ejercicios resueltos bedford grupo 08
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Universidad Nacional San Cristóbal DeHuamanga
Facultad De Ingeniería Minas, Geología YCivil
Escuela De Formación Profesional De”Ingeniería Civil”
Resolución de Problemas
Mecánica para Ingeniería (Bedford-Fowler)
”Cinemática de Partícula y cuerpo Rígido”
Asignatura :Dinámica (IC-246)
Alumnos : z Calderón Quispe, Gilmer
z Navarro Bautista, Paul
z Maldonado Carlos, Juan José
z Infante Leva , Samuel
Docente : Ing. Cristian Castro Pérez
Ayacucho - Peru - 2013
Universidad Nacional san Cristóbal de HuamangaEscuela de Formación Profesional Ing. Civil
Departamento Académico de Ingeniería Minas y civil
Problemas
1. Problema 2.33
Si Θ=1 rad Y dΘ/dt = 1rad/s, ¿cual es la velocidad de P con respecto de O? Estrategia: sepuede escribir la posición de P respecto de O como:
s = (2pie) cos θ + (2pie) cos θ
Y luego calcular la derivada de esta expresión con respecto al tiempo para determinar la velocidad.
s
2 m
OP
2 m
Solución
La ubicación de P desde el punto O está dado por:
s = 2 cos θ + 2 cos θ = 4 cos θ
derivando respecto del tiempo para hallar la velocidad
ds
dt= −4senθ
dθ
dt
Evaluando para θ = 1rad y dsdt = 1rad/s
ds
dt= −4sen(1rad) = −3,37m/s
2. Problema 2.53
Un oscilador consiste en una masa y un resorte conectados como se muestra. La coordenadas mide el desplazamiento de la masa respecto a su posición cuando el resorte no esta estirado.Si el resorte es lineal, la masa esta sometida a una desaceleración proporcional a s. Suponga quea = −4sm/s2 , y que la masa tiene una velocidad v = 1m/s en la posición s = 0.
Dinámica # 2 " DAIMC
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s
a) ¿Qué distancia se moverá la masa hacia la derecha antes de que el resorte se detenga?
b) )¿Qué velocidad tendrá la masa cuando regrese a la posición s = 0?
Solución
como la aceleracion esta en funcion de ”S” usaremos:
vdv = ads
Del datoa = −4s sustituyendo
vdv − 4sds
integramos
v2
2= −4s2
2+ C
v2
2= −2s2 + C (1)
Para v(0) = 1m/s y s = 0 en (1)
(1)2
2= −2(0)2 + C −→ C =
1
2
Quedando la ecuacion (1) de la forma
v2
2= −2s2 +
1
2(α)
a) La velocidad es cero cuando se detiene entonces.
(0)2
2= −2s2 +
1
2
quedaría
s = ±1
2m
la distancia que se mueve hacia la derecha
∴ s =1
2m
Dinámica # 3 " DAIMC
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b) La velocidad para s = 0
De la ecuacion α
v2
2= −2(0)2 +
1
2v = ±1m/s
como el móvil regresa
v = −1im/s
3. Problema 2.82
un automóvil viaja a 100km/h sobre un camino recto con pendiente creciente cuyo perfilvertical se puede aproximar con la ecuación mostrada. Cuando la coordenada horizontal delautomóvil es x = 400m, ¿Cuál es su aceleración?
y = 0.0003x2
y
x
Solución
Datos
v = 100Km/h = 27�78m/s
y = 0�0003x2 con c = 0�0003 ⇒ y = cx2
sabemos que:
v =√x2 + y2 (I)
derivando la ecuación de la trayectoria
y = 2cxx (II)
Remplazando en la expresión(I)
v =
√x2 + (2cxx)2
despejamos x
x =v√
1 + (2cx)2(III)
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remplazamos para x = 400m
x = 27�013m/s
Derivamos nuevamente (III)
x =−4vcx2
(1 + (2cx))3/2
remplazamos para x = 400m
x = −0�099m/s2
Derivando la ecuación (II )
y = 2c(x2 + xx) Remplazando para x = 400m
y = 0�414m/s2
La aceleración será
~a =(−0�099i+ 0�414j
)m/s2
4. Problema 2.107
un automóvil incrementa su velocidad a una razón constante de 40mi/h en A y a 60mi/h enB. ¿Cuál es la magnitud de su aceleración 2s después de que pasa por el punto A?
