

Ejercicio 6.3

Sean A ∈ M(m,n, IR) y SA = {x ∈ IRn|Ax = 0}.a)Pruebe que SA es un subespacio de IRn.

b)Considere la matriz

A =

⎛⎝ 1 1 -1 2 -12 1 1 3 00 -1 3 -1 2

⎞⎠i)Determine una base para SA y establezca su dimen-

sion.ii)Determine una base para el subespacio E generado

por las columnas de la matriz A y establezca su di-mension.

Solucion:

a) Si x, y ∈ SA y α ∈ IR=⇒ Ax = 0 y Ay = 0

Ahora, A(αx + y) = αAx + Ay = α0 + 0 = 0, entoncesαx + y ∈ SA.Luego SA es un subespacio de IRn.

b) i) El problema es equivalente a encontrar una base del espa-cio solucion del sistema homogeneo Ax = 0, para lo cual sedebe resolver el sistema:⎛⎝ 1 1 −1 2 −1 0

2 1 1 3 0 00 −1 3 −1 2 0

⎞⎠


−2f1 + f2

−→

⎛⎝ 1 1 −1 2 −1 00 −1 3 −1 2 00 −1 3 −1 2 0

⎞⎠−f2

−→

⎛⎝ 1 1 −1 2 −1 00 1 −3 1 −2 00 −1 3 −1 2 0

⎞⎠−f2 + f1

f2 + f3

−→

⎛⎝ 1 0 2 1 1 00 1 −3 1 −2 00 0 0 0 0 0

⎞⎠Luego ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x1 = −2r−s −tx2 = 3r−s+2tx3 = rx4 = sx5 = t

Ası

⎛⎜⎜⎜⎜⎝x1

x2

x3

x4

x5

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ = r

⎛⎜⎜⎜⎜⎝−23100

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ + s

⎛⎜⎜⎜⎜⎝−1−1010

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ + t

⎛⎜⎜⎜⎜⎝−12001

⎞⎟⎟⎟⎟⎠.

Claramente

{(−2, 3, 1, 0, 0)t, (−1,−1, 0, 1, 0)t, (−1, 2, 0, 0, 1)t}

es un conjunto l.i. que genera SA, luego una base de SA es:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

⎛⎜⎜⎜⎜⎝−23100

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ ,

⎛⎜⎜⎜⎜⎝−1−1010

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ ,

⎛⎜⎜⎜⎜⎝−12001

⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭ .

Y dim(SA) = 3.

ii) El espacio que generan las filas de una matriz es igual alespacio que generan las filas de cualquier otra matriz equi-


valente a esta. Luego al reducir por filas la matriz At:⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 2 01 1 −1

−1 1 32 3 −1

−1 0 2

⎞⎟⎟⎟⎟⎠−f1 + f2

f1 + f3

−2f1 + f4

f1 + f5

−→⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 2 00 −1 −10 3 30 −1 −10 2 2

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ −f2

−→

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 2 00 1 10 3 30 −1 −10 2 2

⎞⎟⎟⎟⎟⎠−3f2 + f3

f2 + f4

−2f2 + f5

−→

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 2 00 1 10 0 00 0 00 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠se obtiene una matriz cuyas filas no nulas generan el mismoespacio que las filas de At. O sea:

E = C{(1, 2, 0)t, (0, 1, 1)t}.Ası se obtuvo un conjunto de vectores l.i. que generan E.Luego una base para E (el espacio generado por las columnasde A) es:⎧⎨⎩

⎛⎝120

⎞⎠ ,

⎛⎝011

⎞⎠⎫⎬⎭ . Otra solucion:

⎧⎨⎩⎛⎝ 1

0−2

⎞⎠ ,

⎛⎝011

⎞⎠⎫⎬⎭ .

Claramente dim(E) = 2.

Ejercicio 6.4

a) Halle una base para el espacio generado por las columnas dela matriz

A =

⎛⎜⎜⎝1 −1 2 1

−1 0 1 21 −2 5 42 −1 1 −1

⎞⎟⎟⎠


b) Determine una base para el subespacio T de vectores de IR4

que son ortogonales a cada vector de la base obtenida en a).

c) Sea B la matriz cuyas filas son los vectores de la base obteni-da en b) transpuestos. Resuelva el sistema Bx = 0, dondex ∈ IR4.

d) Muestre que el espacio solucion del sistema en c) es igual ael espacio generado por las columnas de A.

Solucion:

a) At =

⎛⎜⎜⎝1 −1 1 2

−1 0 −2 −12 1 5 11 2 4 −1

⎞⎟⎟⎠−f1 + f4

f1 + f2

−2f1 + f3

−→

⎛⎜⎜⎝1 −1 1 20 −1 −1 10 3 3 30 3 3 −3

⎞⎟⎟⎠3f2 + f3

3f2 + f4

−→

⎛⎜⎜⎝1 −1 1 20 −1 −1 10 0 0 00 0 0 0

⎞⎟⎟⎠

−f2 + f1

−→

⎛⎜⎜⎝1 0 2 10 −1 −1 10 0 0 00 0 0 0

⎞⎟⎟⎠Base para el espacio de columnas de A:

{(1, 0, 2, 1)t, (0,−1,−1, 1)t}.

b) Un vector x = (x1, x2, x3, x4)t es ortogonal a (1, 0, 2, 1)t y a(0,−1,−1, 1)t si satisface que:

(1, 0, 2, 1)t · (x1, x2, x3, x4)t = 0y (0,−1,−1, 1)t · (x1, x2, x3, x4)t = 0,


o sea, es solucion del sistema cuya matriz aumentada es lasiguiente: (

1 0 2 1 00 −1 −1 1 0

)Y claramente, toda solucion de este sistema es de la forma:⎛⎜⎜⎝

−2x3 − x4

−x3 + x4

x3

x4

⎞⎟⎟⎠ = x3

⎛⎜⎜⎝−2−110

⎞⎟⎟⎠ + x4

⎛⎜⎜⎝−1101

⎞⎟⎟⎠de manera que una base para T es

{(−2,−1, 1, 0)t, (−1, 1, 0, 1)t}.

c) Resolviendo el sistema homogeneo Bx = 0 indicado:(−1 1 0 1 0−2 −1 1 0 0

) −f1

−→(

1−1 0 −1 0−2−1 1 0 0

)2f1 + f2

−→(

1 −1 0 −1 00 −3 1 −2 0

)(−1/3)f2

−→(1 −1 0 −1 00 1 −1

323 0

)f2 + f1

−→(

1 0 −13

−13 0

0 1 −13

23 0

)Luego, las soluciones del sistema son de la forma:⎛⎜⎜⎝

13x3 + 1

3x413x3 − 2

3x4

x3

x4

⎞⎟⎟⎠ = x3

⎛⎜⎜⎝1/31/310

⎞⎟⎟⎠ + x4

⎛⎜⎜⎝1/3−2/3

01

⎞⎟⎟⎠con lo que el conjunto solucion es

S = C{(1, 1, 3, 0)t, (1,−2, 0, 3)t}.

d) Observe que los vectores de la base de S dada en c) soncombinacion lineal de los vectores de la base en a):⎛⎜⎜⎝

1130

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝1021

⎞⎟⎟⎠−

⎛⎜⎜⎝0−1−11

⎞⎟⎟⎠ y

⎛⎜⎜⎝1−203

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝1021

⎞⎟⎟⎠ + 2

⎛⎜⎜⎝0−1−11

⎞⎟⎟⎠


Luego los vectores de la base de S pertenecen al espacio ge-nerado por las columnas de la matriz A, y como este espaciotiene dimension 2, son una base de este espacio (el generadopor las columnas de A). Luego las bases en a) y c) son basesde un mismo espacio. Es decir, S y el espacio generado porlas columnas de A son el mismo.

Ejercicio 6.5

Sea S = {A ∈ M(2, IR)|(−1, 4)A = (0, 0)} un subespacio deM(2, IR).

a)Muestre que(

4t 4kt k

)∀ t, k ∈ IR, y

(0 00 0

)son

matrices en S.

b)Encuentre una base B para S.

Solucion:

a)Para todo t y k en IR se tiene:

(−1, 4)(

4t 4kt k

)= (−4t + 4t,−4k + 4k) = (0, 0)

luego(

4t 4kt k

)∈ S.

Ademas, para t = 0 = k,

(4t 4kt k

)=

(0 00 0

), con

lo que se muestra que la matriz nula 2 × 2 esta en S.

b)Base para S: si A =(

a bc d

)∈ S entonces

(−1, 4)(

a bc d

)= (−a + 4c,−b − 4d) = (0, 0)

=⇒{ −a + 4c = 0

−b + 4d = 0 =⇒ a = 4c y b = 4d.


Ası A =(

4c 4dc d

)= c

(4 01 0

)+ d

(0 40 1

)y se

tiene que

B ={(

4 01 0

),

(0 40 1

)}es un conjunto generador de S. Ademas claramente esteconjunto es l.i. (ninguna de las matrices se puede expresarcomo un escalar por la otra), por lo que es una base de S.

Ejercicio 6.6

Determine si el conjunto dado es un espacio vectorial. Si surespuesta es afirmativa, determine la dimension y una base parael espacio.

a) El conjunto S de vectores (x, y, z) de IR3 que satisfacen x +2y − z = 0.

b) El conjunto M1 de matrices A = (aij), 3 × 2 con a12 = 0 ylas operaciones de adicion matricial y multiplicacion por unescalar.

c) El conjunto M2 de matrices como en el ejercicio anterior,pero con a12 �= 0.

Solucion:

Como los conjuntos dados son subconjuntos de IR3 en a) y deM(3, 2, IR) en b) y c), y es conocido que estos son espaciosvectoriales, el reconocer si los propuestos son espacios vectori-ales o no, es equivalente a reconocer si son o no subespaciosvectoriales de IR3 y M(3, 2, IR).

a) S es el conjunto solucion de un sistema homogeneo, un sis-tema con una sola ecuacion, y es conocido que estos conjun-tos son subespacios vectoriales de IRn, donde n es el numerode variables del sistema.


Los vectores del conjunto S dado satisfacen x + 2y − z = 0,o sea x = −2y + z, de manera que son de la forma:⎛⎝−2y + z

yz

⎞⎠ = y

⎛⎝−210

⎞⎠ + z

⎛⎝101

⎞⎠ .

Luego S = C{(−2, 1, 0)t, (1, 0, 1)t} y como estos vectoresgeneradores de S son l.i. entonces constituyen una base deS. La dimension de S es 2.

b) El conjunto M1 de matrices A = (aij), 3× 2 con a12 = 0, esun subespacio de M(3, 2, IR).Observe que si A y B pertenecen a M1 y α ∈ IR,

A + αB =

⎛⎝ a11 0a21 a22

a31 a32

⎞⎠ + α

⎛⎝ b11 0b21 b22

b31 b32

⎞⎠=

⎛⎝ a11 + αb11 0a21 + αb21 a22 + αb22

a31 + αb31 a32 + αb32

⎞⎠ ∈ M1.

Luego M1 es subespacio vectorial de M(3, 2, IR). Ademas,toda matriz A ∈ M1 se puede escribir en la forma:⎛⎝ a11 0

a21 a22

a31 a32

⎞⎠ = a11

⎛⎝ 1 00 00 0

⎞⎠ + a21

⎛⎝ 0 01 00 0

⎞⎠+

a22

⎛⎝ 0 00 10 0

⎞⎠ + a31

⎛⎝ 0 00 01 0

⎞⎠+a32

⎛⎝ 0 00 00 1

⎞⎠Por lo tanto, el conjunto⎧⎨⎩

⎛⎝ 1 00 00 0

⎞⎠ ,

⎛⎝ 0 01 00 0

⎞⎠ ,

⎛⎝ 0 00 10 0

⎞⎠ ,⎛⎝ 0 00 01 0

⎞⎠ ,

⎛⎝ 0 00 00 1

⎞⎠⎫⎬⎭


es un conjunto de matrices en M1 que lo generan y que esl.i., luego es una base de M1. La dimension de M1 es 5.

c) M2 no es subespacio vectorial de M(3, 2, IR), porque la sumano es cerrada en el. Por ejemplo,⎛⎝ 2 1

0 20 1

⎞⎠ y

⎛⎝ 2 −11 00 1

⎞⎠son matrices en M2, pero⎛⎝ 2 1

0 20 1

⎞⎠ +

⎛⎝ 2 −11 00 1

⎞⎠ =

⎛⎝ 4 01 20 2

⎞⎠ �∈ M2.

Tambien se puede reconocer que no es subespacio vectorial,observando que el cero de M(3, 2, IR) no pertenece a M2.

6.2. Ortogonalidad y proyecciones

Ejercicio 6.7

Sean v1 = (0, 1, 2)t y W = C{v1}:a. Determine W⊥.

b. Determine bases ortonormales para W y W⊥.

c. Sea v2 = (2, 0, 1)t. Determine:

i) ProyW v2 ii) ProyW⊥v2.

d. Encuentre x1 ∈ W y x2 ∈ W⊥ tales que v2 = x1 + x2.

Solucion:

a. W⊥ en un hiperplano de IR3 al que v1 es ortogonal. Podemosescribir:

W⊥ ={(x, y, z) ∈ IR3|y + 2z = 0

}.

6.2 Ortogonalidad y proyecciones 73

b. Base B1 para W : B1 = {(0, 1√5, 2√

5)t}.

Base B2 para W⊥ : dos vectores que generan W⊥ son:(1, 0, 0)t y (0,−2, 1)t, ya de por sı ortogonales, por lo quepodemos escribir:

B2 = {(1, 0, 0)t, (0,− 2√5,

1√5)t}.

c. ProyW v2 = ((2, 0, 1)t · (0, 1√5, 2√

5)t)(0, 1√

5, 2√

5)t

= 2√5(0, 1√

5, 2√

5)t = (0, 2

5 , 45 )t.

ProyW⊥v2 = v2 − ProyW v2

= (2, 0, 1)t − (0, 25 , 4

5 )t = (2,− 25 , 1

5 )t.

d. Por construccion:

x1 = ProyW v2 y x2 = ProyW⊥v2.

Ejercicio 6.8

Sean v1 = (1, 1, 0, 0)t, v2 = (0, 2, 2, 0)t,v3 = (0, 0, 3, 3)t vectores de IR4 y W = C{v1, v2, v3}.a. Construya una base ortonormal para W .b. Construya una ecuacion que describa a W. (Sugerencia: W

es un hiperplano).c. Encuentre W⊥.d. Si x = (0, 1, 2, 3)t encuentre ProyW x.

Solucion:

a. Tomemos muy inmediatamente:

u1 = (1√2,

1√2, 0, 0)

y usando el metodo de ortonormalizacion de Gram-Schmidttendremos que con S1 = C{u1}:

u2 =v2 − ProyS1

v2∥∥v2 − ProyS1v2

∥∥ = (− 1√6,

1√6,

2√6, 0).


Y similarmente con S2 = C{u1, u2},

u3 =v3 − ProyS2

v3∥∥v3 − ProyS2v3

∥∥ = (1√12

,− 1√12

,1√12

,3√12

).

b. Como W es un hiperplano, puede ser descrito como el con-junto solucion de una ecuacion de la forma:

a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 = 0,

donde (a1, a2, a3, a4)t ∈ IR4 es un vector ortogonal a W. Unvector que cumple esta condicion es a = (1,−1, 1,−1)t. Porlo tanto, la ecuacion es:

x1 − x2 + x3 − x4 = 0

Y W = {(x1, x2, x3, x4) ∈ IR|x1 − x2 + x3 − x4 = 0}.c. Como W tiene dimension 3, W⊥ tiene dimension 1. Ademas

a = (1,−1, 1,−1)t es ortogonal a v1, v2 y v3 luego es orto-gonal a cualquier combinacion lineal de los vectores v1, v2 yv3, es decir, a ∈ W⊥, luego W⊥ = C{(1,−1, 1,−1)t}.

d. ProyW x = (x · u1)u1 + (x · u2)u2 + (x · u3)u3 = (12 , 1

2 , 52 , 5

2 ),donde u1, u2 y u3 son los vectores de la base ortonormal paraW obtenidos en a).

Ejercicio 6.9

Sea: A =(

1 −1 12 2 −6

),

W1 el espacio generado por las filas de A, yW2 = {x ∈ IR3|Ax = 0}.a. Determine bases para W1 y W2.

b. Compruebe que W1 y W2 son ortogonales.

c. Determine bases ortonormales para W1 y W2.

d. Sea x = (3,−2, 4)t. Calcule dos vectores ortogonales, a ∈ W1

y b ∈ W2, tales que x = a + b.

e. Represente a x, a, b, W1 y W2 graficamente.


Solucion:

a. Como W1 = C{(1,−1, 1), (2, 2,−6)}, y claramente se obser-va que las filas de A son vectores l.i. entonces

B1 = {(1,−1, 1)t, (2, 2,−6)t}.

Tambien es cierto que cualquier otra pareja de vectores l.i. deW1 constituyen una base para W1, en particular, reduciendola matriz da A obtenemos:(

1 0 10 1 −2

)con lo que u1 = (1, 0, 1)t y u2 = (0, 1,−2)t y B1 = {u1, u2}forman otra base para W1.

W2 es el espacio de solucion de Ax = 0. Al resolver el sis-tema, se produce la misma matriz reducida ya obtenida, esdecir: (

1 0 1 00 1 −2 0

)siendo x = (x1, x2, x3)

t, entonces x1 = −t, x2 = 2t,

x3 = t, por lo que el espacio de solucion sera:

W2 = {t(−1, 2, 1)t|t ∈ IR}

haciendo u3 = (−1, 2, 1)t,B = {u3} es una base de W2.

b. Puesto que todo vector x = (x1, x2, x3)t ∈ W2 satisface queAx = 0, entonces cumple:{

x1 − x2 + x3 = 02x1 + 2x2 − 6x3 = 0

Es decir, x = (x1, x2, x3)t ∈ W2 es ortogonal a los vectoresfila de A, luego es ortogonal a cualquier combinacion linealde ellos. De esta manera, todo vector en W2 es ortogonal atodo vector en W1. Entonces W1 y W2 son espacios ortogo-nales.


W1

W⊥1 = W2

Figura 6.1: Ejercicio 6.9.e

Se puede observar tambien que W⊥1 = W2, lo cual establece

no solo que W1 y W2 son espacios ortogonales sino tambienque uno es el complemento del otro:

W⊥1

= {x ∈ IR3|x ⊥ y, ∀ y ∈ W1}= {x ∈ IR3|x ⊥ (1,−1, 1) y x ⊥ (2, 2,−6)}= {x ∈ IR3|x · (1,−1, 1) = 0 y x · (2, 2,−6) = 0}= {x ∈ IR3|x1 − x2 + x4 = 0 y 2x1 + 2x2 − 6x3 = 0}= {x ∈ IR3|Ax = 0}= W2

c. Para W1 : eligiendo dos vectores ortogonales de W1, co-mo (1, 0, 1) y (1,−1, 1), se tiene que v1 =

(1√2, 0, 1√

2

),

y v2 =(

1√3, 1√

3,− 1√

3

), forman una base ortonormal, ası:

B = {v1, v2} .

Para W2, inmediatamente: v3 =(− 1√

6, 2√

6, 1√

6

)y B = {v3}

es una base ortonormal de W2.

d. a = ProyW1x = (x · v1) · v1 + (x · v2) · v =

(52 ,−1, 9

2

), y

b = x − ProyW1x = (1

2 ,−1,− 12 ).

e. Ver figura 6.1.


Ejercicio 6.10

Sea B = {v1, v2, v3, v4}, una base ortonormal de IR4, y los sub-espacios de IR4:

S1 = C{v1, v2}, S2 = C{v3, v4}.a. Compruebe que S1 y S2 son ortogonales.b. Justifique que S2 = S⊥

1 .c. Si x = v1 + 2v2 + 3v3 + 4v4:

i) Determine x1 ∈ S1 y x2 ∈ S2 tales que x = x1 + x2.ii) Calcule ProyS1

x y ProyS2x.

