ejercicios resuelstos transformada inversa

8/15/2019 Ejercicios Resuelstos Transformada Inversa

1/9

Ej emplos de Transformada de Laplace J. Benavides S. 1

Ejercicios de Transformada inversa de Laplace

Encontrar la Transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones:

E-1.2

2

1

s F s

s s

+=

−( )

( ),

a) 1ª forma: Observamos que:2

1 1

s F s

s s s

+=

+ −( )

( )( ), el denominador B( s) posee 3 raíces distintas

que son: s1 = 0, s2 = −1 y s3 = 1. Por lo tanto, la descomposición en fracciones parciales (DFP) será:

31 2

1 1

K K K F s

s s s= + +

+ −( )

( ) ( ), Recordando que: ( )

( )

( )i

i n i

s s

A s K b s s

B s=

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦, y en nuestro caso bn = 1:

1

s K =

( )2 s

s

+

0

21 1

s s s

=

= −+ −( )( )

;( )

2

1 s K

+=

( )

( )

2

1

s

s s

+

+1

1

21 s

s=−

=−( )

;( )

3

1 s K

−=

( )

( )

2

1 1

s

s s s

+

+ −( )1

3

2 s=

= ,

* por lo tanto:

312 2 2

1 1 F s s s s

−

= + + ⇒+ −( ) ( ) ( )

1 3

2 2 2

t t

f t e e u t −⎛ ⎞

= − + + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠( ) ( )

b) 2 ª forma: Como:

31 2

2

2

1 1 1

K K K s F s

s s s s s

+= = + +

− + −( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

1 2 3

2

1 2 3 3 2 1

1 1

2 1 1 1

2

s s s

s s K s s K s s K

s K K K s K K s K

× + −

+ = − + − + +

+ = + + + − −

( )( )

( ) ( ) ( )

Igualando coeficientes de s de igual potencia de ambos miembros de esta última igualdad:

2

1 2 3

2 31

3

2

2

0

1

3 2

1 3

12

23

2

02

11

2

s K K K K K

s K K K K

s K

K

K

K

⇒ = + + = +⇒ = − ⇒

== − ⇒ ⇒

= −− =⇒ =

(A continuación sigue igual que *)

E-2. 2

1

2 2 5

s s e

s s

−− ⎧ ⎫⋅

⎨ ⎬+ +⎩ ⎭

ℒ ; Se elige: 1 2( ) 2 5

s F s

s s=

+ +, tal que { }1 11 12( ) ( )2 5

s F s f t

s s

− − ⎧ ⎫= =⎨ ⎬+ +⎩ ⎭

ℒ ℒ ,

y luego (por teorema de traslación temporal), será: { }1 2 1 1( ) ( ) ( 2) s f t e F s f t − −= = −ℒ .

El denominador de F 1( s), (que es el mismo de F ( s) ) tiene las siguientes raíces:

12

2

1 2( ) 2 5 0

1 2

s j B s s s

s j

= − +⎧= + + = ⇒ ⎨

= − −⎩, luego, la DFP de F 1( s) será:

1 21 2( )

2 5 ( 1 2) ( 1 2)

K K s F s

s s s j s j= = +

+ + + − + + ( )

( ) ( ) ( )

2

1 2

1 2 1 2

2 5

( 1 2) ( 1 2)

1 2 1 2

s s

s K s j K s j

s K K s K j K j

× + +

= + + + + −

= + + + + −


2/9


Igualando coeficientes de s de igual potencia en la última identidad:

( ) ( )

1

1 2

0

1 2

1 (1)

(2)0 1 2 1 2

s K K

s K j K j

⇒ = + ⎧⇒ ⎨

⇒ = + + − ⎩

( ) ( )

( )

1 2 1 2

1 2 1 2

de (2): 0 2

1con (1): 0 1 2

2

K K j K K

j K K K K j

⇒ = + + −

⇒ = + − ⇒ − =

Por lo tanto:

( ) ( )

1 21 2

1 21 2

1 12 1 2 1

4

1 12 1 2 11

(1 )̀ 2 2(1̀ ) (2`) ; (1̀ ) (2`)1

(2`)2

4 K j K j

K j K j K K

K K j

⎧ ⎧= + = −+ = ⎪ ⎪⎪

= + = −

⎪+ ⇒ − ⇒⎨ ⎨

− = ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩

Luego:

1

1 2 1 2 1( )

4 ( 1 2) ( 1 2)

j j F s

s j s j

⎡ ⎤+ −= +⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦

{ } ( ) ( )

( ) ( )