y
x30°
30° BA
80 pies
80 pies
120 pies
100 pies
Solución
Datos:
vA = 40mi/h⇒ 58�667pies/s
vB = 60mi/h⇒ 88�0pies/s
Partamos de:
vdv = ads a=cte (condición del problema)
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Integrando
v2 = 2as+ C para vA = 58�667pies/s; s = 0
C = v2 − 2as = 3441�817
de v2 = 2as+ C hallamos la aceleración
a =v2 − C
2sRemplazando para vB = 88pies/s
s = 80(2) +30
180π(120 + 100)
s = 275�192pies
a =(88)2 − 3441�817
2(275�192)
a = 7�816pies/s2
La velocidad en funcion del tiempo
v(t) = vA + at ⇒ 58�667 + (7�816)t
s(t) = vA +1
2at2 ⇒ 58�667t+ 1
2(7�816)t2
v(2) = 74�299pies/s
s(2) = 132�966pies Ubicado en el primer arco
Hallando aceleracion normal
an =v2
R
an =(74�299)2
120an = 46�003pies/s2
∴ |a| =√
(46�003)2 + (7�816)2
|a| = 46�662pies/s2
5. Problema 2.132
La barra gira en el plano x−y de la figura con velocidad angular constante ω0 = 12rad/s. Lacomponente radial de la aceleración del collarín C es ar = −8r. Cuando r = 1m, la componenteradial de la velocidad de C es vr = 2m/s. Determine la componente radial y transversal de lavelocidad de C cuandor = 1,5m.
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x
y
r
C
v 0
Solución:
Usando la regla de la cadena y escribiendo en términos de la aceleración radial
d2r
d2t=dvrdt
=dvrdr
dr
dt=dvrdr
vr
Luego tenemos
ar =d2r
d2t− r(dθ
dt)2 = −8r
d2r
d2t= ([
dθ
dt]2 − 8)r = (122 − 82)r ⇒ 136r rad/s2
Calculando la velocidad radial
d2r
d2t= vr
dvrdr
= 136r
vr∫2
vrdvr = 136
1�5∫1
rdvr
v2r2− 22
2= 136(
1�52
2− 12
2)
Resolviendo obtenemos
vr = 13�2 m/s
Ademas tenemos
vθ = rdθ
dt= (1�5)(12) ⇒ vθ = 18 m/s
De esta manera tenomos:
~V = 13�2er + 18eθ m/s
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6. Problema 2.150
Dos automóviles A y B se aproximan a una intersección. A viaja a 20m/s y va desacelerandoa 2m/s2, y B viaja a 10m/s y va desacelerando a 3m/s2. En el sistema coordenado fijo a latierra mostrado, determine la velocidad de A respecto a B y la velocidad de B respecto a A.
Solución:
Se toma com origen de cooerdenadas la interseccion de su trayectoria
~vA = −20i y ~vB = 10j
~vA/B esta dado por ~vA/B = ~vA − ~vB
~vA/B = −20i− 10j
vA/B =√
(−20)2 + (−10)2 ⇒ vA/B = 22�36 m/s
De forma analoga para ~VB/A
~vB/A = 10j − (−20i) = 10j + 20i
vB/A =√
500 ⇒ vB/A = 22�36 m/s
7. Problema 2.171
Un río fluye hacia el norte a 3m/s (suponga que la corriente es uniforme). Si se quiere viajaren línea recta del punto C al punto D en un bote que navega a velocidad constante de 10m/srespecto al agua, ¿en qué dirección debe apuntar el bote? ¿Cuánto tarda en efectuar el cruce?será
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W E
S
N
500 m
D
C
400 m
3 m/ s
Solución:
Asumiendo un angulo θ medido desde el este
~vbote/tierra = ~vbote/agua + ~vagua/tierra
~vbote/agua = 10(cosθi+ sinθj)
~vagua/tierra = 3m/sj
~vbote/tierra = [(10cosθi) + (3 + 10sinθj)]
Queremos que el bote viaje en ángulo
tanφ =400
500
Por consiguiente tenemos:
3 + 10sinθ
10cosθ=
400
500⇒ θ = 25�11◦
Calculando la velocidad absoluta
v =√
(10cosθ)2 + (3 + 10sinθ)2 ⇒ v = 11�60m/s
Por lo tanto el tiempo será
t =d
v=
√5002 + 4002
11�60
t = 55�2 s
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8. Problema 2.194
La velocidad v = 2m/s es constante. ¿Cuáles son las magnitudes de la velocidad y aceleracióndel punto P cuando x = 0,25m?