Solucion:

a. Sean x ∈ S1 y y ∈ S2, luego x = α1v1 + α2v2, yy = β1v3 + β2v4.Entonces ∀ x ∈ S1 y ∀ y ∈ S2

x · y = (α1v1 + α2v2) · (β1v3 + β2v4)= α1β1(v1 · v3) + α2β2(v1 · v4)

+α2β1(v2 · v3) + α2β2(v2 · v4)= α1β1(0) + α2β2(0) + α2β1(0) + α2β2(0)= 0

Esto porque vi · vj = 0 para i �= j, dado que los vectoresvi pertenecen a una base ortonormal. Luego S1 y S2 sonespacios ortogonales.

b. Como ya se vio en a. S1 y S2 son subespacios ortogonales yademas dim(S1)+dim(S2) = dim(IR4), luego uno es el com-plemento ortogonal del otro. Tambien se puede establecerque:

S⊥1 = {x ∈ IR4|x ⊥ y, ∀ y ∈ S1}

= {x ∈ IR4|x ⊥ v1 y x ⊥ v2}= C{v3, v4}= S2

Esto porque dim(S⊥1 ) = 4 − dim(S1) = 2, y

v3 ⊥ v1, v3 ⊥ v2 =⇒ v3 ∈ S⊥1


v4 ⊥ v1, v4 ⊥ v2 =⇒ v4 ∈ S⊥1

y dado que v3, v4 son l.i. al ser ortogonales.

c. i) Como {v1, v2} y {v3, v4} son bases de S1 y S2, respecti-vamente, sin demora se puede escribir:

x1 = v1 + 2v2 ∈ S1,x2 = 3v3 + 4v4 ∈ S2, yx = x1 + x2.

ii) Sencillamente:ProyS1

x = v1 + 2v2 = x1

ProyS2x = 3v3 + 4v4 = x2.

Capıtulo 7

Regresion Lineal

Ejercicio 7.1

Se ha observado que en una granja, la produccion de huevosque denominamos y depende de la cantidad suministrada dedos tipos de alimentos: x1, y x2. Suponga que la relacion entreestas variables se explica apropiadamente por el modelo:

y = ax1 + bx2 + ε,

y que para la tabla de datos siguiente (que se muestra parcial-mente: faltan los valores observados para y),

x1 1 0 1 2 1x2 0 1 1 1 2y

se estimaron los parametros a, b utilizando regresion linealmultiple, y se calculo y (y estimado) y R.

a)Haga una ilustracion grafica de W = C{x1, x2}, y y y.

b)Sabiendo que el vector y estimado resulto ser

y = (2, 2, 4, 6, 6)t,

80 Regresion Lineal

calcule los parametros a, b que se obtuvieron.c)Si con estos datos, el coeficiente de regresion es R = 0.902.

¿Cual es la norma del vector y?d)Estime la produccion de huevos si las cantidades de los

dos tipos de alimentos son: x1 = 1 y x2 = 2.

Solucion:

a)

y = ax1 + bx2

W = C{x1, x2}

yε = y − y�

�

�

b)y = ax1 + bx2 = (x1 x2)(

ab

)y como y es conocido, en-

tonces para determinar a y b es suficiente resolver el ante-rior sistema:⎛⎜⎜⎜⎜⎝

1 0 20 1 21 1 42 1 61 2 6

⎞⎟⎟⎟⎟⎠−f1 + f3

−2f1 + f4

−f1 + f5

−→

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 0 20 1 20 1 20 1 20 2 4

⎞⎟⎟⎟⎟⎠−f2 + f3

−2f2 + f4

−2f2 + f5

−→

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 0 20 1 20 0 00 0 00 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠Luego a = b = 2.

c)R = ‖y‖‖y‖ = 0.902, ası

‖y‖ =‖y‖

0.902=

√96

0.902= 10.8625.

Regresion Lineal 81

d)y = ax1 + bx2 = 2x1 + 2x2 = 2(1) + 2(2) = 6, luego laproduccion sera de 6 huevos.

Nota: observe que en este caso x1, x2 y y son las variablesque involucra el modelo de regresion lineal y y el valorestimado para la variable y que produce este modelo.Pero en a), b) y c) los sımbolos x1, x2 y y representaronlos vectores de datos observados de las variables con losmismos nombres y, similarmente, y es el vector de valoresestimados por el modelo para los datos observados.

Ejercicio 7.2

Se desea estimar los valores a, b, c y d del polinomio cubicoy = a+bx+cx2 +dx3 que mejor ajusta los datos de la siguientetabla:

x 3 0 −1 2 1y −2 3 2 −2 2

a)Formule este problema como un problema de regresionlineal multiple. Detalle los vectores y matrices que se in-volucran.

b)Plantee en forma matricial los calculos a realizar para de-terminar la solucion. NO REALICE LOS CALCULOS.

c)Si los valores estimados para los parametros resultaran ser:a = 3, b = −1/2, c = −2 y d = 1/2, calcule R, el ındicede calidad del ajuste.

Solucion:

a)El modelo de regresion lineal multiple es:

y = a + bx1 + cx2 + dx3 + e

donde: x1 = x, x2 = x2, x3 = x3 y ε es el error en elajuste. Describiendo vectorialmente los datos observados,segun la tabla dada, se tiene que:

82 Regresion Lineal

y =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝−2

32

−22

⎞⎟⎟⎟⎟⎠; x1 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝30

−121

⎞⎟⎟⎟⎟⎠; x2 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝90141

⎞⎟⎟⎟⎟⎠;

x3 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝270

−181

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ y e =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝e1

e2

e3

e4

e5

⎞⎟⎟⎟⎟⎠o sea:

y = a15 + bx1 + cx2 + dx3 + ε

= (15x1x2x3)

⎛⎜⎜⎝abcd

⎞⎟⎟⎠ + ε

= Xβ + ε

Donde X =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 3 9 271 0 0 01 −1 1 −11 2 4 81 1 1 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

b)β = (XtX)−1Xty =⎡⎢⎢⎢⎢⎣⎛⎜⎜⎜⎝

1 3 9 271 0 0 01 -1 1 -11 2 4 81 1 1 1

⎞⎟⎟⎟⎠t⎛⎜⎜⎜⎜⎝

1 3 9 271 0 0 01 -1 1 -11 2 4 81 1 1 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎤⎥⎥⎥⎥⎦−1⎛⎜⎜⎜⎜⎝

1 3 9 271 0 0 01 -1 1 -11 2 4 81 1 1 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠t ⎛⎜⎜⎜⎝

-232

-22

⎞⎟⎟⎟⎠c)Si β = (a, b, c, d) = (3,− 1

2 ,−2, 12 ) entonces:

R = ‖y‖‖y‖ = ‖Xβ‖

‖y‖ = ‖(−3,3,1,−2,1)‖‖(−2,3,2,−2,2)‖

=√

24√25

= 2√

65 ≈ 0.9798

Regresion Lineal 83

Ejercicio 7.3

Considere el modelo y = a + bx + ε de regresion lineal y lasformulas

b =(y − y1n) · (x − x1n)

‖x − x1n‖2 y a = y − bx

para estimar los parametros a y b, en las que se supone quex = (x1, . . . , xn)t y y = (y1, . . . , yn)t son los vectores de datosobservados de las variables x y y respectivamente.

Demuestre que b tambien se puede calcular con las formulas:

b =∑n

i=1 xiyi − nxy∑ni=1 x2

i − nx2 =Cov (x, y)Var (x)

.

Solucion:

Observe quex · 1n =

∑i=1

xi = nx

y similarmente para y: y · 1n =∑

i=1 yi = ny.

Luego,

b = (y − y1n) · (x − x1n)‖x − x1n‖2 = (y − y1n) · (x − x1n)

(x − x1n) · (x − x1n)

= y · x − x(y · 1n) − y(1n · x) + yx(1n · 1n)x · x − x(x · 1n) − x(1n · x) + x2(1n · 1n)

= y · x − x(ny) − y(nx) + yxnx · x − x(nx) − x(nx) + x2n

= y · x − nxyx · x − nx2 =

n∑i=1

xiyi − nxy

n∑i=1

x2i − nx2

.

Por otra parte,

84 Regresion Lineal

Cov (x, y)Var (x) =

n∑i=1

(xi − x)(yi − y)/n

n∑i=1

(xi − x)2)/n

=

n∑i=1

(xiyi − xiy − xyi − xy)

n∑i=1

(x2i − 2xix + x2)

=

n∑i=1

xiyi −n∑

i=1

xiy −n∑

i=1

xyi +n∑

i=1

xy

n∑i=1

x2i −

n∑i=1

2xix +n∑

i=1

x2

=

n∑i=1

xiyi − yn∑

i=1

xi − xn∑

i=1

yi + nxy

n∑i=1

x2i − 2x

n∑i=1

xi + nx2

=

n∑i=1

xiyi − ynx − xny + nxy

n∑i=1

x2i − 2xnx + nx2

=

n∑i=1

xiyi − nxy

n∑i=1

x2i − nx2

= b.

Capıtulo 8

Transformacioneslineales

Ejercicio 8.1

a)Pruebe que solo existe una transformacion lineal T ,T : IR4 −→ IR2 tal que:

T (1, 1,−2,−1) = (1, 0) T (1, 2,−3, 0) = (1, 1)T (1,−1, 1, 2) = (0, 0) y T (1,−1, 1,−1) = (0, 1).

b)Determine una base para la imagen de la transformacionlineal indicada en el punto anterior.

c)Determine una base para el nucleo de dicha transforma-cion lineal.

Solucion:

a) Determinemos el rango de la matriz cuyas filas son los vec-tores (1, 1,−2,−1), (1, 2,−3, 0), (1,−1, 1, 2) y (1,−1, 1,−1):

86 Transformaciones lineales

⎛⎜⎜⎝1 1 −2 −11 2 −3 01 −1 1 21 −1 1 −1

⎞⎟⎟⎠f1

−f1 + f2

−f1 + f3

−f1 + f4

−→

⎛⎜⎜⎝1 1 −2 −10 1 −1 10 −2 3 30 −2 3 0

⎞⎟⎟⎠f1

f2

2f2 + f3

2f2 + f4

−→

⎛⎜⎜⎝1 1 −2 −10 1 −1 10 0 1 50 0 1 2

⎞⎟⎟⎠f1

f2

f3

−f3 + f4

−→

⎛⎜⎜⎝1 1 −2 −10 1 −1 10 0 1 50 0 0 −3

⎞⎟⎟⎠Vemos que el rango de la matriz considerada es 4 y por lotanto el conjunto de vectores

B = {(1, 1,−2,−1), (1, 2,−3, 0), (1,−1, 1, 2), (1,−1, 1,−1)}

es l.i. y constituye una base para IR4. Como una transforma-cion lineal queda determinada en forma unica por su accionsobre los elementos de una base, se concluye que solo hayuna transformacion lineal T : IR4 −→ IR2 tal que:

T (1, 1,−2,−1) = (1, 0) T (1, 2,−3, 0) = (1, 1)T (1,−1, 1, 2) = (0, 0) y T (1,−1, 1,−1) = (0, 1)

b) La imagen de T es:

Img (T ) = C{(1, 0), (1, 1), (0, 0), (0, 1)}= C{(1, 0), (0, 1)} = IR2.

Luego una base para Img (T ) es cualquier base de IR2.

Transformaciones lineales 87

c) Ahora notese que un vector v ∈ IR4, con [v]B = (α, β, γ, δ),pertenece al Nuc(T ) si y solo si

α(1, 0) + β(1, 1) + γ(0, 0) + δ(0, 1) = (0, 0)

La solucion de este sistema de ecuaciones es α = δ, β = −δ,con δ y γ como parametros libres.Tenemos entonces que v ∈ Nuc(T ) si y solo si

v = δ

⎛⎜⎜⎝11

−2−1

⎞⎟⎟⎠ + (−δ)

⎛⎜⎜⎝12

−30

⎞⎟⎟⎠ + γ

⎛⎜⎜⎝1

−112

⎞⎟⎟⎠ + δ

⎛⎜⎜⎝1

−11

−1

⎞⎟⎟⎠

= δ

⎛⎜⎜⎝1

−22

−2

⎞⎟⎟⎠ + (γ)

⎛⎜⎜⎝1

−112

⎞⎟⎟⎠Puesto que {(1,−2, 2,−2), (1,−1, 1, 2)} es l.i., este conjuntoconstituye una base para el nucleo de T .

Ejercicio 8.2

Defina una transformacion lineal T : IR3 −→ IR3, inyectiva ytal que T (L1) = L2; siendo:

L1 = {(1, 1, 1) + t(2, 1, 3)|t ∈ IR} yL2 = {(1, 0, 1) + t(1, 3, 4)|t ∈ IR}

Solucion:

Observe que si L1 = {x = p + tv|t ∈ IR} es una cierta rectaentonces, para todo punto x ∈ L1:

T (x) = T (p + tv) = T (p) + tT (v)

Luego el conjunto de imagenes por la transformacion T de lospuntos en la recta L1, definen una nueva recta:

{x = q + tu|t ∈ IR}, donde q = T (p) y u = T (v).


Por otra parte, debe recordarse que para definir una transfor-macion lineal es suficiente definir las imagenes de los vectoresde una base del espacio de partida de la transformacion.

Como el conjunto de vectores {(1, 1, 1), (2, 1, 3)} es l.i. y puedecompletarse a una base de IR3, por ejemplo

B = {(1, 1, 1), (2, 1, 3), (0, 0, 1)},

definiendo T : IR3 −→ IR3 por T (1, 1, 1) = (1, 0, 1), T (2, 1, 3) =(1, 3, 4) y T (0, 0, 1) = (0, 0, 1), se obtiene una transformacionlineal que envıa la lınea recta L1 en la lınea recta L2; ademasresulta inyectiva, pues {(1, 0, 1), (1, 3, 4), (0, 0, 1)} es tambienbase para IR3 (en particular es un conjunto l.i.).

Ejercicio 8.3

Considere el plano: W = {(a, b, c) ∈ IR3|a + c = 0}, yT : IR3 −→ IR3 la transformacion lineal tal que ∀ x ∈ IR3

T (x) = ProyW x (la proyeccion ortogonal sobre W ).

a)Determine una base ortonormal para W y una base paraW⊥ (el complemento ortogonal de W ).

b)Halle una formula para T .

c)Verifique que Nuc (T ) = W⊥.

d)Sin hacer mas calculo de explıcitamente el conjunto Img (T ).¿Es T invertible? Justifique.

Solucion:

a) (a, b, c) ∈ W ⇐⇒ a + c = 0 ⇐⇒⎧⎨⎩

a = −cb = bc = c

Luego W = C{⎛⎝−1

01

⎞⎠ ,

⎛⎝010

⎞⎠}.


Ademas de generar W , v1 y v2 son l.i. por lo que constituyenuna base para W . Como estos vectores son ortogonales, bas-ta normalizarlos para dar una base ortonormal para W :

B = {v1, v2} ={⎛⎝−1√

2

01√2

⎞⎠ ,

⎛⎝010

⎞⎠}.

Como dim(W ) = 2, el complemento ortogonal de W tienedimension 1 y por lo tanto cualquier vector ortogonal a v1 yv2 genera W⊥. Ası {(1/

√2, 0, 1/

√2)t} es una base ortonor-

mal para W⊥.

b) T

⎛⎝xyz

⎞⎠ = ProyW (x, y, z)t

=

⎛⎝xyz

⎞⎠ ·⎛⎝−1√

2

01√2

⎞⎠⎛⎝−1√2

01√2

⎞⎠ +

⎛⎝xyz

⎞⎠ ·⎛⎝0

10

⎞⎠⎛⎝010

⎞⎠= −x + z√

2

⎛⎝−1√2

01√2

⎞⎠ + y

⎛⎝010

⎞⎠ =

⎛⎝ x−z√2

y−x+z√

2

⎞⎠c) W⊥ = {(x, y, z)t ∈ IR3|(x, y, z)t · v1 = 0

y (x, y, z)t · v2 = 0}= {(x, y, z)t ∈ IR3|(x, y, z)t · (−1/

√2, 0, 1/

√2)t = 0

y (x, y, z)t · (0, 1, 0)t = 0}= {(x, y, z)t ∈ IR3|(−x + z)/

√2 = 0 y y = 0.}

Por otra parte,Nuc (T ) = {(x, y, z)t ∈ IR3|T (x, y, z)t = 0}

= {(x, y, z)t ∈ IR3|(x−z√2

, y, −x+z√2

)t = (0, 0, 0)t}= {(x, y, z)t ∈ IR3|(−x + z)/

√2 = 0 y y = 0.}

Luego W⊥ = Nuc (T ).

d) Img (T ) = W = C{⎛⎝−1

01

⎞⎠ ,

⎛⎝010

⎞⎠}.

Como Img (T ) �= IR3, T no es sobreyectiva luego no es biyec-tiva y por lo tanto no es invertible.


Ejercicio 8.4

Sea D = {(1, 1)t, (−1, 1)t} base de IR2.

a)Calcule las matrices de transicion [I]CD, [I]DC donde C es labase canonica de IR2.

b)Sea T : IR2 −→ IR2 una transformacion lineal tal que:

[T ]D =(

2 46 −2

)

Calcule [T ]C y determine una formula para T

(xy

).

Solucion:

a) [I]CD = ([(1, 1)t]C [(−1, 1)t]C) =(

1 −11 1

).

[I]DC = ([I]CD)−1 =(

1 −11 1

)−1

=(

1/2 1/2−1/2 1/2

).

b) [T ]C = [I]CD [T ]D [I]DC

=(

1 −11 1

)(2 46 −2

)(1/2 1/2

−1/2 1/2

)=

( −5 13 5

).

Luego T

(xy

)=( −5 1

3 5

)(xy

)=(−5x + y

3x + 5y

).

Ejercicio 8.5

Suponga que T : IR2 −→ IR2 se define por:

T

(x1

x2

)=(

x1 − x2

2x1

)y [I]BC =

(2 −1

−1 1

)es la matriz de transicion de la base C a la base B, con B unabase de IR2 y C la base canonica de IR2.


a)Halle [T ]C la matriz estandar de T .

b)Determine [T ]CB la matriz de T de la base B a la base C.

c)Encuentre la base B.

Solucion:

a) Matriz estandar de T =(

1 −12 0

)= [T ]C

b) Si [I]BC =(

2 −1−1 1

)entonces [I]CB =

(2 −1

−1 1

)−1

Haciendo el computo:(2 −1 1 0

−1 1 0 1

)→

(1 −1 0 −12 −1 1 0

)→

(1 −1 0 −10 1 1 2

)→

(1 0 1 10 1 1 2

),

se obtiene que [I]CB =(

1 11 2

). Entonces

[T ]CB = [T ]C [I]CB =(

1 −12 0

)(1 11 2

)=(

0 −12 2

)

c) Si B = {v1, v2} entonces [I]CB = (v1v2) luego

B ={(

11

),

(12

)}

Ejercicio 8.6

a) Determine una transformacion linealT : IR3 −→ IR3, tal que [T ]CB = I3; donde C es la basecanonica de IR3 y B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}.

b) Determine [T ]C para la transformacion lineal T , obtenida enel punto anterior.


c) Pruebe que dicha transformacion lineal T es inversible y es-criba, en coordenadas cartesianas, T−1(x, y, z).

Solucion:

a) Para que [T ]CB = I3, debe cumplirse que:

T (1, 0, 0) = (1, 0, 0), T (1, 1, 0) = (0, 1, 0), T (1, 1, 1) = (0, 0, 1).

b) Determinemos el vector de coordenadas respecto de la baseB, de un vector (x, y, z) de IR3, dado en coordenadas carte-sianas (coordenadas respecto de la base canonica, C). Ası,procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

A

⎛⎝ αβγ

⎞⎠ =

⎛⎝ xyz

⎞⎠ ;

siendo A la matriz que tiene por columnas a los vectores dela base B:⎛⎝ 1 1 1 x

0 1 1 y0 0 1 z

⎞⎠ −f2 + f1

f2

f3

−→

⎛⎝ 1 0 0 x − y0 1 1 y0 0 1 z

⎞⎠f1

−f3 + f2

f3

−→

⎛⎝ 1 0 0 x − y0 1 0 y − z0 0 1 z

⎞⎠luego [(x, y, z)]B = (x − y, y − z, z). En particular, [e1]B =(1, 0, 0), [e2]B = (−1, 1, 0) y [e]B = (0,−1, 1). Ası, llamandoid : IR3 −→ IR3 a la transformacion identidad de IR3, secumple que

[id]BC =

⎛⎝ 1 −1 00 1 −10 0 1

⎞⎠ y

[T ]C = [T ]CB [id]BC = I3 [id]BC = [id]BC =

⎛⎝ 1 −1 00 1 −10 0 1

⎞⎠ .