1 ( 1 2) ( 1 2)

1 1

2 2 2 2

1

1

1

( ) ( ) 2 1 2 1 ( )4

1( ) 2 ( )

4

1( ) 2 cos 2 sen2

4

j t j t

t j t j t j t j t

t

f t F s j e j e u t

f t e e e j e e u t

f t e t j t

− − + − −

− − −

−

⎡ ⎤= = + + − ⋅⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + − ⋅⎣ ⎦

= +

ℒ

cos 2 sen2t j t + −( ) cos2 j t + sen2 cos 2 j t t + −( )

( )1

sen2 ( )

1( ) 2cos 2 sen2 ( )

2

t

j t u t

f t e t t u t −

⎡ ⎤+ ⋅⎣ ⎦

= − ⋅

Luego: ( ) ( ) ( )1

( ) 2cos 2 2 sen2 2 22

t f t e t t u t − ⎡ ⎤= − − − ⋅ −⎣ ⎦

b) 2 ª forma: Se puede hacer más corto si se completa el cuadrado del binomio en el denominador:

( ) ( ) ( )1 2 22 2 2( )

2 5 2 1 4 1 4 1 2

s s s s F s

s s s s s s= = = =

+ + + + + + + + +

( ) ( )1 2 22 2

1 1 2( )

21 2 1 2

s F s

s s

+= −

+ + + +

De aquí, directo de las tablas, con la aplicación de la traslación compleja, se obtienen:

{ }

1

1 1

1( ) ( ) cos 2 sen2 ( )

2

t t f t F s e t e t u t − − −⎛ ⎞= = − ⋅ ⇒

⎜ ⎟⎝ ⎠ℒ

( )11

( ) 2cos 2 sen2 ( )2

t f t e t t u t −= − ⋅

Luego, por la propiedad traslación real, se obtiene, 1( ) ( 2) f t f t = − , igual que primera forma.

Casos de raíces repetidas.

E-3.( ) ( )

1

2

2

1 3

s

s s s

− ⎧ ⎫+⎪ ⎪⎨ ⎬

+ +⎪ ⎪⎩ ⎭ℒ , hay dos raíces simples s = 0 ; s = −3 y una raíz repetida (doble) s = −1

La DFP es:( ) ( ) ( ) ( ) ( )

31 22 21

2 2

2( )

1 31 3 1

K K K K s F s

s s s s s s s

+= = + + +

+ ++ + +


3/9


Donde:

( ) ( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )

( )( )

1 2

00

2

22

1 1

21 22

1 1

3 2

33

( ) 2 2

( ) 31 3

( ) 2 11

( ) 3 2

3 2 2 32 3

3 43

( ) 2 13

( ) 121

s s

s s

s s

s s

A s s K s

B s s s

A s s K s

B s s s

s s s sd s K

ds s s s s

A s s K s

B s s s

= =

=− =−

=− =−

=− =−

+= = =

+ +

+= + = = −

+

⎛ ⎞ + − + ++= = = −⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

+= + = =

+

Luego:( ) ( ) ( )

2

23

31 12 4 12( )

1 31 F s

s s s s= − − +

+ ++

De aquí: 32 1 3 13 2 4 12

t t t f t t e e e u t − − −⎡ ⎤= − ⋅ − + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) , ó: 32 1 3 13 2 2 12

t t f t t e e u t − −⎡ ⎤⎛ ⎞= − + + ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( )

E-4. ( )

1

2 2

1

3 4 s s

− ⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬

+⎪ ⎪⎩ ⎭

ℒ , Hay 4 raíces: una doble s = 0, más dos imaginarias conjugadas s = j2, s = − j2

El DFP en este caso es:

( )312 11 2

22 2

1 1

3 2 23 4

K K K K

s s s j s j s s

⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥− ++ ⎣ ⎦

K 2 y K 3 son complejos conjugados. Conviene juntar los dos últimos términos:( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 3 2 3 2 332

2 2

2 3 1 2 3 2

2 2 2

2 2 4 4

(real); 2 (real)

K s j K s j K K s j K K K K

s j s j s s

K K C j K K C

+ + − + + −+ = =

− + + +

+ −

( ) ( )12 11 1 2

22 2 2

1 1

33 4 4

K K C s C

s s s s s

⎡ ⎤+⎢ ⎥= + +

+ +⎢ ⎥⎣ ⎦( )23 4 s× +

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

12 11 1 2

3 211 1 12 2 11 12

1 4 4

1 4 4

K s K s s C s C s

K C s K C s K s K

= + + + + +

= + + + + +

0

12 12

1

11 11

2

12 2 2 12

3

11 1 1 11

14 14

4 0 0

104

0 0

s K K

s K K

s K C C K

s K C C K

⇒ = ⇒ =

⇒ = ⇒ =

⇒ + = ⇒ = − = −

⇒ + = ⇒ = − =


4/9


( ) ( )2 22 2 21 1

1 1 1 1 24 4( )3 12 24 2

F s s s s s

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = − ⇒⎢ + ⎥ +⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