y
1 m
P
x
y = 0.2 sin xπ
Solución:
Hallando el tiempo para x = 0,25
x = 2t (MRU)
t = 0�125s
De la ecuacion y = 0�2sin(2πt) derivamos
dy
dt= 0�4πcos(2πt) (Velocidad)
d2y
d2t= −0�8π
2sin(2πt) (Aceleración)
Remplazando para t = 0�125s y y = 0�141
dy
dt= vy = 0�889 m/s
d2y
d2t= ay = −5�58 m/s2
POr consiguiente hallaremos los módulos
|v| = v =√v2x + v2y ⇒ 2�19 m/s
|a| = a =√a2x + v2a ⇒ 5�58 m/s2
9. Problema 6.13
La placa rectangular oscila con brazos de igual longitud. Determine el vector de velocidad de(a) La placa rectangular (b) La barra AB
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y
xA
B
10 rad/sD
C
Solución:
Como se ve en la figura el cuadrilatero ABCD siempre forma un paralelogramo dado que AD =BCyAB = DC y por tanto necesariamente AD//BC y AB//DC.
β = θ (porserunparalelogramo)
β = θ ⇒ ωAB = ωAC = 10rad/s
ωBC = ω′′
De la figura
~AB = AB(−cosθ,−sinθ) (I)
~DC = DC(−cosβ,−sinβ) (II)
(I ) Y (II ) iguales
hallando la parte a)
La barra AB por ser un cuerpo rigido todos los puntos de este poseen igual velocidad angular yque apunta en la direccion de eje Z+
~ωAB = 10krad/s
hallando la parte b)
~vB = ~w × ~rAB (I)
~vC = ~vB + ~w′′ × ~rBC (II)
~vC = ~ω × ~rDC ;Ademas ~rAB = ~rDC (III)
De las ecuacones (I),(II) y (III)
~vB + ~w′′ × ~rBC = ~ω × ~rDC
~w × ~rAB + ~w′′ × ~rBC = 10k × ~rAB~w
′′ × ~rBC = 10k × (~rAB − ~rAB)
~w′′ × ~rBC = (0, 0, 0)
~w′′
= (0, 0, 0)rad/s
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10. Problema 6.41
En la fig. p6.41, si ωAB = 2rad/s y ωBC = 4rad/s, ¿Cuál es la velocidad del punto C, dondeel cubo de la excavadora está conectado?
x
y
BC
5 m5.5 m
1.6 m
A
4 m 3 m 2.3 m
BCABv
v
Solución:
Hallando el radio vector
~rA/B = 3i+ (5,5− 1,6)j = 3i+ 3,9j(m)
Calculando la velocidad ene el punto B
~vB = ~ωAB × ~rA/B
~vB =
i j k0 0 23 3�9 0
= −7�8i+ 6j(m/s)
Encontrando el radio vector BC que es:
~rC/B = 2�3i+ (5− 5�5)j = 2�3i− 0�5i
Hallando la velocidad en el punto C
~vC = ~vB + ~ωBC × ~rC/B
~vC = −7�8i+ 6j +
i j k0 0 −4
2�3 −0�5 0
~vC = −9�8i− 3�2j m/s
11. Problema 6.83
En la fig. p6.85, si ωAB = 2rad/s, αAB = 2rad/s2, ωBC = −1rad/s, y αBC = −2rad/s2,¿Cuál es la aceleración del punto C donde se conecta el cucharón de la excavadora?