La multiplicacion [T ]C(x, y, z)t = (x − y, y − z, z)t muestraque T (x, y, z) = (x − y, y − z, z).

c) Ademas, puesto que [T ]C es claramente una matriz inversible,

T lo es y [T−1]C = ([T ]C)−1 =

⎛⎝ 1 1 10 1 10 0 1

⎞⎠.

En coordenadas cartesianas,

T−1(x, y, z) = (x + y + z, y + z, z).

Ejercicio 8.7

Sea W el plano en IR4 que contiene al origen y a los puntosP (1,−1, 2, 1) y Q(2, 1, 0, 1).

a)Determine una base ortonormal, B0, para W .

b)Determine una base ortonormal. B1, para W⊥.

c)Pruebe que T : IR4 −→ IR4, definida por T (x) = ProyW xes una transformacion lineal.

d)Determine Img(T ).

e)Pruebe que Nuc(T ) = W⊥.

f)Pruebe que B = B0∪B1 es base para IR4 y determine [T ]B.

Solucion:

a) W = C{(1,−1, 2, 1), (2, 1, 0, 1)} y, siendo{(1,−1, 2, 1), (2, 1, 0, 1)} l.i., este conjunto es base para W .Ortonormalizando esta base, se obtiene

B0 = { 1√7(1,−1, 2, 1),

1√266

(12, 9,−4, 5)}

una base ortonormal para W .

b) Dada la base para W , se sigue que (x, y, z, w) pertenece alsubespacio W⊥ si y solo si{

x − y + 2z + w = 02x + y + w = 0


Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales se obtieneque

W⊥ = C{(2,−4,−3, 0), (2,−1, 0,−3)}y {(2,−4,−3, 0), (2,−1, 0,−3)} es base para W⊥. Aplicandoel proceso de ortonormalizacion, se obtiene

B1 = { 1√29

(2,−4,−3, 0),1

3√

1102(42, 3, 24,−87)}

una base ortonormal para W⊥.

c) En general, si B = {u1, · · · , ur} es una base ortonormalpara un subespacio W de un espacio vectorial V , v1 y v2

son vectores en V y α ∈ IR, entonces, aplicando propiedadesdel producto interno, se tiene que

ProyW (αv1 + v2) =∑r

i=1〈αv1 + v2, ui〉ui

= α∑r

i=1〈v1, ui〉ui +∑r

i=1〈v2, ui〉ui

= α ProyW (v1) + ProyW (v2)

Lo cual prueba que para cualquier espacio vectorial V conproducto interno y para cualquier subespacio W de V , lafuncion ProyW : V −→ V , es una transformacion lineal.

d) Ademas, para cualquier v ∈ V , ProyW (v) ∈ W y puestoque ProyW (ui) = ui, para todo i = 1, · · · , r, se sigue queW = Img(ProyW ).

e) Por otra parte, como {u1, · · · , ur} es l.i.,

ProyW (v) =r∑

i=1

〈v, ui〉ui = 0

si y solo si 〈v, ui〉 = 0 para todo i = 1, · · · , r;lo que resulta equivalente a afirmar que v ∈ W⊥. Esto prue-ba que W⊥ = Nuc(ProyW ).

f) Finalmente, B = B0∪B1 consiste de cuatro vectores no–nulosde IR4, mutuamente ortogonales(y unitarios); lo cual implicaque B es base ortonormal de IR4. Tambien resulta claro que


[ProyW ]B =

⎛⎜⎜⎝1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 0

⎞⎟⎟⎠, puesto que ProyW (u) = u

para u ∈ B0 y ProyW (u) = 0 para u ∈ B1.

Ejercicio 8.8

Sean: W = C{(3, 0,−4, 0), (0, 3, 0, 4)}S = C{(4, 0, 3, 0), (4, 4, 3,−3)}.

a)Determine W⊥.

b)Determine B1 y B2 bases ortonormales para W y S respec-tivamente.

c)Sea v = (25,−50, 75, 100). Calcule ProyW v.

d)Sea T : IR4 −→ IR4 tal que T (v) = ProyW v. Sin hacermas calculo determine Nuc (T ) e Img (T ).

Solucion:

a) W⊥ = {x ∈ IR4|x ⊥ y ∀y ∈ W}= {x ∈ IR4|x ⊥ (3, 0,−4, 0) y x ⊥ (0, 3, 0, 4)}= {x ∈ IR4|x · (3, 0,−4, 0) = 0 y x · (0, 3, 0, 4) = 0}

Esto porque {(3, 0,−4, 0), (0, 3, 0, 4)} es una base de W ycualquier vector ortogonal a los vectores de la base es orto-gonal a todo vector del espacio. Por otra parte, se observaque:(4, 0, 3, 0) · (3, 0,−4, 0) = 0(4, 0, 3, 0) · (0, 3, 0, 4) = 0

}=⇒ (4, 0, 3, 0) ∈ W⊥

(4, 4, 3,−3) · (3, 0,−4, 0) = 0(4, 4, 3,−3) · (0, 3, 0, 4) = 0

}=⇒ (4, 4, 3,−3) ∈ W⊥.

Ademas dim(W⊥) = dim(IR4)−dim(W ) = 4−2 = 2 y como{(4, 0, 3, 0), (4, 4, 3,−3)} es l.i. entonces genera a W⊥, por lotanto:

W⊥ = C{(4, 0, 3, 0), (4, 4, 3,−3)} = S.


b) Base ortonormal B1 para W :Como ‖(3, 0,−4, 0)‖ = ‖(0, 3, 0, 4)‖ = 5,(3, 0,−4, 0) ⊥ (0, 3, 0, 4), y estos vectores forman una basepara W , entonces

B1 = {(3/5, 0,−4/5, 0), (0, 3/5, 0, 4/5)}es una base ortonormal para W .

Base ortonormal B2 para S:En este caso, la base disponible de S es

B = {(4, 0, 3, 0), (4, 4, 3,−3)} = {v1, v2}y como no es una base ortogonal, aplicando el proceso deortonormalizacion de Gram-Schimdt se obtiene:u1 = v1/‖v1‖ = (4, 0, 3, 0)/5 = (4/5, 0, 3/5, 0).Proyu1

v2 = (v2.u1)u1

= [(4, 4, 3,−3) · (4/5, 0, 3/5, 0)](4/5, 0, 3/5, 0)= (16/5 + 9/5)(4/5, 0, 3/5, 0)= 5(4/5, 0, 3/5, 0) = (4, 0, 3, 0).

v2 − Proyu1v2 = (4, 4, 3,−3) − (4, 0, 3, 0) = (0, 4, 0,−3).

u2 =v2 − Proyu1

v2

‖v2 − Proyu1v2‖

= (0, 4, 0,−3)‖(0, 4, 0,−3)‖ = (0, 4, 0,−3)

5= (0, 4/5, 0,−3/5).

La base ortonormal para S es

B2 = {u1, u2} = {(4/5, 0, 3/5, 0), (0, 4/5, 0,−3/5)}.c) Si B1 = {w1, w2} = {(3/5, 0,−4/5, 0), (0, 3/5, 0, 4/5)} es la

base ortonormal para W obtenida en b), entonces:

ProyW v = (v · w1)w1 + (v · w2)w2

= 25(1,−2, 3, 4) · (3/5, 0,−4/5, 0)w1

+25(1,−2, 3, 4) · (0, 3/5, 0, 4/5)w2

= 25(−9/5)w1 + 25(10/5)w2

=−5(9)(3/5, 0,−4/5, 0) + 5(10)(0, 3/5, 0, 4/5)= (−27, 0, 36, 0) + (0, 30, 0, 40)= (−27, 30, 36, 40).


d) Img (T ) = W porque:

∀ v ∈ W , v = ProyW v = T (v)∀ v ∈ IR4, T (v) = ProyW v ∈ W .

Nuc (T ) = S porque:

S = W⊥ =⇒ ∀ u ∈ S, u ⊥ w, ∀ w ∈ W , por lo tanto,

∀ u ∈ S, u ∈ Nuc (T ) porque T (u) = ProyW u = 0.

dim( Nuc (T )) = 2, dado que

dim( Nuc (T )) + dim( Img (T )) = dim(IR4) = 4,

y dim( Img (T )) = dim(W ) = 2.y dim(S) = 2.

Ejercicio 8.9

Considere un vector unitario, v, fijo en IRn. Se define T ,T : IRn −→ IRn por T (x) = 2Proyvx − x.

a)Pruebe que T es una transformacion lineal, que preservala norma y los angulos.

b)Muestre que [T ]C es una matriz ortogonal.

c)Interprete la accion de T sobre los vectores de IR4 geome-tricamente.

Solucion:

a) Las siguientes igualdades muestran que T es una transfor-macion lineal:

T (αx1 + x2) = 2〈αx1 + x2, v〉v − (αx1 + x2)= α(2〈x1, v〉v − x1) + (2〈x2, v〉v − x1)= αT (x1) + T (x2).


Consideremos dos puntos arbitrarios, x y y de IRn. Veamosque T preserva la norma:

‖T (x)‖2 = 〈T (x), T (x)〉= 〈2〈x, v〉v − x, 2〈x, v〉v − x〉= 4〈x, v〉2〈v, v〉 − 2〈x, v〉〈v, x〉 − 2〈x, v〉〈x, v〉 + 〈x, x〉= 〈x, x〉 = ‖x‖2

Veamos ahora, que T preserva angulos:

cos(∠(T (x), T (y))) = 〈T (x),T (x)〉‖T (x)‖‖T (x)‖

= 〈2〈x, v〉v − x, 2〈y, v〉v − y〉‖x‖‖y‖

= 4〈x, v〉〈y, v〉〈v, v〉 − 4〈x, v〉〈v, y〉 + 〈x, y〉‖x‖‖y‖

= 〈x, y〉‖x‖‖y‖ = cos(∠(x, y)).

b) Las columnas de la matriz [T ]C son los vectores

T (e1), T (e2), · · · , T (en).

Estos vectores son unitarios puesto que T preserva la norma.Tambien, como T preserva angulos,

〈T (ei), T (ej)〉 = 0

siempre que i �= j. Luego las columnas de [T ]C forman unconjunto de vectores ortonormales y en consecuencia

([T ]C)t([T ]C) = In;

es decir, [T ]C es una matriz ortogonal.

c) Para una interpretacion gemetrica, consulte el problema 21en la pagina 313 del LIBRO TEXTO (Segunda Edicion). Lamisma interpretacion hecha allı en IR2 se puede generalizara IRn.

Capıtulo 9

Vectores y valorespropios

Ejercicio 9.1

Decida si la matriz A es o no diagonalizable (Justifique).

A =

⎛⎝ 1 0 01 0 1

−1 1 0

⎞⎠Solucion:

El polinomio caracterıstico de A es:

P (λ) = |λI − A| =

∣∣∣∣∣∣λ − 1 0 0−1 λ −11 −1 λ

∣∣∣∣∣∣= (λ − 1)

∣∣∣∣ λ −1−1 λ

∣∣∣∣= (λ − 1)(λ2 − 1) = (λ − 1)2(λ + 1)

Para que A sea diagonalizable dim(Vλ=1) debe ser 2, ya quedim(Vλ=−1) es 1 necesariamente. Vλ=1 es el conjunto solucion

100 Vectores y valores propios

de (I − A)x = 0, o sea, Vλ=1 = Nuc (I − A). La matriz

I − A =

⎛⎝ 0 0 0−1 1 −1

1 −1 1

⎞⎠tiene rango 1 y por lo tanto

dim(Vλ=1) = dim( Nuc (I − A)) = 2.

En consecuencia A es diagonalizable.

Ejercicio 9.2

Sea A =

⎛⎝ 3 α 31 6 −31 2 1

⎞⎠a)Calcule los valores propios de A ( dependientes de α).

b)Compruebe que para α = −3, A no es diagonalizable.

c)Obtenga un valor de α para el cual A posea tres valorespropios distintos, enteros positivos. En este caso calcule lamatriz P que diagonaliza A y la matriz diagonal D. Esdecir, A = PDP−1.

Solucion:

a) Haciendo sucesivamente las operaciones −f2 + f3 y c2 + c3

a la matriz A − λI3, se obtiene:

p(λ) = |A − λI3| =

∣∣∣∣∣∣3 − λ α 3

1 6 − λ −31 2 1 − λ

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣3 − λ α 3 + α

1 6 − λ 3 − λ0 λ − 4 0

∣∣∣∣∣∣

Vectores y valores propios 101

Luego:

p(λ) = − (λ − 4)[(3 − λ)2 − (3 + α)

]= − (λ − 4)

(3 − λ −√

3 + α) (

3 − λ +√

3 + α),

suponiendo que α ≥ −3. Ası, los valores propios de A son:

λ1 = 4, λ2 = 3 +√

3 + α, λ3 = 3 −√3 + α.

b) Para α = −3 tenemos λ2 = λ3 = 3 y λ1 = 4. La dimensiondel espacio propio Vλ=3 es la dimension del espacio soluciondel sistema (A − 3I3) x = 0. Es decir:⎛⎝ 0 −3 3

1 3 −31 2 −2

⎞⎠⎛⎝ x1

x2

x3

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠Este sistema es equivalente a x1 = 0 y x2 = x3. Por lo tantocualquier vector solucion tiene la forma:

(x1, x2, x3) = (0, x3, x3) = x3 (0, 1, 1) .

Es decir, Vλ=3 = C{(0, 1, 1)} y dim(Vλ=3) = 1. Por un pro-cedimiento similar se comprueba que dim(Vλ=4) = 1. Luego:

dim (Vλ=3) + dim (Vλ=4) = 2 < dim(IR3

)por lo tanto A no es diagonalizable.

c) Se escoge α tal que λ2 �= λ3 y λ2 �= λ1 �= λ3. Si α = 1, setiene λ2 = 3 +

√4 = 5 y λ3 = 3 − √

4 = 1. Resolviendolos sistemas (A − 4I3) x = 0, (A − 5I3) x = 0 y (A − I3) x =0, se obtienen los vectores propios de A. Estos son: paraλ1 = 4, v1 = (3, 0, 1)t, para λ2 = 5, v2 = (2, 1, 1)t y paraλ3 = 1, v3 = (−2, 1, 1)t. Luego

P = (v1, v2, v3) =

⎛⎝ 3 2 −20 1 11 1 1

⎞⎠ y D =

⎛⎝ 4 0 00 5 00 0 1

⎞⎠ .


Ejercicio 9.3

Determine si las siguientes matrices son diagonalizables o no(Justifique). En cada caso, si es diagonalizable, halle una matrizP invertible y una matriz D diagonal tales que A = PDP−1.

i) A =(

3 44 −3

)ii) A =

⎛⎝ 3 0 00 2 00 1 2

⎞⎠Solucion:

i) det(A − λI) =∣∣∣∣ 3 − λ 4

4 −3 − λ

∣∣∣∣= (3 − λ)(−3 − λ) − 16λ = −9 + λ2 − 16= λ2 − 25 = (λ − 5)(λ + 5)

A es diagonalizable porque es 2 × 2 y tiene dos valores pro-pios distintos, lo que garantiza la existencia de una base devectores propios. Para determinar la matriz P se calculanlos respectivos espacios caracterısticos:

Vλ=−5 :(

8 4 04 2 0

)...

−→(

8 12 0

0 0 0

)Ası, Vλ=−5 = C

{( − 121

)}.

Vλ=5 :( −2 4 0

4 −8 0

)...

−→(

1 −2 00 0 0

)Luego Vλ=5 = C

{(21

)}.

Ası,

P =( − 1

2 21 1

)y D =

( −5 00 5

)ii) PA(λ) = |A − λI|, o sea:

PA(λ) =

∣∣∣∣∣∣3 − λ 0 0

0 2 − λ 00 1 2 − λ

∣∣∣∣∣∣ = (3 − λ)(2 − λ)2


Vλ=2 :

⎛⎝ 1 0 0 00 0 0 00 1 0 0

⎞⎠ ...−→

⎛⎝ 1 0 0 00 1 0 00 0 0 0

⎞⎠Luego Vλ=2 = C

⎧⎨⎩⎛⎝0

01

⎞⎠⎫⎬⎭.

Entonces A no es diagonalizable porque dim (Vλ=2) = 1 �=2 = multiplicidad algebraica de λ = 2. O sea, no existe unabase para IR3 de vectores propios de A.

Ejercicio 9.4

Sea A =

⎛⎝ 1 a 1a 1 b1 b 1

⎞⎠ .

a)Pruebe que si cero es un valor propio de A, entonces a = b.

b)Si cero es valor propio de A, entonces:

b.1)Calcule los otros valores propios de A.

b.2)Calcule los valores de a para los cuales A tiene unespacio propio de dimension 2.

b.3)Si a = −1, obtenga una base ortonormal de IR3, for-mada por vectores propios de A.

b.4)Si a = −1, obtenga una matriz P ortogonal tal que

P tAP =

⎛⎝ 0 0 00 0 00 0 3

⎞⎠ .

Solucion:

a)El polinomio caracterıstico de A es p (λ) = |A − λI| . Siλ = 0 es valor propio de A, entonces p (0) = |A| = 0. Ha-ciendo ciertas operaciones elementales (que no modificanel valor de |A|) se verifica que A es equivalente por filas a

B =

⎛⎝ 1 a 10 1 − a2 b − a0 b − a 0

⎞⎠ .


Luego |A| = |B| = (b − a)2 = 0. Por lo tanto a = b.

b.1Se debe calcular p (λ) = |A − λI3| . Haciendo operacioneselementales se llega a

|A − λI3| =

∣∣∣∣∣∣−λ 0 00 1 − λ − a2 aλ1 a 2 − λ

∣∣∣∣∣∣= −λ

(λ2 − 3λ − 2a2 + 2

).

Los otros valores propios de A son los ceros de la ecuacion

λ2 − 3λ − 2a2 + 2 = 0.

Es decir, 32 ± 1

2

√1 + 8a2.

b.2)Sea λ1 = 0, λ2 = 32 + 1

2

√1 + 8a2, λ3 = 3

2 − 12

√1 + 8a2.

Para que A tenga un espacio propio de dimension 2, esnecesario que λ1 = λ3 ya que λ1 �= λ2 y λ2 �= λ3 paratodo a. Luego λ1 = λ3 ⇔ a = 1 o a = −1.

b.3)Una base ortonormal de IR3 formada por vectores propiosde A es B = B1 ∪ B2 con B1 = {v1, v2} y B2 = {v3}bases ortonormales de los espacios propios Vλ=0 y Vλ=3,respectivamente.Calculo de B1: como a = b = 1, entonces se debe resolverel sistema⎛⎝ 1 −1 1

−1 1 −11 −1 1

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠ ,

el cual es equivalente a x − y + z = 0. Luego:

(x, y, z) = (x, x + z, z) = (x, x, 0) + (0, z, z)= x (1, 1, 0) + z (0, 1, 1) .

Ortonormalizando el conjunto {(1, 1, 0) , (0, 1, 1)} se ob-tiene:v1 = 1√

2(1, 1, 0)t y


v2 =√

23 (− 1

2 , 12 , 1)t = (− 1√

6, 1√

6,√

23 )t.

Calculo de B2 : se resuelve el sistema (A − 3I3) v = 0:⎛⎝ −2 −1 1−1 −2 −1

1 −1 −2

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠el cual es equivalente a:{

x − z = 0y + z = 0

Un vector solucion generico es (x, y, z)t = (z,−z, z)t =z(1,−1, 1)t. Se define v3 = 1√

3(1,−1, 1)t.

b.4)Se sabe B = {v1, v2, v3} es una base ortonormal de vec-tores propios de A, entonces P = (v1, v2, v3) es ortogonaly P tAP = D, con D la matriz de los valores propios. Portanto

P =

⎛⎜⎝1√2

− 1√6

1√3

1√2

1√6

− 1√3

0√

2√3

1√3

⎞⎟⎠ y D =

⎛⎝ 0 0 00 0 00 0 3

⎞⎠ .

Ejercicio 9.5

Considere la conica de ecuacion

x2

(2√

2x1 + x2

)= 4.

a)Haga un cambio de variables apropiado para transformarla ecuacion de la conica a su forma canonica.

b)De una representacion grafica (en terminos de los ejescanonicos) del nuevo sistema de coordenadas, es decir, delos nuevos ejes. Calcule el coseno del angulo de la rotacionde ejes.

c)Trace el grafico aproximado de la conica indicando los ejesrotados y asıntotas (si hay).


Solucion:

a) La ecuacion de la conica se escribe en la forma xtAx = 4

con xt = (x1, x2) y A =(

0√

2√2 1

). Los valores pro-

pios de A son 2 y -1 y los vectores propios ortonormadoscorrespondientes son:

v1 =1√3(1,

√2)t y v2 =

1√3(−

√2, 1)t.