1

2

1( ) sen2 ( )

12 f t t t u t

⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

E-5. ( )

3

22 2

3( )2

s

e F s s s

−

=+

Este ejemplo muestra la aplicación de linealidad y desplazamiento en el tiempo, para el caso de 6raíces: una raíz repetida real y dos raíces repetidas imaginarias conjugadas, es decir:

raíz real: s1 = 0 repetida 2 veces

raíz imaginaria 2 2 s j= − repetida 2 veces

raíz imaginaria 3 2 s j= repetida 2 veces

Analizaremos:

( )

1 122 2

1( ) ( )

2 F s f t

s s= ⇒

+ y luego: 1

1( ) 3 ( )3

f t f t = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )32 3112 11 22 21

1 2 2 222 2

1( )

2 22 2 2

K K K K K K F s

s s s j s j s s s j s j= = + + + + +

+ −+ + − (*)

a) Primera forma: (forma convencional) para cada raíz “i”, (en nuestro caso i = 1, 2, 3) demultiplicidad “ p” (en nuestro caso p = 2), aplicando el método clásico para obtener los coeficientes

correspondientes a raíces repetidas:

( ) ( )1 2 1i

p j pn

ij i p j

s s

b d A s K s s j p p p

p j ds B s

−

−

=

⎡ ⎤⎧ ⎫= − = − −⎨ ⎬⎢ ⎥

− ⎩ ⎭⎣ ⎦

( )

( )

( )( ) , , , , ,

( )! ( )

2

12

s K =

2 s ( )

2

1122

0

1,

42 s

d s K

ds s=

= =+ 2 s ( )

( )

( )

2

2 42 2

0 0

2 2 20

2 2 s s

s s

s s= =

⎡ ⎤ − +⎢ ⎥ = =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

( ) ( )22 2 2

2

2

1 1 1

162 2 2 2 s j

K s s j j

=−

= = =− − −

( )21 2

2

2

21

2 s j

sd

K ds s s j=−

⎡ ⎤ −

⎢ ⎥= =⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

( )2

2 s j− 2 s+ ( )2 2 s j−

4 s

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎣ ⎦( )3

4

2 s j−

( ) ( )

2

21 3 3 3

3

2

4 2 2 4 2 2 2 6 2 3 2

4 322 2 2 2

s j

s j

s j j j j K j

s s j j j

=−

=−

− + += = = = −

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦


5/9


( ) ( )32 2 2

2

2

1 1 1

162 2 2 2 s j

K s s j j

=

= = =+ −

( )31 22

2

21

2 s j

sd

K ds s s j

=

⎡ ⎤ −⎢ ⎥= =⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

( )2

2 s j+ 2 s+ ( )2 2 s j+

4 s

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

( )34

2 s j+

( ) ( )

2

3 3 3

2

3

31

4 2 2 4 2 2 2 6 2 3 2

4 322 2 2 2

s j

s j

s j j j j K j

s s j j j

=

=

− − − − −= = = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Por lo tanto:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 22

1 2 22

3 2 3 21 1116 32 16 324( )

2 22 2

1 8 2 2 3 2 3 2( )

32 2 22 2

j j

F s s s j s j s j s j

j j F s

s s j s j s j s j

= + − + ++ −+ −

⎡ ⎤⎢ ⎥= + + − +⎢ ⎥+ −+ −⎢ ⎥⎣ ⎦

Tomando la ℒ-1

de cada término se obtiene:

2 2 2 2

1

1( ) 8 2 2 3 2 3 2 ( )

32

j t j t j t j t f t t te te j e j e u t − −⎡ ⎤= + + − + ⋅⎣ ⎦

Recordando las expresiones para seno y coseno derivadas de la relación de Euler, se obtiene:

1

1( ) 8 4 cos 2 6 2 2 ( )

32 f t t t t sen t u t ⎡ ⎤= + − ⋅⎣ ⎦

Como la función original es: 11( ) 3 ( )