Dinámica # 12 " DAIMC
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x
y
BC
5 m5.5 m
1.6 m
A
4 m 3 m 2.3 m
BCBC
AB
ABa a
vv
Solución:
De la grafica hallando los puntos A, B,y C medidos del extremo inferior izquierdo
~rA = 4i+ 1�6j
~rB = 7i+ 5�5j
~rC = 9�3i+ 5j
Calculando los vectores de posición relativos
~rB/A = rB − rA =⇒ (7i+ 5�5j)− (4i+ 1�6j) = 3i+ 3�9j
~rC/B = rC − rB =⇒ (9�3i+ 5j)− (7i+ 5�5j) = 2�3i− 0�5j
Encontrando la aceleración del punto B
~aB = ~αAB × ~rB/A − ω2AB~rB/A
~aB =
i j k0 0 23 3�9 0
− (22)(3i+ 3�9j)
~aB = 2(−3�9i+ 3j)− 4(3i+ 3�9j) = −19�8i− 9�6j m/s2
La aceleración del punto C en términos de la aceleración en el punto B es:
~aC = ~aB + ~αBC × ~rC/B − ω2BC~rC/B
~aC = −19�8i− 9�6j +
i j k0 0 −4
2�3 0�5 0
− 12(2�3i− 0�5j)
~aC = −24�1i− 18�3j m/s2
12. Problema 6.110
La velocidad angular ωAC = 50/s. Determine la velocidad angular del actuador hidráulicoBC y la razón a la que se extiende.
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2.4 m
1.2 m1.4 m
A B
C
aAC
v AC
Solución:
Transformando la velocidad angular
ωAC = 5(π
180) = 0�0873 rad/s
La velocid del punto C está dado por
~vC = ~ωAC × ~rC/A
~vC =
i j k0 0 ωAC
2�6 2�4 0
= −2�2094i+ 0�2269j m/s (I)
Hallando el vector unitario paralelo al actuador BC
e =1�2i+ 2�4j√1�22 + 2�42
= 0�4472i+ 0�8944j
La velocidad del punto C en términos de la velocidad del actuador está dado por:
~vC = vCrel~e+ ~ωBC × ~rC/B
~vC = vCrel(0�4472i+ 0�8944j) +
i j k0 0 ωBC
1�2 2�4 0
~vC = vCrel(0�4472i+ 0�8944j) + ωBC(−2�4i+ 1�2j) (II)
Comparando las ecuaciones (I ) y (II )
0�2094 = 0�4472vCrel − 2�4ωBC (III)
0�2269 = 0�8944vcrel + 1�2ωBC (IV )
Dinámica # 14 " DAIMC
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Resolviendo las ecuacones (III ) y (IV )
ωBC = 0�1076 rad/s
vCrel = 0�109 m/s
Que es también la velocidad de extensión del actuador
13. Problema 6.134
Un automóvil A en latitud norte L viaja hacia el norte en una carretera con orientación norte-sur a una velocidad constante . Determine las componentes X,Y,Z de la velocidad y aceleracióndel automóvil (a) respecto al sistema coordenado fijo a la Tierra mostrado; (b) respecto a unsistema coordenado sin giro con su origen en el centro de la Tierra.
N
L
y
x
B
A
RE
Solución:
a) Hallando la velocidad y la aceleración respecto al coordenado fijo a la tierra
~vrel = vj
~arel =−v2
REi El movimento que describe es un circulo
b) Hallando respecto a un sistema coordenado sin giro
~vA = ~vArel + ~ωE × ~rA/B + ~rB (~vB = 0)
~va = vj + (ωEsinLi+ ωEcosLj)×RE i~va = vj − ωEREcosLk~aA = ~aB + ~aArel + 2~ωE × ~vArel + ~α× ~rA/B + ~ωE × (~ωE × ~rA/B)
donde ωE esta dado por:
~ωE = ωEsinLi+ ωEcosLj y ~rA/B = ~RE i
~aA = 0− v2
REi+ 2vωEsinLk + (ωEsinLi+ ωEcosLj)× (−ωEREcosLk)
~aA = −(v2
RE+ ω2
EREcos2L)i+ (ω2
EREsinLcosL)j + 2vωEsinLk
Dinámica # 15 " DAIMC