Por lo tanto las matrices

P =

⎛⎝ 1√3

−√

23√

23

1√3

⎞⎠ y D =(

2 00 −1

)

permiten escribir A como:

A = PDP t, o equivalentemente P tAP = D.

Luego con el cambio de variable y = P tx (o equivalente-mente x = Py), y suponiendo que yt = (y1, y2) se transfor-ma la ecuacion a:

xtAx = 4ytP tAPy = 4ytDy = 42y2

1 − y22 = 4

Entonces la ecuacion de la conica con respecto a los ejes(rotados) determinados por v1 y v2 se escribe finalmente,como:

y21

(√

2)2− y2

2

22= 1.

Observe que las columnas de P , son los vectores v1 y v2

elegidos en el orden apropiado para que |P | = 1 y garantizarcon esto que el cambio de variable se interpreta como unarotacion de ejes (dejando fijos los puntos de la conica).


b) El cambio de variable y = P tx, cambia coordenadas en labase canonica a coordenadas en la base B = {v1, v2}, for-mada por valores propios de A, es decir, P = (v1, v2) =([v1]C [v2]C) = [I]CB, ası

P t = [I]BC .

Entonces v1 y v2 determinan los ejes rotados, como se mues-tra en el siguiente grafico.

x1

x2y1y2

−√2√

3

1√3

( 1√3,√

2√3)

El angulo de rotacion θ de los ejes es el angulo agudo deter-minado por los vectores e1 = (1, 0) y v1 = 1√

3

(1,√

2). Por

lo tanto

cos (θ) =e1 · v1

‖e1‖ ‖v1‖ = e1 · v1 =1√3.

c) La conica es una hiperbola con ecuacion

y21(√2)2 − y2

2

22= 1

respecto de los ejes determinados por v1 y v2. Las asıntotastienen ecuaciones, (en terminos de coordenadas en los nuevosejes)

y2 =2√2y1 =

√2y1 y y2 = −

√2y1.

La hiperbola “abre” en la direccion del eje determinado porv1. Su grafica aproximada es:


x1

x2

y 1

y2

√ 2

1

−2

Asıntotas: recta de lıneas punteadas y eje x1.

Ejercicio 9.6

Considere la conica cuya ecuacion es:

5x21 − 4x1x2 + 8x2

2 − 36 = 0.

a)Transforme esta ecuacion, mediante un cambio de variableque corresponda a una rotacion de los ejes x1, x2, hastaobtener la ecuacion de la conica en su forma canonica enlos nuevos ejes y1, y2. Ademas identifıquela.

b)Indique la matriz que permitio cambiar de las variables(x1, x2) a las variables (y1, y2).

c)En un solo grafico utilizando el sistema de ejes cartesianosx1, x2, represente los ejes y1, y2 (senale las coordenadas delos vectores que los generan) y trace el grafico de la conica(incluya asıntotas, si es el caso).

d)Calcule el coseno del angulo de rotacion.

Solucion:

a) La ecuacion 5x21 − 4x1x2 + 8x2

2 − 36 = 0 se escribe en suforma matricial como:

xtAx − 36 = 0, con x =(

x1

x2

)y A =

(5 −2

−2 8

).


Luego

P (λ) = |A − λI| =∣∣∣∣ 5 − λ −2

−2 8 − λ

∣∣∣∣ = (λ − 9)(λ − 4) = 0.

Ası los valores propios de A son λ = 4 y λ = 9.El espacio propio Vλ=4 se obtiene de:(

1−2−2 4

)(x1

x2

)=(

00

)=⇒

(x1

x2

)= t

(21

), t ∈ IR.

Entonces Vλ=4 = C{(

21

)} = C{

(2/

√5

1/√

5

)}.

Similarmente, Vλ=9 se obtiene de:(−4−2−2−1

)(x1

x2

)=(

00

)=⇒

(x1

x2

)= t

(−121

), t ∈ IR.

Luego Vλ=9 = C{(−1/2

1

)} = C{

(−1/√

52/

√5

)}.

Ası B = {v1, v2} ={(

2/√

51/√

5

),

(−1/√

52/

√5

)}es una base

ortonormal de vectores propios de A,

y definiendo P =(

2/√

5 −1/√

51/√

5 2/√

5

), una matriz ortogonal

tal que det(P ) = 1, permite escribir A como:

A = PDP t con D =(

4 00 9

).

Sustituyendo A = PDP t en xtAx − 36 = 0 y definiendoy = P tx se obtiene:

xtAx − 36 = 0⇐⇒ xtPDP tx − 36 = 0⇐⇒ ytDy − 36 = 0

⇐⇒ (y1, y2)(

4 00 9

)(y1

y2

)− 36 = 0

⇐⇒ 4y21 + 9y2

2 − 36 = 0

⇐⇒ y21

32 + y22

22 = 1


que corresponde a la ecuacion de una elipse centrada en elorigen.

b) El cambio de variable es y = P tx, donde

P t =(

2/√

5 1/√

5−1/

√5 2/

√5

).

El cual cambia coordenadas en la base canonica a coorde-nadas en la nueva base determinada por los vectores colum-na de P . En el siguiente grafico se muestran los ejes y1 y y2

correspondientes a esta nueva base.

x1

x2

y1

y2

−1√5

2√5

( 2√5, 1√

5)

c) Finalmente se traza sobre los nuevos ejes la elipse obtenida.

x1

x2

y1

y2

−3

3

2

−2

d) cos(θ) = e1 · v1 =(

10

)·(

2/√

51/√

5

)= 2/

√5.


Ejercicio 9.7

Considere la curva: xtAx = 6, donde xt = (x1, x2) ∈ IR2 es unvector expresado en sus coordenadas canonicas y

A =(

2 −2−2 5

).

Considere que A se puede escribir como:

A =

(1√5

2√5−2√

51√5

)(6 00 1

)(1√5

−2√5

2√5

1√5

)= PDP t

a)De la matriz del cambio de variables de (x1, x2)t a (y1, y2)t

(correspondiente a una rotacion de ejes), que permite trans-formar la ecuacion de la conica a su forma canonica. Obten-ga dicha forma canonica.

b)En un solo grafico utilizando el sistema de ejes cartesianosx1, x2, represente los nuevos ejes y1, y2 (senale los vectoresque los generan) y represente el punto R = (y1, y2) =(0,

√6) (dado por sus coordenadas en los nuevos ejes).

c)Reproduzca el dibujo en b), sin el detalle de los vectoresgeneradores de los ejes y1 y y2 y trace el grafico de laconica (incluya asıntotas, si es el caso).

d)Verifique que el punto R = (y1, y2) = (0,√

6) (dado porsus coordenadas en los nuevos ejes) es un punto de la curvay obtenga sus coordenadas (x1, x2) en los ejes originales.

Solucion:

a) Con el cambio de variable:(y1

y2

)= P t

(x1

x2

)=

(1√5

−2√5

2√5

1√5

)(x1

x2

),

se obtiene:

xtAx = 6 ⇒ xtPDP tx = 6 ⇒ ytDy = 6


⇒ (y1, y2)(

6 00 1

)(y1

y2

)= 6 ⇒ 6y2

1 + y22 = 6.

Luego la forma canonica de la conica es:

y21 +

y22

(√

6)2= 1,

lo que corresponde a una elipse.

Por otra parte, el cambio de variable anterior es equivalentea realizar una rotacion de ejes puesto que det(P t) = 1.

b) La matriz P t del cambio de variable anterior es la matriz decambio de base de la canonica a la base

B = {v1, v2} =

{(1√5−2√5

),

(2√5

1√5

)}.

Ası los ejes del nuevo sistema de coordenadas para repre-sentar la elipse estan determinados por los vectores v1 y v2,mostrados en el siguiente grafico.

x1

x2

y1

y2R√ 6

v1

v2

1√5

−2√5

( 2√5, 1√

5)

c) Trazo del grafico de la conica.


x1

x2

y2

y1

−1

1

−√ 6

√ 6

d) El punto R = (0,√

6) satisface: y21 + y2

2

(√

6)2= 1 porque :

02 + (√

6)2

(√

6)2= 1.

Dado que y = P tx ⇒ x = Py =

(1√5

2√5−2√

51√5

)(y1

y2

)En particular las coordenadas del punto R en la base canonicason:

x = P

(0√6

)=

(1√5

2√5−2√

51√5

)(0√6

)=

(2√

6√5√6√5

)

Ejercicio 9.8

Sea A una matriz 3×3, simetrica, con vectores propios ortonor-mados v1, v2, v3 y valores propios correspondientes 1, −4, 1. Seax ∈ IR3 tal que [x]tB = (1, α,−1) con B = {v1, v2, v3}. Calculelos valores de α tales que x pertenece a la superficie definidapor la ecuacion xtAx = 0.

Solucion:

Sea P la matriz cuyas columnas son los vectores v1, v2, v3. Esdecir P = (v1, v2, v3). Haciendo el cambio de variable x = Py,


o lo que es lo mismo y = P tx, tenemos:

xtAx = yt(P tAP

)y = ytDy = 0 donde D =

⎛⎝ 1 0 00 −4 00 0 1

⎞⎠ .

Ahora, si yt = (y1, y2, y3), en el cambio de variable x = Py, setiene que

y =

⎛⎝ y1

y2

y3

⎞⎠ = [x]B, porque x = Py = y1v1 + y2v2 + y3v3.

En nuestro caso y = [x]B = (1, α,−1)t, entonces x pertenece ala superficie solo si

(1, α,−1) D

⎛⎝ 1α−1

⎞⎠ = 0. Es decir, 1 + (−4) α2 + 1 = 0.

O sea α = 1√2

o α = − 1√2.

Ejercicio 9.9

Se sabe que si A =(

A1 00 A2

)es una matriz en bloques con

A1 y A2 matrices cuadrados, entonces |A| = |A1| |A2| .

a)Pruebe que λ es valor propio de A si y solo si λ es valorpropio de A1 y de A2.

b)Si x es un vector propio de A2, encuentre un vector propiode A.

Solucion:

a) Es claro que

A − λI =(

A1 − λI1 00 A2 − λI2

)


donde I1 e I2 son matrices identidad de tamano igual al deA1 y A2 respectivamente. Luego

|A − λI| = |A1 − λI1| |A2 − λI2| .

Por lo tanto,

λ es valor propio de A⇔ |A − λI| = 0⇔ |A1 − λI1| |A2 − λI2| = 0⇔ |A − λI1| = 0 o |A − λI2| = 0⇔ λ es valor propio de A1 o de A2.

b) Si x es un vector propio de A2, entonces existe λ ∈ IR talque A2x = λx. Definimos y = (0, x)t donde 0 es un fila deceros de longitud igual al tamano de A1. Luego

Ay =(

A1 00 A2

)(0x

)=(

0A2x

)=(

0λx

)= λ

(0x

).

Por lo tanto y = (0, x)t �= 0 es un vector propio de A.

Ejercicio 9.10

Sea A una matriz n × n, ortogonalmente diagonalizable, quetiene exactamente un valor propio. Pruebe que existe α ∈ IRtal que A = αIn.

Solucion:

Como A es ortogonalmente diagonalizable, entonces existe unamatriz ortogonal P tal que P tAP = D donde D es la matrizdiagonal de los valores propios de A. Si A tiene solo un valorpropio α, entonces D = αIn y

P tAP = D ⇒ A = PDP t = αIn.

Capıtulo 10

Examenes

Este capıtulo ofrece la coleccion de examenes parciales rea-lizados en el curso MA 1004 Algebra Lineal —ofrecido paraunas diez carreras en la Universidad de Costa Rica—, durantelos anos 1998, 1999, 2000 y 2001. Adicionalmente, los examenescorrespondientes a los anos 1996 y 1997 se presentan en el libroAlgebra Lineal de Arce, Castillo y Gonzalez.

En los anos 1998 y 1999 la evaluacion del curso involucraba4 examenes parciales. Sin embargo, los parciales I y III los for-mulaba cada profesor para su grupo y solo los parciales II y IVeran examenes de catedra. Por su naturaleza, en este materialsolo se incluyen los examenes parciales II y IV, ademas, estosdos examenes comprenden toda la materia del curso.

En los anos 2000 y 2001, la evaluacion del curso estuvobasada en tres examenes parciales de catedra. Por lo cual, losciclos lectivos de estos anos, incluyen tres examenes parciales.

Por otra parte, algunos de los examenes planteados tienensolucion, la que podran encontrar diseminada entre los ejerciciosresueltos siguiendo la respectiva referencia.

118 Examenes

10.1. Examenes I ciclo 1998

Universidad de Costa RicaEscuela de MatematicaI ciclo lectivo de 1998 16 de Mayo de 1998

Examen Parcial IIMA 1004 Algebra Lineal

1. (17 pts) Usando solamente algebra matricial (no sistemas deecuaciones) encuentre la matriz X que satisface la ecuacionA (Xt + C) = D

A =

⎛⎝ 1 −1 00 1 00 0 3

⎞⎠ , C =

⎛⎝ 1 23 40 5

⎞⎠ , D =

⎛⎝ 1 13 01 3

⎞⎠2. (17 pts) Una refinadora de petroleos compra dos tipos de

crudos: ligero y pesado. El costo, por barril, para estos dostipos de crudos es $11 y $9, respectivamente. En el proceso derefinacion del crudo ligero se produce un 40 % de Gasolina, un20 % de Diesel, un 35 % de Super y hay una perdida del 5 %.Los porcentajes correspondientes al crudo pesado son 32 %,10 %, 50% y 8 %. Las demandas mınimas para dichos tiposde combustibles son: 1 millon de barriles de Gasolina, 400 000barriles de Diesel y 250 000 barriles de Super. Formule unmodelo de Programacion Lineal para determinar el numerode barriles de petroleo crudo de cada tipo que debe comprarla refinadora para satisfacer la demanda mınima al menorcosto; luego resuelva el problema.

3. (16 pts) Sean A, B matrices de tamano 4 × 4 tales queA−1 = At, B1, . . . , B4 son las columnas de B y detB = 4.Calcule:

a) [DetA]2 b) Det (−B1 + B2, B3, B2, 2B4)c) Det

[(5BA2

)−1]

d) Rango de C = (A,B)4×8

10.1 Examenes I ciclo 1998 119

4. (17 pts) Considere el paralelogramo de vertices A,B,C, Dcon

A = (−1, 2, 3) , B = (−1, 1, 5) , C = (−1,−3, 8) .

A B

CD

Encuentre:

a) El vertice D.

b) La longitud de la diagonal −−→DB.

c) El coseno del angulo del vertice B.

d) La longitud de la altura sobre el lado AB.

5. (17 pts) Sea S = C{v1, v2, v3, v4} donde v1 = (1,−1, 2) ,v2 = (1, 1, 0) , v3 = (1, 5,−4) , v4 = (1,−3, 4)

a) Encuentre una base B para S.

b) Calcule t de modo que v = (4, 0, t) pertenezca al subes-pacio S y luego encuentre [v]B (coordenadas de v en labase B).

6. (16 pts) Sean S = {A ∈ M (2, 2) |At = −A}W =

{A ∈ M (n, n)

∣∣A2 = A}

a) Asuma que S es un subespacio y encuentre una base B.para S

b) Justifique la afirmacion:W no es un subespacio de M(n, n)!Para ello indique en forma precisa que propiedad desubespacio no se verifica.

120 Examenes

Universidad de Costa RicaEscuela de Matematica I ciclo lectivo de 1998

Examen Parcial IVMA 1004 Algebra Lineal

1.) (20 pts) Sea π el plano con ecuacion x − 2y − z = 3

a) Verifique que la recta L de ecuacion:(x, y, z) = t (0,−1, 2) , t ∈ IR es paralela al plano π.

b) Encuentre la ecuacion de un plano que contenga a la rectaL y sea perpendicular a π.

2.) (20 pts) Sea S el subespacio de IR4 definido por

S = C{(−1, 1, 0, 1), (2, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 0)}

a) Para v = (1, 1, 0, 2) calcule la proyeccion del vector vsobre el subespacio S, (ProySv).

b) Determine una base para S⊥, el subespacio ortogonal aS.

c) Calcule la proyeccion de los vectores (−1, 1, 0, 1) ∈ S y(1, 1, 1, 1) sobre S⊥.

3) (20 pts.) Considere la siguiente tabla de valores de las vari-ables x, y :

x -2 -1 0 1 2y 1 0 -2 -1 0

Se desea estimar los parametros a0, a1 y a2 de la funcioncuadratica

y = a0 + a1x + a2x2

que mejor ajusta los datos de la tabla.


a) (10 pts.)Utilizando el modelo de regresion lineal multi-ple:

y = Xb + e

Calcule la estimacion de los parametros a0, a1 y a2.Puede utilizar que⎛⎝ 5 0 10

0 10 010 0 34

⎞⎠−1

=170

⎛⎝ 34 0 −100 7 0

−10 0 5

⎞⎠ .

b) (5 pts.) ¿Cual es el valor y estimado para x = −1?

c) (5 pts.) Calcule el coeficiente de calidad de la regresionR y comente.

Nota: escriba todas las operaciones necesarias (no loscalculos) para obtener los resultados.

4. (20 pts.) Sea B = {u1, u2, u3} base de IR3 y C base canonicade IR3.

Considere la transformacion lineal T : IR3 → IR3 definidacomo:

T (u1) = (1, 1, 1) , T (u2) = (0, 1, 0) , T (u3) = (0, 0, 0)

a) Encuentre una base para Img(T ) y para Nuc(T ).

b) Determine [T ]CBc) i) Encontrar una base E en terminos de la base B, tal

que

[T ]CE =

⎛⎝ 0 1 10 2 10 1 1

⎞⎠ii) Pruebe que E es base.

(Note que (1, 2, 1) = (1, 1, 1) + (0, 1, 0)).

d) Calcule la matriz P tal que: [T ]CB = [T ]CE P

122 Examenes

5) (20 pts) Sea

A =

⎛⎝ 4 2 22 4 22 2 4

⎞⎠a) (15 pts) Encuentre una matriz P ortogonal y una matriz

D diagonal tal que:

D = P tAP

b) (5 pts) Indique las transformaciones lineales y las basesasociadas a cada una de las matrices A, P, D.

10.2 Examenes II ciclo 1998 123

10.2. Examenes II ciclo 1998

Universidad de Costa RicaEscuela de MatematicaII ciclo lectivo de 1998 10 de Octubre de 1998


1. (20 Pts) Considere un numero real α, distinto de 0 y distintode 1 y las matrices

A =

⎛⎝ 1 0 01 1 01 1 1

⎞⎠ , B =

⎛⎝ 0 1 10 0 10 0 0

⎞⎠ y C =

⎛⎝ α α − 11 0α 0

⎞⎠ .

1. Encuentre la inversa de αA + B.

2. Encuentre X en la ecuacion matricial (αA + B)X = C.

2. (20 Pts)

1. Encontrar el max z = 6x − y. Sujeto a las restricciones⎧⎨⎩2x − y ≤ 2

x ≤ 4x, y ≥ 0

2. ¿Existe minz = 6x−y, sujeto a las mismas restriccionesanteriores? Si su respuesta es afirmativa, encuentrelo.

3. (24 Pts) Sea

A =

⎛⎝ 2 1 11 + a a a

1 −1 2a − 1

⎞⎠donde A1, A2, A3 denotan las columnas de A.

124 Examenes

a) Demuestre que el conjunto {A1, A2} es linealmente in-dependiente, para cualquier valor de a.

b) Use determinantes para encontrar los valores a tales queel rango de la matriz A es 2.

c) Sea B la matriz que se obtiene al hacer a = 1 en lamatriz A y sean B1, B2, B3 las columnas de B.

(1) Exprese B3 como combinacion lineal de B1 y B2.

(2) Use (1) para encontrar una solucion particular delsistema Bx = 0 y luego escriba (sin hacer calculos)la solucion general del sistema Bx = 0. Justifique.

4. (16 Pts) Sean A,B,C y D los vertices de un cuadrilaterocualquiera, y M1,M2,M3 y M4 los puntos medios de los ladosde este cuadrilatero como se muestra en el dibujo. Demuestreque M1,M2,M3 y M4 son los vertices de un paralelogramo.

A

B

C

D

M1

M2

M3

M4

5. (20 Pts) Sean {v1, v2, v3} vectores linealmente independi-entes de un espacio vectorial V . Decida si los siguientes con-juntos son linealmente independientes. Justifique.