3 f t f t = − , ordenando, finalmente se llega a:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 1 1 1 1( ) 4 2 cos 2 3 2 23 3 3 3 316 f t t t t sen t u t ⎡ ⎤= − + − − − − ⋅ −⎣ ⎦

b) Segunda forma. También se puede hacer de la siguiente manera (similar que en el ejercicio E-4):

( ) ( )3 4 5 612 11

1 22 22( )

22

C s C C s C K K F s

s s s s

+ += + + +

++ (**),

(Nota: Esto corresponde a juntar dos términos correspondientes a raices conjugadas en (*), por

ejemplo, el último término de (**) viene de juntar:

( ) ( )( ) ( )

( )( )21 31 21 313121

2

2 2

22 2

K s j K s j K K K K

s s j s j

− + + ++ = =

++ −

( )

( )

( ) ( )

0

31 21

2

5 62 2

2

2

3 20 2 316 38 0, )

82 2

s K K j

s

j s j

C C s s

+ −=

+

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟

⎝ ⎠= = − ⇒ = =+ +


6/9


Para resolver (encontrar los coeficientes de **), se hace lo siguiente:

( ) ( ) ( )3 4 5 612 11

1 2 22 22 2 2

1( )

22 2

C s C C s C K K F s

s s s s s s

+ += = + + +

++ + ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22 2

2 22 2 2 2 2

12 11 3 4 5 6

2

1 2 2 2

s s

K s K s s C s C s C s C s s

× +

= + + + + + + + +

Luego se ordena el segundo miembro como un polinomio con potencias decrecientes de s y se igualanlos coeficientes de las mismas potencias del primer y segundo miembro (como se hizo en ejemplos

anteriores). A partir del conjunto de ecuaciones así obtenidas, se resuelve para encontrar los

coeficientes de la DFP (ec. **). Finalmente, se aplica las ℒ-1

a cada término del desarrollo.Tarea:

hacerlo de esta manera. Lo interesante de esta forma de resolver es que evita tener que trabajar con

complejos y puede resultar mucho más corto.

Ejemplos simples de aplicación a sistemas.

E-6. Al sistema masa-amortiguador de la figura inicialmente en reposo, se le aplica una fuerza f (t )

constituída por un pulso de amplitud A [New] y duración T [seg], Determine la expresión analítica de la

velocidad v(t ). Dibuje aproximadamente a escala el grafico de v(t) resultante si M = 0,5 [Kg], B = 1[New-seg/m], T = 1 [seg] y A = 10 [New].

Como: ( )dv

Bv f t dt

+ = , y [ ]1 1

( ) ( ) ( ) ( ) Ts f t A u t u t T F s A e s s

−⎡ ⎤= − − ⇒ = −⎢ ⎥⎣ ⎦, tendremos:

( )1 1 1

( ) 1 ( ) ( )Ts Ts

Ts

B M

A A e A eV s Ms B e V s V s

s s Ms B M s s

− −− ⎡ ⎤⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎡ ⎤+ = − ⇒ = ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦ + ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(1)

Por conveniencia, definamos la función:

( )1

( ) B

M

G s s s

=+

, de modo que (1) puede escribirse como:

( ) ( ) 1 Ts A

V s G s e M

−⎡ ⎤= −⎣ ⎦ (2)

Aplicando la DFP a G( s) en la forma habitual:

( )

1 1

1 2 0

2 2

1

1( )

1

s

B s

M

B M

B B M M

K K B s K K

G s s s s s

K K s B

=

=−

⎧⎪ = ⇒ =⎪ +⎪

= = + ⇒ ⎨++ ⎪

= ⇒ = −⎪⎪⎩

Luego: 1( ) 1 ( ) B

t M

M M B B

B M

M g t e u t

s B s

−−

⎧ ⎫ ⎛ ⎞⎪ ⎪= − = −⎨ ⎬ ⎜ ⎟

+ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

ℒ (3)

M f (t )

v(t )

B

0 T t

A

f (t )


7/9


De (2) y (3), aplicando las propiedades lineal y traslación temporal:

[ ]( ) ( ) ( ) A

v t g t g t T M

= − − ⇒ ( )

( ) 1 ( ) 1 ( ) B B

t t T M M

Av t e u t e u t T

B

− − −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Reemplazando los valores numéricos M = 0,5 [Kg], B = 1 [New-seg/m], T = 1 [seg] y A = 10 [New]:

( )1 1

10,5 0,510( ) 1 ( ) 1 ( 1)

1

t t

v t e u t e u t − − −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − − − − ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦( ) ( )( )2 12( ) 10 1 ( ) 1 ( 1)t t v t e u t e u t − −−⎡ ⎤= − − − −⎣ ⎦

O lo que es igual: ( )2( ) 10 1 , para 0 1segt v t e t −= − ≤ ≤ (a)

y: ( )2 2( 1)( ) 10 , para 1segt t v t e e t − − −= − + ≥ (b)

Simplificando (b): ( )2 2( 1) 2( 1)( ) 10 1 8,647 , para 1segt t v t e e e t − − − − −= − + ≅ ≥ (b`)

Ambas expresiones (a) y (b) tienen el mismo valor en t = 1 seg, que es: v(t =1 seg) = 8,647 [m/seg]

El gráfico de v(t) dado por (a) y (b`) resulta aproximadamente:

E-7. Encuentre la expresión analítica de la velocidad v(t ) en el intervalo 0 < t < T /2 del sistema masa-amortiguador sometido a una fuerza periódica f (t ) con forma de onda rectangular que se muestra,considerando que el sistema se encuentra en régimen permanente en t = 0.

En general: ( )

dv

Bv f t dt + = , en particular para 0 < t < T /2 :

dv Bv A

dt + = , tomando la ℒ :

[ ]( ) (0) ( ) A

M sV s v BV s s

− + = , de donde:

M f (t )

v(t )

B

0 T=1 seg

8,647

v(t )

0 T/2 T t

A

-A

f (t )

· · · · · ·


8/9


( )

( ) ( )

( ) (0)

(0)( ) ( ) 1 (0) ;0

2

B Bt t

M M

B B M M

AV s Ms B Mv

s

A v A T V s v t e v e t B Ms s s

− −

+ = +

⎛ ⎞= + ⇒ = − + ≤ ≤⎜ ⎟

+ + ⎝ ⎠

Por estar en régimen permanente, se debe cumplir:2

( ) (0)T v v= − , reemplazando esta condición en la

expresión de v(t ) anterior, se obtiene:

22 2

2

1(0) 1 (0) (0)

1

B T B T B T M M M

B T

M

A A ev e v e v

B Be

−− −

−

⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥− = − + ⇒ =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ +⎢ ⎥⎣ ⎦

, reemplazando en v(t ):

2

2

2( ) 1 ;0

21

BT B M t M

BT

M

A e T v t e t B

e

−−

−

⎡ ⎤⎢ ⎥= − ≤ ≤⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦

El gráfico de v(t ) es de la forma:

E-8. Encuentre la expresión del voltaje ec(t ) en el condensador del circuito R-C de la figura, cuando se

aplica una tensión ei(t ) constituída por un pulso rectangular que se inicia en t 0 y que tiene una amplitud

A [Volts] y duración T [seg], el condensador está inicialmente descargado.

La ℒ de la tensión aplicada ei(t ) es:

{ } { } [ ]( ){ } ( )000 01 1

( ) ( ) ( s t T st

i i E s e t A u t t u t t T A e e s s

− +−⎡ ⎤⎡ ⎤= = − − − + = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ℒ ℒ ℒ

0( ) 1 st sT

i

A E s e e

s

− −⎡ ⎤= −⎣ ⎦ (1)

La ecuación de equilibrio del sistema es:1

( ) ( ) ( )i Ri t i t dt e t C

+ =∫ , (2)

pero como:( )

( ) cd e t

i t C dt

= y1

( ) ( )ci t dt e t C

=∫ , la ec. (2) quedará:

0 T/2 T t

-v(0)

v 0

v(t )

· · · · · ·

C

ei(t ) ec(t )

R

i(t )

+

_

ei(t)

A

0 t 0 t 0+T t


9/9


( )

( ) ( )c c id e t

RC e t e t dt

+ = (3)

Aplicando ℒ a la ec. (3) y con (1):

( ) (0 )c c RC s E s e +− 0( ) 1 st sT c

A E s e e

s

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = −⎣ ⎦⎣ ⎦, de donde:

( ) ( ) ( )

00 0( )

1 1

1( )

1

st sT st s t T

c

RC RC

Ae e A e e E s

s RCs RC s s s s

− − − − +⎡ ⎤⎡ ⎤−⎣ ⎦ ⎢ ⎥= = −⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

,

Aplicando ℒ-1

, se llega a:

( )( )

[ ]( )00

0 0( ) 1 1

t t T t t

RC RC ce t A e u t t e u t t T

− +−− −⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞

= − − − − − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(Observación: se puede resolver para un pulso que se inicia en el orígen con duración T y luego

desplazar la solución en t 0. Comparar el resultado obtenido con el del ejemplo E-6)

0 t 0 t 0+T t

ec(t )

ejercicios resuelstos transformada inversa

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