S = {v1+v2, v2+v3, v3+v1} R = {v1−v2, v2−v3, v3−v1}


Universidad de Costa RicaEscuela de MatematicaII ciclo lectivo de 1998 1 de diciembre de 1998


1) (20 pts) Sea π el plano con ecuacion x − 2y − z = 3

1. Verifique que la recta L: (x, y, z) = t(0,−1, 2), t ∈ IR esparalela al plano π

2. Obtenga la ecuacion de un plano que contenga a la rectaL y se perpendicular con π.

2) (20 pts) Sea B = {u, v, w} una base ortonormal y W =C{u, v} un subespacio de R3. Considere la transformacion

T : IR3 −→ IR3

x −→ T (x) = ProyW x

a) Determine Img (T ) y Nuc (T ) .

b) ¿T es inyectiva? ¿T es sobreyectiva? Justifique.

c) Justifique que 0 y 1 son valores propios de T y determinelos espacios caracterısticos Vλ=0, Vλ=1.

d) ¿Es T un operador diagonalizable? (Justifique).

3) (20 pts) Sean u = (1,−1, 2), v = (2, 3, 0) vectores de IR3 yW = C{u, v}.(a) Construya una base de B ortonormal para W .

(b) Si x = (1, 1, 2) encuentre w ∈ W y p ∈ W⊥ tal quex = w + p. Haga el dibujo correspondiente.

126 Examenes

4) (20 pts.) Sean B base de IR2. y T : IR2 → IR2 una transfor-macion lineal tal que:

[T ]B =(

0 801 −7

).

a) Si [T (v)]B =( −240

23

), encuentre [v]B

b) Si B = {v1, v2} y C = {e1, e2} base canonica de IR2

tal que:e1 = v1, e2 = v1 + v2.

Encuentre la matriz de T en la base canonica.

5) (20 pts) Considere la superficie determinada por la ecuacion

4x2 + 4y2 + 4z2 + 4xy + 4xz + 4yz − 5 = 0

a) Calcule su ecuacion canonica y de su nombre.

b) Indique las las ecuaciones de cambio de variables, esto esla ligazon entre los ejes x, y, z y los nuevos ejes x′, y′, z′.

c) Cual es el angulo entre los ejes: x, x′.



Universidad de Costa RicaEscuela de Matematica MA 1004 Algebra LinealI ciclo lectivo de 1999 15 de mayo de 1999

Examen Parcial II

1. (15 Pts) Considere el sistema de ecuaciones lineales:⎧⎨⎩α2x + 7y + 16z = 37

x + y + z = α + 8x + z = 1

Determine todos los valores del parametro α, si existen, talesque el sistema:

a) No tenga solucion.

b) Tenga solucion unica.

c) Tenga infinitas soluciones que dependen de un parametro.

d) Tenga infinitas soluciones que dependen de dos paramet-ros.

2. (15 Pts) Sea A =

⎛⎜⎜⎝1 30 1

−2 00 1

⎞⎟⎟⎠ y A1, A2 sus columnas.

a) ¿Para que valores de α, el conjunto

{A1, A2, (0, 0, 1, α)t, (0, 0, α, α)t}

es linealmente independiente?

b) ¿Para cual o cuales valores de a, el vector (a, 2, 4, 2)t escombinacion lineal de los vectores columnas de A?

128 Examenes

3. (15 Pts)

a) Si

∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a

∣∣∣∣∣∣ = 1999, calcule el valor de

∣∣∣∣∣∣a − b 3 ab − c 3 bc − a 3 c

∣∣∣∣∣∣.b) Sean A ∈ M(4, IR) y B ∈ M(4, IR) tales que det(A) = 3

y det(B) = 4.

Calcule: i) det(ABAt) ii) det((2B)−1AB).

4. (15 Pts) Considere el siguiente problema de programacionlineal:

Minimizar z = x−y. Sujeto a:2x − y ≤ 8

−2x + 4y ≥ 225x + y ≥ 11

x ≥ 0 y y ≥ 0.

a) Grafique la region de soluciones factibles, indicando : i) lainterseccion de las rectas con los ejes y ii) la interseccionde las rectas en el cuadrante positivo.

b) Resuelva el programa lineal utilizando el metodo grafico.

5. (15 Pts) Determine si el conjunto S ⊂ M(2, IR), formado por

todas las matrices del tipo(

a a + ba − b b

), es un espacio

vectorial, con la suma y el producto por un escalar conoci-dos para M(2, IR). Justifique su respuesta y si es afirmativa,determine una base y la dimension del espacio S.

6. (15 Pts) Considere las rectas

L1 = {(1− t, 2t, 5 + t)|t ∈ IR} y L2 = {(2, 1− t, t)|t ∈ IR}.

a) Encuentre una ecuacion cartesiana del plano Π que con-tiene a L1 y es paralelo a L2.

b) Sea Q = (a, b, c) ∈ L2. Muestre que la distancia de Q aΠ es 1√

11. Ilustre su procedimiento con un grafico.


7. (10 Pts) Si x = (1,−1, 1), determine el rango de la matriz

9I3 − xxtxtx.

Universidad de Costa RicaEscuela de MatematicaI ciclo lectivo de 1999


1. (18 Pts) Sean A =

⎛⎝ 1 −1 0−2 2 1−1 1 1

⎞⎠, F el subespacio

vectorial generado por las filas de A, y N el nucleo de A:N = {x ∈ IR3|Ax = 0}.

a) Compruebe que F y N son subespacios ortogonales deIR3.

b) Determine bases ortonormales para F y N .

c) Exprese x = (1, 1, 1)t, como la suma de un vector en elnucleo de A y otro en F .

2. (10 Pts.) Una cierta variable y se explica, aproximadamente,por la variable x, en terminos del siguiente modelo exponen-cial:

y = αe−βx+ε

donde ε es un error desconocido y α, β son los parametrosque se desean estimar.

Si dispone de los siguientes datos observados:

x 2 4 6 12 18 24y 1.07 1.88 2.26 2.78 2.97 2.99

130 Examenes

a) Establezca el cambio de variable necesario para resolverel problema utilizando un modelo de regresion lineal.

b) Determine la tabla de datos transformada, que utilizara elmodelo de regresion lineal. Calcule solo las dos primerascolumnas.

c) Escriba la formula para calcular las estimaciones paraα y β. No efectue los calculos.

3. (18 Pts) Defina una transformacion lineal T : IR3 −→ IR3,tal que T (L1) = L2, donde

L1 es la recta : {(1, 0,−2) + t(1, 1, 2)|t ∈ IR}y L2 es : {(1, 1, 1) + t(2, 1, 3)|t ∈ IR}

Es decir, el conjunto de imagenes de los vectores de la rectaL1 es L2. Ademas, el nucleo de T debe ser la reta L3 ={(t, t, 0)|t ∈ IR}.Determine la formula general para T [(x, y, z)].

4. (18 Pts) Sea S = {(x, y, z)t ∈ IR3|3x − 6y + 3z = 0}.a) Muestre que B = {(1, 0,−1)t, (2, 1, 0)t} es una base de

S.b) Con x = (x, y, z)t, calcule ProySx.c) Si T : IR3 −→ IR3 es la transformacion lineal tal que:

T (x) = 2ProySx − x,

determine una matriz A, tal que T (x) = Ax.d) Si A es ortogonal muestre que ‖T (x)‖ = ‖x‖.

5. (18 pts) Considere una matriz A, 4 × 4, cuyo polinomio ca-racterıstico es

P (λ) = |A − λI| = −(λ − 2)3(λ + 1)

y Vλ=2 = C{( 1√2, 0, −1√

2, 0)t, (0, −1√

2, 0, 1√

2)t}, es el espacio ca-

racterıstico asociado al valor propio 2. Especifique si las sigu-ientes afirmaciones son ciertas, falsas o no tiene suficienteinformacion para decidir y justifique su respuesta.


a) 0 no es valor propio de A por lo tanto el nucleo de A es{(0, 0, 0, 0)t}.

b) ( 1√2, −1√

2, −1√

2, 1√

2)t es un vector propio de A.

c) Existe un vector x ∈ IR4, x �= 0, tal que Ax = 3x.

d) A es diagonalizable.

e) A es diagonalizable ortogonalmente.

6. (18 Pts) Considere la conica de ecuacion

x2(−2√

2x1 + x2) = 4.

Si x = (x1, x2)t, y y = (y1, y2)t:

a) Determine la matriz P del cambio de variable y = P tx,que elimina el termino cruzado de la ecuacion anteriory ademas corresponde a una rotacion.

b) Obtenga la ecuacion canonica de esta conica.

c) Determine el coseno del angulo de rotacion.

d) En el sistema de coordenadas de las variables x1 y x2,trace el grafico aproximado de la conica, indicando losvectores que generan los nuevos ejes (los rotados).

132 Examenes


Universidad de Costa RicaEscuela de Matematica MA 1004 Algebra LinealII ciclo lectivo de 1999 16 de octubre de 1999

Examen Parcial II

1) Sea A =(

11

)e I la matriz identidad de M(2, IR). Use solo

algebra de matrices (no sistemas de ecuaciones) para deter-minar una matriz X ∈ M(2, IR) tal que

AAtX = X + I

Solucion: ver ejercicio 2 en pagina 10.

2) Considere la siguiente matriz A cuyos vectores columnas sedenotan por A1, A2, A3.

A =

⎛⎜⎝√

2 −3√

2 −2√

22 1 30 5 5−1 3 2

⎞⎟⎠(i) Exprese �u = ( 0 7 5 0 )t como combinacion lineal de

los vectores columna de A.

(ii) Observe que A3 = A1 + A2. Sin hacer mas calculo, de-duzca la respuesta a las siguientes preguntas y justifique.a) ¿Ax = 0 tiene soluciones no nulas? b) ¿Ax = b tienesolucion para todo b ∈ IR4?

Ver solucion en ejercicio 15, pagina 26.

3) Sean A, Q ∈ M(n, IR), n impar, tales que A = −At (A esantisimetrica) y Q−1 = Qt (Q es ortogonal), y sea α ∈ IR,α �= 0.

(i) Demuestre que A no es invertible.


(ii) Pruebe que |Q| = ±1 y calcule |(αQ2)−1|.Ver solucion en ejercicio 1, pagina 29.

4) Sean las rectas de IR3

1 :

⎧⎨⎩x = 1 + αy = 2 − 2αz = 3 + α

, y 2 :

⎧⎨⎩x = 2 − βy = 3βz = 1

,

α ∈ IR, β ∈ IR.

(i) Demuestre que 1 y 2 son rectas alabeadas, esto es, noson paralelas ni se intersecan entre sı.

(ii) Determine las ecuaciones vectorial y cartesiana del planoπ1 que contiene a 1 y es paralelo a 2.

(iii) Calcule d(1, 2), la distancia mınima entre 1 y 2.(Sugerencia: Observe que d(1, 2) = d(π1, 2)).


5) Considere el programa lineal: minz = 6x1 + 4x2 + 15sujeto a las restricciones:⎧⎨⎩ x1 + 2x2 ≤ 60

3x1 + 10x2 ≤ 1803x1 + 2x2 ≥ 60

x1 ≥ 0 y x2 ≥ 0.

(i) Grafique la region de soluciones factibles. Especifiqueclaramente las coordenadas de los puntos donde hay in-tersecciones.

(ii) ¿Es posible eliminar una de las restricciones sin alterarla region de soluciones factibles? Si este es el caso, ¿digacual de ellas? Justifique.

(iii) Calcule el valor mınimo de la funcion z sujeto a las res-tricciones dadas. Use el metodo grafico.

(iv) De tres soluciones factibles distintas donde la funcion zalcanza su valor mınimo.

134 Examenes


6) En geometrıa de solidos existe un teorema que establece queel volumen de cualquier piramide (tetraedro) es 1

3 de la basepor la altura.

(i) Use este resultado para de-mostrar que el volumen V deltetraedro cuyos lados son vec-tores l.i. �a, �b y �c, es:

V =16|(�a ×�b) · �c|

�a

�b

�c

(Sugerencia: puede usar la interpretacion geometrica cono-cida para la norma del producto cruz de dos vectores).

(ii) Utilice (i) para hallar el volumen del tetraedro PQRScon vertices P (−1, 2, 0), Q(2, 1,−3), R(1, 0, 1), S(3,−2, 3).



Universidad de Costa RicaEscuela de MatematicaII ciclo lectivo de 1999 30 de noviembre de 1999


1. Sea S = {A ∈ M(2, IR)|(−1, 4)A = (0, 0)} un subespacio deM(2, IR).

a) (6 Pts) Muestre que(

4t 4kt k

)∀ t, k ∈ IR,

y(

0 00 0

)son matrices en S.

b) (6 pts) Encuentre una base B para S.


2. Sean: W = C{(3, 0,−4, 0), (0, 3, 0, 4)}S = C{(4, 0, 3, 0), (4, 4, 3,−3)}.

a) (5 Pts) Determine W⊥.

b) (5 Pts) Determine B1 y B2 bases ortonormales para Wy S respectivamente.

c) (4 Pts) Sea v = (25,−50, 75, 100). Calcule ProyW v.

d) (6 Pts) Sea T : IR4 −→ IR4 tal que T (v) = ProyW v.Sin hacer mas calculo determine Nuc (T ) e Img (T ).


3. Se ha observado que en una granja, la produccion de huevosque denominamos y depende de la cantidad suministrada dedos tipos de alimentos: x1, y x2. Suponga que la relacion entreestas variables se explica apropiadamente por el modelo:

y = ax1 + bx2 + ε,

136 Examenes

y que para la tabla de datos siguiente (que se muestra par-cialmente: faltan los valores observados para y),

x1 1 0 1 2 1x2 0 1 1 1 2y

se estimaron los parametros a, b utilizando regresion linealmultiple, y se calculo y (y estimado) y R.

a) (4 pts) Haga una ilustracion grafica de W = C{x1, x2},y y y.

b) (5 pts) Sabiendo que el vector y estimado resulto sery = (2, 2, 4, 6, 6)t, calcule los parametros a, b que seobtuvieron.

c) (3 pts) Si con estos datos, el coeficiente de regresion esR = 0.902. ¿Cual es la norma del vector y?

d) (4 pts) Estime la produccion de huevos si las cantidadesde los dos tipos de alimentos son: x1 = 1 y x2 = 2.


4. Sea D = {(1, 1)t, (−1, 1)t} base de IR2.

a) (10 pts) Calcule las matrices de transicion [I]CD, [I]DCdonde C es la base canonica de IR2.

b) (10 pts) Sea T : IR2 −→ IR2 una transformacionlineal tal que:

[T ]D =(

2 46 −2

)

Calcule [T ]C y determine una formula para T

(xy

).


5. Considere la conica cuya ecuacion es:

5x21 − 4x1x2 + 8x2

2 − 36 = 0.


a) (10 pts) Transforme esta ecuacion, mediante un cambiode variable que corresponda a una rotacion de los ejesx1, x2, hasta obtener la ecuacion de la conica en su formacanonica en los nuevos ejes y1, y2. Ademas identifıquela.

b) (3 pts) Indique la matriz que permitio cambiar de lasvariables (x1, x2) a las variables (y1, y2).

c) (5 pts) En un solo grafico utilizando el sistema de ejescartesianos x1, x2, represente los ejes y1, y2 (senale lascoordenadas de los vectores que los generan) y trace elgrafico de la conica (incluya asıntotas, si es el caso).

d) (2 pts) Calcule el coseno del angulo de rotacion.


6. (12 pts) Decida si la matriz A es o no diagonalizable (Justi-fique). ⎛⎝ 1 0 0

1 0 1−1 1 0

⎞⎠Solucion: ver ejercicio 1 en pagina 99.

138 Examenes


Universidad de Costa RicaEscuela de MatematicaI ciclo lectivo del 2000 15 de abril del 2000

Examen Parcial IMA 1004 Algebra Lineal

1. Considere el sistema de ecuaciones en las variables x, y y z:{2ax − 3y − z = −4a + 6b3x − y + az = −a − b

con a y b en IR

a) (8 Pts) Determine el conjunto solucion si a = 9/2 yb = 0. Use aritmetica exacta.

b) (8 Pts) Encuentre los valores de a y b para que el vector(−2, 2a − b,−3) sea solucion del sistema.


2. Sean A =(

2 1 00 −1 1

)y B =

⎛⎝ 1 0−2 1−1 2

⎞⎠.

a) (8 Pts) Verifique que (AB − I2)−1 = AB.

b) (8 Pts) Use algebra de matrices, (sin transformar la pre-gunta en el problema de resolver un sistema de ecua-ciones lineales), para encontrar una matriz X tal que

ABX − A = X.


3. Sea A =

⎛⎜⎜⎝−1 3

0 −12 00 −1

⎞⎟⎟⎠ y A1, A2 sus columnas.


a) (10 Pts) ¿Para que valores de a, si existen, el conjunto

{A1, A2, (0, 0, 1, a)t, (0, 0, a, a)t}es linealmente dependiente?

b) (10 pts) ¿Para cual o cuales valores de a, si existen, elvector (a, 2, 4, 2a)t es combinacion lineal de las columnasde A?


4. Sea A ∈ M(n, IR).

a) (6 Pts) Demuestre que A+At siempre es simetrica, perono A − At.

b) (6 Pts) Demuestre que si AAt = I entonces |A| = 1 o|A| = −1.


5. Sean A = (A1, A2, A3, A4) y B = (B1, B2, B3, B4) matrices4 × 4 tales que |B| = 3 y las columnas de A satisfacen:

A1 = −B1, A2 = B3, A3 = −B2, A4 = 2B1 − B2.

En cada caso, justifique su respuesta.

a) (5 pts) Deduzca el valor del rango de A.

b) (9 pts) Determine:i) det(A) ii) det(B2, B1, 2B3, B4) iii) det((2B)−1).

c) (6 pts) Determine el conjunto solucion del sistemaAx = 0, x ∈ IR4.


6. Considere el programa lineal:

Maximizar: z = −2x2 + x3.

Sujeto a las restricciones: 3x1 + x2 − 2x3 ≤ 102x1 + x2 − 3x3 = 4x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.

140 Examenes

a) (8 Pts) Exprese el problema en la forma canonica yde una primera solucion basica factible que no corre-sponda a la solucion optima.

b) (8 pts) Si en otros dos problemas de programacion lineal,similares al dado, se obtienen las siguientes tablas, alaplicar el metodo simplex:i)

1 0 0 1 62 1 −4 0 82 0 −1 0 −z + 10

ii)1 0 −1 1 62 1 −4 0 42 0 2 0 −z + 10

¿Cual es la solucion del problema, en cada caso?1


1Observe que en 6.a) se pide explıcitamente no calcular la solucionoptima y para responder 6.b) no requiere hacer ningun computo.


Universidad de Costa RicaEscuela de MatematicaI ciclo lectivo del 2000 20 de mayo del 2000


1. Sean A = (2,−1, 1), B = (1, 2, 0), C = (3,−1, 2) y�u = (1, 1,

√2).

a) (8 Pts) Determine el area del triangulo en el espaciocuyos vertices son los puntos A, B y C.

b) (9 Pts) Sean �ı = (1, 0, 0), �j = (0, 1, 0) y �k = (0, 0, 1).Calcule los angulos que forma el vector �u con cada unode los vectores �ı,�j y �k.


2. Sean �u y �v vectores de IRn.

a) (6 Pts) Verifique que ‖�u + �v‖2 − ‖�u − �v‖2 = 4�u · �v.

b) (6 Pts) Demuestre que �u ⊥ �v ⇐⇒ ‖�u + �v‖ = ‖�u − �v‖.c) (6 Pts) Explique en forma breve y concisa la interpre-

tacion geometrica de la proposicion en b). Ilustre esteresultado con un grafico de vectores.


3. Sea π el plano: 3x − 2y + 4z = 5.

a) (6 Pts) Establezca un sistema de ecuaciones parametri-cas y una ecuacion vectorial, para la recta que contieneel punto Q(2,−3, 1) y es perpendicular al plano π.

b) (8 Pts) Establezca la ecuacion cartesiana (de la formaax + by + cz = d) del plano que contiene a los puntosA(−2, 1, 3), B(3, 0, 2) y C(1, 3,−1).

142 Examenes


4. Considere las rectas en IR3:

L1 :

⎧⎨⎩x = 3 + 2ty = −1 + tz = 5 − t

; t ∈ IR

L2 :

⎧⎨⎩x = 6 + sy = 2 + 2sz = 3 − s

; s ∈ IR

y el plano π : 3x − 2y + 4z = 5.

a) (6 Pts) Determine, si existe, el punto de interseccionentre L1 y L2.

b) (6 Pts) Determine, si existe, el punto de interseccionentre L1 y el plano π.

c) (9 Pts) Calcule la distancia entre la recta L1 y el planoπ. Utilice proyecciones para hacer este calculo y hagaun dibujo explicativo.


5. Sean A ∈ M(m,n, IR) y SA = {x ∈ IRn|Ax = 0}.a) (6 Pts) Pruebe que SA es un subespacio de IRn.

b) Considere la matriz

A =

⎛⎝ 1 1 -1 2 -12 1 1 3 00 -1 3 -1 2

⎞⎠i) (12 Pts)Determine una base para SA y establezca

su dimension.ii) (12 Pts) Determine una base para el subespacio E

generado por las columnas de la matriz A y es-tablezca su dimension.



Universidad de Costa RicaEscuela de MatematicaI ciclo lectivo del 2000 26 de junio del 2000

MA 1004 Algebra Lineal

Examen Parcial III

1. Considere el plano: W = {(a, b, c) ∈ IR3|a + c = 0}, yT : IR3 −→ IR3 la transformacion lineal tal que ∀ x ∈IR3 T (x) = ProyW x (la proyeccion ortogonal sobre W ).

a) (6 Pts) Determine una base ortonormal para W y unabase para W⊥ (el complemento ortogonal de W ).

b) (8 Pts) Halle una formula para T .c) (8 Pts) Verifique que Nuc (T ) = W⊥.d) (5 Pts) Sin hacer mas calculo de explıcitamente el con-

junto Img (T ). ¿Es T invertible? Justifique.


2. Se desea estimar los valores a, b, c y d del polinomio cubicoy = a + bx + cx2 + dx3 que mejor ajusta los datos de lasiguiente tabla:

x 3 0 −1 2 1y −2 3 2 −2 2

a) (10 Pts) Formule este problema como un problema deregresion lineal multiple. Detalle los vectores y matricesque se involucran.

b) (5 Pts) Plantee en forma matricial los calculos a realizarpara determinar la solucion. NO REALICE LOS CAL-CULOS.

c) (5 Pts) Si los valores estimados para los parametros re-sultaran ser: a = 3, b = −1/2, c = −2 y d = 1/2,calcule R, el ındice de calidad del ajuste.

144 Examenes


3. Suponga que T : IR2 −→ IR2 se define por:

T

(x1

x2

)=(

x1 − x2

2x1

)y [I]BC =

(2 −1

−1 1

)es la matriz de transicion de la base C a la base B, con B unabase de IR2 y C la base canonica de IR2.

a) (3 Pts) Halle [T ]C la matriz estandar de T .

b) (8 Pts) Determine [T ]CB la matriz de T de la base B a labase C.

c) (4 Pts) Encuentre la base B.


4. (18 Pts) Determine si las siguientes matrices son diagonali-zables o no (Justifique). En cada caso, si es diagonalizable,halle una matriz P invertible y una matriz D diagonal talesque A = PDP−1.

i) A =(

3 44 −3

)ii) A =

⎛⎝ 3 0 00 2 00 1 2

⎞⎠Solucion: ver ejercicio 3 en pagina 102.

5. Considere la curva: xtAx = 6, donde xt = (x1, x2) ∈ IR2 esun vector expresado en sus coordenadas canonicas y

A =(

2 −2−2 5

).

Considere que A se puede escribir como:

A =

(1√5

2√5−2√

51√5

)(6 00 1

)(1√5

−2√5

2√5

1√5

)= PDP t


a) (8 pts) De la matriz del cambio de variables de (x1, x2)t

a (y1, y2)t (correspondiente a una rotacion), que permitetransformar la ecuacion de la conica dada a su formacanonica. Obtenga dicha forma canonica.

b) (4 pts) En un solo grafico utilizando el sistema de ejescartesianos x1, x2, represente los nuevos ejes y1, y2 (senalelos vectores que los generan) y represente el punto R =(y1, y2) = (0,

√6) (dado por sus coordenadas en los

nuevos ejes).

c) (3 Pts) Reproduzca el dibujo en b), sin el detalle de losvectores generadores de los ejes y1 y y2 y trace el graficode la conica (incluya asıntotas, si es el caso).

d) (5 pts) Verifique que el punto R = (y1, y2) = (0,√

6)(dado por sus coordenadas en los nuevos ejes) es unpunto de la curva y obtenga sus coordenadas (x1, x2)en los ejes originales.


146 Examenes


Universidad de Costa RicaEscuela de MatematicaII ciclo lectivo del 2000 27 de setiembre del 2000

Examen Parcial I (Reposicion)MA 1004 Algebra Lineal

1. (20 Pts) Considere las siguientes matrices:

A =

⎛⎝ 1 2−1 0

1 −1

⎞⎠ , B =

⎛⎝ 0 −11 13 0

⎞⎠ y C =

⎛⎝ 0 1 01 0 10 1 0

⎞⎠ .

Halle una matriz X tal que XABt = ABt + XC2. (Escribatodo el procedimiento.)


2. (20 Pts) Considere la matriz A =(

a b ca −b c

).

a) Pruebe que A es equivalente por filas a la matriz(a 0 c0 b 0

).

b) Determine los valores de a, b y c, para los cuales elsistema de ecuaciones{

a x + b y = ca x − b y = c

i) tiene solucion unica.ii) tiene infinitas soluciones que dependen de un para-

metro.iii) tiene infinitas soluciones que dependen de dos pa-

rametros.iv) es inconsistente.


En los tres primeros casos describa el conjunto de solu-ciones.


3. (15 Pts) Si {u1, u2, u3} es un conjunto de vectores en IRn

linealmente independiente, determine los valores de α y βpara que {u1 − αu2, αu2 − u3, u3 − βu2} tambien sea lineal-mente independiente.


4. (15 Pts)

a) Considere dos matrices A y B , de dimension n × n ytales que det(A) = 2 y det(B) = −3 .Calcule det(−A−1Bt).

b) Determine el valor de z en el siguiente sistema de ecua-ciones lineales simultaneas⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ax + ay + bz + bw = a + 2bbx + by + cz + dw = b + c + dbx + ay + dz + ew = a + d + ecx + ay + ez + aw = 2a + e

sabiendo que el determinante de la matriz de coeficienteses 42.


5. (10 Pts) Una matriz cuadrada A se llama antisimetricasi At = −A. Sea A una matriz antisimetrica de dimensionn × n, con n impar. Pruebe que A no es invertible.


6. (20 Pts) Un inversionista puede comprar dos tipos de bonosA y B, hasta por un total de $6000. Esta sujeto a un reglamen-to que le prohibe invertir mas de $4000 en bonos de tipo B ymenos de $1500 en bonos de tipo A. Ademas la cantidad in-vertida en bonos de tipo B no puede ser mayor que la mitadde la cantidad invertida en bonos de tipo A. Los bonos de

148 Examenes

tipo A dan dividendos del 8 %, mientras que los de tipo B dandividendos del 10%. Formule el problema de programacion li-neal correspondiente y establezca ¿como debe proceder dichoinversionista para obtener el rendimiento maximo?


Universidad de Costa RicaEscuela de MatematicaII ciclo lectivo del 2000 21 de octubre del 2000


1. (24 pts) Pregunta de respuestas breves.

a) Sea {v1, v2, v3} un conjunto ortonormal de vectores deIRn. Calcule :

i) ||v1 + v2 + v3||2 ii) (v1 − v2) · (v2 + v3)

b) Sea B = {(1,−1, 2)t, (1, 1,−1)t, (0, 0, 1)t} es una base deIR3.

i) Si las coordenadas de v en la base B son[v]B = (−1, 2, 1)t, encuentre v.

ii) Encuentre las coordenadas de u = (1,−3, 6)t en labase B.

c) Sea el paralelogramo de vertices A, B, C, D conA = (−1, 2, 3), B = (0, 1, 5), C = (7,−3, 8).Encuentre D.

d) Si u, v son vectores no nulos de IRn. Encuentre el cosenodel angulo entre:i) u y v − Proyuv ii) u y Proyuv.


2. (16 pts) Considere un cırculo con centro en O = (0, 0) y P

un punto de este cırculo. Sea A = (3, 4) tal que el vector−→AP

es tangente al cırculo en P , (−→AP es perpendicular a

−→OP ) y

ademas A · P = 9. Determine:

a) el coseno del angulo formado por los vectores−→OA y

−→OP

b) el radio del cırculo.

3. (20 pts) Sean u1, u2 vectores ortonormales y u3 = 2u1+20u2.

a) ¿Cual es la dimension del subespacio W = C{u1, u2, u3}?b) Calcule el area del paralelogramo cuyos lados no parale-

los son u1 y u3.

c) Si (1, 3, 2)t es perpendicular a los vectores u1, u2, en-cuentre la ecuacion cartesiana del plano W.

d) De una base para el subespacio W⊥ e identifıquelo geo-metricamente.

4. (20 pts) Sea B una matriz de 2 × 2 y

W = {A ∈ M(2, IR)|AB = 0}.

a) Demuestre que W es un subespacio de M(2, IR), las ma-trices 2 × 2.

b) Si B =(

2 −2−1 1

)encuentre una base para W.

5. (20 pts) Sea W = C{(1, 2, 1)t, (1, 0, 1)t, (3, 2, 3)t} yP = (2,−3, 5)t.

a) Obtenga una base B para W . Justifique.

b) A partir de B construya una base ortonormal para W.

c) Calcule la distancia del punto P al subespacio W.

150 Examenes

Universidad de Costa RicaEscuela de MatematicaII ciclo lectivo del 2000 27 de noviembre del 2000

Examen Parcial IIIMA 1004 Algebra Lineal

1. Sea T : IR3 −→ IR2 una transformacion lineal definida

por T

⎛⎝xyz

⎞⎠ =(

x + yy + z

).

a) (3 Pts) Determine la matriz estandar (canonica) paraT .

b) (5 Pts) Determine una base para el Nuc (T ) y de ladimension de este espacio.

c) (5 Pts) De la dimension de Img (T ) y deduzca cual esel subespacio que corresponde a Img (T ).

d) (5 Pts) ¿Es T inyectiva? ¿Es T sobreyectiva? Justifique.

2. Sean B = {v1, v2} una base de IR2, C la base canonica deIR2, [I]BC la matriz de cambio de base de C a B y [T ]B = [T ]BBla matriz de la transformacion lineal T : IR2 −→ IR2 enla base B. Si se conoce que:

[I]BC =( −2 −3

1 2

)y [T ]B =

(2 13 4

)a) (8 Pts) Determine [T ]C , la matriz estandar de T .

b) (7 Pts) Calcule T (v1).

3. (10 Pts) Si π es el plano de IR3 con ecuaciones parametricas:x = 4t, y = 3 − 3t y z = s, con t, s ∈ IR, determine latransformacion lineal T : IR3 −→ IR3 que asigna comoimagen a todo punto del plano π el mismo punto (1, 1, 1).(Debe determinar T (x, y, z)).


4. Sea A =

⎛⎝ 1 0 00 1 a2

0 1 1

⎞⎠a) (8 Pts) En el caso particular cuando a = 0, determine los

valores propios de A y bases para los correspondientesespacios propios o caracterısticos. ¿Si a = 0, es A dia-gonalizable? Justifique.

b) (5 Pts) Determine todos los valores de a ∈ IR para loscuales A es diagonalizable ortogonalmente.

c) (7 Pts) Determine todos los valores de a ∈ IR paralos cuales A es diagonalizable pero no es diagonalizableortogonalmente.

5. Considere la conica en IR2 con ecuacion 4xy = 1.

a) (3 Pts) De la matriz simetrica A asociada a la respectivaforma cuadratica.

b) (5 Pts) De el cambio de variable, que corresponde auna rotacion de ejes y cambia coordenadas de la basecanonica a la nueva base, para transformar la ecuaciona su forma canonica.

c) (4 Pts) Determine la ecuacion canonica de la conica eindique su nombre.

d) (5 Pts) Grafique la conica en el sistema de ejes originalesy los nuevos.

e) (3 Pts) Si las coordenadas en la base canonica de unpunto de la conica son (1, 1/4), calcule las coordenadasde este punto en la nueva base.

6. (17 Pts) Use regresion lineal multiple en las variables x1 = xy x2 = x2 para estimar los valores de a y b del polinomiocuadratico y = ax+bx2 que mejor ajusta los datos de la tablasiguiente. Calcule el ındice de calidad y de una interpretaciondel resultado obtenido. ¿Cual es el valor estimado para y, poreste modelo, cuando x = 2?

152 Examenes

x −2 −1 0 1y 8 3 0 −1

Sugerencia: en este problema (XtX)−1 = 111

(9/2 22 3/2

).


Universidad de Costa RicaEscuela de MatematicaI ciclo lectivo del 2001


1. (20 Pts) Considere el sistema de ecuaciones lineales siguien-te, que depende de los parametros a y b.⎧⎨⎩

4x − ay + z + 4 = 02x − y + z − 1 = 02x − y + 2bz + 4 = 0

De todos los posibles valores que pueden asumir los parame-tros a y b para que el sistema:

a) no tenga solucion.

b) tenga solucion unica.

c) tenga infinitas soluciones.

2. Sea A una matriz n × n tal que A2 − A − I = 0.

a) (7 Pts) Muestre que (A − I)−1 = A.


b) (7 Pts) Si ademas X es una matriz n × n para la cualse conoce que:

(XAt)t = Xt + A,

exprese X en terminos de la matriz A.

c) (6 Pts) Para la siguiente matriz B calcule B2 −B y useel resultado en a) para deducir el valor de B−1.

B =

⎛⎜⎜⎝0 1 0 01 1 0 00 0 0 10 0 1 1

⎞⎟⎟⎠

3. Considere los vectores u1 =

⎛⎝10a

⎞⎠, u2 =

⎛⎝ 01−1

⎞⎠, u3 =

⎛⎝a10

⎞⎠y v =

⎛⎝ 11−2

⎞⎠.

a) (10 Pts) ¿Para que valor o valores de a, los vectores u1,u2 y u3 son l.i.?

b) (10 Pts) ¿Para que valor o valores del parametro a, elvector v no es combinacion lineal de u1, u2 y u3?

4. (20 Pts) Considere una matriz A = (A1, A2, A3), 3×3, cuyosvectores columna se denotan por A1, A2 y A3 y para la cualse conoce que |A| = −2. Sea u ∈ IR3 un vector tal que u =2A1 − 3A3. En cada caso responda en forma breve.

a) La unica solucion del sistema de ecuaciones Ax = u es:

b) El determinante de la matriz (A1, A2, u) es:

c) El rango de la matriz (A1, u, A3) es igual a:

d) El valor de |(2A)−1| es:

e) Segun Cramer la solucion del sistema Ax = A2 es:

154 Examenes

5. Considere el siguiente problema de programacion lineal:

Maximizar: z = 2x1 + 10x2 − 8x3.

Sujeto a las restricciones: x1 + 2x2 − 4x3 = 100x2 − x3 + x4 = 30

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 y x4 ≥ 0.

a) (10 Pts) Escriba una primera tabla del simplex que re-presente una formulacion de este problema en la formacanonica y de una solucion basica factible.

b) (10 pts) Aplique el Simplex para resolver el problema.



1) (20 Pts) Considere el triangulo de vertices A = (0, 0), B =(6, 0), C = (2, 4). Encuentre el centro y la medida del radiodel cırculo que lo circunscribe.

BA

C

P


Sugerencia: Las rectas perpendiculares, levantadas en el pun-to medio de cada lado del triangulo, se intersecan en un puntoequidistante a los vertices del triangulo.

2) (15 Pts) En cada caso calcule:

a) v = (−1, 2, 3, 1) , u ∈ IR4 :||Proyuv||2 + ||v − Proyuv||2 =

b) u, v ∈ IR3 y α, β ∈ IR :(u × v) · (αv − βu) =

c) u, v, w ∈ IR3 :(u × v) · [(w · v)v − (w · u)u] =

3) (20 Pts) Considere las rectas:

L1 : (3 + 2t,−1 + t, 5 − t); L2 : (6 + t, 2 + 2t, 3 − t).

a) Encuentre la interseccion entre ambas rectas.

b) Encuentre una ecuacion para el plano Π que contieneambas rectas.

c) Encuentre una ecuacion para el plano que contiene larecta L1 y es perpendicular al plano Π.

4) (9 Pts) Diga en cada caso si el conjunto S es un subespaciovectorial de IR4 o no. Cuando sea subespacio establezca si setrata de una recta, un plano o un hiperplano y en caso deque no sea, justifique porque no es subespacio vectorial.

a) S = {(x, y, z, w) ∈ IR4|2x − 3y = z − 1}.b) S = {y ∈ IR4|y = Bx,para algun x ∈ IR3},

con B ∈ M(4, 3, IR) y Rng (B) = 3.c) S = {(x, y, z, w) ∈ IR4|x = 0 o z = 0}.

5) (15 Pts) Sean α, β ∈ IR y W = {Ax|x ∈ IR4}, donde

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 3 0 −11 4 α 0

−2 −7 −2 1−1 −8 −10 −4

0 −2 β − α −2

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

156 Examenes

Calcule la dimension de W , para todos los posibles valores deα y β. En cada caso, de un conjunto de vectores que generenel subespacio W .

6) (21 Pts) Sean

S = C{(1, 2, 0, 1, 0)t, (0, 1, 1, 0, 0)t}U = C{(0, 1, 0, 0, 0)t, (0, 0, 1, 1, 0)t, (1, 0, 2, 0, 1)t}

subespacios vectoriales de IR5.

a) Calcule la dimension de S⊥.

b) Encuentre una base para S⊥.

c) Calcule la distancia del vector v = (2, 2, 0, 2, 0)t al sub-espacio U.



1) (20 Pts) Considere la transformacion lineal f : IR3 −→ IR3

dada por f(x, y, z) = (x − y + 2z, x + z, 3x − 2y + 5z).

a) Escriba una matriz que represente a f (en las bases queusted elija).

b) Calcule bases para el nucleo y el recorrido (imagen) def .

c) Diga si f es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Justi-fique.


2) (15 Pts) Sean C la base canonica de IR2 y B = {(1,−1)t, (2, 1)t)}otra base. Considere T : IR2 −→ IR2 una transformacion li-neal de la cual se conoce:

T

(1−1

)=(

01

), T

(21

)=(

31

).

a) Calcular las matrices de cambio de base [I]BC y [I]CB.

b) Calcular la matriz estandar de T : [T ]C .

3) (15 Pts) Sea A =

⎛⎝ 1 1 00 1 00 0 1

⎞⎠a) Calcular los valores propios de A y bases para los res-

pectivos espacios propios (o caracterısticos).

b) ¿Es A diagonalizable? (justifique). En caso de ser dia-gonalizable de la matriz que la diagonaliza.

4) (20 Pts) Sea la conica 2x2 + 6xy + 10y2 = 11.

a) Mediante un cambio de coordenadas conveniente reduz-ca dicha ecuacion a la forma canonica e identifique eltipo de conica.

b) Dar vectores en la direccion de los nuevos ejes coorde-nados x′, y′ y calcular el angulo entre los ejes x y x′ deambos sistemas.

c) Graficar la conica, mostrando ambos sistemas de coor-denadas.

d) Calcule las coordenadas, respecto al sistema de ejes ori-ginal x, y, de los puntos donde la conica interseca a losnuevos ejes x′, y′.

5) (15 Pts) Considere la siguiente tabla de valores observadospara las variables x, y:

x 1 3 5 7 9 11y 15 17 23 34 34 48

158 Examenes

a) Si se considera que el modelo y = mx + b + ε explicaapropiadamente la variable y, estime los valores de losparametros m y b del mejor ajuste lineal.

b) Calcular el ındice de calidad de dicho ajuste.

c) ¿Cual es el valor estimado de y, segun el modelo, parax = 9?

Puede utilizar los siguientes valores, en los que x, y son losvectores de datos observados y X = (16, x). Tenga en con-sideracion que se da mas informacion de la necesaria pararesolver el problema.

x = 6.0, y = 28.5.

(x − x16) · (x − x16) = 70.0(y − y16) · (y − y16) = 785.5(x − x16) · (y − y16) = 227.0

x · x = 286.0y · y = 5659.0x · y = 1253.0

(XtX)−1 =(

0.68100 −0.08571−0.08571 0.01429

)Xty =

(1711253

).

6) (15 Pts) En cada caso, justifique de modo conciso si la proposi-cion dada es cierta o falsa.

a) f : IR3 −→ IR dada por f(x, y, z) = xyz es lineal.

b) Si A es una matriz 3 × 3 cuyo polinomio caracterısticoes P (λ) = λ(λ2 − 1), entonces A es diagonalizable.

c) Con x = (x1, x2, . . . , xn), 1n = (1, 1, . . . , 1) ∈ IRn yx =

∑ni=1 xi/n se tiene que Proy1n

x = x1n.



Universidad de Costa RicaEscuela de Matematica II ciclo lectivo del 2001


1. Considere la matriz

A =

⎛⎜⎜⎝2 0 10 1 2

−1 0 12 0 1

⎞⎟⎟⎠ ,

cuyos vectores columna se denotan por A1, A2 y A3.

a) (5 Pts) Exprese u = (3,−1,−3, 3)t como combinacionlineal de A1, A2 y A3.

b) (5 Pts) Sin hacer mas calculos, determine si {A1, A2, A3}es l.i. o l.d.; razone su respuesta.

c) (5 Pts) ¿Es u = (3,−1,−3, 3)t combinacion lineal de A1

y A2?d) (5 Pts) Si {B1, B2, B3} es un conjunto l.i., determine si

{B1 + B3, 2B2, B2 + B3} es l.i. o l.d.

2. Sean A =(

2 1 00 −1 1

)y B =

⎛⎝ 1 0−2 1−1 2

⎞⎠.

a) (5 Pts) Verifique que (AB − I2)−1 = AB.b) (10 Pts) Use algebra de matrices, (sin transformar la

pregunta en el problema de resolver un sistema de ecua-ciones lineales), para encontrar una matriz X tal que

ABX − A = X.

160 Examenes

3. (20 Pts) Considere el sistema de ecuaciones lineales:⎧⎨⎩−αx − α2y + (5α + 4)z = −16

x + αy + αz = α−αx + 4αy + 4αz = 4α

Determine todos los valores del parametro α, si existen, talesque el sistema:

a) No tiene solucion

b) Tiene solucion unica.

c) Tiene infinitas soluciones dependiendo de:i) un parametro, ii) dos parametros.

4. Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, quedepende de los parametros a y b.⎧⎨⎩

x + 3y + (a + 2)(a + 3)z = bx + 4y + (a + 3)(a + 4)z = −bx + 5y + (a + 4)(a + 5)z = b

a) (5 Pts) Calcule el determinante de la matriz de coefi-cientes.

b) (5 Pts) Determine para cuales valores de a y b el sistematiene solucion unica.

c) (5 Pts) Use regla de Cramer para determinar el valor dez.

5. Sea A = (A1, A2, A3) una matriz 3 × 3 cuyas columnas sedenotan como A1, A2 y A3.

a) (5 Pts) Si B es la matriz con columnas A1, 8A2 + A3 yA1 − A3, exprese el determinante de B en terminos deldeterminante de A.

b) (5 Pts) Si C es una matriz 3× 3 invertible y AC = 2C,determine el valor del determinante de A.




1) (21 Pts) Considere los puntos A = (1,−1, 4), B = (1, 0, 3),C = (0, 2, 6) y D = (0, 4, 4).

a) Encuentre escalares t y s tales que−→AD = t

−→AB + s

−→AC y

haga una ilustracion grafica de estos vectores con indi-cacion de los puntos A,B,C y D.

b) Observe que A,B,C y D son puntos de un mismo plano.¿El cuadrilatero A,B,C, D es un paralelogramo?

c) Calcule el area del cuadrilatero de vertices A,B,C y D.

2) (24 Pts) Sean las rectas:

1 :1 − x

2=

z

3, y = 4; 2 : (x, y, z) = (−1+2t, t, 1+3t).

a) Encuentre la ecuacion normal del plano π que contienea 1 y es paralelo a 2.

b) Obtenga el punto de interseccion de 1 y 2, si estasrectas se intersecan.

c) Determine la distancia de 1 a 2.

3) (15 Pts) En cada caso, justifique si S es un subespacio vec-torial de V . Si respuesta es afirmativa, encuentre una basepara S.

a) S = {A ∈ M(2, IR)|At = A}, con V = M(2, IR).

b) S = {(x, y, z) ∈ IR3|(x, y, z) = (2,−2, 4)+t(1,−1, 2), t ∈IR}, con V = IR3.

162 Examenes

4) (20 Pts) Sean u1 = (1,−1,−√2), u2 = (

√2,−√

2,−2) yW = C{u1, u2}.

a) Encuentre una base ortonormal B para W⊥.

b) Si a = (2,−6, 4√

2), muestre que a ∈ W⊥ y calcule [a]B.

c) Con v = (4, 4, 3√

2), determine x1 ∈ W y x2 ∈ W⊥,tales que x1 + x2 = v.

5) (20 Pts) Sean B = {u1, u2, u3, u4} una base ortonormal deIR4 y los subespacios y S = C{u1, u2} y T = C{u3, u4}.

a) Demuestre que T y S son subespacios ortogonales.

b) Si a = 2u1 + 3u2 y b = 12u2 + 5u4, calcule Proyab.

c) Si x = 2u1 − 4u3 +2u4, calcule d(x, S), la distancia dex a S.



1 (20 Pts.) Sean B = {(−1, 1), (3, 0)} = {u1, u2} base de IR2 yT : IR2 −→ IR2 una transformacion lineal con matriz enla base B igual a:

[T ]B =( −1 3

2 0

)a) (5 Pts) Encuentre T (u1) y T (u2).

b) (5 Pts) Calcule la matriz [I]CB, donde C es la base canonica.

c) (10 Pts) Calcule T (x, y).


2 (20 Pts) Sean B = {u, v, w} una base ortonormal de IR3,S = C{u, v}, y T : IR3 −→ IR3 la transformacion linealdefinida por:

T (x) = ProySx.

a) (10 Pts) Determine bases para el Nucleo y la Imagen deT .

b) (2 Pts) Decida si u+v y u+v+w pertenecen a Img (T ).

c) (3 Pts) ¿Es T inyectiva? ¿Es T sobreyectiva?

d) (5 Pts) Determine [T ]B.

3 (15 Pts) Considere la superficie determinada por 2xy + z2 =4z.

Determine un cambio de variables que elimine el termino“xy” en la ecuacion anterior. De la ecuacion de la superfi-cie en las nuevas variables e indique su nombre.

4 (20 Pts) Considere la conica con ecuacion 2x2−4xy−y2+6 =0.

a) (8 Pts) Haga un cambio de variables, que correspondaa una rotacion de los ejes, de modo que la ecuacionen las nuevas variables tenga la forma canonica. De suecuacion canonica.

b) (4 Pts) Indique los vectores directores B = {u1, u2} delos nuevos ejes y el coseno del angulo de rotacion.

c) (4 Pts) De la matriz del cambio de base, de la basecanonica a la base B.

d) (4 Pts) Haga un grafico de la conica e incluya ambossistemas de ejes.

5 (20 Pts) Supongamos que en un paıs el ingreso promedio an-ual (en miles de dolares), varıa aproximadamente de acuerdocon el numero de anos de escolaridad, segun la relacion:

y = a0 + a1x + ε

164 Examenes

donde las variables representan:x : anos de escolaridad y : ingreso anual (miles de

dolares) y ε : error.

Se desea estimar a0 y a1 a partir de los siguientes datos ob-servados:

x 5 10 13 17y 8 12 15 19xc -6.25 -1.25 1.75 5.75yc -5.5 -1.5 1.5 5.5

con xc, yc los vectores de observaciones centradas para lasrespectivas variables.

a) Considerando el problema en general, con x = (x1, . . . , xn)y 1n = (1, . . . , 1) ∈ IRn.

i) (3 Pts) Justifique que x, la media de la variable x,es igual a: x = 1

n (x · 1n).ii) (5 Pts) Demuestre que el vector centrado xc = x −

x1n es ortogonal al vector de unos 1n.

b) Usando los datos del problema:

i) (6 Pts) Calcule la proyeccion ortogonal de y sobreel subespacio W = C{14, xc}.

ii) (6 Pts) Utilice el resultado en b.i) para estimar a0

y a1. Si usted tiene dificultades en seguir este pro-cedimiento, utilice otra vıa para estimar a0 y a1.

Observacion: algunos resultados que usted podrıa uti-lizar son:

y · xc = 70.5, xc · xc = 76.75, y = 13.5, x = 11.25,(4 4545 583

)−1

=(

1.899 −0.1466−0.1466 0.01303

).

Capıtulo 11

Algebra Lineal conMathematica

El paquete Mathematica provee procedimientos de calculosimbolico, numerico y graficacion, aplicables a todos los temasde la matematica. Aquı se presentaran algunas de sus aplica-ciones al Algebra Lineal, que por supuesto, solo constituyenuna breve introduccion a Mathematica y al Algebra Lineal.Para obtener mayor informacion sobre Mathematica, sus desa-rrolladores y otros materiales se puede visitar la pagina web:www.wolfram.com.

11.1. Sistemas de ecuaciones lineales

Considere, por ejemplo, el sistema de ecuaciones lineales:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩3x + 2y − z = 156x + 3y + 2z = 263x + y + 3z = 116x + 4y − 2z = 30

166 Algebra Lineal con Mathematica

Hay varias vıas para obtener una solucion de este sistema, conMathematica. En primer termino, se pude utilizar el comandoSolve, que permite resolver en forma exacta ecuaciones y sis-temas de ecuaciones algebraicas —lineales y no lineales—. Paraello se requiere definir el sistema y usar Solve en la siguienteforma:

A={{3,2,-1},{6,3,2},{3,1,3},{6,4,-2}};

b = {15,26,11,30}Solve[A.{x,y,z} == b,{x,y,z}]

Solve::svars Equations may not give solutions for all “solve” vari-

ables.

{{x → 73 − 7

3z, y → 4z + 4}}Observe que para proponer el sistema de ecuaciones Ax = b,

en Solve, se usa un signo de igualdad doble. Por otra parte,antes de dar la respuesta Mathematica produce un mensaje deadvertencia, en el sentido de que no hay suficientes ecuacionespara determinar una solucion independiente para cada variable,es decir, hay infinitas soluciones.

Un procedimiento mas especıfico para resolver sistemas deecuaciones lineales lo proporciona el comando RowReduce.

11.1.1. RowReduce

La primitiva RowReduce[A] permite calcular la forma es-calonada reducida, equivalente a la matriz A. En el siguienteejemplo se redefine la matriz A para que corresponda a la ma-triz aumentada del sistema dado anteriormente, y se calcula laforma escalonada reducida.

11.1 Sistemas de ecuaciones lineales 167

A={{3,2,-1,15},{6,3,2,26},{3,1,3,11},{6,4,-2,30}};

RowReduce[A]⎛⎜⎜⎝1 0 7

373

0 1 −4 40 0 0 00 0 0 0

⎞⎟⎟⎠Observe entonces que se obtienen las ecuaciones x+ 7

3z = 73

y y − 4z = 4, de donde se deduce que todas las soluciones delsistema son de la forma:

(73− 7

3z, 4 + 4z, z),

donde z es un parametro en IR que se elige libremente.

11.1.2. NullSpace

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales homogeneos,se dispone de una herramienta especıfica: NullSpace. Este co-mando parte de la matriz del sistema y produce una nueva ma-triz cuyas filas son los vectores que generan el conjunto solucion,es decir, las soluciones son todas las combinaciones lineales delos vectores filas de la matriz obtenida.

Ejemplo 11.1.1 Resolver el siguiente sistema homogeneo:⎧⎨⎩x − 3y + z + w = 0

−2x + 2y − 3z − 2w = 04x − 8y + 5z + 4w = 0


A ={{1,−3, 1, 1},{−2, 2,−3,−2},{4,−8, 5, 4}};

NullSpace[A]

{{−1, 0, 0, 1}, {−7,−1, 4, 0}}Ası toda solucion de este sistema es de la forma:⎛⎜⎜⎝

xyzw

⎞⎟⎟⎠ = t

⎛⎜⎜⎝−1001

⎞⎟⎟⎠ + s

⎛⎜⎜⎝−7−140

⎞⎟⎟⎠donde t y s son parametros en IR a elegirse libremente.

Aunque los recursos vistos son eficientes para resolver, enforma exacta, sistemas de ecuaciones lineales bien determina-dos, presentan algunos problemas para resolver aquellos que de-penden de parametros. Por otra parte, desde un punto de vistadidactico, resulta importante resolver sistemas de ecuaciones li-neales paso a paso, es decir, aplicando operaciones elementales.

11.1.3. Operaciones elementales

Mathematica no dispone de procedimientos para aplicaroperaciones elementales por filas a un matriz, sin embargo, per-mite que sean definidas con relativa facilidad. A continuacionse utiliza el comando OpE para este proposito, cuya definiciones dada en el archivo OpElem.m y no se transcribe en esta notaspara no hacer un enfasis innecesario en aspectos tecnicos de laprogramacion en Mathematica. El archivo sera disponible paracualquier interesado, a traves del profesor C. Arce.

El primer paso requerido para usar OpE, es cargar el proce-dimiento mediante los dos comando siguientes:


SetDirectory["C:\ma1004\math"];<<OpElem.m

Estas dos ordenes suponen que C:\ma1004\math es el nom-bre del directorio donde se trabajara y que en este directorio seencuentra el archivo OpElem.m.

El objetivo del procedimiento OpE es permitir la aplicacionde operaciones elementales filas a una matriz. Para ello se usauna sintaxis que se espera resulte clara en la exposicion delsiguiente ejemplo.

Ejemplo 11.1.2 Obtener la forma escalonada reducida de lasiguiente matriz A.

A={{3,2,-1,15},{6,3,2,26},{3,1,3,11},{6,4,-2,30}};

A1 = OpE[A,(1/3)f[1]]

⎛⎜⎜⎝1 2

3 − 13 5

6 3 2 263 1 3 116 4 −2 30

⎞⎟⎟⎠A2 = OpE[A1, -6f[1]+f[2], -3f[1]+f[3],

-6f[1]+f[4]]

⎛⎜⎜⎝1 2

3 − 13 5

0 −1 4 −40 −1 4 −40 0 0 0

⎞⎟⎟⎠A3 = OpE[A2, -f[2]]

170 Algebra Lineal con Mathematica⎛⎜⎜⎝1 2

3 − 13 5

0 1 −4 40 −1 4 −40 0 0 0

⎞⎟⎟⎠A4 = OpE[A3, f[2]+f[3],

(− 23

)f[2]+f[1]]⎛⎜⎜⎝

1 0 73

73

0 1 −4 40 0 0 00 0 0 0

⎞⎟⎟⎠

11.1.4. Sistemas con parametros

A continuacion se utiliza el procedimiento OpE, para resolverun sistema de ecuaciones lineales que depende de un parametroa. Observe ademas, que en su solucion se emplea el sımbolo %para hacer referencia al resultado obtenido en el paso anterior.

Ejemplo 11.1.3 Determinar la solucion del siguiente sistemade ecuaciones lineales que depende de un parametro a:⎧⎨⎩

x − 3y + z = 12x + y − z = −15x − 8y + (a2 − 2)z = a

H ={{1,−3, 1, 1},{2, 1,−1,−1},{5,−8, a2 − 2, a}};

OpE[H,-2f[1]+f[2]]⎛⎝ 1 −3 1 10 7 −3 −35 −8 a2 − 2 a

⎞⎠


OpE[ %,-5f[1]+f[3]]⎛⎝ 1 −3 1 10 7 −3 −30 7 a2 − 7 a − 5

⎞⎠OpE[ %,(1/7)f[2]]⎛⎝ 1 −3 1 1

0 1 − 37 − 3

70 7 a2 − 7 a − 5

⎞⎠OpE[ %,-7f[2]+ f[3], 3f[2]+ f[1]]⎛⎝ 1 0 − 2

7 − 27

0 1 − 37 − 3

70 0 a2 − 4 a − 2

⎞⎠Si a2 − 4 �= 0 entonces la reduccion continua:

OpE[ %, 1−4+a2 f[3]]⎛⎝ 1 0 − 2

7 − 27

0 1 − 37 − 3

70 0 1 a−2

a2−4

⎞⎠Simplifique[ %]⎛⎝ 1 0 − 2

7 − 27

0 1 − 37 − 3

70 0 1 1

a+2

⎞⎠OpE[ %,(2/7)f[3]+f[1],(3/7)f[3]+f[2]]

172 Algebra Lineal con Mathematica⎛⎜⎝ 1 0 0 27(a+2) − 2

7

0 1 0 37(a+2) − 3

7

0 0 1 1a+2

⎞⎟⎠Simplifique[ %]⎛⎜⎝ 1 0 0 − 2(a+1)

7(a+2)

0 1 0 − 3(a+1)7(a+2)

0 0 1 1a+2

⎞⎟⎠Observe que RowReduce produce el mismo resultado, sin em-

bargo, no alerta que es valido solo cuando a �= 2 y a �= −2.

RowReduce[H]⎛⎜⎝ 1 0 0 − 2(a+1)7(a+2)

0 1 0 − 3(a+1)7(a+2)

0 0 1 1a+2

⎞⎟⎠

11.1.5. Determinantes

El calculo de determinantes con Mathematica usa la primi-tiva Det. Considere la siguiente matriz B y calcule su determi-nante.

B ={{1,−3, 1, 1},{2, 1,−1,−1},{5,−8, a2 − 2, a},{2,−1, 2, 1}};

Det[B]

8a2 − 15a − 2

11.2 Operaciones con vectores 173

Adicionalmente se puede factorizar el resultado:

Det[B]//Factor

(a − 2)(8a + 1)

Como |B| = 0 si a = 2 o a = −1/8, se concluye que en estoscasos el sistema Bx = 0 tiene infinitas soluciones, sin embargo,Mathematica no toma en cuenta esta particularidad al dar lasolucion usando Solve:

Solve[B.{x, y, z, w} == {0, 0, 0, 0}, {x, y, z, w}]{{x → 0, y → 0, z → 0, w → 0}}

11.2. Operaciones con vectores

En esta seccion se introducen algunos procedimientos paraoperar con vectores en IRn. Naturalmente, estas definicionesdeben ser transmitidas antes de ser utilizadas.

11.2.1. Normas, angulos y proyeccionortogonal sobre un vector

A continuacion se definen para Mathematica cuatro fun-ciones con un significado claro. En todas ellas se supone que x,y, u y v son vectores.

Norma[x ] :=√x.x;

Normaliza[x ] := Simplify[ xNorma[x]

];

Angulo[x ,y ]: = ArcCos[ x.yNorma[x]Norma[y]

];

Proy[u ,v ]: = Simplify[

u.vv.v v

];


Ejemplo 11.2.1 Considere el vector a = (2, 3,−1, 2) y calcule:su norma, un vector unitario en su direccion, la proyeccion orto-gonal de a sobre (1, 1, 1, 1) y el angulo entre a y la proyeccionanterior.

a ={2,3,-1,2};

Norma[a]

3√

2

La primitiva N que se usa a continuacion produce una aprox-imacion numerica,

N[Norma[a]]

4.24264

Normaliza[a]{√2

3 , 1√2,− 1

3√

2,√

23

}b = Proy [a,{1,1,1,1}]{32 , 3

2 , 32 , 3

2

}Angulo[a,b]

π4

Angulo[a-b,{1,1,1,1}]π2

11.2.2. Proyecciones sobre subespacios yconstruccion de bases ortonormales

El siguiente procedimiento ProyS supone que las filas de lamatriz S son una base ortonormal, del espacio sobre el que se

11.2 Operaciones con vectores 175

desea calcular la proyeccion del vector u. Si la base disponibleno es ortonormal, primero debe ortonormalizarse usando el pro-cedimiento BaseOrto que se define posteriormente.

ProyS[u ,s ]: = Simplify[Apply[Plus,Map[(#1.u #1)&,s]]];

BaseOrto supone que las filas de B son una base y produceuna nueva matriz cuyas filas son la base ortonormal correspon-diente.

BaseOrto[B ]: = Module[{GS},GS[{},B2 ] := B2;GS[{v ,B1 },B2 ] :=GS[{B1},Append[B2,Normaliza[v-ProyS[v,B2]]]];

GS[Rest[B],{Normaliza[First[B]]}]]

Ejemplo 11.2.2 Obtener una base ortonormal para el siguien-te subespacio W :

W = C{(−1, 1, 0, 1), (2, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 0)}.

Observe que los vectores que generan W son una base de W ,puesto que son l.i.

B1 = {{-1,1,0,1},{2,1,0,1},{0,1,1,0}};Bo = BaseOrto[B1]

{{− 1√3, 1√

3, 0, 1√

3}, {

√23 , 1

6 , 0, 16}, {0, 1√

6,√

23 ,− 1

6}}

El procedimiento BaseOrto construye una base ortonormala partir de la base formadas por las FILAS de B1, y la baseortonormal resultante se compone de las FILAS de la matrizBo.


11.2.3. Ortonormalizacion de una base,paso a paso

El procedimiento de ortonormalizacion de una base tambienpuede ser realizado paso a paso en la siguiente forma:

{v1,v2,v3} = B2 = {{1,1,0,0},{0,-1,1,0},{0,1,2,1}};u1 = v1/Norma[v1]{

1√2, 1√

2, 0, 0

}u2p = v2 - (v2.u1)u1 //Simplify

{− 12 , 1

2 , 1, 0}u2 = u2p/Norma[u2p]{

1√6,− 1√

6,√

23 , 0

}u3p = v3 - (v3.u1)u1 - (v3.u2)u2//Simplify

{−1, 1, 1, 1}u3 = u3p/Norma[u3p]{− 1

2 , 12 , 1

2 , 12

}Observe entonces que {u1,u2,u3} es la base ortonormal resul-tante, que tambien puede ser obtenida directamente:

B2o = BaseOrto[B2]

{{− 1√2, 1√

2, 0, 0}, { 1√

6,− 1√

6,√

23 , 0}, {− 1

2 , 12 , 1

2 , 12}}

Para el calculo de las proyecciones sobre subespacios puedeusarse el procedimiento ProyS definido arriba, o tambien efec-tuar su calculo usando su formula explıcita. En ambos casosrequire de una base ortonormal.

w = {1,1,1,1};

11.3 Regresion Lineal 177

x = ProyS[w,B2o]{56 , 7

6 , 76 , 1

2

}(w.u1)u1 + (w.u2)u2 + (w.u3)u3{56 , 7

6 , 76 , 1

2

}y = {1,1,1,1}-x{16 ,− 1

6 ,− 16 , 1

2

}Observe que:

Norma[x]^2 + Norma[y]^2

4

Norma[w]^2

4

11.3. Ajuste de curvas medianteRegresion Lineal

Como se muestra mas adelante, las operaciones que se in-volucran al estimar los parametros de mejor ajuste de una cier-ta curva por regresion lineal, pueden ser dadas explıcitamenteen Mathematica sin requerir de procedimientos especiales. Sinembargo, para obtener la representacion grafica de la curva demejor ajuste y puntos simultaneamente, se define el procedi-miento PlotRL, para simplificar el proceso.

11.3.1. Definicion de procedimientos

Norma[x ] :=√x.x


Media[x ] := Apply[Plus,x]/Length[x];

Centra[x ]: = x - Media[x];

PlotRL[Pts ,curva ,{t ,a ,b },Opc ] := Module[{g1,g2,ejes,marco,estilo},

{ejes,marco,estilo} = {Axes,Frame,PlotStyle}/.{Opc}/.{Axes->False,Frame->True,PlotStyle->

{AbsolutePointSize[3],RGBColor[1,0,0]}};g2 = Plot[curva,{t,a,b},DisplayFunction ->Identity,

Axes ->ejes];g1 = ListPlot[Pts,DisplayFunction ->Identity,Axes->ejes, Frame->marco, PlotStyle->estilo,Opc];

Show[g1,g2,DisplayFunction ->$DisplayFunction]]

11.3.2. Ejemplo: regresion lineal multiple

Ejemplo 11.3.1 Ejemplo tomado del libro: Algebra Lineal, deArce, Castillo y Gonzalez, Seccion 9.2.

Si y es el rendimiento del cultivo de trigo por hectarea y sehacen experimentos para medir como inciden en el las variablescitadas abajo. Ademas, si suponemos que el efecto de cada unade estas variables en la produccion de trigo es aditivo y que elmodelo

y = b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4x4 + b5x5 + ε

permitira explicar la variable y en terminos de dichas variables:

x1 : Potasio y fosforo(kg/Ha)x2 : Nitrogeno(kg/Ha)x3 : Acidez del suelo,PHx4 : Promedio de lluvia(cm2)x5 : Temperatura promedio.

Se desea estimar los parametros b1, b2, b3, b4, b5, para que elmodelo:

y = b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4x4 + b5x5 + ε


se ajuste lo mejor posible a los datos observados.

Definicion de los datos observados

y = {30,20,40,25,35,45,30,25,35,40};X = {{1100,300,6.0,5,10},

{1000,200,4.0,7, 8},{1200,350,6.7,8,10},{1000,300,5.0,6, 8},{1100,300,5.5,7, 9},{1200,350,8.0,6,11},{ 900,300,4.0,5, 8},{ 700,400,3.5,3, 7},{1200,350,6.0,7, 7},{1300,350,7.0,6.5,10}};

A continuacion se define Xt como la matriz transpuesta deX, para que la formula (XtX)−1Xty resulte mas facil de es-cribir.

Xt = Transpose[X];

El siguiente paso en innecesario, pero con el se pretendereconocer la matriz XtX que debe invertirse, al calcular losparametros b del modelo.

Xt.X⎛⎜⎜⎜⎜⎝1.173 × 107 3.425 × 106 61640. 66450. 95600.3.425 × 106 1.05 × 106 18045. 19125. 28200.

61640. 18045. 329.39 346.1 505.66450. 19125. 346.1 384.25 538.95600. 28200. 505. 538. 792.

⎞⎟⎟⎟⎟⎠b = N[Inverse[Xt.X].Xt.y]

{−0.0146885, 0.0366669, 5.26194, 1.16539, 0.0201419}Luego (b1, b2, b3, b4, b5) = (−0.0146885, 0.0366669, 5.26194,1.16539, 0.0201419). Por otra parte, la calidad de este ajuste esdado por:


R = N[Norma[X.b]Norma[y] ]

0.996714

En el siguiente grafico se representan los puntos (yi, yi),donde yi = b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5, ademas la recta iden-tidad (la diagonal). Ası se puede tener una idea geometrica delo errores observados —distancia de los puntos a la diagonal—y reconocer que cuando un punto esta muy cerca de la diagonales porque yi es muy cercano a yi.

Para construir el grafico observe que {y,y} = {y,X.b} esuna matriz cuyas dos filas son los vectores y y y, la cual cuandose transpone produce una matriz con filas {yi, yi}, o sea la listade puntos que se desean graficar.

Puntos = Transpose[{y,X.b}];PlotRL[Puntos,t,{t,19,46}];

20 25 30 35 40 4520

25

30

35

40

45

En el comando anterior Puntos es la lista de puntos a graficar,t es una especificacion de la funcion identidad y = t (la curvaa graficar) y {t,19,46} indica el rango de variacion para t.


11.3.3. Ejemplo: ajuste de una recta

Ejemplo 11.3.2 Determinar la recta, y = a + bx, que mejorajusta los puntos (x, y) en la tabla siguiente:

x 3 5 8 10 12 15 17 20 22 25y 12 10 15 20 26 18 28 32 24 26

Ilustracion grafica del problema

Pts = {{3,12},{5,10},{8,15},{10,20},{12,26},{15,18},{17,28},{20,32},{22,24},{25,26}};

g1 = ListPlot[Pts, Axes ->False, Frame ->True,PlotRange->{{2,26},{8,34}}, FrameTicks->

{{3,5,8,10,12,15,17,20,22,25}, Automatic},PlotStyle->{AbsolutePointSize[3],RGBColor[1,0,0]}];

3 5 8 10 12 15 17 20 22 25

10

15

20

25

30

Se trata de encontrar la recta que mejor aproxima los puntosde este grafico, en el sentido de regresion lineal.

Calculo de a y b usando regresion lineal multiple:

{x,y} = Transpose[Pts];

X = Transpose[{Table[1,{10}],x}];


Xt = Transpose[X];

TableForm[ %]

1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 5 8 10 12 15 17 20 22 25

{a,b} = N[Inverse[Xt.X].Xt.y]

{10.117, 0.80168}

R = N[Norma[X.{a, b}]

Norma[y] ]

0.983305

Representacion grafica

g2 = Plot[a + b t,{t,2,26}];... el grafico resultante fue omitido

Utilizando el grafico g1 definido anteriormente.

Show[g1,g2]

3 5 8 10 12 15 17 20 22 25

10

15

20

25

30

Calculo de a y b usando regresion lineal simple:


Los vectores de datos x y y fueron definidos arriba:

N[{Media[x], Media[y]}]{13.7,21.1}Xc = N[Centra[x]]

{-10.7, -8.7, -3.7, -1.7, 1.3, 3.3, 6.3, 8.3, 11.3}Yc = N[Centra[y]]

{−9.1,−11.1,−6.1,−1.1, 4.9,−3.1, 6.9, 10.9, 2.9, 4.9}

b = Yc.XcXc.Xc

0.80168

a = Media[y]- b Media[x]

10.117

El ındice de calidad del ajuste, en este caso es:

R = N[Norma[bXc]Norma[Yc] ]

0.811039

Lo cual difiere del calculado con la estimacion por regresionlineal multiple, dado que en este los datos no estan centradosy mas bien corresponde a:

R = N[Norma[a + bx]

Norma[y] ]

0.983305

PlotRL[Pts, a + b t,{t, 2, 26},PlotRange->{{2,26},{8,34}}, FrameTicks ->

{{3,5,8,10,12,15,17,20,22,25},Automatic},PlotStyle->{AsolutePointSize[3],

RGBColor[0,0,1]}];


3 5 8 10 12 15 17 20 22 25

10

15

20

25

30

11.3.4. Primitiva Fit

Mathematica incluye una funcion denominada Fit que per-mite ajustar cualquier curva a un cierto conjunto de datos. Porejemplo, para determinar la recta y = a 1+ bt que mejor ajustalos datos del ejemplo 11.3.2 (Pagina 181), basta transmitir elcomando:

Fit[Pts,{1,t}, t]

0.80168t + 10.117

En este caso se supone que Pts es la lista de coordenadas de lospuntos involucrados segun se definieron en el ejemplo 11.3.2.

Por otra parte, para resolver el problema de regresion linealmultiple en el ejemplo 11.3.1, se debe construir una matriz quedenominaremos Datos, cuyas primeras columnas correspondena las variables explicativas y la ultima a la variable a explicar(y). En este caso suponemos que la matriz X y el vector y fuerondefinidos como en el ejemplo 11.3.1:

Datos = Transpose[Append[Transpose[x],y]];

Transpose[Datos]

11.3 Regresion Lineal 185⎛⎜⎜⎜⎜⎝1100 1000 1200 1000 1100 1200 900 700 1200 1300300 200 350 300 300 350 300 400 350 350

6 4 6.7 5 5.5 8 4 3.5 6 75 7 8 6 7 6 5 3 7 6.5

10 8 10 8 9 11 8 7 7 10

⎞⎟⎟⎟⎟⎠Observe que esta matriz es la matriz Datos pero en forma

transpuesta y se muestra ası para economizar papel al imprimirestos materiales. Dada esta matriz, el problema se resuelve conla orden:

Fit[Datos,{x1,x2,x3,x4,x5},{x1,x2,x3,x4,x5}]−0.0146885x1 + 0.0366669x2 + 5.26194x3 + 1.16539x4+ 0.0201419x5

11.3.5. Ejemplo: ajustes por polinomios

Ejemplo 11.3.3 Ejercicio 6, Algebra Lineal, Arce, Castillo yGonzalez: Los datos de la tabla siguiente representan el cau-dal promedio del Rıo Macho, para cada mes, medidos en laEstacion de Belen, en un estudio que abarco 10 anos.(Datossuministrados por el ICE).

Mes May Jun Jul Ago Set Oct1 2 3 4 5 6

Caudal (m3/s) 1.88 3.5 3.84 4.61 5.2 4.89

Mes Nov Dic Ene Feb Mar Abr7 8 9 10 11 12

Caudal (m3/s) 3.89 3.38 2.02 1.35 1.02 1.14

Determine la funcion cuadratica del mes(como enteros del1 al 12)que mejor explica el caudal del rıo.


Primera solucion:

x = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11};y = {1.88,3.5,3.84,4.61,5.2,4.89,3.89,3.38,

2.02,1.35,1.02,1.14};Ajuste de los datos por un polinomio de 2do. grado:

y = a0 + a1x + a2x2 + ε

X = Transpose[{{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},x,x2}];Xt = Tanspose[X];

TableForm[Xt]

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144

a ={a0,a1,a2} = N[Inverse[Xt.X].Xt.y]

{1.67636, 1.01319,−0.096039}

R = N[Norma[X.a]Norma[y] ]

0.98187

Representacion grafica:

Puntos = Transpose[{x,y}];PlotRL[Puntos, a0 + a1t + a2t2,{t,0,13},PlotStyle->{AbsolutePointSize[3],RGBColor[1,0,0]},Frame->False, Axes->True];


2 4 6 8 10 12-1

1

2

3

4

5

Segunda solucion

La numeracion de los meses comenzando con mayo igual a 1es un tanto arbitraria, podrıamos escoger el mes 1 como setiem-bre (el mas lluvioso) y hacer el estudio avanzando el tiempo dela epoca mas lluviosa a la epoca seca hasta llegar a la maslluviosa nuevamente:

x = {8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7};y = {1.88,3.5,3.84,4.61,5.2,4.89,3.89,3.38,

2.02,1.35,1.02,1.14};Al ajustar ahora por un polinomio de 2do. grado

y = a + bx + cx2 + ε

se obtiene:

X = Transpose[{{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},x,x2}];Xt = Tanspose[X];

TableForm[Xt]

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 18 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 764 81 100 121 144 1 4 9 16 25 36 49

a ={a0,a1,a2} = N[Inverse[Xt.X].Xt.y]


{6.43045,−1.58322, 0.127762}


0.990792

Observe que a.{1,t,t2} produce el polinomio buscado, lo cualse usara en el siguiente comando PlotRl para obtener la repre-sentacion grafica.

a.{1,t,t2}0.127762t2 − 1.58322t + 6.43045

Pts = Transpose[{x,y}]PlotRL[Pts, a .{1, t, t2},{t, 0, 13},PlotStyle->{AsolutePointSize[3],RGBColor[1,0,0]},Frame->False, Axes->True];

2 4 6 8 10 12

1

2

3

4

5

6

7

Tercera solucion

Por otra parte, en el primer grafico, tambien se observa quecomenzando la numeracion en el mes de Junio (o Julio), mesde transicion de verano a invierno, los datos parecen explicarsemejor mediante un polinomio de tercer grado.


x = {11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};y = {1.88,3.5,3.84,4.61,5.2,4.89,3.89,3.38,

2.02,1.35,1.02,1.14};Ajuste por un polinomio de 3er.grado:

y = a0 + a1 + a2x2 + a3x

3 + ε

Xt = Transpose[{{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},x,x2,x3}];⎛⎜⎜⎝1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10121 144 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

1331 1728 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000

⎞⎟⎟⎠X = Transpose[Xt]

a = N[Inverse[Xt.X].Xt.y]

{1.79939, 2.51239,−0.565196, 0.0306605}


0.999247

Luego el polinomio resultante es:

a.{1,t,t2,t3}0.0306605t3 − 0.565196t2 + 2.51239t + 1.79939

Representacion grafica:

Puntos = Transpose[{x,y}];PlotRL[Puntos,a.{1,t,t2,t3}, {t,0,13},PlotStyle->{AbsolutePointSize[3],RGBColor[1,0,0]},Frame->False, Axes->True];


2 4 6 8 10 12

1

2

3

4

5

6

Solucion utilizando la primitiva Fit

La siguiente es la solucion de la primera y tercera versionde este problema, utilizando el comando Fit.

x = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12};y = {1.88,3.5,3.84,4.61,5.2,4.89,3.89,3.38,

2.02,1.35,1.02,1.14};Fit[Transpose[{x,y}],{1,t,t2},t]−0.096039t2 + 1.01319t + 1.67636

x = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12};y = {1.88,3.5,3.84,4.61,5.2,4.89,3.89,3.38,

2.02,1.35,1.02,1.14};Fit[Transpose[{x,y}],{1,t,t2,t3},t]−0.0306605t3 − 0.565196t2 + 2.51239 + 1.79939

11.4. Valores y vectores propios

Mathematica dispone de las primitivas Eigenvalues[A] y

11.4 Valores y vectores propios 191

Eigenvector[A] para calcular los vectores y valores propiosde una matriz A. Sin embargo nosotros, por interes didacti-co, hemos preferido efectuar paso a paso todo el proceso decomputo de estos.

Para este proposito al definir la matriz A conviene, en primertermino, dar un nombre mas corto a la matriz identidad delorden correspondiente, en este caso 3 × 3:

I3 = IdentityMatrix[3];

A =

⎛⎝ −1 −2 4−2 −4 −2

4 −2 −1

⎞⎠;

11.4.1. Polinomio caracterıstico

El calculo del Polinomio caracterıstico de la matriz A ysu factorizacion, permite conocer las raıces de este que corres-ponden a los valores propios de A:

Det[A - λ I3]

−λ3 − 6λ2 + 15λ + 100

%//Factor

−(λ − 4)(λ + 5)2

Naturalmente, el proceso anterior se efectua en un solo pa-so con la orden Det[A - λ I3]//Factor. Por otra parte, esteprocedimiento de busqueda de ceros para el polinomio carac-terıstico, solo tiene interes didactico, porque en la practica confrecuencia los valores propios de una matriz no son numeros en-teros y este fallarıa. Para determinar aproximaciones numericasa raıces reales de una ecuacion, se recomienda usar el procedi-miento FindRoot, aunque para ecuaciones polinomicas NSolvetambien produce buenos resultados. La ayuda en lınea de Math-ematica provee informacion sobre la forma de usar estos coman-


dos.

11.4.2. Espacios caracterısticos

El espacio caracterıstico asociado al valor propio λ = −5,corresponde a la solucion del sistema homogeneo (A+5I)x = 0:

RowReduce[A + 5I3]⎛⎝ 1 − 12 1

0 0 00 0 0

⎞⎠Luego las soluciones del sistema homogeneo (A+5I3)x = 0 sonde la forma: (1

2 t − s, t, s) para cualquier t ∈ IR y s ∈ IR. Dosvectores que generan este espacio son: (−1, 0, 1) y (1, 2, 0).

Tambien el procedimiento NullSpace da una base del espaciocaracterıstico, directamente:

NullSpace[A + 5I3]( −1 0 11 2 0

)Calculo de una base para el espacio caracterıstico asociado alvalor propio λ = 4:

NullSpace[A + 4I3]

{2,−1, 2 }

11.4.3. Ortonormalizacion de una base

Si el proceso de diagonalizacion de la matriz es ortogonal(require que la matriz A sea simetrica), se deben obtener basesortonormales para cada subespacio caracterıstico. Observe quela base obtenida para el espacio propio asociado a λ = −5 no

11.4 Valores y vectores propios 193

es ortonormal, por lo que se requiere, a partir de esta, obteneruna que lo sea.

{u1,u2} = NullSpace[A + 5I3]( −1 0 11 2 0

)v1 = u1/

√u1.u1

{− 1√2, 0, 1√

2}

v2p = u2 -(u2.v1)v1

{ 12 , 2, 1

2}v2 = v2p/

√v2p.v2p{

13√

2, 2

√2

3 , 13√

2

}

11.4.4. Diagonalizacion ortogonal de A

Segun la teorıa conocida, la matriz P ortogonal tal que

A = PDP t,

donde D es matriz diagonal de los valores propios, es construidaa partir de las bases ortonormales de los espacios caracterısti-cos. Especıficamente, los vectores columna de la matriz P quediagonaliza ortogonalmente a A, son una base ortonormal com-puesta por la union de las bases ortonormales de los respectivosespacios propios:

P = Transpose[{v1,v2,{2,-1,2}/3}]⎛⎜⎜⎝− 1√

21

3√

223

0 2√

23 − 1

31√2

13√

223

⎞⎟⎟⎠


Verificacion de resultados:

P.DiagonalMatrix[{-5,-5,4}].Transpose[P]⎛⎝ −1 −2 4−2 −4 −2

4 −2 −1

⎞⎠

ejercicios resueltos de algebra.pdf

Documents